ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Caner COŞKUNTUNCEL
BAZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ADANA,2010
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
BAZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ
Caner COŞKUNTUNCEL
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Bu Tez 31/03/2010 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından Oybirliği/Oyçokluğu İle
Kabul Edilmiştir.
....................................... .......................................
.......................................
Doç.Dr.Fikret KUYUCU Yrd.Doç.Dr.Ali A.ÖZKURT Yrd.Doç.Dr.Perihan DİNÇ ARTUT
DANIŞMAN
ÜYE
ÜYE
Bu Tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında hazırlanmıştır.
Kod No:
Prof. Dr. İlhami YEĞİNGİL
Enstitü Müdürü
Not:Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge ve
fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri
Kanunundaki hükümlere tabidir.
ÖZ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
BAZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ
Caner COŞKUNTUNCEL
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Danışman : Doç.Dr. Fikret KUYUCU
Yıl : 2010, Sayfa: 50
Jüri : Doç.Dr. Fikret KUYUCU
Yrd.Doç.Dr. Ali A. ÖZKURT
Yrd.Doç.Dr. Perihan DİNÇ ARTUT
Bir fonksiyonun sürekliliğinin incelenmesi, yeni süreklilik çeşitlerinin
(θ − sürekli, zayıf sürekli) tanımlanmasında etkili olmuştur. Bir topolojik uzaya,
üzerindeki idealle birlikte bir ideal topolojik uzay denir. X kümesi üzerinde, bir I
ideali ve τ topolojisi vasıtasıyla I − açık kümeler tanımlanmış ve bu yeni kavramlar
sayesinde, yeni bir topolojik uzay elde edilmiştir. Bununla birlikte, yeni süreklilik
çesitleri ( I − sürekli, ω − I − sürekli, ω* − I − sürekli) tanımlanmıştır.
Bu çalışmanın amacı, bu süreklilik çeşitlerini, özelliklerini ve aralarındaki
ilişkileri araştırmaktır.
Anahtar Kelimeler: Topoloji, süreklilik ve idealler.
I
ABSTRACT
MSc THESIS
SOME CONTINUITY KINDS
Caner COŞKUNTUNCEL
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
UNİVERSITY OF ÇUKUROVA
Supervisor : Doç.Dr. Fikret KUYUCU
Year : 2010, Pages: 50
Jury : Assoc.Prof. Dr. Fikret KUYUCU
: Asst.Prof. Dr. Ali A. ÖZKURT
: Asst.Prof. Dr. Perihan DİNÇ ARTUT
Examining the continuity of a function, new kinds of continuity
( θ − continuous, weak continuous) have been effective in the description. A
topological space, with over ideal, an ideal topological space is called. On a set of
X, an I ideal and τ topology is defined through the open sets and thanks to this
new concept, a new topological spaces are obtained.However, the new continuity
kind (I-continuous, ω − continuous, ω* − continuous) have been identified.
The purpose of this thesis, this kind of continuity, characteristics, and to
investigate the relationships between them.
Key Words: Topology, continuity and ideals.
II
TEŞEKKÜR
Bu çalışmanın her aşamasında hiç bir zaman yardımlarını ve anlayışını eksik
etmeyen, akademik başarısı ve kişiliğiyle örnek alınacak çok değerli danışmanım
Doç.Dr.Fikret KUYUCU’ya en derin saygılarımla teşekkürlerimi sunarım.
Ayrıca bu çalışmanın oluşmasında katkısı bulunun çok ama çok değerli
Öğretim Görevlisi arkadaşım Emir Ali MARİS’e teşekkür ederim.
İhtiyaç duyduğum her an yardımlarını ve anlayışlarını hiçbir şekilde eksik
etmeyen değerli hocalarım Yrd.Doç.Dr.Ali A. ÖZKURT ve eşi Yrd.Doç.Dr. Zeynep
ÖZKURT’a teşekkür ederim.Maddi ve manevi desteklerini esirgemeyen, her zaman
yanımda olan haklarını hiç bir zaman ödeyemeyeceğim çok değerli babam Hasan
COŞKUNTUNCEL ve annem Meliha COŞKUNTUNCEL’e çok teşekkür ederim.
III
İÇİNDEKİLER
SAYFA
ÖZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II
TEŞEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III
İÇİNDEKİLER . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
IV
1 GİRİŞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1 Temel Tanım ve Özellikler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2 Yerel Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.3 Kuratowski Kapanış Operatörü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Topoloji ile İdealin Uyuşması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 21
1.5 I f ’ yi İçeren İdealler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6 X = X * Koşulunu Sağlayn Uzaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 BAZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1 Süreklilik Çeşitleri . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Regüler Uzay, RI − Uzayı ve FI * − Uzayı . . . . . . . . . . . . . . . . 41
KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 49
ÖZGEÇMİŞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
IV
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
1. GİRİŞ
Bir fonksiyonun sürekliliği, bilindiği gibi matematiğin temel yapıtaşıdır. Bu
bağlamda, fonksiyonların sürekliliğinin incelenmesi geçmişten günümüze büyük
önem taşımaktadır. Özellikle soyut uzaylarda (metrik uzaylar, topolojik uzaylar) bir
fonksiyonun sürekliliğinin incelenmesi, yeni süreklilik çeşitlerinin tanımlanması ve
bu süreklilik çeşitleri arasındaki ilişkilerin kurulması, süreklilik çeşitlerinin denk
olduğu uzayların tanımlanması son yıllarda topoloji ile uğraşan matematikçilerin
gözde konuları arasındadır.
Bu alanda yapılan ilk temel çalışmalar Fomin tarafından 1943 yılında
tanımlanan θ − süreklilik ile başlar. Sonra 1961 yılında Levine zayıf süreklilik
kavramını tanımlamıştır. Buna göre her sürekli fonksiyon θ − ve zayıf süreklidir,
fakat tersi her zaman doğru değildir. Ayrıca her θ − sürekli fonksiyon zayıf
süreklidir.
Sonrasında 1974’de Noiri, 1984’de Rose zayıf sürekli fonksiyonlar
üzerine çalışmalar yapmıştır.
Bir topolojik uzayda bir I ideali, I nın elemanlarının tümleyenlerinden
oluşan ailenin filtre olmasıdır. Bir topolojik uzaya, üzerindeki idealle birlikte bir
ideal topolojik uzay denir. 1990 yılında Jankoviç ve Hamlet tarafından X kümesi
üzerinde bir I ideali ve bir τ topolojisi vasıtasıyla I − açık kümeler tanımlanmış ve
bu yeni kavram sayesinde yeni bir topolojik uzay elde edilmiş, bununla birlikte yeni
süreklilik
çeşitlerinin
( I − sürekli, α − I − sürekli, AI − sürekli,
tanımlanması
w − I − sürekli, w * − I − sürekli gibi ) mümkün olmuştur.
Süreklilik çeşitleri arasındaki ilişkilerin incelenmesi üzerine günümüzde pek
çok makale yazılmıştır: 2004 yılında Keskin, Noiri ve Yüksel’in
makalesi ile
Açıkgöz Noiri ve Yüksel’in makalesi; 2005 yılında Hatır, Keskin ve Noiri’nin
makalesi; 2006 yılında Jeyanthi, Devi ve Sivaraj’ın makalesi; 2008 yılında Kuyucu,
Noiri ve Özkurt’un makalesi bunlardan bazılarıdır.
Bu çalışmanın amacı, bu süreklilik çeşitlerini, özelliklerini ve aralarındaki
ilişkileri araştırmaktır.
1
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
1.1.Temel Tanım ve Özellikler
Bu bölümde genel olarak kümeler teorisinin ve topolojinin iyi bilinen temel
tanım ve özellikleri özetlenmiştir.(Bülbül, 1994)
X bir küme ve A ⊆ X olsun. X − A = { x ∈ X : x ∉ A} kümesine A ’nın
tümleyeni denir.
X bir küme, Ι bir indis kümesi ve her bir i ∈ Ι için Ai ⊆ X olsun. U Ai ve
i∈Ι
I Ai kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanır:
i∈Ι
U Ai = { x ∈ X : ∃i ∈ Ι öyle ki x ∈ Ai } ,
i∈Ι
I Ai = { x ∈ X : ∀i ∈ Ι için x ∈ Ai } .
i∈Ι
Kümelerin birleşimi ve kesişimi ile ilgili aşağıdaki önermeler doğrudur:
( )
i∈Ι
( )
i∈Ι
( )
i∈Ι
( )
i∈Ι
a) X − U Ai = I ( X − Ai ) ,
i∈Ι
b) X − I Ai = U ( X − Ai ) ,
i∈Ι
c) B ∩ U Ai = U ( B ∩ Ai ) ,
i∈Ι
d) B ∪ I Ai = I ( B ∪ Ai ) .
i∈Ι
f : X →Y
bir fonksiyon, Ι
Ai ⊆ X Bi ⊆ Y olsun.
bir indis kümesi ve her bir i ∈ Ι
Bir kümenin f fonksiyonu altındaki görüntüsü ve ters
görüntüsü ile ilgili aşağıdaki önermeler doğrudur:
a)
( )
f −1 U Bi = U f −1 ( Bi ) ,
i∈Ι
için
i∈Ι
2
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
( )
b) f −1 I Bi = I f −1 ( Bi ) ,
i∈Ι
c)
i∈Ι
( )
i∈Ι
( )
i∈Ι
f I Ai ⊆ I f ( Ai ) ,
i∈Ι
d) f U Ai = U f ( Ai ) ,
i∈Ι
e)
f birebir ise, her bir A,B ⊆ X için f ( A ∩ B ) = f ( A ) ∩ f ( B ) dir,
f) Her B ⊆ Y için f −1 (Y − B ) = X − f −1 ( B ) dir,
g) Her A ⊆ X için A ⊆ f −1 ( f ( A) ) ve eğer f birebir ise A = f −1 ( f ( A ) )
dır,
h) Her B ⊆ Y için f ( f −1 ( B ) ) ⊆ B ve eğer f örten ise f ( f −1 ( B ) ) = B dir.
X bir küme olsun. P ( X ) = { A : A ⊆ X } ailesine X ’in kuvvet kümesi denir.
τ ⊆ P ( X ) ve Ι bir indis kümesi olsun. Eğer,
a) ∅ , X ∈ τ
b) Her U , V ∈ τ için U ∩ V ∈τ
c) Her i ∈ Ι için U i ∈τ ise U U i ∈τ
i∈Ι
koşulları sağlanırsa τ ailesine X kümesi üzerinde bir topoloji, ( X ,τ ) ikilisine bir
topolojik uzay denir.
τ 1 ve τ 2 X kümesi üzerinde iki topoloji olsun. τ 1 ⊆ τ 2 ise τ 2 ’ye τ 1 ’den daha
ince veya τ 1 ’e τ 2 ’den daha kabadır denir.
( X ,τ ) bir topolojik uzay olsun.
τ topolojisinin elemanlarının her birine açık
küme, açık kümenin tümleyenine kapalı küme denir.
3
1.GİRİŞ
( X ,τ )
Caner COŞKUNTUNCEL
bir topolojik uzay olsun. Ι bir indis kümesi olmak üzere, bu
topolojinin K = { F :( X − F ) ∈τ } kapalı kümeler ailesi aşağıdaki koşulları sağlar:
a) ∅ , X ∈ K ,
b) Her F , T ∈ K için F ∪ T ∈ K ,
c) Her i ∈ Ι için Fi ∈ K ise I Fi ∈ K .
i∈Ι
Tersine, K ailesi X kümesi üzerinde yukarıdaki üç koşulu sağlayan bir aile ise X
üzerinde bir topoloji vardır, öyle ki K ailesi bu topolojinin kapalı kümeler ailesidir.
( X ,τ )
bir topolojik uzay, U ⊆ X ve x ∈ X olsun. En az bir G ∈τ için
x ∈ G ⊆ U oluyorsa U kümesine x ’in bir komşuluğu, x ’in bütün komşuluklarından
oluşan N ( x ) = {U ⊆ X : ∃ G ∈τ , x ∈ G ⊆ U } ailesine x ’in komşuluk sistemi denir.
( X ,τ ) bir topolojik uzay,
A ⊆ X ve x ∈ X olsun.
cl ( A) = { x ∈ X : ∀U ∈ N ( x ) , U ∩ A ≠ ∅}
kümesine A ’nın kapanışı, bu kümenin elemanlarına A ’nın kapanış noktaları denir.
int ( A) = { x ∈ X : ∃U ∈ N ( x ) , x ∈ U ⊆ A}
kümesine A ’nın içi, bu kümenin elemanlarına A ’nın iç noktaları denir.
{
}
Ad = x ∈ X : ∀ U ∈ N ( x ) , (U − { x} ) ∩ A ≠ ∅
kümesine A ’nın türev kümesi, bu kümenin elemanlarına A ’nın yığılma noktaları
denir.
( X ,τ )
bir topolojik uzay ve A ⊆ X olsun.
kümesi ile ilgili aşağıdakiler doğrudur:
4
A ’nın kapanışı, içi ve türev
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
a) X − cl ( A ) = int ( X − A ) .
(U ∈τ ) ,
b) int ( A ) = U U
U ⊆A
yani A ’nın içi A ’nın en geniş açık alt
kümesidir.
c) cl ( A) = I F
A⊆ F
( ( X − F ) ∈τ ) , yani
A ’nın kapanışı A ’yı kapsayan en dar
kapalı kümedir.
d) A kapalıdır. ⇔ A = cl ( A) ⇔ Ad ⊆ A .
e) A açıktır. ⇔ A = int ( A ) .
f) cl ( A) = A ∪ Ad .
