Oyun Teorisi İlk hafta

Oyun Teorisi
• Şimdiye kadar, karar modellerinde bireysel
kararlar ve çözüm yöntemleri ele alınmıştı.
• Sadece tek karar vericinin olduğu karar
modellerinde belirsizlik ve risk durumları
incelenmişti.
• Bazı karar problemlerinde birden fazla karar verici
karşı karşıya gelmektedir.
• Rekabetçi karar ortamları olarak tanımlanan bu
tip karar problemleri, oyun teorisi içinde
değerlendirilmektedir.
Oyun Teorisine (Kuramına)
Giriş
1
2
Oyun Teorisi
Bazı oyun teorisi uygulamaları
• Oyun teorisi, kendi davranışlarının diğerlerinin
davranışlarını etkilediğinin farkında olan iktisadi
birimlerin stratejik davranışlarını modellemekte
kullanılır.
• Birbiriyle rekabet halinde olan iki ya da daha
fazla karar vericinin aynı anda birbirlerinden habersiz
olarak birer hareket tarzı seçtiği ve her birinin
uyguladığı hareket
tarzının diğerinin kazancını
doğrudan etkilediği durumları birer oyun olarak
modelleyip analiz etmek maksadıyla kullanılan
matematiksel bir teoridir.






Oligopol piyasaları,
Askeri stratejiler,
Siyasi faaliyetler,
Spor müsabakaları,
Reklam ve pazarlama faaliyetleri,
Şans oyunları, vb.
3
4
Kısa tarihçesi
Oyun nedir?
• Bir oyun,
• 1913 - E. Zermelo oyun teorisiyle ilgili ilk teoremi
ortaya atmıştır; satranç oyununun tamamen
önceden tahminlenebileceğini söylemiştir.
• 1928 - John von Neumann minimaks teoremini
kanıtlamıştır.
• 1944 - John von Neumann & Oskar Morgenstern
"Theory of Games and Economic Behavior” adlı eseri
yazmıştır.
• 1950-1953 - John Nash, Nash dengesini bularak
Nobel ödülü kazanmıştır.
•
– Bir oyuncular kümesinden
– Her bir oyuncu için bir stratejiler kümesinden
– Oyuncuların seçtiği her bir olası stratejiler listesi
için her birinin kayıp-kazançlarından
oluşur.
http://william-king.www.drexel.edu/top/class/histf.html
5
6
1
Sınıflandırma
• Oyuncu sayısına göre;
• Rekabetçi karar durumları,
– İki oyuncu karşı karşıya gelmişse- İki kişili oyun,
– İkiden fazla oyuncu varsa- n-kişili oyun
– Rakiplerin sayısına
– Oyunun değerine
– Mevcut stratejilerin sayısına göre sınıflara ayrılır.
• Oyunun değerine göre;
– Kazanç ve kayıplar toplamı
• sıfır ise- sıfır toplamlı oyun
• Değilse – sıfır toplamlı olmayan oyun
• Mevcut stratejilerin sayısına göre;
– Sonlu stratejili oyunlar
– Sonsuz stratejili oyunlar
7
8
Sıfır Toplamlı Oyunlar
• Tam-Eksik bilgili (Perfect vs. Imperfect information)
• Uzlaşmacı-Çatışmacı (Cooperative vs. conflict)
• Ardışık-Eşanlı (Sequential vs. Simultaneous moves)
• Tek oyunlu-Tekrarlı (Single Play vs. Iterated)
Örnekler;
• Satranç; iki kişili sıfır toplamlı sonsuz stratejili bir oyundur.
• Futbol karşılaşması; n-kişili ve sonsuz sayıda stratejinin olduğu
sıfır-toplamlı bir oyundur.
• Kazançların toplamı oyun sırasında sabit
kalır.
• Oyuncular uzlaşma veya çatışma
halindedir.
• Bilgi olması durumu oyuncuya yardım eder.
9
Matris Gösterimi
Denge tipleri
• Nash Dengesi
• Minimax Dengesi-dengeli oyunlar
• Üstünlük Dengesi
(Sütun) Oyuncu II
(Satır) Oyuncu I
Strateji A
Strateji B
Strateji A
(P1,P2)
(P1,P2)
Strateji B
(P1,P2)
(P1,P2)
10
Not: Oyuncu I’in A stratejisi Oyuncu 2’den farklı olabilir. Oyun
sıfır toplamlıysa P2 yazılmaz.
Oyunda denge yoksa, Karma stratejiler uygulanır.
11
12
2
İki kişili oyunlar
İki kişili oyun örneği
• İki oyuncunun bulunduğu oyunlar çok yaygındır.
• İki kişili oyunları çalışmak kolaydır, Kartezyen
düzlemde gösterilebilir.
Varsayımları
• Her bir oyuncu, oyun matrisinin farkındadır. Yani,
her biri diğer oyuncunun tüm stratejilerini ve
getireceği sonuçları bilir.
