Hidrojen Atomunda Enerji Seviyelerindeki Kaymaların Pertürbasyon

S.Ü. Fen-Edebiyat Fakültesi Fen Dergisi
Sayı 21 (2003) 89-98, KONYA
Hidrojen Atomunda Enerji Seviyelerindeki Kaymaların
Pertürbasyon Teorisi ile Hesaplanması
Mehmet ERDOĞAN 1, Rıza OĞUL1
Özet: Bu çalışmada, hidrojen atomunun enerji düzeyleri, Schrödinger denklemi kullanılarak
belirlenmiştir. Buna ek olarak, hidrojen atomunda enerji kaymaları, pertürbasyon teorisi kullanılarak,
dejenere ve dejenere olmayan durumlar için hesaplanmıştır. Bunun için ilk olarak Schrödinger
denklemi, hidrojen atomu için kuantum mekaniksel olarak çözülmüş ve daha sonra radyal olasılık
yoğunluğu grafikleri çizilmiştir. Bununla birlikte pertürbe potansiyeli uygulanmış hidrojen atomu için
enerji kaymaları, zamandan bağımsız pertürbasyon teorisi kullanılarak hesaplanmıştır.
Anahtar Kelimeler: Dalga fonksiyonu, Enerji kayması, Pertürbasyon teorisi
Calculation of The Energy Shifts for Hydrogen Atoms
with Perturbation Theory
Abstract: Energy levels of hydrogen atom have been determined by solving the Schrödinger
equation. In addition, energy shifts at atomic structures for degenerate and nondegenerate states are
calculated by using perturbation theory. In this way, Schrödinger equation is first solved for hydrogen
atom quantum mechanically and then radial probability density distributions are plotted. Additionally,
energy shifts for hydrogen atom, on which the perturbation potantial is applied, are calculated by
using time independent perturbation theory.
Key Words: Wave functions, Energy shifts, Perturbation theory
1. Giriş
Yirminci yüzyılın başlarında klasik fiziğin açıklayamadığı siyah cisim ışıması, fotoelektrik
olay ve Compton olayı, kuantum mekaniğinin geliştirilmesi sonucunda tam olarak açıklanabilmiştir.
Kuantum mekaniğinde kesin çözümü olan potansiyellerden birisi Coulomb potansiyelidir. Bu
1
Selçuk Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Fizik Bölümü 42031 Kampüs Konya
Hidrojen Atomunda Enerji Seviyelerindeki Kaymaların Pertürbasyon Teorisi ile Hesaplanması
yüzden hidrojen atomu dalga mekaniğinde temel ve önemli bir örnektir. Fakat birden fazla
elektrona sahip atomların çözümlerinin zorluğundan dolayı Schrödinger denklemi yaklaşım
metotları kullanılarak çözülebilmektedir. Bu sonuçlar literatürdeki sonuçlarla deney hataları
içerisinde uyumlu sonuçlar vermiştir. Bu yaklaşım yöntemlerinden biri pertürbasyon teorisidir. Buna
göre, sistemin enerji seviyelerine, küçük katkıları olan etkileşme potansiyel enerjileri, pertürbasyon
teorisi ile hesaplanır. Hidrojen atomu için enerji kaymaları zamandan bağımsız pertürbasyon teorisi
kullanılarak dejenere durumlar ve dejenere olmayan durumlar için hesaplanabilmektedir.
2. Hidrojen Atomunun Enerji Düzeylerinin Hesaplanması
Kuantum mekaniği ile atomik yapılar çok iyi bir şekilde açıklanabilmektedir. Bu amaçla
yapılan teorik açıklamalar deneysel gözlemlerle çok iyi uyum göstermektedir. Tüm atomları
kapsayan bu yeni atom modeline Dalga Modeli denir. Tek elektronlu hidrojen atomunun en basit
atom olması ve Coulomb potansiyel enerjisinin küresel simetrik olması sebebiyle hidrojen atomu,
dalga modelinin en basit uygulamasını oluşturur.
Coulomb potansiyel enerjisi kartezyen koordinat sisteminde,
U( x , y, z) = −
Ze 2
(4πε 0 )
Ze 2
=−
(4πε 0 ) r
x 2 + y2 + z2
(1)
ifadesiyle verilir. Küresel simetrinin en iyi ifade edildiği koordinat sistemi küresel koordinatlardır.
Küresel koordinatların kartezyen koordinatlarıyla ilişkileri;
x = r Sinθ Cosϕ
y = r Sinθ Sinϕ
z = r Cosθ
(2)
(3)
(4)
şeklindedir. Hidrojen atomunda elektronun Coulomb potansiyeli altındaki Schrödinger denklemi,
∇ 2 ψ (r, θ, ϕ) +
2µ 
Ze 2 
 ψ(r, θ, ϕ) = 0

