9. Ondas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA
(Creado por ley N° 25265)
FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS – CIVIL -AMBIENTAL
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS
“Año de la recuperación y consolidación de la economía peruana”
TEMA: INTERFERENCIA DE ONDAS
INTEGRANTES
 RAMOS CUICAPUZA, Alex Kevin
 GONZALES FERNANDEZ, Estefany Thalia
 QUISPE SALAZAR, Rodolfo
 TAIPE QUISPE, Fernando José
 QUINTO PIÑARES, Cristiam
DOCENTE: Mg. Gilberto, RAMIREZ QUISPE
2
Interferencia de ondas
Cuando dos o más ondas de la misma frecuencia se
encuentran en un mismo punto del espacio se
superponen formando una nueva onda, la amplitud
de la cual depende de la amplitud que tuvieran las
ondas originales y, sobre todo, de la diferencia de
fase entre ambas (Principio de superposición).
En la superposición de ondas, la onda resultante es
la suma vectorial de las ondas individuales.
Interferencia de ondas
3
Las ondas pueden ser:
Ondas en fase
Ondas en desfase de 45º
Ondas de diferente frecuencia
Ondas en desfase de
180º
4
Para observar interferencia en ondas de dos fuentes, debe cumplir, que
Las fuentes deben ser coherentes:
Deben mantener una fase constante respecto de otra.
•
Las fuentes deben ser de una sola longitud de onda.
•
Consideremos dos ondas :
푦1 = 퐴푠푒푛 푘푥1 −
휔푡
푦
휔
2 = 퐴푠푒푛 (푘푥2 −
푡)
La onda resultante será:
푦 = 푦1 + 푦2
푦 = 퐴푠푒푛 푘푥1 − 휔푡 + 퐴푠푒푛 (푘푥
2
− = 퐴(푠푒푛
휔푡) 푘푥1 − 휔푡 + 푠푒푛 2푘푥 −
푦
휔푡 )
푘푥1 − 휔푡 + 2푘푥
푘푥1 −
푦 = 2퐴푠푒푛 − 휔푡
cos + 휔푡
2
풙ퟏ
풙ퟐ
휔푡 − 2 푘푥
2
풚ퟏ 풚ퟐ
푘(푥1 −
푦 = 2Acos )
2
2푥
5
푘(푥1 +푥2 )
푠푒푛
−
2
휔푡
Es una onda con amplitud:
푘(푥1 − 2 푥
′
퐴 = 2Acos
)
2
Si A’=0 se dice hay interferencia destructiva,
cuando
풙ퟏ
푘(푥1 − 2 푥
푐표푠 )
=0
풙ퟐ
2
푘(푥1 − 2 푥
휋
= (2푛 −
)
2
2
1)
2휋 (푥1 − 2 푥
휋
= (2푛 −
)λ
2
2
1)
λ
푥1 − 2 푥 = (2푛
푛: 1,2,3
2
− 1)
…
.
풚ퟏ
흀
ퟐ
풚ퟐ
6
Si A’=2A se dice hay interferencia constructiva,
cuando
푘(푥1 − 2 푥
푐표푠 )
=1
풙ퟏ
2
풙ퟐ
푘(푥1 − 2 푥 )
= 푛휋
2
2휋 (푥1 − 2 푥 )
= 푛휋
λ
2
푥1 − 2 푥
…
.
= 푛λ
푛: 0,1,2,3
풚ퟏ
흀
풚ퟐ
7
8
Ondas estacionarias en una cuerda
Consideremos la onda incidente y reflejada son:
푦1 = 퐴푠푒푛 푘푥 − 휔푡
푦2 = 퐴푠푒푛 (푘푥 + 휔푡)
La onda resultante será:
푦 = 푦1 + 푦2
푦 = 퐴푠푒푛 푘푥 − 휔푡 + 퐴푠푒푛 (푘푥 + 휔푡)
푘푥 + 휔푡 + 푘푥 −
푘푥 + 휔푡 −
푦 = 2퐴푠푒푛 휔푡
cos 휔푡
2
2
푘푥 +
푦 = 2Asen 푘푥 푐표푠 휔푡
Es
una onda con amplitud:
′
퐴 = 2Asen 푘푥
Interferencia
destructiva,
cuando
sen 푘푥 = 0
푘푥 = 푛휋
2휋
푥 = 푛휋
λ
λ
푥=푛
푛: 0, 1,2,3
2
…
.
https://phet.colorado.edu/sims/html/wave-on-astring/latest/wave-on-a-string_es_PE.html
Interferencia constructiva,
cuando
푠푒푛 푘푥 = 1
2휋
휋
푥 = (2푛 + 1)
λ
2
λ
푥 = (2푛 + 1)
푛: 0,1,2,3
4
…
.
