Economia Politica I Esercitazione 9 Soluzioni 1. Considerate un mercato con funzione di domanda 1 p = 100 − Q 2 in cui operano due aziende caratterizzate dalle seguenti funzioni di costo: CTA (qA ) = 5qA , CTB (qB ) = 1 2 q . 2 B (a) Determinate l’equilibrio di mercato nel caso in cui competano sulla quantità (duopolio di Cournot). L’impresa 1 massimizza il proprio profitto prendendo per data la scelta di produzione dell’impresa 2: max πA (qA , qB ) = max p(Q) · qA − CTA (qA ) qA qA 1 = max 100 − (qA + qB ) qA − 5qA . qA 2 La funzione di profitto da massimizzare, per l’impresa A, sarà quindi: 1 2 1 πA (qA , qB ) = 100qA − qA − qA qB − 5qA 2 2 Dalla massimizzazione deriviamo la condizione del primo ordine ∂πA 1 = 100 − qA − qB − 5 = 0 ∂qA 2 1 =⇒ qA = 95 − qB 2 che è la funzione di reazione per l’impresa A. Similmente, per l’impresa B abbiamo 1 max πB (qA , qB ) = max p(q) · qB − CTB (qB ) qB qB 1 1 2 = max 100 − (qA + qB ) qB − qB . qB 2 2 da cui deriviamo la funzione di reazione: ∂πB 1 = 100 − qA − qB − qB = 0 ∂qB 2 1 =⇒ qB = 50 − qA . 4 Mettendo a sistema le due funzioni di reazione, otteniamo le quantità di equilibrio di Cournot per le due imprese: ( qA = qB = 95 − 12 qB =⇒ 50 − 14 qA ( qA = qB = 95 − 12 50 − 14 qA 50 − 14 qA , (1) dalla prima equazione ricaviamo 7 1 C = 80 qA = 95 − 25 + qA =⇒ qA = 70 =⇒ qA 8 8 e quindi dalla seconda 1 C C qB = 50 − qA = 50 − 20 = 30. 4 In presenza di tale produzione da parte delle due imprese, il prezzo di equilibrio del modello di Cournot sarà 1 1 pC = 100 − Q = 100 − (80 + 30) = 100 − 55 = 45 2 2 ed i profitti delle due imprese C C C πA =pC qA − CTA (qA ) = 45 · 80 − 5 · 80 = 3200 1 C C C πB =pC qB − CTB (qB ) = 45 · 30 − 302 = 900. 2 (b) duopolio di Stackelberg (con l’impresa 2 nel ruolo di leader), Dobbiamo procedere per backward induction: assumiamo di trovarci già al tempo 2, in cui cioè l’impresa B (la leader) ha già effettuato la sua scelta di produzione qB , e calcoliamo la risposta ottima dell’impresa A. Essa massimizzerà il profitto: 2 πA (qA , qB ) =p(qA + qB ) · qA − CTA (qA ) 1 = 100 − (qA + qB ) qA − 5qA 2 1 2 1 =100qA − qA − qA qB − 5qA = 2 2 1 2 1 95qA − qA − qA q̄B 2 2 ovvero seguirà la funzione di risposta data da 1 1 ∂πA = 95 − qA − q̄B = 0 =⇒ qA = 95 − qB . ∂qA 2 2 Passiamo ora al tempo 1: l’impresa B massimizzerà il proprio profitto tenendo conto della funzione di risposta ottima dell’impresa A. Questo significa che nella funzione di profitto dell’impresa B, al posto di qA inseriremo qA (qB ), ovvero la quantità che l’impresa A decide di produrre in funzione della quantità prodotta da B: πB (qB ) =p(qA (qB ) + qB ) · qB − CTB (qB ) 1 1 1 2 = 100 − 95 − qB + qB · qB − qB 2 2 2 95 1 1 1 2 + qB · qB − qB = 100 − qB − 2 2 4 2 200 − 95 1 1 2 = − qB · qB − qB 2 4 2 3 2 105 qB − qB = 2 4 La condizione al primo ordine per l’impresa B sarà quindi: 105 3 105 S − qB = 0 =⇒ qB = = 35 2 2 3 S e, sostituendo la quantità ottima qB nella funzione di reazione dell’impresa A otteniamo la sua risposta ottima 1 S 190 − 35 155 S qA = 95 − qB = = . 2 2 2 Il prezzo di equilibrio del modello di Stackelberg sarà quindi: pS = 100 − 1 ∗ 225 175 ∗ (q + qB ) = 100 − = 2 A 4 4 ed i profitti 3 155 24025 175 155 · −5· = 4 2 2 8 175 1 2 3675 S S S S πB =p qB − CTB (qB ) = · 35 − 35 = . 4 2 4 S S S πA =pS qA − CTA (qA )= (c) Determinate l’equilibrio di mercato nel caso in cui le imprese decidano di colludere. Se le imprese si mettono d’accordo, massimizzeranno i profitti congiunti, ovvero πT OT = πA + πB =p(qA + qB ) · (qA + qB ) − CTA (qA ) − CTB (qB ) 1 2 1 = 100 − (qA + qB ) · (qA + qB ) − 5qA − qB 2 2 1 2 1 2 1 2 =100qA + 100qB − qA − qB − qA qB − 5qA − qB 2 2 2 e quindi soddisferanno le condizioni al primo ordine ( ( ∂πT OT ∗ =5 qB ∂qA = 100 − qA − qB − 5 = 0 =⇒ ∂πT OT ∗ = 90. q = 100 − q − q − q = 0 A B B A ∂qB Il prezzo sarà quindi p∗ = 100 − 1 105 (90 + 5) = 2 2 ed i profitti 105 · 90 − 5 · 90 = 4275 2 105 1 ∗ ∗ ∗ πB =p∗ qB − CTB (qB )= · 5 − 52 = 250. 