kanat profili etrafındaki sıkıştırılamaz akış

KANAT PROFİLİ ETRAFINDAKİ
SIKIŞTIRILAMAZ AKIŞ
Uçağı havada tutan kanadın oluşturduğu taşıma kuvvetidir. Taşıma kuvvetinin
hesaplanması, hangi parametrelere bağlı olarak değiştiğinin belirlenmesi önemlidir.
Bunun için başlangıçta, kanadın aerodinamik performansını etkileyen eleman olan
kanat profili ile ilgili bilgiler verilecektir. Daha sonra kanat profili etrafındaki akış için
teorik metotlar açıklanacaktır.
Viskoz olmayan akış için çözüm yapılacağı için, gerçek ile uygun olmasa da,
sürükleme kuvveti olmayacaktır. Sürükleme kuvveti hesabı daha sonraki
bölümlerde yapılacaktır.
Bu bölümde, temel olarak kanat profili üzerindeki basınç dağılımı nedeniyle oluşan
profil özellikleri olan taşıma kuvveti ve momentlerin teorik olarak hesaplanması
hakkında bilgi verilecektir.
182
KANAT PROFİLİ
Kanat profili kanadın, uçağa bağlı eksen takımında x-z düzlemine göre, kesitidir.
(Yatay ve düşey kuyruk, pervane için de kullanılır.)
Firar kenarı
Cambered
Kamburluklu
Symmetrical
Simetrik
y
Kanat
Kanat profili
Hücum
kenarı
x
Laminar
Flow
Laminer akış
Refleksiyon
Reflexed
Kanada dik
xz düzlemine
paralel düzlem
Supercritical
Süperkritik
z
183
Kanat profilinin tarihsel gelişimi.
Kamburluk eğrisi
Hücum kenarı
Kalınlık
Kanat profili
Veter
Firar kenarı
Teorik hesaplamalara geçmeden önce deneysel olarak elde edilmiş sonuçlar
grafik olarak verilecektir.
184
TAŞIMA VE SÜRÜKLEME KUVVETLERİ
Stall,
maksimum taşıma
α=00 için
pozitif taşıma
x
zi t
if t
dcL
= tasima egimi
dα
po
a0 =
y
aş
ım
a
cL max
Stall nedeniyle
taşıma kaybı
α L =0
Göreceli hız
Sıfır taşıma açısı
t aş
ım
a
ati
f
ne
g
Viskoz olmayan akışta teorik
olarak belirli bir profil için taşıma
eğimi ve sıfır taşıma açısı
bulunacaktır. cL max ‘ın hesabı,
viskoz akış problemi olduğu için
bu yöntemle elde edilemez.
Taşıma katsayısı, cL
Stall açısı: 160
Negatif stall
Hücum açısı, α, [0]
185
y
x
Sürükleme kuvvetinin
kaynağı viskoz kuvvetler
ve akım ayrılması
nedeniyle basınç
dağılımıdır. Daha
sonraki bölümlerde
hesaplanacaktır.
Sürükleme katsayısı, cD
Göreceli hız
Stall açısına doğru
Sürüklemede ani artış
Küçük hücum açısında
minimum sürükleme
Hücum açısı, α, [0]
186
DÜŞÜK HIZLI AKIŞ KANAT PROFİLİ TEORİK ÇÖZÜMÜ
GİRDAP AKIŞI:
r yarıçaplı dairesel akım çizgisi için sirkülasyon: Γ=-Vθ(2πr)
Vθ
Vr = 0
Vθ = −
ψ=
Γ
2πr
Γ
ln r
2π
φ =−
Γ
θ
2π
Γ: girdap akışının gücü
187
GİRDAP CADDESİ:
-∞
O’
Γ gücüne sahip
dik girdap filamanı
Γ
Sonsuz sayıda girdap akışı yanyana
yerleştirildiği durumda girdap filamanı
oluşturur.
Girdap akış çözümü bu girdap filamanının
bir noktasındaki çözümüdür. Tüm filaman
boyunca birbirinin aynı çözümler olacaktır.
