ø/(5ø0$7(0$7ø.,, DERS NOTLARI 3URI'UgPHU/WIL'H÷LUPHQFL 2007 Bölüm 3 Çok'H÷LúNHQOL)RQNVL\RQODU %X E|OPGH ELUGHQ ID]OD GH÷LúNHQ LoHUHQ IRQNVL\RQODUÕQ OLPLW VUHNOLOLN YH WUHYOHUL LQFHOHQHFHNYHGDKDoRNLNLGH÷LúNHQOLIRQNVL\RQODUDD÷ÕUOÕNYHULOHFHNWLU 3.1. øNL'H÷LúNHQOLFonksiyonlar TanÕP. D ⊂ R 2 bölgesinin her (x,yVD\ÕoLIWLQHELUYH\DOQÕ]ELU z = f ( x, y ) JHUoHOVD\ÕVÕQÕ NDUúÕOÕN JHWLUHQ ELU f ED÷ÕQWÕVÕQD D’den, R¶\H ELU IRQNVL\RQ GHQLU '¶\H IRQNVL\RQXQ WDQÕP NPHVLGHQLU)RQNVL\RQXQGH÷HUOHUNPHVLise G = {z : z = f ( x, y ), ( x, y ) ∈ D, z ∈ R} G (1) G G x, y VD\Õ LNLOLVLQL P = x i + y j vektörü ile temsil edersek z = f ( x, y ) , úHNOLQGHGLU (÷HU G fonksiyonunu z = f (P) úHNOLQGH GH J|VWHUHELOLUL] z = f ( x, y ) NRúXOXnu gerçekleyen (x,y,z) QRNWDODUÕJHUoHOX]D\GD ELU\]H\ROXúWXUXUODU%X\]H\H z = f ( x, y ) IRQNVL\RQXQXQJUDIL÷L denir. Örnek 1. z = ln( x + y − 1 − x) fonksiyonu x + y − 1 ≥ 0 x + y − 1 − x ≥ 0 NRúXOODUÕQÕ VD÷OD\DQ [,y) ikililerinin ROXúWXUGX÷X E|OJHGH WDQÕPOÕGÕU %LULQFL NRúXO y = − x + 1 ve GR÷UXVX YH RQXQ VWQGHNL G]OHPL LNLQFL NRúXO LVH y = x 2 − x + 1 parabol ile onun üstündeki düzlem bölgesini göstermektedir. )RQNVL\RQXQ WDQÕP NPHVL, ùHNLO .1’de WDUDOÕRODUDNJ|VWHULOHQDoÕNE|OJHGLU (÷HU z = f ( x, y ) , x ve y GH÷LúNHQOHULQLQ ELU SROLQRPX úHNOLQGH LVH EX GXUXPGD IRQNVL\RQ UHHO G]OHPLQ KHU \HULQGH WDQÕPOÕ ROXU %X GXUXPGD D = R 2 ’dir. (÷HU IRQNVL\RQ z= f ( x, y ) JLEL LNL IRQNVL\RQXQ E|OP ELoLPLQGH LVH WDQÕP g ( x, y ) kümesi, f ( x, y ) ve g ( x, y ) IRQNVL\RQODUÕQÕQ WDQÕP kümelerinin arakesit kümesinin, g ( x, y ) ≠ 0 HúLWVL]OL÷LQL VD÷OD\DQHOHPDQODUÕQGDQROXúXU x− y IRQNVL\RQXQXQ WDQÕP NPHVL arcsin( x + y ) x − y ≥ 0 , − 1 ≤ x + y ≤ 1 ve x + y ≠ 0 NRúXOODUÕQÕ ELUOLNWH VD÷OD\DQ x,y VD\Õ LNLOLOHULQLQ ROXúWXUGX÷X E|OJHGLU YH Örnek 2. z = ùHNLO¶GHWDUDOÕRODUDNJ|VWHULOHQDoÕNE|OJH\LROXúWXUXU 89 øNL'H÷LúNHQOL)RQNVL\RQODUÕQ*UDILNOHUL D ⊂ R2 GHWDQÕPOÕLNLGH÷LúNHQOL z = f ( x, y ) IRQNVL\RQXQXQJUDIL÷L ( x, y ) ∈ D olmak üzere ( x, y, f ( x, y )) QRNWDODUÕQÕQ NPHVLGLU øNL GH÷LúNHQOL ELU IRQNVL\RQXQ JUDIL÷LQL LNL ER\XWOX ND÷ÕW]HULQGHJ|VWHUPHNLoLQJHQHOGHG]H\H÷ULOHULQGHQ\DUDUODQÕOÕU 7DQÕP . z = f ( x, y ) IRQNVL\RQX YHULOGL÷LQGH IRQNVL\RQXQ EHOLUOHGL÷L \]H\LQ z = z0 düzlemi ile arakesiti olaQH÷UL\H fonksiyonun z = z0 G]H\H÷ULVLGHQLU%LUIRQNVL\RQXQRODVÕ WPG]H\H÷ULOHULQLQELOHúNHVLIRQNVL\RQXQEHOLUOHGL÷L\]H\LYHULU Örnek 1. z = x 2 + y 2 IRQNVL\RQXQXQJUDIL÷LQLG]H\H÷ULOHUL\|QWHPLLOHoL]LQL] Çözüm )RQNVL\RQXQ WDQÕP NPHVL D = R 2 ’dir. 'H÷HUOHU NPHVL LVH R + ∪ {0} kümesidir. (0,0,0) QRNWDVÕQÕQ JUDILN ]HULQGH ROGX÷X DoÕNWÕU fonksiyonun z Yani G]H\ H÷ULVL QRNWDVÕGÕU z0>0 olmak üzere, z = x 2 + y 2 yüzeyinin, z=z0 düzlemi ile çemberleridir. arakesiti ise z0 = x 2 + y 2 )RQNVL\RQXQ ED]Õ G]H\ H÷ULOHUL ùHNLO¶GHJ|VWHULOPLúWLU øNL'H÷LúNHQOL)RQNVL\RQODUGD/LPLWYH6UHNOLOLN 7DQÕP 1a (Limit). z = f ( x, y ) fonksiyonu, bir D ⊂ R 2 E|OJHVLQGH WDQÕPOÕ ROVXQ ∀ε > 0 G NH\ILVD\ÕVÕ LoLQ için, G G G G P − P0 < ε NRúXOXQX VD÷OD\DQ P ∈ D vektörü ya da ( x, y ) ∈ D VD\Õ LNLOLOHUL f ( P) − L < δ (ε ) olacak úHNLOGH δ (ε ) VD\ÕODUÕ EXOXQDELOL\RUVD z = f ( x, y ) fonksiyonunun P0 ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQGDNLOLPLWLL’dir denir ve lim ( x , y )→( x0 , y0 ) f ( x, y ) = L (1) úHNOLQGHJ|VWHULOLU /LPLWLoLQSUDWLNWHGDKDNXOODQÕúOÕELUWDQÕPYHUHELOLUL] 90 7DQÕP 1b (Limit). VD\ÕODUÕ LoLQ f ( x, y ) = L ROPDVÕ LoLQ JHUHN YH \HWHU NRúXO ∀ε1 , ε 2 > 0 keyfi lim ( x , y )→( x0 , y0 ) x − x0 < ε1 ≤ ε ve y − y0 < ε 2 ≤ ε NRúXOODUÕQÕ VD÷OD\DQ ( x, y ) VD\Õ LNLOLOHUL için f ( x, y ) − L < δ (ε ) NRúXOX VD÷ODQDFDN úHNLOGH δ (ε ) VD\ÕODUÕQÕQ EXOXQDELOPHVLGLU %XUDGD ε = Max{ε1 , ε 2 } dir. Örnek 1. f ( x, y ) = x 2 + 2 xy fonksiyonunun (-QRNWDVÕQGDNLOLPLWLQLDUDúWÕUÕQÕ] x+ y Çözüm. fonksiyonun (- n - RODFD÷ÕQÕ WDKPLQ HGHELOLUL] x +1 < ε ve y − 2 < ε olmak üzere QRNWDVÕQGDNL OLPLWLQL EXQXQJHUoHNWHQOLPLWROXSROPDGÕ÷ÕQÕDUDúWÕUDOÕP ùLPGL x 2 + 2 xy x 2 + 2 xy + 3 x + 3 y ( x + 1) 2 + x − 1 + 2 xy + 3 y − ( −3) = = = x+ y x+ y x+ y = = ( x + 1) 2 + ( x + 1) − 2 + 2 y ( x + 1) + y ( x + 1) + ( y − 2) + 1 ( x + 1) 2 + ( x + 1) + ( y − 2) + 2 y ( x + 1) ( x + 1) + ( y − 2) + 1 2 x +1 + x +1 + y − 2 + 2 y x +1 < 1− x +1 − y − 2 olur. y < 2 RODFD÷ÕQGDQ ε 2 + ε + ε + 2ε × ε 3ε 2 + 2ε x 2 + 2 xy = δ (ε ) = + 3) < x+ y 1− ε − ε 1 − 2ε yazabiliriz. Böylece, x 2 + 2 xy = −3 ( x , y )→( −1, 2 ) x+ y lim ROGX÷XDQODúÕOPÕúROXU lim ( x , y ) → ( x0 , y 0 ) f ( x, y ) = L \D]ÕOÕPÕ WDQÕP NPHVLQGH ( x, y ) GH÷LúNHQ QRNWDVÕ ( x 0 , y 0 ) QRNWDVÕQD \DNODúÕUOHQ úHNLOGH f ( x, y ) ’nin de L GH÷HULQH \DNODúDFD÷ÕQÕ LIDGH HGHU $QFDN \DNODúPDQÕQ QH RODFD÷Õ NRQXVXQGD ELU VÕQÕUODPD getirmez. Yani, ( x, y ) GH÷LúNHQ QRNWDVÕ herhangi bir yolu izleyerek ( x 0 , y 0 ) QRNWDVÕQD \DNODúDELOLU %LU \DNODúPD |UQH÷L RODUDN |QFH A( x, y ) QRNWDVÕQÕ B( x0 , y ) QRNWDVÕQD EXUDGDQ da C ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQD J|WUHQ \DNODúÕPÕ ya da önce A( x, y ) QRNWDVÕQÕ D ( x, y0 ) QRNWDVÕQD buradan da C ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQD J|WUHQ 91 \DNODúÕPÕDODELOLUL] lim ( x , y )→( x0 , y0 ) BXWUO\DNODúÕPlar içinH÷HUOLPLWPHYFXWLVH f ( x, y ) = lim lim f ( x, y ) = lim lim f ( x, y ) = L x→ x0 y → y0 y→ y0 x→ x0 (2) RODFD÷ÕDoÕNWÕU$QFDNEXQXQNDUúÕWÕGR÷UXROPD\DELOLU<DQL lim lim f ( x, y ) = lim lim f ( x, y ) = L y→ y0 x→x0 y→ y0 x→ x0 L RODFD÷Õ DQODPÕQD gelmeyebilir. /LPLWLQ YDURODELOPHVL LoLQ \DNODúÕP \ROX QH lim f ( x, y ) LIDGHVLQLQD\QÕGH÷HUH\DNODúPDVÕJHUHNLU olursa olsun, ROPDVÕ OLPLWLQ ( x , y ) → ( x0 , y 0 ) Örnek 2. f ( x, y ) = x2 y 2 x4 + y4 IRQNVL\RQXQXQQRNWDVÕQGDNLOLPLWLQLDUDúWÕUÕQÕ] Çözüm. Önce, lim lim f ( x, y ) = lim lim f ( x, y ) = L ROXSROPDGÕ÷ÕQÕDUDúWÕUDOÕP x→ x0 y → y0 y→ y0 x→x0 x2 y2 = lim (0) = 0 lim lim f ( x, y ) = lim lim 4 x→ x0 y → y0 x→ x0 y→ y0 x + y 4 x→ x0 x2 y2 = lim (0 ) = 0 lim lim f ( x, y ) = lim lim 4 y → y0 x→ x0 y→ y0 x→ x0 x + y 4 y→ y0 Buna göre, lim lim f ( x, y ) = lim lim f ( x, y ) = 0 y→ y0 x→x0 y→ y0 x→ x0 , GÕU%XGXUXP OLPLWLQYDUYH¶DHúLWROGX÷XQXJDUDQWLHWPH]ùLPGLGHQRNWDVÕQD y=mx GR÷UXODUÕER\XQFD\DNODúDOÕP%XGXUXPGD lim ( x , y )→( 0 , 0 ) f ( x, y ) = x2 y 2 x 2 (mx) 2 lim = ( x , y )→( 0 , 0 ) x 4 + y 4 x→0 x 4 + ( mx ) 4 lim mx 4 m = x→0 ( m + 1) x 4 m +1 = lim HOGH HGLOLU <DQL QRNWDVÕQD IDUNOÕ GR÷UXODU LOH \DNODúWÕ÷ÕPÕ]GD IDUNOÕ OLPLW GH÷HUOHULQH , XODúÕ\RUX]%XGXUXPGD V|]NRQXVXIRQNVL\RQXQQRNWDVÕQGDOLPLWL\RNWXUGHUL] Teorem 1. lim ( x , y )→( x0 , y0 ) a) i) f ( x, y ) = L1 ve lim ( x , y )→( x0 , y0 ) lim ( x , y )→( x0 , y0 ) g ( x, y ) = L2 limitleri var ise ( f ( x, y ) + g ( x, y )) = L1 + L2 92 (3a) b) ii) lim ( x , y )→( x0 , y0 ) ( f ( x, y) ⋅ g ( x, y )) = L1 ⋅ L2 c) iii) ∀k ∈ R için lim ( x , y )→( x0 , y0 ) (3b) kf ( x, y ) = kL1 (3c) d) iv) g ( x, y ) ≠ 0 ve L2 ≠ 0 olmak üzere f ( x, y ) L1 = lim ( x , y )→( x0 , y0 ) g ( x, y ) L2 (3d) dir. Örnek 3. sin( xy) OLPLWLQLKHVDSOD\ÕQÕ] ( x , y ) →( 0,1) x lim Çözüm. y ≠ 0 ROGX÷XQGDQ lim ( x , y )→( 0 ,1) sin( xy) sin( xy) sin( xy ) = lim y = lim y ⋅ lim → → → ( x , y ) ( 0 , 1 ) ( x , y ) ( 0 , 1 ) ( x , y ) ( 0 , 1 ) x xy xy yazabiliriz. u = xy G|QúP|\DSÕOÕUVD lim ( x , y )→( 0 ,1) sin( xy) sin u = lim y ⋅ lim =1 → → y 1 u 0 x u elde edilir. Örnek 4. f ( x, y ) = x3 + y3 fonksiyonunun, QRNWDVÕQdaki limitini, kutupsal koordinatlar x2 + y2 \DUGÕPÕ\ODDUDúWÕUÕQÕ] Çözüm. Kutupsal loordinatlarda x = r cos θ ve y = r sin θ f ( x, y ) = f ( r ,θ ) = ROGX÷XQDJ|UH (r cosθ ) 3 + (r sin θ ) 3 r 3 (cos3 θ + sin 3 θ ) r (cos3 θ + sin 3 θ ) = = (r cos θ ) 2 + (r sin θ ) 2 r 2 (cos 2 θ + sin 2 θ ) cos 2 θ + sin 2 θ = r (cos3 θ + sin 3 θ ) olur. ( x, y ) → (0,0) ≡ r → 0 ROGX÷XQGDQ lim ( x , y )→( 0 , 0 ) [ ] f ( x, y ) = lim f (r ,θ ) = lim r (cos 3 θ + sin 3 θ ) = 0 r →0 r →0 elde edilir. 93 Örnek 5. 6DQGYLoVÕNÕúWÕUPD\|QWHPLQLNXOODQDUDN Çözüm. u = xy WDQÕPODPDVÕQÕ \DSDOÕP YH FRV lim 4 − 4 cos xy ( x , y )→( 0 , 0 ) u fonksiyonunu, u VHULVLQHDoDOÕP cos u = 1 − u2 u4 + − ... . 2! 4! Seri aOWHUQDWLIROGX÷XQGDQ 1− u2 u2 u4 < cos u < 1 − + 2! 2! 4! yazabiliriz. u¶QXQGH÷HUL\HULQH\]DÕOÕUVD xy 1− < cos 2 u 2 x2 y2 xy < 1 − + 2! 24 elde edilir. Buradan 4 − 2 xy < 4 cos 2 xy − xy < 4 − 2 xy + x2 y2 6 x2 y 2 < 4 − 4 cos xy < 2 xy 6 ve son olarak da 2− xy 4 − 4 cos xy < <2 6 xy HúLWVL]OL÷LHOGHHGLOLU%XUDGDQOLPLWDOÕQÕUVD 4 − 4 cos xy xy < lim < lim 2 lim 2 − ( x , y )→( 0 , 0 ) ( x , y )→( 0, 0 ) 6 ( x , y )→( 0,0 ) xy 2< lim 4 − 4 cos xy ( x , y )→( 0, 0 ) xy <2 elde ediOLU2KDOGHVDQGYLo|]HOOL÷LQGHQ lim ( x , y )→( 0 , 0 ) 4 − 4 cos xy xy =2 94 xy limitini bulunuz. QRNWDVÕQGD 7D\ORU olur. 7DQÕP 6UHNOLOLN . D ⊂ R 2 ¶GH WDQÕPOÕ ELU f ( x, y ) fonksiyonu ile ( x0 , y0 ) ∈ D QRNWDVÕ verilsin.(÷HU lim ( x , y )→( x0 , y0 ) f ( x, y ) = f ( x0 , y 0 ) (4) oluyorsa, f fonksiyonuna ( x0 , y0 ) ∈ D QRNWDVÕQGD VUHNOLGLU GHQLU (÷HU f fonksiyonu, D NPHVLQLQKHUQRNWDVÕQGDVUHNOLLVHEXGXUXPGD f fonksiyonu D’de süreklidir denir. Örnek 6. x3 , ( x, y ) ≠ (0,0) LVH, f ( x, y ) = x 2 + y 2 0 , ( x, y ) = (0,0) LVH fonksiyonunun R 2 ¶GH VUHNOL ROGX÷XQX gösteriniz. Çözüm. x3 x2 + y 2 IRQNVL\RQXQXQ GÕúÕQGDNL KHU QRNWDGD WDQÕPOÕ YH VUHNOL ROGX÷X DoÕNWÕUùLPGLQRNWDVÕQGDNLVUHNOLOL÷LDUDúWÕUDOÕP x3 r 3 cos 3 θ = lim = lim r cos 3 θ = 0 = f (0,0) ( x , y )→( 0, 0 ) x 2 + y 2 r →0 r 2 (cos 2 θ + sin 2 θ ) r →0 ( lim ) RKDOGHIRQNVL\RQQRNWDVÕQGDGDVUHNOLGLU øNL'H÷LúNHQOL)RQNVL\RQODUÕQ.ÕVPL7UHYOHUL 7DQÕP 'R÷UXOWX WUHYOHUL QRNWDVÕ YHULOVLQ G D ⊂ R 2 ¶GH WDQÕPOÕ ELU f ( x, y ) fonksiyonu ile ( x0 , y0 ) ∈ D u0 = (α , β ), (α 2 + β 2 = 1) herhangi bir birim vektör olmak üzere, mevcut ROPDVÕGXUXPXQGD DuG0 f ( x, y ) = lim h→ 0 f ( x0 + αh, y0 + βh) − f ( x0 , y0 ) h G limitine, f ( x, y ) fonksiyonunun, u 0 do÷UXOWXVXQGDNLWUHYLGHQLU 95 (1) G 'R÷UXOWX G G WUHYLQLQ G JHRPHWULN DQODPÕ úX úHNLOGH YHULOHELOLU G G G G G P0 = x0 i + y 0 j G ile G u0 = α i + β j , (α 2 + β 2 = 1) birim vektörü verilsin.'H÷LúNHQ ELU P(h) = P0 + hu 0 = x i + y j G G vektörü, u0 vektörü boyunca P0 vektörüne \DNODúÕUVD,EXGXUXPGDPHYFXWROPDVÕKDOLQGH G G G f ( P0 + hu0 ) − f ( P0 ) DuG0 f ( x, y ) = lim h→0 h (2) G limitine, f ( x, y ) fonksiyonunun, u0 GR÷UXOWXVXQGDNL WUHYL GHQLU Buna göre, DuG0 f ( x, y ) yönlü türevi, z = f ( x, y ) yüzeyine, üzerindeki ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) QRNWDVÕQGDQ YH G u0 GR÷UXOWXVXQGDoL]LOHQWH÷HWLQH÷LPLGLU Örnek 1. f ( x, y ) = xy IRQNVL\RQXQXQJHQHOGR÷UXOWXtürev fonksiyonunu bulunuz. Çözüm. 7DQÕPJHUH÷L f ( x0 + αh, y0 + βh) − f ( x0 , y0 ) h→0 h ( x + αh)( y0 + βh) − x0 y0 = lim 0 h→0 h x y + ( x0 β + αy0 )h + αβh 2 − x0 y0 = lim 0 0 h→0 h x0 β + αy0 + αβh ]h [ = lim h→0 h = lim( x0 β + αy0 + αβh) DuG0 f ( x, y ) = lim h→0 = x0 β + αy0 G Örnek 2. f ( x, y ) = x 2 + y 2 fonksiyonunun, u0 (1 / 2, 3 / 2) ELULP YHNW|U GR÷UXOWXVXQGDNL türevini bulunuz. Çözüm. <|QOWUHYWDQÕPÕQGDQ 96 f ( x0 + αh, y0 + βh) − f ( x0 , y0 ) h 2 ( x + αh) + ( y0 + βh) 2 − x02 + y02 = lim 0 h→0 h 2(αx0 + βy0 )h + (α 2 + β 2 )h 2 = lim h→0 h = lim 2(αx0 + βy0 ) + (α 2 + β 2 )h DuG0 f ( x, y ) = lim h→0 h→0 [ ] = 2(αx0 + βy0 ) ⇒ D(1/ 2, 3 / 2) f ( x, y ) = x0 + 3 y0 olur. 7DQÕP 2 .ÕVPL 7UHY. D ⊂ R 2 ¶GH WDQÕPOÕ ELU f ( x, y ) fonksiyonu ile ( x0 , y0 ) ∈ D QRNWDVÕ YHULOVLQ0HYFXWROPDVÕGXUXPXQGD lim h→0 f ( x0 + h, y0 ) − f ( x0 , y0 ) h (3) limitine, f ( x, y ) fonksiyonunun x GH÷LúNHQLQH J|UH NÕVPL türevi denir ve ∂f ( x0 , y0 ) ya da ∂x f x ( x0 , y0 ) sembollerinden biri ile gösterilir. %HQ]HUúHNLOGHPHYFXWROPDVÕKDOLQGH lim h→0 f ( x0 , y 0 + h ) − f ( x0 , y 0 ) h (4) ∂f ( x0 , y0 ) ya da ∂y G f y ( x0 , y0 ) sembollerinden biri ile gösterilir. f x ( x0 , y0 ) NÕVPLWUHYLQLQ u0 (1,0) yönündeki ve limitine de, f ( x, y ) fonksiyonunun yGH÷LúNHQLQHJ|UHNÕVPLWUHYLGHQLUYH G f y ( x0 , y0 ) NÕVPLWUHYLQLQGH u0 (0,1) \|QQGHNLWUHYOHUROGX÷XQDGLNNDWHGLOPHOLGLU x GH÷LúNHQLQH J|UH , y GH÷LúNHQL VDELW WXWXOPDNWDGÕU Bu ise, z = f ( x, y ) yüzeyi ile y = y0 düzleminin arakesiti olan z = f ( x, y0 ) H÷ULVLQin x = x0 QRNWDVÕQGDNL türevi DQODPÕQD JHOLU %DúND ELU GH÷LúOH, f x ( x0 , y0 ) NÕVPL WUHYL z = f ( x, y ) yüzeyine, üzerindeki ( x0 , y0 , z0 ) QRNWDVÕQdan ve xoz düzlemine paralel olarak çizilen WH÷HWLQ H÷LPLGLU %HQ]HU RODUDN f ( x , y ) y 0 0 7DQÕPD J|UH |UQH÷LQ NÕVPL WUHY DOÕQGÕ÷ÕQGD z = f ( x, y ) yüzeyine, yine üzerindeki ( x0 , y0 , z0 ) QRNWDVÕQGDQ YH \oz NÕVPL WUHYL LVH G]OHPLQH SDUDOHO RODUDN oL]LOHQ WH÷HWLQ 97 z = f ( x, y ) olan E yüzeyine, üzerindeki P( x0 , y0 , z 0 ) QRNWDVÕQGDQYH y = y G]OHPLQGHRODFDNúHNLOGH TWH÷HWLoL]LOPLúWLU TWH÷HWLQLQ, xy-düzlemi 0 LOH \DSWÕ÷Õ DoÕQÕQ WDQMDQWÕ \DQL WH÷HWLQ xy-düzlemine g|UH H÷LPL z = f ( x, y ) fonksiyonunun, ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQGD, xGH÷LúNHQLQHJ|UHNÕVPLWUHYLGLU H÷LPLGLU ùHNLO ¶GH GHQNOHPL Örnek 3 .ÕVPL WUHY WDQÕPÕQÕ NXOODQDUDN z = x 2 + y 2 fonksiyonunun f x (1,1) ve f x (0,0) NÕVPLWUHYOHULQLQROXSROPDGÕ÷ÕQÕDUDúWÕUÕQÕ] Çözüm. f ( x0 + h, y0 ) − f ( x0 , y0 ) ∂f ( x0 , y0 ) WDQÕPÕQÕNXOODQÕUVDN = lim h→0 ∂x h f (1 + h,1) − f (1,1) = f x (1,1) = lim h→0 h (1 + h) 2 + 1 − 1 − 1 h 2 + 2h = lim = lim = lim(h + 2) = 2 h→0 h→0 h→0 h h f x (0,0) = lim h→0 f (h,0) − f (0, 0) h2 = lim = lim h = 0 h→0 h h→0 h elde edilir. Örnek 4. x2 , ( x, y ) ≠ (0,0) LVH, f ( x, y ) = x + y 0 , ( x, y ) = (0,0) LVH fonksiyonunun varsa f x (0,0) ve f y (0, 0) NÕVPLWUHYOHULQLKHVDSOD\ÕQÕ] Çözüm. h2 −0 f (h, 0) − f (0,0) h2 0 h + f x (0,0) = lim = lim = lim 2 = 1 h→0 h→0 h→0 h h h f y (0,0) = lim h →0 0−0 f (0, h) − f (0,0) = lim =0 → 0 h h h Örnek 5. z = xe x+ y fonksiyonunun z x ve z y NÕVPLWUHYOHULQLEXOXQX] Çözüm. zx = ∂z = e x+ y + xe x+ y = e x+ y (1 + x ) ∂x 98 zy = 7DQÕP ∂z = xe x + y ∂y 3<NVHNPHUWHEHGHQNÕVPLWUHYOHU. z = f ( x, y ) fonksiyonunun, f x ve f y NÕVPL WUHYOHULQLQ WDQÕP NPHVLQGH x ve y’ye göre türevleri var ise bu türevlere z = f ( x, y ) fonksiyonunXQ LNLQFL PHUWHEHGHQ NÕVPL WUHYOHUL GHQLU f x NÕVPL WUHYLQLQ x¶H J|UH NÕVPL türevi z = f ( x, y ) fonksiyonunun, x¶H J|UH LNLQFL PHUWHEHGHQ NÕVPL WUHYLGLU YH f xx ile J|VWHULOLU<DQLPHYFXWROPDVÕGXUX munda, x¶HJ|UHLNLQFLPHUWHEHGHQNÕVPLWUHY ∂2 f ∂ ∂f ( )= 2 ∂x ∂x ∂x f xx = (5) úHNOLQGHGLU%HQ]HURODUDNGL÷HULNLQFLPHUWHEHWUHYOHU f xy = ( f x ) y = de ∂2 f ∂ ∂f ( )= , ∂y∂x ∂y ∂x (6) ∂2 f ∂ ∂f ( )= 2 ∂y ∂y ∂y f yy = (7) ve f yx ∂2 f ∂ ∂f ( )= ∂x∂y ∂x ∂y (8) biçiminde gösterilir. %LUIRQNVL\RQXQWDQÕPOÕROGX÷XE|OJHGHGDKD\NVHNPHUWHEHGHQNÕVPL türevleri de mevcut olabilir. Örnek 4. f ( x, y ) = x ln( xy) IRQNVL\RQXQXQLNLQFLPHUWHEHNÕVPLWUHYOHULQLEXOXQX] Çözüm. fx = ∂f y = ln( xy ) + x = ln( xy ) + 1 ∂x xy f xx = y 1 ∂2 f ∂ ∂f ( )= 2 = = xy x ∂x ∂x ∂x f xy = ( f x ) y = ∂2 f ∂ ∂f x 1 ( )= = = ∂y ∂x ∂y∂x xy y fy = ∂f x x =x = xy y ∂y f yy = ∂ ∂f ∂2 f x ( )= 2 =− 2 ∂y ∂y ∂y y 99 f yx 1 ∂2 f ∂ ∂f ( )= = ∂x∂y y ∂x ∂y Teorem 1. z = f ( x, y ) fonksiyonunun f x , f y , f xy YH f yx , NÕVPL WUHY IRQNVL\RQODUÕ KHUKDQJL bir ADoÕNNPHVLQGHWDQÕPOÕYH ( x0 , y0 ) ∈ A QRNWDVÕQGDsürekli iseler f xy ( x0 , y0 ) = f yx ( x0 , y0 ) (9) dir. øVSDW . ( x0 + h, y0 + k ) ∈ A RODFDNúHNLOGHh ve kSR]LWLIVD\ÕODUÕ verilsin. ùLPGL, F ( x0 , y0 ) = [ f ( x0 + h, y0 + k ) − f ( x0 + h, y0 )] − [ f ( x0 , y0 + k ) − f ( x0 , y0 )] (10) diyelim ve G ( x ) = f ( x, y 0 + k ) − f ( x , y 0 ) (11) fonksiyonXQXWDQÕPOD\DOÕP%XGXUXPGD F ( x0 , y0 ) = G ( x0 + h) − G ( x0 ) (12) olur.¶GHQWUHYDOÕUVDN G ′( x) = f x ( x, y0 + k ) − f x ( x, y0 ) (13) YH HúLWOL÷LQH GLIHUDQVL\HO KHVDEÕQ RUWDODPD GH÷HU WHRUHPLQL X\JXODUVDN 0 < θ < 1 olmak üzere F ( x0 , y0 ) = G ( x0 + h) − G ( x0 ) = hG ′( x0 + θh) (14) ifadesini YH\DUGÕPÕ\ODGD F ( x0 , y0 ) = hG ′( x0 + θh) = h[ f x ( x0 + θh, y0 + k ) − f x ( x0 + θh, y0 )] (15) yazabiliriz. (÷HU HúLWOL÷LQGH SDUDQWH] LoHULVLQH ELU NH] GDKD RUWDODPD GH÷HU WHRUHPL X\JXODQÕUVD 0 < µ < 1 olmak üzere F ( x0 , y0 ) = hkf xy ( x0 + θh, y0 + µk ) (16) elde ederiz. %HQ]HUúHNLOGH, H ( y ) = f ( x0 + h, y ) − f ( x0 , y ) (17) IRQNVL\RQXWDQÕPOD\DOÕPHúLWOL÷LQHJ|UH F ( x0 , y0 ) = H ( y0 + k ) − H ( y0 ) (18) , 0 < η < 1 olmak üzere ROXU2UWDODPDGH÷HUWHRUHPLX\JXODQÕUVD F ( x0 , y0 ) = kH y ( y0 + ηk ) (19) 100 olur. (17)’den y¶\HJ|UHWUHYDOÕQÕU¶GD\HULQH\D]ÕOÕUVD [ F ( x0 , y0 ) = k f y ( x0 + h, y0 + ηk ) − f y ( x0 , y0 + ηk ] (20) ROXU 3DUDQWH] LoHULVLQH ELU NH] GDKD RUWDODPD GH÷HU WHRUHPL X\JXODQÕUVD 0 < γ < 1 olmak üzere F ( x0 , y0 ) = khf yx ( x0 + γh, y0 + ηk ) (21) olur. Son olarak, h → 0 ve k → 0 OLPLWGXUXPXLoLQYHED÷ÕQWÕODUÕQÕQVD÷\DQODUÕQÕQ HúLWOL÷LQGHQ f xy ( x0 , y0 ) = f yx ( x0 , y0 ) (22) elde ederiz. <XNDUÕGDNL WHRUHP GDKD \NVHN PHUWHEHGHQ NÕVPL WUHYOHUH GH X\JXODQDELOLU %XQXQOD LOJLOL DúD÷ÕGDNLWHRUHPLLVSDWVÕ]YHU\RUX] Teorem 2. z = f ( x, y ) fonksiyonunun, D\QÕ LQGLV NPHVLQL LoHUHQ EWQ \NVHN PHUWHEHGHQ NÕVPLWUHYOHULHúLWWLU Örnek 5. f ( x, y ) = e x+ y sin( xy) fonksiyonunu için f xyx = f xxy ROGX÷XQXJ|VWHULQLQ] Çözüm. f x = ye x+ y cos(xy ) f xy = e x+ y cos( xy ) + ye x+ y cos( xy) − xye x+ y sin( xy) f xyx = e x + y cos( xy ) − ye x + y sin( xy ) + ye x + y cos( xy ) − y 2 e x + y sin( xy ) − − ye x + y sin( xy ) − xye x + y sin( xy ) − xy 2 e x + y cos( xy ) ( ) ( ) = 1 + y − xy 2 e x + y cos( xy ) − y 2 + 2 y + xy e x + y sin( xy ) ROXU'L÷HU\DQGDQ f xx = ye x+ y cos( xy ) − y 2 e x+ y sin( xy ) f xxy = e x+ y cos( xy ) + ye x+ y cos( xy) − xye x+ y sin( xy) − = −2 ye x+ y sin( xy ) − y 2 e x+ y sin( xy) − xy 2 e x+ y cos( xy) = (1 + y − xy 2 )e x+ y cos( xy) − (y 2 + 2 y + xy )e x+ y sin( xy) olur. Buna göre f xyx = f xxy ’dir. Örnek 6. c bir sabit olmak üzere, 101 ∂ 2u ∂u =c 2 ∂x ∂t NÕVPL WUHY GHQNOHPLQH \D\ÕOPD GHQNOHPL GHQLU $úD÷ÕGDNL IRQNVL\RQODUÕQ \D\ÕOPD GHQNOHPLQLVD÷OD\ÕSVD÷ODPDGÕNODUÕQÕJ|VWHULQL] a) u ( x, t ) = e ax+bt b) u ( x, t ) = sin( ax + bt ) Çözüm a) u ( x, t ) = e ax+bt ⇒ ∂u = be ax+bt ∂t ∂ 2u ∂u = ae ax+bt ⇒ 2 = a 2 e ax+bt ∂x ∂x ∂ 2u ∂u = c 2 ⇒ be ax+bt = ca 2 e ax+bt ∂x ∂t b ⇒c= 2 a bulunur. O halde, u ( x, t ) = e ax+bt IRQNVL\RQX\D\ÕOPDGHQNOHPLQLVD÷ODPDNWDGÕUYH c = b) u ( x, t ) = sin( ax + bt ) ⇒ b ’dir a2 ∂u = b cos(ax + bt ) ∂t ∂ 2u ∂u = a cos(ax + bt ) ⇒ 2 = −a 2 sin( ax + bt ) ∂x ∂x o halde, ∀x, t ∈ R için ∂ 2u ∂u =c 2 ∂x ∂t olPDGÕ÷ÕQGDQ u ( x, t ) = sin( ax + bt ) fonksiyonu, GH÷LOGLU \D\ÕOPD GHQNOHPLQL Bununla birlikte, u ( x, t ) = sin( ax + bt ) fonksiyonu ax + bt = arctan(− b ) ca 2 NRúXOXQXQVD÷ODQPDVÕGXUXPODUÕQGDELU özel çözümdür. Örnek 7. Üç boyutlu Laplace denklemi ∂2 f ∂2 f ∂2 f =0 + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 102 n bir genel çözümü úHNOLQGH LNLQFL PHUWHEHGHQ NÕVPL GLIHUDQVL\HO GHQNOHPGLU $úD÷ÕGDNLIRQNVL\RQODUÕQ /DSODFH GHQNOHPLQLVD÷ODGÕNODUÕQÕJ|VWHULQL] a) f ( x, y, z ) = x 2 + y 2 − 2 z 2 b) f (r ) = 1 r Çözüm a) ∂2 f ∂f = 2x ⇒ 2 = 2 ∂x ∂x ∂2 f ∂f = 2y ⇒ 2 = 2 ∂y ∂y f ( x, y , z ) = x 2 + y 2 − 2 z 2 ⇒ ∂2 f ∂f = 2z ⇒ 2 = 2 ∂z ∂z ve böylece ∂2 f ∂2 f ∂2 f = 2 + 2 − 2× 2 = 0 + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 olur. G G G G r = x i + y j + z k ⇒ r = x 2 + y 2 + z 2 ⇒ f ( r ) = f ( x, y , z ) = b) x x r 3 − 3 xr 2 4 2 2 x + y2 + z2 x ∂2 f ∂f r = r − 3x r = = ⇒ = 2 ⇒ ∂x 2 ∂x x + y2 + z2 r3 r6 r7 2 ROXU%HQ]HUúHNLOGH ∂ 2 f r 4 − 3 y 2r 2 ∂f y = 3⇒ 2 = r7 ∂y ∂y r z ∂ 2 f r 4 − 3z 2 r 2 ∂f = 3⇒ 2 = ∂z ∂z r r7 ve buradan da ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 f r 4 − 3x 2 r 2 r 4 − 3 y 2 r 2 r 4 − 3z 2 r 2 = + + + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 r7 r7 r7 3r 4 − 3r 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) r7 3r 4 − 3r 4 = =0 r7 = olur. 103 1 x + y2 + z2 2 =LQFLU.XUDOÕ Teorem 1. D ⊂ R 2 ¶GH WDQÕPOÕ ELU z = f ( x, y ) IRQNVL\RQX YHULOVLQ (÷HU f x ve f y NÕVPL WUHYOHUL ùHNLO ¶GD J|VWHULOHQ YH P(a, b) ∈ D ve Q (c, d ) ∈ D QRNWDODUÕQÕ ELUOHúWLUHQ GLN , a < m < c ve b < n < d olmak üzere DoÕOÕ\ROXQKHUQRNWDVÕQGDWDQÕPOÕLVHOHU f (c, d ) − f ( a, b) = f x ( m, d )(c − a ) + f y (a, n)( d − b) (1) GÕU øVSDW . f ( c, d ) − f ( a , b ) = f ( c , d ) − f ( a , d ) + f ( a , d ) − f ( a , b ) (2) (úLWOL÷LQL\D]ÕS z 1 ( x ) = f ( x, d ) (3a) z2 ( y ) = f (a , y ) (3b) ve IRQNVL\RQODUÕQÕWDQÕPOD\DOÕP%XGXUXPGD z1 (c) − z1 (a ) = f (c, d ) − f (a, d ) (4) olur ve a < m < c ROPDN]HUHRUWDODPDGH÷HUWHRUHPLQGHQ f (c, d ) − f (a, d ) = z1x (m)(c − a ) = f x (m, d )(c − a ) (5) HOGHHGLOLU%HQ]HUúHNLOGHGúQFH\OH f (a, d ) − f (a, b) = z 2 y (n)(d − b) = f y (a, n)(d − b) \D]ÕODELOLU%|\OHFHYHED÷ÕQWÕODUÕ¶GH\HULQH\D]ÕOÕUVD f (c, d ) − f (a, b) = f x (m, d )(c − a ) + f y (a, n)(d − b) 104 (6) elde edilir. Teorem 2. D ⊂ R 2 ¶GH WDQÕPOÕ ELU z = f ( x, y ) fonksiyonu verilsin. z’nin, x ve yGH÷LúNHQOHUL t¶\H ED÷OÕ ELUHU VNDOHU IRQNVL\RQODU ROVXQODU IRQNVL\RQODUÕQÕQJUDILNOHULQLQ x = g (t ) , y = h(t ) . x = g (t ) ve y = h(t ) D E|OJHVLQGHROPDVÕNRúXOX\ODz fonksiyonunun, tGH÷LúNHQLQH göre türevi dz ∂z dx ∂z dy + = dt ∂x dt ∂y dt (7) GÕU øVSDW . z = f ( x, y ) fonksiyonunu z (t ) = f ( x, y ) = f ( g (t ), h(t )) (8) úHNOLQGH\D]DELOLUL] 7UHYWDQÕPÕQDJ|UH z ′(t ) = dz z (t + h) − z (t ) f ( g (t + h), h(t + h)) − f ( g (t ), h(t )) = lim = lim → → h 0 h 0 dt h h (9) olur.HúLWOL÷LQGH c = g (t + h), d = h(t + h), a = g (t ), b = h(t ) (10) sa DOÕQÕU dz f ( g (t + h), h(t + h)) − f ( g (t ), h(t )) = lim → h 0 dt h f (m, h(t + h))[g (t + h) − g (t )] + f y ( g (t ), n)[h(t + h) − h(t )] dz = lim x → h 0 dt h (11) elde edilir. Burada a < m < c ve b < n < d yani g (t ) < m < g (t + h) ve h(t ) < n < h(t + h) ’dir. 