Antinodo
Nodo
Ondas estacionarias en una cuerda fija entre sus extremos
Consideramos una cuerda fija entre sus
extremos de longitud L. Para determinadas
frecuencias se establece un patrón de
ondas estacionarias, en esta condición el
sistema oscilador (cuerda) entra en
resonancia con el agente vibrador.
Primer armónico:
L = λ1
푓1 = 푉
2
2퐿
Segundo armónico:
2λ2
2푉
L=
푓2 =
2
2퐿
Tercer armónico:
3λ3
3푉
L=
푓3 =
2
2퐿
Cuarto armónico:
4λ4
4푉
L=
푓4 =
2
2퐿
푛푉
2퐿
푓푛 = 푛푓1
n=1,2,…
푓푛 =
Ondas estacionarias en una cuerda libre en un extremos
Si la cuerda está libre en un
extremo. Los patrones de
resonancia serán:
Primer armónico:
푉
L = λ1
푓1 =
4
4퐿
Tercer armónico:
3λ
3푉
L=
푓3 =
4
4퐿
Quinto armónico:
5λ
5푉
L=
푓5 =
4
4퐿
Enésimo armónico:
(2푛− 1)
푓 =푉
푓푛 = 2푛 −
4퐿
푛
1,3,5. .
11 푓 푛:
Modos normales
Ejercicio 1
Una cuerda de densidad lineal 40 gr/m se encuentra
sometida a una tensión de 5N. En ella se engendra una
onda sinusoidal mediante un oscilador armónico que
actúa en el origen con una frecuencia de 12Hz y una
amplitud de 4cm. Determina la ecuación de la onda en
función de x y t sabiendo que en t=0 el oscilador se
encuentra en la posición de amplitud máxima.
Solución:
La velocidad de la onda
푇
푉=
휇
푉=
5푁
= 11.2푚/푠
0.04푘푔/푚
푉 = λ푓
11.2 = λ12
λ = 0.93푚
La ecuación de la onda en la cuerda es:
푦 푥, 푡 = 퐴 푐표푠 푘 푥 −
푉푡2휋 푥 − 11.2푡 푐
y = 4푐표푠
0.93
y = 4푐표푠2.15휋푚푥 − 11.2푡 푐
푚
Ejercicio 2
Determina la potencia que debemos suministrar a una cuerda
sometida a una tensión constante de 50 N para que las ondas
armónicas generadas sean de una amplitud de 15 cm y su
frecuencia 40 Hz, sabiendo que su densidad lineal es de 200
g/m.
Solución:
La velocidad de la onda
푉=
푇
휇
La potencia en una cuerda es:
1
푃 = 푣휇휔2 퐴2
2
푉=
50푁
= 15.8푚/푠
0.2푘푔/푚
1
푃 = (15.8)(0.2)251.32 (0.15)2
2
2휋푓 = 휔
휔 = 251.3푟푎푑/푠
푃 = 2245.5푊
Ejercicio 3
Determina la frecuencia, la amplitud, la longitud de
onda y la expresión y´(x,t) de las ondas que han
generado por superposición en una cuerda una onda
estacionaria cuya expresión, en unidades del
Sistema Internacional, es:
y=0.4sin(8πx)cos(30πt) m
Solución:
La onda estacionaria es:
푦 = 2Asen 푘푥 푐표푠 휔푡
푦 = 0.4sen 8휋푥 푐표푠 30휋푡
Donde:
퐴 = 0.2 m
푘 = 8휋
2휋
= 8휋
λ = 0.25푚
λ
휔 = 30휋
2휋푓 = 30휋
푓 = 15 퐻푧
La ecuación de la onda en la cuerda es:
푦′ 푥, 푡 = 퐴 푠푒푛 푘푥 − 휔푡
y = 0.2푠푒푛 8휋푥 − 30휋푡 푚
Ejercicio 4
En una cuerda se propaga de derecha a
izquierda
una
onda
de
ecuación y=3cos(2πt+3πx)cm. Al llegar al
extremo, la onda se refleja. Calcula la ecuación
de la onda estacionaria que se generará si: No
se produce inversión de fase en la reflexión.
