KUVVET

STATİK- MUKAVEMET
2- Düzlem ve Uzay Kuvvetler
KUVVET
2.1 Kuvvet vektörü ve kuvvein Tanımı
2.2 Vektörün Şiddeti ve Vektörlerin Toplamı
2.3 Üç Boyutlu Uzayda Kuvvet Bileşenleri
2.4 Üç boyutlu uzayda kuvvetlerin toplamı ve denge denklemleri
MOMENT
2.5 Bir Kuvvetin Bir Noktaya Göre Momenti
2.6 VARIGNON prensibi:
2.7 Momentin üç boyutlu uzaydaki gösterimi
2.8 Bir kuvvetin, bir eksene gore momenti
2.9 Kuvvet Çifti
2.10 Bir Kuvvetin Tesir Çizgisi Dışında Bir Noktaya Taşınması
2.11 Kuvvetler Sisteminin Bir Noktaya İndirgenmesi
KUVVET
2.1 Kuvvet vektörü ve kuvvein Tanımı
Kuvvet bir cismin diğer bir cisme yaptığı etkidir. Bir kuvvetin:
Uygulama noktası
Şiddeti
Yönü. vardır.
Kuvvet vektörünün, şiddeti vektörün uzunluğudur.
j
y
Yönü
F
F
i
Fy
Şiddeti

x
Fx
Başlangıç noktası
Paralel kenar kuralıyla bileşkesi hesaplanabilir:
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 1
2.2 Vektörün Şiddeti ve Vektörlerin Toplamı
F Kuvvet vektörünün şiddeti, Fx ve Fy kuvvet bileşenlerinin karelerinin
toplamının karekökü ne eşittir.
Fx=F cos
Fy=F sins
tan
=Fy/Fx,
F  Fx2  Fy2
P ve Q vektörünün toplamı R vektörü aşağıdaki gibi hesaplanabilir.
  
PQ  R
Px i  Py j  Q x i  Q y j  R x i  R y j
( Px  Q X )i  ( PY  Q y ) j  R x i  R y j
Rx=Px+Qx,
R x   Fx
Ry=Py+Qy
,
R y   Fy
R  Rx i  R y j
R 2  F12  F22  2 F1 F2 cos 
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 2
2.3 Üç Boyutlu Uzayda Kuvvet Bileşenleri
Üç Boyutlu uzayda F kuvvetinin bileşenleri, Fx, Fy, Fz kuvvetleridir.
F  Fy2  Fh2 Fh  Fx2  Fz2
,
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 3
F  Fx2  Fy2  Fz2
i, j, k vektörler ; x,y,z eksenlerinin birim vektörleridir.

F  Fxi  Fy j  Fz k

F  F cos  x i  cos  y j  cos  z k 

F  F  x i   y j   z k 


F  F
Landa birim vektördür
2  cos 2  x  cos 2  y  cos 2  z
 1
cos 2  x  cos 2  y  cos 2  z  1
Iki açı bağımsız, 3. açı diğer açılara bağımlı
Üç boyutlu uzayda F kuvveti aşağıdaki şekilde tanımlanabilir.
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 4




AB  d xi  d y j  d z k
dx=x2-x1,
dy=y2-y1,
dz=z2-z1
d, AB doğrusunun uzunluğu

 AB 1




 (d x i  d y j  d z k )
AB d
AB  d x2  d y2  d z2
 F




F  F  ( d x i  d y j  d z k )
d
Fd z
Fd y
Fd x
F

Fy 
z
d
d ,
d ,
dy
d
 y
cos  x  x   x cos  y 
d
d
,
,
Fx 
cos z 
dz
 z
d
2.4 Üç boyutlu uzayda kuvvetlerin toplamı ve denge denklemleri


R  F
,
R x   Fx
,
R y   Fy
,
Rz   Fz
R  R x2  R y2  R z2
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 5


R  F  0
,
R x   Fx  0
,
R y   Fy  0
Durum Diyagramı
,
R z   Fz  0
Serbest Cisim diyagramı
Kuvvet diyagramı
Denge denklemiyle çözüm
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 6
Örnek:
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 7
Örnek:
Cevap
1. adım
:
Serbest cisim diyagramı
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 8
Eleman uzunlukları
2. Adım
Her elemanın x , y, z yönündeki kuvvetleri
3. Adım
Denge denklemleri ve sonuçlar
3 Bilinmeyen FB, FC ve FD
3 denklem ile çözülür
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 9
 Fx  0 ,
 Fy  0 ,
 Fz  0
ÖRNEK SORULAR
SORU 1
Örnek Öğrenci No 010030403
---------------xaxxxxbcd
Şekildeki kuvvetler sisteminin bileşkesi
düşey olabilmesi için  ne olmalıdır.
a) F=240N,
120N
60o
80N
b) F=140N