E
+
(4πε 0 )r 
η2 
(5)
biçiminde verilir. Coulomb potansiyel enerjisi zamandan bağımsız olduğu için (5) eşitliği
değişkenlerine ayrılarak çözülebilir. Ancak burada ∇
2
nin küresel koordinatlardaki operatör
ifadesine ihtiyaç vardır. ∇ kartezyen koordinatlarda,
2
∇2 =
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
(6)
şeklinde yazılır. (2), (3) ve (4) eşitlikleri kullanılarak ∇ küresel koordinatlarda;
2
∇ 2 (r, θ, ϕ) =
90
∂2
1 ∂ 2 ∂
1
1
∂ 
∂ 
r
+
Sin
θ
+




∂θ  r 2 Sin 2 θ ∂ϕ 2
r 2 ∂r  ∂r  r 2 Sinθ ∂θ 
(7)
Mehmet ERDOĞAN-Rıza OĞUL
şeklinde yazılır. (7) eşitliği ile verilen operatör ifadesi (5) eşitliğinde yerine yazılırsa, hidrojen
atomunun elektronu için Schrödinger dalga denklemi, küresel koordinatlarda;
1 ∂  2 ∂ψ 
1 ∂
1 ∂ 2 ψ 2µ
∂ψ 
r
Sin
+
+ (E − U(r)) ψ = 0
(8)
+
θ




∂θ  r 2Sin2 θ ∂ϕ2 η2
r 2 ∂r  ∂r  r 2Sinθ ∂θ 
olur. Burada çözüm fonksiyonu ψ , simetrik olup sadece r nin fonksiyonudur. Denk.(8) ile verilen
ψ dalga fonksiyonu,
ψ (r, θ, ϕ) = R (r ) Y(θ, ϕ)
(9)
şeklinde değişkenlerine ayrılıp (8) eşitliğinde kullanılması ile elde edilen diferansiyel denklem
çözüldüğünde hidrojen atomunun durağan enerji seviyelerinin dalga fonksiyonları yarıçapa ve
açılara bağlı olmak üzere ayrı ayrı bulunur.
Hidrojen atomunun genel çözüm fonksiyonunun açılara bağlı kısmının çözüm fonksiyonları,
küresel harmonikler olarak adlandırılır. Küresel harmonikleri oluşturan fonksiyon;
Yλm (θ, ϕ) =
1
2π
e
imϕ
(
)
(λ + m )!
(m + m ) / 2  2λ + 1 λ − m !
(− 1)

 2
1/ 2
Pλm (ξ)
(10)
ile verilir ve hidrojen atomunda elektronun, sabit yarıçaplı küre yüzeyi üzerindeki harmonik
hareketini temsil eder. (10) eşitliği ile verilen ifadede Pλ m (ξ) , birleşik Legendre polinomlarını ifade
eder.
Hidrojen atomunun genel çözüm fonksiyonunun yarıçapa bağlı olan kısmı, radyal dalga
fonksiyonu olarak adlandırılır ve
1/ 2
 2 Z  3 (n − λ − 1)! 

e −ρ / 2 ρ λL qj (ρ)
R nλ (ρ) = −
3
 na 0  2n[(n + λ)!] 
ile ifade edilir. Burada L qj (ρ) birleşik Laguerre polinomlarıdır ve ρ ,
 2Z 
 r
ρ = 
 na 0 
(11)
(12)
ile gösterilir. (9) eşitliğinde verilen ifade kuantum sayıları ile indislenerek,
ψ nλm (r, θ, ϕ) = R nλ (r ) Yλm (θ, ϕ)
(13)
şeklinde yazılır. Yλ m (θ, ϕ) ve R nλ ( r ) için sıra ile (10) ve (11) eşitliklerinde verilen ifadeleri (13)
eşitliğinde yerlerine yazıldığında, hidrojen atomunun dalga fonksiyonunun en genel ifadesi,
91
Hidrojen Atomunda Enerji Seviyelerindeki Kaymaların Pertürbasyon Teorisi ile Hesaplanması
1/ 2
 2Z
ψ nλm (r, θ, ϕ) = −
 na 0
3
 (n − λ − 1) ! 

