Esercitazione9 Soluz

Economia Politica I
Esercitazione 9
Soluzioni
1. Considerate un mercato con funzione di domanda
1
p = 100 − Q
2
in cui operano due aziende caratterizzate dalle seguenti funzioni di costo:
CTA (qA ) = 5qA ,
CTB (qB ) =
1 2
q .
2 B
(a) Determinate l’equilibrio di mercato nel caso in cui competano sulla
quantità (duopolio di Cournot).
L’impresa 1 massimizza il proprio profitto prendendo per data la
scelta di produzione dell’impresa 2:
max πA (qA , qB ) = max p(Q) · qA − CTA (qA )
qA
qA
1
= max 100 − (qA + qB ) qA − 5qA .
qA
2
La funzione di profitto da massimizzare, per l’impresa A, sarà quindi:
1 2
1
πA (qA , qB ) = 100qA − qA
− qA qB − 5qA
2
2
Dalla massimizzazione deriviamo la condizione del primo ordine
∂πA
1
= 100 − qA − qB − 5 = 0
∂qA
2
1
=⇒ qA = 95 − qB
2
che è la funzione di reazione per l’impresa A.
Similmente, per l’impresa B abbiamo
1
max πB (qA , qB ) = max p(q) · qB − CTB (qB )
qB
qB
1
1 2
= max 100 − (qA + qB ) qB − qB
.
qB
2
2
da cui deriviamo la funzione di reazione:
∂πB
1
= 100 − qA − qB − qB = 0
∂qB
2
1
=⇒ qB = 50 − qA .
4
Mettendo a sistema le due funzioni di reazione, otteniamo le quantità
di equilibrio di Cournot per le due imprese:
(
qA =
qB =
95 − 12 qB
=⇒
50 − 14 qA
(
qA =
qB =
95 − 12 50 − 14 qA
50 − 14 qA ,
(1)
dalla prima equazione ricaviamo
7
1
C
= 80
qA = 95 − 25 + qA =⇒ qA = 70 =⇒ qA
8
8
e quindi dalla seconda
1 C
C
qB
= 50 − qA
= 50 − 20 = 30.
4
In presenza di tale produzione da parte delle due imprese, il prezzo
di equilibrio del modello di Cournot sarà
1
1
pC = 100 − Q = 100 − (80 + 30) = 100 − 55 = 45
2
2
ed i profitti delle due imprese
C
C
C
πA
=pC qA
− CTA (qA
) = 45 · 80 − 5 · 80 = 3200
1
C
C
C
πB
=pC qB
− CTB (qB
) = 45 · 30 − 302 = 900.
2
(b) duopolio di Stackelberg (con l’impresa 2 nel ruolo di leader),
Dobbiamo procedere per backward induction: assumiamo di trovarci
già al tempo 2, in cui cioè l’impresa B (la leader) ha già effettuato la sua scelta di produzione qB , e calcoliamo la risposta ottima
dell’impresa A. Essa massimizzerà il profitto:
2
πA (qA , qB ) =p(qA + qB ) · qA − CTA (qA )
1
= 100 − (qA + qB ) qA − 5qA
2
1 2
1
=100qA − qA
− qA qB − 5qA =
2
2
1 2
1
95qA − qA
− qA q̄B
2
2
ovvero seguirà la funzione di risposta data da
1
1
∂πA
= 95 − qA − q̄B = 0 =⇒ qA = 95 − qB .
∂qA
2
2
Passiamo ora al tempo 1: l’impresa B massimizzerà il proprio profitto tenendo conto della funzione di risposta ottima dell’impresa A.
Questo significa che nella funzione di profitto dell’impresa B, al posto
di qA inseriremo qA (qB ), ovvero la quantità che l’impresa A decide
di produrre in funzione della quantità prodotta da B:
πB (qB ) =p(qA (qB ) + qB ) · qB − CTB (qB )
1
1
1 2
= 100 −
95 − qB + qB
· qB − qB
2
2
2
95 1
1
1 2
+ qB · qB − qB
= 100 − qB −
2
2
4
2
200 − 95 1
1 2
=
− qB · qB − qB
2
4
2
3 2
105
qB − qB
=
2
4
La condizione al primo ordine per l’impresa B sarà quindi:
105 3
105
S
− qB = 0 =⇒ qB
=
= 35
2
2
3
S
e, sostituendo la quantità ottima qB
nella funzione di reazione dell’impresa A otteniamo la sua risposta ottima
1 S
190 − 35
155
S
qA
= 95 − qB
=
=
.
2
2
2
Il prezzo di equilibrio del modello di Stackelberg sarà quindi:
pS = 100 −
1 ∗
225
175
∗
(q + qB
) = 100 −
=
2 A
4
4
ed i profitti
3
155
24025
175 155
·
−5·
=
4
2
2
8
175
1 2
3675
S
S S
S
πB =p qB − CTB (qB ) =
· 35 − 35 =
.
4
2
4
S
S
S
πA
=pS qA
− CTA (qA
)=
(c) Determinate l’equilibrio di mercato nel caso in cui le imprese decidano
di colludere.
Se le imprese si mettono d’accordo, massimizzeranno i profitti congiunti, ovvero
πT OT = πA + πB =p(qA + qB ) · (qA + qB ) − CTA (qA ) − CTB (qB )
1 2
1
= 100 − (qA + qB ) · (qA + qB ) − 5qA − qB
2
2
1 2
1 2
1 2
=100qA + 100qB − qA
− qB
− qA qB − 5qA − qB
2
2
2
e quindi soddisferanno le condizioni al primo ordine
(
(
∂πT OT
∗
=5
qB
∂qA = 100 − qA − qB − 5 = 0
=⇒
∂πT OT
∗
=
90.
q
=
100
−
q
−
q
−
q
=
0
A
B
B
A
∂qB
Il prezzo sarà quindi
p∗ = 100 −
1
105
(90 + 5) =
2
2
ed i profitti
105
· 90 − 5 · 90 = 4275
2
105
1
∗
∗
∗
πB
=p∗ qB
− CTB (qB
)=
· 5 − 52 = 250.
