n - Ege Üniversitesi

40100212ø/(5ø0$7(0$7ø.,
DERS NOTLARI
3URI'UgPHU/WIL'H÷LUPHQFL
2006
1.1. Fonksiyon DizileriQGH<DNÕQVDNOÕN
7HULPOHULIRQNVL\RQODUGDQROXúDQGL]LOHUHIRQNVL\RQGL]L
si denir. Bir fonksiyon
dizisi
u1 ( x), u 2 ( x),..., u n ( x ) veya {u n (x)}
úHNLOOHULQGHQ ELUL LOH J|VWHULOLU
(1)
Burada, u n (x) ( n = 1,2,... IRQNVL\RQODUÕ D\QÕ
bir DE|OJHVLQGHWDQÕPOÕYHEHOOL|]HOOLNOHUHVDKLSIRQNVL\RQODUGÕU
(1) Dizisinde x yerine herhangi bir xo ∈ D VD\ÕVÕ\D]ÕOGÕ÷ÕQGD {u n ( xo )}
VD\Õ GL]LVLHOGHHGLOLUYH EXVD\ÕGL]LVLV|]NRQXVX
ÕUDNVDN RODELOLU gUQH÷LQ
VÕUDVÕ\OD
{(−1) } ve
{x } dizisinde
n
x yerine, - YH \D]GÕ÷ÕPÕ]GD,
1
 n  VD\Õ GL]LOHULQL HOGH HGHUL] %XQODUGDQ ELULQFLVL
2 
n
ÕUDNVDNLNHQLNLQFLVL\DNÕQVDNGL]LGLU
7DQÕP
DE|OJHVLQGH\DNÕQVDN\DGD
lim
n→∞
1
= 0 ).
2n
Tüm x ∈ X ve u n (x) ’ler için
u n ( x) < M (n = 1, 2, ...)
RODFDN úHNLOGH EHOOL ELU
M
! VD\ÕVÕ YDUVD GL]LVLQH
X ⊂ D kümesinde
VÕQÕUOÕ GL]L GHQLU +HUKDQJL ELU NPHGH VÕQÕUOÕ ROPD\DQ GL]LOHUH VÕQÕUVÕ] GL]L
GHQLU%LUGL]LQLQVÕQÕUOÕROGX÷XNPHELUNDSDOÕDUDOÕN\DGDVRQOXYH\DVRQVX]
DoÕN\DUÕDoÕNDUDOÕNRODELOLU
gUQH÷LQ
ya da [ 1, ∞ {1 + x } dizisi [n
DUDOÕNODUÕQGD VÕQÕUVÕ]GÕU
NPHVLQGHVÕQÕUOÕGÕU
7DQÕP
@ DUDOÕ÷ÕQGD VÕQÕUOÕ
(M = 2) iken ( − ∞, − 1 ]
 n
sin  dizisi ise (−∞, 0) ∪ (0, ∞ )
 x
M = 1).
Tüm x ∈ X ⊂ D ve n’ler için
u n ( x) < u n +1 ( x)
, {u n (x)} dizisine, XNPHVLQGHDUWDQGL]LGHQLU(÷HU
HúLWVL]OL÷LVD÷ODQÕUVD
u n ( x) > u n+1 ( x )
1
HúLWVL]OL÷LVD÷ODQÕUVD
bu durumda da {u n (x)} dizisine, X kümesinde azalan dizi
denir.
u n ( x) ≤ u n +1 ( x)
HúLWVL]OL÷LQLQVD÷ODQGÕ÷ÕGL]LOHUHD]DOPD\DQ
u n ( x) ≥ u n +1 ( x)
HúLWVL]OL÷LQLQVD÷ODQGÕ÷ÕGL]LOHUHGH
{x } dizis
n
X kümesinde artmayan dizi denir.
LDUDOÕ÷ÕQGDD]DODQLNHQ
gUQH÷LQ
1, ∞ DUDOÕ÷ÕQGDise artan dizidir.
Bir D NPHVLQGHQ DOÕQDQ xo VD\ÕODUÕQGDQ ED]ÕODUÕ LoLQ {u o ( x)} dizisi
\DNÕQVDN\DGDÕUDNVDNRODELOLU(÷HU
ise {u n (x)} dizisine, xo
{u n (x)} dizisi, bir xo
VD\ÕVÕLoLQ\DNÕQVDN
QRNWDVÕQGD \DNÕQVDNWÕU GHQLU
\DNÕQVDNOÕN QRNWDVÕ GHQLU %HQ]HU RODUDN H÷HU
ÕUDNVDN LVH
{u n (x)}
xo VD\ÕVÕQD LVH GL]LQLQ
{u n (x)} dizisi, bir xo
VD\ÕVÕ LoLQ
dizisine, xo QRNWDVÕQGD ÕUDNVDNWÕU GHQLU %X GXUXPGD xo
VD\ÕVÕQD GD GL]LQLQ ÕUDNVDNOÕN QRNWDVÕ GHQLU (÷HU
{u n (x)}
NPHVLQLQ WP QRNWDODUÕQGD \DNÕQVDN ÕUDNVDN LVH
NPHVLQGH\DNÕQVDNÕUDNVDN
(÷HU
dizisi, bir X
{u n (x)}
dizisine, X
dizi denir.
{u n (x)} dizisi, bir X
NPHVLQGH\DNÕQVDNLVHEXGXUXPGD
için lim u ( x) n→∞ n
OLPLWL YDUGÕU YH
bu limit, genel olarak x¶H
, ∀x ∈ X
ED÷OÕ ELU
u(x)
fonksiyonudur. u(x) fonksiyonuna, {u n (x)} dizisinin, X kümesindeki limiti
denir ve
lim u ( x) = u ( x)
n→∞ n
úHNOLQGH \D]ÕOÕU gUQH÷LQ
\DNÕQVDNWÕUYH
{x }
n
GL]LVL DUDOÕ÷ÕQÕQ WP QRNWDODUÕQGD
lim x n = 0 ¶GÕU$\QÕGL]Lx
n→∞
NDUúÕQEXQRNWD
7DQÕP
(2)
QRNWDVÕQGDGD\DNÕQVDNROPDVÕQD
daki limiti 1’dir.
Her x ∈ X ⊂ D
ve keyfi ε > 0
n > no (ε , x) NRúXOXQXVD÷OD\DQWPn’ler için
u n ( x) − u ( x) < ε
2
ve
no (ε , x) > 0 VD\ÕODUÕ
LoLQ
NRúXOX VD÷ODQÕUVD
{u n (x)}
dizisisine, X kümesinGH
\DNÕQVDN GL]L YH
u(x)
fonksiyonuna da bu dizinin limiti denir.
Örnek 1.
 nx 
 dizisinin (−∞, ∞) DoÕNDUDOÕ÷ÕQGDNL\DNÕQVDNOÕ÷ÕQÕLQFHOH\HOLP

1 + n x 
Çözüm.
3D\GDVÕ KLo ELU ]DPDQ ROPD\DFD÷ÕQGDQ GL]LQLQ J
x
\HUGHWDQÕPOÕGÕU
LoLQGL]LQLQVÕIÕUD\DNÕQVDGÕ÷ÕDoÕNWÕU
enel terimi her
(−∞, 0) DUDOÕ÷ÕQGD
 nx 
dizi 
 úHNOLQGH\D]ÕODELOLU%XGXUXPGD
1 − nx 
nx
= −1
n → ∞ 1 − nx
lim
 nx 
olur. Diziyi, (0, ∞) DUDOÕ÷ÕQGDLVH 
 úHNOLQGH\D]DELOHFH÷LPL]GHQ
1 + nx 
lim
n →∞
nx
=1
1 + nx
ROXUùLPGLEXOLPLWOHULOLPLWWDQÕPÕQGDQ\DUDUODQDUDNJ|VWHUHOLP
(−∞, 0)
DUDOÕ÷ÕQGDPXWODNGH÷HUWDQÕPÕQGDQ\DUDUODQÕUVDN
u n ( x) − u ( x) =
HúLWVL]OL÷LQL
nx
nx + 1 − nx
1
1
=
=
<ε
− (−1) =
1+ n x
1 − nx
1 − nx 1 + n x
elde ederiz. Buna göre n >
1− ε
= no (ε , x) NRúXOXQXVD÷OD\DQ WP
εx
n GH÷HUOHUL LoLQ GL]LQLQ KHU WHULPL LOH OLPLW GH÷HUHL RODQ - VD\ÕVÕ DUDVÕQGDNL
IDUNÕQ PXWODN GH÷HUL
ε¶GDQ NoN NDODFD÷ÕQGDQ GL]LQLQ (−∞, 0)
DUDOÕ÷ÕQGDNL
limiti -1’dir. Benzer bir analiz (0, ∞) DUDOÕ÷ÕLoLQ\DSÕODELOLU%XGXUXPGD
u n ( x) − u ( x) =
nx
nx − 1 − nx
1
1
=
=
<ε
−1 =
1+ n x
1 + nx
1 + nx 1 + nx
HúLWVL]OL÷LQLHOGHHGHUL]%XQDJ|UH
n>
1− ε
= no (ε , x) NRúXOXQXVD÷OD\DQ WP
εx
n GH÷HUOHUL LoLQ GL]LQLQ KHU WHULPL LOH OLPLW GH÷HUHL RODQ VD\ÕVÕ DUDVÕQGDNL
3
IDUNÕQ PXWODN GH÷HUL
ε¶GDQ NoN NDODFD÷ÕQGDQ GL]LQLQ (0, ∞ )
DUDOÕ÷ÕQGDNL
limiti 1’dir. Buna göre
− 1, H÷HU x ∈ (−∞,0)
nx

lim
H÷HU x = 0
= 0,
= sign (x)
n →∞ 1 + n x
1,
H÷HU x ∈ (0, ∞)

dir.
 sin( nx) 
Örnek 2. 
 dizisinin (−∞, ∞)  n 
DoÕN DUDOÕ÷ÕQGDNL \DNÕQVDNOÕ÷ÕQÕ
inceleyelim.
Çözüm. sin(nx) ≤ 1 ROGX÷XQGDQ lim u n ( x) = lim
n →∞
n →∞
sin( nx)
= 0 ROXU ùLPGL EXQX
n
OLPLWWDQÕPÕQGDQ\DUDUODQDUDNJHUoHNOH\HOLP
u n ( x) − u ( x) =
n>
HúLWVL]OL÷L
sin( nx) 1
≤ <ε
n
n
1
= nR (ε , x) NRúXOXQX
ε
VD÷OD\DQ
KHU
n
GH÷HUL
LoLQ
geroHNOHQHFH÷LQGHQOLPLW¶GÕU
%X |UQHNWH EXOGX÷XPX]
bulunan no
VD\ÕVÕ KHP
DúD÷ÕGDNLWDQÕPYHU
7DQÕP no VD\ÕVÕ \DOQÕ] ε¶D ED÷OÕ LNHQ |QFHNL |UQHNWH
ε, hem de x¶H
ED÷OÕ LGL
Bu durumla ilgili olarak
ilir.
∀x ∈ X ve keyfi bir ε ! VD\ÕVÕ
LoLQ \DOQÕ]FD
ε ¶D ED÷OÕ ELU
nR (ε ) VD\ÕVÕYDUVDYH n > nR (ε ) NRúXOXVD÷ODQGÕ÷ÕQGD
u n ( x) − u ( x) < ε
HúLWVL]OL÷L VD÷ODQÕ\RUVD
{u n (x)}
G]JQ\DNÕQVD\DQGL]LGH
dizisine, X kümesinde u(x) fonksiyonuna
nir.
(QNoNVWVÕQÕUWDQÕPÕQDJ|UHWP
x ∈ X için
u n ( x) − u ( x) ≤ c n = sup u n ( x) − u ( x)
x∈ X
ROGX÷XQGDQ\XNDUÕGDNLWDQÕPÕHúGH÷HURODUDNúXúHNLOGHGHLIDGHHGHELOLUL]
4
7DQÕPD(÷HU
lim c n = lim sup u n ( x) − u ( x) = 0
n →∞
(3)
n → ∞ x∈ X
ise, {u n (x)} dizisine, X kümesinde u(x IRQNVL\RQXQD G]JQ \DNÕQVD\DQ GL]L
denir. Burada, cnLOHWDQÕPODGÕ÷ÕPÕ]VD\Õ u n ( x ) − u ( x) fonksiyonun maksimum
GH÷HULGLU YH EX GH÷HUL EXOPDN LoLQ
u n ( x ) − u ( x) fonksiyonunun birinci
x de÷HUOHULQLGLNNDWHDOPDPÕ]JHUHNLU
WUHYLQLQVÕIÕUROGX÷X
']JQ\DNÕQVDNOÕ÷ÕQJHRPHWULNRODUDN\RUXPXQHGLU"
Örnek 3. a) u n ( x) = x n − x n +1 , x ∈ [0,1] b) u n ( x) = x 2 +
1
, x ∈ (− ∞, ∞ )
n2
GL]LOHULQLQYHULOHQDUDOÕNODUGDNLG]JQ\DNÕQVDNOÕNODUÕQÕLQFHOH\LQL]
a) ∀x ∈ [0,1] için lim u n ( x) = lim x n − x n+1 ) = (1 − x) lim x n = 0
n→∞
n→ ∞
n→∞
GÕU%XQHGHQOH
lim cn = lim sup u n ( x) − u ( x) = lim sup (1 − x) x n
n→∞
n→∞ x∈[0,1]
olur. g ( x) = (1 − x) x n
n→∞ x∈[0,1]
WDQÕPODPDVÕ\DSDUVDN
g ′( x) = x n −1 [n − (n + 1) x ] = 0
ifadesinden x1 = 0 ve x 2 =
n
1+ n
NULWLNGH÷HUOHULHOGHHGLOLU7DQÕPDUDOÕ÷ÕQGD
n
n n
1
g (0) = 0, g (1) = 0 ve g (
)=
(
) >0
1+ n 1+ n 1+ n
GH÷HUOHULQLGLNNDWHDOÕUVDN
lim c n = lim sup u n ( x) − u ( x) = lim sup (1 − x) x n = lim
n →∞
= lim
n →∞
n → ∞ x∈[0, 1]
n → ∞ x∈[0, 1]
n →∞
n n
1
(
)
1+ n 1+ n
1
1 n
1
1
1
(
) = lim
⋅
= 0⋅ = 0
→
∞
n
1
1 n
e
1+ n
1+ n
1+
lim (
)
→
∞
n
1
n
1+
n
elde edilir. O halde, söz konusu dizi [0,1] DUDOÕ÷ÕQGD G]JQ \DNÕQVDNWÕU YH
OLPLWL¶GÕU
5
Teorem 1 (Diziler için Cauchy ölçütü).
{u n (x)}
dizisinin verilen bir X
NPHVLQGH G]JQ \DNÕQVDN ROPDVÕ LoLQ JHUHN YH \HWHU NRúXO
m∈ N
NH\ILELUVD\ÕROPDN]HUH
∀ε > 0 ve
, ∀x ∈ X için
u n + m ( x) − u n ( x) < ε
(4)
nu gerçekleyen n > nR (ε ) > 0 sa\ÕODUÕQÕQYDUROPDVÕGÕU
NRúXOX
øVSDW
Gereklilik. {u n (x)} dizisi, bir X kümesinde u(xIRQNVL\RQXQDG]JQ\DNÕQVDN
olsun. Bu durumda ∀ε > 0 ve m ∈ N
u n ( x) − u ( x) <
RODFDNúHNLOGH
NH\ILELUVD\ÕROPDN]HUH
∀x ∈ X için
ε
ε
ve u n + m ( x) − u ( x) <
2
2
n > nR (ε ) > 0 VD\ÕODUÕYDUGÕU%XUDGDQ
u n + m ( x) − u n ( x ) = u n + m ( x) − u ( x) + u ( x) − u n ( x) ≤
u n + m ( x) − u ( x) + u n ( x) − u ( x) <
ε ε
+ =ε
2 2
elde ederiz \DQLHúLWVL]OL÷LGR÷UXODQPÕúROXU
Yeterlilik. ∀x ∈ X
LoLQ HúLWVL]OL÷LQLQ VD÷ODQGÕ÷ÕQÕ NDEXO HGLS
dizisinin X kümesinde u(x
IRQNVL\RQXQD
gösterelim. (4 HúLWVL]OL÷L ∀x ∈ X
VD\Õ GL]LVL \DNÕQVDNWÕU
G]JQ
LoLQ JHUoHNOHQGL÷LQGHQ
{u n (x)}
VD\Õ GL]LVLQLQ OLPLW
\DNÕQVDN
{u n (x)}
RODFD÷ÕQÕ
∀x ∈ X için {u n (x)}
nini u(x) olGX÷XQX NDEXO
edelim. HúLWVL]OL÷LQGHQ
u n + m ( x) − u n ( x) = u n + m ( x) − u ( x) + u ( x) − u n ( x) < ε
yazabiliriz.
GR÷UXVX
{u n (x)}
GL]LVL \DNÕQVDN ROGX÷XQGDQ OLPLW GXUXPXQGD GDKD
n > nR (ε ) > 0 NRúXOXQXQVD÷ODQGÕ÷ÕKHUnGH÷HULLoLQ
u n + m ( x) − u ( x) ≅ u n ( x) − u ( x)
RODFD÷ÕQGDQ
u n + m ( x) − u n ( x) = 2 u n ( x) − ( x) < ε
ve buradan da
6
u n ( x) − u ( x) <
ε
<ε
2
\D]DELOLUL] %X HúLWVL]OLN
∀x ∈ X
LoLQ JHUoHNOHQGL÷LQGHQ
{u n (x)}
fonksiyon
dizisinin X kümesinde u(xIRQNVL\RQXQDG]JQ\DNÕQVDGÕ÷ÕDQODúÕOÕU
Teorem 2 (Diziler için Weierstrass ölçütü). {u n (x)} fonksiyon ve pozitif
terimli bir {an`VD\ÕGL]LVLYHULOPLúROVXQ(÷HU
lim a n = 0
(5)
n →∞
ve ∀n ∈ N ve ∀x ∈ X için
u n ( x) − u ( x) ≤ a n
NRúXOODUÕ
VD÷ODQÕ\RUVD
\DNÕQVDNWÕUYHOLPLWLGH
(6)
{u n (x)}
fonksiyon dizisi X kümesinde düzgün
u(x) fonksiyonudur.
øVSDW /LPLW WDQÕPÕ YH ED÷ÕQWÕVÕQD J|UH
∀ε > 0 VD\ÕVÕ LoLQ |÷OH ELU
nR (ε ) > 0 VD\ÕVÕEXOXQDELOLUNL n > nR (ε ) NRúXOXQXVD÷OD\DQKHUnVD\ÕVÕLoLQ
a n = a n < ε ({an`IR]LWLIWHULPOLELUVD\ÕGL]LVLROGX÷XQGDQ)
olur. Bu durumda, n > nR (ε ) NRúXOXQX
VD÷OD\DQ
WP
n’ler için, (6)
HúLWVL]OL÷LQGHQ
u n ( x) − ( x) < ε
yazabiliriz. Bu da bize, {u n (x)} fonksiyon dizisinin X kümesinde düzgün
\DNÕQVDROGX÷XQXYHOLPLWLQLQGH
u(xIRQNVL\RQXROGX÷XQXJ|VWHULU
Örnek 4.
$úD÷ÕGDNLGL]LOHULQG]JQ\DNÕQVDNROGXNODUÕQÕJ|VWHULQL]
 3x + n 2 x 3 
 cos nx 
a) 
b)
;


2 2 
 n 
 1+ n x 
a) u n ( x) =
cos nx
IRQNVL\RQ GL]LVL WP VD\Õ HNVHQLQGH \DQL (− ∞, ∞ ) sonsuz
n
DoÕNDUDOÕ÷ÕQGDWDQÕPOÕGÕUYH
7
u n ( x) − 0 =
ROGX÷XQGDQ
cos nx 1
≤ →0
n
n
 cos nx 


 n 
IRQNVL\RQ GL]LVL UHHO VD\ÕODU NPHVLQGH
u(x) = 0
fonksiyonuna düzgün yDNÕQVDNWÕU
3 x + n 2 x 3 x(1 + n 2 x 2 ) + 2 x
2x
b)
=
= x+
2 2
2 2
1+ n x
1+ n x
1+ n2 x2
ROGX÷XQGDQ
u n ( x) − x =
2x
2x
=
2 2
1+ n x
1+ n2 x2
olur.
(1 − n x ) 2 = 1 + n 2 x 2 − 2n x
|]GHúOL÷LQGHQ\DUDUODQÕUVDN
2n x ≤ 1 + n 2 x 2
RODFD÷ÕQGDQ
u n ( x) − x =
2x
1+ n x
2
2
=
1 2n x
1
≤ →0
n 1+ n2 x2 n
 3x + n 2 x 3 
elde ederiz. O halde 
fonksiyon dizisi
2 2 
 1+ n x 
DUDOÕ÷ÕQGDWDQÕPOÕYH
8\DUÕ
7DQÕP
(− ∞, ∞ )
VRQVX] DoÕN
u(x) = xIRQNVL\RQXQDG]JQ\DNÕQVDNWÕU
E|OJHVLQGH
ELU
{u n (x)}
IRQNVL\RQ
DUDúWÕUÕOÕUNHQ[¶HELUSDUDPHWUHJLELEDNÕODUDN
GL]LVLQLQ
\DNÕQVDNOÕ÷Õ
lim u n ( x) DUDúWÕUÕOÕU
n →∞
 n + ax  n 
Örnek 5. 
  dizisinin limitini bulunuz, ( a ∈ R YH x ∈ (−∞, ∞) ).
 n  
x = 0 veya a
GXUXPXQGDOLPLWLQRODFD÷ÕDoÕNWÕUùLPGL
GXUXPODUÕQÕGLNNDWHDODOÕP
n
n

ax ax 
 n + ax 
lim u n ( x ) = lim 
=
lim
(
1
+
)



n →∞
n →∞
n →∞
n
 n 


olur.
8
ax
= e ax
a ≠ 0 YH x ≠ 0
1.2. Dü]JQ<DNÕQVDN'L]LOHULQg]HOOLNOHUL
1.2.1. Fonksiyon Dizilerinin /LPLWOHULQLQ6UHNOLOL÷L
Bir {u n (x)}
IRQNVL\RQ GL]LVLQLQ KHU WHULPL GL]LQLQ WDQÕPOÕ ROGX÷X DUDOÕNWD
VUHNOL LNHQ OLPLW IRQNVL\RQX V|] NRQXVX DUDOÕNWD VUHNOL ROPD\DELOLU
¶GH LQFHOHGL÷LPL]
Örnek
 nx 
 dizisinin her bir terimi (−∞, ∞) DoÕN DUDOÕ÷ÕQGD

1 + n x 
VUHNOLROPDVÕQDNDUúÕQOLPLWIRQNVL\RQX
− 1, H÷HU x ∈ (−∞,0)
nx

= 0,
lim
H÷HU x = 0
n →∞ 1 + n x
1,
H÷HU x ∈ (0, ∞)

olup, x
QRNWDVÕQGD VUHNVL]GLU (÷HU V|] NRQXVX GL]L\L
(−∞, 0) ya da
(0, ∞ ) DUDOÕNODUÕQGD LQFHOH\HFHN ROXUVDN KHP GL]LQLQ WHULPOHUL KHP GH OLPLW
IRQNVL\RQXEXDUDOÕNODUÕQKHUELULQGHVUHNOLROXUODU
Teorem 1. Terimleri X kümesinde sürekli olan bir {u n (x)} fonksiyon dizisi, bu
araOÕNWDbir u(xIRQNVL\RQXQDG]JQ\DNÕQVDUVDR]DPDQOLPLWIRQNVL\RQXGD
X kümesinde sürekli olur.
øVSDW
{u n (x)} fonksiyon dizisisinin terimleri bir X kümesinde sürekli ve dizi
bir u(xIRQNVL\RQXQDG]JQ\DNÕQVDNROVXQ%XGXUXPGD x, x + ∆x ∈ X için
∆x
\HWHULQFH NoN ROGX÷XQGD
u ( x + ∆x) − u ( x) ’in de yeteri kadar küçük
RODFD÷ÕQÕJ|VWHUHOLP
u ( x + ∆x) − u ( x) = u ( x + ∆x) − u n ( x + ∆x) + u n ( x + ∆x) − u n ( x) + u n ( x) − u ( x) ≤
u n ( x + ∆x) − u ( x + ∆x) + u n ( x + ∆x ) − u n ( x) +
u n ( x) − u ( x)
(1)
u n (x) fonkVL\RQODUÕQÕQ KHU ELUL X kümesinde sürekli ve {u n (x)} fonksiyon
dizisi, u(x IRQNVL\RQXQD G]JQ \DNÕQVDN ROGX÷XQGDQ ∀ε > 0 VD\ÕVÕ LoLQ
|÷OH ELU
nR (ε ) > 0 VD\ÕVÕ EXOXQDELOLU NL n > nR (ε ) NRúXOXQX VD÷OD\DQ KHU n
VD\ÕVÕLoLQ
u n ( x + ∆x ) − u ( x + ∆x ) <
ε
;
3
u n ( x) − u ( x) <
9
ε
3
(2)
HúLWVL]OLNOHUL YDUGÕU ùLPGL EX HúLWVL]OLNOHULQ VD÷ODQGÕ÷Õ
u n (x) IRQNVL\RQX VUHNOL ROGX÷XQGDQ HOH DOÕQDQ ε > 0
DODOÕP %X GXUXPGD
sD\ÕVÕ
LoLQ
|÷OH
n GH÷HUOHULQL GLNNDWH
ELU
δ (ε ) > 0 VD\ÕVÕ
EXOXQDELOLU
NL
EX
GXUXPGD
∆x < δ (ε ) NRúXOXQXVD÷OD\DQWP ∆x ’ler ve x, x + ∆x ∈ X için
u n ( x + ∆x) − u n ( x) <
ε
3
(3)
olur. Böylece
u ( x + ∆x ) − u ( x ) < ε
HOGH HGLOPLú ROXU NL EX GD EL]H
u(x)’in, X kümesinde sürekli bir fonksiyon
ROGX÷XQXJ|VWHULU
 nx 
Örnek 1. 
2 2 
1 + n x 
IRQNVL\RQ GL]LVLQLQ G]JQ \DNÕQVDNOÕ÷ÕQÕ YH OLPLW
IRQNVL\RQXQXQVUHNOLOL÷LQLLQFHOH\LQL]
x = 0 QRNWDVÕQGD dizinin düzgün
DoÕNWÕUùLPGLGH
\DNÕQVDN YH OLPLWLQLQ
de u(x
ROGX÷X
x ≠ 0 GXUXPXQDEDNDOÕP
x
nx
n
lim
= lim
=0
n →∞ 1 + n 2 x 2
n →∞ 1
2
+
x
n2
. Ancak R-{0}
ROGX÷XQGDQGL]LWPUHHOVD\ÕODUGD\DNÕQVDNYHOLPLWLVÕIÕUGÕU
kümesinde
2nx ≤ 1 + n 2 x 2
|]GHúOL÷LQGHQ\DUDUODQÕUVDN
lim c n = lim sup u n ( x) − u ( x) = lim sup
n →∞
n→ ∞ x∈R −{0}
n → ∞ x∈R −{0}
nx
1
= ≠0
2 2
2
1+ n x
 nx 
elde ederiz ki, bu da bize, 
fonksiyon dizisinin R-{0} kümesinde
2 2 
1 + n x 
G]JQ \DNÕQVDN ROPDGÕ÷ÕQÕ J|VWHULU 6|] NRQXVX IRQNVL\RQ GL]LVL UHHO
VD\ÕODUGDG]JQ\DNÕQVDNROPDPPDVÕQDNDUúÕQOLPLWIRQNVL\RQXROD
IRQNVL\RQXUHHOVD\ÕODUGDVUHNOLELUIRQNVL\RQGXU
10
.
n u(x) = 0
.
8\DUÕ
7HRUHP ¶GHNL G]JQ \DNÕQVDNOÕN NRúXOXO
imit fonksiyonunun sürekli
, bir X kümesinde düzgün
ROPDVÕ LoLQ \HWHUOL IDNDW JHUHNOL GH÷LOGLU <DQL
\DNÕQVDN ROPD\DQ
ED]Õ IRQNVL\RQ
GL]LOHULQLQ
,
OLPLW IRQNVL\RQODUÕ WDQÕP
DUDOÕ÷ÕQGDVUHNOLRODELOLU
1.2.2)RQNVL\RQ'L]LOHULQLQ7HULPWHULPøQWHJUDOOHQHELOLUOL÷L
7DQÕP
{u n (x)} dizisi için
x
x
xR
xR
lim ∫ u n (t )Gt = ∫ lim u n (t )Gt
n→∞
(4)
n→∞
ise, {u n (x)} dizisine [xo, x] araOÕ÷ÕQGDWHULPWHULPLQWHJUDOOHQHELOLUGL]LGHQLU
Teorem 2. Terimleri [a, b@ DUDOÕ÷ÕQGD VUHNOL RODQ IRQNVL\RQODUGDQ ROXúDQ ELU
{un (x)}
GL]LVL EX DUDOÕNWD
u(x IRQNVL\RQXQD G]JQ \DNÕQVDUVD R ]DPDQ
xR , x ∈ [a, b] olmak üzere,
x

 x
u
(
t
)
G
t
dizisi
de
[a,
b
@DUDOÕ÷ÕQGD

∫ n
∫ u(t )Gt fonksiyonuna düzgün

 xR
xR
\DNÕQVDU
øVSDW
[a, b@ DUDOÕ÷ÕQGD {u n (x)} dizisi u(x IRQNVL\RQXQD G]JQ \DNÕQVDN
ROGX÷XQGDQ
∀ε > 0 VD\ÕVÕ LoLQ |÷OH ELU
nR (ε ) > 0 VD\ÕVÕ EXOXQDELOLU NL
n > nR (ε ) NRúXOXQXVD÷OD\DQKHUnVD\ÕVÕYHWP x ∈ [a, b] için
u n ( x) − ( x) <
ε
b−a
HúLWVL]OL÷L VD÷ODQÕU 7P
x
Teorem 1’e göre
u n (x) ’ler ve u (x) , [a, b@¶GH VUHNOL ROGX÷XQGDQ
∫ un (t )Gt ve
xR
DOÕUVDNWP
(5)
x
∫ u(t )Gt
LQWHJUDOOHULYDUGÕUHúLWOL÷LQLGLNNDWH
xR
n > nR (ε ) ve tüm x ∈ [a, b ] için
x
x
xR
xR
∫ un (t )Gt − ∫ u(t )Gt
IDUNÕQÕGH÷HUO
endirelim.
11
x
x
xR
xR
∫ un (t )Gt − ∫ u(t )Gt =
x
∫ [u (t ) − u(t )]Gt ≤
n
xR
x
∫u
n
(t ) − u (t ) Gt ≤
xR
ε
ε
Gt ≤
( x − xR ) ≤ ε
∫
b−a x
b−a
x
R

 x
elde ederiz. Buna göre,  ∫ u n (t )Gt  dizisinin limiti

 xR
%XQDJ|UH7HRUHPJHUH÷LQFH
x
lim ∫ u n (t )Gt =
n→∞
xR
x
∫
x
∫ u(t )Gt
fonksiyonudur.
xR
xR , x ∈ [a, b] olmak üzere,
x
u (t )Gt =
xR
∫ lim u (t )Gt
xR
n→∞
n
(6)
\D]DELOLUL] HúLWOL÷L EL]H WHULPOHUL EHOOL ELU DUDOÕNWD VUHNOL IRQNVL\RQODUGDQ
ROXúDQELUGL]LQLQWHULPWHULPLQWHJUDOOHQHELOHFH÷LQLLIDGHHGHU
8\DUÕ
verilen
Bir fonksiyon dizisinin terim terim integrallenebilmesi için bu dizinin
DUDOÕNWD G]JQ \DNÕQVDPDVÕ \HWHUOLGLU IDNDW JHUHNOL GH÷LOGLU
Yani,
G]JQ \DNÕQVDN ROPD\ÕS GD \DOQÕ]FD \DNÕQVDN RODQ ED]Õ GL]LOHU GH LOJLOL
DUDOÕNWDWHULPWHULPLQWHJUDOOHQHELOLU
{ } diz
Örnek 2. x n
olabilirler. Buna bir örnek verelim.
LVLQLQ > @ DUDOÕ÷ÕQGD G]JQ \DNÕQVDN YH WHULP WHULP
LQWHJUDOOHQHELOLUROXSROPDGÕ÷ÕQÕLQFHOH\LQL]
0, 0 ≤ x < 1
Çözüm. lim x n = 
n→∞
1 x = 1
ROGX÷XQGDQ GL]L > @ DUDOÕ÷ÕQGD \DNÕQVDNWÕU IDNDW G]JQ \DNÕQVDN GH÷LOGLU
(neden ?). Bununla birlikte,
1
1
1n+1 − 0 n+1
=0
n→∞
Q +
lim ∫ u n (t )Gt = lim ∫ t n Gt = lim
n→∞
0
n→ ∞
0
ve
12
1
∫
0
1

