Slayt Başlığı Yok

ANA
SAYFA
BELİRSİZ İNTEGRAL
TANIM: f:[a,b] R tanımlı iki fonksiyon olsun.Eğer F(x) in türevi F(x) veya
diferansiyeli f(x).d(x) olan F(x) fonksiyonuna, f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali
denir ve f(x).d(x)=F(x)+c biçiminde gösterilir.
BELİRSİZ İNTEGRALİN ÖZELLİKLERİ
1) Bir belirsiz integralin türevi, integrali alınan fonksiyona eşittir. Yani,
( f ( x).dx) '
= ( F ( x)  C )' = f(x) tir.
2) Bir belirsiz integralin diferansiyeli, integral işaretinin altındaki ifadeye eşittir. Yani,
d(f(x).dx) = f(x).dx
ANA
SAYFA
3) Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali, bu fonksiyon
ile bir C sabitinin toplamına eşittir. Yani,
d(f(x)) = f(x) + c dir.
iNTEGRAL ALMA KURALLARI
n 1
n
1)  x dx= (1/n+1) x
+c (n -1)
2) (1/x)dx = ln |x| +c
x
3) e dx = e
x
+c
x
x
4)  a dx = (1/lna). a +c
5)sinxdx = -cosx+c
6) cosx=sinx+c
7)  tanx.secx.dx = secx+c
ANA
SAYFA
8) cotx.cosecx.dx= -cosecx+c
2
2
9)sec x.dx = (1/ sin 2 x.dx) = (1+ tan x )dx = tanx+c
2
2
cosec
x
cos
x
10)
.dx = (1/
11)(1/1+x 2 ).dx =arctanx+
1
12)
1- x2
2
).dx =  (1+ cot x ).dx=-cotx+c
c1 =-arccotx+ c2
dx=arcsinx+ c1 =-arccosx+ c2
Örnek:  (2x+1)dx belirsiz integralini bulalım.
Çözüm:  (2x+1).dx= 2x.dx+ 1.dx=2.( x 2/2)+1.x+c= x 2+x+c bulunur.
Örnek: -[(2x-3x) / x].dx belirsiz integralini bulalım.
Çözüm: [(2x-3x) / x].dx =[(2x/x) -(3x/x)].dx=2x.dx-3/x.dx
=2x.dx-3(1/x)dx=x-3 ln |x|+c
ANA
SAYFA
İNTEGRAL ALMA METOTLARI
ANA
SAYFA
DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME METODU
İntegral hesaplarında, uygun bir değişken değiştirmesi yapılarak
integrali hesaplanacak ifade ilkeli kolaylıkla bulunabilecek bir ifadeye
dönüştürülür.
1) f(x). f (x). .dx= f(x).d(f(x)) integralinde fonksiyon ve türevi
çarpım şeklinde ise, değişken değiştirme metodu kullanılır. Değişken
değiştirme yapılırken hem fonksiyonun hem de diferansiyelin değişimi
yapılmalıdır.
'
F(x)=u dönüşümü yapılırsa; d(f(x))=d(u) => f (x). .dx= du olur.
Bulunan bu değerleri yerlerine yazalım:
'
2
f(x).f (x). dx= u.du=( u /2)+c=1/2 f 2 (x)+c şeklinde çarpım
fonksiyonunun integrali alınmış olur.
'
'
f
. = f n (x).d(f(x)) integralinde genellikle üssü
2)  (x). [f(x)] ndx
görmeden f(x)=u dönüşümü yapılır. Fakat türev oluşmazsa [f(x)] n = u
denilmelidir. Burada f(x) = u dönüşümü yapılırsa;
'
f
f(x) = u =>d(f(x))=(du) => (x) .dx=du olur. Bulunan bu değerleri
yerine yazalım:
n
 [f(x)] .f
'
(x).dx
n 1
u
  u n .du 
C
n 1
n 1
[f(x)]

C
n 1
ANA
SAYFA
f ' (x).dx d ( f ( x))

3) 
integralinde,
f ( x)
f ( x)
f(x) dönüşümü yapılırsa ; her iki tarafın diferansiyelini alalım:
'
d(f(x))=d(u) => f (x). dx=du olur. Bulunan bu değerleri yerlerine
yazalım:

