MANEVRA KABİLİYETİ YÜKSEK MOBİL ARAÇLARIN MEKANUM TEKERLEK İLE YÖN KONTROLÜ

MANEVRA KABİLİYETİ YÜKSEK MOBİL ARAÇLARIN
ÇOK YÖNLÜ TEKERLEK İLE YÖN KONTROLÜ
1Mahmut
ÇİMEN, 2Mete KALYONCU
1
2
Sekizli Makina ve Vinç Sanayi Ticaret A.Ş., KONYA
Selçuk Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü, KONYA
1
[email protected], 2 [email protected]
ÖZET: Çok yönlü tekerlekli araçlar, günümüzde birçok alanda kullanılmaktadır. Endüstri, sağlık,
özel bakım gibi alanlarda kullanıldığı görülmektedir. Bu çalışmada ise, mobil araçta kullanılan çok
yönlü tekerleğin yön kontrolünü sağlayan hareket parametrelerinin incelenmesi amacıyla
matematiksel bir model geliştirilmiştir. Bu model MATLAB/ Simulink ortamına aktarılmıştır.
MATLAB/Simulink’de oluşturulan algoritmaya gerekli parametrelerin girilmesi ile mobil aracın
istenilen rotada ilerlemesi simülasyonda takip edilmiş ve alınan geri bildirimlerle simulasyonun
gerçeğe yakınlığı artırılmıştır. Sistem X ve/veya Y eksenlerinde öteleme, Z ekseninde ise dönme
hareketi yapmaktadır. Solidworks’te oluşturulan CAD model, simulink ortamında
hareketlendirilmiştir. Analiz için gerçek forkliftteki değerler ve CAD modelin özellikleri
harmanlanmış ve girilen her hız değeri için elde edilen konum istenilen duruma en yakın biçimde
hesaplanmıştır. Düz kinematiğe etki eden hızların sistemin dinamiğine etkisi görsel olarak
incelenmiş ve grafiksel olarak analiz edilmiştir.
Anahtar kelimeler: Çok yönlü tekerlek, Mobil Robot, Matlab/Simulink, CAD, Matematiksel model
HIGH MANEUVERABİLİTY MOBIL VEHİCLE’S CONTROL WITH OMNIDIRECTIONAL WHEEL
ABSTRACT: Omni-directional vehicles used in many areas such as industry, hospitals, special
care. In this paper, mathematical model is developed and tested in simulink. Some parameters used
in the simulink block diagram and behaviour of the mecanum wheeled robot is investigated and
simulated. Vehicle made translational motion in X and/or Y planes and rotational motion in Z plane.
The CAD model’s motion activated in Simulink which is created in SOLIDWORKS. For analysis,
parameters in real forklift vehicle and small CAD model is combined and obtained position in 3D
space and related velocity value calculated in best manner. Effect of velocity values that are input
of forward kinematics investigated in dynamics of system. This effect has seen in scopes in simulink
and simmechanics.
Keywords: Omni-directional wheel, mobile robot, MATLAB/Simulink, CAD, Mathematical Model
1
GİRİŞ (INTRODUCTION)
Mobil araç yürüyüş sistemi bileşenlerinden bir tanesi olan çok yönlü tekerlekler, hareket
sahanlığı dar alanlar için tasarlanan başlıca omurga elemanlardandır. Çok yönlü tekerlekler aracın
oryantasyonu değişmeden yönünün değişmesini sağlar. [12] Bu eleman herhangi bir yönlendirme
yapılmadan ön, arka ve çapraz yönlerde aracın kayarak hareket etmesine olanak veren ve her yönde
hareketi kolaylıkla sağlayan bir tekerlek türüdür. Günümüzde mobil araçların tekerleği, genellikle
Ilon’un ortaya koyduğu konsepte bağlı olarak tasarlanmaktadır. Ilon’un çok yönlü tekerleği, merkez
tekerlek ile bu elemanın çevresinde 45 derece açı ile konumlanmış belli sayıda makaralardan
oluşmaktadır. Tekerlek yönünde normal bir kuvvet için, açılı periferik makaralar kuvvetin bir
kısmını tekerleğin dönme yönünde çevirmektedir. Her bir bağımsız tekerleğin yönü ve hızına bağlı
