2çemberde uzunluk

ÇEMBERDE UZUNLUK
ÇEMBERDE UZUNLUK
Teğetler Üçgeni
Kiriş:
Çemberin merkezi
A
üçgenin iç açıortayları-
a) Çemberin merke-
nın kesim noktasıdır.
zinden kirişe indirilen
dikme hem kirişi hem de
O
A(ABC) =
yayı ortalar.
F
Çevre(ABC)
.r
2
E
O
D
AD  BD
B
A
B
AC  BC
D
C
m AC   mBC 
Teğetler Dörtgeni
b) Merkezden eşit
D
A
uzaklıktaki kirişlerin
Çemberin merkezi iç
D
c
C
açıortaylarının kesim
uzunlukları eşittir.
noktasıdır. Karşılıklı ke-
AB  CD
AB  CD
b
d
narların uzunlukları top-
O
lamı birbirine eşittir.
B
C
A(ABCD) =
c) Merkeze yakın
K
A
B
a
a+c = b+d
A
Çevre(ABCD)
.r
2
B
olan kiriş daha büyüktür.
En büyük kiriş çaptır.
D
O
OK  OL ise
L
AB  CD dir.
Kirişler Dörtgeni
C
A
AC = e
BD = f
a+b+c +d
u=
ise
2
d) Çemberin
A
dışındaki bir noktadan çembere çizilen
teğetlerin uzunlukla-
a
d
B
b
D
c
r
C
B
O
rı eşittir.
AB  BC

A(ABCD)  (ua)(ub)(uc)(ud)

a.c  b.d  e.f

adbc e

dir.
ab cd f
r
C
AO  OC  r den
m ABO  = m OBC 
m AOB  = mBOC  olur.
11
ÇEMBERDE UZUNLUK
İki Çemberin Birbirine Göre Durumu:
Çemberler içten teğet ise;
Çemberler ayrık ise;
r1
r2
C
r1
C
A B
O1
D
O1 O2
r2
D
O2
O1 O2  r1  r2
r1  r2 < O1 O2
İki Çemberin Ortak Teğetleri:
AB  O1 O2  (r1  r2 )
İki çemberin ortak teğetlerinin uzunlukları

CD  O1 O2  (r1  r2 )
eşittir.
Çemberler dıştan teğet ise;
AB  CD
m(BKD)  m(ALC)

C
r1
r1
r2
r2
O2
O1
D
A
B
r1  r2  O1 O2
CD  2(r1  r2 )
L
K
Çemberler iki noktada kesişiyorsa;
C
C
r1
a
O1
r2
A b B
cO
D
2
D

A(CED)  90

EK  CK  KD
A
O1B  a  b
O2A  b  c
B
O1 O2  a  b  c
E
r1  r2  O1 O2  r1  r2
Çemberler dik kesişiyorsa;
C

