84=C 30 Kasim 2010 # (X,* ) bir topolojik uzay ve А

Genel Topolojiye Giriş I Ara S¬nav Sorular¬
1 (X; T ) bir topolojik uzay ve A
30 Kas¬m 2010
e A ve @A kümelerini tan¬mlay¬n¬z.
X olsun. A; A;
2 (a) I·kinci say¬labilir topolojik uzay ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z.
(b) I·kinci say¬labilir her topolojik uzay¬n ayr¬labilir oldu¼
gunu ispatlay¬n¬z.
3 (a) Komşuluklar taban¬ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z.
(b) (X; T ) bir topolojik uzay ve B T olsun. B ailesinin T topolojisinin bir taban¬olmas¬
için gerekli ve yeterli koşul, her x 2 X için
(x) = fB 2 B : x 2 Bg
ailesinin x noktas¬n¬n bir komşuluklar taban¬olmas¬d¬r. I·spatlay¬n¬z.
4 (a) Birinci say¬labilir topolojik uzay ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z.
(b) Her metrik uzay birinci say¬labilir bir topolojik uzayd¬r. I·spatlay¬n¬z.
Her soru 25 puan ve süre 80 dakikad¬r.
ALI· GÜVEN
14 Ocak 2011
Genel Topolojiye Giriş I Final S¬nav¬Sorular¬
1 X = fa; b; cg kümesi üzerinde ayr¬k topoloji ve ayr¬k olmayan topoloji d¬ş¬nda T 0 = T
koşulunu sa¼
glayan bir T topolojisi tan¬mlay¬n¬z.
2 Bir (X; T ) topolojik uzay¬nda her A
(Ac )
c
X için
A
oldu¼
gunu gösteriniz.
3 Birinci say¬labilir her topolojik uzay ikinci say¬labilir midir? Nedenleriyle aç¬klay¬n¬z.
4 R üzerindeki üst limit topolojisinin standart topolojiden daha ince oldu¼
gunu gösteriniz.
5 (X; TX ) bir topolojik uzay ve Y boş olmayan bir küme olsun. Y üzerinde, her
f : (X; TX ) ! (Y; TY )
fonksiyonunu sürekli yapan bir TY topolojisi bulunuz.
6 Zay¬f topolojiyi tan¬mlay¬n¬z.
7 Ayr¬labilir bir topolojik uzay¬n her alt uzay¬ayr¬labilirdir. I·spatlay¬n¬z. (???????)
8 (X; TX ) ve (Y; TY ) birer topolojik uzay olsunlar. (X
yaz¬n¬z.
9 (X; TX ) ve (Y; TY ) birer topolojik uzay olsunlar. (X
her B Y için
@ (A B) = @A @B
Y; P) çarp¬m uzay¬n¬n bir taban¬n¬
Y; P) çarp¬m uzay¬nda her A
X ve
eşitli¼
gi sa¼
glan¬r m¬? Nedenleriyle aç¬klay¬n¬z.
10 (X; TX ) ve (Y; TY ) birer topolojik uzay, x 2 X; y 2 Y ve z = (x; y) olsun.
bir komşuluklar taban¬ve (y) y noktas¬n¬n bir komşuluklar taban¬ise
(z) := fU
ailesi (X
W :U 2
(x) ; W 2
(x) x noktas¬n¬n
(y)g
Y; P) çarp¬m uzay¬nda z noktas¬n¬n bir komşuluklar taban¬olur. I·spatlay¬n¬z.
Her soru 10 puan ve süre 60 dakikad¬r.
ALI· GÜVEN
Genel Topolojiye Giriş I Final S¬nav¬Sorular¬ (2. Ö¼
gretim)
14 Ocak 2011
1 X = fa; b; cg ve A = fa; cg olsun. X kümesi üzerinde A 2 T ve A 2 T 0 olacak şekilde bir T
topolojisi tan¬mlay¬n¬z.
2 Bir (X; T ) topolojik uzay¬nda her A
c
A
(Ac )
X için
oldu¼
gunu gösteriniz.
3 Ayr¬labilir her topolojik uzay ikinci say¬labilir midir? Nedenleriyle aç¬klay¬n¬z.
4 R üzerindeki alt limit topolojisinin standart topolojiden daha ince oldu¼
gunu gösteriniz.
5 (Y; TY ) bir topolojik uzay ve X boş olmayan bir küme olsun. X üzerinde, her
f : (X; TX ) ! (Y; TY )
fonksiyonunu sürekli yapan bir TX topolojisi bulunuz.
