Esfuerzos y deformaciones axiales y transversales - Mecánica de Materiales

Esfuerzos y deformaciones axiales y transversales
Resumen ejecutivo
La unidad de esfuerzos y deformaciones axiales y transversales constituye la base de
la Mecánica de Materiales: conecta una carga exterior 𝑃 con las fuerzas internas del
elemento, el esfuerzo normal 𝜎, la deformación longitudinal 𝜀𝐿 , el cambio dimensional
Δ𝐿 y la deformación transversal producida por el efecto de Poisson. Este
encadenamiento es precisamente el que aparece en programas universitarios de
Resistencia de Materiales: concepto de tensión, esfuerzo axial, cuerpo elástico, ley de
Hooke, barra prismática bajo esfuerzo normal y contracción lateral mediante el coeficiente
de Poisson. [1]
Para una barra prismática, sometida a carga axial centrada y dentro del régimen lineal
elástico, las relaciones fundamentales son:
𝜎=
𝑃
𝐴
𝜀𝐿 =
Δ𝐿
𝐿
𝜎 = 𝐸𝜀𝐿
Δ𝐿 =
𝑃𝐿
𝐴𝐸
𝜀𝑡 = −𝜈𝜀𝐿
Δ𝑑 = 𝜀𝑡 𝑑
Estas ecuaciones no son seis fórmulas independientes. Forman una única cadena física:
La interpretación esencial es la siguiente: 𝑃 representa cuánta fuerza actúa; 𝜎 representa
con qué intensidad se distribuye esa fuerza sobre el área; 𝜀 representa cuánto
cambia una dimensión respecto de su tamaño inicial; 𝐸 mide rigidez elástica
longitudinal; y 𝜈 cuantifica el acoplamiento entre deformación longitudinal y transversal.
La norma ISO 6892-1 establece el ensayo de tracción de materiales metálicos a
temperatura ambiente y la determinación de sus propiedades mecánicas; en España, el
Código Estructural incluye explícitamente entre las características mecánicas de los
aceros el diagrama tensión-deformación, resistencia a tracción, límite elástico,
deformaciones, módulo de elasticidad y tenacidad de fractura. [2]
La fórmula
Δ𝐿 =
𝑃𝐿
𝐴𝐸
es válida en su forma simple únicamente cuando 𝑃, 𝐴 y 𝐸 permanecen constantes a lo
largo del tramo considerado. La expresión realmente general es:
𝐿
𝑁(𝑥)
𝑑𝑥
0 𝐴(𝑥)𝐸(𝑥)
Δ𝐿 = ∫
y para una barra formada por varios tramos:
Δ𝐿 = ∑
𝑖
𝑁𝑖 𝐿𝑖
𝐴𝑖 𝐸𝑖
Esta distinción se vuelve decisiva en barras escalonadas y conjuntos de materiales
distintos. El estudio universitario actual de elementos cargados axialmente incluye
precisamente cambios de longitud en elementos uniformes y no uniformes. [3]
Finalmente, rigidez no significa resistencia. Un material con un 𝐸 elevado se deforma
poco elásticamente, pero esto no implica necesariamente que tenga un límite elástico o
una resistencia a fractura elevados. Asimismo, 𝜎 = 𝑃/𝐴 entrega el esfuerzo normal
promedio; cerca de orificios, cambios abruptos de sección, entallas o puntos de
introducción de carga puede existir una concentración local de esfuerzos mucho mayor. La
teoría elemental también deja de ser suficiente al entrar en plasticidad, fractura, grandes
deformaciones, comportamiento anisótropo o inestabilidad por pandeo. El propio
planteamiento universitario de Resistencia de Materiales separa la hipótesis de SaintVenant y la validez de las hipótesis de vigas de las fórmulas elementales. [1]
Fundamentos, definiciones y derivaciones matemáticas
Convención de nomenclatura. En distintos países hispanohablantes se usa “esfuerzo”
tanto para una resultante interna como para la tensión por unidad de área. Para evitar
ambigüedad en este informe utilizaremos 𝑃 para la carga axial exterior, 𝑁 para la fuerza
normal interna y 𝜎 para el esfuerzo o tensión normal. Esta separación coincide con la
distinción académica entre “esfuerzo axial” y “concepto de tensión” de los cursos de
Resistencia de Materiales. [1]
Una barra a tracción puede representarse esquemáticamente así:
← P
Estado inicial
|================|
<------ L ------>
sección A
P →
← P
Estado deformado
|==================|
<---- L + ΔL ---->
P →
aumenta la longitud y disminuyen
normalmente las dimensiones transversales
En tracción adoptaremos:
𝑃 > 0,
𝜎 > 0,
𝜀𝐿 > 0,
Δ𝐿 > 0
mientras que, para un material ordinario con 𝜈 > 0,
𝜀𝑡 < 0
porque la barra se adelgaza transversalmente. En compresión se invierten los signos
longitudinales y la pieza tiende a ensancharse transversalmente.
Derivación del esfuerzo normal 𝜎 = 𝑃/𝐴. Imaginemos que realizamos un corte
perpendicular al eje de una barra cargada. Sobre la superficie cortada aparecen fuerzas
internas distribuidas. Si 𝜎 representa la componente normal de esa distribución, la
resultante interna es:
𝑁 = ∫ 𝜎 𝑑𝐴
𝐴
Por equilibrio de una porción de la barra, cuando no existen otras cargas axiales entre el
extremo y el corte:
𝑁=𝑃
Si la distribución de esfuerzo puede considerarse uniforme:
𝜎 = constante
entonces:
𝑃 = ∫ 𝜎 𝑑𝐴
𝐴
𝑃 = 𝜎 ∫𝑑 𝐴
𝐴
y como
∫𝑑 𝐴 = 𝐴
𝐴
resulta:
𝑃 = 𝜎𝐴
por lo tanto,
𝑃
𝐴
𝜎=
Más rigurosamente, aun cuando el esfuerzo local no sea uniforme,
𝜎prom =
𝑃
𝐴
continúa siendo el esfuerzo normal promedio. La identificación de este promedio con el
esfuerzo en cada punto exige condiciones adicionales: carga axial centrada, suficiente
distancia de las zonas donde se introduce la carga y ausencia de discontinuidades
significativas. La importancia de Saint-Venant y de la validez de las hipótesis de la teoría
de barras se enseña expresamente junto con el concepto de tensión y el esfuerzo axial. [1]
La interpretación física es muy importante. Dos barras sometidas al mismo 𝑃 no
necesariamente trabajan igual. Si una posee la mitad del área:
𝐴1
2
𝐴2 =
entonces:
𝜎2 =
𝑃
𝑃
=2
= 2𝜎1
𝐴1 /2
𝐴1
Por tanto, reducir el área aumenta el esfuerzo, aunque la carga externa permanezca
exactamente igual.
