Thevenin Teorem

Thevenin (1883) ve Norton (1926) Teoremleri
Amaç: Lineer, zamanla değişmeyen çok uçlu, iki uçlu dirençlerden ve
bağımsız akım ve gerilim kaynaklarından oluşmuş bir N 1-kapılısının
basit bir eşdeğerini elde etmek.
Thevenin Eşdeğeri:
RTH
i
+
N
1-Kapılısı v
_

+
_
i
+
VTH
v(t )  RTH i(t )  vTH (t )
v
_
RTH
+
_
RTH
i
+
v
VTH
_
Thevenin eşdeğer direnci
Devredeki tüm bağımsız kaynaklar devre dışı
iken 1-1’ uçlarından görülen eşdeğer direnç
VTH
Açık devre gerilimi
1-1’ uçları açık devre iken 1-1’ uçları arasındaki
gerilim
Thevenin Teorem: N 1-kapılısının uçlarına i değerinde bir akım kaynağı
bağlandığında tüm i değerleri için tek çözümü varsa ( tek v değeri
belirlenebiliyorsa) Thevenin eşdeğeri vardır.
Norton Eşdeğeri:
i
+
N
1-Kapılısı v
_
i

+
iN
GN
v
_
i
GN Norton eşdeğer iletkenliği
+
iN
GN
v
_
Devredeki tüm bağımsız kaynaklar devre dışı
iken 1-1’ uçlarından görülen eşdeğer iletkenlik
iN Kısa devre akımı
1-1’ uçları kısa devre iken 1-1’ uçlarındaki akım
Norton Teoremi: N 1-kapılısının uçlarına v değerinde bir gerilim kaynağı
bağlandığında tüm v değerleri için tek çözümü varsa (tek i değeri
belirlenebiliyorsa) Norton eşdeğeri vardır.
• Thevenin Eşdeğeri: v(t )  RTH i(t )  vTH (t )
N kapılısı akım kontrollü değilse Thevenin eşdeğeri yok
• Norton Eşdeğeri:
i(t )  GN v(t )  iN (t )
N kapılısı gerilim kontrollü değilse Norton eşdeğeri yok
•
•
RTH  0, v  0
GN  0, i  0
vTH (t )
RTH  0, Norton eşdeğeri yok
RTH
i (t ) G  0, Thevenin eşdeğeri yok
vTH (t )   N
N
GN
iN (t )  
v (t )
v (t )
v (t )
vTH
iN
i (t )
iN
i (t )
i (t )
vTH
Sonuç:
• Lineer, zamanla değişmeyen direnç ve bağımsız kaynaklardan oluşmuş
N 1-kapılısı akım kontrollu ise bağlı bulunduğu devrenin çözümünü
etkilemiyecek şekilde Thevenin eşdeğeri ile ifade edilir.
•Lineer, zamanla değişmeyen direnç ve bağımsız kaynaklardan oluşmuş
N 1-kapılısı gerilim kontrollu ise bağlı bulunduğu devrenin çözümünü
etkilemiyecek şekilde Norton eşdeğeri ile ifade edilir.
Eleman Tanım Bağıntıları
f R (v, i, t )  0
v
i
fC (v, q, t )  0
q
i  q
v  
f m ( , q, t )  0
memristor
endüktans
Kapasite
direnç
f L ( , i, t )  0
Ø
Direnç Elemanı: v ve i arasında cebrik bağıntı ile temsil edilen eleman
Endüktans Elemanı: Ø ve i arasında cebrik bağıntı ile temsil edilen eleman
Kapasite Elemanı: v ve q arasında cebrik bağıntı ile temsil edilen eleman
Memristor Elemanı: Ø ve q arasında cebrik bağıntı ile temsil edilen eleman
2-uçlu Kapasite ve Endüktans Elemanları
Lineer ve Zamanla Değişmeyen
Kapasite
Endüktans
dv(t )
dt
dq (t )
dv(t )
C
dt
dt
i (t )  C
di (t )
dt
d (t )
di (t )
L
dt
dt
v(t )  L
Zamanla Değişen ve Lineer Olmayan
Lineer olmayan ve zamanla değişenleri ifade edebilmek için akı ( ) ve yük
(q ) kullanılır:
t
q(t ) ˆ  i ( )d

t
[C]
 (t ) ˆ  v( )d [Wb]