3
 2n[(n + λ) !] 
e −ρ / 2 ρ λ L qj (ρ)
(14)
(
)
(λ + m ) ! 
1/ 2
(m + m ) / 2  2λ + 1 λ − m !
(− 1)

 2
ile verilir [1]. Hidrojen atomunun
Pλm (ξ)
1
2π
e imϕ
n = 1,2 ve 3 durumları için ψ n λm dalga fonksiyonlarının
tablosu Tablo (1) de verilmiştir.
Tablo 1. n = 1,2 ve 3 için hidrojen atomlarına benzeyen atomların dalga fonksiyonları
n
λ
m
1
0
0
0
0
ψ nλm → Denk.(14)
1
±1
0
0
0
3
1
±1
0



3/ 2
ψ 200
Z

=
4 2π  a 0



3/ 2
ψ 210
Z

=
4 2π  a 0
ψ 21±1
1 Z

=
8 π  a 0
ψ 300
Z

=
81 3π  a 0
ψ 310
2 Z

=
81 π  a 0



ψ 31±1
Z

=
81 π  a 0



ψ 320
Z

=
81 6π  a 0



2
±1
±2
92
3/ 2
ψ 100
2
0



1 Z

=
π  a 0
1
1



3/ 2



1
1
1
ψ 32±1 =
ψ 32± 2
e − Zr / a 0
Z

=
162 π  a 0
Zr − Zr / 2a 0
e
Cosθ
a0
Zr − Zr / 2a 0
e
Sinθ e ±iϕ
a0
3/ 2
3/ 2
1 Z
 
