İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ve Bu Denklemlerin Çözümü (1)

İKİNCİ DERECEN BİR
BİLİNMEYENLİ
DENKLEMLER VE BU
DENKLEMLERİN
ÇÖZÜMÜ
HAZIRLAYAN:BERK GÜLHACI
• TANIM: a, b, c reel sayı ve a# 0 olmak üzere , ax2+bx+c=0 ifadesine , x e göre
düzenlenmiş ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan
(eğer varsa) x reel sayılarına denklemin kökleri, tüm köklerin oluşturduğu kümeye
denklemin çözüm kümesi, çözüm kümesini bulmak için yapılan işleme de denklem
çözme denir.
ÖRNEK:4x2 –7x+6=0 ifadesi x e bağlı ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir
denklemdir.
•Bu denklemde; a=4, b=-7 ve c=6 dır.
• İkinci dereceden bir denklem,
değişkenin en yüksek kuvvetinin 2
olduğu, tek değişkenli bir polinom
denklemidir. İkinci dereceden bir
denklemi çözmenin iki ana yolu
bulunur:
1) eğer yapabiliyorsan ikinci
dereceden denklemi çarpanlarına
ayırmak,
2) ikinci dereceden denklem
formülünü kullanmak
• Tüm benzer terimleri birleştir ve
denklemin bir tarafına
taşı. Çarpanlara ayırmanın ilk adımı
x2 ifadesi pozitif olacak şekilde tüm
terimleri denklemin bir tarafına
taşımaktır. Terimleri birleştirmek için,
tüm x2’li terimleri, x’li terimleri ve
sabitleri (tamsayılı ifadeler) ekleyip
çıkardıktan sonra onları denklemin bir
tarafına taşı, böylece diğer tarafta
hiçbir şey kalmasın. Karşı tarafta hiç
terim kalmadıktan sonra, eşittir
işaretinin o tarafında "0" yazabilirsin.
İşte şöyle yapacaksın:[1]
• 2x2−8x−4=3x−x2
• 2x2+x2−8x−3x−4=0
• 3x2−11x−4=0
•
İfadeyi çarpanlarına ayır. İfadeyi çarpanlarına
ayırmak için, x2’li (3) ve sabit terimin (-4)
çarpanlarını kullanarak bunları çarpıp topladıktan
sonra orta terimi (-11) elde etmen gerekiyor. İşte
şöyle yapacaksın:
• 3x2’nin sadece 3x and x şeklinde bir tane çarpanı
olduğundan, bunları parantez içinde
yazabilirsin: (3x±?)(x±?)=0.
• Sonra, çarpıldığında -11x’i veren, 4’ün çarpan
kombinasyonunu bulmak için eleme işlemini
kullan. 4 ve 1 veya 2 ve 2 kombinasyonlarını
kullanabilirsin, zira bu rakamların çarpımı 4
sonucunu verir. Terim -4 olduğu için, sadece bu
terimlerden birinin negatif olması gerektiğini
unutma.
• Deneme yanılma ile (3x+1)(x−4) çarpan
kombinasyonlarını dene. Bunları
çarptığında, 3x2−12x+x−4 sonucunu elde
edersin. −12x ve x terimlerini birleştirirsen elde
etmek istediğin −11x değerine ulaşırsın. Böylece
ikinci dereceden bir denklemi çarpanlarına
ayırmış oldun.
• Farklı denklemler olarak parantez
içlerini sıfıra eşitle. Böylece tüm
denklemi sıfıra eşitleyen iki x değeri
bulacaksın, (3x+1)(x−4) = 0. Denklemi
çarpanlarına ayırdığına göre, tek
yapman gereken parantez içindeki
ifadeleri sıfıra eşitlemek. Peki neden?
Çünkü çarpım ile sıfır elde etmek için bir
"prensibimiz, kuralımız veya özelliğimiz”
var ve buna göre bir çarpan sıfır olmalı,
sonra parantez içindeki çarpanların en
azından biri - (3x+1)(x−4) denkleminde
olduğu gibi - sıfır olmalı; yani (3x + 1)
veya (x - 4) sıfıra eşit olmalı. O
zaman, 3x+1=0 ve ayrıca
x−4=0 yazmalısın.
• Her bir "sıfırlanmış" denklemi
bağımsız olarak çöz. İkinci dereceden
bir denklemde, x için iki muhtemel
değer olacaktır. Değişkeni yalnız bırakıp
x’i sağlayan iki değeri yazarak her olası x
değeri için tek tek bir x değeri bul. İşte
şöyle yapacaksın:
•
•
•
•
3x + 1 = 0 denklemini çöz.