Derivación de la deformación longitudinal 𝜀 = Δ𝐿/𝐿. Sea 𝑢(𝑥) el desplazamiento axial
de un punto de la barra. Para pequeñas deformaciones, la deformación normal local es:
𝜀𝑥 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Integrando entre los extremos:
𝐿
𝐿
𝑑𝑢
𝑑𝑥
0 𝑑𝑥
∫ 𝜀𝑥 𝑑𝑥 = ∫
0
𝐿
∫ 𝜀𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢(𝐿) − 𝑢(0)
0
pero:
𝑢(𝐿) − 𝑢(0) = Δ𝐿
Así:
𝐿
Δ𝐿 = ∫ 𝜀𝑥 𝑑𝑥
0
Si la deformación es uniforme:
𝜀𝑥 = 𝜀
entonces:
Δ𝐿 = 𝜀𝐿
de donde:
𝜀=
Δ𝐿
𝐿
La deformación es, por tanto, un cambio relativo de longitud, no una longitud. Una barra
que se alarga 1 mm no necesariamente está más deformada que otra que se alarga 0.5
mm: hay que comparar cada cambio con su longitud original.
Por ejemplo:
𝐿1 = 2000 𝑚𝑚,
Δ𝐿1 = 1 𝑚𝑚
produce:
𝜀1 =
1
= 0.0005
2000
mientras:
𝐿2 = 500 𝑚𝑚,
Δ𝐿2 = 0.5 𝑚𝑚
produce:
𝜀2 =
0.5
= 0.001
500
La segunda barra experimenta el doble de deformación unitaria aunque su alargamiento
absoluto sea menor.
Ley de Hooke uniaxial. En el intervalo lineal elástico, el esfuerzo y la deformación son
proporcionales:
𝜎 = 𝐸𝜀𝐿
Por definición, en esa región lineal:
𝐸=
𝜎
𝜀𝐿
o, diferencialmente, el módulo corresponde a la pendiente de la parte lineal del diagrama:
𝐸=
𝑑𝜎
𝑑𝜀
La ley de Hooke y el estudio experimental de las relaciones tensión-deformación forman
parte de los fundamentos experimentales de Resistencia de Materiales, y el módulo de
elasticidad es una de las características mecánicas empleadas normativamente para
caracterizar aceros. [4]
Un 𝐸 grande significa que hace falta un incremento relativamente grande de esfuerzo para
producir una deformación dada. Por ello, 𝐸 mide rigidez, no directamente resistencia a la
falla.
De Hooke:
𝜀𝐿 =
𝜎
𝐸
𝜎=
𝑃
𝐴
𝜀𝐿 =
𝑃
𝐴𝐸
𝜀𝐿 =
Δ𝐿
𝐿
y usando:
tenemos:
Como:
se obtiene:
Δ𝐿
𝑃
=
𝐿
𝐴𝐸
multiplicando por 𝐿:
Δ𝐿 =
𝑃𝐿
𝐴𝐸
Esta derivación muestra algo importante:
𝐴𝐸 = rigidez axial asociada a la sección
y:
𝐿
= flexibilidad axial del elemento
𝐴𝐸
A igualdad de carga, duplicar 𝐴 reduce a la mitad Δ𝐿; duplicar 𝐸 también la reduce a la
mitad; duplicar 𝐿 duplica el alargamiento.
La derivación más general parte de:
𝜀𝑥 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
y:
𝜀𝑥 =
𝜎𝑥
𝑁(𝑥)
=
𝐸
𝐴(𝑥)𝐸(𝑥)
por tanto:
𝑑𝑢
𝑁(𝑥)
=
𝑑𝑥 𝐴(𝑥)𝐸(𝑥)
e integrando:
𝐿
𝑁(𝑥)
𝑑𝑥
0 𝐴(𝑥)𝐸(𝑥)
Δ𝐿 = ∫
Para 𝑛 tramos donde 𝑁𝑖 , 𝐴𝑖 y 𝐸𝑖 sean constantes:
𝑛
Δ𝐿 = ∑
𝑖=1
𝑁𝑖 𝐿𝑖
𝐴𝑖 𝐸𝑖
Esta es la ecuación que debes usar en barras escalonadas, barras construidas por varios
materiales en serie, o elementos donde las cargas cambien a lo largo del eje.
Deformación transversal y coeficiente de Poisson. Si la dirección 𝑥 coincide con el eje
de la barra, denominaremos:
𝜀𝐿 = 𝜀𝑥
y a la deformación perpendicular:
𝜀𝑡
El coeficiente de Poisson se define mediante:
𝜈=−
𝜀𝑡
𝜀𝐿
por lo tanto:
𝜀𝑡 = −𝜈𝜀𝐿
La contracción lateral y el coeficiente de Poisson forman parte del tratamiento clásico de
tracción-compresión simple en Resistencia de Materiales. [1]
El signo menos no es decorativo. En tracción:
𝜀𝐿 > 0
y para un material común con 𝜈 > 0:
𝜀𝑡 = −𝜈𝜀𝐿 < 0
por lo que una dimensión transversal disminuye.
Si una barra circular tiene diámetro inicial 𝑑, por definición:
𝜀𝑡 =
𝑑𝑓 − 𝑑
𝑑
Si definimos:
Δ𝑑 = 𝑑𝑓 − 𝑑
entonces:
𝜀𝑡 =
Δ𝑑
𝑑
y:
Δ𝑑 = 𝜀𝑡 𝑑
Sustituyendo Poisson:
Δ𝑑 = −𝜈𝜀𝐿 𝑑
y, en el régimen lineal:
Δ𝑑 = −𝜈
𝜎
𝑑
𝐸
Para una sección rectangular, la misma idea puede aplicarse independientemente a cada
dimensión transversal. Si 𝑏 y ℎ son ancho y espesor:
Δ𝑏 = 𝜀𝑡 𝑏
Δℎ = 𝜀𝑡 ℎ
siempre que adoptemos el modelo isotrópico lineal.