( X ,τ ) bir topolojik uzay ve
A ⊆ X olsun.
τ A = { A ∩ U :U ∈ τ }
ailesi A kümesi üzerinde bir topolojidir. Bu topolojiye τ ’nun A kümesi üzerinde
ürettiği alt uzay topolojisi, ( A,τ A ) topolojik uzayına ( X ,τ ) ’nun bir alt uzayı denir.
( X ,τ ) bir topolojik uzay,
x ∈ X ve B ( x ) ⊆ N ( x ) olsun. Her U ∈ N ( x ) için
öyle bir V ∈ B ( x ) kümesi V ⊆ U olacak şekilde varsa, B ( x ) ailesine x noktasının
bir komşuluk tabanı denir.
Bir topolojik uzayın her noktasında sayılabilir bir komşuluk tabanı varsa bu
topolojik uzaya birinci sayılabilir uzay denir.
( X ,τ )
bir topolojik uzay ve B ⊆ τ olsun. B ’nin τ topolojisinin bir tabanı
olması için gerek ve yeter şart her U ∈ τ ve her x ∈ U için öyle bir Gx ∈ B
kümesinin x ∈ Gx ⊆ U olacak biçimde bulunmasıdır.
5
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
( X ,τ )
bir topolojik uzay ve B ⊆ τ olsun. B ’nin τ topolojisinin bir tabanı
olması için gerek ve yeter şart her x ∈ X için Bx = {G ∈ B : x ∈ G} ailesinin x
noktasının bir komşuluk tabanı olmasıdır.
Bir topolojik uzayın sayılabilir bir tabanı varsa bu topolojik uzaya ikinci
sayılabilir uzay denir.
Her ikinci sayılabilir uzay birinci sayılabilirdir. Fakat tersi doğru değildir.
( X ,τ )
( X ,τ )
bir topolojik uzay ve A ⊆ X olsun. cl ( A) = X ise A kümesine
topolojik uzayında yoğundur denir.
( X ,τ )
topolojik uzayının sayılabilir ve
yoğun bir alt kümesi varsa bu uzaya ayrılabilir uzay denir.
Bir topolojik uzayın herhangi bir özelliği bu uzayın her alt uzayı için de
sağlanıyorsa bu özelliğe kalıtsal özellik denir. Buna göre birinci sayılabilirlik, ikinci
sayılabilirlik ve ayrılabilirlik özellikleri birer kalıtsal özelliktir.
( X ,τ )
olsun.
ve (Y ,τ% ) iki topolojik uzay, f : X → Y bir fonksiyon ve x0 ∈ X
Eğer her V ∈ Nτ% ( f ( x0 ) ) için
U ∈ Nτ ( x0 ) varsa
f
f (U ) ⊆ V olacak biçimde en az bir
fonksiyonuna x0 noktasında süreklidir denir.
Eğer
f
fonksiyonu bir A ⊆ X kümesinin her noktasında sürekli ise f fonksiyonu A ’da
süreklidir denir.
( X ,τ )
ve (Y ,τ% ) iki topolojik uzay, f : X → Y bir fonksiyon olsun.O halde
Aşağıdakiler denktir:
a) Her V ∈ τ% için f −1 (V ) ∈ τ dır.
b) Her kapalı F ⊆ Y kümesi için f −1 ( F ) kümesi X ’de kapalıdır.
6
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
( X ,τ ) bir topolojik uzay,
f : X → Y sürekli bir fonksiyon ve A ⊆ X olsun.
Bu taktirde f fonksiyonunun A kümesine daraltılmışı f% = f ↓ A : A → Y fonksiyonu
( A,τ A ) alt uzay topolojisine göre süreklidir.
( X ,τ )
ve (Y ,τ% ) iki topolojik uzay ve f : X → Y birebir örten bir fonksiyon
olsun. Eğer f ve f −1 fonksiyonları sürekli fonksiyonlar ise f fonksiyonuna bir
homeomorfizm veya topolojik eş yapı dönüşümü,
( X ,τ )
ve
(Y ,τ% )
uzaylarına
homeomorf uzaylar veya topolojik denk uzaylar denir.
Bir topolojik uzayın bir özelliği homeomorfizmler altında değişmiyorsa bu
özelliğe bir topolojik özellik denir.Buna göre birinci sayılabilirlik, ikinci
sayılabilirlik ve ayrılabilirlik özellikleri birer topolojik özelliktir.
( X ,τ ) bir topolojik uzay olsun.
1.) Eğer her x, y ∈ X ( x ≠ y ) için bir G ∈τ kümesi,
( x ∈G ∧ y ∉G) ∨ ( x ∉G ∧ y ∈G)
olacak şekilde bulunabiliyorsa bu uzaya bir T0 − uzayı veya Kolmogorof uzayı denir.
2.)Eğer her x, y ∈ X ( x ≠ y ) için G,H ∈τ kümeleri,
( x ∈ G, y ∉ G ) ∧ ( x ∉ H , y ∈ H )
olacak şekilde bulunabiliyorsa bu uzaya bir T1 − uzayı veya Frechet uzayı denir.
3.)Eğer her x, y ∈ X ( x ≠ y ) için G,H ∈ τ kümeleri,
( x ∈ G, y ∈ H ) ∧ ( G ∩ H = ∅ )
olacak şekilde bulunabiliyorsa bu uzaya bir T2 − uzayı veya Hausdorff uzayı denir.
7
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
T0 − uzayı, T1 − uzayı ve T2 − uzayı olma özellikleri hem kalıtsal hem de
topolojik özelliklerdir.
( X ,τ )
topolojik uzayı bir T0 − uzayıdır. ⇔ Her x, y ∈ X ( x ≠ y ) için
cl ({ x}) ≠ cl ({ y} ) dir.
( X ,τ )
topolojik uzayı bir T1 − uzayıdır. ⇔ Her x ∈ X için
{ x}
tek nokta
kümesi kapalıdır.
( X ,τ )
topolojik uzayı bir T2 − uzayıdır. ⇔ Her x ∈ X için
{ x} = U ∈IN ( x ) U
, ( X − U )∈τ dır.
Bir T1 − uzayında tek nokta kümeleri kapalı olduğundan tümevarımla sonlu
sayıda elamana sahip kümeler kapalıdır. Ayrıca sonlu elemanlı kümelerin
T1 − uzayında yığılma noktaları yoktur.
T1 − uzayı,
Buna göre
( X ,τ )
topolojik uzayı bir
A ⊆ X ve x ∈ Ad olmak üzere, her bir U ∈ N ( x ) için A ∩ U sonsuz
elemanlıdır.
( X ,τ ) bir topolojik uzay ve ℘⊆ τ
olsun. Eğer X = U U ise ℘ ailesine X
U ∈℘
kümesinin bir açık örtüsü denir. Eğer X ’in her açık örtüsünden sonlu bir alt örtü
seçilebiliyorsa ( X ,τ ) uzayına kompakttır denir.
Kompaktlık topolojik bir özelliktir.
Bir topolojik uzayın her açık örtüsünün sayılabilir bir alt örtüsü varsa bu
topolojik uzaya Lindelöf uzayı denir. Bu tanımdan her kompakt topolojik uzayın bir
Lindelöf uzayı olduğu hemen söylenebilir.
Her ikinci sayılabilir uzay da bir Lindelöf uzayıdır.
8
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
1.2.Yerel Fonksiyon
Tanım 1.2.1.(Jankovic ve Hamlet, 1990) I bir X kümesinin alt kümelerinin boştan
farklı bir ailesi olsun. I ailesi,
i. A ∈ I ve B ⊆ A ise B ∈ I
ii. A ∈ I ve B ∈ I ise A ∪ B ∈ I
koşullarını sağlıyorsa, bu aileye X üzerinde bir ideal denir.
Tanıma göre I bir ideal ise ∅ ∈ I olduğu açıktır.
Örnek 1.2.2. X kümesi verilsin.
I f = { A ⊆ X : A sonlu}
Ic = { A ⊆ X : A sayılabilir}
I n = { A ⊆ X : A hiçbir yerde yoğun değil}
şeklinde tanımlanan I f , Ic ve I n aileleri X üzerinde birer idealdir.
Tanım 1.2.3.
( X, τ )
bir topolojik uzay, I
X üzerinde bir ideal olsun. A ⊆ X
kümesi için,
A* ( I , τ ) = { x ∈ X : ∀U ∈ N( x ) için A ∩ U ∉ I }
şeklinde tanımlanan A* = A* ( I , τ ) kümesine, A kümesinin yerel fonksiyonu denir.
Örnek 1.2.4. ( X , τ ) topolojik uzayı ve I1 = {∅} , I 2 = P ( X ) idealleri verilsin.
Burada P ( X ) , X ’in kuvvet kümesidir. A ⊆ X alt kümesi için,
A* ( I1 , τ ) = clτ ( A)
A* ( I2 , τ ) = ∅
dır.
Örnek 1.2.5.
(X , τ)
topolojik uzayı bir T1 uzayı olsun. Bir A ⊆ X alt kümesinin
yığılma noktalarının kümesi Ad = { x ∈ X : ∀U ∈ N( x ) için U ∩ A sonsuz} şeklinde
9
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
(
)
tanımlanır. Bu taktirde Ad = A* I f , T1 dir. Burada I f , X kümesinin sonlu alt
kümelerinin idealidir. Gerçekten,
(
) {
A* I f , T1 = x ∈ X : ∀U ∈ N( x ) için A ∩ U ∉ I f
}
ve I f eleman sayısı sonlu kümelerin ideali olduğundan A ∩ U sonsuz elemanlıdır.
Örnek 1.2.6.
(X , τ)
bir topolojik uzay, A ⊂ X ve x ∈ X olsun. Eğer,
“ ∀U ∈ N( x ) için A ∩ U sayılamaz bir kümedir.”
koşulu sağlanırsa x noktasına A kümesinin bir yoğunlaşma noktası denir. O halde,
A* ( I c , τ ) = { x ∈ X : ∀U ∈ N( x ) için A ∩ U ∉ I c }
= { x ∈ X : ∀U ∈ N( x ) için A ∩ U sayılamaz}
dir. Burada Ic X kümesinin sayılabilir alt kümelerinin idealidir. Sonuçta bir A
kümesinin yoğunlaşma noktalarının kümesi A* ( Ic , τ ) dir.
Teorem 1.2.7. (Jankovic ve Hamlet, 1990) ( X , τ ) bir topolojik uzay; I , I1 ve I 2 X
üzerinde idealler ve A, B ⊆ X olsun. O zaman aşağıdakiler sağlanır:
i. A ⊆ B ise A* ⊆ B* dır.
ii. I1 ⊆ I 2 ise A* ( I1 ) ⊇ A* ( I 2 ) dır.
iii. A* ( I ,τ ) kümesi X ’in kapalı bir alt kümesidir.
iv. ( A* ) ⊆ A* dır.
*
v. ( A ∪ B ) ( I ) = A* ( I ) ∪ B* ( I ) dır.
*
vi. A* ( I ) − B* ( I ) = ( A − B ) ( I ) − B* ( I ) ⊆ ( A − B ) ( I ) dır.
*
*
vii. U ∈ τ ⇒ U ∩ A* ( I ) = U ∩ (U ∩ A) ( I ) ⊆ (U ∩ A ) ( I ) dır.
*
*
viii. I ′ ∈ I ⇒ ( A ∪ I ′ ) ( I ) = A* ( I ) = ( A − I ′ ) ( I ) dır.
*
*
İspat: i. x ∈ A* ⇒ ∀U ∈ N ( x) için A ∩ U ∉ Ι yazılabilir.
10
1.GİRİŞ
A⊆ B
Caner COŞKUNTUNCEL
A ∩U ⊆ B ∩U
olduğundan
olur.
A ∩U ∉ Ι
ve idealin tanımından
B ∩ U ∉ Ι dır. O halde x ∈ B * ve buradan da A* ⊆ B* elde edilir.
ii. x ∈ A* ( Ι 2 ) ⇒ ∀U ∈ Ν ( x ) için A ∩ U ∉ Ι 2
Ι1 ⊆ Ι 2
olduğundan
A ∩U ∉ Ι 1
ve
buradan
x ∈ A* ( Ι1 )
olur.
Sonuçta,
A* ( Ι 2 ) ⊆ A* ( Ι 1 ) elde edilir.
iii. clτ ( A* ) ⊆ A* olduğunu göstermek yeter. Burada clτ ( A* ) , A* kümesinin
τ topolojisine göre kapanışıdır. Kapanış noktasının tanımına göre,
x ∈ clτ ( A* ) ⇔ ∀U ∈ Ν ( x ) için A* ∩U ≠ ∅ dır.
y ∈ A* ∩ U olsun.
y ∈ A* ∧ y ∈U ⇒ ∀V ∈ Ν ( y ) için V ∩ A ∉ Ι ∧ y ∈ U
yazılabilir. Özel olarak
V = U seçilirse, ∀U ∈ Ν ( x ) için A ∩ U ∉ Ι elde edilir.Yani x ∈ A* dır. Sonuçta
clτ ( A* ) ⊆ A* olur.
iv. x ∈ ( A* ) =  A* ( Ι )  ( Ι ) ⇒ ∀U ∈ Ν ( x ) için A* ( Ι ) ∩ U ∉ Ι
*
*
⇒ A* ( Ι ) ∩ U ≠ ∅
y ∈ A* ( Ι ) ∩ U olsun.
y ∈ A* ( Ι ) ∧ y ∈U ⇒ ∀V ∈ Ν ( y ) için V ∩ A ∉ Ι ∧ y ∈U
V = U seçilirse, ∀U ∈ Ν ( x ) için U ∩ A ∉ Ι
elde edilir. Yani x ∈ A* ( Ι ) = A* dır. Sonuçta, ( A* ) ⊆ A* bulunur.