'ROD\ÕVÕ\OH h → 0 limit durumunda, m → g (t ) ve n → h(t ) olur. Sonuç olarak, (11) ED÷ÕQWÕVÕQGDQ dz = f x ( g (t ), h(t )) g ′(t ) + f y ( g (t ), h(t ))h′(t ) dt (12) dz ∂f dx ∂f dy = + dt ∂x dt ∂y dt (13) ya da zincir NXUDOÕHOGHHGLOLU 105 Örnek 1. f ( x, y ) = xy fonksiyonunun x ve yGH÷LúNHQOHUL t’nin x(t ) = sin t , y (t ) = a cos t x+ y úHNOLQGHNLIRQNVL\RQODUÕROGX÷XQDJ|UH ft ( 3 1 , ) GH÷HULQLEXOXQX] 2 2 3 π 1 π = sin t ⇒ t = ve = a cos ’den a = 1 bulunur. f¶QLQ]LQFLUNXUDOÕ\DUGÕPÕ\OD, 2 3 2 3 Çözüm. t’ye göre türeviDOÕQÕUVD df x ( x + y ) − xy ∂f ∂x ∂f ∂y y ( x + y ) − xy cos t + ( − a sin t ) = + = 2 dt dx dt dy dt ( x + y) ( x + y)2 y2 ax 2 y 2 cos t − ax 2 sin t cos t − sin t = = ( x + y)2 ( x + y)2 ( x + y)2 elde edilir. O halde, 1 π 3 π 11 3 3 ( ) 2 cos − 1( ) 2 sin − 3 1 4 3 2 3 = 4 2 4 2 = 1− 3 3 ft ( , ) = 2 2 2 8 (1 + 3 ) 2 3 1 2 3 +1 2 ( ( ) + ) 2 2 2 3 1 1 f t ( , ) = (1 − 3 3 ) 3 2 2 8 olur. Örnek 2. f ( x, y ) = xy sin( x + y ) fonksiyonunun f x ve f y NÕVPL WUHYOHULQL ]LQFLU NXUDOÕ LOH bulunuz. Çözüm. u = xy , v = sin( x + y ) WDQÕPODPDODUÕ\OD f ( x, y ) = g (u , v) = uv olur. Buna göre ∂f ∂g ∂u ∂g ∂v = vy + u cos( x + y ) = y sin( x + y ) + xy cos( x + y ) + = ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂f ∂g ∂u ∂g ∂v = vx + u cos( x + y ) = x sin( x + y ) + xy cos( x + y ) + = ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y Teorem 3. D ⊂ R 2 ¶GHWDQÕPOÕELU z = f ( x, y ) fonksiyonu verilsin. z = f ( x, y ) ¶QLQEHOLUOHGL÷L yüzey üzerindeki bir c H÷ULVL LOH onun xy-G]OHPLQGHNL L]GúP RODQ c′ H÷ULVLQL J|]|QQH DODOÕP c′ H÷ULVL]HULQGHNLKHUKDQJLELUQRNWDGDNLWUHY 106 f dy =− x dx fy (14) ile verilir. øVSDW . c′ L]GúP H÷ULVLQLQ GHQNOHPL y = h(x) olsun. Buna göre, c′ üzerindeki noktalar ( x, h( x),0) úHNOLQGH LNHQ c ktalar ( x, h( x), f ( x, y )) H÷ULVLQGH EXQODUD NDUúÕOÕN JHOHQ QR c x-HNVHQLGR÷UXOWXVXQGDNLWUHYL\D]DOÕP úHNOLQGHGLUùLPGL H÷ULVL]HULQGH df ∂f ∂x ∂f ∂y . + = dx ∂x ∂x ∂y ∂x Bu türevin, c′ (15) L]GúP H÷ULVL ]HULQGHNL NDUúÕOÕ÷ÕQÕ HOGH HWPHN LoLQ ED÷ÕQWÕVÕQGD f ( x, y ) = 0 GROD\ÕVL\OH df ∂x ∂y dy =0, = 1 ve = DOÕQPDOÕGÕU%XQDJ|UH dx ∂x ∂x dx ∂f ∂f dy =0 + ∂x ∂y dx ve buradan da ∂f f dy = − ∂x − x ∂f dx fy ∂y elde edilir. Teorem bize, f ( x, y ) = 0 úHNOLQGH YHULOHQ LNL GH÷LúNHQOL NDSDOÕ bir fonksiyon için dy / dx türevinin QDVÕOEXOXQDFD÷ÕQÕLIDGHHWPHNWHGLU Örnek 3. Düzlemde, dik koordinat sistemi ilHXoODNNRRUGLQDWVLVWHPLDUDVÕQGD x = r cosθ ve y = r sin θ G|QúPIRUPOOHULYDUGÕU r ve θ¶\Õx ve y’nin fonksiyonu olarak ifade etmeden, dr dθ ve dx dx türevlerini bulunuz. Çözüm. Düzlemin (x,y G QRNWDODUÕQÕ G F ( x, y ) = ( x, y ) vektörleriyle temsil edersek, uçlak G G koordinatlarda ( x, y ) = F ( x, y ) = F (r ,θ ) = (r cosθ , r sin θ ) \D]DELOLUL] =LQFLU NXUDOÕQÕ F (r ,θ ) YHNW|UGH÷HUOLIRQNVL\RQXQDX\JXODUVDN G G G ∂F ∂F ∂r ∂F ∂θ = + ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x (*) olur. Burada 107 G ∂F = (cosθ , sin θ ) ∂r ve G ∂F = (−r sin θ , r sin θ ) ∂θ G dir.$\UÕFD F ( r ,θ ) = ( x, y ) HúLWOL÷LQGHQGH G ∂F (r , θ ) = (1,0) ∂x olur.%XQDJ|UHHúLWOL÷LQLYHNW|UHOIRUPGD\HQLGHQ (1,0) = (cosθ , sin θ ) ∂θ ∂r + (−r sin θ , r cosθ ) ∂x ∂x úHNOLQGH\D]DELOLUL]%XYHNW|UHOGHQNOHP\HUL ∂r − r sin θ ∂x ∂r sin θ + r cos θ ∂x cos θ ne ∂θ =1 ∂x ∂θ =0 ∂x skaler denklem sistemini yazabiliriz. Bu denklem sistemi çözülerek ∂θ − sin θ ∂r = = cosθ YH r ∂x ∂x elde edilir. %HQ]HU RODUDN H÷HU g = f ( x, y, z ) úHNOLQGH o GH÷LúNHQOL ELU IRQNVL\RQ YHULOLU YH x, y ve z t VHUEHVWGH÷LúNHOHULQLQKHUELULQLQ|UQH÷LQELU SDUDPHWUHVLQHED÷OÕIRQNVL\RQODUROGX÷XNDEXO HGLOLUVHEXGXUXPGDLOHYHULOHQ]LQFLUNXUDOÕ dg df ∂f dx ∂f dy ∂f dz = = + + dt dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt (16) ELoLPLQGHJHQLúOHWLOHELOLU Son olarak, g = f ( x, y, z ) fonksiyonunda x, y ve z GH÷LúNHQOHULQLQKHUELULQLQ u ve v’nin birer IRQNVL\RQXROGX÷XQXNDEXOHGHOLP x = x(u , v), y = y (u , v), z = z (u , v) . Bu durumda, f’nin, u ve v¶\HJ|UHNÕVPLWUHYOHUL 108 dg df ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z , = = + + du du ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z ∂u (17a) dg df ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z + + = = dv dv ∂x ∂v ∂y ∂v ∂z ∂v (17b) olur. Örnek 4. x 2 + y 2 + 2 xy = 0 NDSDOÕIRQNVL\RQXLoLQ Çözüm. f ( x, y ) = x 2 + y 2 + 2 xy dy / dx türevini bulunuz. WDQÕPODPDVÕQÕ\DSDUVDN f dy 2x + 2 y =− x =− = −1 dx fy 2 y + 2x elde ederiz. 3.6. Tam Diferansiyel D ⊂ R 2 E|OJHVLQGH WDQÕPOÕ z = f ( x, y ) fonksiyonu verilsin. z’nin, x ve y¶H J|UH NÕVPL WUHYOHUL WDQÕPOÕ YH VUHNOL ROVXQODU x ve y GH÷LúNHQOHULQH VÕUDVÕ\OD h ve k DUWPDODUÕ artmaPLNWDUÕ ∆z olsun. Buna göre, z YHULOGL÷LQGH ED÷OÕGH÷LúNHQLQGHRUWD\DoÕNDQ ∆z = f ( x + h, y + k ) − f ( x, y ) (1) ∆z = f ( x + h, y + k ) − f ( x, y + k ) + f ( x, y + k ) − f ( x, y ) (2) veya \D]DELOLUL] (úLWOL÷LQ VD÷ WDUDIÕQGDNL LON LNL YH VRQ LNL WHULP NHQGL DUDODUÕQGD JUXSODQGÕUÕOÕU YH ELUGH÷LúNHQOLIRQNVL\RQODUGDWDQÕPODQDQ diferansiyelKHVDEÕQRUWDODPDGH÷HUWHRUHPL dikkate DOÕQÕUVD f ( x + h, y + k ) − f ( x, y + k ) = hf x ( x + θ 1 h, y + k ), f ( x, y + k ) − f ( x, y ) = kf y ( x, y + θ 2 k ), \D]ÕODELOLU 0 <θ2 <1 0 < θ1 < 1 (3a) (3b) f x ve f y NÕVPL WUHYOHULQLQ VUHNOL ROPDVÕ QHGHQL ve sonlu artmalar teoremi JHUH÷LQFH f x ( x + θ1h, y + k ) = f x ( x, y ) + ε 1 (4a) f y ( x , y + θ 2 k ) = f y ( x, y ) + ε 2 (4b) yazabiliriz (burada, ε 1 ve ε 2 , h ve kLOHELUOLNWHD\QÕ]DPDQGDVRQVX]NoNLNLQLFHOLNWLU2 KDOGHED÷ÕQWÕVÕ ∆z = hf x ( x, y ) + kf y ( x, y ) + ε 1 h + ε 2 k (5) 109 olur. ε1h ve ε 2 k niceliklerinin, h ve k¶\D J|UH LNLQFL GHUHFHGHQ VRQVX] NoN GH÷HUOHU ROGXNODUÕQD 7DQÕP dikkat edilmelidir. hf x ( x, y ) + kf y ( x, y ) QLFHOL÷LQH ∆z ¶QLQDVDOGH÷HULdenir. . D ⊂ R 2 E|OJHVLQGH WDQÕPOÕ z = f ( x, y ) fonksiyonu verilsin. z’nin, x ve y’e göre NÕVPLWUHYOHULWDQÕPOÕYHVUHNOLROVXQODU DUWPDPLNWDUODUÕ dx ve dyVÕUDVÕ\ODx ve yVHUEHVWGH÷LúNHQOHULQGHNL olmak üzere dz = f x ( x, y )dx + f y ( x, y )dy (7) ifadesine, z = f ( x, y ) fonksiyonunun tam diferansiyeli denir. ED÷ÕQWÕVÕQGD h=dx ve k=dyDOÕQÕUYHWDPGLIHUDQVL\HOLLOHNDUúÕODúWÕUÕOÕUVD ∆z = dz + ε 1 h + ε 2 k (8) elde edilir. O halde, tam diferansiyel fonkVL\RQGDNL DUWPD PLNWDUÕ GH÷LO IDNDW RQD oRN \DNÕQ ELUGH÷HUGLU ε 1h → 0 ve ε 2 k → 0 ROGX÷XQDGLNNDWHGLQL]). Örnek 1. z = xy ln( x + y ) fonksiyonunun tam diferansiyelini bulunuz. Çözüm. xy xy dz = y ln( x + y ) + dx + x ln( x + y ) + dy x + y x + y Örnek 2. z = arctan(xy ) fonksiyonunun tam diferansiyelini bulunuz. Çözüm. dz = y x ydx + xdy dx + dy = 2 2 2 2 1+ x y 1+ x y 1+ x2 y 2 Örnek 2. z = e x / y fonksiyonunun tam diferansiyelini bulunuz. Çözüm. dz = 1 x/ y x ex/ y e dx − 2 e x / y dy = 2 [ydx − xdy ] y y y 110 3.7. Tam DiferansiyelLQ*HRPHWULN$QODPÕ z = f ( x, y ) fonksiyonu ile verilen bir E s yüzeyini GLNNDWH DODOÕP Bu yüzeye, üzerindeki bir N 0 ( x0 , y0 , z 0 ) QRNWDVÕQGDWH÷HWRODQ ET düzlemiùHNLO, Z = F ( x, y ) = f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y 0 )( y − y0 ) + z 0 denklemi ile verilir. Burada, M ( x, y, F ( x, y )) düzleminin, N ( x, y, f ( x, y )) ( x, y ) = ( x 0 , y 0 ) QRNWDVÕQGDQ GH÷LúNHQ QRNWDVÕ ROPDVÕ GXUXPXQGD GH÷LúNHQ QRNWDVÕ (1) , söz konusu ET ise E s \]H\LQLQ QRNWDODUÕQÕ WHPVLO HWsinler. , Z = z 0 RODFD÷Õ DoÕNWÕU (÷HU, xy-düzleminde, ( x0 , y0 ) x = x0 + dx ve y = y0 + dy ile verilen bir ( x0 + dx, y 0 + dy ) GH÷LúWLULOLUVH EX GXUXPGD QRNWDVÕQGDNL NRWX WH÷HW , dz = Z − z 0 IDUNÕ ET WH÷HW QRNWDVÕQD \HU düzleminin, ( x0 + dx, y 0 + dy ) xy-G]OHPLQH J|UH \NVHNOL÷L LOH E s yüzeyinin, ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQGDNL z0 = f ( x0 , y0 ) NRWXDUDVÕQGDNLNRWIDUNÕQÕYHULU ∆z = z − z 0 IDUNÕ ise E s \]H\LQLQVÕUDVÕ\OD ( x, y ) ve ( x0 , y0 ) QRNWDODUÕQGDNL NRW IDUNÕGÕU ùHNLO ¶GHQ DQODúÕODFD÷Õ ]HUH dx → 0 ve dy → 0 durumunda ( z − z0 ) = ∆z → dz = ( Z − z0 ) olur. Bu NRúXOODU DOWÕQGD (1) denklemini yeniden dz = f x ( x0 , y0 ) dx + f y ( x0 , y0 )dy (2) biçiminde yazabiliriz. O halde, z = f ( x, y ) fonksiyonunun, ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQGDNL tam diferansiyelini, geometrik olarak, z = f ( x, y ) yüzeyine, üzerindeki ( x0 , y0 , z 0 ) QRNWDVÕQGDQ 111 çizilen WH÷HW G]OHPLQ ( x0 + dx, y 0 + dy ) QRNWDVÕQGDNL NRWX LOH z = f ( x, y ) yüzeyinin, ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQGDki z0 = f ( x0 , y0 ) NRWXDUDVÕQGDNLIDUNúHNOLQGHLIDGHHGHELOLUL] dx → 0 ve dy → 0 ROPDVÕGXUXPXQGD\DQLVHUEHVWGH÷LúNHQOHUGHNLDUWPDODUÕQGH÷LúLPOHULQ) oRN oRN NoN ROPDVÕ GXUXPXQGD , dz → f ( x0 + dx, y0 + dy ) − f ( x0 , y0 ) = ∆z RODFD÷Õ DoÕNWÕr. Bundan yararlanarak, VHUEHVW GH÷LúNHQOHU ]HULQGH RUWD\D oÕNDQ NoN KDWDODUÕQ, z ED÷OÕ GH÷LúNHQLQGH RUWD\D oÕNDUDFDNODUÕ \DUGÕPÕ\OD\DNODúÕNRODUDNKHVDSOD toplam hata\Õ (2) ile verilen tam diferansiyel formülü yabiliriz 3.8+DWD+HVDEÕ z = f ( x, y ) fonksiyonu verilsin. x ve y VHUEHVW GH÷LúNHQOHULQLQ GH÷HUOHUL ∆x ve ∆x hata ile belli ise zED÷OÕGH÷LúNHQLQGHRUWD\DoÕNDFDNKDWDWDPGLIHUDQVL\HOGHQ\DUDUODQÕODUDN\DNODúÕN olarak ∆ε z = ∆z ≅ dz = f x ( x0 , y0 )dx + f y ( x0 , y0 )dy ≤ f x ( x0 , y0 ) ∆x + f y ( x0 , y0 ) ∆y (1) ifadesi ile bulunabilir. Örnek 1 %LU GLNG|UWJHQLQ NHQDU X]XQOXNODUÕ ± 2 mm hata ile 12 cm ve 9 cm olarak |OoOPúWU'LNG|UWJHQLQDODQÕQÕKDWDVÕ\ODELUOLNWHEHOLUWLQL] Çözüm'LNG|UWJHQLQNHQDUX]XQOXNODUÕQÕx ve y ile gösterirsek alan fonksiyonu A = f ( x, y ) = xy olur. x0 = 12 ve y0 = 9 DOÕQÕUVD A = f (12, 9) = 12 × 9 = 108 FP elde edilir.ùLPGLGHDODQKDWDVÕQÕKHVDSOD\DOÕP. A¶QÕQWDPGLIHUDQVL\HOLDOÕQÕUVD dA = ydx + xdy olur. Buna göre, hata formülünden ∆ε z = ∆A ≅ dA = y0 dx + x0 dy ≤ y0 ∆x + x0 ∆y elde ederiz. ∆x = ∆y = 0.2 FP ROGX÷XQGDQ ∆A ≤ 9 × 0.2 + 12 × 0.2 = 4.2 FP olur. O halde,V|]NRQXVXGLNG|UWJHQLQDODQÕLoLQ 112 A = 108 ± 4.2 FP yazabiliriz. 3.9. Gradiyent Teorem 1. z = f ( x, y ) IRQNVL\RQX WDQÕP NPHVLQLQ ELU ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQGD WUHYOHQHELOLU G G G ise, bu noktada her u 0 = α i + β j birim vektörü GR÷UXOWXsunda da GR÷UXOWXWUHYLYDUGÕUYHEX türev DuG0 f ( x0 , y0 ) = αf x ( x0 , y0 ) + βf y ( x0 , y0 ) (1) dir. øVSDW . Kesim 3.6’nin (1) ve (5) formüllerinde h = αt ve k = β t DOÕQÕUVD DuG0 f ( x0 , y0 ) = lim t →0 f ( x0 + α t , y 0 + β t ) − f ( x 0 , y 0 ) t (2) ya da DuG0 f ( x0 , y0 ) = lim [ f ( x0 + α t , y 0 + β t ) − f ( x0 , y 0 + β t ) ]− [ f ( x0 , y 0 + β t ) − f ( x0 , y 0 ) ] t →0 yazabiliriz. t 'LIHUDQVL\HO KHVDEÕQ RUWDODPD GH÷HU YH VRQOX DUWPDODU WHRUHPOHUL E (3) irlikte J|]|QQHDOÕQÕUVDEN].HVLPDEDYHEIRUPOOHUL α tf x ( x0 , y0 ) + αε 1t + β tf y ( x0 , y0 ) + βε 2 t t →0 t DuG0 f ( x0 , y0 ) = lim ya da DuG0 f ( x0 , y0 ) = α f x ( x0 , y0 ) + β f y ( x0 , y0 ) + lim(αε1 + βε 2 ) t →0 ED÷ÕQWÕVÕ HOGH HGLOLU (4) t → 0 GXUXPXQGDVD÷ WDUDIWDNL OLPLWLQ GHVÕIÕUD JLGHFH÷LQL ELOL\RUXz. Bu QHGHQOHED÷ÕQWÕVÕQÕ DuG0 f ( x0 , y0 ) = α f x ( x0 , y0 ) + β f y ( x0 , y0 ) (5) ELoLPLQGH\D]DELOLUL]%|\OHFHLVSDWWDPDPODQPÕúROXU 7DQÕP 1 (Gradiyent). ED÷ÕQWÕVÕQÕQYHNW|UHOJ|VWHULPL [ G G ][ G G DuG0 f ( x0 , y0 ) = f x ( x0 , y0 ) i + f y ( x0 , y0 ) j α i + β j 113 ] (6) GLNNDWHDOÕQGÕ÷ÕQGDRUWD\DoÕNDQ ∂ G ∂ i + ∂y ∂x G j f ( x0 , y0 ) ifadesine, z = f ( x, y ) fonksiyonunun, ( x0 , y 0 ) QRNWDVÕQGDNLJUDGL\HQWLGHQLUYH G ∇f ( x0 , y 0 ) = G G ∂f ( x0 , y 0 ) G ∂f ( x0 , y0 ) G i+ j = f x ( x0 , y 0 ) i + f y ( x 0 , y 0 ) j ∂x ∂y (7) G úHNOLQGHJ|VWHULOLUEXUDGD ∇f ifadesi “nabla f ” biçiminde okunur). BunDJ|UHED÷ÕQWÕVÕQÕJUDGL\HQWWDQÕPÕQÕGLNNDWHDODUDN G G DuG0 f ( x0 , y0 ) = u 0 ∇f ( x0 , y 0 ) úHNOLQGH\D]DELOLUL] (8) G O halde, bir z = f ( x, y ) fonksiyonunun, ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQGDYH u0 birim YHNW|U GR÷UXOWXVXQGDNL GR÷UXOWX WUHYL IRQNVL\RQXQ EX QRNWDGDNL JUDGL\HQWL LOH YHNW|UQQ VNDOHU oDUSÕPÕQD HúLWWLU G u0 birim G Gradiyent vektörü ile u0 ELULP YHNW|U DUDVÕQGDNL DoÕ\Õ θ ile gösterirsek, skaleroDUSÕPWDQÕPÕQGDQ G G DuG0 f ( x0 , y0 ) = ∇f ( x0 , y 0 ) u 0 cosθ (9) yazabiliriz. Buna göre, z = f ( x, y ) fonksiyonunun GR÷UXOWX WUHYOHULQLQ HQ E\N GH÷HUOLVL G θ = 0 için elde edilir ki, bu da ∇f veNW|UGR÷UXOWXVXQdaki GR÷UXOWXtürevidir. %DúNDGH÷LúOH G z = f ( x, y ) fonksiyonu, HQ KÕ]OÕ, ∇f YHNW|U GR÷UXOWXVXQGD GH÷LúPHNWHGLU %HQ]HU RODUDN G z = f ( x, y ) IRQNVL\RQXQXQ HQ \DYDú GH÷LúLP J|VWHUGL÷L GR÷UXOWX LVH − ∇f vektörü ( θ = π ) yönündedir. 7DQÕP 2 . ho GH÷LúNHQOL IRQNVL\RQODUÕQ JUDGL\HQWL ho GH÷LúNHQOL ELU g = f ( x, y , z ) fonksiyonunun gradiyenti G G G G ∇ g = ∇ f ( x0 , y 0 , z 0 ) = ∂f ( x0 , y0 , z 0 ) G ∂f ( x0 , y0 , z0 ) G ∂f ( x0 , y0 , z0 ) G i + j+ k ∂x ∂y ∂z (10a) ya da G G G ∇g = ∇f ( x0 , y0 , z 0 ) = f x ( x0 , y 0 , z 0 )i + f y ( x0 , y0 , z 0 ) j + f z ( x0 , y 0 , z 0 )k (10b) . úHNOLQGHWDQÕPODQÕU G Örnek 1. z = x 2 y yüzeyinin P QRNWDVÕQGD YH A(3, 4) \|QQGHNL GR÷UXOWX WUHYLQLQ GH÷HULQLEXOXQX] 114 G G 3 4 Çözüm. A(3, 4) yönündeki birim vektör u 0 ( , ) ve z = f ( x, y ) = x 2 y fonksiyonunun 5 5 gradiyenti G G G ∇f = 2 xy i + x 2 j dir. Gradiyentin PQRNWDVÕQGDNLGH÷HULKHVDSODQÕUVD G G G ∇fP = 2 i + j G elde edilir. O halde, PQRNWDVÕQGDYH A(3, 4) \|QQGHNLGR÷UXOWXWUHYL G G G G 3G 4 G 6 4 DuG0 f (1, 1) = ∇f p u 0 = (2 i + j )( i + j ) = + = 2 5 5 5 5 olur. Örnek 2. z = 2 x + 3 y yüzeyinin, ox-ekseni ile 30o DoÕ \DSDQ GR÷UXOWXGDNL WUHYLQL YH EX türevin PQRNWDVÕQGDNLGH÷HULQLEXOXQX] Çözüm. ox-ekseni ile 30o DoÕ \DSDQ GR÷UXOWXGDNL ELULP YHNW|U G u0 ( 3 1 , ) ’dir. 2 2 z = f ( x, y ) = 2 x + 3 y fonksiyonunun gradiyenti G G G ∇f = 2 i + 3 j G ve u 0 ( 3 1 , ) \|QQGHNLGR÷UXOWXWUHYLLVH 2 2 G G G G DuG0 f ( x, y ) = ∇f u 0 = (2 i + 3 j )( 3G 1 G 3 i + j) = 3 + 2 2 2 G olup sabittir. Yani, z = f ( x, y ) = 2 x + 3 y fonksiyonunun, u 0 ( 3 1 , ) yönündeki türevleri, 2 2 IRQNVL\RQXQ WDQÕP NPHVLQLQ KHU \HULQGH D\QÕ GH÷HUGHGLU %X GD IRQNVL\RQXQ EHOLUWWL÷L \]H\LQELUG]OHPROPDVÕQGDQND\QDNODQPDNWDGÕU Teorem 2 (÷HU z = f ( x, y ) IRQNVL\RQX WDQÕP NPHVLQLQ ELU ( x0 , y 0 ) QRNWDVÕQGD diferansiyellenebilirse ve f ( x0 , y0 ) , z = f ( x, y ) IRQNVL\RQXQ ELU \HUHO HNVWUHPXP GH÷HUL LVH bu durumda G ∇f ( x0 , y 0 ) = 0 olur. 115 øVSDW . z = f ( x, y ) fonksiyonu, ( x0 , y 0 ) noktada sürekli ve QRNWDVÕQGD GLIHUDQVL\HOOHQHELOLU ROGX÷XQGDQ EX KHU GR÷UXOWXGD GR÷UXOWX WUHYLQH VDKLSWLU (÷HU f ( x0 , y0 ) , bir yerel G ekstremum ise, herhangi bir u0 (α , β ) ELULPYHNW|UGR÷UXOWXVXQGDNLGR÷UXOWXWUHYL DuG0 f ( x0 , y0 ) = lim t →0 f ( x 0 + α t , y 0 + β t ) − f ( x0 , y 0 ) =0 t ROPDOÕGÕU %XUDGDQ |]HO RODUD (11) G G k u 0 (1,0) GR÷UXOWXVX LoLQ f x ( x0 , y0 ) = 0 , u 0 (0,1) GR÷UXOWXVX için de f y ( x0 , y0 ) = 0 HOGH HGLOLU %|\OHFH JUDGL\HQW WDQÕPÕ JHUH÷LQFH \HUHO HNVWUHPXP QRNWDVÕQGD G ∇f ( x0 , y 0 ) = 0 (12) olur. 7HRUHP 2UWDODPD GH÷HU WHRUHPL . z = f ( x, y ) fonksiyonu, bir D bölgesinin her QRNWDVÕQGDVUHNLNÕVPLWUHYOHUHVDKLSYH P0 , P1 ∈ D QRNWDODUÕQÕELUOHúWLUHQGR÷UXQXQWDPDPÕ D bölgesinde olsun. Bu durumda G G G G G f ( P1 ) − f ( P0 ) = ∇f ( P∗ )( P1 − P0 ) RODFDNúHNLOGHELU øVSDW P∗ ∈ D QRNWDVÕYDUGÕU . P0 = ( x0 , y 0 ) QRNWDVÕQÕ P1 = ( x1, y1 ) QRNWDVÕQD ELUOHúWLUHQ [P0 P1 ] GR÷UX SDUoDVÕQÕQ denklemi, t ∈ [0, 1] olmak üzere, x − x0 y − y0 = =t x1 − x0 y1 − y 0 (13) dir. Buradan, [P0 P1 ] GR÷UXSDUoDVÕQÕQ parametrik denklemleri olarak x = x0 + t ( x1 − x0 ) = h(t ) t ∈ [0, 1] y = y0 + t ( y1 − y0 ) = g (t ), (14) yazabiliriz. Böylece, z = f ( x, y ) ≡ f (h(t ), g (t )) = F (t ) úHNOLQGHWHNGH÷LúNHQNLELU (15) F (t ) foQNVL\RQXWDQÕPOD\DELOLUL] Burada G F (0) = f (h(0), g (0)) = f ( P0 ) (16) G F (1) = f (h(1), g (1)) = f ( P1 ) 116 RODFD÷Õ NROD\FD J|UOU [0,1] DUDOÕ÷ÕQGD f ( x, y ) fonksiyonu D bölgesinde ve h(t) ve g(t IRQNVL\RQODUÕ GD WUHYOHQHELOLU ROGXNODUÕQGDQ türevlenebilirdir. Böylece, τ ∈ [0,1] F(t) fonksiyonu da [0,1] DUDOÕ÷ÕQGD ROPDN ]HUH WHN GH÷LúNHQOL IRQNVL\RQODUGD RUWDODPD GH÷HUWHRUHPLJHUH÷LQFH F (1) − F (0) = F ′(τ )(1 − 0) = F ′(τ ) (17) \D]ÕODELOLU=LQFLUNXUDOÕJHUH÷LQFH dF ∂f dx ∂f dy + = dt ∂x dt ∂y dt (18) RODFD÷ÕQGDQ dF (τ ) = f x (τ )( x1 − x0 ) + f y (τ )( y1 − y0 ) dt (19) x∗ = x0 + τ ( x1 − x0 ) (20a) y∗ = y 0 + τ ( y1 − y0 ) (20b) olur. ve ED÷ÕQWÕODUÕ LOH WDQÕPODQDQ P∗ ( x∗ , y∗ ) QRNWDVÕ P0 ¶Õ P1 ¶H ELUOHúWLUHQ GR÷UX ]HULQGHGLU YH EX nedenle P∗ ( x∗ , y∗ ) ∈ D ¶GLU%|\OHFHED÷ÕQWÕVÕQÕQHúGH÷HULRODUDN G G G F ′(τ ) = ∇f ( P∗ )( P1 − P0 ) (21) ED÷ÕQWÕVÕQÕYHED÷ÕQWÕODUÕ\DUGÕPÕ\ODGD G G G G G f ( P1 ) − f ( P0 ) = ∇f ( P∗ )( P1 − P0 ) (22) elde ederiz. Örnek 3. f ( x, y ) = e x + y fonksiyonu veriliyor. P0 (0,1) ve P1 (1,2) QRNWDODUÕDUDVÕQGD G G G f ( P1 ) − f ( P0 ) G G ∇f ( P∗ ) = ( P1 − P0 ) RODFDNúHNLOGHELU P∗ ( x∗ , y∗ ) QRNWDVÕEXOXQX] Çözüm. t ∈ [0,1] olmak üzere, P0 (0,1) ve P1 (1,2) QRNWDODUÕQÕ ELUOHúWLUHQ GR÷UX SDUoDVÕQÕQ parametrik denklemleri x = 0 + t (1 − 0) = t = h(t ) y = 1 + t (2 − 1) = t + 1 = g (t ), t ∈ [0,1] 117 F (t ) = f (h(t ), g (t )) = e 2t +1 , t ∈ [0,1] fonksiyonunda G G F (0) = e = f ( P0 ) ve F (1) = e 3 = f ( P1 ) olur. %XQD J|UH WHN GH÷LúNHQOL F(t IRQNVL\RQX LoLQ RUWDODPD GH÷HU WHRUHPLQGHQ τ ∈ [0,1] olmak üzere F (1) − F (0) = F ′(τ ) ⇒ e 3 − e = 2e 2τ +1 ⇒ τ = ln e2 −1 2 elde ederiz. O halde, x∗ = h(τ ) = ln e2 −1 e2 −1 , y∗ = g (τ ) = 1 + ln 2 2 ve aranan nokta da e2 −1 e2 −1 ,1 + ln ) 2 2 P∗ ( x∗ , y∗ ) = (ln olur. Bu nokta için G K f ( P1 ) − f ( P 2 ) = e 3 − e ve 1+2 ln ∇f ( P∗ )( P1 − P0 ) = e G G G 1+ 2 ln = 2e e 2 −1 G 2 1+ 2 ln i +e e2 −1 2 = 2ee 2 ln e2 −1 2 G G G j (i + j ) e 2 −1 2 e −1 = e3 − e 2 G K = f ( P1 ) − f ( P2 ) = 2e 2 elde edilir. .DSDOÕ)RQNVL\RQODUGD7 ürev n-GH÷LúNHQOL ELU NDSDOÕ IRQNVL\RQ f ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0 úHNOLQGH WDQÕPODQÕU Burada YHUPH\HFH÷L miz “YDUOÕN WHRUHPOHUL”, LVSDWÕQÕ KDQJL NRúXOODU VD÷ODQGÕ÷ÕQGD ELU NDSDOÕ IRQNVL\RQXQ GH÷LúNHQOHULQGHQELULQLQGL÷HUOHULQLQIRQNVL\RQXRODUDN\D]ÕODELOHFH÷LQLRUWD\DNR\DUODU 118 Teorem 1 *HQHO YDUOÕN WHRUHPL . D ⊂ R n bir DoÕN E|OJH WDQÕPODQDQ YH ELULQFL PHUWHEHGHQ EWQ NÕVPL WUHYOHUL GH÷LúNHQOLELUNDSDOÕIRQNVL\RQ ise , f, f ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0 úHNOLQGH D bölgesinde sürekli olan, n- , N c ( xi 0 ) , xi 0 ¶ÕQELUcNRPúXOX÷X Nδ ( x10 ,..., xn −1,0 , xn +1,0 ,...xn 0 ) ( x10 ,..., xn −1,0 , xn +1,0 ,...xn 0 ) ∈ R n −1 QRNWDVÕQÕQ bir δ -NRPúXOX÷X ROVXQ (÷HU P0 = ( x10 , x20 ,..., xn 0 ) ∈ D için, f ( x10 , x20 ,..., xn 0 ) = 0 ve f xi ( x10 , x20 ,..., xn 0 ) ≠ 0 oluyorsa bu durumda, xi 0 = g ( x10 ,..., xn −1,0 , xn +1,0 ,...xn 0 ) ∈ N c ( xi 0 ) RODFDN úHNLOGH W ek bir xi 0 = g ( x10 ,..., xn −1,0 , xn +1,0 ,...xn 0 ) fonksiyonu bulunabilir. Yani, xi 0 = g ( x10 ,..., xn −1,0 , xn +1,0 ,...xn 0 ) fonksiyonu, f ( x1 , x2 ,..., xn ) = 0 fonksiyonunun, xi 0 ’a göre çözümüdür. %XQGDQVRQUDNLNÕVÕPODUGDDUWÕNYDUOÕNWHRUHPL\OHLOJLOHQPH\HFHNIDNDWNDSDOÕELoLPGHYHULOHQ , , ELU IRQNVL\RQXQ KHUKDQJL ELU GH÷LúNHQLQLQ RODQDNOÕ ROPDVÕ GXUXPXQGD GL÷HU GH÷LúNHQOHU FLQVLQGHQLIDGHVLQLYHNÕVPLWUHYOHULQLDUDúWÕUDFD÷Õ] 3.10.1. øNL'H÷LúNHQOL.DSDOÕ)RQNVL\RQ Bu, daha önce, Kesim 3.5’deki Teorem ¶GH YHULOPLúWL %XQD J|UH , f ( x, y ) = 0 NDSDOÕ fonksiyonundan x¶HJ|UHWUHYDOÕQÕUVD ∂f ∂f dy =0 + ∂x ∂y dx (1) ve buradan da, f y ≠ 0 olmak üzere, ∂f f dy = − ∂x = − x ∂f dx fy ∂y (2) elde edilir. Bu kural uygulanarak, GDKD \NVHN PHUWHEHGHQ WUHYOHU GH HOGH HGLOHELOLU ùLPGL f ( x, y ) = 0 NDSDOÕIRQNVL\RQXLoLQ LNLQFLPHUWHEHGHQ (1) formülünü fx + f y dy =0 dx 119 d2y türevini ifade edelim. Bunun için dx 2 úHNOLQGH\D]ÕS f xx + f xy x’e göre tekrar türetirsek dy dy dy d2y + ( f yx + f yy ) + f y 2 = 0 dx dx dx dx 2 f xx + 2 f xy ⇒ dy d2y dy + f yy + f y 2 = 0 dx dx dx d2y =− dx 2 f xx + 2 f xy dy dy + f yy dx dx fy 2 olur. Buradan, ED÷ÕQWÕVÕ\DUGÕPÕ\OD f y 2 f xx − 2 f x f y f xy + f x 2 f yy d2y = − dx 2 f y3 (3) elde edilir. Örnek 1. f ( x, y ) = x 2 + 2 xy = 0 NDSDOÕIRQNVL\RQXLoLQ y′ ve y′′ türevleriQLKHVDSOD\ÕQÕ] Çözüm. f x = 2 x + 2 y, f xx = 2, f y = 2 x, f yy = 0, f xy = 2 oOGX÷XQGDQ, f y = 2 x ≠ 0 olmak üzere, (2) formülünden y′ = − x+ y x 2 + xy − xy 1 =− =− =− , 2 −2 xy x x 2 (3) formülünden de d2y (2 x)2 × 2 − 2 × (2 x + 2 y ) × (2 x) × 2 + (2 x + 2 y )2 × 0 = − dx 2 (2 x)3 d2y 8 x 2 − 16 x( x + y ) x + 2 y x 2 + 2 xy = − = = =0 dx 2 8x3 x2 x3 elde edilir. 3.10.2. Üç De÷LúNHQOL.DSDOÕ)RQNVL\RQ f ( x, y, z ) = 0 úHNOLQGH o GH÷LúNHQOL ELU NDSDOÕ IRQNVL\RQXQ YHULOGL÷LQL YDUVD\DOÕP %D÷OÕ GH÷LúNHQ RODUDN f ( x, y , z ) = 0 NXOODQÕODELOLU z VHoLOLU YH H÷HU GL÷HUOHUL FLQVLQGHQ LIDGH HGLOHELOPHVL RODQDNOÕ ROXUVD NDSDOÕ fonksiyonu yerine, HúGH÷HUL RODUDN, z = g ( x, y ) úHNOLQGH ELU IRQNVL\RQ zED÷OÕx ve yVHUEHVWGH÷LúNHQOHUROPDN]HUH f ( x, y, z ) = 0 NDSDOÕIRQNVL\RQX x’e göre türetilirse 120 fx + fz ∂z =0 ∂x (1) ve buradan da, f z ≠ 0 olmak üzere, f ( x, y ) ∂z = g x ( x, y ) = − x f z ( x, y ) ∂x (2) elde edilir. Benzer olarak, y¶\HJ|UHWUHYDOÕQDUDNGD\LQH f z ≠ 0 olmak üzere, f y ( x, y ) ∂z = g y ( x, y ) = − f z ( x, y ) ∂y (3) elde edilir. Örnek 1. f ( x, y, z ) = x5 + y 5 − z 5 = 0 NDSDOÕ IRQNVL\RQX LoLQ z x = g x ( x, y ) ve z y = g y ( x, y ) NÕVPLWUHYOHULQLEXOXQX] Çözüm. (2) formülünden f ( x, y ) x 4 ∂z = g x ( x, y ) = − x = , f z ( x, y ) z 4 ∂x z≠0 ve (3) formülünden de f y ( x, y ) y 4 ∂z = g y ( x, y ) = − = , f z ( x, y ) z 4 ∂y z≠0 elde edilir. O halde, z ≠ 0 durumunda, zGH÷LúNHQLx ve yGH÷LúNHQOHULFLQVLQGHQo|]OHELOLU Bu \DSÕOÕUVD z = g ( x, y ) = 5 x5 + y 5 elde edilir. øNL'H÷LúNHQYHøNL%LOLQPL\HQOL.DSDOÕ)RQNVL\RQ6LVWHPL x ve y de÷LúNHQOHULLOHu ve vELOLQPL\HQOHULQGHQROXúDQ F ( x, y , u , v ) = 0 (1) G ( x, y , u , v ) = 0 GHQNOHPVLVWHPLYHULOPLúROVXQ%XUDGD u ve v bilinmiyenleri, x ve yGH÷LúNHQOHULQH u = f ( x, y ) v = g ( x, y ) úHNOLQGHED÷OÕROVXQODU (2) (1) sisteminden x¶HJ|UHWUHYDOÕQDUDN 121 Fu f x + Fv g x = − Fx (3) Gu f x + Gv g x = −Gx sistemini elde ederiz. (3) sisteminin, f x ve g x ’e göre bir çözüme sahip olabilmesi için NDWVD\ÕODUGHWHUPLQDQWÕQÕQVÕIÕUGDQIDUNOÕROPDVÕJHUHNLU J= Fu Gu Fv ≠ 0. Gv (4) NRúXOXVD÷ODQÕUVDVLVWHPLQLVD÷OD\DQ 7DQÕP-DFREL'HWHUPLQDQWÕ J= Yani, Fu Gu f x ve g x IRQNVL\RQODUÕWHNWUOEXOXQDELOLU . (4) formülü ile verilen Fv Gv GHWHUPLQHQWÕQD-DFRELGHWHUPLQDQWÕ-DFRELDQGHQLUYH J= ∂ ( F , G ) Fu = ∂ (u , v) Gu Fv (5) Gv úHNOLQGHJ|VWHULOLU J ≠ 0 ROPDVÕ GXUXPXQGD (3) sistemi, Cramer yöntemi ile çözülerek ve Jacobi GHWHUPLQDQWÕ J|VWHULPLNXOODQÕODUDN fx = − Fx Gx Fx Gv − Fv Gx J (4a) G Gx G F − Fx Gu 1 ∂( F , G) =− u =− x u J ∂ (u , x) J J (4b) 1 ∂( F , G) =− J ∂ ( x, v ) J Fu gx = − Fv Gv =− Fx olur.%HQ]HUúHNLOGHVLVWHPLQGHQy¶HJ|UHWUHYDOÕQDUDN da Fy fy = − G y Gv Fy Gv − Fv G y 1 ∂( F , G ) =− =− J ∂ ( y , v) J J Fu gy = − Fv Fy Gu G y G y Fu − Fy Gu 1 ∂( F , G) =− =− J ∂(u , y ) J J NÕVPLWUHYOHULH (5a) lde edilir. 122 (5b) Örnek 1. u + v = x2 + y 2 uv = xy Sistemi veriliyor. u = f ( x, y ) ve v = g ( x, y ) ROGX÷XQD J|UH f x , g x , f y ve g y NÕVPL türevlerini bulunuz. Çözüm. Denklem sistemini F ( x, y , u , v ) = u + v − x 2 − y = 0 G ( x, y, u , v) = uv − xy = 0 úHNOLQGH\D]DOÕP%XQDJ|UH-DFRELDQ J= Fu Fv Gu Gv = 1 1 = u−v v u dir. O halde, J = u − v ≠ 0 olmak üzere, (4a,b) ile (5a,b) forPOOHULX\JXODQÕUVD fx = − gx = − fy = − gy = − 1 ∂( F , G) =− J ∂ ( x, v ) 1 ∂( F , G ) =− J ∂ (u , x) 1 ∂( F , G) =− J ∂ ( y, v) 1 ∂( F , G) =− J ∂(u , y ) Fx Gx Fv Gv −2 x 1 − y u 2 xu − y =− = , u −v u −v Fx Gx 1 −2 x v −y y − 2 xv =− = , u −v u −v Fv Gv −2 y 1 −x u u − x , =− = u −v u −v Fy Gy 1 −2 y v −x x−v =− = u −v u −v J Fu Gu J Fy Gy J Fu Gu J elde edilir. ( x, y, u , v) = (1, −1,1, −1) QRNWDVÕ, verilen denklem sisteminin bir özel çözümü ve bu GH÷HUOHU LoLQ J=2 ( ≠ 0 ROGX÷XQGDQ u = f ( x, y ) ve v = g ( x, y ) IRQNVL\RQODUÕQÕQ FHELUVHO - LIDGHOHULQLELOPL\RUROPDPÕ]D UD÷PHQEXIRQNVL\RQODUÕQ QRNWDVÕQGDNLNÕVPL WUHYOHULQL kolayca hesaplayabiliriz. Buna göre, yXNDUÕGD EXOGX÷XPX] NÕVPL WUHY IRUPOOHULQGH x=1, y=-1, u=1, v=-1 alarak, 2 ×1×1 − (−1) 3 2 × (−1) ×1 − 1 = , = 0, fy = 1 − ( −1) 2 1 − (−1) −1 − 2 × 1× (−1) 1 1 − 2 × (−1) × (−1) = , gy = =1 gx = 1 − ( −1) 2 1 − ( −1) fx = 123 GH÷HUOHULQL HOGH HGHUL] GH÷HUL $UWÕN Bu durumda, |UQH÷LQ u = f ( x, y ) fonksiyonunun (1,- QRNWDVÕQGDNL u=f(1,-1)=1YHEXQRNWDGDNL NÕVPLWUHYOHULQLQ GH÷HUOHULGHVÕUDVÕ\OD fx=3/2, fy=0’dÕr. LNL GH÷LúNHQOL IRQNVL\RQODUÕQ VHUL DoÕOÕPÕQGDQ \DUDUODQÕODUDN u = f ( x, y ) fonksiyonunun, (1,- QRNWDVÕQÕQ NRPúXOX÷XQGDNL EDúND ELU QRNWDGD DODFD÷Õ GH÷HU \DNODúÕN olarak, hesaplanabilir. Bu durumu, LNLGH÷LúNHQOLELUNDSDOÕIRQNVL\RQ|UQH÷LLoLQJ|UHOLP Örnek 2. F ( x, y ) = x 2 y 3 − xy = 0 NDSDOÕ IRQNVL\RQX YHULOL\RU y = f ( x) ROGX÷XQD J|UH x = 1.1 için yGH÷HULQLEXOXQX] Çözüm. (x,y)=(1,1), verilen denklemin bir çözümüdür. Bu noktada Fy ≠ 0 ROGX÷XQGDQy’yi, x cinsinden y = f ( x) úHNOLQGH \D]DELOLUL] FLYDUÕQGD7D\ORUVHULVLQHDoÕODUDN f ( x) = f (1) + f ′(1)( x − 1) + (÷HU , F ( x, y ) = x 2 y 3 − xy = 0 y′ = f ′( x) = − O halde, y = f ( x) fonksiyonu, x=1 f(1.1¶LQ\DNODúÕNGH÷HULKHVDSODQDELOLU%XQDJ|UH f ′′(1) ( x − 1)2 + ... 2! x WDQÕPODPDVÕQÕ\DSDUYH ¶HJ|UHWUHYDOÕUVDN Fx 2 xy 3 − y =− 2 2 Fy 3x y − x elde ederiz. x¶HJ|UHELUNH]GDKDWUHYDOÕUVDN f ′′( x) = − olur. Böylece, x f (1) = 1, 2 y 3 (3 x 2 y 2 − x) − (6 xy 2 − 1)(2 xy 3 − y ) (3 x 2 y 2 − x)2 QRNWDVÕQGD 1 f ′(1) = − , 2 GH÷HUOHULQLHOGHHGHUL] Böylece, x f ′′(1) = 1 4 QRNWDVÕFLYDUÕQGDNL7D\ORUDoÕOÕPÕ 1 1 f ( x) = 1 − ( x − 1) + ( x − 1) 2 + ... 2 8 olur. Buradan, LNLQFLPHUWHEHGHQ\DNODúÕNOD, 1 1 f ( x) ≅ 1 − ( x − 1) + ( x − 1) 2 2 8 alabiliriz. Buna göre f¶LQ\DNODúÕNGH÷HUL 1 1 f (1.1) ≅ 1 − × 0.1 + × (0.1)2 = 0.9513 2 8 dir. 124 QRNWDVÕ .RRUGLQDW'|QúPOHULYH7HUV)RQNVL\RQ %XUDGDGLNNRRUGLQDWVLVWHPOHULDUDVÕQGDNLG|QúPOHULGLNNDWHDODFD÷Õ] u, vNRRUWGLQDWODUÕ dik koordinat sisteminin bir DE|OJHVLQLQHOHPDQODUÕROVXQODU x = f (u , v ) y = g (u , v) (1) dönúP IRUPOOHUL LOH u, v) koortdinat sisteminden, (x, y NRRUWGLQDW VLVWHPLQH G|QúP \DSPÕú ROXUX] u, v QRNWDODUÕ uv-düzlemindeki bir D bölgesini tararken, (x, y QRNWDODUÕ GD xy-düzlemindeki bir C E|OJHVLQL WDUDUODU 2 KDOGH G|QúP IRUPOOHUL uv-düzleminin D bölgesini, xy-düzleminin C E|OJHVLQH G|QúWUPú ROXU %X QHGHQOH NRRUGLQDW G|QúPQH ³E|OJH G|QúP´ GH GHQLU %X úHNLOGH WDQÕPODQDQ E|OJH G|QúPQ T sembolü ile gösterirsek T : D → C ya da T : (u , v) → ( x, y ) = ( f (u , v), g (u , v )) yazabiliriz. 7DQÕP 7HUV G|QúP . T LOH YHULOHQ G|QúP IRUPOOHUL \DUGÕPÕ\OD uv-düzleminin bir D bölgesini, xy-düzleminin bir C - G|QúPQQ ROPDVÕ KDOLQGH G|QúWUHQE|OJHG|QúPQH E|OJHVLQH G|QúWUHQ E|OJH G|QúP ROVXQ T xy-düzleminin C bölgesini, uv-düzleminin D bölgesine TG|QúPQQWHUVLGHQLUYHT-1 ile gösterilir. Yani, T −1 : C → D T −1 : ( x, y ) → (u , v) dir. T ve T-1G|QúPOHULQL ( x, y ) = T (u , v) (2a) (u , v) = T −1 ( x, y ) (2b) úHNOLQGHGHLIDGHHGHELOLUL] ùLPGL R2¶GH WDQÕPOÕ ELU T G|QúPQQ WHUVLQLQ YDUOÕ÷Õ LoLQ JHUHN NRúXOX ELU WHRUHP LOH verelim. Teorem 1. (u,v NRRUGLQDWODUÕ D ⊂ R 2 DoÕN E|OJHVLQL WDQÕPODVÕQODU (÷HU x = f (u, v) ve y = g (u , v) IRQNVL\RQODUÕQÕQ ELULQFL PHUWHEHGHQ NÕVPL WUHYOHUL D bölgesinde sürekli ve -DFRELGHWHUPLQDQWÕVÕIÕU\DQL J= ∂( f , g ) ≠0 ∂ (u , v ) 125 ise T : (u , v) → ( x, y ) = ( f (u , v), g (u , v )) G|QúPQQWHUVLYDUGÕUYH T −1 : ( x, y ) → (u , v ) = (ϕ ( x, y ),ψ ( x, y )) (3) úHNOLQGHGLU%DúNDELUGH÷LúOHG|QúPIRUPOOHULQLQWHUVLH÷HUYDUVD u = ϕ ( x, y ) v = ψ ( x, y ) (4) úHNOLQGHGLU øVSDW . Teorem, J ≠ 0 ROPDVÕ KDOLQGH VLVWHPLQLQ u ve v’ye göUH o|]OHELOHFH÷LQL YH o|]POHULQELoLPLQGH RODFD÷ÕQÕLIDGHHWPHNWHGLUVLVWHPLLNLELOLQPL\HQOL u ve v), iki GHQNOHPGHQROXúDQELUVLVWHPGLUVLVWHPLQL F ( x, y , u , v) = f (u , v) − x = 0 G ( x, y, u , v) = g (u , v) − y = 0 (5) x ELoLPLQGH\HQLGHQ\D]ÕS ¶HJ|UHWUHYDOÕUVDN Fu u x + Fv vx = − Fx Gu u x + Gv vx = −Gx (5) GHQNOHP VLVWHPLQL HOGH HGHUL] ¶LQ WHN WUO o|]PQQ RODELOPHVL LoLQ NDWVD\ÕODU GHWHUPLQDQWÕ-DFRELGHWHUPLQDQWÕVÕIÕUGDQIDUNOÕ\DQL J= ∂ ( F , G ) Fu = ∂ (u , v) Gu Fv Gv ≠0 ROPDOÕGÕU NRúXOXQXQ VD÷ODQPDVÕ (6) ux ve vx NÕVPL WUHYOHULQLQ YDUOÕ÷ÕQÕ JDUDQWL HGHU %HQ]HU olarak, (1) sisteminden y¶\HJ|UHWUHYDOÕQDUDNGD Fu u y + Fv v y = − Fy Gu u y + Gv v y = −G y (7) GHQNOHP VLVWHPL HOGH HGLOLU YH NRúXOXQXQ VD÷ODQPDVÕ GXUXPXQGD uy ve vy NÕVPL türevleULQLQ YDUOÕ÷Õ GD JDUDQWLOHQPLú ROXU 6RQXo RODUDN NRúXOX u ve v IRQNVL\RQODUÕQÕQ ELULQFL PHUWHEHGHQ NÕVPL WUHYOHULQLQ HGHU %X LVH D\QÕ E|OJHGH IRQNVL\RQODUÕ D ⊂ R 2 E|OJHVLQGH YDUOÕ÷ÕQÕ YH VUHNOLOLNOHULQL JDUDQWL u ve v IRQNVL\RQODUÕQÕQ YDUOÕ÷Õ DQODPÕQD JHOLU 2 KDOGH u ve v x ve y¶\HED÷OÕRODUDN u = ϕ ( x, y ) v = ψ ( x, y ) (8) úHNOLQGH \D]ÕODELOLU $\UÕFD YH VLVWHPOHUL D\UÕ D\UÕ o|]OHUHN IRQNVL\RQODUÕQÕQNÕVPLWUHYOHUL 126 u(x,y) ve v(x,y) Fx G 1 ∂( F , G) ux = ϕ x = − =− x Fu J ∂ ( x, v ) Gu Fv −1 f v Gv 0 gv g =− = v Fv Fu Fv J Gv Gu Gv Fu G 1 ∂( F , G) vx = ψ x = − =− u Fu J ∂ (u , x ) Gu Fx Gx =− Fv Gv Fy uy = ϕ y = − vy = ψ y = − Gy 1 ∂( F , G) =− Fu J ∂ ( y , v) Gu Fu Gu 1 ∂( F , G ) =− Fu J ∂ (u , y ) Gu fu gu Fu Gu (9a) −1 0 g = u Fv J Gv (9b) 0 fv Gv −1 g v f =− = v Fv Fu Fv J Gv Gu Gv (9c) 0 −1 f = u Fv J Gv (9d) Fv Fy Gy fu g =− u Fv Fu Gv Gu úHNOLQGHHOGHHGLOHELOLU Örnek 1. T : x = f (u , v ) y = g (u , v) J ( J ≠ 0 ) ve Jacobi matrisi J T ; NRRUGLQDWG|QúPQQ-DFRELGHWHUPLQDQWÕ T′ : u = ϕ ( x, y ) v = ψ ( x, y ) WHUVNRRUGLQDWG|QúPQQ-DFRELGHWHUPLQDQWÕ J ′ ( J ′ ≠ 0 ) ve Jacobi matrisi J T ′ olsun. Bu LNLG|QúPQ-DFRELPDWULVOHULQLQELUELUOHULQLQWHUVL\DQL J T ′ = J T −1 ROGX÷XQXJ|VWHULQL] ÇözümYHED÷ÕQWÕODUÕQGDQ\DUDUODQDUDN T: x = f (u , v ) y = g (u , v) koordLQDWG|QúPQQ-DFRELGHWHUPLQDQWÕLoLQ J ≠ 0 YDUVD\Õ\RUX] 127 J= ∂ ( F , G ) Fu = ∂ (u , v) Gu Fv = Gv = fu gu fv x = u gv yu xv = yv = ∂ ( f , g ) ∂ ( x, y ) = ∂ (u , v) ∂ (u , v) yazabiliriz. O halde, Jacobi matrisi x JT = u yu xv yv olur. Benzer olarak, u = ϕ ( x, y ) v = ψ ( x, y ) G|QúPQQ-DFRELGHWHUPLQDQWÕ J ′ ( J ′ ≠ 0 YDUVD\Õ\RUX] J′ = ∂ (u , v) u f = ∂( f , g ) v f ug = vg = ∂ (u , v) u x = ∂ ( x, g ) vx uy ϕx ϕ y = vy ψ x ψ y ve Jacobi matrisi de ϕx ϕy JT ′ = ψ x ψ y olur. Buradan ϕ x ϕ y xu JT ′ ⋅ JT = ⋅ ψ x ψ y yu xv ϕ x xu + ϕ y yu ϕ x xv + ϕ y yv = yv ψ x xu + ψ y yu ψ x xv + ψ y yv elde edilir. u = ϕ ( x, y ) v = ψ ( x, y ) HúLWOLNOHULQLQ u ve v¶\HJ|UHWUHYOHULDOÕQÕUVD 1 = ϕ x xu + ϕ y yu ; 0 = ϕ x xv + ϕ y yv ; 0 = ψ x xu + ψ y yu ; 1 = ψ x xv + ψ y yv elde edilir. O halde, 1 0 JT ′ ⋅ JT = =I 0 1 yani, 128 J T ′ = J T −1 olur. 2 KDOGH WHUV G|QúPOHULQ -DFREL GHWHUPLQDQWODUÕ DUDVÕQGD GD J ⋅ J −1 = 1 ED÷ÕQWÕVÕ vardÕU Örnek 2. FLNLGH÷LúNHQOLIRQNVL\RQXYHULOL\RU F ( x + z, y − z) = 0 GHQNOHPL\OHWDQÕPODQDQ z = z ( x, y ) fonksiyonunun z x − z y = −1 GHQNOHPLQLVD÷ODGÕ÷ÕQÕJ|VWHULQL] Çözüm. F ( x + z , y − z ) = 0 denklemine u = x + z ve v = y − z G|QúPOHULQLX\JXODUVDN F (u , v) = 0 elde ederiz. Buradan, x ve y¶\HJ|UHWUHYDOÕQÕUVD dF ∂F ∂u ∂F ∂v = + =0 dx ∂u ∂x ∂v ∂x ve dF ∂F ∂u ∂F ∂v = + =0 dy ∂u ∂y ∂v ∂y ROXU'|QúPIRUPOOHULQ ∂u = 1 + zx , ∂x e göre ∂u = zy , ∂y ∂v = − zx , ∂x ∂v = 1− zy ∂y ROGX÷XQGDQ dF = Fu (1 + z x ) − Fv z x = 0 dx dF = Fu z y + Fv (1 − z y ) = 0 dy ROXU%XHúLWOLNOHUGHQ zx = − z x ve z y NÕVPLWUHYOHULoHNLOLUVH Fu , Fu − Fv zy = − Fv Fu − Fv elde edilir. Buradan da zx − z y = − Fu Fv F − Fu − (− )=− u = −1 Fu − Fv Fu − Fv Fu − Fv elde edilir. 129 Örnek 3. Dik koordinatlarda ∂u ∂v = ∂x ∂y ∂u ∂v =− ∂y ∂x ve HúLWOLNOHULQLVD÷OD\DQ x = r cosθ ; (*) u = u ( x, y ) ve v = v( x, y ) IRQNVL\RQODUÕYHULOL\RU y = r sin θ G|QúPIRUPOOHULLOHXoODNNRRUGLQDWODUDJHoLOGL÷LQGH ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂ 2u + + = 0, ∂r 2 r ∂r r 2 ∂θ 2 u ve vIRQNVL\RQODUÕQÕQKHUELULQLQ ∂ 2 v 1 ∂v 1 ∂ 2 v + + =0 ∂r 2 r ∂r r 2 ∂θ 2 GHQNOHPOHULQLVD÷OD\DFD÷ÕQÕJ|VWHULQL] Çözüm. ∂u ∂v ∂u ∂v = HúLWOL÷LQLQx’e göre = − HúLWOL÷LQLQGHy’e göre türevini alÕUVDN ∂x ∂y ∂y ∂x ∂ 2u ∂ 2 v ∂ 2u ∂ 2v ve = = − ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 ∂y∂x ve buradan da u fonksiyonu için ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = − ⇒ + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂x 2 ∂y 2 (**) GHQNOHPLQL HOGH HGHUL] %HQ]HU úHNLOGH HúLWOLNOHUL y GH÷LúNHQLQH J|UH WUHWLOLUVH v fonksiyonu için ∂ 2v ∂ 2v + =0 ∂x 2 ∂y 2 (***) denklemi elde edilir. x = r cosθ ; y = r sin θ NRRUGLQDWG|QúPOHULQGHQ rx = cosθ , x ve y¶HJ|UHWUHYOHUDOÕQDUDN ry = sin θ , ROGX÷X NROD\FD J|VWHULOHELOLU θx = − sin θ , r θy = cos θ , r≠0 r u = u ( x, y ) = u (r cosθ , r sin θ ) fonksiyonunun x’e göre türevi DOÕQÕUVD ∂u ∂u ∂r ∂u ∂θ = + ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂u sin θ ∂u = cos θ − = A. ∂r r ∂θ (****) ifadesi elde edilir. x¶HJ|UHELUNH]GDKDWUHYDOÕQÕUVD 130 ∂ 2u ∂A ∂r ∂A ∂θ = + ∂x 2 ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂ ∂u sin θ ∂u ∂ ∂u sin θ ∂u sin θ cos θ + cos θ (− ) = cos θ − − r ∂θ r ∂θ r ∂r ∂r ∂θ ∂r ∂ 2u 2sin θ cos θ ∂u sin 2 θ ∂u sin 2 θ ∂ 2u 2sin θ cos θ ∂ 2u = cos 2 θ 2 + + + 2 − r r ∂r r ∂θ 2 r ∂r ∂θ ∂θ∂r (*****) Bu kez, u = u ( x, y ) = u (r cosθ , r sin θ ) fonksiyonunun y’e göre iki kez türHYLDOÕQÕUVD ∂ 2u ∂ 2u 2sin θ cos θ ∂u cos 2 θ ∂u cos 2 θ ∂ 2u 2sin θ cos θ ∂ 2u 2 sin θ = − + + + r r ∂r r 2 ∂θ 2 r ∂y 2 ∂r 2 ∂θ ∂θ∂r LIDGHVLHOGHHGLOLU6RQLNLED÷ÕQWÕ (******) (***) ifadesinde yerine konursa ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂ 2u + + =0 ∂r 2 r ∂r r 2 ∂θ 2 v GHQNOHPLHOGHHGLOLU%HQ]HULúOHPOHU IRQNVL\RQXLoLQGH\DSÕODUDN ∂ 2 v 1 ∂v 1 ∂ 2 v + + =0 ∂r 2 r ∂r r 2 ∂θ 2 deQNOHPLHOGHHGLOLU%XGHQNOHPOHULQJHoHUOLROPDVÕLoLQ r ≠ 0 ROPDVÕJHUHNWL÷LDoÕNWÕU )RQNVL\RQHO%D÷ÕPOÕOÕN 7DQÕP . D ⊂ R 2 DoÕNE|OJHVLQGHWDQÕPOÕ u = f ( x, y ) ve v = g ( x, y ) IRQNVL\RQODUÕQÕQELULQFL PHUWHEHGHQNÕVPLWUHYOHUL D bölgesinde sürekli olsun. D′ = {(u , v) u ∈ f ( D), v ∈ g ( D)} ile D′ E|OJHVLQL WDQÕPOD\DOÕP (÷HU ∀( x, y ) ∈ D için, u ile v DUDVÕQGD ELULQFL PHUWHEHGHQ NÕVPLW revleri D′ bölgesinde sürekli olan ve F (u , v ) = 0 NRúXOXQXVD÷OD\DQELUF fonksiyonu varsa (bulunabilirse), u = f ( x, y ) ve v = g ( x, y ) IRQNVL\RQODUÕQD ³IRQNVL\RQHO ED÷ÕPOÕGÕU” denir. 7DQÕPD J|UH DUDODUÕQGD IRQNVL\RQODUÕQGDQ IRQNVL\RQHO ED÷ÕPOÕ x ve y yok edilerek, u ile v RODQ DUDVÕQGD u = f ( x, y ) F (u , v ) = 0 ve v = g ( x, y ) úHNOLQGH ELU LOLúNL EXOXQDELOLUùLPGLIRQNVL\RQHOED÷ÕPOÕOÕ÷ÕQJHUHNYH\HWHUNRúXOXQXELUWHRUHPLOHYHUHOLP 131 Teorem 1. D ⊂ R 2 DoÕNE|OJHVLQGH WDQÕPOÕYHELULQFLPHUWHEHGHQNÕVPLWUHYOHULEXE|OJHGH sürekli olan u = f ( x, y ) ve v = g ( x, y ) IRQNVL\RQODUÕQÕQ DUDODUÕQGD IRQNVL\RQHO ED÷ÕPOÕ ROPDODUÕLoLQJHUHNYH\HWHUNRúXO J= ∂(u , v) =0 ∂ ( x, y ) (1) ROPDVÕGÕU øVSDW %XUDGD WHRUHPLQ LVSDWÕ \DSÕOÕUNHQ ELULQFL PHUWHEHGHQ NÕVPL WUHYOHUL D′ = {(u , v) u ∈ f ( D), v ∈ g ( D)} bölgesinde sürekli olan, F (u , v) = 0 úHNOLQGHNL ELU LOLúNLQLQ YDUOÕ÷Õ RUWD\D NRQPDOÕGÕU .