3x = -1 ..... çıkarma yaparak
3x/3 = -1/3 ..... bölme yaparak
x = -1/3 ..... sadeleştirerek
• x - 4 = 0 denklemini çöz
• x = 4 ..... çıkarma yaparak
• x = (-1/3, 4) ..... bulunan değerleri bir
grup yaparak, bunun anlamı x = -1/3
veya x = 4 çözüm sağlıyor demektir.
•
x = -1/3 değerini (3x + 1)(x – 4) = 0
denkleminde dene:
Elimizde (3[-1/3] + 1)([-1/3] –
4) ?=? 0 denklemi var. Değeri
yerine koyalım: (-1 + 1)(-4 1/3) ?=?
0. İfadeyi sadeleştirelim: (0)(-4 1/3)
= 0. Çarpımı yaparsak 0 = 0 olur.
Evet, x = -1/3 işe yarıyor.
• x = 4 değerini (3x + 1)(x - 4) = 0
denkleminde dene:
Elimizde (3[4] + 1)([4] – 4) ?=?
0 denklemi var. Değeri yerine
koyalım: (13)(4 – 4) ?=? 0. İfadeyi
sadeleştirelim: (13)(0) = 0. Çarpımı
yaparsak 0 = 0 ..... Evet, x = 4 işe
yarıyor.
• Yani, iki çözüm de ayrı ayrı
"sağlandı" ve iki farklı çözümün
de işe yaradığı ve doğru olduğu
onaylandı.
İkinci Dereceden Denklem
Formülü Kullanmak
• Benzer terimlerin hepsini birleştir ve
bunları denklemin bir tarafına taşı. x2 terimi
pozitif olacak şekilde tüm terimleri eşittirin bir
tarafına taşı. Terimlerin dereceleri azalacak
şekilde yaz, yani önce x2, peşinde de x ve sabit
terim gelecek. İşte şöyle yapacaksın:
• 4x2 - 5x - 13 = x2 -5
• 4x2 - x2 - 5x - 13 +5 = 0
• 3x2 - 5x - 8 = 0
•
• İkinci dereceden denklem
formülünü yaz.
İkinci dereceden
denklemdeki a, b ve c
değerlerini
tanımla. a değişkeni
x2 teriminin kaysatısı, b x
teriminin katsayısı ve c de
sabit terimdir. 3x2 -5x - 8 = 0
denklemi için; a=3, b=-5 ve
c=-8.
a, b ve c değerlerini denklemde
yerine koy. Artık üç değişkenin
değerini bildiğine göre, onları şu
şekilde denklemde yerine koyabilirsin:
• {-b +/-√ (b2 - 4ac)}/2
• {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
• {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
•
Hesabı yap. Değerleri yerine
koyduktan sonra, kalan
terimlerdeki artı veya eksi
işaretlerini sadeleştir, çarpma
işlemlerini yap veya kareli
ifadeleri çöz. İşte şöyle
yapacaksın:
• {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (96))}/2(3) =
• {5 +/-√(25 + 96)}/6
• {5 +/-√(121)}/6
• Karekökü sadeleştir. Eğer kök
işareti altındaki sayı tam kare ise,
sonuç tam sayı olur. Eğer sayı tam
kare değilse, o zaman köklü ifadeyi
sadeleştir. Eğer sayı negatif ise ve
negatif olması gerektiğinden emin
isen, o zaman kökler karmaşık sayı
olur. Bu örnekte, √(121) = 11’dir. x = (5
+/- 11)/6 yazabilirsin.
Pozitif ve negatif sonuçları
bul. Eğer kareköklü ifadeden
kurtulduysan, o zaman x’in
pozitif ve negatif sonuçlarını
bulana kadar devam edebilirsin.
Artık elinde (5 +/- 11)/6
olduğuna göre, iki seçenek
yazabilirsin:
• (5 + 11)/6
• (5 - 11)/6
• Pozitif ve negatif
cevapları bul. Sadece
hesabı yapman yeterli:
• (5 + 11)/6 = 16/6
• (5-11)/6 = -6/6
• Sadeleştir. İki cevabı da
sadeleştirmek için bunları,
iki sayıyı da eşit bölebilen
en büyük sayıya böl. İlk
kesri 2’ye ve ikincisini de
6’ya böl ve x’i bul.
• 16/6 = 8/3
• -6/6 = -1
• x = (-1, 8/3)
İKİNCİ DERECEDEN BİR
DENKLEMİN KÖKLERİ İLE KAT
SAYILARI ARASINDAKİ
BAĞINTILAR
x2 + bx + c = 0 denkleminin
kökleri x1 ve x2 ise,
KÖKLERİ VERİLEN İKİNCİ
DERECEDEN DENKLEMİN
KURULUŞU
• Kökleri x1 ve x2 olan II. dereceden denklem;