2018-01-29-A-sol

Prova Scritta di Matematica Generale
Modulo A - 29 gennaio 2018
Prof.
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LEGGERE ATTENTAMENTE
• Durante la prova scritta, della durata di 60 minuti, non sono ammessi appunti, eserciziari, libri o testi di alcun tipo,
né l’uso della calcolatrice e di qualsiasi correttore.
• Il punteggio è indicato accanto ad ogni domanda. La risposta errata vale 0 punti.
• Le soluzioni degli esercizi devono essere scritte esclusivamente su questo foglio negli spazi indicati.
Negli esercizi del Secondo Gruppo riportare i passaggi necessari alla comprensione della soluzione.
Non verranno accettati fogli di protocollo aggiuntivi.
• Per superare la prova è necessario ottenere almeno 4 punti negli esercizi del Primo Gruppo.
Esercizi del primo gruppo
1. (1 punto) La funzione:

7x
f (x) =
√

1− x
per x ≤ 1
per x > 1
3. (1 punto) Sia A una matrice di tipo (6,7) e B una
sottomatrice quadrata di A di ordine 5. Quale delle
seguenti affermazioni è corretta?
I (a) se det B 6= 0, allora il rango di A è almeno 5.
(b) se det B = 0, allora il rango di A è almeno 4.
(a) nessuna delle altre risposte è corretta
I (b) presenta una discontinuità con salto
( c ) nessuna delle altre risposte è corretta
(d) se det B = 0, allora il rango di A non supera 4.
( c ) è continua in x = 1
(d) presenta una discontinuità eliminabile
2. (1 punto) L’elemento c1,1 della matrice
C = AT B − BAT
dove
A=
è
(a) c1,1 = 1
I (b) c1,1 = 2
2
0
2
1
e
B=
0
2
−1
2
( e ) se det B 6= 0, allora il rango di A è 5.
4. (1 punto) Siano date le funzioni
√
5
f (x) = 2x e g (x) = 2x2 − 2x + 1
Allora f [g (2)] vale:
√
(a) 5 4x2 − 4x + 2
√
I (b) 5 10
√
√
( c ) 2 5 4 − 2 5 16 − 1
√
(d) 5 26
( e ) nessuna delle altre risposte è corretta
( c ) c1,1 = 5
(d) c1,1 = 4
Modulo A - Versione n. 1000 – Soluzioni – Pag. 1
10 punti
5. (1 punto) Il limite:
8. (2 punti) La funzione
ln 1 + 4x + 3x2 + 6x3
lim
x→0
3x − 6x2
I (a) ha asintoto obliquo per x → −∞ ma non per
x → +∞
vale:
I (a)
f (x) = 3x + 8ex
4
3
(b) ha asintoto obliquo per x → +∞ ma non per
x → −∞
(b) 0
( c ) nessuna delle altre risposte è corretta
( c ) nessuna delle altre risposte è corretta
(d) non ha alcun asintoto obliquo
(d) +∞
6. (1 punto) Quale dei seguenti insiemi è costituito da
vettori linearmente indipendenti?
( e ) ha asintoti obliqui sia per x → −∞ sia per
x → +∞
9. (1 punto) La funzione f (x), definita in (−2,9), è
continua in x0 = 2 se:
I (a) [7,6,0]T , [0,6,4]T , [7,0,6]T
(b) [0,0,0]T , [7,0,4]T , [0,6,4]T
I (a) lim f (x) = f (2)
x→2
( c ) nessuna delle altre risposte è corretta
T
T
(d) [7,6,0] , [0,6,4] , [0,12,8]
T
(b) lim+ f (x) = lim− f (x)
x→2
x→2
( c ) nessuna delle altre risposte è corretta.
7. (1 punto) Sia f :
(− 85 ,
+ ∞) → R tale che
(d) lim f (x + h) = f (2)
h→0
f (x) = ln(5x + 8)
Allora
I (a) f è invertibile e la sua inversa è
f −1 =
ex − 8
5
(b) f è invertibile e la sua inversa è
f −1 =
1
ln(5x + 8)
( c ) nessuna delle altre risposte è corretta.
(d) f non è invertibile
( e ) f è invertibile e la sua inversa è
f −1 = e5x+8
Modulo A - Versione n. 1000 – Soluzioni – Pag. 2
Esercizi del secondo gruppo
N.B. Per gli esercizi di questo gruppo, saranno valutate solo le risposte con la giustificazione del risultato.
Esercizio 1.
Siano:

3
A = 2
k
e

−(2k + 1)
− (k + 1)  ,
−1
3
2
1
k ∈ R,
 
5
b = 4 .
1
(a) (3 punti) Dopo aver calcolato il determinante della matrice A, se ne discuta il rango al variare del parametro
reale k, giustificando i risultati ottenuti. Completare infine la seguente tabella:
2
det (A) =
(−1 + k)
rango(A) = 1 per
k=1
rango(A) = 2 per
nessun valore di k
rango(A) = 3 per
k 6= 1
2
Soluzione: Poiché det (A) = (−1 + k) , allora det (A) 6= 0 se e solo se k 6= 1; per questi valori di k, rango(A) = 3;
invece, det (A) = 0 se e solo se k = 1; sostituendo k = 1 in A,


3
3
−3
2
−2 ,
A = 2
1
1
−1
otteniamo rango(A) = 1 (si osservi che la seconda e la terza colonna sono proporzionali alla prima).
(b) (2 punti) Discutere e risolvere, al variare del parametro reale k, il sistema omogeneo Ax = 0.
Soluzione: Si hanno due casi: se k 6= 1, il sistema è determinato e ammette la sola soluzione banale
   
0
x
y  = 0 .
0
z
Se invece k = 1, il sistema è indeterminato e ammette ∞2 soluzioni date da
  

x
α
y  =  β  , α,β ∈ R.
z
α+β
(c) (1 punto) Per k = 1, dire se il sistema Ax = b ammette soluzioni.
Soluzione: Per k = 1 la matrice A ha rango 1 mentre la matrice orlata


3
3
−3
5
2
−2
4
A | b = 2
1
1
−1
1
ha rango 2, dunque il sistema Ax = b non ammette soluzioni.
Modulo A - Versione n. 1000 – Soluzioni – Pag. 3
6 punti