Logaritma Modül 1

Logaritma Modül 1
Üstel Fonksiyon
+
x
a>0 ve a≠1 olmak üzere f:R→R , f(x) =a şeklindeki fonksiyonlara üstel fonksiyon denir. Üstel fonksiyonlar birebir ve örtendir.
ÖRNEK
ÖRNEK
+
x
f:R→R , f(x)=a üstel fonksiyonu için aşağıdaki bilgilerden hangisi veya hangileri doğrudur?
I)
a>0
II)
a≠1
III)
f(x)=a birebir ve örtendir.
Aşağıdakilerden kaç tanesi üstel fonksiyondur?
x
()
II. f2(x)= 1
4
IV. f4(x)=(–5)
( )
x
V. f5(x)= − 1
2
x
B) II ve III
C) I ve III
D) I ve II
A) 2
x
x
III. f3(x)=(ñ5 )
x
A) Yalnız I
x
I. f1(x)=3
VI. f6(x)=1
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
E) I, II ve III
Üstel Fonksiyon Grafikleri
+
x
f:R→R , f(x)=a fonksiyonunun grafiği x değişkenine verilen farklı değerler yardımıyla çizilir.
ÖRNEK
ÖRNEK
()
f(x)= 1
2
x
f(x)=2 üstel fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x
üstel fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x
x
a>1 olmak üzere, f(x)=a üstel fonksiyonunun grafiğine bakıldığında x in artan değerleri için f(x)=a değerlerininde arttığı görü-
®
x
lüyor. Buna göre a>1 ise f(x)=a artan fonksiyondur.
® 0<a<1 olmak üzere, f(x)=ax üstel fonksiyonunun grafiğine bakıldığında x in artan değerleri için f(x)=ax
x
görülüyor. Buna göre 0<a<1 ise f(x)=a azalan fonksiyondur.
ÖRNEK
Aşağıdaki üstel fonksiyonlardan kaç tanesi artan fonksiyondur, bulunuz.
x
x
I. f1(x)=7
()
f (x)= ( 2 )
5
III. f3(x)= 5
3
V.
5
II. f2(x)=(ñ5 )
x
x
()
f (x)= ( 3 )
7
IV. f4(x)= 1
2
VI.
6
x
−x
Logaritma Modül 1
Logaritma Fonksiyonu
+
x
a>0 ve a≠1 olmak üzere f:R→R , f(x) =a üstel fonksiyonu birebir ve örten olduğundan ters fonksiyonu vardır. Üstel fonksiyonunun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.
Üstel Fonksiyon
R
f:a
+
R
x
–1
x=f (y)
Buna göre
y=f(x)
x
x
logay=x ise y=a dir.
y=a ⇔ x=logay
–1
f :loga(x)
Logaritma Fonksiyonu
ÖRNEK
ÖRNEK
log2x = 5
®
ax=b ise x=logab dir.
Yukarýda verilen bilgiye göre, 3x=5 ifadesinde x in
deðeri aþaðýdakilerden hangisidir?
A) log 33
B) log5 3
C) log3
D) log35
E) log5
®
log5x = 1
®
log7x = 0
®
log2x =
®
log
1
2
ÖRNEK
3
x=4
3x – 1=4
olduðuna göre, x aþaðýdakilerden hangisine eþittir?
A) log312
B) log43
D) log43+1
C) log34+2
E) log32
2007 – ÖSS
log2(log3(5x + 6)) = 2
olduğuna göre x kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 9
D) 15
E) 18
Logaritma Modül 1
Üstel Fonksiyonun Ters Fonksiyonunu Bulma İşlemi
Bir fonksiyonun tersini bulmak için x yerine y, y yerine x yazılır ve y yalnız başına bırakılır. Üstel fonksiyonun ters fonksiyonu logaritma fonksiyonudur.
ÖRNEK
ÖRNEK
+
x
f:R→R olmak üzere, y=f(x)=6 fonksiyonunun ters fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) logx6
B) log6x
C) log66x
D) logx6x
E) log63x
f(x)=32x+1
olduðuna göre, f – 1(x) aþaðýdakilerden hangisidir?
A) f –1(x)  log3 x
B) f –1(x)  log3
D) f –1(x)  log6
x
9
x
3
C) f –1(x)  log9
E) f –1(x)  log9
x
3
3
x
Logaritma Fonksiyonunun Ters Fonksiyonunu Bulma İşlemi
Logaritma fonksiyonunun ters fonksiyonu üstel fonksiyondur.
ÖRNEK
ÖRNEK
f(x) 
f(x)=2log3(x – 1)
fonksiyonunun tersi aþaðýdakilerden hangisidir?
A) f –1(x)  3
C) f –1(x) 
2x 1
2
x
32
1
B) f –1(x)  32x  1  1
D) f –1(x) 
E) f –1(x)  32x  1
x
32
1
 x – 1
log2 
2
2
 3 
olduðuna göre, f – 1(x) aþaðýdakilerden hangisidir?
A) f – 1(x)=22x+1+3
B) f – 1(x)=3x – 1+4
C) f – 1(x)=4x – 1+3
E)
D) f – 1(x)=4x+3
f – 1(x)=3 . 4x – 2+1
Logaritma Modül 1
Logaritma Fonksiyonunun Tanım Kümesi
a>0
ve
a≠1 olmak üzere,
O halde
–1
+
f :R →R,
f(x)=logax tanımlı olması için
x>0, a>0 ve a≠1 olmalıdır.
f(x)=logag(x) fonksiyonunun tanım kümesi için
g(x)>0
,
a>0
ve
a≠1
dir.
ÖRNEK
ÖRNEK
f(x)  log
f(x)=log(x+5)(4 – x)
fonksiyonunun en geniþ taným kümesi aþaðýdakilerden hangisidir?
x–4
(–x 2  8x  9)
fonksiyonunun en geniþ taným kümesindeki x tam
sayýlarýnýn toplamý kaçtýr?
A) 21
B) 26
C) 30
D) 32
E) 36
A)  B) (– 5,4)\{– 4} C) (– 5,) D) (– 5,4) E) (– ,4)
ÖRNEK
ÖRNEK
f(x)=logx(16 – x2)
fonksiyonunun tanýmlý olduðu kaç farklý x tam sayýsý
vardýr?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
 x2  1 
f(x)  log5  2

