kütlenin korunumu ilkesi

Akışkanların Dinamiği
Akışkanların Dinamiğinde Kullanılan Temel Prensipler
Gaz ve sıvı akımıyla ilgili bütün problemlerin
çözümü
korunumu
kütlenin
ve
prensibe dayanır.
korunumu,
enerjinin
momentumun
korunumu
Akışkanların Dinamiğinde Kullanılan Temel Prensipler
Kütlenin korunumu prensibinin akışkanların
akımına uygulanmasıyla süreklilik denklemi
elde edilir.
Enerjinin
korunumu
akımına
uygulanması
denklemleri elde edilir.
prensibinin
sonucunda
akışkan
enerji
Akışkanların Dinamiğinde Kullanılan Temel Prensipler
Momentumun
korunumu
prensibinin
bir
kontrol hacminden geçen akıma uygulanması
suretiyle hareketli akışkanlar tarafından etki
ettirilen kuvvetlerin çözümüne ait hareket
denklemleri elde edilir.
Kütlenin Korunumu
Kütle enerji gibi korunan bir özelliktir ve bir
akışkan akımı esnasında vardan yok veya
yoktan var edilemez.
Bir akışkan akımı esnasında sistemin
kütlesinin sabit kalması gerektiğinden, kapalı
sistemlerde kütlenin korunumu ilkesi tam
olarak uygulanır.
Kütlesel ve Hacimsel Debiler
Bir en-kesitten birim zamanda geçen
akışkan hacmine hacimsel debi denir.
Q  Vort A  V . A
3
m
 / s
Kütlesel ve Hacimsel Debiler
Bir en-kesit alanından birim zamanda akan
kütle miktarına kütlesel debi denir.
Qk  .V . A  .Q
 kg / s 
Kütlenin Korunumu İlkesi
Bir kontrol hacmi için kütlenin korunumu
ilkesi:
Δt zaman aralığında kontrol hacmine giren veya
çıkan net kütle miktarı, Δt süresinde kontrol
hacmi içerisindeki net kütle değişimine (artışa
veya azalmaya) eşittir
şeklinde ifade edilir.
Kütlenin Korunumu İlkesi
Yani, kütlenin korunumu ilkesi
mgiren – mçıkan = Δm (kg)
şeklinde yazılabilir.
Kütlenin Korunumu İlkesi
Kütlenin
korunumu
ilkesi,
birim
zamandaki geçişler ve değişim cinsinden
(Qk)giren – (Qk)çıkan = dm/dt (kg/s)
şeklinde de yazılabilir.
Kararlı Akış Prosesleri İçin Kütle Dengesi
Bir kararlı akış prosesinde, kontrol hacmi
içerisindeki kütle miktarı zamanla
değişmez.
Bu durumda, kütlenin korunumu ilkesi
gereği kontrol hacmine giren toplam
kütle miktarı, kontrol hacmini terk eden
toplam kütle miktarına eşit olmalıdır.
Kararlı Akış Prosesleri İçin Kütle Dengesi
Birden fazla giriş ve çıkışı olan genel bir
kararlı akış sistemi için kütlenin korunumu
ilkesi
Σ (Qk)giren = Σ (Qk)çıkan
şeklinde yazılabilir.
(kg/s)
Örnek 5.1. Geniş bir tanka A ve B girişlerinden su ve yağ
pompalanmakta ve elde edilen homojen karışım 40 cm çaplı C
borusundan çıkmaktadır. Tanka giren yağın debisi 0.3 m3/s ve suyun
debisi 0.2 m3/s dir. Akışkanları sıkışmaz kabul ederek C den çıkan
homojen karışımın yoğunluğunu ve hızını hesaplayınız. (A, B ve C
kesitleri aynı yataydadır ve üç kesitte de basınç aynıdır.)  yağ  800 kg / m3
Qg  Qç
QA  QB  QC
 yag .Qyag  su .Qsu  k .QC
k 
 yag .Qyag  su .Qsu
QC  VC * AC
QC
QC
VC 
AC
800*0.3  1000*0.2

