1.2 Açık ve Kapalı Kümeler

4
1. Topolojik Uzaylar
1.2
Açık ve Kapalı Kümeler
Topolojilerin elemanlarına özel bir isim verilir: açık küme5 . Bu adlandırma,
gerçel sayılarda tanımlı açık aralık kavramından gelmektedir.
Bu kısımda bir topolojik uzayda açık ve kapalı küme kavramları tanıtılacak
ve bu kavramdan üretilen bir kümenin içi, kapanışı ve sınırı gibi kavramlar
tanımlanarak, bunların aralarındaki bazı temel ilişkiler verilecek. Öncelikle
aşağıdaki standart tanımla başlayalım.
Tanım 1.2. (X, τ ) bir topolojik uzay olsun.
(i) τ ’nin her elemanına açık küme ,
(ii) Tümleyeni, τ ’nin bir elemanı olan kümeye kapalı küme denir.
Bir topolojik uzayda bir kümenin açık olması için gerekli ve yeterli koşul,
kümenin tümleyeninin kapalılı olduğ barizzdir.
X topolojik uzayında bir kümenin hem açık hem kapalı olma durumu
sözkonusudur. boşküme ve X bu özellikteki kümelerdir. X üzerinde tanımlı
en ince topolojiye göre X’nin her altkümesi hem kapalı hem de açıktır.
X topolojik uzayıda X’nin bir altkümesinin açık olmaması durumunda, bu
kümeye ”en yakın” açık kümeyi anlamak, topolojik uzayın daha iyi anlaşılmasını
kolaylaştıracaktır. Benzer durum kapalı kümeler içinde söz konusudur. Bu
sorgulama bizi aşağıdaki tanıma yönlendirir.
Tanım 1.3. X bir topolojik uzay olsun. Her A ⊂ X kümesi için,
(i) A0 := ∪{U : U
açık ve
(ii) A = ∩{K ⊂ X : K
U ⊂ A}.
kapalı ve A ⊂ K}.
olarak tanımlanan kümelere sırasıyla, A’nın içi ve kapanışı denir.
Bir topolojik uzayın bir A altkümesinin içinin içi Aoo ile gösterilir. Benzer
biçimde kapanışının kapanışı da A ile gösterilir. Her kümenin içi açık ve açık
kümenin içi kendisine eşittir. Benzer biçimde bir kümenin kapanışı kapalı ve
kapalı bir kümenin kapanışı kendisine eşttir. Yani bir X topolojik uzayında,
- A⊂X
açık ⇐⇒ Ao = A,
- A⊂X
kapalı ⇐⇒ A = A,
- Aoo = Ao .
- A = A.
5
açık ve kapalı küme kavramı ilk olarak Cantor tarafından Euclidean uzayları için
tanımlanmış ve çalışılmıştır.
1.2. Açık ve Kapalı Kümeler
5
X topolojik uzayında bir kümenin içi, kendisi ve kapanışı arasındaki en temel
kapsama ilişkisi, her A ⊂ X için
Ao ⊂ A ⊂ A
ilişkisidir. Ayrıca verilen A ⊂ X kümesi için A ve X \ A kümelerinin içi ve
kapanışı arasındaki eşitlik ve kapsama ilişkileri, tanımlar kullanılarak hemen
görülebir. Örneğin,
X \ A = (X \ A)o
olması gibi. A ⊂ X kümesi için X \ A ve A kümeleri ayrıkolduklarından, Ao ve
(X \ A)o kümeleride ayrık, fakat birleşimleri X’e eşit olmayabilir. Bu gözlem
sonucu aşağıdaki tanımı vermek anlamlıdır.
Tanım 1.4. Bir X topolojik uzayında A ⊂ X kümesinin sınırı
d(A) := X \ ((X \ A)o ∪ Ao )
olarak tanımlanır.
Yukarıdaki tanım sonrası her topolojik uzay X, uzayın her altk kümesi
için üç ayrık parçaya ayrılır. Gerceekten, A ⊂ X için, Ao , (X \ A)o ve d(A)
kümeleri ikişr ikişer ayrık ve
.
.
X = Ao ∪ (X \ A)o ∪ d(A)
dır.