 x  ax  4 
fonksiyonu tüm reel sayýlar için tanýmlý olduðuna
göre, a nýn çözüm aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir?
A) (– ,– 4)
B) (0,4)
D) R
C) (– 4,4)
E) (4,)
Logaritma Modül 1
Onluk Logaritma Fonksiyonu
Tabanı 10 olan logaritma fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu veya bayağı logaritma fonksiyonu denir.
log10x=logx şeklinde gösterilir.
ÖRNEK
ÖRNEK
log(log(x + 2)) = 0
x
10 =2 olduğuna göre, x kaçtır?
A) log210
B) log2
C) log52
D) log25
E)
1
5
oldu¤una göre, x kaçt›r?
A) 50
B) 10
C)
8
D) 5
E)
1
Doğal Logaritma Fonksiyonu
Tabanı e olan logaritma fonksiyonuna doğal logaritma fonksiyonu denir.
logex=lnx şeklinde gösterilir. e sayısının yaklaşık değeri e ≅ 2,71828182845 dir. e irrasyonel sayıdır.
ÖRNEK
ÖRNEK
 3x – 6 
f(x)  ln 

 x5 
In(2x+3)=2 olduğuna göre, x kaçtır?
A)
e2 - 3
2
B)
D)
e2 - 3
3
e2 + 3
2
C)
E)
e2
2
e2 - 2
3
fonksiyonunu tanýmlý yapan x tam sayýlarýnýn toplamý kaçtýr?
A) 12
B) 7
C) 6
D) 5
E) 0