6 Alt uzay topolojisini tan¬mlay¬n¬z.
7 I·kinci say¬labilir bir topolojik uzay¬n her alt uzay¬ikinci say¬labilirdir. I·spatlay¬n¬z.
8 (X; TX ) ve (Y; TY ) birer topolojik uzay olsunlar. (X
yaz¬n¬z.
Y; P) çarp¬m uzay¬n¬n bir alt taban¬n¬
9 (X; TX ) ve (Y; TY ) birer topolojik uzay olsunlar. (X
her B Y için
e B
e
(A B) = A
Y; P) çarp¬m uzay¬nda her A
X ve
eşitli¼
gi sa¼
glan¬r m¬? Nedenleriyle aç¬klay¬n¬z.
10 (X; TX ) ve (Y; TY ) birer topolojik uzay, x 2 X; y 2 Y ve z = (x; y) olsun. V 2 N (x) ve
W 2 N (y) ise (X Y; P) çarp¬m uzay¬nda V W 2 N (z) olur. I·spatlay¬n¬z.
Her soru 10 puan ve süre 60 dakikad¬r.
ALI· GÜVEN
Genel Topolojiye Giriş I Bütünleme S¬nav¬Sorular¬
2 Şubat 2011
1 X = fa; b; cg ve A = fb; cg olsun. X kümesi üzerinde A 2 T ve A 2 T 0 olacak şekilde bir T
topolojisi tan¬mlay¬n¬z.
2 Bir (X; T ) topolojik uzay¬nda her A
c
A
(Ac )
X için
oldu¼
gunu gösteriniz.
3 Ayr¬labilir her topolojik uzay ikinci say¬labilir midir? Nedenleriyle aç¬klay¬n¬z.
4 Birinci say¬labilir her topolojik uzay ikinci say¬labilir midir? Nedenleriyle aç¬klay¬n¬z.
5 (Y; TY ) bir topolojik uzay ve X boş olmayan bir küme olsun. X üzerinde, her
f : (X; TX ) ! (Y; TY )
fonksiyonunu sürekli yapan bir TX topolojisi bulunuz.
6 Alt uzay topolojisini tan¬mlay¬n¬z.
7 I·kinci say¬labilir bir topolojik uzay¬n her alt uzay¬ikinci say¬labilirdir. I·spatlay¬n¬z.
8 (X; TX ) ve (Y; TY ) birer topolojik uzay olsunlar. (X
yaz¬n¬z.
Y; P) çarp¬m uzay¬n¬n bir taban¬n¬
9 (X; TX ) ve (Y; TY ) birer topolojik uzay olsunlar. Bu uzaylar ayr¬labilir ise (X
uzay¬da ayr¬labilirdir. I·spatlay¬n¬z.
Y; P) çarp¬m
10 (X; TX ) ve (Y; TY ) birer topolojik uzay, x 2 X; y 2 Y ve z = (x; y) olsun. V 2 N (x) ve
W 2 N (y) ise (X Y; P) çarp¬m uzay¬nda V W 2 N (z) olur. I·spatlay¬n¬z.
Her soru 10 puan ve süre 60 dakikad¬r.
ALI· GÜVEN
Genel Topolojiye Giriş II Ara S¬nav¬Sorular¬
8 Nisan 2011
1 (X; T ) bir topolojik uzay, (xn ) bu uzayda bir dizi ve x 2 X olsun. (xn ) dizisinin x noktas¬na
yak¬nsamas¬ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z.
2 Bir topolojik uzayda yak¬nsak her dizinin limiti tek olur mu? Nedenleriyle aç¬klay¬n¬z.
3 Topolojik uzaylarda dizilerin yetersiz kald¬g¼¬durumlardan bir tanesini yaz¬n¬z.
4 (X; T ) bir topolojik uzay, A
X ve x 2 X olsun. x 2 A ise x ! x olacak şekilde bir
(x ) A a¼
g¬vard¬r. I·spatlay¬n¬z.
5 (X; T ) bir topolojik uzay, x 2 X ve (x) x noktas¬n¬n bir komşuluklar taban¬olsun. F
(x) süzgeç taban¬n¬n üretti¼
gi süzgeç olmak üzere
F
(x)
(x) ;
= N (x)
oldu¼
gunu ispatlay¬n¬z.
6 (X; T ) bir topolojik uzay, x 2 X ve F X üzerinde bir süzgeç olsun. F ! x olmas¬ ne
demektir? Tan¬mlay¬n¬z.