Tabla de fórmulas esenciales
Expresión
𝑃
𝜎=
𝐴
Δ𝐿
𝜀𝐿 =
𝐿
𝜎 = 𝐸𝜀𝐿
𝜎
𝜀𝐿 =
𝐸
𝑃𝐿
Δ𝐿 =
𝐴𝐸
Magnitud
Esfuerzo normal promedio
Deformación longitudinal
Ley de Hooke
Deformación a partir del
esfuerzo
Cambio de longitud
Barra no uniforme
Δ𝐿
Significado / condición
Carga axial dividida entre el área
Cambio relativo de longitud
Solo región lineal elástica
Región lineal elástica
𝑃, 𝐴, 𝐸 constantes
Forma general
𝐿
𝑁(𝑥)
𝑑𝑥
0 𝐴(𝑥)𝐸(𝑥)
=∫
Varios tramos en serie
Δ𝐿 = ∑
𝑖
𝑁𝑖 𝐿𝑖
𝐴𝑖 𝐸𝑖
Sumar deformaciones
Magnitud
Coeficiente de Poisson
Deformación transversal
Cambio de diámetro
Cambio de diámetro
combinado
Compuesto adherido en
paralelo
Carga en un componente
Expresión Significado / condición
𝜀𝑡
Acoplamiento transversal𝜈=−
𝜀𝐿
longitudinal
Material lineal isotrópico
𝜀𝑡 = −𝜈𝜀𝐿
Para diámetro inicial 𝑑
Uniaxial lineal elástico
Δ𝑑 = 𝜀𝑡 𝑑
𝜎
Δ𝑑 = −𝜈 𝑑
𝐸
𝑃
𝜀=
∑𝐸𝑖 𝐴𝑖
𝑃𝑖 = 𝐸𝑖 𝐴𝑖 𝜀
Misma deformación de los
componentes
Compuesto perfectamente adherido
El uso conjunto de esfuerzo axial, ley de Hooke, coeficiente de Poisson y cambios de
longitud corresponde directamente al contenido de cursos universitarios de Elasticidad y
Resistencia de Materiales y a los problemas docentes publicados para esta materia. [5]
Unidades, interpretación física y propiedades de materiales
El Sistema Internacional expresa la fuerza en newtons y el esfuerzo en pascales:
1 𝑃𝑎 = 1
𝑁
𝑚2
Para Mecánica de Materiales, el pascal suele ser demasiado pequeño, por lo que se
emplean principalmente MPa y GPa. La edición vigente de la Brochure SI del BIPM
mantiene los prefijos SI y sus factores de potencia de diez. [6]
Las conversiones que más conviene memorizar son:
1 𝑘𝑁 = 1000 𝑁
1 𝑚 = 1000 𝑚𝑚
1 𝑀𝑃𝑎 = 106 𝑃𝑎
y, crucialmente,
1 𝑀𝑃𝑎 = 1
𝑁
𝑚𝑚2
Además:
1 𝐺𝑃𝑎 = 1000 𝑀𝑃𝑎
por lo que:
200 𝐺𝑃𝑎 = 200 000 𝑀𝑃𝑎
Esta equivalencia permite trabajar de forma muy cómoda con el sistema:
𝑃 → 𝑁,
porque entonces:
𝐿 → 𝑚𝑚,
𝐴 → 𝑚𝑚2 ,
𝐸 → 𝑀𝑃𝑎
𝜎=
𝑁
= 𝑀𝑃𝑎
𝑚𝑚2
y:
Δ𝐿 =
𝑁(𝑚𝑚)
= 𝑚𝑚
(𝑚𝑚2 )(𝑁/𝑚𝑚2 )
La deformación unitaria no posee dimensiones:
[𝜀] = 1
Puede escribirse como decimal, porcentaje o microdeformación. Por ejemplo:
𝜀 = 0.001
equivale a:
0.1%
y:
1000 𝜇𝜀
porque 1 𝜇 = 10−6 en el sistema de prefijos SI. [6]
Interpretación comparativa de las variables
Variable
𝑃
𝐴
𝜎
𝜀
𝐸
𝐸𝐴
𝐿/𝐸𝐴
𝜈
Pregunta física que responde
¿Cuánta fuerza externa está actuando?
¿Sobre cuánta sección se transmite la carga?
¿Qué intensidad de esfuerzo soporta el material?
¿Qué cambio relativo de dimensión experimenta?
¿Qué tan difícil es deformarlo elásticamente en dirección longitudinal?
¿Qué tan rígido es el elemento como conjunto frente a carga axial?
¿Qué tan flexible es axialmente el elemento?
¿Cuánto acompaña la deformación transversal a la longitudinal?
Es importante separar 𝐸 de la resistencia. El Código Estructural español, por ejemplo,
enumera por separado el módulo de elasticidad 𝐸, el límite elástico 𝑓𝑦 , la resistencia
máxima a tracción 𝑓𝑢 , las deformaciones y la tenacidad de fractura; son propiedades
diferentes y no deben confundirse. [7]
Propiedades elásticas típicas para cálculos académicos
Los valores siguientes son representativos, no universales. Una propiedad real debe
tomarse de la especificación del material, ensayo o norma aplicable. Esto es
especialmente importante en aluminio y cobre, donde depende de la aleación y condición
metalúrgica; en hormigón, donde influyen resistencia, áridos, edad y duración de carga; y
en madera, que es ortótropa y presenta módulos distintos según la dirección. [8]
Material
Acero
estructural
𝐸 longitudinal típico
≈ 210 𝐺𝑃𝑎
Aluminio
6061-T6
≈ 69 − 70 𝐺𝑃𝑎
Cobre /
aleaciones de
cobre
≈ 110 − 130 𝐺𝑃𝑎
Hormigón
convencional
aproximadamente 25 −
35 𝐺𝑃𝑎 para órdenes
de resistencia usuales
Madera
estructural,
paralela a
fibra
aproximadamente 7 −
16 𝐺𝑃𝑎 en clases
habituales de coníferas;
algunas frondosas
llegan a 20 𝐺𝑃𝑎
𝜈 típico Observación
El Código Estructural admite
≈ 0.30
𝐸 = 210 000 𝑁/𝑚𝑚2 como
valor convencional para acero;
el valor 0.30 es habitual para
acero en régimen elástico. [9]
≈ 0.33
NIST proporciona datos de 𝐸
para 6061-T6; otra publicación
NIST utiliza 𝐸 = 6.9 × 107 𝑘𝑃𝑎
y 𝜈 = 0.33. [10]
alrededor de El valor depende de aleación y
0.33 temple; como referencia,
Copper Development
Association publica para
C18045 𝐸 = 18 400 𝑘𝑠𝑖,
aproximadamente 127 𝐺𝑃𝑎, y
𝜈 = 0.33. [11]
Es un módulo efectivo
≈ 0.20
dependiente del hormigón. La
reglamentación histórica
española tomaba 𝜈 = 0.20 en
deformaciones elásticas de
servicio y hacía depender 𝐸 de
la resistencia del hormigón.
[12]
no existe un El CTE español muestra
único 𝜈; 𝐸0,medio de 7 a 16 𝑘𝑁/𝑚𝑚2
valores para las clases de coníferas de
dependen de la tabla citada y de 10 a
direcciones 20 𝑘𝑁/𝑚𝑚2 para frondosas.
[13]
La madera merece especial cuidado. Un modelo isotrópico con un solo 𝐸 y un solo 𝜈 no
describe adecuadamente su comportamiento general. Los modelos ortótropos requieren,
por ejemplo, módulos 𝐸𝐿 , 𝐸𝑅 , 𝐸𝑇 , módulos cortantes y varios coeficientes de Poisson. Un
estudio del Forest Products Laboratory usa para abeto blanco valores de referencia de
Poisson aproximadamente 0.467, 0.372, 0.245 según los pares de direcciones,
precisamente para mostrar que no existe un único 𝜈 de la madera. [14]
Algo similar, aunque por causas distintas, ocurre con el hormigón: no debe pensarse en 𝐸
como una constante universal. Documentación técnica española distingue módulo
tangente o inicial, módulo secante y efectos de duración de carga; ya la reglamentación
histórica indicaba que el módulo secante podía tratarse aproximadamente como constante
solo dentro de determinados niveles de servicio y que las deformaciones diferidas reducen
la rigidez efectiva frente a cargas sostenidas. [15]
Dominio de validez, plasticidad y criterios de falla
Las fórmulas elementales funcionan extraordinariamente bien cuando se usan dentro de
sus hipótesis. El error más serio en Mecánica Aplicada no suele ser algebraico, sino
aplicar una ecuación correcta a un problema para el cual sus hipótesis no se cumplen. El
estudio universitario de Resistencia de Materiales incluye explícitamente el principio de
Saint-Venant, la ley de Hooke, el cuerpo elástico y la validez de las hipótesis
fundamentales antes de extender el análisis a estados más complejos. [1]
Para emplear directamente
𝜎=
𝑃
,
𝐴
𝜎 = 𝐸𝜀,
Δ𝐿 =
𝑃𝐿
𝐴𝐸
supondremos, salvo que el problema indique lo contrario:






carga esencialmente axial y estática;
pequeñas deformaciones;
material dentro de su intervalo elástico lineal;
sección y propiedades constantes dentro de cada tramo;
carga aplicada sin una excentricidad que produzca flexión apreciable;
evaluación suficientemente alejada de discontinuidades y zonas de aplicación de
carga.
