Genel Topolojiye Giriş I Ara S¬nav Sorular¬ 1 (X; T ) bir topolojik uzay ve A 30 Kas¬m 2010 e A ve @A kümelerini tan¬mlay¬n¬z. X olsun. A; A; 2 (a) I·kinci say¬labilir topolojik uzay ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z. (b) I·kinci say¬labilir her topolojik uzay¬n ayr¬labilir oldu¼ gunu ispatlay¬n¬z. 3 (a) Komşuluklar taban¬ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z. (b) (X; T ) bir topolojik uzay ve B T olsun. B ailesinin T topolojisinin bir taban¬olmas¬ için gerekli ve yeterli koşul, her x 2 X için (x) = fB 2 B : x 2 Bg ailesinin x noktas¬n¬n bir komşuluklar taban¬olmas¬d¬r. I·spatlay¬n¬z. 4 (a) Birinci say¬labilir topolojik uzay ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z. (b) Her metrik uzay birinci say¬labilir bir topolojik uzayd¬r. I·spatlay¬n¬z. Her soru 25 puan ve süre 80 dakikad¬r. ALI· GÜVEN 14 Ocak 2011 Genel Topolojiye Giriş I Final S¬nav¬Sorular¬ 1 X = fa; b; cg kümesi üzerinde ayr¬k topoloji ve ayr¬k olmayan topoloji d¬ş¬nda T 0 = T koşulunu sa¼ glayan bir T topolojisi tan¬mlay¬n¬z. 2 Bir (X; T ) topolojik uzay¬nda her A (Ac ) c X için A oldu¼ gunu gösteriniz. 3 Birinci say¬labilir her topolojik uzay ikinci say¬labilir midir? Nedenleriyle aç¬klay¬n¬z. 4 R üzerindeki üst limit topolojisinin standart topolojiden daha ince oldu¼ gunu gösteriniz. 5 (X; TX ) bir topolojik uzay ve Y boş olmayan bir küme olsun. Y üzerinde, her f : (X; TX ) ! (Y; TY ) fonksiyonunu sürekli yapan bir TY topolojisi bulunuz. 6 Zay¬f topolojiyi tan¬mlay¬n¬z. 7 Ayr¬labilir bir topolojik uzay¬n her alt uzay¬ayr¬labilirdir. I·spatlay¬n¬z. (???????) 8 (X; TX ) ve (Y; TY ) birer topolojik uzay olsunlar. (X yaz¬n¬z. 9 (X; TX ) ve (Y; TY ) birer topolojik uzay olsunlar. (X her B Y için @ (A B) = @A @B Y; P) çarp¬m uzay¬n¬n bir taban¬n¬ Y; P) çarp¬m uzay¬nda her A X ve eşitli¼ gi sa¼ glan¬r m¬? Nedenleriyle aç¬klay¬n¬z. 10 (X; TX ) ve (Y; TY ) birer topolojik uzay, x 2 X; y 2 Y ve z = (x; y) olsun. bir komşuluklar taban¬ve (y) y noktas¬n¬n bir komşuluklar taban¬ise (z) := fU ailesi (X W :U 2 (x) ; W 2 (x) x noktas¬n¬n (y)g Y; P) çarp¬m uzay¬nda z noktas¬n¬n bir komşuluklar taban¬olur. I·spatlay¬n¬z. Her soru 10 puan ve süre 60 dakikad¬r. ALI· GÜVEN Genel Topolojiye Giriş I Final S¬nav¬Sorular¬ (2. Ö¼ gretim) 14 Ocak 2011 1 X = fa; b; cg ve A = fa; cg olsun. X kümesi üzerinde A 2 T ve A 2 T 0 olacak şekilde bir T topolojisi tan¬mlay¬n¬z. 2 Bir (X; T ) topolojik uzay¬nda her A c A (Ac ) X için oldu¼ gunu gösteriniz. 3 Ayr¬labilir her topolojik uzay ikinci say¬labilir midir? Nedenleriyle aç¬klay¬n¬z. 4 R üzerindeki alt limit topolojisinin standart topolojiden daha ince oldu¼ gunu gösteriniz. 5 (Y; TY ) bir topolojik uzay ve X boş olmayan bir küme olsun. X üzerinde, her f : (X; TX ) ! (Y; TY ) fonksiyonunu sürekli yapan bir TX topolojisi bulunuz. 