7 (X; TX ) ve (Y; TY ) birer topolojik uzay, f : X ! Y bir fonksiyon ve x 2 X olsun.
T
X
F !
x
biçimindeki her F süzgeci için
T
Y
f (F) !
f (x)
oluyorsa f fonksiyonu x noktas¬nda süreklidir. I·spatlay¬n¬z.
8 T1 uzay¬ve T2 uzay¬kavramlar¬n¬tan¬mlay¬n¬z.
9 Her T1 uzay¬bir T2 uzay¬m¬d¬r? Nedenleriyle aç¬klay¬n¬z.
10 (X; TX ) ve (Y; TY ) birer topolojik uzay olsunlar. (X Y; P) çarp¬m uzay¬bir T2 uzay¬ise
(X; TX ) ve (Y; TY ) uzaylar¬da birer T2 uzay¬olurlar. I·spatlay¬n¬z.
Her soru 10 puan ve süre 60 dakikad¬r.
ALI· GÜVEN
14 Haziran 2011
Genel Topolojiye Giriş II Final S¬nav¬Sorular¬
1 Düzenli topolojik uzay ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z ve bir örnek veriniz.
2 T3 uzay¬ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z ve bir örnek veriniz.
3 Metrik uzay olmayan T3 uzaylar¬na örnek veriniz.
4 Hangi topolojik uzaylar¬n kapal¬alt kümeleri kompaktt¬r?
5 Kompakt metrik uzaylarda geçerli oldu¼
gu halde kompakt topolojik uzaylarda geçerli olmayan
özelliklerden bir tanesini yaz¬n¬z.
6 Say¬labilir kompakt olan hangi topolojik uzaylar ayn¬zamanda dizisel kompakt olurlar?
7 (X; TX ) yerel kompakt bir topolojik uzay ve (Y; TY ) bir topolojik uzay olsun. E¼
ger, sürekli,
aç¬k ve örten bir f : X ! Y fonksiyonu varsa (Y; TY ) uzay¬da yerel kompakt olur. I·spatlay¬n¬z.
8 (R; R ) topolojik uzay¬n¬n bir kompaktlaşt¬rmas¬n¬n [ 1; 1] ; R[
7: ve 8: sorular 20’şer puan, di¼
ger sorular 10’ar puand¬r. Süre 60 dakikad¬r.
1;1]
oldu¼
gunu gösteriniz.
ALI· GÜVEN
Genel Topolojiye Giriş II Final S¬nav¬Sorular¬
(I·kinci Ö¼
gretim)
14 Haziran 2011
1 Normal topolojik uzay ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z ve bir örnek veriniz.
2 T4 uzay¬ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z ve bir örnek veriniz.
3 Metrik uzay olmayan T4 uzaylar¬na örnek veriniz.
4 Hangi topolojik uzaylarda kompakt alt kümeler kapal¬d¬r?
5 Kompakt metrik uzaylarda geçerli oldu¼
gu halde kompakt topolojik uzaylarda geçerli olmayan
özelliklerden bir tanesini yaz¬n¬z.
6 Dizisel kompakt olan hangi topolojik uzaylar ayn¬zamanda say¬labilir kompakt olurlar?
7 (X; TX ) ve (Y; TY ) topolojik uzaylar¬yerel kompakt ise (X
olur. I·spatlay¬n¬z.
Y; P) uzay¬da yerel kompakt
8 (R; R ) topolojik uzay¬n¬n bir kompaktlaşt¬rmas¬n¬n C = f(x; y) 2 R2 : x2 + y 2 = 1g çemberi
oldu¼
gunu gösteriniz.
7: ve 8: sorular 20’şer puan, di¼
ger sorular 10’ar puand¬r. Süre 60 dakikad¬r.
ALI· GÜVEN
Genel Topolojiye Giriş II Bütünleme S¬nav¬Sorular¬
28 Haziran 2011
1 T2 uzay¬ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z ve bir örnek veriniz.
2 Metrik uzay olmayan T2 uzaylar¬na iki örnek veriniz.
3 (a) Hangi topolojik uzaylarda kompakt alt kümeler kapal¬d¬r?
(b) Hangi topolojik uzaylarda kapal¬alt kümeler kompaktt¬r?
4 Kompakt metrik uzaylarda geçerli oldu¼
gu halde kompakt topolojik uzaylarda geçerli olmayan
özelliklerden iki tanesini yaz¬n¬z.
5 Kompaktlaşt¬rma ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z ve bir örnek veriniz.
Her soru 20 puan ve süre 60 dakikad¬r.
ALI· GÜVEN