Uploaded by cihanq

Antrenmanlarla Matematik-1

advertisement
Matematik öğrenmeye yeni karar verenler,
En temelden başlamak isteyenler,
İşlem hatası çok olanlar ve
İşlem hızını artırınak isteyenlE!r içiıı� ..
ANTRENMANLARLA
MATEMATİK'
Birinci Kitap
Halil İbrahim KÜÇÜKKAYA
Bire Bir Öğretim Uzmanı
Ahmet KARAKOÇ
Mehmet GİRGİÇ
'T'ra6zon{u 'T'enuıfin sevBi{i torunu !Eda'ya verifen ödev ile Gaşı derttedir... 1stan6ulia 8Öf eden
arkadaşı 'Niyazi'ye başına 9efenCeri yazar.
"'Niyazicujjum. 'Hani 6enum küculi torun var ya. §eçen akşam, geturdi odevi,ni öıiume
yandan da agfay. Zaten imlerini fiey 6aga açar.
.foyaı. '.Bi
'Dedi lii;
- "'}[a6un(ari anCiyamaaum. Yarin o.qretmen Geni cfövecefi."
'Dedum ki; " �(ama uşagum. '.Bunun içun oğretmen uşak dövmez. Şinull oni çözen.ık. " �ma ne
mumliün 'Niyazi liardaşum.: '.Bi trenfan 6i cto6us ayni.istasyondan fu(fimiş(ar. 'Tren cto6ustan
üçte 6ir aafuı liızli aufiy. Oto6us iki yerde on6eşer dafifia istirafuıtveriniş. 'Tiren da 6iyerde
iunniş, 20 dafifia su ,Jlmiş. 0to6us saatte 60 f.ıl'ometre 9idiymiş. 'llren s saat sonra aileceai .
yere vanniş. Oto6us ise ne vakit sonra oriye varacakmiş. O.qraştum yayamad'um. 'Uşak da 6i
yanılan agfay. 'Derken 6o6asi gefai. O da oğraşti çözemedi. 'Dedum oga ki; "damat senıin
tanufııeun tafisi([i 6i cto6os şofori var ise oğa sorafum. '.Be(liio 6ile6ifur. Yahutta sa6afi ofsun da
6e uşatJi şoforCer cemiyetine Bötureyum. Onlar arasında .Ge(fii tirenfan yariş etmiş 6i şofor
vardur da 6ize nasihat verur."
'l(aı '.Bu arada 6iz 6i yandan da uşağa tireni tarif eiiyrufi. 'Tiren acmnemiş ki ... '1fe anasi
aormiş, ne 6o6asi. '.Ben da 6i tefi as�rfukie !Erzurum'dan Sivas'a aittiydum. 'Neysa faidaşum, o
aece çok liizd'um. 'Dfyecefisun lii niye? La ... 'Uşak dafuı
ıiır agdcinCan iuıı: ayir�
y; mezain
tna
Bösteriyrum, fuımsi iiy, yumurtanunfa6rifuda yapiUujjuni Sanay, 'BızgeUuk ara6a
yariştiriyruli.
'Ufa, oriye oto6os s�tinde aitsa ne ofur, aeç ı9itsa ne o(ur? §ıır6etten
yicı mi 6efCiysun? !Eger
varacagı saat onemCiysa, edersun yazilianiye 6i te{ef&n, ier(er saga oto6osun ineceğu zam.ani.
'J(a6u liadarfufi mesele içun sabiyi su6yaniniye te(efeiersunuz?
La ...'Uşafi(araa şarki yofi, türki yok, oyun yok; v.71.Y9l1v!1Şi.!Ei �'T'!Ei19ı'T1§'U.
�Y'l.lP'T'U'R. Y�W!..." ©©©
Birinci Kitapta Neler Var?
1.
2.
3.
4.
Toplama - çıkarma işlemi
Çarpma işlemi ve işlem önceliği
+" ve " -" muhabbeti
9
19
11
51
Parantezleri açma ve kapama
83
s.
Sadeleştirmeler ve sık yapılan sadeleştirme hataları
111
Basit denklemlerin çözümü
7.
Rasyonel sayılar
119
6.
151
8.
Ondalık sayılar
181
9.
Oran - Orantı
201
10. Rasyonel denklemlerin çözümü- 1
11. Rasyonel denklemlerin çözümü - il
12. İki bilinmeyenli denklemlerin çözümü
13. Basit eşitsizliklerin çözümü
14. Mutlak değer ve özellikleri
15. Üslü ifadeler
16. Köklü ifadeler
17. Çarpanlara ayırma
18. İkinci dereceden basit denklemlerin çözümü
19. Cevaplar
205
227
257
271
281
297
319
339
349
355
-��-
CtihfrArf
M��fui,�·�k.oş�d,oihaıÇ«bukıauıu.·
:. . •,;:,S;21rXJY:re:. iii,
f�'BACON
Miii+El,iii&F
1.Güw
T'öPLAMA - ÇIKA'RMA
Bu arada biliyorsunuzdur. Pozitif sayıların önüne
"+" işareti koymasanız da olur. Problem değil.
Yani, +3=3 ya da+4= 4 tür.
Matematik öğrenmek için yola çıkarken toplama çı. karma probleminiz olmamal1: Onun için ilk adım ve ilk
antrenmanlar toplama çıkarma işlemleriyle ilgili olacak.
Toplama ve çıkarma işlemini çok hızlı yapabilmek
Negatif sayılar toplanırken sayılar parantez içinde
olmayabilir.
lazım. Eğer bu işlemlerde probleminiz olmadığını fark
Yani, (-5)+ (-7) = - 5 - 7= -12 dir.
ederseniz hızlı geçersiniz. Problem değil.
Yine aynı şekilde
Ama unutmayın ki ilk adımı yanlış atarsanız hem so­
(- 4) + (- 5) + (-2)= - 4 - 5 -2 = -11 dir.
nuca ulaşamazsınız hem de zaman kaybedersiniz.
Dolayısıyla matematiği öğrenmeye karar verdiyseniz
doğru yapmanız gereken, daha doğrusu yanlış yap­
mamanız gereken ilk şey toplama ve çıkarma işlemi
olmalı.
Ters işaretli iki sayının toplamı (Çıkarma işlemi)
Biri artı diğeri eksi olan iki sayı toplanırken büyük
sayıdan küçüğü çıkarılır. Tabii ki sonucun işareti büyük
sayının işareti ile aynı olur.
Toplama ve çıkarma işleminde problemi olanların ilk
örnek olarak şunları inceleyin.
önce bu problemlerini halletmesi lazım. (ki diğer prob­
12 -3=-3+12=9
lemlerinin üzerine eğilmelerinin bir anlamı olsun.)
-1 4+4 =4-1 4 =-10
Bu bölümde,
3+4 -10= 7 -10=-3
Pozitif iki sayıyı toplama ve çıkarma,
Başka açıklamaya gerek var mı?
Negatif iki sayıyı toplama,
Biri pozitif diğeri negatif olan iki sayıyı toplama, Üç
Eğer üç veya daha fazla sayı olursa
veya daha fazla sayıyı toplama veya çıkarma, gibi
Üç veya üçten fazla sayıyı toplarken (veya çıkarırken)
basit temel işlemler var.
çok kesin kurallar olmamakla birlikte, pozitifleri kendi
Lütfen bu işlemlerde sıfır hata yapıncaya kadar ant­
arasında negatifleri de kendi arasında toplayıp daha
renmanlara devam edin. Çünkü bunlar gerçekten çok
sonra elde edilen sayılar arasında işlem yapabilirsiniz.
önemli.
Aynı işaretli iki sayının toplamı
Aynı işaretli iki sayının toplamında sonuç toplanan
sayılarla aynı işaretlidir.
Ayrıca toplanan sayıların yer değiştirmesi de sonucu
değiştirmez.
örnek olarak şunlara bi göz atın bakalım.
+ 7+ 5=12
+5+7=12
+2+3+ 4=9
+3+4+2=9
+4+2+3=9
(-5)+ (-7)= -12
(-7)+ (-5)= -12
Demek istediğim şu
Örneğin,
5 - 7 +2 - 8+.9= (5 +2+9)+ ( - 7 - 8)
=16 + (-1 5)
=1
ille de böyle yapacaksınız diye bir kural yok: ilk önce­
size kolay geleri sayıları toplayıp (çıkarıp) öyle de
işlem yapabilirsiniz.
Mesela, yukarıdaki işlemi
5 - 7 + 2 - 8 + 9 = (5+2) - 7 + (9 - 8)
�7- 7+1
=0+1
=1
biçiminde düşünerek de yapabilirsiniz.
Örnek Soru
Bir de 12-15 -4 + 30 + 2 + .13 - 8 işleminin sonucu­
nu bulalım.
Bu işlemi yaparken dikkatli b�karsanız topladığınızd�
sıfıra eşit olan sayılar var. Bu sayıları kendi arasında
toplayıp birbirine yedirmek işinizi kolaylaştırır.
Şöyle olabilir örneğin:
== (12 - 4 )-15 + 30 + (2 + 13 )- 8
■i,iii+El,iiil+E
61 + 2. 6.5.,.. 2169., 71 � 273 + 2175.
işlemlnln sonucu kaçtır-1
Bu soruyu çözebileceğinizi biliyorum. Ama buradaki·.
amacım soru çözerken yöntem bilmenin önemli ama
doğru sonuca götüren en kısa yöntemi bilmenin daha .
önemli olduğunu göstermek.
== 8 - 15 + 30 + 15 -8
Bu sorudaki en kısa çözüm şu
= ( 6 1-71) + (265-273) + (2175 - 2169)
= 30
= (-10) + (- 8) + 6
== (8-8)+(15-15)+30
Tabii ki ben böyle yaptım. Ama siz daha başka türlü de
yapabUirsi�iz. Ben .sadece bir fikir vermeye çalışıyo­
rum.
Aklınızda olsun; Bazen ters işaretli ve birbirine
yakın iki sayıyı toplayarak sayıları küçültebilirsiniz.
=-12
Şu iki örnek soruyu da siz çözün bakalım.
29 + 369 - 4258 + 4259 - 355 - 30
işleminin sonucu kaçtır?
örneğin,
72-65-134 + 30 + 28 + 130-60 işlemini yapalım.
ilk önce birbirine yakın ters işaretli sayıları görün.
= (72- 65) + (130-134) + ((30 + 28)-60)
=7-4-2
=1
Örnek Soru
835 + 7819 + 3913 -7814 -3915
işleminin sonucu kaçtır?
333 + 2013- 222 + 75 -2013-70
işleminin sonucu kaçtır?
Önünüze gelen bir soruyu çözmeye başlamadan önce
nasıl bir yöntem kullanacağınıza karar verin.
Mesela bu soruda ilk önce artı olan sayıları kendi
arasında eksi olanları da kendi arasında toplayıp işlem
yapılabilir.
Yani, (835 + 7819 + 3 913) + -7814(
3915)
12567-11729 = 838
Buna kimsenin itirazı olmaz. Ama benim olur.©
Çünkü şöylesi daha pratik.
Birbirine yakın artı ve eksi sayıları birbirine yedirmek
daha şık.
Yani, 835 + (7819 -7814) +(3913-3915)
= 835 + 5 + (- 2)
= 838
Unutmayın ki sınavlarda zamanla yarışacaksınız.
ilkinin cevabını 14, ikincisinin 116 bulduysanız ant­
renmanlara başlayabilirsiniz. Bulamadıysanız da©
Daha fazla uzatmayayım. Hareketleri gösterdim. Gerisi
size kalmış. ©
Ama sakın ola ki antrenman yapmadan ya da eksik
antrenmanla maçlara çıkmayın© Maçlarda rakipler
çok güçlü. Ona göre.©
ilk antrenmandaki sorular acayip kolay.©
Olsun. Problem etmeden çözün. Zaten amaç işlem
hızınızı artırmak. Yalnız bu tür işlemleri yaparken
sonuc un pozitif mi y oksa neg·atif mi olduğuna dikkat
edin bi zahmet.
13. -25+38
1. 9+7
15. 27-19
ilk önce iki sayıdan oluşan işlemler.
2. 7+8
3. -10+9
4. -7+8
5. -12+3
6. 12-17
7. (-5)+( -7)
8. -7-5
9. 23+32
10. -17+28
11. 54-29
12. 34-'21
a,iibMiilldl
14. 12-45
16. 61-43
17. 86-48
18. -73-27
19. -72+25
20. -28-46
Şimdi de üç sayıyı toplayıp çıkarın bakalım.
21. 3+5+7
22. 8-5-6
·23.-1-6-4
24. -2-9-6
25. 3 + 8 +,5
Eiiiiı+Eii,iiii►◄
26. -9 + 5- 7
27. -4-6+8
28. -8 + 2-3
29. 13-25+ 17
30. 23 - 34 + 40
31. -13-23+42
32. 35 + 13 - 42
33. 12 - 25-15
35. 19 - 53+ 24
Ve dört sayıdan oluşan toplama çıkarma işlemleri.
36. -4 - 7 -8 - 4
37. 9-5-7-1
38. -14 - 2 +8+6
39. - 3-7 +5+4
40. - 9-11 - 12+2
Aşağıdaki toplama çıkarma işlemleri hızlı.ve hata,
sız yapmaya çalışın.
üçten fazla sayıyı toplayıp çıkarırken kendinize bir
yöntem belirlemeye çalışın.
1. 3 - 2-5+6 - 1
2. 1 - 2 - 3 - 8 + 2
3. 4 + 1 - 6 - 9 - 2
4. - 2+7 - 2 - 5+ 1
5. 3 - 5 + 7 - 8 - 1
6. 5 + 4-7-2 - 4
7. -2 - 5 - 7 - 14+9
8. 4-5 +6-7+8 - 9
9. 3 - 5+2-7 -6
10. -2 -5-6-5-4
11. - 15+6+5-13
12. 3-5+2 - 8 - 5
13. 15 - 2 -6-3+7
14. - 38+7+9 + 8
15. 12 - 18+21 - 19
iiihilıl■Hilihi
Ellıiilhiidiitihfi
16. -3 -17-12 +2
23.-5-6-7 +8+ 9•·.··,
17. -3-5 +7 +1-10
24. - 5-4- 6-8 +19
18. 3 +6 +9 +12 +15
19,-5 +3-8-1 +7
20. 8-5 +2-7-4-7
21.-2 -4 - 3- 6 -10
22. 65-12- 5-11-8
25. 3 +9-7-5 +1
26. 9-4-12 +18 +6
27. 2-14-17 +23-5
28. (64-8 -8-16)-24
29. 1 +3-4 -5-6
Her antrenmandan sonra işlem hızınızın kesinlikle
arttığını göreceksiniz. © Ama bu artış hızı biraz yavaş
olabilir. Sıkıntı etmeden devam edin.
Ve şunu bilin ki Antrenmanlarla Matematikle başla­
yıp hedefine ulaşan on binlerce öğrenci var. Onun için
çalışırken sıkılsanız bile pes etmeyin. Ve unutmayın ki
başarı kapısı sabırsızlara açılmaz.
1. -2 - 6 - 8 - 10-1 2
2 . 2 -3 + 4 -5 + 6 -7
1.{iÜN\ı.
■&lili,IE&iiiii+•
7. 21-3-8 - 6 + 12 - 4-7
8. 61 - 23-17-2 -4 - 8
9. 7
+ 8 + 17 + 18 - 28-29
o. - 2-1 3- 14 - 35+56
3. 32 -5 - 6 - 7 - 1 - 6
1
4. 9 + 9+9 + 8 -t- 8 + 8
1 1 . 20 + 4 + 4 + 4
5. 85-9 - 8 - 7-10 - 6
12. 2+4+9-7 - 13-4
� 56 - 8 - 9 - 5 - 4-2-7
13. 9-2-3 -4 + 5 -6
+4 +4
14. 2-3 + 4-5-7-2
21. 14 -5 + 6-7 + 8-9
15. - 13 + 9-5 - 7 + 6 + 9
22. 18-2 - 7 - 3 + 17-1 O
1 6. 9-13-5 - 8-9-2
2� 5-1 4-5 + 6-7 + 8 -9
17. (36-8 - 7-7 )-(15 - 3-3)
24. 8 + 2 + 4-3-7-1O
18. -1-2-3 -4 + 5 + 6 + 7
25. 20 + 4 + 4 + 4-5-5 - 5
19. 1 - 2-3-5+6-8-10
26. 12 - 4 + 9-7- 13 + 7
20 . 4 - 12-13 + 25-6-2
27. 4-18+5 - 12-14
2.
••
�� ��- 8&ıtt1M.flı �
daı � � �­
St. A�
�� lcala,,ı,� ��s��
.
G�
iiıihiih•i+II
2.Günı
Çarpım Tablosu
Çarpım tablosu probleminiz var mı?
Eğer çarpım tablosu probleminiz var ve bunu par­
mak hesabıyla hallediyorsanız© soruları seri bir
şekilde çözebilmeniz mümkün değil.
Onun için çarpma meselesinde,
ilk önce tek haneli iki sayıyı (yani çarpım tablosu­
nu), sonrada iki haneli bir sayı ile tek haneli bir sa­
yıyı zihinden çarpabilecek duruma gelmeniz lazım .
Hatta daha sonra 30 dan küçük iki basamaklı iki
s ayıyı bite belki©
Çarpma işlemlerini doğru yapmak önemli. Ama
çarpım sonucunun işaretini de doğru yazmak la­
zım.
Şimdilik sadece şu kadarını söyleyeyim.
Aynı işaretli iki sayının çarpımı pozitif, ters işa­
retli iki sayının çarpımı ise negatiftir.
Bölmede de işaret olayı aynıdır. Yani, aynı işaretli
. iki sayının bölümü pozitif, ters işaretli iki sayının
bölümü ise negatiftir.
Yani,
( + )( +) = (-)(-) = ( +)
(+ ) = .tl = (
+)
(+) (-)
( + )( -) = ( -)( +) = ( -)
11 = .tl = (- )
(-)
(+)
Anlaşıldı mı burası?
Bir de şunlara dikkat edin.
Çarpım tablosunda problemi olup da söyleyeme­
yenler veya bunu kendisine bile itiraf etmek iste­
meyenler. Üzülmeyin . Bu yolda yalnız değilsiniz.
Sizin gibi yüz binlerce öğrenci var bu alemde©
Çarpım tablosunun her bir bölümünü 5 dakika için­
de ezberleyebilirsiniz.
Nasıl mı?
önce ritmik saymayı öğrenin. Yani, 2 şer 2 şer 20
ye kadar, 3 er 3 er 30 kadar, 4 er 4 er 40 kadar, ...
9 ar 9 ar 90 a kadar hızlı bir şekilde takılmadan
sayma işini halledin. Sonrası kolay.
Şimdi sizin tablonuz da yoktur. ©
Problem değil. Gelin bakalım.
Çarpım tablosu olmayanlar için çarpım tablosu ha­
zırladım.©
ilk önce şunları ezberleyin. Ama dediğim gibi ya­
pın.
2 X 1 "' 2
3 X1 ., 3
4x1 •4
2X2=4
3x2=6
4X2=8
2X3•6
2x4-8
2 X 5 = 10
3x3=9
4 x 3 = 12
3x5
4 X 5 = 20
3 x 4 = 12
c
15
4 x 4 = 16
2 X 6 = 12
3 X 6 "' 18
4 X 6 =- 24
2 X 7 "' 1 4
3 X 7 = 21
4 x 7 = 28
2 X 8 = 16
3 x 8 = 24
4 x 8 = 32
2 X 9 = 18
2 x10 = 20
3 X 9 = 27
4 x 9 = 36
3 X10
4 X10 = 40
"'
30
ikinci adım da şunları©
5x1 •5
6x1 =6
7x1 =7
5 X 3 = 15
6 X 2 = 12
6 X 3 = 18
7 X 2 = 14
-2(-4 ) = 8
5 x 4 = 20
6 x 4 = 24
7 X 4 - 28
5 X 5 "' 25
6 x 5 = 30
7 X 5 = 35
-2 - 3 (-3) = -2 + 9 = 7
S x 6 = 30
6 x 6 = 36
7 X 6 "' 42
5X7
35
6 x 7 = 42
7 x 7 = 49
5 x 8 = 40
6 x 8 = 48
7 X 8 = 56
- (-3) = (-1)(-3 ) = 3
-(-2).3 = 6
Neyse ... Bu meseleyi daha sonra ayrıntılı olarak
ele alacağım için geçiyorum.
Geçtim.©
5 X 2 =10
"'
5 X 9 = 45
5 x10 = 50
6 x 9 = 54
6 x10 = 60
7 X 3 = 21
7 X 9 = 63
7 X10 = 70
2.GÜH\ı
Şu üçüne biraz daha fazla zaman ayırın.
8X1 =8
9x1=9
10 X 1 = 10
8 X 2 ., 1 6
9 X 2 = 18
8 X 3 = 24
9 X 3 = 27 .
1 0 X . 2 "" 20
8 X 4 = 32
9 X 4 = 36
10 X 4 = 40
8 X 5 = 40
9 X 5 = 45
10 X 5 = 50
8 x 6 = 48
9 x 6 = 54
1 0 ) 6 = 60
8 x 7 = 56
9 X 7 = 63
1 0 X 7 = 70
8 x 8 ,,, 64
9 x 8 = 72
1 0 X 8 = 80
8 X 9 "' 72
9 x 9 = 81
1 0 X 9 = 90
8 x 10 = 80
9 X1 0 = 90
10x10 = 10c
10 X 3
m
30
(
Ezberlediniz mi?
Sonra boş bir kağıda bu eşitliklerin sol taraflarını
(yani, 7. 7 "', 8.7 "', 9.6 = , . . . ) karışık bir şekilde
yazarak bunların değerini yazmaya çatışın.
Eksiksiz ve hatasız yazdığınızdan emin olduğu­
nuzda antrenmanlara geçebilirsiniz. ©
Ayrıca, çarpma işlemiyle ilgili olarak şunları da not
edin bakalım.
Çarpma işleminde değişme özelliği vardır. Yani,
çarpılan sayıların yer değiştirmesi sonucu değiş­
tirmez.
5 - 6 = 6 · 5 = 30
3 - 5 = 3 ;5 = 1 5
örneklerinde olduğu gibi.
üçveya daha fazla sayı çarpılırken de saydar
yer değiştirebilir. Sonuç yine aynı çıkar.©
2 - 3 • 5 = 30
2 - (3 · 5 ) = 30
( 2 - 3) - 5 = 30
5 - 2 · 3 = 30
3 - 5 - 2 = 30
Anlaşıldı mı ne demek istediğim?
Bazı bölme işlemlerini yapabilmek için bile çarpım
tablosunu bilmek lazım;
örneg-in 28 - 45 • 56 işleminde
' 7
9
8
32 72 42 ( 12
+
Veya
8
9
7 6
_.!§.)
işlemindeki
gibi.
..
·
5
·
.il
Bu gibi işlemlerin sonucunu bulabilmeniz çarpım
tablosunu bilmenize bağlı gördüğünüz gibi. Yoksa
payda filan eşitlemek tam bir amele işi.
Öyle değil mi?
Ve zihinden bölme yapma konusunda da pratik­
leşmeniz lazım.
örneğin
72 45
52
12 + 1a. T --rr
36
80 65
42 28
16 ·13-14. T
Gibi işlemlerde bölmeleri zihinden yapınca epey bi
zaman kazanmış olursunuz.
ileride bana daha çok hak vereceksiniz. ©
Eveeet. . . Canlar!
Bunca yıldır matematikle iç içeyim. Hayatımız ma­
tematik olmuş© önceki yıllarda işe Antrenmanlar­
la Matematikle başlayıp da acayip iyi yerleri kaza­
nan çoook öğrenci gördüm.©
Ve size de diyeceğim o ki, bu iş başaramayacağı­
nız kadar zor değil kesinlikle; Başardığınızda da
imkansız bir şeyi başarmış olmayacaksınız. (Belki
sizin için matematiği öğrenmek imkansızı başar­
mak gibi bir şey olabilir.®)
Zaten ben başaracağınıza eminim. Siz de emin
olunca daha doğrusu başardığınızı görünce başari"
hikayenizi antrenmanlarlamatematik.com a ya­
zarsınız artık©
Veya [email protected] a bir teşekkür
maili gönderirsiniz.©
Ama bir şeyi çok net söyleyebilirim ki o da şu:
Ortalama zekaya sahip olan herkes matematiği
öğrenebilir. Yeter ki doğru bir uzmanla veya kay­
nakla işe başlanmış olsun. Ve disiplinli ve düzenli
çalışmadan da taviz verilmesin. Yoksa "sayısalcı
kafası!" "sözelci kafası!" diye kafa çeşitleri yok­
tur.©
Neye nasıl yoğunlaştığınız önemli. Eğer matematik
öğrenmeye karar verdiyseniz bu tecrübeye güve­
nin.© Ve sıkılsanız bile bu kitabı adam gibi günü
gününe çözerek 1 ayda (hatta daha erken bile ola­
bilir.) bitirin.
Anlaştıysak devam edeyim.©
1
�-'-·---'--�---�----------------------Aslında matematik öğretim ve öğrenimi ile ilgili çok
daha fazla şeyler söyleyebilirim.
Ama neyse. . .
Siz antrenmanları nızı aksatmadan çalışmaların ıza
devam edin. Teşekkürü sonra edersiniz. ©
Öyle değil mi?
İşlem önceliği m uhabbeti (Acayip Ö nemli)©
Daha sonra ayrıntısıyla üzerinde duracağım. Ama
hoş bi muhabbet olduğundan bahsetmeden dura­
mıyorum ki.©
Siz de çarpma işleminde probleminiz yoksa işlem
önceliği muhabbetine geçebilirsiniz.
Size çok basit birkaç soru
Birincisi şu
1 + 2.3 işleminin sonucu kaçtır?
9 mu yoksa 7 mi?
İkincisi şu
1 + 2 (1 + 2) işleminin sonucu kaçtır?
9 mu yoksa 7 mi?
Üçüncüsü de şu
5-3 (2 + 3.2) işleminin sonucu kaçtır?
1 6 mı?-1 9 mu? 20 mi?
Yoksa daha başka bir şey mi?
işte bu tür basit_ ( ama önemli) sorularda bile bir iş­
lem sırası vardır. Öyle rastgele işlem yapamazsı­
nız.
Ne fark eder ki diyemezsiniz. Her şeyin bir sırası
var©
Siz hiç önce ayakkabısını sonra çorabını giyen bi­
risini gördünüz mü? ©
Ya da önce ceketini sonra gömleğini giyen?
Aynen öyle de matematiksel işlemlerde de topla­
ma, çıkarma, çarpma, bölme işlemlerinin bir arada
olduğu işlemlerde çarpma ve bölme işlemleri
toplama ve çıkarma işlemlerinden daima daha
önce yapılır,
Yani,
1 + 2.3 = 1 + 6 = 7 dir. (Önce 2 ile 3 ü çarptım.)
Ama işlemde parantezler varsa ilk önce paran­
tez içindeki işlemler sonuçlandırılır.
•
Yani,
1 + 2(1 + 2) = 1 +2.3 = 1 + 6 = 7 dir.
(Önce parantez içini hallettim, sonra çarpmayı, son
olarak da toplamayı)
O halde şöyle özetleyebiliriz bunu.
Bir işlemde,
İlk önce parantez içleri halledilir,
Sonra çarpma ve bölme varsa bunlar halledilir.
En son toplama ve çıkarmalar halledilir.
Anlayacağınız çarpma bölme varken toplama
çıkarma yapılmaz.
Yaparsanız matematiksel cinayet işlemiş olursu­
nuz. Geçmiş olsun. © Bedelini sınavda ödersiniz
artık®
Anladınız mı?
Şimdi işlem önceliği meselesini kaptığınıza göre
aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulursunuz artık©
2 + 3.4
Örnek 1
Unutmayın. ilk önce çarpma işlemi yapılıyordu.
2 + 3.4 = 2 + 1 2
= 14 tür.
işlem önceliği muhabbetinden haberi olmayanlar
için bu sorunun cevabı kaçtı sizce?
20 idi. Öyle değil mi?
işleminin sonucu kaçtır?
Örnek 2
5 -3 ( 4 + 2 · 3 - 1)
işleminin sonucu kaçtır?
işlem önceliği bilmeyen canlar hemen baştaki 5-3
yerine 2 yazıp yamuluyor bu soruda.©
Oysa matematikte işlemleri yaparken bir öncelik sı­
rası var.
önce parantez içi halledilir.
5 - 3( 4 + 2 · 3 - 1) = 5 - 3(4 + 6 - 1)
= 5 - 3 · (9)
Şimdi önce çarpmayı yapın ve öyle devam edin.
= 5 - 27 = -22 dir.
2.Günı
5(1 + 2.4) - 3(5 - 2.3)
Örnek 3
Ç cı,vp wu;v - 13
içinde yapılacak işlemler varsa öncelikle bunlar
yapılması lazım. Ki sonuç doğru çıksın.
Dolayısıyla burada önce parantezler halledilmeli.
5(1 + 2.4) - 3(5 - 2.3) işlemi
= 5(1 + 8)-3(5-6)
= 5.9 - 3(- 1 )
== 45 + 3
= 48 dir.
(6 + 4.2)-2(7 + 2.3 - 1)
Örnek 4
= 25 - 2 -(30 - 3 - 8]
= 25 - 2 -(30 - 24]
= 25 - 2 -(6]
= 25 - 1 2 = 13 tur.
Var mı bi problem? Gayet net bir çözüm. Öyle de­
ğil mi?
Örnek 7
50 - 8 - [60 - 6 - (5 - 4 - (3 - 2 - 2))]
Çözüme yine en içteki parantezden başlayın.
işleminin sonucu kaçtır?
= 50-8 -[ 60 - 6 - (5 - 4 - (3 -4))]
= 50 -8 - [ 60 - 6 - ( 5 - 4 - (-1))]
işleminin sonucu kaçtır?
işlem önceliğini unutmak yok©
Sırasıyla varsa parantez içleri, çarpma ve bölme,
son olarak da toplama çıkarmalar yapılacaktı.
Çözelim.
(6 + 8) - 2(7 + 6 - 1 ) = 1 4 - 2. 1 2
= 14-24 =-10 dur.
örnek 5
1 + 2 [ 1 + 2(1+ 2 ·3)] - 25
işleminin sonucu kaçtır?
Eğer soruda içi içe parantezler varsa ilk olarak en
içteki parantezi halletmek lazım. Bu bir kural mı
derseniz. Öyle diyebilirsiniz.©
işte adım adım bu sorunun çözümü.
1 + 2 [ 1 + 2( 1 + 2 - 3)] - 25 = 1+ 2[1 + 2(1+ 6)] - 25
= 1+ 2 [1+ 2 · 7]- 25
= 1 + 2 [1+14]- 25
= 1+ 2-15 - 25
= 1+ 30 - 25
=6
Örnek 6
25 - 2 - [30 - 3 - (20 - 4 - 3)] .
işleminin _sonucu kaçtır?
Çözümü inceleyin.