 880 kg/m3
0.5
VC 
0.5
 *  0.4 
4
2
 3.98 m/s
Örnek 5.2. Şekildeki silindirik tank 1 ve 3 nolu borular tarafından
doldurulmakta ve 2 nolu boru tarafından boşaltılmaktadır.
a. Şayet tanktaki su seviyesi sabit ise 2 nolu borudaki hızı bulunuz.
b. Şayet tanktaki su seviyesi değişiyorsa ve 2 nolu borudaki hız 8
m/s ise su seviyesinin dh değişim hızını bulunuz.
dt
Q1  Q3  Q2
6*  *0.062
Q1 
 0.0169
4
Q3  0.015
Q2  0.0319 m3 /s
Q2
0.0319
V2 
 V2 
 5.01 m/s
2
A2
 *  0.09 
4
Q2
V2 
 Q2
A2
d
Qg  Qc 
dt
0.019 dh


0.785 dt
b.
 8*
 *  0.09 
4
2
 0.0509 m3 /s
2


d  * 1.00 
0.0319  0.0509  
* h
dt 
4

dh
 0.024 m/s
dt
Örnek 5.3. 0.914 m çapında, 1.219 m yüksekliğinde ve üst yüzeyi
atmosfere açık silindirik bir tank başlangıçta su ile doludur. Tankın
taban kenarında bulunan boşaltma tapası çekiliyor ve 1.27 cm
çapındaki bir su jeti dışarı fışkırıyor. Su jetinin ortalama hızı
V  2 gh bağıntısıyla verilmektedir. Tank içindeki su
seviyesinin tabandan itibaren 0.609 m yüksekliğe düşmesi için
geçecek olan süreyi belirleyiniz.
 Qk giren   Qk çıkan
dm

dt
Qk çıkan   .V .Açıkan  .
Ajet 
 *  D jet 
2 gh. Ajet
2
4
Suyun yoğunluğunun sabit olduğu göz önüne
alınırsa, herhangi bir anda tank içerisindeki suyun
kütlesi
m  .  . Atank .h
Atank 
 *  Dtank 
2
4
d   . Atank .h 
 *  D jet 
  . 2 gh . Ajet 
   . 2 gh .
4
dt
2
Dtank 

dh
dt  
.
2
 Djet  2 gh
2
  *  Dtank 2 
. 
 dh


4



dt
t = 0 da h = h0 ve t = t de h = h2 sınır şartlarında
integral alınır
t
 dt  
0
 Dtank 
D 
jet
2
.
2

2g
h2
h0
dh
h
h0  h2  Dtank
t 
.
 D
g
 jet
2
1.219 m  0.609 m  0.914 
t
.

9.81
 0.0127 
2



2
2
t  757sn  12.6dakika
Enerji Denklemi (Bernoulli Denklemi)
Bernoulli denklemi, basınç, hız ve yükseklik arasındaki ilişkiyi
temsil eden yaklaşık bir bağıntıdır ve net sürtünme kuvvetlerinin
ihmal edilebilir olduğu daimi, sıkıştırılamaz akış bölgelerinde
geçerlidir. Bu denklemin, basitliğine rağmen, akışkanlar
mekaniğinde çok güçlü bir araç olduğu kanıtlanmıştır.
22
Bernoulli denkleminin türetilmesinde ana yaklaşım, viskoz
etkilerin atalet, yerçekimi ve basınç etkilerine oranla ihmal
edilebilir derecede küçük olduğudur.
Bernoulli denklemi sadece net viskoz kuvvetlerin atalet,
yerçekimi ve basınç kuvvetlerine oranla ihmal edilebilecek
derecede küçük olduğu viskoz olmayan akış bölgelerinde
geçerli olan temsili bi denklemdir. Bu tür bölgeler, katı
cismin çeperlerine çok yakın bölgelerin (sınır tabaka) ve
cisimlerin hemen aşağı akımın (akışın art izleri) dışında
görülür.
23
Şekilde gösterildiği gibi bir akışkan parçasının karşılaştırma
düzleminden yüksekliği (z) sebebiyle bir potansiyel enerjisi, hızı (u)
sebebiyle bir kinetik enerjisi vardır.
24
“mg” ağırlığındaki bir parçanın bu enerjilerini aşağıdaki şekilde
verebiliriz.
u2
Kinetik Enerjisi  m
Potansiyel Enerjisi  mg.z
2
Akış halindeki akışkan, basınç dolayısıyla da bir iş yapar. Bir kesitte
basınç kuvvet yaratır ve bunun etkisi ile akışkan akarken kesit ileriye
doğru hareket ederek iş yapılır. Eğer AB kesitinde basınç p ve kesit
alanı A ise:
AB üzerine etki eden kuvvet  p. A
Akım borusunda “mg” ağırlığındaki akışkan parçasının akışı ile AB
kesiti A’B’ konumunu alır.
AB'yi geçen hacim  mg  g  m 
olur ve bundan dolayı
25
AA' uzaklığı  m /  A
Yapılan iş=Kuvvet x AA'  pA x (m /  A)
Birim ağırlık başına düşen iş=p /  g
olarak bulunur. (p / ρg) terimi akış işi veya basınç enerjisi olarak isimlendirilir. Bu
enerji, akışkanın basınç altında akış halindeki enerjisidir. Enerjinin korunumu ilkesine
göre enerjilerin toplamı sabit olmalıdır. Buna göre enerjiler toplanırsa (potansiyel,
kinetik ve birim ağırlık başına düşen iş),
p u2