F
Çözüm
Rx=0 olmalı
a)
Rx=240cos-120-80cos60=0
Cos=2/3, =48.20
b)
Rx=140cos-120-80cos60=0
Cos=8/7> 1 olduğundan, bu mümkün değil
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 10
SORU 2
Şekildeki blokların boyutları 90cm- 120cm,
ağırlıkları 10kN ve halat uzunlukları da
150cm olduğuna göre, her iki durumda da
halatlardaki çekme kuvvetlerini bulunuz
Durum
W
75cm

45cm
S2
I
II
S1
Cos=45/75=0.6
=53.13
Yatay Dengeden S1=S2
Sinüs teoreminden
W/(sin(2x53.12))=S1/sin36.87
W=10kN
S1=S2=6.25kN
Durum
Üç boyutlu uzayda bir vektörün x ve y
eksenleriyle yaptığı açı 45 derece
olduğuna göre z ekseniyle yaptığı açı kaç
derece olabilir.
W
75cm

60cm
S2
S1
sin 45  cos 45  2 / 2
A) 0, B) 45 C) 90 D)180
Cos=60/75=0.8
=36.87
Yatay Dengeden S1=S2
Sinüs teoreminden
W/(sin(2x36.87))=S1/sin53.13
W=10kN
S1=S2=8.33kN
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 11
SORU 3
Test sorusu BA nın pozisyon vektörü hangisidir.
A)
B)
C)
D)
E)
BA=-6i+3j+2k
BA=-6i+3j+8k
BA=6i-3j+8k
BA=-6i+0j+2k
BA=6i+0j+8k
BC nin uzunluğe nedir
A) 9m, B) 6m C) 7m D) 8m E) 6.7m
AB kablosundaki kuvvet 350 N, BC kablosundaki kuvvet 450 N dur.
Kablodan B noktasına gelen kuvvetlerin bileşkesini bulunuz
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
.
Sayfa 12
SORU 4
A(-3, 2, 0), B(0, 0, 6), C(2, -3, 0), D(0, -3, 0) Ağırlığı500N olan OB
çubuğu yukarıda koordinatlarıverilen üçtel halatla A, C, D
noktalarına sabitlenmiştir. Sistemin dengede kalabilmesi için
halat germe kuvvetlerinin minimum ne olmasıgerektiğini
hesaplayınız
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 13
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 14
MOMENT
2.5 Bir Kuvvetin Bir Noktaya Göre Momenti
Kuvvet vektörü F, konum vektörü r ile vektörel çarpımdır.

 
M 0  r xF
M0=Frsin=F.d
Momentin şiddeti
F Kuvvetinin Ekseni
O
F
r
d
F


F||
Örnek 1. Diagram 3, te 10 foot uzunluğundaki kiriş, P noktasında
bağlıdır, 100 lb. Kuvvet kirişe yukarı doğru etkimektedir
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 15
Moment = F x d = 100 lb. x 10 ft = 1000 ft-lb.
2.5 foot mesafeden etkirse
Moment = F x d = 100 lb. x 2.5 ft. = 250 ft-lb.
Örnek 2: Bu örnekte kuvvet 37 derece açı ile etkimektedir.
Moment = Kuvvet x dik mesafe
d = 10 sin 37o = 6 ft,
Moment = 100 lb. x 6 ft = 600 ft-lb.
Veya kuvvet iki bileşene ayrılır
Moment = 100 lb. sin 37o x 10 ft. = 600 ft-lb
Vektörel Çarpım:
  
V  PxQ
Özellikleri
-1 V vektörü, P ve Q vector düzlemine diktir.
-2 V nin Şiddeti V=PQsin
-3 V vektörünün yönü sağ el kuralına uyuyor.
 