 1−ε
lim u n (t )Gt = lim ∫ lim t n Gt + ∫ lim t n Gt  = 0
ε →0
n→ ∞
n→ ∞
n→ ∞
1

0
ROGX÷XQGDQ
1
1
0
0
lim ∫ un (t )Gt = ∫ lim un (t )Gt
n →∞
n→∞
{ }
elde edilir. Buna göre x n
GL]LVL>@DUDOÕ÷ÕQGDG]JQ\DNÕQVDNROPDPDNOD
birlikte, terim terim integrallenebilir bir dizidir.
1.2.3. Fonksiyon Dizilerinin Terim terim 7UHYOHQHELOLUOL÷L
7DQÕP%LUDUDOÕNWD
{u n (x)} dizisi için
lim u n′ ( x) = ( lim u n ( x) )′
n→∞
(7)
n→∞
oluyorsa, {u n (x)} GL]LVLQH V|] NRQXVX DUDOÕNWD WHULP WHULP WUHYOHQHELOLU GL]L
denir.
Teorem 3. Terimleri [a, b] DUDOÕ÷ÕQGD türevlenebilen IRQNVL\RQODUGDQ ROXúDQ
bir {u n (x)} GL]LVL EX DUDOÕNWD u(x IRQNVL\RQXQD \DNÕQVÕ\RU YH {u ′n (x)} türev
diziVL
D\QÕ DUDOÕNWD ELU
v(x
IRQNVL\RQXQD G]JQ \DNÕQVÕ\RU
sa, o zaman,
u ′( x) = v( x) dir, yani
v ( x ) = lim u n′ ( x ) = ( lim u n ( x ) ) ′ = u ′ ( x )
n→ ∞
n→ ∞
(8)
dir.
øVSDW
{u ′n (x)} türev dizisi, [a, b
ROGX÷XQGDQ7HRUHP¶\HJ|UH
x
lim ∫ u n′ (t )Gt =
n→∞
xR
x
∫
xR
v(xIRQNVL\RQXQDG]JQ\DNÕQVDN
@DUDOÕ÷ÕQGD
, xR , x ∈ [a, b] olmak üzere,
x
lim u ′n (t )Gt = ∫ v(t )Gt
n→ ∞
(9)
xR
yani,
x
lim[u n ( x) − u n ( xR )] = u ( x) − u ( xR ) = ∫ v(t )Gt
n→∞
xR
13
(10)
\D]DELOLUL]HúLWOL÷LQLQWUHYLDOÕQÕUVD
u ′( x) = v ( x) = lim u n′ ( x)
n→∞
elde edilir.

1 
Örnek 3.  x 2 + 2  dizisinin a) (− ∞, ∞ ); b) (0, ∞) DUDOÕNODUÕQGDWHULPWHULP
n 

intHJUDOOHQHELOLUOL÷LQLYHWUHYOHQHELOLUOL÷LQLLQFHOH\LQL]
Çözüm a) Dizinin terimleri (− ∞, ∞ )DUDOÕ÷ÕQGDVUHNOLYHJHQHOWHULPLQOLPLWL
x2 +
lim u n ( x ) = lim
n →∞
n→∞
1
= x
n2
GLU$\UÕFD
lim cn = lim sup u n ( x) − u ( x ) = lim sup
n→∞
n→∞ x∈( −∞ ,∞ )
n→∞ x∈( −∞ ,∞ )
1
lim sup
n→∞ x∈( −∞ ,∞ )
ROGX÷XQGDQ
n
2
1
x + 2 +x
n
x2 +
1
−x
n2
=0
2
 2 1 
 x + 2  dizisi (− ∞, ∞ ) DUDOÕ÷ÕQGDG]JQ\DNÕQVDNWÕUYHOLPLWL
n 

de u ( x) = x fonksiyonudur. Buna göre dizi terim terim integrallenebilirdir ve
xR , x ∈ (− ∞, ∞ ) olmak üzere,
x
lim ∫
n→∞
xR
1
t + 2 Gt =
n
2
x
∫
xR
x
1
lim t + 2 Gt = ∫ t Gt
n→∞
n
xR
2
dir. ùLPGLGHGL]LQLQWUHYOHQHELOLUROXSROPDGÕ÷ÕQÕDUDúWÕUDOÕP
lim u n′ ( x) =
n→∞
1, x > 0

= 0, x = 0
1
x 2 + 2 − 1 x < 0
n
x
14
ROGX÷XQGDQWUHYGL]LVLG]JQ\DNÕQVDNGH÷LOGLU2KDOGH
(− ∞, ∞ )
 2 1 
 x + 2  dizisi,
n 

DUDOÕ÷ÕQGDWHULPWHULPWUHYOHQHELOLUGL]LGH÷LOGLU
b) Dizinin (0, ∞) DUDOÕ÷ÕQGD WHULP WHULP LQWHJUDOOHQHELOLU ROGX÷X DoÕNWÕU
'L]LQLQ EX DUDOÕNWD WHULP WHULP WUHYOHQHELOLU ROGX÷XQX J|VWHUPHN LoLQ WUHY
GL]LVLQLQ D\QÕ DUDOÕNWD G]JQ \DNÕQVDN ROGX÷XQX J|VWHUPHPL] JHUHNLU
DUDOÕ÷ÕQGD
lim u ′n ( x) = 1 ’dir.
n→∞
(0, ∞)
<DQLV|]NRQXVXDUDOÕNWDWUHYGL]LVL\DNÕQVDNWÕU
ùLPGL\DNÕQVDNOÕ÷ÕQG]JQROXSROPDGÕ÷ÕQÕDUDúWÕUDOÕP
lim cn = lim sup u n ( x) − u ( x) = lim sup =
n→∞
n→∞ x∈( −∞ ,∞ )
n→∞ x∈( −∞ ,∞ )
x − x2 +
= lim sup
n→∞ x∈( −∞ ,∞ )
≤ lim
n→∞
n2
x2 +
1
n 2 = lim sup
1
n2
n→∞ x∈( −∞ ,∞ )
n2
x
1
x + 2
n
−1 =
2
1
≤
1 
1 
2
2
x + 2 x + x + 2 
n 
n 
1
=0
1 
1 
1 + 2 x + 1 + 2 
n 
n 
dir. O halde, türev dizisi, (0, ∞) DUDOÕ÷ÕQGD G]JQ \DNÕQVDNWÕU YH EX QHGHQOH
 2 1 
 x + 2  dizisi, (0, ∞) DUDOÕ÷ÕQGDWHULPWHULPtürevlenebilir dizidir.
n 

)RQNVL\RQ6HULOHULQGH<DNÕQVDNOÕN
7HULPOHUL
KHUKDQJL
ELU
E|OJHGH
WDQÕPOÕ
IRQNVL\RQODUGDQ
ROXúDQ
VHUL\H
fonksiyon serisi denir ve
u1 ( x) + u 2 ( x) + ... + u n ( x) + ... veya
∞
∑ u n ( x)
n =1
15
(1)
D E|OJHVLQGH WDQÕPOÕ YH
x yerine belli bir xo VD\ÕVÕ
úHNOLQGH J|VWHULOLU 6HULQLQ WHULPOHULQLQ KHUKDQJL ELU
EHOOL |]HOOLNOHUH VDKLS ROGXNODUÕQÕ YDUVD\DOÕP
∞
\D]ÕOGÕ÷ÕQGD VHULVLQLQ
∑ u n ( xo )
VD\Õ VHULVLQH G|QúHFH÷L DoÕNWÕU (÷HU
n =1
∞
∑ u n ( xo )
∞
VD\Õ VHULVL \DNÕQVDN LVH
n =1
∑ u n ( x)
fonksiyon serisine, xo QRNWDVÕQGD
n =1
xoQRNWDVÕQDGDVHULQLQELU\DNÕQVDNOÕNQRNWDVÕGHQLU(÷HUELU
fonksiyon serisi herhangi bir X ⊆ D NPHVLQLQ WP QRNWDODUÕQGD \DNÕQVDN
oluyorsa, seriye, XNPHVLQGH\DNÕQVDNVHULGHQLU
(÷HU IRQNVL\RQ VHULVL ELU X NPHVLQGH \DNÕQVDN YH EX NPHQLQ
GÕúÕQGDNL KHU QRNWDGD ÕUDNVDN LVH X NPHVLQH \D GD DUDOÕ÷ÕQD VHULQLQ
\DNÕQVDNVHULYH
∞
\DNÕQVDNOÕN NPHVL \D GD \DNÕQVDNOÕNDUDOÕ÷Õ GHQLU gUQH÷LQ ∑ x n fonksiyon
n =1
serisi, x < 1 x
NRúXOXQX VD÷OD\DQ WP
GH÷HUOHUL LoLQ VRQVX] D]DODQ ELU
JHRPHWULN GL]LQLQ WRSODPÕ ROGX÷XQGDQ \DNÕQVDNWÕU
x ≥ 1 NRúOXQX VD÷Oayan x
∞
GH÷HUOHULLoLQVHVHULÕUDNVDNWÕU2KDOGH
∑ xn
VHULVLQLQ\DNÕQVDNOÕNNPHVL
-1,
n =1
DUDOÕ÷ÕGÕU
Bir fonksiyon serisi x¶LQ KLo ELU GH÷HUL LoLQ \DNÕQVDN ROPD\DELOLU
∞
%|\OHELUVHULQLQ\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ÷ÕERúNPHGLUgUQH÷LQ
∑ (1 + x) n serisinin
n =1
\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ÷ÕERúNPHGLUdQN
7DQÕP
1. (1) serisinin ilk n (n
∀x ∈ R için lim (1 + x) n ≠ 0 ¶GÕU
n →∞
WHULPLQLQ WRSODPÕQDVHULQLQ
n NÕVPL
WRSODPÕGHQLUYH
sn ( x) = u1 ( x) + u 2 ( x) + ... + u n ( x)
úHNOLQGH J|VWHULOLU $\UÕFD
{sn (x)}
IRQNVL\RQ GL]LVLQH GH VHULQLQ NÕVPL
toplamlar dizisi denir.
2. Herhangi bir X ⊆ D kümesinde,
7DQÕP
∞
∑ u n ( x)
n =1
∞
{sn (x)}
NÕVPL WRSODPODU GL]LVL \DNÕQVDN LVH
∑ u n ( x)
n =1
\DNÕQVDNVHULGHQLU
fonksiyon serisinin
serisine, X kümesinde
x ∈ X ROPDN]HUHNÕVPLWRSODPODUGL]LVLQLQ
lim sn ( x) = s ( x)
n→∞
16
OLPLWLQHGHVHULQLQWRSODPÕGHQLU
7DQÕP
3.(÷HUVHULVL\DNÕQVDNLVHNÕVPLWRSODPWDQÕPÕQGDQ\DUDUODQDUDN
s( x) = u1 ( x) + u 2 ( x) + ... + u n ( x) + ... = sn ( x) + Rn ( x)
biçiminde yazabiliriz. Burada,
Rn ( x) = u n +1 ( x) + u n + 2 ( x) + ... =
∞
∑
u k ( x)
k = n +1
ROXSVHULVLQLQNDODQWHULPLRODUDNDGODQGÕUÕOÕUVHULVLQLQ\DNÕQVDNROPDVÕ
durumunda
lim Rn ( x) = 0
n →∞
olur. Bu durumda s(xIRQNVL\RQXVHUL\HDoÕOPÕúWÕUGHQLU
Not: (÷HU ELU s(xIRQNVL\RQXQX WHULPOHULDUGDUGD LúDUHW GH÷LúWLUHQ ELUVHULQLQ
ilk n terimi ile temsil edersek, \DSPÕú RODFD÷ÕPÕ] KDWD n+1). terimden küçük
ROXU%DúNDELUGH÷LúOHWHULPOHULDUGDUGDLúDUHWGH÷LúWLUHQVHULOHUGH
Rn ( x) < u n +1 ( x)
dir.
7DQÕP
∞
∑ u n ( x)
4.
serisi, bir
X ⊆ D
NPHVLQGH \DNÕQVDN ROGX÷XQGD
n =1
∞
∑ u n ( x)
serisine, X NPHVLQGH PXWODN \DNÕQVDN VHUL GHQLU 6D\Õ VHULOHULQGH
n =1
ROGX÷X JLEL PXWODN \DNÕQVDN IRQNVL\RQ VHULOHUL GH D\QÕ ]DPDQGD \DNÕQVDNWÕU
%XQXQ WHUVL GR÷UX GH÷LOGLU <DQL \DNÕQVDN RODQ ELU VHUL D\QÕ ]DPDQGD PXWODN
\DNÕQVDNROPD\DELOLU%XQXELU|UQHNOHJ|VWHUHOLP
Örnek 1.
olup,
∞
xn
∑n
n =1
VHULVLQLGLNNDWH DODOÕP
-1,
DUDOÕ÷ÕQGD
x < 1 ve
x
n
n
∞
∑ xn
<x
∞
JHRPHWULN VHULVL PXWODN \DNÕQVDN ROGX÷XQGDQ E|\OHFH
n =1
∑ xn
n =1
17
n
∞
JHRPHWULNVHULVL\DNÕQVDNWÕU
seri,
xn
∑n
n =1
x = -QRNWDVÕQGDLVH
VHULVLGH\DNÕQVDNWÕU
∞
(−1) n
∑ n
n =1
O halde,
ELoLPLQGHLúDUHWLQLDUGDUGDGH÷LúWLUHQELUVHULGLUYH\DNÕQVDNWÕU
∞
xn
serisi [− 1, 1)DUDOÕ÷ÕQGD\DNÕQVDNWÕU+DOEXNLx = -QRNWDVÕQGD
n
n =1
∑
∞
PXWODN \DNÕQVDN GH÷LOGLU
Çünkü bu durumda
∞
(−1) n
1
=
∑ n ∑ n harmonik
n =1
n =1
VHULVLHOGHHGLOLUYHKDUPRQLNVHULÕUDNVDNWÕU
2 KDOGH |]HWOH\HFHN ROXUVDN PXWODN \DNÕQVDN VHULOHU D\QÕ ]DPQGD \DNÕQVDN
VHULOHULNHQ\DNÕQVDNVHULOHUD\QÕ]DPDQGDPXWODN\DNÕQVDNROPD\DELOLUOHU
7DQÕP
∞
4.
∑ un ( x) serisi, bir X ⊆ D NPHVLQGH \DNÕQVDN LNHQ
n =1
∞
∑ u n ( x)
n =1
∞
VHULVLÕUDNVDNROX\RULVH
∑ un ( x) serisine,
XNPHVLQGHNRúXOOX\DNÕQVDNVHUL
n =1
∞
GHQLU %XQD J|UH \XNDUÕGD LQFHOHGL÷LPL]L
PXWODN\DNÕQVDN
Örnek 2. a)
[− 1, 1)
∞
∑
xn
n =13
n
DUDOÕ÷ÕQGD
DUDOÕ÷ÕQGDLVHNRúXOOX\DNÕQVDNELUVHULGLU
; b)
n
xn
∑ n serisi, (- n =1
∞
∑ n 2e nx ;
c)
n =1
∞
nn
∑
x n
n=1 (1 + e )
VHULOHULQLQ \DNÕQVDNOÕN
DUDOÕ÷ÕQÕYH\DNÕQVDNOÕNWUQEHOLUOH\LQL]
Çözüm a)6HULQLQ\DNÕQVDNRODELOPHVLLoLQG¶$OHPEHUW|OoWQHJ|UH
u n +1
<1
n → ∞ un
lim
NRúXOXVD÷ODQPDOÕGÕU%XQDJ|UH
x n +1
lim
n →∞
3n +1 (n + 1)
x
n
n
<1
n → ∞ 3( n + 1)
= lim x
3n n
18
x
n
= <1
3
n → ∞ 3( n + 1)
⇒ x lim
⇒ x <3
elde edilir. O halde seri, x < 3 GXUXPXQGD \DNÕQVDN x > 3 durumunda ise
ÕUDNVDNWÕUx=3 durumunda
∞
xn
∞
1
∑ 3n n ∑ n
=
n =1
n =1
ROXUYHVHULÕUDNVDNWÕU
∞
xn
x=-3 durumunda ise
∞
(−1) n
alterne serisi elde edilir ve genel teULPL VÕIÕUD JLWWL÷LQGHQ
n
n =1
∑ 3n n = ∑
n =1
∞
\DNÕQVDNWÕU 6RQXo RODUDN
\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ÷Õ
∑
xn
n =13
n
[− 3, 3)’tür.
VHULVLQLQ \DNÕQVDNOÕN \DUÕoDSÕ YH
n
b) Serinin genel terimi u n ( x) = n 2 e nx olup, (−∞, ∞ ) DUDOÕ÷ÕQGD WDQÕPOÕ YH
daima pozitiftir. d’Alembert ölçütüne göre
u n +1
(n + 1) 2 e ( n +1) x
(n + 1) 2
= lim
= e x lim
= ex <1
2 nx
2
n → ∞ un
n→∞
n
→
∞
n e
n
lim
ve buradan da x < 0 elde ederiz. Buna göre seri (−∞, 0) DUDOÕ÷ÕQGD \DNÕQVDN
VHUL
[0, ∞ )
SR]LWLI
WHULPOL
ROGX÷XQGDQ
DUDOÕ÷ÕQGDLVHÕUDNVDNWÕU6HUL
D\QÕ
]DPDQGD
PXWODN
\DNÕQVDNWÕU
x = 0 ¶GDQLoLQÕUDNVDNWÕU"
c)6HULSR]LWLIWHULPOLGLU&DXFK\|OoWQX\JXOD\DOÕP
lim n u n ( x) = lim n
n→∞
n→∞
nn
n
= lim
=∞
x n
n→∞ 1 + e x
(1 + e )
ROGX÷XQGDQVHULÕUDNVDNWÕU
Örnek 3. a)
∞
n
(−1)n−1
b)
;
∑
ln x
x n
n=1 n
n =1 (1 + e )
∞
∑
\DNÕQVDNOÕNWUQEHOLUOH\LQL]
19
VHULOHULQLQ \DNÕQVDNOÕN DUDOÕ÷ÕQÕ YH
Çözüm a) Seri, (0, ∞) DUDOÕ÷ÕQGD WDQÕPOÕ RODQ YH WHULPOHUL DUG DUGÕQD LúDUHW
GH÷LúWLUHQ ELU VHULGLU %X QHGHQOH RQXQ WHULPOHULQLQ PXWODN GH÷HUOHULQGHQ
ROXúDQ
∞
∑
(−1) n −1
n
n =1
ln x
=
∞
1
∑ nln x
n =1
VHULVLQLGLNNDWHDODOÕP%XUDGD
∞
∑
(−1) n −1
n
n =1
ln x
=
∞
p = ln x WDQÕPODPDVÕQÕ\DSDUVDN
1
∑ np
n =1
p > 1 ROPDVÕ
JHUHNWL÷LQL ELOL\RUX] %XQD J|UH p serisi, ln x > 1 ya da x > e durumunda
\DNÕQVDN (0, e ]GXUXPXQGD GD ÕUDNVDNWÕU 2 KDOGH EL]LP RULMLQDl serimiz de
(e, ∞ ) DUDOÕ÷ÕQGD PXWODN \DNÕQVDN ROXU ùLPGL VHULPL]LQ (0, e] DUDOÕ÷ÕQGD
NRúXOOX\DNÕQVDNROXSROPDGÕ÷ÕQÕDUDúWÕUDOÕP ln x fonksiyonu x<1 için negatif,
x>1 için pozitiftir. Bu nedenle önce (0, 1] DUDOÕ÷ÕQGD LQFHOH\HOLP x ∈ (0, 1] ve
ln x ≤ 0 ROGX÷XQdan
p serisini elde ederiz. p
(−1) n −1
lim
n →∞
n ln x
VHULVLQLQ \DNÕQVDN RODELOPHVL LoLQ
≠0
ROXU%XGXUXPGDVHULQLQJHQHOWHULPLVÕIÕUDJLWPHGL÷LLoLQÕUDNVDNWÕU
(1, e]
ln x > 0 ROGX÷XQGDQ WHULPOHULQLQ LúDUHWL DUG DUGÕQD
GH÷LúHQELUVHULLOHNDUúÕNDUúÕ\DNDOÕUÕ]%X serinin genel terimi için
lim
DUDOÕ÷ÕQGD LVH
n →∞
(−1) n −1
n ln x
=0
(−1)n−1
fonksiyon serisi (1, ∞ )
ln x
n =1 n
(1, e] DUDOÕ÷ÕQGD NRúXOOX \DNÕQVDN (e, ∞ ) aUDOÕ÷ÕQGD LVH
∞
RODFD÷ÕQGDQ VHUL \DNÕQVDNWÕU %XQD J|UH
DUDOÕ÷ÕQGD \DNÕQVDN
∑
PXWODN\DNÕQVDNWÕU
1.4)RQNVL\RQ6HULOHULQGH']JQ<DNÕQVDNOÕN
Terimleri herhangi bir X ⊆ D E|OJHVLQGHWDQÕPOÕRODQ
u1 ( x) + u 2 ( x) + ... + u n ( x) + ...
(1)
IRQNVL\RQVHULVLQLQNÕVPLWRSODPODUGL]LVL
20
{sn (x)}
sn ( x) = u1 ( x) + u 2 ( x) + ... + u n ( x )
(2)
olsun.
7DQÕP .
.ÕVPL WRSODPODU GL]LVL KHUKDQJL ELU
X ⊆ D kümesinde düzgün
\DNÕQVDNRODQIRQNVL\RQVHULVLQHEXNPHGHG]JQ\DNÕQVDNVHULGHQLU7DQÕP
JHUH÷L
DY
sn ( x ) → s ( x )
(x ∈ X )
(3)
ise
s( x) = u1 ( x) + u 2 ( x) + ... + u n ( x) + ...
(x ∈ X )
(4)
ROXU.DODQWHULPWDQÕPÕQÕGDNXOODQDUDNVRQHúLWOL÷L
s( x) = sn ( x) + Rn ( x)
(5)
úHNOLQGH\D]DELOLUL]%XQDJ|UHLIDGHVL\HULQHRQXQODGHQNRODQ
DY
( x ∈ X ) yani lim sup Rn ( x) = 0
Rn ( x) → 0
n→∞
(x ∈ X )
(6)
LIDGHVLQL \D]DELOLUL] 2 KDOGH G]JQ \DNÕQVDN ELU IRQNVL\RQ VHULVLQLQ NDODQ
WHULPL V|]NRQXVX E|OJHGH VÕIÕUD G]JQ \DNÕQVDU /LPLW WDQÕPÕ NXOODQÕODUDN
G]JQ\DNÕQVDNOÕ÷ÕQWDQÕPÕDúD÷ÕGDNLJLELGHYHULOHELOLU
7DQÕPD
. Keyfi bir ε > 0 VD\ÕVÕQDNDUúÕOÕN no (ε , x) > 0 olmak üzere, ∀x ∈ X
için,
s( x) − sn ( x) = Rn ( x) < ε
HúLWVL]OL÷LVD÷ODQDFDNúHNLOGH
(7)
n > nR (ε ) VD\ÕODUÕEXOXQDELOL\RUVDVHULVLQH X
kümesinde düzgüQ\DNÕQVDNIRQNVL\RQVHULVL ve s(x)’e de serinin limiti denir.
Örnek 1. a)
∞
(−1) n
∑n+
n=1
1+ x
2
; b) ( x 2 − 1) + ( x 4 − x 2 ) + ... + ( x 2 n − x 2 n−2 ) + ...
6HULOHULQLQG]JQ\DNÕQVDNOÕNODUÕQÕDUDúWÕUÕQÕ]
Çözüm a) Seri (−∞, ∞) DUDOÕ÷ÕQGDWDQÕPOÕYHVUHNOLROXSDUGDUGÕQDLúDUHW
GH÷LúWLUHQWHULPOHUHVDKLSWLU%XQHGHQOHNDODQWHULPLLoLQ
21
Rn ( x) ≤ u n+1 ( x) =
1
n +1+ 1+ x
2
≤
1
, x ∈ (−∞, ∞)
n+2
olur. Buna göre,
lim sup Rn ( x) = lim
n→∞
n→∞
1
= 0, x ∈ (−∞, ∞)
n+2
HOGHHGHUL]2KDOGHNDODQWHULPVÕIÕUDG]JQ\DNÕQVDGÕ÷ÕQGDQV|]NRQXVXVHUL
(−∞, ∞) DUDOÕ÷ÕQGDG]JQ\DNÕQVDNWÕU
b) Seri (−∞, ∞) DUDOÕ÷ÕQGDWDQÕPOÕYHVUHNOLROXSnNÕVPLWRSODPÕ
sn ( x) = ( x 2 − 1) + ( x 4 − x 2 ) + ... + ( x 2 n − x 2 n−2 ) = x 2 n − 1
dir. x > 1 LoLQVHULQLQÕUDNVDNROGX÷X x ≤ 1 durumunda ise
lim sn ( x) = lim( x
n→∞
n→ ∞
2n
0, H÷HU x = −1,