A
r1
K
D
AC  BD
r2
O2
O1
A
D
O1A  
r12
2
O2 A
 r2  O1 O2
2
B
12
12
C
ÇEMBERDE UZUNLUK

Örnek 42
AB  DC
B
A
Şekildeki çembere,
B
 AB  CD  E
6
C
A
D
AE  2 cm
O
E
BE  6 cm
2
ED  3 CE
D
C
Buna göre, ED kaç cm dir?
 Teğetlerin değme noktasından geçen ve herhangi bir d doğrusuna dik olan doğrular iki
çemberinde merkezinden geçer.
d
d
Örnek 43
K L
K
A
L
B, C, D, E çember
9
üzerinde
x
B
AB  9 cm
D
16
1.
AD  x
2x
O
A
BC  16 cm
DE  2x
C
C
E
E
Yukarıdaki verilere göre, AD  x kaç cm dir?
B
D
AE . BE  CE . DE
Örnek 44
B
2
A
D 3
B
P
E
C
12
[AD ve [AC
A
çembere D ve C
noktalarında teğet
BC   AD
DB  3 cm
D
PA . PB  PC . PD
C
AB  12 cm
3.
Yukarıdaki verilere göre, EC kaç cm dir?
A
B
P
C
2
AP  BP . CP
13
13
ÇEMBERDE UZUNLUK
Örnek 45
Örnek 48
Şekildeki çemberde
B
E
6
x
1
O çemberin merkezi
B
A, C, B doğrusal
15
teğet,
AC  7 cm
O
OC  15 cm
AC  4 cm
K
C
25
7 C
AB  6 cm
A
4
A
[AB, B noktasında
3
D
L
BC  25 cm
KD  3 cm
LK  1 cm
Yukarıdaki verilere göre, O merkezli çemberin en
KE  x
uzun kirişi kaç cm dir?
Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir?
Örnek 49
Örnek 46
A
Şekilde d doğrusu
K
çemberlere, A ve
D
B noktalarında
O
E
teğettir. M ve O
M
12
A
B
merkezli çember-
d
lerin yarıçapları
sırasıyla 2 cm ve 9
B
16
cm dir.
C
ABC dik üçgen m(ABC)  90, A ve C merkezli, B
AB  24 cm olduğuna göre, çemberler arasındaki
noktasından geçen çember yayları K noktasında
kesişiyor.
en kısa uzaklık kaç cm dir?
AB  15 cm, BC  16 cm olduğuna göre, K noktasının [AC] ye olan uzaklığı kaç cm dir?
Örnek 50
Şekilde AB; çembere
Örnek 47
A
O, çemberin merkezi
D
A
AB  16 cm
B
AB  DC  24 cm
O
C
B
teğettir.
16
 AB  OE
DC  OF
F
E
A ve B noktalarında
OE  4x  3
Çemberlerin yarıçapları toplamı 12 cm ise çemberler
OF  2x  3
arasındaki uzaklık kaç cm dir?
Yukarıdaki verilere göre, çemberin yarıçapı kaç cm
dir?
14
14
ÇEMBERDE UZUNLUK
Örnek 51
Örnek 54
d
D
d doğrusu, A
C
ve B merkezli
D
A
11
E
[EC], K noktasında O
10
çemberlere C
5
F
Şekilde,
merkezli yarım
ve D
B
2
noktalarında
K
çembere teğettir.
E
EK  2 cm
teğettir.
C
KC  10 cm
AE  11 cm
A
O
B
BF  5 cm
ABCD dikdörtgen olduğuna göre, çemberin yarıçapı
DC  12 cm
kaç cm dir?
Yukarıdaki verilere göre, EF kaç cm dir?
Örnek 55
Örnek 52
A
O merkezli çemberde
A
[CD], D noktasında
B
2
C 4
AC  12 cm
10
teğet
O
ABC bir üçgen
D
B
 AC  CD
12
8
BD  10 cm
BE  9 cm
9
E
BC  2 cm
C
DE  8 cm
CD  4 cm
D
Yukarıdaki verilere göre, AD kaç cm dir?
Yukarıdaki verilere göre, çemberin yarıçapı kaç cm
dir?
Örnek 53
Örnek 56
Şekildeki A, B, C
A
Şekildeki çemberde
merkezli üç çember
m(DAC)  m(BCD)
ikişer ikişer birbirine
A
12
teğet ve merkezleri
B
C
AC  8 cm
8
BC  10 cm
ABC üçgeninin
köşeleridir.
B
Çemberlerin yarıçapları sırasıyla 8 cm, 3 cm, 2 cm
olduğuna göre, üçgenin çevresi kaç cm dir?
E
C
AB  12 cm
D
Yukarıdaki verilere göre, DE kaç cm dir?
15
15
ÇEMBERDE UZUNLUK
Örnek 57
Örnek 60
E
D
O çemberin merkezi
F
C
D
A
B
E
m(EAC)  30
30o
C
O
CK  2 cm
K
noktasında teğet
6
ABCD dik yamuk
2
[AE] çembere D
KB  8 cm
O
8
DC  6 cm
A
L
B
Şekildeki ABCD dik yamuğunun kenarları O merkezli
Yukarıdaki verilere göre, AB kaç cm dir?
çembere E, F, K ve L noktalarında teğet ise çemberin yarıçapı kaç cm dir?
Örnek 58
Örnek 61
ABC bir dik üçgen
A
A
O iç teğet
D
ABCD dikdörtgen
DK  KC
çemberin merkezi
E
D
F
12
 AB   AC
L
K
AF  12 cm
BF  4 cm
O
FC  5 cm
B
4
F
5
B
C
E
C
Yukarıdaki şekilde E merkezli yarım çember ile D
Yukarıdaki verilere göre, Alan(ABC) kaç cm2 dir?
merkezli çember L noktasında teğet olduğuna göre,
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
Örnek 59
B
O merkezli çeyrek
Örnek 62
çember O1 merkezli
F
çembere C
C
m(AEB)  m(DFC)  180
AB  6 cm
noktasında [BO], K
K
O1
noktasında [OA], L
D
12
noktasında teğettir.
O
L
C
DC  12 cm
A
A
6
O merkezli çeyrek çemberin yarıçapı 6 cm ise OL
E
kaç cm dir?
B
Yukarıdaki verilere göre, çemberin çapı kaç cm
dir?
16
16
ÇEMBERDE UZUNLUK
Örnek 63
Örnek 66
A
9
E
y
O merkezli
D
A
çember yayı C
C
ve E
8
noktasından
T
geçiyor. ABCD
O
6
C dikdörtgen
B
OB  6 cm
60o
O
DC  8 cm
1
x
B
Koordinat eksenlerine teğet olan A merkezli çember,
[BC] ye T noktasında teğet, m(OBC)  60
AE  9 cm
Yukarıdaki verilere göre, ED kaç cm dir?
OB  1 cm olduğuna göre, çemberin yarıçapı kaç
cm dir?
Örnek 67
Örnek 64
Yarıçapları 4 cm olan
F
D
A
O, merkezli
altı eş çember
çember yayı E, A,
birbirine şekildeki gibi
F noktalarından
teğettir.
geçiyor. ABCD
kare
Yukarıdaki çemberlerin etrafına sarılan ipin uzunluğu
EB  1 cm
E 1 B
C
7
O
en az kaç cm dir?
OC  7 cm
Yukarıdaki verilere göre, karenin alanı kaç cm2 dir?
Örnek 68
A
merkezi
Örnek 65
A
O, çeyrek çemberin
OA   OB
8 2
D
C
ABCD kare, [DC], O
BC  7 cm
merkezli çembere E
O
E
AC  8 2 cm
7
noktasından teğet
Çevre(ABCD) = 16 cm
O
B
Yukarıdaki verilere göre, çemberin yarıçapı kaç cm
B
C
Yukarıdaki
verilere göre,
çemberin yarıçapı kaç cm
dir?
dir?
17
17