81 π  a 0 
1

Zr 
 2 −  e − Zr / 2 a 0
a0 


Zr
Z2r 2
 27 − 18 + 2 2
a0
a0


Zr  Zr − Zr / 3a 0
 6 − 
e
Cosθ
a
a
0 
0

3/ 2

Zr  Zr − Zr / 3a 0
 6 − 
e
Sinθ e ±iϕ
a
a
0  0

3/ 2
Z2r 2
a0
3/ 2



 − Zr / 3a 0
 e

2
e − Zr / 3a 0 (3Cos 2 θ − 1)
Z 2 r 2 − Zr / 3a 0
e
Sinθ Cosθ e ±iϕ
2
a0
3/ 2
Z2r 2
a0
2
e − Zr / 3a 0 Sin 2 θ e ± 2iϕ
Mehmet ERDOĞAN-Rıza OĞUL
Schrödinger denkleminin çözümünden hidrojen atomu için enerji ifadesi;
(Zα )
1
En = − µ c2
2
n2
2
(15)
şeklinde bulunur. Burada α ince yapı sabitidir ve
α=
e2
(4πε 0 η c )
(16)
ile verilir.
Bir elektronlu atomlar için Schrödinger denklemini çözerek elde edilen E n enerji değerleri
Bohr modeliyle tamamen uyuşmaktadır. Bu enerji spektrumu, deneysel spektrumun ana
özellikleriyle uyuşur. Bununla birlikte, bu uygunluk tam değildir ve deneysel spektrumun ayrıntılarını
açıklamak için çeşitli yaklaşım yöntemleri kullanılır.
(13) eşitliği ile belirtilen hidrojen tipi dalga fonksiyonu ifadesi;
ψ nλm (r, θ, ϕ) dr = ψ ∗nλm (r, θ, ϕ) ψ nλm (r, θ, ϕ) r 2 dr sin θ dθ dϕ
2
(n, λ, m )
şeklinde yazılırsa, sistem,
küresel koordinatlarda
(17)
kuantum sayıları ile tanımlanan kararlı bir durumda iken
dr = r dr sin θ dθ dϕ ile verilen dr hacim elemanında elektronun
2
bulunma olasılığını gösterir. ψ nλm
2
= ψ ∗nλm ψ nλm büyüklüğü olasılık yoğunluğudur.
Radyal dağılım fonksiyonu, elektronun çekirdekten r birim uzaklığında birim uzunluk
başına bulunma olasılığını verir ve
Pnλ (r ) = r 2 R nλ (r )
2
(18)
ile gösterilir. (17) eşitliği θ ve ϕ açıları üzerinden integre edilir ve (13) eşitliği kullanılırsa;
π
2π
0
0
Pnλ (r )dr = r 2 R nλ (r ) dr ∫ dθ sin θ ∫ dϕ Yλm (θ, ϕ)
2
2
(19)
= r 2 R nλ (r ) dr
2
ifadesi bulunur. Bu, doğrultudan bağımsız olarak elektronun çekirdekten r ile r + dr uzaklıkları
arasında bulunma olasılığını verir [2]. Hidrojen atomunda n ’in ilk iki değeri için R nλ (r ) radyal
özfonksiyonlarının ve Pnλ (r ) radyal dağılım fonksiyonlarının yarıçapla değişimi Şekil (1) de
verilmiştir.
93
Hidrojen Atomunda Enerji Seviyelerindeki Kaymaların Pertürbasyon Teorisi ile Hesaplanması
R10
2
r 2R10
r /a0
r /a0
R20
2
r 2R20
r / a0
r / a0
R21
r 2R22
r / a0
r / a0
Şekil 1. Hidrojen atomunda n=1 ve 2 durumları için radyal dağılım fonksiyonlarının ve radyal fonksiyonlarının
yarıçapla değişimi
94
Mehmet ERDOĞAN-Rıza OĞUL
3. Hidrojen Atomunda Enerji Kaymalarının Pertürbasyon Teorisi İle Hesaplanması
Bir hidrojen atomu göz önüne alınıp, Coulomb alanının kaynağı olan protonu, düzgün
yüklenmiş R yarıçaplı bir küre olarak kabul edersek Coulomb potansiyel enerjisi;
V(r ) = −
3 e2  2 1 2 
R − r 
3 
2 R3 
e2
V(r ) = −
r
r⟨R
(r ⟨⟨ a 0 )
r⟩R
olarak düşünüp n = 1 ,
(20)
(21)
λ = 0 durumu ve n = 2 durumu için enerji kaymaları hesaplanırken,
problem hidrojene benzer bir atom için çözülüp, Z=1 yazılırsa hidrojen atomu için çözüm bulunmuş
olur ( r ⟨ R ). Burada; SI değil, CGS birim sistemi kullanılmaktadır.
Sistemin toplam Hamiltonyeni,
p2
Z e2 Z e2 3 Z e2  2 1 2 
−
+
−
H=
R − r 
3 
2m
r
r
2 R3 
(22)
şeklinde yazılır. Burada;
H0 =
Z e2
p2
−
2m
r
(23)
H1 =
Z e2 3 Z e2  2 1 2 
−
R − r 
3 
r
2 R3 
(24)
şeklinde verilir.
n = 1 , λ = 0 durumu için birinci dereceden enerji kayması,
E1(1) = φ100 H1 φ100
(25)
formülünden hesaplanır. Bu durum için dalga fonksiyonu Tablo (1) den yazılırsa
E 1(1) = ∫ φ100 H 1 d 3 r
2
(26)
integrali sonucunda;
R
2
E1 = µ c 2 α 2  
5
 a0 
(1)
2
(27)
95
Hidrojen Atomunda Enerji Seviyelerindeki Kaymaların Pertürbasyon Teorisi ile Hesaplanması
bulunur.
n=2
1)
φ (200
,
durumu
2)
φ (210
,
için
3)
φ (211
,
φ (214 ), −1
4
durum
şeklindedir. n = 2
söz
konusudur.
durumu için
Bu
durumlar,
birinci dereceden
enerji kayması;
∑α
i
φnj H1 φin = E (n1) α j
i = 1,2,3,4
(28)
j = 1,2,3,4
(29)
i
ve
φnj H1 φin = h ji
kullanılarak daha açık şekli;
∑α
i
h ji = E (n1) α j
(30)
i
ile ifade edilir. 4 katlı dejenere durum için 4 tane denklem sistemi elde edilir. Bunlar,
α1 h11 + α 2 h12 + α 3 h13 + α 4 h14 = E (n1) α1
α1 h 21 + α 2 h 22 + α 3 h 23 + α 4 h 24 = E (n1) α 2
(31)
α1 h 31 + α 2 h 32 + α 3 h 33 + α 4 h 34 = E (n1) α 3
α1 h 41 + α 2 h 42 + α 3 h 43 + α 4 h 44 = E (n1) α 4
şeklinde bulunur. Bu denklem sistemi matris formunda yazılırsa;
 h11