− 1) = − 1, H÷HU x < 1,
0, H÷HU x = +1

oldu÷X DoÕNWÕU %XQD J|UH V|] NRQXVX VHUL [− 1, 1] DUDOÕ÷ÕQGD \DNÕQVDN YH
WRSODPÕGD
0, H÷HU x = −1,

s( x) = − 1, H÷HU x < 1,
0, H÷HU x = +1

dir. Serinin limiti, [− 1, 1] DUDOÕ÷ÕQGD VUHNOL ROPDGÕ÷ÕQGDQ VHUL V|] NRQXVX
DUDOÕNWDG]JQ\DNÕQVDNGH÷LOGLU
DüzJQ \DNÕQVDNOÕ÷ÕQ WDQÕPÕ YH \XNDUÕGDNL |UQHN GLNNDWH DOÕQDUDN YHULOHQ ELU
DUDOÕNWD \DNÕQVDN RODQ ELU IRQNVL\RQ VHULVLQLQ EX DUDOÕNWD G]JQ \DNÕQVDN
ROPD\DELOHFH÷LQL EHOLUWHOLP ']JQ \DNÕQVDN VHULOHU LVH D\QÕ ]DPDQGD
\DNÕQVDNWÕUODU
Teorem 1 (Cauchy ölçütü).
∞
∑ u n ( x)
serisinin herhangi bir X kümesinde
n =1
G]JQ \DNÕQVDN ROPDVÕ LoLQ JHUHN YH \HWHU NRúXO
VHoLOHQVD\ÕODUROPDN]HUH
∀x ∈ X için
22
ε > 0 ve m ∈ N keyfi
sn + m ( x ) − sn ( x ) =
n+m
∑u
HúLWVL]OL÷LVD÷ODQDFDNúHNLOGH
7DQÕP (÷HU
k
( x) < ε
(8)
k = n +1
n > n0 (ε ) > 0 VD\ÕODUÕQÕQYDURODELOPHVLGLU
. Herhangi bir X NPHVLQGH WDQÕPOÕ
∞
∑ u n ( x)
serisini GLNNDWH DODOÕP
n =1
∀n ∈ N için
u n ( x) < an
(9)
∞
n
NRúXOX VD÷OD DFDN úHNLOGH SR]LWLI WHULPOL \DNÕQVDN
bir
∑a
n VD\Õ VHULVL
n=1
∞
∞
∑ un ( x) serisine X
bulunabilirse, o zaman
NPHVLQGHVÕQÕUODQDQVHULYH
∑a
n
n=1
n =1
\DNÕQVDNVD\ÕVHULVLQHGHRQXQVÕQÕUOD\DQÕGHQLU
∀n ∈ N
gUQH÷LQ
için
sin x
1
< 2
2
2
n + x +1 n
∞
ROGX÷XQGDQ
∑n
n =1
2
sin x
serisi
+ x2 + 1
∞
1
VÕQÕUODQDQGÕUYH ∑
2
n =1 n
\DNÕQVDN
serisi deRQXQVÕQÕUOD\DQÕGÕU
Teorem 2. (Weierstrass ölçütü)
+HUKDQJL ELU NPHGH VÕQÕUO
anan seri, o
NPHGHPXWODNYHG]JQ\DNÕQVDNWÕU
øVSDW
∞
∑ u n ( x)
.
serisinin bir X NPHVLQGH VÕQÕUODQDQ ROGX÷XQX NDEXO HGHOLP
n =1
∞
%X GXUXPGD NRúXOX VD÷ODQDFDN úHNLOGH ELU ∑a
n VD\Õ VHULVL YDUGÕU %XQD
n=1
∞
J|UH NDUúÕODúWÕUPD |OoW JHUH÷LQFH
∑u
n
( x) VHULVL \DNÕQVDNWÕU %DúND ELU
n=1
,
GH÷LúOH
∞
∑ u n ( x)
fonksiyon serisi, X kümesinde
,
PXWODN \DNÕQVDNWÕU ùLPGL
n =1
V|] NRQXVX VHULQLQ G]JQ \DNÕQVDN RODFD÷ÕQÕ J|VWHUHOLP (÷HU NRúXOX
VD÷ODQÕ\RUVDNH\ILE
sn +m − sn =
ir m ∈ N VD\ÕVÕYH ∀x ∈ X için
n +m
n+ m
n +m
∞
k = n+1
k = n+1
k = n+1
k = n+1
∑ u k ( x) ≤
∑ uk ( x) < ∑ ak < ∑ ak = Rn
23
(10)
∞
∑ an VD\Õ VHULVLQLQ NDODQ WHULPLGLU YH
yazabiliriz. Burada Rn,
n=1
\DNÕQVDNROGX÷XQGDQNH\ILELU
∞
∑a
n
serisi
n =1
ε > 0 VD\ÕVÕLoLQ|\OHELU n0 (ε ) > 0 VD\ÕVÕYDUGÕU
ki, n > n0 (ε ) NRúXOXQX VD÷OD\DQ WP n’ler için
∞
∑a
k
= Rn < ε VD÷ODQÕU O
k = n +1
halde,
sn +m − sn =
n +m
∑u
k
( x) < ε
k = n+1
∞
GÕU
ve Cauchy ölçütüne göre
∑ un ( x) serisi, X
NPHVLQGHG]JQ\DNÕQVDNWÕU
n =1
Örnek 2.
∞
x2
∑
2 2
n=0 4 n + n x
VHULVLQLQ\DNÕQVDNOÕ÷ÕQÕLQFHOH\LQL]
∞
x2
serisi, (−∞, ∞) DUDOÕ÷ÕQGD WDQÕPOÕ VUHNOL YH SR]LWLI
∑
2 2
n=0 4 n + n x
terimli bir seridir. Serinin, x = QRNWDVÕQGa 0’a \DNÕQVDGÕ÷Õ DoÕNWÕU ùLPGL,
x ≠ 0 durumunu inceleyelim.
Çözüm.
∞
∞
∞
x2
x2
1
<
=∑ 2
∑
∑
2 2
2 2
n =0 4 n + n x
n =0 n x
n =0 n
∞
dir ve
1
∑n
n =0
2
VD\Õ VHULVL p serisi, p
\DNÕQVDN ROGX÷XQGDQ
Weierstrass
∞
ölçütüJHUH÷LQFH
x2
fonksiyon serisi de (−∞, ∞) DUDOÕ÷ÕQGDG]JQ
∑
2 2
n=0 4 n + n x
\DNÕQVDNWÕU
Örnek 3.
∞
(1 − x 2 n )1 2
serisinin, [− 1,1] DUDOÕ÷ÕQGD \DNÕQVDN ROXS ROPDGÕ÷ÕQÕ
∑
3n
n =0
DUDúWÕUÕQÕ]
Çözüm. x ∈ [− 1,1]DUDOÕ÷ÕQGD 0 ≤ x 2 n ≤ 1 ve 0 ≤ 1 − x 2 n ≤ 1 ROGX÷XQGDQ
∞
∞
(1 − x 2 n )1 2
1
≤
, x ∈ [− 1,1]
∑
∑
n
n
3
n =0
n =0 3
24
∞
1
∑3
olur.
n
n =0
VD\Õ VHULVL \DNÕQVDN ROGX÷XQGDQ
Weierstrass ölçütü JHUH÷LQFH
∞
(1 − x 2 n )1 2
fonksiyon serisi, [− 1,1]DUDOÕ÷ÕQGDG]JQ\DNÕQVDNWÕU
∑
3n
n=0
1.5. Dü]JQ<DNÕQVDN6HULOHULQg]HOOLNOHUL
%X
NÕVÕPGD
IRQNVL\RQ
VHULOHULQLQ
VUHNOLOLN
GLIHUDQVL\HOOHQHELOLUOLN
YH
LQWHJUDOOHQHELOLUOLNNRúXOODUÕQÕLQFHOH\HFH÷L]
Teorem 1.
∞
∑ u n ( x)
serisinin terimleri bir X kümesinde sürekli fonksiyonlar
n =1
olsun.(÷HUVHULEXNPHGHG]JQ\DNÕQVDNLVHD\QÕ]DPDQGDVUHNOLGLU
∞
øVSDW
∑ un ( x) serisi ∀x ∈ X
LoLQG]JQ\DNÕQVDN ROGX÷XQGDQWDQÕP JHUH÷L
n =1
lim Rn ( x) = 0 olur. Bu durumda,
n →∞
∞
n
n
n =1
k =1
k =1
∑ un = ∑ uk ( x) + Rn ( x) → ∑ uk ( x) = s( x)
ROXU
(Q
VD÷GDNL
WHULP
VRQOX
VD\ÕGDNL
ROGX÷XQGDQNHQGLVLGHVUHNOLGLU2KDOGH
VUHNOL
IRQNVL\RQODUÕQ
WRSODPÕ
s(x) toplam fonksiyonu süreklidir.
$OWHUQDWLI RODUDN YH GDKD VÕQÕUOÕ ELU X\JXODPD DODQÕ RODQ DúD÷ÕGDNL WHRUHPL
LVSDWVÕ]YHUOLP
Teorem 2 (Dini Teoremi). u n (x) ’ler bir X kümesinde sürekli ve negatif
∞
ROPD\DQ IRQNVL\RQODU ROPDN ]HUH H÷HU
∑ u n ( x)
serisi, sözü edilen kümede
n =1
sürekli bir s(xIRQNVL\RQXQD\DNÕQVDUVDD\QÕ]DPDQGDG]JQ\DNÕQVDNWÕU
Teorem 3 7HULPOHUL ELU ; NPHVLQGH VÕQÕUOÕ UHHO GH÷HUOL YH LQWHJUDOOHQHELOLU
∞
IRQNVL\RQODUGDQ ROXúDQ
∑ u n ( x)
VHULVL EX DUDOÕNWD ELU
s(x) fonksiyonuna
n =1
G]JQ \DNÕQVÕ\RU LVH WHULP WHULPH LQWHJUDOOHQHELOLUGLU <DQL KHUKDQJL ELU
[a, b] ⊆ X
b
DUDOÕ÷ÕLoLQ
b
b
b
∫ s( x)dx = ∫ u1 ( x)dx + ∫ u2 ( x)dx +... + ∫ un ( x)dx +...
a
a
a
a
25
(1)
\DGDNÕVDFD
∞ b




=
(
)
(
)
u
x
dx
u
x
dx


∫  ∑ n  ∑ ∫ n

=
=
1
1
n
n

a
a
b ∞
(2)
dir.
. ']JQ \DNÕQVDN s( x) = u1 ( x) + u 2 ( x ) + ... + u n ( x) + ... serisini, kalan
terimi cinsinden ifade ederek
øVSDW
b ∞
b k
b k
b



∫  ∑ un ( x) dx = ∫  ∑ un ( x) + Rk ( x) dx = ∫  ∑ un ( x) dx + ∫ Rk ( x)dx



a n =1
a  n =1
a n =1
a
\D]DELOLUL]
6RQOX
VD\ÕGDNL
WHULPOHULQ
WRSODPÕQÕQ
LQWHJUDOL
WHULPOHULQ
LQWHJUDOOHULQLQWRSODPÕQDHúLWROGX÷XQGDQLQWHJUDO|]HOOLNOHULVRQHúLWOL÷L
b ∞
b
k b

=
+
(
)
(
)
u
x
dx
u
x
dx


∫ ∑ n  ∑ ∫ n
∫ Rk ( x)dx
n =1 a

a n =1
a
biçiminde yazabiliriz. Burada, k → ∞ LoLQOLPLWDOÕQÕUVD
b ∞
∞ b

=
(
)
u
x
dx
∫  ∑ n  ∑ ∫ un ( x)dx
n =1 a

a n =1
ROXU EXUDGD G]JQ \DNÕQVDN
lim Rk ( x) = 0 s(x) serisi için,
k →∞
ROGX÷XQX
GLNNDWHDOÕ\RUX]
Örnek 1.
∞
1
∑ n2 + x
serisinin,
[0, a] ⊆ [0, ∞ )
DUDOÕ÷ÕQGD
WHULP
WHULPH
n =1
LQWHJUDOOHQHELOLUROGX÷XQXJ|VWHULSLQWHJUDOLQLEXOXQX]
∞
1
1
1
Çözüm. ∀x ∈ [0, ∞ ) için u n ( x) =
ve ∑
kuvvet serisi (p=2>1)
≤
2
n2 + x n2
n
n =1
\DNÕQVDN ROGX÷XQGDQ
,
∞
1
∑ n2 + x
serisi, [0, ∞ ) DUDOÕ÷ÕQGD G]JQ \DNÕQVDNWÕU
n =1
ve V|]NRQXVXDUDOÕNWDWHULPWHULPLQWHJUallenebilirdir. Böylece,
26
a ∞
a
∞ a
∞
∞

dx
a
2
ln(
)
ln(
1
), (0 < a < ∞)
=
=
+
=
+
dx
n
x


∑
∑
∑
∑
∫  n2 + x 
∫ n2 + x
2
n
n =1 0
n =1

0 n =1
0 n =1
1
∞
elde edilir. Burada,
a
∑ ln(1 + n 2 )
serisinin de
[0, ∞ )
DUDOÕ÷ÕQGD
düzgün
n =1
\DNÕQVDN ROGX÷XQX EHOLUWHOLP dQN V|] NRQXVX DUDOÕNWD
IRQNVL\RQODUÕ VUHNOL YH
lim vn ( x) = 0
n →∞
∞
¶GÕU 2 KDOGH
vn ( x ) = ln(1 +
x
∑ ln(1 + n 2 )
x
n2
)
serisi de
n =1
D\QÕDUDOÕNWDWHULPWHULPHLQWHJUDOOHQHELOLUGLU
Teorem 4.
∞
∑ u n ( x) ,
bir [a, b ] ⊆ X
DUDOÕ÷ÕQGD WUHYOHQHELOHQ IRQNVL\RQODUÕQ
n =1
∞
ELU VHULVL ROVXQ (÷HU
∑ un ( x) serisi
c ∈ [a, b ]
LoLQ QRNWDVDO \DNÕQVDN YH
n =1
∞
∑ un′ ( x)
serisi de bir g(x IRQNVL\RQXQD G]JQ \DNÕQVDN LVH V|] NRQXVX
n =1
∞
DUDOÕNWD
∑ u n ( x)
VHULVLG]JQ\DNÕQVDNWÕUYH
n =1
′ ∞
∞

 ∑ u n ( x) = ∑ u n′ ( x )
n =1
 n =1
(3)
dir.
øVSDW
. g ( x) =
∞
∑ un′ ( x)
serisi [a, b] DUDOÕ÷ÕQGD G]JQ \DNÕQVDN ROGX÷XQGDQ
n =1
7HRUHP JHUH÷LQFH EX DUDOÕNWD WHULP WHULPH LQWHJUDOOHQHELOLUGLU %XQD J|UH
[c, x] ⊆ [a, b] olmak üzere,
x
∫ g (t )dt =
c
∞ x
∑ ∫ un′ (t )dt =
n =1 c
∞
∑ [un ( x) − un (c)]
n =1
27
(4)
elde ederiz. Teorem 3’e göre
∞
∑ [un ( x) − un (c)]
serisi de [a, b] DUDOÕ÷ÕQGD
n =1
∞
G]JQ \DNÕQVDNWÕU hVWHOLN WHRUHPLQ NRúXOX JHUH÷LQFH
∑ u n (c )
serisi de
n =1
∞
\DNÕQVDNWÕU %XUDGDQ
∑ un ( x) serisinin de düzgü
Q \DNÕQVDN ROGX÷X DQODúÕOÕU
n =1
%|\OHFHHúLWOL÷LQL
x
∫ g (t )dt =
c
∞
∞
n =1
n =1
∑ u n ( x ) − ∑ u n (c ) = s ( x ) − s ( c )
(5)
biçiminde yazabiliriz. Sol taraftaki ifade x’e göre türevlenebilirdir ve türevi
′
′
′
′
∞ x
∞


 ∞ x
x
 x ∞
 ∫ g (t )dt  =  ∫ ∑ u n′ (t )dt  =  ∑ ∫ u n′ (t )dt  = ∑  ∫ u n′ (t )dt  = ∑ u ′n ( x) = g ( x)
 n =1
 n =1  c
 n =1 c
 c
  c n =1
GLU 2 KDOGH HúLWOL÷LQLQ VD÷ WDUDIÕ GD WUHYOHQHELOLU ROPDOÕGÕU %|\OHFH HúLWOL÷LQLQKHULNL\DQÕQÕQWUHYLDOÕQDUDN
g ( x) = s′( x)
(6)
elde edilir. g (x) fonksiyonu,
fonksiyonu da süreklidir ve
[a, b]
DUDOÕ÷ÕQGD VUHNOL ROGX÷XQGDQ
s′( x ) = u1′ ( x) + u 2′ ( x) + ... + u n′ ( x) + ...
s′(x)
(7)
olur.
1.6. .XYYHW6HULOHULYH<DNÕQVDNOÕN<DUÕoDSODUÕ
7DQÕP
1.
∞
∑ a ( x − a)
n
n
= a0 + a1 ( x − a) + a2 ( x − a ) 2 + ... + an ( x − a ) n + ...
(1)
n=0
úHNOLQGH WDQÕPODQDQ VHULOHUH ³NXYYHW VHULOHUL´ GHQLU %XUDGD
kuvvet serisiniQNDWVD\ÕODUÕGÕU
28
ai (i = 0,1,2...) ’ler
Teorem 1 (Abel Teoremi).
∞
∑ a ( x − a)
kuvvet serisi herhangi bir xR ≠ 0
n
n
n =0
QRNWDVÕQGD \DNÕQVDNVD
x − a < xR − a NRúXOXQX VD÷OD\DQ WP x’ler için de
PXWODNYHG]JQ\DNÕQVDNWÕU
øVSDW
. (1) kuvvet serisi, xR ≠ 0 QRNWDVÕQGD \DNÕQVDN ROVXQ
Bu durumda
lim an ( xR − a) n = 0 olur ve bu nedenle, tüm n’ler için an ( xR − a ) n ≤ M
n→∞
HúLWVL]OL÷L VD÷ODQDFDN úHNLOGH ELU
M ! VD\ÕVÕ bulunabilir. Her x − a < xR − a
için,
a n ( x − a ) n ≤ a n ( xR − a ) n
( x − a) n
( x − a) n
M
≤ Mq n
≤
n
n
( xR − a )
( xR − a )
x−a
< 1 dir.
xR − a
ROGX÷XQGDQ, Weierstrass teoremine göre
yazabiliriz. Burada, q =
∞
∑a x
n
n
∞
∑ Mq
n
JHRPHWULN VHULVL \DNÕQVDN
n=1
= a0 + a1 ( x − a ) + a2 ( x − a ) 2 + ... + an ( x − a ) n + ...
(2)
n=0
VHULVLG]JQ\DNÕQVDNWÕU
∞
için
∑ a ( x − a)
n
n
O halde, x − a < xR − a NRúXOXQXVD÷OD\DQWPx’ler
VHULVL PXWODN YH G]JQ \DNÕQVDNWÕU
Buna göre, Abel
n =0
WHRUHPLQGHQúXVRQXoODUÕoÕNDUDELOLUL]
1.
∞
∑ a ( x − a)
n
n =0
n
kuvvet serisi herhangi bir xR ≠ 0 QRNWDVÕQGD ÕUDNVDNVD
x − a > xR − a NRúXOXQXVD÷OD\DQWPx¶OHULoLQGHÕUDNVDNWÕU
2. %LU NXYYHW VHULVLQLQ \DNÕQVDNOÕN DUDOÕ÷Õ \D x = xo QRNWDVÕGÕU \D GD R > 0
olmak üzere (x0-R, x0+R DUDOÕ÷Õ úHNOLQGHGLU R VD\ÕVÕQD NXYYHW VHULVLQLQ
\DNÕQVDNOÕN\DUÕoDSÕGHQLU R = ∞ GXUXPXQGD\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ÷Õ ( −∞, ∞ ) olur.
3. %LUNXYYHWVHULVL\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ÷ÕLoHULVLQGHNLKHUKDQJLELUDUDOÕNWDPXWODN
YHG]JQ\DNÕQVDNWÕU
(1) kuvvet serisi x − a → x
∞
∑a x
n
n
G|QúPLOH
= a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n + ...
n=0
29
(3)
biçimine getirilebilir. Üstelik, YH VHULOHULQLQ KHU LNLVLQLQ GH \DNÕQVDNOÕN
Bu nedenle,EXQGDQVRQUDNLNÕVÕPGDELoLPLQGHNLNXYYHW
\DUÕoDSODUÕD\QÕGÕU
VHULOHULQLGLNNDWHDODFD÷Õ]
Teorem 2.
∞
∑a x
n
n
kuvvet serisinin R\DNÕQVDNOÕN\DUÕoDSÕ
n=0
an
n→∞ a
n +1
R = lim
(4)
dir.
øVSDW '¶$OHPEHUW|OoWQHJ|UH\DNÕQVDNELUVHULLoLQ
an+1 x n+1
a
= x lim n+1 < 1
n→∞ a x n
n→∞ a
n
n
lim
dir.2KDOGHNXYYHWVHULVLQLQ\DNÕQVDNROGX÷XWPxGH÷HUOHULLoLQ
an
n→ ∞ a
n +1
x < lim
olur ki,
gösterir.
8\DUÕ
4
EX GD \DNÕQVDNOÕN \DUÕoDSÕ LoLQ ED÷ÕQWÕVÕQÕQ JHoHUOL ROGX÷XQX
D’Alembert ölçütüne göre, bir seri
an+1 x n+1
=1
n→∞ a x n
n
lim
4
GXUXPXQGDGD\DNÕQVDNRODELOLU2KDOGH\DNÕQVDNOÕN\DUÕoDSÕ ED÷ÕQWÕVÕQGDQ
bulunduktan sonra, kuvvet serisinin x = -R ve x = RQRNWDODUÕQGD\DNÕQVDNROXS
ROPDGÕ÷Õ DUDúWÕUÕOÕU 6RQXo RODUDN H÷HU \DNÕQVDNOÕN \DUÕoDSÕ VÕIÕUGDQ IDUNOÕ LVH
∞
∑a x
n
n
kuvvet serisinin
\DNÕQVDNOÕN DUDOÕ÷Õ
n=0
[− R, R]
DUDOÕNODUÕQGDQELUL
olur.
30
(− R, R ), (− R, R ], [− R, R )
ya da
∞
xn
∑
n =1 n
Örnek.
VHULVLQLQ
\DNÕQVDNOÕN
\DUÕoDSÕQÕ YH \DNÕQVDNOÕN
DUDOÕ÷ÕQÕ
bulunuz.
7HRUHPJHUH÷LQFH
R = lim
n→∞
an
an+1
GLU2KDOGH\DNÕQVDNOÕN\DUÕoDSÕ
R = lim
n→∞
an
an+1
GLUùLPGLGL]LQLQ
1
n +1
= lim n = lim
=1
n→∞
n→∞
1
n
n +1
x = -1 ve x
QRNWDODUÕQGDNL\DNÕQVDNOÕNODUÕQÕDUDúWÕUDOÕP
x = -QRNWDVÕQGD
∞
∞
xn
(−1) n
=
∑
∑
n
n =1 n
n=1
VD\ÕVHULVLQLHOGHHGHUL]%XVHULQLQNDODQWHULPL
Rn =
GÕU YH
∞
(−1) k
∑ k
k = n+1
Leibniz ölçütün VD÷ODGÕ÷ÕQGDQ NDODQ WHULPLQ PXWODN GH÷HUL RQXQ LON
WHULPLQLQPXWODNGH÷HULQGHQE\NGH÷LOGLU<DQL
Rn ≤
1
→0
n +1
Buna göre seri, x = - QRNWDVÕQGD \DNÕQVDNWÕU <DQL x = - QRNWDVÕ \DNÕQVDNOÕN
DUDOÕ÷ÕQD GDKLOGLU ùLPGL GH VHULQLQ x
QRNWDVÕQGDNL \DNÕQVDNOÕ÷ÕQÕ
DUDúWÕUDOÕP%XGXUXPGDIRQNVL\RQVHULPL]
∞
∑
n =1
∞
xn
1
=∑
n n=1 n
KDUPRQLNVD\ÕVHULVLQHG|QúUNLKDUPRQLNVHULQLQÕUDNVDNROGX÷XQXELOL\RUX]
(ödev)6RQXoRODUDN\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ÷Õ [− 1, 1) DUDOÕ÷ÕGÕU
31
∞
Örnek.
∑
n =1
xn
( n + 1) 5 n ln( n + 1)
VHULVLQLQ\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ÷ÕQÕEXOXQX]
gQFH\DNÕQVDNOÕN\DUÕoDSÕQÕEXODOÕP
R = lim
n→∞
an
an+1
1
(n + 2) ln(n + 2)
(n + 1)5 ln(n + 1)
= lim
=5
= 5 lim
n→∞
n→∞ ( n + 1) ln( n + 1)
1
(n + 2)5n+1 ln(n + 2)
n
\DQL VHULQLQ \DNÕQVDNOÕN \DUÕoDSÕ
R
¶GLU ùLPGL \DNÕQVDNOÕN DUDOÕ÷ÕQÕQ Xo
QRNWDODUÕQGD VHULQLQ \DNÕQVDN ROXS ROPDGÕ÷ÕQÕ DUDúWÕUDOÕP
x = - QRNWDVÕQGD
seri,
∞
∞
(−5) n
(−1) n
=
∑
∑
n
n =1 ( n + 1)5 ln( n + 1)
n =1 ( n + 1) ln( n + 1)
alterne
VD\Õ VHULVLQH G|QúU YH /HLEQL] |OoWQH J|UH \DNÕQVDNWÕU
(?).x = 5
QRNWDVÕQGDLVHIRQNVL\RQVHULPL]
∞
∞
5n
1
=
∑
∑
n
n
n
n
n + 1)
(
1
)
5
ln(
1
)
(
1
)
ln(
+
+
+
n =1
n=1
pozitif terimli VD\Õ VHULVLQH G|QúU ùLPGL EX VHULQLQ \DNÕQVDNOÕ÷ÕQD EDNDOÕP
Bunun için integral ölçütünü kullanabiliriz.øQWHJUDO|OoWQHJ|UH
f ( x) =
1
( x + 1) ln( x + 1)
∞
olmak
üzere,
∫ f ( x)dx
özel
olmayan
integrali
ile
pozitif
terimli
1
∞
1
∑ (n + 1) ln(n + 1)
VD\ÕVHULVLD\QÕ]DPDQGD\DNÕQVDN\DGDÕUDNVDNWÕUODU
n =1
∞
∫
1
dx
∞
∞
A
1
d ln( x + 1)
d ln( x + 1)
f ( x)dx = ∫
dx = ∫ x + 1 = ∫
= lim ∫
A→∞
( x + 1) ln( x + 1)
ln( x + 1) 1 ln( x + 1)
ln( x + 1)
1
1
1
∞
= lim ln( x + 1) 1 = lim [ln( A + 1) − ln 2] = ∞
A
A→∞
A→∞
Buna göre seri de x QRNWDVÕQGD ÕUDNVDNWÕU 2 KDOGH VHULQLQ \DNÕQVDNOÕN
[− 5, 5) DUDOÕ÷ÕGÕU
DUDOÕ÷Õ
32
Teorem 3.
∞
∑a x
n
kuvvet serisinin R\DNÕQVDNOÕN\DUÕoDSÕ
n
n=0
R=
1
(5)
(lim n an )
n→∞
dir.
øVSDW 6D\ÕVHULOHULLoLQ
Cauchy ölçütüne göre,
lim n an x n = x lim n an < 1
n→∞
n→∞
durumunda, pozitif terimli
∞
∑a x
n
n
= a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n + ...
n =0
∞
Buna göre,
VHULVL \DNÕQVDNWÕU
∑a x
n
n
NXYYHW VHULVLQLQ \DNÕQVDN ROGX÷X WP
n=0
leri için,
GH÷HU
x<
1
(lim n an )
=R
n→ ∞
elde edilir.
Örnek.
∞
 n 


∑
n =1  3n + 1 
3 n−2
x n VHULVLQLQ\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ÷ÕQÕEXOXQX]
1
R=
lim n
n→ ∞
x = -27 ve x
n
3n + 1
3n −2
=
1
 n 
lim

n→∞ 3n + 1


3n −2
n
 3n + 1 
= lim

n→∞
 n 
3−
2
n
= 33 = 27
QRNWDODUÕQGDVHULPL]LQJHQHOWHULPLQLQPXWODNGH÷HUL
33
x
 3n 
an = 9

 3n + 1 
3n −2
 3n + 1 
= 9

 3n 
2
1  
1 

= 91 +  1 + 
 3n   3n 
−3 n
2−3 n
2
 3n + 1   3n + 1 
= 9
 

 3n   3n 
1 

= 91 + 
 3n 
2
n


 1 + 1  
  3n  


−3 n
−3
olup,
1 

lim an = lim 91 + 
n→∞
n→∞
 3n 
ROGX÷XQGDQ
x = -27 ve x
2
−3
n


 1 + 1   = 9e −3 ≠ 0
  3n  


QRNWDODUÕ \DNÕQVDNOÕN DUDOÕ÷ÕQD GDKLO GH÷LOGLU
6RQXoRODUDNVHULQLQ\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ÷Õ
(− 27, 27)
DoÕNDUDOÕ÷ÕGÕU
1.7. Kuvvet Serilerinin Özellikleri
∞
∑a x
= a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n + ...
n
n
(1)
n=0
NXYYHW VHULVLQL GLNNDWH DODOÕP
Kuvvet serileri, (− ∞, ∞ ) DUDOÕ÷ÕQGD WDQÕPOÕ
VUHNOL YH KHU PHUWHEHGHQ WUHYOHQHELOLUGLUOHU ùLPGL NXYYHW VHULOHUL LOH LOJLOL
özellikleri teoremler halinde görelim.
Teorem 1.
[− ρ , ρ ]
∞
∑a x
n
n
kuYYHW
VHULVL \DNÕQVDNOÕN E|OJHVLQGHNL KHUKDQJL ELU
n=0
DUDOÕ÷ÕQGDVÕQÕUODQDQGÕU
R > 0 olmak üzere, serinin,
ROGX÷XQX J|VWHUHOLP
0< ρ < R
øVSDW NXYYHW VHULVLQLQ \DNÕQVDNOÕN \DUÕoDSÕ
[− ρ , ρ ] ⊂ (− R, R )
DUDOÕ÷ÕQGD VÕQÕUODQDQ
ROGX÷XQGDQVHULVL
x = ρ QRNWDVÕQGDPXWODN\DNÕQVDNWÕU2KDOGH
aR + a ρ + a ρ 2 + ... + aQ ρ n + ...
SR]LWLI WHULPOL VD\Õ VHULVL \DNÕQVDNWÕU
(2)
Bu nedenle, her x < ρ GH÷HUL LoLQ VD\ÕVHULVLNXYYHWVHULVLQLQVÕQÕUOD\DQÕGÕU
(1) kuvvet serisinin (− R, R ) DUDOÕ÷ÕQGD \DNÕQVDN YH WRSODPÕQÕQ GD s(x)
Bu durumda,
ROGX÷XQXYDUVD\DOÕP
∞
s( x ) = ∑ an x n ,
x ∈ ( − R, R )
(3)
n =0
34
s(x) fonksiyonunun (− R, R ) DUDOÕ÷ÕQGD NXYYHW VHULVLQH DoÕOÕPÕ
denir. Teorem 1 ve önceki teoremlere dayanarak, kuvvet serileri ile ilgili
DúD÷Õdaki özellikleri söyleyebiliriz:
i)
.XYYHW VHULOHUL \DNÕQVDNOÕN DUDOÕ÷Õ LoLQGHNL KHU DUDOÕNWD G]JQ
\D]ÕOÕúÕQD
\DNÕQVDNWÕU
ii)
.XYYHWVHULVLQLQWRSODPÕ
s(x\DNÕQVDNOÕNE|OJHVLQGHVUHNOLELU
fonksiyondur.
iii)
.XYYHW
VHULVL
\DNÕQVDNOÕN
E|OJHVLQGH
WHULP
WHULPH
integrallenebilirdir. Yani,
x
∞
0
n =0
∫ s(t )dt = ∑ an
x n+1
,
n +1
x ∈ (− R, R )
(4)
GLU$\UÕFDYHVHULOHULQLQ\DNÕQVDNOÕNDUDOÕNODUÕD\QÕGÕU
Teorem 2. (1) kuvvet serisi \DNÕQVDNOÕN DUDOÕ÷Õ LoHULVLQGH KHU QRNWDGD WHULP
terime türevlenebilirdir ve
∞
s′( x) = ∑ nan x n−1 ,
x ∈ (− R, R )
(5)
n =0
dir.$\UÕFDYHVHULOHULQLQ\DNÕQVDNOÕNDUDOÕNODUÕD\QÕGÕU
. ùLPGLHúLWOL÷LQLQGR÷UX ROGX÷XQX J|VWHUHOLP s′(x) , bir kuvvet serisi
ROGX÷XQGDQ, \XNDUÕGD YHUGL÷LPL] üçüncü
özellik nedeniyle, \DNÕQVDNOÕN
DUDOÕ÷ÕQGDWHULPWHULPHLQWHJUDOOHQHELOLUGLU Buna göre,
øVSDW
∞
∞
 ∞
n −1 
n−1
′
=
=
=
s
(
t
)
dt
na
t
dt
na
t
dt
an t n − aR