olarak, sonuçta elde edilen tüm kuvvetlerin kombinasyonu istenilen yönde bir total kuvvet
oluşturmaktadır. Makaranın sadece küçük bir yüzeyi yere temas etmektedir. [11]
Dört tekerlek yön kontrol sistemleri daha yüksek manevra kabiliyeti, yüksek hız kontrolü
ve dengesi ile bazı tasarımlarda düşük hızlarda dar alanlarda dönebilme ve park edebilme imkanı
sağlamaktadır. İleri ve geri yürüyüş hareketi esnasında tüm makaralar, dişli kutusu çıkış mili
ekseninde dönmekte ve ötelenmektedir. Çapraz hareket esnasında ise bir ön, bir de arkadan olmak
üzere yalnızca iki tekerlek üzerinde bulunan makaralar dönme ve ötelenme hareketi yapmakta, diğer
tekerlek üzerinde yer düzlemiyle temas halinde olan makaralar ise kendi mil eksenleri etrafında
dönerek ötelenmektedir. Yanlamasına hareketi esnasında ise arka ve ön tekerlekler birbirlerine göre
ters yönde dönmektedir. Tekerlek ve zemin arasındaki sürtünmenin etkisiyle yanal bir kuvvete
oluşmakta ,makaralar kendi mil eksenlerinde dönmekte ve oluşan yanal kuvvetin etkisiyle
kaymaktadır.
Çok yönlü tekeleğin hareketleri esnasında tekerlek yönlendirme olmadığı için her bir
tekerleğin farklı yönlerdeki farklı miktar dönüşleri istenilen yönde hareketi sağlar. Sisteme dahil
edilecek giriş parametreleri matrisler halinde elde edilmiştir. Mobil aracın yön kontrolünde zeminin
sürtünme katsayısı da etkili bir faktördür. Bu faktör sistemin matematiksel modeline signum
fonksiyonu ile dahil edilmiştir. İstenilen hareket için gerekli olan parametreler denkleme
eklendikten sonra mobil aracın ivmesi, matematiksel modelin bilgisayarda hesaplanması sonucu ile
bulunmuştur.
2
Çok yönlü tekerlekler farklı alanlarda birkaç yıldır kullanılmaktadır, fakat kullanımı pek
yaygın değildir. Bu tekerlekler mobil araç projesi yürüten insanlar tarafından tekrar gündeme
gelmeye başlamıştır. Projelerde bu tekerleğin tercih edilmesinin en büyük avantajı ise yüksek
manevra kabiliyetine sahip olmasıdır. Bu tekerlekler basit teknolojiye sahip olmasına rağmen bir
çok sistem tasarımında istenilen hareket için vazgeçilemez bir eleman haline gelmiştir. Yapılan
literatür araştırmaları sonucunda çok yönlü tekerlekli araçların askeri, endüstriyel, tıbbi, eğitim gibi
alanlarda kullanıldığı gibi başka çeşitli alanlarda da kullanıdığı görülmüştür.
Şekil 1. 4 Tekerlekli mekanum mobil robotun oluşturulma aşamalarından biri
YÖNTEM (METHOD)
Bu çalışmada sistem cevabını karakterize etme, kontrol sistemleri tasarlama ve sistem
davranışını tahmin etmek için Matlab/Simulink’de mobil aracın matematiksel modeli oluşturulmuş
ve Matlab/Simmechanics’de benzetim modeli oluşturulmuştur. Simulink, çok disiplinli sistemlerin
davranışalarını modellemek ve simule etmek için dahası bu sistemleri geliştirmek için gerekli
ortamı sağlamıştır. Matematiksel modelin simulinkte blok diyagram olarak modellenmesi
sonucunda sistemin verdiği cevaplar incelenmiştir.
3
Mobil aracın benzetim modeli Matlab-Simulink ve Simmechanics blokları kullanılarak
oluşturulmuştur. Mobil araç üç boyutlu bilgisayar-destekli tasarım (Solidworks) ortamında şasi ve
buna bağlı olan dört çok yönlü tekerlek olarak modellenmiş ve oluşturulan bu model Simulink
ortamına aktarılmıştır.
SimMechanics, mekanik sistemlerin modellenmesini sağlayan bir simülasyon paketidir.