*
v. x ∈ ( A ∪ B ) ( Ι ) ⇔ ∀U ∈ Ν ( x ) için ( A ∪ B ) ∩ U ∉ Ι
*
⇔ ∀U ∈ Ν ( x ) için ( A ∩ U ) ∪ ( B ∩ U ) ∉ Ι
11
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
⇔ ∀U ∈ Ν ( x ) için A ∩ U ∉ Ι ∨ B ∩ U ∉ Ι
⇔ x ∈ A* ( Ι ) ∨ x ∈ B* ( Ι
)
⇔ x ∈  A* ( Ι ) ∪ B* ( Ι ) 
Buradan ( A ∪ B ) ( Ι ) = A* ( Ι ) ∪ B* ( Ι
*
)
elde edilir.
vi. x ∈  A* ( Ι ) − B* ( Ι )  ⇔ x ∈ A* ( Ι ) ∧ x ∉ B* ( Ι )
iddia: x ∈ ( A − B) ( Ι ) dır. Gerçekten, x ∉ ( A − B) ( Ι ) olsaydı,
*
*
∃V1 ∈ Ν ( x ) : V1 ∩ ( A − B ) ∈ Ι
olurdu. Ayrıca x ∉ B* ( Ι ) olduğundan,
∃V2 ∈ Ν ( x ) : V2 ∩ B ∈ Ι
olur. U = V1 ∩ V2 seçelim. O halde U ∈ Ν ( x ) için,
U ∩ ( A − B ) ∈ I ve U ∩ B ∈ I
dır. Buradan,
U ∩ ( A − B )  ∪ (U ∩ B ) = U ∩ ( A ∪ B ) = (U ∩ A) ∪ (U ∩ B ) ∈ I
elde edilir ve buradan da U ∩ A ∈ Ι olmalıdır. Bu durum x ∈ A* ( Ι ) olması ile
çelişir. O zaman x ∈ ( A − B ) ( Ι ) doğrudur. Bu sonuç,
*
 A* ( Ι ) − B* ( Ι )  ⊆ ( A − B ) ( Ι )
*
veya,
 A* ( Ι ) − B* ( I ) − B* ( Ι ) ⊆ ( A − B ) ( Ι ) − B* ( Ι
*
12
)
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
⇒  A* ( Ι ) − B* ( Ι ) ⊆ ( A − B ) ( Ι ) − B* ( I )
*
olduğunu gösterir.
*
x ∈ ( A − B ) ( Ι ) − B* ( Ι ) olsun.


O halde,
∀U ∈ Ν ( x ) için U ∩ ( A − B ) ∉ Ι  ∧ x ∉ B* ( Ι
)
yazılır. U ∩ ( A − B ) ⊆ U ∩ A olduğundan U ∩ A ∉ Ι dır.
∀U ∈ Ν ( x ) için U ∩ A ∉ Ι  ∧ x ∈ B* ( Ι )
⇒ x ∈ A* ( Ι ) ∧ x ∉ B* ( Ι ) ⇒ x ∈  A* ( Ι ) − B* ( Ι ) 
⇒ ( A − B ) ( Ι ) − B* ( Ι ) ⊆  A* ( Ι ) − B* ( Ι )


*
olur. Sonuçta,
A* ( Ι ) − B* ( Ι ) = ( A − B ) ( Ι ) − B* ( Ι
*
)
elde edilir.
vii. U ∈ τ olsun.
x ∈ U ∩ A* ( Ι ) ⇒ x ∈ U ∧ ( ∀V ∈ Ν ( x ) V ∩ A ∉ Ι )
x ∈ U ∧ U ∈ Ν ( x ) ⇒ U ∩ V ∈ Ν ( x ) dir. O halde,
⇒ ∀V ∈Ν ( x ) için V ∩ (U ∩ A ) ∉ Ι
⇒ x ∈ (U ∩ A) ( Ι )
*
yazılabilir. x ∈ U olduğundan, x ∈ U ∩ (U ∩ A ) ( Ι
*
13
) bulunur.
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
x ∈ U ∩ (U ∩ A ) ( Ι ) ⇒ x ∈ U ∧ ( ∀V ∈ Ν ( x ) V ∩ (U ∩ A ) ∉ Ι
*
V ′ = U ∩ V olsun. O halde V ′ ∈ Ν ( x ) V ′ ∩ A ∉ Ι olur.
Dolayısıyla x ∈U ∧ x ∈ A* ( Ι
)
⇒ x ∈ U ∩ A* ( Ι ) dır.
Buradan, U ∩ (U ∩ A) ( Ι ) ⊆ U ∩ A* ( Ι
*
)
olur. Sonuçta,
U ∩ A* ( Ι ) = U ∩(U ∩ A) ( Ι )
*
eşitliği doğrudur.
viii. Ι ′ ∈ Ι olsun. O halde her bir U ⊆ X için,
U ∩ Ι ′ ⊆ Ι ′ olduğundan U ∩ Ι ′ ∈ Ι dır. O halde,
Ι ′* ( Ι ) = { x ∈ X : ∀U ∈ Ν ( x ) U ∩ Ι ′ ∉ Ι } = ∅
yazılabilir. Buradan,
( A ∪ Ι ′) ( Ι ) = A* ( Ι ) ∪ Ι ′* ( Ι ) = A* ( Ι )
*
olur. vi. özelliğinden,
( A − Ι ′) ( Ι ) ⊇ ( A − Ι ′) ( Ι ) − Ι ′* ( Ι ) = A* ( Ι ) − Ι ′* ( Ι )
= A* ( Ι )
*
*
⇒ ( A − Ι ′ ) ( Ι ) ⊇ A* ( Ι )
*
bulunur. Ayrıca A − Ι ′ ⊆ A ⇒ ( A − Ι ′ ) ( Ι ) ⊆ A* ( Ι )
*
olduğundan ( A − Ι ′) ( Ι ) = A* ( Ι
*
)
yazılabilir.
14
)
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
1.3. Kuratowski Kapanış Operatörü
Tanım 1.3.1. (Jankovic ve Hamlet, 1990) P ( X ) , X kümesinin kuvvet kümesi olmak
üzere,
( .)
c
: P( X ) → P( X )
A → Ac
fonksiyonu,
i. ∅ = ∅ c
ii. ∀A ∈ P ( X ) için A ⊆ Ac
iii. ∀A, B ∈ P ( X ) için ( A ∪ B ) = Ac ∪ Bc
c
iv. A ∈ P( X ) ⇒ ( Ac ) = Ac
c
özelliklerini sağlıyorsa, bu fonksiyona Kuratowski Kapanış Operatörü denir.
{
}
τ c = U ∈ P( X ) : X −U = ( X −U ) ⊆ P( X )
c
ailesi, (.)c Kuratowski kapanış operatörü ile üretilen topolojidir. Gerçekten,
1.
(.)c fonksiyonunun i ve ii özelliklerinden,
∅ c = X − X = ( X − X ) = ∅ ⇒ X ∈τ c
c
X ∈ P( X )
X ⊆ Xc ⊆ X ⇒ X = Xc
⇒ X − ∅ = ( X − ∅)
⇒ ∅ ∈τ c
2.
U1 , U 2 ∈ τ c keyfi iki küme olsun.
15
c
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
X − U 1 = ( X − U1 )
c
X −U2 = ( X −U2 )
c
⇒ ( X − U1 ) ∪ ( X − U 2 ) = ( X − U1 ) ∪ ( X − U 2 )
c
c
(.)c operatörünün iii özelliğinden,
X − (U 1 ∩ U 2 ) = ( X − U 1 ) ∪ ( X − U 2 ) = ( X − U1 ) ∪ ( X − U 2 ) 
=  X − (U 1 ∩ U 2 ) 
⇒ U1 ∩U 2 ∈τ c
3. K = {U ⊆ X : U = U c } ailesini tanımlayalım.
(
Her K ′ ⊆ K için I U = I U
U ∈K ′
U ∈K ′
)
c
dir. Gerçekten,
I U = I Uc ⇒
U ∈K ′
U ∈K ′
(
) =( I U )
c
I U
U ∈K ′
c
U ∈K ′
öte yandan, her bir U ∈ K ′ için,
I U ⊆U =Uc ⇒
U ∈K ′
( I U ) ⊆U
c
U ∈K ′
ve buradan,
(
I Uc
U ∈K ′
)
c
(
(
⊆ I Uc ⊆ I Uc
U ∈K ′
⇒ I Uc
U ∈K ′
) = IU
c
bulunur. I U = I U c olduğundan,
U∈K ′
U ∈K ′
U∈K ′
16
U ∈K ′
c
)
c
c
c
c
c
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
(
) (
c
I U
U ∈K ′
= I Uc
U ∈K ′
) = IU
c
c
U ∈K ′
= I U
U ∈K ′
elde edilir.
τ ′ ⊆ τ c keyfi bir alt aile olsun. Her bir U ∈ τ ′ için, X − U = ( X − U ) olduğundan,
c
)
(
= (X − U U)
X − U U = I ( X −U ) = I ( X −U ) = I ( X −U )
c
U ∈τ ′
U ∈τ ′
U ∈τ ′
c
U ∈τ ′
c
U ∈τ ′
dir. Yani U U ∈τ c dir.
U ∈τ ′
O halde τ c bir topolojidir. Ayrıca,
K = {U ⊆ X : U = U c }
ile tanımlanan K ailesi, τ c topolojisine göre kapalı olan kümelerin ailesidir.
Lemma 1.3.2. ∅ ≠ X kümesi verilsin. d : P ( X ) → P ( X ) fonksiyonu,
i. d ( ∅ ) = ∅
ii. d ( A ∪ B ) = d ( A) ∪ d ( B )
iii. d ( d ( A) ) ⊆ d ( A)
koşullarını sağlasın. Bu taktirde, (.)c : P ( X ) → P( X ) Ac = A ∪ d ( A ) ile tanımlı (.)c
fonksiyonu bir Kuratowski kapanış operatörüdür.
İspat: A ∈ P ( X ) için ( Ac ) = Ac olduğunu göstermek yeter.
c
( A ) = ( A ∪ d ( A) )
c c
c
=  A ∪ d ( A) ∪  d ( A ∪ d ( A) ) =
=  A ∪ d ( A ) ∪  d ( A) ∪ d ( d ( A) ) = A ∪ d ( A) = Ac
17
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
( X ,τ )
( .)
*
bir topolojik uzay, Ι
X
üzerinde bir ideal olsun. O halde,
: P( X ) → P( X ), A* = A* ( I ,τ ) ile tanımlı ( .)* fonksiyonu lemma 1.3.2. nin tüm
Bu durumda cl* ( A) = A ∪ A* ile tanımlı cl* fonksiyonu bir
koşullarını sağlar.
Kuratowski kapanış operatörüdür.
τ * = τ * ( I , τ ) ={U ⊆ X : cl* ( X −U ) = X − U}
şeklinde tanımlanan τ * ailesi, cl* operatörüyle üretilen topolojidir.
I ideali, I = {∅} olarak seçilirse, A* = cl( A ) olduğundan cl ( A) = cl ( A) olur ve
*
τ* = τ elde edilir.
I
ideali, I = P( X ) olarak seçilirse, A* = ∅ olduğundan cl* ( A) = A olur ve
τ * = P( X ) elde edilir.
I
τ ⊆ τ * yazılabilir. Yani τ * topolojisi τ
X üzerinde keyfi bir ideal ise
topolojisinden daha incedir.
τ * topolojisi, τ topolojisinden daha ince bir topoloji olduğundan herhangi bir
A ∈ P( X ) kümesi için aşağıdaki önermeler sağlanır:
(a)
Ad ⊆ Ad
(b)
x ∈ Ad ⇔ ∀U ∈ N( x )
(c)
Ad ⊆ A*
(d)
{ x }∈ I olsun o halde x ∈ Ad
*
*
(U − { x } ) ∩ A ∉ I
*
*
⇔ x ∈ A*
Burada Ad ve Ad , A kümesinin sırasıyla τ ve τ * topolojilerine göre yığılma
*
noktalarının kümesidir (Türev kümesi).
18
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
A ∈ P( X ) kümesi verilsin. τ * topolojisinin tanımından, A kümesinin τ *
topolojisine göre kapalı olması için A* ⊆ A koşulunun sağlanması gerekir ve yeter.
Çünkü, τ * topolojisinin kapalı kümeleri cl* ( A) = A ∪ A* = A olduğundan A* ⊆ A
koşulu sağlanmalıdır.
Şimdi τ * topolojisinin açık kümelerini belirleyelim. U ∈τ * olsun. O halde
X − U kümesi τ * topolojisine göre kapalıdır. Buradan,
( X −U )
*
⊆ X −U ⇔ U ⊆ X − ( X − U )
*
yazılır. O halde,
x ∈ U ⇒ x ∉ ( X − U )* ⇒ ∃V ∈ N( x ) öyle ki V ∩ ( X − U ) ∈ I
olur. I ′ = V ∩ ( X − U ) denirse, x ∈ V − I ′ ⊆ U olur. Gerçekten,
a ∈ V − I ′ ⇒ a ∈ V ∧ a ∉ I ′ ⇒ a ∈ V ∧  a ∉ ( X − U ) 
⇒ a ∉ ( X − U ) ⇒ a ∈U
sonuç olarak,
U ∈τ * ⇒ ∃V ∈τ ∧ ∃I ′ ∈ I :V − I ′ ⊆ U
önermesi yazılabilir. O halde aşağıdaki teorem ispatlandı:
Teorem 1.3.3. ( X , τ ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal olsun. O zaman,
β = β ( I , τ ) = {V − I ′ : V ∈τ ∧ I ′ ∈ I } ailesi τ* topolojisinin bir bazıdır.