•
25 - 2 -[30 - 3 - (20 -,- 4 · 3)] = 25 - 2 - [30 -3- (20 -12)]
işleminin sonucu kaçtır?
Eğer bir işlemde parantez var ve bu parantezin
.
= 50 - 8 {6 0 - 6 -( 5 + 4)]
= 50 - 8 {60 - 6 - 9]
= 50-8 -(60 - 54]
= 50 - 8 {6]
= 50 - 48 = 2 dir.
Örnek 8
4 - 9 -�-11-+�-_g_
7
8
9
9
işleminin sonucu kaçtır?
Soru tamamen çarpım tablosuyla ilgili aslında.
ilk önce çarpma ve bölmeleri yapın.
63 .1! � - � = 36 - 7 - 3 + 5 - 6
4 ·9 +
9
9
7
8
36 - 21+ 30 dan cevap 45 bulunur.
Örnek 9
96 · 72 . 54 _ 28 . 40 )
(
5
4
16
8
9
işleminin sonucu kaçtır?
Yine çarpım tablosuyla ilgili bir soru.
ilk önce bölmelerin sonucunu bulun. ( Kafadan tabii
ki©)
6 - (9 - 6 -7 - 8) = 6(54 - 56 )
Buradan da cevap - 1 2 çıkar.
2.Gütıı
ikinci günün antrenmanlarını bitirdiğinizde büyük bir
olasılı kla çarpım tablosu probleminiz kalmamış
olacak ve hız kazanmış olacaksınız.
Ç cwp vvıcv - ı3
8. 9 .6 - 4 . 6
1. 5.6-4 . 7
9. 7 . 6 - 3 . 7
2. 3 . 8. - 2 . 9
10. 5 . 8 - 4 .3
3. 4.9 + 3.7
4 . 7 .8 - 6 .9
5. 4 . 6 + 5 . 3
6.
9.8 - 7 .8
7.
5 .9 - 4 .9
1 1. 8 . 6 - 4 . 8
1 2. 3 . 7 - 4 . 8
13. 8.9 - 9 .7
14. 3 - 4 + 32 : 8
1 5. 3.8 - 9 : 3
1. A�.
16. 9 .2 + 3 . 4
24. 3.6 + 4.7 - 5.8
17. 8.7 - 3. 7
25. 6.7 + 2 .5 - 3.3
1 8. 2 . 7 + { 3 + 2 . 7 )
26. 4.9 - 5.7 + 2.9
1 9. 1 8 : 9 + 8 : 4
20. 56 : 7 + 63 : 9
21 . 42 : 2 1 - 36 : 1 2
27. 8.7 - 9.5 - 3.6
28. 3 . 5 - 4 .6 + 2.3.2
29. 3.5 - 4. 7 + 2.8
22. 6 .9 - 8.6 + 3.5
30.
23. 2.3 - 3.5 + 4 .6
31.
12
3
15
21
27
9
32
8
5
7
-+---
8
4
-
+
---
EiiHH+■@IBa
Jı.-■1flif•1iil111f"[email protected]· ■
_2!f
2·•. \�A�
· rıoı
�·•· �·. �··:··_:·;_·.___· -----------�2�-G�IM'lı
::._
�.··•:'.:�
1.
2.
8
· .
27
32
··
______
- + - -4
27
9
45
8
63
- + - --
9
5
7
80 36
64
9. - - - + 16 1 2 32
4·
24 _ 42 + 3_ 18
7
9
8
56
7
63
7
36
4
5.
---+-
6.
54
52 - 0 +1
26 18
-1i■•ıılıı!l■•liH■if Efüif.
· · · �· �_______'.2:·G:urv
A::
· ::·::
::·::
�
:·.:______
2. •_:
_::
· • ı_
· ::·:.:· __
13.
14 .
.
..1,1_ _-B_ + 5 9
3 .7 4 - 8
45
1 000 + Jl§_+ �
11
25
1 00
11
20. 3 -5 - 2 -7 - 4 -6+7 - 3
21. 5.6 + 6 .7 - 7 .8 - 6 .2
15.
1 6.
72 64 56
- +---
17.
-+---
9
8
7
24
3
28
32
8
7
18. - + - - 10
6
9
36
40
42
22. 9 . 8 - 8 . 7 - 6.9 + 8 . 8
23. 4 . 1 0 - 5.6 - 4 .5 + 8 . 3
24. 3 .9 + 4 .9 - 5 .9 + 6 . 9 - 7 .9
·••· 3.A��
2.
Her antrenmandan sonra biraz yorulur insan.
Ama antrenmansız olanlar uzun soluklu yarışlarda
başarılı olamazlar. Zaten başarınca yorgunluk filan
hatırlanmaz bile.
1.
2.
Gürıı
72
9
63
7
56
8
20
4
7.
---+---
8.
54 48 48 12
-----+9
6
4
8
7.9 - 9 .6 + 8.7 - 1 0.3
2 .3. 4 - 3 .4.5 - 1 .2.9
3.
9.2 - 8.3 + 7.4 - 9.5
4.
- + - - ---
5.
21 32 48 56
-+----7
4
7
6
6.
54 9 63 35
-+---+9 3 9
5
18
6
21
3
28
7
36
4
Aklınızda olsun.
o o
2 = 5 = ... = O dır. '
Yani, sıfırın bir sayıya bölümü sıfır çıkar.
9.
O 1 4 24 36
-+----2
7
12 18
O 45 42 1 00
1 0. -- - - - + -25
3 15 14
24 60 72 84
11. -+---+12 12 1 2 1 2
21 28 36
18 + 12. - - -9
3
4
6
-
2.
GIM'lı
1 3. - + - - - - -
9
42 1 0 0
45
1 9. - - - - - + -9
15
14
25
54 12 63 35
1 4. - + - - - + 6
7
7
3
24 60 72 84
20. - + - - - + 12 1 2 1 2 12
21
3
32
8
48
8
56
8
36 40 42 72
1 5. - - - + - - 6
10
4
8
21 .
26 52 70 54
-+-+--13 1 3 1 4 27
22.
4.9 -
48 - 48 + 1 2
54 1 7. - -
23.
63
48
- 7.9 + 6.8 9
6
14
18
36
24
1 8. - + - - - - 18
12
2
6
24. � - 9.9 +
72 63 56 20
1 6. - - - + - - -
9
9
7
6
8
8
4
4
9
36
4
42
+ 7.6 -
7
45
9
- 5.9
Matematik dersinde başarılı olmak istediğinize göre
doğru yoldasınız.
2.Ga.nı
7.
2 + 3 + 4 + 5 - 6 - 8 - 10
3-8
8.
39 52 70 54
+--1 3 1 3 1 4 27
Andre Gide
"İyi bir başlangıç yarı yarıya başarı demektir."
68
- 3.
1 · 2.
34
9
.!!..
24 -36 - 56
7
9
6
6.1 5 9.8 2 . 1 4
-- - - + -12
18
7
42
36
9. 4.5 - 4 + 7.3 - 7
63
48
1 0. 7 - 7.4 + 6.3 - 16
3 2 - 1 8.2 .10 +-.1
5
4
6
5
11.
� - 9.2 + -5.3
9
27
45
4.6 - 9
12.
28 72 60
---+7 12 15
1 3.
5.7-6.8 - 3.9 +2.11
60
2.7 + 1
2.3.4 - 4.5 - 1
2.9 - 4.4 - 1
45
2 . G�
14.
45 . 36 _ 21 . 42
9 4
7 7
32 - 1 2 : 3
15. ---28 - 6.2 - 2
16.
12 + 13 + 14 +15 - 34 - 20
3-8
63 .
45
20. 9-9.7 +
+ 5.11
9
9 3
2 1 . -3.7 - 8.7 + 7.6 + -;
60
8.5 8.7
22 . 10 - 28 3. 4
5.9
63 . 96
23· - - - + -3.7 4 .8 15
1 8.
19.
36
42
4. 7 - 9 + 7.s 7
63
42
-s.9 + 6.5 7
7
2 4.
1 2 .7 _ 8. 7 3. 5 _ 120
+
14
10
3.
••
'Dünı ae,. �a.,-�ytitpdctcakı ka-v� ya.,-ııtW
'fc.to/betrr.ri.r.
s.A� · · · ·
3.GtM'lı
Matematiği sevmeyen matematiği öğretemez. Ma­
tematiği öğrenemeyen de sevemez.
7. 324 . 897 = ?
Bakkal çarpmasına ne dersiniz?
1.
2.
Ben yan yana yazıyorum. Ama siz alt alta yazarak
yapın bu çarpmaları ©
23 x 45 =
8. 1 234 . 965 =
94 . 56 =
9. 654 . 789 =
3. 34 . 87 :::
4. 263 X 485 =
5. 496 X 637 =
6. 974 . 526
10. 394 . 576
=
11. 925 . 463
=
12. 239 . 457
=
13. 368 . 459 =
=
33
Eiıff·iiih■@iii ■
1 4. 523 . 468 =
1 5. 2564 . 9387 :::
1 6. 234 . 345 =
1 7. 654 . 321 :::
18. 1 92 . 283 =
19. 1 85 . 327 =
20. 368 . 1 37 =
21. 263 . 1 54 =
Ya bakkal bölmesine ne dersiniz? ©
22. 432 : 1 2 =
23. 1 896 : 24 =
24 . 12375 : 25 =
25.
62244 : 234 =
Eğer bu çarpma işlemlerini işlem yapmadan hesap
makinesiyle yaptıysanız üzgünüm. Kendinizi daha
fazla kandırmayın bence.
Çünkü insan önce kendine dürüst olmalı.
Nası l ki suyu hayal etmekle susuzluğunuzu gide­
re mezsiniz.
7.
0.2 + 1 . 3 - 2. 1 7 + 3. 1 2
8.
8.2 - 4.3 + 6.9 - 7.7
4.4 - 3.7 + 4.8 - 6.5
Aynen öyle de başarıyı sadece hayal etmekle başarılı
olamazsınız. Başarıya giden doğru yolu tespit edip, o
yolda ve istikamette kararlı ve sabırlı bir şekilde gitme­
lisiniz.
Bu yolun doğruluğu ispatlandığına göre antrenmanlara
deva m edin.
1.
4.5 - 7.6 + 2 .3.5
2.
7.3 - 8.4 + 3.5 - 6.9
9.
3.
7.5 - 3.9 + 4.6 - 7.8
10. 6.2 - 2.3 + 7.4 - 9.7
4.
7.6 - 8. 7
5.
5 . 3 - 7.9 + 6.7 � 3.7
6.
7.8 - 8.9 + 4.6 - 3.6
11. 7.2 - 6.6 + 8.5 - 1 0.4
+ 7.3 - 5.9
12. 2.3.6 - 2 .4.5 - 3.2.9
35
3.Gütıı
20·
i♦h·ihh■Mlif-11
42
72
36
40
T-T+T T
23. O + � - �- �
12
12
2
24
36
'
1-�-
15
56
14
+
1 50
6
' ··. :·. .:· ::.: · ·
·
7.
"Geçmişinizle bugününüz arasında kavga verme•
yin. Yoksa yarınınız, da kaybedebilirsiniz."
Geleceğinizi kazanmak istediğinize göre kararlı olun
· ·. ve yaşadığınız anı iyi değerlendirin.
Pes etmezseniz kesinlikle başarabilirsiniz.
3.6 + 4.6 - 6.8 + 7.6
1.
3.9-5.8-3. 7 + 6.3
2.
3.8 - 5.6 + 2.3.4
3.
6 .4 + 2 .7 - 3. 8 - 4.3
10.
2.4 - 3.5 + 4.3 - 6.2
3.6 - 4. 7 - 9.5 + 7.6
1 1.
4 .5 - 2.6 + 5 .7 - 4 .8
6 .7 - 9 .6 + 3.8 - 4 .7
1 2. 2 . 9 + 3 .6 + 4.3 + 7 . 6
2.3 - 3.3 + 4 .3 - 3.5
1 3. 6 . 8 + 8 . 9 - 9.7 -7 . 5
5.
8. 4.9 - 5.9 + 2.9 - 3 . 9
9. 8 .7 - 7 .5 - 3.7 + 7.4
37
•· 7. A tıt,,e+'\ffl(M1ı
·
e+;;+m■@ı+•
·
14. 9.4 _ 8.9 + 7 . 9 - 5. 9
20. 3 . 1 4 - 3 . 1 9 + 4 ; 1 6 - 6 . 1 2
15. 5.1 - 4.6 + 7.8 - 7 .7
21. 9 . 1 2 - 1 6 .3 + 1 7.3 - 1 9.5
1 6. 9.8 - 8 . 7 + 7.9 - 3.6
22. 6 .5 - 5 .7 - 3.6 + 8.3
17 . 2 . 1 2 +3 . 13 - 2 . 1 6 - 3 . 1 7
23. 5.4 + 6 .9 - 7.7 - 5.2
1 8. 4. 1 2 - 5. 1 3 + 3 . 1 4 - 3 . 1 5
19. 1 3 .2 - 2 . 1 5+1 3.4 - 4 . 12
24. 8 . 8 - 9.7 - 6.8 + 8 .7
25. 4.9 - 6 .6 - 4.7 + 7.3
Ça,vp wıcv - 13
Bugüne kadar matematiği neden öğrenemediğinizi
düşündünüz mü hiç?
Evet. Matematiği ve sizi sevmeyen size matematiği
öğretemezdi.
Şundan emin olun ki çalışan herkes bu dersi öğre­
nebilir. Gaz vermek için söylemiyorum.©
1.
6.
54 _ 84 _ 108
2 12 18
7.
8.
9.
10.
11.
39
•
. ·.·B; Antv� • . ·
·
.·
if,IHll+E,Mii&II
3 .GW\I
18. . 3 .9 - 4 .8 + 5 .3 .2 - 32
19. 23.2 + 1 6 .3 - 34 .3
13. 4. 1 9 - 85 + 7. 1 6 - 84
17
12
14. fil_ _ 7. 1 2 + 6 . 1 8 - 48
21
24
20.
1 5. fil - 9 . 1 2 + 45 + 1 5.7
15
27
21 . 6 .5 - 3 .9 + 5.7 - 6.8
16. 5 . 1 7 - 1 9 .5 + 1 7.6 - 99
9
17.
7 . 3 - 3 . 8 + 4.9 - 6.8
22. 3 .6 - 4 .7 + 6.4 - 5 .9
80 _ 140 _ 60 _ 1 20
20
30
14
12
23. 2 5 . 1 - 1 4 .2 + 1 6 .3 - 1 7 .2
40
.. , . . ·.
••
Er(,şmekı �hedefv�CM'llar ça,lq �
�'/(;�. . .
Büyük başarılar, çoğu zaman küçük ama sürekli ça­
lışmaların sonucunda elde edilirler.
onu n için antrenmanlarınızı aksatmayın lütfen.
1
7.
140 _ 240 _ 360
2
12
18
. M_ _ 48 . 48 + 120
' 6
6 8
4
2. 5.7 - 6.3 - 3. 8 - 2.4
3
8.
1 4 - 450 _ 420 + 100
15
25
14
65 36 21 42
• s·12 T·21
4. .fil. _ 56 . - 38
)
27 14 ( 1 9
5. 9.12 -8.13 + 7 . 1 4 -9. 1 5
6. 27.3 -29.2 + 28.3 -16 .4
11.
320 _ 390 _ 420
21
16
13
Ç iM"p wıcv, - o .
'
19.
14 .
840 270 _ 320 640
40 . 30 20· 1 60
240 . 300 720 ° 540
15. 8 15 18 18
3 0 '- 1 2. + 1 6.4 - O 5
�
��
1
5
20. ( �1 - 1 7)- 3+ ( � - 43.3)
1
21. {1 8. 7 - 1 9. 6) + 7.a - filll
21
22 . 6. ( 240 _ 1 so ) - ao
12
48
25
17.
52
3
) . ( 70
( 9+
13 13
14
_ fil)
27
1 8. 2. (4.7 - 36 ) + 1 7.6 - 420
12
70
24. ( 124 _ 42 ) . 8 - 1
31 21
•
•
lf.Güw
:_. \:
... -.
_.
7.
onun için bu antrenmanları eksiksiz yaptığınızda bu
işin üstesinden geleceğinizden emin olun. Ve buna
irıanın
antrenmanlarla matematik yapmaya başlayıp başa­
.. Bu
ran on binlerce öğrenciden biri olacağınızdan eminim.
•
1
1 62 + 1 44 _ 1 33
8
9
··
84
.2
. 3
.·. ·.·. .
-(fil _
7
7
96 )
8
■iı!Hii►Bi■
3.9 - 4.8 + 5.3.2-32
8.
7 .15 -13 . 9 + 1 4 .6 - 1 1 .8
9.
7 . 1 6 - 1 8 .7 + 7 .1 3 - 5 .1 9
10. 5.13 - ( 7.14 + 16.7-3.17)
369 + 420 _ 426
10
6
9
405 + 1 89 _ 540
9
9
15
1 7.3 - 1 8 .4 + 3 . 1 5 - 1 6.9
1 4.5-17.6 + 2 . 1 3.5
45
11.
7 . 1 2 - 8 . 1 2 + 14 .6 - 13 .6
12.
10.12 + 1 1 . 1 3 -12 .1 3 + 3 . 2 3
13.
1 8 . 2 - 2 4 .3 + 1 6 . 9 -17 .7
_l_o_. A_·
_JI
·•·.•·_·•_.:::________"'_·G_IMl1ı
_>·_i·_
_·_______
<
· ·
·
.
·
·
·
. .
· · ..
_
nttı
_
•. · •�
·
_
• :_
· ·
_
•
1 24
1 80
132
102
-7T + """".fs-3f"
T
14. 24.4 - 1 3 .7 + 4 . 1 8 - 2 6 .5
20·
15.
2 6 .2 - 3 2 .3 + 17 .4 - 9 . 1 1
108 1 1 4
240
144
2 1 · 9 + 15 +
36 19
1 6. 7 . 2 - 1 6.6 + 1 8.5 - 1 0.45
156
164
1 05 210
22. 13 + 75 - -:;g- - 4T
17. 2 3 .6 - 2 4 .5 - 3 2 .5
18·
23
96
84
52
21 0
• 30 + 13 14 1Ef
350
75
420
+
30 li 10
25 ·
1 28
102
150
36
12 25 + -3- -4-
..· au çalışmalarınızın ne kadar (!eğerli olduğunu bu
işi başardığınızda anlayacaksınız.
1%!Mib■Mittll
0
7.
23.2 0 - 4 . 8 0 - 3 . 3
8.
45
740
- 5 .3
- 9 . 10 +
g
3f""
9.
9 .13
- 3 . 2 + 80 .7 + �
renmanlarınızı aksatmıyorsunuz değil mi?
.· Ant
1
192
1 54 115
1 04
· Ta - T2 - M
23
:•
. 2.
108
720
60 0
720
+
1 2 + 120 - 90 18
0
0
0
00
520
840
560
650
+
14
13 + 120
130
0
0
4.70 -
!0
3
+ 7.20 -
!0
4
11.
8 0
4 0
� - 6 .2 + 6.1 5 - �
0
0
0
21 .1 - 32 .1 + 5.1
120
2
12. 3.2
0
13
,17
-
420
21°
+ 40.3 - 2.1 00
00 + 5.100 - 6.150
0
0 880
0_8
77
660
44
_
_
7
6
. 1 10
0
0
.
■{dhiihl·il
11. A ntve+-ım.anı
.
.
14.
5600
1 800 1440
7a - 72 +
1 5'
20.3.4 + 4.50 - 20
2.90 - 4.40 + 40
1 s.
150
2 - [ 20 - ( E .
4
25
1 7.
-w
- so
-�-�)]
7 15
280
320 1 60
-+ --5
5
5
21 ·
210 420
450 360
5 · 72 - 7-· 14
22·
1 20 + 1 30 + 140 + 150 - 400
30 - 50
23.
1 000
200
+ 250 _ 550
1 25
11
1 8. 50.8 - 6. 90 - 30.7 - 2.2 1 0
1 9. 1.§. _ ..1§.. + 4 2 . 1.1..
4 4
3 9
180
105 7 2 128
25 · 7'5 - 12 + 73 - 30
5
••
'BW şeyl/�vyudeı�O'JI\Whlçı
ar�de.+nekt'ı.r. ..
'Herkes,ya+'\lc.ş yoq:,tu, � oq:,tıillı;ı.y y� l.tutıtıda,
alret'\.U"ler.
'B io/�� o{r� .��. .
., .
.
5.G ÜN\ı
�------1ŞDE':M Ö'NC!EL1§1 ve
'll".R'TIJ - !E'KS1 'M'U1f'll'.B'.B!E'T1©
Aslında işlem önceliğinden daha önce de bahsettim.
Ama önemine binaen bir kez daha dinleyin bakal ım.
Diyetim ki sabahleyin kalktınız. Elinizi yüzünüzü yıka­
dınız. Sonra da sırasıyla,
önce kravatınızı taktınız,
Sonra ayakkabılarınızı giydiniz,
Sonra çoraplarınızı da giydiniz,
Ve. daha sonra da pantolonunuzu giydiniz,
Daha sonra ise geceliklerinizi çıkardınız,
Ve daha daha sonra da gömleğinizi giydiniz.
Olabilir mi?
Elbette olabilir. Neden olmasın? Öyle değil mi?
Kim ne diyebilir ki size. ©
Size gülmelerini problem etmezseniz. ©
Neyse . . .
Sizce mantıklı bir insan için b u sıralamada bir tuhaflık
yok mü?
işte. .
Nasıl k i insanın günlük yaşamında yaptığı en basit
işlerin bile herkes tarafından kabul gören mantıklı bir
sıralaması var. Aynen öyle de matematik işlemleri
yapılırken de kabul edilmiş bir işlem önceliği sırası var.
Öyle kafanıza göre, canınızın istediği gibi yapamazsı­
nız her işlemi.©
Bir işlemde,
İlk önce parantezin içine girilir (parantez varsa
tabii ki) ve oradaki işlemler yapılır.
Ve çok önemli bir şey
Çarpma (ya da bölme) ve toplama (ya da çıkarma)
nın olduğu işlemlerde önce çarpma ve bölmeler
yapılır.
Unutmayın ki bir işlemde en son toplama ve çı­
karma işlemleri yapılır.
Bunları unutmamış olmanız lazım.
. Örnek. Soru
1 + 2.3
işl eminin sonucu kaçtır?
•
Bu örnekte işlem sırasını biliyorsanız cevabınız 7 ,
bilmiyorsanız 9 dur.
Bakın bi©
Diyelim ki önünüzde yapmanız gereken bir işlem var.
Önce derin bir nefes alın ve hemen işe başlamayın. ilk
önce işlem önceliğini aklınıza getirin. Sonra başlayın.
Eğer yapacağınız işlemde parantez filan görüyor­
sanız önce onu halledin. Parantez içinde yapılacak
işlem yoksa ve çarpmalar bölmeler varsa onları da
halledin.Ve en son olarak da toplama veya çıkar­
malar varsa onları.
Olayın özeti bu aslında©
Gelelim az önceki soruya. önce çarpmayı yapın. son­
ra da toplayın.
1 + 2 - 3 =1+ 6 = 7
önce
çarpma
yapılır
Eğer işlem biraz daha karmaşık gibiyse . . .
örnek üzerinde göstereyim.
Örnek Soru
2 + 5.(4.5-3.6) - 3
işleminin sonucu kaçtır?
Bu işlemde ilk önce parantez içlerini halletmek lazım.
Dolayısıyla ilk hareket şu
2 + 5.( � - � ) - 3
ikinci hareket ş u 2 + 5. (20 - 1 8) - 3
20
18
2
Artık parantez filan kalmadı. Şimdi çarpma ve toplama
çıkarma işlemleri var.
Önceliği biliyorsunuz.© Önce çarpma yapılır. En son
toplama çıkarmalar.
2 + 5.2 - 3
Cevabı da siz söyleyin bari.©
Evet. Cevap 9
Bu işlemi bir de işlem sırası filan dikkate almadan
yapın bakalım. Kaç çıkıyor?
işlem sırasının ne kadar önemli olduğunu anladınız mı
şimdi?
10
Tekrar söyleyeyim.
İşlemlerde öncelik sırası (şimdilik©)
Bir işlemde ilk önce parantez içleri yapılır.
İkinci olarak çarpma ve bölmeler yapılır.
En son toplama ve çıkarmalar yapılır.
Gelelim şu artı (+) eksi (-) muhabbetine©
+ve-muhabbeti matematikteki en önemli hususlar- .
·
dan biridir. Çünkü birişaret hatasıyla sonuç değişebilir.
Veya daha farklı sıkıntılar çıkabilir.©
Daha önce bahsetmiştim. Aynı işaretli iki sayının
çarpımı veya bölümü pozitif idi ..
örneğin,
(- 6)(- 4) = 6.4 = 24
(- 5)(- 8) = 5.8 = 40
(-2)(- 3) + (- 4)(- 5) = 6 + 20 = 26
örneğin,
-18 �
=
= -3
6
-6
- 3(-6) - 30 = 1 8 - 30
-4
-4
(-3)(- 2) (-8) = -3, 2 - 8
(-3)( +2)(-8 ) = +3·2-8
( +3)( + 2) (-8) = �3 . 2 . a
(-3)(-2)(-8)(-5) = +3· 2-8-5
( -3) (-2)(:_ 8) ( +6)('--4) = + 3 · 2 · 8 · 6 · 4
Sonuçlarının kaç olduğuna bakmadım. Sadece artı mı
eksi mi olduğuna karar verdim.
Bilmeyenler için şunu tekrar söyleyeyim.
İkiden fazla sayı çarpılırken ilk önce sayılardan ikisini
çarpar sonra bulunan sonuçla diğer sayı, sonra bulu­
nan sonuçla diğer sayı, ... çarpılır.
Örneğin
( - 3) ( - 2)(- 8) = ( +6) ( - 8) = - 48
veya sayılar ikili ikili çarpılıp sonuçları çarpılabilir.
+6
(-3)(-2) (-5)( +6) = ( +6) - (- 30) = -180
Yani, anlayacağınız öyle çok kesin kuralları yok bu
işin.
Şu örnek soruyu da inceleyin ve antrenmanlara geçin
artınk .
- 30
+6
= -12 = 3
-4
Zıt işaretli iki sayınıiı çarpımı veya bölümü ise
negatif idi.
örneğin,
(- 6). 4 ;::;-24
(- 5)(+8) = - 40
- 2.(+3 ) = - 6
-1 5 = � = � =
-5
3
-3
3
3.(-6) + 30 - 1 8 + 30 + 1 2
= --- - -3
--4
-4
-4 Çarpım durumunda üç veya daha fazla sayı olursa ilk
önce sonucun işaretinin ne olacağ ına karar vermekte
fayda var.
Şunları incelerseniz ne demek istediğimi daha iyi
anlayacaksınız.
■
Örnek Soru
-2
-6
(-2)5 + 6 (-3)(2- (-2))
-'----'--- +----'----'-
işleminin sonucu kaçtır?
Bir işlemde ilk parantez içleri halledilir. Sonra çarpma
işlemleri , en son da toplama ve çıkarmalar.
{-2)5 + 6 ( -3) (2 - (-2)) -1 0 + 6 (- 3) · 4
+ ---'-----'- = --- + --2
.· -6
-6
-2
-4 -1 2
= - + - = 2 +. 2 = 4 tür.
.
-2 -6 •
Bu arada aklınızda o/sun.
- ( - 2) = (- 1 )(- 2) ;::; 2
- ( - 5) = (- 1 )(- 5) = 5 tir.
Yani, parantez içindeki eksi sayının önündeki eksi
sayıyı artı yapar. Bu da önemli©
Bugünkü antrenmanlarda işlem önceliğine dikkat edin.
unutmayın ki bir işlemde en son toplama ve çıkarma­
ları yapılır.
Bir de şunlarda hata yapmayın.
- (- 3) ::: 3 (Eksiyle eksinin çarpımı artıdır.)
- 2 - 3 ::: - 5 (Negatif iki sayının toplamı negatiftir.)
(- 2).(- 3) = 6 ( Negatif iki sayının çarpımı pozitiftir.)
Başlamak yapmanın yarısıdır. Başladığınıza göre . . .
1. (- 3). 5 + 3. 2
- (- 3) + (- 5)
7. -(- 9 ) + 2 .6
8. - 8 - (- 6 )
9.
- (-7 )-1 5 + 3
1 0. -3.(-5) - 2.6
11. 2 . (- 8 ) - 4 .6
12. -2 - 3.(-9)
1 3. (-2)(-3) - 9
1 2 : (- 3 ) + 4
1 4. (-2).(-4) - 10
-2 - 3 (- 5)
1 5. 1 7 - (-3).6
22.
1 6. (-2) + (-4).(-5)
23. - 5 - (-7) - 3 - (-2)
1 7; 4.8 - (-5).6
24. 2.3 - 3.( -5) - 10
1 8. - 56 : (-8 ) - 1 2 : 3
19. -( -42) : 7 - 5
25. -5 - 6.(-2) - 3
26. 1 + 2.3 + 4.(-5)
20.
(-2 - 3).(-2 + 4) - 9
27.
(-3 - 2.3) - 5
21 .
1 2 + 3.(-5) - 8
28.
- (-3 - 2.5) - 1 3
·=. •· ·�•> =··=.. · '--. <""'·
Lj;_c��'.A�:•=�
; =· •· .�
,----
5-·G_ÜNlı
________,ll§Nlii·Hi+•
'-'-'-''--'---------
· • Uğraştığınıza değecek. Emin olun. Hem bilirsiniz zah. . metsiz Rahmet olmaz.©
1.
(-8).(-5) + 7.4 + (-9).3
2. (-7).6 - (-3).(-4) + 7.3
3. -2.(-3) + 4 - 5 + 6.4
\ 4. -5.( -8) + 3.(-7) - 9.2
5.
(-6).( -8) + (-9).(-4) - 1 00
23 - 8(3 - 4.7) - 3.(- 5)
7.
6 + 5(2 - 2.8) - 3.(3-7 )
8.
9.7 - 6.7 - 3.8 - 2.(-6)
9.
( -2 - 3)(-5 - 2) + 5.3
1 0. {2.3 + 3.4 - 5.5)(1 - 5) - 1 - 5
1 1 . (-5 - 2 + 4).(-3 - 6 + 7)
1 2. 1 2 - 2 ( 3 - 3 .3 + 3 )
__J.
J ?:•· �•·�
·• ·•· •· �
______
· · · · : • ··/ \• ===="-'----------·_s,_G_IM'lı
.-'-=="-'--"""'· =.• =·· . =-"-'=.�=
1 a �o - a + 6 - 6 + a � � 0 - �
1 4. (19 - 8 - 4) (1 2 - 1 0 - 5)
20. 1 5 : (-3 ) + 63 : 9 + 1
1 5. -25 - (-9).3 + 2.(-8) - 9
21 . (6 - 2.5) - (6 - 3.4) - 1
1 6. (-4).5 - 3 - 3(-5) + 50
22. -3.(-6) + 12 - (-4)(-3)
17. -(-3) + 5 + (-6) - 3
23. '-(-3) + (-4) - 5.(-2)
18. -(-2 + 8) - (-9 + 6)
24. (-2).(-5) + (-6).4 + 8
"Başarı size gelmez, siz ona gideceksiniz."
ilk soruyu ben anlatayım. Gerisi sizin©
1. 2- 3. (3.5 - 4.6 + 2)
ilk önce parantezi görün. Ve parantez içindeki
yapılacak işlemleri halledin. (Tabii ki parantez
içinde işlem yaparken de işlem önceliğine dikkat
edin. Çok önemli.©)
2 - 3(3.5 -4.6 + 2) = 2 - 3(15 - 24 + 2)
= 2 - 3(- 7)
Parantez içinden sonra çarpma işlemini,
= 2 + 21
E n son toplama işlemini yapın.