Simulink ortamında çalışan bu paket, geniş kapsamlı fonksiyon kitaplığıyla Simulink ortamını
çoklu gövdeli mekanik modelleme olanağıyla genişletmektedir. Yaratılan modellerin otomatik
olarak 3 boyutlu şekli görülebilmekte ve benzetim sırasında hareketler canlı olarak
izlenebilmektedir.
A. Benzetim Model ile Yön Kontrolü (Directional Control with Simulation Model)
Yerel koordinat düzleminde {R} mobil robota monte edilmiş bir mekanum teker için eksenler
𝑋𝑅 𝑌𝑅 𝑍𝑅 olmak üzere; şekil 2 de de görüldüğü gibi A noktası merkez, diğer geometrik parametreler
ise:
𝛼, 𝐺𝐴 vektörünün açısı, G robotun geometrik merkezinin orijin noktası olmak üzere, A
𝑋𝑅 eksenine bağlı olarak geometrik merkez, β ise merkez tekerlek ekseni ve 𝐺𝐴 vektörü
arasındaki açıdır.
Şekil 2. Mekanum tekerin koordinat düzleminde gösterimi [13]
4
Robotun ilk ötelenme hızının {R} cinsinden ifadesi ise [𝑋𝑅̇ 𝑌𝑅̇ ]; 𝑍𝑅 ye bağlı dönme hızı 𝜃̇ dır.
Tekerlek merkezinin hızı öteleme hızlarının 𝑥𝑅̇ , 𝑦𝑅̇ toplamıyla hesaplanır ve dönme hızına bağlı
hız 𝑙𝜃̇ şekil 1 de görüldüğü gibidir. Böylece, tekerlek merkezi A’nın makara temas ekseni boyunca
hız bileşeni aşağıdaki gibi ifade edilir:
... (1)
Eğer makaranın kontak noktası boyunca hiç kayma olmuyorsa, aynı tekerlek dönüş hızı olan
ile aynıdır. Mekanum teker için sabit denklem:
... (2)
Robotun şasi ataleti {I}’nin robot şasisi {R}’ ye göre rotasyon matrisi ise aşağıdaki
gibidir:
𝜃, 𝑋𝑅 ve 𝑌𝑅 arasındaki açıdır. Robotun şasisi {R} için hız vektörü ise;
Denklem (2) aşağıdakine dönüştürülür:
(3)
Makaranın temas noktasına dikey olan yönde hareket kısıtlı değildir çünkü pasif temas makarası
serbest dönmektedir. Bunun sonucunda aşağıdaki hız bağıntısına ulaşılır:
5
Yukarıdaki denklem aşağıdakine dönüştürüldüğünde:
(4)
Şekil 2 deki gibi çok yönlü tekerlekli bir mobil robot olduğu farz edilirse;
𝛼𝑖 , 𝛽𝑖 ve 𝛶𝑖 açıları, 4 tekerlek monte edildiğinde, i=1,2,3,4 için çizelge 1 deki gibi olur.
Denklem 3 ten yola çıkıldığında;
(5)
Elde edilir.
Her mekanum tekerin eşit ve bağlantı uzaklıkları eşit alındığında,
𝑟 𝑖 = 𝑟, 𝑙𝑖 =l, i=1,2,3,4 ve çizelge 1 deki parametreler denklem 5 te yerine koyulduğunda
aşağıdaki ters kinematik denklemi elde edilir:
6
Çizelge 1. Mekanum tekerin parametreleri
Şekil 3. 4 tekerlekli mekanum robot [13]
7
Mekanum tekerli aracın ileri kinematik denklemi ters kinematik denklemin jakobian’ı alınarak
aşağıdaki gibi elde edilir [13];
Olduğu yerde,
𝑱+ = (𝑱𝑻 𝑱)−𝟏 𝑱𝑻
Burada
𝑱+ J ‘nin pseydoinversidir.