ÕVPL WUHYOHULQ YDUOÕ÷Õ F (u , v) = 0 IRQNVL\RQXQXQ GD YDUOÕ÷ÕQÕ garanti eder. a) Gereklilik: u = f ( x, y ) ve v = g ( x, y ) fonksiyonelED÷ÕPOÕROVXQODU2KDOGH ∀( x, y ) ∈ D için, u ile vDUDVÕQGD Fu ve Fv NÕVPLWUHYOHUL D′ E|OJHVLQGHVUHNOLRODFDNúHNLOGH F (u , v) = 0 (2) x ve y’ye göre türev alarak LOLúNLVLYDUGÕUGHQNOHPLQGHQ Fu u x + Fv vx = 0 Fu u x + Fv vx = 0 (3) sistemini elde ederiz. Burada Fu ve Fv ’ye bilinmeyenler ve u x ve u y ¶\H GH NDWVD\ÕODU gözüyle bakarsak, (3) sistemi Fu ve Fv ’ye göre bir lineer homojen sistemdir ve çözümünün RODELOPHVLLoLQNDWVD\ÕODUGHWHUPLQDQWÕQÕQVÕIÕUROPDVÕJHUHNLU J= ∂ (u , v ) u x = ∂ ( x, y ) v x uy vy = 0. (4) b) Yeterlilik: ∀( x, y) ∈ D için J= ∂ (u , v ) u x = ∂ ( x, y ) vx uy vy =0 ROGX÷XQXYDUVD\DUVDN-DFRELDQÕQVÕIÕUROGX÷XúXGXUXPODUÕLQFHOHPHPL]JHUHNLU i) u x = u y = vx = v y = 0 durumu. Bu durumda u = c1 ve v = c2 ELUHUVDELWIRQNVL\RQODUGÕUYH F (u , v ) = u + kv = c1 + kc2 = 0 (5) 132 RODFDN úHNLOGH ELU k ∈ R YDUGÕU YH GROD\ÕVÕ\OH u = f ( x, y ) ve v = g ( x, y ) fonkVL\RQODUÕ DUDODUÕQGDIRQNVL\RQHOED÷ÕPOÕGÕU ii) u x = u y = 0 ve vx = v y ≠ 0 durumu Bu durumda, u, u = c úHNOLQGH ELU VDELW IRQNVL\RQGXU YH VDELW IRQNVL\RQODU KHU IRQNVL\RQOD ED÷ÕPOÕGÕU%XGXUXPGD u ile vDUDVÕQGDNLLOLúNL u F (u , v) = v(1 − ) = 0 c úHNOLQGHGLU ux = u y ≠ 0 iii) u x = u y ≠ 0 Bu durumda, ve (6) ve vx = v y = 0 GXUXPXEHQ]HUúHNLOGHGH÷HUOHQGLULOHELOLU vx = v y ≠ 0 durumu LNL VWQX D\QÕ |÷HOHUGHQ ROXúDFD÷ÕQGDQ -DFRELDQ VÕIÕU ROXU PHUWHEHGHQ NÕVPL WUHYOHULQLQ HúLW ROPDVÕ u ve v’nin birinci x ve y’nin birinci mertebeden ve simetrik IRQNVL\RQODUÕ ROGXNODUÕ DQODPÕQD JHOLU %|\OH LNL IRQNVL\RQ GDLPD IRQNVL\RQHO ED÷OÕGÕU gUQH÷LQ u = tan( x + y ) ve v = ln( x + y) ise F (u , v ) = arctan u − ev = 0 olur. iv) u x = vx ≠ 0 ve u y = v y ≠ 0 durumu Bu durumda, LNLVDWÕUÕD\QÕ|÷HOHUGHQROXúDFD÷ÕQGDQ-DFRELDQVÕIÕUROXU.ROD\FDDQODúÕODFD÷Õ u ve vHúLWIRQNVL\RQODUGÕUYHDUDODUÕQGD ]HUHEXNRúXOODUDOWÕQGD F (u , v ) = u − v = 0 (7) IRQNVL\RQHOLOLúNLVLVQL\D]DELOLUL] v) u x ve u y NÕVPLWUHYOHULQGHQHQD]ELULQLQVÕIÕUGDQIDUNOÕROGX÷XJHQHOGXUXP u y = f y ≠ 0 kabul edelim ( u x = f x ≠ 0 dXUXPXEHQ]HUúHNLOGHLQFHOHQHELOLU F (u , x, y ) = u − f ( x, y ) = 0 IRQNVL\RQXQXWDQÕPOD\DOÕP (8) 8) ifadesinin y¶HJ|UHWUHYLDOÕQÕUVD Fy (u , x, y ) = − f y ( x, y ) ≠ 0 (9) elde ederiz. Bu ise, y GH÷LúNHQLQLQ 8 HúLWOL÷LQGHQ x ve u cinsLQGHQ o|]OHELOHFH÷L DQODPÕQD gelir. O halde, (8HúLWOL÷LQLVD÷OD\DFDNúHNLOGHELU 133 y = ϕ ( x, u ) IRQNVL\RQXYDUGÕU (10) 10) ifadesi, u = f ( x, y ) fonksiyonunda yerine konursa, x¶HED÷OÕROPD\DQ u = f ( x, ϕ ( x, u )) |]GHúOL÷LQLHOGHHGHUL] (11) (11) ifadesinden x’e göre türev alarak u x = f x + f yϕ x = 0 (12) ve buradan da ϕx = − fx fy (13) HOGHHGHUL]'L÷HUWDUDIWDQ , y = ϕ ( x, u ) çözümünü, v = g ( x, y ) ifadesinde yerine yazarsak v = g ( x, ϕ ( x, u )) = H ( x, u ) (14) ifadesini ve x’e göre türev alarak da vx = H x ( x, u ) = g x + g yϕ x = g x + g y (− ED÷ÕQWÕVÕQÕHOGHHGHUL]2KDOGH fx J )=− =0 fy fy (15) H(x,u) fonksiyonu x¶HED÷OÕGH÷LOGLU<DQi, v fonksiyonunu v = H ( x, u ) = M (u ) (16) úHNOLQGHWDQÕPOD\DELOLUL]%|\OHFH u ile vDUDVÕQGD F (u , v ) = v − M (u ) = 0 LOLúNLVLHOGHHGLOPLúROXU Örnek 1. u = ln x − ln y, v= x2 + y2 , ( x ≠ 0, y ≠ 0) xy IRQNVL\RQODUÕQÕQ DUDODUÕQGD IRQNVL\RQHO ED÷ÕPOÕ ROXS ROPDGÕNODUÕQÕ J|VWHULS ED÷OÕ LVHOHU DUDODUÕQGDNLLOLúNL\LEXOXQX] Çözüm. u ve v IRQNVL\RQODUÕQÕQ DUDODUÕQGD IRQNVL\RQHO ED÷ÕPOÕ ROPDODUÕ LoLQ JHUHN YH \HWHU NRúXOXQ J= ∂ (u , v ) u x = ∂ ( x, y ) vx ROPDVÕJHUHNWL÷LQLELO uy vy =0 iyoruz. Buna göre, ∂ (u , v ) u x = J= ∂ ( x, y ) vx 1 uy x = 2 vy x − y2 x2 y − 1 y y2 − x2 xy 2 134 , ( x ≠ 0, y ≠ 0) J= 1 y 2 − x2 1 x2 − y 2 + − =0 x xy 2 y x2 y ROXSIRQNVL\RQODUDUDODUÕQGDIRQNVL\RQHOED÷ÕPOÕGÕUODUùLPGLGHDUDODUÕQGDNLLOLúNL\LEXODOÕP v= x2 + y 2 = xy x2 x2 + 1) 1 + y2 y2 = x x y2 y y y2 ( ve u = ln x − ln y = ln x x ⇒ = eu y y olur. Bunu v’nin ifadesinde yerine yazarsak v= 1 + e2 u eu + e − u ⇒ = = 2 cosh u v 2 eu 2 ya da F (u , v ) = v − 2 cosh u = 0 IRQNVL\RQHOLOLúNLVLQLHOGHHGHUL] Örnek 2. u = arctan x − arctan y, v= x− y , 1 + xy IRQNVL\RQODUÕQÕQ DUDODUÕQGD ED÷OÕ ROXS ROPDGÕNODUÕQÕ J|VWHULS ED÷OÕ LVHOHU DUDODUÕQGDNL LOLúNL\L bulunuz. Çözüm. J= ∂ (u , v ) u x = ∂ ( x, y ) vx J =− ROGX÷XQGDQ 1 1 + x2 uy = vy 1+ y2 (1 + xy ) 2 − 1 1 + y2 −(1 + x 2 ) (1 + xy ) 2 , ( x ≠ 0, y ≠ 0) 1 1 + =0 2 (1 + xy ) (1 + xy ) 2 u ve vIRQNVL\RQODUÕDUDODUÕQGDIRQNVL\RQHOED÷ÕPOÕGÕUODUYH u = arctan x − arctan y ⇒ tan u = x− y =v⇒ 1 + xy F (u , v ) = tan u − v = 0 aranan fonksiyonel ED÷ÕQWÕGÕU 135 $úD÷ÕGDIRQNVL\RQHOED÷ÕPOÕOÕNLoLQJHQHOWHRUHPLLVSDWVÕ]RODUDNYHUL\RUX] Teorem 2. D ⊂ R n DoÕNE|OJHVLQGH WDQÕPOÕYHELULQFLPHUWHEHGHQNÕVPLWUHYOHULEXE|OJHGH sürekli olan, k tane n-GH÷LúNHQOLIRQNVL\RQ u1 = f1 ( x1 , x2 ,..., xn ) u2 = f 2 ( x1 , x2 ,..., xn ) ......................... uk = f k ( x1 , x2 ,..., xn ) (17) úHNOLQGH YHULOGL÷LQGH H÷HU IRQNVL\RQ VD\ÕVÕ GH÷LúNHQ VD\ÕVÕQD HúLW k=n) ise, bu k IRQNVL\RQXQDUDODUÕQGDIRQNVL\RQHOED÷ÕPOÕROPDVÕLoLQJHUHNYH\HWHUNRúXO J= u1x1 u1x2 ... u1xn ∂ (u1 , u2 ,..., un ) u2 x1 = ∂ ( x1 , x2 ,..., xn ) ... unx1 u2 x2 ... u2 xn ... unx2 ... ... ... unxn =0 (18) ROPDVÕGÕU(÷HUIRQNVL\RQVD\ÕVÕGH÷LúNHQVD\ÕVÕQGDQNoN (k < n) ise, bu durumda verilen kWDQHIRQNVL\RQXQDUDODUÕQGDIRQNVL\RQHOED÷ÕPOÕROPDVÕLoLQJHUHNYH\HWHUNRúXO u1x1 u2 x J = 1 ... ukx 1 u1x2 u 2 x2 ... ukx2 ... u1xn ... u2 xn ... ... ... ukxn (19) -DFRELPDWULVLQLQUDQNÕQÕQIRQNVL\RQVD\ÕVÕQGDQNoNROPDVÕ\DQL rank ( J ) < k (20) NRúXOXQXQVD÷ODQPDVÕGÕU Not: (20 NRúXOX HúGH÷HU RODUDN 9) LOH YHULOHQ PDWULVH LOLúNLQ k × k boyutlu bütün alt PDWULVOHULQGHWHUPLQDQWODUÕQÕQVÕIÕURODPVÕúHNOLQGHGHLIDGHHGLOHELOLU Örnek 3. u = ( x + y + z ) 2 , v = −2 xy − 2 xz − 2 yz , w = x2 + y2 + z 2 fRQNVL\RQODUÕQÕQOLQHHUED÷ÕPOÕROXSROPDGÕNODUÕQÕDUDúWÕUÕQÕ]YHH÷HUED÷OÕLVHOHUDUDODUÕQGDNL LOLúNL\LEXOXQX] Çözüm. 136 2( x + y + z ) 2( x + y + z ) 2( x + y + z ) ∂ (u , v, w) = −2( y + z ) −2( x + z ) −2( x + y ) = 0 J= ∂ ( x, y , z ) 2x 2y 2z ROGX÷XQX J|UPHN ]RU GH÷LOGLU 2 K alde u, v, w IRQNVL\RQODUÕ DUDODUÕQGD OLQHHU ED÷ÕPOÕGÕU ùLPGLGHDUDODUÕQGDNLLOLúNL\LEXODOÕP u + v = ( x + y + z ) 2 − 2 xy − 2 xz − 2 yz = x2 + y 2 + z 2 ⇒ u + v = w ya da F (u , v, w) = u + v − w = 0 GÕU øNL*HUoHO'H÷LúNHQOL)RQNVL\RQODULoLQ7D\ORU)RUPO z = f ( x, y ) , D ⊂ R 2 DoÕN E|OJHVLQGH WDQÕPOÕ YH (n+1)-ci PHUWHEHGHQ NÕVPL WUHYOHUL EX E|OJHGHWDQÕPOÕYHVUHNOLRODQLNL JHUoHOGH÷LúNHQOLELUIRQNVL\RQ ROVXQ H ve k birer küçük nicelik ve 0 ≤ t ≤ 1 olmak üzere x∗ = x + th y∗ = y + tk (1) t G|QúPOHULLOH ¶\HED÷OÕELUGH÷LúNHQOL F (t ) = f ( x∗ , y∗ ) (2) IRQNVL\RQXQXWDQÕPOD\DOÕP F (1) = f ( x + h, y + k ) (3) F (0) = f ( x, y ) (4) ve ROGX÷XQDG ikkat edilmelidir. F (t ) fonksiyonu için, t F (t ) = F (0) + F ′(0)t + QRNWDVÕQGDNL7D\ORUIRUPO F ′′(0) 2 F ( n ) (0) n t + ... + t + Rn , n! 2! (5) olup, Rn kalan terimi Rn = F ( n +1) (τ ) n +1 t , 0 <τ < t (n + 1)! (6) formülü ile verilir (bkz. Kesim 1.8’de formül ùLPGL 2 F (t ) fonksiyonunun t=0 QRNWDVÕQGDNLWUHYOHULQLGH÷HUOHQGLUHOLP%XQXQLoLQ IRUPOQH]LQFLUNXUDOÕX\JXODQÕUVD 137 F ′(t ) = f x* ( x* , y* )h + f y* ( x* , y* )k bulunur. ED÷ÕQWÕODUÕ JHUH÷LQFH (7) f ( x* , y* ) ’nin x* ve y* ’ye göre türevleri, x ve y’ye göre D\QÕEDVDPDNWDQWUHYOHUHHúLWRODFD÷ÕQGDQED÷ÕQWÕVÕQÕ F ′(t ) = f x ( x* , y* )h + f y ( x* , y* )k (8) biçiminde yazabiliriz. Son olarak, (8) formülünde t=0 için x∗ (0) = x, y∗ (0) = y ROGX÷X göz önünde tutulursa, F ′(0) = f x ( x, y ) h + f y ( x, y ) k (9) elde edilir. (8) ifadesi, t’ye göre bir kez daha türetilirse F ′′(t ) = f xx ( x* , y* )h 2 + 2 f xy ( x* , y* )hk + f yy ( x* , y* )k 2 (10) olur. Böylece, ikinci türevin t=0 nRNWDVÕQGDNLGH÷HULLoLQ F ′′(0) = f xx ( x, y )h 2 + 2 f xy ( x, y )hk + f yy ( x, y )k 2 (11) ifadesi elde edilir. Burada ( x − x0 ) ∂ ∂ + ( y − y0 ) ∂x ∂y RSHUDW|UQGLNNDWHDOÕUVDN (12) 9) ve (11) ile verilen birinci ve ikinci türevleri ∂ ∂ F ′(0) = h + k f ( x, y ) ∂y ∂x (13) ve 2 ∂ ∂ F ′′(0) = h + k f ( x, y ) ∂y ∂x (14) úHNOLQGH \D]DELOLUL] %|\OHFH GHYDP HGLOLUVH F (t ) fonksiyonunun t QRNWDVÕQGDNL n-ci mertebeden türevi için de n F (n) ∂ ∂ (0) = h + k f ( x, y ) ∂y ∂x (15) ifadesini elde ederiz. BuradD%LQRPIRUPOQHJ|UHDoÕODFDNRODQSDUDQWH]OLLIDGH n n ∂ n n −1 n n−2 2 ∂ ∂n ∂n n ∂ h k h h k h k + = + + + ... + ∂y ∂x n 1 ∂x n −1∂y 2 ∂x n −2 ∂y 2 ∂x n n n−r r ∂n n ∂ k + + ... h k ∂x n − r ∂y r ∂y n r úHNOLQGHGLU 138 (16) Böylece, YH HúLWOLNOHUL LOH 15) genel gösterimini dikkate alarak (5) ile verilen Taylor formülünü (x0, y0QRNWDVÕLoLQ\D]DUYH h = x − x0 k = y − y0 (17) G|QúPOHULQLGHX\JXODUVDN f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) + + 1 f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 ) 1! 1 f xx ( x0 , y0 )( x − x0 )2 + 2 f xy ( x0 , y0 )( x − x0 )( y − y0 ) + f yy ( x0 , y0 )( y − y0 ) 2 + (18) 2! n 1 ∂ ∂ + ... + ( x − x0 ) + ( y − y0 ) f ( x0 , y0 ) + Rn n! ∂x ∂y serisini elde ederiz. Burada Rn kalan terimi için 1 ∂ ∂ Rn = ( x − x0 ) + ( y − y0 ) ∂x ∂y (n + 1)! n +1 , x0 < ξ < x, x0 < η < y f ( x, y ) (19) (ξ ,η ) LIDGHVLQLHOGHHGHUL](÷HU ∂ n +1 f ( x, y ) ≤ M , i = 1, 2,..., n + 1 ∂x i ∂y n +1−i ( x , y ) 0 (20) 0 olaFDNúHNLOGHELUMVWVÕQÕUÕYDULVHEXGXUXPGDNDODQWHULPLLoLQ Rn ≤ M ( x − x0 + y − y0 (n + 1)! VÕQÕUODPDVÕQÕ\DSDELOLUL] ) n +1 (21) Son olarak, (18) serisini, ( x0 , y0 ) = (0, 0) için yeniden yazarsak, yani f ( x, y ) fonksiyonuQXFLYDUÕQGD0DFODXULQVHULVLQHDoDUVDN f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) + + 1 f x ( x0 , y0 ) x + f y ( x0 , y0 ) y 1! 1 f xx ( x0 , y0 ) x 2 + 2 f xy ( x0 , y0 ) xy + f yy ( x0 , y0 ) y 2 + 2! (22) n 1 ∂ ∂ + ... + x + y f ( x0 , y0 ) + Rn n ! ∂x ∂y ifadesini elde ederiz. Bu durumda kalan terim 1 ∂ ∂ Rn = x +y ∂y (n + 1)! ∂x n +1 , 0 < ξ < x, 0 < η < y f ( x, y ) (ξ ,η ) olur. 139 (23) Örnek 1. f ( x, y ) = e xy IRQNVL\RQXQXFLYDUÕQGDG|UGQFPHUWebeden Taylor formülünü bulunuz. Çözüm.QRNWDVÕFLYDUÕQGDG|UGQFPHUWHEHGHQ7D\ORUIRUPO f ( x, y ) = f (0, 0) + f x x + f y y + 1 f xx x 2 + 2 f xy xy + f yy y 2 + 2! 1 f xxx x3 + 3 f xxy x 2 y + 3 f xyy xy 2 + f yyy y 3 + 3! 1 + f xxxx x 4 + 4 f xxxy x3 y + 6 f xxyy x 2 y 2 + 4 f xyyy xy 3 + f yyyy y 4 + R4 4! + ROGX÷XQGDQLOJLOLWUHYGH÷HUOHULQLKHVDSOD\DOÕP f x ( x, y ) = ye xy ⇒ f x (0, 0) = 0 , f y ( x, y ) = xe xy ⇒ f y (0, 0) = 0 , f xx ( x, y ) = y 2 e xy ⇒ f xx (0, 0) = 0 , f yy ( x, y ) = x 2 e xy ⇒ f yy (0, 0) = 0 , f xy ( x, y ) = e xy + xye xy ⇒ f x (0, 0) = 1 , f xxx ( x, y ) = y 3e xy ⇒ f xxx (0, 0) = 0 , f xxy ( x, y ) = 2 ye xy + xy 2 e xy ⇒ f xxy (0, 0) = 0 , f xyy ( x, y ) = 2 xe xy + x 2 ye xy ⇒ f xyy (0, 0) = 0 , f yyy ( x, y ) = x3e xy ⇒ f yyy (0, 0) = 0 , f xxxx ( x, y ) = y 4 e xy ⇒ f xxxx (0, 0) = 0 , f xxxy ( x, y ) = 3 y 2 e xy + y 4 e xy ⇒ f xxxy (0, 0) = 0 , f xxyy ( x, y ) = 2e xy + 4 xye xy + x 2 y 2 e xy ⇒ f xxyy (0, 0) = 2 , f xyyy ( x, y ) = 3 x 2 e xy + x 3 ye xy ⇒ f xyyy (0, 0) = 0 , f yyyy ( x, y ) = x 4 e xy ⇒ f yyyy (0, 0) = 0 . Böylece, e xy = 1 + xy + olur ( eu ’nun, u 1 2 2 x y + R4 2 FLYDUÕQGDNL VHUL DoÕOÕPÕ LOH NDUúÕODúWÕUÕQÕ] 0 < ξ < x ve 0 < η < y olmak üzere, kalan terim, 5 R4 = = 1 ∂ ∂ ( x − x0 ) + ( y − y0 ) f ( x, y ) 5! ∂x ∂y (ξ ,η ) 1 f xxxxxξ 5 + 5 f xxxxyξ 4η + 10 f xxxyyξ 3η 2 + 10 f xxyyyξ 2η 3 + 5 f xyyyyξ 1η 4 + f yyyyyη 5 5! ED÷ÕQWÕVÕLOHGH÷HUOHQGLULOHELOLU 140 Örnek 2. f ( x, y ) = x 3 y 2 − xy fonksiyonunu (x-1) ve (y¶LQNXYYHWOHULFLQVLQGHQ\D]ÕQÕ] Çözüm. f (1, −1) = 2 ve f x ( x, y ) = 3x 2 y 2 − y ⇒ f x (1, −1) = 4 f y ( x, y ) = 2 x3 y − x ⇒ f y (1, −1) = −3 f xx ( x, y ) = 6 xy ⇒ f xx (1, −1) = 6 2 f yy ( x, y ) = 2 x3 ⇒ f yy (1, −1) = 2 f xxx ( x, y ) = 6 y 2 ⇒ f xxx (1, −1) = 6 f yyy ( x, y ) = 0 ⇒ f yy (1, −1) = 0 f xxxx ( x, y ) = 0 ⇒ f xxxx (1, −1) = 0 f xy ( x, y ) = 6 x 2 y − 1 ⇒ f xy (1, −1) = −7 f xxxyy ( x, y ) = 12 ⇒ f xxxyy (1, −1) = 12 f xxy ( x, y ) = 12 xy ⇒ f xxy (1, −1) = −12 f xxyy ( x, y ) = 12 x ⇒ f xxyy (1, −1) = 12 f xyy ( x, y ) = 6 x 2 ⇒ f xyy (1, −1) = 6 f xyyy ( x, y ) = 0 ⇒ f xyyy (1, −1) = 0 f xxxy ( x, y ) = 12 y ⇒ f xxxy (1, −1) = −12 ROGX÷XQGDQ 1 f ( x, y ) = 2 + 4( x − 1) − 3( y + 1) + 6( x − 1) 2 − 14( x − 1)( y + 1) + 2( y − 1) 2 2 1 + 6( x − 1)3 − 36( x − 1)2 ( y + 1) + 18( x − 1)( y + 1)2 6 1 + −48( x − 1)3 ( y + 1) + 72( x − 1)2 ( y + 1)2 + ( x − 1)3 ( y + 1) 2 24 NXYYHW\D]ÕOÕPÕHO de edilir. Örnek 3. f ( x, y ) = ln( x + y + 1) IRQNVL\RQXQXFLYDUÕQGD7D\ORUVHULVLQHDoÕQÕ] Çözüm. f (0, 0) = 0 , f x ( x, y ) (0,0) = 1 = 1 = (−1)1+1 0! , x + y + 1 (0,0) f xx ( x, y ) (0,0) = −1 ( x + y + 1)2 f xxx ( x, y ) (0,0) = 2 ( x + y + 1)3 f y ( x, y ) (0,0) = −1 = ( −1) 2+11! , f yy ( x, y ) = (0,0) = (0,0) = 2 = (−1)3+1 2! , f yyy ( x, y ) (0,0) 141 1 = 1 = (−1)1+1 0! , x + y + 1 (0,0) (0,0) −1 ( x + y + 1) 2 = = −1 = (−1) 2+11! , (0,0) 2 ( x + y + 1)3 = 2 = (−1)3+1 2!, (0,0) f xy ( x, y ) (0,0) f xyy ( x, y ) (0,0) = = −1 ( x + y + 1)2 2 ( x + y + 1)3 = −1 = (−1) 2+11! , (0,0) = 2 = (−1)3+1 2! . (0,0) f ( x, y ) = ln( x + y + 1) ¶QLQ QRNWDVÕQGDNL |UQH÷LQ NBFÕ GHUHFHGHQ NÕVPL *|UOG÷ ]HUH WUHYOHULWUHYOHULQKDQJLGH÷LúNHQHJ|UHROGX÷XQGDQED÷ÕPVÕ]RODUDNHúLWWLUgUQH÷LQ f xx ( x, y ) (0,0) = f yy ( x, y ) = f xy ( x, y ) (0,0) = −1 = (−1) 2+11! (0,0) ve f xxx ( x, y ) (0,0) = f yyy ( x, y ) = f xyy ( x, y ) (0,0) = (0,0) 2 ( x + y + 1)3 = 2 = (−1)3+1 2! (0,0) GÕU%XQDJ|UHJHQHOIRUPORODUDN ∂ n f ( x, y ) = (−1) n+1 (n − 1)! ∂ k x∂ n −k y yazabiliriz. O halde, k 1 ∂ ∂ f ( x, y ) = ∑ x + y f ( x, y ) (0,0) + Rn ∂y k = 0 k ! ∂x n 1 2 1 ∂ 1 ∂ ∂ ∂ = 0 + x + y f ( x, y ) (0,0) + x + y f ( x, y ) (0,0) + 1! ∂x 2! ∂x ∂y ∂y 3 1 ∂ ∂ + x + y f ( x, y ) (0,0) + ... + 3! ∂x ∂y n 1 ∂ ∂ + x + y f ( x, y ) (0,0) + Rn n ! ∂x ∂y 1 1 (−1)1+1 (1 − 1)!( x + y ) + (−1)2 +1 (2 − 1)!( x + y )2 + 1! 2! 1 + (−1)3+1 (3 − 1)!( x + y )3 + ... + 3! 1 + (−1)n +1 (n − 1)!( x + y )n + Rn n! 1 1 1 1 = x + y − x 2 − xy − y 2 + x 3 + 2 x 2 y + 2 xy 2 + y 3 + ... + 2 2 3 3 n +1 (−1) ( x + y ) n + Rn + n = 142 1 ∂ ∂ Rn = + x +y (n + 1)! ∂x ∂y n +1 f ( x, y ) (ξ ,η ) 1 (−1)n n+ 2 n +1 (−1) n !(ξ + η ) = (ξ + η ) n +1 ⇒ = n +1 (n + 1)! Rn = (ξ + η ) n +1 ≤ (ξ + η ) n +1 n +1 elde ederiz. ξ + η < 1 için lim Rn = 0 n →∞ RODFD÷ÕQGDQ VHULQLQ \DNÕQVDNOÕN E|OJHVL RODUDN ξ + η < 1 DOÕQDELOLU øNL*HUoHO'H÷LúNHQOL)RQNVL\RQODUÕQ(NVWUHPXP1RNWDODUÕ 7DQÕP (NVWUHPXP 1RNWDODU . D ⊂ R2 DoÕN E|OJHVLQGH WDQÕPOÕ ELU z = f ( x, y ) G fonksiyonu verilsin. D E|OJHVLQLQ QRNWDODUÕQÕ P( x, y ) YHNW|UOHULQLQ Xo QRNWDODUÕ LOH WHPVLO G HGHOLP G (÷HU P0 ( x0 , y0 ) ∈ D G QRNWDVÕQÕQ ELU Nδ ( P0 ) NRPúXOX÷XQXQ KHU QRNWDVÕQGD G f ( P) ≤ f ( P0 ) oluyorsa, f fonksiyonunun ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQGD ELU \HUHO PDNVLPXPX YDUGÕU denir. ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQD IRQNVL\RQXQ \HUHO PDNVLPXP QRNWDVÕ Ye f ( x0 , y0 ) GH÷HULQH GH G IRQNVL\RQXQ\HUHOPDNVLPXPGH÷HULGHQLU%XQGDQEDúNDH÷HU G G P0 ( x0 , y0 ) ∈ D QRNWDVÕQÕQELU G Nδ ( P0 ) NRPúXOX÷XQXQ KHU QRNWDVÕQGD f ( P) ≥ f ( P0 ) oluyorsa, f fonksiyonunun ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQGD ELU \HUHO PLQLPXPX YDUGÕU GHQLU %X GXUXPGD \HUHO PLQLPXP QRNWDVÕ YH Bir fonksiyonun ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQD IRQNVL\RQXQ f ( x0 , y0 ) GH÷HULQH GH IRQNVL\RQXQ \HUHO PLQLPXP GH÷HUL GHQLU \HUHO PDNVLPXP \D GD \HUHO PLQLPXP QRNWDODUÕQD NÕVDFD HNVWUHPXP QRNWDODUÕGHQLU z = f ( x, y ) IRQNVL\RQXQXQ \HUHO HNVWUHPXPODUÕ LoLQ JHUHN NRúXOXQ ∇f ( x, y ) = 0 ROGX÷XQX V|\OHPLúWLN 2 KDOGH ELU IRQNVL\RQXQ H÷HU HNVWUHPXP QRNWDODUÕ YDUVD EXQODU \D JUDGL\HQWLQ VÕIÕU ROGX÷X QRNWDODUGD \D GD ELULQFL PHUWHEHGHQ WUHYOHULQ WDQÕPVÕ] ROGX÷X QRNWDODUGDGÕU ùLPGLGH\HUHOHNVWUHPXPQRNWDODUÕLoLQ\HWHUNRúXOODUÕELUWHRUHPLOHYHUHOLP 143 Teorem 1. D ⊂ R 2 DoÕN E|OJH YH z = f ( x, y ) GH HQ D]ÕQGDQ oQF PHUWHEH\H NDGDU NÕVPL G türevleri D E|OJHVLQGH WDQÕPOÕ YH VUHNOL RODQ ELU IRQNVL\RQ ROPDN ]HUH ELU P0 ( x0 , y0 ) ∈ D QRNWDVÕQGD G ∇f ( P0 ) = 0 (1) olsun. G G G ∆ = f xy ( P0 ) 2 − f xx ( P0 ) f yy ( P0 ) (2) olmak üzere G i. ∆ < 0 ve f xx ( P0 ) < 0ise P0 ( x0 , y0 ) ELU³\HUHOPDNVLPXP´QRNWDVÕGÕU G ii. ∆ < 0 ve f xx ( P0 ) > 0ise P0 ( x0 , y0 ) ELU³\HUHOPLQLPXP´QRNWDVÕGÕU iii. ∆ > 0 ise P0 ( x0 , y0 ) ELU³H÷HU´QRNWDVÕROXSHNVWUHPXPQRNWDVÕGH÷LOGLU. iv. ∆ = 0 LNLQFLPHUWHEHGHQNÕVPLWUHYWHVWLLOHNDUDUYHULOHPH] G øVSDW . z = f ( x, y ) fonksiyonunu P0 ( x0 , y0 ) ∈ D QRNWDVÕQGD7D\ORUVHULVLQHDoDUVDN f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) + f x ( x0 , y0 )( x − x0 ) + f y ( x0 , y0 )( y − y0 ) + 1 f xx ( x0 , y0 )( x − x0 ) 2 + f xy ( x0 , y0 )( x − x0 )( y − y0 ) + 2 1 + f yy ( x0 , y0 )( y − y0 ) 2 + R2 2 + (3) olur. Ekstremum noNWDODUÕLoLQJHUHNNRúXOGLNNDWHDOÕQÕUVDLONLNLWHULPVÕIÕUROXU%|\OHFH ED÷ÕQWÕVÕQÕ f ( x, y ) − f ( x0 , y0 ) = úHNOLQGH \D]DELOLUL] 1 f xx ( x0 , y0 )( x − x0 ) 2 + f xy ( x0 , y0 )( x − x0 )( y − y0 ) + 2 1 + f yy ( x0 , y0 )( y − y0 ) 2 + R2 2 P0 ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQÕQ \DNÕQ NRPúXOX÷XQ (4) u, R2 << 1 olacaN úHNLOGH seçHELOHFH÷LPL]GHQ E|\OHVL ELU NRPúXOXN LoHULVLQGH ED÷ÕQWÕVÕQÕQ LúDUHWL LON o WHULPLQ LNLQFL GHUHFH NÕVPL WUHYOL WHULPOHULQ LúDUHWLQH ED÷OÕ ROXU øON o WHULP ( x − x0 ) ya da ( y − y0 ) cinsinden ikinci dereceden biUSROLQRPGXU(÷HULONoWHULPH, ( x − x0 ) cinsinden bir ikinci derece polinom gözü ile bakar ve A= G G G 1 1 f xx ( P0 ), B = f xy ( P0 )( y − y0 ), C = f yy ( P0 )( y − y0 ) 2 2 2 olmak üzere 144 (5) F ( x, y ) = A( x − x0 )2 + B ( x − x0 ) + C WDQÕPODPDVÕQÕ\DSDUVDNEXGXUXPGD (6) (6) parDEROXQXQGLVNLULPLQDQWÕ G G G ∆′ = B 2 − 4 AC = f xy ( P0 ) 2 ( y − y0 )2 − f xx ( P0 ) f yy ( P0 )( y − y0 )2 G G (7) G = f xy ( P0 ) 2 − f xx ( P0 ) f yy ( P0 ) ( y − y0 ) 2 olur ve H÷HU ∆′ < 0 ya da ( ( y − y0 ) 2 > 0 ROGX÷XQGDQ G G G ∆ = f xy ( P0 ) 2 − f xx ( P0 ) f yy ( P0 ) < 0 (8) ise F(x,yIRQNVL\RQXLúDUHWGH÷LúWLUPH]2KDOGHH÷HU G ∆ < 0 ve A>0 ( f xx ( P0 ) >0) (9) ise F(x,y! YH GROD\ÕVÕ\OH x,y QRNWDVÕ ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQD \HWHULQFH \DNÕQ NDOGÕ÷Õ VUHFH f ( x, y ) − f ( x0 , y0 ) ! ROXU 2 KDOGH WDQÕP JHUH÷L P0 ( x0 , y0 ) QRNWDVÕ ELU \HUHO PLQLPXP QRNWDVÕROXU%HQ]HURODUDNH÷HU G ∆ < 0 ve A<0 ( f xx ( P0 ) <0) (10) ise F(x,y YH GROD\ÕVÕ\OH x,y QRNWDVÕ ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQD \HWHULQFH \DNÕQ NDOGÕ÷Õ VUHFH f ( x, y ) − f ( x0 , y0 ) ROXU %XQD J|UH WDQÕP JHUH÷L P0 ( x0 , y0 ) QRNWDVÕ ELU \HUHO PDNVLPXP QRNWDVÕGÕU ùLPGL GH ∆ > 0 durumunu inceleyelim. Bu durumda F(x,y) parabolu, ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQGD VÕIÕU GH÷HULQH YH RQXQ LNL WDUDIÕQGD IDUNOÕ LúDUHWOHUH VDKLS RODFDNWÕU 2 KDOGH QRNWDVÕQÕQ ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQD \DNODúÕP \|QQH ED÷OÕ RODUDN RODFDNWÕU 6RQXo RODUDN x,y) F(x,y)>0 ya da F(x,y)<0 ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQÕQ NRPúXOX÷XQGD YH ( x0 , y0 ) QRNWDVÕQD \DNODúÕP GR÷UXOWXVXQD ED÷OÕ RODUDN f ( x, y ) − f ( x0 , y0 ) > 0 ya da f ( x, y ) − f ( x0 , y0 ) < 0 RODFDNWÕU 2 G halde, ∆ > 0 durumunda, ∇f ( P0 ) = 0 NRúXOXQXQ VD÷ODQPDVÕQD UD÷PHQ ( x0 , y0 ) QRNWDVÕ ELU HNVWUHPXP QRNWDVÕ GH÷LOGLU %|\OH QRNWDODUD \DQL JUDGL\HQWLQ VÕIÕU ROPDVÕQD NDUúÕQ HNVWUHPXPQRNWDVÕROPD\DQQRNWDODUD³H÷HU´QRNWDVÕGHQLU G G G Teorem 1, ∆ = f xy ( P0 )2 − f xx ( P0 ) f yy ( P0 ) = 0 dXUXPXQGD HNVWUHPXP QRNWDODUÕ KDNNÕQGD ELU NDUDUYHUPHPL]HRODQDNYHUPHPHNWHGLU%|\OHVLGXUXPODUGDGDKDD\UÕQWÕOÕLQFHOHPHJHUHNLU . D ⊂ R 2 aoÕN E|OJHVLQGH WDQÕPOÕ ELU z = f ( x, y ) fonksiyonu 7DQÕP .ULWLN 1RNWDODU verilsin. D bölgesinin, z = f ( x, y ) fonksiyonuQXQ ELULQFL PHUWHEHGHQ NÕVPL WUHYOHULQLQ VÕIÕU \DGDWDQÕPVÕ]ROGX÷XQRNWDODUD z = f ( x, y ) fonksiyonuQXQNULWLNQRNWDODUÕGHQLU 145 9DU ROPDVÕ KDOLQGH ELU IRQNVL\RQXQ \HUHO HNVWUHPXP QRNWDODUÕQÕQ V|] NRQXVX IRQNVL\RQXQ NULWLNQRNWDODUÕDUDVÕQGD\DGDWDQÕPE|OJHVLQLQVÕQÕUÕ]HULQGHEXOXQDFD÷ÕDoÕNWÕU Örnek 1. f ( x, y ) = x 2 + y 2 IRQNVL\RQXQXQ YDUVD \HUHO YH PXWODN HNVWUHPXP QRNWDODUÕQÕ bulunuz. Çözüm. f x ( x, y ) = 2 x = 0 ⇒ (0, 0) kritik noktadÕU f y ( x, y ) = 2 y = 0 Bu noktada f xx ( x, y ) = 2, f yy ( x, y ) = 2, f xy ( x, y ) = 0 ROGX÷XQGDQ ∆ = f xy 2 − f xx f yy = −4 < 0 olur. ∆ < 0 ve f xx ( x, y ) > 0 ROGX÷XQGDQIRQNVL\RQXQELUPLQLPXPQRNWDVÕGÕU Örnek 2. f ( x, y ) = 2 x3 y + x fonkVL\RQXQXQ YDUVD \HUHO YH PXWODN HNVWUHPXP QRNWDODUÕQÕ bulunuz. Çözüm. f ( x, y ) WDQÕP E|OJHVL R 3 RODQ G|UGQF GHUHFHGHQ ELU SROLQRP ROGX÷XQGDQ HQ D]ÕQGDQoQFPHUWHEHGHQNÕVPLWUHYOHULEXE|OJHGHWDQÕPOÕYH f x ( x, y ) = 6 x 2 y + 1; f xx ( x, y ) = 12 xy; f y ( x, y ) = 2 x ; f yy ( x, y ) = 0; 3 f xy ( x, y ) = 6 x süreklidir. 