∑
∑
n
n
∫0
∫0  ∑
∫
n =0
n =0 0
n =0

x
x
n
elde ederiz.%XUDGDQVROWDUDIWDNLLQWHJUDODOÕQÕUVD
∞
s ( x ) − s ( 0) = ∑ a n t n − a R
n=0
elde ederiz. Halbu ki,
s ( 0) = a R
GÕUYHGROD\ÕVÕ\OH
35
∞
s ( x ) = ∑ an x n
n =0
∞
elde edilir. O halde, (5) ifadesi s( x) = ∑ an x n serisinin türevidir.ùLPGLGH (3)
n =0
s(x) ve
s′(x) VHULOHULQLQ\DNÕQVDNOÕN\DUÕoDSODUÕVÕUDVÕ\ODR ve R olsun. Bu durumda,
YHVHULOHULQLQ\DNÕQVDNOÕN\DUÕoDSODUÕQÕQD\QÕROGX÷XQXJ|VWHUHOLP
*
R * = lim
n→∞
olur.
nan
a
a
n
= lim
lim n = lim n = R
n
n
n
→
∞
→
∞
→
∞
n +1
an+1
an+1
(n + 1)an+1
<DQL YH VHULOHULQLQ \DNÕQVDNOÕN \DUÕoDSODUÕ GROD\ÕVÕ\OD
da
\DNÕQVDNOÕNDUDOÕNODUÕD\QÕGÕU
6RQXo RODUDN ELU NXYYHW VHULVL \DNÕQVDNOÕN DUDOÕ÷Õ LoHULVLQGH NH\IL
mertebeden türeve sahiptir ve
∞
s ( k ) ( x) = ∑ n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) x n−k ,
k∈N
n =0
GÕUhVWHOLNGHYHVHULOHULQLQ\DNÕQVDNOÕNDUDOÕNODUÕGDD\QÕGÕU
∞
1
, x < 1 HúLWOL÷LQGHQ\DUDUODQDUDN
1− x
n =0
∞
∞
1
1
a) ∑ (−1) n x n =
, x < 1 ; b) ∑ (−1) n x 2 n =
, x <1
1+ x
1 + x2
n =0
n=0
Örnek 1.
∑x
=
n
HúLWOLNOHULQLGR÷UXOD\ÕQÕ]
Çözüm a)
∞
n
=
1
, x < 1 HúLWOL÷LQGHx yerine –x\D]ÕOÕUVD
1− x
n
=
1
, − x <1
1 − (− x)
∑x
n=0
∞
∑ (− x)
n=0
elde edilir. − x < 1 iken x < 1 RODFD÷ÕQÕGDGLNNDWHDODUDN
∞
∑ (−1)
n =0
n
xn =
1
, x <1
1+ x
elde ederiz.
36
(6)
b) Bu sefer x yerine –x2 alarak,
∞
∑ (− x
) =
2 n
n =0
1
, − x2 < 1
1 − (− x 2 )
yazabiliriz. − x 2 < 1 iken x < 1 RODFD÷ÕQÕGDGLNNDWHDODUDk,
∞
∑ (−1)
n
x 2n =
n=0
1
, x <1
1 + x2
elde edilir.
∞
∑ (−1)
Örnek 2.
n=0
n
x 2 n+1
= arctan x, x < 1
2n + 1
HúLWOL÷LQLQ
GR÷UX
ROGX÷XQX
gösteriniz.
Çözüm.
%LU NXYYHWVHULVL\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ÷ÕQGDWHULP WHULPH LQWHJUDOOHQHELOH
Örnek 1b’deYHULOHQHúLWOL÷LnKHULNL\DQÕQÕQLQtegralini alarak
x
∞ x
 ∞
dt
n 2n 
n 2n
(
1
)
t
dt
=
(
−
1
)
t
dt
=
, x <1
−


∑
2
∫0  ∑
∫
∫
n =0
n =0 0

0 1+ t
FH÷LQGHQ
x
ve böylece,
x
t 2 n+1
x
(−1) (
) =arctan t 0
∑
2n + 1 0
n=0
∞
n
x 2 n+1
1
⇒ ∑ (−1) (
−
) = arctan x − arctan 0
2 n + 1 2n + 1
n =0
∞
n
elde edilir.
∞
(−1) n
= arctan 0
∑
n=0 2 n + 1
RODFD÷ÕGLNNDWHDOÕQÕUVD
∞
∑ (−1) n
n =0
x 2 n+1
= arctan x
2n + 1
HúLWOL÷LHOGHHGLOLU
37
-
∞
(−1) n
;
n
n =0
Örnek 3. a) ln 2 = ∑
∞
(−1) n
n =0 2 n + 1
b) π = 4∑
eúLWOLNOHULQLQGR÷UXROGX÷XQXJ|VWHULQL]
∞
∑ (−1) t
Çözüm a)
n n
=
n=0
1
, x < 1 HúLWOL÷LQLQLQWHJUDOLDOÕQÕUVD
1+ t
x
∞
 x n+1
t n+1
1 
x
 = ln(1 + x) − ln 1
= ln(1 + t ) 0 ⇒ ∑ (−1) n 
−
(−1)
∑
n +1 0
n=0
n =0
 n +1 n +1
∞
n
elde edilir. Burada,
∞
∑ (−1)
n
n=0
1
= ln 1 = 0
n +1
RODFD÷ÕGLNNDWHDOÕQÕUVD
∞
ln(1 + x) = ∑ (−1) n
n =0
x n+1
n +1
x
HúLWOL÷LQLHOGHHGHUL]6RQXoRODUDN\XNDUÕGDNLHúLWOLNWH ∞
(−1) n
n =0 n + 1
ln 2 = ∑
olur.
b)
∞
∑ (−1)
n
n=0
x 2 n+1
= arctan x HúLWOL÷LQGHx
2n + 1
arctan 1 =
∞
π
(−1) n
=∑
4 n =0 2 n + 1
buradan da
∞
(−1) n
n =0 2 n + 1
π = 4∑
elde edilir.
38
DOÕUVDN
DOÕUVDN
Örnek 4. π VD\ÕVÕQÕQGH÷HULQLGX\DUOÕNODKHVDSOD\ÕQÕ]
∞
(−1) n
HúLWOL÷LQGHQ\DUDUODQÕUVDN
n =0 2 n + 1
Çözüm. π = 4∑
∞
(−1) k
< 0.0001
k =n +1 2k + 1
Rn = 4 ∑
HúLWVL]OL÷L VD÷ODQPDOÕGÕU +DOEXNL \XNDUÕGDNL WRSODP ELU DOWHUQH VD\Õ VHULVL
in
ROGX÷XQGDQ RQXQ GH÷HUL LON WHULPLQ
PXWODN GH÷HULQGHQ
büyük olamaz. O
halde,
(−1) n+1
< 0.0001
2n + 3
Rn < 4
\D]DELOLUL] %X HúLWVL]OL÷L JHUoHNOH\HQ LON
\XNDUÕGDNL
IRUPO
NXOODQDUDN
π
n GH÷HUL n = 20000’dir. O halde
VD\ÕVÕQÕQ GH÷HULQL GX\DUOÕNOD
hesaplayabilmemiz içiQ VHULQLQ LON WHULPLQL DOPDOÕ\Õ] %X LVH ROGXNoD
güç bir durumdur. Bu nedenle, π VD\ÕVÕQÕQGH÷HULQL KHVDSODPDN LoLQEDúNDELU
VHULNXOODQPDPÕ]JHUHNLUùLPGL
∞
∑ (−1)
n =0
serisinde x =
n
x 2 n+1
= arctan x
2n + 1
3
3
DODOÕP
Böylece,
2 n+1
 3


 3 
∞
3 π
3 ∞ (−1) n

= = ∑ (−1) n 
=
arctan
∑
3
6 n =0
2n + 1
3 n=0 (2n + 1)3n
ve buradan da
∞
(−1) n
n
n = 0 ( 2n + 1)3
π = 2 3∑
HOGHHGHUL]%|\OHFH\XNDUÕGDNLVHULQLQNDODQWHULPLLoLQ
∞
(−1) k
k
k = n +1 ( 2k + 1)3
Rn = 2 3 ∑
olur ve Leibniz ölçütüne göre kalan terim (n+1). terimLQ PXWODN GH÷HULQGHQ
GDKDE\NRODPD\DFD÷ÕQdan
39
Rn < 2 3
(−1) n+1
< 0.0001
(2n + 3)3n+1
n
\D]DELOLUL]%XHúLWVL]OL÷LVD÷OD\DQLON GH÷HUL¶GLU2KDOGHLVWHQHQGX\DUOÕNOD
1
1
1
1
1
1
1 

π = 2 3 1 −
+
−
+
−
+
−
 = 3.1416
2
3
4
5
6
7 ⋅ 3 9 ⋅ 3 11 ⋅ 3 13 ⋅ 3 15 ⋅ 37 
 3⋅3 5⋅3
elde edilir.
Örnek 5.$úD÷ÕGDNLIRQNVL\RQODUÕ\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ÷ÕQGDVHULOHULQHDoÕQÕ]
a) f ( x) =
1
,;
(1 − x)3
Çözüm a) Örnek 1’den
b) f ( x) =
∞
∑x
n
=
n =0
x +1
( x + 2 x + 2 x) 2
2
1
, x < 1
1− x
ROGX÷XQX ELOL\RUX] +HU LNL
WDUDIÕQWUHYLDOÕQÕUVD
∞
∑ nx
n−1
=
n =0
1
, x <1
(1 − x) 2
WHNUDUWUHYDOÕQDUDNGD
∞
∑ n(n − 1) x
n−2
n =0
=
2
, x <1
(1 − x) 3
elde edilir.(úLWOL÷LQKHULNL\DQLLOHE|lünürse
1
1 ∞
=
∑ n(n − 1) x n−2 , x < 1
(1 − x) 3 2 n=0
serisi elde edilir.
b) Örnek 1b’den
∞
∑ (−1)
n=0
n
x 2n =
1
, x <1
1 + x2
ROGX÷XQXELOL\RUX]%XUDGD
x yerine (xDOÕUVDN
40
∞
1
1
=
=
∑ (−1) n ( x + 1) 2 n = x + 1 < 1
1 + ( x + 1) 2 x 2 + 2 x + 2 n=0
HOGHHGHUL]7UHYDOÕQÕUVD
∞
− 2( x + 1)
=
∑ (−1) n 2n( x + 1) 2 n−1 , x + 1 < 1
( x 2 + 2 x + 2) 2 n=0
ve buradan da
∞
x +1
=
(−1) n−1 n( x + 1) 2 n−1 , x + 1 < 1
∑
2
2
( x + 2 x + 2)
n=0
elde edilir. Yani
x +1
= ( x + 1) − 2( x + 1) 3 + 3( x + 1) 5 − ... + (−1) n−1 n( x + 1) 2 n−1 + ..., x + 1 < 1
( x + 2 x + 2) 2
2
dir.
Örnek 6. 1 + 2 x + 3x 2 + ... + (n + 1) x n + ... VHULWRSODPÕQÕEXOXQX]
∞
Çözüm. s ( x) = 1 + 2 x + 3x 2 + ... + (n + 1) x n + ... = ∑ (n + 1) x n
n =0
HúLWOL÷LQLQWHULPWHULPLQWHJUDOLDOÕQÕUVD
x
∞
∞
∞
 ∞
n
n
n +1
s
(
t
)
dt
g
(
x
)
(
n
1
)
t
dt
(
n
1
)
t
dt
t
x n+1 − 1
=
=
+
=
+
=
=


∑
∑
∑
∫0
∫0  ∑
∫
n =0
n =0 0
n =0
n =0

0
x
x
x
x
∞
∞
∞
0
n =0
n =1
n =0
⇒ ∫ s(t )dt = g ( x) = ∑ x n +1 − 1 = ∑ x n − 1 = ∑ x n − 2 =
x
ROXU<XNDUÕGDNLHúLWOL÷LQ ¶HJ|UHWUHYLDOÕQÕUVD
s ( x) =
1
, x <1
(1 − x) 2
elde edilir.
41
1
− 2, x < 1
1− x
∞
∑2
Örnek 7.
n −1
nx n−1 VHULVLQLQ\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ÷ÕLOHWRSODPÕQÕEXOXQX]YH
n =1
0.2
∫ s( x)dx
LQWHJUDOLQLKHVDSOD\ÕQÕ]
0
Çözüm.
∞
∑2
n −1
n =1
∞
nx n −1 = ∑ 2 n ( n + 1) x n
n =0
olup,
an
R = lim
n→∞
an +1
2 n (n + 1)
= lim
=
2 n + 1 (n + 2)
n→∞
lim
n +1
2 n→∞ n+2
=
1
2
1
QRNWDVÕQGD ise
2
∞
 1 1
seri ∑ ( −1) n (1 + n) olup yine ÕUDNVDNWÕU O halde,\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ÷Õ  − , 
 2 2
n=0
olur. x =
∞
1
QRNWDVÕQGD VHUL
(1 + n) olup
∑
2
n =0
1
ÕUDNVDNWÕU
x=−
DoÕNDUDOÕ÷ÕGÕU
∞
∞
n =0
n =0
s ( x) = ∑ 2 n (n + 1) x n = ∑ (n + 1)(2 x) n , 2 x < 1
serisinde y = 2xG|QúP\DSDUVDN
∞
y
s ( ) = g ( y ) = ∑ (n + 1) y n , y < 1
2
n=0
HúGH÷HUVHULVLQLHOGHHGHUL]7HULPWHULPHLQWHJUDODOÕQÕUVD
y
∞ 
 ∞ 
 ∞
y n+1 − 1
n
n
(
)
(
)
(
1
)
(
1
)
(
1
)
=
=
+
=
+
=
+
g
t
dt
u
y
n
t
dt
n
t
dt
n




∑
∑
∑

∫0
∫0  n=0
∫0
n + 1 
n =0 

 n =0 
buradan da
y
y
y
∞
∞
∞
0
n =0
n =0
n =0
n +1
n +1
∫ g (t )dt = u( y) − u(0) = ∑ ( y − 1) =∑ y −∑1, y < 1
elde ederiz.
∞
u (0) = ∑ 1
n =0
ROGX÷XQXGLNNDWHDOÕUVDN
42
∞
∞
n =0
n =0
u ( y ) = ∑ y n+1 = y ∑ y n =
y
, y <1
1− y
ROXUùLPGLWUHYDOÕQÕUVD
u ′( y ) = g ( y ) =
1
, y <1
(1 − y ) 2
ve y = 2x konularak da
g (2 x) = s( x) =
1
, 2x < 1
(1 − 2 x) 2
elde edilir.
0.2
0.2
0
0
∫ s( x)dx =
1
∫ (1 − 2 x)
2
dx
1
integralinde 1-2x = u ⇒ dx = − du G|QúP\DSÕOÕUVD
2
0.2
∫ s( x)dx = −
0
0.6
0.6
1 1
1 1
1 1
1 0.4 1
− 1) =
=
du = ( ) = (
2
∫
2 1u
2 u 1
2 0.6
2 0.6 3
elde edilir.
1.8. Taylor Serisi
Analizde, EHOOLELUDUDOÕNWDVUHNOLYHn-ci dereceden türevlenebilir fonksiyonlar
yerine VÕNOÕNOD RQODUÕ WHPVLO HGHQ SROLQRPODU NXOODQÕOPDNWDGÕU Bunun nedeni
SROLQRP |]HOOLNOHULQLQ oRN L\L ELOLQPHVL YH NXOODQÕP NROD\OÕ÷ÕGÕU (÷HU
f fonksiyonu ile onu temsil eden p
f
fonksiyonu yerine pSROLQRPXNXOODQÕODELOLU Böylesi bir polinoma f ile uyumlu
polinom denir.(÷HU
oDOÕúÕODQ ELU DUDOÕN \D GD QRNWD FLYDUÕQGD
SROLQRPXQXQ GH÷HUOHUL DUDVÕQGDNL IDUN LVWHQLOGL÷L NDGDU NoNVH EX QRNWDGD
∞
∑ a ( x − a)
n
n
= a0 + a1 ( x − a ) + a2 ( x − a) 2 + ... + an ( x − a ) n + ...
(1)
n =0
NXYYHW VHULVL \DNÕQVDNOÕN DUDOÕ÷ÕQGD ELU WRSODPD VDKLS YH EX WRSODP
x
IRQNVL\RQXLVHEXGXUXPGD\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ÷ÕLoHULVLQGHNLKHU GH÷HULLoLQ
f(x)
f(x)
IRQNVL\RQXQXQ EX QRNWDGDNL GH÷HULQL YHULU 2 KDOGH \XNDUÕGDNL VHUL \DNÕQVDN
ROPDVÕKDOLQGH
43
∞
f : (a − R, a + R ) → R,
f ( x) = ∑ an ( x − a ) n
(2)
n =0
f(x) fonksiyonunun x = a
Acaba serinin ai L NDWVD\ÕODUÕ LOH f(x)
úHNOLQGH ELU IRQNVL\RQ WDQÕPODU
FLYDUÕQGD VHUL\H DoÕOÕPÕ GHQLU
\D]ÕOÕPÕQD
fonksiyonu aUDVÕQGDQDVÕOELULOLúNLYDUGÕU"
DoÕOÕPÕQGDQNROD\FDDQODúÕODFD÷Ձ]HUH
f ( a ) = a0
GÕU%XQGDQEDúNDDoÕOÕPÕQÕQWUHYLDOÕQÕUVD
f ′( x) = a1 + 2a2 ( x − a) + ... + nan ( x − a ) n−1 + ...
buradan
f ′(a ) = a1
ROGX÷XDQODúÕOÕU7HNUDUWUHYDOÕQÕUVD
f ′′( x) = 2a2 + 6a3 ( x − a ) + ... + n(n − 1)an ( x − a ) n−2 + ...
ve buradan da
f ′′(a ) = 2a2 ⇒ a2 =
f ′′(a) f ′′(a )
=
2
2!
EXOXQXU 7UHY DOPD LúOHPL GHYDP HWWLULOLUVH VHULQLQ NDWVD\ÕODUÕ LOH
f(x)
IRQNVL\RQXDUDVÕQGD
a0 = f (a ), a1 = f ′(a ), a3 =
f ′′′(a )
f ′′′(a)
f ( n ) (a)
, a3 =
,..., an =
n!
3!
3!
(3)
LOLúNLOHULQLQYDUROGX÷XDQODúÕOÕU%XQDJ|UHVHULDoÕOÕPÕQÕ
∞
f ( x) = ∑
n =0
f ( n) (a)
( x − a) n
n!
(4)
úHNOLQGH\D]DELOLUL]
f(x) fonksiyonu x = a QRNWDVÕ FLYDUÕQGD VUHNOL YH sürekli olarak
türevlenebilir bir fonksiyon ise,
7DQÕP ∞
f ( x) = ∑
n =0
f ( n) (a)
( x − a) n
n!
44
VHUL DoÕOÕPÕQD
f(x) fonksiyonunun x = a QRNWDVÕ FLYDUÕQGDNL 7D\ORU DoÕOÕPÕ
denir.
Özel olarak, a = 0 ise, bu durumda elde edilen
∞
f ( x) = ∑
n =0
f ( n ) ( 0) n
x
n!
(5)
ifadesine de f(xIRQNVL\RQXQXQ0DFODXULQDoÕOÕPÕGHQLU
7DQÕP . (÷HU ELU f(x) fonksiyonunu DoÕOÕPÕQGD ROGX÷X JLEL VRQVX] ELU
seri yerine n-ci dereceden bir polinom ile temsil edersek, Rn(x), kalan terim
ROPDN]HUHDoÕOÕPÕQÕ
n
f ( x) = ∑
k =0
\D]ÕOÕPÕQD
f ( k ) (a )
( x − a ) k + Rn ( x)
k!
NDODQ
WHULPOL
7D\ORU
(6)
formülü denir. Burada Rn(x)’e, f(x)
fonksiyonunu
n
f ( x) ≅ ∑
k =0
úHNOLQGH
f ( k ) (a )
( x − a ) k x)
k!
(7)
n-FL GHUHFHGHQ ELU SROLQRP LOH WHPVLO HWPHNOH \DSÕODQ KDWD J|]\OH
EDNÕOPDOÕGÕU ùLPGL EX KDWDQÕQ KHVDSODQPDVÕQGD \DUD\ÕúOÕ RODQ ELU WHRUHP
verelim.
Teorem 1. (÷HU f(x), x = a QRNWDVÕQÕ LoLQH DODQ ELU DUDOÕNWD n + 1)-ci
dereceden türevlenebilir bir fonksiyon ise, Taylor formülündeki Rn(x) kalan
terimi
x
1
Rn ( x) = ∫ ( x − t ) n f ( n+1) (t )dt
n! a
ED÷ÕQWÕVÕ\OD
(8)
verilir.
øVSDW 7PHYDUÕP\|QWHPLQLNXOODQDOÕP
(6) ile verilen Taylor formülüne göre,
n = 1 için
f ( x) = f (a ) + f ′(a )( x − a ) + R1 ( x)
ROXUùLPGL
45
x
R1 ( x) = ∫ ( x − t ) f ′′(t )dt
a
ROGX÷XQXJ|VWHUPHPL]JHUHNLU
x
R1 ( x) = f ( x) − f (a ) − f ′(a )( x − a ) = ∫ [ f ′(t ) − f ′(a )]dt
a
olur.%XUDGDNÕVPLLQWHJUDV\RQLoLQ u = f ′(t ) − f ′(a ) ve v = t - xDOÕQÕUVa,
x
x
x
a
a
R1 ( x) = ∫ udv = uv a − ∫ (t − x) f ′′(t )dt = ∫ ( x − t ) f ′′(t )dt
x
a
elde edilir. O halde, (8) formülü n = 1 için GR÷UXGXU (8) formülünün n = k için
GR÷UXROGX÷XQXNDEXOHGHOLP%XGXUXPGDNDODQWHULPWDQÕPÕQGDQ
Rk +1 ( x) = Rk ( x) −
f ( k +1) (a )
( x − a ) k +1
(k + 1)!
yazabiliriz. Böylece,
f ( k +1) (a)
1
k
( k +1)
−
−
x
t
f
t
dt
(
)
(
)
( x − a) k +1
∫
k! a
(k + 1)!
x
Rk +1 ( x) =
=
f ( k +1) (a ) 1
1
k
( k +1)
−
−
x
t
f
t
dt
(
)
(
)
( x − a ) k +1
k! ∫a
k!
k +1
=
f ( k +1) (a )
1
k
( k +1)
−
−
x
t
f
t
dt
(
)
(
)
( x − t ) k dt
k! ∫a
k! ∫a
=
1
( x − t ) k f ( k +1) (t ) − f ( k +1) (a ) dt
k! ∫a
x
x
x
[
x
]
olur. .ÕVPL LQWHJUDV\RQ LoLQ için u = f ( k +1) (t ) − f ( k +1) (a ) ve dv = ( x − t ) k dt
DOÕQÕUVD
x
Rk +1 ( x) =
x
1
1
x
udv = uv a +
( x − t ) k +1 f ( k +2) (t )dt
∫
k! a
k + 1 ∫a
x
=
1
( x − t ) k +1 f ( k +2 ) (t )dt
k + 1 ∫a
HOGHHGLOLUYHE|\OHFHIRUPOQQGR÷UXROGX÷XDQODúÕOÕU
46
øQWHJUDO KHVDEÕQ RUWDODPD GH÷HU WHRUHPLQGHQ \DUDUODQDUDN
a<c<x
olmak üzere,
1
f ( n+1) (c)
( n+1)
n
(
)
(
)
( x − t ) n dt
−
=
x
t
f
t
dt
∫
∫
n! a
n!
a
x
Rn ( x) =
x
yazabiliriz. Buradan da
Rn ( x) =
f ( n +1) (c)
( x − a ) n +1
(n + 1)!
elde edilir YH NDODQ WHULPLQ
c = a + ( x − a)θ , (0 < θ < 1) dir.
(9)
/DJUDQJH
ELoLPL
DGÕQÕ
.
DOÕU
Burada,
7DQÕP YH LOH YHULOHQ NDODQ WHULPOL 7D\ORU IRUPO JHUH÷LQFH ELU
f(x) fonksiyonunun x = aFLYDUÕQGDWD\ORUVHULVLQHDoÕOabilmesi için
lim Rn ( x) = 0
(10)
n→∞
ROPDVÕ
gerekir.
NRúXOXQXQ VD÷ODQPDVÕ GXUXPXQGD WD\ORU VHULVL
f(x)
IRQNVL\RQXQD \DNÕQVDNWÕU GHQLU ùLPGL ELU 7D\ORU VHULVLQLQ \DNÕQVDNOÕ÷Õ LOH
ilgili bir teroem verelim.
Teorem 2. f(x), X = (a − R, a + R ) DUDOÕ÷ÕQGD KHU PHUWHEHGHQ WUHYH VDKLS ELU
IRQNVL\RQROVXQ(÷HU ∀x ∈ X ve n ∈ N için
f ( n ) ( x) ≤ An
(11)
olaFDNúHNLOGHSR]LWLIELU AVD\ÕVÕYDUVD f(x)’in x = a FLYDUÕQGDNL taylor DoÕOÕPÕ,
∀x ∈ X için f(x)’e \DNÕQVDU
. Kalan terimin (9)LOHYHULOHQ/DJUDQJHELoLPLQLGLNNDWHDODOÕP c ∈ X ve
x − a < R oldu÷XGLNNDWHDOÕQÕUVD
øVSDW
0 ≤ Rn ( x) ≤
An+1 R n+1
(n + 1)!
olur. Burada R, X DUDOÕ÷ÕQÕQ \DUÕ-JHQLúOL÷LGLU <eterince büyük n GH÷HUOHUL ve
xk
< 1 HúLWVL]OL÷LJHoHUOLROGX÷XQGDQ
∀x ∈ R için
k!
47
( AR) n+1
=0
n→∞ ( n + 1)!
lim Rn ( x) = lim
n→∞
elde edilir. Buna göre, (6) formülünde n → ∞ LoLQOLPLWDOÕQÕUVD
∞
f ( x) = ∑
n =0
f ( n ) (a )
( x − a) n
n!
elde edilir. Bu ise
∀x ∈ X
∞
için
∑
n=0
f ( n) (a)
( x − a) n
n!
serisinin
IRQNVL\RQXQD\DNÕQVDGÕ÷ÕDQODPÕQDJHOLU
n
∞
x
Örnek 1. f ( x) = ∑   ise, f (5) (0) ve f(0.5)GH÷HUlerini bulunuz.
n =0  2 
1
Çözüm. 7D\ORUVHULVLQGHJHQHONDWVD\Õ an = n dir. (3) formüllerine göre
2
a5 =
f (5) (0)
1 15
⇒ f (5) (0) = a5 5!= 120 5 =
5!
2
4
∞
ROXU$\UÕFD
 x
x < 2 olmak üzere, ∑  
n =0  2 
n
JHRPHWULNVHULVL\DNÕQVDNWÕUYH
n
x
1−  
n
∞
2
2
 x
f ( x) = ∑   = lim   =
n→ ∞
x
2
2
−
x
n =0  
1−
2
olur. Buna göre
∞
n
2
x
f ( x) = ∑   =
2− x
n =0  2 
2
4
f (0.5) =
=
2 − 0.5 3
elde edilir.
Örnek 2. f ( x) = e x IRQNVL\RQXQXQ7D\ORUDoÕOÕPÕQÕEXOXQX]
48
f (x)
Çözüm. f ( x) = e x fonksiyonu, (−∞, ∞) DUDOÕ÷ÕQGD VUHNOL YH KHU PHUWHEHGHQ
türeve sahiptir. Üstelik, R!KHUKDQJLELUVD\ÕROPDN]HUH-R, R)DUDOÕ÷ÕQGD
f ( n ) ( x) = e x < e R = M
ROGX÷XQGDQ 7D\ORU VHULVLQH DoÕODELOLU
f ( x) = e x fonksiyonunun x = 0
ndaki DoÕOÕPÕ,
QRNWDVÕ
ex = 1 +
∞
x x 2 x3
xn
xn
+
+
+ ... +
+ ... = ∑
n!
1! 2! 3!
n =0 n!
(12)
olur.6HULQLQ\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ÷Õ (−∞, ∞) ’dir.
Örnek 3. e 0.1 GH÷HULQLEHúEDVDPDNGX\DUOÕNODKHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm. HúLWOL÷LQGHx
e 0.1 = 1 +
DOÕQÕUVD
∞
0.1 (0.1) 2 (0.1) 3
(0.1) n
(0.1) n
+
+
+ ... +
+ ... = ∑
n!
n!
1!
2!
3!
n =0
a = 0 için kDODQWHULPLQ/DJUDQJHELoLPLQLGLNNDWHDODOÕP
f ( n+1) (c) n+1
ec
1.1x n+1
n+1
Rn ( x) =
x =
x <
< 10 −5 , 0 < c < 0.1
(n + 1)!
(n + 1)!
(n + 1)!
elde edilir (Burada c = 0.05 ve e 0.05 ≅ 1.1 NDEXO HGLOPLúWLU %X VRQ HúLWOL÷L
-5
JHUoHNOH\HQHQNoNGR÷DOVD\Õn = 3’tür. O halde, 10 GX\DUOÕNOD
e0.1 = 1 +
0.1 (0.1) 2 (0.1)3
+
+
= 1 + 0.1 + 0.005 + 0.00017 = 1.10517
1!
2!
3!
elde edilir.+HVDSPDNLQDVÕLOH e0.1 = 1.1051709 elde edilir.)
x
Örnek 4. f ( x) = e 2 fonksiyonunu x
x
Çözüm. f ′( x ) =
FLYDUÕQGDVHUL\HDoÕQÕ]
x
1 2
1
e ; f ′′( x) = 2 e 2 ;
2
2
ROGX÷XGLNNDWHDOÕQÕUVD
49
x
f ′′′( x) =
x
1 2
1
e ; ...; f ( n ) ( x) = n e 2
3
2
2
f (2) = e; f ′(2) =
1
1
e; f ′′( x) = 2 e;
2
2
f ′′′( x) =
1
1
e; ...; f ( n ) ( x) = n e
3
2
2
YH7D\ORUDoÕOÕPÕGD
∞
x
2
e =∑
n=1
elde edilir.
e
( x − 2) n
n
n!2
<XNDUÕGDNL DoÕOÕPÕQ GR÷UX RODELOPHVL LoLQ NDODQ WHULPLQ VÕIÕU
Bunun için Kalan terimin Lagrange
c < x olmak üzere,
IRQNVL\RQXQDG]JQ\DNÕQVDPDVÕJHUHNLU
ELoLPLQLGLNNDWHDODOÕP
c
f ( n+1) (c )
e 2 ( x − 2) n+1
Rn ( x) =
( x − 2) n+1 = n+1
(n + 1)!
2 (n + 1)!
ve x = 2 FLYDUÕQGD
c
( x − 2) n+1
=0
n→∞ 2 n+1 ( n + 1)!
lim Rn ( x) = e 2 lim
n→∞
GÕU
Örnek 5. f ( x) = sin x ve f ( x) = cos x fonksiyonODUÕQÕ x
FLYDUÕQGD VHUL\H
DoÕQÕ]
π
π
Çözüm. f ( n ) ( x) = sin( x + n ) ve f ( n ) ( x) = sin( x + n ) ≤ 1 = M ROGX÷un2
2
dan, f ( x) = sin x IRQNVL\RQX7D\ORUVULVLQHDoÕODELOLU x QRNWDVÕQGDNLWUHY
GH÷HUOHULLoLQ
f ( x) = sin x;
f ′( x) = cos x;
f ′′( x) = − sin x;
f ′′′( x ) = − cos x;
f (0) = 0;
f ′(0) = 1;
f ′′(0) = 0;
f ′′′(0) = −1;
f ( Y ) ( x) = sin x;
f ( Y) ( x) = 0
Õ
Õ
ifadelerini elde ederiz. Buna göreJHQHOOHPH\DSÕODUDN
0, H÷HU n ≡ 0 ( Mod 4),
1, H÷HU n ≡ 1 ( Mod 4),