8
Şekil 4. 4 tekerlekli mekanum robotun serbest cisim diyagramı [13]
Şekil 3 teki gibi bir mekanum araç ele alındığında, pozisyon vektörü 𝑟𝐺= |𝑥𝑙 𝑦𝑙 | ile G geometrik
merkez olmak üzere, bağıl pozisyon vektörü 𝑟𝐺′/𝐺 = [−𝑑1 −𝑑2 ]𝑇 {R}’ye bağlıdır. Hız 𝑅𝒗𝐺
aşağıdaki gibi ifade edilir;
(9)
𝑥̇ 1 ve 𝑦̇1 X ve Y eksenleri boyunca G nin hız bileşenleridir. 𝑅𝒗𝐺 Hız vektörü robot şasisi {R}
içinde aşağıdaki gibi ifade edilir. Bu ağırlık merkezi G’ye bağlıdır.
(10)
Toplam kinetik enerji aşağıdaki gibi ifade edilir:
(11)
9
𝑚𝑏 Platformun ağırlığı, 𝑚𝑤𝑖 i nolu tekerleğin ağırlığı, i=1,2,3,4; 𝚤𝑏 𝑧𝑅 ye bağlı ataletsel
moment, 𝚤𝑖 i nolu tekerleğin ataletsel momenti, 𝜃̇ platformun açısal hızı ve 𝜑̇ 𝑖 tekerleğin açısal
hızı ve r her tekerin yarıçapıdır. Toplam potansiyel enerji 𝑉 = 0 olduğundan;
Lagrange denklemi L=T-V=T aşağıdaki gibi elde edilir;
(12)
Dinamik model ise;
(13)
𝑞𝑖 i nolu genelleştirilmiş koordinat ve 𝐹𝑖 i nolu genelleştirilmiş kuvvet / tork’tur.
Genelleştirilmiş koordinat vektörü;
. 𝑓𝑖 Tekerleğin temas yüzeyinin sürtünme kuvveti olmak üzere;
(14)
10
Denklem (6) da alınırsa;
Böylece;
(15)
Aynı Şekilde;
(16)
(17)
Denklemin düzenlenmesi sonucu genel hareket denklemi;
1
M(q) 𝑞̈ + C(q,𝑞̇ ) 𝑞̇ + 𝐵 𝑇 S f = 𝐵 𝑇 𝜏
𝑟
1
𝑞̈ = 𝑀−1 [ 𝐵𝑇 𝜏 - C 𝑞̇ - 𝐵𝑇 S f]
𝑟
Olduğu yerde,
q = [ x1 y1 𝜃̇ ]T
𝜏 = [ 𝜏 1 𝜏 2 𝜏 3 𝜏 4 ]T
f = [ f1 f2 f3 f4 ]T
11
S = diag[ sgn(φ̇1) sgn(φ̇2) sgn(φ̇3) sgn(φ̇4) ]T
M = [ mij ]3x3, m12 = m21 = 0
m11 = m22 = mb + 4(mw +
Iw
r2
)
m13 = m31 = mb(d1 sinθ + d2 cosθ)
m23 = m32 = mb(-d1 cosθ + d2 sinθ)
m33 = mb(d12 + d22 ) + lb + 8(mw +
1
r2
𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛 𝜃
𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛 𝜃
B=
−𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛 𝜃
[−𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛 𝜃
) l2 sin2 (π/4 + α)
𝑠𝑖𝑛 𝜃 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃
−𝑙√2 𝑠𝑖𝑛(𝜋/4 + 𝛼)
𝑠𝑖𝑛 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃
−𝑙√2 𝑠𝑖𝑛(𝜋/4 + 𝛼)
−𝑠𝑖𝑛 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃
−𝑙√2 𝑠𝑖𝑛(𝜋/4 + 𝛼)
−𝑠𝑖𝑛 𝜃 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃 −𝑙√2 𝑠𝑖𝑛(𝜋/4 + 𝛼)]
0 0 mb θ̇ (d1 𝑐𝑜𝑠θ − d2 𝑠𝑖𝑛θ )
C = [0 0 m θ̇ (d 𝑠𝑖𝑛θ + d 𝑐𝑜𝑠θ ]
b
1
2
0 0
0
Şekil 2. Sistemin Simulink Modeli
12
Şekil 3. Simulasyon ortamında hareketleri gözlemlenen mekanum araç
13
Şekil 7. Simulinkin çeşitli araçlardan ve kütüphanelerden oluşan arayüzü
14
Şekil 4. Sistemin dinamiğinin matematiksel modelinin simulink blok diyagramı - 1
15
Şekil 5. Sistemin dinamiğinin matematiksel modelinin simulink blok diyagramı - 2
16
Şekil 6. Sistemin kinematik modelinin simulink blok diyagramı
Şekil 7. Solidworks’te çizilen CAD modelin simmechanics’teki blok diyagram hali
17
Şekil 8. Sistemin tekerlek dönüş yönleri ve hareket yönü ile alakalı gösterim. [14]
Sisteme girilen parametreler ile sistem 12 farklı hareketi simulasyon ortamında tamamlamıştır.