Estas son precisamente las simplificaciones que permiten reducir un campo tridimensional
de tensiones y deformaciones a un modelo unidimensional de barra. La importancia de
distinguir esfuerzo axial, relación tensión-deformación y validez de las hipótesis forma
parte del programa formal de Resistencia de Materiales. [1]
Régimen elástico lineal. En la zona lineal:
𝜎 = 𝐸𝜀
y al retirar la carga el modelo supone recuperación de la deformación. La pendiente inicial
o secante apropiada se emplea como módulo según el material y el contexto. ISO 6892-1
especifica el ensayo de tracción de materiales metálicos a temperatura ambiente mediante
el cual pueden determinarse las propiedades mecánicas de tracción. [16]
Entrada en plasticidad. Al alcanzar el nivel a partir del cual se produce deformación
plástica, la relación:
𝜎 = 𝐸𝜀
ya no puede extrapolarse indefinidamente. En los aceros estructurales las propiedades
relevantes incluyen el límite elástico 𝑓𝑦 , la resistencia máxima a tracción 𝑓𝑢 , deformaciones
bajo carga máxima y de rotura, además de 𝐸. La normativa española contempla incluso la
caracterización asociada a una deformación convencional de 0.2% en determinados
tratamientos del límite elástico. [7]
Una curva esquemática —no a escala y no representativa de un acero particular— puede
imaginarse así:
σ
│
• resistencia máxima
│
/\
│
/
\
│
plástico/
\ estricción/fractura
│
/
│
/
│
• inicio de fluencia
│
/
│
/
│
/
pendiente ≈ E
│
/
│
/
│ /
└──────────────────────────────── ε
región elástica lineal
No debe interpretarse esta figura como una curva normativa universal. El diagrama real
depende del material, tratamiento y ensayo; de hecho, el Código Estructural trata el
diagrama tensión-deformación, 𝑓𝑦 , 𝑓𝑢 , deformaciones y tenacidad como características
distintas que deben conocerse. [7]
Falla en una barra uniaxial dúctil. En un ejercicio elemental de tracción de acero, una
primera comprobación de inicio de plasticidad es:
|𝜎| ≤ 𝑓𝑦
o, en un método académico de esfuerzos admisibles:
|𝜎| ≤ 𝜎𝑎𝑑𝑚
Sin embargo, el diseño estructural real no debe reducirse automáticamente a “resistencia
dividida entre un factor de seguridad”: los códigos modernos verifican resistencias de
diseño y estados límite con sus correspondientes factores y combinaciones. El Código
Estructural español distingue explícitamente propiedades de material, ductilidad y
resistencias utilizadas en cálculo. [7]
Falla frágil. En materiales con escasa plasticidad, alcanzar una resistencia crítica puede
conducir a fractura con poca deformación previa. En estos casos la resistencia a fractura y
las diferencias entre tracción y compresión adquieren una importancia que el modelo
elástico elemental no captura por sí solo. El Código Estructural incluye la tenacidad de
fractura entre las propiedades fundamentales del acero y el hormigón presenta, por su
parte, comportamiento no lineal y resistencias muy diferentes según el estado tensional.
[17]
Pandeo en compresión. Para una barra corta y robusta, 𝜎 = 𝑃/𝐴 puede ser la
consideración dominante. Una barra larga y esbelta puede, en cambio, perder estabilidad
lateral bajo compresión antes de que el material alcance su resistencia de compresión. En
ese caso el problema es de estabilidad, no solo de esfuerzo normal del material; por ello
no es correcto concluir que una columna es segura únicamente porque 𝑃/𝐴 < 𝑓𝑦 .
Concentraciones de esfuerzo. Cerca de un agujero, entalla, rosca, cambio brusco de
sección o punto de aplicación de carga, el esfuerzo local puede ser considerablemente
mayor que:
𝑃
𝐴
La ecuación sigue dando una tensión promedio nominal, pero ya no describe por sí sola
los máximos locales. El principio de Saint-Venant permite que, a distancia suficiente de la
perturbación, la distribución vuelva a aproximarse al estado elemental; justamente por ello
dicho principio se introduce como hipótesis fundamental en cursos formales de
Resistencia de Materiales. [1]
Materiales anisótropos y compuestos. Para un material como madera o un compuesto
reforzado con fibras, la dirección importa. El Código Estructural describe los polímeros
reforzados con fibras como materiales formados por matriz y refuerzo y señala que la
orientación y las funciones de las fibras condicionan la rigidez y resistencia. [18] Para
madera, el Forest Products Laboratory analiza explícitamente elasticidad ortótropa y utiliza
un criterio de falla Tsai-Hill en un problema fuera del eje de las fibras. [19]
Por tanto, la relación escalar:
𝜀𝑡 = −𝜈𝜀𝐿
es especialmente apropiada para un material isótropo en un estado uniaxial simple. Para
madera y compuestos se requieren constantes elásticas direccionales y, en problemas de
falla, criterios de interacción adecuados. [20]
Una buena regla de diagnóstico antes de calcular es:
Ejemplos numéricos resueltos
Los ejemplos siguientes se plantean bajo las hipótesis indicadas por el usuario: carga
estática, temperatura ambiente y comportamiento lineal elástico. El enfoque es coherente
con los ejercicios universitarios de ley de Hooke, tracción axial, límite elástico y efecto de
Poisson publicados por la Universidad de Cantabria. [21]
Ejemplo: barra rectangular de acero
Una barra rectangular de acero tiene:
𝑏 = 40 𝑚𝑚
ℎ = 12 𝑚𝑚
𝐿 = 1800 𝑚𝑚
y recibe una fuerza de tracción:
𝑃 = 60 𝑘𝑁
Suponemos:
𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎
𝜈 = 0.30
Se pide determinar esfuerzo normal, deformación longitudinal, alargamiento y cambios
transversales.
Primero convertimos:
𝑃 = 60 000 𝑁
𝐸 = 200 000 𝑀𝑃𝑎 = 200 000
𝑁
𝑚𝑚2
El área es:
𝐴 = 𝑏ℎ
𝐴 = (40)(12)
𝐴 = 480 𝑚𝑚2
El esfuerzo:
𝜎=
𝜎=
𝑃
𝐴
60 000
480
𝜎 = 125 𝑀𝑃𝑎
La deformación longitudinal:
𝜀𝐿 =
𝜀𝐿 =
𝜎
𝐸
125
200 000
𝜀𝐿 = 6.25 × 10−4
o:
𝜀𝐿 = 0.0625%
El alargamiento:
Δ𝐿 = 𝜀𝐿 𝐿
Δ𝐿 = (6.25 × 10−4 )(1800)
Δ𝐿 = 1.125 𝑚𝑚
Ahora aplicamos Poisson:
𝜀𝑡 = −𝜈𝜀𝐿
𝜀𝑡 = −(0.30)(6.25 × 10−4 )
𝜀𝑡 = −1.875 × 10−4
Cambio en el ancho:
Δ𝑏 = 𝜀𝑡 𝑏
Δ𝑏 = (−1.875 × 10−4 )(40)
Δ𝑏 = −0.00750 𝑚𝑚
Cambio en el espesor:
Δℎ = 𝜀𝑡 ℎ
Δℎ = (−1.875 × 10−4 )(12)
Δℎ = −0.00225 𝑚𝑚
Interpretación: la barra se alarga 1.125 𝑚𝑚, pero simultáneamente se estrecha. Los
cambios transversales son mucho más pequeños que el cambio longitudinal absoluto
porque se aplican sobre dimensiones iniciales de apenas 40 y 12 𝑚𝑚.