• Oyunlar, yani stratejilerin seçimi eş zamanlı olarak
yapılır.
• Oyuncular A ve B olsun.
• Oyuncu A’nın iki stratejisi var: “Yukarı” ve
“Aşağı”.
• Oyuncu B’nin de iki stratejisi var: “Sola” ve
“Sağa”.
• Toplam (olası) dört strateji kombinasyonu için
her bir oyuncunun kayıp-kazançlarını gösteren
tabloya ödemeler ya da kayıp-kazanç matrisi
denir.
13
14
İki kişili oyun örneği
İki kişili oyun örneği
Oyuncu B
Sol Sağ
Oyuncu B
Sol Sağ
Yukarı (3,9) (1,8)
Oyuncu A
Aşağı (0,0) (2,1)
Ödemeler
matrisi
Oyuncu A’nın kayıp kazançları önce,
Oyuncu B’ninkiler sonra gösterilir.
Bu oyunda hangi hamlelerin oynanması olasıdır? Tüm
hamleleri inceleyelim.
A
(0,0) (2,1)
A
(0,0) (2,1)
15
16
İki kişili oyun örneği
Oyuncu B
Sol Sağ
Oyuncu B
Sol Sağ
(3,9) (1,8)
(3,9) (1,8)
Örneğin, eğer oyuncu A Yukarı ve B Sağa
oynarsa A’nın kazancı 1, B’ninki 8 olmaktadır.
İki kişili oyun örneği
Y
Y
Oyuncu A
Y
(3,9) (1,8)
A
(0,0) (2,1)
Oyuncu A
Oyuncu A
Örneğin, eğer oyuncu A Aşağı ve B Sağa
oynarsa A’nın kazancı 2, B’ninki 1 olmaktadır.
17
Oyunda bir hamle, (yukarı, sol) gibi bir ikilidir,
burada ilk eleman A’nın seçtiği stratejiyi,
ikinci eleman B’nin seçtiği stratejiyi gösterir.
18
3
İki kişili oyun örneği
İki kişili oyun örneği
Oyuncu B
Sol Sağ
Oyuncu B
Sol Sağ
Y
(3,9) (1,8)
A
(0,0) (2,1)
Y
(3,9) (1,8)
A
(0,0) (2,1)
Oyuncu A
Oyuncu A
(Yukarı, Sağ) oynanabilir bir strateji
midir?
Bu oyunda hangi hamlenin oynanması
daha olasıdır?
19
İki kişili oyun örneği
20
İki kişili oyun örneği
Oyuncu B
Sol Sağ
Y
(3,9) (1,8)
A
(0,0) (2,1)
Oyuncu B
Sol Sağ
Oyuncu A
Y
(3,9) (1,8)
A
(0,0) (2,1)
Oyuncu A
B Sağ’a oynarsa A’nın en iyi yanıtı Aşağı oynamaktır,
çünkü böylece kazancı 1 değil 2 olacaktır. A yukarı
oynarsa B’nin en iyi yanıtı Sol’a oynamaktır çünkü
böylece kazancı 8 değil 9 olacaktır. Dolayısıyla (Yukarı,
21
Sağ) oynanabilir bir strateji değildir.
İki kişili oyun örneği
(Aşağı, Sağ) oynanabilir bir strateji midir?
22
İki kişili oyun örneği
Oyuncu B (A,Sağ) olası
Sol Sağ bir sonuç mu?
Oyuncu B
Sol Sağ
Oyuncu A
Y
(3,9) (1,8)
A
(0,0) (2,1)
(A,Sağ) olası
bir sonuç mu?
B Sağa oynarsa A’nın en iyi yanıtı Aşağıdır.
23
Oyuncu A
Y
(3,9) (1,8)
A
(0,0) (2,1)
B Sağa oynarsa A’nın en iyi yanıtı Aşağıdır.
A Aşağı oynarsa B’nin en iyi yanıtı Sağ’adır.
Dolayısıyla (A, Sağ) oynanabilirdir.
24
4
İki kişilik oyun örneği
Oyuncu B
İki kişili oyun örneği
(A, Sol) olası
bir sonuç mu?
Oyuncu B
Sol Sağ
Sol Sağ
Oyuncu A
Y
(3,9) (1,8)
Oyuncu A
A (0,0) (2,1)
25
Y
(3,9) (1,8)
A
(0,0) (2,1)
A Aşağı oynarsa B’nin en iyi yanıtı Sağ’dır,
dolayısıyla (A, Sol) oynanabilir değildir.
Oyuncu B
Oyuncu B
Sol Sağ
Oyuncu A
Y
A
(0,0) (2,1)
26
İki kişili oyun örneği
İki kişili oyun örneği
(3,9) (1,8)
(A, Sol) olası
bir sonuç mu?
(Y,Sol) olası
bir sonuç mu?
27
Nash Dengesi
• Bir oyunun oynanışında her bir oyuncunun
stratejisi diğerininkine en iyi yanıt ise Nash
dengesi vardır.