O
∞
Girdap saat ibreleri yönünde
→ ( + )Γ
188
-∞
z
y
x
Girdap caddesine y ekseninden
bakıldığında aşağıdaki gibi görünecektir.
s
∞
Girdap Caddesi
girdap filamanlarının yanyana
dizilmesinden oluşmaktadır.
s: girdap caddesi üzerinden boyunca
başlangıç noktasına göre mesafedir.
189
P(x,z)
s mesafesi boyunca birim uzunluk için
girdap caddesinin gücü
dV
r
s
a
θ
γ (s )
b
ds eleman uzunluğu için sonsuz uzunluktaki
parçanın gücü
γds
ds
Akış içinde yer alan bir P(x,y) noktası seçilen elemandan r kadar uzaklıktadır.
Girdap caddesi elemanının bu noktada oluşturduğu hız:
Girdap akışı için hız denklemi: Vθ = −
Γ
2πr
γds
dV = −
2πr
Hızın yönü r’ye dik olacaktır.
P noktasındaki hız bu denklemin a noktasından b noktasına kadar girdap elemanları
için vektörel toplamı ile bulunur. Bu nedenle bazı durumlarda hız potansiyeli ile
çözüm daha uygundur.
Γ
Girdap akışı için hız potansiyeli denklemi: φ = − θ
2π
γds
dφ = −
θ
2π
190
P noktası için, a dan b ye girdap caddesi için hız potansiyeli:
b
1
φ ( x, y ) = − ∫ θγds
2π a
(Sayısal panel metodunda kullanışlıdır.)
veya
1 γ
V ( x, y ) = −
ds
∫
2π a r
b
(Klasik ince kanat profili teoremi için kullanışlıdır.)
Girdap caddesinin sirkülasyonu, girdap akışında olduğu gibi, elemanların gücünün
toplamına eşittir.
b
Γ = ∫ γds
a
191
u1
v1
v2
dn
ds uzunluğunda ve dn kalınlığında bir dilim
için alt ve üst yüzeylere teğet hızlar u1 ve u2,
yan yüzeylere teğet hızlar ise v1 ve v2 olsun.
u2
ds
Kapalı eğri için sirkülasyon tanımı:
Γ ≡ − ∫ V .ds
c
Γ = −(v2 dn − u1ds − v1dn + u2 ds ) = (u1 − u2 )ds + (v1 − v2 )dn
Aynı zamanda ds elamanı için
Γ = γds
⇒ γds = (u1 − u2 )ds + (v1 − v2 )dn
Alt ve üst yüzeyin girdap caddesine yaklaştığı durumda:
γds = (u1 − u2 )ds
dn → 0
⇒ γ = (u1 − u2 )
Girdap caddesi üzerindeki yerel teğet hız değişimi
lokal girdap caddesi şiddetine eşittir.
192
Şu ana kadar girdap caddesi hakkında bilgiler aktarıldı. Girdap caddesi kanat
profili etrafındaki düşük hızlı akış analizinde kullanılacaktır:
V∞ hızına sahip hava akışı içinde yer alan bir kanadın alt ve üst yüzeylerini γ(s)
şiddetine sahip girdap caddesi ile değiştirilsin.
γ (s )
s
V∞
Kanat profili için sirkülayon:
Γ = ∫ γds
Sonuçta Kutta-Joukovski teoremi:
(integral tüm yüzey için)
L′ = ρ∞V∞ Γ
Kanat profilinin çok ince olduğu durumda:
193
KUTTA ŞARTI
Dairesel silindir etrafındaki taşıma kuvveti oluşturan akışta, farklı Γ değerleri için,
sonsuz sayıda potansiyel akış çözümü mevcuttu. Aynı durum kanat profili
etrafındaki akış için de geçerlidir.
Aynı hücum açısına sahip kanat
profilleri için değişik Γ değerlerinde
oluşan değişik akım tipleri.
Bir kanat profili için çözüm yaparken
belirli hücum açısı için Γ şiddetinin
sabitlenmesi gerekecektir.
Bunun için Kutta şartı kullanılacaktır.
