ÜN‹TE II - Abdullah Sivari

GEOMETR‹ 4
ÜN‹TE II
GEOMETR‹K YERLER
1. GEOMETR‹K YERLER
2. GEOMETR‹K YER TEOREMLER‹
3. GEOMETR‹N‹N TEMEL Ç‹Z‹MLER‹
4. ÜÇGEN Ç‹Z‹MLER‹
GEOMETR‹ 4
☞
BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI
☞
Bu bölümü çal›flt›¤›n›zda;
* Geometrik yerin ne oldu¤unu kavrayacak,
* Geometrinin temel çizimlerini yapabilecek,
* Üçgen çizimlerin nas›l yap›laca¤›n› ö¤reneceksiniz.
✍
NASIL ÇALIfiMALIYIZ ?
De¤erli ö¤renciler,
Bu bölümü çal›flmadan önce Geometri kitab›n›zdan;
* Üçgende aç› ve kenar iliflkileri
* Üçgenin di¤er özelliklerini tekrarlay›n›z.
* Verilen tan›mlar› iyi anlay›n›z.
* Verilen teoremleri ö¤rendikten sonra kendinize göre bir ispat yolu bulmaya
çal›fl›n›z.
* Verilen teoremlerin güncel hayattaki uygulamalar›n› bulmaya çal›fl›n›z.
62
✍
GEOMETR‹ 4
1. GEOMETR‹KYERLER
Yandaki flekil bir yoldaki trafik
iflaretlerini göstermektedir. Kesikli
çizgilerin ortak yan›, yolun iki kenar›na
da eflit uzakl›kta olmas›d›r.
Her gün bindi¤imiz, belki fazla dikkat etmedi¤imiz bir otomobil tekerle¤ini
düflünelim. Tekerle¤in çevresi, merkezinden eflit uzakl›ktad›r.
Çevremizdeki eflyaya, flekillere dikkatle bakacak olursak, flekillere ait bir
ortak yan bulabiliriz. Bu ortak yana geometrik yer diyoruz. Geometrikyer günlük
hayatta uygulamas› en fazla olan konulardan biridir. fiimdi geometrikyeri tan›mlayal›m.
❂
Verilen bir koflulu sa¤layan bütün noktalar›n kümesine bu noktalar›n
geometrik yeri denir.
a) Bir koflulu sa¤layan bütün noktalar geometrikyere aittir.
b) Geometrikyere ait olan bütün noktalar verilen koflulu sa¤lar.
Örnek : Bir yol boyunca hareket eden bir tekerle¤in merkezinin geometrik yeri
nedir?
Çözüm : fiekilde oldu¤u gibi birkaç çember çizip merkezlerini bir do¤ru ile
birlefltirelim. Dikkat ederseniz, çizdi¤imiz do¤ru yere paralel bir do¤rudur.
63
GEOMETR‹ 4
2. GEOMETR‹K YER TEOREMLER‹
Teorem : Düzlemde sabit bir M noktas›ndan r birim uzakl›kta bulunan bütün
noktalar›n geometrikyeri M merkezli r yar›çapl› çemberdir.
Çemberin üzerindeki A, B, E noktalar›
geometrik yere aittir. C ve D noktalar›
geometrik yere ait de¤ildir.
Teorem : Düzlemde verilen bir do¤rudan eflit uzakl›kta bulunan noktalar›n
geometrik yeri, bu do¤runun farkl› taraf›nda bulunan birbirine paralel olan iki
do¤rudur.
A ve N noktalar› istenen koflulu
sa¤layan noktalard›r. |AH| = |MN| d›r.
Oysa B ve C noktalar› istenen koflulu
sa¤lamaz.
Teorem : Verilen iki paralel do¤rudan eflit uzakl›kta bulunan noktalar›n geometrik
yeri, do¤rular›n aras›nda ve do¤rulara paralel olan bir do¤rudur.
64
GEOMETR‹ 4
Teorem : Bir aç›n›n kollar›na eflit uzakl›kta bulunan noktalar›n geometrikyeri bu
aç›n›n aç›ortay›d›r.
C noktas› A ve B noktalar›ndan
eflit uzakl›ktad›r. OC do¤rusu üzerinde
alaca¤›m›z her nokta, AOB aç›s›n›n
kollar›na eflit uzakl›kta olacakt›r.