Teorem 1.3.4. (Jankovic ve Hamlet, 1990) ( X , τ ) bir topolojik uzay, I1 ve I 2 X
üzerinde iki ideal, A ⊆ X olsun. O zaman aşağıdakiler doğrudur:
(a)
A* ( I1 ∩ I 2 ,τ ) = A* ( I1 , τ ) ∪ A* ( I 2 ,τ )
(b)
A* ( I1 ∨ I 2 , τ ) = A* ( I1 ,τ * ( I 2 ,τ ) ) ∩ A* ( I 2 ,τ * ( I1 , τ ) )
19
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
İspat: (a) x ∈ A* ( I1 ∩ I 2 ,τ ) olsun. O halde,
∀U ∈ N( x ) A ∩ U ∉ I1 ∩ I 2
yazılır. Buradan, A ∩ U ∉ I1 veya A ∩ U ∉ I 2 ve böylece x ∈ A* ( I1 , τ ) ∪ A* ( I 2 ,τ )
dır. Ayrıca,
M ∉ I1 ∩ I 2 ⇔ M ∉ I1 ∨ M ∉ I 2
önermesi doğru olduğundan ispat biter.
(b) x ∈ A* ( I1 ∨ I 2 , τ ) ⇔ ∀U ∈ N( x ) A ∩ U ∉ I1 ∨ I 2
A ∩ U ∉ I1 ∨ I 2 ⇔ ∀I1′ ∈ I1 ∧ I 2′ ∈ I 2
A ∩ U ≠ I1′ ∪ I 2′
Burada I1′ ∩ I 2′ = ∅ seçelim.Bu seçim genelliği bozmaz.Çünkü,
I1′ ∈ I1 ⇒ I1′ − ( I1′ ∩ I 2′ ) ∈ I1 dir. Ayrıca  I1′ − ( I1′ ∩ I 2′ )  ∪ I 2′ = I1′ ∪ I 2′ olur. O halde,
A ∩ U ≠ I1′ ∪ I 2′ ⇒ ( A ∩ U ) − I1′ ≠ I 2′ ∧ ( A ∩ U ) − I 2′ ≠ I1′
⇒ ( A ∩ U ) − I1′ = A ∩ (U − I ′ ) ∉ I 2  ∧ ( A ∩ U ) − I 2′ = A ∩ (U − I 2′ )  ∉ I1
⇒ x ∈ A* ( I 2 , τ * ( I1 ,τ ) ) ∧ A* ( I1 , τ * ( I 2 , τ ) )
⇒ x ∈ A* ( I 2 , τ * ( I1 ,τ ) ) ∩ A* ( I1 , τ * ( I 2 ,τ ) )
dır. Ayrıca,
∀I1′ ∈ I1 ∧ I 2′ ∈ I 2
M ≠ I1′ ∪ I 2′ ⇔ M − I1′ ∉ I 2 ∧ M − I 2′ ∉ I1
önermesi doğru olduğundan ispat biter.
Sonuç 1.3.5. ( X ,τ
)
bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal olsun. O zaman,
τ * = τ * ( I ,τ ) ve τ ** = τ * ( I , τ * ( I ,τ ) ) olmak üzere, τ * = τ ** eşitliği doğrudur.
20
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
İspat: Teorem 1.3.4. (b)’ den I1 = I 2 = I alınırsa, A* ( I ,τ ) = A* ( I , τ * ( I , τ ) ) olur. O
halde, her bir A ⊆ X için clτ* ( A ) = clτ** ( A ) olacağından τ * ve τ ** topolojilerinin
kapalı kümeleri aynıdır. Yani τ * = τ **
1.4. Topoloji ile İdealin Uyuşması
Tanım 1.4.1. (Jankovic ve Hamlet, 1990) ( X ,τ
)
bir topolojik uzay, I X üzerinde
bir ideal olsun her A ⊆ X için,
∀x ∈ A ∃U ∈ N( x ) : U ∩ A ∈ I ⇒ A ∈ I
önermesi doğruysa τ topolojisi ile I ideali uyuşur denir ve τ  I ile gösterilir.
Tanım 1.4.2. (Jankovic ve Hamlet, 1990) I X üzerinde bir ideal ve Λ sayılabilir bir
indis kümesi olsun. Her bir λ ∈ Λ için I λ ∈ I iken U { I λ : λ ∈ Λ} ∈ I oluyorsa, I
idealine bir σ _ ideal denir.
Teorem 1.4.3. (Jankovic ve Hamlet, 1990) ( X ,τ
)
bir kalıtsal Lindelöf uzayı ve I X
üzerinde bir σ _ ideal olsun. O zaman τ  I dır.
İspat: A ⊆ X
olsun.
x∈ A
U A = {U X ∩ A : x ∈ A} ailesi,
açık örtüsüdür.
ve
bir
( A, τ A )
UX ∈ N ( x)
için
UX ∩ A∈ I
olsun.
alt uzay topolojisine göre A kümesinin bir
Λ sayılabilir bir indis kümesi olmak üzere,
Lindelöf uzayı olduğundan, A kümesinin U A açık örtüsünün
şeklinde sayılabilir bir alt örtüsü vardır.
Yani,
(X ,τ )
kalıtsal
{Vλ ∩ A : λ ∈ Λ}
A = U {Vλ ∩ A : λ ∈ Λ} dır.
Vλ ∩ A ∈ I ve I bir σ _ ideal olduğundan A ∈ I olur. Böylece τ  I elde edilir.
Teorem 1.4.4. (Jankovic ve Hamlet, 1990) ( X , τ ) bir topolojik uzay, I X üzerinde
bir ideal olsun. aşağıdakiler denktir:
(a)
τ  I dır.
21
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
(b)
U = {U ∈τ : U ∩ A ∈ I } ailesi A kümesinin bir örtüsü ise, A ∈ I dır.
(c)
Her bir A ⊆ X için A ∩ A* = ∅ ⇒ A ∈ I dır.
(d)
Her bir A ⊆ X için A − A* ∈ I dır.
(e)
τ * _kapalı olan her bir A kümesi için A − A* ∈ I
(f)
A ⊆ X kümesi B ⊆ B* koşulunu sağlayan boştan farklı bir B kümesini
içermiyorsa A ∈ I dır.
İspat: (a) ⇒ (b) U ailesi A kümesinin bir örtüsü olsun. O halde her bir x ∈ A için
x ’ i içeren öyle bir U x komşuluğu vardır ki U x ∩ A ∈ I dır. τ  I olduğundan
A ∈ I olur.
(b) ⇒ (a) Uyuşmanın tanımı doğrudan verilmiştir. İspat açıktır.
(a) ⇒ (c) τ  I ve A ⊆ X olsun. O halde,
∀x ∈ A ∃U ∈ N( x ) : U ∩ A ∈ I ⇒ A ∈ I dır. A ∩ A* = ∅ ise x ∉ A* olur. Böylece,
∃U ∈ N( x ) : U ∩ A ∈ I yazılır. τ  I olduğundan A ∈ I olmalıdır.
(c) ⇒ (a)
A ⊆ X için A ∩ A* = ∅ olsun ve x ∈ A verilsin x ∉ A* elde
edilir. Böylece,
∃U ∈ N( x ) : U ∩ A ∈ I
yazılır. Hipotezden A ∈ I olduğundan τ  I olur.
(a) ⇒ (d) τ  I ve A ⊆ X olsun. x ∈ ( A − A* ) verilsin. O zaman,
x ∈ A ∧ x ∉ A* ⇒ x ∈ A ∧ ( ∃U ∈ N( x ) : U ∩ A ∈ I )
yazılır. A − A* ⊆ A ⇒ ( A − A* ) ∩ U ⊆ A ∩ U olduğundan
τ  I olduğundan A − A* ∈ I elde edilir.
22
( A − A ) ∩U ∈ I
*
yazılır.
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
(d) ⇒ (a) Her bir A ⊆ X için A − A* ∈ I olsun. A′ ⊆ X ve x ∈ ( A − A* )
verilsin öyleki,
∀x ∈ A′ ∃U ∈ N( x ) : U ∩ A′ ∈ I
sağlansın.
O halde A′ ∩ ( A′ ) = ∅ olur.
Hipotezden A′ ∩ ( A′ ) = A′ ∈ I yazılır.
*
*
Buradan τ  I olduğu bulunur.
(a) ⇒ (e) Açıktır. ((a) ⇒ (d) den dolayı.)
(e) ⇒ (a) A , τ * _ kapalı olsun. O halde A* ⊆ A dır. A′ ⊆ X verilsin öyle
ki,
∀x ∈ A′ ∃U ∈ N( x ) :U ∩ A′ ∈ I
sağlansın. Bu durumda A′ ∩ ( A′ ) = ∅ dir ve A′ ∪ ( A′ ) kümesi τ * _ kapalıdır. O
*
*
halde hipotezden,
(
*
(
)
* *
yazılır. A′ ∪ ( A′)
) ∈I
* *
A′ ∪ ( A′) − A′ ∪ ( A′)
= ( A′ ) ∪ ( A′ ) = ( A′) olduğundan,
*
**
*
A′ ∪ ( A′ ) − ( A′ ) = A′ ∈ I
*
*
elde edilir. O halde τ  I dır.
(a) ⇒ (f) τ  I ve A ⊆ X kümesi B ⊆ B* koşulunu sağlayan boştan farklı
bir B kümesi içermesin. Hipotezler altında kabul edelim ki A ∉ I olsun. O zaman
τ  I olduğundan, ∃ x ∈ A : ∀U x ∈ N ( x ) için U x ∩ A ∉ I dır. Dolayısıyla B = { x}
alırsak x ∈ B* olur. Buradan B ⊂ B* ve ∅ ≠ B ⊆ A olur. Bu ise hipotez ile çelişir.
Dolayısıyla A ∈ I olmalıdır.
23
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
(f) ⇒ (a)
A ⊆ X kümesi B ⊆ B* koşulunu sağlayan boştan farklı bir B
kümesi içermiyorsa A ∈ I olsun.
Teorem 1.4.5. (Jankovic ve Hamlet, 1990) ( X , τ ) bir topolojik uzay, I X üzerinde
bir ideal olsun. τ  I ise aşağıdakilere denktir:
(a)
Her bir A ⊆ X için A ∩ A* = ∅ ⇒ A* = ∅
(b)
Her bir A ⊆ X için ( A − A* ) = ∅
(c)
Her bir A ⊆ X için ( A ∩ A* ) = A*
*
*
İspat:(a) ⇒ (b) A ∩ A* = ∅ ⇒ A* = ∅ olsun. A − A* ⊆ A ve
olduğundan
( A− A )
* *
A ∩ A* = ∅
(A− A )∩(A− A )
* *
*
ise
=∅
(A− A )
* *
olur.
⊆ A − A*
Dolayısıyla
= ∅ dir.
(b) ⇒ (c) Her bir A ⊆ X için ( A − A* ) = ∅ olsun. A ∩ A* = A − ( A − A* )
*
şeklinde yazılabilir.
Ayrıca A* − B* = ( A − B ) − B* olduğundan,
*
A* − ( A − A* ) =  A − ( A − A* )  − ( A − A* )
*
*
*
yazılabilir. Hipotez gereği,
A* =  A − ( A − A* ) = ( A ∩ A* ) olduğu sonucuna ulaşılır.
*
*
(c) ⇒ (a) Her bir A ⊆ X için ( A ∩ A* ) = A* olsun. Eğer A ∩ A* = ∅ ise
*
( A∩ A )
* *
= ∅ ve hipotezden A* = ∅ olur.
(a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒ (a) olduğundan teorem ispatlandı.
24
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
Teorem 1.4.6. (Jankovic ve Hamlet, 1990) ( X , τ ) bir topolojik uzay ve I τ ile
uyuşan bir ideal olsun. A kümesinin τ * _ kapalı olması için gerek ve yeter şart τ _
kapalı bir kümeyle I idealindeki bir kümenin birleşimi şeklinde yazılabilmesidir.
İspat: “ ⇒ ” A ,τ * _ kapalı olsun. O halde A* ⊆ A dır. Buradan A = ( A − A* ) ∪ A*
yazılabilir. Teorem 1.4.4. (e)’den A − A* ∈ I ve teorem 1.2.7. iii. ile A* τ _ kapalı
olduğundan gereklilik ispatlanır.
“ ⇐ ” A = B ∪ I ′, I ′ ∈ I ve X − B ∈τ olsun. O zaman I ′* = ∅ olduğundan
A* = B* ∪ I ′* = B* ⊆ cl ( B ) = B ⊆ A olur. Yani A* ⊆ A dir, ve buradan A ,τ * _
kapalıdır.
Sonuç 1.4.7. (Jankovic ve Hamlet, 1990) ( X , τ ) bir topolojik uzay, I X üzerinde
bir ideal olsun. τ  I ise,
β = β (τ , I ) = {U − I ′ : U ∈τ ve I ′ ∈ I }
ailesi bir topolojidir. Yani β = τ * dir.
İspat: A τ* _ kapalı olsun. X − A ∈τ * dır.
β ailesi τ * için bir baz olduğundan
X − A ∈ β olduğunu göstermek ispatı tamamlar. A τ * _ kapalı olduğundan, teorem
1.4.6. ile A = ( X − U ) ∪ I ′, U ∈ τ ve I ′ ∈ I şeklinde yazılabilir. Buradan,
X − A = X − ( X − U ) ∪ I ′ = X ∩ ( X − U ) ∪ I ′
c
= U ∩ I ′c = U − I ′
yazılır. O halde X − A ∈ β dır. Yani β = τ * dır.