'
f ( x).dx
du

 ln u  C  ln f ( x)  C
f ( x)
u
bulunur.
ANA
SAYFA
4)
a
f ( x)
. f ( x).dx(a  R  1)

'
f(x) = u dönüşümü yapılırsa ;d(f(x))=d(u) =>
Bulunanları yerlerine yazalım:
a
f ( x)
integralinde;
f ' ( x) .dx = du olur.
1
1
f ( x)
. f ( x).dx   a .du a .
C  a .
C
ln a
ln a
'
u
u
bulunur.
ANA
SAYFA
'
5)  f ( g ( x)).g ( x).dx integralinde, g(x) = u dönüşümü
yapılırsa ;
g(x)=u => d(g(x))= d(u)=> g’(x).dx=du olur.
Bulunanları yerlerine yazalım:
'
f
(
g
(
x
))
.
g
( x).dx 

elde edilir.
 f (u ).du
gibi basit fonksiyon integrali
İNTEGRALDE TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER
İntegrandında a  x , x  a , a  x bulunan integraller,
trigonometrik dönüşümler yardımıyla hesaplanır.
2
2
2
2
2
2
Amaç , yapılacak trigonometrik dönüşümlerle irrasyonel
fonksiyon integralini, rasyonel fonksiyon integraline dönüştürmektedir.
1)İntegrandında
a2  x2
Varsa(a>0)
a 2  x 2  a 2  a 2 .sin 2 t  1  sin 2 t  a. cos t
ANA
SAYFA
olur.
2)İntegrandında
varsa;
x2  a2
x
1
a
x  a  a .sec t  a  a sec t 1  a tan t
2
2
2
2
3)İntegrandında a 2  x 2
2
2
olur.
varsa; (a>0)
x = a.tant dönüşümü yapılır.
Buna göre, a 2  x 2  a 2  a 2 tan 2 t  a. 1  tan 2 t  a. sec t
ANA
SAYFA
olur.
2)KISMİ İNTEGRASYON METODU
 u.du  u.v   v.du
YARDIM:
1)dv’nin integrali kolay olmalı.
2)
 v.du
integrali ilk integral
3) u’yu seçerken genelde aşağıdaki sıra ile seçmek avantajlıdır.
ANA
SAYFA
ÖRNEK: x.cos.dx
u= x
;
du=dx ;
dv=cosx.dx
v=sinx
=>x.sinx- sinx.dx
=xsinx+cosx+c
ÖRNEK2:
 lnx/x2
u=lnx
dv=1/x2.dx
du=(1/x).dx
v=-1/x
=>u.v-  v.du
lnx(-1/x)-  (1/x).(1/x).dx
ANA
SAYFA
= (-lnx/x)-(1/x)+c
= (-lnx-1/x)+c
3) BASİT KESİRLERE AYIRMA METODU
x3  2 x 2  x  2
.dx

x 1
ÖRNEK:
x3  2 x 2  x  2
x 1
=x2+x
=  x 2  x  2 .dx
x 1
x3 x 2
=   2 ln x  1  c
3 2
ANA
SAYFA
kalan:2
x  2x  3
 x3  x .dx
2
Örnek:
x2  2x  3 A B
C
 

x( x  1)( x  1) x x  1 x  1
x  2 x  3  A( x  1)  Bx ( x  1)  Cx( x  1)
2
B=3 ; C=1
2
;A=-3
3
1 
 3


  x x  1 x  1 .dx
=-3ln|x|+3ln|x-1|+ln|x+1|+c
ANA
SAYFA
4) TRİGONOMETRİK DÖNÜŞÜMLER YARDIMI İLE
sin 2 x  2 cos 2 x  1
sin 2 x  2 sin x cos x
cos 2 x  2 cos 2 x  1  1  2 sin 2 x
sec 2 x  tan 2 x  1
(sina.sinb)= -1/2(cos(a+b)-cos(a-b))
(cosa.cosb)= 1/2(cos(a+b)-cos(a-b))
(sina.cosb)= 1/2(sin(a+b)-sin(a-b))
ANA
SAYFA
ÖRNEKLER:
1)
cos
4
x
.
cos
2
x
.
dx

???