Ejemplo: barra circular de aluminio
Una barra circular tiene:
𝑑 = 25 𝑚𝑚
𝐿 = 1200 𝑚𝑚
𝑃 = 35 𝑘𝑁
y utilizaremos:
𝐸 = 70 𝐺𝑃𝑎
𝜈 = 0.33
Estos valores son coherentes con órdenes de magnitud publicados por NIST para aluminio
6061-T6, para el cual existen datos de módulo de Young cercanos a 69 − 70 𝐺𝑃𝑎 y una
referencia de 𝜈 = 0.33. [10]
Conversión:
𝑃 = 35 000 𝑁
𝐸 = 70 000 𝑀𝑃𝑎
Área circular:
𝐴=
𝜋𝑑 2
4
𝜋(25)2
𝐴=
4
𝐴 = 490.874 𝑚𝑚2
Esfuerzo:
𝜎=
35 000
490.874
𝜎 = 71.30 𝑀𝑃𝑎
Deformación longitudinal:
𝜀𝐿 =
71.30
70 000
𝜀𝐿 = 1.0186 × 10−3
Alargamiento:
Δ𝐿 = (1.0186 × 10−3 )(1200)
Δ𝐿 = 1.222 𝑚𝑚
Deformación transversal:
𝜀𝑡 = −(0.33)(1.0186 × 10−3 )
𝜀𝑡 = −3.361 × 10−4
Cambio de diámetro:
Δ𝑑 = 𝜀𝑡 𝑑
Δ𝑑 = (−3.361 × 10−4 )(25)
Δ𝑑 = −0.00840 𝑚𝑚
Diámetro final:
𝑑𝑓 = 𝑑 + Δ𝑑
𝑑𝑓 = 25 − 0.00840
𝑑𝑓 = 24.9916 𝑚𝑚
Este ejemplo evidencia el significado de una rigidez menor: aun teniendo un esfuerzo
moderado, el aluminio experimenta una deformación elástica mayor que una barra de
acero sometida a un esfuerzo similar porque su módulo 𝐸 es sustancialmente menor. Los
valores NIST para 6061-T6 permiten observar precisamente esa diferencia de rigidez
respecto del acero estructural. [22]
Ejemplo: barra compuesta acero-aluminio en paralelo
Consideremos ahora un elemento compuesto por una barra de acero y una de aluminio,
de la misma longitud, unidas rígidamente en sus extremos de manera que ambas
experimenten el mismo alargamiento:
𝐿 = 1500 𝑚𝑚
Carga total:
𝑃 = 150 𝑘𝑁
Acero:
𝐴𝑠 = 400 𝑚𝑚2 ,
𝐸𝑠 = 200 000 𝑀𝑃𝑎
𝐴𝑎 = 600 𝑚𝑚2 ,
𝐸𝑎 = 70 000 𝑀𝑃𝑎
Aluminio:
Esquema:
P
→
┌──────── acero ─────────┐
│
│
├────────────────────────┤
│
aluminio
│
└────────────────────────┘
→ reacción
misma ΔL para ambos
Aquí cometeríamos un error si simplemente asignáramos:
𝑃𝑠 = 𝑃𝑎 =
𝑃
2
porque materiales de diferente rigidez no necesariamente comparten la carga por igual.
Por compatibilidad de deformaciones:
𝜀𝑠 = 𝜀𝑎 = 𝜀
Por Hooke:
𝜎𝑠 = 𝐸𝑠 𝜀
𝜎𝑎 = 𝐸𝑎 𝜀
Las cargas soportadas son:
𝑃𝑠 = 𝜎𝑠 𝐴𝑠 = 𝐸𝑠 𝐴𝑠 𝜀
𝑃𝑎 = 𝜎𝑎 𝐴𝑎 = 𝐸𝑎 𝐴𝑎 𝜀
Por equilibrio:
𝑃 = 𝑃𝑠 + 𝑃𝑎
entonces:
𝑃 = (𝐸𝑠 𝐴𝑠 + 𝐸𝑎 𝐴𝑎 )𝜀
y:
𝜀=
𝑃
𝐸𝑠 𝐴𝑠 + 𝐸𝑎 𝐴𝑎
Sustituimos:
𝜀=
150 000
(200 000)(400) + (70 000)(600)
El denominador es:
80 000 000 + 42 000 000 = 122 000 000 𝑁
por tanto:
𝜀 = 1.2295 × 10−3
El alargamiento común:
Δ𝐿 = 𝜀𝐿
Δ𝐿 = (1.2295 × 10−3 )(1500)
Δ𝐿 = 1.844 𝑚𝑚
Esfuerzo del acero:
𝜎𝑠 = 𝐸𝑠 𝜀
𝜎𝑠 = 200 000(1.2295 × 10−3 )
𝜎𝑠 = 245.90 𝑀𝑃𝑎
Esfuerzo del aluminio:
𝜎𝑎 = 70 000(1.2295 × 10−3 )
𝜎𝑎 = 86.07 𝑀𝑃𝑎
Carga que toma el acero:
𝑃𝑠 = 𝜎𝑠 𝐴𝑠
𝑃𝑠 = (245.90)(400)
𝑃𝑠 = 98.36 𝑘𝑁
Carga que toma el aluminio:
𝑃𝑎 = (86.07)(600)
𝑃𝑎 = 51.64 𝑘𝑁
Verificación:
𝑃𝑠 + 𝑃𝑎 = 98.36 + 51.64
𝑃𝑠 + 𝑃𝑎 = 150.00 𝑘𝑁
La interpretación es fundamental: el acero posee mayor 𝐸, de modo que, obligados ambos
elementos a presentar la misma deformación, el acero desarrolla un esfuerzo mayor. En
elementos compuestos perfectamente unidos, el reparto de carga depende de las
rigideces 𝐸𝑖 𝐴𝑖 , no solo de las áreas. La necesidad de considerar la naturaleza y
orientación de componentes es también central en el tratamiento normativo de materiales
compuestos. [18]
Conviene contrastar dos situaciones:
Configuración
Tramos en serie
Componentes en paralelo
perfectamente unidos
Qué se
Condición principal
suma
normalmente la misma fuerza interna si no Δ𝐿 = ∑Δ𝐿𝑖
hay cargas intermedias
mismo Δ𝐿 y misma 𝜀 si tienen igual
𝑃 = ∑𝑃𝑖
longitud
Esta diferencia constituye una de las ideas más importantes para resolver correctamente
problemas de barras de varias secciones o materiales.