L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
Kapasite
f C ( q, v )  0
yük kontrollü
v  vˆ( q )
gerilim kontrollü
q  qˆ (v)
qˆ (v ) türetilebilir bir
fonksiyon ise
dq
d (qˆ (v)) dv
ˆ i 
dt
dv dt
dv C (v) ˆ dqˆ (v)
i  C (v )
dv
dt
Endüktans
f L ( , i)  0
akı kontrollü
i  iˆ( )
akım kontrollü
  ˆ(i )
ˆ(i ) türetilebilir bir
fonksiyon ise
d
d (ˆ(i )) di
ˆ v 
dt
di dt
dˆ(i )
di
v  L(i )
L(i ) ˆ
di
dt
Kapasite
Lineer Zamanla Değişmeyen
Endüktans
Lineer Olmayan Zamanla Değişmeyen
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
Kapasite
Lineer Zamanla Değişen
q(t )  C (t )v(t )
dv(t ) dC (t )
i (t )  C (t )

v(t )
dt
dt
q(t )  (2  sin t )v(t )
C (t )  2  sin t
Endüktans
 (t )  L(t )i(t )
v(t )  L(t )
di (t ) dL(t )

i (t )
dt
dt
 (t )  (2  sin t )i(t )
L(t )  2  sin t
di (t )
dv(t )
v
(
t
)

(
2

sin
t
)
 (cos t )i (t )
i (t )  (2  sin t )
 (cos t )v(t )
dt
dt
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
Zamanla Değişmeyen Lineer Kapasite
ve
Endüktans Elemanlarının Özellikleri
Kapasite
Bellek Özelliği
t
1
v(t )   i ( )d
C 
v (t ) sadece i (t ) ‘ye değil, i ( ) ‘nun
     t aralığındaki tüm
geçmiş değerlerine de bağlı
     t0
t
v(t0 )
1
v(t )  v(t0 )   i ( )d , t  t0
Ct
0
Endüktans
t
1
i (t )   v( )d
L 
i (t ) sadece v (t ) ‘ye değil,v ( ) ‘nun
     t aralığındaki tüm
geçmiş değerlerine de bağlı
     t0
i (t0 )
t
1
i (t )  i (t0 )   v( )d , t  t0
Lt
0
v(t0 ) ilk koşul, geçmiş i ( ) ,     t v(t0 ) ilk koşul, geçmiş v ( ),      t
değerlerinin v (t ) ‘ye etkisini veriyor. değerlerinin i (t ) ‘ye etkisini veriyor.
Kapasite
Süreklilik Özelliği
iC (t ), [ta , tb ] aralığında sınırlı
değerler alıyorsa, kapasite
gerilimi vC (t ), (ta , tb )
aralığında sürekli bir fonksiyondur.
ta  T  tb
vC (T  )  vC (T  )
Endüktans
vL (t ), [ta , tb ] aralığında sınırlı
değerler alıyorsa, kapasite
gerilimi iL (t ) , (ta , tb )
aralığında sürekli bir fonksiyondur.
ta  T  tb
iL (T  )  iL (T  )
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
Kayıpsızlık Özelliği
Tanım: (Enerji)
[t1, t2 ] aralığında bir elemana aktarılan toplam enerji w(t1, t2 ) [Joules] ‘dur.
t2
w(t1, t2 ) 
ˆ  v(t )i (t )dt
t1
Kapasite
Yük kontrollü kapasite elemanına
ilişkin enerji kapasite gerilimi veya
yük fonksiyonundan bağımsızdır. t1
ve t 2 anlarındaki yük değerleri ile
t2
belirlenir.
wC (t1, t2 )   v(q)
t1
wC (q1, q2 ) 
Örnek:
dq
dt
dt
wL (1, 2 ) 
 v(q)dq
q1
wC (q1 , q2 ) 

1
q 22  q12
2C
wL (t1, t2 )   i ( )
t1
q2
q
vC ( q ) 
C
Endüktans
Akı kontrollü endüktans elemanına
ilişkin enerji endüktans akımı veya
akı fonksiyonundan bağımsızdır. t
ve t anlarındaki akı değerleri ile 1
2
t2
belirlenir.
iL ( ) 

wL (1 , 2 ) 
2
 i( )d
1

L
d
dt
dt

1
22  12
2L

sonuç
Kapasite
Periyodik bir fonksiyon ile
uyarıldığında, yük kontrollü
kapasiteye ilişkin enerji bir
peryod boyunca sıfırdır
1
1
2
WC (Q ) 
Q  CV 2
2C
2
Bir kapasiteden alınabilecek
maksimum enerji miktarı
Endüktans
Periyodik bir fonksiyon ile
uyarıldığında, yük kontrollü
kapasiteye ilişkin enerji bir
peryod boyunca sıfırdır
1 2 1
WL ( ) 
  LI 2
2L
2
Bir endüktanstan alınabilecek
maksimum enerji miktarı