194
Kanat profilinin firar kenarı çeşitli şekillerde olabilir:
a
v2
a
v1
v1
Sonlu açıya sahip firar kenarı:
Hızın iki değere sahip olması
olanaksızdır. Bunun için a
noktası durma noktasıdır.
v1 = v2 = 0
v2
Sivri uçlu firar kenarı:
Kanat alt ve üst yüzeyinden
gelen akış hızları sonlu
değere sahiptir.
a noktası için Bernoulli
denklemi kullanılarak hızlar
arasındaki eşitlik bulunur
1 2
1
2
pa + ρv1 = pa + ρv2
2
2
⇒ v1 = v2 ≠ 0
195
Kutta şartı:
1. Belirli bir hücum açısında kanat profili için, profil etrafındaki girdap şiddeti
öyledir ki akış firar kenarını düzgün olarak terk eder.
2. Firar kenarı sonlu açıya sahipse, firar kenarı durma noktasıdır.
3. Firar kenarı sivri uçlu ise, alt ve üst yüzeyi terkeden akış hızları sonlu değere
sahiptir. Eşit şiddetli ve aynı yöndedirler.
γ = (u1 − u2 )
olarak bulunmuştu.
⇒ γ ( FK ) = γ (a) = u1 − u2
⇒ γ ( FK ) = 0
196
İNCE KANAT PROFİLİ TEORİSİ
Kanat profillerinde genelde, kamburluk ve kalınlık vetere göre daha küçüktür. İnce kanat
profili teoreminde bu özellikten faydalanılır. Bunun yanında hücum açısı da çok küçük
olarak kabul edilir. Hava hızı veter doğrultusuna neredeyse paraleldir.
İnce kanat profili teorisinde temel düşünce, profil etrafındaki akış modellenirken serbest
akımda veter boyunca veya kamburluk eğrisi boyunca sürekli girdap ilave edilmesidir.
Girdapların şiddetini belirleyen parametreler:
¾ Kamburluk eğrisi akım çizgisi olarak düşünülürse bu eğriye dik doğrultudaki hız
sıfırdır.
¾ Kutta-Joukowsky şartı: akış profil firar kenarını yumuşak bir şekilde terk eder. Firar
kenarında girdap şiddeti sıfırdır. (γ(c)=0 )
197
Kanat profilinin taşıma kuvveti Kutta-Joukowsky teoremi kullanılarak elde edilir:
L′ = ρ∞V∞ Γ
Kanat profili çevresindeki sirkülasyon, yayılı olarak yerleştirilmiş girdap şiddetlerinin
integrali ile bulunur.
Girdapların kamburluk eğrisi üzerine yerleştirildiği durum:
w′ : kamburluk eğrisine dik hız
w′ = w(s )
198
İnce profillerde girdapları veter çizgisi üzerine kaydırabiliriz. Bu durumda girdap gücü
araştırılırsa kamburluk eğrisinin hala akım çizgisi olduğu görülür.
Akış içinde yer alan bir noktadaki hız, uniform akış hızı ile girdap nedeniyle oluşan
hızın toplamı olacaktır.
Kamburluk eğrisi akım çizgisi ise, bu eğri boyunca normal doğrultudaki hız sıfır
olacaktır. Eğri üzerindeki bir nokta için hız denklemi:
V∞ ,n + w′( s ) = 0
V∞ ,n
in bulunması gerekir.
199
Kamburluk eğrisi üzerinde eğimi dz/dx
olan herhangi bir nokta için dik hız ifadesi
şekilden söyle yazılabilir:
V∞ ,n
⎡
dz ⎞⎤
−1 ⎛
= V∞ sin ⎢α + tan ⎜ − ⎟⎥
⎝ dx ⎠⎦
⎣
İnce kanat profili ve çok küçük hücum açısı için
α ve tan-1(-dz/dx) küçük değerlere sahiptir:
sin θ ≈ tan θ ≈ θ
Bunun yanında:
w′( s ) ≈ w( x)
V∞ ,n
dz
= V∞ (α − )
dx
[rad]
200
w(x) için girdap şiddetine bağlı denklem elde etmek için:
γds
dV = −
2πr
olarak verilmişti.