Ejercicios tipo examen con solución paso a paso
Los problemas siguientes están diseñados con la misma clase de habilidades que
aparecen en colecciones universitarias de Ley de Hooke: cálculo de alargamiento, límite
elástico, tirantes, cambio de diámetro por Poisson y restricciones de deformación. La
colección de la Universidad de Cantabria, por ejemplo, combina precisamente cargas
axiales, 𝐸, límite elástico y reducción transversal. [21]
Ejercicio: esfuerzo y alargamiento de barra rectangular
Una barra de sección:
30 𝑚𝑚 × 16 𝑚𝑚
tiene:
𝐿 = 1.5 𝑚
y está sometida a:
𝑃 = 48 𝑘𝑁
Suponga:
𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎
Calcule 𝜎, 𝜀 y Δ𝐿.
Paso 1: unidades
𝑃 = 48 000 𝑁
𝐿 = 1500 𝑚𝑚
𝐸 = 200 000 𝑀𝑃𝑎
Paso 2: área
𝐴 = (30)(16)
𝐴 = 480 𝑚𝑚2
Paso 3: esfuerzo
𝜎=
𝜎=
𝑃
𝐴
48 000
480
𝜎 = 100 𝑀𝑃𝑎
Paso 4: deformación unitaria
𝜀=
𝜀=
𝜎
𝐸
100
200 000
𝜀 = 5.00 × 10−4
Paso 5: alargamiento
Δ𝐿 = 𝜀𝐿
Δ𝐿 = (5.00 × 10−4 )(1500)
Δ𝐿 = 0.750 𝑚𝑚
También podía obtenerse directamente:
Δ𝐿 =
𝑃𝐿 (48 000)(1500)
=
= 0.750 𝑚𝑚
𝐴𝐸 (480)(200 000)
Respuesta final:
𝜎 = 100 𝑀𝑃𝑎
𝜀 = 0.000500
Δ𝐿 = 0.750 𝑚𝑚
Ejercicio: barra circular y cambio de diámetro
Una barra de acero de:
𝑑 = 20 𝑚𝑚
𝐿 = 800 𝑚𝑚
está sometida a:
𝑃 = 30 𝑘𝑁
Use:
𝐸 = 210 𝐺𝑃𝑎,
𝜈 = 0.30
El valor 𝐸 = 210 𝐺𝑃𝑎 coincide con el valor convencional previsto por el Código Estructural
para acero cuando no se dispone de resultados específicos de ensayo. [7]
Paso 1: área
𝐴=
𝜋𝑑 2
4
𝜋(20)2
𝐴=
4
𝐴 = 314.159 𝑚𝑚2
Paso 2: esfuerzo
𝜎=
30 000
314.159
𝜎 = 95.493 𝑀𝑃𝑎
Paso 3: deformación longitudinal
𝐸 = 210 000 𝑀𝑃𝑎
𝜀𝐿 =
95.493
210 000
𝜀𝐿 = 4.5473 × 10−4
Paso 4: alargamiento
Δ𝐿 = 𝜀𝐿 𝐿
Δ𝐿 = (4.5473 × 10−4 )(800)
Δ𝐿 = 0.3638 𝑚𝑚
Paso 5: deformación transversal
𝜀𝑡 = −𝜈𝜀𝐿
𝜀𝑡 = −(0.30)(4.5473 × 10−4 )
𝜀𝑡 = −1.3642 × 10−4
Paso 6: cambio de diámetro
Δ𝑑 = 𝜀𝑡 𝑑
Δ𝑑 = (−1.3642 × 10−4 )(20)
Δ𝑑 = −0.002728 𝑚𝑚
El signo negativo significa reducción del diámetro.
Ejercicio: barra escalonada de dos secciones
Una barra de acero está sometida en toda su longitud a:
𝑃 = 50 𝑘𝑁
con:
𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎
El primer tramo tiene:
𝐿1 = 600 𝑚𝑚,
𝐴1 = 300 𝑚𝑚2
𝐿2 = 400 𝑚𝑚,
𝐴2 = 150 𝑚𝑚2
y el segundo:
Determine el esfuerzo en cada tramo y el alargamiento total.
Como no existen cargas axiales intermedias:
𝑁1 = 𝑁2 = 𝑃 = 50 000 𝑁
Tramo 1
𝜎1 =
50 000
300
𝜎1 = 166.67 𝑀𝑃𝑎
Δ𝐿1 =
Δ𝐿1 =
𝑃𝐿1
𝐴1 𝐸
(50 000)(600)
(300)(200 000)
Δ𝐿1 = 0.500 𝑚𝑚
Tramo 2
𝜎2 =
50 000
150
𝜎2 = 333.33 𝑀𝑃𝑎
Δ𝐿2 =
(50 000)(400)
(150)(200 000)
Δ𝐿2 = 0.6667 𝑚𝑚
Alargamiento total
Los tramos están en serie:
Δ𝐿 = Δ𝐿1 + Δ𝐿2
Δ𝐿 = 0.500 + 0.6667
Δ𝐿 = 1.1667 𝑚𝑚
El tramo más pequeño tiene el doble de esfuerzo que el primero, porque:
𝐴2 =
𝐴1
2
y ambos transmiten la misma fuerza.
El resultado debe acompañarse de una advertencia: que la aritmética dé 𝜎2 = 333.3 𝑀𝑃𝑎
no significa que el comportamiento sea necesariamente lineal elástico. Habría que
comparar ese esfuerzo con el límite elástico real del acero especificado; el Código
Estructural trata 𝑓𝑦 y 𝐸 como características independientes. [7]
Ejercicio: sistema compuesto acero-aluminio
Dos barras, una de acero y otra de aluminio, tienen longitud:
𝐿 = 1000 𝑚𝑚
y están unidas en paralelo entre placas rígidas.
Acero:
𝐴𝑠 = 300 𝑚𝑚2 ,
𝐸𝑠 = 200 000 𝑀𝑃𝑎
𝐴𝑎 = 500 𝑚𝑚2 ,
𝐸𝑎 = 70 000 𝑀𝑃𝑎
Aluminio:
Carga:
𝑃 = 120 𝑘𝑁
Determine deformación, alargamiento, esfuerzos y reparto de carga.
Paso 1: compatibilidad
𝜀𝑠 = 𝜀𝑎 = 𝜀
Paso 2: equilibrio
𝑃 = 𝑃𝑠 + 𝑃𝑎
y:
𝑃𝑠 = 𝐸𝑠 𝐴𝑠 𝜀
𝑃𝑎 = 𝐸𝑎 𝐴𝑎 𝜀
Entonces:
120 000 = [(200 000)(300) + (70 000)(500)]𝜀
120 000 = (60 000 000 + 35 000 000)𝜀
120 000 = 95 000 000𝜀
𝜀 = 1.26316 × 10−3
Paso 3: alargamiento
Δ𝐿 = 𝜀𝐿
Δ𝐿 = 1.2632 𝑚𝑚
Paso 4: esfuerzo en el acero
𝜎𝑠 = 𝐸𝑠 𝜀
𝜎𝑠 = 200 000(1.26316 × 10−3 )
𝜎𝑠 = 252.63 𝑀𝑃𝑎
Paso 5: esfuerzo en el aluminio
𝜎𝑎 = 70 000(1.26316 × 10−3 )
𝜎𝑎 = 88.42 𝑀𝑃𝑎
Paso 6: cargas
𝑃𝑠 = 𝜎𝑠 𝐴𝑠
𝑃𝑠 = (252.63)(300)
𝑃𝑠 = 75.79 𝑘𝑁
𝑃𝑎 = (88.42)(500)
𝑃𝑎 = 44.21 𝑘𝑁
Comprobación:
75.79 + 44.21 = 120.00 𝑘𝑁
✓
Ejercicio: diseño condicionado simultáneamente por esfuerzo y deformación
Una barra de acero posee:
𝐴 = 400 𝑚𝑚2
𝐿 = 2000 𝑚𝑚
𝐸 = 200 𝐺𝑃𝑎
Para este ejercicio académico se proporciona:
𝑓𝑦 = 250 𝑀𝑃𝑎
y se exige, mediante un método simplificado de esfuerzo admisible:
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
𝑓𝑦
1.5
Además, el alargamiento máximo permitido es:
Δ𝐿𝑚𝑎𝑥 = 1.20 𝑚𝑚
Determine la carga máxima que satisface ambos requisitos.