= 23
7.
- 2.(-3)(-4) - 20( - 2)
8.
8 - (9 - 5.3) : (-2)
3.(-6) - (8 - 9.2 + 7)
9.
(2 - 3-4.9) - (3 - 5.7)
- 2 - (- 9) - 5.3
1 0.
Bu tür işlemlerin hepsindeki mantık ayn ıd ır.
5 - (- 7). (- 6)
-3.(- 9) - 3(-5 )
3 - 4(3 - 5.2)
11.
2.2.2-(2.2- 7 ) - 3.3
24 : (--6) - 3.2
1 2. (42-12.2) - 2.5
13.
(15 : 5 + 2) - (1 4 : 7 + 3}
•
•
--"-'-'-'--"--'-'----'------=-'.;..;...._...;.;,.;....-""-'--'--"-�-----------------'
1 4.
9 + 5.(2 -2. 7 ) - 3.(5-7)
1 5.
5 - 36 : 9 + 5 - 9
16.
16 : (-2) - 2.5 + 3.3
1 7.
18.
1 9.
. ' Leıwt,,
21.
9.7-6.7 - 3.8 - 2.(-6)
22.
-(-13) + (-15)-2
33 - 7(3-4.7 ) - 4.(-5)
23.
3(-7) + 4.(-5) - 3.(-9) - 2
2.(3 - 2.(2 - 6)) - 1
24.
-5.(-7) -8.(-5) + 5.(-4)
(1 2 - 8.2)-7.(8 - 4.5 )
25. 2 - 5(6 -3.5)-(- 3)
/ •
"Dünyanın gördüğü en büyük başarı, önce bir
..
hayaldi."
Ailen
. 1.
2.
- ( - 3) - ( - 9) - 5 .3 - 8
- 5 + ( - 5).( - 7) - 8
3. - 2.( - 5)( - 3) - 1 2( - 3) + 3 .9
> 4,
5 5 - (2 1 - 2( 4 - 3.5 + 2) - 5 ]
2 . [8 - 3 .(2 .5 -1 6) ] - 7
\ Bölme işlemlerinin sonucunu bulurken işaret olayının
.
ç13rpmadaki gibi olduğunu unutmayın. Bu arada bölme
; işlemlerinin hepsini sonuç tam sayı olacak şekilde ayar•
:': ladım. Aklınızda olsun. Payda filan eşitlemeye kalkmayın
-12
7.
-- + -
8.
-2( - 3) +
9.
32
- 24
- + --
1 0.
12 21 42
---+3
4
6
-24
-6
18
-3
36
�
8
-4
11.
- +-
12·
- 48 36 28
- 6 -9 - 7
- 56
-7
72
-9
-1 5
-- + --
4
-3
1 3.
- 54 - -- 45
9
-5
-
· ·· ·· •·•· · · •· • ··_
·. .. .
· · ·�/A.· . ·ntYı; .�
_
· _________,.
· .•.__�_______5_.G_W'\ı
�-�-���· �•·�
_. _�_
1 4.
- 56
- 3 ) . (-3) 4
(7 +
-
-8
1 5. -2.(-4) - -y
18.
1 9.
-
5
1
- ( - : - '-: } - 2(-3)
20.
21 ·
-12 - 8
35
+
-10 + 3
4
22·
34-2
7.8 + 8 (-5)
+
2 -6
O
-1
- (-2)
23 ·
-24
51 - 3.2
4
5
(-2).3
- -
28
32 - () 2
4
4
- ( - 45 ) - � + �
9
-7
14
25
·
-2 - 3(-4)
2 (-3) + 1
- 63
3(-3) + 2
•
6.
••
lllçb(,,- 1P(u"�ç(çekliıyoıL;wd.aıtfıı �
L� f�
tllç,y� OUiLf¼ bi½,ıakıbir t:ehUke.ı
· . ��-
;....5'---"YA_·..
;._
e+ım.a+'ll
_
_
·•··
· · �
_
·
·
_
Paslanacağına yıpranın.
Cumberland
Adam ne laf etmiş be. Ama size söylemediği kesin.
Her gün antrenman yapan biri paslanmaz herhalde©
1.
2·
-----------J•
'-----------6_.G_Uır\ı
_
..
·
' 't'\.W
_
55 : 5 - 35 : (-7)
6. . (
72 _ 56 _ 81 _ 6 3 :
) (-2) - 13
8 7
9 7
72
---2---,- + 3.3.(-1)
) :((-20) 6
O
-1 5 _ 1!_
3 -7 -2
..!!)
7.
- 12 - 2(·
8.
8
48
9
- .( - + - . - + 1
- 8 -2 3 2
8
2 + 3 + 5 : (-5) - -4
5.7 + 1
7.9 - 1 3
3. --- - -3.8 - (-1) 4.2 - 2
9·
4.
- 1 2 ( -8 ) (- 6).(- 2)
3
2
5:
- 3
- [ - ( 12 - , 6) - 5] + 13
�
7
-4)
45 _ 36 _ 2 1 _ 42
5
9
3
6
- (-7)
63
32 6
1 0 . ( . � _ � - ).( - 3) - 3
9 9
8 8
1 1 . - 2 - 2(-
1 5 _ � - - 1 8}
-5 -3
-3
• •
6 . Günı
-�
--'-----'----'--'-,.--'---"�-=------'----'--'---'----------------48
-6
-8
-2
9
-3
--4)
1 2. - ,( - + - . - - 1
2
İç içe parantezler varsa ilk önce en içteki parantezi
halledin. Sonra onun dışındakini. Mesela 1 3. soru­
yu ben anlatayım.
1 7. 45 - [ 23 - 2(3 - 3.4 + 7 ) ]
1 8. 8 - 3[2- 3(2 - 9 - 3 - 4)]
13. 28 - 2.( 2 - 2.(2.9-3.4) l
ı . . .] parantez içini halledin.
== 28 - 2.[ 2 - 2.(18 -12) l
lık önce köşeli
== 28 - 2.[ 2 - 2.6 ]
Tabii ki önce çarpma işlemini yapmak lazım.
== 28 - 2.[ 2 - 12 ]
Sonra parantez içindeki çı karma işlemini.
== 28 - 2.[-10]
1 9. 1 - 2[3 - 4 (2 - 3)]
Artık gerisini yaparsınız.
== 28 + 20
== 48
14. [1 2 + (- 1 2 - 3.4)).(45:9 + 5 )
20. 3 - 2[2 -3(1 -2 · 3)]
1 5. 2{1 - [2 · 3 + 4(7 · 2 - 5 - 4)] - 5} - 6
21. 7 - 8 - 5 [4 + 3(2 · 8 - 3 · 4 ) - 2] - 6
1 6 . [ 80:8 - 8 ] - (- 72:8 .,.. (2-3.5) ]
22.
28 45
2
2 • [7 - ( 3 ..1.§_ _
4 . 5
7 . 9
)] -11
· -<_· , ._· . ·_·._·._. _·.·•<_• ., _·
[c,;..:#',:_;_.A_Cn.trı
_·•· ·_· ·.•_�
önce çalışın sonra dinlenin.
1.
2.
56 - (7.8 - 24)
54 - (6.9 - 6)
35 - 5.3
(2 - 8)-(1 6 - 5.4)
26 + 2 .6 - (2 - 3.5) + 1
2-7{5 - 8) + 3
.
42 _ 27 - 24 _ 45 - (-2)
1
. 14 9 8 5
■ •
6_.G_lMlı
_·------.......J
_______
Puşkin
6. 5 - 2( -
1 5 _� - - 1 8
-5 -7
7.
8.
48
-1 6
-6
J
-(- 8 + � . --4 ) - 1
36
-4
4
-3 2
-48
6
56
-8
- +---
..
rı.tl-1
; A·.-c; ./6�
....---"-:--:- ;.;...
6_.G--'--UH1ı
_
.. --------•
· ____
·
· · .: . · , . _
e;ıııma,f\i
____
. . ..
.
.
·-'--_-:--'-...;.-:-_
...,
1 1 . 1 6 - 2 [3 - 4(2.7 - 3.5) - 2 )
1 2.
3 - 7(2 - 3.4) - 2.(- 1 5)
13.
1 9 + 3(2 - 2.5) - 3.(2 - 1 2)
1 4.
5.8 - ( -6).9 + (-3).7 - 2.21
1 6.
(E. 56
1 7.
[ 2 - ( E. � - � � ) ! 2 - 1 7
.
7 ·1
4 · 5
9 . 8
- �. � ) . (- 3) - 1 0
9
9
5
16
-45 2 ,
18. -1 - 3 ( - - - - )
-2
1 5 · _7
19.
54 - 5.6
(1- 8 ) - ( -1 0 + 5. 3 )
20.
34 + 2 . 8 - ( 2 . 8 - 3 . 5 ) + 1
2 - 7(5 - 3 ) + 2
_._·_.·_· . �. · ·�·-·________6�.G-Uf'\ı
_·______•
L�l�·�A· · ._�
· . Taşla r değil, yapılan işler anıtları meydana getirir.
Motley
14 -56
72 - 9
15
_ -18
6. - 7 - 3 ( ...: _-3..!_
)
5 -3
-3
1 . � + -:-g
12 - 48 36 - 1 8 28 - (7)
2· � 7
-9 -
-
27 -54
-9-
45 - 1 5
-5
· ( 32 56 1 8 63
. 15·14 - 9·7 ) .(-2 ) - 3
[5 _ (
32 � - � 45 ) ] _
.2 7
4 . 9
8 . 3
8. (-9).(-5) + 7.5 + (-5).3
9. (-8).6 - (-4).(-4) + 6.3
1 0. -3.(-5) + 4 - 7 + 8.4
..
·•�
· ·• •·•_
·· _-':_
· i. A·. •. t'\:t'Yı
· >·_
: : · :._
_
°. :-'':-'·•·: .•_<·_i·_
.: _______6_.G_Ut11
_
••. _________,.
.•·•··_
·
___· 1 1. (3.3+ s.4 - 6.5)(1:__4) :... h + s
1 1 . -4(- 8 ) + 3(-7 ) - 9 - 3 .
1 2. (- 5)(-9)+ (-6){-4) - 1 0(-3)
18. (-7 - 2 + 3).(-2 - 5)
1 3. - 4 - 3(-8) - 1 2 - 2
19. (12 + 3 + 3)(-2) - (3 - 8)
14. (-4)( -5) - 9 - 2(2 - 7 - 3 - 5 )
20. (40 - 6 - 6 - 6 - 6 - 6)(1 --'- 3)
15. 1 -(-2) + (-3)(-9 ) - 1
21. (32 -6 - 7) - (52 - 7 - 7 - 8)
1 6. (-5 -6)(-3 - 4) + 5.(-9)
22. (54 - 6 - 8 - 6) - 34
-6
·-.
· lW\ımatıı
·=
�
Ufllı
·· _
-----',--'-'----------6-:.,.G
·.
__
.rım
· ------•
'-",
§
· ·
::;·-"'��
L
.f\-'-'
·
. . .
. ·
··
'
.
.
•.. •
'-,'
'-,'�'-,'-'-'
insan, ancak çalıştığını kazanır.
1 . 23 - (-4).8
6. -7 - 6.(-5) - 2
Mevlana
7. 4 + 7- 3 + 3 · (-5) -7
8. 2.(-1 - 2.3) - 6
1 6 + 3.(-3)-7
·----·-"Ne gereği var bu kadar işlemin." dıye düşünme­
yin. işlem yeteneğinizin ve temelinizin iyi oturması
için bu gerekli. Yoksa ben de biliyorum ki bir hafta­
lık antrenmanlarda vermek istediğim şeyleri bir
günde halledebilirsiniz. Sabırlı olun. Nasıl ki dokto­
run verdiği ilaçları hemen iyileşmek için bir günde
bitirmek hem de tedaviyi yarıda kesmek doğru de. ğil. Aynen öyle de antrenmanları yarıda kesmek de
öyle. Hem sayılarla işlem yaparak çalışma alışkan­
lığı kazanın ve olayı tam hazmedin. Ama kusmayın
tabii ki.©
·g, -(-8 - 2.3) - 3
1 0. -(-5) + (-6) - 7.(-2)
- 7 - 4( - 7)
11. (- 3)(- 6) + (- 3).4 + 4
2.5-3 (-4) - 6
. . ....
. ;.:;..-.-.
•
[email protected]·fü§[email protected]
_s_._A_rtbı
.· _
----•_
- -•- _•-_-,__
_- _______6_
- -�
_
.G_üw
______
-24
- 15
35
1 2. - + - - -5
4
7
18. � - � + �-1
3
8
-9
1 9. -
28 ( 32
- - )-2.(-7)
7
8
48
1 4. -3(-4) + - + 2
-8
( - 56
1 5. -- + 2 ) .(-4) - 5
8
16. 3-2.(-7) - ---;r--5
-8
- 27 )
21
21. - ( - 3 - -- - 2('-5)
9
42
1 8-6
22· +
-1 0 + 3
6
7.9 + 3(-5) + 1 4.8 - 2
23. ---- + --(-2) - 9
2-7
■
7
••
flede/1,½ı �� hlçbir- y� y(iU"'d.utıı
�
� �e,ıı\iıhlç1:n,y ma,rıt,Jcı ��
.C� Şehabett-'lNlı
•
7 .GCM'\.t
.
çalışma uçup gidebilen bir alışkanlıktır; bırak­
ması kolay, yeniden başlaması zor bir alışkanlık.
Victor Hugo
4.
Sayılarla işlem yeteneği kazanmak için 6 günlük
5 - 8 + 9 - 12 + 15
işleminin sonucu kaçtır?
A) 2
antrenman yeter. 7. günde toplam 63 sorudan olu­
şan 4 test var. Kendinizi test edin bakal ım ne kadar
8) 5
C) 9
D) 1 1
E) 1 5
yol almışsınız.
Bu 6 gün boyunca toplama - çıkarma işlemini, çar­
pım tablosu ve çarpma işlemini, işlem önceliğini ve
bir de artı eksi muhabbetini öğrendiyseniz ne güzel.
Zaten başka bir şey de vermedim.
1.
- 27 + 13 + 20
5. Aşağıdaki eşitliklerin hangisi yanlıştır?
A) 2 - 3 = - 1
işleminin sonucu kaçtır?
A) - 6
2.
B) .,.. 3
C) 2
0) 3
C) - (- 3) = 3
E) 6
3.
B) - 12
C) 6
D) 8
7.
C) 1
8) 8
C) 6
0) 4
E) 2
D) - 4
E) - 8
7 - 3(-2 )
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
B) -1
A) 10
E) 14
4 - (5 - 10)
A) - 3
2+3·2
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A) - 14
D) - (4 - 5 ) = .:.. 1
E) - 2(- 3) = 6
6.
- (7-1 3) - 20
8) - 2- 5 = - 7
D) 9
E) 13
A) 1 3
B) 8
C) 1
8.
7-9-8-6-3-5
9.
B) 8
C) O
0) - 4
1 0.
C) O
0) - 4
11.
E)- 1 0
C) 6
0) 5
C) - 4
O) 3
E) 8
B) 1 8
E) 1 5
- 42
-7
C) 1 5
0) 4
E) 3
25
-5
--+ -
A) - 7
1 5.
işleminin sonucu kaçtır?
B) - 6
0) 20
işleminin sonucu kaçtır?
E)-1
-( 5 - 1) + 2 · (2 + 3 · {-1))
A) - 7
C) 35
3 - 4 (-2 -1)
A) 20
1 4.
işleminin sonucu kaçtır?
B) 8
8) 40
işleminin sonucu kaçtır? ·
1 + 2 · (8 + 2 · (-3))
A) 1 0
A) 45
E) - 6
1 3.
işleminin sonucu kaçtır?
B) 4
<%
işleminin sonucu kaçtır?
2 -: 2(-2)+3(-2)
A) 12
40 -20 : (6 + 6 : (-3))
1 2.
işleminin sonucu kaçtır?
A) 1 2
11ililı
. i■lıilfüP■i
..:,i,�;ı
<i
7-G�
28
B) - 6
C) - 4
D) 3
- 4).6
(
--+ --
-1 - 3
3
işleminin sonucu kaçtır?
A) - 1 5
B) - 1 3
C) - 1 1
0) 3
E) 1
·
il;
: f�
II
.j
•·· ; ,Kendilerine ait hiçbir hayali ,olmayanlar sizinkileri
de göremezler."
John Maxwell
1.
C) 3
0) 4
6.
işleminin sonucu kaçtır?
B) - 6
C) 3
0) 6
7.
işleminin sonucu kaçtır?
C) - 2
0) 3
· · • · işleminin sonucu kaçtır?
0) 6
E) 56
E) 10
işleminin sonucu kaçtır?
B)
18
C) 12
0)-16
E) - 20
0) - 8
E) - 1 6
0) - 2
E) - 6
� + 4(-2)
-( - 5)
A) 16
8.
1 20
C) 2
0) 42
işleminin sonucu kaçtır?
E) 8
·. 30 -(- 2)·(- 3)
B) - 2
C) 35
2 · (-9) - (-2)
A) 20
E) 24
-(-24)
-3 -5
B) - 3
B) -42
E) 9
15 - 3.(2 - 5)
A)-24
(-: )·( ��)
A) - 49
işleminin sonucu kaçtır?
B) 2
3
işleminin sonucu kaçtır?
3 - (2 - 8)
A) 1
2.
5.
Mifol■!ıiiiMh'I
B) 8
C) O
-4 -7-5 - (-6) +3
işleminin sonucu kaçtır?
A) 17
B) 5
C) O
9.
1 3.
8 - [5 + 2(1 - 3.2)]
işleminin sonucu kaçtır?
A) 1 3
1 0.
3 .(
8) 3
C) 2
D) - 3
11.
1 4.
C) O
D) - 2
15.
işleminin sonucu kaçtır?
B) - 7
C) O
D) 7
A) - 3
8) - 2
C) O
D) 1
E) 2
E) 7
D) 3
E} 2
işleminin sonucu kaçtır?
B) 9
32
1 2 : (-3 )
A) - 20
1 6.
işleminin sonucu kaçtır?
D) 4
C) 7
(- 5).( - 6)
10
işleminin sonucu kaçtır?
E) 71
1 967 + 3985 -1 968 -3984
C) 1
5 + 30 : [1 O : ( 6 : 3)]
A) 1 1
E) - 22
-7( 1 5 - 1 6 - 1 7 + 1 8)
A) - 14
1 2.
B) 2
8) - 1
A) - 7
işleminin sonucu kaçtır?
A) 3
l
lşlernirİin sonucu kaçtır?
E) - 1 3
- 32
--=a
) + 2 · (1 - 6 )
1
3 - : - [4 -( � - 1 )
8) - 1 5
C} - 1 1
D) - 5
E) 4
C;j
.->>A
·i··\i
20 - 2 -(25 -1 5 : 5)
işleminin sonucu kaçtır?
A) - 64
8) - 24
C) - 1 1
D) - 5
E) 24
iı
lilii,&MıiliHlii
Hayal edebilirseniz yapabilirsiniz.
�
7
-5
( 36 _ 27
9
3
Walt Disney
)
5.
işleminin sonucu kaçtır?
B) 20
C) 13
0) - 4
:
3fi
B) - 9
C) 3
0) 5
A) - 3
E) 8
7.
0) - 3
sonucu kaçtır?
C) - 8
0 ) 12
D) 4
E) 8
E) 1 5
C) 2
0) 3
E) 5
48 . - 1 5
-(-8) 2 - 7
A) 24
E) - 8
8.
8)-9
8) - 1
işleminin sonucu kaçtır?
\'işleminin sonucu kaçtır?
C) B
C) 1 0
işleminin sonucu kaçtır?
(-2 - 3 ) - ( - 5 - 8)
8) 13
8) 3
2[3 + 4(5 - 6)] + 7
6.
· C işleminin sonucu kaçtır?
>
A)- 2
A) 2
E) - 9
- 5 + 4(-3 + 2)
işleminin sonucu kaçtır?
B) 20
C ) 21
O) 1 8
E) 1 5
1-2+3-4+5-6+7
2-4
işleminin sonucu kaçtır?
A) 4
8) 2
C) O
0)-2
E)-6
9.
■iifüBiıhliıiiil
24 : ( 4 - 1 0 )
1 0 : (1 - 6)
işleminin sonucu kaçtır?
A) 3
1 0.
C) 1
8) 2
D) - 2
8) 1 0
D) 4
15.
işleminin sonucu kaçtır?
B) - 1 0
C) O
D) 1 0
E) 20
24 . 56 _ 54 . 45
8
7
9
işleminin sonucu kaçtır?
A)-6
B) - 3
C) O
0) 6
E) 9
C) 5
işleminin sonucu kaçtır?
0) 6
E) 9
B) 8
C) 4
D) - 3
E) - 4
0) 8
E) 1 6
- 8 [9 + 2(5 - 3.3)]
işleminin sonucu kaçtır?
A)- 8
1 6.
15
B) - 3
34 - 1 6 1 - 5 - 6
�- 1 + 2 · 2
A) 10
E)-2
5435 -2345 - 5430 + 2340
A) - 25
12.
C) 9
A) - 6
14.
işleminin sonucu kaçtır?
11.
E) - 4
6 - (-2) · (-3) 3 - (1 - 6)
9
+ ���
2-5
A) 13
işleminin sonucu kaçtır?
B) - 1 6
C) - 4
1 8 - 2- ( 1 0 - 3 : 3)
işleminin sonucu kaçtır?
A) - 24
B) -2
C) O
O) 4
E) 8
1.
5 + 2.(3 - 5) + 1
işleminin sonucu kaçtır?
8) 4
'. , 2;
iilii,116,iibibıı
C) 2
5.
D)-2
işleminin sonucu kaçtır?
B) - 5
C) 2
0) 4
E) 6
C) 2
0) - 3
C) - 2
0) 2
E)-5
E) 4
C) 6
0) - 6
işleminin sonucu kaçtır?
B) - 10
C) 2
E) -12
0) 3
E) 5
1 10
-�+5
55 5 • (-6)
işleminin sonucu kaçtır?
A) - 1 5
8.
B) - 4
B) 8
( 2 - 4)[3-2(2-3)]
A) - 3
7.
işleminin sonucu kaçtır? . .
8) 3
A) 1 2
6.
(-12-3) : (-5 + 8)
5
işleminin sonucu kaçtır?
E) - 4
-4 - ( - 7 + 1 0)
1 2 + 4 · (- 3 ) 2 - 44
+
14 - 7
15
B) - 1 O
C) - 5
0) 5
E) 1 0
(1-3) - (3-5).(5-1 0)
- (3-9)
işleminin sonucu kaçtır?
A) 4
8) 2
C) O
0)-2
E) - 6
1 3.
120 : ( 1 3 - 5)
1 0 - (15 : 3)
9.
işleminin sonucu kaçtır?
8) 2
A) 3
1
C) 1
0) - 2
2-4 .
9-10
--'---'---'---<- + ---'----....:...
1 5 - (- 64) : 8 -(2 - 5)
işleminin sonucu kaçtır?
14.
işleminin sonucu kaçtır?
8) 5
A) B
11.
D) - 2
işleminin sonucu kaçtır?
8) - 1
-(E)_l§.._
-8
9
C) O
1 5.
0) 1
1 6.
14
B) - 7
C) 3
C) 4
D} 5
E) 7
E) 4
0) - 6
E)-f
0) 5
E} 6
20 - 2[72 : (24 : 8 + 5) -1]
işleminin sonucu kaçtır?
8) - 4
1;
C) 4
:
�} · (3 -3 3)
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
A}-9
8) 6
A) - 8
E) 2
0) 7
1- 2-3 '
4 -16
)
)·(
2-5
- 2+2-2
A) 8
E)-3
21 . 42
9
(
C) 15
işleminin sonucu kaçtır?
(1234 + 5678 ) - (1235 + 5676)
A) - 2
1 2.
C) 3
8) 20
A) 26
E) - 3
6 - ( 1 - 2)
6 - (-2) · (-3)
o.
iiiiliıi&ıiilMII
7.GIM1ı
A)-42
B) -24
C) O
D) 14
E) 28
8.
••
� � �ÖğY�w-ı.e,­
�01"� ÖğY'� • •
· -..
·-
i:t.)1L;:-=; ·/.
llf
8.GCM'lı
5.:..;..:�____..:-----'-------------------Örnek soru
4x + 2y - x + 5 + 7y - 2 ifadesinin eşiti nedir?
veı
•
x !eri kedi arasında, y teri kedi arasında, sayıları da
kendi arasında toplayıp çıkarın. Sonuç ne çıkarsa ce­
vap da odur. Fazla da zorlamayın.
Yani, yapmanız gereken şey şu
( 4x-x) + (2y + 7y) + (5 - 2) = 3x + 9y+3
Anladınız mı?
?.�k b�sit. Ama acayip .önemli bir husus . . .
Hatı rlayacaksınız.© "Elma ile armut toplanmaz." mu­
habbetini.
işte harfli ifadelerle yapılan toplama çıkarma işlemle­
rinde de mantık aynıdır aslında. Sadece benzer şeyler
toplanıp çıkarılabilir. Gerçi söyliycem ama yine de ne­
lerin benzer olup olmadığını bilmek lazım,
Harfli ifadeler nasıl çarpılır? Gelelim buna.
Şimdilik en azından şu kadarını bilmeniz gereken bir
şey daha var. Parantez açarken lazım olabilir.
Bir sayı ile harfli ifadeyi çarparken sadece sayılar
çarpılır.
Bir kere harfli ifadeleri toplayıp çıkarabilmeniz için
harflerin ve bu harflerin üssünün aynı olması la­
3 - 2x = 6X
zım.
3a + 2a = 5a
5a-2a = 3a
3x - 2y = 6xy
( -2) - 5a = -1 0 a
3x2 + 5x 2 = Bx2
Bilginiz olsun.
Şimdi bahsedeceğim şeyleri üslü ifadeler konusunu
anlatırken daha detaylı anlatacağım. Ama en azından
şimdilik şunlara da bakın bi. Lazım olabilir.©
6xy -3xy = 3xy örneklerinde olduğu gibi.
Farklı iki harf arasında toplama yapamazsınız.®
4:x + 2y
2a-3b + 4c
3x ,.,. y gibi ifadeler böylece kalır. Bunlara yapabilece­
ğirıiz bir şey yok.
a-a = a
2
2
a , a = a 1 - a 2 = a 1 + 2 = a3
X·X = X
2
m -m=m
2
3
2a - 3a = (2 · 3) -a - a = 6a
' eir harfli ifade ile bir sayıyı da toplayıp çıkaramaz­
sınız.©
2
3 x - 5x = 3
- 5 - ._.,._.
x - x = 1 5x
�
2
2
3
Bir şey anladınız mı? Ya da nasıl bir sonuca vardınız
bunlarda?
3x + 2y + 5
5 C..: 3x
Şuna da dikkat edin.
'4 :?7a
3b C..: 2
Nasıl ki 2 - 3 = 3 - 2 dir. Aynen öyle de a • b = b - a dır.
2 + 3ab gibi ifadeler böylece kalır. Burada da yapabi­
•· )eceğiniz bir şey yok. işlem yaparsanız yamulursunuz.
Üzgünüm. ®
Ha! Bu arada çarpım durumundaki harflerin arasına
bir şey yazmazlar genelde. Yazsalar iyi olurdu. Ama
yazmayabilirler.©
2.a.b = 2ab = 2ba
3xy = 3yx
Sakın ha! Şu hataları yapmayın.©©©
f S--- 2x = 3x değildir. 5-2x = 5-2x tir.
Şimdi gelebiliriz parantez açma kapama olayına.
Aklınıza gelebilir. Ne zorumuz var da açıyoruz bu pa­
rantezleri.© Ama emin olun ki zorumuz olmasa açma­
yız. Ama korkmayın. Zor değil kesinlikle. Bana kulak
verin yeter© B.iraz da dikkatli olun tabii ki.©
;· •, 3 :F2a = 5a değildir. 3 + 2a = 3 + 2a dır.
+ 3ab = 4 + 3ab dir.© ille de işlem yapacağım diye
�.;-:·· "\ zorlamayın kendinizi. Bırakın öylece kalsın. Kimse bi
�t,şey demez size.©
t"4
o�
Bir kere baştan söyleyeyim. Eğer parantezleri doğru
dürüst açmayı beceremezseniz yaptığınız işlemlerin
sonucunu büyük bir olasılıkla yanlış bulacak ve yamu­
lacaksınız.© Onun için önce parantezi ·açma olayını
halledin. Sonra da kapamayı halledersiniz.
Şunu bilin yeter.
Bir parantez: açılırken parantez: dışındaki sayı veya
harf ile (her ne ise işte ... ) parantezin içindeki her
terim ayrı ayrı çarpılır (yani parantez dışındaki sayı
içeri dağıtılır.)
�
Zaten parantezi açarken yanlış açarsanız çok çok bü�
yük bir olasılıkla işlemin sonucu da yanlış çıkacaktır.
Sonra dönüp fark etseniz bile zaman kaybını önleyemeyeceksiniz. Ama "Önemli değil bizim zamanımız
-�
çok nasılsa." derseniz de keyfiniz bilir.©
Bakın sevgili Bay ve Girl Canlar!
•j
Eğer parantez açma ve kapama olayını adam gibi ya� '•!%)
pamıyorsanız (şimdilik en azından açma olayını) ben�
ce önce bunları öğrenin sonra devam edin.
'i
Ok.
Hadi bakalım...
3(x - 5) "' 3.x - 3.5
ilk önce aşağıdaki parantezleri nasıl açıp saçtığımı
inceleyin bi zahmet. Sizin içiiı açtım. Sonrası gele­
cek.®
2(a - b ) = 2a-2b
ikincisi şu
2a( x - 3) = 2ax - 6a
Örnekler. üzerinde izah edeyim.
İlk örnek şu
= 3x - 1 5
2 (3x + y -5) = 2 - 3x + 2 - y - 2 - 5
= 6x + 2y -10
Üçüncüsü de şu
5(3a + 2b) = 15a + 1 0b
- 3(2n + m) == - 6n - 3m
2( 4x -3y -6) = 8x -6y - 1 2
-2(-3x + y - 5) "' 6x - 2y + 1 0
- 3( 4a - 2b) = -3 - 4a -3 • (-2b)
a (2b -3) = 2ab - 3a
Bir de şuna dikkat edin. Acayip önemli.©
Bu kadar yeter herhalde©
= -1 2a + 6b
- (3a-2b - 1) = -1 · (3a-2b - 1) demektir. Ve
- (3a-2b - 1 ) = - 3a + 2b + 1 dir.
