ELECTRE Yöntemi

ELECTRE Yöntemi
ELECTRE (Elemination and Choice Translating Reality English) yöntemi ilk kez 1966 yılında
Beneyoun tarafından ortaya atılmış bir çoklu karar verme yöntemidir. Yöntem, her bir
değerlendirme faktörü için alternatif karar noktaları arasında ikili üstünlük kıyaslamalarına
dayanır. Yöntem 8 adımda çözüme gider (Triantaphyllou, 2000). Aşağıda ELECTRE
yönteminin adımları tanımlanmıştır.
Adım 1 : Karar Matrisinin (A) Oluşturulması
Karar matrisinin satırlarında üstünlükleri sıralanmak istenen karar noktaları, sütunlarında ise
karar vermede kullanılacak değerlendirme faktörleri yer alır. A matrisi karar verici tarafından
oluşturulan başlangıç matrisidir. Karar matrisi aşağıdaki gibi gösterilir:
 a11
a
 21
 .
Aij  
 .
 .

a m1
a12
a 22
am2
... a1n 
... a 2 n 
. 

. 
. 

... a mn 
Aij matrisinde m karar noktası sayısını, n değerlendirme faktörü sayısını verir.
Adım 2 : Standart Karar Matrisinin (X) Oluşturulması
Standart Karar Matrisi, A matrisinin elemanlarından yararlanarak ve aşağıdaki formül
kullanılarak hesaplanır.
xij 
a ij
(2.1)
m
a
k 1
2
kj
Örneğin X matrisinin x11 elemanını hesaplamak için, A matrisinin a11 elemanı, matrisin 1
sütun elemanlarının kareleri toplamının kareköküne bölünerek elde edilir. Burada amaç, bir
karar noktası ilgili değerlendirme faktörü ilişkilendirilirken, diğer karar noktaları açısından
ağırlıklandırmaktır. Hesaplamalar sonunda X matrisi aşağıdaki gibi elde edilir:
 x11
x
 21
 .
X ij  
 .
 .

 x m1
x12
x 22
xm 2
x1n 
... x 2 n 
. 

. 
. 

... x mn 
...
Adım 3 : Ağırlıklı Standart Karar Matrisinin (Y) Oluşturulması
Değerlendirme faktörlerinin karar verici açısından önemleri farklı olabilir. Bu önem
farklılıklarını ELECTRE çözümüne yansıtabilmek için Y matrisi hesaplanır. Karar verici
n
öncelikle değerlendirme faktörlerinin ağırlıklarını ( wi ) belirlemelidir (
w
i 1
i
 1 ).
Daha sonra X matrisinin her bir sütunundaki elemanlar ilgili wi değeri ile çarpılarak Y matrisi
oluşturulur. Y matrisi aşağıda gösterilmiştir:
 w1 x11
w x
 1 21
 .
Yij  
 .
 .

 w1 x m1
w2 x12
w2 x 22
w2 x m 2
wn x1n 
... wn x 2 n 
. 

. 
. 

