Matematik Ve Müzi*in *lgisi


Eski Yunan' da müzik, matematiğin 4 ana
dalından biri olarak kabul edilmiştir. Pythagoras
(M.Ö. 586) okulunun (Quadrivium) programına
göre Müzik; Aritmetik, Geometri ve Astronomi
ile aynı düzeyde kabul görmüştür. Bir telin
değişik boyları ile değişik sesler elde edildiğini
ortaya çıkartan Pyhagoras, M.Ö. 6. yüzyılda
yaşamıştır ve bugün kullanılmakta olan müzikal
dizinin temelini oluşturması açısından oldukça
önemli bir iş yapmıştır. Konfiçyüs (M.Ö. 551-478)
belirli modların insanlar üzerine etkisini
incelemiştir. Platon ( M.Ö. 428/7-348/7) müziği
etiğin bir parçası olarak kabul etmektedir.
Platon, karışıklıktan kaçınır ve basitliği
savunur. Platon, insan karakteri ile müzik
arasında bir bağlantı bulmuştur.

Matematiğin müzik üzerindeki etkisini
müzik parçalarının yazımında görebiliriz.
Bir müzik parçasında ritim ( 4:4 lük , 3:4 lük
gibi ), belirli bir ölçüye göre vuruş birlik,
ikilik, dörtlük, sekizlik, onaltılık, ... gibi
notalar bulunur. Belirli bir ritimde, değişik
uzunluktaki notalar, belirli bir ölçüye
uydurulur. Her ölçünün ise değişik
uzunluktaki notaları kullanan belirli sayıda
vuruştan oluştuğu görülür.

Pisagor ( M.Ö. 580- 500 ) ve onun
düşüncesini taşıyanlar sesin, çekilen telin
uzunluğuna bağlı olduğunu fark ederek,
müzikte armoni ile tamsayılar arasındaki
ilişkiyi kurmuşlardır. Uzunlukları tamsayı
oranlarında olan gergin tellerin de
armonik sesler verdiği görülmüştür.
Gerçektende çekilen tellerin her armonik
bileşimi tamsayıların oranı olarak
gösterilebilir. Örneğin, do sesini çıkaran
bir telin uzunluğunun 16/15’i si sesini
verirken 6/5’i ise la sesi; 4/3’ü sol sesini;
3/2’si fa sesini; 8/5’i mi sesini; 16/9’u ise re
sesini verir.
İki notayı bir arada duymak, iki frekansı ya
da iki sayıyı ve bu iki sayı arasındaki oranı
algılamaktan başka bir şey değildir. Demek
ki armoni sorunu, iki sayının oranını seçme
sorununa eşdeğerdir. Müzik, gizli bir aritmetik
alıştırmasıdır diyen Leibniz’in haklılığı ortaya
çıkıyor.
 Müziği, belli kurallara uygun olarak
oluşturulmuş basit birtakım seslerin birbirlerini
izlemesinden oluşan cümleler topluluğu
olarak tanımlayabiliriz. Bu kurallar,
matematikte mantık kurallarına karşılık
gelirler.




Müzikal seslerin niteliğinin incelenmesi 19.
yüzyılda matematikçi J.Fourier tarafından
yapılmıştır. Fourier, müzik aleti ve insandan
çıkan bütün müzikal seslerin matematiksel
ifadelerle tanımlanabileceğini ve bunun da
periyodik sinüs fonksiyonları ile olabileceğini
ispatlamıştır.
Bir çok müzik aleti yapımcısı, yaptığı aletlerin
periyodik ses grafiğini, bu aletler için ideal olan
grafikle karşılaştırır. Yine elektronik müzik kayıtları
da periyodik grafiklerle yakından ilişkilidir.
Görüldüğü gibi bir müzik parçasının
üretilmesinde matematikçilerle müzikçilerin
birlikteliği çok önemlidir.
Matematik – müzik ilişkisinin bir başka özelliğini
ortaya çıkarabilmek için matematikte ve
mimaride çok sık kullanılan bir oran var . Bu
orana ALTIN ORAN denir.
Müzikte önemli olan bir başka isim Fibonacci'dir. Leonardo
Fibonacci (1175-1240) bir İtalyan matematikçisidir. Matematik
biliminde önemli çalışmaları olmuştur. Ancak en çok "tavşan
çiftliği" problemi ile meşhur olmuştur. Probleme göre; bir çift
tavşan var ve bir ay geçtikten sonra her yeni çift tavşan bir çift
tavşan doğuruyor. Her yeni doğan çift ikinci ay birer çift tavşan
doğurur ve bu böylece devam eder. Kaç ay sonra kaç çift
tavşan olur. Sonuçta karşımıza şu şekilde bir seri çıkar;
 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...
 Seriye bakacak olursak, son iki sayının toplamı bize bir sonraki
sayıyı vermektedir. Burada bizim için önemli olan orandır. Dikkat
edilecek olursa iki ardışık sayının oranı (küçük sayının büyük sayıya
oranı) aynı sayıya yakınsamaktadır. 0, 61803398......Bu oran
resimde, mimaride, ve müzikte çeşitli dönemlerde "altın
oran" veya "mükemmel oran" olarak kullanılmıştır.
 Altın oranı geometrik olarak ifade edecek olursak, ikiye bölünmüş
bir [AB] doğru parçası düşünelim. Tüm doğru parçasının büyük
parçaya oranının, büyük parçanın küçük parçaya oranına eşitliği
bize altın oranı vermektedir.