2
2
∗
∗
∗
πA
=p∗ qA
− CTA (qA
)=
Per commentare i risultati, è utile riassumerli in una tabella:
Cournot
Stackelberg
Collusione
∗
qA
80
77,5
90
∗
qB
30
35
5
p∗
45
43,75
525
∗
πA
3200
3003
4275
∗
πB
900
919
250
πT∗ OT
4100
3922
4525
Le osservazioni principali che possiamo fare sono:
• in concorrenza à la Cournot, l’azienda che produce di più e
guadagna di più è quella con i costi più bassi (l’impresa B ha
costi marginali inferiori alla A solo per un ristretto intervallo vicino all’origine, perché i costi aumentano quadraticamente
all’aumentare della produzione),
4
• passando al caso Stackelberg, notiamo che l’impresa B, nonostante continui ad avere una produzione ed un profitto inferiore alla
A, ottiene comunque, rispetto al caso precedente, un vantaggio
dal suo ruolo di leader,
• nel caso della collusione, πT∗ OT è chiaramente massimo. Invece,
∗
πB
è inferiore che negli altri due casi: ricordiamo che B ha economie di scala decrescenti (la funzione di costo infatti è espressa dal
quadrato di qB ) , ed è per questo che è ottimo che produca poco. Tuttavia, è da notare che perché la collusione sia sostenibile
(ovvero conveniente per entrambe le aziende), A dovrà risarcire
B con parte dei suoi profitti aggiuntivi.
2. Un’impresa opera in un mercato concorrenziale caratterizzato dalla seguente funzione di domanda: Q = 10 − p. La produzione comporta costi
totali pari a C(Q) = 2Q. L’attività produttiva genera un danno alla collettività limitrofa, ad esempio dovuto alla necessità di rimuovere i residui
inquinanti della produzione che vengono scaricati nei fiumi. Tale danno è
valutato nella misura di D(Q) = 4Q.
(a) Si fornisca una rappresentazione grafica della situazione indicando
curva di domanda inversa, costo marginale privato e costo marginale
sociale
La curva di domanda inversa è p = 10 − Q. La curva di costo marginale privato è pari a M C = 2. Dal momento che la produzione genera
delle immissioni inquinanti dannose per la collettività limitrofa (con
costo pari a 4Q), il costo totale privato (che include soltanto i costi
di produzione e non i danni causati) è inferiore al costo totale sociale
(che invece comprende sia i costi di produzione sia i danni a terzi).
Il costo totale sociale è quindi uguale a
T CS(Q) = C(Q) + D(Q) = 2Q + 4Q = 6Q
da cui un costo marginale sociale pari a 6.
(b) Si calcoli l’equilibrio privato (ovvero la quantità di bene Q prodotto dall’impresa supponendo che non tenga conto del danno causato
alla collettività limitrofa) in termini di quantità scambiata, prezzo,
profitti, surplus dei consumatori del mercato danno sopportato dalla
collettività limitrofa
Trattandosi di un’impresa concorrenziale, l’equilibrio privato è ottenuto come
p = MC → p = 2
e sostituendo nella curva di domanda, Q = 10 − p = 10 − 2 = 8.
Il profitto dell’impresa competitiva è π = (p − M C)Q = 0 in quanto
p = M C.
5
Il surplus dei consumatori è
SC =
(10 − p)8
= 32
2
mentre il danno provocato alla collettività limitrofa che deve sostenere costi per rimuovere i residui inquinanti è
D = 4 · 8 = 32
Dunque la produzione del bene genera un benessere per i consumatori
del bene e per la collettività limitrofa nella misura di
W = π + SC − D = 0
(c) Si individui il livello Pareto efficiente di output e lo si rappresenti in
un unico grafico
Il livello socialmente efficiente di output è ottenuto come
M C = 10 − Q
6 = 10 − Q → Q = 4
p=6
In corrispondenza dell’equilibrio Pareto-efficiente, output, profitti,
surplus dei consumatori e danno alla collettività limitrofa risultano
pari, rispettivamente, a
π ∗ = 16
(10 − 6)4
S∗ =
=8
2
D∗ = 4 · 4 = 16
6
da cui
W ∗ = π ∗ + S ∗ − D∗ = 16 + 8 − 16 = 8
(d) Supponete che il governo decida di introdurre una tassa su ogni unità
prodotta per un ammontare pari a 3. Si calcoli l’equilibrio privato
in corrispondenza di tale tassa e si dica se si tratta di una tassa
pigouviana.
La tassa comporta un aumento dei costi di produzione. I costi con
la tassa diventano T C = T C(Q) + tQ = 2Q + 3Q = 5Q, da cui un
costo marginale privato pari a M C = 5 dal momento che il costo
marginale che porta al livello socialmente ottimale di output è pari
a M CS(Q) = 6 > 5, la tassa introdotta non è una tassa di tipo
pigouviano. La contrazione della produzione indotta dalla tassa non
è sufficiente a portare l’equilibrio privato al livello pareto-efficiente.
Formalmente il nuovo equilibrio privato è
5 = 10 − Q → Q∗∗ = 5
p∗∗ = 5
Una tassa pigouviana sarebbe stata di ammontare pari a t = 4 in
modo da portare i costi marginali privati a coincidere con i costi
marginali sociali inducendo la contrazione ottimale della produzione.
Graficamente con t = 4 si avrebbe
7
8