X,xX

Sonuç 7.6: ( X ,τ X ) ve (Y ,τ Y ) topolojik uzaylar, f : X → Y
fonksiyonu sürekli ve A ⊂ X
olsun. Eğer A altkümesi kompakt ise f ( A) altkümesi de (Y ,τ Y ) topolojik uzayında
kompakttır.
İspat: Alıştırma
Teorem 7.7: Her Hausdorff uzayda kompakt kümeler kapalıdır.
İspat:
Uyarı: Herhangi bir uzayda kompakt olan bir kümenin kapalı olması gerekmez.
Sonuç 7.8: Her ( X ,τ ) bir Hausdorff uzayı ve K ⊂ X kompakt bir altküme olsun. Bu takdirde
her x ∈ X \ K için ∃U ,V ∈τ öyle ki x ∈U , K ⊂ V ve U ∩V = ∅ koşulu sağlanır.
İspat: Alıştırma
Uyarı: Kompakt bir topolojik uzayın ker altkümesi kompakt olması gerekmez.
Teorem 7.9: ( X ,τ ) kompakt bir topolojik uzayı ve A ⊂ X bir altküme olsun. Eğer A kapalı
ise kompaktır.
İspat:
(
)
Teorem 7.10: X ,τ X ve (Y ,τ Y ) iki topolojik uzayı ve f : X → Y bir fonksiyon olsun. Eğer f
fonksiyonu sürekli ve
İspat:
( X ,τ ) kompakt
X
ise f ( X ) ⊂ Y altkümesi kompaktır.
Teorem 7.11: ( X ,τ ) bir topolojik uzay ve A ⊂ X kompakt bir altküme olsun. Eğer f : A → !
(
)
( ( )) olur.
( )
sürekli bir fonksiyon ise ∃a1 ,a2 ∈ A öyle ki f ( a1 ) = sup f ( A) ve f a2 = inf f A
İspat:
Teorem7.12: ( X ,τ X ) ve (Y ,τ Y ) topolojik uzayları verilsin. X × Y çarpım uzayı kompakttır
ancak ve ancak ( X ,τ X ) ve (Y ,τ Y ) topolojik uzayları kompakttır.
Sonuç 7.13: a,b ∈! , a ≤ b olsun. Bu takdirde
n
⎡⎣ a,b ⎤⎦ = ⎡⎣ a,b ⎤⎦ × ⎡⎣ a,b ⎤⎦ ×…× ⎡⎣ a,b ⎤⎦ çarpım
!####"####$
n tane
kümesi ! n ’de kompaktır.