Parçacık Dengesi

Mühendislik Mekaniği
Statik
Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Bölüm 3
Parçacık Dengesi
Kaynak: ‘Mühendislik Mekaniği: Statik’, R.C.Hibbeler, S.C.Fan,
Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.
3 Parçacık Dengesi
Bu bölümde, kuvvetleri bileşenlerine ayırma
ve kartezyen vektör şeklinde ifade etme
yöntemleri, parçacık dengesini içeren
problemlerin çözümünde kullanılacaktır.
Öncelikle bir noktadan geçen düzlemsel
kuvvet sistemleri için parçacık dengesi ele
alınacaktır.
Daha sonra, bir noktadan geçen üç boyutlu
kuvvet
sistemlerini
içeren
denge
problemleri incelenecektir.
3.1 Parçacık Denge Koşulu
Bir parçacık, başlangıçta hareketsizken halen durağan halde
bulunuyorsa veya başlangıçta hareketli olup sabit hızını koruyorsa,
dengededir.
Ancak, «denge» veya «statik denge» ifadesi çoğu zaman durmakta
olan bir nesneyi tanımlamak için kullanılır.
Denge konumunu korumak için, Newton’un birinci hareket kanununu
sağlamak gerekir.
Bu kanuna göre, bir parçacık üzerine etkiyen bileşke kuvvet sıfır ise,
parçacık dengededir.
Bu durum matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:
3.2 Serbest Cisim Diyagramı
Denge denklemini doğru uygulayabilmek için, parçacık üzerine
etkiyen tüm bilinen ve bilinmeyen kuvvetleri hesaba katmalıyız.
Bunu yapmanın en iyi yolu parçacığın serbest cisim diyagramını
çizmektir.
Bu diyagram, parçacığı çevresinden soyutlanmış veya «serbest»
olarak gösteren bir şemadır.
Bu şemada parçacık üstüne etkiyen tüm kuvvetleri göstermek
gereklidir.
Serbest cisim diyagramı çizme yöntemine geçmeden önce, parçacık
denge problemlerinde sık karşılaşılan iki bağlantı tipini inceleyeceğiz.
3.2 Serbest Cisim Diyagramı
Yaylar.
Yayın uzunluğu, üzerine etkiyen kuvvet ile doğru
orantılı olarak değişir.
Yayların «elastikliği»ni tanımlayan bir özellik k yay
sabiti veya k katsayısıdır.
s=l-l0
s pozitif ise, F yayı «çeker», s negatif ise F yayı «iter».
3.2 Serbest Cisim Diyagramı
İpler ve Makaralar.
Bu derste, aksi belirtilmedikçe tüm iplerin ihmal edilebilir
bir ağırlığa sahip ve uzayamaz olduğu varsayılmaktadır.
İpler sadece gerilme veya çekme kuvvetini taşıyabilir. Bu
kuvvet daima ip doğrultusunda etkir.
Sürtünmesiz makara üzerinden geçen kesintisiz ipin
dengede kalması için ipte oluşan çekme kuvvetinin
büyüklüğünün sabit kalması gerekir.
Şekildeki ip, herhangi bir θ açısı için, uzunluğu boyunca
sabit T gerilmesine maruz kalmaktadır.
Serbest Cisim Diyagramı Çizme Yöntemi
Kova, kablo ile dengede tutulmaktadır ve
içgüdüsel olarak kablodaki kuvvetin kovanın
ağırlığına eşit olması gerektiğini biliyoruz.
Kovanın serbest cisim diyagramını çizerek
bunun neden böyle olduğunu açıklayabiliriz.
Kova üzerine W ve T olarak iki kuvvet etki
eder. Denge için bunların bileşkesinin sıfıra
eşit olması gerekir, W = T.
Serbest Cisim Diyagramı Çizme Yöntemi
1. Adım. Parçacığın, çevresinden soyutlandığını veya «serbest»
kaldığını hayal ediniz. Cismin genel hatlarını çiziniz.
2. Adım. Bu çizim üzerinde parçacık üzerine etkiyen bütün kuvvetleri
belirtiniz. Bunlar parçacığı hareket ettiren aktif kuvvetler ve bu
hareketleri önlemeye çalışan tepki kuvvetleri olabilir.
3. Adım. Bilinen kuvvetler, uygun büyüklük ve doğrultularla
işaretlenmelidir. Bilinmeyen kuvvetlerin büyüklük ve doğrultularını
göstermek için harfler kullanılır. Bir kuvvetin etki çizgisi biliniyor fakat
büyüklüğü bilinmiyorsa, kuvvetin yönünü tanımlayan «ok ucu»
varsayımına göre seçilebilir. Doğru yön, büyüklük bulunduktan sonra
beli olur.
Serbest Cisim Diyagramı Çizme Yöntemi
5 kg’lık plaka, iki iple dengede tutulmaktadır. İplerdeki kuvvetleri
belirlemek için plakanın serbest cisim diyagramını çizmeliyiz.
Görüldüğü gibi, plakaya etkiyen üç kuvvet, eşmerkezli bir kuvvet
sistemi oluşturmaktadır.
Örnek 3-1
Şekildeki küre 6 kg kütlelidir ve
gösterildiği
şekilde
tutulmaktadır.
Kürenin ve C’deki düğümün serbest cisim
diyagramını çiziniz.