 h 21
h
 31
h
 41
h12
h13
h 22
h 23
h 32
h 42
h 33
h 43
h14 

h 24 
h 34 

h 44 
 α1 
 
 α2 
(1)
 α  = E2
 3
α 
 4
 α1 
 
 α2 
α 
 3
α 
 4
elde edilir. (32) denkleminin ilk terim matrisinin matris elemanları,
96
(32)
Mehmet ERDOĞAN-Rıza OĞUL
h 11 = φ 200 H 1 φ 200
h 21 = φ 210 H 1 φ 200
h 12 = φ 200 H 1 φ 210
h 22 = φ 210 H 1 φ 210
h 13 = φ 200 H 1 φ 211
h 23 = φ 210 H 1 φ 211
h 14 = φ 200 H 1 φ 21, −1
h 24 = φ 210 H 1 φ 21, −1
h 31 = φ 211 H 1 φ 200
h 41 = φ 21, −1 H 1 φ 200
h 32 = φ 211 H 1 φ 210
h 42 = φ 21, −1 H 1 φ 210
h 33 = φ 211 H 1 φ 211
h 43 = φ 21, −1 H 1 φ 211
h 34 = φ 211 H 1 φ 21, −1
h 44 = φ 21, −1 H 1 φ 21, −1
şeklinde yazılır ve ayrı ayrı bulunur. Dalga fonksiyonları Tablo (1) den yazılarak;
 2e 
h11 =  
 Z
2
3
 Z2   1 2
Z
3 Z2
3
4
  R −

R +
R

24 a 0
560 a 02

 2 a 0  10
(33)
h12 = h13 = h14 = 0
h 22
1
=
30
(34)
3
 Z2  2 2
 e R

 2a0 
(35)
h 21 = h 23 = h 24 = 0
h 33
π
=
8
(36)
3
 Z2  2 2
 e R

2
a
 0
(37)
h 31 = h 32 = h 34 = 0
h 44
π
=
8
(38)
3
 Z2  2 2
 e R

 2 a0 
(39)
h 41 = h 42 = h 43 = 0
(40)
sonuçları bulunur. Buna göre sırayla 1.,2.,3. ve 4. durum için enerji kaymaları;
E (21) = h 11
E (21) = h 22
E (21) = h 33
E (21) = h 44
(41)
olarak bulunur.
97
Hidrojen Atomunda Enerji Seviyelerindeki Kaymaların Pertürbasyon Teorisi ile Hesaplanması
4. Sonuçlar ve Tartışma
Hidrojen atomu kuantum mekaniksel olarak çözüldükten sonra radyal fonksiyonların ve
radyal dağılım fonksiyonlarının konuma göre değişim grafikleri çizilmiştir. Buna göre Radyal dalga
fonksiyonları sadece s durumu için r = 0 ’da sıfırdan farklıdır. Pnλ (r ) Radyal dağılım fonksiyonu ise
n - λ tane maksimum gösterir. Belirli bir n değeri için yörüngesel kuantum sayısı en büyük λ = n -1
değerine sahip olduğundan yalnız bir maksimumu vardır ve bu maksimum Bohr modeli ile uyuşur
[1].
Schrödinger denkleminin tam olarak çözülebildiği U ( r ) potansiyel enerjilerinin sayısının az
olmasından dolayı hesaplamalar yaklaşım yöntemleri kullanılarak yapılmıştır [3]. Bunun için
zamandan bağımsız pertürbasyon teorisi kullanılarak, atomik yapılarda, dejenere ve dejenere
olmayan durumlar için enerji kaymaları hesaplanmıştır. Pertürbasyon teorisi kullanılarak elde edilen
sonuçlar deneysel sonuçlara daha da yakın değerler bulmamızı sağlar. Bunun yanında, göreceli
(rölativistik) etkilerin de hesaba katılması gerekir. Bu tür etkilerin hesaplanması için genellikle Dirac
denkleminin çözümleri kullanılır [4,5,6,7].
Kaynaklar
1-
Eisberg, R., Resnick, R., Quantum Physics of Atoms, Molekules, Nuclei and Particles, John Wiley
and Sons, Newyork (1974).
2-
Köksal, F., Gümüş, H., Atom ve Molekül Fiziği, Samsun, (1999).
3-
Gasiorowicz, S., Quantum Mechanics, John Wiley and Sons, Inc., New York, (1996)
4-
Eichen, E., Feinberg, F., Spin-Dependent Forces in Quantum Chromodynamics, Phys. Rev.
D,23,2724-2744 (1981).
5-
Esposito, G., Santorelli, P., Qualitative Properties of the Dirac Equation in a Central Potantial, J.
Phys. A, 32,5643-5655 (1999).
6-
Gülveren, B., Demirtaş, A., Oğul, R., Solution of the Dirac Equation for a Dirac Particle in a Yukawa
Field, Physica Scripta, 64,277-278 (2001).
7-
Akhiezer, A. I., Berestetski, V.B., Quantum Electrodynamics, Newyork, (1965).
98