Yandaki flekli inceleyiniz.
Teorem : Hipotenüs uzunlu¤u sabit olan bir dik üçgenin, dik aç›s›na ait köflelerinin
geometrikyeri, bu dik üçgenin hipotenüsünü çap kabul eden bir çemberdir.
fiekli inceleyiniz.
ACB ve AC'B aç›lar›n›n çap› gören
çevre aç›lar oldu¤unu görünüz.
Teorem : Düzlemde bir do¤ru parças›n›n uç noktalar›ndan eflit uzakl›kta bulunan
noktalar›n geometrikyeri bu do¤ru parças›n›n orta dikmesidir.
C, D ve E noktalar› A ve
B noktalar›ndan eflit uzakl›ktad›r.
(ikizkenar üçgende tabana ait
yükseklik hem kenarortay, hem
de aç›ortayd›r.) F noktas› verilen
koflulu sa¤lamaz.
65
GEOMETR‹ 4
Sonuçlar
1. Düzlemde kesiflen iki do¤ruya,
eflit uzakl›kta bulunan noktalar›n
geometrikyeri bu iki do¤runun
oluflturdu¤u aç›lar›n aç›ortaylar›d›r.
2. Düzlemde kesiflen iki do¤ruya
te¤et olan çemberlerin merkezlerinin
geometrikyeri bu do¤rular›n
oluflturdu¤u aç›lar›n aç›ortaylar›d›r.
3. Düzlemde verilen bir do¤ruya
te¤et, yar›çaplar› eflit çemberlerin
merkezlerinin geometrikyeri,
verilen do¤ruya yar›çap kadar
uzakl›kta çizilen bir çift do¤rudur.
4. Düzlemde paralel iki do¤ruya
te¤et olan çemberlerin merkezlerinin
geometrikyeri, bu do¤rulara eflit
uzakl›kta bulunan bir paralel do¤rudur.
66
GEOMETR‹ 4
5. Düzlemde bir do¤ruya üzerindeki
bir noktada te¤et olan çemberlerin
merkezlerinin geometrikyeri, bu
noktadan do¤ruya çizilen bir dik
do¤rudur.
Örnek : Uzunlu¤u 6 cm olan AB do¤ru parças›n› 50° alt›nda gören noktalar›n
geometrik yerini bulunuz.
Çözüm : [AB] do¤ru parças› ile
50° aç› yapan [AT ›fl›n›n› çizelim.
AB do¤ru parças›n›n orta dikmesi
[AT ›fl›n›na A noktas›nda dik olan
do¤runun kesiflti¤i M noktas›
merkez olmak üzere |MA| yar›çapl›
bir çember çizelim. Çemberin ANB
yay› üzerindeki her nokta A ve B ile
birlefltirilirse oluflan çember aç›lar›n
ölçüleri eflit ve 50° dir. (Çünkü bu aç›lar›n
hepsi ADB yay›n› görür. Bu yay›n
ölçüsü 2.50 = 100 dür.)
m(ACB) = m(BAT) = 1/2 m(ADB) = 50°
M noktas›n›n [AB] do¤ru parças›na göre simetri M' noktas› ikinci
geometrikyere ait yay›n merkezidir. Geometrikyere A ve B noktalar› dahil de¤ildir.
Örnek : Bir düzlemde kesiflen d ve m do¤rular› ile d ve m do¤rular›na ait olmayan
bir P noktas› verilsin. P noktas›na r birim uzakta, d ve m do¤rular›na eflit uzakl›kta
bulunan kaç nokta vard›r?
Çözüm : d ve m do¤rular›na eflit uzakl›kta olan noktalar›n geometrikyeri, bu
do¤rular›n oluflturdu¤u aç›lar›n, aç›ortaylar› olan birbirine dik k ve t do¤rular›d›r.
67
GEOMETR‹ 4
P noktas›na r birim uzakl›ktaki
noktalar›n geometrik yeri, P merkezli
r yar›çapl› çemberdir.Çemberle bir
do¤runun en fazla iki kesim
noktas› olaca¤›ndan P merkezli r
yar›çapl› çemberi, k ve t do¤rular› en
fazla dört noktada keser. Öyleyse
verilen özellikleri sa¤layan dört
nokta vard›r. A,B,C ve D noktalar›,
istenen noktalard›r.