• Örneğimizde iki Nash dengesi vardır; (Y,Sol) ve
(A,Sağ).
Oyuncu A
A
(0,0) (2,1)
(Y,Sol) olası
bir sonuç mu?
A Yukarı oynarsa B’nin en iyi yanıtı Soldur.
A Yukarı oynarsa B’nin en iyi yanıtı Soldur.
B Sola oynarsa A’nın en iyi yanıtı Yukarıdır.
Dolayısıyla (Y,Sol) olası bir sonuçtur.
28
İki kişilik oyun örneği
Oyuncu B
Sol Sağ
Oyuncu A
29
Y
Sol Sağ
(3,9) (1,8)
Y
(3,9) (1,8)
A
(0,0) (2,1)
(Y,Sol) ve (A,Sağ) oyunun Nash dengeleridir.
30
5
Tutuklunun Açmazı
Tutuklunun Açmazı
• Oyunun oynanışı sonucu ortaya çıkan sonucun
Pareto-etkin olup olmadığını görmek için ünlü
bir iki kişili oyun örneğine bakacağız:
Tutuklunun açmazı.
Clyde
Sessiz kalmak Konuşmak
(-5,-5)
S
(-30,-1)
Bonnie
K (-1,-30) (-10,-10)
Prisoners’ Dilemma
Bu oyunun oynanmasıyla ortaya çıkabilecek olası
sonuç nedir?
31
32
Tutuklunun Açmazı
Tutuklunun Açmazı
Clyde
S
S
K
(-5,-5)
(-30,-1)
Bonnie
K (-1,-30) (-10,-10)
Bonnie sessiz kalırsa Clyde’ın en iyi yanıtı
suçunu itiraf etmektir.
Bonnie itiraf ederse Clyde’ın en iyi yanıtı
suçunu itiraf etmektir.
Bonnie
33
S
K (-1,-30) (-10,-10)
Dolayısıyla Bonnie ne oynarsa oynasın,
Clyde’ın en iyi yanıtı her zaman konuşmaktır.
İtiraf etmek Clyde için her zaman baskın stratejidir.
Burada eksik bilginin önemi
ve uzlaşma olsaydı sonuç S-S
olurdu
Clyde
Bonnie
S
K
(-30,-1)
Bonnie
K (-1,-30) (-10,-10)
Benzer biçimde, Clyde ne oynarsa oynasın,
Bonnie’nin en iyi yanıtı her zaman konuşmaktır.
Konuşmak Bonnie için de baskın stratejidir.
34
Tutuklunun Açmazı
Tutuklunun Açmazı
S
(-5,-5)
Clyde
S
K
(-5,-5) (-30,-1)
35
S
Clyde
S
K
(-5,-5) (-30,-1)
K (-1,-30) (-10,-10)
Böylece bu oyundaki tek Nash dengesi (K,K) olmaktadır;
(S,S) sonucu her ikisi için de daha iyi kazanç anlamına
gelse de.
Tek Nash dengesi etkin değildir.
36
6
Tam strateji- Karma Strateji
Tam (Saf) strateji- Karma Strateji
Oyuncu B
Sol Sağ
Y (3,9) (1,8)
Oyuncu A
A (0,0) (2,1)
Oyuncu B
Sol Sağ
Y (3,9) (1,8)
Oyuncu A
A (0,0) (2,1)
Oyuncu A’nın Yukarı ya da Aşağı’dan birini seçmesi gerektiğini
kabul etmiştik, bunların bir tür bileşimini değil; yani, tam olarak
Y ya da A’yı seçmelidir.
Y ve A oyuncu A’nın tam stratejileridir.
Benzer biçimde, Sol ve Sağ da oyuncu B’nin tam stratejileridir.
(Y,Sol) ve (A,Sağ) oyunun Nash dengeleri idi.
37
38
Oyun türleri
Tam strateji- Karma Strateji
• Sabit toplamlı oyunlar
Oyuncu B
Sağ
Sol
Y
(1,2)
(0,4)
A
(0,5)
(3,2)
Oyuncu B
Sol
Sağ
Oyuncu A
Bu oyunun ise pür strateji Nash dengesi bulunmamaktadır.
Bu durumda bile oyunun bir Nash dengesi olabilir, ancak
karma strateji Nash dengesi adını alacaktır.
Y
Oyuncu A
A
(1,2)
(-1,4)
(0,3)
(1,2)
39
Tüm strateji
kombinasyonları
için toplam
kazanç 3 birimdir.
40
Oyun türleri
• Sabit toplamlı olmayan oyunlar
Oyuncu B
Tüm strateji
Sol Sağ
Y
Oyuncu A
A
(3,9) (1,8)
(0,0) (2,1)
kombinasyonları
için toplam
kazanç farklıdır.
Tam Stratejili Oyunlar
Karma Stratejili Oyunlar
Beklenen Değer
HAFTAYA
Mahkumların çıkmazında oyun sabit toplamlı mıdır?
41
42
7