(n)
, (n = 0, 1, 2,...)
f (0) = 
0, H÷HU n ≡ 2 ( Mod 4),
− 1, H÷HU n ≡ 3 ( Mod 4)
50
yazabiliriz. (5) ile verilen 0DFODXULQIRUPOQNXOODQÕUVDN
f ( x) = sin x = x −
∞
x3 x5 x7
x 2 n+1
x 2 n+1
+
−
+ ... + (−1) n
+ ... = ∑ (−1) n
3! 5! 7!
(2n + 1)!
(2n + 1)!
n =0
elde edilir. 6HULQLQ\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ÷ÕQÕQ (−∞, ∞) ROGX÷XDoÕNWÕU
%HQ]HUúHNLOGH
f ( x) = cos x = 1 −
f ( x) = cos x IRQNVL\RQXVHUL\HDoÕOÕUVD
∞
x 2 x4 x6
x 2n
x 2n
+
−
+ ... + (−1) n
+ ... = ∑ (−1) n
2! 4! 6!
(2n)!
(2n)!
n =0
elde edilir.
Örnek 6. e x ¶LQ VHUL DoÕOÕPÕQGDQ ID\GDODQDUDN f ( x) = sinh x fonksiyonunun
VHULDoÕOÕPÕQÕEXOXQX]
Çözüm.
e x − e−x
dir ve (−∞, ∞ ) DUDOÕ÷ÕQGD
2
x
$\QÕ DUDOÕNWD WDQÕPOÕ YH VUHNOL RODQ e ’in (12) ile verilen seri
7DQÕP RODUDN
WDQÕPOÕGÕU
f ( x) = sinh x =
DoÕOÕPÕQÕGLNNDWHDOÕUVDN
ex = 1 +
∞
x x 2 x3
xn
xn
+
+
+ ... +
+ ... = ∑
n!
1! 2! 3!
n =0 n!
burada x yerine –x yazarak
e−x = 1 −
∞
x x2 x3
xn
xn
+
− + ... + (−1) n
+ ... = ∑ (−1) n
n!
n!
1! 2! 3!
n =0
elde ederiz. O halde,
f ( x) = sinh x =
∞
x3 x5
x 2 n+1
x 2 n+1
1 x
+ + ... +
+ ... = ∑
(e − e − x ) = x +
2
3! 5!
(2n + 1)!
n =0 ( 2n + 1)!
olur.6HULQLQ\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ÷Õ (−∞, ∞) ’dir.
Örnek 7. f ( x ) = ln(1 − x ) IRQNVL\RQXLoLQVHULDoÕOÕPEXOXQX]
Çözüm.
∞
∑x
n
JHRPHWULN VHULVLQL HOH DODOÕP
n=0
\DNÕQVDNYH
51
x < 1 için serinin düzgün
∞
∑x
n=0
n
=
1
1− x
ELOL\RUX]
O halde, seri,
integrallenebilirdir. Bunu yaparsak,
ROGX÷XQX
(− 1,1)
DUDOÕ÷ÕQGD
WHULP
WHULP
∞
1
dt
=
t n dt ⇒
∫0 1 − t ∑
∫
n =0 0
x
x
x
t n+1
− ln(1 − t ) 0 = ∑
⇒
n =0 n + 1 0
∞
x
x n+1
⇒
n =0 n + 1
∞
− ln(1 − x) = ∑
∞
ln(1 − x) = −∑
n=1
xn
, x <1
n
elde edilir. Seri, x = -1 QRNWDVÕQGD \DNÕQVDN DOWHUQH VHri) iken x = +1
noktaVÕQGDÕUDNVDNWÕU(harmonik seri).2KDOGH\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ÷Õ [− 1,1) ’dir.
ln(1 − x) ¶LQVHULDoÕOÕPÕQGD x → − x G|QúPyaparsak
(− x) n
,
n
n =1
∞
ln(1 + x) = −∑
∞
ln(1 + x) = ∑ (−1) n+1
n=1
xn
, x <1
n
alterne serisini elde ederiz. Bu seri, x = -QRNWDVÕQGDÕUDNVDNQHGHQ"LNHQx =
ve bu
noktada (− 1,1]’dir. x DOÕQDUDN
QRNWDVÕQGD \DNÕQVDNWÕU DOWHUQH VHUL 6HULQLQ \DNÕQVDNOÕN DUDOÕ÷Õ
ln 2 = 1 −
1 1 1
1
+ − + ... + (−1) n
+ ...
2 3 4
n +1
elde edilir.
Örnek 8OQ¶QLQGH÷HULQLGX\DUOÕNODKHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm. Önceki problemde
ln 2 = 1 −
1 1 1
1
+ − + ... + (−1) n
+ ...
2 3 4
n +1
52
HOGHHWPLúWLN<XNDUÕGDNLVHULDOWHUQHVHULROGX÷XQGDQRQXQNDODQWHULPLLoLQ
1
< ε = 0.0001
n+2
Rn < an+1 =
ROXU2KDOGHLVWHQHQGX\DUOÕ÷ÕQHOGHHGLOHELOPHVLLoLQ
n+2>
1
⇒ n > 9998
0.0001
ROPDOÕGÕU <DQLOQ¶QLQGH÷HULQLGX\DUOÕNODHOGHHGHELOPHNLoLQVHULQLQ
LON WHULPLQL DOPDOÕ\Õ] *|UOG÷ JLEL \XNDUÕGDNL VHUL ROGXNoD \DYDú
\DNÕQVD\DQ ELU VHULGLU %X QHGHQOH GDKD KÕ]OÕ \DNÕQVD\DQ ELU VHUL NXOODQPDN
gerekir.
∞
ln(1 + x) = ∑ (−1) n+1
n=1
xn
, x <1
n
ve
∞
ln(1 − x) = −∑
n=1
xn
,
n
x <1
DoÕOÕPODUÕQGDQ\DUDUODQDUDN
ln
1+ x
= ln(1 + x ) − ln(1 − x) =
1− x

 

x 2 x3
x2 x3
= x −
+
− ... − − x −
−
− ...
2
3
2
3

 

3
5
2 n −1
x
x
x
= 2 x + 2 + 2 + ... + 2
+ ...
3
5
2n − 1
x3
x5
x 2 n −1
= 2 x + 2 + 2 + ... + 2
+ ...
3
5
2n − 1
∞
x 2 n−1
= 2∑
, x <1
n =1 2 n − 1
1
DOÕQÕUVD
3
∞
1
ln 2 = 2∑
2 n −1
n =1 ( 2 n − 1)3
elde ederiz. Burada x =
\DNÕQVDNVD\ÕVHULVL
elde edilir. Burada kalan terim için
53
∞
1
∑ (2k − 1)3
Rn =
k = n+1
2 k −1
< ε = 0.0001
NRúXOXQXQVD÷ODQPDVÕQÕLVWL\RUX]øQWHJUDO|OoWQX\JXODUVDN
∞
Rn <
∞
dx
dx
∫k +1 (2 x − 1)32 x−1 <k∫+1 (2k + 1)32 x−1 < 0.0001
buradan
∞
dx
1
< 0.0001
∫
2k + 1 k +1 32 x−1
ve buradan da
1
< 0.0001
2(2k + 1) 32 k +1 ln 3
HOGH HGHUL] %X HúLWVL]OL÷L JHUoHNOH\HQ HQ NoN GR÷DO VD\Õ LVH
k = 3’dür. O
halde,LVWHQHQGX\DUOÕNOD
1
1 
1
ln 2 ≅ 2  +
= 2[0.33333 + 0.01235 + 0.00082] = 0.6930
+
3
5
 3 3 ⋅ 3 5 ⋅ 3 
dir.+HVDSPDNLQDVÕLVHG|UWEDVDPDNGX\DUOÕNODVRQXFXQÕYHUPHNWHGLU
1.9. Binom Serisi
m
! ELU JHUoHO VD\Õ ROPDN ]HUH
f ( x) = (1 + x) m fonksiyonu
(− 1, ∞ )
DUDOÕ÷ÕQGD WDQÕPOÕ YH VUHNOL ROXS 7D\ORU VHULVLQH DoÕODELOLU )RQNVL\RQXQ
n-ci
dereceden türevinin
f ( n ) ( x) = m(m − 1)(m − 2)...(m − n + 1) x m−n
ve türevin x QRNWDVÕQGDNLGH÷HULQLQGH
f ( n ) (0) = m(m − 1)(m − 2)...(m − n + 1)
ROGX÷XDoÕNWÕU%XQDJ|UH
54
(1)
(2)
∞
m(m − 1)...(m − n + 1) n
x
n!
n =0
m(m − 1) 2 m(m − 1)(m − 2) 3
m(m − 1)...(m − n + 1) n
x +
x + ... +
x + ...
= 1 + mx +
n!
2!
3!
(3)
(1 + x) m = ∑
serisi elde edilir ve binom serisi denir. (÷HU m ELU SR]LWLI WDPVD\Õ LVH (3)
DoÕOÕPÕQGD m-FL WHULPLQGHQ VRQUDNL EWQ WHULPOHULQLQ NDWVD\ÕODUÕ VÕIÕU ROXU YH
bu durumda (3) serisi
m( m − 1)...(m − n + 1) n
x
n!
n =0
m(m − 1) 2 m(m − 1)(m − 2) 3
= 1 + mx +
x +
x + ... + mx m−1 + x m
2!
3!
m
(1 + x) m = ∑
(4)
ve Newton binom formülü denir.
m¶QLQ KHUKDQJL ELU JHUoHO VD\Õ ROGX÷XQX J|]|QQH DODUDN VHULVLQLQ
\DNÕQVDNOÕNDUDOÕ÷ÕQÕEXODOÕP.HVLP1.6¶GDNL7HRUHPJHUH÷LQFH
úHNOLQHG|QúU
an
n→∞ a
n +1
R = lim
m(m − 1)...(m − n + 1)
(n + 1)!
.
n→∞
n!
m(m − 1)...(m − n)
= lim
= lim
n→∞
n +1
=1
m−n
elde edilir. O halde, (3) ile verilen binom serisi (− 1,1) DUDOÕ÷ÕQGD \DNÕQVDNWÕU
Binom formülünde m¶\H oHúLWOL GH÷HUOHU YHULOHUHN YH x → g (x) úHNOLQGH
G|QúPOHU\DSÕODUDNoHúLWOL IRQNVL\RQODUÕQ x QRNWDVÕQGDNL7D\ORU DoÕOÕPODUÕ
elde edilebilir. %X G|QúPOHU Vonucunda seri x = ±1 QRNWDODUÕQGD \DNÕQVDN
\DGDÕUDNVDNRODELOLU
Örnek 1
%LQRP VHULVL \DUGÕPÕ\OD
f ( x) =
x
fonksiyonunun Taylor
1− x
DoÕOÕPÕQÕEXOXQX]
1
−
1
Çözüm. Öncelikle g ( x) =
= (1 − x) 2 IRQNVL\RQXQXQ DoÕOÕPÕQÕ HOGH
1− x
1
edelim. Bunun için, (3) serisinde, m = − DOÕS x → − x G|QúPQ
2
X\JXOD\DOÕP
55
(1 − x )
(1 − x )
−
1
2
−
1
2
1
1
− ( − − 1)
1
2
( − x ) 2 + ...
= 1 + ( − )( − x ) + 2
2
2!
1
1
1
− ( − − 1)...( − − n + 1)
2
2
( − x ) n + ...
+ 2
n!
1
1⋅ 3
1⋅ 3 ⋅ 5
1 ⋅ 3 ⋅ 5 ...( 2 n − 1) n
x + ...
= 1 + x + 2 x 2 + 3 x 3 + ... +
2
2 2!
2 3!
2 n n!
elde ederiz. O halde,
1
1⋅ 3
1⋅ 3 ⋅ 5
1 ⋅ 3 ⋅ 5...(2n − 1) n+1
x
= x + x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + ... +
x + ..., x < 1
2
2 2!
2 3!
2 n n!
1− x
olur.
Örnek 2. Binom formülünden yararlanarak f ( x) = arctan x fonksiyonunun x =
QRNWDVÕQGDNL7D\ORUDoÕOÕPÕQÕHOGHHGLQL]
Çözüm.
f ′( x) = (arctan x)′ =
1
1 + x2
dir. O halde, önce
IRQNVL\RQXQXQ DoÕOÕPÕQÕ EXODOÕP IRUPOQGH
m = −1 1
1 + x2
x → x2
g ( x) =
DOÕS
larsak
G|QúPQX\JX
− 1(−2) 4
− 1(−2)(−3)...(− n) 2 n
1
= 1 + (−1) x 2 +
x + ... +
x + ...
2
1+ x
2!
n!
= 1 − x 2 + x 4 + ... + (−1) n x 2 n + ..., x < 1
serisini ve integral alarak da
arctan x = x −
x3 x5
x 2 n+1
+
+ ...(−1) n
+ ... , x < 1
3
5
2n + 1
serisini elde ederiz.
Örnek 3. Binom formülünden yararlanarak
GH÷HULQLKHVDSOD\ÕQÕ]
56
7 LUUDV\RQHO VD\ÕVÕQÕQ \DNODúÕN
1
2
yapabilmek için öncelikle 7 = a (1 + x) , x < 1
RODFDN úHNLOGH \D]PDOÕ\Õ] Burada x VD\ÕVÕ VÕIÕUD QH NDGDU \DNÕQ LVH EXOXQDFDN
Çözüm
%X KHVDSODPD\Õ
VHULQLQ\DNÕQVDPDKÕ]ÕGDRRUDQGD\NVHNROXU%XQDJ|UH
1
4 25 5 28 5
3
5
3
7 = 7⋅ ⋅
=
=
1+
= (1 + ) 2
4 25 2 25 2
25 2
25
alabiliriz. Bu durumda (3) ile verilen binom formülünde m =
1
3
ve x =
25
2
alÕQÕUVD
1 1
1 1
1
1
( − 1)
( − 1)...( − n + 1)
3 2
1 3
3
3
2
2
(1 + ) = 1 + ( ) + 2 2
( ) + ... + 2 2
( ) n + ...
25
2 25
2!
25
n!
25
1 3
1 3 2 1⋅ 3 3 3
= 1 + ( ) − 2 ( ) + 3 ( ) + ...
2 25 2 2! 25
2 3! 25
1 3
1
9
1 ⋅ 3 27
)+
(
) + ...
=1+ ( ) − 2 (
2 25 2 2! 625 2 33! 15625
elde edilir. O halde,
1
7=
5
3
5 1 3
1
9
1 ⋅ 3 27

(1 + ) 2 = 1 + ( ) − 2 (
)+
(
) − ...
2
25
2  2 25 2 2! 625 233! 15625

olur. Serinin WHULPLQLQGH÷HUL
5 1 ⋅ 3 27
(
) = 0.0003
2 2 33! 15625
YHVHULDOWHUQHVHULROGX÷XQGDQ
R4 < 0.0003 ’dür. O halde, 0.0003GX\DUOÕNOD
1
5
3
5 1 3
1
9 
(1 + ) 2 = 1 + ( ) − 2 (
)
2
25
2  2 25 2 2! 625 
5
= [1.00000 + 0.06000 − 0.00180] = 2.6455
2
7=
GLUKHVDSPDNLQDODUÕ
7 = 2.64575 vermektedir).
Örnek 4. cos12D10′ VD\ÕVÕQÕGX\DUOÕNODKHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm. Önceki konulardan
57
cos x = 1 −
∞
x2 x4 x6
x 2n
x 2n
+ − + ... + (−1) n
+ ... = ∑ (−1) n
2! 4! 6!
(2n)!
(2n)!
n =0
ROGX÷XQXELOL\RUX]6HULDOWHUQHVHULROGX÷XQGDQNDODQWHULPLLoLQ
x 2 n+1
< 0.0001
(2n + 2)!
Rn <
VD÷ODQPDOÕGÕU
x = 12 D 10 ′ = 12 D .16667 = 12.16667
π
180
= 0.21235 UDG
kabul edersek
Rn <
(0.21235) 2 n +1
< 0.0001
(2n + 2)!
HúLWVL]OL÷LQLVD÷OD\DQHQNoNWDPVD\Õ
n = 2’dir. O halde, istenen duyarlÕNOD
cos12 D10′ = cos 0.21235(rad ) ≅ 1 −
ROXUKHVDSPDNLQDVÕ
(0.21235) 2
= 0.9775
2!
ise
cos12 D10′ = cos 0.21235(rad ) ≅ 0.97754
GH÷HULQLYHUPHNWHGLU
π 3
Örnek 5.
∫
0
sin 2 x
dx LQWHJUDOLQLQGH÷HULQLGX\DUOÕNODKHVDSOD\ÕQÕ]
x
Çözüm. Önceki konulardan
sin x = x −
∞
x3 x5 x7
x 2 n+1
x 2 n+1
+
−
+ ... + (−1) n
+ ... = ∑ (−1) n
3! 5! 7!
(2n + 1)!
(2n + 1)!
n =0
nu biliyoruz. Buradan
ROGX÷X
2 n+1 2 n
sin 2 x
23 x 2 25 x 4 2 7 x 6
x
n 2
= 2−
+
−
+ ... + (−1)
+ ...
x
3!
5!
7!
(2n + 1)!
elde ederiz. Böylece sözkonusu integral için
58
π 3
∫
0
sin 2 x
dx =
x
π 3
∫
0
2 n +1 2 n


2 3 x 2 25 x 4
x
n 2
−
+
−
+
−
+ ... dx
2
...
(
1
)

3!
5!
(2n + 1)!


π 3
= 2x −
23 x 3 25 x 5
2 2 n+1 x 2 n+1
+
− ... + (−1) n
+ ...
3 ⋅ 3! 5 ⋅ 5!
(2n + 1)(2n + 1)!
0
π 3
(2 x ) 3 ( 2 x ) 5
(2 x) 2 n+1
= 2x −
+
− ... + (−1) n
+ ...
3 ⋅ 3!
5 ⋅ 5!
(2n + 1)(2n + 1)!
0
2π
2π
2π
( )3 ( ) 5
( ) 2 n+1
2π
3
=
− 3 + 3 − ... + (−1) n
+ ...
3
3 ⋅ 3!
5 ⋅ 5!
(2n + 1)(2n + 1)!
DOWHUQDWLIVHULDoÕOÕPÕQÕHOGHHGHUL]%XUDGD
2π 2 n+3
)
3
Rn <
< 0.0001
(2n + 3)(2n + 3)!
(
NRúXOXVD÷ODQPDOÕGÕU
59
3. BÖLÜM
*h1(ù$<YH*(=(*(1/(5ø1 +$5(.(7/(5ø
3*LULú
,
*QHúVLVWHPLQLQ\HOHUL QLVSHWHQ\DNÕQROGXNODUÕQGDQYHKHSVL
deJQHúHWUDIÕQGD\|UQJH
KDUHNHWL \DSWÕNODUÕQGDQ GROD\Õ X]DN J|N FLVLPOHULQH QD]DUDQ GDKD NDUPDúÕN ELU J|UQP
sergilerler.
*QHú VLVWHPLQGHNL WP \HOHU JQHú HWUDIÕQGD NRQLN \|UQJHOHUGH GRODQÕUODU
%X \|UQJHOHULQ DUDúWÕUÕOPDVÕ J|N PHNDQL÷LQLQ NRQXVXGXU %L
z bu bölümde, konik
\|UQJHOHULQ|]HOOLNOHGHHOLSV\|UQJHOHULQ|]HOOLNOHULQHNÕVDFDGH÷LQGLNWHQVRQUDJQHúLQ
ve gezegenlerin
J|N NUHVLQGHNL J|]OHQHQ KDUDNHWOHULQL LQFHOH\HFH÷L] *|UQU KDUHNHW
GH÷LQFH DNOD LON JHOHQ JQON KDUHNHWWLU %X ROGXNoD JHQHO ELU GXUXPGXU YH ND\QD÷Õ \HULQ
NHQGL HNVHQL HWUDIÕQGD G|QPHVLGLU øNLQFL E|OPGH GH DQODWÕOGÕ÷Õ ]HUH WP J|N FLVLPOHUL
gQONKDUHNHWHNDWÕOÕUODUYHELUJQLoHULVLQGH,HúOH÷HSDUDOHO olan çember yörüngelerde tam
ELU GRODQÕP \DSPÕú ROXUODU Bu bölümde, sÕUDVÕ\OD JQHú D\ YH JH]HJHQOHUL HOH DODFDN YH
JH]HJHQOHULGHLoYHGÕúJH]HJHQOHUROPDN]HUHLNLNÕVÕPGDLQFHOH\HFH÷L]
.HSOHU\DVDODUÕJQHúLQJ|UQU
yörüngesi
*H]HJHQOHULQ KDUHNHWOHULQH LOLúNLQ GR÷UX YH \HWHUOL LON WDQÕPODPD \]\ÕOGD EX NRQXGD
o |QHPOL \DVD\Õ RUWD\D NR\DQ -RKDQQHV .HSOHU WDUDIÕQGDQ RUWD\D NRQPXúWXU
Kepler
\DVDODUÕRODUDNDGODQGÕUÕODQEXo\DVDVÕUDVÕ\ODú|\OHGLU
(i)
*H]HJHQOHULQ JQHú HWUDIÕQGDNL \|UQJHOHUL ELUHU HOLSVWLU YH JQHú EX HOLSVOHULQ
RGDNODUÕQGDQELULQGHEXOXQXU
(ii)
*H]HJHQOHU
\|UQJHOHULQGH DODQ \DVDVÕQD
X\DFDN
úHNLOGH
GRODQÕUODU \DQL
JH]HJHQLJQHúHELUOHúWLUHQ\DUÕoDSYHNW|UHúLW]DPDODUGDHúLWDODQODUWDUDU
(iii)
-
*H]HJHQ \|UQJHVLQLQ \DUÕ E\N HNVHQ X]XQOX÷XQXQ NE \|UQJH GRODQPD
a1, P1 ve a2, P2 olan iki gezegen durumunda, Keplerin
G|QHPLQLQ NDUHVL LOH RUDQWÕOÕGÕU %XQD J|UH \DUÕ E\N HNVHQ X]XQOX÷X YH
GRODQPDG|QHPLVÕUDVÕ\OD
oQF\DVDVÕQÕ
 a1

 a2
3

P 
 =  1 

 P2 
biçiminde yazabiliriz.
2
(3.1)
'DKDVRQUD 1HZWRQ¶XQDQDOLWLNRODUDNRUWD\DNR\GX÷X ]HUH
, üçüncü
\DVD DQFDN JH]HJHQOHULQ NWOHOHUL JQHúLQ NWOHVL \DQÕQGD LKPDO HGLOGL÷L ]DPDQ JHoHUOLGLU
Buna göre J|N PHNDQL÷LQGHQGH ELOGL÷LPL] G]HOWLOPLú oQF .HSOHU \DVDVÕQÕ GLNNDWH
DOÕUVDNRUDQWÕVÕ\HULQH
 a1