ÜÇGEN Ç‹Z‹MLER‹
3. GEOMETR‹N‹N TEMEL Ç‹Z‹MLER
Bir do¤ru çizmek için cetvel kullan›r›z. Yar›çap› bilinen bir çemberi çizmek
için de bir pergele ihtiyaç duyar›z. Gerçekten cetvel iki noktas› belli olan do¤ruyu
çizmeye yarar. Yine belli bir merkezden yar›çap kadar uzakl›kta bulunan çemberi
çizmek için pergel kullan›r›z. Bir do¤ru parças›na efl bir do¤ru parças› çizmek
istiyorsak yine pergelden faydalan›r›z.
Bir flekli çizmek demek, flekle ait birkaç elemanlar›n›n yard›m› ile o flekli k⤛t
üzerine kondurmak demektir. fiimdi geometrinin baz› temel çizimlerini inceleyelim.
1. Bir AB do¤ru parças›n›n orta noktas›n› bulma
verilen
çizim
Pergel AB do¤ru parças›n›n yar› uzunlu¤undan fazla aç›l›r. A ve B merkezli
yay çizilir. Bu yaylar birbirlerini M ve N noktalar›nda kesmifl olsunlar. M ve N
noktalar›n› bir do¤ru ile birlefltirelim. MN do¤rusunun AB do¤ru parças›n› kesti¤i
O noktas›, istenen orta noktad›r.
68
GEOMETR‹ 4
2. Bir d do¤rusuna üzerindeki bir noktadan dikme çizme
verilen
çizim
O noktas›n›n her iki taraf›nda |OB| = |OC| olacak flekilde B ve C noktalar›
iflaretlenir.
B ve C merkezli ayn› yar›çapl› iki yay çizilir. Bu yaylar A noktas›nda kesiflmifl
olsunlar. A ile O noktas›n› bir do¤ru ile birlefltirelim. Çizdi¤imiz bu do¤ru d
do¤rusuna diktir.
3. Bir d do¤rusuna, d›fl›ndaki bir noktadan dikme çizme
verilen
çizim
d do¤rusunu A merkezli bir yay ile B ve D noktalar›nda keselim. B ve D
merkezli ve ayn› yar›çapl› iki yay çizelim. Bu yaylar C noktas›nda kesiflmifl olsunlar. A ile C noktas›n› birlefltirelim. AC do¤rusu d do¤rusuna dik olur.
4. Verilen bir KOL aç›s›n›n aç›ortay›n› çizme
verilen
çizim
69
GEOMETR‹ 4
Pergelimizi O noktas›na koyup, AB yay›n› çizelim. A ve B merkezli, ayn›
yar›çapl› yaylar M noktas›nda birbirini kesmifl olsunlar. O ile M noktas›n› bir do¤ru
ile birlefltirirsek, bu do¤ru, KOL aç›s›n›n aç›ortay do¤rusu olur.
5. Verilen bir d do¤rusuna, d›fl›ndaki bir noktadan paralel çizme
verilen
çizim
A merkezli yay ile d do¤rusunu B ve C noktalar›nda keselim. ABC
ikizkenar üçgeni meydana gelir. A aç›s›n›n d›fl aç›ortay› d do¤rusuna paralel olur.
4. ÜÇGEN Ç‹Z‹MLER‹
TEMEL ELEMANLARI VER‹LEN ÜÇGEN‹N Ç‹Z‹M‹
1. ‹ki kenar›n›n uzunluklar› ve bu iki kenar›n belirtti¤i aç›n›n ölçüsü verilen
üçgenin çizimi (K.A.K çizimi)
Örnek
a = 5 cm, c = 3 cm ve m(B) = 60°
olan ABC üçgenini çizelim :
verilenler
70
GEOMETR‹ 4
Çizim
Önce bir taslak çizelim. Taslak üçgene bakarak;
1. a = 5 cm olacak biçimde [BC] kenar› çizilir.
2. Bir kenar› [BC] olacak flekilde m(B) = 60° olacak [BA çizilir.
3. c = 3 cm olacak flekilde [BA] çizilir.