2 ROXS%LULQFLPHUWHEHGHQNÕVPLWUHYOHULQVÕIÕUROGX÷X\HUOHU f x ( x, y ) = 6 x 2 y + 1 = 0 f y ( x, y ) = 2 x 3 =0 GHQNOHPVLVWHPLQLQo|]PQRNWDODUÕGÕU$QFDNGHQNOHPVLVWHPLQLQo|]PV]ROGX÷XDoÕNWÕU O halde, fonksiyonun bir yerel eNVWUHPXPQRNWDVÕ\RNWXU 146 Örnek 3. AQRNWDVÕQÕQ z = f ( x, y ) = 2 x + y \]H\LQHHQ\DNÕQX]DNOÕ÷ÕQÕEXOXQX] Çözüm. z = f ( x, y ) = 2 x + y \]H\L ]HULQGHNL GH÷LúNHQ QRNWDODUÕ B( x, y, 2 x + y ) ile gösterebiliriz. Bu durumda, A ile BDUDVÕQGDNLX]DNOÕNIRQNVL\RQXQX F ( x, y ) = ( x − 2)2 + ( y − 1)2 + (2 x + y − 1)2 = 5 x 2 + 2 y 2 + 4 xy − 8 x − 4 y + 6 IRQNVL\RQX LOH WDQÕPOD\DELOLUL] %X GXUXPGD SUREOHP IRQNVL\RQXQXQ \D GD EXQD HúGH÷HU RODUDN F ( x, y ) = 5 x 2 + 2 y 2 + 4 xy − 8 x − 4 y G ( x, y ) = 5 x 2 + 2 y 2 + 4 xy − 8 x − 4 y + 6 IRQNVL\RQXQXQ PLQLPXP GH÷HULQL EXOPD\D G|QúPú ROXU ùLPGL G ( x, y ) fonksiyonunun NÕVPLWUHYOHULQLQVÕIÕUROGX÷XQRNWDODUÕDUDúWÕUDOÕP Gx ( x, y ) = 10 x + 4 y − 8 = 0 G y ( x, y ) = 4 x + 4 y − 4 = 0 . 2 1 Buradan çözüm olaraksistemi çözülürse, ( , ) elde edilir. O halde, yüzey üzerinde, 3 3 DUDGÕ÷ÕPÕ]QRNWDQÕQNRRUGLQDWODUÕ 2 1 5 ( , , ) ROXSQRNWDVÕQDX]DNOÕ÷Õ 3 3 3 2 1 2 1 21 2 1 F ( , ) = 5( ) 2 + 2( ) 2 + 4 −8 − 4 + 6 3 3 3 3 33 3 3 = 20 2 8 48 12 54 24 2 6 + + − − + = = 9 9 9 9 9 9 9 3 dür. 3.15. .RúXOOX(NVWUHPXPODU/DJUDQJHdDUSDQODUÕ 'H÷LúNHQOHUL ELUELUOHUL LOH LOLúNLOL oRN GH÷LúNHQOL ELU IRQNVL\RQXQ HNVWUHPXP QRNWDODUÕQÕQ DUDúWÕUÕOPDVÕ SUREOHPL oRN VÕN UDVWODQÕODQ GXUXPGXU %X GXUXP ELOHúHQOHUL DUDVÕQGD g ( x, y, z ) = 0 ve h( x, y , z ) = 0 úHNOLQGH LOLúNL EXOXQDQ ELU w = f ( x, y, z ) fonksiyonunun HNVWUHPXP QRNWDODUÕQÕ DUDúWÕUPDN úHNOLQGH |UQNOHQGLULOHELOLU *HQHOGH n GH÷LúNHQOL ELU fonksiyon ve n-1 NRúXO RODELOLU %XUDGD o GH÷LúNHQOL YH LNL NRúXOOX SUREOHPL GLNNDWH DODFDN YHVRQXFXJHQHOOH\HFH÷L] 147 g ( x, y, z ) = 0 ve h( x, y , z ) = 0 NRúXOODUÕLOHELU w = f ( x, y, z ) IRQNVL\RQXQXQYHULOGL÷LQLYHEX NRúXOODU DOWÕQGD IRQNVL\RQXQ HNVWUHPXP QRNWDODUÕQÕ DUDúWÕUGÕ÷ÕPÕ]Õ YDUVD\DOÕP %X GXUXPGD YHULOHQ NRúXOODUGDQ GH÷LúNHQOHUGHQ ELUL GL÷HU LNLVL FLQVLQGHQ LIDGH HGLOHELOLUVH |UQH÷LQ GH÷LúNHQL z x ve y cinsinden z = ϕ ( x, y ) úHNOLQGH LIDGH HGLOLU YH DVÕO IRQNVL\RQGD EX LIDGH \HULQH \D]ÕOÕUVD HOGH HGLOHQ w = f ( x, y, ϕ ( x, y)) IRQNVL\RQXQXQ HNVWUHPXP QRNWDODUÕ D\QÕ zamanda g ( x, y, z ) = 0 ve h( x, y , z ) = 0 NRúXOODUÕQÕ GD VD÷ODUODU %|\OHFH NRúXOOX HNVWUHPXP SUREOHPLQRUPDOHNVWUHPXPSUREOHPLQHLQGLUJHQPLúROXU$QFDNSUDWLNWHoR÷X]DPDQYHULOHQ NRúXOODUGDQELOLQPH\HQVD\Õ]ÕQÕD]DOWPDNPPNQRODPD]YHEXGXUXPGDNRúXOOXHNVWUHPXP QRNWDODUÕQÕ EXOPDN LoLQ EDúN a bir yöntem kullanmak gerekir. Bu kesimde, Lagrange oDUSDQODUÕGHQLOHQ\|QWHPDQODWÕODFDNWÕU g ( x, y, z ) = 0 ve h( x, y , z ) = 0 NRúXOODUÕQÕQ KHU ELUL X]D\GD ELUHU \]H\ EHOLUOHUNHQ LNL GHQNOHPLQ D\QÕ DQGD VD÷ODQGÕ÷Õ \HUOHU EX LNL \]H\LQ DUDNHVLW H÷ULVLGLU 2 KDOGH NRúXOOX ekstremum problemi, ( x, y, z ) QRNWDVÕ EX DUDNHVLW H÷ULVL ER\XQFD \HU GH÷LúWLUPHN NRúXOX LOH w = f ( x, y , z ) IRQNVL\RQXQXQ DODFD÷Õ PDNVLPXP YH PLQLPXP QRNWDODUÕ EXOPD LúOHPLQH döQúPHNWHGLU%|\OHVLELUHNVWUHPXPQRNWDVÕQGD f ( x, y, z ) ¶QLQH÷ULER\XQFDRODQGR÷UXOWX WUHYL \DQL H÷ULQLQ V|] NRQXVX QRNWDVÕQGDNL WH÷HWL GR÷UXOWXVXQGDNL GR÷UXOWX WUHYL VÕIÕU ROPDOÕGÕU G DuG0 f ( x0 , y0 ) = u0∇f ( x0 , y0 ) = 0 , G burada u0 DUDNHVLW H÷ULVLQLQ (1) P0 ( x0 , y0 , z0 ) QRNWDVÕQGDNL WH÷HW GR÷UXOWXVXGXU %XUDGDQ ∇f ( x0 , y0 , z0 ) YHNW|UQQH÷ULQLQ P0 ( x0 , y0 , z0 ) QRNWDVÕQGDNLQRUPDOGR÷UXOWXVXQXLoHUHQELU G]OHPGH ROGX÷X DQODúÕOÕU hVWHOLN G]OHPGHGLUOHU %DúND ELU GH÷LúOH ∇g ( x0 , y0 , z0 ) ve ∇h( x0 , y0 , z0 ) ∇f ( x0 , y0 , z0 ) , ∇g ( x0 , y0 , z0 ) YHNW|UOHUL GH D\QÕ ve ∇h( x0 , y0 , z0 ) YHNW|UOHULQLQoGHD\QÕG]OHPOL\DQLOLQHHUED÷OÕGÕUODU2KDOGHRQODUDUDVÕQGD ∇f ( x0 , y0 , z0 ) + λ1∇g ( x0 , y0 , z0 ) + λ2∇h( x0 , y0 , z0 ) = 0 HúLWOL÷L VD÷ODQDFDN úHNLOGH (2) λ1 ve λ2 VD\ÕODUÕ YDUGÕU YH EXQODUD ³/DJUDQJH oDUSDQODUÕ´ DGÕ verilir. (2) ile verilen vektörel denklem f x + λ1 g x + λ2 hx = 0 f y + λ1 g y + λ2 hy = 0 f z + λ1 g z + λ2 hz = 0 (3) 148 ELoLPLQGH oVNDOHU GHQNOHPGHQ ROXúDQ ELU GHQNOHPVLVWHPLQHHúGH÷HUGLU .RúXO GHQNOHPOHUL GHGLNNDWHDOÕQÕUVDEHúELOLQPH\HQOLEHúGHQNOHPGHQROXúDQ f x + λ1 g x + λ2 hx = 0 f y + λ1 g y + λ2 hy = 0 f z + λ1 g z + λ2 hz = 0 g ( x, y , z ) = 0 h( x, y, z ) = 0 (4) denklem sistemi elde edilir ve sistemin çözümünden λ1 ve λ2 /DJUDQJH oDUSDQODUÕ LOH ( x, y, z ) NULWLN QRNWDODUÕ HOGH HGLOLU %X NULWLN QRNWDODU IRQNVL\RQXQ YHULOHQ NRúXO DOWÕQGDNL ekstremumQRNWDODUÕ\DGDH÷HUQRNWDODUÕGÕU(÷HU G ( x, y, z , λ1 , λ2 ) = f ( x, y, z ) + λ1 g ( x, y, z ) + λ2 h( x, y , z ) (5) IRQNVL\RQXQXWDQÕPODUVDNVLVWHPLQL Gx ( x, y , z , λ1 , λ2 ) = 0 G y ( x, y, z , λ1 , λ2 ) = 0 Gz ( x, y , z , λ1 , λ2 ) = 0 g ( x, y , z ) = 0 h( x, y , z ) = 0 (6) biçiminde de yazabiliriz. Genel olarak ifade edecek olursak, nGH÷LúNHQOLELUIIRQNVL\Rnu ile k (k ≤ n − 1) denklemden ROXúDQNRúXOODUYHULOGL÷LQGHVLVWHPLQHEHQ]HURODUDN n+k bilinmeyenli ve n+k denklemden k ROXúDQ ELU VLVWHP HOGH HGLOLU YH EX VLVWHPLQ o|]OPHVL LOH DGHW /DJUDQJH oDUSDQÕ LOH ELUOLNWH aranan kritik noktalaUEXOXQPXúROXU Örnek 1. f ( x, y, z ) = xyz fonksiyonunun, g ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 NRúXOX DOWÕQGDNL HNVWUHPXPQRNWDODUÕQÕEXOXQX] Çözüm. G ( x, y , z ) = f ( x, y , z ) + λ g ( x, y , z ) WDQÕPODPDVÕQÕ\DSDUVDN 149 Gx ( x, y , z , λ ) = yz + 2λ x = 0 G y ( x, y, z , λ ) = xz + 2λ y = 0 Gz ( x, y , z , λ ) = xy + 2λ z = 0 denklem sistemini elGHHGHUL]%XGHQNOHPOHUVÕUDVÕ\ODx, y, zLOHoDUSÕOÕSWRSODQÕUVD 3 xyz + 2λ ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 0 YHNRúXOGHQNOHPL\DUGÕPÕ\ODGD 2λ = −3xyz elde edilir. Böylece, birinci denklemden yz − 3x 2 yz = 0 ⇒ yz = 0 veya x = ± 3 3 bulunur. i. (÷HU y=0 ve z ≠ 0 ise, ikinci denklemden x HOGH HGLOLU .RúXO GHQNOHPL JHUH÷LQFH GH z = ±1 RODFD÷ÕQGDQNULWLNQRNWDODU ±1 ) olur. ii. (÷HU z=0 ve y ≠ 0 ise, üçüncü denklemden x=0 HOGH HGLOLU .RúXO GHQNOHPL JHUH÷LQFH GH y = ±1 RODFD÷ÕQGDQNULWLNQRNWDODU ±1 ,0) olur. iii. (÷HU z=0 ve y = 0 LVH NRúXO GHQNOHPL JHUH÷LQFH x = ±1 RODFD÷ÕQGDQ NULWLN noktalar ( ±1 ,0,0) olur. iv. (÷HU x=± 3 3 ise, ikinci denklemden, y = ± 3 3 elde edilir. Böylece, (± YH NRúXO GHQNOHPLQGHQ GH z=± 3 3 3 3 3 ,± ,± ) úHNOLQGHVHNL]WDQe kritik nokta elde edilir. 3 3 3 6RQXoRODUDNSUREOHPLQWRSODPWDQHNULWLNQRNWDVÕYDUGÕU%XQRNWDODUÕYHIRQNVL\RQXQEX QRNWDODUGDDOGÕ÷ÕGH÷HUOHULQELUWDEORVXQX\DSDUDNHNVWUHPXPQRNWDODUÕQÕDUDúWÕUDOÕP Kritik nokta no x y z f(x,y,z)= xyz $oÕNODPD 1 0 0 -1 0 (÷HUQRNWDVÕ 2 0 0 1 0 ′′ 3 0 -1 0 0 ′′ 4 0 1 0 0 ′′ 5 -1 0 0 0 ′′ 6 1 0 0 0 ′′ 7 - 3 2 - 3 2 - 3 2 - 3 9 Minimum 150 $oÕNODPD Kritik nokta no x y 8 - 3 2 - 3 2 3 2 3 9 Maksimum 9 - 3 2 3 2 - 3 2 3 9 Maksimum 10 - 3 2 3 2 3 2 - 3 9 Minimum 11 3 2 - 3 2 - 3 2 3 9 Maksimum 12 3 2 - 3 2 3 2 - 3 9 Minimum 13 3 2 3 2 - 3 2 - 3 9 Minimum 14 3 2 3 2 3 2 3 9 Maksimum z f(x,y,z)= xyz %XQD J|UH IRQNVL\RQXQ YHULOHQ NRúXO DOWÕQGD G|UW PDNVLPXP G|UW PLQLPXP YH DOWÕ WDQH GH H÷HUQRNWDVÕYDUGÕU Örnek 2. f ( x, y ) = x 2 + xy + y 2 − 6 x + 2 fonksiyonunun, D = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 5, − 3 ≤ y ≤ 0} E|OJHVLQGHNLHNVWUHPXPQRNWDODUÕQÕEXOXQX] Çözüm. fx = 2x + y − 6 = 0 fy = x + 2y =0 denklem sistemi çözülürse (4 ,-2) elde edilir. O halde, A(4, - NULWLN QRNWDGÕU ùLPGL GH D E|OJHVLQLQVÕQÕUODUÕQÕLQFHOH\HOLP i) x GR÷UXVX]HULQGH f ( x, y ) = y 2 + 2 ROXSELUNULWLNQRNWDGÕU ii) x GR÷UXVX]HULQGH f ( x, y ) = y 2 + 5 y − 3 olup, (5, -ELUNULWLNQRNWDGÕU iii) y GR÷UXVX]HULQGH f ( x, y ) = x 2 − 6 x + 2 oluSELUNULWLNQRNWDGÕU iv) y=-GR÷UXVX]HULQGH 151 f ( x, y ) = x 2 − 9 x + 11 olup, (9/2, -ELUNULWLNQRNWDGÕU2KDOGHELUWDEORKDOLQGHJ|VWHUHFHNROXUVDN x y z=f(x,y) $oÕNODPD 1 0 0 2 Mutlak Maksimum 2 5 -5/2 -37/4 3 3 0 -7 4 9/2 -3 -37/4 5 4 -2 -10 Kritik Nokta No Mutlak minimum HOGH HGHUL] %XQD J|UH IRQNVL\RQXQ PXWODN PLQLPXP QRNWDVÕ GH÷HUL -2) ve mutlak minimum - LNHQ PXWODN PDNVLPXP QRNWDVÕ YH PXWODN PDNVLPXP GH÷HUL GH ¶GLU )RQNVL\RQXQWDQÕPNPHVLYHNULWLNQRNWDODUÕùHNLO¶GHJ|VWHULOPLúWLU 3.16. En Küçük Kareler Yöntemi dRN GH÷LúNHQOL IRQNVL\RQODUÕQ HNVWUHPXP QRNWDODUÕ \|QWHPLQGHQ \DUDUODQDUDN ELU GHQH\ VRQXFXQGD HOGH HGLOHQ J|]OHP QRNWDODUÕQD HQ L\L X\XP VD÷OD\DQ y = f ( x) fonksiyonu belirlenebilir. Burada y = f ( x) IRQNVL\RQX \DSÕODQ GHQH÷LQ GD\DQGÕ÷Õ NXUDP WDUDIÕQGDQ |QJ|UOHQ WUGHQ ELU H÷UL GR÷UX SDUDERO SHUL\RGLN H÷UL YE J|VWHULU %L] EXUDGD HQ EDVLW olarak y = f ( x) = ax + b úHNOLQGHNLOLQHHUIRQNVL\RQXGLNNDWHDODFD÷Õ]%HQ]HULúOHPOHUGL÷HU WUGHQ IRQNVL\RQODUD GD X\JXODQDELOLU ùHNLO ¶GH ELU GHQH\ VRQXFXQGD HOGH HGLOHQ J|]OHP QRNWDODUÕ LOH EX QRNWDODUD HQ L\L X\XP VD÷OD\DQ GR÷UX WHPVLOL RODUDN J|VWHULOPLúWLU $PDFÕPÕ] HOGH E|\OHVL J|]OHP QRNWDODUÕ YDUNHQ EXQODUD HQ L\L X\P VD÷OD\DQ GR÷UXQXQ GHQNOHPLQL EXOPDNWÕU %XQXQ LoLQ NDWVD\ÕODUÕ NDUúÕOÕN |÷OH JHOHQ QRNWDODUÕQÕQ EHOLUOHQPHOLGLU yi VDSPDODUÕQÕQ WRSODPÕ PLQLPXP n NL (i=1,2,...,n) y = f ( x) = ax + b a ve b xi’lere gözlem GR÷UXVXQGDQ olsun. Burada J|]OHP QRNWDODUÕQÕQ VD\ÕVÕGÕU $QFDN yi J|]OHP QRNWDODUÕQÕQ V|] NRQXVX GR÷UXGDQ VDSPDODUÕ SR]LWLI \D GD QHJDWLI RODELOHFH÷LQGHQ EXQXQ \HULQH VDSPDODUÕQ NDUHOHULQLQ 152 WRSODPÕQÕPLQLPXP\DSPDNGDKDGR÷UXRODFDNWÕU2KDOGHSUREOHPLQo|]P ü olarak, a ve b cinsinden iki bilinmiyenli n f (a, b) = ∑ [ yi − axi − b ] 2 (1) i =1 IRQNVL\RQXQXPLQLPXPQRNWDVÕDUDúWÕUÕOPDOÕGÕU%XQDJ|UH J|UH ELULQFL WUHYOHULQLQ VÕIÕU ROGX÷X \HUOHU DUDQDQ f (a, b) fonksiyonunun a ve b’ye a ve b GH÷HUOHULQL YH GROD\ÕVÕ\OH DUDQDQ GR÷UXGHQNOHPLQLYHUHFHNWLU%|\OHFHLIDGHVLQLQ a ve b¶\HJ|UHWUHYOHULDOÕQÕUVD n f a = −2∑ xi ( yi − axi − b) = 0 i =1 n f b = −2∑ ( yi − axi − b) = 0 i =1 (2) ve gerekli düzenlemeleri yaparak da n n n a ∑ xi 2 + b∑ xi = ∑ xi yi i =1 i =1 i =1 n n a ∑ xi + bn = ∑ yi i =1 i =1 (3) denklem sistemini elde ederiz. n f aa = 2∑ xi 2 ≥ 0, i =1 f bb = 2n > 0 n f ab = 2∑ xi i =1 (4) olup, buradan da diskiriminant için 2 ∆ = f ab 2 n n − f aa f bb = 4 ∑ xi − 4n∑ xi 2 i =1 i =1 (5) ifadesini elde ederiz. 2 n n < x n xi 2 ∑ ∑ i i =1 i =1 (6) HúLWVL]OL÷LQLQ YDUOÕ÷Õ ELOLQGL÷LQGHQ VRQXo sisteminden bulunacak (a,b QRNWDVÕQÕQ olarak ∆ < 0 elde ederiz ki, bu da bize, (3) f ( a, b) ROGX÷XQXJ|VWHULU 153 IRQNVL\RQXQXQ ELU PLQLPXP GH÷HUL Örnek 1. $úD÷ÕGD ELU GHQH\ VRQXFXQGD HOGH HGLOHQ DGHW J|]OHP QRNWDVÕQD LOLúNLQ |OoP GH÷HUOHUL YHULOPLúWLU x ile y DUDVÕQGD y=ax+b úHNOLQGH GR÷UXVDO ELU LOLúNL EHNOHQGL÷LQH J|UHJ|]OHPQRNWDODUÕQÕHQL\LWHPVLOHGHQGR÷UXGHQNOHPLQLEXOXQX] Ölçüm No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 3.50 6.50 8.20 8.50 12.08 13.40 17.60 18.00 20.90 21.92 Çözüm*|]OHPYHULOHULQLNXOODQDUDNDúD÷ÕGDNLWDEOR\XROXúWXUDOÕP Ölçüm No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x y x2 xy 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 3.50 6.50 8.20 8.50 12.08 13.40 17.60 18.00 20.90 21.92 0.00 1.00 4.00 9.00 16.00 25.00 36.00 49.00 64.00 81.00 0.00 6.50 16.40 25.50 48.32 67.00 105.60 125.99 167.20 197.28 n ∑ xi = 45 i =1 n ∑ yi = 130.60 i =1 n ∑ xi 2 = 285.00 i =1 Buna göre, (3) formüllerinden 285a + 45b = 759.75 45a + 10b = 130.6 denklem sistemi ve çözümünden de a=2.09 ve E x ve y HOGHHGLOLU2KDOGHDUDQDQGR÷UXGHQNOHPL y = 2.09 x + 3.65 ROXS J|]OHP QRNWDODUÕ LOH ELUOLNWH ùHNLO ¶ J|VWHULOPLúWLU 154 de n ∑x y i i =1 i = 759.75 3.17. Skalar ve Vektör Alanlar 7DQÕP . D ⊂ R n E|OJHVLQGH WDQÕPOÕ f skalar fonksiyonu, D bölgesinin her bir ( x1 , x2 ,..., xn ) f ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈ R VD\ÕVÕQÕ NDUúÕOÕN JHWLULU %|\OHFH D WDQÕP NPHVL LOH f(D) QRNWDVÕQD ELU GH÷HUOHUNPHVLQHELUOLNWH D bölgesinde, f fonksiyonu ile belirlenen bir skalar alan denir. 7DQÕPD J|UH |UQH÷LQ \HU\]QGHNL FR÷UDILN QRNWDODUÕQ UDNÕPODUÕ \D GD |UQH÷LQ JQHúLQ LoHULVLQGHNLKHUKDQJLELUQRNWDQÕQ\R÷XQOX÷X\DGDVÕFDNOÕ÷ÕúHNOLQGHWDQÕPODQDQIRQNVL\RQODU ELUHU VNDODU DODQ WDQÕPODUODU %XQD J|UH |UQH÷LQ NRQXP YHNW|U LWLEDUHQ |OoOPHN ]HUH JQHúLQ LoLQGHNL VÕFDNOÕN DODQÕQÕ G r JQHúLQ PHUNH]LQGHQ G T (r ) skalar fonksiyonu ile G gösterirsek, T (r ) = c (c VDELW GHQNOHPLQL VD÷OD\DQ \]H\H VÕFDNOÕNOÕ÷Õ c olan “Hú VÕFDNOÕN yüzeyi´ GHQLU %HQ]HU RODUDN 5 \DUÕoDSOÕ ELU \ÕOGÕ]ÕQ GÕúÕQGDNL QRNWDODUÕQ NRQXP YHNW|UOHULQL G G G yine r ( r = r > R LOH J|VWHULUVHN YH \ÕOGÕ]ÕQ GÕú NÕVPÕQGDNL SRWDQVL\HO DODQÕQÕ GD ψ (r ) VNDODU IRQNVL\RQX LOH WDQÕPODUVDN EX GXUXPGD GD G ψ (r ) = c (c VDELW GHQNOHPLQL VD÷OD\DQ yüzeylere “HúSRWDQVL\HO\]H\ler” denir. G 7DQÕP . D ⊂ R n E|OJHVLQGH WDQÕPOÕ YHNW|U GH÷HUOL F fonksiyonu, D bölgesinin her bir G ( x1 , x2 ,..., xn ) QRNWDVÕQD F ( x1 , x2 ,..., xn ) úHNOLQGH ELU YHNW|U NDUúÕOÕN JHWLULU D tanÕP NPHVL G G ile F ( D ) GH÷HUOHU NPHVLQH ELUOLNWH D bölgesinde, F fonksiyonu ile belirlenen bir vektör DODQÕGHQLU %LU YHNW|U DODQÕQÕ EHOLUWPHN LoLQ V|] NRQXVX E|OJHGH WDQÕPOÕ YHNW|U GH÷HUOL IRQNVL\RQXQ ifaGHVLQL YHUPHN \HWHUOLGLU %LU YHNW|U DODQÕ |UQHN ELU NDo YHNW|U LOH úHPDWLN RODUDN G J|VWHULOHELOLU(÷HU|]HORODUDNoER\XWOXX]D\LOHLOJLOHQLUVHN F YHNW|UDODQÕEXX]D\ÕQKHU bir (x, y, zQRNWDVÕQD G G G G F ( x , y , z ) = P ( x , y , z )i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k (1) úHNOLQGHELUYHNW|UNDUúÕOÕNJHWLULU Örnek 1. Yerin merkezini orijin kabul eden bir dik koordinat sisteminde, herhangi bir (x, y, zQRNWDVÕQGDNLoHNLPNXYYHWLQL G G G G G xi + yj + zk GM r =− 2 F ( x, y , z ) = −GM 2 2 2 3/ 2 (x + y + z ) r r 155 (2) G G G G formülü ile verebiliriz. Burada, r = xi + yj + zk ve r, sözkonusu (x, y, z QRNWDVÕQÕQ NRQXP YHNW|U YH RULMLQH RODQ X]DNOÕ÷Õ LNHQ ( G = 6.668 ×10−8 cgs, M=5.97 ×1027 g ). (2) fonksiyonu, yer merkezli bir G, evrensel çekim sabiti ve M de yerin kütlesidir Böylece, koordinat VLVWHPLQGHELUYHNW|UDODQÕWDQÕPODU%XYHNW|UDODQÕ ùHNLO ¶GH úHPDWLN RODUDN J|VWHULOPLúWLU ùHNLOGH EWQ YHNW|UOHULQ \HULQ PHUNH]LQH GR÷UX \|QHOPLú ROGXNODUÕQD YH PHUNH]GHQ X]DNODúWÕNoD YHNW|UOHULQ úLGGHWOHULQLQNoOG÷QHGLNNDWHGLQL] G G Örnek 2. F ( x, y , z ) = yj fonksiyonu, y-eksenine SDUDOHOELUYHNW|UDODQÕWDQÕPODUùHNLO%XDODQGDNL vektörler daima y-eksenine paraleldirler ve y ile YHULOHQGH÷LúNHQúLGGHWHVDKLSWLUOHU f(x,y,z ELULQFL PHUWHEHGHQ VUHNOL NÕVPL WUHYOHUH V ahip bir fonksiyon olmak üzere, f fonksiyonunun gradiyentini ∇f = gradf = ∂f G ∂f G ∂f G i+ j+ k ∂x ∂y ∂z (3) úHNOLQGH WDQÕPODPÕúWÕN ùLPGL GH VNDODU YH YHNW|UHO DODQODU LoLQ GL÷HU ED]Õ WDQÕPODPDODU verelim. G 7DQÕP 'LYHUMDQV G G G . F ( x, y , z ) = P( x, y, z )i + Q ( x, y , z ) j + R ( x, y , z )k vekt|U DODQÕ YHULOVLQ ve P, Q ve R VNDODU IRQNVL\RQODUÕ VÕUDVÕ\OD x, y, ve z¶\H J|UH VUHNOL NÕVPL WUHYOHUH VDKLS olsun. Bu durumda G G divF = ∇F = ∂P ∂Q ∂R + + ∂x ∂y ∂z (4) 156 G VNDODU GH÷HULQH F ( x, y , z ) YHNW|U GH÷HUOL IRQNVL\RQXQXQ ³diverjDQVÕ´ GHQLU 'LYHUMDQVÕ VÕIÕU RODQYHNW|UDODQODUÕQD³VHUEHVWGLYHUMDQVOÕDODQODU´GHQLU G 7DQÕP G G G 5 (Rotasyonel). F ( x, y , z ) = P( x, y, z )i + Q ( x, y , z ) j + R ( x, y , z )k YHNW|UDODQÕYHULOVLQ ve P, Q ve R VNDODU IRQNVL\RQODUÕ ELULQFL PHUWHEHGHQ VUHNOL NÕVPL WUHYOHUH VDKLS ROVXQ %u durumda G G ∂ ∂x P ∂ ∂y Q i G G G rotF = curlF = ∇ × F = G j k G G G ∂ = ( Ry − Qz )i + ( Pz − Rx ) j + (Qx − Py )k ∂y R G YHNW|UHOGH÷HULQH F ( x, y , z ) YHNW|UGH÷HUOLIRQNVL\RQXQXQ³rotasyoneli” ya da “curlu” denir. G G G G Örnek 3. F ( x, y , z ) = yzi + xzj + xyk IRQNVL\RQXQXQGLYHUMDQVÕQÕYHFXUOXQXEXOXQX] Çözüm. G G divF = ∇F = ∂P ∂Q ∂R + + =0 ∂x ∂y ∂z G i G G ∂ curlF = ∇ × F = ∂x yz G j ∂ ∂y xz G k ∂ =0 ∂y xy dir. Örnek 4dHNLPDODQÕQÕQGLYHUMDQVÕQÕQVÕIÕUROGX÷XQXJ|VWHULQL] ÇözümdHNLPDODQÕIRQNVL\RQXQX G (5) G G G xi + yj + zk F ( x, y , z ) = −GM 2 ( x + y 2 + z 2 )3/ 2 G G G −GMx −GMy −GMz =( 2 )i + ( 2 ) j +( 2 )k 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 2 2 3/ 2 (x + y + z ) (x + y + z ) (x + y + z ) úHNOLQGH\D]DUVDN 157 −GMx −GMx , = 2 2 3/ 2 (x + y + z ) r3 −GMy −GMy = Q ( x, y , z ) = 2 , 2 2 3/ 2 (x + y + z ) r3 −GMz −GMz R ( x, y , z ) = 2 = 2 2 3/ 2 (x + y + z ) r3 P ( x, y , z ) = 2 elde ederiz. Buradan ∂P = ∂x −GMr 3 + 3GMr 2 x r6 x 2 2 r = −GMr + 3GMx r5 ve benzer olarak ∂Q −GMr 2 + 3GMy 2 ∂R −GMr 2 + 3GMz 2 ve = = r5 r5 ∂y ∂z HOGHHGHUL]%|\OHFHoHNLPDODQÕQÕQGLYHUMDQVÕ G G divF = ∇F = ∂P ∂Q ∂R + + = ∂x ∂y ∂z −GMr 2 + 3GMx 2 −GMr 2 + 3GMy 2 −GMr 2 + 3GMz 2 + + r5 r5 r5 2 2 2 GM x + y +r = − 3 3 + 3GM ( ) r r5 GM r2 = − 3 3 + 3GM ( 5 ) = 0 r r = olur. 9HNW|UHODODQODUDLOLúNLQD\UÕQWÕOÕNRQXODULOHULGH³9HNW|UHO$QDOL]%|OPQGH´YHULOHFHNWLU 158 Bölüm 4 øNL .DWOÕøQWHJUDOOHU %X E|OPQ DPDFÕ iki NDWOÕ LQWHJUDOOHUL WDQÕPODPDN YH oHúLWOL IRQNVL\RQODUÕQ IDUNOÕ E|OJHOHU ]HULQGHNLLNLNDWOÕLQWHJUDOOHULQLKHVDSODPDNWÕU øNL.DWOÕøQWHJUDOOHU ). z = f ( x, y ) VÕQÕUOÕ D ⊂ R 2 bölgesiQGH WDQÕPOÕ ROVXQ D bölJHVLQL ùHNLO ¶GH J|VWHULOGL÷L JLEL x- ve y-HNVHQOHULQH SDUDOHO GR÷UXODUOD DOW E|OJHOHUH D\ÕUDOÕP D¶QLQ GLNG|UWJHQVHO SDUoDODQÕúÕ YH elde edilen alt bölgeleri, 1’den n’ye kadar QXPDUDODQGÕUDOÕP D E|OJHVLQLQDODQÕ A olmak üzere, D¶QLQ SDUoDODQÕúÕQGDNi i-ci alt bölgenin * * DODQÕQÕ ∆A ile gösterelim. ùLPGL ( x , y ) ile i-ci alt bölge içerisindeki her hangi bir nokta\Õ i i i göstererek 7DQÕP øNL .DWOÕ øQWHJUDO n ∑ f ( x , y )∆A * i * i (1) i i =1 D’nin soQVX]SDUoDODQÕúÕLoLQ n → ∞ WRSODPÕWHN ELUVRQOX VOLPLWLQH\DNÕQVDUVDEXOLPLWH z = f ( x, y ) fonksiyonunun, DE|OJHVLQGHNLLNLNDWOÕLQWHJUDOL denir ve WRSODPÕQÕROXúWXUDOÕP(÷HU ùHNLO ∫∫ D 4.1 n f ( x, y )dxdy = lim ∑ f ( xi* , yi* )∆Ai n →∞ (2) i =1 ile gösterilir. 159 Not. D E|OJHVLQLQ SDUoDODQÕúÕQGD NXOODQGÕ÷ÕPÕ] GR÷UXODU EXUDGDNL JLEL x- ve y-eksenlerine paralel ROPDN ]RUXQGD GH÷LOGLU hVWHOLN SDUoDODQPD G|UWJHQVHO ROPDN ]RUXQGD GD GH÷LOGLU Ancak, H÷HU, dörtgensel parçalanma uygulanacaksa, matemaWLN DoÕGDQ E\N NROD\OÕN VD÷OD\DFD÷ÕQGDQ x- ve y-HNVHQOHULQH SDUDOHO GR÷UXODUÕQ NXOODQÕOPDVÕ WHUFLK HGLOLU gUQH÷LQ uoODNNRRUGLQDWODUNXOODQÕOGÕ÷ÕQGDLVHparçalama için, sabit r ve sabit θH÷UileriNXOODQÕOÕU 4.2øNL.DWOÕøQWHJUDOin Geometrik AQODPÕ z = f ( x, y ) sürekli fonksiyonunun, i-FL DOW E|OJH LoHULVLQGHNL HQ NoN GH÷HUL mi , en büyük GH÷HULGH M olsun. Bu durumda, i mi ∆Ai ≤ f ( xi* , yi* ) ∆Ai ≤ M i ∆Ai (1) , HúLWVL]OL÷LQL \D]DELOLUL] (úLWVL]OL÷LQ VRO YH VD÷ WDUDIODUÕ WDEDQ DODQODUÕ ∆Ai ve yükseklikleri, mi ve M i RODQ GLN SUL]PDODUÕQ KDFLPOHULQH HúLWWLU (1 HúLWVL]OL÷L GLNNDWH DOÕQÕUVD önceki kesimdeki WRSODPÕQÕ VÕUDVÕ\OD n n n i =1 i =1 i =1 ∑ mi ∆Ai ≤ ∑ f ( xi* , yi* )∆Ai ≤ ∑ M i ∆Ai (2) . D E|OJHVLQLQ VRQVX] SDUoDODQÕúÕ durumunda, ∆Ai DODQODUÕ VÕIÕUD \DNODúÕUNHQ z = f ( x, y ) fonksiyonunun, her bir alt bölgedeki úHNOLQGH DOWWDQ YH VWWHQ VÕQÕUOD\DELOLUL] EN] ùHNLO HQ NoN YH HQ E\N GH÷HUOHUL GH GR÷DO RODUDN ELUELUOHULQH \DNODúDFDNWÕU 'ROD\ÕVÕ\OH n n ∑ m ∆A i ve i i =1 ∑ M ∆A i i WRSODPODUÕD\QÕELUOLPLWH\DNÕQVD\DFDNYHEXOLPLW inGH÷HUL de, WDEDQÕ i =1 D bölgesi olan dik silindirin, z = f ( x, y ) \]H\L LOH VWWHQVÕQÕUODQPDVÕ\OD HOGHHGLOHQ FLVPLQ KDFPL RODFDNWÕU(÷HU, bu hacmi V ile gösterirsek, (2HúLWVL]OL÷LQGHQ n → ∞ için limite geçer YHVDQGYLoNXUDOÕQÕdikkate alÕUVDN n ∑ f ( x , y )∆A = ∫∫ f ( x, y )dxdy = lim = V * i i =1 * i i D (3) n →∞ yazabiliriz. Buna göre, z = f ( x, y ) fonksiyonunun, bir D E|OJHVL ]HULQGHQ DOÕQDQ LNL NDWOÕ integraliWDEDQÕ bu D bölgesi olan YHWDYDQÕda z = f ( x, y ) yüzeyi ile belirlenen dik silindirin hacPLQHHúLWWLU 7DQÕP . ∫∫ f ( x, y)dxdy úHNOLQGH YHULOHQ LNL NDWOÕ LQWHJUDOGH x ve y’ye “integrasyon D GH÷LúNHQOHUL”, f ( x, y ) ’ye “integrand” ve D bölgesine de “integrasyon bölgesi” denir. 