... wn x mn 
...
Adım 4 : Uyum ( C kl ) ve Uyumsuzluk ( Dkl ) Setlerinin Belirlenmesi
Uyum setlerinin belirlenebilmesi için Y matrisinden yararlanılır, karar noktaları birbirleriyle
değerlendirme faktörleri açısından kıyaslanır ve setler aşağıdaki formülde gösterilen ilişki
yardımıyla belirlenir:
C kl  j , y kj  ylj 
(2.2)
Formül temel olarak satır elemanlarının birbirlerine göre büyüklüklerinin karşılaştırılmasına
dayanır. Bir çoklu karar problemindeki uyum seti sayısı ( m.m  m ) tanedir. Çünkü uyum
setleri oluşturulurken k ve l indisleri için k  l olmalıdır. Bir uyum setindeki eleman sayısı
ise en fazla değerlendirme faktörü sayısı ( n ) tane olabilir.
Örneğin k  1 ve l  2 için C12 uyum seti için Y matrisinin 1. ve 2. satır elemanları karşılıklı
olarak birbirleriyle kıyaslanır ve eğer burada 4 değerlendirme faktörü varsa C12 uyum seti en
fazla 4 elemanlı olacaktır. Verilen örnekte 1. ve 2. satır kıyaslamasında,
y11  y21
y12  y22
y13  y 23
y14  y24
sonuçlarıyla karşılaşılmışsa (2.2) formülündeki şarta j  1 ve j  4 değerleri uyacak ve C12
uyum seti C12  1,4 şeklinde oluşacaktır.
ELECTRE yönteminde her uyum setine ( C kl ) bir uyumsuzluk seti ( Dkl ) karşılık gelir. Diğer
bir deyişle uyum seti sayısı kadar uyumsuzluk seti sayısı vardır. Uyumsuzluk seti elemanları,
ilgili uyum setine ait olmayan j değerlerinden oluşur. Verilen örnekte C12  1,4ise
D12  2,3 elemanlarından oluşacaktır.
ELECTRE yönteminde uyum setlerini oluştururken değerlendirme faktörlerinin anlamlarına
dikkat edilmelidir. Örneğin ilgili değerlendirme faktörü kar ise uyum seti için (2.2) formülü
kullanılacaktır. Ancak değerlendirme faktörü maliyet ise bu durumda uyum seti için gerek şart
y kj  y lj eşitsizliği olacaktır.
Adım 5 : Uyum ( C ) ve Uyumsuzluk Matrislerinin ( D ) Oluşturulması
Uyum matrisinin (C) oluşturulması için uyum setlerinden yararlanılır. C matrisi mxm
boyutludur ve k  l için değer almaz. C matrisinin elemanları aşağıdaki formülde gösterilen
ilişki yardımıyla hesaplanır.
ckl 
w
jCkl
(2.3)
j
Örneğin C12  1,4 ise C matrisinin c12 elemanının değeri, c12  w1  w4 olacaktır. C matrisi
aşağıda gösterilmiştir:

c
 21
 .
C
 .
 .

c m1
c12
c13

c 23
cm 2
cm3
... c1m 
... c 2 m 
. 

. 
. 

...  
Uyumsuzluk matrisinin (D) elemanları ise aşağıdaki formül yardımıyla hesaplanır:
max y kj  y lj
d kl 
jDkl
max y kj  y lj
(2.4)
j
Örneğin Y matrisinin 1. ve 2. satır elemanlarının kıyaslamasından d12 ( k  1 ve l  2 )
elemanı elde edilir. d12 için, (2.4) formülünün pay kısmında D12  2,3 uyumsuzluk setini
oluşturan
j  2 ve j  3 değerleri dikkate alınır ve
y12  y 22
ve
y13  y 23
mutlak
farklarından büyük olanı seçilir. Formülün payda kısmı için ise Y matrisinin 1. ve 2.
satırlarındaki tüm elemanların karşılıklı mutlak farkları bulunarak bunlardan en büyük olanı
seçilir.
C matrisi gibi D matrisi de mxm boyutludur ve k  l için değer almaz. D matrisi aşağıda
gösterilmiştir:
 
d
 21
 .
D
 .
 .

d m1
d12
d13

d 23
d m2
d m3
... d1m 
... d 2 m 
. 

. 
. 

...  
Adım 6 : Uyum Üstünlük (F) ve Uyumsuzluk Üstünlük (G) Matrislerinin Oluşturulması
Uyum üstünlük matrisi (F) mxm boyutludur ve matrisin elemanları uyum eşik değerinin ( c )
uyum matrisinin elemanlarıyla ( c kl ) karşılaştırılmasından elde edilir. Uyum eşik değerinin ( c )
aşağıdaki formül yardımıyla elde edilir:
c
m m
1
c kl