Teorem 1.4.8.(Jankovic ve Hamlet, 1990) ( X , τ ) topolojik uzayının kalıtsal Lindelöf
olması için gerek ve yeter şart τ  I c olmasıdır. Burada I c X ’ in sayılabilir alt
kümelerinin idealidir.
25
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
İspat: Sayılabilir kümelerin sayılabilir sayıdaki birleşimleri de sayılabilir bir küme
olduğundan I c bir σ _ idealdir.
gösterelim. τ  I c olsun, fakat
Teorem 1.4.3. den gereklilik açıktır. Yeterliliği
( X ,τ )
kalıtsal Lindelöf olmasın. O halde X in
sayılmayan öyle bir alt kümesi vardır ki her bir x ∈ A için U ∩ A sayılabilir olacak
şekilde bir U ∈ N( x ) vardır. Buradan A ∩ A* ( Ic ) = ∅ ve A ∉ I c şartlarını sağlayan
bir A kümesi vardır. Fakat τ  I c olduğundan Teorem 1.4.4. – (c) ye göre A ∈ I c
olmalıydı. Çelişki. O halde ( X , τ ) kalıtsal Lindelöf uzayıdır.
1.5. I f ’ yi İçeren İdealler
ile bir
If
kümesinin sonlu elemanlı alt kümelerinin ideali
X
gösterilecektir.
Teorem 1.5.1. (Jankovic ve Hamlet, 1990) ( X , τ ) bir topolojik uzay, I X üzerinde
bir ideal olsun. O zaman her x ∈ X için { x} ∈ I olması için gerek ve yeter şart her
A ⊆ X için Ad = A* olmasıdır. Burada Ad , A kümesinin
*
*
( X ,τ )
*
topolojisine
göre yığılma noktalarının kümesidir.
U ∩ ( A − { x} ) ≠ ∅
İspat: x ∈ Ad ⇔ ∀x ∈ U ∈τ *
*
⇔ x ∈ cl* ( A − { x} ) ⇔ x ∈ ( A − { x}) ∪ ( A − { x})
*
⇔ x ∈ ( A − { x} )
*
I ′ ∈ I ⇒ ( A − I ′ ) = A* önermesi doğru olduğundan, eğer { x} ∈ I ise ( A − { x} ) = A*
*
*
olacağından, x ∈ Ad ⇔ x ∈ A* önermesi sağlanır. Böylece Ad = A* elde edilir.
*
*
Tanım 1.5.2. (Jankovic ve Hamlet, 1990) ( X , τ ) bir topolojik uzay, A ⊆ X olsun.
Eğer A ⊆ Ad ise A kümesine kendi içinde yoğundur denir.
kümesinin τ topolojisine göre yığılma noktalarının kümesidir.
26
Burada Ad , A
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
Kendi içinde yoğun ve kapalı bir A kümesine mükemmel küme denir.
Teorem 1.5.3. (Jankovic ve Hamlet, 1990) ( X , τ ) bir topolojik uzay, I X üzerinde
τ topolojisiyle uyuşan bir ideal ve her bir x ∈ X için { x} ∈ I olsun. Eğer A ⊆ X
kümesi τ * _ kapalı bir küme ise A , τ topolojisine göre mükemmel bir kümeyle I
idealindeki bir kümenin birleşimi şeklinde yazılabilir.
İspat: A τ * _ kapalı olsun. O halde A = A* ∪ I ′ şeklinde yazılabilir, burada I ′ ∈ I
dır.Ayrıca A* ∩ I ′ = ∅ dır. A* − A** ⊆ ( A − A* ) kapsamı doğrudur. τ  I olduğundan
*
( A− A )
* *
= ∅ olur ve buradan A* = A** bulunur. Teorem 1.5.1. ile A* = ( A* )
d*
elde
edilir. ( A* ) ⊆ ( A* ) olduğundan A* ⊆ ( A* ) olur. Bu yüzden A* , τ topolojisine
d*
d
d
göre mükemmel bir kümedir. A = A* ∪ I ′ olduğundan ispat biter.
Sonuç 1.5.4. (Cantor – Bendixson Teoremi)
( X ,τ )
kalıtsal Lindelöf uzayı (veya ikinci sayılabilir uzay) olsun. O halde
X kümesi biri mükemmel diğeri sayılabilir olan iki kümenin birleşimi şeklinde
yazılabilir.
İspat: Teorem 1.4.8. ile τ  I c dir, burada I c X ’in sayılabilir alt kümelerinin
idealidir. I c idealinin tanımından her bir x ∈ X için
{ x} ∈ I c
dir. A = X seçilirse
teorem 1.5.3. nin koşulları sağlanır.
Tanım 1.5.5. (Jankovic ve Hamlet, 1990) ( X , τ ) bir topolojik uzay, A ⊆ X olsun.
Eğer A ∩ Ad = ∅ ise A kümesine ayrık küme denir.
Eğer A kümesi kendi içinde yoğun boştan farklı bir küme içermiyorsa bu
kümeye aralıklı küme denir.
Teorem 1.5.6. (Jankovic ve Hamlet, 1990) ( X , τ ) bir topolojik uzay, I X üzerinde
bir ideal olsun. Aşağıdakiler denktir:
27
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
(a)
τ  I ve her bir x ∈ X için { x} ∈ I
(b)
( X , τ ) uzayındaki aralıklı kümeler I
(c)
( X , τ ) uzayındaki ayrık kümeler I
*
*
idealindedir.
idealindedir.
İspat: (a) ⇒ (b) A ⊆ X olsun. Teorem 4.4.1. ile Ad = A* ve teorem 1.4.4. – (f) ile
*
(b) sağlanır.
(b) ⇒ (c) Tanımlar karşılaştırılırsa aralıklı bir küme aynı zamanda ayrıktır.
O halde (b) ⇒ (c) ispatlandı.
(c) ⇒ (a) Her bir x ∈ X için
{ x}
ayrık olduğundan { x} ∈ I dır.
A⊆ X
olsun. O zaman A − A* kümesi, A* = Ad olduğundan ( X , τ * ) uzayında olacaktır.
*
O halde A − A* ∈ I olur. Teorem 1.4.4. – (d) ile τ  I elde edilir.
Böylece teorem 1.5.6. ispatlandı.
Sonuç 1.5.7. (Jankovic ve Hamlet, 1990) ( X , τ ) bir topolojik uzay, I c
X ’in
sayılabilir alt kümelerinin ideali olsun. Aşağıdakiler denktir:
(a)
( X ,τ )
(b)
( X , τ ) kalıtsal Lindelöftür.
(c)
I kümesi X , τ * uzayında aralıklı ise I ∈ I c dir.
(d)
I kümesi X , τ * uzayında ayrık ise I ∈ I c dir.
kalıtsal Lindelöftür.
*
(
)
(
)
1.6. X=X* Koşulunu Sağlayan Uzaylar
Tanım 1.6.1.(Jankoviç ve Hamlet, 1990) ( X , τ ) bir topolojik uzay, U ∈τ olsun.
Eğer U = int ( clU ) koşulu sağlanıyorsa U kümesine düzenli açık küme denir.
28
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
{
}
ℜS = U ∈τ : U = int ( cl (U ) ) ailesi X üzerinde yeni bir topoloji için
bazdır. Gerçekten,
(
)
a)
Her A ⊆ X için daima int cl ( int ( clA) ) = int ( clA) dır.
b)
U ∈τ ve her A ⊆ X için,
int ( cl (U ∩ A) ) = int ( clU ) ∩ int ( clA)
olduğundan U ,V ∈ ℜ S ise U ∩ V ∈ ℜ S olur.
ℜS ailesini baz kabul eden topoloji τ S ile gösterilir. τ S topolojisine τ
topolojisinin yarı_düzenleştirilmişi denir. τ S topolojisi τ
topolojisinden daha
kabadır. Yani τ S ⊆ τ dır. Eğer τ S = τ koşulu sağlanırsa τ topolojisine yarı_düzenli
uzay denir.
Teorem 1.6.2. (Jankovic ve Hamlet, 1990) ( X , τ ) bir topolojik uzay, I X üzerinde
bir ideal olsun. Aşağıdakiler denktir:
(a)
X = X*
(b)
τ ∩ I = {∅}
(c)
I ′ ∈ I ⇒ int ( I ′ ) = ∅
(d)
∀U ∈τ için U ⊆ U *
İspat: (a) ⇒ (b) x ∈ X ⇒ x ∈ X * ⇒ ∀U ∈ N( x )
X ∩U ∉ I
⇒ ∀U ∈ N( x ) U ∉ I ⇒ τ ∩ I = {∅}
29
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
(b) ⇒ (c)
I ′ ∈ I olsun. int ( I ′ ) ≠ ∅ olsaydı, x ∈ I ′ için x ’ in bir U açık
komşuluğu U ⊆ I ′ olacak biçimde bulunurdu. O halde U ∈ I olurdu. Bu hipotezle
çelişir. O halde int ( I′ ) = ∅ dir.
(c) ⇒ (d)
U ∈τ ve x ∈ U olsun. x ∉ U * olsaydı, ∃x ∈ V ∈τ : U ∩ V ∈τ
sağlanırdı. ∅ = V ∩U ∈τ olduğundan I ′ = V ∩ U seçilirse, I ′ ∈ I ve int ( I′) ≠ ∅
olur. Bu sonuç hipotezle çelişir. O halde x ∈ U * olmalıdır. Yani U ⊆ U * dır.
(d) ⇒ (a)
∀U ∈τ için U ⊆ U * olduğundan özel olarak U = X seçilirse
X ⊆ X * ⊆ X olacağından X = X * elde edilir.
Teorem 1.6.2. de
( X ,τ )
( X ,τ )
*
topolojik uzayı
uzayı ile değiştirilebilir.
Çünkü X * ( I , τ ) = X * ( I , τ * ) eşitliği sağlanır.
Lemma 1.6.3. (Jankovic ve Hamlet, 1990) ( X , τ ) ve ( X , σ ) birer topolojik uzay,
τ ⊆ σ olsun. Her bir V ∈σ için clτ (V ) = clσ (V ) ise τ S = σ S dir.
{
}
{
}
İspat: ℜτ = U ∈τ : U = intτ ( clτ (U ) ) ve ℜσ = V ∈ σ : V = intσ ( clσ (V ) ) aileleri
sırasıyla τS ve δS için birer bazdır. τ ⊆ σ ⇒ ℜτ ⊆ ℜσ dır. V ∈ ℜσ olsun. V ∈ σ
olduğundan clτV = clσV dir.τ ⊆ σ lduğundan intτ ( clσ V ) = intτ ( clτ V ) ⊆ intσ ( clσ V ) = V
olur. Daima V ⊆ intτ ( clτ V ) olduğundan intτ ( clτ V ) = V olur. Böylece V ∈ℜτ olur.
O halde ℜσ ⊆ ℜτ dır. Buradan ℜτ = ℜσ ve dolayısıyla τ S = σ S dir.
Teorem 1.6.4. (Jankovic ve Hamlet, 1990) ( X , τ ) bir topolojik uzay, I X üzerinde
bir ideal ve X = X * olsun. O zaman τ S = (τ * ) dir.
s
30
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
İspat: V ∈ τ * olsun. O zaman teorem 1.6.2. den açıktır ki V ⊆ V * dır. Böylece
cl (V ) ⊆ V * ve buradan da cl (V ) ⊆ cl* (V ) olur. cl* (V ) ⊆ cl (V )
her zaman
sağlandığından cl (V) = cl* (V) bulunur. Lemma 1.6.3. gereği τ S = (τ * ) dir.
S
Sonuç 1.6.5. (Jankovic ve Hamlet, 1990) ( X , τ ) bir topolojik uzay, I X üzerinde
bir ideal ve X = X * olsun. Eğer ( X , τ * ) yarı – düzenli ise, o zaman τ = τ * dır.
İspat:τ * = (τ * ) = τ s ⊆ τ ⊆ τ * olduğundan ispat biter.
s
Lemma 1.6.6. (Jankovic ve Hamlet, 1990) ( X , τ ) bir topolojik uzay, I X üzerinde
bir ideal ve A ⊆ X olsun. O zaman (τ A ) ( I A ) = τ *A ( I ) eşitliği doğrudur. Burada
*
I A = {I ′ ∩ A : I ′ ∈ I } ile tanımlı A üzerindeki idealdir.
İspat: β A = {V − I ′ : V ∈ τ A ve I ′ ∈ I A }
ailesi
(τ A ) ( I A )
*
topolojik
uzayının,
γ A = { A ∩ (U − I ′ ) : U ∈τ ve I ′ ∈ I } ailesi de τ *A ( I ) topolojik uzayının bazlarıdır.
V ∈ τ A ⇔ ∃U ∈ τ : V = A ∩ U
J ′ ∈ I A ⇔ ∃I ′ ∈ I : J ′ = A ∩ I ′
olduğundan,
V − J ′ = V ∩ ( J ′) = ( A ∩ U ) ∩ ( A ∩ I ′)
c
c
= ( A ∩ U ) ∩ ( Ac ∪ I ′c )
= ( A ∩ U ) ∩ Ac  ∪ ( A ∩ U ∩ I ′c )
= A ∩ (U − I ′ )
yazılabilir. Buradan β A = γ A olduğu elde edilir. O halde (τ A ) ( I A ) = τ *A ( I ) dır.