 a2



3
 P2

 P1
2

M + m1
 =
M + m2

(3.2)
, burada MJQHúLQm1 ve m1 de gezegenlerin kütleleridir.
LIDGHVLQLQNXOODQÕOPDVÕJHUHNLU
50
-
<DUÕ E\N HNVHQ X]XQOX÷X
a,
GÕúPHUNH]OL÷L
e olan elips yörüngenin denklemi, gök
PHNDQL÷LQGHQGHELOLQGL÷L]HUH
r=
a (1 − e2 )
1 + e cos v
(3.3)
úHNOLQGHGLU %XUDGD v JHUoHN D\UÕNOÕN DGÕQÕ DOÕS \DUÕoDS YHNW|UQQ HQEHUL GR÷UXOWXVX\OD
pozitif \|QGH\DSWÕ÷ÕDoÕRODUDNWDQÕPODQÕU
’deJ|VWHULOGL÷Lgibi, JQHúLQ\HUHWUDIÕQGDNLgörünür yörüngesini dikkate
Bu yörünge ùHNLO ¶GH \HQLGHQ J|VWHULOPLúWLU ùHNLOGH \HUGHQ EDNÕOGÕ÷ÕQGD NRo
QRNWDVÕ GR÷UXOWXVX LúDUHWOHQPLúWLU %XQD J|UH HQEHUL QRNWDVÕQÕQ WXWXOXP ER\ODPÕ λo ile
JQHúLQWXWXOXPER\ODPÕúHNLOGHJ|VWHULOGL÷LJLELGLU ùHNLOGHQJQHúLQJHUoHND\UÕNOÕ÷Õν ile
ùLPGLùHNLOE
DODOÕP
WXWXOXPER\ODPÕDUDVÕQGD
ùHNLO*QHúLQ\HUHWUDIÕQGDNLJ|UQU\|UQJHVL
v = 360 + λ − λo ya da v = λ − λ o
\D]ÕODELOHFH÷LNROD\FDJ|UOPHNWHGLU (QEHULER\ODPÕ
λo, astronomik almanakta,
λR = 281R 13′ 15′′.0 + 6189′′.03T + 1' '.63 T 2
(3.4)
bD÷ÕQWÕVÕ\OD YHULOLU, burada T ¶GDQ EHUL JHoHQ \]\ÕO VD\ÕVÕGÕU %XQD J|UH |UQH÷LQ
T=1DOÕQDUDNLoLQHQEHULER\ODPÕo 00′ 33′′.4 olarak elde edilir.
3.2. Pergel aoÕ|OoHUYHFHWYHOkullanarak elips çizimi
a ve b RODQ HOLSVL SHUJHO DoÕ |OoHU YH
cetvel kullanarak çizme\HoHOÕúDOÕPgQFHùHNLO¶GHJ|VWHULOGL÷LJLEL O merkezli, a ve b
\DUÕoDSOÕoHPEHUOHULoL]HOLP Daha sonra, a\DUÕoDSOÕoHPEHULQKHUKDQJLELU ABoDSÕQÕYH b
<DUÕ E\N YH \DUÕ NoN HNVHQ X]XQOXODUÕVÕUDVÕ\OD
51
\DUÕoDSOÕoHPEHULQ AB’ye dik CDoDSÕQÕoL]HOLP x-ekseni OAGR÷UXOWXVXQGDYH y-ekseni de
OC do÷UXOWXVXQGDRODFDNúHNLOGHxyNRRUGLQDWVLVWHPLQLNXUDOÕPùLPGLOA ile EDoÕVÕ\DSDQ
ELU GR÷UX oL]HOLP %X GR÷UXQXQ oHPEHUOHUL NHVLP QRNWDVÕ VÕUDVÕ\OD M ve N olsun. M
QRNWDVÕQGDQ AB’ye ve N QRNWDVÕQGDQ GD CD’ye çizilen paraleller P QRNWDVÕQGD NHVLúVLQOHU
ùHNLOGHQNROD\FDJ|UOHELOHFH÷L]HUHPQRNWDVÕQÕQkRRUGLQDWODUÕ
x = acosE,
(3.5a)
y = bsinE
(3.5b)
dir ve
x2 y2
+
=1
a2 b2
(3.6)
P QRNWDVÕ \DUÕ-E\N YH \DUÕ-NoN HNVHQ X]XQOXODUÕ
a ve b RODQ HOLSV ]HULQGHNL ELU QRNWDGÕU $\QÕ LúOHPOHU GH÷LúLN E DoÕODUÕ LOH
yinelenerek eOLSV oL]LOPLú ROXU O QRNWDVÕ D\QÕ ]DPDQGD HOLSVLQ GH PHUNH]LGLU a \DUÕoDSOÕ
çembere, elipsin asal çemberi ve b\DUÕoDSOÕoHPEHUH de elipsin yedek çemberi denir. AB’ye
elipsin büyük ekseni ve CD’ye de küçük ekseni denir. ùHNLOGHQ GH J|UOHFH÷L ]HUH E\N
YHNoNHNVHQX]XQOXNODUÕVÕUDVÕ\ODa ve 2b’dir. (OGHHGLOHQ(OLSVLQLNLWDQHRGD÷ÕYDUGÕU
%XQODUÕQ\HUOHUL, VÕUDVÕ\OD F1(c,0) ve F2(-c,0)¶GLUùHNLO¶GHRGDNODUGDQ\DOQÕ]FDELUWDQHVL
J|VWHULOPLúFQRNWDVÕYHDOWLQGLVNXOODQÕOPDPÕúWÕUcGH÷HULLOHa ve bDUDVÕQGD
HOLSV GHQNOHPLQL VD÷ODGÕNODUÕQGDQ
VÕUDVÕ\OD
ùHNLO3HUJHODoÕ|OoHUYHFHWYHOLOHHOLSVoL]LPL
52
a2= b2 + c2
LOLúNLVL YDUGÕU
(3.7)
c¶\H RGDN X]DNOÕ÷Õ GHQLU $\UÕFD ELU HOLSVLQ RGDN X]DNOÕ÷Õ LOH \DUÕ-büyük
HNVHQX]XQOX÷XDUDVÕQGDNL
e=
c
a
(3.8)
, b ile aDUDVÕQGD
RUDQÕQDGDHOLSVLQGÕú PHUNH]OL÷LGHQLU'ÕúPHUNH]OLNFLQVLQGHQ
b2= a2(1 - e2)
ED÷ÕQWÕVÕQÕQ ROGX÷X NROD\FD J|VWHULOHELOLU
(3.9)
A
QRNWDVÕ HOLSV ]HULQGH RGD÷D HQ \DNÕQ
, genel olarak, HQEHUL QRNWDVÕ JQHú VLVWHPLQGH JH]HJHQ \|UQJHOHUL
Benzer olarak, BQRNWDVÕGD HOLSVLQRGD÷D
HQ X]DN QRNWDVÕGÕU YH JHQHO LVPL HQ|WH QRNWDVÕ ROPDVÕQD NDUúÕQ, gezegen yörüngeleri
GXUXPXQGD JQ|WH QRNWDVÕ DGÕQÕ DOÕU (OLSV ]HULQGHNL GH÷LúNHQ P QRNWDVÕQÕQ RGD÷D
X]DNOÕ÷ÕQÕr ile gösterecek olursak,
QRNWDGÕU %X QRNWD\D
V|]NRQXVXROGX÷XQGDLVHJQEHULQRNWDVÕGHQLU
rA=a(1 - e)
(3.10a)
rB=a(1 + e)
(3.10b)
ROGX÷XNROD\FDJ|VWHULOHELOLU
PQRNWDVÕQÕF1RGD÷ÕQDELUOHúWLUHQ\DUÕoDSYHNW|UQQx-ekseni
, P QRNWDVÕQÕQ JHUoHN D\UÕNOÕ÷Õ GHQLU Elipsin RGD÷D J|UH
GHQNOHPLJHUoHND\UÕNOÕNFLQVLQGHQ (3.3) ifadesi ile verilir. NQRNWDVÕHOLSV]HULQGHNLELU P
ùHNLO¶GHHOLSV]HULQGHNL
LOH SR]LWLI \|QGH \DSWÕ÷Õ DoÕ\D
QRNWDVÕQGDQ E\N HNVHQH LQGLULOHQ GLNPHQLQ X]DQWÕVÕQÕQ DVDO oHPEHUL NHVWL÷L QRNWDGÕU YH
EDoÕVÕGD, ON\DUoDSÕQÕQ, x-ekseni ile pozitif yönde yapWÕ÷ÕDoÕGÕU PQRNWDVÕHOLSV]HULQGH
o
o
GH÷LúWLNoH NQRNWDVÕGDDVDOoHPEHULoL]HU%DúNDELUGH÷LúOH, vJHUoHND\UÕNOÕ÷Õ 0 ile 360
o
o
DUDVÕQGD GH÷LúWL÷LQGH E DoÕVÕGD D\QÕ úHNLOGH GH÷LúLU *HUoHN D\UÕNOÕ÷ÕQ 0 , 180
ve 360o
ROGX÷X QRNWDODUGD, E DoÕVÕQÕQ GD D\QÕ GH÷HUOHUL DODFD÷Õ NROD\FD J|UOHELOLU E DoÕVÕQD P
QRNWDVÕQÕQ GÕú D\UÕNOÕ÷Õ GHQLU *|N PHNDQL÷LQGHQ GH ELOLQGL÷L ]HUH JHUoHN YH GÕú
D\UÕNOÕNODUDUDVÕQGD
tan
v
1+ e
E
tan
=
2
1− e
2
(3.11)
LOLúNLVLYDUGÕU
(OLSV GHQNOHPLQL GÕú D\UÕNOÕN cinsinden yazmak da mümkündür. ùHNLO ¶GH PFK dik
üçgeninde PLVDJRU ED÷ÕQWÕVÕ \D]ÕOÕU PF = r, FK = x - c ve PK = y ROGX÷X GLNNDWH DOÕQÕUVD
(3.5a-b) ve (3.8)ED÷ÕQWÕODUÕQÕQGD\DUGÕPÕ\OD
r = a (1 − e cos E )
(3.12)
elde edilir.
53
3.3. Kepler denklemi
ùHNLO ¶GH
P elips üzerindeki her hangi bir nokta ve N’de, P QRNWDVÕQGDQ HOLSVLQ E\N
olmak üzere
HNVHQLQHLQGLULOHQGLNPHQLQDVDOoHPEHULNHVWL÷LQRNWD
NK a sin E a
=
=
PK b sin E b
(3.13)
kolayca görülebilir. Elips üzerinde hareket eden bir cismin, T DQÕQGD HQEHUL
QRNWDVÕQGDQ JHoHUHN t DQÕQGD, úHkildeki P NRQXPXQD JHOGL÷LQL YDUVD\DOÕP Yani cisim, (t T VUHGH HQEHUL QRNWDVÕQGDQ P QRNWDVÕQD YDUPÕú ROVXQ Burada T¶\H HQEHULGHQ JHoLú
]DPDQÕGHQLUùLPGL,
ROGX÷X
Alan (PFA) = Alan (PFK) + Alan (PKA)
(3.14)
aODQ HúLWOL÷LQL GLNNDWH DODOÕP. Burada Alan(PFA \DUÕoDS YHNW|UQQ t - T VUHGH WDUDGÕ÷Õ
DODQDHúLWWLUYH.HSOHULQ\DVDVÕX\DUÕQFD
Alan( PFA) = π ab
t −T
P
(3.15)
yazabiliriz. Burada, π ab HOLSVLQ DODQÕGÕU YH \DUÕoDS YHNW|U EX DODQÕ P sürede tarar. P’ye
dolanma dönemi denir. ùLPGL PFKoJHQDODQÕQÕKHVDSOD\DOÕPùHNOHJ|UH, FK = OK – OF
olup, OK = asinE ve OF = c = ae’dir. O halde FK = a(sinE - e) olur. <LQH úHNLOGHQ GH
görüOHFH÷L]HUHPK = MH = bsinE’dir. Sonuç olarak
Alan( PFK ) =
1
ab sin E (sin E − e)
2
(3.16)
olur. Son olarak PKA HOLSV SDUoDVÕQÕQ DODQÕQÕ KHVDSOD\DOÕP. (3.13 LOLúNLVL YH WHPHO DQDOL]
ELOJLOHULPL]\DUGÕPÕ\OD
Alan( PKA) =
b
Alan( NKA)
a
(3.17)
yazabiliriz. Halbuki, NKA alanÕ NOA daire diliminin DODQÕ LOH NOK üçgeninin alanODUÕ
IDUNÕQDHúLWWLU EPHUNH]DoÕOÕYHa\DUÕoDSOÕNOAGDLUHGLOLPLQLQDODQÕ
Alan( NOA) =
GÕU
(3.18)
Gelelim NOKoJHQLQLQDODQÕQDùHNOHJ|UHOK = acosE ve NK = asinE ve buradan da
Alan( NOK ) =
GÕU
E
π a2
2π
1 2
a sin E cos E
2
(3.19)
O halde,
54
Alan( NKA) =
E
1
π a 2 − a 2 sin E cos E
2π
2
(3.20)
E
1
π ab − ab sin E cos E
2π
2
(3.21)
ve (3.17)’den
Alan( PKA) =
elde edilir. (3.15) ve (3.16) ve (3.21) ifadeleri (3.14)’dH \HULQH NRQXU YH JHUHNOL VDGHOHúWLUPHOHU\DSÕOÕUVD
E − e sin E =
2π
(t − T )
P
(3.22)
Kepler denklemi elde edilir. Burada 2π/P \DUÕoDSYHNW|UQQRUWDODPDDoÕVDOKÕ]ÕROXS n ile
gösterilir. Bu durumda, n(t – T oDUSÕPÕna da, F RGD÷Õ HWUDIÕQGD VDELW DoÕVDO KÕ]OD GRODQDQ
ELU\DUÕoDSYHNW|UQQ, (t – T) sürede WDUDGÕ÷ÕDoÕJ|]\OHEDNDELOLUL]
M = n(t – T)
(3.23)
P QRNWDVÕQD LOLúNLQ RUWDODPD D\UÕNOÕN DGÕ YHULOLU *HUoHN D\UÕNOÕ÷ÕQ o ve 180o
ROGX÷X GXUXPODUGD,yani cisim eQEHUL YH HQ|WH QRNWDODUÕQGD\NHQ JHUoHN D\UÕNOÕN GÕú
D\UÕNOÕN YH RUWDODPD D\UÕNOÕN GH÷HUOHULQLQ KHSVQLQ ELU ELULQH HúLW ROGX÷X J|UOPHOLGLU O
halde, MRUWDODPDD\UÕNOÕ÷ÕFLQVLQGHQ.HSOHUGHQNOHPL
QLFHOL÷LQH
E − e sin E = M
(3.24)
E GÕú D\UÕNOÕ÷ÕQÕQ KHP GR÷UXVDO KHP GH
, Kepler denkleminin analitik olarak
çözümü yoktur. Bununla birlikte, esinE < ROPDVÕ ise,\DNODúÕNo|]POHULQHOGe edilmesine
úHNOLQGH \D]ÕODELOLU 'HQNOHPLQ VRO WDUDIÕQÕQ
WULJRQRPHWULNIRQNVL\RQODUÕQÕLoHUL\RUROPDVÕQHGHQL\OH
RODQDNVD÷OD\DQELUDYDQWDMRODUDNNDUúÕPÕ]GDGXUPDNWDGÕU
3.4. Kepler denkleminin çözümü
. Bu yöntemlerin önemlileri
temi ile diferansiyel düzeltme
.HSOHU GHQNOHPLQLQ \DNODúÕN o|]P ELU oRN \ROGDQ \DSÕODELOLU
J|NPHNDQL÷LGHUVLQGHHOHDOÕQPDNWDGÕU%XUDGDLWHUDV\RQ\|Q
\|QWHPLQLYHUHFH÷L]
3.4.1. Kepler denkleminin itterasyon yöntemi ile çözümü
(3.22) Kepler denklemini,
Ei +1 = M + e sin Ei
(3.25)
55
úHNOLQGHLWHUDV\RQIRUPORODUDN\HQLGHQ \D]DOÕP
olarak E o = M
e sin E < 1 ROGX÷XQGDQELU LON\DNODúÕP
DOÕQDUDNLWHUDV\RQD GHYDP HGLOLU øVWHQHQGX\DUOÕN HOGH HGLOLQFH GÕú D\UÕNOÕN
(3.24) ya da (3.25 ED÷ÕQWÕODUÕQÕQ UDG\DQ FLQVLQGHQ \D]ÕOGÕ÷ÕQD GLNNDW
edilmelidir. Bununla bLUOLNWH EX ED÷ÕQWÕODUÕ NoN ELU G]HOWPH LOH GHUHFH FLQVLQGHQ GH
yazabiliriz:
DoÕVÕ EXOXQPXú ROXU
Ei +1 = M +
180
e sin Ei .
π
(3.26)
Örnek: Yer’in,JQHúHWUDIÕQGDNL \|UQJHVLQLQ\DUÕ-E\NHNVHQ X]XQOX÷X a = 149.6 × 106
km, GÕúPHUNH]OL÷Le = 0.01675 ve dolanma dönemi P JQROGX÷XQDJ|UHenberi
QRNWDVÕQGDQJHoWLNWHQJQVRQUD, yörüngesindeki NRQXPXQXKHVDSOD\ÕQÕ]
Çözüm: n =
360
= 0 o .98561 gün −1 , M = n(t − T ) = 98 o.561 olur. Eo = M kabul eder ve
P
LWHUDV\RQIRUPOQNXOODQÕUVDN
Eo = 98o.56100,
E1 = 99o.51001,
E2 = 99o.50752,
E3 = 99o.50752,
elde edilir. %XQD J|UH GÕú D\UÕNOÕN EHú EDVDPDNGX\DUOÕNOD bulunPXú ROXU E¶QLQ EX GH÷HUL
LOHGÕúPHUNH]OLNGH÷HUL¶GHNXOODQÕODUDNJHUoHND\UÕNOÕN
v = 100o 27′
olarak elde edilir.%XDQGD\HULQJQHúHRODQX]DNOÕ÷ÕGDED÷ÕQWÕVÕNXOODQÕODUDN
r = 150.01 × 106 km
RODUDNKHVDSODQÕU
Bu örnekte,
\DNÕQVDPÕúWÕU
,
GÕúPHUNH]OLN ROGXNoD NoN ROGX÷XQGDQ LWHUDV\RQ IRUPO KÕ]OD
'Õú PHUNH]OL÷LQ E\N ROPDVÕ GXUXPXQGD \DNÕQVDPD oRN GDKD \DYDú
olPDNWDGÕU. øWHUDV\RQ \|QWHPLQH ELU DOWHUQDWLI
diferansiyel düzeltme yöntemiNXOODQÕODELOLU
RODUDN
\DNÕQVDPDVÕ
GDKD
KÕ]OÕ
RODQ
3.4.2. Kepler denkleminin diferansiyel düzeltme yöntemi ile çözümü
(3.24) ile verilen Kepler denklemini kullanarak,
f ( E ) = E − e sin E − M = 0
(3.27)
f(E IRQNVL\RQXQX WDQÕPOD\DOÕP Eo, f(E) fonksiyonunun
Eo+∆E¶GH JHUoH÷H GDKD \DNÕQ ELU o|]P ROPDN ]HUH f(E)
fonksiyonunu Eo+∆E cLYDUÕQGDVHUL\HDoar, birinci türevden sonraki terimleri ihmal edersek
úHNOLQGH GÕú D\UÕNOÕ÷D ED÷OÕ
\DNODúÕN o|]P YH
56
f ( E o + ∆E ) ≅ f ( E o ) + ∆Ef ′( E o ) = 0
(3.28)
yazabiliriz. %XQDJ|UHGÕúD\UÕNOÕ÷ÕQG]HOWLOPLúGH÷HULQL
E = Eo −
úHNOLQGH\DGD
f ( Eo )
f ′( E o )
(3.29)
3.27ED÷ÕQWÕVÕQÕGDNXOODQDUDN, iterasyon formülü olarak
Ei +1 = Ei +
M − Ei + e sin Ei
1 − e cos Ei
úHNOLQGH \D]DELOLUL]
(3.30)
%XUDGD GD ED÷ÕQWÕVÕQÕQ UDG\DQ FLQVLQGHQ \D]ÕOPÕú ROGX÷XQD
dikkat edilmelidir. (÷HU GHUHFH FLQVLQGHQ oDOÕúÕOPDN LVWHQL\RUVD ED÷ÕQWÕVÕQGD NoN
bir düzeltme\DSÕODUDNHOGHHGLOHQ
Ei +1 = Ei +
180
e sin Ei
π
1 − e cos Ei
M − Ei +
(3.31)
ED÷ÕQWÕVÕNXOODQÕOPDOÕGÕUED÷ÕQWÕVÕQGDLON\DNODúÕPRODUDN
, Eo = M ya da daha da iyisi
Eo = M +esinMGH÷HULDOÕQDELOLU
Örnek:%LU|QFHNL|UQH÷LGLIHUDQVL\HOG]HOWPH\|QWHPLLOH çözünüz
Çözüm: 'HUHFH ELULPLQGH oDOÕúPDN ]HUH ED÷ÕQWÕVÕQÕ NXOODQDOÕP. Önceki çözümde
o
ROGX÷XJLELEo = M = 98 .56100 kabul edelim
Eo =
E1 =
E2 =
E3 =
98o.56100
99o.50765
99o.50752
99o.50752
elde edilir.
3.5. GQHúLQJ|UQUKDUHNHWL
BiliQGL÷L ]HUH \HU JQHú HWUDIÕQGD GÕú PHUNH]OL÷L e = 0.01675 olan elips yörüngede
GRODQPDNWDGÕU *QHú, EX HOLSVLQ RGDNODUÕQGDQ ELULQGH EXOXQPDNWDGÕU .HSOHU \DVDODUÕ EX
WUGHQ \|UQJHOHULQ |]HOOLNOHULQL RUWD\D NR\PDNWDGÕU
*QHú HWUDIÕQGDNL KDUHNHWLPL]
VÕUDVÕQGD JQHúLQ X]DN J|N FLVLPOHULQH J|UH RODQ NRQXPX VUHNOL GH÷LúLU YH ELU \ÕO VRQUD
JQHú WHNUDU D\QÕ NRQXPD JHOLU %XQD J|UH JQHúLQ X]DN ELU \ÕOGÕ]OD WHNUDU D\QÕ NRQXPD
JHOPHVL LoLQ JHoHQ VUH\H \HULQ JQHú HWUDIÕQGDNL \|UQJH KDUHNHWLQLQ
dönemi (\ÕOGÕ]ÕO –
sideral- dönem) denir.<ÕOGÕ]ÕOG|QHP\DNODúÕNJQGU
*QHúLQ J|UQU KDUHNHWLQGH JQON KDUHNHW GÕúÕQGD URO R\QD\DQ QHGHQOHU |QFHOLNOH
\HULQ JQHú HWUDIÕQGD GRODQPDVÕ YH J|N HúOH÷L LOH \|UQJH G]OHPLQLQ
57
(tutulum düzlemi)
oDNÕúÕN ROPDPDVÕGÕU 'DKD |QFHGHQ GH EHOLUWLOGL÷L ]HUH HúOHN
ε =23o27′ H÷LPOLGLU
düzlemi, tutulum düzlemine
i
ii) *QHúLQ JQON
*QHúLQ JQON KDUHNHW GÕúÕQGD J|]H oDUSDQ LNL KDUHNHWL úXQODUGÕU *QHú X]DN J|N
o
FLVLPOHULQH J|UH KHU JQ \DNODúÕN GR÷X\D GR÷UX ND\PDNWDGÕU çemberi, çevren çemberine\D]D\ODUÕQGDGDKDGLNLNHQNÕúÕQGDKDH÷LNWLUùLPGLEXJ|UQU
KDUHNHWOHULDoÕNODPD\DoDOÕúDOÕP
(i*QHúLQWXWXOXPoHPEHULER\XQFDGR÷X\DGR÷UX\ÕOOÕNKDUHNHWL
3
ùHNLO ¶GH J|VWHULOGL÷L JLEL \HU \|UQJHVLQGH SR]LWLI \|QGH KHU JQ \DNODúÕN o
yol
kateder. %DúODQJÕoWD JQHú LOH X]DN ELU J|N FLVPLQLQ D\QÕ DQGD J|]OHPFLQLQ PHULG\HQLQGH
EXOXQGXNODUÕQÕYDUVD\DOÕP (I konumu)<HUNHQGLHNVHQLHWUDIÕQGD G|QPH\HGHYDPHGHUNHQ
D\QÕ]DPDQGDGDJQHúHWUDIÕQGDNL dolanma hareketini sürdürecektir. Bu nedenle uzak gök
ekil 3.3*QHúLQ\ÕOOÕNGR÷X\|QOJ|UQUKDUHNHWL,NRQXPXQGDJQHúYHX]DNELUJ|N
ù
FLVPL LNLVL EHUDEHU J|]OHPFLQLQ PHULG\HQLQGHGLU <HU |UQH÷LQ ELU D\ VRQUD NHQGL HNVHQL
HWUDIÕQGD GHID G|QPú YH \|UQJHVLQGH GH \DNODúÕN o
ilerleyerek II konumuna
JHOPLúWLU 8]DN J|N FLVPL J|]OHPFLQLQ PHULG\HQLQGH LNHQ JQHú \DNODúÕN RODUDN o
GR÷XGDGÕU
FLVPL WHNUDU J|]OHPFLQLQ PHULG\HQLQH JHOGL÷LQGH ,, NRQXPX JQHú X]DN J|N FLVPLQH
rak 1oGR÷XGDNDOPÕúRODFDNWÕU%DúNDELU GH÷LúOHJQHúLQGHJ|]OHPFLQLQ
o
PHULG\HQLQH JHOHELOPHVL LoLQ \HULQ NHQGL HNVHQL HWUDIÕQGD daha dönmesi gerekecektir.
o
6RQXo RODUDN JQHú X]DN J|N FLVLPOHULQH J|UH KHU JQ \DNODúÕN 1 GR÷X\D ND\DFDN YH
\DNODúÕN 60 gün sonra, uzak gök cismiyle D\QÕ ]DPDQGD J|]OHPFLQLQ PHULG\HQLQGH
J|UH \DNODúÕN ROD
EXOXQDFDNWÕUùLPGLKHVDSODPDODUÕPÕ]ÕGDKDGX\DUOÕRODUDN\DSDELOLUL]
Yerin yörüngesinde dolanma dönemi \D GD J|UQU \|UQJHGH JQHúLQ GRODQPD G|QHPL
P JQROGX÷XQDJ|UHJQHúLQGR÷X\|QO\ÕOOÕNJ|UQUDoÕVDOKÕ]Õ
n=
360
= 0 o.98561 gün −1 = 3dk 56 s gün −1
P
58
RODFDNWÕU *QHúLQ \ÕO ER\XQFD L]OHGL÷L \|UQJH WXWXOXP oHPEHUL ROGX÷XQD J|UH JQHúLQ
\ÕOOÕN KDUHNHWL RODUDN úXQX V|\OH\HELOLUL] JQHú WXWXOXP oHPEHUL ER\XQFD X]DN J|N
cisimlerine J|UH KHU JQ \DNODúÕN dk56s GR÷X\D GR÷UX ND\DU *QHú EX \ÕOOÕN KDUHNHWL
VÕUDVÕQGDKHUD\ELUEXUoWDQ WXWXOXPG]OHPL\DNÕQÕQGDNLWDNÕP\ÕOGÕ]ODUÕJHoHU *QHú
0DUW WDULKLQGH .Ro QRNWDVÕQGDGÕU YH EX DQGDQ LWLEDUHQ ELUHU D\ DUD\OD VÕUDVÕ\OD %R÷D
øNL]OHU <HQJHo $VODQ %DúDN 7HUD]L $NUHS <D\ 2÷ODN .RYD YH %DOÕNODU WDNÕP
\ÕOGÕ]ODUÕQGDQJHoHU
(ii *QHúLQ PDNVLPXP \NVHNOL÷LQLQ GH÷LúPHVL 0HYVLPOHULQ ROXúXPX gün ve gece
VUHOHULQLQGH÷LúPHVL)
,
yer yüzündeki her hangi bir gözlem yerine, \ÕO ER\XQFD GDLPD D\QÕ DoÕ
DOWÕQGD JHOLUGL %DúND ELU GH÷LúOH, JQHúLQ VW JHoLú \NVHNOL÷L \ÕO LoLQGH KLo GH÷LúPHz ve
böylece PHYVLPOHU ROXúPD]GÕ. $\UÕFD WXWXOXPOD HúOH÷LQ oDNÕúPDVÕ GXUXPXQGD JQHú
<HULQ G|QPH HNVHQL WXWXOXP oHPEHULQH GLN ROVD\GÕ JQHú ÕúÕQODUÕ |UQH÷LQ JQHúLQ VW
JHoLúOHUL VÕUDVÕQGD
GDLPDHúOHN]HULQGHRODFD÷ÕQGDQJQYHJHFHVUHOHULGHGDLPDHúLWROXUGX
ε DoÕVÕ NDGDU H÷LNWLU YH EXQXQ VRQXFXQGD
JQHú \ÕO ER\XQFD WXWXOXP oHPEHULQGH KDUHNHW HWWLNoH GLN DoÕNOÕ÷Õ GD -ε ile +ε DUDVÕQGD
o
GH÷LúPHNWHGLU ùHNLO ¶WH ϕ >0 HQOHPOL ELU J|]OHP \HULQLQ J|N NUHVLQGH J|VWHULOGL÷L
o
]HUH 0DUW WDULKLQGH JQHú NRo QRNWDVÕQGDGÕU YH EX DQGD GLN DoÕNOÕ÷Õ ’dir. Bu tarihte
*HUoHNWH LVH WXWXOXP oHPEHUL HúOHN G]OHPLQH