Yani, eksi parantezi açarken içerdeki her terimin işareti
değişiyor. ilginç©
-{-2x + 3) = 2x - 3
-(b - a) = - b + a
-(- 5x + 2y - 7 ) = 5x - 2y + 7
Var m ı bunlarda bir zorluk. N e yaptığımı anladı�ız mı?
Bir de bu işi yeni öğrenen acemi çaylak/ann© sıklıkla
yaptığı bir hata var. Parantezi açarken sadece ilk te­
rimle çarpıp bırakma ayıbı.©
Unutmayın. Parantez içindekilere haksızlık edemezsi­
niz. Hepsini aynı şeyle çarpmanız lazım. Yoksa ço�
ayıp olur gerçekten.©
Yani, 3(2x - 1 ) == 6x - 1 olur mu?
Ya da -'-3(x - 2) = -3x - 2 hı?
·I
-(x -3y -2) = - x + 3y + 2
Antrenmanları yapınca sıkıntınız kalmayacak. göre�;•j
- ,:::
ceksiniz.
·-•�
,�;
Açma kapama meselesini iyi öğrenin. En azından ne};
Il
zaman açıp ne zaman açmayacağınızı. .. ©
Jr{
Peki. Ya iç içe parantezler olursa?
.. . ,�
Aklınızda olsun iç içe parantez olan sorularda ilk önce'f�
en içteki parantez açılır. Sonra onun dışındaki. Sof\tci''l
· ·'<
da onun dışındaki. Varsa tabii ki.©
örnek vereyim.
Örnek Soru
2 [3x - 2(x+2) +3] ifadesinin eşiti nedir?
B�tür ifadelerde ilk önce içteki parantezi açın.
2 [3 x - 2 x- 4 + 3]
Sonra parantez içinde yapılacak işlemler varsa (ki
rada var) onları halledin.
2 [:3x -2x - 4 + 3 ] == 2 [x - 1]
}I
, <''fi
,: <i1
bu�j
<.ii
�ll
:�
8.Gütıı
son olarak da köşeli parantezi açın ve sonucu 2x - 2
, olarak bulun.
örnek Soru
3 (4a - 3 (a - b + 2))-9b + 20
if�des inin eşiti nedir?
Mantık aynı. ilk önce içteki parantezi açıyor. Parantezi
açtıktan
sonra yapılacak işlemler varsa onları yapıyor.
.
Sonra da dıştaki parantezi açıyoruz. Sonrası kolay
Czaten©
· - çözelim .
içteki parantezi açınca 3(4a - 3a + 3b - 6)- 9b + 20
oİuyor. Bunu da düzenlerseniz. 3 (a + 3b - 6) -9b + 20
ciiür. Bu da 3a + 9b-1 8 -9b + 20 = 3a +2 ye eşit olur.
bi problem?
Varmı
·
Bir şey daha hatırlatayım size. Parantez açacağınız
zaman dikkat edin. Bakın bakahm ki parantez içinde
yapılacak işlemler var mı? Varsa önce onu halletmek
.
işinizi kolaylaştırabilir. Onun için hemen atlamayın©
4(1 78x - 3y - 149 - 1 77x + 1 48)
ifadesinin eşiti . nedir?
.örnek Soru
Yukarıdaki gibi bir ifadede ilk önce parantez içindeki
işlemleri yapmakta yarar var.
'(Gerçi ben sayıları biraz abartılı verdim. Ama amacım
__anlatmak istediğim şeyi daha net görmenizdi.
Dôlayısıyla önce parantez içi işlemleri yaparak yukarı_daki ifadeyi 4(x-3y - 1 ) olarak yazıp parantezi öyle
--�ç�bilirsiniz. Çok da hoş olur.©
.<Tabii ki parantezi dir�kt de açabilirsiniz.. Ama zaman
> israf olur.
( Ama "Hocam, benim işlem yeteneğim süper.Direkt
.açar, çarpar, loplar, çıkarır ve sonucu bir şekilde bulu­
•- · rıJm." derseniz size diyeceğim tek şey var.
· Çok safsınız.©
.. T�crübeye güvenmek lazım.
dt>rnek Soru
; 5(2x .;.. 1) - 3 (3x-2) ifadesinin eşiti nedir?
_
::}�'· '.•'( ' .
;�Çok basit.
!:}lki parantezi de açıp işlem yapın.
5(2x - 1 ) - 3(3x - 2) = 1 0x-5-9x + 6
Örnek Soru ·
"' X + 1
24
( a - b) - 3 (3a- b) ifadesinin eşiti nedir?
Bu soruyu TV de sınav sorularını çözen amcalar gibi
çözmek istiyorum.©
Parantezleri açıp düzenlerseniz cevap b - a bulunur.©
Örnek Soru
4x - 2[ 5x - 2(2x -1)-1] + 5
işleminin sonucu nedir?
Verilen ifadenin karmaşık durması korkutmasın gözü­
nüzü. Olayın mantığını biliyorsanız (ki biliyorsunuz
artık©) sıkıntı etmeyin. Çözünce hiç de zor olmadığı­
nı göreceksiniz.
Hatırlayın. iç içe iki veya üç parantez olursa en içte­
kinden başlayacaktınız. Öyle değil mi?
Şimdi dediklerimi sırayla yapın.
önce içteki parantezi açın.
4x -2[5x - 4 x + 2 - 1]+5
Sonra köşeli parantezin içindeki işlemleri yapın.
4x -2[x + 1]+ 5
Sonra da köşeli parantezi açın.
4x - 2x - 2 + 5
Ve düzenleyerek 2 x + 3 ü bulun. Ok.
Zor mu ki?
İki veya üç Parantezli ifadenin çarpımı
iki parantezli ifade birbiriyle çarpılırken dağılma özel­
liği kullanılır. Yani, birinci parantezdeki terimlerin her
biri ile ikinci parantezdeki terimler tek tek çarpılır ve
sonra da benzer terimler bir araya getirilerek düzen­
lenır. Olay bundan ibaret.
örnek üzerinde anlatayım .
Örnek Soru
(a - 2)(ıc + 5) çarpımının eşiti nedir?
Zor değil. Ama çok çok önemli.
üstte söylediğim şey şuydu. Birinci parantezdeki a ve
- 2 ile ikinci parantezin terimlerini çarpın. Yani şunu
yapın.
-----------'--'-'-'------'--------8-.G
-Uf'tı
_
.. ________
(a - 2 ) ( x + 5 ) = a ( x + 5 ) - 2 (x + 5)
Örnek Soru
•
Bunu da iki parantezin çarpımı gibi düşünüp ve çar­
pınca = 6x 3 + 30x 2 + x 2 + 5 x - 2 x - 1 0
= ax + 5a - 2 x - 1 0
(3x +2) ( 2x -1 ) çarpımının eşiti nedir?
Yapacağınız işlem şu.
( 3x + 2 ) ( 2x - 1 ) == 3x( 2x - 1 ) + 2{ 2x - 1 )
== 6x2 - 3x + 4x - 2
= 6X 2 + x - 2
= 6x 3 +31x 2 + 3 x -2x- 1 0 bulunuyor.
Ama sayısal değerler için böyle yapmayın tabii ki.
Şimdi de size parantez açmanın ne kadar önemli olduğunu daha iyi anlamanız için iki fantastik soru çö­
[email protected]
Örnek Soru
A "' 201 3 ve B = 2014 değerleri için
3A - B(A + 3) + A(B - 2) + 3B
ifadesinin değeri kaçtır?
Örnek Soru
(a + 5)(a -2 ) - 3a ifadesinin eşiti nedir?
önce iki parantezin çarpımını halledin.
= a(a - 2) + 5(a - 2) - 3a
= a - 2a + 5a - 1 0 - 3a
2
Sonra da düzenleyin ve sonucu a
2
:-. 1 O
olarak bulun.
Örnek Soru
2
( 2x + x c 3) ( x + 2) ifadesinin eşiti nedir?
Mantık yine aynı. Birinci parantezdeki her terimi ikin­
cidekiferle çarpın.
2
= 2x ( x + 2) + x( x + 2) - 3 (x + 2)
= 2x + 4x + x + 2x - 3x - 6
3
2
2
Daha sonra bunu düzenleyin. Ve sonucu
2x + 5x - x -6 olarak bulun.
3
2
Eğer üç farklı parantezi çarpmanız gerekiyorsa önce
herhangi ikisini çarpın, bulduğunuz sonuçla da diğeri­
ni çarpın. Gerçi önünüze çok fazla gelmez: Korkma­
yın. Korkarsanız da ben yanınızdayım. En azından
mail adresimi [email protected])
iş olsun işte. Bir örnek üzerinde göstereyim.
Örnek Soru
(3x + 2)(2x -1)(x + 5) ifadesinin eşiti nedir?
Önce ilk ikisini çarpalım.
(3x + 2)(2x - 1 )(x + 5) = [ (3x + 2) ( 2x - 1 ) ] ( x + 5 )
= [ 6x2 - 3x + 4x - 2 ]( x + 5 )
= [ 6x 2 + X - 2 ] ( X + 5 )
istenen ifadede A gördüğünüz yere 201 3, B gördüğü­
nüz yere de 2014 yazacaksınız. Lakin böyle bir soru­
da bunu en başta yapmak ve parantezleri açmadan
çözmek cinayet!. Deneyin isterseniz.®
Cevap çıkmasına çıkar [email protected]
Ama önce parantezleri açarsanız çözüm çok daha
olur. Açın baklalım.
3A-BA - 3B + AB - 2A + 3B = A
Yani, yukarıdaki işlemin sonucu A kaç ise ona eşit
olacak. O da 201 3 müş zaten.
Demek ki cevap 201 3. isterseniz A ve B yi ilk
ifadede yerine yazıp bu sonucu teyit edebilirsiniz©
Vaktiniz çoksa tabii ki.
Size daha kesir mesir anlatmad ım ama kesirli bir
sormak istiyorum. Buyurun bakalım.
Örnek Soru
a=
7
8,
b= 8
9,
c = 9 · değerleri için
7
a(bc - b) - c(a-b) + b(a - c) + ac
ifadesinin değeri kaçtır?
Artık ne yapacağınızı biliyorsunuz.
Hemen a, b ve c yi gidip yerine yazıp amele gibi
raşmayacaksınız. ônce parantezleri açıp ,.ı;ı...,,."·'""""·
cek sonra a, b ve c yi yerine yazacaksınız.
Açın bakalım.
abc - ab - ac + be + ab - be + ac "' abc
7 8 9
o da eşı·tt·ır s · g-y
= 1 d'ır.
■ıibiiiı+iiUihll
Ayrıca, ortak parantez olayı sayısal değerler olunca
Asl ında bu kısım "Çarpanlara Ayırma" konusuyla ile
ilgili. Ve acayip derecede de önemli bir konu ...
Ama şimdilik size sadece çok yerde lazım olabileceğini
düşündüğüm kısımlarından bahsedeyim.
önce olayın mantığına yoğunlaşın.
S(a - q) = 5a - 5b idi. Şimdi bunu tersten düşünün.©
yani, 5a - 5b ifadesinin parantez açılmadan önceki
hali neydi? Bu soruya cevap arayın.
qrneğin, 3a - 6 = 3.a - 3 . 2 = 3(a - 2) olarak yazıla­
rak ortak paranteze alınmış olur.
Vereceğim şu örnekleri inceleyin bakalım önce.
Harfli ifadeleri ortak paranteze alırken katsayılara ve
ortak harflere bakmak lazım.
5a - 5b = 5(a-b)
9�a - 99b = 99(a - b)
7a + .14b = 7(a+2b)
11A + 1 1 8
= 1 1 (A + 8 )
3x + 9 = 3(x + 3)
.4x :::- 8 = 4(x - 2)
ab + 3a = a (b+3)
3xf:::- 6x = 3x(y - 2)
89- 725 - 89 - 723 = 89(725 - 723)
, ' :,'
= 89 · 2 = 1 78
;}(x+ 2) - 5( x + 2) = ( x + 2)(x -5 )
/�(b +1) + 2(b + 1) = ( b + 1 ) (a + 2)
Il + 2x = x - x + 2x = x (x + 2) demektir.
�h��i, nereden bilelim yapılan işlemin doğru olduğu­
l!lü ..: Bu da gayet kolay . . .
[earantezi açarsınız ve bakarsınız ki ilk verilen ifada ile
çıkıyor mu?
1k111ıyorsa bir şey dememe gerek var mı? Yamul­
(füuşsu
nuz demek ki©
,,
't�Ym
If
i/-1�3
J}:--
baya bi kolaylık sağlayabilir.
Ortak paranteze alıp işlem yapmanın önemini anlayın
diye size minik bir örnek soru.
Örnek Soru
1 25 - 456 - 1 25 - 452
işleminin sonucu kaçtır?
Böyle bir işlemde sonucu elbette ki bulabilirsiniz. Ama
kaç [email protected] Bu önemli işte.
Eğer ortak paranteze alıp yaparsanız en fazla 1 0
saniye b u işlem.
1 25 - 456 -1 25 - 452 = 1 25 ( 456- 452)
O da eşittir 1 25.4 = 500 dür.
Bu kadar basit işte.
Hadi bakalım sizde aşağıdaki ifadeleri paranteze alın
da görelim. @
1.
73 . 1 5 + 27.15
2.
57 . 23 - 56. 23
3.
17.45 - 1 6 .45
4.
2x - 4
5.
3x - 6y
6.
5a + 30
:,:;
7.
2xy -10 y
1 6.
2 5 n + 50m
8.
ab + 3a
1 7.
6x + 3
9.
1 1a + 1 1b + 1 1c
1 8.
x2
10.
99a - 99c
1 9.
x2 - X
11.
111.a + 111.b + 11 1 .c
20.
2a - 4b + 6c - 8
1 2.
130.a + 1 3.b
21 .
a (a - b) - b(b - a)
13.
1000a + 100b + 1 0c
22.
a(x - 3 ) - 5(x - 3)
14.
2a + 6 - 4b
23.
a(b + 1) - 2(b + 1)
1 5.
1 5x - 1 0y
141YdMIJi
+ 4x
Şu sori.ıda sonucu ortak paranteze alarak bulun lütfe�'�
;,
Amele gibi çarpıp bölmeyin.©
'.
24.
45 . 62 -44. 62 - 61
8. Güıııı
2(x - 1) - 2x
6.
2(a - b ) + 2b - 2a
7.
işleminin sonucu nedir?
<i
işleminin sonucu nedir?
3(x - a) + 3a
işleminin sonucu nedir?
x + 2x - 7x + 2x
••,,.,111;1
3x - 2x - 4x - 5x + Bx
işleminin sonucu nedir?
3(x + a ) + a + 2x
işleminin sonucu nedir?
8.
4x - 3x + 6y - 4y
işleminin sonucu nedir?
9.
2a - 3b + 4a - b
1 0.
4(a - b) + 3(a + b) - 7a
işleminin sonucu nedir?
11.
5 (x - 4) - 4(x - 5)
işleminin sonucu nedir?
12.
2x - a - 5 + 2(-x - 3)
1 6.
4x - 3(x - 2) - 6
tI
işleminin sonucu nedir?
1 7.
işleminin sonucu nedir?
4 - 3x(8 -9)
işleminin sonucu nedir?
1 3.
1 4.
1 5.
- 3(a - 3) - 2(a - 4 )
işleminin sonucu nedir?
5(x + 2) - 4(x - 3)
18.
işleminin sonucu nedir?
1 9.
işleminin sonucu nedir?
- 8(-x + 1) - 6(5 - x )
işleminin sonucu nedir?
3(3x - 2y) - 4(2x - y)
20.
4{5a - 4b) + 2(a - 7b)
ifadesinin değeri nedir?
3a - By - 4(a - 5y)
ifadesinin değeri nedir?
• 1.
64
8
( x + 1) -
45
9
(2x + 1))
6.
işleminin sonucu nedir?
7(5a - 4b) + 3(a - 7b)
ifadesinin değeri nedir?
3.
5a - 6y - 2(a - 5y)
ifadesinin değeri nedir?
8 - 3(3a - 7b) - 7(5b - 3a)
ifadesinin değeri kaçtır?
5(ab - 1) - 3a(b - 4) - 2(ab - 3) - 1
ifadesinin değeri nedir?
7.
8.
9.
10.
1 7 x - 8. ( 2 x - 3)
ifadesinin değeri nedir?
1 9 - 3(2x - 5y ) + 4(-2x + 3y)
ifadesinin değeri nedir?
8x - 5y - 5(2a - 3x + y)
ifadesinin değeri nedir?
3x(2 - 7) - 2x (9 - 1 0 )
ifadesinin değeri nedir?
12
16
- - (2x - 3 ) + -- (2 - x)
6
4( -4 )
işleminin sonucu nedir?
■
--'-··---'-•··_.·. ·---'-.•·•.---'-....-'-'-.=· <-'-'-ii'-"-\---'-:---'----'--------8_._G_a.nı_______;..,,H
�··•·'"',,-·ı'.---'-,;.ı---'-.·.�
11.
4(x - 3) - 2(2x - 2)
2(3 - 4)
işleminin sonucu nedir?
1 2.
33
24 - 7
4x - -(x - 6) + -.
x
8
11
1 7.
2(3a - 4b) + 3(a + 2b)
1 8.
ifadesinin değeri nedir? ·
1 3.
- ifadesinin değeri nedir?
14.
1 5.
1 6.
3x - 6y - 4(x - 2y )
ifadesinin değeri nedir?
7 - 2(a - Sb) - 5(2b - a)
ifadesinin değeri kaçtir?
1 9.
20.
3a.b - 2a(b - 3) - a.b
ifadesinin değeri nedir?
2 x - 3 (3x - 4 )
ifadesinin değeri nedir?
3 - 2(3x - 2y) + 5(-x + y)
ifadesinin değeri nedir?
1 3x + 2y - 6(a + 2x + y)
ifadesinin değeri nedir?
3x -
63
54
7 (x - 2) + 6 x - 1 8
ifadesinin değeri nedir?
{i1-f�: ı'{�··.· .
·
�� =·
;;Hareket halindeki cehaletten daha korkunç hiçbir
güç yoktur."
Bernard Shaw
8.�
6.
3x - 7x - Sa + 2a
11:ii,MdiiM+•
işleminin sonucu nedir?
3(2a - b) - 2a + 5b
işleminin sonucu nedir?
7.
3(x - 2a + 2) + 6(a - x)
8.
7a - 3a + 7a - Sa - 2
9.
işleminin sonucu nedir?
işleminin sonucu nedir?
5x-2x-7x + x - 2x
işleminin sonucu nedir?
1 3x - 22x - 1 4x - 25x + 1 8x
işleminin sonucu nedir? ·
x - 9x + 6y - 14y
işleminin sonucu nedir?
3a - 3b - 4a - 7b
işleminin sonucu nedir?
- 3 (- a + 2b) + 3(a - 2b) - 7a
işleminin sonucu nedir?
1 O. 8(x - 4) -4(x - 8) - 2x
işleminin sonucu nedir?
11.
x . x . x . x - x .x . x + x.x
işleminin sonucu nedir?
lfH,iliıiiiii+■\
.· · · --''·•· · · ...•._
. · ,. /...;._y:...;.;
8·_
:· .:'-'•::.' _______
�
_
·· _____
='3-"-,:--"-A_·.n:t}i1
,-'-. ,-'- . ··"'-"":---_,.. �
12. 2x(2 - 5) - a - 5 + 3(3 - x)
17. 4x -. 3x(8 - 9) - (- 2x)
1 3. a - 3(a - 4) - 2(a - 5)
18. 3(3y - 2x) - 3(2x - 5y)
işleminin sonucu nedir?
işleminin sonucu nedir?
14.
2 - 5(x - 2) - 4(x - 3).2
işleminin sonucu nedir?
15. 2 - 8( 1 - 3x) - 6(4x + 5)
işleminin sonucu nedir?
işleminin sonucu nedir?
19.
20.
{4 - 7)x - 3(x - 7) - 6
işleminin sonucu nedir?
işleminin sonucu nedir?
12
16
- - ( -x + 3) + --(5 - x)
4
2(-4)
işleminin sonucu nedir?
işleminin sonucu nedir?
16.
48 (x-2) - 45
( - 2x )
5 3
8
21 .
3(x - 2) - 2(7x - 1)
2-3
işleminin sonucu nedir?
HW!ii&iiifrPII
8 .�
1.
7(- 3a - 4b ) - 3(a - 2b)
6.
4y - 3x - 6y - 3(x - 2y)
7.
ifadesinin değeri nedir?
ifadesinin değeri nedir?
5a - 2(a - 3b) - 4(2b - a)
ifadesinin değeri kaçtır?
8.
3x - 4( - 3x - 2y) + 3 (- x + y)
ifadesinin değeri nedir?
3x - 2y - 3(a + 2x + y)
ifadesinin değeri nedir?
- 2x -
9
63
9
(x - 3) + 54 x - 8
ifadesinin değeri nedir?
6ab - 2a(3b - 3} + 6a
ifadesinin değeri nedir?
3 - 2x - 3(3x - 4)
ifadesinin değeri nedir?
9.
10.
5x(2 - 3) - 2x(3 - 5)
ifadesinin değeri nedir?
2(x - 3) - 3(x - 2} + 5x
işleminin sonucu kaçtır?
. · .·. ıı.. Anb�
.
. .
.
.
1 1 . [ 23 - 4(x - 4) + x(9 - 5) l + 3
işleminin sonucu kaçtır?
1 2.
5a - (2b - 3a - 7) - 4(2a - b)
işleminin sonucu kaçtır?
1 3. 2(2x - 3 y) - 4(x - 2y)
işleminin sonucu kaçtır?
14.
6(a - 3 ) - 3(a - 6)
8.
■
�
1 6.
17.
1 8.
işleminin sonucu kaçtır?
3a - 2(a - 2b) + a
işleminin sonucu kaçtır?
4 ( x - 5a ) - 4 x + 2 0a
işleminin sonucu kaçtır?
19. 3 - [4 -(5 - x) - xJ + 2
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
1 5. 2{x - 4) + 3(x - 2) + 1 4
x(4 - 7) + 4(x - 7)
işleminin sonucu kaçtır?
20.
1 7 - { 2x - [ 3 - ( 4 - 2x) ] - 1 } + 7
işleminin sonucu kaçtır?
9.
••
B�a,ı-m.alc,���004�(.çlwge,reke+ııı
. .. .
çalq �aıycq,�gereku-...
ıor 4, �yap� gerek,ip des
yapnıuuu.ğ � � şe;ylulNıı bu-�l.eı meyda.tı.aı
�-
J.J.'Roumaw
Bir �Lt\l�y��ükUcğl¼ �çckluğ w
l.eıcleği4·• cik.c1lvveıe.rae+nWk4���·ae--�.
V{.c;to-y :ıi�
. _·.��·•_•·�· -"-•· --'•··--'._______9_.G_uw
_··______•
'--.·.·_
·· •·ıiıbı
-=5.=)A-'-. · ·�
·· ·
1.
2.
3.
3x - (2x - 7) - 2x(9 - 1 0)
ifadesinin değeri nedir?
8 - 2{ 6 - 2(2.1 1 - 3.9)]
ifadesinin değeri kaçtır?
5x -
1 21 (x - 6) + { 1 08 ) x - 2
11
9
ifadesinin değeri nedir?
23 - 5 ( 1 3 - 3- 7)- 4(-4)
6. - 4(5a - 4b - 2) + 2(a - 7b - 4)
ifadesinin değeri nedir?
7.
8.
9.
· · · işleminin sonucu kaçtır?
3(2 - 2.5) - 3(3 - 7)
1 O.
5 + 3a - 3y - 4(2a - 5y)
ifadesinin değeri nedir?
7 - 2(3a - 2b) - 8(3b - 2a)
ifadesinin değeri kaçtır?
4ab - 3a(b - 4) - 2ab + 3a
ifadesinin değeri nedir?
5(-x + 2) - 3(2x - 9) - x
ifadesinin değeri nedir?
■
ı,
. · · · ·. · · • i· . • ��------9-·_
. ··�
s ._A_ıııtYı
______
ünı
G_
· '-"�·_
-'-··.---'-_·...;..
-'--'-'-. .
11.
1 2.
13.
1 4.
1 5.
7 - 4(2x + y) + 3(y - 3x)
ifadesinin değeri nedir?
4x - 2y ..: 5(2a - x + y)
ifadesinin değeri nedir?
3x(12 - 18) - x(9 - 6)
ifadesinin değeri nedir?
1 8 - 3[ 2 - 4(2.9 - 3.7)]
ifadesinin değeri kaçtır?
3 - 2(3 - 4.7) - 3(- 1 2)
işleminin sonucu kaçtır?
1 6.
1 6 - 3(2 - 2.9) - 3(3 - 8)
işleminin sonucu kaçtır?
54.x
63
1 7. 5x - T (x - 6) + -- - 7
6
ifadesinin değeri nedir?
1 8.
a - 2(- a - 4b) - 3(2a - 3b)
ifadesinin değeri nedir?
19. 5(2a - y) - y - 3(2a - y)
ifadesinin değeri nedir?
20. a - 4(a - 5b) - 3(2b - 4a)
ifadesinin değeri kaçtır?
1
\:·\ :.::
}\>:_: :.·:.
• ·fAfttY�
�
:
tl.
.
,
: _/;J;)/: :_:- :
'
:
:· ·
2(3x - (2x - 7)) - 2x(9 - 1 0)
. ifadesinin değeri nedir?
1 - 3[3 - 2(3.23 - 2.37)]
ifadesinin değeri kaçtır?
_
6.
8.
_ 14 - 5(3.35 - 2.53) - 3(- 7 )
9.
işleminin sonucu kaçtır?
._
i 49 - 4(2.29 - 32.2) - 3(5 - 9)
{ işleminin sonucu kaçtır?
- 2(a - b - 1 ) + 3(a - 2b - 2)
ifadesinin değeri nedir?
7.
5x - ( \3n(x - 1) + ( �0: ) x - 1
_
. ifadesinin değeri nedir?
ıı+&&+iiiiiiii111
1 O.
1 + 3(a - 3y) - 2(3a - 2y)
ifadesinin değeri nedir?
3a - 2(a - 3b) - 5(b - a)
ifadesinin değeri kaçtır?
4ab - 5a(b - 2) + ab + 9a
ifadesinin değeri nedir?
5(- x - 1 ) - 4(3x - 2) - 5x
ifadesinin değeri nedir?
■.
· · · · .· ·· ·
·· ______�
9 .G IM\ı
_·_
. _�
rıtYı
6._A_._
_c._
· · · .�· �=··�_�--------__
1 1 . 7x - 2(3x - y) + 2(3x - y)
ifadesinin değeri nedir?
12.
1 3.
X - 2y - 2(- 2a - X + 2y)
ifadesinin değeri nedir?
2x(2 - 8) - x(9 - 3)
ifadesinin değeri nedir?
1 6.
1 7.
50 - 3(5. 1 5 - 3 . 2 1 ) + 3(3 - 10)
işleminin sonucu kaçtır?
0
2x - ( \ nr x - 2) + ( �i )x - 2
ifadesinin değeri nedir?
1 8. 2(3x - 2) - 2(x - 3)
işleminin sonucu nedir?
1 4. 28 -: 3( 1 2 - 4( 1 2.9 - 53 .2) ]
19. - 2(3a - b) - 2(b - a)
15. 40 - 2(3 . 1 1 - 4 .7) - 1 3(- 1 2)
20. 3(x - a) - 2(a - 2x) + a
ifadesinin değeri kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu nedir?
işleminin sonucu nedir?
1
·.
;'.r!{·�: ��� . · •·•· •·
- �--·
t{{
lh�i
t 2.
2 (4x - 2 (x - 2)) - 2
6.
7.
işleminin sonucu nedir?
i:ô{
- 3(a - 1} - 2(a + 4)
işleminin sonucu nedir?
4x + 3(x - 2) - 6(-x - 1)
işleminin sonucu nedir?
işlem inin sonucu nedir?
2 (x - a - 5) + 2(-x + a)
l+Mifüdiiiii-a
{4 - x) . 3 . (8 - 9)
işleminin sonucu nedir?
8.
3(3x -y) -4(x - y) - x
işleminin sonucu nedir?
9.
4(a - 2b) - (a - 3b)
ifadesinin değeri nedir?
-8(x +1) - 6(x -1)
1 0.
3a - y -4(a - 2y)
ifadesinin değeri nedir?
_JR!i,iiidiiiihl
·. · : · · · · ·: . �------9-'GIM'\ı
· .�
'-l-_A�t'lt),;
· . ·�
.. ...:_____
. _'-_:___:
"'-__ ·�·=· .•�
..c_
...
11.
12.
1 3.
14.
1 5.
3a -2(3a -b) -8(b -2a)
ifadesinin değeri kaçtır?
5ab - 3a(b - 1) - 2ab
16,
17.
ifadesinin değeri nedir?
5x -8(2x -9) + 2(3x + 2)
18.
ifadesinin değeri nedir?
9 - 3(x - 2y) + 4(-x +y)
ifadesinin değeri nedir?
6x + 5y + 5(a - x - y)
ifadesinin değeri nedir?
1 9.
20.
2 x - 63 (x - 2) + 54 -x - 2
21
18
ifadesinin değeri nedir?
2x (2 -5) - 3x(1 1 -9)
ifadesinin değeri nedir?
64 (2x + 1} - 45 (3x - 1)6
15
16
işleminin sonucu nedir?
7(a -2b) -3(a - 5b)
ifadesinin değeri nedir?
5a - 3y-2(a- 4y) +2x
ifadesinin değeri nedir?
Bu test için 1O dakika yeter mi?©
·
:,:'./_.::.:::
1.
Bence yeter.©
4x - 3(x - 2) + 8x-2
5.
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 2x + 5
B) 6x - 3
D) 9x + 4
2(a - 5b) + 3(a + 4b)
D) 2a + 5b
X - 2y-3(2x --, y)
D) y-2x
- 2(a - 3b) - 4(b - a)
D) a + 4b
7.
C) 2y - 3x
E) 5a - 2b
E)-2a
2(x - 3(3x-4))-4x
8.
C) 2ab
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 1 0-Bx
B) 12 - 10x
C) 24 - 28x
E) 24-20x
3 - 2(x - 3y) + 4(y-x)
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 2x + y-3
C) 2y + 6x + 3
E) y - 5x
C) 7a + 2b
B) 4a
D) 1 6x + 8
E) a - 2b
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B) 9a + 2b
6.
C) 3b - a
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B) x + 3y
D) 6a
E) 7x + 4
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B) 3a + 4b
ab-2a{b - 3) + ab
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) O
C) 8x - 1
rı
B) 4x-y + 8
D) 10y -6x +3
E) 10y + 6x - 3
3x + 2y-3(a + x - y)
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) Sy -3a
D) X + 3a
B) 2y - 3a
C) y + 2a
E) Sx - 3a
· l; Tf¼t.