*
31
1.GİRİŞ
Caner COŞKUNTUNCEL
Teorem 1.6.7. ( X , τ ) bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal ve A ⊆ X olsun.
Eğer A ⊆ A* ise, o zaman (τ A ) S = (τ *A )
S
İspat: τ A ∩ I A = {∅} olduğunu gösterelim. U ∈ (τ A ∩ I A ) olsun. O zaman U ∈ I
ve öyle bir V ∈τ vardır ki U = V ∩ A dır. O halde (V ∩ A) = ∅ ve
*
V ∩ A* ⊆ (V ∩ A) olduğundan V ∩ A* = ∅ olur. A ⊆ A* olduğu göz önüne alınırsa
*
U = ∅ bulunur. Yani τ A ∩ I A = {∅} dir. O halde teorem 1.6.2. den A = A* ve
*
teorem1.6.4. den (τ A )s = (τ A ) ( I A )  dir.Lemma1.6.6. ya göre de

s
(τ A ) ( I A ) = τ *A ( I )
*
olduğundan (τ A ) s = (τ *A ) elde edilir.
s
Sonuç 1.6.8. (Jankovic ve Hamlet, 1990) ( X , τ ) bir topolojik uzay, I X üzerinde
( ) = (τ )
bir ideal ve A ⊆ X olsun. Eğer A* = A** ise, o zaman τ A*
s
*
A*
s
dir.
Sonuç 1.6.9. (Jankovic ve Hamlet, 1990) ( X, τ ) bir topolojik bir uzay, I X üzerinde
( ) = (τ )
bir ideal ve X − X* ∈ I olsun. O zaman τX*
S
*
X* S
dir.
İspat: A, B ⊆ X için A* − B* = ( A − B ) − B* olduğundan
*
X * − X ** = ( X − X * ) − X ** = ∅ dir. Buradan X * ⊆ X ** bulunur. Ayrıca A** ⊆ A*
*
her A ⊆ X için doğru olduğundan X ** ⊆ X * dır. Böylece X * = X ** ve sonuç 1.6.8.
( ) = (τ )
ile τ X *
s
*
X* s
elde edilir.
32
2.BAZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ
Caner COŞKUNTUNCEL
2. BAZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ
Bu bölümde topolojik ve ideal topolojik uzaylardaki bazı süreklilik çeşitleri
incelenerek, bu süreklilik çeşitleri ile süreklilik arasındaki ilişkiler araştırılacaktır.
( X ,τ )
bir topolojik uzay, I X üzerinde bir ideal olsun. ( X , τ , I ) üçlüsüne
bir ideal topolojik uzay denir.
Burada cl* ( A ) ile A kümesinin bölüm 1.3 de tanımlanan cl* ( .) Kuratowski
kapanış operatörü ile üretilen τ * topolojisine göre kapanışı gösterilecektir.
2.1. Süreklilik Çeşitleri
Tanım 2.1.1. (Levine, 1961) f : ( X , τ ) → (Y ,σ ) bir fonksiyon, x ∈ X olsun.
“ ∀f ( x ) ∈ V ∈ σ ∃x ∈ U ∈τ : f (U ) ⊆ clσ (V ) ”
önermesi doğruysa, f fonksiyonu x noktasında zayıf süreklidir(ω - süreklidir)
denir. X kümesinin her noktasında ω - sürekli olan fonksiyona ω - sürekli fonksiyon
denir.(Fomin, 1943)
“ ∀f ( x ) ∈ V ∈ σ ∃x ∈ U ∈τ : f ( clτ (U )) ⊆ clσ (V ) ”
önermesi doğruysa , f fonksiyonu x noktasında θ - süreklidir denir. X kümesinin
her noktasında θ - sürekli olan fonksiyona θ - sürekli fonksiyon denir.
Not 2.1.2. f : ( X , τ ) → (Y , σ ) fonksiyonu θ - sürekli ise ω - süreklidir. Gerçekten
U ⊆ clτ (U ) olduğundan f (U ) ⊆ f ( clτ (U ) ) olur. Tanımlar karşılaştırılırsa hükmün
doğruluğu açıkça elde edilir. Ancak aşağıdaki örnekten de anlaşılacağı gibi ω sürekli olan bir fonksiyonun θ - sürekli olması gerekmez.
33
2.BAZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ
Caner COŞKUNTUNCEL
Örnek 2.1.3. X = {1, 2 ,3, 4} , τ = {∅ , X ,{2} ,{1, 2} ,{2 , 4} ,{1, 2 , 4} ,{1, 2 ,3}}
Y = {a,b,c,d ,e} , σ = {∅ ,Y ,{a} ,{b} ,{c} ,{a,b} ,{a,c} ,{b,c}{a,b,c}}
f : ( X ,τ ) → (Y ,σ ) fonksiyonu f = {( 1,a ),( 2,d ),( 3,e ),( 4 ,b )} ile tanımlansın. f
ω - süreklidir. Gerçekten,
i) 1 ∈ X ve V = { a }, V = { a,b }, V = { a,c }, V = { a,b,c } veya V = Y olsun.
{ a,d ,e } ⊆ clσ (V ) dir. U = { 1, 2 } seçelim. f (U ) = { a,d } ⊆ clσ (V ) olur.
ii) 2 ∈ X ve V = Y olsun. Bu durumda clσ (V ) = Y olduğundan 2 ∈ U olan
bir U ∈τ kümesi için f (U ) ⊆ clσ (V ) olur.
iii) 3 ∈ X ve V = Y olsun. Bu durumda da clσ (V ) = Y olduğundan 3 ∈ U
olan bir U ∈τ kümesi için f (U ) ⊆ clσ (V ) olur.
iv) 4 ∈ X
ve
V = { b },{ a,b },{ b,c },{ a,b,c }
veya
V =Y
olsun.
{ b,d ,e } ⊆ clσ (V ) dir . U = {2 , 4} seçelim. f (U ) = { d ,b } ⊆ clσ (V ) olur.
Bu durumda f ω - süreklidir. Ancak 1 ∈ X için V = { a } kümesini ve 1∈U
olan
herhangi
bir
U ∈τ
kümesini
seçelim.
clτ (U ) = X
dir.
O
halde
f ( clτ (U )) = {a,b,d ,e} ⊆ clσ (V ) = {a,d ,e} dir. O halde f θ - sürekli değildir.
Önerme 2.1.4. f : ( X ,τ ) → (Y ,σ ) fonksiyonu sürekli ise θ - süreklidir
İspat: x ∈ X
ve
f ( x ) ∈V ∈σ
olsun.
f
sürekli olduğundan x ∈ U ∈ τ
f (U ) ⊆ V olacak şekilde bir U açık kümesi vardır.
ve
f sürekli olduğundan
f ( clτ U ) ⊆ clσ f (U ) dur. Aynı zamanda f (U ) ⊆ V olduğundan clσ f (U ) ⊆ clσ V
dir. Dolayısıyla f ( clτ U ) ⊆ clσ V olur. Böylece f θ - süreklidir.
Aşağıdaki örnekten θ - sürekli bir fonksiyonun sürekli olması gerekmediğini anlarız.
34
2.BAZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ
Caner COŞKUNTUNCEL
Örnek 2.1.5. X = { 1, 2, 3, 4 }, τ = { ∅ , X ,{ 1 },{ 1, 2 },{ 1,3 },{ 1, 2 , 3 }}
f : X → X , f = {( 1,1 ),( 2, 4 ),( 3,3 ),( 4 , 2 )} ile tanımlı f fonksiyonu θ - süreklidir.
Gerçekten,
i) 1 ∈ X ve ∅ ≠ V ∈τ olsun. clτ (V ) = X dir. U = { 1 } seçilirse clτ (U ) = X
ve f ( clτ (U ) ) = X ⊆ clτ (V ) = X olur.
ii) 2 ∈ X ve V = X olsun. clτ (V ) = X dir. U = { 1, 2 } seçilirse clτ (U ) = X
ve f ( clτ (U ) ) = X ⊆ clτ (V ) = X
iii) 3 ∈ X ve V = { 1, 3 }, V = { 1, 2 ,3 } veya
V = X olsun. clτ (V ) = X dir.
U = { 1, 3 } seçilirse clτ (U ) = X ve f ( clτ (U ) ) = X ⊆ clτ (V ) = X olur.
iv) 4 ∈ X ve V = { 1, 2 }, V = { 1, 2 ,3 } veya V = X olsun.
clτ (V ) = X dir.
U = X seçilirse f ( clτ (U ) ) = X ⊆ clτ (V ) = X olur.
O
halde
f
fonksiyonu
θ -süreklidir.
Fakat
V = { 1, 2 } ∈ τ
için
f −1 (V ) = { 1, 4 } ∉τ olduğundan f sürekli değildir.
Süreklilik, θ - süreklilik ve ω - süreklilik arasında aşağıdaki gibi bir
gerektirme diyagramı verilebilir:
Süreklilik ⇒ θ - süreklilik ⇒ ω - süreklilik
Tanım 2.1.6.(Açıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004) ( X , τ ) bir topolojik uzay,
(Y , ϕ , I )
bir ideal topolojik uzay ve f : ( X , τ ) → (Y , ϕ ,I ) bir fonksiyon olsun. Eğer,
“ ∀x ∈ X ve ∀f ( x ) ∈ V ∈ ϕ için ∃x ∈ U ∈τ : f (U ) ⊆ cl* (V ) ”
koşulu sağlanırsa f fonksiyonu ω − I - sürekli fonksiyon denir.
35
2.BAZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ
Caner COŞKUNTUNCEL
Not 2.1.7.(Açıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004) ϕ ⊆ ϕ * olduğundan cl* (V ) ⊆ clϕ (V )
dir. O halde her ω − I - sürekli fonksiyon ω - süreklidir. Ancak aşağıdaki örnek bu
önermenin tersinin doğru olmadığını anlatır.
Örnek 2.1.8. X = { 1, 2 , 3, 4 } , τ = { ∅ , X ,{ 1 },{ 2 },{ 1, 2 }} ,
I = { ∅ ,{ 3 }} olsun. f : ( X , τ ) → ( X , ϕ , I )
ϕ = { ∅ , X ,{ 3 },{ 2 ,3 }} ve
f ( x ) = x fonksiyonu ω - süreklidir.
Gerçekten,
i) 1 ∈ X
V=X
ve
olsun.
O
halde
U = { 1, 2 }
kümesi
için
f (U ) = { 1, 2 } ⊆ clϕ (V ) = X olur.
ii) 2 ∈ X
ve V = { 2 ,3 } veya V = X
olsun. U = { 1, 2 }
kümesi için
f (U ) = { 1, 2 } ⊆ clϕ (V ) = X olur.
iii) 3 ∈ X ve V = { 3 }, V = { 2 ,3 } veya V = X olsun. U = X kümesi için
f (U ) = X ⊆ clϕ (V ) = X olur.
iv) 4 ∈ X ve V = X olsun. U = X kümesi için f (U ) = X ⊆ clϕ (V ) = X olur.
O halde f
{ 3 }* = ∅
ve
fonksiyonu ω - süreklidir. Fakat V = { 3 } ∈ ϕ kümesi için
cl* ({ 3 }) = { 3 }* ∪ { 3 } = { 3 }
olur.
3 ∈U = X ∈τ
denirse
f (U ) = X ⊆ cl* (V ) = { 3 } olur ki bu f fonksiyonunun ω − I - sürekli olmadığını
gösterir.
Önerme 2.1.9. f : ( X , τ ) → (Y , ϕ , I ) fonksiyonu sürekli ise ω − I - süreklidir.
İspat: f sürekli olduğundan ∀x ∈ X ve ∀f ( x ) ∈ V ∈ ϕ için ∃x ∈ U ∈τ : f (U ) ⊆ V
dir. Öte yandan V ⊆ V ∪ V * = cl* (V ) olduğundan f (U ) ⊆ cl* (V ) yazılır. Buradan
f ω − I - sürekli olur.
Önerme 2.1.9. nin tersinin doğru olmadığını aşağıdaki örnekten anlarız.
36
2.BAZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ
Caner COŞKUNTUNCEL
Örnek 2.1.10. X = { 1, 2 , 3, 4 }, τ = { ∅ , X ,{ 2 },{ 1, 2 , 4 }}, ϕ = { ∅ , X , { 1,3 }} ve
I = {∅ ,{ 4 }} olsun. f : ( X , τ ) → ( X , ϕ , I )
f ( x ) = x fonksiyonu ω − I - süreklidir. Gerçekten,
i) 1 ∈ X ve V = { 1, 3 } veya V = X olsun. O zaman V * = X dir. U = { 1,3 }
denirse f (U ) = { 1,3 } ⊆ cl* (V ) = X olur.
ii) x = 2 veya 4 , f ( x ) ∈ V = X olsun. O zaman x ∈ U = X ∈τ için
f (U ) = X ⊆ cl* (V ) = X olur.
iii) 3 ∈ X ve V = { 1,3 } veya V = X olsun. O zaman U = X kümesi için
f (U ) = X ⊆ cl* (V ) = X olur.
O halde
f
ω − I - süreklidir. Fakat V = { 1,3 } ∈ ϕ
için,
f −1 (V ) = { 1,3 } ∉ τ
olduğundan f sürekli değildir.
Şimdiye kadar olan bilgiler ışığında aşağıdaki gerektirme diyagramı
kurulabilir.
Süreklilik
⇓
ω − I − süreklilik
⇒
θ − süreklilik
⇒
⇓
ω − süreklilik
Not 2.1.11. θ - süreklilik ile ω − I - süreklilik birbirlerinden bağımsızdır. Örnek
2.1.10. da tanımlı özdeşlik fonksiyonu ω − I - süreklidir, fakat θ − sürekli değildir.