 z  sabit
 g 2g
yazabiliriz. Bu denklemde (p/ ρg) basınç yüksekliği, (u2/2g) hız yüksekliği, (z) yer
yüksekliği veya geometrik kot olarak isimlendirilir. Akım çizgisi üzerindeki iki noktaya
yukarıdaki denklem uygulanırsa,
26
p1 u12
p2 u2 2

 z1 

 z2
1 g 2 g
2 g 2 g
 bulunur. İdeal akışkan akışında bir kesit üzerindeki noktasal
hızlar birbirine eşittir ve kesit ortalama hızı ile aynıdır (u = V).
Sıkışmayan akışkan kabulü ile, akışkanın yoğunluğu (ρ)
değişmediği için ρ1=ρ2=ρ yazılarak,
p1 V12
p2 V2 2

 z1 

 z2
 g 2g
 g 2g
 olur veya, akışkanın özgül ağırlığı γ = ρg olarak yerine
konulursa,
p1
2
V1
p2
2
V2

 z1 

 z2
 2g
 2g
27
yazılabilir. Bu denklem Bernoulli Denklemi’dir. Bu denklemden şu
esas kanun çıkarılır: “ Yalnız ağırlık kütlesel kuvvetlerin tesiri
altında hareket eden ideal bir akışkanın permenant hareketinde, bir
akım çizgisinin her noktasında, hız, basınç ve yersel yüksekliklerin
toplamı sabittir”.
28
Enerji Yüksekliği
Bernoulli denkleminde (V2/2g) büyüklüğüne hız
yüksekliği, (p / γ) büyüklüğüne basınç yüksekliği, (z)
yüksekliğine de geometrik kot adı verilir. (p / γ) + z
terimine piyezometre yüksekliği denir.
29
30
 1-1 kesiti için,
p1 V12
H1  
 z1
 2g
yazılabilir. Bu şekilde tanımlanan H1 büyüklüğü 1-1 kesitinden
birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın toplam enerjisi
olmaktadır. Burada enerji, yükseklik cinsinden ifade edildiği için,
H1’e “Enerji Yüksekliği” adı verilir. Buna “toplam yük” de denir.
Benzer şekilde H2 de 2-2 kesitinden birim zamanda geçen birim
ağırlıktaki akışkanın toplam enerjisidir.
Enerji çizgisinden (V2/2g) kadar aşağıda çizilen çizgiye
“Piyezometre Çizgisi” denir. Bernoulli denklemi bize şunu
söylemektedir: 1-1 kesitinden geçen akışkanın enerjisi ne ise, 2-2
kesitinden geöen akışkanın enerjisi odur. Yani bu iki kesit arasında
enerji kaybı olmamaktadır. Bu husus akışkanın bir ideal akışkan
olması halinde doğrudur. Gerçek akışkan halinde “hk” sürtünme
dolayısıyla ısıya çevrilen enerjiyi (yükseklik cinsinden) göstermek
üzere,
31
 H1 = H2 + hk
 olmalıdır. hk’ya sürtünme dolayısıyla ısıya çevrilen enerji veya
kısaca yük kaybı veya sürtünme kaybı denir.
32
Örnek 5.4. Şekildeki borudan yoğunluğu 5 kg/m3 olan CO2
akmaktadır. 1 nolu kesitte basınç 160 kPa olduğuna göre 2 nolu
3
kesitteki basıncı ve akımın debisini hesaplayınız.  manometre  827kg / m
Civayla karşılaştırma düzlemi arasındaki mesafeye a
diyelim.
p1  CO2 .g.(a  h)  p2  man .g.h  CO2 .g.a
p1  CO2 .g.h  p2  man .g.h


p1  p2  man  CO2 .g.h
160000  p2  827  5 .9,81.0,1
 p2  159194 Pa
p1 V12
p2 V2 2

 z1 

 z2
 2g
 2g
V1  0
160000

159194 V22
 0  ( a  h) 

 ( a  h)