2)

2
sinx
.dx=???
sin
x.cos
x.dx

???

2
3)
3
4)
sec
x
.
tan
x
.
dx

???

5)
tan
x
.
dx

???

3
4
ANA
SAYFA
1
  cos 6 x  cos 2 x .dx
2
1
1
 cos 6 x .dx  cos 2 x .dx
2
2
1  sin 2 x 
1  sin 6 x 
 
c
  
2 6 
2 6 
ANA
SAYFA
1  cos 2 x
 1 cos 2 x 
 sin x.dx   2 .dx   2  2 .dx
2
x
sin 2 x


c
2
4
ANA
SAYFA
  sin x.cos x.cosx.dx
2
2
  sin x1  sin x . cos x.dx
2
2
=> u=sinx

du=cosx.dx

.du
  u 2 1  u 2 .du

  u2  u4
u3 u5


c
3
5
sin 3 x sin 5 x


c
3
5
ANA
SAYFA
  tan x. sec x. tan x.dx
2

 sec
2
x  1sec x. tan x.dx
=> u=secx

 u
2
du=secx.tanx.dx

 1 .du
u3

u c
3
sec 3 x

 sec x  c
3
ANA
SAYFA
 tan x.dx 
  tan .x tan x.dx
  sec x  1. tan x.dx
  sec x. tan x.dx   tan
4
2
2
2
2
ANA
SAYFA
2
2
2
x.dx
u=tanx
du=sec2x.dx

u
2
3


.du   tan x  1  1.dx
2
tan x

 tan x  x  c
3
5)ÖZEL DÖNÜŞÜMLER
Sadece köklü ifade varsa!!!
ANA
SAYFA
* a b x
2
* a b x
2
* b x a
2
2
2
2
2
2
2
 x 
 x 
 x 
a
b
a
b
a
b
sin u
tan u
sec u
ÖRNEK1: 
ÖRNEK2:
ÖRNEK3:
ANA
SAYFA
dx
64  x  6
2
 ???
dx
 4 x 2  4 x  17  ???
 arc sec x.dx  ???
x  6  8sinu
dx  8cosu.du

64 - x  6 

64 - 8sinu
8
1  sin
2
2
2
u  8 cos u
8 cos u.du
 8 cos u   du
x6
x6
 sin u 
 arcsin u 
8
8
 x6
 arcsin u 
c
8


ANA
SAYFA
4 x  4 x  17 =(2x+1)2+42
2
4 x 2  4 x  17
dx
 4 x 2  4 x  17
2 x  1  4 tan u

2 x  4 tan u  1
2dx  4  4 tan
2
dx  2  2 tan 2 u
u
dx  21  tan 2 u 
ANA
SAYFA
2 x  12  16
4 tan u 2  16

 4

tan 2 u  1
2 1  tan 2 u
4 1  tan 2

1

2
u
1  tan 2 u
DEVAMI
1
1
1
2
  sec u   sec u  ln sec u  tan u  c
2
2
2
tanu=2x+1/4
Secu=1/2 ln| 1  tan 2 u  tan u |
1
4 x 2  4 x  17 2 x  1
 ln 1 

2
16
4
1
 ln
2
4 x  4 x  17  2 x  1  c
2
ANA
SAYFA
 arc sec x.dx  x.arc sec x 
dx

x2 1
u  arc sec x
du 
dx
x
2
1
 xarc sec x 
 u  x; du  dx

x  sec u  x 
dx
x
2
1
x
1
1
1
 cos u 
cos u   ln
cos u
x
x

1 
xarc sec x  

ln


c
x


1
xarc sec x  ln
c
x
xarc sec x  ln x  c
ANA
SAYFA
b
b
 f x .dx  F ( x)  F (b)  F (a)
a
ANA
SAYFA
a
c yok ; c-c=0
3
2

1
dx
1
 x2
2

ANA
SAYFA


cos
x

sin
x
.
dx

???