6 Alt uzay topolojisini tan¬mlay¬n¬z. 7 I·kinci say¬labilir bir topolojik uzay¬n her alt uzay¬ikinci say¬labilirdir. I·spatlay¬n¬z. 8 (X; TX ) ve (Y; TY ) birer topolojik uzay olsunlar. (X yaz¬n¬z. Y; P) çarp¬m uzay¬n¬n bir alt taban¬n¬ 9 (X; TX ) ve (Y; TY ) birer topolojik uzay olsunlar. (X her B Y için e B e (A B) = A Y; P) çarp¬m uzay¬nda her A X ve eşitli¼ gi sa¼ glan¬r m¬? Nedenleriyle aç¬klay¬n¬z. 10 (X; TX ) ve (Y; TY ) birer topolojik uzay, x 2 X; y 2 Y ve z = (x; y) olsun. V 2 N (x) ve W 2 N (y) ise (X Y; P) çarp¬m uzay¬nda V W 2 N (z) olur. I·spatlay¬n¬z. Her soru 10 puan ve süre 60 dakikad¬r. ALI· GÜVEN Genel Topolojiye Giriş I Bütünleme S¬nav¬Sorular¬ 2 Şubat 2011 1 X = fa; b; cg ve A = fb; cg olsun. X kümesi üzerinde A 2 T ve A 2 T 0 olacak şekilde bir T topolojisi tan¬mlay¬n¬z. 2 Bir (X; T ) topolojik uzay¬nda her A c A (Ac ) X için oldu¼ gunu gösteriniz. 3 Ayr¬labilir her topolojik uzay ikinci say¬labilir midir? Nedenleriyle aç¬klay¬n¬z. 4 Birinci say¬labilir her topolojik uzay ikinci say¬labilir midir? Nedenleriyle aç¬klay¬n¬z. 5 (Y; TY ) bir topolojik uzay ve X boş olmayan bir küme olsun. X üzerinde, her f : (X; TX ) ! (Y; TY ) fonksiyonunu sürekli yapan bir TX topolojisi bulunuz. 6 Alt uzay topolojisini tan¬mlay¬n¬z. 7 I·kinci say¬labilir bir topolojik uzay¬n her alt uzay¬ikinci say¬labilirdir. I·spatlay¬n¬z. 8 (X; TX ) ve (Y; TY ) birer topolojik uzay olsunlar. (X yaz¬n¬z. Y; P) çarp¬m uzay¬n¬n bir taban¬n¬ 9 (X; TX ) ve (Y; TY ) birer topolojik uzay olsunlar. Bu uzaylar ayr¬labilir ise (X uzay¬da ayr¬labilirdir. I·spatlay¬n¬z. Y; P) çarp¬m 10 (X; TX ) ve (Y; TY ) birer topolojik uzay, x 2 X; y 2 Y ve z = (x; y) olsun. V 2 N (x) ve W 2 N (y) ise (X Y; P) çarp¬m uzay¬nda V W 2 N (z) olur. I·spatlay¬n¬z. Her soru 10 puan ve süre 60 dakikad¬r. ALI· GÜVEN Genel Topolojiye Giriş II Ara S¬nav¬Sorular¬ 8 Nisan 2011 1 (X; T ) bir topolojik uzay, (xn ) bu uzayda bir dizi ve x 2 X olsun. (xn ) dizisinin x noktas¬na yak¬nsamas¬ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z. 2 Bir topolojik uzayda yak¬nsak her dizinin limiti tek olur mu? Nedenleriyle aç¬klay¬n¬z. 3 Topolojik uzaylarda dizilerin yetersiz kald¬g¼¬durumlardan bir tanesini yaz¬n¬z. 4 (X; T ) bir topolojik uzay, A X ve x 2 X olsun. x 2 A ise x ! x olacak şekilde bir (x ) A a¼ g¬vard¬r. I·spatlay¬n¬z. 5 (X; T ) bir topolojik uzay, x 2 X ve (x) x noktas¬n¬n bir komşuluklar taban¬olsun. F (x) süzgeç taban¬n¬n üretti¼ gi süzgeç olmak üzere F (x) (x) ; = N (x) oldu¼ gunu ispatlay¬n¬z. 6 (X; T ) bir topolojik uzay, x 2 X ve F X üzerinde bir süzgeç olsun. F ! x olmas¬ ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z. 7 (X; TX ) ve (Y; TY ) birer topolojik uzay, f : X ! Y bir fonksiyon ve x 2 X olsun. T X F ! x biçimindeki her F süzgeci için T Y f (F) ! f (x) oluyorsa f fonksiyonu x noktas¬nda