9.
7x - �(x - 2) + �x - 5
13
18
1 0.
1 2.
D) . 3x+9
C) 3x+6
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
D) 7x + 6
14.
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
D) - 2x
B) 6x
E)-4x
6-(2-5).[3 - 3(3.6 - 4.4))
C} 2x
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) - 6
8) - 4
C) - 3
8 - 5(1 3.2 - 3.7) - 2(-4)
D) 1
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)-9
B) - 6
C) - 2
0) 5
B) - 7x - 6
A) - 3x+6
E) 3x+ 1 9
2x(22 - 3.5) - 3x(13 - 7)
A) Bx
11.
B) 6x - 2
3 (4 -19)
x - 2(x + 3)
- (3 - 1 2)
1 3.
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 2x + 5
1
9.GIM'\ı
C) 5x - 3
E) X + 2
x - 3(;� - x) - 4 (x - 1)
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 7
15.
E) 6
C) - 5
8) 3
5(x-2)-7(x - 4) - (5x - 2)
E) - 1 3
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 5x + 1 0
8) 9x- 1 0
D) 3x-30
1 6. 3(2a - 5b)-2(a + 5b)
E) 7
D) - 1 1
C ) 7x -20
E)-7x + 20
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 3a - 7b
B) 5a ..., 1 2b
D) 4a - 25b
C) 6a-1 9b .
E) 7a - 27b
..
<
ı��
··
'it
- 2 + 3 (-5+ 1)
5.
< işleminin sonucu kaçtır?
A) - 14
8) - 4
C) 8
0) 5
E) 2
42 : 3 2 - 51
7� -
B) - 7
fit'
C) - 2
0) 0
7.
\işleminin sonucu kaçtır?
B) - 1
.
72
C) 1
0) 3
E) 91
54
' >· -(-9) . 2 - 1 1
C) 9
8) 1 0
C) 9
0) 4
E) - 2
işleminin sonucu kaçtır?
8) - 4
C) O
D) 2
E) 4
0) 5
E) 8
D) - 12
E) - 24
işleminin sonucu kaçtır?
8) - 1
C) O .
50 - 1 4 1 - 8 - 1 1
�- 1-2·2
işlemininsonucu kaçtır?
" {işleminin sonucu kaçtır?
8) 42
2-5
( 2649 + 5987) -( 5983 + 2653)
A) - 3
8.
+
işleminin sonucu kaçtır?
A) - 6
E) 1 4
1 5 -2[1 -2(3- 6)]
9
A) 1 3
6
. işlerninin sonucu kaçtır?
6 -(-2) ·(- 3 ) 3 -(1-6)
D) - 1 8
E) - 48
A) 24
B) 1 8
C) 12
iii%Hıliihili
2 . T�
9.
4a - 3(a - 2) - 2(3a - 4)
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 2a + 7
10.
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B) x - 5
D) 1 7x + 5
B) 1 1 '- 21x
C) x + 1 1
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
D) 8 - 2x
2(20x
B) - 2x + 2
C) - 4x + 2
E) 4x + 2
C) 5x - 3
B) 6x - 2
E) 8x - 8
+ 30y) - 3(20x + 50y)
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? .
B) 40x - 20y
D) 20x - ?Oy
C) 50x + 30
E) - 30x +1 0y
25(x - 2) - 1 5(2x - 3)
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 1 5x - 5
B) - 5x - 5
D) 95x - 5
E) 5x - 1 7
(4 - 6)x - 2(x - 2) - 2
O) 6x - 8
A) - 20x - 90y
1 5.
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) - x + 6
14.
E) - 1 7x - 5
D) 1 3 - 7x
12.
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 4x + 2
C) x + 5
(2 - 5)(x - 3) - 4(2x - 3)
A) 21 - 1 1 x
4(x - 2) - x(3 - 6) - (- x)
E) 3a - 7
2 - 4(2x + 1 ) - 3(1 _ + 3x)
A) - x - 5
11.
C) 5 - 5a
B) 7 - 6a
D) 1 4 - 5a
1 3.
1 6. - 20(- X
C) 5x + 1 0
E) 55x + 95
+ 3) + 1 2(5 - X)
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A} 1 2x
B) Bx
D) 4x - 60
C) Bx + 20
E) 2x - 1 20
1 0.
••
ÖğY�� a+t1A-e,ehcuerOt'\danı�
p�.
v��dis � (��) v�
8�
Kar�iıı��btV m.Umıyalcc
Kcmfü.0,U¼-
ILF
•
10. GW'lı
_;__;__;..------�--------------------Örnek 4
Sadeleştirelim. iyi. Güzel de . . . Neyi? Ne zaman?
Ve de Nasıl?
işte bütün mesele de bu zaten.©
öncelikle şunu not edin bakalım münasip bir yere.
Mantıklı yapılan bir sadeleştirme işleminin faydala­
rı saymakla bitmez. ©
işlem hamallığından kurtarır sizi. Bu biiiir.
Dolayısıyla işlem hatalarınızın azalma ihtimali ar­
tar. Bu ikiii.
Ve daha önemlisi zaman kazandırır. Bu da
. . ·. üüüüç.©
Anladınız mı?
· ·. Eğer sadeleştirmeleri zamanında yapmazsanız bu
10 m taşıyacağınız bir yükü gereksiz yere 20 m ta­
şımaya benzer. Hiç gereği yokken daha çok yoru·. lursunuz.
Hem bilirsiniz yükü ağır olan hızlı gidemez. ©
Şunu
da aklınızdan çıkarmayın. Matematikte iş.
· ıem sonuçları her zaman en sade biçimde yazı­
lır.
Anlayın gari.©
Gelin bakalım. Sırayla gidelim.
\ Toplam- fark durumundaki ifadelerde sade­
. !eştirme muhabbeti
Çok basit.
Nasıl ki aynı sayının eksi ve artılısı birbirini yiyor.
Aynı harfli ifadeninkiler de yer. Yeter ki biri pozitif
. diğeri negatif olsun.
Örnek 1
){ + 3 y +2,:,,2x = 3y + i
Bunda 2 x ile - 2 x birbirini yedi.©
Örnek 2
3(3.a-='215) + a - b � = a -b
:::::
· Bunda 2(3a-2b) ile-2(3a - 2b) birbirini yedi.©
Şimdi burada parantezleri açmanın alemi yok. Za­
. rhan kaybı sadece.
_,
Örnek 3
' 1-,atı + a + ,a!) = 1 + a
· Bunda - ab ile ab sadeleşir.
•
Ş. + x ! 3 - Ş.
=
x!3
Toplam fark durumunda olan ifadelerin kesirli ol­
ması bir şeyi değiştirmez. Önemli olan ters işaretli
ve aynı olmaları. Birbirlerini yemeleri için bu yeterli.
Bunda öyle mesela.
Örnek 5
;' + � - 1 + + = ! + ;
Az önce toplam fark durumunda olan ifadelerin ke­
sirli olması bir şeyi değiştirmez dedim ya. işte bun­
da da aynı şey var. Şimdi kalkıp böyle bir işlemde
payda eşitleyip işlem yapmak amelelikten başka bi
şey değil.©
Kesirlerin sadeleştirilmesi muhabbeti
Sayılardan oluşan rasyonel kesirleri sadeleştirmek
kolay. Genel kural şudur. Pay ve paydadaki çarpım
şeklinde olan aynı sayılar birbirini yer ve etkisiz ha­
le gelirler. (Kesirlerde b\ri pay diğeri paydada olan
iki sayıyı sadeleştirince yerlerine 1 yazılır.)
Şimdi kalkıp payda eşitleyen, çarpma bölme yapan
cıngıllar da çıkabilir. Ama olsun. Daha vakti _var bu
cıngılların.©
Örnek 6
�;:�; işlemini yaparken çarpma işlemlerini
yapmadan önce sadeleştirmeyi görmek lazım .
1
:� 1 i = 1.§_ ( 1 9 lar sadeleştirilir ve yerlerine 1
,r-ı - 12
ya?ılır.)
12
örnek 7
�; kesri sadeleştirilebilir. Bu tür kesirleri sade­
leştirirken hem pay hem de paydayı aynı sayıya
bölmenin bir sakıncası olmadığı mantığından gidi­
lebilir.
Yani
1 5 = 5 = -1_ gibi. Ya da .1.§_ = 3 ·%' = -1.
' 20 : 5
4
gibi de düşünülebilir.
20
4 - ,5
4
10.
Örnek 8
�!
kesrini sadeleştirirken size çok yahşi bi öğ­
renci çözümü yapayım.©
ilk önce pay ıie paydayı 2 ye bölüp �; yı, tekrar-
dan 2 ye bölüp
-11.
8
i bulalım. Artık 4 e bölündük-
lerini görebiliyorum.© Şimdi de pay ve paydayı 4 e
bölüp � yi bulalım.
. .
B unu .Mf
;ııi = .24
),6 = J-2 = 3 b'ıçımın
de ı,a
·� d e
24
12
3
7
edebiliriz.
Şimdi bunu neden yaptım?
16
8
2
2
Demek ki sadeleştirmeyle ilgili başka bi şeyler da­
ha demek istiyorum da ondan.©
Şunu bilin ki bir kesri sadeleştirirken pay ve pay­
dayı bölebileceğiniz en büyük sayı ile bölmeniz çok
önemli. En sade biçime çok daha hızlı ulaşırsınız.
Yoksa yukarıdaki sadeleştirme de doğru elbette ki.
Ama zaman kaybettiriyor işte.
Mesela �� kesrinde pay ve paydayı direkt 1 6 ile
bölseydiniz sonuç gen� ; çıkacaktı.©
Örnek 9
:!
kesrinin en sade biçimi nedir?
Yukarıda en büyük sayıyla sadeleştirmenin fayda­
sından bahsettim. Ama bu sayı aklınıza gelmezse
de sıkıntı etmeyin. Uzun yolla yapın. Yeter ki so­
nuç doğru olsun .© (Şimdilik tabii ki. Yoksa pratik­
leşmeniz lazım.)
Diyelim ki aklımıza pay ve paydayı 2 ye bölmek
geldi. Olsun. Problem değil. Siz de 2 ye bölün.
;!
21
= �� i elde edin. Edin ama bu adımda pay
28
ve paydanın 7 ye bölündüğünü ıie sadeleştirme iş­
leminin devam ettiğini görün tabii ki.
Devam edin ve ; =
bulun bu kesrin.
4
!
olarak en sade şeklini
GIM'\ı
■
Tekrar edeyim.©
Kesirlerin pay ve paydasındaki ifadeleri sadeleşti- · ·
recekseniz kesinlikle pay ve paydadaki ifadeler
çarpım halinde olmalı. Doğru sadeleştiremezseni:Z
yamulma olasılığınız yüksek demektir. ©
işte size doğru sadeleştirme örnekleri
örnek 1 0
�=
a
4 ,i =
4 (a lar sadeleşiyor.)
,i
Örnek 1 1
1 2a =
6a
2
= 2 -1 = 2
1-1
1
t�
_n a_
Bunda 12 ile 6 kendi arasında a lar da kendi ara­
sında sadeleşiyor.)
1 1
Örnek 1 2
x . = � =x (x \er sadeleşiyor.)
2x
2
x - J.
2 · ,r.
2
Örnek 1 3
2
j. /
· . · .··
� = -·-= -1- (2 ile 6 kendi arasında ve <
3
3x
6x
t-/
3
X
x 2 ile x 3 kendi arasında sadeleşiyor.)
Örnek 14
8 ·
4 4
8
J-2
12
= - +- = - tır.
- + - = -- +-3 x 2x
jx j x x x x
4
4
JJ
1
1
Örnek 1 5
3 (x - 1)
. .
. .
kesrının en sade b'ıçımı
ned'ır?.
2(x -1 )
Çok basit. Pay ve payda da x - 1 ler aynı ve çar- ;;
pım durumunda. Onun için bunları sadeleştirmek!�
bi sakınca yok.
Sadeleştirince sonuç :� = � olur.
10. Gü+ıı
örnek 1 6
.
,<
7 (3x - 1 ) kesrini sadeleştiriniz.
3x - 1
Bunda da pay ve paydadaki 3x-1 ler sadeleşe­
cek.
7 (3 x - 1)
= 7 � = 7 dir.
< 3x-1
1�
· Fakat bazı kesirlerde sadeleştirme işlemi ancak or­
tak paranteze alma işleminden sonra olabilir.
< Örnek 17
4x - 1 2
3x- 9
.
( V __.PL'\
4 Y,--"' = 4
3 .{y/4J 3
Payını 4 paydasını da 3 parantezine alınca sade­
·
•·· • leşebilen x - 3 ler açığa çıktı.
{:
",\.· '. ' . · ..
};·· .. :,':
, Örnek 18
<ab +ac
;;r; ,/· ax.+. ay
J (b + c )
.ı (x + y )
p
b+c
= x+y
;: . .· Bunda a parantezine almak yetti de arttı bile.
{f _ ·
. ·
t{i
Örnek 1 9
.
4-2(X - 3 )
5-x
�t:. . . .
4 - 2 x + 6 = 1 0 - 2x = Z_{.6-/4 = 2
5-x
5-x
0
'.Ş, ,, BÜnda ilk önce parantezi açı p düzenlemek gereki;'f;ii <yordu. Daha sonra da paranteze almak ve sade­
·
'.':}·· ••• ıJştirmek.
�
; :�Jnı:ıa sadeleşecek ifadeler hazır verilmiş zaten.
, :,
•
Eksi parantezine alarak sadeleştirme yapma olayı
önemli ve hoştur.©
Örnek 22
2x-3y
3y -2x
-1
Yine eksi parantezine aldık.
Eşitliklerde sadeleştirme işlemi ne zaman
yapılır?
Toplam - fark biçiminde ise eşitliğin her iki yanında
aynı olan ifadeleri sadeleştirebifirsiniz. Zaten bi.ı
ifadeler eşitliğin diğer tarafına işaret değiştirerek
geçeceğinden dolayı birbirini yerler. Dolayısıyla
sadeleştirmekte bir problem yok. Sıkıntı olmaz.
Örnek 23
3x + y - 2 = y + 10 eşitliğini 3 xy{ -27"f = 1 0 dan
3x - 2 = 1 O biçiminde düşünerek + y ile - y nin sa­
deleştiğini görebilirsiniz. Bunu böyle yapmaktansa
taaa en başta da yapabilirsiniz. Bunu demek istiyo­
rum.
Yani, 3xy{ - 2 =10 y1 den 3x - 2 = 10 dur.
Örnek 24
5
2x - 1
5
+ -- = - + 1
X
X
5
olduğuna göre x kaçtır?
Bunda da ilk önce sadeleşen ifadeleri görmekte
fayda var. Eşitliğin iki tarafında bulunan _§_ lerin
sadeleşeceğini görün.
� ler sadeleşince,
t"
+ 2� 1 =
a� b == --"'-�
� = -1
..
b-a
J).4
X
f + 1 den
zx - 1 = 1 eşitliği elde edilir.
5
Çözmüyorum. Ama bu eşitlikteki x değerini 3 bu­
lursunuz gari.©
Örnek 25
·• )jJ:ıiraz ilginç gelebilir size©
1-111
2a - 3
a+2
a +2 + 3
=
+
a+2
a-1
a-1
olduğuna göre, a kaçtır?
Bir önceki örneğin benzeri. Bunda da eşitliğin iki
1
10. G üw
tarafında aynı olan a + 2 terin sadeleşeceğini
a-1
görmek lazım. Yoksa hemen payda eşitlemeye
kalkmak amelelikten başka bir şey değil böyle bir
soruda.©
Sadeleşme olayını görürseniz verilen denklem
+
2a - 3
2a - 3
+
--- + * = * + 3 d en --- = 3
a+2
-1
-1
a+2
gibi daha sade bir biçime dönüşür. Artık çözebilir­
siniz. a = - 9 çıkıyor galiba©
Örnek 28
2
;_;,
5 = x
;,/ eşitliğinde x i bulmak için payda­
lar sadeleştirilerek 2x-5
lir.
= x + 3 eşitliği kullanılabi­
Örnek 29
3 x + 2 = S x - 6 eşitliğinde x i bulmak için payda:.
2x-7
2x-7
lar sadeleştirilerek 3x + 2 = 5x-6 eşitliği kullanıla�
bilir.
Orantı biçimindeki eşitliklerde paydalar ara­
Örnek 30
Örnek 26
x +2x - 1 = x 2 + 7 sonra da 2x - 1 = 7 eşitliği el,
de edilebilir.
Bunlar tabii ki bu işin olmazsa olmazları değil. Amc'i
yapınca da hoş oluyor di mi?
sında sadeleştirme yapılabilir.
Zx + 3 = � gibi bir eşitlikte (orantıda) eşitli5
5
ğin her iki yanı 5 ile çarpılınca paydalar yok olur ve
d
p'
2X + 3
X + 10
•--y/J,:/
= -r·
den 2x + 3 = x + 1 0 eşıt-
liği elde edilir.
Bunu böyle yapabileceğiniz gibi hiç uğraşmadan
direkt paydadaki sayılar arasında sadeleştirme yapabilir ve 2 x; 3 = x / O den 2x + 3 = x + 1 O u
elde edebilirsiniz. (Yani , paydadaki 5 leri sadeleş­
tirdik)
Örnek 27
20a 2 + 330a 2 + 2a --=
1 20
80
olduğuna göre, a kaçtır?
Eşitlikteki sayıları biraz abartılı verdim . Belki bu
kadar abartılı şeyler gelmeyecek önünüze. Ama
zamanında yapılan sadeleştirmenin faydasını gö­
rün diye yazdım.©
Paydalar arasında sadeleştirme yapı nca
30a 2 + 2a
J,20
3
30a 2 + 2a
3
20a 2 + 3
po
2
den
20a 2 + 3 eşitliği elde edilir. Sonra
2
içler dışlar çarpımı yapılarak denklem çözülebilir.
Çözerseniz a =
!
çıkıyor galiba.©
x 2 + 2x -1
2
Jd
x 2 7 eşitliğinden ilk önce
�
Peki, bir orantıda paylar arasında sadeleştirme,
olmaz mı?
Elbette olabilir. Ama paydaki ifadeler sayı olursa. >
Unutmayın. Paydaki bilinmeyen içeren ifadeler saf
deleştirilmez.
Örnek 30
� = � eşitliğinde iki kesrin payındaki 14-Je
X+3
3x
<
28 arasında sadeleştirme yapabilirsiniz. Can ınızjs:
terse eğer.©
. . •)
Sadeleştirme yaparsanız bu eşitlik -1- = _L
X+3
3X :
biçimine dönüşür.
')
Örnek 31
36
3x - 2
7
2x + 3
2
--- = ---
eşitliğinde iki kesrin payındaki 36 ve 27
sadeleştirme yapılabilir.
4- = - 3- eşitliğini
Eğer yaparsanız -.
3x - 2
2x + 3
edersiniz.
■l■iiiiii&I•
10. GÜflı
Eşitlik durumunda en sık yapılan sadeleştir­
me hataları.
Eğer eşitliğin her iki tarafındaki ifade çarpım halin­
· •· deyse ben olsam kat sayılar dışında hiçbir şeyi sa­
deleştirmezdim.©
· Çünk ü bu durumda denklemin köklerinden biri yok
olur. Sebebini ilerde daha detaylı anlatabilirim.
Ama şimdilik bu kadarını bilin yeter.©
şusadeleştirmeler yanlış. Sakın ola ki bu hatalara
düşmeyin . Benden söylemesi. Ama tecrübe ederek
·· öğrenmek de bi yol.© Yani, morara morara®
. · . · Mesela şu soruda x mix sadeleştirilmez!
yanhş sadeleştirme 1
: - ; ,
. . i{jş��
.
x(x + 2) :;; x ( x + 3) eşitliğinde x leri sadeleştirmek
> yanlış. /( x + 2) :;; /( -x + 3 )
( + 5) = 9 � sadeleştirmesi de
X
,. . . doğru değil.
;s( i·• �
t?/';,t;:} \ X.{t-/4 ( x + 2) = 8 �
ru değil.
sadeleştirmesi de doğ-
Yanlış sadeleştirme 4
>:<f = 0
�ır··�
��it
·
sadeleştırmesı de dogru degıl.
.
.
_
-
x+B
�}· Çünkü paydaki x li ifadeleri sadeleştiren acemi
çaylaklar genelde yamulur. Onun için siz siz olun
i ve beni dinleyin. Bu işte tecrübe kazanıncaya ka­
s; .•· dar da bu yollara girmeyin
�S .
önce inceleyin, sonra da düzeltin bakalım kendini­
zi.©
Evet.
Bunlar sadeleştirme yetenekleri çok fazla gelişip
de her gördüğü rasyonel kesri sadeleştirme ihtiyacı
hisseden Morcanlara ..�
Yanlış sadeleştirme 5
Size mantıklı gelebilir ama
2x 4
+ kesrinde
2x + 1
4
,::+
gibi saçma sapan bir sadeleştirme olmaz.
�7-. + 1
Yanlış sadeleştirme 6
Yine x + 1 kesrinde de / + 1 gibi bir sadeleştir-
Yanlış sadeleştirme 2
�\\ •.· Yanlış sadeleştirme 3
Kesirlerde en sık yapılan sadeleştirme hata­
ları
1,
·· ;Şimdi eşitlik varken hangi durumlarda sadeleştirme
Yapılıyor. Anladınız mı?
Eşitlik durumundaki sadeleştirmeler için beyninizde
!?lr bölme ayırın bakalım. (Boş bölme ya da bölme
yarsa tabii.) �
x
/
me yapamazsınız.
Ne demiştim. Kesirlerde sadeleştirme yapabilme­
niz için pay ve paydadaki ifadeler çarpım şeklinde
olmalı .
Yanlış sadeleştirme 7
Yine
x(x + 1 ) + 1
1
kesrinde de / ( x + ) + 1 gibi bir
/
sadeleştirme de yapamazsınız. Çünkü payın ta­
mamı çarpım biçiminde değil.
X
Yanlış sadeleştirme 8
x2
x2 + 2
kesrinde 2 leri sadeleştirip
; l_ gibi
2
dandik bi şey yaparsanız geçmiş olsun. Yamul­
muşsunuz demek ki©
Ve şu sadeleştirmeler de yanlış. inceleyin ve görün
isterseniz.
2 x j yok böyle bi şey©
;
2(x - 3)
bunda d a sadeleştirme yok.
2x_3
S x - 2�
----'---- sadeleştirmesi yanlış olduğu gibi
S x - 3�
10. Gürıı
j)-x - 2( x + 4)
----,---- sadeleştirmesi de yanlış.
j)-x - 3( x + 4)
Aynı şekilde aşağıdaki ifadelerde de sadeleştirme
işlemi filan yok. Sadeleştirmek için kendinizi fazla
zorlamayın.
� + 1 gibi yapası geliyor insan ın.
--'-------
Ama yanlış işte. Yapılamıyor.©.
�
�
(a 9 )
gibi yapmak da doğru değil. Bura­
(a -8 )
da tek doğru şey parantezleri açıp öylece de bı­
rakmak.©
s; - 2x
artık bunun sadeleşmeyeceğini görmüş5 + 2x
sünüzdür.©
Bakın Canlar,© 1 0 gündür antrenmanlarda birlikte­
yiz. Teşhisi koymak lazım. Onun için '8� X (ı
can kulağıyla dinlemenizde fayda var. Artık bunu
biliyorsunuz. (Bilmiyorsanız da öğrendiniz şimdi.)
Size matematiği bu güne kadar yapamayanların
neden yapamadığını izah edeyim.
önce şu soruma cevap verin. Sonra konuşalım.
Masa, kağıt, kalem, yazmak, şiir gibi kelimelerin
anlamını hiç bilmeyen ya da yanlış bilen birisine
" Masanın üzerindeki kağıda mavi kalemle bir şiir
yazabilir misin?" deseniz ne yapar sizce?
Bence sadece şaşkın şaşkın bakar.© Çünkü ona
göre masa, kağıt, kalem, şiir, yazmak gibi bir sürü
anlamsız şey var bu soruda. Önce bunların ne ol­
duğunu öğrenmesi lazım ki denilen şeyi yapabilsin .
Sizce de öyle değil mi?
işte aynen öyle de matematiğin temel kavramlarını
bilmeyen birine bir konuyu ne kadar mükemmel
anlatırsanız anlatın anlattıklarınız karşınızdaki için
bir şey ifade etmeyecektir. Çünkü anlattığınız en
basit (tabii ki size göre©) şeylerde bile onun kafa­
sında ne olduğu bilinmeyen anlamsız bir sürü şey
oluşacaktır.
MIJIIIIINNI
Rakam, sayı , üs, kök, denklem, oran, orantı, içle
dışlar çarpımı, işlem önceliği, özdeşlik, denklem
çözme, sadeleştirme vs. gibi matematiği anlatır�
kullanılan pek çok kavramın ne anlama geldiğini
· bilmeyen birisine matematiğin bu kavramları içeı
herhangi bir konusunu anlatamazsınız.
Bu gruptakilere matematiği anlatmak için işe bu
temel kavramlardan başlamak lazım.
Ayrıca yürüyemeyen birine yol tarif etmenin de
alemi yok. Önce yürümeyi öğretmek lazım.
işlem yeteneği yürüme yeteneği gibidir. işlem ye
teneği olmayan birisi anlatılan şeyleri anlasa bilE
soruları çözemez ve çoğu zaman doğru sonuca
ulaşamaz. Ve sonunda pes eder ve kafasında b
fobi oluşmaya başlar. Matematik fobisi.
c¼Yor 'k1.ı:
Bunca yıldır matematiği neden yapamadığınızın
önemli sebeplerinden biri, temel matematik bH�
lerinizin eksik olmasıdır.
Bir diğeri işlem yeteneğinizin çok zayıf olmas
Bir diğeri de matematiğe yaptığınız katkılar... @
Gerekli gereksiz sadeleştirmeler ve patenti size
olan müthiş çözümleriniz.©
Onun için önce nereden başlayacağ ınızı bilin.
<!JIU(,ytı iç,lv\ı'/30t:Y X
Siz daha dört işlemi , işlem önceliğini filan bilr
den Trigonometri, Türev, İntegral gibi baba k
nuları halletmeye çalışıyorsanız.. . . Allah aşkıı
güldürmeyin beni . . .
Bu kadar saf olmayın yaw. . . Mantıklı olun. Yanlı,
teşhisin tedavisi doğru olmaz.�
Başarısızlığınızın bir diğer sebebi de 3 - 5 saati
bir çalışmayla bu işi halledeceğinizi sanıyor olm
nız.
Var. mı öyle 3-5 saatlik çalışmayla matematik
üstadı olmak.
N'ber? Yesinler. . . ©
önce kararlt ve sürekli çalışın bakalım.©
Adam gibi çalışın yeter ki. Ve bilin ki adam gibii
l ışıp da bu işi beceremeyen yok.
Ama sabırsız olup erken bırakan ve dolayısıyla·
şaramayan da çok.
Unutmayın. Belki de başarı bıraktığınız yerin
ilerisindedir. Belli mi olur?
11
••
BW (şeı � btış� �daha,�; Newıw
btt'u-��
_________________________;ı
u � �e, � � ya.lc.t,nı �(ı <illj mdlcJa,
�-
Vôğru,yo!daıw�tupalsydldanı �CMv çabuk,.
ytlrlo/üşÜo/llı�.
. ·;.;:r�
.· ı �
. ·. ::)�}J
1 1 .Günı
b) x + 5 = 1 2 olduğuna göre, x kaçtır?
Matematiğin en temel konularından ve her konu­
nun içinde azıcık da olsa olan bir konu.© Ve kesin­
likle çok kolay.
Denklem çözmek; x i(bilinmeyen şeyi) bulmak de­
mek. Birazdan göreceksiniz ki sıkıntı olacak bi şey
yok burada.
Ama denklem çözme olayına girmeden önce şu
sadeleştirme hususlarını tekrar hatırlayın bakalım.
.-/ X
. ·.
2x
= 4 tür.
x - 3 = 8 ise x :a: 8 + 3 = 1 1 dir.
x - 5 :a: 4 ise x = 4 + 5 = 9 dur. Gibi düşünebilirsi­
x + 2 = 6 ise x = 6 - 2
niz. Müsaade ediyorum©
Hımm ...
3
Bu eşitlikteki x i bulmak için (yalnız bı rakmak için)
her iki yanı 3 ile çarpmak lazım.
2x
+1
+1
-+ l -. l = -3
3
2x - 1 = 2x pd ·--y1
Hatırladınız mı?
Şimdi asıl meseleye gelelim.
Cebirsel bir eşitliği (denklemi), eşit kollu terazinin
denge hali gibi düşünebilirsiniz. Nasıl ki denge halindeki terazinin bir kefesine bir şey koyduğunuzda
diğer kefesine de bu aynı şeyi koymazsanız den­
gesi kayar. Aynen öyle de bir eşitliğin (denklemin)
sağ tarafına bir sayı eklerseniz sol tarafına.da aynı
sayıyı eklemeniz, sağ tarafı n ı bir sayı ile çarparsa­
nız sol tarafını da çarpmanız, bölüyorsanız da
bölmeniz gerekir. Eğer böyle yapmazsanız eşitlik
meşitlik kalmaz ortalıkta.©
Demek istediğimi küçük örnekçiklerle izah edeyim.
'�r x � 3 = 4 olduğuna göre, x kaçtır?
. �u eşitlikteki x i bulmak için eşitliğin her iki tarafına
· 3 eklemek lazım. (ki-3 yok olsun ve x yalnız kal­
sın.)
Yani,
Aslında şöyle düşünmekte bi sakı nca yok. Ve daha
pırt.
x + 2 = 7 ise x :a: 7 - 2 = 5 tir.
c) � = 4 olduğuna göre, x kaçtır?
Yirıe benzer şekilde,
7 + 7 = 3x
Bu eşitlikte x i yaln ız bırakmak için eşitliğin hem
sağından hem de solundan 5 çıkarmak lazım.
Bu da x + -5--"'5 = 1 2 - 5 = 7 şeklinde olur.
Demek ki eşitliğin sol tarafındaki sayı diğer ta­
rafa işaret değiştirerek geçiyor. Yani "+" olan
sayı diğer tarafa "- " olarak geçiyor. "- " olan
sayı da "+" olarak. ©©©
� -y = x
· 3x �
lıll
x,7"3 + ;f = 4 + 3 tür.
Yani,
j.
j = 3 - 4 ten x = 1 2 dir.
Yine bu mantığa göre,
f=
2 ise x = 5.2 = 1 0 dur.
2 = ·ıse x- 2
x -4
3
x 1o
�
= 3 .4 t"ur.
= 3 ise x + 1 0 = 3 .7 dir.
Bu eşitliklerde x i bulursunuz artık©
Şöyle düşünebilir miyiz ki?
Eşitlik durumunda kesrin paydası diğer tarafa
çarpı olarak geçiyor©©
d) 3x = 15 olduğuna göre, x kaçtır?