160 Teorem 2. (Birinci Fubini Teoremi). z = f ( x, y ) fonksiyonu, D = {( x, y ) a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d } ⊂ R 2 E|OJHVLQGHWDQÕPOÕYHVUHNOLROVXQ%XGXUXPGD ∫∫ f ( x, y )dxdy LNLNDWOÕLQWHJUDOL D ∫∫ D d b b d f ( x, y )dxdy = ∫ ∫ f ( x, y )dx dy = ∫ ∫ f ( x, y )dy dx c a a c (4) , úHNOLQGHWHNNDWOÕ DUGÕúÕNLQWHJUDOOHUELoLPLQGHKHVDSODQDELOLU øVSDW . ∫∫ f ( x, y )dxdy LQWHJUDOL WDEDQÕ x=a, x=b, y=c ve y=d GR÷UXODUÕ LOH EHOLUOHQHQ D GLNG|UWJHQ YH WDYDQÕ GD z = f ( x, y ) yüzeyi ile belirlenen cismin KDFPL RODFDNWÕU %X KDF mi, ekil 2’deki JLEL WDEDQÕQÕQ VRQVX] SDUoDODQPDVÕ\OD HOGH HGLOHQ GLN SUL]PD úHNOLQGHNL KDFLP elemanODUÕQÕQWRSODPÕRODUDNGúQbiliriz. ù ùHNLOGHNL KLMNE|OJHVLQLQDODQÕ d A( KLMN ) = ∫ f ( x, y )dy (5) c ve KLMNPQRS cisminin hacmi de b d V = H ( KLMNPQRS ) = ∫ ∫ f ( x, y )dy dx a c olur. Bu sefer KPQLE|OJHVLQLGLNNDWHDOÕUVDN 161 (6) b A( KPQL) = ∫ f ( x, y )dx (7) a ve KLMNPQRS cisminin hacmi de d b V = H ( KLMNPQRS ) = ∫ ∫ f ( x, y )dx dy c a (8) ROXU6RQXoRODUDNLNLNDWOÕLQWHJUDOLQKHVDSODQPDVÕLoLQ d b b d V = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ ∫ f ( x, y )dx dy = ∫ ∫ f ( x, y )dy dx D c a a c (9) úHNOLQGHDUGÕúÕNLQWHJUDOIRUPOOHULQLHOGHHGHUL] Not øNL NDWOÕ LQWHJUDOLQ DUGÕúÕN LQWHJUDOOHU LOH KHVDSODQPDVÕ LoLQ WDQÕP NPHVLQLQ PXWODND GLNG|UWJHQE|OJHROPDVÕ]RUXQOXGH÷LOGLUùLPGLEXQXQODLOJLOi teoremi verelim. Teorem 3 øNLQFL )XELQL 7HRUHPL u ( x) ve v( x) , [a, b ] NDSDOÕ DUDOÕ÷ÕQGD WDQÕPOÕ YH VUHNOL fonksiyonlar ve z = f ( x, y ) de, D = {( x, y ) a ≤ x ≤ b, u ( x ) ≤ y ≤ v ( x)} ⊂ R 2 basit GúH\ E|OJHVLQGH WDQÕPOÕ YH VUHNOL IRQNVL\RQ ROVXQ %X GXUXPGD ∫∫ f ( x, y )dxdy iki D NDWOÕLQWHJUDOL ∫∫ D b v(x) f ( x, y )dxdy = ∫ ∫ f ( x, y )dy dx a u ( x ) (10) úHNOLQGHWHNNDWOÕDUGÕúÕNLQWHJUDOELoLPLQGHKHVDSODQDELOLU . Burada, D basit bölgesi ile z = f ( x, y ) \]H\LQLQ WDQÕPODGÕ÷Õ FLVPLQ xy-düzlemindeki WDEDQÕQÕQ ùHNLO 4¶GH J|UOG÷ JLEL DOW YH VW NHQDUODUÕ VÕUDVÕ\OD u ( x ) ve v ( x ) IRQNVL\RQODUÕ LOH belirlenen ve y-HNVHQLQH SDUDOHO RODQ úHULWOHUH E|OQG÷ YDUVD\ÕOÕU %X úHULWOHU ile z = f ( x, y ) øVSDW \]H\LQLQ EHOLUOHGL÷L KDFLP HOHPDQODUÕQÕQ WRSODPÕ aranan hacmi verecektir. z = f ( x, y ) fonksiyonu, %HQ]HU RODUDN 162 H÷HU D = {( x, y ) u ( y ) ≤ x ≤ v ( y ), c ≤ y ≤ d } ⊂ R 2 EDVLW\DWD\E|OJHVLQGHWDQÕPODQPÕúVDLNLNDWOÕ ∫∫ D integral v( y) f ( x, y )dxdy = ∫ ∫ f ( x, y )dx dy u ( y ) c d úHNOLQGH KHVDSODQDELOLU %XUDGD GD D KDFPLQ EX úHULWOHU LOH hacim elemDQODUÕQÕQ (12) , x4.4) ve toplam WDQÕP NPHVL HNVHQLQH SDUDOHO úHULWOHUH E|OQPú ùHNLO z = f ( x, y ) \]H\LQLQ EHOLUOHGL÷L WRSODPÕQD HúLW ROGX÷X dikkate DOÕQPÕúWÕU Örnek 1. z = xy fonksiyonunun, x D = ( x, y ) 1 ≤ x ≤ 3, ≤ y ≤ 2 x ⊂ R 2 2 EDVLWGúH\E|OJHVLQGHNLLNLNDWOÕLQWHJUDOLQLKHVDSOD\ÕQÕ] Çözüm. D E|OJHVL ùHNLO .5¶GH J|VWHULOGL÷L JLEL ELU GúH\ EDVLW E|OJH olup, y-HNVHQLQH SDUDOHO úHULWOHUGHQ ROXúWX÷XGúQOUVH ∫∫ D (11) 3 2x f ( x, y )dxdy = ∫ ∫ xydy dx 1 x/2 \D]DELOLUL]gQFHLoWHNLLQWHJUDOLDOÕUVDN 3 2x 3 1 2 = = xydxdy xydy dx ∫∫D ∫1 x∫/ 2 2 ∫1 xy 3 = dx x/2 2 1 x x (4 x 2 − )dx ∫ 21 4 3 = 2x 1 15 x3 2 ∫ 1 ) 4 dx = 15 8 3 ∫ x dx 3 1 elde ederiz. Buradan da 163 ∫∫ xydxdy = D = 3 15 3 15 4 3 x dx = x ∫ 8 1 32 1 15 4 4 15 75 (3 − 1 ) = × 80 = 32 32 2 sonucunu elde ederiz. Örnek 2. z = e x + y fonksiyonunun, D = {( x, y ) y ≤ x ≤ 2 y , 0 ≤ y ≤ 2} ⊂ R 2 EDVLW\DWD\E|OJHVLQGHNLLNLNDWOÕLQWHJUDOLQLKHVDSOD\ÕQÕ] Çözüm. DE|OJHVLEDVLW\DWD\E|OJHRODUDNWDQÕPODQGÕ÷ÕQGDQ 2 2 y x+ y x+ y e dxdy = ∫∫D ∫0 ∫y e dx dy yazabiliriz. Buna göre ∫∫ e 2 2 y x+ y dxdy = ∫ ∫ e dx dy = ∫ e x + y y 0 0 2 x+ y D 2y y dy 2 2 1 1 = ∫ (e3 y − e 2 y )dy = ( e3 y − e2 y ) 3 2 0 0 1 1 1 1 = ( e6 − e 4 ) − ( − ) 3 2 3 2 1 1 1 = e6 − e 4 + 3 2 6 sonucunu elde ederiz. Örnek 3. D bölgesi, y = x 2 parabolü ile y = 2 x GR÷UXVXDUDVÕQGDNDODQE|OJHROGX÷XQDJ|UH, z = 2 x + y − 1 fonksiyonunun D bölgesindeki LNLNDWOÕLQWHJUDOLQL basit yatay bölge formülü ile KHVDSOD\ÕQÕ] Çözüm. y = x 2 parabolü ile y = 2 x GR÷UXVXQXQ NHVLP QRNWDODUÕ (0,0) ve (2,4)’tür. D E|OJHVLQLùHNLO4¶GDJ|UOG÷JLELELUEDVLW\DWD\E|OJHRODUDNGLNNDWHDOÕUVDN 164 4 y x y dxdy x y dx dy (2 1) (2 1) + − = + − ∫∫D ∫0 y∫/ 2 yazabiliriz. Buna göre 4 2 ∫∫ (2 x + y − 1)dxdy = ∫ ( x + xy − x) D 0 y y/2 dy 4 y2 y2 y = ∫ ( y + y 3/ 2 − y1/ 2 ) − ( + − ) dy 4 2 2 0 4 3y2 3y = ∫− + + y 3/ 2 − y1/ 2 dy 4 2 0 4 y 3 3 y 2 2 y 5/ 2 2 y 3/ 2 ) = (− + + − 4 4 5 3 0 43 3 × 4 2 2 × 45 / 2 2 × 43/ 2 + + − 4 4 5 3 64 16 = −16 + 12 + − 5 3 52 = 15 =− VRQXFXQD XODúÕUÕ] (÷HU , D bölgesi, ùHNLO 4.7’deki gibi bLU EDVLW GúH\ E|OJH RODUDN VHoLOirse, bu durumda da 2 2x x y dxdy (2 + − 1) = ∫∫D ∫0 ∫2 (2 x + y − 1)dy dx x 2 2x y2 = ∫ (2 xy + − y ) dx 2 0 x2 2 x4 = ∫ (4 x 2 + 2 x 2 − 2 x) − (2 x3 + − x 2 ) dx 2 0 2 = ∫ (− 0 x4 − 2 x 3 + 7 x 2 − 2 x)dx 2 2 x5 x 4 7 x3 =− − + − x2 10 2 3 0 25 24 7 × 23 − + − 22 10 2 3 16 56 = − + − 12 5 3 52 = 15 =− 165 elde edilirdi. Bu örnekten GH J|UOG÷ JLEL øNL NDWOÕ ELU LQWHJUDOLQ KHVDSODQPDVÕ D WDQÕP NPHVLni, integral hesaEÕ daha kolay yapPDN DPDFÕ\ODGúH\ ya da yatay basit bölge olarak alabiliriz. D\QÕ VRQXo VÕUDVÕQGD LQWHJUDQGÕQ Teorem 4. Di (i = 1, 2,..., n) ’ler, küme olan bölgeler ve VÕQÕU oL]JLOHUL KDULo ROPDN ]HUH LNLúHU LNLúHU DUDNHVLWOHUL ERú n D = *Di (13) i =1 olmak ]HUHH÷HU z = f ( x, y ) fonksiyonu, Di (i = 1, 2,..., n) alt bölgelerinin her birindHWDQÕPOÕ ve sürekli ise ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x, y )dxdy + ∫∫ f ( x, y )dxdy + ... + ∫∫ f ( x, y )dxdy D D1 D2 (14) Dn olur. øVSDW . ∫∫ f ( x, y)dxdy D integralinin, D bölgesi ile f ( x, y ) \]H\LDUDVÕQGDNDODQFLVPLQKDFPLROGX÷XGúQOUVHEX hacmin, (14) deki gibi, arakesitlerL ERú NPH RODQ n WDQH FLVPLQ KDFLPOHUL WRSODPÕ úHNOLQGH \D]ÕODELOHFH÷LNROD\FDDQODúÕOÕU 7HRUHP JHUH÷LQFH ELU LNL NDWOÕ LQWHJUDO KHVDSODQÕUNHQ LQWHJUDQG E|OJHVL DUDNHVLWOHUL ERú NPH RODQ VRQOX VD\ÕGD EDVLW E|OJHQLQ ELUOHúLPL RODUDN GúQOHELOLU ùLPGL EXQD ELU |UQHN verelim. Örnek 4. DWDQÕP E|OJHVL y = 2 x y = − x + 6 GR÷UXODUÕLOH x olmak üzere ∫∫ xydxdy D LQWHJUDOLQLKHVDSOD\ÕQÕ] Çözüm. ùHNLO4.8’de göUOG÷]HUH D = D1 ∪ D2 ve D1 ∩ D2 = ∅ ROGX÷XQGDQ 166 GR÷UXVXQXQ EHOLUOHGL÷LE|OJH ∫∫ xydxdy = ∫∫ xydxdy + ∫∫ xydxdy D D1 D2 olur. Her iki bölge de,úHNLOGHJ|VWHULOGL÷LJLEL,EDVLWGúH\E|OJHOHURODUDNGLNNDWHDOÕQÕUVD 2 2x 6 − x +6 xydxdy xydy dx xydy = + dx ∫∫D ∫0 ∫0 ∫ ∫ 2 0 2x 2 − x +6 6 xy 2 xy 2 = ∫( ) dx + ∫ ( ) 2 0 2 0 0 2 2 6 0 2 = 2 ∫ x3 dx + ∫ x(− x + 6)2 dx 2 4 2 x = 2 dx 6 1 x4 + ( − 4 x3 + 3 x 2 ) 2 4 0 2 1 64 24 = 8 + ( − 4 × 63 + 3 × 6 2 ) − ( − 4 × 2 3 + 3 × 2 2 ) 2 4 4 1 = 8 + (−432 − 16) = −216 2 sonucunu elde ederiz. øNL.DWOÕøQWHJUDOOHULQ'L÷HUg]HOOLNOHUL i) f ( x, y ) ve g ( x, y ) ’ler, D E|OJHVLQGH WDQÕPOÕ YH VUHNOL LNL IRQNVL\RQ YH h ile k keyfi iki sabit olmak üzere ∫∫ [hf ( x, y) + kg ( x, y)] dxdy = h∫∫ f ( x, y)dxdy + k ∫∫ g ( x, y)dxdy D D (1) D olur. ii)(÷HU'E|OJHVLQLQKHU\HULQGH f ( x, y ) ≤ g ( x, y ) ise ∫∫ f ( x, y )dxdy ≤ ∫∫ g ( x, y )dxdy D (2) D HúLWVL]OL÷LVD÷ODQÕU iii) (øNL .DWOÕ øQWHJUDO KHVDEÕQ RUWDODPD GH÷HU WHRUHPL). f ( x, y ) fonksiyonunun, D bölgesindeki en NoNYHHQE\NGH÷HUOHULVÕUDVÕ\ODm ve M ve DE|OJHVLQLQDODQÕA olmak üzere, mA < ∫∫ f ( x, y )dxdy < MA (3) D 167 ve f ( x, y ) VUHNOL ( x0 , y0 ) ∈ D QRNWDVÕEXOXQDELOLUNL, bu nokta için HúLWVL]OLNOHUL \D]ÕODELOHFH÷LQGHQ ELU IRQNVL\RQ ROGX÷XQGDQ |÷OH ELU ∫∫ f ( x, y )dxdy = f ( x , y ) A (4) 1 f ( x, y )dxdy A ∫∫ D (5) 0 0 D ya da f ( x0 , y0 ) = , f ( x0 , y0 ) ’nin \D]ÕODELOLU%XUDGD m < f ( x0 , y0 ) < M (6) HúLWVL]OL÷LQL VD÷OD\DQ ELU VD\Õ ROGX÷XQD GL kkat edilmelidir. (5) ile verilen f ( x0 , y0 ) GH÷HULQH f ( x, y ) fonksiyonunun, DE|OJHVLQGHNLRUWDODPDGH÷HULGHQLU iv) f ( x, y ) , DE|OJHVLQGHWDQÕPOÕYHVUHNOLELr fonksiyon olmak üzere ∫∫ f ( x, y )dxdy ≤ ∫∫ D f ( x, y ) dxdy (7) D . HúLWVL]OL÷LYDUGÕU v) DE|OJHVLQLQDODQÕA ise, f ( x, y ) = 1 DOÕQarak, A = ∫∫ dxdy (8) D elde edilir. Örnek 1. f ( x, y ) = x 2 + y 2 fonksiyonunun, x = 0, x = 2, y = 0, y = 1 belirlenen DE|OJHVL]HULQGHQRUWDODPDVÕQÕEXOXQX] GR÷UXODUÕ ile Çözüm. ( x0 , y0 ) ∈ D olmak üzere, f ( x, y ) = x 2 + y 2 fonksiyonunun, söz konusu bölgedeki RUWDOD GH÷HUL f ( x , y ) olsun. Bu durumda, LNL NDWOÕ LQWHJUDO KHVDEÕQ RUWDODma GH÷HU WHRUHPL 0 0 JHUH÷LQFH f ( x0 , y0 ) = 1 f ( x, y )dxdy A ∫∫ D yazabiliriz. DE|OJHVLQLQDODQÕ 168 A = 2 br 2 ROGX÷XQDJ|UH 1 2 1 1 f ( x0 , y0 ) = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ ∫ ( x 2 + y 2 )dx dy AD 2 0 0 2 1 = 1 1 x3 1 8 ( + xy 2 ) dy = ∫ ( + 2 y 2 )dy ∫ 20 3 20 3 0 1 1 8 y 2 y3 1 8 2 5 f ( x0 , y0 ) = ( + ) = ( + )= 2 3 3 0 6 3 3 9 elde edilir. O halde, D bölgesinde f ( x0 , y0 ) = x0 2 + y0 2 = 5 9 r = 5 / 3 olan çemberin, D f ( x, y ) = x 2 + y 2 fonksiyonu E|OJHVL LoHULVLQGH NDODQ \D\Õ ]HULQGHNL QRNWDODUÕQ KHSVLQGH, GHQNOHPLQL VD÷OD\DQ QRNWDODU da yani, merkezi (0,0) YH \DUÕoDSÕ RUWDODPDGH÷HULQHVDKLSWLUYHEXGH÷HU¶GXU Not: Bir fonksiyon, belli bir D E|OJHVLQGHNL RUWDODPD GH÷HULQL E|OJHQLQ \DOQÕ]FD ELU QRNWDVÕQGD DODELOHFH÷L JLEL \XNDUÕGDNL |UQHNWH ROGX÷X JLEL E|OJHQLQ ELUGHQ çok noktaVÕQGD da alabilir. Örnek 2. ùHNLO 4.9’da verilen D E|OJHVLQLQ DODQÕQÕ KHVDSOD\ÕQÕ] Çözüm. Önce GR÷UXQXQGHQNOHPLQLEXODOÕP x y + =1⇒ y = x + 2 . −2 2 ùLPGLGHSDUDEROLOHGR÷UXQXQNHVLPQRNWDODUÕQÕEXODOÕP 3DUDEROYHGR÷UXIRQNVL\RQODUÕQÕHúLWOHUVHN x 2 = x + 2 ⇒ x 2 − x − 2 = 0 ⇒ ( x + 1)( x − 2) = 0 ⇒ x1 = −1, x2 = 2 elde ederiz. O halde, NHVLP QRNWDODUÕ VÕUDVÕ\OD E|OJHRODUDNGLNNDWHDOÕUVDN A(-1, 1) ve (2,4)’dU %XQD J|UH EDVLW GúH\ DE|OJHVLQLQDODQÕ 169 2 2 x+2 x+2 A = ∫∫ dxdy = ∫ ∫ dy dx = ∫ y x 2 dx = ∫ ( x + 2 − x 2 )dx D −1 −1 −1 x2 2 x2 x3 = + 2x − 2 3 2 =( −1 22 23 (−1) 2 (−1)3 7 )= + 2× 2 − ) − ( + 2 × (−1) − 2 3 2 3 2 olur. 4.4øNL.DWOÕøQWHJUDOOHUGH'H÷LúNHQ'H÷LúWLULOPHVL%|OJH'|QúPOHUL uv-düzleminde bir B bölgesinin ùHNLO 4.10D¶GD J|VWHULOGL÷L JLEL koordinat eksenlerine SDUDOHOGR÷UXODUODVRQVX]SDUoDODQÕúÕ ile bu SDUoDODQÕúÕQELU K ′L′M ′N ′ DODQHOHPDQÕQÕ GLNNDWH DODOÕPuv-düzleminden, xy-dü]OHPLQHELUE|OJHG|QúP x = x(u , v ) T ≡ y = y (u , v) (1) uv-düzlemindeki bir B bölgesi, T G|QúP LOH xy′ düzlemindeki bir D bölgesine ve K L′M ′N ′ alan elemDQÕGDKLMNDODQHOHPDQÕQDG|QúVQ ùHNLO 4.10(b)’de, K QRNWDVÕQÕQ NRRUGLQDWODUÕ K ( x, y ) = K ( x (u , v ), y (u , v )) olsun. Bu durumda, G|QúP IRUPOOHUL LOH YHULOVLQ SDUoDODQÕúÕQ VRQVX] ROPDVÕ QHGHQL\OH LNLQFL PHUWHEHGHQ WUHYOHUL LoHUHQ WHULPOHUL LKPDO edersek, L, ve N QRNWDODUÕQÕQ NRRUGLQDWODUÕQÕ VÕUDVÕ\OD , L( x + ∂x ∂y dv, y + dv ) ∂v ∂v ve ∂x ∂y du , y + du ) úHNOLQGH \D]DELOLUL] KLMN DODQ HOHPDQÕQÕQ DODQÕ dA , KLN üçgen ∂u ∂u DODQÕQÕQ LNL NDWÕGÕU KLN oJHQLQLQ DODQÕ N|úHOHULQLQ \XNDUÕGD YHUGL÷LPL] NRRUGLQDWODUÕ cinsinden N (x + 170 x ∂x dA = x + dv ∂v ∂x x + du ∂u y 1 ∂y y + dv 1 ∂v ∂y y + du 1 ∂u (2) úHNOLQGHLIDGHHGLOHELOLU'HWHUPLQDQWDoÕOÕUYHG]HQOHQLUVH dA = ∂x ∂y ∂x ∂y dudv = J dudv − ∂u ∂v ∂v ∂u (3) elde edilir. Burada J, TG|QúPQQ-DFRELGHWHUPLQDQWÕ olup ∂x ∂ ( x, y ) ∂u = J= ∂ (u , v ) ∂x ∂v ∂y ∂u ∂x ∂v (4) DE|OJHVLQGHWDQÕPOÕYHVUHNOLELU z = f ( x, y ) fonksiyonunun LNL NDWOÕ LQWHJUDOLQL VRQVX] SDUoDODQÕúÕQ x- ve y-HNVHQOHULQH SDUDOHO GR÷UXODUOD \DSÕOGÕ÷Õ ED÷ÕQWÕVÕ\ODWDQÕPODQÕUùLPGL GXUXPGLNNDWHDODOÕPYHEXLQWHJUDOL I = ∫∫ f ( x, y )dxdy (5) D LOHJ|VWHUHOLP+DOEXNLùHNLO 4.10E¶GHNLSDUoDODQÕúÕGLNNDWHDOGÕ÷ÕPÕ]GDI integralini I = ∫∫ f ( x(u , v), y (u , v))dA (6) B dA ùHNLO 4.10E¶GH J|VWHULOHQ VRQVX] SDUoDODQÕúÕQ DODQ elHPDQÕQÕQDODQÕROXSIRUPOLOHEHOOLGLU2KDOGHLIDGHVLQL6)’da yerine yazar ve (5) úHNOLQGH \D]PDPÕ] JHUHNLU %XUDGD LOHHúLWOL÷LQLGLNNDWHDOÕUVDNLNLNDWOÕLQWHJUDOLoLQGH÷LúNHQGH÷LúWLUPHIRUPOGHGL÷LPL] I = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x(u , v), y (u , v )) J dudv D (7) B , ( x, y ) → (u , v) úHNOLQGH ELU GH÷LúNHQ GH÷LúLPL \DSÕODFDNVD dxdy yerine dudv GH÷LO J dudv ED÷ÕQWÕVÕQÕ HOGH HGHU iz. Sonuç olarak, H÷HU LNL NDWOÕ ELU LQWHJUDOGH LOH YHULOGL÷L JLEL \D]ÕOPDOÕGÕU Örnek 1. D bölgesi, x + y = 1, x + y = 2, x − y = 2, 171 x − y = 1 GR÷UXODUÕLOHYHULOPHNWHGLU u = x+ y v = x− y G|QúPIRUPOOHULLOH D bölgesi, uv-düzlemindeki bir BE|OJHVLQHG|QúWUOPHNWHGLU%XQD göre I = ∫∫ ( x − y ) 2 dxdy D integralini, yeni GH÷LúNHQOHUFLQVLQGHQKHVDSOD\ÕQÕ] Çözüm. D E|OJHVL ùHNLO 4.11(a)), u = x + y , v = x − y G|QúPOHUL 4.10(b)’deki BE|OJHVLQHG|QúU%XQDJ|UHG|QúPQ-DFRELGHWHUPLQDQWÕ DOWÕQGD ùHNLO ∂ ( x, y ) 1 1 1 = = =− ∂ ( u , v ) 1 1 ∂ (u , v ) 2 ∂ ( x, y ) 1 −1 J= ROGX÷XQGDQ I = ∫∫ ( x − y ) 2 dxdy = ∫∫ v 2 J dudv D B 2 2 = 2 2 2 1 1 1 1 2 7 v 2 dudv = ∫ v 2 (u )dv = ∫ v 2 dv = v 3 = ∫ ∫ 1 211 21 21 6 1 6 sonucu elde edilir. øQWHJUDOL GH÷LúNHQ GH÷LúWLUPH LúOHPLQL X\JXODPDGDQ GR÷UXGDQ D bölgesi ]HULQGHQ KHVDSODPD\D oDOÕúDUDN X\JXQ ELU úHNLOGH \DSÕODQ GH÷LúNHQ GH÷LúWLUPHQLQ VD÷ODGÕ÷Õ kola\OÕNJ|UOHELOLU 172 4.4. Uçlak Koordinatlarda øNL.DWOÕøQWHJUDOOHU f ( x, y ) fonksiyonunun, D ⊂ R 2 E|OJHVL ]HULQGHQ LNL NDWOÕ LQWHJUDOLQL GLNNDWH DODOÕP %D]HQ EX LQWHJUDOLQ KHVDEÕ XoODN NRRUGLQDWODrda oldukça kolay olabilir. Böylesi durumda, integrale 'LN NRRUGLQDWODUGD WDQÕPOÕ ELU x = r cos θ y = r sin θ (1) %XUDGDGLNNRRUGLQDWVLVWHPLQLQ RULMLQL XoODNNRRUGLQDWVLVWHPLQLQXoODNQRNWDVÕ YH x-ekseni GH XoODN HNVHQL RODUDN VHoLOPLúWLU ']OHPLQ KHU KDQJL ELU QRNWDVÕQÕ GLNNDWH DOGÕ÷ÕPÕ]GD r YH \DUÕoDS YHNW|UQQXoODNHNVHQLLOHSR]LWLI\|QGH\DSWÕ÷ÕDoÕGD θ ¶GÕU%|\OHFe, D bölgesi üzerinden LNLNDWOÕLQWHJUDOi, uçlak koordinatlarda, XoODN QRNWDVÕQÕ V|] NRQXVX QRNWD\D ED÷OD\DQ \DUÕoDS YHNW|UQQ E\NO÷ I = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x(r ,θ ), y (r ,θ ))dA D (2) D Burada, dA, XoODNNRRUGLQDWODUGDVHoLOHQDODQHODPDQÕQÕQDODQÕGÕU8oODN NRRUGLQDWODUGD DODQ HODPDQÕ r = sabit ve θ =sabit H÷ULOHUL LOH ROXúWXUXOXU ùHNLO ùLPGL dA¶QÕQGH÷HULQLKHVDSOD\DOÕPùHNLO2’deki KLMNDODQHOHPDQÕQÕGLNNDWHDODOÕP%XDODQÕQ DOWYHVWNHQDUODUÕVÕUDVÕ\OD r ve r+dr\DUÕoDSOÕoHPEHU\D\ODUÕ YHNHQDUODUÕGDVÕUDVÕ\OD θ ve θ + dθ GR÷UXODUÕQGDQ ROXúPDNWDGÕU Böylece, sonsuz parçalanma durumunda bir dikdörtgen úHNOLQGH\D]DELOLUL] RODUDNGúQHELOHFH÷LPL]./01DODQHOHPDQÕQÕQDODQÕ dA = rdrdθ (3) olur. (÷HU(3) ile verilen DODQHODPDQÕQÕ, (2) integralinde yerine yazarsak I = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x(r ,θ ), y (r ,θ ))rdrdθ D LQWHJUDOG|QúPIRUPO D nü elde ederiz. Burada 173 (4) J = x ∂ ( x, y ) = r yr ∂ ( r ,θ ) xθ =r yθ (5) ROGX÷X NROD\FD J|VWHULOHELOLU (÷HU DODQ HODPDQÕ a ≤ r ≤ b ve α ≤ θ ≤ β için tüm D DODQÕQÕ WDUDPÕúROXUVDLOHYHULOHQLQWHJUDOLDUGÕúÕNLQWHJUDOOHUFLQVLQGHQ ∫∫ D β b f ( x(r ,θ ), y (r ,θ ))rdrdθ = ∫ ∫ f ( x(r ,θ ), y (r ,θ ))rdr dθ α a b β = ∫ ∫ f ( x(r ,θ ), y (r ,θ ))rdθ dr a α (6) úHNOLQGH\D]DELOLUL] Örnek 1. 8oODNNRRUGLQDWODU\DUGÕPÕ\OD D = ∫∫ y {( x, y ) 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 x} bölgesi üzerinden x 2 + y 2 dxdy D LQWHJUDOLQLKHVDSOD\ÕQÕ] (atan(2)=1.1071 rad=63o.435). Çözüm. ùHNLO 3¶GHQ J|UOHFH÷L ]HUH D bölgesi, y=0 ve y=2x GR÷UXODUÕ LOH x=1 ve x GR÷UXODUÕ WDUDIÕQGDQ VÕQÕUODQPÕúWÕU .DUWH]\HQ YH XoODN koordinatlDUDUDVÕQGD x = r cos θ y = r sin θ ya da r = x 2 + y 2 , tan θ = y x G|QúP IRUPOOHUL ROGX÷XQD J|UH D bölgesinin XoODNNRRUGLQDWODUGDNLVÕQÕUODUÕLoLQ 0 ≤ tan θ ≤ 2 ⇒ 0 ≤ θ ≤ 1.1071rad ve 1 2 ≤r≤ cos θ cos θ yazabiliriz. Uçlak koordinaWODUD G|QúPGH -DFREL GHWHUPLQDQWÕ J = r ROGX÷XQdan aranan integral 174 2 2 ∫∫ y x + y dxdy = 1.1071 2 / cosθ 1.1071 2 / cosθ 2 r r rdr d r 3 dr dθ sin sin = θ θ θ ∫ ∫ ∫ 0 1/ cosθ 1/ cosθ ∫ 0 D 1 = 4 1.1071 1 4 1.1071 = = ∫ 0 ∫ sin θ (r 4 ) 2 / cosθ dθ 1/ cosθ sin θ ( 0 15 4 1.1071 ∫ 0 16 1 )dθ − 4 cos θ cos 4 θ sin θ dθ cos 4 θ olur. Burada, u = cos θ GH÷LúNHQGH÷LúWLUPHVL\DSDUak da ∫∫ y x 2 + y 2 dxdy = − D = 15 du 5 1 = 4 ∫ u4 4 u3 1.1071 5 1 4 cos3 θ = 0 5 (11.1803 − 1) 4 = 12.7254 VRQXFXQDXODúÕUÕ] Örnek 2. D bölgesi, 2 x 2 + 6 xy + 5 y 2 = 1 HOLSVLLOHWDQÕPODQGÕ÷ÕQDJ|UH x = 2u − v y = −u + v G|QúPIRUPOOHUL\DUGÕPÕ\OD ∫∫ 2 x 2 + 6 xy + 5 y 2 dxdy D LQWHJUDOLQLKHVDSOD\ÕQÕ] Çözüm. $QDOLWLNJHRPHWULGHQELOLQGL÷L]HUHNDUWH]\HQNRRUGLQDtlarda genel konik denklemi Ax 2 + 2 Bxy + Cy 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0 úHNOLQGHGLU.RQL÷LQDVDOHNVHQLQLQ tan 2θ = x-HNVHQLLOHSR]LWLI\|QGH\DSWÕ÷Õ θ DoÕVÕ 2B A−C ED÷ÕQWÕVÕLOHYHULOLU$úD÷ÕGDYHULOHQ d ve D determinantlarÕNRQL÷LQWUQEHOLUOHU 175 A B d= , B C A B D= B C D E D E. F Buna göre, konikleriúXúHNLOGHVÕQÕIODQGÕUDELOLUL] Hiperbol, D<0 D=0 D>0 D<0 D=0 D>0 D<0 D=0 D>0 d<0 d=0 d>0 , .HVLúHQLNLGR÷UX+LSHUEROLNGR÷UXODU Hiperbol, Parabol, , 3DUHOHOLNL'R÷UX Parabol, Elips, Nokta, Sanal elips. gUQH÷LPL]HG|QHUVHN 2 3 d= = 1 > 0, 3 5 2 3 D= 3 5 0 0 = −1 < 0 0 0 −1 2 x 2 + 6 xy + 5 y 2 = 1 ifadesi bir elips göstermektedir. Söz konusu elipsin asal ekseninin, x-HNVHQLLOHSR]LWLI\|QGH\DSWÕ÷Õ θ DoÕVÕ ise ROGX÷XQGDQ tan 2θ = 2B 6 = = −2 A−C 2−5 LOH EHOOLGLU %X KDWÕUODWPDODUGDQ VRQUD SUREOHPLQ o|]PQH JHOHOLP D E|OJHVL ùHNLO D¶GDNLJLELELUHOLSWLNE|OJHGLU(÷HUYHULOHQHOLSVGHQNOHPLQHLOJLOLG|QúPIRUPOOHULQL uygularsak 2 x 2 + 6 xy + 5 y 2 = 1 ⇒ 2(2u − v) 2 + 6(2u − v)( −u + v) + 5(−u + v )2 = = (8u 2 − 8uv + 2v 2 ) + (−12u 2 + 18uv − 6v 2 ) + (5u 2 − 10uv + 5v 2 ) = u 2 + v2 = 1 ≡ B elde ederiz. O halde, xy-düzlemindeki D eliptik bölgesi, uv-düzleminde birim çemberin B bölgesine G|QúPHNWHGLUùHNLOE'|QúPQ-DFRELGHWHUPLQDQWÕLVH EHOLUOHGL÷L J = x ∂ ( x, y ) = u yu ∂ (u , v) xv 2 −1 = =1 yv −1 1 176 dir. O halde, ∫∫ D 2 x 2 + 6 xy + 5 y 2 dxdy = ∫∫ u 2 + v 2 dudv B yazabiliriz. ùLPGL GH XoODN NRRUGLQDWODUD G|QúP \DSDUVDN -DFREL GHWHUPLQDQWÕQÕQ J = r ROGX÷XGLNNDWHDOÕQÕUVD ∫∫ D 2 x 2 + 6 xy + 5 y 2 dxdy = ∫∫ u 2 + v 2 dudv = ∫∫ r 2 rdrdθ B B = ∫∫ r 2 drdθ = B 2π = ∫ 0 3 1 2π 0 r 1 dθ = 3 0 3 %HOLUWLOHQ E|OJH ùHNLO 2 0 2π ∫ dθ = 0 Örnek 3. r = 1 + cos θ NDUGL\RGLQLQ GÕúÕQda ve r oHPEHULQLQ LoLQGH NDODQ E|OJHQLQ DODQÕQÕ bulunuz. J|VWHULOPLúWLU ∫ ∫ r dr dθ elde edilir. Çözüm. 