6 Vektör Uzay Not: X bir vektör uzay¬ ve M X olsun. boy X ile X uzay¬n¬n boyutunu, s(M ) ile M kümesinin kardinalitesini, span M ile M kümesinin gerdi¼ gi uzay¬ve ile s¬f¬r vektörünü gösterece¼ giz. Soru 6.1 Al¬ş¬lm¬ş toplama ve çarpma işlemleri alt¬nda tüm reel say¬lar¬n oluşturdu¼ gu kümenin bir boyutlu bir reel vektör uzay¬ ve tüm kompleks say¬lar¬n oluşturdu¼ gu kümenin ise bir boyutlu bir kompleks vektör uzay¬oluşturdu¼ gunu gösteriniz. Çözüm: i) Al¬ş¬lm¬ş toplama ve çarpma işlemleri alt¬nda R’nin bir reel vektör uzay¬ oldu¼ gunu biliyoruz. Şimdi R’nin boyutunu belirleyelim. Bunun için x0 6= 0 olacak şekilde x0 2 R alal¬m. M = fx0 g olmak üzere x0 = 0 oldu¼ gundan = 0 olaca¼ g¬ndan M kümesi lineer ba¼ g¬ms¬z bir kümedir. Her x x0 yaz¬labildi¼ ginden span M = R olur. O halde M kümesi R x 2 R için x = x0 için bir baz olup boy R = s(M ) = 1 elde edilir. ii) Tüm kompleks say¬lar¬n oluşturdu¼ gu kümenin bir kompleks vektör uzay¬ olarak boyutu i ş¬kk¬na benzer şekilde 1 olarak belirlenir. Soru 6.2 Al¬ş¬lm¬ş toplama ve çarpma işlemleri alt¬nda tüm kompleks say¬lar¬n oluşturdu¼ gu kümenin iki boyutlu reel vektör uzay¬oldu¼ gunu gösteriniz. Çözüm: Al¬ş¬lm¬ş toplama ve çarpma işlemleri alt¬nda C’nin reel bir vektör uzay¬oldu¼ gunu biliyoruz. Şimdi C’nin boyutunu belirleyelim. Bunun için M = f1; ig kümesini göz önüne alal¬m. 1+ i = 0 oldu¼ gunda = = 0 olaca¼ g¬ndan M kümesi lineer ba¼ g¬ms¬zd¬r. Şimdi key… z 2 C alal¬m. O halde x; y 2 R olmak üzere z = x + iy şeklinde ifade edilir. Bu ise span M = C oldu¼ gunu gösterir. s(M ) = 2 oldu¼ gunan boy C = 2 olur. Yani C uzay¬R cismi üzerinde iki boyutlu bir vektör uzay¬d¬r. Soru 6.3 n boyutlu bir vektör uzay¬nda, herhengi bir eleman¬n e1 ; e2 ; :::; en baz vektörlerinin lineer kombinasyonu olarak tek türlü ifade edildi¼ gini gösteriniz. n n X X Çözüm: Kabul edelim ki bir x vektörü için x = e = j j j ej j=1 ve baz¬ j’ler için n X ( j j )ej = j 6= j olsun. O halde n X j=1 j ej = n X j=1 j ej oldu¼ gundan j=1 elde edilir. Di¼ ger yandan e1 ; e2 ; :::; en vektörleri lineer ba¼ g¬m- j=1 s¬z oldu¼ gundan her j için j j = 0 olup j = j gerçeklenir. Bu ise çelişkidir. Soru 6.4 Her j = 1; 2; :::; n için xj (t) = tj olmak üzere fx1 ; x2 ; :::; xn g kümesinin C[a; b] uzay¬nda lineer ba¼ g¬ms¬z bir küme oldu¼ gunu gösteriniz. 13 Çözüm: Kabul edelim ki 0 @ n X j xj j=1 n dn X dtn j=1 yazarsak n X j xj = olsun. O halde her t 2 [a; b] için j=1 1 A (t) = 0 olur yani j j t = n! n n X j xj (t) = j=1 n X j jt = 0 gerçeklenir. Buradan j=1 = 0 elde edilir. Yani n = 0 olur. Şimdi n+ n X1 jt j =0 j=1 n X1 j jt = 0 olur. Yine türev al¬narak n 1 = 0 gerçeklenir. Bu j=1 şekilde devam edilerek n = n 1 = ::: = lineer ba¼ g¬ms¬z oldu¼ gunu gösterir. 1 = 0 bulunur ki bu da sistemin Soru 6.5 Y bir X vektör uzay¬n¬n bir alt uzay¬ olsun. Bir x 2 X eleman¬n¬n Y ’ye göre eş kümesi x + Y ile gösterilir ve x + Y := fx + y : y 2 Y g ile tan¬mlan¬r. Farkl¬eş kümeler X uzay¬n¬n bir parçalanmas¬n¬oluşturur. (w + Y ) + (x + Y ) = (x + Y ) = (w + x) + Y x+Y işlemleri alt¬nda bütün eş kümlerin s¬n¬f¬bir vektör uzay meydana getirir. Bu vektör uzay¬na X’in Y ’ye göre bölüm uzay¬ ad¬ verilir ve X=Y ile gösterilir. Buna göre X = R3 ; Y = f(y; 0; 0) : y 2 Rg olmak üzere X=Y bölüm uzay¬n¬ bulunuz. Çözüm: Tan¬m¬ gere¼ gi R3 =Y = x + Y : x 2 R3 oldu¼ gundan öncelikle 3 x 2 R olmak üzere x + Y kümelerini belirleyelim. Her x = (x1 ; x2 ; x3 ) 2 R3 için x+Y = = = fx + y : y 2 Y g f(x1 ; x2 ; x3 ) + (y; 0; 0) : y 2 Rg f(x1 + y; x2 ; x3 ) : y 2 Rg elde edilir. O halde R3 =Y = ff(x1 + y; x2 ; x3 ) : y 2 Rg : x1 ; x2 ; x3 2 Rg s¬n¬f¬elde edilir. 14