Bu eşitlikte ise her iki tarafı 3 e bölmek lazım ki x
yalnız kalsın. Yani, j;/
Anladınız mı bunları?
= 1;
ten x = 5 tir.
11.Güw
Peki, bir de şuna bakın bakalım.
e) 2x - 3 = 15 olduğuna göre, x kaçtır?
Bundan sonra bilinmeyenleri bir tarafa (sola) bili- ·•··.
nenleri (sayıları) bir tarafa (sağa) toplamak lazım.
Gerisi kolay. ©
8x - 5x = 8 + 1
3x = 9 dan x = 3 bulursunuz artık©
Şimdi her iki tarafı da 2 ye bölün ve � = � = g
Neyse . . .
B u zaten antrenman kitabı. Konu anlatımını çok d�
uzatmaya gerek yok.
2
u bulun.
Var mı burada bir problem?
Yani, denklem çözerken bütün mesele x i yalnız bı­
rakabilmek.
Onun için şunu bilin yeter.
Bir denklem çözerken (bir eşitlikteki bilinmeye­
ni bulurken yani, yalnız bırakmaya çalışırken)
daima eşitliğin her iki tarafına da aynı işlem
uygulanır.
Tamam mı?
Peki, anlaştık?
f)
3(x - 2) + 2x = 14 olduğuna göre, x kaçtır?
toplayıp 5x yazın. Sonra da - 6 yı eşitliğin sağ ta­
rafına + 6 olarak atın.
Yani, 5x- 6 = 14
5x = 14 + 6
5x = 20 yi elde edin.
Gerisi de kolay.© Sonra da her iki tarafı 5 e bölün.
5x = 20 =
4
5 s
Var mı bi zorluğu?
g)
Gerçi size anlatacağım çok şey var. Şunu bilin ki
sizden önce matematik yolculuğuna ANTREN­
MANLARLA MATEMATiK le başlayan on binlerce
öğrenci hedefine ulaşt ı. S ıfırdan başlayıp 25-30 ·•·
.
netlere çıkan o kadar çok öğrenci oldu ki.
Onun için siz de pes etmeyin lütfen. Başarı kapısi­
nın tokmağını ısrarla vurun. Emin olun ki açılacak�
tır. Bundan o kadar eminim ki. Çünkü adam gibi . . ·.·
çalışıp da yapamayan yok bu dersi.
Size diyeceğim o ki bu kitaptaki antrenmanları ba­
sit zor demeden mutlaka çözün ve bir bilene de
kontrol ettirin. Ve yanlışlarınızı analiz ederek hata­
larınızın üzerine eğilin ve onları düzeltin. Başardı�
ğınızda da başarı hikayenizi
antrenmanlarlamatematik.com da alemle payla­
şırsınız artık©
Hadi bakalım. Son bir örnek. Gerisi sizin artık©
Eğer anlattıklarımı anladıysanız devam edeyim.
Peki, şimdi biraz daha karmaşık denklemlerde x i
bulalım mı?
Bu eşitliği doğrulayan x değerini bulurken ilk önce
parantezleri açıp eşitliğin sağ tarafını düzenlemek
lazım.
Düzenlerseniz,
3x - 6 + 2x = 14 oluyor. Bu eşitlikte 3x ile 2x i
Bir de şuna bakın bakalım.©
2(4x - 1 ) + 1
= 2(x - 2) + 3{x + 4)
olduğuna göre, x kaçtır?
Bu denklemi sağlayan x değerini bulurken yine ilk
önce parantezleri açıp düzenlemek lazım.
Düzenleye lim.
Bx - 2 + 1 = 2x-4 + 3x + 1 2
8x - 1 = 5x + 8
Bu eşitlikte x i yalnız bırakmak için önce - 3 ü eşit­
liğin sağ tarafına + 3 olarak atın. Sonra da her iki
tarafı 2 ye bölün.
Yani, 2x = 1 5 + 3
2x = 1 8
2
· Miiliiififl
h)
3x
2
; - 1 = 4 olduğuna göre, x kaçtır?
İlk önce - 1 i sağa atın
3x - 2 = 4 + 1 = 5
5
+ 1 olarak.
Sonra her iki tarafı 5 ile çarpıri. ( Yani, 5 i çarpım
olarak diğer tarafa atın.)
3x - 2 = 5.5 = 25
Gerisi daha kolay©
3x = 25 + 2 = 27
.
Bu eşitlikte x in 9 olduğunu görürsünüz artık© . ·
Bundan sonrası antrenmanlara kalıyor artık. Yani,
gerisi size bağlı. Antrenmanları ciddiye alır ve
adam gibi zaman . ayırırsanız başarırsınız.
Ne demiştik: "Ortalama zekaya sahip her insaıı
matematiği öğrenebilir."
Yeter ki kararlı ve sabırlı bir şekilde ve doğru dü�
rüst çalışın. ©
lemler size ·çok basit gelebilir. Olsun yine de
[/ ç�t denk. Hızlı
ve hatasız bir şekilde tabii ki©
'
__.ı[email protected]ıııı ■
. ..·. . .
, ;z:;i.;;;;;..4=�
_·_______
"'--:-.""'-·_. . _. ·_.·___--'--'_______1_1_.G_u.ttı
=·· "--·.•;�
tabii ki.
·x- 2 = 3
,/1}
> olduğuna göre, x kaçtır?
\' '2((
>
pj,,H ;: :.'i/::
··
·
iı�t<<
?-->- �:
,y;
x her zaman tam sayı çıkacak diye bir kural yok
özün
7.
X+5=8
8.
x - 6 =-2 - 1
9.
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
örneğin, 2x = 7 ise x =
3x = 5
f
çıkar. Ve öyle de kalır®
olduğuna göre, x kaçtır?
2x-7 = 2
olduğuna göre, x kaçtır?
5x =-1 5
olduğuna göre, x kaçtır?
Şuna da dikkat edin.
- x = -2 ise x = 2 dir.
-x = 3 ise x = - 3 tür. (Her iki tarafı da - 1 ile
c: x + 9 = 5 - 8
· iotduğuna göre, x kaçtır?
çarptığınızı düşünün. Ne fark eder ki.©)
1 0.
1 -x = 7
olduğuna göre, x kaçtır?
1 1 . x - 1 2 = 23
olduğuna göre, x kaçtır?
lduğuna göre, x kaçtır?
12.
x - 5 = 19-4
ııı
olduğuna göre, x kaçtır?
_:· _·i_.• c_A;.._.�
·�
: · •." ·"· ·•: ·. · · . •. ·.:·. ·:
. __
c__.;.;..'--"''-'--. _
.
1 3.
1 4.
1 5.
1 6.
17.
1 8.
__,f■HiifPil
·
U+1ı
G_
· _______
�________ı_ı_._
- 5x = - 35
1 9.
4x = 32
20.
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
2x - 3 :::: 5
olduğuna göre, x kaçtır?
21 .
7x + 3 :::: 1 4
22.
3x - 5 = 16
23.
6x - 1 5 = 2 - 5
24.
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
3x = 6
olduğuna göre, x kaçtır?
2x :;: 3 - 1 1
olduğuna göre, x kaçtır?
3x - 1 = 5
olduğuna göre, x kaçtır?
4x :::: 1 5 - (1 - 1 4)
olduğuna göre, x kaçtır?
4x + 1 = - 1 5
olduğuna göre, x kaçtır?
x + 2x + 3x = 42
olduğuna göre, x kaçtır?
i? · ·
> )�·�� · •··
"Sabahları daha çok sevebilirdim, eğer daha geç
· başlasaydı."©©©.
Garfiel d
> Unutmayın ama. O tembelliği ve küstahlığıyla ünlü
·• ·. . obur bir kedi.©
Iri:
>.
t}'.i\
6.
olduğuna göre, X kaçtır?
k!t --i<- -.-­
�{ \2:
olduğuna göre, x kaçtır?
1 - 3x = 3 -1- 1 0
7.
ii (/-<- :.
f;,� �-' :;> · ·
X + 6 :;: - 2 - 1 0 .3
X + 25 = 1 5 -28
olduğuna göre, x kaçtır?
1 -x =4-3-7
li:it�tt>-)<-·. . . olduğuna göre, x kaçtır?
�t
�r:r. :<_;_: ·-
¼i;�\;:·:·. . . ··. .- · ·
8.
>•
X - 3(- 6) :;: - 6(- 2)
olduğuna göre, x kaçtır?
2 -x = x -1 0
olduğuna göre, x kaçtır?
• 2 - 4x = Bx + 1
!)" olduğuna göre, x kaçtır?
• •· • · · .
· .· 6x - 3 = 3x
+2
.; �lduğuna göre, X kaçtır?
9.
3(- 6} + x-5 = - 8(- 4)
olduğuna göre, x kaçtır?
1 0. X -6 = 4-5
olduğuna göre, x kaçtır?
■
1 1.Güw
11.
2x - 7x + 6x + 2 == - 1 1
olduğuna göre, x kaçtır?
16.
(
2x - 2 x - 9) + 1 O
!
)x
=3
olduğuna göre, x kaçtır?
12. 4x- 3x - 3 = 4
olduğuna göre, x kaçtır?
13.
5x - 4x + 4 = 1 0 - 1 5
olduğuna göre, x kaçtır?
17.
18•
3x + 2 == 2x - 3
olduğuna göre, x kaçtır?
3 6 x _ 35x x-2 � _10
9
7
olduğuna göre, x kaçtır?
14. - 3x + 7x = - 1 1
olduğuna göre, x kaçtır?
15.
5x + 2(x - 1 ) = 6x -1 6
olduğuna göre, x kaçtır?
19.
3(x - 2) - 5(x + 1 ) =- 1
olduğuna göre, x kaçtır?
20.
7 - 2(x + 4) = 5
olduğuna göre, x kaçtır?
1
(,:���� ··
/( 1 ;
2x - 1 5 ;::; 1 9 - 4 - 1 0
olduğuna göre, x kaçtır?
6.
x - 6 ;::; - 2 - 3.6
7.
x - 5 ;::; 5 - 28
8.
2x - 4(- 6) :;: - 3(- 2)
9.
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
'; olduğuna göre, x kaçtır?
'\
'./ 4(- 6) + X + 5 ;::; - 2(- 4)
j/ ôlduğuna göre, x kaçtır?
1 0.
3(x - 3) - 2(x + 4) + 3 = 0
olduğuna göre, x kaçtır?
2 - 2x + 2(3 - 6 ) ;::; x - 9
olduğuna göre, x kaçtır?
5x - 4(x - 1 ) ;::; 3 - 6
olduğuna göre, x kaçtır?
3(1 - X) + X = - X - 2
olduğuna göre, x kaçtır?
3(x + 1 ) + 1 = 2(- 7)
olduğuna göre, x kaçtır?
■
11.
3(x + 2) - 4x = 5
olduğuna göre, x kaçtır?
1 2. 5(x + 1) - 4(x - 2) + 3 = 0
olduğuna göre, x kaçtır?
1 3.
1 4.
1 - 3(X - 2) + 3 = - X
olduğuna göre, x kaçtır?
42x _ 35x _ 3x + 1 1 = 0
7
6
olduğuna göre, x kaçtır?
1 5.
2(x + 6) = - (x + 1 5)
olduğuna göre, x kaçtır?
11.GIM'V
1 6.
17.
18.
1 9.
aaamn
6(x - 5) + 5(x - 1 ) = 10x - 7
olduğuna göre, x kaçtır?
5(x - 2) + 2(x - 5) - 1 = O
olduğuna göre, x kaçtır?
4(x - 1 ) - 5(x - 4) = 1 7
olduğuna göre, x kaçtır?
5(x - 3) - 3(x - 3) + 2 = O
olduğuna göre, x kaçtır?
20. 3x - 3(2x - 1) = 2(1 - x) - 1
olduğuna göre, x kaçtır?
r Hayatımda hiç bu kadar denklem çözmemiştim der
< gibisin Can.©
> • Zaten bu kitap daha önce çözmüş olanlar için değil
··•· · . ki©
6.
7.
X-2-3 = 3- 1
olduğuna göre, x kaçtır?
2X - 5 = 5 - X - 1 1
olduğuna göre, x kaçtır?
göre, x kaçtır?
göre, x kaçtır?
8.
9.
göre, x kaçtır?
1 0.
X - 6 = - 2 - 6.3
olduğuna göre, x kaçtır?
x - 5 = 5 - 28
olduğuna göre, x kaçtır?
2x - 4 (- 5) = -2(-2)
olduğuna göre, x kaçtır?
· · lf. A ntv� . ·· .·
.
11.
12.
4 - (- 6) + x + 5 = -2 · (- 4)
olduğuna göre, x kaçtır?
x-1 -5 = - 6 + 9
olduğuna göre, x kaçtır?
11 .GIM'lı
1 6. 7x - 4{x - 1 ) = 1 1 - 3 -12
olduğuna göre, x kaçtır?
17.
6(x + 1 ) = 7x + 5
olduğuna göre, x kaçtır?
13.
14.
7 - 2x + 2(3 - 6)= 3 -3.4
olduğuna göre, x kaçtır?
7x - 3x + x + 2 = - 1 3 + 20
olduğuna göre, x kaçtır?
15.
(
4 . 1 1 - 2 .5
) x - x - 3 oc - 2
1 + 4 .4
olduğuna göre, x kaçtır?
18.
19.
20 .
8 = 2(x - 2) + 6
olduğuna göre, x kaçtır?
6(3x - 2)-2x = 1 5(x + 1 )-2
olduğuna göre, x kaçtır?
42x
6
_
35x
7
_ 3 x _ 2 = -1 3
olduğuna göre, x kaçtır?
12
••
Hiç,�ac«i� bu- şey�� � bir
�yoktur. . .
V�ma+'LUM"� cUnley� çü+1.k.w�w�
y� o-nw- � .söylerler
.· 'Be.vy'�fr'�
lZ.Güw
(
5
·<-
2
+ B) ) x - 4 = - 1 + 1 6
-1+5
■filBAMNM
5.
1 O - 5x + 3(3x - 1 ) ::: -9
olduğuna göre, x kaçtır?
6.
4x - 3(x - 2) '= 1 6 - 23
olduğuna göre, x kaçtır?
= 2X - 8
olduğuna göre, x kaçtır?
7.
5x - 3(x - 3) = 4. 9 - 1 5
olduğuna göre, x kaçtır?
8.
8x - (3x - 2 (x - 4)) = 4x + 2
olduğuna göre, x kaçtır?
12.Güw
9.
5x - 2(x - 1) = 23
olduğuna göre, x kaçtır?
10.
2(x - 5 ) + 3(x - 1) = 4x - 6
13.
14.
4x - 3(x - 4) = 2 - x
1 5.
2 ( ( - 1 2 + 4 . 8 )x - 2 ) = 56
16.
olduğuna göre, x kaçtır?
12.
olduğuna göre, x kaçtır?
(x- 33
) = 1 +2·7
11
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
11.
24
8
--
7 + 3(x - 2) = 5 + 2(x - 5)
olduğuna göre, x kaçtır?
3x + 2x - 4(x - 1) = 3 - 6
olduğuna göre, x kaçtır?
2x + 3a - 3(a + x) = 4 - 3x
olduğuna göre, x kaçtır?
ı+iiiiii■iiifii
. _W'lı
t;:;
\�
�
\�
;;_
, ;;_
,,, ,: _,__
·· _______
, , ___________ı_ı_
G_
,
3 _ 4(3 - 4 x ) = 23
5.
4 - x + 2 (x - 6) = 2 3 - 3 .4
!;tt�'F
,) i olduğuna göre, x kaçtır?
�Jtd;}
y:,;<"
5x - 4(x - 2)
= 6- 13
l>lduğuna göre, x kaçtır?
;
\!.
Fi
�*�;_:?< : :'·
:
;
:
.
;:
:
:
\: ·
fit(:�·
/t�:�:·_.
���f;:i:��:
.
��\\::<.>··
,�,
olduğuna göre, x kaçtır?
6.
2x + 3x - 4(x - 2) = 3
olduğuna göre, x kaçtır?
'.\}{<·
'.·.·./\::
' ' > 3x - 2(x - 3} = 2 . 9 - 1 5
7.
8.
7 (x - 5 ) + 4(x - 1) = 1 0 x - 6
olduğuna göre, x kaçtır?
4 + 3 ( x-1) = 3 + 2(x - 5)
olduğuna göre, x kaçtır?
llı
. '-'---_--"--_______1_
2_
6._
· ---'-______
IM'v
. G_
__,..,,--�
A'-V\b'1
_
. ·
9.
3x - 2(x - 2) = 2 - 5
olduğuna göre, x kaçtır?
13.
(
4x- x - 9)
�
) x + 2.5 = 3 + 1
olduğuna göre, x kaçtır?
1 0. 2
( - 12 x - 3) - 5x + 1 = - 3
---=ı-
75
15
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
-32
1 1 . 3 ( _ x - 3) + 1 = -4 + 2x
4
1 5. �8 • ( �! - 2 · (-3)) x = 3x - 1 6
olduğuna göre, x kaçtır?
12.
44 - 2.5
X-X-3 = 4- 6
(-1 -8-1 )
olduğuna göre, x kaçtır?
36
- 12
14. -( x - --) - 1 0 = 0
olduğuna göre, x kaçtır?
1 6.
( �8 - 3 (-2)) x = - 2x + 2
olduğuna göre, x kaçtır?
3x - 2 [ 2 x - 3(x - 1) J = 4 x + 3
2x -[3 - 5{x-3)] = (2x-1) +10
12.GIM'lı
6.
5x-1 O ;::-1 5
olduğuna göre, x kaçtır?
7.
-3x ;:: 1 0 - 1 6
8.
4x+3 ;:: 23 - 1 2
9.
1 0.
olduğuna göre, x kaçtır?
3x - 2 ;:: O
oldufıuna göre, x kaçtır?
2x - 3 ;:: 5 - 2x
olduğuna göre, x kaçtır?
·. �· · . __________1_2_._
,A
7�
-'-'
· _
_______
ünı
Jl'lb-;
. G_
---'--e+ımaflı
_
-·
■IIB&Hil
___J
11.
1 2.
1 3.
1 4.
1 5.
7x - 3 = 7(x - 1 ) - 2x
1 6. 4(x - 2(x - 3)) = 0
6(x - 3) + 5 = 2x - 5
1 7.
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
7x = 3 x
olduğuna göre, x kaçtır?
3(x - 1 ) = 4(x - 1 )
olduğuna göre, x kaçtır?
3(x - 5) - (x - 2) = 6
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
1 8.
19.
20.
1 2 + 2x = - 1 0 X
olduğuna göre, x kaçtır?
-x= O
olduğuna göre, x kaçtır?
2 - x = 2 + 2x
olduğuna göre, x kaçtır?
2x - 3 = 1 1 - x
olduğuna göre, x kaçtır?
12.GIM'\I
r: _
- , :"
· . .· ·
6.
2(X - 5) + 4 (X - 1 ) = X
7.
) x -3[1 - 2(x - 2)] = 2x - 1
8.
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
9.
lduğuna göre, x kaçtır?
lduğuna göre, x kaçtır?
1 0.
-3x + 9-2x = O
olduğuna göre, x kaçtır?
5(x + 3) - 2x + 3 = O
olduğuna göre, x kaçtır?
3(x - 1 ) = 2(x + 7)
olduğuna göre, x kaçtır?
2(2 - x) = 2x - 16
olduğuna göre, x kaçtır?
2(1 - 4x) = 3(x + 1 )
olduğuna göre, x kaçtır?
· · . · . __· ·· .
B_
._
___ .
A--,-ntYı
---'
�
__
. . e+ıma41.ı
.
11.
1 2.
13.
6(x-3) = 4x - 2
olduğuna göre, x kaçtır?
3(2x - 3) + 9 = 30
1 6. -2(x - 5) + 3(x - 1 ) = 4(x-6)
olduğuna göre, x kaçtır?
2(x - 3) - 4(x + 6) + 2 = 0
17.
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
5(x - 8) + 4(x + 1 ) = - 9
olduğuna göre, x kaçtır?
14.
___..IRiiiil
2_
1_
· _______
_
.G_IM'1.ı
....c.__________
X - 3(X - 2) = 4.(- 4)
olduğuna göre, x kaçtır?
1 5. 5(x + 2)-2(x - 1 ) = 23
olduğuna göre, x kaçtır?
18.
3x - 2[x - 2(x - 1 )] = 3(x + 3)
olduğuna göre, x kaçtır?
19.
3 -5(x + 3) + (2x - 1 ) = 5
olduğuna göre, x kaçtır?
20.
5x - [3(x - 2) + x - 4] ;::; 4(x + 2)
olduğuna göre, x kaçtır?
13.
••
s���· � 01'\,(.(ı�
blrau-v � çc.kar. ..
HEW�he,,- ş� old«ğwyEWd.e,hu;,kltme,bir şey
değad<,r.
t"W� . Amı;tıherdoğ Y'o/Wheıf"
:ı!EW
. . EW� �
. . . lÖ)'ledlğt,flıMğ
� �n,tı � llduY
.
8�
�itir� . . · .
13. Gü.nı
. ..
�:'::•: , ·
:;;ıI\
(7 - 3 · 3) x - 2 = 2x - 1
5.
olduğuna göre, x kaçtır?
_::ı
, t;..
.· ) 4
8) - 1
C)
..=J..
2
D) 1
■
x + 5y - 5(y - x) = 2x + 3
olduğuna göre, x kaçtır?
E)
A)
3
J...
6.
J...
3
8)
l
2
if1.
�t:
C) - 1 8
D)4
2(x - 1) - 3 = 2(3 - 6)
2{x -3x) = 3(x-2)
7.
olduğuna göre, x kaçtır?
l
A)
E) 8
4
8) _§_
5
C) _§_
3
A) 4
8.
'i�lduğuna göre, x kaçtır?
8) - 1
C)
_.:§_
2
O)
.1.
4
E) 2
D) �
5
E)
..=.!.
2
2{x - 1 5) = 2( 9 - 4) - 1 0
olduğuna göre, x kaçtır?
5 (x -(-3)) = 1 0
E) _§_
5
c ı .1.
2
olduğuna göre, x kaçtır?
8) - 5
fi
8) 6
C) 9
0) 1 2
E) 1 5
D) 4
E) 5
2x - 1 2 = - 2 - 6
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 1
8) 2
C) 3
9.
2(x - 4(- 6)) a:: - 6(- 3)
olduğuna göre, x kaçtır?
A) - 1 5
8) - 6
C)-3
A) 1 7
11.
8) 1 6
C) 1 0
(x - 1 - 6).(-3) ;:: (1 + 8).(- 5)
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 4
1 2.
8) 6
C) 1 2
8 - 4(X + 1 ) - 3(-X + 1 ) ;:: - 1
olduğuna göre, x kaçtır?
A) - 4
B) - 2
C) 2
7(x - 3) - 5(x - 2) a:: 1 - 5
1 3.
0) 2
E) 8
olduğuna göre, x kaçtır?
A) .l_
2
8) _§_
2
C) .l_
3
14. --' 5(x + 6) - x - 1 2 a:: 0
10. 4(- 6 ) + 2( x + 5) = -5.(-4)
olduğuna göre, x kaçtır?
IPiiliıiiihiiiMI
13. Gürıı
olduğuna göre, x kaçtır?
D) 8
A)- 1 6
E) 3
1 5.
0) 1 8
0) 4
E) 22
·. E) 8
B)-7
C) - 4
O) --=1_
2
0) - 2
2(x-4x) + 3(x + 2) a:: 2(1 0 - 1 3)
olduğuna göre, x kaçtır?
A}-2
8) - 1
C) 4
D) 5
1 6. 3(x - 2) ;; (6 - 3)-(1 2 - 18)
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 5
8) 6
C) 1 0
0) 1 2
E) -5 .·.'.
2
E) 6
<
:
·
)
�
t
�-
�'§ i>
1 3 . Günı
2 - 3( y-5) = 16-3y-2x
it::.i •.· •· olduğuna göre, x kaçtır?
C)
J...
2
5.
D) 1
C) - 9
0) 2
E) 4
7.
8) 50
<•>
30x + 1 O = -50
8) 2
C) 40
D) 30
E) 25
8.
C) 3
D) - 2
E) - 5
50x-40( x - 2) = 90
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 1
E) 2
6.
8) - 6
■iiil+HMl+iilhiiii
8) 2
C) 3
30x - 20( x - 3) = 120
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 3
8) 6
-25x = 100 - 250
C) 9
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 12
8) 1 0
C) 9
- 32x = 32-64 + 96
olduğuna göre, x kaçtır?
A) - 2
8)-4
C) - 6
D) 4
E) 5
0) 1 2
E) 15
D) 6
E) 5
D)-8
E) - 10
Biiii1i&,iiiihll
1 3 . GIM'll
9.
5(x - 3y + 1 ) = 1 O - 1 5y
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
A)-4
1 0.
8)-2
0) 2
C) 1
2 - 3(x + 2)(3-6) = (3 -7).4
1 3.
A) - 4
E) 6
14.
3(-2x + 1 ) = 2x - 5
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 6
8) 4
C) 3
0) 2
E) 1
8)- 2
C) - 1
1 5.
0) 2
E) 5
--=1
3
8)-1
C)
-2
6
C)-1
0) - 2
8(x-2) = 7(x + 3)
A) 44
1 6.
olduğuna göre, x kaçtır?
A)
B) 1
olduğuna göre, x kaçtır?
3(x-4x) - 3x - 2 = O
1 2.
0) 4
2x -2 - 9
t ) ) {x + 2) = 3
A) 3
olduğuna göre, x kaçtır?
A)-3
C) 2
olduğuna göre, x kaçtır?
2(5x + 4) - (x-2) =-8
11.
(
B) O
B) 37
C) 29
0) 18
2(x + x) - 3 = 17
olduğuna göre, x kaçtır?
D) 2
E ) _l_
3
A) 2
8) 3
C) 4
0) 5
1 3 . Güw
5.
8) - 4
C) - 8
D) 1 0
E) 5
6.
8) - 2
--:-.·):>. ·
;c
C) O
0) 2
E) 3
24x - 4 - (- 54) = -2· (-24)
!'faıctuğuna göre, x kaçtır?
8) 6
8) 4
C) 2
C) 5
0)-2
7.
E) - 7
E) 7
olduğuna göre, x kaçtır?
A)- 1 3
8)- 1 2
C)- 1 0
450-3(30-5x) = 60
olduğuna göre, x kaçtır?
A)-26
B)-20
C) - 1 0
D)-8
E)-6
0) 5
E) 1 5
0) 12
E) 18
0) 4
E) 3
s( :!g -2(-5)) x = 40x - 1 60
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 3
8.
0) 6
35 - 20x + 1 5-40x = 650
8) 6
30x - 2(1 0x + 25)
C) B
= 30
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 8
8) 6
C) 5
9.
13. GIM'lı
13.
450 x -3 60 = 1 50
1 20 )
1 50 (
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 23
1 0.
(
B) 26
C) 39
A) j__
3
B)
2
3
C) -=..:!..
6
45x - 225 - 360 = 3 1 5- 1 35
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 1 3
B) 1 7
C) 1 9
1 2. 6x - 1 8 :;; 1 2 - 24 - 36
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 3
E) 47
28
- 3 ( �; )) x - 50 = -20x - 30
7
olduğuna göre, x kaçtır?
11.
0) 42
B} O
C) - 2
O) 1
0)-5
1 3x-65 :;;; - 26 - 78
olduğuna göre, x kaçtır?
A) - 3
B)- 4
C) - 5
14. 7x- 14-21 - 35 :;; 1 05-70
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 1
E) 2
3
1 5.
0) 22
dfuF&iiil
E} 25
E)-6
B) 4
C) 8
1 0 + 5x + 3(3x + 6) = 28 - 1 40
olduğuna göre, x kaçtır?
A) - 1 2
B)- 1 0
C) - 9
1 6. 7 -2 1 X + 2(3 - 1 7) :;; 35 - 63
olduğuna göre, x kaçtır?
A) ..±.
3
B)-1
C) -=..:!..
3
O) .:.. 6
0) 1 3
0) 4
O) 2
·.)�
E)--7
1 3 . GCM'\I
;
; . 44 x - 4(11x - 105)
)x + 25 = 35 + 100
(
.
210
t
}�ıdu ğuna göre, x kaçtır?
C) 45
8) 52
· .;\_{{.:
y 18x - 121
0) 42
5.
Jbıduğuna göre, x kaçtır?
C) 1 8
8) 1 6
70 + 3(x - 1 4)
6.
0) 23
E) 24
= 56-4(x - 7)
8) 6
C) 8
uğuna göre, x kaçtır?
12
8) - 16
C) - 18
D) - 23
E)-25
8 ) 33
D} - 38
E} 1 2 ·
D) 21
E) 18
= 5(x + 12)
C) 26
4x-[32-5(x - 8)) - 64 = 104
olduğuna göre, x kaçtır?
3
8.
\10(x + 3) - 4x - 24 = - 1 32
C} - 45
olduğuna göre, x kaçtır?
A) J!Q__
E) 21
8) - 61
7(x - 30} + 4(x + 18)
A) 35
7.
0) 19
olduğuna göre, x kaçtır?
A) - 97
E) 35
= 7x + 132
3(x + 3) = 24-306
8) _g_
3
C) �
5
O) J..1.
3
E ) ..1.Q_
3
5(x + 21) = 35 + 1 0(1 - x)
olduğuna göre, x kaçtır?
A) - 1
8) - 3
C) - 4
D) - 6
E) - 8
•
. tf.; Te!it . .·
9.
9(x + 1 8) = 36 + 54
1 3. GıM'tı
13.
olduğuna göre, x kaçtır?
A) O
1 0.
8) - 2
4x - 36 = 5(27 - x)
C) - 4
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 6
11.
8) 9
C) 10
6(x - 30) = 1 50 + 1 2x
olduğuna göre, x kaçtır?
A) - 63
12.
B)-55
C) - 41
D) - 8
D) 1 3
0) 23
24-7x-72 = 1 6+x
8) - 6
C) O
A) - 4
E) 37
D) 6
E) 8
B) - 6
C)-7
D) - 8
E)2
D) 6
E)\
D) - 4
E)
D) - 1 5
E:
1 4 . 4x + (7x + 44) = 1 54 - 1 1 x
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 3
1 5.
16.
olduğuna göre, x kaçtır?
A) - 8
olduğuna göre, x kaçtır?
E) - 1 0
E) 19
1 2x -36 = 1 2 - 1 32
8) 4
C) 5
4x + 1 26 = - 1 8-2(x-66)
olduğuna göre, x kaçtır?
A) - 8
B) - 6
C) - 5
4x + 5(x - 3) = 60 - 300
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 1 5
8) 5
C) O
1 '+.
••
fW�tN\ıçok, �� (Uğ� � LÇ,İN\I
olr' şey ��
�=3
5
'RASYONEL SAYILA'R
Jşte geldiiik . . .
öııe mli hem d e acayip önemli bir konuya. Ve çok da
kolay bir konu kesinlikle.©
Gerçekten. ©
Fazla sıkıntı yaşamayacağınızı düşünüyorum. Hatta
bazıları nız bu konuyu zaman kaybı olarak bile göre­
bilir. © Ama yine de dinlemekte yarar var...