Hay una inversión en el sentido de vibración.
Cuál debe la longitud de la cuerda para que se
genere resonancia con el quinto armónico.
Solución:
La onda incidente y reflejada son:
푦1 = 3푐표푠 2π푥 + 3π푡
푦2 = 3푐표푠 (2π푥 − 3π
푡)
La onda resultante será:
푦 = 푦1 + 푦2
푦 = 3푐표푠 2π푥 + 3π푡 + 3푐표푠 2π푥 + 3π푡
푦 = 6푐표푠 2π푥 cos (3π푡)
De la ecuación de onda:
푘 = 2휋
2휋
= 2휋
λ = 1푚
λ
휔 = 3휋
2휋푓 = 3휋
푓 = 1.5 퐻푧
푉 = λf
푉 = 1 1.5 = 1.5푚/푠
Quinto armónico:
푓5 =
1.5
1.5 =
2(퐿)
퐿 = 0.5 푚
5푉
2퐿
Ejercicio 5
Una cuerda de 12 m se encuentra fija por sus dos
extremos. Cuando se la excita con una perturbación
transversal de 30 Hz de frecuencia, se forma una onda
estacionaria con 3 vientres. Determina la velocidad de
propagación de la ondas en la cuerda, así como otras
frecuencias inferiores que origine igualmente otras ondas
estacionarias.
Solución:
La longitud de onda es:
λ = 8푚
La velocidad de la onda:
푉 = λ푓
푉 = 8푚 30퐻푧 = 240푚/푠
Corresponde al tercer armónico.
Por lo que las frecuencias menores donde se
formará otros patrones estacionarios es el
segundo y primer armónico.
12m
Primer armónico:
푓1 =
푉
2퐿
240
= 10퐻푧
2(12)
Segundo armónico:
2푉
푓2 =
2퐿
2(240)
= 20퐻푧
푓2 =
2(12)
푓1 =
Ejercicio 6
En una cuerda tensa dispuesta horizontalmente uno de sus
extremos está fijado en la pared mientras que el otro pasa por
una polea y tiene colgada una masa m. Mediante un oscilador se
generan ondas estacionarias en la cuerda. ¿Qué masa m′ se ha
de añadir a la masa m inicial si queremos que la frecuencia del
sexto armónico con m y m′, sea igual a la frecuencia del séptimo
armónico cuando sólo teníamos m?
Solución:
Séptimo armónico para m:
7푉
푓7 =
2퐿
con
푉=
6 푚푔 + 푚´푔
7 푚푔
=
휇
2퐿 휇
2퐿
푚푔
휇
Sexto armónico para m+m´:
6푉´
푓6 =
2퐿
Luego
f =f
6
7
con
푉´ =
푚푔+푚′ 푔
휇
De donde:
49푚푔 = 36 푚푔 + 푚´푔
13푚
푚´ =
36
Ejercicio 7
Dos altavoces se encuentran separados del
micrófono de una grabadora, que se sitúa en
su intermedio, a 2.459 m y 1.3 m
respectivamente. Suponiendo que ambos
altavoces emiten el mismo sonido, una nota la
(440 Hz), ¿captará algún sonido el micrófono?
Ten presente que la velocidad del sonido en
el aire es de 340 m/s.
Solución:
La longitud de onda es:
푉 = λ푓
340푚/푠 = λ 440퐻푧
λ = 0.7727푚
Número de longitudes de onda de d1.
푑1
2.459푚
푁1 =
=
= 3.182
λ
0.7727푚
d1=2.459m
d2=1.3m
흀
ퟐ
Número de longitudes de onda de d2.
푑2
1.3푚
푁2 =
=
= 1.682
λ
0.7727푚
Hay una diferencia de caminos de
media longitud de onda, por tanto
hay interferencia destructiva.