2g
160000  159194 V22

CO2 .g
2g
Q  V2 . A2
18.
V2  18m/s
 .  0, 08
4
2
 Q  0, 09 m3 /s
 Örnek 5.5: Bir borudan akan suyun debisi Q = 20 lt/s dir. A
noktasındaki basınç 0,4 atm olarak ölçüldüğüne göre,
 a. VA ve VB değerlerini bulunuz.
 b. PB değerini bulunuz. (A ve B noktalarını borunun ekseninden
geçen akım çizgisi üzerinde olan noktalar olarak kabul ediyoruz.)
36
 Örnek 5.5:
 Q = VAAA = VBAB (Süreklilik denklemi)
 (1 atm = 10,33 m su yüksekliği basıncı)
 DA2
4
VA 
 DB2
4
VB
4Q
4.0, 020
VA 

 0, 28m / s
2
2
 DA
 0,3
2
 DA 
 0,30 
VB  
0, 21  0, 63 m / s
 VA  

 0, 20 
 DB 
2
37
 Örnek 5.5:
VA2 p A
VB2 pB

 zA 

 zB
2g 
2g 
0, 282
0, 632

  0, 4.10, 33  0.10 

2g
2g
pB
pB

 4, 25 m
pB  4, 25 x9,81  41, 69 kN / m3
38
Örnek 5.6. Şekilde gösterilen tanklardaki su seviyeleri sabit
tutulduğuna göre hA yüksekliğini hesaplayınız.
V32
p4 V42

 z3 

 z4
 2g
 2g
p3
p3  p4  0, V3  0
V42
003 0
0
2g
V4  7, 67 m/s
Q4  V4 . A4  7, 67.
p1 V12
p2 V2 2

 z1 

 z2
 2g
 2g
V22
0  0  hA  0 
0
2g
 .(0, 06)2
4
 0, 0217 m3 /s
p1  p2  0, V1  0
 V2  2 ghA
Q2  Q4  V2 . A2  V4 . A4
0, 0217  V2 .
V2  2 ghA
 .(0, 03)2
4
 V2  30, 699 m/s  30, 7 m/s
 30,7  2 g.hA
hA  48,04 m
 Örnek 5.7: Bir savak üzerinden birim boydan debi q = 5 m3/s’dir.
Savak üzerindeki yük kayıplarını ihmal edilerek h1 ve V1
değerlerini bulunuz.
 Süreklilik denkleminden,
 q = h1V1 ise 5 = h1V1
 0 ile 1 arasında Bernoulli denklemi uygulanarak,
2
2
V
p
V
p1
0
0
1


 z0 

 z1
2g 
2g 
(a)
 V0  0, p0  p1 , z0  10 m , z1  h1 değerleri yerine konursa,
V12
10 
 h1
2g

(b)
1, 274
 bulunur. (a) ve (b) denklemlerinden,
 h1  10  0 yazılarak
2
h1
 h1 = 0,36 m ve
 V1 = 13,9 m/s elde edilir.
Örnek 5.8. Şekildeki Φ200 mm çaplı sifon borusu ile sabit seviyeli
bir hazneden atmosfere su akıtılmaktadır. Akımı sürtünmesiz kabul
ederek
a. Akımın debisini
b. A noktasındaki basıncı bulunuz.
p1 V12
p2 V2 2

 z1 

 z2
 2g
 2g
p1  p2  0, V1  0, z1  5m, z2  0
V22
005  0
0
2g
V2  2.9,81.5  9,9 m/s
Q  V2 . A2  9,9.
 .(0, 2)2
4
 0,311 m3 /s
V12
p A VA 2

 z1 

 zA
 2g

2g
p1
VA
p1  0, V1  0,
 5m, z1  0 m, z A  2 m
2g
000 
pA

pA

5 2
 7 m
pA  7.9810  68670 Pa