Olsun. Siz yine de adam gibi dinleyin. En azından
dinle meyi bildiğinizi gösterin. ©
Ayrıca, sınavda gelen çok basit bir rasyonel sayı so­
r�suyla en baba bir problem sorusunun getirdiği pu­
an aynı. Yoksa bu soru çok basit. Onun için bu soru­
ya daha az puan diye bir kural yok. ©
'Anlaşıldı mı ne demek istediğim?
Neyse . . .
/SJ�u bankasını eline alınca ilk önce rasyonel sayıları
çözen. kaç kişi var aranızda? ©
İ<e�it muhabbeti©
�§ridEJ şu kesir olayını iyi�e bir halledelim.
\�esrin klasik tanımını biliyorsunuzdur.© (Ümit ediyo­
:rı:ım.©)
Ii.\e b tam sayı olmak üzere, �b ifadesine kesir,
'-".>.. · •
dıµrada a ya kesrin payı, b ye de kesrin paydası di­
i�pruz:@
i�esirlerin birkaç cinsi (Yeni cinsleri çıkmamışsa be­
/:_::/: : .
}rıirrrbildiğim üç tane) var.©
;_B#sit kesir payı paydasından küçük, bileşik kesir
Ii�e payı daha büyük olan kesirdir. Bir de tam sayılı
{'�esir var.
fş�çiyorum.
;:;,Ş tkısmı çok da kasmaya gerek yok. ©
��eyse . . .
l��hu
bilin yeter. (Bileşik kesri tam sayılı kesir olarak
ı:�•;�eray;m
f�rneğin, � kesri bir bileşik kesirdir. Ve bunu tam
..
5
��::\:, . ..
kesir olarak yazal ım.
�{).,:·: · . ·
;��yiri
Rq1ydvüaıS��-:,
.
. .
I = 3 + I olarak yazılabilir.
5
5
Sıkıntı olur mu?©
Lazım olursa yaparsınız artık.©
H ımm...
Demek ki bileşik kesri tam sayılı kesre çevirirken
payı paydaya bölüyor ve bölümü tam kısım, ka­
lanı da paya yazıyor, paydayı ise .değiştirmiyo­
ruz.©
Bu olayı bir de tersten düşünelim. Yani, tam sayılı
kesri bileşik kesre çevirelim.
a) 7 .3.... = 7 + .3.... =
5
5
5.7 + 2
5
4.2 + 3 .!1
b) 2 1 = 2 +1 =
=
4
4
4
4
c) 4
.3....
� 4-3+2
=4+
=
3
3
3
37
=
5
14
3
Anlad ınız mı ne yaptığımı? Zor değil kesinlikle.
Yalnız, negatif olan tam sayılı kesirlerde biraz daha
dikkatli olmak lazım.
Yamulma noktası mevcut da©
örnek üzerinde göstereyim.
29
6
12
2
b) - 2=- -
5
5
c) - 2- = - 1
2
5
2
Birbirine denk kesirler
Size minik bir soru ; � mü daha büyüktür? Yoksa i
mı?
Ne dersiniz?
Yani, bir bütünü 3 eş parçaya bölüp de 2 parçasını
mı alsanız daha çok alırsınız. Yoksa 6 eş parçaya
bölüp 4 parçasıni mı alsanız?
Aynı . Öyle değil mi?
3
6
l
G_
14_._
------��-----ünı
_______
. lşt� bunun gibi bir bütünün aynı büyüklükteki par­
çalarını gösteren kesirler birbirine denktirler. İş­
lemlerde işinize hangisi yarıyorsa onu kullanırsı­
nız.
Hımm . . .
·
Demek kı
8
3 = 64 = 96 = 12
= . ...
. 2
gibi kesirler ayn ı
rasyonel kesri (büyüklüğü) gösteriyormuş.
Aslında buradan şu sonucu çıkarabilirsiniz. Çıkar­
mışsınızdır bile.©
Herhangi bir kesrin pay ve paydasını sıfırdan farkl ı
bir sayı ile çarpıp (yani, genişletip), bölebilirsiniz.
(yani , sadeleştirebilirsiniz} Hiçbir sıkıntı çıkmaz ve
kesrin değeri de değişmez. işte bu acayip önemli bir
şey. Ona göre.
Payda eşitlerken çook lazım olacak.
Way be. . . !
Bu konuda bile neler neler varmış . ©
işte daha çok payda eşitlemede lazım olacak olan
genişletme olayı©
Örneğin ¾ kesrini paydası 15 olacak şekilde geniş­
letelim.
ı_ = 2 · 3 = _§_
5
(3)
5.3
15
. Olay bu işte.
Var mı bi zorluğu?
Şimdi de iki kesri paydaları eşit olacak şekilde geniş­
letelim mi?
örneğin, � ve � kesirlerini paydaları eşit olacak
1
1
şekilde genişletelim.
Verilen kesirlerde paydalar 1 O ve 1 5.
Kaçta eşitleyelim paydaları?
30 a ne dersiniz? (Unutmayı[email protected] Kesirlerin paydası
genellikle paydaların en küçük katı olan sayıda
eşitlenir. Aklınızda olsun.)
3
3 .3 - 9
2
= 2 · 2 - 4 olarak yazılave
10 1 0 - 3 30
15 1 5 - 2 30
. bilir.
(3)
(2)
Ve kesirleri sadeleştirme olayı©
Bu
arada yeri gelmişken söyleyeyim.
.
.
.
.
. ·.
·
Matematikte sonuçlar her zaman en sade biçim�
de yazılırlar.
Bunu münasip bir yere not edin ve devam edelim.©
Kesirlerin sadeleştirilmesi olayını örnek üzerinde
izah edeyim.
örneğin,
1
° kesrini en sade biçimde yazalım.
6
Pay 1 0, payda 6.
ikisi de 2 ye bölünüyor. Onun için hem pay hem
paydayı 2 ye bölün ve bitirin bu işi.
10 = 1 0 : 2 J-0 = 5
6:2 =7 3
3
a
Örnek Soru
- �� kesrinin en sade biçimi nedir?
Çözelim.
Bir kesri sadeleştirirken şuna bakın . Hem pay,
de payda hangi sayıyla bölünebiliyor.
h�J/
36 ve 60 ı bölen en büyük sayı 1 2. Dolayısıyla 1 2 y�
_ , _::
bölerseniz bu işlemi tek hamlede bitirebilirsiniz. (E\ıf
arada kesrin önündeki eksiyle işiniz olmaz. En sorı��
eksiyi yine yazars ın ız. Problem değil . )
36
60 -
36 : 1 2 60 : 1 O
)6 _oo
3
5
Ama diyelim ki aklınıza 1 2 gelmedi. Ne yapacal<sın_ıi
o zaman? Soruyla biraz bakıştıktan sonra vazgeç� '
meyeceksiniz tabii ki.©
. _ . ..
Böyle durumlarda pay ve paydayı ortak olarak kaçaJ
bölebiliyorsanız bölün ve devam edin.
Diyelim ki aklın ıza ilk gelen sayı 2. Hemen 2 ye bö"j
- 1 8:
lün ve devam edin . - 36 = - 36 : 2 = - )6 60
60 : 2
_oo
3_0
18
Daha sonra aynı mantıkla -
!�
30
· ' ·'
· .····
u sadeleştirin. l�fJ
uzatırsınız belki. Ama sonuca ulaşırsınız bi şekilde:;,;
Ama emin olun antrenmanlardan sonra epey bi
tikleşmiş olursunuz.
Ama sadeleştirme probleminiz kalmasa iyi olur.
�'t; Rasyonel Sayılarda İşlemler
plama- Çıkar ma
-- ,:o
i?;::'
�/: Bilrrıeyen yoktur bun u.
ti> ıJar niı yoksa? ©
�1x iki kesir toplan ırken ilk önce kesirlerin paydaları eşit
değilse eşitlenir, paydalar eşitlendikten sonra paylar
toplan ıp(çıkarılıp) paya yazılır, payda ise ortak ola­
�\'. rak değişmeden yazılır.
iJfa
if Bir ik.i örnek yapayım. Gerisini siz halledersiniz©
%i!'.L
�1�r_:- _
'it
�;} %�
'.,Örnek Soru
}j��-�:.:--
� işleminin sonucu kaçtır?
1
;;;,. ,,eşi� olup olmad ığına bakın. Paydalar eşitse sadece
f$,:, .paylarını toplayın. Paydayı değiştirmeyin.
fit'.
soruda paydalar eşit. Dolayısıyla yapacağınız
işlehı şu olmalı.
l�i:::�:::::i.
¼ �:
:fil¾/�
3.
5
3+5
8
1
:n sade b;ç;mde y,�ı, nac.
; ;
12� •. •: lem;n;n sonucu
••�n
ı,,'.,; Eğer toplayıp çıkaracağınız kesirlerin paydaları eşit
�C-,ideğilse ilk hareket paydaları eşitlemek olhıali. Hatı r­
;:iayın. Bunu da kesirleri genişleterek yapıyorduk.
.'su arada yeri gelmişken 2 yi 2 =
f
olarak almakta
bi sakınca yok. Hatta büyük fayda var.©
P�ydalar 1 , 3 ve 5. Bu sayıların katı olan en küçük
:say, 1 5 olduğu için paydaları 1 5 te eşitleyin. (Yani,
\iydaları 1 5 olacak şekilde kesirleri genişletin.)
Gerisi kolay. üstteki örnek gibi .
2 _ 4 + 2 = 30 _ 20 + 6
1 5 15 15
5
3
1
(1 5) (5) (3)
30 - 2 0 + 6 = -1.2.
15
15
Anlaşıldı m ı şimdi?
Daha fazla uzatmıyorum. Gerisi size kalıyor artık.©
Eğer kesirler tam sayı l ı kesir olursa. Tam kısımlar
kendi arası nda diğer kısı mlar da kendi arasında top­
lanabilir veya çıkarılabilir. Ve çoğu zaman çok da
hoş olabilir bu.©
Ne demek istediğimi örnek üzerinde göstereyim.
Örnek Soru
�,j �c3,şyonel kesirleri toplayıp çıkarırken ilk paydaların
;*1' EIU
=
Dediğim işlemleri yapayım. Takip edin.
201 3¾ - 20 1 2-½ işleminin sonucu kaçtır?
Böyle bir soruda tam sayılı kesirleri bileşik kesre çe­
virerek işe başlamak tam bir amelelik.© Az önce
söylediğim şeyi yapın. Yani, tam kısımları kendi ara­
sında diğer k ısımları da kendi arası nda işleme tabi
tutun.
2013 I - 20 1 2..! = ( 201 3 + I) - (2012 + ..!) tür.
3
3
3
3
Bu da (20 1 3 - 20 1 2) + (¾ - -½) = 1 + -½ =
t
e eşit
olur.
Başka çözüm yolları da var. Ama tavsiye etmem.©
Ve bazen parantez içinde işlem yapmadan parantezi
açm_ak kolaylık sağlayabilir.
örnek üzerinde görün.
Örnek Soru
işleminin sonucu kaçtır?
Neydi işlem önceliği?©
ilk önce parantez içleri. Öyle değil mi?
Doğru ilk önce parantez içlerini yapıp da devam et­
seniz doğru sonuca ulaşırsınız muhakkak.(Tabii ki
işlem hatanız yoksa©)
Ama tecrübeyle sabit ki bir soruyu çözerken işlem
hamallığı yapıyorsanız çok çok büyük bir olasılı kla
sorunun daha pırt bir yolu vard ı r. O yolu bulup o yol-
14. GlMtı
dan gitmekte fayda var. (Benim vaktim çok diyorsa­
nız keyfiniz bilir.©
işte bu sorunun da pırt yolu var.
Parantezleri açın ve paydası aynı olan kesirleri kendi
arasında işleme tabi tutun bakalım.
Ne buldunuz?
Şunu yapmış olmanız lazım.
14
5
1
7
1
1
13 -12 -5 -12 -13 + 5
.
(P arantezIerı açtı k©)
�
Sonra paydası aynı olanları birlikte düşünün.
1
=C� - 11 )+(- 1� - 1 2)+({-{)
= � - _g_ + o
13 12
=0
Way be! B u kadar işlemin sonucu sıfırmış meğer©
Çarpma
Lafı uzatmadan söyleyeyim.
İki veya daha fazla kesri çarparken, payları kendi
. arasında çarparak paya, paydaları da kendi ara­
sında çarparak paydaya yazın.
Örneğin,
¾·t
çarpımının sonucunu bulurken payların (yani,
3 ile 2 nin) çarpımını paya, paydaların (yani, 5 ve 7
nin) çarpımını da paydaya yazıyoruz.
Dolayısıyla bu çarpım
3 2
s·-=f =
3.2
S. T
6
= 35 e eşıt olur.
Örnek Soru
25 . 56
35 30
işleminin sonucu kaçtır?
Bu soruyu niye yazdım biliyor musunuz?
Sırf çarpma işleminde sadeleştirmenin ne kadar
önemli olduğunu görün diye.
Şimdi gidip 56 ile 25 i çarpıp paya, 35 ile de 30 u da
çarpıp paydaya yazsanız yanliş niı olurdu?
Olmazdı elbette. işlemi yapıp en �onunda da adam
gibi sadeleştirme yapabilirseniz yine doğru sonuca
ulaşırsınız.. Ama epey bi zaman kaybedersiniz.
&H&ih&HI
Oysa 13� X. size zaman kaybettirecek değil aksinı
kazandıracak yöntemleri vermek istiyor.
/\
Canlar,© çarpma işlemlerinde ilk önce sadeleş;
tirme işlemlerini yapıp (sadeleşme varsa tabii ki: .
Yoksa olmayan şey sadeleşmez tabii ki©) sonra ':
işlem yapın.
Yapın bakalım.
25 . 56 = JS . 5-6,_
35 40 )5 iffi_
zım.
5
7
7
5
= �7 . !..5 = 1
bulmuş olmanız la..
Unutmayın k i ,ki veya daha fazla kesir çarpılac�öi
zaman çarpma işlemlerini yapmadan önce sade�
leştirmeleri yapmak lazım. (ki amele gibi uğraşm�,
yasınız.©)
isterseniz şu örnek soruyu ilk önce sadeleştirn'ıed�ry
çarpıp sonucu bulun. Bir de önce sadeleştirmelerdeı
sonra çarpın ve sonucu bulun bakalım ikisinin ara?­
sında ne kadar zaman farkı var?
Örnek Soru
işleminin sonucu kaçtır?
Kaç· çıktı?
ikisinde de sonuç 1 çıkmış olması lazım.©
Sadeleştirince işler ne kadar da kolaylaşıyor.
değil mi?
Bir de matematiksel işlemlerde işlem önceliği
habbeti her daim aklınızsa olsun.
Yoksa sonuçlar doğru çıkmıyor da ©
Örnek soru
işleminin sonucu kaçtır?
Cevap kaç bu soruda?
1 0 .. . . .·
mü?
3
Yoksa � mu·· ?.
3
14 . G ü-nı
1
Ege�
bulduysanız gidin işlem önceliği muhabbe­
tine bi da ha bakın bence©
t
·
ı\ Bu işlem de ilk parantez içini, sonra çarpma işlemini
1
( Ve en son toplamayı yapa caktınız.
�} '::
;}
· Ve cevabı da
!
bul acaktınız.
Ama ikisinden birini bile bulamadıy sanız siz de de
ayrı bi yetenek va r demek ki.© Ama o yeteneğin bu­
*"'ii •··
llt
:.:;.//
rada işinize yaramaya cağı da kesin.®
Bölme
', '
;�; !�ı� ç;;;::;,:�r:�:i���: ::: (�!mam. Zaten
·
�•·• •• biliyordunuz©) · bu sizin için çocuk oyuncağı. (Gerçi
iıe tür oyuncaktan hoşla ndığınızı da bilmiyorum.
(!;,,¾?:
�f Arııa olsun. ©)
'İki rasyonel kesri bölerken, birinci kesri aynen
�{(yazın, ikinciyi ise ters çevirerek (Çarpma işlemi­
�e göre tersini alarak) birinciyle çarpın.
Y
fj{{ .ıni, birinciyle ikincinin tersini çarpın kısaca.
s
2-
3
işleminin sonucu ay-
n ıdır. Çünkü bunlar aynı şeyin farklı şekilde ifade
edilmiş hali de ondan.
ilk parantez içlerini ya pın.
!:;
=
3
+
3
h aline getirin. Sonra da
Birinciyi aynen ikinciyi ters çevirerek yazın ve çarpın.
Ya ni, şunu yapın ve
1.. . 1.. = � i bulun
4 2 8
?
�ı
ff�'.
f1:-, zor u diye sorarsanız.
.
t m
.
f?j\ Zor değil kesinlikle. Çarpma özürlü olmayan herke­
g<i ;sin rahatlıkla yapa bileceği bir şey.© Ama da ha dik­
li :}k�tli olmakta da yarar var.
: ,
�
t;tt{ Anlatmak iste.diğim şeyin matematikçesi şu:
/
1 - -1.
-t
.
a
:&-:i�;_<_}
Bu işlemin sonucu ile
\ör,ce harfli m arfli ifade edeyim.
/;
a .. c
; b
- b - a
d
c
b
d
�
d a •d
c
b-c
B�nu çok da sevmediğinizi biliyorum©
'Şimdi de s ayısal örnek vereyim.
(1- ; }(2- :)
Örnek Soru
; -+
4
işleminin sonucu kaçtır?
B aştan söyleyeyim. Cevap sıfır değil©
Rasyonel sayılarda işlem yapa rken tam sayıların
paydasını daima 1 kabul edin. Ve büyük ke sir çizgi­
sinin üstünü birinci, altını ikinci kesir olarak a lın.
Verilen ifadeyi düzenleyin ve
1 - 3 =1
2 4 2 1
·3-3"4
4
3
2
2
4
1
Gerisi kolay©
2
- 1
4
3
= � = _Q_
6
2
2
3
1
8
4 - 3
.. .
gı'b'ı düşunun.
.
1
6
Anlaşıldı mı şimdi ne demek istediğim?
Halen daha anlamadıysanız . . . Anlayan yerlerinizde
s ıkıntı olabilir. ©
Lütfen kontrol ettirin.©©©
Neyse ...
Şu örnek soruyu da siz çözün ba kalım. Ama işlem
önceliğine dikkat etmeyi de unutmayın.
-Wi6ihiıl
Örnek Soru
Aşağıdan yukarı çıkan merdivenli işlemde en aşa§İ� -;
dan başlanır. Ve merdivenli işlemlerde daima ana
kesir çizgisine (en büyük kesir çizgisine) doğru gid1, {
lir.
<( )
Biliyorsanız yapın. Bilmiyorsanız eğer aşağıda yap�{
tım. Adım adım takip edin bakalım.
J.
2 + ...1 · (2 _...1)
3·
2
işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı �O bulduysanız size kocaman bi aferin.©
Geçebilirsiniz bu kısmı . Bulamadıysanız bence işlem
önceliğini tekrar çalışın. Bi şey kaybetmezsiniz. Sa­
dece azıcık zaman©
Merdivenli İşlemler
Sadece şunu unutmayın yeter.
Yürümeye hiçbir merdivenin ortasından başlanmaz.
Ya aşağıdan yukarı doğru ya da yukarıdan aşağı
doğru yürümeye başlanır.(işlem yapılır.)
işte aşağıdan yukarı çıkılan merdivenli işlem soru­
su©
'�\\
2
2
= 1 + -2- = 1 + ..1..... '
1+
11
3
7 ·.
2-2 -2-1
5
5
_§_
2 -3
Gerisini yapar mısınız?
Neyse . . .
1+
1 +2 = 1 + -1- = 2 +.f.. . .2. = 1 + 1Q. = 11.
J__
J...
1 7
7
7
Oldu mu şimdi?
5
5
Ve yukarıdan aşağı inilen bir merdivenli işlem
suyla bitireyim konuyu.©
Örnek Soru
1 -1
3
2 + -2
1+
7
Örnek Soru
işleminin sonucu kaçtır?
1-2z _ .1
işleminin sonucu kaçtır?
Bu tür bir merdivenli işlemde ilk önce büyük kesir
çizgisinin altını halledin.
Yani, 1 - � = 1 - + yi elde edin.
2-2
2
Bu adımdan sonra bölme işlemini yapın.
1.
1 - _g_ = 1 _ _j_ = 1 - 1. . 1. = 1 - .1.
1.
1_
2
2
1 3
3
Son olarak da çıkarmayı yapın ve sonucu bulun.
Sonuç _ _1_ çıkıyor.
3
Örnek Soru
1+
2
12 -1
2--
işleminin sonucu kaçtır?
Yukarıdan aşağı inen merdivenli kesir sorularında :��
üstten başlayın ve aşağı doğru {Büyük kesir çizgisi��
·· ·
ne doğru) gelin.
Biliyorsanız yapın ve geçin. Ama bilmiyorsanız aşa:­
ğıya çözüyorum. inceleyin bi zahmet. Bakın bakalı�
nasıl çözmüşüm©
ilk önce en tepedeki
1-1
3
2 + -2
1+
Sonra
7
1
3
= 1 + -7
1-i işlemini halledin.
l
2+ı
1 + --2-
7
işlemini halledin. Zateı, kolaylaştı©
2+1
Daha sonra da 2 + "1" ü halledin.
7
=1+ 3
7
Gerisi daha da kolay.©
Yapın bakalım kaç çıkıyor?
Ben ½ buldum da.©
ır �>'.""'A//"-·tit:)1-"-"°i:�··�
.
-·-··_·__.. __. �;____
WHi&i+fAh!E
_··_______
______ı_tı-_.G_u.w
.1 + 1. _ 1.
3 2 6
':;i
6.
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
ı�;�: )
�;:1?D\\:i
=
�fç_.-�':j'.:=: ,}:;
i)t:c�.
7.
;+;+�
·
•.·. . \) ışıeminin sonucu kaçtır?
2
3
1
: :: ·+. .·- - - + 5
2
10
işleminin sonucu kaçtır?
8.
1 - 1. + 1- +
2
5
ı..
10
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
9.
2
8
4
1 +-1 - 1- + .1
işleminin sonucu kaçtır?
10.
· ıeminin sonucu kaçtır?
; -( ; - 1 )
işleminin sonucu kaçtır?
14.GiM'ıı
,·'-:
1 6.
11.
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
12. (2+ !)-(s - �)
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
1 3.
(s - �)-(2 - � )
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
14.
1+ j_2 -(J.+1.)
3 4
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
1 5.
(1 + ½ + � ) - (1-½- � )
işleminin sonucu kaçtır?
20.
a = .1_ _ ± + 1- + .1
2
2
3
3
5
5
4
4
b = .1 + 1- + l. _ .1
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
6.
2
3
olduğuna göre, a-b farkı kaçtır?
sonucu kaçtır?
7.
2 3
1 +--5 2
işleminin sonucu kaçtır?
sonucu kaçtır?
8.
sonucu kaçtır?
2
-+3
5
a - .1. = b - 1
2 +3
2 -5 2
işleminin sonucu kaçtır?
9.
2
1
3
2
4
1
---+işleminin sonucu kaçtır?
2
5
1 0.
işleminin sonucu kaçtır?
lifHiiii,Miıti
-�----'----�--"'---------------------1
2
7
1+-+--2 3 6
11.
15
.
işleminin sonucu kaçtır?
1 2.
¾)-( i)
¾-
3
1
2 - - 34
2
2
1
3--23
2
1
1
1
1+-+-+-
2
3
işleminin sonucu kaçtır?
17.
işleminin sonucu kaçtır?
1 4.
(¾ -
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
13.
4
işleminin sonucu kaçtır?
:- ;:
3 - (�
3
�
+
3
3 +�
�)
işleminin sonucu kaçtır?
18. (¾ - � + 1: ) - (¾ - 1: + *)
işleminin sonucu kaçtır?
1/f.GÜ,Yl,ı
2 + ! . .I..
7 4
ısıııııııııııı sonucu kaçtır?
2-- · 5 3
2 5
. 2 + ..!. . l
2 2
.>> işleminin sonucu kaçtır?
s - 2 . E- + l
2 4
> işleminin sonucu kaçtır?
3 14
7 9
işleminin sonucu kaçtır?
6.
2 3¾)
-(
+1
işleminin sonucu kaçtır?
7.
8
2
3
2 2
3 3
işleminin sonucu kaçtır?
¾{2-%)-�
işleminin sonucu kaçtır?
9.
23 · 54 + 27
27 ( 23 10 )
işleminin sonucu kaçtır?
1 0.
4
2-3
5
işleminin sonucu kaçtır?
3._A_·
�
·>: \:_i_.· · . ________1_4_.G_i<N\ı
.·_·_<_
_·______,
-'-- _
·
.
.
·
.
·
-'--tıtJıı
_
·�
:
_
16.
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
2
2 5
a - - - - :c 5 - - b
1 2.
3 2
3
1 7.
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
1 3 . x "'
f,
y "' ¾ de�erferi için
olduğuna göre, 2x + 3y toplamı kaçtır?
1 8.
işleminin sonu�u kaçtır?
3. ;
5
(� i)
3
+
2 ·
işleminin sonucu kaçtır?
19.
14.
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
1 5.
5.2
2·3
2 1
.
9 18
işleminin sonucu kaçtır?
20.
1
1+2
işleminin sonucu kaçtır?
ıl
.
. . ,' ,
�
6.
1 002 ; + 1 oos f
4
2
3
7.
-b
a - - =3 .
8
1
1 + .ll. . 1§..
5
4
işleminin sonucu kaçtır?
(2- l.5 ). ı.
14
işleminin sonucu kaçtır?
2
2013 - - 1006 - - 1 007 5
5
5
9.
işleminin sonucu kaçtır?
göre, 3x + 2y toplamı kaçtır?
cfuğuna göre, a - 3b farkı kaçtır?
6 - 2(½ + ¾)
1 0.
ll.. 140
70 65
işleminin sonucu kaçtır?
1
1
2
7
s·2 s·T
11.
+
16.
işleminin sonucu kaçtır?
; (2 - 1
18.
işleminin sonucu kaçtır?
19.
1 - ; ( 1 + � )( 2-+)
işleminin sonucu kaçtır?
(-3 � )( 2-f-1)
işleminin sonucu kaçtır?
( _!_ _ 2.. + � - 2.. + � _
5
5
5
5
5
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
1 5.
; ( 1 + 2 ¾ ) ( 1 - 3- � )
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
14.
)( 3 - ; )
işleminin sonucu kaçtır?
1 7.
1 2.
M¼ifMiiiiıfiMI
20.
2(-2 + ½) - (t-1)
işleminin sonucu kaçtır?
_.:!2..)(-!-1.)
5
3
J. _
4
.i.(� - 2)
5
4
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
6.
a - � ( � - 1) = 5 · � - b
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
, ': liliilen�ınıın sonucu kaçtır?
1- ½- [1 - t-(f +1)]
) işleminin sonucu kaçtır?
7.
8.
x = 1- - 1 ve y = ].. + 1
2
5
olduı;iuna göre, 3x + 2y toplamı kaçtır?
- 60 ·
1
-)
30
(.!. + ...1.. + 2
12
işleminin sonucu kaçtır?
s. An&� . ·. · • ·· ·• ·. ·
·
9.
2 . 3
5 · 10
1 3.
işleminin sonucu kaçtır?
1 0.
5 1
1--:-
3 6
işleminin sonucu kaçtır?
1 4.
işleminin sonucu kaçtır?
11.
1- : l. - s
2 7
(½ � ¼}: ¾
1 + j_
2
__
işleminin sonucu kaçtır?
1 5.
işleminin sonucu kaçtır?
1ı
...L + j_
6
5
işleminin _sonucu kaçtır?
1 6.
12.
işleminin sonucu kaçtır?
(7 - 8)(2 - ½)
(2 +½}3 - 2)
işleminin sonucu kaçtır?
1 5.
• il
'BW peşlt'\I hi.üc.mw � � �
.
.
pcw�
. ... . ... ·.... :... ....... i<"f'dM.r
.) > :<. ·. : . ·, . : ·· \ . ...:. .dahaı
.. . .. . ''
·. ·
· · ) lbef't"
t
E�
15. GIM'lı
2 - l..
23 + -3
1 - _!_
2
5.
6.
. (� - _!_) - (2 -�)
5
2
2
2 - 26 - 23
5
2
2
3 --:--1
3
5
işleminin sonucu kaçtır?
,.,,.,m,n ın sonucu kaçtır?
.•
5
işleminin sonucu kaçtır?
.C/j!ı�ıninin sonucu kaçtır?
1 - _!_
2 + --23
2
---=-- + -2
11
3+-
7.
( � - 2)(
1 -2)
işleminin sonucu kaçtır?
1
1 --1!
.(s - � )
2 9
!�leminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
1 5 . GlM'\I
9.
3
3
J_2 -(3-1...)+
.1.
1 3.
işleminin sonucu kaçtır?
1 0.
işleminin sonucu kaçtır?
1 4.
11.
1 5.
1 2.
[1+
i
2+4
j(
1- : )
işleminin sonucu kaçtır?
: -(;
-
�)
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
1-
3
3
7 - �)-�
�(3
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
5
2+4
-1
1
3 - -1
2--
2
1
1+2 - --23
1
+
1
2
1 6.
1 2 ·
2+--3 5
7
2 -15
işleminin sonucu kaçtır?
1
15.Gü+ıı
5.
[ � :(2- � J+ � ]-: (2- ! )
işleminin sonucu kaçtır?
6.
(�-J.- -�)+J_-�
9
3.
.
2
2
3
işleminin sonucu kaçtır?
sonucu kaçtır?
7.
sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
8.
sonucu kaçtır?
1+
1+�
4
1
12 - _!_
3
işleminin sonucu kaçtır?
.·-: :>
1 5.GiMıı
9.
1 + -1
2
1 + -2 + -�31 - 1.
1 3.
1
2
2
2
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
14.
10.
1-
1
1+2
1 + ---
işleminin sonucu kaçtır?
+ .1
( IT
7 8)
_ 15
l. - .1 +
5 ( 8 IT
7 )
işleminin sonucu kaçtır?
1 5.
işleminin sonucu kaçtır?
s -1
--2- : (± + 1 )
5
2 + .1
2
işleminin sonucu kaçtır?
1 2.
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
1 5. GlM'\I
işleminin sonucu kaçtır?
1 - ]_
5 ._ _
1_
__
7
2
3-2
3
işleminin sonucu kaçtır?
> işleminin sonucu kaçtır?
sonucu kaçtır?
7.
işleminin sonucu kaçtır?
8.
11+3 + .1
2
işleminin sonucu kaçtır?
■fHiiiiıf#MI
1 5� GIM'\I
9.
a = 1 - 1.
1 3.
b = 1 - j_
4
olduğuna göre, a sayısı b nin kaç katıdır?
1 0.
1 + -2- : j_
1 - j_ 8
5
işleminin sonucu kaçtır?
14.
işleminin sonucu kaçtır?
11.
2
2 1 +4
1. -
3
işleminin sonucu kaçtır?