Bella Bartok, altın oranı kullanan
bestecilerdendir. "Bartok, Fibonnacci
sayıları ile bir dizi oluşturmuş ve bu dizinin
elemanlarını bestelerinde kullanmıştır"
(Aktarma Gönen, 1998: 13). "Music for
strings, percussion and
celeste" parçasının ilk bölümünde en
önemli kısım, 89 ölçünün 55. ölçüsünde
kullanılmıştır (Rustin, 1998).












Pythagoras, 12 birimlik bir teli ikiye bölmüş ve oktavı elde etmiştir. Elde
edilen 6 birimlik uzunluk ( telin ½ si), 12 birimlik uzunluğun bir oktav tizidir.
Pythagoras 8 birimlik uzunluk ile (telin 2/3 ü) 5 li aralığı, 9 birimlik uzunluk ile
(telin ¾ ü) 4 lü aralığı bulmuştur. Antik devirde dört sesin bir arada
duyulması prensibi "tetrakord" olarak adlandırılmakta ve müzik teorisinin
temel kuralı olarak sayılmaktadır. Böylelikle tetrakord, 6,8,9 ve 12 ile elde
edilmiştir ve ileride değineceğimiz gibi bu sayılar bize "altın oran"
konusunda da oldukça ilginç örtüşmeler sunmaktadır.
Pythagoras oranlarına göre, 5 li ile 4 lü arasındaki fark tam tonu
vermektedir.
2/3:3/4=8/9 (5T-4T=2M )
Yani, tam sesin 8/9 ile çarpımı bize o sesin bir ton tizini vermektedir.
Devam edecek olursak; 8/9.8/9=64/81 (2M+2M=3M)
Esas sesimiz "do" olsun. Do nun ½ si bize do nun bir oktav tizini, 2/3 ü "sol"
sesini, ¾ ü "fa" sesini, 8/9 i ise "re" sesini, 64/81 i ise " mi" sesini vermektedir.
Diğer aralıkları kısaca şöyle sıralayabiliriz;
3/4:8/9=27/32 4T-2T=3m
2:27/32=16/27 6M
2:64/82=81/128 6m
2: 8/9=9/16 7m
Bu şekilde gidildiği zaman; Do, re, mi, fa, sol, la ,si, do sesleri sırasıyla; 1,
8/9, 64/81, ¾, 2/3, 16/27, 128/243 ve 1/2 oranları ile ifade edilir.
Pythagoras aralıklarından bahsederken
tetrakord u oluşturan 6, 8, 9, ve 12
birimlik tellerden bahsetmiştik. Şimdi bu
aralıkları altın orana uygulayacak
olursak,
 (12-8) : (8-6) = 12: 6 oranının altın oran
olduğunu görürüz. Bu, oldukça ilginç bir
örtüşmedir.
 Müzikte yapılan çeşitli çalışmalarda altın
oranın kompozisyonlarda melodik, ritmik
veya dinamik olarak belirli bir orana göre
oluşturulduğu görülmüştür




Pythagoras, telin 8/9 u ile 1 tam tonu elde etmiştir,
ancak bir notaya 6 kez tam ton ilave edildiğinde
neredeyse o notanın oktavı elde edilmiştir ki bu da
"Pythagoras koması" olarak adlandırılır. Bu durumda
Pythagoras sisteminde bazı değişikliklere gerek
duyulmuş ve böylece zaman içinde tampere edilmiş
bir şekilde 12 eşit yarım tonluk bir sistem
geliştirilmiştir. 1 tam ton 8/9 ile değil iki yarım ton ile
gösterilmiştir .
Tampere edilmiş 5 li, 7 yarım ton ile ifade
edilmektedir ve buda, Pythagoras 5 lisinden daha
küçük bir aralıktır. 4lü ise, 5 yarım ton ile ifade edilir
ve Pythagoras 4 lüsünden daha büyüktür.
Yapılan bazı çalışmalarda insan kulağının hala
Pythagoras aralıklarını tercih ettiğini gösterse de
günümüzde kullanılan tampere edilmiş sistemden
vazgeçmek mümkün değildir (Reid,1995).


Euclid (M.Ö. 300)'in çalışmaları temel olarak
Pythagoras'a dayanır, ancak Pythagoras ve Euclid iki
önemli konuda birbirlerinden ayrılırlar; kurulan
majör dizideki Maj. 3 'lü ve Maj. 6'lı
aralıklarda. Örneğin Do dizisinde Euclid 'in Maj. 3'lüsü
4/5=64/80 iken, Pythagoras için bu; 64/81=8/9.8/9
dur (Archibald,1923: 10).
Estetik anlayışındaki en eski ve en yerleşik kavram,
kökü Sokrates ve öncesi filozoflara uzanan oransal
uyumluluk (congruentia) , oran ve sayı kavramlarıdır.
(Eco, 1996: 51) . Yunan düşüncesine 'oran' anlayışı
büyük önem taşımaktadır. Ortaçağ filozoflarından
Boethius ta müzik kuramıyla ilişkili olarak bir oransal
ilişkiler öğretisi geliştirerek,oran felsefesini başlangıçtaki
Pythagoasçı biçimi ile Ortaçağ'a aktarır. (Eco,1996:
53). Aritmetik, geometri ve müzik ile ilgili çalışmaları
vardır. Boethius için müzik matematiksel bir bilimdir.

Selcen Kayra Türkyılmaz 153 7-A