γ (ξ )dξ
⇒ dw = −
2π ( x − ξ )
γ (ξ )dξ
⇒ w( x) = − ∫
2π ( x − ξ )
0
c
201
V∞ ,n + w′( s ) = 0
V∞ ,n
dz
= V∞ (α − )
dx
dz
γ (ξ )dξ
⇒ V∞ (α − ) − ∫
=0
dx 0 2π ( x − ξ )
c
1 γ (ξ )dξ
dz
⇒
= V∞ (α − )
∫
2π 0 x − ξ
dx
c
İnce profil teorisinin temel denklemi:
Kamburluk eğrisinin bir akım çizgisi olduğunu söyler
SİMETRİK KANAT PROFİLİ (DÜZ LEVHA DURUMU)
dz
=0
dx
1
⇒ V∞α =
2π
γ (ξ )
∫0 x − ξ dξ
c
202
Bu integralin çözümü zordur. Değişken dönüşümü yapılır:
c
c
ξ = (1 − cosθ ) ⇒ dξ = sin θ dθ
2
2
2x
c
x = (1 − cosθ 0 ) ⇒ θ 0 = arccos(1 − )
2
c
1
⇒ V∞α =
2π
π
γ (θ ) sin θ dθ
∫0 cosθ − cosθ 0
¾ Yukarıdaki integral denklemin çözümü aşağıdaki gibi elde edilir:
1 + cosθ
γ (θ ) = 2αV∞
sin θ
Bu sonuç integralde sağdaki terimde yerine koyulursa denklemi sağladığı
ve bir çözüm olduğu gösterilebilir.
203
Firar kenarında:
γ (π ) = 0
Kutta şartını sağlar.
Sirkülasyon ve Taşıma Kuvveti
c
π
c
Γ = ∫ γ (ξ ) dξ = ∫ γ (θ ) sin θ dθ
20
0
1 + cosθ
γ (θ ) = 2αV∞
sin θ
Kutta-Joukowski teoremi kullanılırsa:
L′
L′
=
cl =
q∞ S 1 ρ V 2 c(1)
∞ ∞
2
⇒ Γ = παcV∞
L′ = ρ ∞V∞ Γ = παcρ ∞V∞2
⇒ cl = 2πα
dcl
⇒
= 2π
dα
Deneyle uyumlu sonuç: hücum açısı ile doğru orantılı.
204
Aerodinamik Moment
c
c
′ = − ∫ ξdL = − ρ∞V∞ ∫ ξγ (ξ )dξ = − q∞ c
M HK
0
0
2
πα
2
Moment Katsayısı
cm,hk
′
M HK
=
q∞ Sc
⇒ cm ,hk = −
πα
2
cl = 2πα
cm,hk
cl
=−
4
Basınç merkezi
⇒ cm ,c / 4 = 0
Aerodinamik merkez
Tüm hücum açıları için geçerlidir.
205
KAMBURLUKLU KANAT PROFİLİ
Simetrik kanat profili için uygulanan düşünce benzer şekilde oluşturulur. Yapılan
kabuller:
• Profilin kalınlığı vardır ve vetere göre küçüktür.
• Hücum açısı küçüktür.
dz
1
V∞ (α − ) =
dx
2π
dz
≠0
dx
γ (ξ )
∫0 x − ξ dξ
c
Değişken dönüşümü ile:
c
c
π
2
2
dz
1
γ (θ ) sin θ
V
(
α
)
dθ
⇒
−
=
∞
∫
2x
c
dx
2π 0 cos θ − cos θ 0
x = (1 − cosθ 0 ) ⇒ θ 0 = arccos(1 − )
c
2
ξ = (1 − cosθ ) ⇒ dξ = sin θ dθ
206
Çözüm yapılırsa (Kutta-Joukowsky şartı ile): (γ(c) = γ(π) = 0)
⎛ 1 + cosθ ∞
⎞
+ ∑ An sin( nθ ) ⎟
γ (θ ) = 2V∞ ⎜ A0
sin θ
n =1
⎝
⎠
Simetrik kanat
profili çözümü
An katsayılarına sahip
Fourier sinüs serisi
Bu katsayıların değerleri kamburluk eğrisinin akım çizgisi olması şartıyla bulunur.