Sisteme girilen parametreler ile sistem 12 farklı hareketi simulasyon ortamında tamamlamıştır.
Mobil aracın benzetim modeli MATLAB/ Simulink ve Simmechanics blokları kullanılarak
oluşturulmuştur. Mobil araç üç boyutlu bilgisayar-destekli tasarım (SOLIDWORKS) ortamında
şasi ve buna bağlı olan dört çok yönlü tekerlek olarak modellenmiş ve oluşturulan bu model
Simulink ortamına aktarılmıştır.
SimMechanics, mekanik sistemlerin modellenmesini sağlayan bir simülasyon paketidir.
Simulink ortamında çalışan bu paket, geniş kapsamlı fonksiyon kitaplığıyla Simulink ortamını
çoklu gövdeli mekanik modelleme olanağıyla genişletmektedir. Yaratılan modellerin otomatik
olarak 3 boyutlu şekli görülebilmekte ve benzetim sırasında hareketler canlı olarak
izlenebilmektedir
DENEYSEL ÇALIŞMALAR (EXPERIMENTAL STUDIES)
Deneysel çalışmalarda gerçek forklift sisteminin PLC arayüzüne kinematik ve dinamik
denklemler girilecek ve bunun sonucunda oluşan teorik ve pratik sonuçlar incelenecektir.
Oluşturulan blok diyagramlar sistemin karakteristiğidir.
18
A. Öteleme ve Dönme Durumlarının İncelenmesi (Investigation of Translational and
Rotational Conditions)
Sistemin 4 tekerine de negatif ve aynı büyüklükte hız girilmesi sonucu oluşan tepki Şekil 9’da
görülmektedir. Bu grafikte kırmızı çizgiyle ifade edilen sistemin açık çevrim Y eksenindeki hız
cevabıdır. Giriş ise simulink denkleminde de görüldüğü gibi adım fonksiyonudur.
Şekil 9. Sistemin Y eksenindeki hız cevabı
Şekil 10. Deneylerin yapıldığı gerçek forklift sistem
19
Gerçek sistemde ise bu cevap simulasyona yakındır. Simulasyonda 4 tekere aynı ve pozitif
yönde hız girilmesi gerçek sistemdeki joystickin geri yönde hareket ettirilmesi sonucu verdiği
tepkiyle aynıdır. İkisi de açık çevrimdir.
Torkun yarıçapa oranı sürtünme katsayısı olan f’ye eşitlendiği zaman sisteme hız girilse bile
hareket etmemektedir. Tekerlek torklarından sadece biri düşürüldüğü zaman o tekerlek yönünde
kaydığı görülmektedir.
(a)
(b)
Şekil 11. (a) Torkun yarıçapa oranının f’ye eşitlendiği durumda hız girilse bile sistem hareket
etmemektedir. Bu durum birinci grafikte görülmektedir. (b) Diğer tüm parametreler eşit sadece
birinci tekerin torku düşüktür. Bu durumda X ve Y yönünde bir öteleme hareketi gözlemlenmiştir.
SONUÇ VE TARTIŞMALAR (RESULTS and DISCUSSIONS)
Yapılan çalışmalar sonucunda mobil araç yön kontrolünde makara malzemesinin
özellikleri, tekerleğin tasarımı, zeminin özellikleri, makaradaki toplam kuvvetler ve tekerlek tork
değerlerinin önemli rol aldığı tespit edilmiştir. Aracın XY düzlemindeki 10 farklı hareketi
tekerleklere farklı yön ve yükseklikte hızlar verilerek incelenmiş ve ilerde yapılması planlanan
çalışmalara ışık tutmuştur. İlerdeki çalışmalar ise sistemi akıllı hale getirmeye yönelik olacaktır. Bu
çalışmalar sonucu forklifitin akıllı mekatronik sistem haline getirilmesi en büyük hedeflerden
biridir. Manevra kabiletinin yüksek olabilmesi için dönüş hareketleri esnasında tekerleğin
zemindeki sürtünmelerden optimum olarak etkilenmesi istenilmiştir,
20
TEŞEKKÜR (ACKNOWLEDGEMENT)
Bu çalışmayı Teydeb 1507 Programı kapsamında destekleyen Bilim, Sanayi ve Teknoloji
Bakanlığına ve proje ortağı olan Sekizli Makina ve Vinç Sanayi Ticaret. A.Ş.’ye teşekkür ederiz.