 
PxQ  (QxP )
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 16
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 17
Birim vektörlerin vektörel çarpımları:
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 18
2.6 VARIGNON prensibi:
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 19
2.7 Momentin üç boyutlu uzaydaki gösterimi
iki vektörün skaler çarpımı:
Şekil Skaler çarpımın geometrik anlamı
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 20
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 21
2.8 Bir kuvvetin, bir eksene gore momenti
F Kuvvetinin a-a eksenine gore Momenti
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 22
2.9 Kuvvet Çifti
M=F.d
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 23
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 24
2.10 Bir Kuvvetin Tesir Çizgisi Dışında Bir Noktaya Taşınması
2.11 Kuvvetler Sisteminin Bir Noktaya İndirgenmesi
n
R x   ( Fi ) x
i 1
n
,
M o   (M i ) x
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
i 1
Sayfa 25
ÖRNEK SORULAR
y
A(4;4)
3
C(-2;2)
4
100kN
Şekildeki kuvvetler sistemini D
noktasına indirgeyiniz
Tesir Çizgisinin denklemini
yazınız
B(2;2)
80kN
50kN
x
0
D(4;0)
Rx=100-40=60kN
Ry=-80-30=-110
R=125.3kN
Md=80x2-100x4+40x2+30x6
Md=20kNm
M0=xRy-yRx
Mo=-80x2-100x4+30x2+40x2
Mo=-420kNm
60y=-110x+420
x=0 için y=7
y=0 için x=3.82
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 26
Herbir yatay çizginin arası a
ise, Aşağıdaki hangi kuvvet
sistemi
yandaki
kuvvet
sistemine eş değerdir.
P
M=Pa
B)
A)
P
P
P, Q ve S birer vektör olmak üzere
aşağıdakilerden hangisi yanlıştır
A)
(P+Q)+S=(P+S)+Q
B)
(PxQ)+S=S+(PxQ)
C)
(PxQ)= - (QxP)
D)
(PxQ)xS=Px(QxS)
z
D)
P
M momenti için hangi kuvvet
çifti gerekir
M=4 kNcm
A) A noktasına Fy=2kN, B noktasına Fy=-2kN
B) A noktasına Fy=-2kN, B noktasına Fy=2kN
C) B noktasına Fx=2kN, C noktasına Fx=-2kN
D) B noktasına Fx=-2kN, C noktasına Fx=2kN
A
B
C
P
C)
y
4
2
x
4
y
x
Kenar uzunlukları 2cm olan altı gen
şekilindeki levhaya etkiyen kuvvetler
sistemini
A) O noktasına indirgeyiniz.
B) Bileşkenin etki çizgisinin x ve y
eksenlerini kestiği noktaları bulunuz.
bulunuz.
P=(a+b+c+d+e) kN
Ağırlığıihmal edilen ve boyu L olan bir çubuk bir pim ile
şekilde görüldüğügibi zemine bağlanmıştır. Ayrıca
çubuğun üst kısmıda bir kablo ile zemine bağlanmıştır.
Eğer çubuğun ortasına bir F kuvveti yatay olarak
uygulanırsa; a) Teldeki çeki kuvvetinib) Çubuğa ve
civatayaetkiyen yatay ve dikey kuvvet bileşenlerini
bulunuz.
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 27
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 28
Verilen kuvvetleri ve kuvvet çiftlerini O’ya indirgeyiniz.F1=
2 kN F2= 3 kN M1= 5 kNm M2= 10 kNm
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 29
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 30
Given: The boom OA carries a load P and is supported by 2 cables as shown. the
cable AB is 732 N.
tension in
y
C
B
480 mm
720
mm
500 mm
580 mm
A
x
O
z
960 mm
P
Find: Determine the tension in cable AC, and the magnitude of P if the resultant of P and
forces exerted at A by the two cables must be directed along OA.
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
the
Sayfa 31
 
F  R


 
T AB  T AC  P  R

P   Pˆj

R  R x iˆ
A(0.96, 0, 0)
B(0, 0.58, 0.48)
C(0, 0.5, -0.72)

 
T AB  TAB u AB

 (0  0.96)iˆ  (0.58  0) ˆj  (0.48  0)kˆ 

T AB  732

2
2
2
0
.
96

0
.
58

0
.
48



ˆ
ˆ
ˆ
T AB  576i  348 j  288k

 
T AC  T AC u AC

 (0  0.96)iˆ  (0.5  0) ˆj  (0.72  0)kˆ 

T AC  T AC 

2
2
2
0.96  0.5  0.72



T AC  0.738T AC iˆ  0.384T AC ˆj  0.554TAC kˆ
Substituting in the sum of forces equation and collecting like terms:
(576  0.738TAC )iˆ  (348  0.384T AC  P ) ˆj  (288  0.554T AC )kˆ  R x iˆ
Equating coefficients:
z coefficients:
288  0.554T AC  0
348  0.384(520)  P  0
y coefficients:


T AC  520 N
P  548 N
). Given: The tension in cable AC is 945 N
y
1.8 m
3.6 m
4.5 m
D
C
A
2.7 m
3.9 m
P
B
x
3.6 m
z
Find:
a). Angle between cable AC and the boom AB.
b). Projection of the force in cable AC on AB.
A(3.6,2.7,0)
B(0,0,0)
C(0,3.9,1.8)
a).
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 32

 
 ( AB)( AC ) cos
AB
AC
cos 
ABx AC x  AB y AC y ABz AC z
( AB)( AC )
 3.6(3.6)  (2.7)(1.2)  (0)(1.8)
cos 
4.5(4.2)
  59.05 

 3.6iˆ  2.7 ˆj  0kˆ
AB
AB  4.5

 3.6iˆ  1.2 ˆj  1.8kˆ
AC
AC  4.2
b).

FAC  
 FAC ( AB) cos
AB
FACx ABx  FACy AB y  FACz ABz  FAC on AB ( AB)
 810(3.6)  270(2.7)  405(0)  FAC on AB (4.5)
FAC on AB  486 N


FAC  FAC u AC

  3.6iˆ  1.2 ˆj  1.8kˆ 

FAC  945

4
.
2



FAC  810iˆ  270 ˆj  405kˆ
FAB on AC  FAC cos

Note: FAB on AC  945 cos(59.09 )
FAB on AC  486 N
Öğr. Gör. Dr. Bahattin Kimençe
Sayfa 33