süreklidir. I·spatlay¬n¬z. 8 T1 uzay¬ve T2 uzay¬kavramlar¬n¬tan¬mlay¬n¬z. 9 Her T1 uzay¬bir T2 uzay¬m¬d¬r? Nedenleriyle aç¬klay¬n¬z. 10 (X; TX ) ve (Y; TY ) birer topolojik uzay olsunlar. (X Y; P) çarp¬m uzay¬bir T2 uzay¬ise (X; TX ) ve (Y; TY ) uzaylar¬da birer T2 uzay¬olurlar. I·spatlay¬n¬z. Her soru 10 puan ve süre 60 dakikad¬r. ALI· GÜVEN 14 Haziran 2011 Genel Topolojiye Giriş II Final S¬nav¬Sorular¬ 1 Düzenli topolojik uzay ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z ve bir örnek veriniz. 2 T3 uzay¬ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z ve bir örnek veriniz. 3 Metrik uzay olmayan T3 uzaylar¬na örnek veriniz. 4 Hangi topolojik uzaylar¬n kapal¬alt kümeleri kompaktt¬r? 5 Kompakt metrik uzaylarda geçerli oldu¼ gu halde kompakt topolojik uzaylarda geçerli olmayan özelliklerden bir tanesini yaz¬n¬z. 6 Say¬labilir kompakt olan hangi topolojik uzaylar ayn¬zamanda dizisel kompakt olurlar? 7 (X; TX ) yerel kompakt bir topolojik uzay ve (Y; TY ) bir topolojik uzay olsun. E¼ ger, sürekli, aç¬k ve örten bir f : X ! Y fonksiyonu varsa (Y; TY ) uzay¬da yerel kompakt olur. I·spatlay¬n¬z. 8 (R; R ) topolojik uzay¬n¬n bir kompaktlaşt¬rmas¬n¬n [ 1; 1] ; R[ 7: ve 8: sorular 20’şer puan, di¼ ger sorular 10’ar puand¬r. Süre 60 dakikad¬r. 1;1] oldu¼ gunu gösteriniz. ALI· GÜVEN Genel Topolojiye Giriş II Final S¬nav¬Sorular¬ (I·kinci Ö¼ gretim) 14 Haziran 2011 1 Normal topolojik uzay ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z ve bir örnek veriniz. 2 T4 uzay¬ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z ve bir örnek veriniz. 3 Metrik uzay olmayan T4 uzaylar¬na örnek veriniz. 4 Hangi topolojik uzaylarda kompakt alt kümeler kapal¬d¬r? 5 Kompakt metrik uzaylarda geçerli oldu¼ gu halde kompakt topolojik uzaylarda geçerli olmayan özelliklerden bir tanesini yaz¬n¬z. 6 Dizisel kompakt olan hangi topolojik uzaylar ayn¬zamanda say¬labilir kompakt olurlar? 7 (X; TX ) ve (Y; TY ) topolojik uzaylar¬yerel kompakt ise (X olur. I·spatlay¬n¬z. Y; P) uzay¬da yerel kompakt 8 (R; R ) topolojik uzay¬n¬n bir kompaktlaşt¬rmas¬n¬n C = f(x; y) 2 R2 : x2 + y 2 = 1g çemberi oldu¼ gunu gösteriniz. 7: ve 8: sorular 20’şer puan, di¼ ger sorular 10’ar puand¬r. Süre 60 dakikad¬r. ALI· GÜVEN Genel Topolojiye Giriş II Bütünleme S¬nav¬Sorular¬ 28 Haziran 2011 1 T2 uzay¬ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z ve bir örnek veriniz. 2 Metrik uzay olmayan T2 uzaylar¬na iki örnek veriniz. 3 (a) Hangi topolojik uzaylarda kompakt alt kümeler kapal¬d¬r? (b) Hangi topolojik uzaylarda kapal¬alt kümeler kompaktt¬r? 4 Kompakt metrik uzaylarda geçerli oldu¼ gu halde kompakt topolojik uzaylarda geçerli olmayan özelliklerden iki tanesini yaz¬n¬z. 5 Kompaktlaşt¬rma ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z ve bir örnek veriniz. Her soru 20 puan ve süre 60 dakikad¬r. ALI· GÜVEN