Paso 1: restricción de esfuerzo
𝜎𝑎𝑑𝑚 =
250
1.5
𝜎𝑎𝑑𝑚 = 166.67 𝑀𝑃𝑎
Como:
𝑃 = 𝜎𝐴
la carga limitada por esfuerzo es:
𝑃𝜎 = (166.67)(400)
𝑃𝜎 = 66 667 𝑁
𝑃𝜎 = 66.67 𝑘𝑁
Paso 2: restricción de alargamiento
De:
Δ𝐿 =
𝑃𝐿
𝐴𝐸
despejamos:
𝑃=
Por tanto:
Δ𝐿𝐴𝐸
𝐿
𝑃𝛿 =
(1.20)(400)(200 000)
2000
𝑃𝛿 = 48 000 𝑁
𝑃𝛿 = 48.0 𝑘𝑁
Paso 3: seleccionar la condición más restrictiva
Necesitamos satisfacer simultáneamente:
𝑃 ≤ 66.67 𝑘𝑁
y:
𝑃 ≤ 48.0 𝑘𝑁
por lo que:
𝑃𝑚𝑎𝑥 = 48.0 𝑘𝑁
Paso 4: comprobación del esfuerzo a esa carga
𝜎=
48 000
400
𝜎 = 120 𝑀𝑃𝑎
y:
120 < 166.67 𝑀𝑃𝑎
por lo que la restricción de esfuerzo también se satisface.
La conclusión conceptual es muy importante:
la deformación controla el diseño
aunque la resistencia del material todavía disponga de margen. Este ejemplo demuestra
por qué resistencia y rigidez son criterios diferentes. En diseño normativo real se
emplean los estados límite y factores prescritos por el código aplicable; la división 𝑓𝑦 /1.5
aquí es únicamente la regla proporcionada por el enunciado académico. El Código
Estructural distingue explícitamente módulo, límite elástico, resistencia y ductilidad. [7]
Método de resolución para un examen
Antes de sustituir números, conviene seguir siempre la misma secuencia:
Esta metodología es más fiable que buscar inmediatamente “qué fórmula usar”, porque
obliga a resolver primero la física del problema.
Errores comunes, estrategia de estudio y recursos recomendados
Los errores siguientes explican gran parte de las pérdidas de puntos en ejercicios
introductorios de esfuerzo y deformación.
Error
Usar 𝑃 en kN con 𝐴 en 𝑚𝑚2
sin convertir
Usar 𝐸 = 200 cuando el resto
está en 𝑁 y 𝑚𝑚
En una barra circular usar
𝐴 = 𝜋𝑑 2
Confundir 𝜀 con Δ𝐿
Olvidar el signo de Poisson
Usar Δ𝐿 = 𝑃𝐿/𝐴𝐸 para toda
una barra escalonada
Suponer que cada material
de un compuesto toma la
mitad de 𝑃
En tramos en serie sumar
esfuerzos
Usar el mismo 𝑁 = 𝑃 en
todos los tramos sin
diagrama de cuerpo libre
Aplicar Hooke después de la
fluencia
Concluir que una columna
comprimida es segura solo
porque 𝑃/𝐴 es bajo
Usar 𝑃/𝐴 como máximo junto
a un agujero o entalla
Tratar la madera con un
único 𝐸 y 𝜈 en cualquier
dirección
Por qué está mal
introduce un factor 1000
200 𝐺𝑃𝑎 ≠ 200 𝑀𝑃𝑎
falta dividir entre cuatro
Forma correcta
pasar 𝑘𝑁 → 𝑁
200 𝐺𝑃𝑎 = 200 000 𝑀𝑃𝑎
𝐴 = 𝜋𝑑 2 /4
una es adimensional y otra
𝜀 = Δ𝐿/𝐿
tiene longitud
predice que la barra crece
𝜀𝑡 = −𝜈𝜀𝐿
lateralmente al traccionarla
sumar ∑𝑁𝑖 𝐿𝑖 /(𝐴𝑖 𝐸𝑖 )
𝐴, 𝐸 o 𝑁 pueden cambiar
el reparto depende de 𝐸𝐴
usar compatibilidad +
equilibrio
lo que se suma
directamente es el cambio
de longitud
las cargas intermedias
pueden cambiar 𝑁
Δ𝐿 = ∑Δ𝐿𝑖
obtener 𝑁𝑖 por equilibrio
𝜎 = 𝐸𝜀 deja de describir el
comportamiento total
puede fallar por
inestabilidad
verificar el régimen elástico
es un esfuerzo nominal
promedio
la madera es ortótropa
considerar concentración de
esfuerzos
especificar dirección de fibra
y constantes
correspondientes
revisar pandeo cuando
corresponda
La última advertencia está respaldada tanto por las tablas españolas de madera
estructural —que diferencian módulos paralelo y perpendicular a la fibra— como por
modelos del Forest Products Laboratory que requieren tres módulos elásticos y varios
coeficientes de Poisson. [23]
Para estudiar esta unidad con eficiencia, conviene dominar en este orden:
equilibrio ⇒ 𝑁 ⇒ 𝜎 = 𝑁/𝐴 ⇒ 𝜀 = 𝜎/𝐸 ⇒ Δ𝐿 ⇒ 𝜀𝑡 , Δ𝑑
El orden no es arbitrario: primero se determina qué fuerza interna existe, después cómo
se distribuye sobre la sección, después la respuesta del material y finalmente los cambios
dimensionales. Esa progresión coincide con la organización académica que va desde
concepto de tensión y esfuerzo axial hacia ley de Hooke, barra prismática y contracción
lateral. [1]
Una segunda cadena que debes reconocer inmediatamente es:
𝑃→𝜎=
𝑃
𝜎
→ 𝜀𝐿 = → Δ𝐿 = 𝜀𝐿 𝐿
𝐴
𝐸
y, desde la misma deformación longitudinal:
𝜀𝐿 → 𝜀𝑡 = −𝜈𝜀𝐿 → Δ𝑑 = 𝜀𝑡 𝑑
Si 𝑃, 𝐴, 𝐸, 𝐿, 𝜈, 𝑑 están dados, prácticamente todo el problema básico puede resolverse
siguiendo estas dos ramas.