m(m  1) k 1 l 1
(2.5)
Formüldeki m karar noktası sayısını göstermektedir. Daha açık bir anlatımla c değeri,
1
ile C matrisini oluşturan elemanların toplamının çarpımına eşittir.
m(m  1)
F matrisinin elemanları ( f kl ), ya 1 ya da 0 değerini alır ve matrisin köşegeni üzerinde aynı
karar noktalarını gösterdiğinden değer yoktur. Eğer c kl  c 
f kl  1 , eğer c kl  c 
f kl  0 dır.
Uyumsuzluk üstünlük matrisi (G) de mxm boyutludur ve F matrisine benzer şekilde
oluşturulur. Uyumsuzluk eşik değeri ( d ) aşağıdaki formül yardımıyla elde edilir:
d
m m
1
 d kl
m(m  1) k 1 l 1
Diğer bir deyişle d değeri,
(2.6)
1
ile D matrisini oluşturan elemanların toplamının
m(m  1)
çarpımına eşittir.
G matrisinin elemanları da ( g kl ), ya 1 ya da 0 değerini alır ve matrisin köşegeni üzerinde
aynı karar noktalarını gösterdiğinden değer yoktur. Eğer d kl  d  g kl  1 , eğer d kl  d 
g kl  0 dır.
Adım 7 : Toplam Baskınlık Matrisinin (E) Oluşturulması
Toplam Baskınlık Matrisinin (E) elemanları ( ekl ) aşağıdaki formülde gösterildiği gibi f kl ve
g kl elemanlarının karşılıklı çarpımına eşittir. Burada E matrisi C ve D matrislerine bağlı
olarak mxm boyutludur ve yine 1 ya da 0 değerlerinden oluşur.
Adım 8 : Karar Noktalarının Önem Sırasının Belirlenmesi
E matrisinin satır ve sütunları karar noktalarını gösterir. Örneğin E matrisi aşağıdaki gibi
hesaplanmışsa,
 0 0 
E   1  0 
 1 1  
e21  1 , e31  1 ve e32  1 değerlerini alır. Bu ise 2. karar noktasının 1. karar noktasına 3.
karar noktasının 1. karar noktasına ve 3. karar noktasının da 2. karar noktasına mutlak
üstünlüğünü gösterir. Bu durumda karar noktaları Ai ( i  1,2,..., m ) sembolüyle ifade edilirse,
karar noktalarının önem sırası A3 , A2 ve A1 şeklinde oluşacaktır.
Örnek
Bir çoklu karar probleminde 3 karar noktası ve 4 değerlendirme faktörü bulunmaktadır. Karar
verici karar matrisini aşağıdaki gibi oluşturmuş ve değerlendirme faktörlerine ilişkin ağırlıkları
ise w1  0,20 , w2  0,35 , w3  0,40 ve w4  0,05 şeklinde belirlemiştir.
85 25 20 40
A  35 55 35 15 
40 60 30 55
Karar verici, karar noktalarının önem sırasını nasıl oluşturacaktır ?
Öncelikle (2.1) formülü yardımıyla ( 3x4 ) boyutlu Standart Karar Matrisi (X) oluşturulmuştur.
Burada x11 değeri,
x11 
85
85  35  40
2
2
2
 0,8479
olarak elde edilmiştir. Benzer şekilde diğer x ij değerleri hesaplanarak aşağıda gösterilen X
matrisi tamamlanmıştır.
0,8479 0,2472 0,3980 0,5744
X   0,3491 0,5439 0,6965 0,2154
0,3990 0,5934 0,5970 0,7898
2. adımda Ağırlıklı Standart Karar Matrisi (Y) oluşturulmuştur. Bunun için X matrisinin
sütunlarındaki değerler ilgili değerlendirme faktörü ağırlık değerleri ile çarpılmış ve Y
matrisinin sütunları hesaplanmıştır. Örneğin Y matrisinin 1. sütun değerleri,
y11  w1.x11  0,20.0,8479  0,1696
y21  w1.x21  0,20.0,3491  0,0698
y31  w1 .x31  0,20.0,3990  0,0798
şeklinde bulunabilir. Benzer şekilde diğer y ij değerleri hesaplanarak aşağıda gösterilen Y
matrisi tamamlanmıştır.
 0,1696 0,0865 0,1592 0,0287
Y  0,0698 0,1904 0,2786 0,0108
0,0798 0,2077 0,2388 0,0395
3. adımda uyum ( C kl ) ve uyumsuzluk ( Dkl ) setleri oluşturulmuştur. Örneğin k  1 ve j  2
için C12 uyum seti (2.2) formülü kullanılarak aşağıda hesaplanmıştır.
y11  0,169641  y21  0,0698 olduğundan j  1 C12 nin bir elemanıdır.
y12  0,0865  y22  0,1904 olduğundan j  2 C12 nin bir elemanı değildir.
y13  0,1592  y 23  0,2786 olduğundan j  3 C12 nin bir elemanı değildir.
y14  0,0287  y24  0,0108 olduğundan j  4 C12 nin bir elemanıdır.
Bu durumda C12 uyum seti, C12  1,4 ve D12 uyumsuzluk seti D12  2,3 şeklinde
oluşacaktır.
Diğer uyum ve uyumsuzluk setleri aşağıda hesaplanmıştır.
k  1 , l  3  C13  1 ve D13  2,3,4
k  2 , l  1  C21  2,3 ve D21  1,4
k  2 , l  3  C23  3 ve D23  1,2,4
k  3 , l  1  C31  2,3,4 ve D31  1
k  3 , l  2  C32  1,2,4ve D32  3
4. adımda uyum (C) ve uyumsuzluk (D) matrisleri oluşturulmuştur. C matrisinin elemanları
(2.3) formülü yardımıyla hesaplanmıştır. Bu formüle göre, C matrisinin 1. satırını oluşturan
c12 elemanı c12  w1  w4  0,20  0,05  0,25 ve c13  w1  0,20 olarak bulunabilir. Benzer
şekilde diğer satırlar da hesaplanmış ve C matrisi aşağıdaki gibi oluşturulmuştur.
  0,25 0,20
C  0,75  0,40
0,80 0,60
 