4. A ile C birlefltirilerek üçgen tamamlan›r.
2. Bir kenar›n›n uzunlu¤u ve köfleleri, bu kenar›n uç noktalar› olan iki aç›s›n›n
ölçüleri verilen üçgenin çizimi (A.K.A. Çizimi)
Örnek
a = 5 cm, m(B) = 60° ve m(C) = 40°
olan ABC üçgenini çizelim:
verilenler
Çizim
71
GEOMETR‹ 4
1. a = 5 cm olacak flekilde [BC] çizilir.
2. m (B) = 60° olacak flekilde B aç›s› ve m(C) = 40° olacak flekilde C aç›s› çizilir.
3. Çizdi¤imiz aç›lar›n kollar› A noktas›nda kesiflmifl olsunlar. A ile B ve C
noktalar› birlefltirilerek ABC üçgeni tamamlan›r.
3. Üç kenar›n›n uzunlu¤u verilen üçgenin çizimi (K.K.K. çizimi)
Örnek
a = 5 cm, b = 3 cm ve
c = 4 cm olan ABC üçgenini çizelim :
verilenler
Çizim
1. a = 5 cm olacak flekilde [BC] çizilir.
2. A noktas›, B noktas›ndan c = 4 cm, C noktas›ndan b = 3 cm uzakl›kta oldu¤undan
(B,4) çember yay› ve (C,3) çember yaylar› çizilir. Bu iki yay A noktas›nda kesiflir;
3. A noktas› ile B ve C noktalar› birlefltirilerek üçgen tamamlan›r.
➠
Bir üçgende iki kenar›n uzunluklar› toplam› üçüncü kenar uzunlu¤undan büyük, fark›, üçüncü kenar
uzunlu¤undan daima küçüktür. Verilen de¤erler bu koflulu sa¤lamal›d›r. Aksi hâlde üçgen çizilmez.
YARDIMCI ELEMANLARI VER‹LEN ÜÇGEN‹N Ç‹Z‹M‹
Üçgenin kenarortay, aç›ortay ve yükseklik gibi yard›mc› elemanlar› vard›r.
fiimdi bu yard›mc› elemanlar›n baz›lar› ile bir üçgenin nas›l çizildi¤ini görelim.
72
GEOMETR‹ 4
Örnek
a = 5 cm, ha = 4 cm ve m(B) = 60°
olan ABC üçgenini çizelim :
verilenler
Çizim
a = 5 cm olacak flekilde [BC] çizilir. m(B) = 60° lik aç› çizilir. A noktas› BC
do¤rusuna ha = 4 cm uzakl›kta KL do¤rusu üzerindedir. (KL//BC) A noktas› ile
C noktas› birlefltirilerek üçgen tamamlan›r.
Örnek
a = 5 cm, ha = 2 cm ve Va = 3 cm olan ABC üçgenini çizelim :
Çizim
Taslak üçgeni dikkatle inceleyelim.
A köflesinin [BC] kenar›na uzakl›¤›
2 cm, [BC] kenar›n›n D orta noktas›na
uzakl›¤› 3 cm dir. Bu nedenle A köflesi
BC do¤rusuna uzakl›¤› 2 cm olan
noktalar›n geometrik yeri ile [BC] nin
orta noktas›na 3 cm uzakl›kta bulunan
noktalar›n geometrik yerinin kesim
noktas› olarak bulunur.
73
GEOMETR‹ 4
1. a = 5 cm olmak üzere [BC] çizilir.
[BC] nin orta noktas› D bulunur.
2. BC do¤rusuna 2 cm uzakl›kta bulunan
noktalar›n geometrikyeri olan do¤rulardan
biri olan d do¤rusu çizilir.
3. Merkezi D, yar›çap› Va = 3 cm olan
çember yay› çizilir. Bu çember yay› ile
d do¤rusunun kesim noktalar› A1 ve A2
noktalar›d›r. A1 ve A2 noktalar› B ve C
noktalar› ile birlefltirilerek istenen A1BC
ve A2 BC üçgenleri çizilmifl olur.
Örnek :
m(A)= 70°, m(C) = 30° ve b-c = 2 cm
olan ABC üçgenini çizelim.