Ayrıca bu çalışmanın gerçekleştirilmesinde değerli yardımlarını esirgemeyen Okta Lift Makine ve
Mühendislik çalışanları Mehmet Emin ÖRS, Adem DİLBAZ, Serhat BENLİ ve Burak
YEŞİLGAZEL’e teşekkürü bir borç biliriz. Bu makale Mahmut ÇİMEN’in yüksek lisans tezinden
türetilmiştir.
KAYNAKLAR (REFERENCES)
1. Shimada, A, Yajima, S, Viboonchaicheep, P, Samura, K, Mecanum-wheel vehicle systems
based on position corrective control. Icon Proceedings, pp.2077-2082, 2005.
2. Wang Yizhi and Chang Degong, "Motion Performance Analysis and Layout Selection for
Motion System with Four Mecanum Wheels", JOURNAL OF MECHANICAL
ENGINEERING, May. 2009, vol.45(5), pp. 307-310, 316.
3. Plumpton, J.J., Hayes, M.J.D., Langlois, R.G., Burlton, B.V.: Atlas Motion Platform
Mecanum Wheel Jacobian in the Velocity and Static Force Domains. No. 13-CSME-192,
E.I.C. Accession 3650 (September 2013)
4. M. de Villiers and Prof. G. Bright,"DevelopmentOf A Control Model For A Four Wheel
Mecanum Vehicle" 25th Intemational Conference of CADICAM, Robotics & Factories of
the Future Conference, July 2010, Pretoria, South Africa
5. Lih-Chang Lin and Hao-Yin Shih, ‘’Modeling and Adaptive Control of an Omni-MecanumWheeled Robot’’ Intelligent Control and Automation, 2013, 4, 166-179
6. S. Bruins, “Mecanum Wheel,” https://grabcad.com/library/mecanum-wheel, accessed 201412-13.
7. Lippit, T.C., Jones, W.C., (1998), “OmniBot Mobile Base”, KSC Research and Technology
Report, NASA, USA,1998.
8. Olaf Diegel, Aparna Badve, Glen Bright ‘’Improved Mecanum wheel design for Omnidirectional Robots’’ Australian Conference on Robotics and Automation Auckland, 27-29
November 2002
9. Purwin O. ve D’Andrea R., Trajectory Generation and Control for Four Wheeled
Omnidirectional Vehicles, Robotics and Autonomous Systems 54, 13–22, 2006.
21
10. Han K.-L., Choi O.-K., Kim J., Kim H. ve Lee J. S., Design and Control of Mobile Robot
with Mecanum Wheel, ICROS-SICE International Joint Conference, Fukuoka International
Congress Center, Japan, 2932-2937, 2009.
11. Badve AA. All Terrain Omni-Directional Autonomous Mobile Robot. Master’s Thesis,
Massey University, Auckland, New Zealand 2003
12. Tlale, Nkgatho, and Mark de Villiers. "Kinematics and dynamics modelling of a mecanum
wheeled mobile platform." Mechatronics and Machine Vision in Practice, 2008. M2VIP
2008. 15th International Conference on. IEEE, 2008.
13. Lin, Lih-Chang, and Hao-Yin Shih. "Modeling and adaptive control of an omni-mecanumwheeled robot." Intelligent Control and Automation 4.02 (2013): 166.
14. Doroftei, I., Grosu, V., Spinu, V., Omnidirectional Mobile Robot – Design and
Implementation”, Bioinspiration and Robotics: Walking and climbing Robots, Book edited
by: Maki K. Habib, ISBN 978-3- 902613-15-8, pp. 544, I-Tech, Vienna, Austria, EU,
September 2007.
22