Örnek 3-1
CE ipinin küreye uyguladığı kuvvet
Küreye etkiyen gravitasyon kuvveti veya ağırlık
CBA ipinin düğüme uyguladığı kuvvet
Yayın düğüme uyguladığı kuvvet
CE ipinin düğüme uyguladığı kuvvet
3.3 Düzlemsel Kuvvet Sistemleri
Çoğu parçacık denge problemi, bir düzlemsel
kuvvet sistemi içerir. Kuvvetler, x-y düzleminde
bulunuyorsa, i ve j bileşenlerine ayrılır:
Bu skaler denge denklemleri, parçacık üzerine etkiyen bütün
kuvvetlerin x ve y bileşenlerinin cebirsel toplamlarının sıfıra eşit
olduğunu ifade eder. Bunları kullanarak SCD’da gösterilen açılar ve
kuvvetlerin büyüklükleri olan en fazla iki bilinmeyeni çözebiliriz.
3.3 Düzlemsel Kuvvet Sistemleri
Skaler Gösterim.
İki denge denkleminden her biri, belirli bir eksen (x veya y) boyunca
vektörel bileşenlere ayırmayı gerektirdiğinden, bu denklemleri
uygularken bileşenlerin gösteriminde skaler notasyon kullanacağız.
Burada her bileşenin yönü, serbest cisim diyagramında gösterildiği
gibi bileşenin ok yönüne karşı gelen bir cebirsel işaret ile ifade
edilecektir.
Kuvvet bileşenin yönü bilinmiyorsa, serbest cisim diyagramında bu
kuvvetin ok yönü istenildiği gibi alınabilir.
3.3 Düzlemsel Kuvvet Sistemleri
Skaler Gösterim.
Örneğin, şekildeki gibi iki kuvvete maruz bir parçacığın serbest cisim
diyagramını ele alalım.
Dengeyi sürdürecek F bilinmeyen kuvvetinin sağa doğru etkidiğini
varsaydık. Denge denkleminin x ekseni boyunca uygulanması ile:
elde edilir. Denklem çözülürse, F = -10 N çıkar. Buradaki eksi işareti
F’nin gerçek yönünün ters gösterilmiş olmasındandır.
3.3 Düzlemsel Kuvvet Sistemleri
Zincirler, SCD’de görüldüğü gibi, A
halkasına üç kuvvet uygular. x ve y
eksenleri boyunca kuvvetlerin toplamı
sıfır olursa, halka hareket etmez veya
sabit hızla hareket eder.
Bu kuvvetlerden birisi bilinirse, diğer iki
kuvvetin büyüklükleri denge denklemlerinden belirlenebilir.
Örnek 3-2
60 kg’lık kütleyi taşımak için gerekli olan BA
ve BC kablolarındaki kuvvetleri belirleyiniz.
Örnek 3-2
Örnek 3-3
200 kg’lık sandık AB ve AC ipleriyle askıda
tutulmaktadır. Her bir ip kopmadan önce en fazla
10 kN kuvvet taşıyabilmektedir. Eğer AB ipi daima
yatay kalıyorsa, iplerden birisi kopmadan
görülebilecek en küçük θ açısını belirleyiniz.
Örnek 3-3
cosθ ≤ 1 olduğundan FC FB’den her zaman büyüktür.
Dolayısıyla AC ipi önce kopacaktır.
Örnek 3-5
Şekildeki 8 kg’lık lambanın gösterilen
konumda asılabilmesi için, AC ipinin
uzunluğu ne olmalıdır?
AB yayının deforme olmamış uzunluğu
l’AB=0.4 m ve yay katsayısı kAB=300
N/m’dir.
Örnek 3-5
AB
yayındaki
kuvvet
bilinirse, yayın uzaması
bulunabilir (F = ks). Böylece, geometriden AC ipinin
uzunluğu belirlenebilir.
3.4 Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri
Bu denklemler, parçacığa etkiyen x, y, z kuvvet bileşenlerinin cebirsel
toplamlarını göstermektedir.
Bunları kullanarak SCD’da gösterilen açılar ve kuvvetlerin
büyüklükleri olan en fazla üç bilinmeyeni çözebiliriz.
3.4 Üç Boyutlu Kuvvet Sistemleri
A’daki mafsal, bağlantı noktası ve üç zincirin
uyguladığı kuvvetlere maruzdur.
FB, FC ve FD zincir kuvvetlerini belirlemek
için SCD’de üç skaler denge denklemi
uygulanabilir.
Örnek 3-5
90 lb’luk yük şekilde gösterilen kancadan
asılıdır. Yük, iki ip ve k=500 lb/ft katsayılı yay
ile tutulmaktadır. Denge durumunda iplerdeki kuvveti ve yayın gerilme miktarını
belirleyiniz. AD ipi x-y düzleminde ve AC ipi
x-z düzleminde bulunmaktadır.
Örnek 3-5
Yayın gerilme miktarı, yaydaki
kuvvet belirlendikten sonra
bulunabilir.
Örnek 3-6
10 kg’lık lamba, eşit uzunluklu üç kordonla
asılmıştır. Kordonlardaki en büyük kuvvetin 50 N
olması gerektiğine göre, en küçük düşey s uzunluğunu belirleyiniz.
Örnek 3-6
Örnek 3-7
40 lb’luk sandığı taşıyan kablolardaki kuvvetleri
belirleyiniz.
Örnek 3-7
Örnek 3-8
100 kg’lık kutu, birine yay bağlanmış üç iple
tutulmaktadır. Her bir ipteki çekme kuvvetini
ve yayın gerilme miktarını belirleyiniz.
Örnek 3-8