0
3
2
3
2

1
2
dx
1 x
 Arc sin x
Arc sin
2
3
2
 Arc sin
1
2
  



3
6
6
1
2
ANA
SAYFA
sin x  cos x
ANA
SAYFA

0
 ( 1)  ( 1)  2
BELİRLİ İNTEGRALİN TÜREVİ
h( x)
F ( x) 

f (u ).du 
g ( x)
F ' ( x)  f (h( x).h' ( x)  f ( g ( x)). g ' ( x)
ÖRNEK:
x
F ( x)   (2t  1).dt  ???
ANA
SAYFA
2
F ' ( x)  (2 x  1).(1)  (5).(0)
F ' ( x)  2 x  1
ANA
SAYFA
ÖZEL FONKSİYONUN İNTEGRALİ

2
2
 sin x . sin x.dx  ???
 sgn cos x .dx  ???

2

2
3

2
X
.dx  ???
2
ANA
SAYFA
1,5
2
1
0,5
0
-0,5

2
3
2
-1

-1,5

3
2
2
ANA
SAYFA

1
.
dx


1
.
dx

0
.
dx







2

3
2

2
1

0


2
2
1


2
0
3
2

2
 sin x .dx   0. sin x.dx
0
0
 cos x

2
1
ANA
SAYFA
1 1
d   2
a 1
2
ANA
SAYFA
0
2
3
2
0
2

1
.
dx

0
.
dx

1
.
dx



 1
İNTEGRALDE ALAN HESABI
1)
A)BİR EĞRİNİN ALTINDA KALAN ALAN
y=f(x) ,
x=a , x=b
b
A

ve x ekseni
ANA
SAYFA
f ( x ) .dx
a
a
b
c
b
a
a
b
b
A   f ( x).dx
a
b
A    f ( x).dx
a
A  A1  A2
b
c
a
a
A   f ( x ).dx   f ( x ).dx
B ) x=g(y) ,
y=c
,
y=d ve y ekseni
d
e
A   g ( y ) .dy
c
d
d
d
c
C
A  A1  A2
c
d
A   g ( y).dy
c
c
d
e
c
c
A   g ( y ).dy   g ( y ).dy
d
A   g ( y ).dy
c
ANA
SAYFA
2) İKİ EĞRİ ARASINDA KALAN ALAN
y=f(x)
, y=g(x)
d
,
x=a , x=b
A   f ( x)  g ( x) .dx
c
ANA
SAYFA
y=x2-x-2
x=-2
,
x ekseni ve
x=2 doğrusu
y=2-x2 , y=-x arasındaki alan
ANA
SAYFA
x x2 0
2
1

2


2
x2
A  A1  A2
1
2
2
1
  ( x 2  x  2).dx    ( x 2  x  2).dx
19 2

br
3
ANA
SAYFA
; x  1
2-x2=-x
x2-x-2=0
x=2
,
x=-1
2
A
(
2

x
)

(

x
).
dx

2
1
9
2
 br
2
ANA
SAYFA
DÖNEL CİSİMLERİN HACİMLERİ
X ekseni etrafında;
2
b
H     f ( x) .dx
b
a
a
ANA
SAYFA
d
Y ekseni etrafında;
c
d
H     f ( y) .dy
2
y2  g ( x)
y1  f ( x)
c
İki eğri arasında x ekseni etrafında;
b
a
a
b


H    f ( x)  g ( x) .dx
2
2
x=a , x=b y=f(x) y ekseni etrafında;
b
H  2   xf ( x).dx
a
a
b
f(x) ve x=c , x=a ,x=b arası
bölge
c etrafında
c
b
H     f ( x)  c .dx
2
a
b
a
ANA
SAYFA
3
4

r
Yarıçapı r olan kürenin hacminin
3
gösteriniz.
y  ex ,
x  1,
ANA
SAYFA
olduğunu
x ekseni arsında kalan bölgenin x
ekseni etrafındaki hacmi nedir?
y
r x
2
2
r
H 
(
r  x .dx
2
2
r
r
H 
 (r
2
 x ).dx
2
r
3
r
x
H  ( r x 
)
3 r
2
3
4

r

3
ANA
SAYFA
1
H    (e x ) 2 .dx
0
ANA
SAYFA
1
(e 2 x )
H 
2
0
2
e 


2
3



e  1 br
2
2
2


ANA
SAYFA
ANA
SAYFA
ANA
SAYFA
ANA
SAYFA

ANA
SAYFA

ANA
SAYFA