2 2 ∗ ∗ ∗ πA =p∗ qA − CTA (qA )= Per commentare i risultati, è utile riassumerli in una tabella: Cournot Stackelberg Collusione ∗ qA 80 77,5 90 ∗ qB 30 35 5 p∗ 45 43,75 525 ∗ πA 3200 3003 4275 ∗ πB 900 919 250 πT∗ OT 4100 3922 4525 Le osservazioni principali che possiamo fare sono: • in concorrenza à la Cournot, l’azienda che produce di più e guadagna di più è quella con i costi più bassi (l’impresa B ha costi marginali inferiori alla A solo per un ristretto intervallo vicino all’origine, perché i costi aumentano quadraticamente all’aumentare della produzione), 4 • passando al caso Stackelberg, notiamo che l’impresa B, nonostante continui ad avere una produzione ed un profitto inferiore alla A, ottiene comunque, rispetto al caso precedente, un vantaggio dal suo ruolo di leader, • nel caso della collusione, πT∗ OT è chiaramente massimo. Invece, ∗ πB è inferiore che negli altri due casi: ricordiamo che B ha economie di scala decrescenti (la funzione di costo infatti è espressa dal quadrato di qB ) , ed è per questo che è ottimo che produca poco. Tuttavia, è da notare che perché la collusione sia sostenibile (ovvero conveniente per entrambe le aziende), A dovrà risarcire B con parte dei suoi profitti aggiuntivi. 2. Un’impresa opera in un mercato concorrenziale caratterizzato dalla seguente funzione di domanda: Q = 10 − p. La produzione comporta costi totali pari a C(Q) = 2Q. L’attività produttiva genera un danno alla collettività limitrofa, ad esempio dovuto alla necessità di rimuovere i residui inquinanti della produzione che vengono scaricati nei fiumi. Tale danno è valutato nella misura di D(Q) = 4Q. (a) Si fornisca una rappresentazione grafica della situazione indicando curva di domanda inversa, costo marginale privato e costo marginale sociale La curva di domanda inversa è p = 10 − Q. La curva di costo marginale privato è pari a M C = 2. Dal momento che la produzione genera delle immissioni inquinanti dannose per la collettività limitrofa (con costo pari a 4Q), il costo totale privato (che include soltanto i costi di produzione e non i danni causati) è inferiore al costo totale sociale (che invece comprende sia i costi di produzione sia i danni a terzi). Il costo totale sociale è quindi uguale a T CS(Q) = C(Q) + D(Q) = 2Q + 4Q = 6Q da cui un costo marginale sociale pari a 6. (b) Si calcoli l’equilibrio privato (ovvero la quantità di bene Q prodotto dall’impresa supponendo che non tenga conto del danno causato alla collettività limitrofa) in termini di quantità scambiata, prezzo, profitti, surplus dei consumatori del mercato danno sopportato dalla collettività limitrofa Trattandosi di un’impresa concorrenziale, l’equilibrio privato è ottenuto come p = MC → p = 2 e sostituendo nella curva di domanda, Q = 10 − p = 10 − 2 = 8. Il profitto dell’impresa competitiva è π = (p − M C)Q = 0 in quanto p = M C. 5 Il surplus dei consumatori è SC = (10 − p)8 = 32 2 mentre il danno provocato alla collettività limitrofa che deve sostenere costi per rimuovere i residui inquinanti è D = 4 · 8 = 32 Dunque la produzione del bene genera un benessere per i consumatori del bene e per la collettività limitrofa nella misura di W = π + SC − D = 0 (c) Si individui il livello Pareto efficiente di output e lo si rappresenti in un unico grafico Il livello socialmente efficiente di output è ottenuto come M C = 10 − Q 6 = 10 − Q → Q = 4 p=6 In corrispondenza dell’equilibrio Pareto-efficiente, output, profitti, surplus dei consumatori e danno alla collettività limitrofa risultano pari, rispettivamente, a π ∗ = 16 (10 − 6)4 S∗ = =8 2 D∗ = 4 · 4 = 16 6 da cui W ∗ = π ∗ + S ∗ − D∗ = 16 + 8 − 16 = 8 (d) Supponete che il governo decida di introdurre una tassa su ogni unità prodotta per un ammontare pari a 3. Si calcoli l’equilibrio privato in corrispondenza di tale tassa e si dica se si tratta di una tassa pigouviana. La tassa comporta un aumento dei costi di produzione. I costi con la tassa diventano T C = T C(Q) + tQ = 2Q + 3Q = 5Q, da cui un costo marginale privato pari a M C = 5 dal momento che il costo marginale che porta al livello socialmente ottimale di output è pari a M CS(Q) = 6 > 5, la tassa introdotta non è una tassa di tipo pigouviano. La contrazione della produzione indotta dalla tassa non è sufficiente a portare l’equilibrio privato al livello pareto-efficiente. Formalmente il nuovo equilibrio privato è 5 = 10 − Q → Q∗∗ = 5 p∗∗ = 5 Una tassa pigouviana sarebbe stata di ammontare pari a t = 4 in modo da portare i costi marginali privati a coincidere con i costi marginali sociali inducendo la contrazione ottimale della produzione. Graficamente con t = 4 si avrebbe 7 8