Comprobaciones rápidas que conviene hacer mentalmente en un examen:
Si 𝐴 aumenta, 𝜎 debe disminuir. Si 𝐸 aumenta y todo lo demás permanece igual, Δ𝐿 debe
disminuir. Si 𝐿 aumenta, Δ𝐿 debe aumentar. Bajo tracción ordinaria, Δ𝐿 debe ser positivo y
Δ𝑑 negativo. Si se obtiene una deformación de, por ejemplo, 0.5 en un ejercicio que
supuestamente es lineal elástico de acero, hay casi con seguridad un error de unidades o
una violación de las hipótesis del modelo. La necesidad de restringir el modelo al régimen
elástico se desprende del hecho normativo de que 𝐸, 𝑓𝑦 , deformaciones de máxima carga
y rotura se caracterizan por separado. [7]
Recursos y lecturas recomendadas en español
Para continuar el estudio con material universitario y textos clásicos:




El OpenCourseWare de Resistencia de Materiales de la Universidad de
Cantabria es especialmente útil porque su programa pasa por concepto de tensión,
esfuerzo axial, ley de Hooke, estudio experimental tensión-deformación, barra
prismática y coeficiente de Poisson, exactamente los temas de esta unidad. [1]
La colección universitaria “Ley de Hooke” de la Universidad de Cantabria
contiene problemas de alargamiento de hilos y cables, límite de deformación
plástica, selección de tirantes y reducción del diámetro por Poisson; es un buen
banco de ejercicios después de dominar los ejemplos de este informe. [21]
Una guía docente universitaria española vigente para el curso 2026 incluye como
bibliografía de Resistencia de Materiales obras de James M. Gere, Federico
Goded y Luis Ortiz, Luis Ortiz Berrocal y Manuel Vázquez, además de dedicar
unidades específicas a elasticidad lineal, ley de Hooke, coeficiente de Poisson y
elementos cargados axialmente. [3]
Para profundizar en materiales anisótropos, las tablas españolas de madera
estructural son útiles para observar cuánto difiere 𝐸 paralelo y perpendicular a fibra,


y los estudios del USDA Forest Products Laboratory muestran cómo se amplía el
modelo hacia elasticidad ortótropa y criterios de falla de interacción. [24]
Para propiedades y ensayos de metales, la ISO 6892-1:2019, confirmada en su
revisión de 2025, es la referencia internacional vigente para el ensayo de tracción
de materiales metálicos a temperatura ambiente. [16]
Para unidades y conversiones, la referencia metrológica es la Brochure del
Sistema Internacional del BIPM, cuya novena edición figura actualizada en 2026.
[6]
Fuentes principales utilizadas
Universidad de Cantabria, Resistencia de Materiales, OpenCourseWare: programa de
principios fundamentales, cuerpo elástico, ley de Hooke, tracción-compresión simple y
coeficiente de Poisson. [1]
Universidad de Cantabria, Ciencia y Tecnología de los Materiales — Problemas: Ley de
Hooke: colección universitaria de problemas de deformación axial, límite plástico, tirantes y
efecto de Poisson. [21]
España, Real Decreto 470/2021, Código Estructural: características mecánicas del
acero, diagrama tensión-deformación, 𝑓𝑦 , 𝑓𝑢 , deformaciones, módulo de elasticidad y
ductilidad; valor convencional 𝐸 = 210 000 𝑁/𝑚𝑚2 para acero en el contexto indicado. [7]
España, Código Estructural, disposiciones para acero inoxidable: módulo de elasticidad y
coeficiente de Poisson en régimen elástico. [25]
España, documentación del Código Técnico de la Edificación / BOE sobre madera
estructural: módulos de elasticidad longitudinales, perpendiculares y módulos de cortante
para distintas clases resistentes. [13]
ISO, ISO 6892-1:2019, Metallic materials — Tensile testing — Part 1: Method of test at
room temperature: método de ensayo de tracción y determinación de propiedades
mecánicas a temperatura ambiente; edición confirmada en 2025. [16]
BIPM, The International System of Units, SI Brochure, novena edición, actualización
2026: referencia para unidades y prefijos SI. [6]
NIST, Aluminum 6061-T6: datos de módulo de Young en función de temperatura y
referencias de propiedades del material; documentación NIST adicional utiliza 𝐸 ≈ 69 𝐺𝑃𝑎
y 𝜈 = 0.33 para 6061-T6. [10]
Copper Development Association, base de datos de aleaciones: referencia de propiedades
elásticas de aleaciones de cobre; C18045 presenta 𝐸 = 18 400 𝑘𝑠𝑖 y 𝜈 = 0.33. [11]
USDA Forest Service, Forest Products Laboratory, Analysis of Off-Axis Tension Test of
Wood Specimens: elasticidad ortótropa de madera, efecto de Poisson y aplicación del
criterio de falla Tsai-Hill. [19]
USDA Forest Service y literatura asociada al Wood Handbook: modelación ortótropa con
𝐸𝐿 , 𝐸𝑅 , 𝐸𝑇 , módulos cortantes y múltiples coeficientes de Poisson; valores representativos
para abeto blanco. [14]
Reglamentación española de hormigón consultada para contexto histórico de propiedades
elásticas: dependencia del módulo respecto de la resistencia y duración de carga y valor
medio 𝜈 = 0.20 para deformaciones elásticas en condiciones normales de utilización. Para
diseño actual, estos valores históricos deben sustituirse por el Código Estructural y las
especificaciones vigentes aplicables al hormigón concreto considerado. [26]
[1] [4] [5] Sección: Programa | Resistencia de Materiales (2013) | ocw_unican
https://ocw.unican.es/course/view.php?id=250&section=1
[2] [16] ISO 6892-1:2019 - Metallic materials — Tensile testing — Part 1: Method of test at
room temperature
https://www.iso.org/standard/78322.html
[3] GUÍA DOCENTE DE LA ASIGNATURA
https://web.unican.es/estudios/Documents/Guias/2026/es/5674.pdf?utm_source=chatgpt.c
om
[6] SI Brochure - BIPM
https://www.bipm.org/en/publications/si-brochure
[7] [9] [17] [18] [25] BOE-A-2021-13681 Real Decreto 470/2021, de 29 de junio, por el que
se aprueba el Código Estructural.
https://www.boe.es/buscar/doc.php?id=BOE-A-2021-13681
[8] [10] [22] Aluminum 6061-T6 (UNS AA96061) | NIST
https://www.nist.gov/mml/acmd/aluminum-6061-t6-uns-aa96061
[11] C18045 Alloy - Copper.org
https://alloys.copper.org/alloy/C18045?utm_source=chatgpt.com
[12] [15] [26] boe.es
https://www.boe.es/boe/dias/1981/01/10/pdfs/R00522-00839.pdf
[13] [23] [24] BOE-A-2009-6743 Orden VIV/984/2009, de 15 de abril, por la que se
modifican determinados documentos básicos del Código Técnico de la Edificación
aprobados por el Real Decreto 314/2006, de 17 de marzo, y el Real Decreto 1371/2007,
de 19 de octubre.
https://www.boe.es/buscar/doc.php?id=BOE-A-2009-6743
[14] research.fs.usda.gov
https://research.fs.usda.gov/download/treesearch/62935.pdf
[19] [20] research.fs.usda.gov
https://research.fs.usda.gov/download/treesearch/8743.pdf
[21] ocw.unican.es
https://ocw.unican.es/pluginfile.php/1874/course/section/1516/Problemas%20Curso%2020
11_12.pdf