Çizim
Taslak üçgeni dikkatle inceleyelim :
|AK| = c ise |KC| = b - c = 2 cm olur.
ABK ikizkenar üçgeninde m(A) = 70o
oldu¤undan m(K1) = 55o olur.
Buna göre
m(K2) = 125o tir.
BKC üçgeni A.K.A çizimine göre çizilir.
[BK] n›n orta dikmesinin CK do¤rusu ile
kesim noktas› A olur. A ile B noktas›
birlefltirilerek üçgen tamamlan›r.
74
GEOMETR‹ 4
ÖZET
1. Verilen bir koflulu sa¤layan bütün noktalar›n kümesine bu noktalar›n geometrik
yeri denir.
2. Düzlemde sabit bir M noktas›ndan r birim uzakl›kta bulunan bütün noktalar›n
geometrik yeri M merkezli r yar›çapl› çemberdir.
3. Düzlemde verilen bir do¤rudan eflit uzakl›kta bulunan noktalar›n geometrik yeri,
bu do¤runun farkl› taraf›nda bulunan, birbirine paralel olan iki do¤rudur.
4. Verilen iki paralel do¤rudan eflit uzakl›kta bulunan noktalar›n geometrik yeri,
do¤rular›n aras›nda ve do¤rulara paralel olan bir do¤rudur.
5. Bir aç›n›n kollar›na eflit uzakl›kta bulunan noktalar›n geometrik yeri bu aç›n›n
aç›ortay›d›r.
6. Hipotenüs uzunlu¤u sabit olan bir dik üçgenin, dik aç›s›na ait köflelerinin
geometrik yeri, bu dik üçgenin hipotenüsünü çap kabul eden bir çemberdir.
7.
Düzlemde bir do¤ru parças›n›n uç noktalar›ndan eflit uzakl›kta bulunan
noktalar›n geometrik yeri bu do¤ru parças›n›n orta dikmesidir.
8. Bir üçgende iki kenar›n uzunluklar› toplam› üçüncü kenar uzunlu¤undan büyük,
fark›, üçüncü kenar uzunlu¤undan daima küçüktür.
75
GEOMETR‹ 4
✎
TEST II
1. Kesiflen m ve n do¤rular›n›n belirtti¤i düzlemde, m’ den 1 cm, n’den 2 cm
uzakta en çok kaç nokta vard›r?
A) 1
C) 3
B) 2
D) 4
2. (O,r) çemberine göre ayn› kuvvette bulunan noktalar›n geometrik yeri nedir?
A) Çemberin çap›d›r
C) O merkezli bir çemberdir
B) O dan geçen bir do¤rudur
D) O merkezli çembere d›fltan te¤et bir çemberdir.
3. (O,4) çemberini 60° lik aç› alt›nda gören P noktas›n›n geometrik yeri nedir?
A) Merkezi O, yar›çap› 8 birim olan çemberdir.
B) Merkezi O, yar›çap› 4 3 olan çemberdir.
C) Merkezi O, yar›çap› 16 birim olan çemberdir.
D) Merkezi O, yar›çap› 8 3 birim olan çemberdir.
4. Düzlemde (O,2) çemberi ile O noktas›ndan geçen d do¤rusu veriliyor. d do¤rusuna
te¤et ve (O,2) çemberine d›fltan te¤et olan 1 birim yar›çapl› en çok kaç çember çizilir?
A) 2
C) 4
B) 3
D) 5
5. Ölçüsü 80° olan AOB aç›s›n›n kollar›na eflit uzakl›kta bulunan noktalar›n
geometrik yeri nedir?
A) Merkezi O ve AOB aç›s›n›n kolar›na te¤et olan çemberdir.
B) AOB aç›s›n›n aç›ortay do¤rusudur.
C) AB do¤rusu paralel bir do¤rudur.
D) O dan geçen ve AB do¤rusuna paralel bir do¤rudur.
6. Afla¤›daki kenar uzunluklar› verilen üçgenlerden hangisi çizilmez?
A) a = 4 cm, b = 4 cm ve c = 4 cm
B) a = 4 cm, b = 2 cm ve c = 3 cm
C) a = 6 cm, b = 4 cm ve c = 2 cm
D) a = 6 cm, b = 4 cm ve c = 3 cm
76