JQHúLQ JQON oHPEHUL HúOH÷LQ NHQGLVLGLU YH EX QHGHQOH JHFH YH JQG] VUHOHUL HúLWWLU
$\UÕFD EX WDULKWH JQHúLQ JQON oHPEHUL LOH J|]OHP \HULQLQ oHYUHQ oHPEHUL DUDVÕQGDNL DoÕ
da 90-ϕ ’dir.
4. 0HYVLPOHULQ ROXúPDVÕ YH \ÕO LoHULVLQGH JQ VUHVLQLQ GH÷LúPHVL .X]H\ HQOHPli
bir gözlem yerinde (ϕ >0o+D]LUDQGDJQHúÕúÕQODUÕGDKDGLNJHOLUYHJQG]VUHVLJHFH
ùHNLO VUHVLQGHQX]XQGXU$UDOÕNWDGXUXPWHUVLQHG|QHU
59
,
dikDoÕNOÕ÷Õ δ = ε ¶GÕU. 7DPEXWDULKWHJQHúLQVWJHoLú\NVHNOL÷L ùHNLO
3.4’tH J|VWHULOGL÷L ]HUH -ϕ +ε ¶GÕU. 'ROD\ÕVÕ\OH, JQHú ÕúÕQODUÕ, 22 Haziran tarihinde, 21
*QHúGR÷X\DGR÷UXKDUHNHWLQHGHYDPHGHUHN +D]LUDQWDULKLQGH\HQJHoQRNWDVÕQDJHOLU
%XDQGDJQHúLQ
0DUW WDULKLQH J|UH GDKD GLN JHOPHNWH YH VRQXo RODUDN GD KDYDODU GDKD VÕFDN ROPDNWDGÕU
*QHúLQ +D]LUDQ¶GDNL JQON oHPEHUL LQFHOHQGL÷LQGH EX WDULKOHUGH JQ VUHVLQLQ
gece
VUHVLQGHQGDKDX]XQROGX÷XGDDQODúÕOPDNWDGÕU
*QHú \DNODúÕN o D\ VRQUD WHUD]L QRNWDVÕQD JHOHFHN YH GXUXP 0DUW¶WDNLQLQ EHQ]HUL
RODFDNWÕU 6RQUDNL o D\ÕQ VRQXQGD LVH R÷ODN QRNWDVÕQD JHOHFHN RODQ JQHúLQ GLN DoÕNOÕ÷Õ
PLQLPXP GH÷HULQH XODúDUDN
δ = -ε RODFDNWÕU ùHNLO LQFHOHQGL÷LQGH EX WDULKWH JQHúLQ
-ϕ -ε ROGX÷X DQODúÕOÕU Bu nedenle
JQON oHPEHUL LOH oHYUHQ oHPEHUL DUDVÕQGDNL DoÕQÕQ JQHú ÕúÕQODUÕ J|]OHP \HULQH ROGXNoD H÷LN RODUDN JHOHFHN YH VRQXo RODUDN GD KDYDODU oRN
GDKD VR÷XN RODFDNWÕU <LQH úHNLOGHQ J|UOHFH÷L ]HUH $UDOÕN WDULKLQGH JQ VUHVL JHFH
VUHVLQGHQGDKDNÕVDGÕU
Uygulama: Enlemi ϕ = 80o olan bir gözlem yerinde HQ X]XQ JQ VUHVLQL \DNODúÕN RODUDN
hesaplayDOÕP.
Kuzey enlemli bir gözlem yerinde, J|N FLVLPOHULQLQ EDWPDPD NRúXOX HúLWVLzOL÷L LOH
YHULOPLúWL%XQDJ|UH
δ • 90-ϕ =10o
ROGX÷X VUHFH EX J|]OHP \HULQGH JQHú KLo EDWPD] $WPRVIHULQ NÕUPD HWNLVL ′
′) ile
JQHúLQ J|UQU \DUÕoDSÕQÕ GD GLNNDWH DOGÕ÷ÕPÕ]GD \XNDUÕGDNL NRúXOX GDKD GR÷UX
olarak
δ •9o10′
olarak yazabiliriz. DYHEED÷ÕQWÕODUÕQDJ|UH
tan α = cos ε tan λ
tan δ = sin α tan ε
GÕU%XUDGDQJQHúLQEDWPDPDNRúXOXQDX\JXQRODUDN
ve
1sa 27dk 21s ≤ α ≤ 10sa 32dk 39s
23o 35′ 45′′ ≤ λ ≤ 156o 24′ 15′′
, yörüngenin günEHUL ER\ODPÕ LoLQ λo = 283o 00′ 33′′ GH÷HULQL
NXOODQDELOHFH÷LPL]LGDKD|QFHV|\OHPLúWLN Buna göre,
elde edilir.
\ÕOÕ LoLQ
100o 35′ ≤ v ≤ 233o 23′
ROPDOÕGÕUED÷ÕQWÕVÕQGDQ
60
99o 38′ ≤ E ≤ 234o 09′,
ED÷ÕQWÕVÕQGDQGD
99o 07′ ≤ M ≤ 234o 10′
,
HOGHHGLOLU6RQRODUDNGDED÷ÕQWÕVÕ\DUGÕPÕ\OD
101 ≤ t – T ≤ 238
elde edilir. Buna göre söz konusu gözlem yerindeJQHú,\|UQJHVLQLQJQEHULQRNWDVÕQGDQ
JHoLúLQGHQ JQ VRQUD EDWPDPD\D EDúODU YH EX GXUXP JQEHULGHQ JHoLúWHQ VRQUDNL gün sonraya kadar böylece devam eder. O halde, bu gözlem yerinde günHú \DNODúÕN RODUDN
137 gün hiç batmaz. Yani en uzun gün süreVL\DNODúÕNRODUDNJQGU
3.6. $\ÕQJ|UQUKDUHNHWL
<HULQ WHN GR÷DO X\GXVX RODQ $\ \HU HWUDIÕQGD GÕúPHUNH]OL÷L YH \DUÕ
X]XQOX÷X NP RODQ HOLSV ELU \|UQJHGH
ve pozitif yönde GRODQÕU
-büyük eksen
$\ÕQ \ÕOGÕ]ÕO
yörünge dolanma dönemi ($\ÕQ X]DN ELU \ÕOGÕ]ÕQ GR÷UXOWXVXQGDQ DUG DUGD LNL JHoLúL
DUDVÕQGDNLVUH P = 27.321661 gündür. 2KDOGH$\ÕQ\|UQJHDoÕVDOKÕ]Õn = 13°.176358
e
e
gün-1 ≡ 52dk 42s gün-1 GLU %DúND ELU GH÷LúOH $\ KHU JQ X]DN \ÕOGÕ]ODUD J|UH dk 42s
dk
GR÷X\DGR÷UXND\DU*QHúWHEXND\PDQÕQKHUJQ\DNODúÕN
56sROGX÷XQXKDWÕUOD\ÕQÕ]
AyÕn dönme ve dolanma dönemlerLQLQ HúLW ROPDVÕ QHGHQL\OH \HUGHQ EDNÕOGÕ÷ÕQGD daima
D\QÕ \]Q J|UU] $\ÕQ ekvatoru, yörünge düzlemine 6° 41′ ve tutulum düzlemine de
\DNODúÕNRODUDN i = 1° 32′H÷LNWLU Yani, Ay yörüngesinin tutulumaLQLNOL÷L\DNODúÕNRODUDN°
09′ GÕU $\ \|UQJHVL WXWXOXP oHPEHUL LOH LNL QRNWDGD NHVLúLU $\ÕQ D\OÕN J|UQU KDUHNHWL
VÕUDVÕQGD
WXWXOXPXQ
JQH\LQGHQ
yörünJHVLQLQ oÕNÕú G÷P (
NX]H\LQH
JHoHUNHQ
UDVWODQDQ
), GL÷HULQH GH LQLú G÷P (
NHVLP
) denir.
QRNWDVÕQD
D\
dÕNÕú YH LQLú
G÷POHULQL ELUOHúWLUHQ oL]JL\H \DQL WXWXOXP LOH D\ \|UQJH G]OHPLQLQ DUDNHVLW oL]JLVLQH
, ay yörüngesinin G÷POHU
oL]JLVL EDWÕ\D GR÷UX HNVL \|QGH KHU JQ \DNODúÕN RODUDN ′.177’OÕN ELU ND\PD KDUHNHWL
yapar.'ROD\ÕVÕ\OHEXND\PDKDUHNHWLQLQG|QHPLJQ\DGD\ÕOGÕU
G÷POHUoL]JLVLGHQLU*QHúLQGR÷XUGX÷XWHGLUJLQOLNQHGHQL\OH
Ay yörüngesinin oÕNÕú G÷PQQ LONEDKDUQRNWDVÕGR÷UXOWXVXQGDROGX÷XDQ için, tutulum
YH HúOHN G]OHPOHULQH J|UH durumu
ùekil
3.5¶WH J|VWHULOPLúWLU Bu tarihlerde ay,
\|UQJHVLQGHELUWDPGRODQPD\DSWÕ÷ÕQGDGLNDoÕNOÕ÷Õ –(ε + i) ile +(ε + i)DUDVÕQGDGH÷LúLU
$\ \|UQJHVLQLQ G÷POHU oL]JLVL EDWÕ \|QQGH KDUHNHWLQH GHYDPHWWL÷LQGH \DNODúÕN RODUDN
\ÕOVRQUD oÕNÕú G÷P R÷ODN GR÷UXOWXVXQD JHOLU $UWÕN EX WDULKOHUGH D\ÕQ GLNDoÕNOÕ÷Õ
-ε ile +ε DUDVÕQGD GH÷LúLU .D\PDQÕQ GHYDP HWPHVL\OH oÕNÕú G÷P WHUD]L GR÷UXOWXVXQD
gelir. $UWÕND\ÕQGLNDoÕNOÕ÷Õ bir ay içerisinde –(ε - i) ile +(ε - iDUDVÕQGDGH÷Lúmektedir. Bu
son GXUXP ùHNLO ¶GD J|VWHULOPLúWLU dÕNÕú G÷P \HQJHo GR÷UXOWXVXQGD LNHQ D\ÕQ GLN
ile +ε DUDVÕQGD GH÷LúPH\H EDúODU Sonuç olarak, D\ÕQ GLN DoÕNOÕ÷Õ
DoÕNOÕ÷Õ \HQLGHQ -ε
minimum –(ε + i) = -28° 36′ ile maksimum ε + i = 28° 36′ DUDVÕQGD GH÷LúLU YH GH÷LúLPLQ
G|QHPL \ÕOGÕU Buna Saros dönemi denir. $\ÕQ GLN DoÕNOÕ÷ÕQÕQ GH÷LúLPL, úHPDWLN
olarak,ùHNLO7¶WHYHULOPLúWLU
61
ùHNLO 5 dÕNÕú G÷PQQ LONEDKDU GR÷UXOWXVXQGD ROGX÷X DQ LoLQ D\ \|UQJHVLQLQ Húlek
ve tutulum düzlemlerine göre durumu. %X WDULKOHUGH D\ÕQ GLN DoÕNOÕ÷ÕQÕQ ELU D\OÕN VUH
içerisinde –(ε + i) ile +(ε + iDUDVÕQGDGH÷LúWL÷LQHGLNNDWHGLOPHOLdir.'÷POHUoL]JLVLQLQ
JQHúLQ WHGLUJLQOL÷L QHGHQL\OH EDWÕ \|QO KDUHNHWLQLQ ELU VRQXFX RODrak ay yörünge
G]OHPLQLQ NX]H\ XoOD÷Õ GD WXWXOXPXQ NX]H\ XoOD÷Õ HWUDIÕQGD QHJDWLI \|QGH ELU GRODQÕP
hareketi yapar.
ùHNLO dÕNÕú G÷PQQ WHUD]L GR÷UXOWXVXQGD ROGX÷X DQ LoLQ D\ \|UQJHVLQLQ HúOHN YH
tutulum düzlemlerine göre durumu. Bu taULKOHUGH D\ÕQ GLN DoÕNOÕ÷Õ ELU D\OÕN VUH LoHULVLQGH
–(ε - i) ile +(ε - iDUDVÕQGDGH÷LúLU
62
ùHNLO$\ÕQGLNDoÕNOÕ÷ÕQÕQGH÷LúLPLQLQúHPDWLNJ|VWHULPL
3.6.2. =DPDQELULPLRODUDND\WDQÕPODUÕ
$\WHNHUFL÷LQLQoHúLWOLQRNWDODUGDQDUGDUGÕQDJHoLúOHUGLNNDWHDOÕQDUDNGH÷LúLND\WDQÕPODUÕ
yapmak mümkündür.
1)
<ÕOGÕ]ÕO
(sideral) ay: Ay teNHUFL÷LQLQX]DN\ÕOGÕ]ODUGDQKHUKDQJLELULQLQGR÷UXOWXVXQGDQ
Pe = 27.321661 gün ROGX÷XQX
DUG DUGÕQD LNL JHoLúL DUDVÕQGDNL VUH ROXS X]XQOX÷XQXQ
daha|QFHV|\OHPLúWLN
2) Dönencel (Tropical) ay:
$\ WHNHUFL÷LQLQ NRo QRNWDVÕQGDQ DUG DUGÕQD LNL JHoLúL
′′.28 EDWÕ\D ND\PDNWDGÕU
PE = 25776 \ÕOGÕU Buna göre G|QHQFHO D\ X]XQOX÷X
DUDVÕQGDNL VUH .Ro QRNWDVÕ WXWXOXP ER\XQFD KHU \ÕO \DNODúÕN <DQL NRo QRNWDVÕQÕQ GRODQPD G|QHPL
Pdö
(3.32)
ED÷ÕQWÕVÕQGDQ
Pdö = 27.321582 gün olarak elde edilir.
.
3) Ejderel (Draconitic) ay: $\ WHNHUFL÷LQLQ oÕNÕú \D GD LQLú G÷POHULQGHQ ELULQGHQ DUG
DUGÕQDLNLJHoLúLDUDVÕQGDNL süre. '÷POHUoL]JLVLEDWÕ\DGR÷UXND\PDNWDYHND\PDQÕQ
dönemi
\ÕOGÕU%XQDJ|UHHMGHUHOD\X]XQOX÷X
(3.33)
ED÷ÕQWÕVÕQGDQ
Pej = 27.21222 gün olarak elde edilir.
63
4)
$\UÕNVÕO
(Anomalistic) ay:
$\ WHNHUFL÷LQLQ \|UQJHVLQLQ HQEHUL QRNWDVÕQGDQ DUG
DUGÕQD LNL JHoLúL DUDVÕQGDNL VUH
Ay yörüngesinin eksen dönme hareketi nedeniyle bu
VUH \ÕOGÕ]ÕO D\GDQ IDUNOÕGÕU $\ \|UQJHVLQLQ SR]LWLI \|QO HNVHQ G|QPH KDUHNHWLQLQ
dönemi Peb
bulunur.
5)
\ÕO ROGX÷XQGDQ D\UÕNVÕO D\ X]XQOX÷X
:
.DYXúXO 6\QRGLF D\
Pa = 27.554551 gün olarak
$\ÕQ KHU KDQJL ELU HYUHVLQGHQ |UQH÷LQ \HQL D\ HYUHVLQGHQ DUG
DUGÕQDLNLJHoLúLDUDVÕQGDNLVUH$\YHJQHúKHULNLVLGHSR]LWLI\|QOKDUHNHW\DSDUODU
EXQHGHQOHNDYXúXOD\X]XQOX÷X
PK
(3.34)
ED÷ÕQWÕVÕQGDQ
PK = 29.530589 gün olarak bulunur.
$\ÕQHYUHOHUL
$\ÕQ NHQGL ÕúÕ÷Õ \RNWXU 2QX DQFDN JQHúWHQ \DQVÕWWÕ÷Õ ÕúÕN VD\HVLQGH J|UHELOPHNWH\L]
<DQVÕWDQ\]H\LQúHNOLYHE\NO÷\HUD\YHJQHúLQELUELUOHULQHJ|UHRODQNRQXPODUÕQD
Ay ve güneú \HUGHQ EDNÕOGÕ÷ÕQGD D\QÕ E\NONWH J|UQUOHU (her ikisinin de
görünür \DUÕoDSÕ \DNODúÕN RODUDN ′¶GÕU %XQD J|UH H÷HU D\ WDP RODUDN JQHú GR÷UXOWXsunda olursaNDYXúPDNRQXPXD\GDQ\DQVÕ\DQÕúÕQODUÕQKLoELUL\HUHJHOPH\HFH÷LQGHQD\
görünmez. Bu evreye “yeniay” evresi diyoruz. $\ÕQ HYUHOHULQLQ ROXúXPX ùHNLO ¶GH
ED÷OÕGÕU
úHPDWLN RODUDN YHULOPLúWLU
%XUDGD \HU YH JQHú GXUD÷DQ NDEXO HGLOPLú YH D\ÕQ \HU
HWUDIÕQGDNL \|UQJHVL ]HULQGHNL IDUNOÕ
görünümleri (evreleri)
J|VWHULOPLúWLU
NRQXPODUÕ YH EX
NRQXPODUGD RUWD\D
oÕNDQ
Yeniay evresinden sonra pozitif yönlü hareketine
GHYDP HGHQ D\ \DYDú \DYDú JQHú ÕúÕQODUÕQÕ \HUH GR÷UX J|QGHUPH\H EDúODU $\ÕQ \HQLD\
evresinden sonraki ilk bir kaç gün içindeki görüntüsü “hilal” RODUDN DGODQGÕUÕOÕU Günler
ilerledikçe hilDO NDOÕQODúPD\D GHYDP HGHU YH \HQLD\GDQ \DNODúÕN RODUDN \HGL JQ VRQUD D\
WHNHULQLQ\DUÕVÕD\GÕQOÕN\DUÕVÕNDUDQOÕNROXU Bu evreye “ilk dördün” evresi denir.øOHUOH\HQ
JQOHUGH D\ÕQ D\GÕQOÕN NÕVPÕ DUWPD\D GHYDP HGHU YH \HQLD\ HYUHVLQGHQ \DNODúÕN JQ
sRQUD WDPDPÕ D\GÕQOÕN RODUDN J|UQU %X DQGD D\ \HULQ ELU WDUDIÕQGD YH JQHú GL÷HU
WDUDIÕQGDGÕUNDUúÕNRQXP.$\ÕQWDPDPHQD\GÕQOÕNRODUDNJ|UQG÷ EX HYUH\H³dolunay”
evresi denir. %X DQGDQ LWLEDUHQ D\ÕQ D\GÕQOÕN NÕVPÕ JLGHUHN D]DOPD\D EDúODU YH \DNODúÕk
RODUDN JQ VRQUD \DQL \HQLD\ HYUHVLQGHQ \DNODúÕN RODUDN JQ VRQUD \HQLGHQ \DUÕVÕ
D\GÕQOÕN \DUÕVÕ NDUDQOÕN KDOH JHOLU %X HYUH\H GH ³
son dördün” evresi denir. øON YH VRQ
G|UGQ HYUHOHULQLQ LNLVLQGH GH D\ÕQ \DUÕVÕ J|UQPHNWHGLU IDNDW DUDODUÕQGDNL IDUN úXGXU LON
G|UGQ HYUHVLQGH D\GÕQOÕN NÕVÕP EDWÕ\D \|QHOLNNHQ VRQ G|UGQ HYUHVLQGH LVH GR÷X\D
yöneliktir.
$\ÕQ HYUHOHUL WDQÕP JHUH÷L NDYXúXO D\ VUHVLQGH PK
JQ WHNUDUODQÕU
Ay
HYUHOHUL\HQLD\GDQLWLEDUHQVD\ÕOÕU%DúNDELUGH÷LúOH\HQLD\HYUHVLQGHD\VÕIÕUJQONWULON
dördün evresinde 7 ve dolunay evresinde 15 günlüktür. *HoPLúWH,D\ÕQEXúHNLOGHHYUHOHULQH
J|UH WDQÕPODQan a\ WDNYLPOHUL NXOODQÕOPÕúWÕU *QP]GH ELOH ED]Õ LVODP ONHOHULQGH
RamD]DQ D\ÕQÕQ EDúODQJÕFÕ, yeniay evresinden sonraki ilk hilalin gözlenmesiyle belirlenmektedir.
64
I konumunda NDYXúXP NRQXPX ay ve
ve ay görülmez (yeniay evresi). 9 NRQXPXQGD NDUúÕ NRQXP D\
WHNHUFL÷LQLQWDPDPÕD\GÕQOÕNJ|rülür (dolunay evresi).
ùHNLO $\ÕQ HYUHOHULQLQ úHPDWLN DoÕNODPDVÕ
JQHú D\QÕ KL]DGDGÕUODU
<ÕOGÕ]ÕO\KÕOX]XQOX÷XQXQNDYXúXOD\X]XQOX÷XQXQWDPNDWÕROPDPDVÕQHGHQL\OHYHULOHQELU
WDULKWH J|]OHQHQ HYUH WDP ELU \ÕO VRQUD J|]OHQPH] 9H\D 5DPD]DQ D\Õ WHNUDU WDP ELU \ÕO
VRQUD EDúODPD] , NDYXúXO D\ VUHVL 3N
JQ ROXS ELU \ÕOGDQ \DNODúÕN RODUDN
JQGDKDNÕVDGÕU2KDOGHD\ÕQHYUHOHULKHU\ÕOJQ|QFH\HND\DU5DPD]DQD\ÕGDEX
QHGHQOHKHU\ÕOJQ|QHND\DU
3.6.4. A\ÕQJ|UOPHVUHsi
$\ÕQ GLN DoÕNOÕ÷ÕQÕQ VUHNOL GH÷LúWL÷LQL GDKD |QFH J|UPúWN
. Bu ise görülme süresinin
GH÷LúHFH÷L DQODPÕQD JHOLU 2OD\Õ EDVLWoH J|]GHQ JHoLUHELOPHN LoLQ D\ÕQ \|UQJHVLQLQ oÕNÕú
G÷PQQ \DNODúÕN RODUDN NRo QRNWDVÕ GR÷UXOWXVXQGD ROGX÷X ELU
GXUXPGDD\ÕQGLNDoÕNOÕ÷ÕùHNLO¶WHQGHDQODúÕODFD÷Ձ]HUH
\ÕOÕ HOH DODOÕP %X
–(ε + i) ile +(ε + iDUDVÕQGD
ir.
GH÷Lú
,
øONEDKDUGD *QHú NRo QRNWDVÕ GR÷UXOWXVXQGDGÕU %X DQGD \HQLD\ HYUHVLQLQ ROXúPDVÕ LoLQ
D\ÕQGDNRoKL]DVÕQGDROPDVÕJHUHNL2KDOGHEXWDULKOHUGH\HQLD\HYUHVLQGHD\ÕQGLNDoÕNOÕ÷Õ
δe = 0° ve görülme süresi de 12 saattir.
$\GR÷X\|QOD\OÕNKDUHNHWLQHGHYDPHGHUHNELUKDIWDVRQUD\HQJHoGR÷UXOWXVXQDJHOLUYH
LONG|UGQHYUHVLROXúXU
Bu anda δe = 28° 36′ ve görülme süresi GHVDDWWHQID]ODGÕU
$\ WHUD]L GR÷UXOWXVXQD JHOGL÷LQGH LVH DUWÕN JQHúOH NDUúÕ NRQXPGDGÕU YH GROXQD\ HYUHVL
ROXúXU%XDQGD
δe = 0° ve görülme süresi de 12 saattir.
<HQLD\ HYUHVLQGHQ o KDIWD VRQUD D\ R÷ODN KL]DVÕQD JHOLU YH VRQ G|UGQ HYUHVL ROXúXU %X
anda δe = -28° 36′YHJ|UOPHVUHVLGHVDDWWHQNÕVDGÕU
*|UOG÷ JLELoÕNÕúG÷PQQNRoGR÷UXOWXVXQGDROGX÷X WDULKOHUGHD\ÕQGLNDoÕNOÕ÷ÕQÕQ
DODELOHFH÷L PDNVLPXP GH÷HU JQHúLQ GLN DoÕNOÕ÷ÕQÕQ DODELOHFH÷L PDNVLPXP GH÷HUGHQ GDKD
65
büyüktür. %X QHGHQOH GH E|\OHVL ELU \ÕOGD D\ÕQ J|]OHQHELOGL÷L PDNVLPXP VUH GH JQHúLQ
maksimum gözlenebilme süresinden büyüktür.
dÕNÕú G÷PQQ NRo GR÷UXOWXVXQGD ROGX÷X \ÕOÕQ GL÷HU PHYVLPOHUL LoLQ GH EHQ]HU ELU
LQFHOHPH\DSÕODELOLU
Özet sonuçlar Çizelge 3.1’de verilPLúWLU
ülme süreleri
(ay yörüngesiQLQoÕNÕúG÷PNRoQRNWDVÕGR÷UXOWXVXQGDLNHQ)
dL]HOJH$\ÕQPHYVLPOHUHJ|UHNRQXPXYHJ|U
Mevsim
*QHúLQ
konumu
$\ÕQ
Evre
konumu
Koç
Yengeç
Terazi
Yeniay
øONG|UGQ
øONEDKDU
Koç
Dolunay
Son dördün
2÷ODN
Yeniay
Yengeç
Terazi
øONG|UGQ
Yaz
Sonbahar
.Õú
Yengeç
Terazi
2÷ODN
Dolunay
Son dördün
2÷ODN
Koç
Yeniay
Terazi
øONG|UGQ
2÷ODN
Dolunay
Son dördün
Koç
Yengeç
Yeniay
2÷ODN
Koç
Yengeç
Terazi
øONG|UGQ
Dolunay
Son dördün
0
28° 36′
0
−28°36′
Görülme
süresi (saat)
12
>12
12
<12
28° 36′
0
−28° 36′
0
>12
12
<12
12
0
−28° 36′
0
28° 36′
12
<12
12
>12
−28° 36′
0
28° 36′
0
<12
12
>12
12
$\ÕQ
GLNDoÕNOÕ÷Õ
'÷POHUoL]JLVLQLQGXUD÷DQROPDPDVÕQHGHQL\OHD\\|UQJHVLLOHHúOHNG]OHPLDUDVÕQGDNL
DoÕ GROD\ÕVÕ\OD GD D\ÕQ GLN DoÕNOÕ÷ÕQÕQ GH÷LúLP DUDOÕ÷Õ VUHNOL GH÷LúPHNWHGLU gUQH÷LQ oÕNÕú
G÷PQQ \HQJHo GR÷UXOWXVXQGD ROGX÷X WDULKOHUGH D\ÕQ GLN DoÕNOÕ÷Õ
GH÷LúLU YH EX QHGHQOH
söz konusu tarihlerde
-ε ile +ε DUDVÕQGD
PDNVLPXP J|UOHELOPH VUHVL JQHúLQNL LOH
D\QÕGÕU
6RQXo RODUDN D\ÕQ J|UOPH VUHVL oÕNÕú G÷PQQ NRQXPX LOH \DNÕQGDQ LOJLOL ROXS KHP
PHYVLPGHQPHYVLPHKHPGH\ÕOGDQ\ÕODGH÷LúPHNWHGLU
3.7. Gezegenlerin görünür hareketleri
*QHúVLVWHPLQLQGL÷HU|QHPOL\HOHULJH]HJHQOHUGLU *QHúHWUDIÕQGDED÷ÕPVÕ]\|UQJHOHUH
saKLS RODQELQOHUFHJH]HJHQROPDVÕQDNDUúÕQEXQODUÕQGRNX]WDQHVLGÕúÕQGDNLOHUER\XWoDoRN
NoNWUOHU %X QHGHQOH JH]HJHQ GH\LQFH DNOÕPÕ]D GRNX] E\N JH]HJHQ JHOLU %XQODU
ve
Plüto’dur. Büyük gezegenler,JQHúHRODQX]DNOÕNODUÕGLNNDWHDOÕQGÕ÷ÕQGDLNLJUXEDD\UÕOÕUYH
JQHúH X]DNOÕNODUÕQD J|UH 0HUNU 9HQV <HU 0DUV -SLWHU 6DWUQ 8UDQV 1HSWQ
66
(yer merkezli) görünür hareketleri ED]Õ |QHPOL IDUNOÕOÕNODU J|VWHULU %LULQFL JUXS JQHúH
RUWDODPD X]DNOÕNODUÕ, yerin, JQHúH u]DNOÕ÷ÕQGDQ daha küçük olan Merkür ve Venüs
gezegenlerinden ibaret olup bunlara iç gezegenler denir. øNLQFL JUXS LVH JQHúH X]DNOÕNODUÕ
yer-JQHú X]DNOÕ÷ÕQGDQ GDKD E\N RODQ 0DUV -SLWHU 6DWUQ 8UDQV 1HSWQ YH 3OWR
JH]HJHQOHULQGHQROXúPDNWDGÕUYHEXJUXEDGDGÕúJH]HJHQOHU denilmektedir.
DHQNOHP ELU JH]HJHQ JQHúH QH NDGDU X]DNVD
dolanma dönemi de o kadar uzundur. 'RODQPD G|QHPLQLQ NDUHVL JH]HJHQLQ JQHúH
X]DNOÕ÷ÕQÕQ NE LOH RUDQWÕOÕGÕU %XQXQ ELU VRQXFX RODUDN JQHúH \DNÕQ RODQ JH]HJHQOerin
.HSOHULQ oQF \DVDVÕQD J|UH DoÕVDOKÕ]ODUÕE\NX]DNRODQODUÕQLVHNoNWU
Gezegenlerin görünür hareketleri, yer ve gezegenin kendi yörünge hareketlerinin bir sonucu
RODUDNRUWD\DoÕNDUYHLoYHGÕúJH]HJHQOHULoLQIDUNOÕOÕNODUJ|VWHULU
+HP \HU KHP GH JH]HJHQOHU JQHú HWUDIÕQGD GRODQGÕNODUÕQGDQ \HUGHQ EDNÕOGÕ÷ÕQGD
JH]HJHQLQJ|UQHQKDUHNHWLROGXNoDNDUPDúÕNWÕU*H]HJHQOHULQJ|UQHQKDUHNHWOHULQLJQHúH
YHX]DN\ÕOGÕ]ODUDJ|UHLNLWUOLQFHOH\HELOLUL]
3.7.1. Gezegenlerin gQHúHJ|UHJ|UQUKDUHNHWleri
DøoJH]HJHQO
erLQJQHúHJ|UHKDUHNHWOHUL
Bir iç gezegenin
JQHúH J|UH RODQ J|UQU KDUHNHWLQL DQODPDN LoLQ ùHNLO ¶GD YHULOHQ
úHPDWLN oL]LPGHQ \DUDUODQDELOLUL]