Örnek 2.1.5. deki fonksiyon ise θ − süreklidir fakat ω − I - sürekli değildir.
Teorem 2.1.12.(Açıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004) f : ( X , τ ) → ( Y , σ , I )
fonksiyonunun ω − I - sürekli olması için gerek ve yeter şart her bir V ⊂ Y kümesi
için f −1 (V ) ⊆ int  f −1 ( cl* (V ) )  olmasıdır.
37
2.BAZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ
İspat:
Caner COŞKUNTUNCEL
“ ⇒ ” V ∈ σ herhangi bir küme ve x ∈ f −1 (V ) olsun. f ω − I − sürekli
olduğundan öyle bir x ∈ U ⊆ f −1 cl * (V )  ve böylece x ∈ int  f −1 ( cl * (V ) ) elde
edilir. Böylece f −1 (V ) ⊆ int  f −1 ( cl * (V ) ) bulunur.
“ ⇐ ” x ∈ X ve f ( x) ∈ V ∈ σ olsun. O zaman,
x ∈ f −1 (V ) ⊆ int  f −1 ( cl* (V ) ) dir. U = int  f −1 ( cl* (V ) ) ∈ τ
{
olsun. O zaman
}
f (U ) = f int  f −1 ( cl* (V ) )  ⊆ f  f −1 ( cl* (V ) ) ⊆ cl* (V ) elde edilir ki bu sonuç
f fonksiyonunun ω − I − sürekli olduğunu gösterir.
Teorem 2.1.13.(Jeyanthi, Devi ve Siravaj, 2006) I = {∅} olsun.
O zaman, f : ( X , τ ) → (Y , σ, I ) fonksiyonunun ω − I − sürekli olması için gerek ve
yeter şart ω − sürekli olmasıdır.
İspat: “ ⇒ ” Not 2.1.7. den açık.
“ ⇐ ” I = {∅} ideali için örnek 1.2.4. e göre her bir A ⊂ Y için A* = clσ ( A ) = cl* ( A)
olur. Bu da ispatı bitirir.
Tanım 2.1.14.(Açıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004) ( X , τ , I ) bir ideal topolojik uzay ve
A ⊆ X olsun. fr* ( A) = A* − int ( A) kümesine A ’ nın
*−
sınırı denir.
Tanım 2.1.15.(Açıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004) f : ( X , τ ) → (Y , ϕ , I )
fonksiyonu, “ ∀V ∈ ϕ
için
X − f −1  fr* (V ) ∈ τ ” oluyorsa
f
fonksiyonuna
ω ∗ − I − sürekli fonksiyon denir.
Önerme 2.1.16. f : ( X , τ ) → ( Y , ϕ , I ) fonksiyonu sürekli ise ω ∗ − I − süreklidir.
İspat: V ∈ ϕ ve x ∈ X − f −1 ( fr* (V ) ) olsun. O halde,
38
2.BAZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ
Caner COŞKUNTUNCEL
x ∉ f −1 ( fr* (V ) ) ⇒ f ( x ) ∉ fr* (V ) = V * − int (V ) = V * − V
Dolayısıyla f ( x ) ∈ V veya f ( x ) ∉ V * dır.
1) f ( x ) ∈ V olsun. f sürekli olduğundan öyle bir x ∈ U ∈ τ kümesi vardır ki
f (U ) ⊆ V dir. Dolayısıyla,
f (U ) ∩ (V * − V ) = ∅ ⇒ f −1 [ f (U )] ∩ f −1 ( fr* (V ) ) = ∅
⇒ U ∩ f −1 ( fr* (V ) ) = ∅
⇒ x ∈ U ⊆  X − f −1 ( fr* (V ) ) 
olur. Bu sonuç X − f −1 ( fr* (V ) ) kümesinin açık olduğunu gösterir.
2) f ( x ) ∉ V * olsun. O halde öyle bir f ( x ) ∈ U ∈ ϕ vardır ki U ∩ V ∈ I olur.
f sürekli olduğundan x ∈ f −1 (U ) ∈ τ dır.
İddia: x ∈ f −1 (U ) ⊆ X − f −1 ( fr* (V ) ) dir. Gerçekten,
a ∈ f −1 (U ) ⇒ f ( a ) ∈ U dır. U ∩ V ∈ I olduğundan,
f ( a ) ∉ V * ⇒ f ( a ) ∉ (V * − V ) = fr* (V ) ⇒ a ∉ f −1 ( fr* (V ) )
⇒ a ∈  X − f −1 ( fr* (V ) )
olur. O halde iddiamız doğrudur. Yani X − f −1 ( fr* (V ) ) açıktır.
Böylece önerme 2.1.16. ispatlandı.
Aşağıdaki örnek önerme 2.1.16. nın tersinin doğru olmadığına dair bir örnektir.
Örnek 2.1.17. X = {1, 2 ,3, 4} , τ = {∅ , X ,{ 1 },{ 4 },{ 1, 4 },{ 1, 2 , 4 }} ,
ϕ = {∅ , X ,{ 2 ,3 },{ 1, 4 }} ve I = {∅ ,{ 1 },{ 4 },{ 1, 4 }}
olsun. f : ( X , τ ) → (Y , ϕ , I ) , f ( x ) = x fonksiyonu ω ∗ − I − süreklidir. Gerçekten,
39
2.BAZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ
Caner COŞKUNTUNCEL
i) x = 1 veya 4 ve V = { 1, 4 } ∈ ϕ olsun. V * = ({ 1, 4 }) = ∅ olduğundan
*
fr* (V ) = V * − V = ∅ dir. Böylece f −1 ( fr* (V ) ) = ∅ ve X − ∅ = X ∈τ
veya 3 ve V = { 2 ,3 } ∈ ϕ
ii) x = 2
olsun.
olur.
V * = ( { 2 ,3 } ) = { 2 , 3 }
*
fr* (V ) = V * − V = ∅ dir. Böylece f −1 ( fr* (V ) ) = ∅ ve X − ∅ = X ∈τ
ve
olur.O
halde f ω ∗ − I − süreklidir. Fakat V = { 2 ,3 } ∈ ϕ için f −1 (V ) = { 2 ,3 } ∉τ f sürekli
değildir.
Teorem 2.1.18.(Açıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004) f : ( X , τ ) → (Y , ϕ , I )
fonksiyonunun sürekli olması için gerek ve yeter şart hem ω − I − sürekli hem de
ω ∗ − I − sürekli olmasıdır.
İspat:“ ⇒ ”Önerme 2.1.9. ve önerme 2.1.16. den açıktır.
“⇐” x∈ X
f ( x ) ∈ V ∈ ϕ olsun.
ve
f
ω − I − sürekli olduğundan öyle bir
x ∈ U ∈ τ vardır ki f (U ) ⊆ cl* (V ) dır. fr* (V ) = V * − int (V ) = V * − V olduğundan
f ( x ) ∉ fr* (V ) dir. Böylece x ∉ f −1 ( fr* (V ) ) dir ve f ω ∗ − I − sürekli olduğundan
U − f −1 ( fr* (V ) ) kümesi x ’ i içeren açık bir kümedir.
Şimdi
(
)
f U − f −1 ( fr* (V ) ) ⊆ V
olduğu gösterilirse ispat tamamlanır.
y ∈ U − f −1 ( fr* (V ) ) olsun. O zaman y ∈ U ve buradan f ( y ) ∈ cl* (V ) dir. Fakat
y ∉ f −1 ( fr* (V ) )
olduğundan
f ( y ) ∉ fr* (V ) = V * − V
olur ki bu
f ( y ) ∈V
olmasını gerektirir.
Not 2.1.19. ω − I − süreklilik ve ω ∗ − I − süreklilik birbirlerinden bağımsızdır.
Gerçekten, örnek 2.1.10. de tanımlı fonksiyon ω − I − süreklidir, fakat sürekli
değildir. O halde bu fonksiyon ω ∗ − I − sürekli değildir. Örnek 2.1.17. deki fonksiyon
40
2.BAZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ
Caner COŞKUNTUNCEL
ise ω ∗ − I − süreklidir, fakat sürekli değildir. Bu yüzden bu fonksiyon ω − I − sürekli
değildir.
2.2. Regüler Uzay, RI- Uzayı ve FI*- Uzayı
Bu kısımda süreklilik çeşitlerinin denk olduğu durumları inceleyeceğiz.
Tanım 2.2.1. ( X , τ ) bir topolojik uzay, x ∈ X olsun. x noktasının her bir açık U
komşuluğu için bu noktanın öyle bir H komşuluğu clτ ( H ) ⊆ U olacak şekilde varsa
(X ,τ )
topolojik uzayına regüler uzay denir. Yani bir topolojik uzayın regüler uzay
olması için gerek ve yeter şart kapalı kümelerden oluşan bir komşuluk tabanının
olmasıdır.
Teorem 2.2.2.(Kuyucu, Noiri ve Özkurt, 2008)
(Y , σ )
bir regüler uzay olsun.
f : ( X , τ ) → ( Y ,σ ,I ) fonksiyonu için aşağıdakiler denktir:
a) f süreklidir.
b) f θ − süreklidir.
c) f ω − I süreklidir.
d) f ω − süreklidir.
İspat: a ⇒ b ⇒ d ve a ⇒ c ⇒ d gerektirmelerinin sağlandığı önerme 2.1.4. , not
2.1.2. ve önerme 2.1.9. , not 2.1.7. ‘ye göre açıktır.
“ d ⇒ a ” f ω − sürekli ve x ∈ X olsun. O halde f ( x ) ’ in her V açık
komşuluğu
için x ’ in öyle bir U açık komşuluğu vardır ki f (U ) ⊆ clσ (V )
yazılabilir. (Y ,σ ) regüler uzay olduğundan f ( x ) ’ in öyle bir H açık komşuluğu
vardır ki clσ ( H ) ⊆ V dir. f ω − sürekli olduğundan f ( x ) ’ in H açık komşuluğu
vardır ki f ( M ) ⊆ clσ ( H ) dir ve böylece f ( M ) ⊆ V olur. Bu da f fonksiyonunun
sürekli olduğunu gösterir.
41
2.BAZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ
Caner COŞKUNTUNCEL
a ⇒ b ⇒ d ⇒ a ve a ⇒ c ⇒ d ⇒ a olduğundan ispat biter.
Tanım 2.2.3.(Açıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004)
(X ,τ , I )
bir ideal topolojik uzay,
x ∈ X olsun. x ’ in her bir açık V komşuluğu için x ∈ U ⊆ cl* (U ) ⊆ V olacak
şekilde x ’ in bir U komşuluğu varsa ( X , τ , I ) uzayına RI − uzayı denir.
Tanımdan her regüler uzayın bir RI − uzayı olduğu görülür.
Teorem 2.2.4.(Açıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004) (Y , σ , I ) bir RI − uzayı olsun. O
zaman f : ( X , τ ) → (Y , σ , I ) fonksiyonunun sürekli olması için gerek ve yeter şart
ω − I − sürekli olmasıdır.
İspat: “ ⇒ ” Gereklilik açıktır.
“ ⇐ ” x ∈ X ve V ⊆ Y
f ( x ) ’ i içeren keyfi bir açık küme olsun. (Y , σ , I ) bir
RI − uzayı olduğundan öyle bir W ∈ σ kümesi vardır ki f ( x ) ∈ W ⊆ cl* (W ) ⊆ V
dir.
f ω − I − sürekli olduğundan öyle bir U ∈τ kümesi vardır ki x ∈ U ve f (U ) ⊆ V
elde edilir. Bu sonuç f fonksiyonunun sürekli olduğunu gösterir.
Tanım 2.2.5.(Açıkgöz, Noiri ve Yüksel, 2004)
(X ,τ , I )
bir ideal topolojik uzay
olsun. Her bir U açık kümesi için cl (U ) ⊆ U * oluyorsa ( X , τ , I ) uzayına bir FI *uzayı denir.
Lemma 2.2.6. (Y , τ , I ) bir FI *- uzayı ve f : ( X , τ ) → (Y ,σ , I ) fonksiyonu bir
ω − I − sürekli fonksiyon olsun. O zaman her bir V ⊆ Y açık kümesi için
cl* ( f −1 (V ) ) ⊆ f −1 ( cl* (V ) ) dır.
İspat: x ∈ cl* ( f −1 (V ) ) − f −1 ( cl* (V ) ) olduğunu varsayalım. O halde f ( x ) ∉ cl* (V )
dir. Buradan
f ( x ) ∈V
ve
f ( x ) ∉ V * dır. Y
42
bir FI *- uzayı olduğundan
2.BAZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ
Caner COŞKUNTUNCEL
f ( x ) ∉ cl (V ) dir. Böylece f ( x ) ’ i içeren öyle bir W açık kümesi vardır ki
W ∩ V = ∅ dir. V açık olduğundan V ∩ cl (W ) = ∅ ve buradan V ∩ cl* (W ) = ∅
dir. f ω − I − sürekli olduğundan x ’ i içeren öyle bir U ⊆ X açık kümesi vardır ki
f (U ) ⊆ cl* (W )
dir.
Buradan
f (U ) ∩ V = ∅
elde
edilir.
Öte
yandan
x ∈ cl* ( f −1 (V ) ) olduğundan x ∈ cl ( f −1 (V ) ) ve böylece
cl* ( f −1 (V ) ) − f −1 ( cl* (V ) ) = ∅ olmalıdır. Buradan
cl* ( f −1 (V ) ) ⊆ f −1 ( cl* (V ) ) dir. Böylece lemma 2.2.6. ispatlandı.