D matrisinin hesaplanmasında ise uyumsuzluk setlerinden ve (2.4) formülünden
yararlanılmıştır. Örneğin d12 için D12  2,3uyumsuzluk seti dikkate alınmalıdır. Formülün
pay kısmı için,
j  2  y12  y22  0,0865  0,1904  0,1039
j  3  y13  y23  0,1592  0,2786  0,1194
payda kısmı için ise,
j  1  y11  y21  0,1696  0,0698  0,0998
j  2  y12  y22  0,0865  0,1904  0,1039
j  3  y13  y23  0,1592  0,2786  0,1194
j  4  y14  y24  0,0287  0,0108  0,0179
hesaplanır.
Bu durumda,
d12 
max 0,1039;0,1194
0,1194

1
max 0,0998;0,1039;0,1194;0,0179 0,1194
değeri elde edilir. Benzer şekilde diğer d kl değerleri de hesaplanarak D matrisi aşağıdaki gibi
tamamlanmıştır.
1
1 
 

D  0,8359  0,7211
0,7409 1
 
5. adımda uyum üstünlük (F) ve uyumsuzluk üstünlük (G) matrisleri oluşturulmuştur.
Öncelikle (2.5) formülü yardımıyla c eşik değeri,
c
1
3
(0,25  0,20  0,75  0,40  0,80  0,60)   0,5
3.(3  1)
6
olarak bulunmuş ve F matrisinin elemanları ( f kl ) için kıyaslamalar aşağıdaki gibi yapılmıştır.
f12  0,25  0,5  f12  0
f13  0,20  0,5  f13  0
f 21  0,75  0,5  f 21  1
f 23  0,40  0,5  f 23  0
f 31  0,80  0,5  f 31  1
f 32  0,60  0,5  f 32  1
Bu durumda F matrisi aşağıdaki gibi oluşacaktır.
 0 0 
F   1  0 
 1 1  
Benzer şekilde d eşik değeri de aşağıdaki gibi hesaplanabilir.
d
1
5,2979
(1  1  0,8359  0,7211  0,7409  1) 
 0,883
3.(3  1)
6
olarak bulunmuş ve G matrisinin elemanları ( g kl ) için kıyaslamalar aşağıdaki gibi yapılmıştır.
g12  1  0,883  g12  1
g13  1  0,883  g13  1
g 21  0,8359  0,883  g 21  0
g 23  0,7211  0,883  g 23  0
g 31  0,7409  0,883  g 31  0
g 32  1  0,883  g 32  1
Bu durumda G matrisi aşağıdaki gibi oluşacaktır.
 1 1 
G   0  0 
 0 1  
Son adımda ise Toplam Üstünlük Matrisi (E)
f kl
ve g kl elemanları karşılıklı olarak
birbirleriyle çarpılarak aşağıdaki gibi elde edilmiştir.
 0 0 
E   1  0 
 1 1  
Bu durumda karar verici karar noktalarının önem sırasını
belirleyecektir.
A3 , A2 ve A1 şeklinde