Bunun için elde edilen sonuç başlangıç denkleminin içine yerleştirilirse:
π
π
dz 1 A0 (1 + cos θ )
1 ∞ An sin nθ sin θ
α− = ∫
dθ + ∑ ∫
dθ
dx π 0 cos θ − cos θ 0
π n =1 0 cos θ − cos θ 0
207
π
1. integralin çözümü için:
2. integralin çözümü için:
cos nθ
π sin nθ 0
∫0 cosθ − cosθ0 dθ = sin θ0
π
sin nθ sin θ
∫0 cosθ − cosθ0 dθ = −π cos nθ0
∞
Sonuçta:
dz
A0 − ∑ An cos nθ 0 = α −
dx
n =1
veya
∞
dz
= (α − A0 ) + ∑ An cos nθ 0
dx
n =1
c
x = (1 − cosθ 0 ) değişken dönüşümü hatırlanırsa
2
π
1 dz
A0 = α − ∫ dθ 0
π 0 dx
π
2 dz
An = ∫ cos(nθ 0 )dθ 0
π 0 dx
An kamburluk eğrisinin şekline (dz/dx) bağlı olarak değişir.
A0 ise bunun yanında hücum açısı ile değişir.
Taşıma ve yunuslama momenti hesabında ilk iki terim kullanılır
208
Sirkülasyon ve Taşıma Kuvveti
c
π
c
Γ = ∫ γ (ξ ) dξ = ∫ γ (θ ) sin θ dθ
20
0
⎛ 1 + cosθ ∞
⎞
+ ∑ An sin( nθ ) ⎟
γ (θ ) = 2V∞ ⎜ A0
sin θ
n =1
⎝
⎠
Girdap caddesinin oluşturduğu
toplam sirkülasyon.
olarak bulunmuştu.
Ayrıca standart integral tablosu kullanılırsa
π
∫ (1 + cosθ )dθ = π
⎧π / 2 n = 1
∫0 sin nθ sin θ dθ =⎨⎩ 0 n ≠ 1
π
ve
0
π ⎞
⎛
⇒ Γ = cV∞ ⎜ π A0 + A1 ⎟
2 ⎠
⎝
209
π ⎞
2 ⎛
L′ = ρ∞V∞ Γ = ρ∞V∞ c⎜ πA0 + A1 ⎟
2 ⎠
⎝
Birim genişlik için taşıma kuvveti:
L′
L′
=
cl =
q∞ S 1 ρ V 2 c(1)
∞ ∞
2
⇒ cl = π (2 A0 + A1 )
dcl
⇒
= 2π
dα
Taşıma eğrisinin eğimi:
İnce kanat profili teorisinde
taşıma eğrisinin eğimi, herhangi
bir profil için, 2π dir.
Sıfır Taşıma Hücum Açısı
dcl
cl =
(α − α L=0 )
dα
⇒ cl = 2π (α − α L=0 ) ⇒ α L=0
Simetrik kanat profili için:
π
1 dz
= − ∫ (cosθ 0 − 1)dθ 0
π 0 dx
α L =0 = 0 0
210
Aerodinamik Moment
c
c
′ = − ∫ ξdL = − ρ∞V∞ ∫ ξγ (ξ )dξ
M HK
0
⇒ cm ,hk = −
cm ,hk
0
π⎛
A2 ⎞
+
−
A
A
⎜ 0
⎟
1
2⎝
2 ⎠
cl = π (2 A0 + A1 )
cm,hk
′
M HK
=
q∞ Sc
⎤
⎡ cl π
= − ⎢ + ( A1 − A2 )⎥
⎦
⎣4 4
⇒ cm ,c / 4 =
π
4
( A2 − A1 )
Aerodinamik
merkez
Tüm hücum açıları için geçerlidir.
Basınç merkezi
cm ,hk c
′
M HK
xcp = −
=−
L′
cl
⎤
c⎡ π
⇒ xcp = ⎢1 + ( A1 − A2 )⎥
4 ⎣ cl
⎦
211