Teorem 2.2.7.(Kuyucu, Noiri ve Özkurt, 2008)
(X ,τ , I )
uzayının bir FI *- uzayı
olması için gerek ve yeter şart her bir U ∈ τ − {∅} kümesi için U ∉ I olmasıdır.
İspat: “ ⇒ ” ( X , τ , I ) bir FI *- uzayı olsun. Öyle bir U ∈ τ − {∅} kümesi için U ∈ I
olduğunu varsayalım. x ∈ U olsun. O zaman x ∈ cl (U ) dır. O halde cl (U ) ⊆ U * dır.
Bu ise bir çelişkidir. O halde U ∈ I olacak şekilde bir U ∈ τ − {∅} kümesi yoktur.
“ ⇐ ” Her U ∈τ − {∅} için U ∉ I olsun. A X ’ in açık bir alt kümesi olsun.
x ∈ cl ( A) ise, o zaman x ’ in her bir U açık komşuluğu için U ∩ A ≠ ∅ dir. Ayrıca
U ∩ A ∈τ − {∅} olduğundan, U ∩ A ∉ I dır. Böylece x ∈ A* elde edilir.
O halde cl ( A) ⊆ A* dır. Sonuçta ( X , τ , I ) bir FI *- uzayı olur.
Böylece teorem 2.2.7. ispatlandı.
Tanım 2.2.8.(Kuyucu, Noiri ve Özkurt, 2008)
( X ,τ ,I )
bir ideal topolojik uzay
olsun. Eğer τ I I = {∅} ise I idealine eş_yoğun ideal denir.
Sonuç 2.2.9. ( X ,τ ,I ) uzayının FI *- uzayı olması için gerek ve yeter şart I idealinin
eş_yoğun olmasıdır.
43
2.BAZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ
Caner COŞKUNTUNCEL
Sonuç 2.2.9’in ispatı teorem 2.2.7. den açıktır.
I ideali eş_yoğun bir ideal ise ( X ,τ ,I ) uzayı bir FI *- uzayıdır. Buradan her
bir U ∈ τ için U ⊆ cl (U ) ⊆ U * olur. Eğer her bir U ∈ τ için U ⊂ U * ise, cl (U ) U
kümesini kapsayan en dar kapalı küme olduğundan U ⊆ cl (U ) ⊆ U * dır ve buradan
( X ,τ ,I )
uzayı bir FI *- uzayı olur. Böylece aşağıdaki sonuç verilebilir:
Sonuç 2.2.10. ( X ,τ ,I ) bir ideal topolojik uzay olsun. I idealinin eş_yoğun olması
için gerek ve yeter şart, her bir U ∈ τ için U ⊂ U * olmasıdır.
Teorem 2.2.11.(Kuyucu, Noiri ve Özkurt, 2008) ( X ,τ ,I ) uzayı bir FI *- uzayı ve
U ∈τ olsun. Aşağıdakiler denktir:
a)
U * = cl*U = ( clU ) = cl (U * ) = clU ,
b)
cl* ( clU ) = cl ( cl*U ) = cl* (U * ) .
*
İspat:a) ( X ,τ ,I ) uzayı bir FI *- uzayı olduğundan U ∈ τ ise clU ⊆ U * dır.
Teorem1.2.7.-iv ile ( clU ) ⊆ (U * ) ⊆ U * ve U ⊆ clU olduğundan U * ⊆ ( clU ) dır.
*
*
Böylece U * = ( clU )
*
olur.
cl*U = U ∪ U * ve
olduğundan cl* (U ) = U * olur.
( X ,τ ,I )
*
( X ,τ ,I )
uzayı bir FI *- uzayı
Sonuçta teorem1.2.7.-iii ile cl (U * ) = U * olur.
uzayı bir FI *- uzayı olduğu için de cl (U ) = U * olur. Böylece ilk kısım
ispatlanır.
b) U ∈ τ için,
44
2.BAZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ
Caner COŞKUNTUNCEL
cl* ( clU ) = ( clU ) ∪ clU = cl (U * ) ∪ clU
*
= cl (U * ∪ U ) = cl ( cl*U ) = cl* (U * )
dır. Böylece ikinci kısım da ispatlanır.
Teorem 2.2.12.(Jeyanthi, Devi ve Siravaj, 2006) I eş_yoğun bir ideal ve (Y ,σ ,I )
bir ideal topolojik uzay olsun. O zaman aşağıdakiler denktir:
a)
f : ( X ,τ ) → ( Y ,σ ,I ) fonksiyonu ω − I − süreklidir.
b)
Y ’deki yarı_açık her V kümesi için öyle bir G açık kümesi vardır ki
(
)
G ⊂ V ve f −1 ( G ) ⊂ int f −1 (V * ) dır.
c)
(
)
Y ’deki açık her G kümesi için f −1 ( G ) ⊂ int f −1 ( G* ) dır.
İspat: a ⇒ b f ω − I − sürekli ve V
(Y ,σ )
uzayında yarı_açık bir küme olsun. O
halde öyle bir G ∈ σ vardır ki G ⊂ V ⊂ cl ( G ) sağlanır. I eş_yoğun olduğundan
teorem 2.2.11. ile G* = cl ( G ) = cl* ( G ) dir. Bundan dolayı G ⊂ V ⊂ G* ve buradan
(
)
G* = V * = cl* ( G ) dir. Teorem 2.1.12. ile f −1 ( G ) ⊂ int f −1 ( cl* ( G ) ) ve böylece
(
)
f −1 ( G ) ⊂ int f −1 (V * ) dır.
b ⇒ c Her açık küme aynı zamanda yarı_açık olduğundan ispat biter.
c ⇒ a I eş_yoğun olduğundan teorem 2.2.11 ile G ∈ σ için G* = cl* ( G ) ve
teorem 2.1.12. ile de f ω − I − süreklidir.
Böylece teorem 2.2.12. ispatlandı.
Teorem 2.2.13.(Jeyanthi, Devi ve Siravaj, 2006) I eş_yoğun bir ideal, (Y ,σ ,I ) bir
ideal topolojik uzay ve f : ( X ,τ ) → ( Y ,σ ,I ) ω − I − sürekli olsun. O zaman her bir
G ∈ σ açık kümesi için cl ( f −1 ( G ) ) ⊆ f −1 ( cl* ( G ) ) = f −1 ( G* ) dır.
45
2.BAZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ
Caner COŞKUNTUNCEL
İspat: x ∈ cl ( f −1 ( G ) ) − f −1 ( cl* ( G ) ) ≠ ∅ olsun. Teorem 2.2.11. ile x ∉ f −1 ( G* )
dolayısıyla f ( x ) ∉ G* = cl ( G ) dir. Böylece f ( x ) ’i içeren öyle bir W ∈ σ açık
kümesi vardır ki W ∩ G = ∅ dır.Buradan cl (W ) ∩ G = cl* (W ) ∩ G = ∅ elde edilir.
f ω − I − sürekli olduğundan x ’i içeren öyle bir V ∈τ açık kümesi vardır ki
f (V ) ⊆ cl* (W ) dır. Böylece
f (V ) ∩ G = ∅ dir. x ∈ cl ( f −1 ( G ) ) olduğundan
V ∩ f −1 ( G ) ≠ ∅ ve buradan f (V ) ∩ G ≠ ∅ olur. Buda bir çelişkidir. O halde
cl ( f −1 ( G ) ) − f −1 ( cl* ( G ) ) = ∅ dir. Yani iddia doğrudur.
Böylece teorem 2.2.13. ispatlandı.
Sonuç 2.2.14.(Jeyanthi, Devi ve Siravaj, 2006) ( X ,τ ) ve (Y ,σ ) iki topolojik uzay,
f : ( X ,τ ) → (Y ,σ ) ω − sürekli olsun. O zaman cl ( f −1 ( G ) ) ⊆ f −1 ( cl ( G ) ) dir.
İspat : Teorem 2.2.13. da I = {∅} seçilirse σ = σ * olacağından ispat biter.
Teorem 2.2.15.(Kuyucu, Noiri ve Özkurt, 2008)
(Y , σ , I )
(X ,τ )
bir regüler uzay ve
bir FI *- uzayı olsun. f : ( X , τ ) → (Y , σ , I ) θ − sürekli olması için gerek
ve yeter şart ω − I − sürekli olmasıdır.
İspat “ ⇒ ” f
θ − sürekli, x ∈ X ve V
f ( x ) ’i içeren herhangi bir açık küme
olsun. f θ − sürekli olduğundan x ’ i içeren öyle bir U açık kümesi vardır ki
f ( cl (U ) ) ⊆ cl (V ) dir. O zaman (Y , σ , I ) bir FI *- uzayı olduğundan,
f (U ) ⊆ f ( cl (U ) ) ⊆ cl (V ) ⊆ V * ⊆ V * U V = cl* (V ) dir.
Buradan f ω − I − süreklidir.
“ ⇐ ” f ω − I − süreklidir, x ∈ X ve V
f ( x ) ’ i içeren herhangi bir açık küme
olsun. f ω − I − sürekli olduğundan, x ’ i içeren öyle bir açık U kümesi vardır ki
46
2.BAZI SÜREKLİLİK ÇEŞİTLERİ
Caner COŞKUNTUNCEL
f (U ) ⊆ cl* (V ) dir. σ ⊆ σ * olduğundan, f (U ) ⊆ cl* (V ) ⊆ cl (V ) dir.
regüler
uzay
olduğundan,
x ∈ H ⊆ cl ( H ) ⊆ U
x’
in
dır. O zaman
bir
açık
H
komşuluğu
(X ,τ )
bir
vardır
ki
f ( cl ( H ) ) ⊆ cl (V ) dir. Buradan
f
θ−
süreklidir.
Böylece teorem 2.2.15. ispatlandı.
Sonuç 2.2.16.(Kuyucu, Noiri ve Özkurt, 2008) ( X , τ ) bir regüler uzay ve (Y , σ , I )
bir FI *- uzayı olsun. f : ( X , τ ) → (Y , σ , I ) fonksiyonu için aşağıdakiler denktir.
a) f θ − süreklidir.
b) f ω − I − süreklidir.
c) f ω − süreklidir.
İspat: a ⇔ b Teorem 2.2.15. ile gösterildi.
b ⇒ c Not 2.1.7. ile gösterildi.
c ⇒ b x ∈ X ve V
f ( x ) ’ i içeren herhangi bir açık küme olsun. f
ω − sürekli
olduğundan, x ’ in öyle bir U açık komşuluğu vardır ki f (U ) ⊆ cl (V ) dir.
(Y , σ , I )
bir
cl* (V ) = V ∪ V * = V *
FI *-uzayı
olduğundan
V ⊆ cl (V ) ⊆ V *
dır.Buradan
olur. Ayrıca teorem 1.2.7.iii- V * = cl (V * ) ⊆ cl (V )
ve
cl (V ) ⊆ V * olduğundan V * = cl (V ) olur. Böylece cl* (V ) = cl (V ) dir. O halde
f (U ) ⊆ cl* (V ) olur. Buradan
f
ω − I − sürekli olur. Böylece sonuç 2.2.16.
ispatlandı.
47
KAYNAKLAR
AÇIKGÖZ, A., NOİRİ, YÜKSEL, Ş., 2004 A Decomposition of Continuity in Ideal
Topological Spaces, Acta Math. Hungar., 105 (4) , 285-289.
BÜLBÜL,A.,1994GenelTopoloji,KaradenizTeknik Ünv.,172 (48),(Trabzon,).
FOMİN, S., 1943 Extension of topological spaces, Ann. of Math.,44,471-480.
HATIR, E., KESKİN, A. NOİRİ, T., 2005 A note on strong β − I − sets and strongly
β − I − continuous functions, Acta Math. Hungar., 108(1-2), 87-94.
JANKOVİC, D., HAMLET, T.R., 1990 New topologies from old via ideals, Amer.
Math. Montly, 97, 295-310.
JANKOVİÇ, D., HAMLET, T.R., 1992 Compatible extensions of ideals, Boll. Un.
Mat. Ital., (7) 6-B , 453-465.
JEYANTHİ, V., DEVİ, V.R. SİVARAJ, D., 2006 Weakly I − continuous functions,
Acta Math. Hungar., 113 (4) , 319-324.
KESKİN, A., NOİRİ, T. YÜKSEL, Ş., 2004 Idealization of Decomposition
Theorem, Acta Math. Hungar., 102 (4) , 269-277.
KUYUCU, F., NOİRİ, T., ÖZKURT, A.,2008 A Note on ω − I − Continuous
Functions, Acta Math. Hungar., 119 (4) (), 393-400.
KURATOWSKİ, K., 1996 Topology, Vol. 1, Academic Pres.
LEVİNE, N.,1961 A decomposition of continuity in topological spaces, Amer. Math.
Montly., 68 , 44-46.
NOİRİ, T., 1974 On weakly continuous mappings, Proc. Amer. Math. Soc., 46 120124.
ROSE, D.A.,1984 Weak continuity and almost continuity, Internat. J. Math.
Sci.,7,311-318.
49
ÖZGEÇMİŞ
1983 yılında Adananın Yüreğir ilçesinde doğdu.İlk, Orta ve Lise öğrenimini
Adanada tamamladı.2001 yılında Harran Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi
Matematik Bölümünü kazandı.Birinci sınfın ikinci döneminde eğitimine yatay geçiş
yaptığı, Mersin Üniversitesinde devametti ve 2005 yılında mezun oldu. Çukurova
Üniversitesinde bir yıllık İngilizce eğitiminden sonra tezli yüksek lisans eğitimine
başladı ve halen tezli yüksek lisans öğrencisi olarak öğrenimine devam etmektedir.
50