Bir X topolojikk uzayında bir A ⊂ X kümesinin kapanışı X olabilir. Bu
durum oldukça önemlidir ve bu noktada bu durumu isimlendirmek yerindedir.
Tanım 1.5. Bir X topolojik uzayında A = X ise, A’ya yoğun küme denir.
Alıştırmalar
1.8. (X, X ) bir topolojik uzay olsun. A ⊂ B ⊂ X ise Ao ⊂ B o ve A ⊂ B olduğunu gösteriniz.
1.9. Bir X topolojik uzayında A ⊂ X için
(i) Ao = X \ X \ A,
(ii) A = X \ (X \ A)o
olduğunu gösteriniz.
1.10. X topolojik uzay ve A ⊂ X verilsin.
A = Ao ∪ d(A)
olduğunu gösteriniz.
1.11. Bir X topolojik uzayında A, B ⊂ X için
A∪B =A∪B
olduğunu gösteriniz.
ve
(A ∩ B)o = Ao ∩ B o
6
1. Topolojik Uzaylar
1.12. (X, X ) bir topolojik uzay, A ⊂ X ve x ∈ X verilsin. Aşağıdakilerin denk olduğunu
gösteriniz.
(i) x ∈ A0 .
(ii) x ∈ U ⊂ A özelliğinde bir açık küme U vardır.
1.13. (X, X ) bir topolojik uzay, A ⊂ X ve x ∈ X verilsin. Aşağıdakilerin denk olduğunu
gösteriniz.
(i) x ∈ A.
(ii) U açık ve x ∈ U ise U ∩ A 6= ∅.
1.14. X topolojik uzay olmak üzere A, B ⊂ X kümeleri verilsin.
∅ = ∅,
A ⊂ A,
A∪B =A∪B
ve
A=A
ve
∅o = ∅,
Ao ⊂ A,
(A ∪ B)o = Ao ∪ B o
ve
Aoo = Ao
olduğunu gösteriniz.
1.15. Bir X topolojik uzayında bir A ⊂ P(X) kümesi, verilen her x ∈ X iiņ,
{A ∈ A : A ∩ U 6= ∅}
sonlu olacak biçimde x ∈ U açık ümesi var ise,ise A’ye
olmak üzere A yerel sonlu ise,
6
denir. X bir topolojik uzay
∪A∈A A = ∪A∈A A
olduğunu gösteriniz.
Kanıt: ∪A∈A A ⊂ ∪A∈A A olduğ bariz. x ∈ ∪A∈A A verilsin. A yerel sonlu olduğundan,
S = {A ∈ A : A ∩ U 6= ∅}
kümesi sonlu olacak özellikte x ∈ U açık kümesi vardır.
x ∈ (∪A \ S) ∪ (∪S) = ∪(A \ S) ∪ ∪S,
x 6∈ ∪(A \ S)
ve S sonlu olduğundan,
x ∈ ∪S = ∪A∈S A
dir.
1.16. Bir X topolojik uzayında A ⊂ P(X) kümesi yerel sonlu ise,
A = {A : A ∈ A}
olarak tanımlanan kümeninde yerel sonlu olduğunu gösteriniz.
1.17. X topolojik uzay ve (An ), X’nin altkümelerinin bir dizisi olsun.
∞
∞
∞
∪∞
i=1 Ai = (∪i=1 Ai ) ∪ (∩i=1 ∪j=0 Ai+j )
olduğunu gösteriniz.
1.18. X topolojik uzay ve U , X’de açık küme olsun. Her A ⊂ X için
U ∩A=U ∩A
olduğunu gösteriniz.
6
bu kavram 1924 yılında Alexandrooff tarafından verilmiştir
1.2. Açık ve Kapalı Kümeler
7
1.19. X topolojik uzayında A ⊂ X yoğun ise, her açık U kümesi için U ∩ A = U olduğunu
gösteriniz.
1.20. (Kuratowski 14-Küme Teoremi) X bir topolojik uzay olmak üzere her n ∈ N ve A ⊂ X
için cn A ∈ {A, X \ A} olmak üzere,
|{c1 c2 ...cn A : n ∈ N}| ≤ 14
olduğunu gösteriniz