Basitlik için, yer ve gezegenin yörünge düzlemleri
oDNÕúÕN NDEXO HGLOPLú YH \|UQJH GÕúPHUNH]OLNOHUL GLNNDWH DOÕQPDPÕúWÕU
GXUD÷DQ DOÕQPÕúWÕU %|\OHFH Lo JH]HJHQLQ ELU NDYXúXO G|QHP ER\XQFD
ùHNLOGH \HU
yere göre olan
J|UQU KDUHNHWL GLNNDWH DOÕQPÕú ROX\RU 7P JH]HJHQOHU JQHú HWUDIÕQGD SR]LWLI \|QO
GRODQÕUODUYH.HSOHULQoQF\DVDVÕQDJ|UHJQHúHRODQX]DNOÕNODUÕDUWWÕNoD\|UQJHDoÕVDO
KÕ]ODUÕ NoOU
Bunun sonucu olarak, bir iç gezegenin, yere göre hareketi de pozitif
Gezegen, I konumunda
\|QOGU YH EX J|UHOL KDUHNHWLQ G|QHPLQH NDYXúXO G|QHP GHQLU
LNHQ \HU JH]HJHQ YH JQHú D\QÕ KL]DGDGÕU YH LQFHOHPHPL]H EX HYUHGHQ EDúOD\DOÕP %X o
,
dönemi (PK) NDGDU ELU VUH JHoPLú ROXU nG =2π/PG ve nY =2π/PY, VÕUDVÕ\OD, gezegenin ve
yerin dolanma DoÕVDOKÕ]ODUÕYHnK =2π/PK da gezegenin\HUHJ|UHDoÕVDOKÕ]Õolmak üzere,
J|N FLVPL ELU ]DPDQ VRQUD WHNUDU D\QÕ KL]D\D JHOGLNOHULQGH DUDGDQ JH]HJHQLQ NDYXúXO
nK = nG – nY
(3.35)
1
1
1
1
1
=
−
=
−
PK
PG PY
PG PY
(3.36)
veya
PG ve PYVÕUDVÕ\ODJH]HJHQin ve yerin dolanma dönemleridir.
“DOW NDYXúXP” denir ve bu anda yer-JH]HJHQ X]DNOÕ÷Õ
minimumdur. Gezegen,DOWNDYXúXPHYUHVLQGHLNHQJ|UlePH]WÕSNÕ\HQLD\JLEL Bu andan
itibaren, \HUGHQ EDNÕOGÕ÷ÕQGD Lo JH]HJHQ JQHúH J|UH EDWÕ \|QO ELU KDUHNHWH VDKLSWLU YH
JQHúLQ EDWÕVÕQGD giderek aoÕOPD\D (X]DQÕPD) EDúODU ve gün geçtikçe büyüyen bir hilal
olarak görülür.<HUGHQEDNÕOGÕ÷ÕQGD\HU-JQHúLOH\HU-JH]HJHQGR÷UXOWXODUÕDUDVÕQGDNLDoÕ\D
ED÷ÕQWÕODUÕ\D]ÕODELOLUEXUDGD
ùHNLO ¶GDNL , NRQXPXQD
67
X]DQÕP DoÕVÕ GHQLU $OW NDYXúXP HYUHVLQGH X]DQÕP VÕIÕUGÕU YH EX DQGDQ LWLEDUHQ DUWPD\D
II konumunda maksimum
sahip olur. ,, NRQXPX \HUGHQ JH]HJHQ \|UQJHVLQH oL]LOHQ WH÷HWLQ GH÷PH
QRNWDVÕGÕU II
konumuna “HQ E\N EDWÕ X]DQÕPÕ” denir. %LU Lo JH]HJHQ EDWÕ
X]DQÕPÕQGD\NHQJQHúWHQ|QFHGR÷DUYH JQHúWHQ|QFHEDWDU %XVÕUDODUGD gezegen, sabaha
NDUúÕ, GR÷X XINXQGD belli bir süre gözlenebilir (VDEDK \ÕOGÕ]Õ). (Q E\N EDWÕ X]DQÕPÕQGDQ
EDúODU *QHúWHQEDWÕ\|QQGHX]DNODúPD\DGHYDPHGHQJH]HJHQ
X]DQÕPD
VRQUD JH]HJHQ \HQLGHQ JQHúH GR÷UX \DNODúÕU \DQL GR÷X \|QO ELU KDUHNHW \DSDU YH ,,,
NRQXPXQGD JQHú LOH D\QÕ KL]D\D NDYXúXU *H]HJHQLQ \HUGHQ PDNVLPXP X]DNOÕNWD ROGX÷X
III konumuna “VWNDYXúXP” denir.hVWNDYXúXPHYUHVLQGHJH]HJHQGROXQHYUHGHROPDVÕQD
UD÷PHQ, KHP X]DNOÕ÷ÕQÕQ oRN DUWPÕú ROPDVÕ KHP GH JQHú LOH KHPHQ KHPHQ D\QÕ KL]DGD
ROPDVÕQHGHQL\OHJ|]OHnmesi oldukça zordur.%XQGDQVRQUDJH]HJHQJQHúHJ|UHRODQGR÷X
\|QOKDUHNHWLQLVUGUHUHNJQHúLQGR÷XVXQGDX]DQÕPÕQÕJLGHUHNDUWÕUÕUYH IV konumunda
“en büyük GR÷X X]DQÕPÕna” XODúÕU *H]HJHQ GR÷X X]DQÕPÕQGD LNHQ JQHúWHQ VRQUD GR÷DU
ve sonra batar. %X VÕUDODUGD JH]HJHQ JQHú EDWWÕNWDQ VRQUD EDWÕ XINXQGD EHOOL ELU VUH
gözlenebilir (DNúDP\ÕOGÕ]Õ).
6RQXo RODUDN JH]HJHQLQ JQHúH J|UH RODQ KDUHNHWL ,, NRQXPXQGDQ ,9 NRQXPXQD NDGDU
DR÷X\|QO iken, ,9LOH,,NRQXPODUÕDUDVÕQGDbDWÕ\|QOGU. O halde,
ùHNLO%LULoJH]HJHQLQDOW,YHVW,,,NDYXúXPNRQXPODUÕLOHHQE\NEDWÕ,,YHHQ
E\NGR÷X,9X]DQÕPODUÕ
. Her
G
Yer-JQHú X]DNOÕ÷Õ R ile, gezegen-
ùLPGL \HU JQHú YH JH]HJHQLQ J|UHOL NRQXPODUÕQÕ GDKD D\UÕQWÕOÕ RODUDN LQFHOH\HOLP
KDQJLELUDQGDEXoFLVPLQNRQXPXùHNLO¶GDJ|VWHULOGL÷LJLELROVXQ%XUDGDJQHú
harfi ile; gezegen, P ile ve yer de Y LOH J|VWHULOPLúWLU
JQHú X]DNOÕ÷Õ r ile ve yer-JH]HJHQ X]DNOÕ÷Õ GD d LOH J|VWHULOPLúWLU <HUGHQ EDNÕOÕQFD
JH]HJHQLQ JQHúH J|UH NRQXPunu veren u DoÕVÕ gezegenin u]DQÕP DoÕVÕGÕU Gezegenden
EDNÕOÕQFD\HULQJQHúHJ|UHNRQXPXQXYHUHQϕ DoÕVÕLVHJH]HJHQLQHYUHDoÕVÕGÕU En büyük
X]DQÕPGD ϕ =90°RODFD÷ÕDoÕNWÕU ùHNLO¶GDNLJ|UHOL NRQXPXQ DOWNDYXúXPHYUHVLQGHQ t
süre sonra meydana JHOGL÷LQL YDUVD\DOÕP %XQD J|UH JQHúWHQ EDNÕOGÕ÷ÕQGD JH]HJHQLQ
yere göre konumunu veren θ DoÕVÕ
θ = nK t
(3.37)
68
. (÷HU\|UQJHOHULoHPEHU NDEXOHGHUVHN θ, zamanla düzgün olarak artan
bir DoÕROXU$\QÕúH\OHUu ve ϕ LoLQJHoHUOLGH÷LOGLU
ED÷ÕQWÕVÕ\ODYHULOLU
ùHNLO *QHú \HU YH JH]HJHQLQ DOW NDYXúXP NRQXPXQGDQ
t gün sonraki göreli
NRQXPODUÕ
g]HO GXUXP RODUDN HQ E\N X]DQÕP umax) durumunda ϕ HYUH DoÕVÕ ° RODFD÷ÕQGDQ PGY
dik üçgeninden
sin u max =
r
R
(3.38)
yazabiliriz.(÷HU\HU-JQHúX]DNOÕ÷Õ$%FLQVLQGHQDOÕQÕUVD (R = 1 AB)
sin u max = r ( AB)
(3.39)
olur.
$\QÕHYUHGHNL
θ DoÕVÕLVH
cosθ = r ( AB)
(3.40)
RODFD÷ÕQGDQ DOW NDYXúXPGDQ VRQUD JH]HJHQLQ HQ E\N X]DQÕPD JHOPHVL LoLQ JHoHQ VUH
ED÷ÕQWÕVÕQÕQGD\DUGÕPÕ\OD
t=
PK
cos −1 r
2π
(3.41)
olarak elde edilir.
Örnek:9HQVQJQHúHRUWDODPDX]DNOÕ÷Õr = 0.723 AB, yörüngesinin tutuluma iniklL÷Li =
3° 23′ ve dolanma dönemi P = 224.7 gündür. (Q E\N EDWÕ X]DQÕPÕQGD LNHQ X]DQÕPÕ NDo
GHUHFHGLUYHDOWNDYXúXPHYUHVLQGHQNDoJQVRQUDHQE\NEDWÕX]DQÕPÕQDXODúÕU?
69
Çözüm: i
oRN NoN ROGX÷XQGDQ \|UQJH G]OHPL WXWXOXPD oDNÕúÕN DOÕQDELOLU YH GÕúPHU
-
NH]OL÷LQ oRN NoN ROPDVÕ QHGHQL\OH GH \|UQJH oHPEHU YDUVD\ÕODELOLU <HULQ \ÕOGÕ]ÕO
GRODQPDG|QHPLJQROGX÷XQDJ|UHYHED÷ÕQWÕODUÕQGDQ
nK = 0.0107604 rad gün-1, PK = 583.92 gün
EXOXQXUED÷ÕQWÕVÕQGDQ
umax = 46° 18′ 10′′
YHED÷ÕQWÕVÕQGDQGD
t = 70.88 gün
elde edilir. ùHNLO ¶D J|UH 9HQV ,9 NRQXPXQGDQ ,, NRQXPXQD NDGDU \DNODúÕN RODUDN
JQVUH\OHJQHúHJ|UHEDWÕ\|QOYH,,NRQXPXQGDQ,9NRQXPXQDNDGDUGD
JQVUH\OHGR÷X\|QOKDUHNHWH
der.
ùLPGLùHNLO¶DJHULG|QHOLP
PGY üçgeninde sLQVIRUPOX\JXODQÕUVDX]DNOÕNODU$%
FLQVLQGHQLIDGHHGLOGL÷LQGH
sin u = r sin ϕ
(3.42)
yazabiliriz.$\UÕFD
sin(θ + ϕ ) = sin(180 − u ) = r sin ϕ
\D]ÕODELOLU
SolWDUDIDoÕOÕUYHG]HQOHPH\DSÕOÕUVDHYUHDoÕVÕLoLQ
tan ϕ =
ED÷ÕQWÕVÕ
(÷HU
(3.43)
sin θ
r − cosθ
(3.44)
elde edilir. Burada θ ¶QÕQLOHYHULOGL÷LQLWHNUDUEHOLUWHOLP
PGY oJHQLQGHED÷ÕQWÕVÕQÕQGD\DUGÕPÕ\OD
1
sin(θ + u ) = sin(180 − ϕ ) = sin u
r
(3.45)
\D]ÕOÕUYHVROWDUDIDoÕODUDNJHUHNOLG]HQOHPH\DSÕOÕUVDX]DQÕPDoÕVÕLoLQ
tan u =
r sin θ
1 − r cosθ
(3.46)
ED÷ÕQWÕVÕ HOGH HGLOLU %XUDGD HOGH HWWL÷LPL] ED÷ÕQWÕODUÕQ ELUHU \DNODúÕN LIDGH ROGX÷XQX WHNUDU
belirtmekte fayda var. *HUoHN GXUXP LoLQ JH]HJHQLQ \|UQJHVLQLQ WXWXOXPD LQLNOL÷L LOH \HU
YHJH]HJHQ\|UQJHOHULQLQGÕúPHUNH]OLNOHULGHKHVDEDNDWÕOPDOÕGÕU
70
b) 'Õúgezegenlerin JQHúHJ|UHhareketleri
%LU GÕú JH]HJHQLQ JQHúH J|UH RODQ J|UQU KDUHNHWL ùHNLO ¶GH úHPDWLN RODUDN
,
YHULOPLúWLU %XUDGD GD \LQH ùHNLO ¶GD ROGX÷X JLEL \HU \|UQJHVLQGH GXUD÷DQ NDEXO
nK = nG – nY DoÕVDO KÕ]Õ\OD GRODQGÕ÷Õ YDUVD\ÕOPÕúWÕU
Burada nG < nY ROGX÷XQGDQ nK ROXS GÕú JH]HJHQLQ \HUH J|UH olan göreli hareketi
negatif yöndedir.%XQDJ|UHGÕúJH]HJHQOHULQNDYXúXOG|QHPOHUL
HGLOPLú YH JH]HJHQLQ JQHú HWUDIÕQGD
1
1
1
1
1
=
−
=
−
PK
PG PY
PY PG
(3.47)
ED÷ÕQWÕVÕ LOH YHULOLU ùHNLO ¶GH GÕú JH]HJHQ , NRQXPXQGD LNHQ JH]HJHQ YH JQHú \HULQ
0° u]DQÕPGDGÕU Gezegenin yere en uzak
ROGX÷X bu konuma “kaYXúPD konumu” denilmektedir. %X VÕUDODUGD JH]HJHQ YH JQHú
ELUOLNWH GR÷DU ELUOLNWH EDWDUODU Bu nedenle gezegeni gözleyebilmek mümkün olmaz. Bu
D\QÕ WDUDIODUÕQGDGÕUODU %DúND ELU GH÷LúOH JH]HJHQ
DQGDQ LWLEDUHQ JH]HJHQ EDWÕ \|QO QHJDWLI \|Q J|UHOL KDUHNHWLQH GHYDP HGHUHN JQHúLQ
EDWÕVÕQD JHoHU X]DQÕPÕ JLGHUHN E\U *H]HJHQ EDWÕ X]DQÕPÕQGD LNHQ JQHúWHQ |QFH GR÷DU
°
YH|QFHEDWDU8]DQÕPDUWPD\DGHYDPHGHUHN,,NRQXPXQGD ¶\HXODúÕU
Bu konuma “90°°
EDWÕ X]DQÕPÕ´ GHQLU %X VÕUDODUGD JQHú GR÷DUNHQ JH]HJHQ J|]OHP \HULQLQ PHULG\HQL
FLYDUÕQGDGÕU *H]HJHQ ,,, NRQXPXQD JHOGL÷LQGH JQHú YH JH]HJHQ \HULQ ]ÕW WDUDIÕQGDGÕU
<HUH HQ \DNÕQ ROGX÷X EX NRQXPD ³NDUúÕ NRQXP´ GHQLU .DUúÕ NRQXPGD LNHQ JH]HJHQ
GR÷DUNHQ JQHú EDWPDNWDGÕU %X QHGHQOH JH]HJHQLQ HQ X]XQ VUH LOH J|]OHQHELOGL÷L G|QHP
°
X]DQÕPÕQ ROGX÷X NDUúÕ NRQXP HYUHVLGLU
Bu andan itibaren gezegenin negatif yönlü
KDUHNHWL GHYDP HGHU YH JH]HJHQ JQHúLQ GR÷XVXQGD NDOPÕú ROXU $UWÕN JH]HJHQ GR÷X
, azalarak IV konumunda 90° olur. Bu
konuma “90°° GR÷X X]DQÕPÕ” denir. %X WDULKOHUGH JQHú EDWDUNHQ JH]HJHQ KHPHQ KHPHQ
meridyendedir. *H]HJHQLQ X]DQÕPÕ D]DOPD\D GHYDP HGHU YH LQFHOHPH\H EDúODGÕ÷ÕPÕ] ,
konumundan PK NDYXúXO G|QHPL NDGDU ELU VUH JHoWLNWHQ VRQUD WHNUDU , NRQXPXQD JHOPLú
olur.
WDUDIÕQGDQEDWÕVÕQGDNLJQHúH\DNODúPDNWDGÕU8]DQÕP
ùHNLO %LU GÕú JH]HJHQLQ J|UQU KDUHNHWL *H]HJHQ \|UQJHVLQLQ WXWXOXP LOH oDNÕúÕN
ROGX÷XYDUVD\ÕOPÕúWÕU
71
ùHNLO *QHú \HU YH ELU GÕú JH]HJHQLQ DOW NDYXúXP NRQXPXQGDQ
t gün sonraki göreli
NRQXPODUÕ
ùLPGL KHU KDQJL ELU DQGD ùHNLO ¶GH ROGX÷X JLEL \HU JQHú YH ELU GÕú JH]HJHQL GLNNDWH
DODOÕP %XUDGD GXUXP ùHNLO ¶GD YHULOHQOH D\QÕGÕU IDNDW JH]HJHQ LOH \HULQ UROOHUL
u yerine burada ϕ YHùHNLO¶GDNL ϕ DoÕVÕ\HULQHGHEXUDGDu
DoÕVÕ JHOPLúWLU $\UÕFD R ve r \DUÕoDSODUÕQÕQ GD \HUOHUL GH÷LúPLúWLU Önceki kesimdekine
GH÷LúPLúWLUùHNLO¶GDNL
EHQ]HU ELU DQDOL]OH YH ED÷ÕQWÕODUÕQÕQ GÕú JH]HJHQOHU LoLQ GH JHoHUOL ROGX÷X
DQODúÕOÕU
, 90°GR÷X\DGD° baWÕX]DQÕPda ise, yani GYP üçgeninde u = 90° ise (R =
1 AB olmak üzere), gQHúHRODQr X]DNOÕ÷Õiçin
'ÕúJH]HJHQ
r=
1
sin ϕ
(3.48)
ED÷ÕQWÕVÕQÕ\D]DELOLUL]
3.7.2. Gezegenlerin X]DN\ÕOGÕ]ODUDgöre görünür hareketleri
ezegenlerin X]DN\ÕOGÕ]ODUDgöre görünür hareketleri
DøoJ
ùHNLO ¶GH \HU LOH KD\DOL ELU Lo JH]HJHQ GLNNDWH DOÕQPÕúWÕU
Yer yörüngesinde 0-11
NRQXPODUÕQÕ NDW HGHUNHQ Lo JH]HJHQ NHQGL \|UQJHVLQGH ELU WDP GRODQÕP \DSPDNWDGÕU
-
øQFHOHPHPL]H NRQXPXQGDQ DOW NDYXúXP NRQXPX EDúOD\DOÕP *H]HJHQ YH \HULQ HúLW
0-0
Hem yer hem de
gezegen yörüngelerinde pozitif yönde hareket ederek, kendi yörüngelerindeki 1 ile
J|VWHULOHQ NRQXPODUD JHOGLNOHULQGH JH]HJHQ \ÕOGÕ]ÕQ GR÷XVXQGD X]DQPÕúWÕU. Gezegenin
GR÷X \|QO KDUHNHWL 2- NRQXPXQD GH÷LQ GHYDP HGHU 2-2 konumunda gezegen en büyük
EDWÕ X]DQÕPÕQGDGÕU O halde, 0-0 konumundan 2-2 konumuna kadar gezegen, \ÕOGÕ]D J|UH
GR÷X \|QO KDUHNHW HWPLúWLU. Buna gezegenin “geri hareketi” denir. Bu andan itibaren
JH]HJHQEDWÕ\|QOKDUHNHWHEDúODUYHyeniden \ÕOGÕ]D\DNODúPD\DEDúODU*H]HJHQLQ\ÕOGÕ]D
J|UH GR÷X\D GR÷UX RODQ KDUHNHWLQH GH ³ileri hareket” denir. 3- NRQXPXQGD \ÕOGÕ], ileri
KDUHNHW VRQXFXQGD \ÕOGÕ]D \DNODúPÕú, 4- NRQXPXQGD \DNODúPD GHYDP HWPLú YH -5
]DPDQ DUDOÕNODUÕQGD \|UQJHOHULQGHNL NRQXPODUÕ D\QÕ UDNDPODU LOH EHOLUWLOPLúWLU
NRQXPXQGD \HUGHQ EDNÕOÕQFD JH]HJHQ YH \ÕOGÕ] D\QÕ GR÷UXOWXGDGÕU
NRQXPXQGD LVH JH]HJHQ \ÕOGÕ]ÕQ GR÷XVXQD JHoPLúWLU 8]XQFD ELU VUH JH]HJHQ \ÕOGÕ]ÕQ
72
GR÷XVXQGD ROPDN ]HUH RQGDQ X]DNODúPD\D GHYDP HGHU
11-11 konumunda neredeyse en
E\N GR÷X X]DQÕPÕQD JHOPLúWLU +DUHNHWLQ \|Q GH÷LúWLUPH ]DPDQODUÕQGD NÕVD VUHOL
duraklamalar olur. Sonuç olarak, ELU Lo JH]HJHQLQ \ÕOGÕ]ODUD J|UH RODQ J|UHOL KDUHNHWL JHQHO
RODUDN LOHUL \|QO GR÷X \|QO olmakla beraber, NÕVD Vüreli duraklamalar ve geri yönlü
hareketler de gösterir.
-
0-0
konumundan 2-2 konumunaHQE\NEDWÕX]DQÕPÕkadar hareket geri yönlü iken bu andan
itibaren 11-11 konumuna \DNODúÕN RODUDN HQ E\N EDWÕ X]DQÕPÕ kadar ileri yönlüdür.
Göreli hareket, 2-2 ve 11- NRQXPODUÕQGDki NÕVD VUHOL GXUDNODPDGDQ VRQUD \|Q
ùHNLO%LULoJH]HJHQLQ GR÷UXOWXVXQGDNLELUX]DN\ÕOGÕ]DJ|UHJ|UQUKDUHNHWL
GH÷LúWLUPHNWHGLU
ezegenlerin X]DN\ÕOGÕ]ODUDgöre görünür hareketleri
E'ÕúJ
ezegenin uzak \ÕOGÕ]ODUD J|UH olan hareketi ùHNLO 4’de úHPDWLN RODUDN
, yer yörüngesinde 360° \RO DOGÕ÷ÕQGD \ÕOOÕN VUH KD\DOL GÕú
JH]HJHQ NHQGL \|UQJHVLQGH \DOQÕ]FD ° \RO DOPDNWDGÕU %DúND ELU GH÷LúOH \HU
yörüngesinde her ay 30° yol DOÕUNHQ hayali GÕú JH]HJHQ ° \RO DOPDNWDGÕU <HU YH JH]HJHQ
yörüngesindeki D\QÕ QXPDUDODU RQODUÕQ HúLW ]DPDQ DUDOÕNODUÕQGD \|UQJHOHULQGH
EXOXQGXNODUÕ NRQXPODUÕ J|VWHUPHNWHGLU %DúODQJÕo RODUDN NDYXúPD NRQXPX -0 konumu)
DOÕQPÕú YH - GR÷UXOWXVX EDúODQJÕo NDEXO HGLOHUHN, GÕú JH]HJHQLQ EX GR÷UXOWXGDNL \ÕOGÕ]D
J|UH \DSPÕú ROGX÷X KDUHNHW LQFHOHQPLúWLU. ùHNLOGH KHU NRQXP LoLQ JH]HJHQLQ KDUHNHWLQLQ
türü de (ileri, geri ve duraklama olarak) EHOLUWLOPLúWLU*|UOHFH÷L]HUHKDUHNHWJHQHORODUDN
ileri olmakODELUOLNWH]DPDQ]DPDQGXUDNODPDYHJHUL\|QOKDUHNHWGH\DSPDNWDGÕU
%LU GÕú J
DoÕNODQPÕúWÕU ùHNOH J|UH
73
Yer
yörüngesinde her ay 30°\RODOÕUNHQGÕúJH]HJHQD\QÕVUHLoHULVLQGHNHQGL\|UQJHVLQde 5°
ùHNLO<HULOHELUGÕúJH]HJHQLQJQHúHWUDIÕQGDNLKDUHNHWOHULQLQúHPDWLNJ|VWHULPL
\RO DOPDNWDGÕU <HUGHQ EDNÕOGÕ÷ÕQGD JH]HJHQLQ J|]OHQGL÷L GR÷UXOWXQXQ X]DN \ÕOGÕ]ODUD
J|UH UHIHUDQV GR÷UXOWXVXQD J|UH NRQXPODUÕ YH KHU ELU NRQXP LoLQ KDUHNHWLQ \|Q
EHOLUWLOPLúWLU
3.7.3. *H]HJHQ*HoLúOHUL
ùHNLO ¶GDQ DQODúÕODFD÷Õ ]HUH Lo JH]HJHQOHU KHP JQHúLQ |QQGHQ KHP GH DUNDVÕQGDQ
“örtülme” denir. Gezegen
“JH]HJHQ JHoLúL” denir. ùHNLO LQFHOHQGL÷LQGH GÕú
JH]HJHQOHU LoLQ JHoLú ROPDGÕ÷Õ Jörülür. 2 KDOGH\DOQÕ]FD0HUNU YH 9HQV JHoLúOHUL YDUGÕU
JHoHUOHU (÷HU ELU JH]HJHQ JQHúLQ DUNDVÕQGDQ JHoL\RUVD EXQD
JQHúLQ |QQGHQ JHoL\RUVD EXQD GD
*H]HJHQ JHoLúOHULQLQ DOW NDYXúXP NRQXPODUÕQGD ROPDVÕ DoÕN RODUDN EHOOLGLU %XQXQOD
birlikte, Merkür yörüngesi tutuluma 7° 00′ 16′′, Venüs yörüngesi de 3° 23′ 40′′ H÷LNWLU Bu
QHGHQOH KHU DOW NDYXúXPGD Lo JH]HJHQOHU JQHú GLVNLQLn önünden geçmezler. *HoLúOHULQ
olabilmesi için DOW NDYXúXP NRQXPXQXQ JH]HJHQ \|UQJHVLQH LOLúNLQ G÷POHU oL]JLVLQLQ
oRN \DNÕQÕQGD PH\GDQD JHOPHVL JHUHNLU EN] ùHNLO ùLPGL ùHNLO ¶GH J|VWHULOGL÷L
gibi I konumundaELUJH]HJHQJHoLúLJ|]OHGL÷LPL]LYDUVD\DOÕP7HNUDUEXG÷PGHELUJHoLú
olabilmesi için aradan hem yerin dolanma dönemi PY hem de gezegenin dolanma dönemi
PG’ QLQ WDP NDWÕ NDGDU ELU VUH JHoPHVL JHUHNLU (÷HU GL÷HU G÷PGH PH\GDQD JHOHFHN
NDYXúPD NRQXPXQX GD GLNNDWH DOÕUVDN HQ JHQHO GXUXPGD LNL JHoLú DUDVÕQGDNL VUH PY ve
PG¶QLQ WDP \D GD EXoXNOX ELU RUWDN NDWÕGÕU (÷HU LNL JHoLú DUDVÕQGD \HU YH JH]HJHQLQ
\|UQJHOHULQGH\DSWÕNODUÕWDPGRODQÕPODUÕQVD\ÕODUÕQÕVÕUDVÕ\ODm ve n ile gösterirsek,
mP: = nPG
(3.48a)
veya
74
ùHNLO *H]HJHQ JHoLúL (÷HU DOW NDYXúXP JH]HJHQ \|UQJHVLQLQ G÷POHU oL]JLVL
FLYDUÕQGD LVH JH]HJHQ JQHúLQ |QQGHQ JHoHU , NRQXPX (÷HU DOW NDYXúXP G÷POHU
oL]JLVLQLQ \HWHULQFH X]D÷ÕQGD LVH JH]HJHQ JHoLúL J|]OHQHPH] |UQH÷LQ ,, NRQXPXQGDNL
NDYXúPDNRQXPXQGDJHoLúPH\GDQDJHOPH]
1
1
(m + ) P: = (n + ) PG
2
2
(3.48a)
yazabiliriz. Venüs için yDSÕODQ, gözlemler ve incelemeler JHoLúOHULQ 8, 121.5, 8, 105.5
\ÕO
DUDOÕNODUODWHNUDUODQDFD÷ÕQÕRUWD\DNR\PDNWDGÕUøONJHoLú]DPDQÕQÕVÕIÕUNDEXOHGHUVHNLNLQFL
JHoLú \ÕOÕQGD oQFV \ÕOÕQGD G|UGQFV \ÕOÕQGD YH VRQXQFXVX GD .
\ÕOÕQGDPH\GDQDJHOPHNWHGLU 7DULKWHJ|]OHQHQ9HQVJHoLúOHULùHNLO¶WHJ|VWHULOPLúWLU
tarihinde
Haziran 2012 YH$UDOÕNWDULKOHULQGHWHNUDUODQPDVÕ
ùHNLO 7DULKWH J|]OHQHQ YHQV JHoLúOHUL 6RQ YHQV JHoLúL +D]LUDQ PH\GDQDJHOPLúWLU9HQVJHoLúLQLQ
beklenmektedir.
Kaynaklar
Green, R. M.: “Spherical Astronomy”, Cambridge University Press, Cambridge, 1988.
.Õ]ÕOÕUPDN$³*|NELOLP'HUVOHUL&LOW,.UHVHO*|NELOLP´(JHhQLYHUVLWHVL)HQ
)DNOWHVL.LWDSODUÕ6HULVL1R(JHhQLYHUVLWHVL0DWEDDVÕ
Bornova, 1977.
6PDUW:0³.UHVHO$VWURQRPL´dHYLUHQ1VKHW7*|NGR÷DQ øVWDQ
<D\ÕQODUÕ6D\ÕùLUNHWL0UHEEL\H%DVÕPHYLøVWDQEXO
75
bul Üniversitesi
76