1 ¶GH Buna göreWDUDOÕbölgenin DODQÕ 177 2π 3 A = ∫∫ rdrdθ = D 3π 2 ∫ π 2 1 = 2 =− =− =− 2π 1 1 1 rdr d r2 dθ θ = ∫ ∫ 2 0 1+cosθ 1+cosθ 3π 2 ∫ 1 − (1 + cosθ ) 2 π 2 1 2 1 2 1 2 dθ 3π 2 ∫ 2 cos θ + cos π 2 3π 2 1 1 2 θ dθ ∫ 2 cos θ + 2 (1 + cos 2θ ) dθ π 2 2π 1 ∫ 2 cosθ + 2 + 2 cos 2θ ) dθ 0 3π 1 1 1 2 = − 2sin θ + θ + sin 2θ 2 2 4 π 2 1 3π π = − ( −2 + + 0) − (2 + + 0) 2 4 4 1 4 −π = − (−4 + π ) = 2 2 olur. 4.5. øQFH%LU/HYKDQÕQ.WOHVL xy-düzleminde verilen bir D bölgesiQL E|OJOHUH D\ÕUDOÕP D E|OJHVLQLQ DODQÕ A ve bölgülerin DODQÕ GD ∆A (i = 1, 2,..., n) ROVXQ %|OJOHULQ KHU ELULQLQ Lo NÕVPÕQGDNL KHU KDQJL ( x , y ) i i i QRNWDODUÕQÕ GLNNDWH DODOÕP YH EX QRNWDODUGDNL \R÷XQOXNODUÕ ρ ( x , y ) ile gösterelim. (÷HU i-ci i i bölgünün kütlesini ∆M i ile gösterirsek ∆M i = ρ ( xi , yi )∆Ai (1) úHNOLQGHLIDGHHGHELOLUL]%|OJVD\ÕVÕQÕQVRQVX]ROPDVÕGXUXPXQGDH÷HU n lim ∑ ρ ( xi , yi )∆ Ai n →∞ (2) i =1 limiti sonlu ELU VD\Õ\D \DNÕQVÕ\RUVD EX OLPLWH, D E|OJHVLQL NDSVD\DQ LQFH OHYKDQÕQ NWOHVL denir. O halde, iNLNDWOÕLQWHJUDOWDQÕPÕQGDQ\DUDUODQDUDNsöz konusu lHYKDQÕQNWOHVLQL 178 M = ∫∫ ρ ( x, y ) dxdy (3) D . úHNOLQGH\D]DELOLUL] Örnek 1. D bölgesi x=0, x=2, y=0 ve y GR÷UXODUÕ LOH EHOLUOHQHQ LQFH OHYKD ROXS OHYKDQÕQ \R÷XQOX÷Xy-HNVHQLQHX]DNOÕNODGR÷UXRUDQWÕOÕGÕU/HYKDQÕQNWOHVLQLKHVDSOD\ÕQÕ] Çözüm 2UDQWÕ NDWVD\ÕVÕ k olmak üzere, bölge içerisindeki her hangi bir (x,y QRNWDVÕQGDNL \R÷XQOX÷X ρ ( x, y ) = kx úHNOLQGHLIDGHHGHELOLUL]2KDOGHV|]NRQXVXOHYKDQÕQNWOHVL 2 2 2 2 x2 M = ∫∫ ρ ( x, y )dxdy = ∫ ∫ kxdxdy = k ∫ dy 2 0 D 0 0 0 2 = 2k ∫ dy = 4k 0 olur. Örnek 2. D bölgesiPHUNH]OHULQRNWDVÕQGDEXOXQDQr=2 ve r \DUÕoDSOÕLNLHúPHUNH]OL dDLUH DUDVÕQGD NDODQ E|OJH ROXS E|OJH LoHULVLQGHNL \R÷XQOXN RUMLQH RODQ X]DNOÕNOD WHUV RUDQWÕOÕGÕUDE|OJHVLQLQWDQÕPODGÕ÷ÕLQFHOHYKDQÕQNWOHVLQLKHVDSOD\ÕQÕ] Çözüm ' E|OJHVL ùHNLO ¶GD J|VWHULOGL÷L JLELGLU ùLPGL D bölgesini kapsayan ince levKD\Õ GLNNDWHDODOÕP ( x, y ) ∈ D QRNWDVÕQGDNL /HYKDQÕQ KHU KDQJL ELU \R÷XQOX÷XNRUDQWÕVDELWLROPDN]HUH 1 ρ=k , r r = x2 + y 2 úHNOLQGHLIDGHHGLOHELOLU2KDOGHOHYKDQÕQNWOHVLLoLQ M = ∫∫ ρ ( x, y )dxdy = ∫∫ D D k x + y2 2 dxdy yazabiliriz8oODNNRRUGLQDWODUDG|úP\DSDUYH J = r ROGX÷XQXda KDWÕUODUVDN 179 2π 4 2π 2π k 4 M = ∫∫ rdrdθ = k ∫ ∫ drdθ =k ∫ r 2 dθ = 2k ∫ dθ = 4π k r D 0 2 0 0 GH÷HULQLHOGHHGHUL] 4.6. %LU/HYKDQÕQ0RPHQWLYH$÷ÕUOÕN0HUNH]L Bir D E|OJHVL LOH WDQÕPODQDQ LQFH ELU OHYKDQÕQ NRRUGLQDW HNVHQOerine göre momentleri, iki NDWOÕLQWHJUDOOHU\DUGÕPÕ\ODLIDGHHGLOHELOLU%XUDGDKDUHNHWQRNWDVÕ,ELUOHYKDQÕQKHUKDQJLELU HNVHQHJ|UHWRSODPPRPHQWLQLQOHYKD\ÕROXúWXUDQVRQVX]E|OJGHNLKHUELUNWOHHOHPDQÕQÕQ söz konusu eksene göre mementleri toplamÕQDHúLWROGX÷XGXUgQFHNLNHVLPGHROGX÷XJLEL D E|OJHVLQLQELUE|OJVQGLNNDWHDODOÕPi-FLE|OJQQDODQÕQÕ ∆A (i = 1, 2,..., n) \R÷XQOX÷XQX i ρ ( xi , yi ) ile gösterir ve bölgü içerisindeki keyfi bir ( xi , yi ) noNWDVÕQÕGLNNDWHDOÕUVDNEXNWOH HOHPDQÕQÕQx- ve y-HNVHQOHULQHJ|UHPRPHQWOHULVÕUDVÕ\OD ∆M x = yi ρ ( xi , yi )∆Ai ∆M y = xi ρ ( xi , yi )∆Ai (1) úHNOLQGH WDQÕPODQÕU %|\OHFH VRQVX] E|OQú GLNNDWH DOÕQDUDN D OHYKDVÕQÕQ HNVHQOHU J|UH toplam momentleri için M x = ∫∫ y ρ ( x, y )dxdy D M y = ∫∫ x ρ ( x, y )dxdy D LNLNDWOÕLQWHJUDOOHULQLHOGHH (2) deriz. . Kütlesi M olan bir D OHYKDVÕQÕQ x- ve y-eksenlerine göre Mx ve My olsun. MNWOHOLQRNWDVDOELUFLVPLQ'OHYKDVÕ\ODD\QÕ Mx ve MyPRPHQWOHULQHVDKLS ROPDVÕ LoLQVDKLSROPDVÕ JHUHNHQNRRUGLQDWODUÕQD DOHYKDVÕQÕQ D÷ÕUOÕN merkezi denir. 7DQÕP $÷ÕUOÕN 0HUNH]L PRPHQWOHULVÕUDVÕ\OD D OHYKDVÕQÕ, istersek tüm NWOHVL D÷ÕUOÕN PHUNH]LQGH WRSODQPÕú JLEL dikkate DODELOHFH÷LPL] DQODúÕOÕU O halde, a÷ÕUOÕN PHUNH]LQLQNRRUGLQDWODUÕQÕ ( x , y ) LOHJ|VWHULUVHN7DQÕPJHUH÷LQFH %X WDQÕPD J|UH IL]LNVHO ED]Õ SUREOHPOHULQ o|]P VÕUDVÕQGD ELU M x = My M y = Mx (3) \DGDED÷ÕQWÕODUÕQÕGDGLNNDWHDODUDND÷ÕUOÕNPHUNH]LQLQNRRUGLQDWODUÕLoLQ 180 x= 1 M ∫∫ x ρ ( x, y)dxdy D (4) y x y dxdy ρ ( , ) ∫∫D 1 y= M yazabiliriz. Burada, M’nin, DOHYKDVÕQÕQNWOHVLROGX÷XQXYH önceki kesimin (3) nolu formülü LOHYHULOGL÷LQLKDWÕUODWDOÕP Örnek 1. DE|OJHVLPHUNH]LQRNWDVÕQGDRODQr \DUÕoDSOÕGDLUHQLQI. bölgedeki, dörtte ELUOLN NÕVPÕ ROGX÷XQD J|UH D E|OJHVLQL NDSVD\DQ KRPRMHQ \R÷XQOXNOX LQFH OHYKDQÕQ D÷ÕUOÕN PHUNH]LQLKHVDSOD\ÕQÕ] Çözüm. D E|OJHVLQL NDSVD\DQ KRPRMHQ \R÷XQOXNOX LQFH OHYKDQÕQùHNLONWOHVL 1 π M = (π r 2 ) ρ = ρ 4 4 GLU ùLPGL V|] NRQXVX OHYKDQÕQ D÷ÕUOÕN PHUNH]LQLQ x NRRUGLQDWÕQÕKHVDSOD\DOÕP x= ρ 1 M 4 ∫∫ x ρ ( x, y)dxdy = M ∫∫ xdxdy = π ∫∫ xdxdy . D D D (÷HUXoODNNRRUGLQDWODUDJHoHUVHN 4 4 x = ∫∫ r cosθ rdrdθ = π D π = π /2 4 3π 4 π /2 ∫ 0 ∫ cosθ dθ = 3π sin θ 1 2 ∫ r dr cosθ dθ 0 π /2 0 0 = 4 3π elde ederiz. Simetri nedeniyle de y= 4 3π , ROGX÷X DQODúÕOÕU2KDOGH V|]NRQXVXOHYKDQÕQD÷ÕUOÕNPHUNH]L OHYKDQÕQ ( 4 4 , ) QRNWDVÕQGDGÕU$\QÕ 3π 3π x-HNVHQLQHJ|UHPRPHQWLLVHYHED÷ÕQWÕODUÕQGDQ\DUDUODQÕODUDN M x = ∫∫ y ρ ( x, y )dxdy = My = D π 4 ρ = ρ 4 3π 3 181 ρ 3 olarak elde edilir. Yine simetri nedeniyle, M y = RODFD÷ÕDoÕNWÕU Örnek 2. D E|OJHVL PHUNH]L QRNWDVÕQGD RODQ r \DUÕoDSOÕ oHPEHU LOH PHUNH]L QRNWDVÕQGD RODQ r \DUÕoDSOÕ oHPEHU DUDVÕQGD NDODQ E|OJH RODUDN WDQÕPODQÕ\RU D bölgesini kapsayan homojen \R÷XQOXNOX LQFH OHYKDQÕQ Mx ve My PRPHQWOHUL LOH D÷ÕUOÕN PHUNH]LQL KHVDSOD\ÕQÕ] Çözüm. D E|OJHVL ùHNLO ¶GH J|VWHULOGL÷L JLELGLU ùHNLOGHQGHJ|UOHFH÷LJLEL D = D1 ∪ D2 ∪ D3 Mx momentini, bu üç alt bölgenin momentleri toSODPÕRODUDN ROGX÷XQGDQ 3 M x = ∫∫ y ρ ( x, y )dxdy = ∑ ∫∫ y ρ ( x, y )dxdy i =1 Di D úHNOLQGH \D]DELOLUL] ROGX÷XQGDQ /HYKD KRPRMHQ \R÷XQOXNOX ρ ( x, y ) = ρ DODUDN YH XoODN NRRUGLQDWODUÕQÕ kullanarak 3 3 M x = ρ ∑ ∫∫ r sin θ rdrdθ = ρ ∑ ∫∫ r 2 sin θ drdθ i =1 Di i =1 Di yazabiliriz. D1 ve D2 E|OJHOHULVLPHWULNROGX÷XQGDQ M x1 = M x2 = ρ ∫∫ r 2 sin θ drdθ D1 ROXUùLPGL D1 E|OJHVLQLQVÕQÕUODUÕQÕEHOLUOH\HOLP.oNoHPEHULQGHQNOHPL x 2 + ( y − 1)2 = 1 ⇒ (r cosθ )2 + (r sin θ − 1)2 = 1 r 2 − 2r sin θ + 1 = 1 ⇒ r = 2sin θ iken büyük çemberin denklemi r=2’dir. O halde, M x1 = M x2 = ρ ∫∫ r 2 sin θ drdθ = ρ D1 π /2 =ρ ∫ 0 π /2 2 ∫ ∫ r 2 sin θ drdθ 0 2sin θ π 2 2 ρ /2 3 2 θ θ r dr sin d r sin θ dθ = ∫ 2sin θ 3 ∫0 2sinθ 182 ρ 3 M x1 = M x2 = π /2 ∫ (8 − 8sin 3 θ ) sin θ dθ = 0 π /2 π /2 8 ρ ∫ sin θ dθ − ∫ sin 4 θ dθ 3 0 0 = HOGHHGHUL]<DUÕPDoÕIRUPOOHULNXOODQÕODUDN 3 1 1 sin 4 θ = − cos 2θ + cos 4θ 8 2 8 ROGX÷XNROD\FDJ|VWHULOHELOLU2KDOGH π /2 π /2 8 3 1 1 ρ ∫ sin θ dθ − ∫ ( − cos 2θ + cos 4θ )dθ 3 0 8 2 8 0 M x1 = M x2 = π /2 = 8 3 1 1 ρ − cos θ − θ − sin 2θ + sin 4θ 3 8 4 32 0 = 8 3π ρ (1 − ) 3 16 HOGHHGLOLUùLPGLGHOHYKDQÕQ D3 E|OJHVLQGHNLNÕVPÕQÕQPRPHQWLQLKHVDSOD\DOÕP M x3 = ρ ∫∫ r 2 sin θ drdθ = 2 ρ D3 3π / 2 = 2ρ ∫ π = 16 ρ 3 =− 3π / 2 2 ∫ ∫r π 2 sin θ drdθ 0 3π / 2 2 2 2 2ρ r 3 sin θ dθ ∫ r dr sin θ dθ = ∫ 0 3 π 0 3π / 2 ∫ sin θ dθ = − π 16 ρ 3π / 2 cos θ π 3 16 ρ 16 ρ [0 − (−1)] = − 3 3 Sonuç olarak, x-eksenine göre toplam moment 8 3π 16 ρ M x = M x1 + M x2 + M x3 = 2 × ρ (1 − ) − 3 16 3 = −πρ olur. /HYKDQÕQNWOHVL M = πρ ( 2 2 − 12 ) = 3πρ ROGX÷XQDJ|UHD÷ÕUOÕNPHUNH]LQLQ RUGLQDWÕLoLQ 183 y= Mx πρ 1 =− =− M 3πρ 3 GH÷HULQL EXOXUX] 6LPHWUL QHGHQL\OH x = 0 RODFD÷Õ DoÕNWÕU 2 KDOGH V|] NRQXVX OHYKDQÕQ 1 D÷ÕUOÕNPHUNH]L (0, − ) QRNWDVÕQGDGÕU 3 Örnek 3. y = sin x , x ∈ [0, π ] H÷ULVLLOHx-HNVHQLDUDVÕQGDNDODQKRPRMHQ\R÷XQOXNOXOHYKDQÕQ D÷ÕUOÕNPHUNH]LQLEXOXQX] Çözüm ùHNLO ¶GDQ J|UOG÷ ]HUH y = sin x H÷ULVL x = π GR÷UXVXQDJ|UHVLPHWULNWLU π Bu nedenle, x = ¶GLU ùLPGL y GH÷HULQL 2 EXOPD\D oDOÕúDOÕP Bunun için, (3) formüllerine göre D bölgesinin kütlesi ile x-eksenine göre PRPHQWLQL KHVDSODPDPÕ] JHUHNLU gQFH NWOHVLQL KHVDSOD\DOÕP π sin x M = ∫∫ ρ dxdy = ρ ∫ 0 D ∫ dydx 0 π π 0 0 = ρ ∫ sin xdx = − ρ cos x = − ρ (−1 − 1) = 2 ρ . ùLPGLGH D bölgesinin, x-HNVHQLQHJ|UHPRPHQWLQLKHVDSOD\DOÕP π sin x M x = ∫∫ ρ ydxdy = ρ ∫ 0 D π = ∫ ydydx 0 π ρ ρ 1 sin 2 xdx = ∫ (1 − cos 2 x)dx ∫ 20 202 π Mx = ρ ρπ 1 ( x − sin 2 x) = . 4 2 4 0 %|\OHFHD÷ÕUOÕNPHUNH]LLoLQ ρπ Mx π y= = 4 = M 2ρ 8 HOGHHGHUL]%XQDJ|UHV|]NRQXVXOHYKDQÕQD÷ÕUOÕNPHUNH]L 184 π (0, ) QRNWDVÕQGDGÕU 8 4.7. %LU/HYKDQÕQ(\OHPVL]OLN0RPHQWL D ⊂ R 2 E|OJHVLQGHWDQÕPODQDQELUOHYKD ile d ≡ ax + by + cz + d = 0 X]D\ GR÷UXVX YHULOVLQ D OHYKDVÕQÕQ ELU NWOH HOHPDQÕQÕ dmi = ρ ( xi , yi )dAi ile ve bu elema QÕQ d GR÷UXVXQD RODQ GLN X]DNOÕ÷ÕQÕ GD ri ile gösterelim. 7DQÕP(NVHQH*|UH(\OHPVL]OLN0RPHQWL Böylece elde edilen ri 2 dmi GH÷HULQH NWOH HOHPDQÕQÕQ d GR÷UXsuna göre eylemsizlik momenti denir. 7P OHYKDQÕQ d GR÷UXVXQD J|UH H\OHPVL]OLN PRPHQWL D bölgesinin sonsuz SDUoDODQÕúÕQGDNL EWQ NWOH HOHPDQODUÕQÕQ H\OHPVL]OLN PRPHQWOHULQLQ WRSODPÕQD HúLWWLU YH Id LOHJ|VWHULOLU2KDOGHLNLNDWOÕLQWHJUDOWDQÕPÕQÕGDNXOODQÕUVDN n I d = lim ∑ ri 2 dmi = ∫∫ r 2 dm = ∫∫ r 2 ρ ( x, y )dxdy n →∞ i =1 D (1) D D’nin, x- ve y-eksenlerinH SDUDOHO GR÷UXODUOD SDUoDODQGÕ÷Õ DE|OJHVLQH\HUOHúWLULOHQOHYKDKRPRMHQ\R÷XQOXNOXLVHLIDGHVLQL HOGH HGHUL] %XUDGDNL VRQ HúLWOLNWH YDUVD\ÕOPÕúWÕU(÷HU I d = ρ ∫∫ r 2 dxdy (2) D úHNOLQGH\D]DELOLUL]8oODNNRRUGLQDWODUÕGLNNDWHDOÕUVDNH\OHPVL]OLNPRPHQWLQL I d = ρ ∫∫ r 3 drdθ (3) D úHNOLQGH\D]DELOHFH÷LPL]NROD\FDJ|VWHULOHELOLUùLPGLKRPRMHQ\R÷XQOXNOXELUOHYKDQÕQED]Õ özel eksenlere göre eylemsizlik momentlerini inceleyelim i) z-eksenine göre eylemsizlik momenti: Bu durumda r 2 = x2 + y 2 (4) , (2) ve (3) formülleri RODFD÷ÕQGDQ I z = ρ ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy = ρ ∫∫ r 3drdθ D úHNOLQ (5) D de \D]ÕODELOLU ii) x-eksenine göre eylemsizlik momenti: D bölgesindeki her hangi bir (x,yQRNWDVÕQÕQx-HNVHQLQHX]DNOÕ÷Õr=y’dir. UçODNNRRUGLQDWODUÕ GLNNDWHDOÕUVDN ( x = r cos θ , y = r sin θ ) , eylemsizlik momenti için I x = ρ ∫∫ y 2 dxdy = ρ ∫∫ r 3 sin 2 drdθ D (6) D ED÷ÕQWÕVÕQÕHOGHHGHUL] 185 iii) y-eksenine göre eylemsizlik momenti: D bölgesindeki her hangi bir (x,yQRNWDVÕQÕQy-HNVHQLQHX]DNOÕ÷Õr=x¶GLU8oODNNRRUGLQDWODUÕ GLNNDWHDOÕUVDN ( x = r cos θ , y = r sin θ ) , eylemsizlik momenti için I y = ρ ∫∫ x 2 dxdy = ρ ∫∫ r 3 cos 2 drdθ D (7) D ED÷ÕQWÕVÕQÕHOGHHGHUL] Teorem 1. xy-düzlemindeki bir D E|OJHVLQH \HUOHúWLULOPLú KRPRMHQ \R÷XQOXNOX ELU OHYKDQÕQ x-, y- ve z-HNVHQOHULQHJ|UHH\OHPVL]OLNPRPHQWOHULVÕUDVÕ\ODIx, Iy ve Iz olsun. Bu durumda Iz = Ix + I y (8) dir. øVSDW<XNDUÕGDYHULOHQYHED÷ÕQWÕODUÕGLNNDWHDOÕQDUDNWHRUHPLQGR÷UXOX÷XNROD\FD gösterilebilir. Örnek 1. x 2 + y 2 = 1 ile verilen D E|OJHVLQH \HUOHúPLú KRPRMHQ \R÷XQOXNOX LQFH OHYKDQÕQ eksenlere göre eylemsizlik momentlerini bulunuz. Çözüm8oODNNRRUGLQDWODUGDoDOÕúÕUVDN, z-eksenine röre eylemsizlik momenti 2π 1 I z = ρ ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy = ρ ∫∫ r 3 drdθ = ρ ∫ ∫ r 3 drdθ D = ρ 4 0 0 D 2π ∫ dθ = 0 ρπ 2 olur. Simetri nedeniyle x- ve y-HNVHQOHULQH J|UH H\OHPVL]OLN PRPHQWOHUL HúLW RODFDNWÕU ùLPGL x-eksenine göre eylemsizlik momentinLKHVDSOD\DOÕP 2π 1 I x = ρ ∫∫ y 2 dxdy = ρ ∫∫ r 3 sin 2 θ drdθ = ρ ∫ ∫ r 3 sin 2 θ drdθ D Ix = ρ 4 ∫ sin 0 0 0 D 2π 2 θ dθ = ρ 4 2π 1 ∫ 2 (1 − cos 2θ )dθ 0 2π = ρ ρπ 1 (θ − sin 2θ ) = 8 2 4 0 Sonuç olarak, 186 Iz = ρπ ρπ ρπ , Ix = , Iy = 2 4 4 elde ederiz. Buradan da I z = I x + I y ROGX÷XJ|UOU Örnek 2. 'LN NHQDU X]XQOXNODUÕ a ve b olan bir dik üçgen içerisine \HUOHúPLú KRPRMHQ \R÷XQOXNOX LQFH OHYKDQÕQ a uzunluklu dik kenarODUÕQD YH GLN NHQDUODUÕQ NHVLP QRNWDVÕQGDQ levha düzlemine dik olarak geçen eksene göre eylemsizlik momentlerini bulunuz. Çözüm .RRUGLQDW VLVWHPLQL ùHNLO ¶GHNL JLEL seçelim. Bu durumda, aranan eylemsizlik momentleri, y-eksenine ve zúHNLOGHNL OHYKDQÕQ x-eksenine, HNVHQLQH J|UH H\OHPVL]OLN PRPHQWOHULGLU /HYKDQÕQ hipotenüsünün denklemi y=− b x+b a dir. Önce, x-HNVHQLQHJ|UHH\OHPVL]OLNPRPHQWLQL\D]DOÕP − ba x +b a b − x +b ρ 2 2 I x = ρ ∫∫ y dxdy = ρ ∫ ∫ y dy dx = ∫ ( y 3 ) a dx 0 30 D 0 0 a b b3 3 3b3 2 3b3 ρ ρ 3 x b dx x + 2 x − x + b3 )dx − + = − ( ) ( a a 3 ∫0 a 3 ∫0 a 3 a = a a ρ b3 x 4 3b3 x3 3b3 x 2 ρ ab3 I x = − 3 . + 2 − + b3 x = a 2 3 a 4 a 3 12 0 %HQ]HURODUDNH÷HU Iy = y-HNVHQLQHJ|UHH\OHPVL]OLNPRPHQWL\D]ÕOÕUVD ρ ba 3 12 elde edilir. BXUDGDQGDOHYKDQÕQz-eksenine göre eylemsizlik momenti Iz = Ix + Iy = ρ ab3 ρ ba 3 ρ + = ab(a 2 + b 2 ) 12 12 12 olur. 187 Örnek 3. D bölgesi, y = x 2 parabolü ile y = 2 x H÷ULVL DUDVÕQGD NDODQ H÷ULOHUùHNLO ¶GHNL KRPRMHQ \R÷XQOXNOX LQFH OHYKDQÕQ a) D÷ÕUOÕN PHUNH]LQL b) x-eksenine göre eylemsizlik momentini bulunuz. Çözüm. a) øONRODUDNLNLH÷ULQLQNHVLPQRNWDODUÕQÕEXODOÕP x 2 = x ⇒ x1 = 0, x2 = 1. DOHYKDVÕQÕQNWOHVL 1 x M = ∫∫ ρ dxdy = ρ ∫ ∫ dydx 0 x2 D 1 ρ 1 1 = ρ ∫ ( x − x 2 )dx =ρ ( − ) = 2 3 6 0 ùLPGLGHVÕUDVÕ\OD x ve yHNVHQOHULQHJ|UHPRPHQWOHULQLKHVDSOD\DOÕP 1 x M x = ∫∫ ρ ydxdy = ρ ∫ ∫ ydydx 0 x2 D 1 = 1 x ρ ρ ρ 1 1 ρ ( y 2 ) 2 dx = ∫ ( x 2 − x 4 )dx = ( − ) = , ∫ x 20 20 2 3 5 15 1 x M y = ∫∫ ρ xdxdy = ρ ∫ ∫ xdydx D 1 0 x2 1 1 1 ρ x = ρ ∫ x ( y ) x2 dx =ρ ∫ ( x 2 − x 3 )dx =ρ ( − ) = . 3 4 12 0 0 Buna göre, DOHYKDVÕQÕQD÷ÕUOÕNPHUNH]LQLQNRRUGLQDWODUÕ ρ 1 x= = 12 = , ρ 2 M 6 My ρ M x 15 2 y= = = ρ 5 M 6 1 2 DOHYKDVÕQÕQD÷ÕUOÕNPHUNH]L ( , ) QRNWDVÕQGDGÕU 2 5 GÕU<DQL b) DOHYKDVÕQÕQx-eksenine göre eylemsizlik momenti 1 x 1 x ρ I x = ρ ∫∫ y 2 dxdy = ρ ∫ ∫ y 2 dy dx = ∫ ( y 3 ) 2 dx x 30 x2 D 0 188 Ix = ρ1 3 6 ρ 1 1 ρ ( x − x )dx = ( − ) = ∫ 30 3 4 7 28 dir. Örnek 4. D ⊂ R 2 E|OJHVLQH\HUOHúPLú MNWOHOLELU LQFHOHYKDQÕQD÷ÕUOÕNPHUNH]LQLQNRQXP G vektörü rG ROVXQ (÷HU OHYKDQÕQ G D÷ÕUOÕN PHUNH]L YH z-eksenine görere eylemsizlik moPHQWOHULVÕUDVÕ\OD, I G ve I z ise I z = I G + MrG2 RODFD÷ÕQÕJ|VWHULQL] Çözüm. D E|OJHVLQLQ HNVHQOHUH SDUDOHO GR÷UXODUOD VRQVX] SDUoDODQÕúÕQGDNL G i-ci kütle ri , kütlesi ∆mi = ρ ( xi , yi )∆xi ∆yi YH EX NWOH HOHPDQÕQÕQ D÷ÕUOÕN G G G G G G G merkezine göre konum vektörü de r*i olsun. Bu durumda, rG , ri ve r*i DUDVÕQGD, ri = r*i + rG LOLúNLVLQL\D]DELOLUL]%|\OHFH,OHYKDQÕQz-eksenine göre eylemsizlik momenti HOHPDQÕQÕQ NRQXP YHNW|U G2 G G I z = ∫∫ r 2 dm = ∫∫ r dm = ∫∫ (r* + rG )2 dm D D D G G (*) G G = ∫∫ r* dm + 2 ∫∫ rG r* dm + rG2 ∫∫ dm = I G + MrG2 + 2 ∫∫ rG r* dm 2 D D D D olur. 6D÷WDUDIWDNLVRQLQWHJUDOi G G G G ∫∫ r r dm = r ∫∫ r dm G * * G D D úHNOLQGH\D]DOÕPùLPGL G rG = 1 M G GD÷ÕUOÕNPerkezini, vektörel formda, 1 G ∫∫ rdm = M ∫∫ (r G D D G + r* )dm = 1 G 1 rG ∫∫ dm + M D M G G ∫∫ r dm = r * D G + 1 M G ∫∫ r dm * D úHNOLQGHWDQÕPODUVDN G ∫∫ r dm = 0 * D ROGX÷X DQODúÕOÕU EX VRQ LQWHJUDOLQ DQODPÕQÕ GúQQ] %|\OHFH HúLWOL÷LQH JHUL dönecek olursak I z = I G + MrG2 sonucuna ulDúÕUÕ] 189 Örnek 4. ( x − 1)2 + y 2 = 1 oHPEHULQLQ NDSODGÕ÷Õ DODQD \HUOHúPLú KRPRMHQ \R÷XQOXNOX LQFH OHYKDQÕQa) kütle merkezine göre, b) orijine göre eylemsizlik momentlerini bulunuz. Çözüm. a) /HYKDQÕQ D÷ÕUOÕN PHUNH]LQLQ G QRNWDVÕ ROGX÷X DoÕNWÕU (÷HU D÷ÕUOÕN merkezini orijin kabul eden yeni bir koordinat sistemi tasarlar ve dm NWOH HOHPDQÕQÕQ EX sistemdeki konum vektörünü G G G G r* = x*i + y* j , r* = r* , x* = r* cos θ , y* = r* sin θ , ile gösterirsek 2π 1 I G = ∫∫ r*2 dm = ρ ∫∫ r*2 dxdy = ρ ∫∫ r*2 r*dr* dθ =ρ ∫ ∫ r*3dr* dθ D D D 0 0 1 πρ = 2πρ = 4 2 HOGH HGHUL] /HYKDQÕQ NWOHVL M = π R 2 ρ = πρ YH \DUÕoDSÕ R EU ROGX÷XQGDQ \XNDUÕGDNL ifade 1 1 I G = πρ = MR 2 2 2 M kütleli ve R \DUÕoDSOÕ, homojen, ince, dairesel bir OHYKDQÕQ dairenin merkezine göre (\DQL OHYKDQÕQ D÷ÕUOÕN PHUNH]LQH J|UH Hylemsizlik momenti, kütlesi LIDGHVLQH HúGH÷HUGLU 2 KDOGH LOH\DUÕoDSÕQÕQNDUHVLQLQoDUSÕPÕQÕQ\DUÕVÕQDHúLWWLU KWOH PHUNH]LQLQ RULMLQH X]DNOÕ÷Õ rG = 1 ROGX÷XQGDQ |QFHNL |UQHNWHQ \DUDUODQDUDN OHYKDQÕQ z-eksenine göre (bu örnekte, koordinat sisteminin orijinine göre) eylemsizlik momentini I z = I G + MrG2 = πρ 3 + πρ = πρ 2 2 olarak buluruz. 190 Bölüm 5 ho.DWOÕøQWHJUDOOHU %XE|OPGHoNDWOÕLQWHJUDONDYUDPÕYHLOJLOLGL÷HUWDQÕPYHWHRUHPOHUYHULOHFHNWLU ho.DWOÕøQWHJUDOOHU Üç .DWOÕ øQWHJUDO). w = f ( x, y, z ) VÕQÕUOÕ D ⊂ R 3 bölgesinde tDQÕPOÕ ROVXQ D E|OJHVLQLQ GLNG|UWJHQVHO SUL]PDODU úHNOLQGHNL SDUoDODQÕúÕQÕ ùHNLO GLNNDWH DODOÕP ve elde edilen alt bölgeleri, 1’den n¶\H NDGDU QXPDUDODQGÕUDOÕP D bölgesinin hacmi V olmak üzere, D¶QLQ SDUoDODQÕúÕQGDNL i-ci alt bölgenin hacmini ∆Vi = ∆xi ∆yi ∆zi ile gösterelim. 7DQÕP ùLPGL ( xi* , yi* , zi* ) LoHULVLQGHNL KHU ile, i-ci alt bölge KDQJL ELU QRNWD\Õ göstererek n ∑ f ( x , y , z )∆V * i * i * i (1) i i =1 WRSODPÕQÕ ROXúWXUDOÕP (÷HU D’nin sonsuz SDUoDODQÕúÕ LoLQ n → ∞ WRSODPÕQÕQ tek bir sonlu limiti varsa, bu limite, w = f ( x, y , z ) fonksiyonunun, D E|OJHVLQGHNLoNDWOÕLQWHJUDOLGHQLUYH ∫∫∫ n f ( x, y , z )dxdydz = lim ∑ f ( xi* , yi* , zi* )∆Vi n →∞ D (2) i =1 úHNOLQGHJ|VWHULOLU øNL NDWOÕ LQWHJUDOOHUGH ROGX÷X JLEL o NDWOÕ LQWHJUDOOHU GH VÕUDOÕ WHN NDWOÕ LQWHJUDOOHU FLQVLQGHQ \D]ÕODELOLU (÷HU LQWHJUDO VÕUDVÕ LQFHOHPH\OHLQWHJUDOGH÷LúNHQOHULQ x1 ≤ x ≤ x2 , dzdydx úHNOLQGH inVÕQÕUODUÕ u ( x) ≤ y ≤ v( x), VHoLOLUVH D E|OJHVL ]HULQGHQ \DSÕODQ g ( x, y ) ≤ z ≤ h ( x, y ) (3) f ( x, y, z )dzdydx (4) úHNOLQGHEXOXQGXNWDQVRQUD ∫∫∫ D x2 v ( x ) h ( x , y ) f ( x, y , y )dxdydz = ∫∫ ∫ x1 u ( x ) g ( x , y ) IRUPONXOODQÕODUDNoNDWOÕLQWHJUDOKHVDSODQÕU ÜçNDWOÕLQWHJUDO 191 ∫∫∫ z2 v ( z ) h ( y , z ) f ( x, y , y )dxdydz = ∫∫ ∫ (5) f ( x, y , z )dxdydz z1 u ( z ) g ( y , z ) D úHNOLQGH GH KHVDSODQDELOLU Üo NDWOÕ LQWHJUDOLQ KHVDSODQPDVÕQGD NXOODQÕODELOHFHN YH EHQ]HULVÕUDOÕLQWHJUDO IRUPOOHULQLQWRSODP GH÷LúLN úHNLOGH\D]ÕODELOHFH÷LDoÕNWÕU%XQODUGDQ KDQJLVLQLQNXOODQÕODFD÷ÕQD D bölgesinin incelenmesi ile karar verilir. Örnek 1. x 2 + y 2 + z 2 = 1 küresi ile z = 1 G]OHPL DUDVÕQGD NDODQ ' E|OJHVLQLQ KDFPLQL 2 KHVDSOD\ÕQÕ] x2 + y2 + z 2 = 1 Çözüm. küresi ile z= 1 2 düzleminin arakesiti x2 + y 2 = 3 4 oHPEHUL ROXS EX oHPEHULQ EHOLUOHGL÷L E|OJH\L % LOH gösterelim. D bölgesinin hacmi için z2 V = ∫∫∫ dxdydz = ∫∫ ∫ dz dxdy z1 D B \D]DELOLUL] ùHNLO LQFHOHQLUVH 1 ≤ z ≤ 1 − x2 − y2 2 hacim V = ∫∫∫ dxdydz = ∫∫ D B 1− x 2 − y 2 ∫ 1 2 dz dxdy 1 = ∫∫ 1 − x 2 − y 2 − dxdy 2 B olur. B ≡ x 2 + y 2 = 3 bölgesi için 4 3 3 , ≤ x≤ 2 2 3 2 3 2 − −x ≤ y≤ −x 4 4 − 192 ROGX÷X DQODúÕOÕU 2 KDOGH DUDQDQ dir. Uçlak koordinatylara geçersek 1 1 V = ∫∫ 1 − x 2 − y 2 − dxdy = ∫∫ ( 1 − r 2 − )rdrdθ 2 2 B B 2π = ∫ 0 3 2 1 2 ∫ ( 1 − r − 2 )rdr dθ 0 elde ederiz. Burada u = 1 − r 2 GH÷LúNHQG|QúPX\JXODUVDN 1 V =− 2 2π 1 2 2π =− 1 2 2π =− = 5 48 ∫ 0 14 1 ∫ ( u − 2 )du dθ 1 1/ 4 2 3/ 2 1 ∫0 ( 3 u − 2 u) 1 dθ 2 1 ∫ ( 3 ( 4 ) 3/ 2 0 2π − 11 2 1 ) − ( − ) dθ 24 3 2 5π ∫ dθ = 24 0 sonucunu elde ederiz. in Özellikleri ho.DWOÕøQWHJUDO Bir YH LNL NDWOÕ LQWHJUDOOHUGH JHoHUOL RODQ WHPHO |]HOOLNOHU o NDWOÕ LQWHJUDOOHUGH GH JHoHUOLGLU hoNDWOÕLQWHJUDOOHULoLQúXWHPHO|]HOOLNOHUYHULOHELOLU i) f ( x, y, z ) ve g ( x, y, z ) ’ler, D ⊂ R 3 bölgesLQGH WDQÕPOÕ YH VUHNOL LNL IRQNVL\RQ YH h ile k keyfi iki sabit olmak üzere ∫∫∫ [hf ( x, y, z ) + kg ( x, y, z )] dxdydz = h ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz + k ∫∫∫ g ( x, y, z)dxdydz D D (1) D olur. ii)(÷HU'E|OJHVLQLQKHU\HULQGH f ( x, y, z ) ≤ g ( x, y, z ) ise ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz ≤ ∫∫∫ g ( x, y, z )dxdydz D D HúLWVL]OL÷LVD÷ODQÕU 193 (2) iii) (Üç .DWOÕ øQWHJUDO KHVDEÕQ RUWDODPD GH÷HU WHRUHPL). Sürekli bir f ( x, y, z ) fonksiyonunun, D E|OJHVLQGHNL HQ NoN YH HQ E\N GH÷HUOHUL VÕUDVÕ\OD m ve M ve D bölgesinin hacmi V olmak üzere, mV < ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz < MV (3) D f ( x, y, z ) VUHNOL ELU IRQNVL\RQ ROGX÷XQGDQ |÷OH ELU HúLWVL]OLNOHUL \D]ÕODELOHFH÷LQGHQ YH ( x0 , y0 , z0 ) ∈ D QRNWDVÕEXOXQDELOLUNLEXQRNWDLoLQ ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = f ( x , y , z )V 0 0 (4) 0 D ya da f ( x0 , y0 , z0 ) = \D]ÕODELOLU%XUDGD 1 V ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz (5) D f ( x0 , y0 , z0 ) ’nin m < f ( x0 , y0 , z0 ) < M (6) HúLWVL]OL÷LQL VD÷OD\DQ ELU VD\Õ ROGX÷XQD GLNNDW HGLOPHOLGLU LOH YHULOHQ GH÷HULQH f ( x0 , y0 , z0 ) f ( x, y, z ) fonksiyonunun, DE|OJHVLQGHNLRUWDODPDGH÷HULGHQLU iv) f ( x, y, z ) , DE|OJHVLQGHWDQÕPOÕYHVUHNOLELUIRQNVL\RQROPDN]HUH ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz ≤ ∫∫∫ D f ( x, y, z ) dxdydz (7) D HúLWVL]OL÷LYDUGÕU v) D bölgesinin hacmi V ise, f ( x, y, z ) = 1 DOÕQDUDN V = ∫∫∫ dxdydz (8) D elde edilir. vi) (÷HU f, D E|OJHVLQGHNL \R÷XQOXN IRQNOVL\RQX LVH \DQL f ( x, y, z ) = ρ ( x, y, z ) ise, D E|OJHVLQH\HUOHúPLúFLVPLQNWOHVL M = ∫∫∫ ρ ( x, y, z )dxdydz (9) D oNDWOÕLQWHJUDOLLOHYHULOLUg]HORODUDNH÷HU DE|OJHVLKRPRMHQ\R÷XQOXNOXLVHEXGXUXPGD 194 M = ρ ∫∫∫ dxdydz = ρV (10) D olur. D = {( x, y , z ) 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ π , 0 ≤ z ≤ π } Örnek 1. D Bölgesi úHNOLQGH YHULOL\RU f ( x, y, z ) = x 2 + yz fonksiyonunun, DE|OJHVL]HULQGHQRUWDODPDVÕQÕEXOXQX] Çözüm. D E|OJHVL GLNG|UWJHQOHU SUL]PDVÕ úHNOLQGH ROXS KDFPL V = π 3 br 3 ’tür. Ortalama GH÷HUWHRUHPLQHJ|UH f ( x, y , z ) fonksiyonunun, DE|OJHVLQGHNLRUWDODPDGH÷HULLoLQ 1 1 f ( x0 , y0 , z0 ) = ∫∫∫ f ( x, y, z ) dxdydz = 3 ∫∫∫ ( x 2 + yz )dxdydz V D π D yazabiliriz.6ÕUDOÕLQWHJUDOIRUPOQX\JXODUVDN f ( x0 , y0 , z0 ) = 1 π3 2 ∫∫∫ ( x + yz)dxdydz = D π π π 1 ( x 2 + yz ) dx dy dz 3 ∫ ∫ ∫ π 0 0 0 π π π 1 x3 xyz dy dz ( ) + 3 ∫ ∫ π 0 0 3 0 π π 1 π3 = 3 ∫ ∫ ( + π yz )dy dz π 0 0 3 π π 1 π3 π 2 = 3 ∫ ( y + y z ) dz 2 π 0 3 0 = π π 1 π4 π3 1 π4 π3 2 z )dz = 3 ( z + z ) = 3 ∫( + 2 4 π 0 3 π 3 0 1 π5 π5 7π 2 == 3 ( + ) = 4 12 π 3 elde ederiz. O halde, f ( x, y, z ) = x 2 + yz fonksiyonu, DE|OJHVLQGHNLRUWDODPDGH÷HULQL f ( x, y, z ) = x 2 + yz = GHQNOHPLQLVD÷OD\DQ 7π 2 12 ( x, y, z ) QRNWDODUÕQGDDOPDNWDGÕU Örnek 2. D bölgesi, x + 2 y + z = 1 G]OHPL ROGX÷XQDJ|UHD bölgesinin hacmini bulunuz. YH NRRUGLQDW HNVHQOHUL LOH VÕQÕUODQDQ E|OJH 195 Çözüm. ùHNLO¶QLQFHOHQPHVLLOHDE|OJHVLQLQVÕQÕUODUÕLoLQ 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ \D]ÕODELOHFH÷LDQODúÕOÕU 1 (1 − x), 0 ≤ z ≤ 1 − x − 2 y 2 O halde, aranan hacim 1 (1− x ) 1− x − 2 y 1 2 V = ∫∫∫ dxdydz = ∫ 0 D 1 (1− x ) 1 2 =∫ ∫ 0 0 ∫ 0 ∫ dzdydx 0 1 1 (1 − x − 2 y )dydx = ∫ ( y − xy − y 2 ) 2 (1− x ) 0 0 1 1 1 1 = ∫ (1 − x) − ( x − x 2 ) − (1 − x) 2 dx 2 2 4 0 1 1 1 = 1 1 1 (1 − x )dx − ∫ ( x − x 2 )dx − ∫ (1 − 2 x + x 2 )dx ∫ 20 20 40 = 1 x2 1 x 2 x3 1 x3 ( x − ) − ( − ) − ( x − x2 + ) 2 2 0 2 2 3 0 4 3 0 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 − ) − ( − ) − (1 − 1 + ) = − − = 2 2 2 2 3 4 3 4 12 12 12 1 1 1 olur. Örnek 3. x 2 + y 2 = 1 silindiri ile z=0 ve z = x + y + 5 G]OHPOHULDUDVÕQGDNDODQE|OJHD ise a) D bölgesi üzerinden, f ( x, y, z ) = xy IRQNVL\RQXQXQoNDWOÕLQWHJUDOLQLKHVDSOD\ÕQÕ] 196 b) DE|OJHVLQLQKDFPLQLKHVDSOD\ÕQÕ] c) D E|OJHVLQH \HUOHúWLULOHQ FLVPLQ \R÷XQOXN IRQNVL\RQX ρ ( x, y, x ) = x úHNOLQGH LVH FLVPLQ kütlesini hesapOD\ÕQÕ] Çözüm a)6|]NRQXVXE|OJHQLQWDQÕPÕ { } D = ( x, y, z ) − 1 ≤ x ≤ 1, − 1 − x 2 ≤ y ≤ 1 − x 2 , 0 ≤ z ≤ x + y + 5 úHNOLQGHGLU Buna göre 1− x 2 x + y + 5 1 ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫ ∫ ∫ −1 − 1− x 2 D 1− x 2 1 = xydzdydx 0 ∫ ∫ xy ( x + y + 5)dydx −1 − 1− x 2 1 x2 x 5x 2 = ∫ ( y 2 + y3 + y ) 2 3 2 −1 − 1− x 2 dx 1− x 2 1 = 2 x(1 − x 2 )3/ 2 dx 3 −∫1 0 1 3/ 2 u du = 0 3 ∫0 =− elde edilir. b) V = ∫∫∫ dxdydz = D 1 = ∫ ( xy + −1 1− x 2 x + y + 5 1 ∫ ∫ −1 − 1− x 1 2 y + 5 y) 2 − ∫ 1 dzdydx = 1− x ∫ ∫ −1 − 1− x 0 2 1− x 2 ( x + y + 5)dydx 2 2 dx 1− x 2 1 = ∫ (2 x 1 − x 2 + 10 1 − x 2 )dx. −1 1 1 −1 −1 = 2 ∫ x 1 − x 2 dx + 10 ∫ 1 − x 2 dx Burada, u = 1 − x 2 G|QúP görülebilir. O halde, \DSÕODUDN VD÷ WDUDIWDNL LON LQWHJUDOLQ VÕIÕU ROGX÷X NROD\FD 1 V = ∫∫∫ dxdydz = 10 ∫ 1 − x 2 dx D −1 197 olur. Burada x = sin θ G|QúP\DSÕOÕUVD V = ∫∫∫ dxdydz = 10 D π 2 ∫ cos 2 θ dθ −π 2 π 2 π 2 1 1 = 10 ∫ (1 + cos 2θ )dθ = 5(θ + sin 2θ ) = 5π 2 2 −π 2 −π 2 elde edilir. c) M = ∫∫∫ ρ ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ xdxdydz D 1− x 1 = D ∫ ∫ 2 −1 − 1− x 2 x + y +5 ∫ 1 xdzdydx = 1− x 2 ∫ ∫ x( x + y + 5)dydx −1 − 1− x 2 0 1 x = ∫ ( x y + y 2 + 5 xy ) 2 − −1 1− x 2 2 1 1 −1 −1 1− x 2 1 dx = ∫ (2 x 2 1 − x 2 + 10 x 1 − x 2 )dx −1 = 2 ∫ x 2 1 − x 2 dx + 10 ∫ x 1 − x 2 dx elde edilir. SD÷GDNL LNLQFL LQWHJUDOLQ VÕIÕU ROGX÷Xnu (b úÕNNÕQGDQ ELOL\RUX] Bu durumda, cismin kütlesi 1 M = 2 ∫ x 2 1 − x 2 dx −1 dir. Burada, x = sin θ G|QúP\DSÕOÕUVD π 2 M= ∫ sin 2 θ cos 2 θ dθ −π 2 HOGHHGLOLU<DUÕPDoÕIRUPOOHULNXOODQÕOÕUVD 1 1 1 sin 2 θ cos 2 θ = (1 − cos 2θ ) (1 + cos 2θ ) = (1 − cos 2 2θ ) 2 2 4 1 1 1 1 = 1 − (1 + cos 4θ ) = − cos 4θ 4 2 8 4 yazabiliriz. Böylece, DE|OJHVLQH\HUOHúPLúFLVPLQNWOHVL 198 π 2 M= π 2 π 2 1 1 1 1 − cos 4θ dθ = ∫ dθ − ∫ cos 4θ dθ ∫ 4 8 −π 2 4 −π 2 −π 2 8 π 2 1 1 π = ( θ − sin 4θ ) = 8 16 8 −π 2 olur. 5.3 Silindirik ve Küresel Koordinatlarda ho.DWOÕøQWHJUDO 5.3.1 Silindirik Koordinatlarda ho.DWOÕøQWHJUDO Kartezyen koordinatlarda verilen bir N ( x, y, z ) QRNWDVÕQÕ GLNNDWH DODOÕP N QRNWDVÕQGDQ xydüzlemine indirilen dikme, xy-düzlemini, N ′ QRNWDVÕQGD NHVVLQ 2ULMLQL N ′ QRNWDVÕQD ELUOHúWLUHQ YHNW|UQ E\NO÷ r ve x-ekseni ilH \DSWÕ÷Õ DoÕ ϕ ùHNLO ROPDN ]HUH N QRNWDVÕQÕQNRQXPXQXr, ϕ , zVD\ÕoOVLOHGHJ|VWHUHELOLUL]%|\OHFHHOGHHGLOHQNRRUGLQDW sistemine “silindirik koordinat sistemi” denir. ùHNLO ¶GHQ DQODúÕODFD÷Õ ]HUH NDUWH]\HQ NRRUGLQDWODULOHVLOLQGLULNNRRUGLQDWODUDUDVÕQGDNLG|QúPIRUPOOHUL x = r cos ϕ y = r sin ϕ z=z (1) úHNOLQGHGLU%XQDJ|UHG|QúPQ-DFRELGHWHUPLQDQWÕ cos ϕ ∂ ( x, y , z ) = sin ϕ J= ∂(r , ϕ , z ) 0 −r sin ϕ r cos ϕ 0 0 0 =r 1 199 (2) , D GÕU (÷HU E|OJHVL ùHNLO ¶GH J|VWHULOGL÷L JLEL NDUSX] GLOLPLQL DQGÕUDQ ELU úHNLOGH dV = rdrdϕ dz RODFD÷ÕDQODúÕOÕU2KDOGHX]D\ÕQELUD bölgesi üzerinden, kartezyen koordinatlarda verilen üç SDUoDODQPD\D WDEL WXWXOXUVD HOGH HGLOHQ SDUoDODQPDQÕQ KDFLP HOHPDQÕQÕQ NDWOÕLQWHJUDOLQVLOLQGLULNNRRUGLQDWODUGDNLNDUúÕOÕ÷ÕLoLQ I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ , z )rdrdϕ dz D (3) D G|QúP IRUPOQ HOGH HGHUL] D bölgesinin hacmini, silindirik koordinatlarda yazmak için (3) ifadesinde f ( x, y, z ) = 1 almak yeterlidir. Buna göre, silindirik koordinatlarda hacim integrali V = ∫∫∫ rdrdϕ dz (4) D úHNOLQGHGLU 5.3.2 Küresel Koordinatlarda ho.DWOÕøQWHJUDO ùHNLO ¶GH J|VWHULOGL÷L JLEL X]D\ÕQ bir D bölgesindeki herhangi bir N ( x, y , z ) QRNWDVÕQÕ GLNNDWH DODOÕP Orijini, N QRNWDVÕQD ELUOHúWLUHQ \DUÕoDS YHNW|UQQ X]XQOX÷X r ve pozitif zHNVHQL LOH \DSWÕ÷Õ DoÕ θ olsun. %XQGDQ EDúND N QRNWDVÕQÕQ xy-G]OHPLQGHNL L]GúP QRNWDVÕQÕ N ′ ve ON ′ ’nün x-HNVHQL LOH SR]LWLI \|QGH \DSWÕ÷Õ DoÕ\Õ GD ϕ ile gösterelim. %|\OHFH 1 QRNWDVÕQÕQ NRQXPXQX ( r ,θ , ϕ ) oOV LOH WHN WUO LIDGH HGHELOHFH÷LPL] DQODúÕOÕU %X úHNLOGH HOGH HGLOHQ NRRUGLQDW VLVWHPLQH ³küresel koordinat sistemi´ GHQLU ùHNLO ¶LQ incelenmesi ile kDUWH]\HQYHNUHVHONRRUGLQDWODUDUDVÕQGDNLG|QúPIRUPOOHULnin b x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cosθ (5) 200 úHNOLQGHROGX÷XDQODúÕOÕU Kolayca g|VWHULOHELOHFH÷L]HUHG|QúPQ-DFRELGHWHUPLQDQWÕ sin θ cos ϕ ∂ ( x, y , z ) = sin θ sin ϕ J= ∂ (r ,θ , ϕ ) cos θ r cos θ cos ϕ r cos θ sin ϕ − r sin θ −r sin θ sin ϕ r sin θ cos ϕ = r 2 sin θ (6) 0 D E|OJHVLQLQ ùHNLO ¶GH J|VWHULOGL÷L JLEL NUHVHO NDEXN úHNOLQGHNL KDFLPsel GLNNDWH DODOÕP 6RQVX] E|OQú GXUXPXQGD hacim elemaQÕQÕQ 2 dV = r sin θ drdθ dϕ úHNOLQGH LIDGH HGLOHELOHFH÷L ùHNLO ¶GHQ NROD\FD J|UOHELOLU Bu durumda, f ( x, y, z ) fonksiyonunun, D E|OJHVL ]HULQGHQ o NDWOÕ LQWHJUDOLQL, küresel koordinatlarda GÕU ùLPGL E|OQúQ I = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz = ∫∫∫ f (r sin θ cos ϕ , r sin θ sin ϕ , r cos θ )r 2 sin θ drdθ dϕ D (7) D Buradan da, f (r sin θ cos ϕ , r sin θ sin ϕ , r cos θ ) = 1 alarak, bölgesinin hacmi için, küresel koordinatlarda úHNOLQGH \D]DELOLUL] X]D\ÕQ ELU V = ∫∫∫ r 2 sin θ drdθ dϕ D (8) D ifadesini elde ederiz. Örnek 1. D bölgesi, z 2 = 1 − x 2 − y 2 konisi, x 2 + y 2 = 1 silindiri ve z G]OHPL DUDVÕQGD 2 NDODQ E|OJH ROGX÷XQD J|UH a) D bölgesinin hacmini b) D bölgesi üzerinde f ( x, y , z ) = x yz IRQNVL\RQXQXQLQWHJUDOLQLKHVDSOD\ÕQÕ] Çözüm. Söz konusu DE|OJHVLùHNLO¶GHJ|VWHULOPLúWLUBölge, kartezyen koordinatlarda { D = ( x, y, z ) − 1 ≤ x ≤ 1, − 1 − x 2 ≤ y ≤ 1 − x 2 , 201 } 1 − x2 − y2 ≤ z ≤ 1 úHNOLQGHJ|VWHULOHELOLU ken, silindirik koordinatlarda { D = (r , ϕ , z ) 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π , úHNOLQGHGLU%XQDJ|UH } 1− r2 ≤ z ≤ 1 , a) dz ∫0 ∫ 2 dr dϕ D D 1− r 2π 2π 0 1 1 1 3π V = ∫ dϕ + ∫ ∫ udu dϕ = π + 2π = 2 0 2 0 1 4 2 V = ∫∫∫ dxdydz = ∫∫∫ rdrdϕ dz = 2π 1 ∫ r 0 1 olur. b) I = ∫∫∫ x 2 zdxdydz = ∫∫∫ r 3 cos 2 ϕ zdrdϕ dz = D 2π = ∫ 0 = D 2π ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 1− r 2 zdz r 3 dr cos 2 ϕ dϕ 2π 2π 1 1 2 3 1 1 2 2 ϕ ϕ ϕ ϕ = = r r dr cos d cos d (1 + cos 2ϕ )dϕ ∫( ) 12 ∫0 24 ∫0 2 0 π 1 (2π + 0) = 24 12 olur. Örnek 2. D bölgesi, alttan z 2 = x 2 + y 2 konisi ile, üstten de x 2 + y 2 + ( z − 1) 2 = 1 küresinin üst \DUÕVÕ LOH VÕQÕUODQGÕ÷ÕQD göre a) D bölgesinin hacmini, b) D bölgesi üzerinden 2 2 2 12 f ( x, y, z ) = ( x + y + z ) IRQNVL\RQXQXQLQWHJUDOLQLKHVDSOD\ÕQÕ] Çözüm. Küresel koordinatlara geçilirse söz konusu koni π θ= ve YH NUHQLQ GHQNOHPOHULQLQ VÕUDVÕ\OD 4 r = 2 cos θ ROGX÷X NROD\FD J|VWHULOHELOLU D bölgesi ve küresel koordiQDWODUGDNL KDFLP HOHPDQÕ ùHNLO ¶GD J|VWHULOPLúWLU Buna göre, D bölgesini, küresel koordinatlarda D = {(r ,θ , ϕ ) 0 ≤ r ≤ 2 cosθ , 0 ≤ θ ≤ π / 4, 0 ≤ ϕ ≤ 2π } úHNOLQGHEHOLUWHELOLUL]%XQDJ|UH 202 a) V = ∫∫∫ dxdydz = ∫∫∫ r 2 sin θ drdθ dϕ D = π /4 2π π / 4 2cosθ 1 r 2 dr sin θ dθ dϕ = ∫ ∫ r 3 sin θ dθ dϕ 0 300 2cosθ ∫ ∫ ∫ 0 = D 2π 2π 8 3 ∫ 0 2 3 =− 0 0 2π π / 4 3 8 d d cos sin = θ θ θ ϕ − ∫ 3 ∫0 0 2π 4 ∫ (u ) 0 2/2 1 dϕ = 1 2 2 /2 ∫ 1 u 3 du dϕ 2π ∫ dϕ = π . 0 b) I = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )1 2 dxdydz = ∫∫∫ rr 2 sin θ drdθ dϕ D 2π = D π /4 2cosθ ∫ ∫ ∫ 0 0 0 ( 2π π / 4 2π = 4 ∫ ∫ cos 4 θ sin θ dθ dϕ = −4 ∫ 0 0 0 = 4 5 2π 5 ∫u 0 2/2 1 ) 2π π / 4 2cosθ 1 r 3 dr sin θ dθ dϕ = ∫ ∫ r 4 sin θ dθ dϕ 0 4 00 dϕ = 4 5 2π ∫( 0 2/2 ∫ 1 u 4 du dϕ 2 4 2 − 1)2π . − 1)dϕ = ( 8 5 8 5.4 Kütle bir DE|OJHVLQH\HUOHúPLú YH ρ ( x, y, z ) úHNOLQGHELU\R÷XQOXN IRQNVL\RQXQDVDKLS ELU cismiGLNNDWHDODOÕPDE|OJHVLQLQELUVRQVX]SDUoDODQÕúÕQÕGLNNDWHDODOÕPD bölgesinin hacmi V ve bölgülerin hacimleri de ∆Vi (i = 1, 2,..., n ) oOVXQ%|OJOHULQKHUELULQLQLoNÕVPÕQGDNLKHU hangi ( xi , yi , zi ) QRNWDODUÕQÕ GLNNDWH DODOÕP YH EX QRNWDODUGDNL \R÷XQOXNODUÕ ρ ( xi , yi , zi ) ile J|VWHUHOLP(÷HUi-ci bölgünün kütlesini ∆M ile gösterirsek i 8]D\ÕQ ∆M i = ρ ( xi , yi , zi )∆Vi (1) úHNOLQGHLIDGHHGHELOLUL]%|OJVD\ÕVÕQÕQVRQVX]ROPDVÕGXUXPXQGDH÷HU n lim ∑ ρ ( xi , yi , zi )∆Vi n →∞ (2) i =1 D bölgesini kapsayan cismin kütlesi denir. O halde, oNDWOÕNDWOÕLQWHJUDOWDQÕPÕQGDQ\DUDUODQDUDNV|]NRQXVXcismin kütlesini OLPLWL VRQOX ELU VD\Õ\D \DNÕQVÕ\RUVD EX OLPLWH 203 M = ∫∫∫ ρ ( x, y, z )dxdydz (3) D úHNOLQGH\D]DELOLUL](÷HUFLVLPKRPRMHQ\R÷XQOXNOXLVH\HULQH M = ρ ∫∫∫ dxdydz = ρV (4) D yazabiliriz. Kütle, silindirik koordinatlarda M = ∫∫∫ ρ (r , ϕ , z )rdrdϕ dz (5) D integrali ile verilirken küresel koordinatlarda ise M = ∫∫∫ ρ (r ,θ , ϕ )r 2 sin θ drdϕ dz (6) D ifadesi ile verilir. Örnek 1. ρ (r ) = ρ0 e − r úHNOLQGH \R÷XQOXN GD÷ÕOÕPÕQD VDKLS RODQ R \DUÕoDSOÕ NUHVHO ELU \ÕOGÕ]ÕQNWOHVLQLKHVDSOD\ÕQÕ] Çözüm. 6|]NRQXVX \ÕOGÕ]ÕQ PHUNH]LQL NRRUGLQDW VLVWHPLQLQ PHUNH]L RODUDN VHoHUVHN NUHVHO NRRUGLQDWODUÕNXOODQDUDNNWOHVLQL 2π π R M = ∫∫∫ ρ (r ,θ , ϕ )r sin θ drdθ dϕ = ρ 0 ∫∫∫ e r sin θ drdθ dϕ = ρ 0 ∫ −r 2 2 D \D]DELO iriz. øQWHJUDV\RQ −r 2 r sin θ drdθ dϕ 0 0 0 D úHNOLQGH ∫∫e VÕQÕUODUÕQÕQ GH÷LúNHQOHUH ED÷OÕ ROPDPDVÕ \XNDUÕGDNLoNDWOÕLQWHJUDOL 2π π R R 0 0 0 0 M = ρ 0 ∫ dϕ ∫ sin θ dθ ∫ e − r r 2 dr = 4πρ 0 ∫ e − r r 2 dr úHNOLQGH\D]DELOLUL] Son olarak, kÕVPLLQWHJUDV\RQIRUPOQX\JXOD\DUDNGD M = 4πρ 0 − r 2 e− r − 2re− r − 2e− r R 0 = 4πρ 0 (− R 2 e − R − 2 Re − R − 2e − R ) − (−2) = 4πρ 0 2e R − R 2 − 2 R − 2 e− R ifadesini elde ederiz. 204 QHGHQL\OH , 5.5 0RPHQWYH$÷ÕUOÕN0HUNH]L Bir D E|OJHVL LOH WDQÕPODQDQ FLVPLQ NRRUGLQDW düzlemlerine göre momentleri, bir ince levhaQÕQNRRUGLQDWHNVHQOHULQHJ|UHPRPHQWOHULQHEHQ]HURODUDNWDQÕPODQDELOLU%XQDJ|UH D E|OJHVLQH\HUOHúPLúELUFLVPLQVRQVX]SDUoDODQÕúÕQGDNL i-FLKDFLPHOHPDQÕQÕQNWOHVL ∆m ve i ( xi , yi , zi ) olsun. Bu durumda, ∆mi düzlemi) göre momenti NRRUGLQDWÕ GD NWOH HOHPDQÕQÕQ yz-düzlemine (x=0 ∆M ix = xi ∆mi (1) ∆mi NWOH HOHPDQÕQÕQ xz- ve xy-G]OHPOHULQH VÕUDVÕ\OD y=0 ve z G]OHPOHUL J|UH PRPHQWOHUL GH VÕUDVÕ\OD ∆M iy = yi ∆mi ve ∆M iz = zi ∆mi olur. Böylece, PRPHQWLQWRSODQDELOLUOLN|]HOOL÷LQGHQ\DUDUODQDUDNDE|OJHVLQH\HUOHúPLúM kütleli cismin x=0, y=0 ve z G]OHPOHULQHJ|UHPRPHQWOHULQLoNDWOÕLQWHJUDOOHU\DUGÕPÕ\OD úHNOLQGH WDQÕPODQÕU %HQ]HU RODUDN M x = ∫∫∫ x ρ ( x, y, z )dxdyz D M y = ∫∫∫ y ρ ( x, y, z )dxdyz D M z = ∫∫∫ z ρ ( x, y, z )dxdyz D (2) úHNOLQGH WDQÕPODUÕ] %XUDGDQ GD FLVPLQ D÷ÕUOÕN PHUNH]LQLQ kartezyen NRRUGLQDWODUÕ (x, y, z ) içinVÕUDVÕ\OD x= 1 M ∫∫∫ x ρ ( x, y, z )dxdyz ρ y x y z dxdyz ( , , ) ∫∫∫ D 1 z= y ρ ( x, y, z )dxdyz ∫∫∫ M D D 1 y= M (3) ifadelerini elde ederiz. %XUDGD YHUGL÷LPL] LQWHJUDOOHUL X\JXQ G|QúPOHU YDVÕWDVÕ\OD VLOLQGLULN \D GD NUHVHO koordinatlar cinsinden de hesaplanabilirler. Örnek 1. D bölgesi, üstten x + y + z = 2 düzlemi, alttan z = 1 düzlemi ve yanlardan da 1 x 2 + y 2 = VLOLQGLUL LOHVÕQÕUODQPÕúWÕU DE|OJHVLQH\HUOHúWLULOPLúKRPRMHQ \R÷XQOXNOXFLVPLQ 2 a) hacmini, b)D÷ÕUOÕNPerkezini bulunuz. 205 Çözüm. D bölgesinin \DQ NHQDUODUÕ VLOLQGLU ROGX÷XQGDQ VLOLQGLULN NRRUGLQDWODUÕ NXOODQPDN o|]PEDVLWOHúWLUHFHNWLU D bölgesini, silindirik koordinatlarda 2 D = ( r , ϕ , z ) 0 ≤ r ≤ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π ,1 ≤ z ≤ 2 − r (cos ϕ + sin ϕ ) 2 úHNOL nde ifade edebiliriz. Buna göre, a) V = ∫∫∫ dxdydz = ∫∫∫ rdrdϕ dz = D 2π 2/2 ∫ ∫ = 0 2π = D ∫ 0 0 2π 2/2 ∫ ∫ 0 0 2− r (cosϕ + sin ϕ ) ∫1 dz rdr dϕ 2/2 2π r2 r3 [1 − r (cos ϕ + sin ϕ )]rdr dϕ = ∫ − (cos ϕ + sin ϕ ) dϕ 2 3 0 0 2π 1 1 π 2 2 (cos ϕ + sin ϕ ) dϕ = ϕ − (sin ϕ − cos ϕ ) = − 12 2 4 12 4 0 olur. D E|OJHVLQH \HUOHúPLú FLVPLQ, koordinat düzlemlerine J|UHPRPHQWOHULQLKHVDSOD\DOÕP Simetri nedeniyle, M = M RODFD÷ÕDoÕNWÕU%XQDJ|UH x y b) øON |Q ce, IRUPOOHUL \DUGÕPÕ\OD 2π M x = ∫∫∫ x ρ ( x, y, z )dxdydz = ρ ∫∫∫ r 2 cos ϕ drdϕ dz = ρ ∫ D D 0 2π 2 / 2 = ρ ∫ ∫ [1 − r (cos ϕ + sin ϕ )]r 2 dr cos ϕ dϕ 0 0 2π r3 r 4 = ρ ∫ − (cos ϕ + sin ϕ ) 3 4 0 0 2/2 ∫ 0 2 − r (cosϕ +sin ϕ ) 2 ∫1 dz r dr cos ϕ dϕ 2/2 cos ϕ dϕ 2π 2 1 1 =ρ∫ cos ϕ − cos 2 ϕ − sin ϕ cos ϕ dϕ 12 16 16 0 2π 2 1 1 Mx = ρ ∫ cos ϕ − (1 + cos 2ϕ ) − sin ϕ cos ϕ dϕ 12 32 16 0 2π 2π 2π 2 1 1 =ρ cos ϕ dϕ − (1 + cos 2ϕ )dϕ − ∫ sin ϕ cos ϕ dϕ ∫ ∫ 32 0 16 0 12 0 2π 2π 2 πρ 1 1 1 2π 2 =ρ sin ϕ 0 − (ϕ + sin 2ϕ ) − sin ϕ = − 32 2 32 16 0 0 12 olur. Cismin, z=0 düzlemine göre momentinin 206 M z = ∫∫∫ z ρ ( x, y, z )dxdydz = ρ ∫∫∫ zdrdϕ dz = ρ ∫ D D 0 2π =− 2/2 ∫ 0 2 −r (cosϕ +sin ϕ ) 2 zdz r dr cos ϕ dϕ ∫1 π ρ 8 olGX÷XNROD\FDJ|VWHULOHELOLU Cisim,KRPRMHQ\R÷XQOXNOXROGX÷XQGDQNWOHVL M = ρV = ρπ 2 diU%|\OHFHNWOHPHUNH]LQLQNRRUGLQDWODUÕLoLQIRUPOOHULQGHQ x= 1 M 1 πρ 1 ∫∫∫ xρ ( x, y, z )dxdyz = πρ (− 16 ) = − 8 D 2 1 1 πρ y ρ ( x, y, z )dxdyz = (− ) = − ∫∫∫ πρ 16 8 D 2 1 1 1 πρ z= y ρ ( x, y, z )dxdyz = (− ) = − ∫∫∫ πρ M D 8 4 2 1 y= M HOGHHGHUL]%DúNDELUGH÷LúOH 1 1 1 , cismin kütle merkezi (− , − , − ) QRNWDVÕQGDGÕU 8 8 4 5.6 Eylemsizlik Momenti D ⊂ R 3 bölgesLQH \HUOHúPLú YH \R÷÷XQOXN GD÷ÕOÕPÕ ρ ( x, y , z ) RODQ ELU FLVPLQ X]D\ÕQ KHUKDQJLELUQRNWDVÕQDGR÷UXVXQD\DGDG]OHPLQHJ|UHH\OHPVL]OLNPRPHQWL I = ∫∫∫ d 2 dm = ∫∫∫ d 2 ρ ( x, y, z )dxdydz D (1) D formülü ile verilir. Burada, d = d ( x, y , z ) , D FLVPLQ dm kütle Özel olarak, koordinat HNVHQOHULQHJ|UHH\OHPVL]OLNPRPHQWOHUL\D]ÕODELOLU z-eksenine göre eylemsizlik momenti: bu durumda d 2 = x 2 + y 2 RODFD÷ÕQGDQ E|OJHVLQH \HUOHúPLú HOHPDQODUÕQÕQ V|] NRQXVX QRNWD GR÷UX \D GD G]OHPH X]DNOÕ÷ÕGÕU I z = ∫∫∫ d 2 dm = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 ) ρ ( x, y, z )dxdydz D (2) D olur. Benzer olarak, x_ ve y-HNVHQOHULQHJ|UHH\OHPVL]OLNPRPHQWOHULGHVÕUDVÕ\OD I x = ∫∫∫ d 2 dm = ∫∫∫ ( y 2 + z 2 ) ρ ( x, y, z )dxdydz D D ve 207 (3) I y = ∫∫∫ d 2 dm = ∫∫∫ ( x 2 + z 2 ) ρ ( x, y , z )dxdydz D úHNOLQGH\D]Õ (4) D labilir. Bir cismin eylemsizlik momenti, silindirik ve küresel koordinatlarda ise I = ∫∫∫ d 2 ρ (r cos ϕ , r sin ϕ , z )rdrdϕ dz (5) I = ∫∫∫ d 2 ρ (r sin θ cos ϕ , r sin θ sin ϕ , r cos θ )r 2 sin θ drdθ dϕ (6) D ve D Burada, d fonksiyonunun, silindirik koordinatlarda d (r cos ϕ , r sin ϕ , z ) úHNOLQGH NUHVHO NRRUGLQDWODUGD GD LVH d ( r sin θ cos ϕ , r sin θ sin ϕ , r cos θ ) úHNOLQGH RODFD÷ÕQÕ úHNOLQGH \D]ÕODELOLU KDWÕUODWPDNWDID\GDYDUGÕU Örnek 1. Yerin kütlesi 5.97 ×1027 g YH \DUÕoDSÕ 6.371×108 cm ¶GLU +RPRMHQ \R÷XQOXNOX ve küresHO \DSÕGD ROGX÷XQX YDUVD\DUDN yerin, çapODUÕQGDQ ELULQH göre eylemsizlik momentini KHVDSOD\ÕQÕ] Çözüm gQFH KRPRMHQ \R÷XQOXNOX ELU NUHQLQ oDSÕQD J|UH H\OHPVL]OLN PRPHQWLQL ùHNLO ¶GH J|VWHULOGL÷L JLEL Noordinat sisteminin orijinini, kürenin merkezinde seçerek, z-HNVHQLQH J|UH H\OHPVL]OLN PRPHQWLQL KHVDSOD\DOÕP Küresel koordinatlarda, dmNWOHHOHPDQÕQÕQ]-HNVHQLQHRODQX]DNOÕ÷Õ KHVDSOD\DOÕP d 2 = z 2 − r 2 = x 2 + y 2 = r 2 sin 2 θ cos 2 ϕ + r 2 sin 2 θ sin 2 ϕ = r 2 sin 2 θ ROGX÷XQGDQ 208 I z = ρ ∫∫∫ r 2 sin 2 θ r 2 sin θ drdθ dϕ = ρ ∫∫∫ r 4 sin 3 θ drdθ dϕ D 2π D π R = ρ ∫ dϕ ∫ sin 3 θ dθ ∫ r 4 dr = 0 0 0 2πρ R 5 5 π ∫ sin 3 θ dθ 0 π 1 2πρ R 5 2πρ R 5 2 d (1 − cos θ ) sin θ θ = (1 − u 2 )du = ∫ ∫ 5 0 5 −1 2πρ R 5 = 5 1 u3 2 4πρ R 5 2 4 2 u − = = ( πρ R 3 ) R 2 = MR 2 3 −1 5 3 5 3 5 sonucunu elde ederiz. Buna görH\HULQoDSODUÕQGDQELULQHJ|UHH\OHPVL]OLNPRPHQWL I yer = 2 2 MR 2 = 5.97 × 1027 × (6.371× 108 ) 2 = 9.693 ×10 44 g cm 2 5 5 <HULQ \|UQJHVLQL \DUÕoDSÕ d = 1.496 ×1013 cm RODQ ELU oHPEHU NDEXO HGHUHN \XNDUÕGD menti ile YDUÕoDSÕ \|UQJH \DUÕoDSÕ \DQÕQGD oRN NoN ROGX÷XQGDQ \HUL QRNWDVDO kütle olarak varsayabiliriz. %XQDJ|UH\HULQJQHúHJ|UHH\OHPVL]OLNPRPHQWLLoLQ EXOGX÷XPX] oDSD J|UH H\OHPVL]OLN PRPHQWLQL \HULQ JQHúH J|UH H\OHPVL]OLN PR NDUúÕODúWÕUDELOLUL] I = Md 2 = 5.97 ×10 27 × (1.496 ×1013 ) 2 = 1.336 ×1054 g cm 2 GH÷HULQL HOGH HGHUL] %XQD J|UH \HULQ JQHúH J|UH H\OHPVL]OLN PRPHQWL oDSÕQD J|UH H\OHPVL]OLNPRPHQWLQLQ\DNODúÕNRODUDNNDWÕGÕU)L]LNWHDoÕVDOPRPHQWXP L = Iω ω , G|QPHGRODQPD DoÕVDO KÕ]ÕGÕU <HULQ, dönme ve dolanma P dönemleri VÕUDVÕ\OD dön = 24saat = 86400s ve Pdol = 365.25 g = 3.156 × 107 s ROGX÷XQGDQ, yerin G|QPHYHGRODQPDDoÕVDOPRPHQWXPODUÕiçinVÕUDVÕ\OD IRUPO LOH WDQÕPODQÕU %XUDGD Ldön = I çapω dön = 2π I çap = 7.049 ×1040 g cm 2s -1 Pdön ve Ldol = I güneúω GRO = 2π I JQHú = 2.660 ×1047 g cm 2s -1 Pdol GH÷HUOHULQL HOGH HGHUL] *|UOG÷ ]HUH \HULQ G|QPH DoÕVDO PRPHQWXPX GRODQPD DoÕVDO PRPHQWXPX\DQÕQGDLKPDO HGLOHELOHFHNNDGDUNoNWUdLIW\ÕOGÕ]ODUGXUXPXQGDGDJHQHOGH GXUXP E|\OHGLU $QFDN ED]Õ \DNÕQ YH KÕ]OÕ G|QHQ ELOHúHQOHUH VDKLS oLIW VLVWHPOHULQ LKPDO edilemeyecek kDGDU E\N G|QPH DoÕVDO PRPHQWXPODUÕQD VDKLS RODELOGLNOHULQL GH EHOLUWPHN gerekir. 209