15.
işleminin sonucu kaçtır?
1 2.
-1 + 1
3
2
-31- + 1
5
işleminin onucu kaçtır?
(¾-¾)-(¾-½)
(¾-¾)+(¾-½)
işleminin sonucu kaçtır?
1 6.
1+
1 + 1.
3
3_1
4 2
işleminin sonucu kaçtır?
•· · ��·
1 5. GıM1ı
�rilar, bu antrenmanda daha baba sorular var.
··füa rasyonel sayılardan genellikle çok daha basit
f Jade sorular geliyor. isterseniz uğraşmayabilir­
' Bir şey kaybetmezsiniz.©
uğraşacak canlara işlem önceliğine dikkat
�ı�rini söylemem lazım.
2
t - : ( 2 -t) - 1
4.
1+
3
: .1 + 1.
2- 2 7
2 -3 _ .1
4
işleminin sonucu kaçtır?
:f
:::;{ !eminin sonucu kaçtır?
5. 2[1 +
1
-t
2-3
]+
\
1 + -2 - .1
işleminin sonucu kaçtır?
+
1-
3
2
1
11 + .1
6.
2 - .1.
1 + --23
2
inin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
wwwıJ
15. G IM'lı
7.
X = ]._
4
olduğuna göre,
8.
.----+
x +2
2x - 2
kaçtır?
�-1
-2-- = .1 : 1- + 1
5
2 2
1 - 1.
3
.
1 - -··
1+
-.,2 : .1 _ .§.
2 4
1--
10.
3
işleminin sonucu kaçtır? .
11.
2+
olduğuna göre, x kaçtır?
1 - .1
2
12 -.1 _ .1
3 2
işleminin sonucu nedir?
9.
1 - 1.
3
1 - -2 .
.1 +
3
1 - .l · 3
2
.ı
işleminin sonucu kaçtır?
1 2.
1+
4-
. 1
2
·2
11-1 + .1
1
işleminin sonucu kaçtır?
.
. - : . .,
·
1 2
a=--4
IBHINl¼Jlii-1
1 5 .GrM'lı
3
3 4
b = -- 3
4
5.
C) - 1
D)
23
işleminin sonucu kaçtır?
3
E) ..::!_
2
D) 1._
3
12
D) 1
9
C) ..!!_
E) 2
E) �
11
D) 1._
3
E) 1._
2
işleminin sonucu kaçtır?
A) - !..._
B) �
2
C) J_
2
E) 2
D) 1
2
33
·•··· ·· 33 - 1
.\.
D) 1._
3
(¾ +¾)+(¾-¾)
(¾ +¾) -(½-+)
1-�
2
C) 2_
2
işleminin sonucu kaçtır?
E) .....?_
2
>
9
+ ¾]·(1+1\l
(1 - �)-(1-�)
7.
C ) J_
3
..i..
1
(
6.
C) J_
B)
A) �
6
ı_ _ �
4
3
4
8.
B) - S
39
C) - 1
D ) 1._
3
E)
ı._
39
işleminin sonucu nedir?
A)
25
2
B) �
2
C) �
7
D) 1._
10
E) -=.:!_
1 . Te¼t
-1+
9.
15.GÜf\ı
2
-1
1-3
2
C) .2._
2
A) 1
10.
O) .3._
3
2
5
7
7
ı5
2
D) .3._
7
E)
...:.!..
10
1-�
_2_ + __3_
1-�
A)
B) .=?_
7
2
2
C)
J2..
6
B) 35
6
C)
37
6
D) ..:!.l_
12
E) �
12
(1 - 3)(} - 1)
işleminin sonucu kaçtır?
B) - 1
C) ..:.!_
2
25
B) 49
A) _:!
7
-1
3
D) .3._
7
E) .:
C)
- 1 5 O) .3._
E) j
32
7
2( 2 - i)
6
1-!
işleminin sonucu kaçtır?
A) 4
1 6.
(1 - ¾) (1 - 4)
A) -2
işleminin sonucu kaçtır?
1 5.
2
işleminin sonucu kaçtır?
A)
işleminin sonucu kaçtır?
5
C) ..:.!_
1 2.
E)
(J..._ı+.3..) -(.3.._ı)
işleminin sonucu kaçtır?
1 1.
1 - __:ı__
1 - -2
2
1
1 - -1 __:ı__
2
13.
işleminin sonucu nedir?
i¼JfMiiiflhl
C) 1
8) 2
2
_ ..,,
E ). ·.;:;:
�
3
a -- = b+5
5
olduğuna göre, a-b farkı kaçtır?
D)
-2
5
E) �
2
C) ..=..!_
2
O)
-4
5
E)
16.
••
Çal.ış m.«kı lçinı �yer ve,, �ar�tNI.< 'B llU'lı
k.vhu yer ve,,�çalqmakıLÇW'lı�IA". . .
0Yd!. f'yof; AU-fuat" 'Bctşg,ilı
'Ba.+ned.lklerl+nv�t;ığunuıtı��dun,başı.mı
. . ···• · ::�e;değ·tw� .
·
_
6_
���----------1_
._
G_
wıı
.. · _____
ONDALIK SAYILAR
Evet. Sıra virgüllü sayılarda. ©
Rasyonel sayılarda sıkıntınız kalmadığına göre
ondalık sayılara geçebilirsiniz©
Size ilk önce ondalık sayının bilimsel tanımını ya­
payım .
Paydası 1 O un pozitif tam sayı kuvveti olan rasyo­
nel sayılara ondalık sayı denir.
· işte size birkaç ondalık sayı ve okunuşları©
3
;.,__
= 0,3 (sıfır tam 1 0 da 3)
10
57
'100
is
= o,57 (sıfır tam 1 00 de 57)
1
= 3 � = 3 '51 (3 tam 1 00 de 51) diye oku1 00
100
;Dur.
: Bu konudaki ilk işiniz rasyonel bir sayıyı ondalı k ha­
le getirebilmek olmalı. Onun için;
:>--·· /:"
Rasyonel sayıyı ondalık yapalım.
ltkönce bu olayı halledin.
{örneğin, � kesrinin ondalık değeri, 1 3 say·isı 25
.·· . •.
25
..bölünerak
.
G! •
0,52) bulunu,
V�ya yine aynı şekilde .11.. = R = 0,52 bulunur.
25
1 00
\
(4 )
Bü daha güzel değil mi?
iDemek ki bir kesrin paydasını 1 0 , 100, 1 000, ...
i'qlacak şekilde genişleterek bu kesri ondalık hale
geıtirebiliyoruz.
; Anladınız mı burayı?
/işağıdaki rasyonel kesirlerin ondalık yazılışlarını
;Jfrıceleyin bakalım.
�(af. � =
20
t < ( 5)
45
1 00
= o 45
A�Onu ben yaptım. Diğerlerinin paydalarını 10, 1 00,
olacak şekilde genişleterek sonuçları gö­
isterseniz. Fena olmaz hani.©
Btooo ...
;Jotı
2
b) -=o 01 6
■
_____,J
..,aa+a+ı
1 25
11
c) - = 0 , 44
d) - = O 3 5
20
e) - = 0 ,84
25
f) - = 4, 6
g)
50 = 0,06
h) -- = 0, 005
200
ı)
25 = 0, 56
23
5
25
21
3
14
ikinci olarak ise ondalık verilen sayıyı rasyonel ha­
le getirme konusundaki probleminizi halletmeniz
lazım.
Ondalık sayıyı rasyonel yapalım.
Aşağıdaki örnekleri inceleyin bakalım bi ... Anla­
mazsanız anlatırım.©
2
4
0'4 = - = 10
5
O . 25 = - = 1 00 4
25
1 ' 425 =
1
1425 57
=
1000 40
Fark ettiniz mi?
Virgülden sonra bir basamak varsa payda 10, iki
basamak varsa payda 100, üç basamak varsa
1 000 oluyor. Ama sadeleştirmeyi de unutmuyorsu­
nuz tabii ki .
Şunları da siz halledin bakalım.
Neyse . . . Yine ben çözeyim.©
1
2
0' 2 = - = -
10
5
64 1 6
0' 64 = - = 1 00 25
5
1
0,05 = - = 1 00 20
�IBiıM!ıl
16
-'-'------'-------'---�-------__
·_
G_
lu\ı
______■
25 5
2' 5 = - = 10 2
Şimdi sırada şapkalı sayılar var. Yani,
Devirli Ondalık sayılar
Başlamadan önce � kesrini ondalık biçimde
3
yazın bakalım. Kaç çıkıyor? ©
16 yı 3 e bölün bakalım.
16
3
= 5,33333 . . . .
Çok acayip bi sayı çıktı.© Ve galiba sonu da yok
bu bölmenin. Öyle değil mi?
Ama en azından nas ıl devam edeceği belli.
İşte olay burada kopuyor. Amcalar buna da kısa bir
gösterim şekli bulmuşlar.©
Ve bu yazımda bir sürü 3 yazmaktansa diye dü­
şünmüş ve bunu kısaltarak 5 , 33 3 . . . = 5 , 3 olarak
yazmışlar. işte olay bundan ibaret.
Anladınız mı bunu?
Anlayacağ ınız her rasyonel sayıyı öyle hemence­
cik ondalı k hale getiremezsiniz. Bazen bölme işle­
minin sonu bir türlü gelmez. Ama periyodik olarak
sürekli aynı sayıların geldiğini görürsünüz.
Mesela,
7 =
0,777 . .. = 0, 7
9
101
= 1,1 222 . . . = 1,12
90
37
33
= 1 , 1 212 1 2 . . . = 1 , 1 2
Biçiminde ifade edilebilir. Hiçbir sakıncası yok©
Yukarıdaki gibi bölme işlemi sonuçlandırılamayan
ve virgülden sonraki kısmı belli bir kurala göre peri­
yodik olarak devam eden sayılara periyodik devirli
ondalık sayılar deniyor.
Anladınız mı şimdi devirli ondalık sayının ne de­
mek olduğunu?
Aşağ ıda açık yazımlarını verdiğim sayıların devirli
ondalık sayı olarak yazılışlarını inceleyin bakalım.
5, 23636363636 . . . . . . = 5,236
4 5 , 2 8 8 8 . . . = 4 5 ,28
0, 5 1 651651 6. . . . = 0, 5 1 6
2, 32152152 1 5... = 2,3215
Dikkat ettiniz mi?
Sadece devreden sayıların üstüne şapka koyuy�
ruz.©
Devirli ondalık sayının rasyonel biçimi
Neden ve niçinine girmeden vereyim bunu.
a,bcd devirli bir ondalık sayı olsun.
Bu sayıyı rasyonel hale getirirken,
- abcd - ab
a,bcd c
990
Yani şöyle:
Payını yazarken sayının tamamından devret�
meyen sayıyı çıkarın.(Ama virgül yokmuş gibid{
şünerek tabii ki.)
Paydaya ise virgülden sonraki kısımda bulunatJ.<
şapkalı rakam sayısı kadar 9 ve şapkasızlarııı
yısı kadar da" O "sıfır"dan oluşan bir sayı yazmi�
sa,
Birkaç örnekçik yapalım da anlayın ne demek isti
diğimi©
516-5
0• 51 6 =
990
3
1
0' 3 = - = 3
9
o ' 52 = 52-5
90
1 ' 23 =
-
1 23
-1
99
3
0' 03 = 1 2' 4 =
99
124 - 1 2
O' 1 23 =
O' 1 35 =
9
1 23
999
135 :- 1 3
900
=
511
990
■•■■fibfrl
_
·· ------���S----'.· .____________1_6_. G_uw
Ondalık sayılarda işlemler
Toplama - Çıkarma
Yeter ki virgülleri alt alta getirin gerisi kolay. ©
Ondalık kesirlerle toplama ve ç ıkarma işlemi yapı­
lırken virgüller alt alta gelecek şekilde işlem yapılır.
işlem yaparken eksik basamakları sıfır "O " mış gi­
bi düşünebilirsiniz.
Bunu unutmayın. Yoksa yamulabilirsiniz©
Adamlar yan yana verirler. Ama siz yine de alt alta
yazın. ©©
Buyurun bakalım.
Örnek Soru
12,3 + 3,925 + 0,29 toplamının sonucu kaçtır?
lJ
fi!( .
.
ilk önce virgülleri aynı hizada olacak şekilde sayı­
ları alt alta yazın. Gerisi kolay. Bildiğiniz toplama
işlemi. Bi farkı yok.
12,300
3, 925
+ 0,290
16,515
Örnek Soru
0,5 + 3,705 - 1 , 52 işleminin sonucu kaçtır?
Yol yine aynı. Ama önce toplayın. Bulduğunuz so­
nuçtan da 1,52 yi çıkarın .
0,500
+ 3,705
4,205
- 1,520
4,205
2,685
· Şunlarda ise önce rasyonelleri ondalık yapın. Son­
' ra ondalık toplama - çıkarma yaparsınız.
... {0 + O, 03
-f
işleminin sonucu kaçtır?
.B
· u tür sorularda sayıların hepsini ya ondalık yapın
ya da rasyonel yapın ve öyle işlem yapın.
Bunda rasyonelleri ondalık yapalım.
/} + 0,03 0
!
= O, 7 + 0,03 - 0,2 olarak yazılabilir.
Gerisi kolay. işlemi yapın ve 0,53 ü bulun artık.©
,•;
örnek Soru
� + 0,45 işleminin sonucu kaçtır?
250
Az önceki sorud� rasyonel sayıları ondalık yaptık.
Ama aslında şıklara bakmakta fayda var. Eğer şık­
lar ondal ıksa rasyonelleri ondalık yapın. Şıklar ras­
yonelse ondalıkları rasyonel yapın.
Diyelim ki bu sorunun sonucunu ondalık olarak
bulmak istiyorsunuz.
O zaman çözümünüz şöyle olacak.
4
16
- + 0,45 = -- + 0,45
1 000
250
(4)
O da eşittir 0,01 6 + 0,45 = 0,466
Var mı bi problem?
Çarpma
Ondalık sayıların çarpımını anlatırken uzunmuş gi­
bi gelebilir. Ama hiç de uzun değil aslında.©
Anlatayım,
önce çarpılacak sayıları hiç virgülü yokmuş gibi
çarpıp sonucu bulun, sonra bulduğunuz sonucu
çarptığımız sayılarda virgülden sonra toplam
kaç basamak var ise o kadar basamak olacak
şekilde virgülle ayırın.
Anlamadınız. Değil mi?
Neyse buraya bakın . . . ©
Örnek Soru
O, 125 - 2, 3 çarpımının sonucu kaçtır?
Ondalık iki sayıyı çarparken ilk önce sayıları alt al­
ta yazıp virgül yokmuş gibi çarpın.
125
X 23
375
+ 250
2875
Bu işlemde çarpılan iki sayıda virgüllerden sonra
toplam 4 basamak var. (O, 1 25 te üç basamak ve
2,3 te bir basamak var)
Dolayısıyla virgül yokmuş gibi yaptığınız çarpma
işleminin sonucunu virgülden sonra 4 basamak
olacak şekilde virgülle ayırın.
Yani, sonuç 0 ,2875 olmalı.
Anlaşıldı mı?
Bir örnek daha yapıp geçelim.
Örnek Soru
3,4 . 0;234 çarpımının sonucu kaçtır?
llk ne yapacağınızı biliyorsunuz.
34 ile 234 ü çarpın . Ve sonucu virgülden sonra
dört basamak olacak şekilde virgülle ayırın;
34 çarpı 234 eşittir 7 956©
Bu durumda sonuç 0,7956 olur. (çarpılan sayılarda
virgüllerden sonra toplam dört basamak var.)
Örnek Soru
0,004 . 0,32 çarpımının sonucu kaçtır?
Yapın ve sonucu 0,00 1 28 bulun bakalım.©
Bölme işlemi en önemli kısmı bu konunun.© .
İki ondalık kesri bölerken pay ve paydayı vir.. <
gülden kurtaracak şekilde pay ve paydayı
100,1 000, ... ile çarpın.
Bölme
Ha! Pay ve paydayı rasyonel hale getirerek
mek mi?
O tam bir amele işi© Siz bilirsiniz.
Demek istediğim şuydu;
2 - 1 00
2_
200
_
=
=
= 40
0,05 0, 05 , 1 00
5
(Pay ve paydanın ikisi de virgülsüz hale gelmesi >
için ikisini de 100 ile çarptık.)
Ama şöyle de yapabilirsiniz. Hoşunuza daha
gideceğinden eminim.©
23_ = 3, 2 00
0, 01
6
0,01 6
=
3200
= 2 0 0.
16
Yani, yine virgülleri alt alta getiriyor, eksik
Bir sayıyı 1 0, 1 00, 1 000, . . . . ile çarpma.
örnekler üzerinde göstereyim. Siz de anlayın gari©
İşte örnekler.
a)
0 ,3. 1 0
=3
b) 1 , 1 2 . 1 0 = 1 1 ,2
c) 0, 04.1 O = 0 ,4
d) 2,3. 1 0 = 23
e)
0 , 1 25. 1 00
= 1 2 ,5
f) 2,3. 1 00 = 230
g) 65. 1 00 = 6500
h) 5, 2 . 1 000 = 5200
ı)
0 ,024. 1 00
= 2 ,4
Demek ki bir sayıyı 1 0 ile çarparken virgül bir ba­
samak sağa kaydırılıyor. Eğer virgülü yoksa sağı­
na bir sıfır ekleniyor. 1 00 ile çarparken iki basamak
sağa . . .
makları sıfır kabul ediyor, sonra da virgülleri
anda kaldırıp işlem yapıyoruz.
Bir de şunu inceleyin.
3
2, 4 _
240 30 0
_
=
= 3 0 - 20 = 1 0
0 , 0 8 0,1 5
8 . 15
Bir sayıyı 1 0, 1 00, 1 000, . . . ile bölme
Örnekler üzerinde gösteriyorum. inceleyin bi
met©
a ) 2 = 0, 2
10
0 , 24
= O, 0 24
b)
c)
d)
e)
f)
----:ıo
78 = 0,
78
1 00
04
, = 0 0 04
10 0
0,28
= 0, 00028
1 000
8, 9
1 00 0
Hımm.
= 0, 0089
Demek ki bir sayıyı 1 O a bölerken virgülü
rnak 1 00 e bölerken ise iki basamak sola
1 6 .Güw
l/1;
Aşağıdaki rasyonel kesirlerin ondalık kesre
<
çeviriniz.
f[:?: .
�[;'.·':'{:_::.:. •
,N .
"Y
3
·
( a ) 20 =
21
c) - =
10
7
e) - =
20
24
25
tfJ_:__. ::\ ;
1 - 0,28
0, 1 + 0, 14
işleminin sonucu kaçtır?
b) - =
1
d) - =
50
1 21
· =
f ) -.500
1
h) - =
200
�
;\;; - Aşağıdaki ondalık kesirleri rasyonel kesre
·•- çeviriniz.
;-;
ı-:--;:-···
4.
1
'I
b} 0 , 1 2 =
5.
0,4 + 0,3 - 0, 2 + 0,6
işleminin sonucu kaçtır?
6.
0,72 - 0,39
işleminin sonucu kaçtır?
d} 0, 625 =
f } 0,75 =
h) 0, 250 =
j ) 0,05 =
2, 25 - 1, 82 - 0, 5
:\ ,işleminin sonucu kaçtır?
7. Aşağıdaki periyodik devirli ondalık kesirleri
rasyonel kesre çeviriniz.ğ
a ) 0,12 =
b) 1,24 =
c) 0,03 =
d ) 0,1 23 =
e) 3,5 =
f) 1 2,4 =
Eğer sadece 9 devrederse 9 u atın ve solundaki
rakamı 1 artırın.
-
-
Mesela 1, 359 = 1, 36 ve O, 39 = 0 , 4 tür.
g) 0,9 =
h) 1,29 =
1) 14,9 =
.
. ,__-:
-·
_
l�
.A
�
--'---'-·.·--'-'--_______1_6_.G_tM'1ı
_
·· ------•
.
Devirli ondalık sayının en sonundaki rakamı iki ve­
ya üç defa yazmanın alemi yok. Sonuç değişmez.
j) 0,4 =
11.
1) 0,444 =
k ) 0,44 =
2,9 + 0,49
işleminin sonucu kaçtır?
Devam edin bakalım. Tam pekişsin bu iş©
m) 0,21 =
n) 0, 25
o) 0, 6
p) 1, 234 =
=
r) 0, 316
=
8.
9.
10.
1 2.
u)3,231
işleminin sonucu kaçtır?
=
=
X = 2,32
1 3.
2 , 340
1 4.
1
2
3
-- + -- + -0,05 0,04 0,03
işleminin sonucu kaçtır?
sayısının eşiti nedir?
sayısının eşiti nedir?
2 + 1,2
0,01 6
işleminin sonucu kaçtır?
olduğuna göre, 99.x +1 toplamı kaça eşittir?
0,163
2
0,05
s) 1 5, 2 =
t)23, 07 =
v ) 25, 251
=
1 5.
0, 42
0, 3
işleminin sonucu kaçtır?
·t���·
,i/: . ·
0,04 _ 1,05
0,002 0,21
5.
2,4 0,075 . 3,6
.
0,1 5 0,1 2 0, 1 2
6.
< işleminin sonucu kaçtır?
.
16.Gü.nı
1,5
0,1
işleminin sonucu kaçtır?
/işleminin sonucu kaçtır?
< 0,24 0,042 0,0077
.
. ·..
... (),033 . 0,49 0,0018
7.
O, 73 - 0 , 27 + 0,04
0, 025
8.
İşleminin sonuc.u kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
0,
0, 05
3 + -1
45- - --
0,32 + 0,5 - 0,0 1 2
işleminin sonucu kaçtır?
2 - 0,25 + 0,362
işleminin sonucu kaçtır?
3,6 - 12,52 + 0,24
işleminin sonucu kaçtır?
9.
2 ,4
. 3,6
işleminin sonucu kaçtır?
14.
10
7
3
- - - +0, 5 0,06 0,1
işleminin sonucu kaçtır?
1 0.
1 2 ,3 - 1 0,925 + 0,25
işleminin sonucu kaçtır?
11.
0,04
0,002
2 ,34
0, 2 34
0, 567
0,0567
-- + -- - --
15.
işleminin sonucu kaçtır?
1 6.
işleminin sonucu kaçtır?
5
1 2. � - -1L + 0,06
0,04
0,05
işleminin sonucu kaçtır?
6, 3 0, 8 _ 0, 25
+
0,3 O, 16 0,005
0, 25 +
4
25
işleminin sonucu kaçtır?
1 7.
7
1
- + O 03 - 5
10
'
işleminin sonucu kaçtır?
1 3.
7, 2
53,2
0, 2
- + -- - 0,1 2 0, 5 32 0, 01
işleminin sonucu kaçtır?
18.
4
+ 0, 45
250
işleminin sonucu kaçtır?
il
1 6. GÜNl.ı
5.
1 2, 5 . 4 0
3
1
0,1 0,6
24 -0,075 · 4, 8
--·
0,1 2
1,5
1, 6
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır
6.
1 , 2 · 0, 24
(işleminin sonucu kaçtır
·.• · . 0, 4
3, 2
1
. • . -.- - -+-
(( 0,005
0,08
0,5
işleminin sonucu kaçtır?
1
6
3
.:. - - -- + -) 0, 2 0,02 0,03
!eminin sonucu kaçtır?
1
3
0,9
-+-0,45
10
25
işleminin sonucu kaçtır?
7.
2 ·0,532 0,18
-·0,06
5,32
0,9
işleminin sonucu kaçtır?
8.
0,68 0,63 0,2
-- + . - + -2,1 0,04
1,7
işleminin sonucu kaçtır?
9.
1 0.
b = 0, 3
a = 0, 1 8
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
0,3
0,2
0,1
- +- + 0,6 0,4 0,2
16. Güt1ı
1 3.
11.
14.
O, 25 _ � _ .2.2_
0,0 125
0, 12
40
işleminin sonucu kaçtır?
0,05
2
3
4
-- +-- - -0, 4
0,06
0, 008
işleminin sonucu kaçtır?
1 5.
0,24
0,041
0,7
-- + -- + 0, 072
O, 1 23
2, 1
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
1 2.
0,2
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
1,23 1,2
-+3,7 0,1 1
0,1
0, 25
1
8
-- + - --
1 6.
4
2
2 1 - - + -'
5
0,05
işleminin sonucu kaçtır?
1 7.
••
�-
tllA'"�W'\ı et'\ı.� � � �
.
� neı {.çlnıyoış �or.\«I OfUM'lı b-t½'ül<Utğ w veı 6nemv
·• �y�.
·• ·
�#�
t
#iI
f
i
1 7. Ga+ıı
Aşağıdaki rasyonel kesirleri ondalık biçimde
yazınız lütfen.©
3
a) - =
5
b) - =
25
1
c) - =
20
d) - =
50
9
e) - =
20
f) - =
50
Aşağıdaki ondalık kesirleri rasyonel kesir ola­
rak yazabilir misiniz?©
4.
2 - 0, 56
0 , 1 + 0 , 08
l·MNiifihbl
işleminin sonucu kaçtır?
5.
6.
0,4 + 0,3 + 0,2
işleminin sonucu kaçtır?
0,7 - 0, 4
işleminin sonucu kaçtır?
b) 0;24 =
c) 0, 1 25
=
d) 2,5 =
f) 2 , 1 2 =
h) 0 ,02 =
0,25+ 1 ,8 - 3 ,52
işleminin sonucu kaçtır?
7.
8.
1 , 02
devirli ondalık sayısının eşiti nedir?
2, 32
devirli ondalık sayısının rasyonel biçimi nedir?
1 7. G ü.t'\ı
9.
10.
1 2 , 345
devirli ondalık sayısının eşiti nedir?
0 , 1 23
devirli ondalık sayısının eşiti nedir?
-
-
11. 5 , 9 + 1, 39
toplamının sonucu kaçtır?
12.
4
0,25
işleminin sonucu kaçtır?
1 3.
2 + 3 ,2
0,13
işleminin sonucu kaçtır?
14.
.· 3
2,4
2
+ -+ --
0, 2
0,05
0, 06
işleminin sonucu kaçtır?
1 5.
0 ,12
0,4
işleminin sonucu kaçtır?
1 6.
2,3
1- 1
3
işleminin sonucu kaçtır?
1 7.
18.
3
2
4
-- + - + 0,01 0,1
0,001
işleminin sonucu kaçtır?
0,048
0,0 12
-3
işleminin sonucu kaçtır?
17. Günı
- 56 _
�+5
14
- 0,04
6.
nijıeminin sonucu kaçtır?
< o,3+0,15
işleminin sonucu kaçtır?
7.
0,235 + 0 ,369
8.
2,3 - 0, 125
9.
!eminin sonucu kaçtır?
3,56+ 12,502
·• •.·· 1eminin sonucu kaçtır?
2,1 - 3,2
işleminin sonucu kaçtır?
5,3 - 2,326
işleminin sonucu kaçtır?
0,004
0,001
işleminin sonucu kaçtır?
1 0.
2,4
0,06
işleminin sonucu kaçtır?
0,36
0,012
0,532
0,0532
-- + -işleminin sonucu kaçtır?
· · ._
:A
5-,�
_
·· . _____�•-·
17._G
.·. .�------_·�·'-'-· --'--·_Uflı
__
_nb1
_
1 6.
1
1 1 . � - � + -0,51 0,5 0,01
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
1 2.
6,3
0,07
0,48
0,16
0,2
0,05
-- + -- - --
2 '5 + E,
10
17. 0,025 + 8,875
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
1 3.
0 ' 2 + .i.
5
1 8.
işleminin sonucu kaçtır?
14.
10
2- + o 3
2,3
-�-3
0,23 0,032
işleminin sonucu kaçtır?
1 9.
işleminin sonucu kaçtır?
4
0,2
5
0,2 5
2,6
0 ,1 3
- + -- - -·-
işleminin sonucu kaçtır
1 5.
4
25
kesrinin ondalık değeri kaçtır?
20.
O, 125 · 0,4
işleminiri sonucu kaçtır?
1 7. GlM1ı
5.
0,25 1
+0,5
10
2 • -0,532 1, 8
-·
5, 32
b = 0, 6
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
\işleminin sonucu kaçtır?
0, 04
a = 0, 6
6.
0, 9
\ işleminin sonucu kaçtır?
-
-
-
0, 5 0, 4 o, 1
-+-+0,5 0,4 0,1
işleminin sonucu kaçtır?
• 0,068 0,84
2
· -- + - + 1,7
2,1
0,5
7.
··· /işleminin sonucu kaçtır?
1 , 23
3,7
işleminin sonucu kaçtır?
,>Aşağıdaki devirli ondalık sayıları rasyonel ola­
> l'ak yazınız.
b) 0,45
c) 0,8
d) 1 , 23
e) 0, 51 6
f) 24,3
g) 56, 07
h ) 5,326
ı ) 1 3 , 235
j) 3, 1 52
8. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
a)
3, 6
1 ,25
20
0, 0 1 25 - -0, 12 - 400
b ) -- · -- - ---
O, 33
63
2 ,1
0,25
O, 0075
0,044
l�■ıı+k#MI
.·
·. _
6._A_nt>ı
_____�
'---'"". ""-""--·-··""-""--------1-7_._G_üw
_
_.______
c ) · _1_ . 0, 0 02 + �
2
25 0,01 0 2
10
d)
1-(�-.E..)+
o,
5
14
6, 4
0 75
,
0,5
0,1- + 1 2
e) - - -0,05
0,01
0 , 04
2
1
h) 3 - - + -5 0,04
ı)
1
0, 001
2
3
0, 0005
0, 0003
j)
0 , 1 2 , 0,21
0 , 0 028
5
1 , 25
2
3
4
f) + -- + -0,5
0,05
0, 005
0, 24
+ � 42
g)
0,0 048
0,123 2,1
9.
0,2
+ 0 , 042
O , 1 1 · O ,22
işleminin sonucu kaçtır?
..
· · . ,-,,:,?_,
18
••
�.
. . .. . .
18 . GtM'lı
!�... •· · ·
;1/,
1;,;�:-::;,:
�.
O'RAN - ORANTI
Hatırlarsınız.©
,;Bir orantıda içler çapımı ile dışlar çarpımı eşittir." işte bu muhabbet.
Matematiğin en temel ve en önemli konularından
I< �:k
i
..
.----;-.;-�:, , "
fazla özelliği olan bir konu da değil aslında.
iki şeyi ( öze mk d <
;:ı:�
u
�=
�
�
=
E��
,· .
Bu orantıyı
2
■
•
xt1 = � şeklinde düşünerek içler
dışlar çarpımı yapabilirsiniz.
Gerisi zaten bildiğiniz gibi©
Siz de aşağıda vereceğim eşitliklerde x in değerini
orantının bu özelliğini kullanarak bulun bakal ım.
a) x + 4 = 3
5
Cevap: 1 1
> Bilmeniz gereken sadece şu:
'.'i :,",,
(;f� � �--
eşitliğinde a.d = b.c dir.
.· ·
· Y�ni, içler-dışlar çarpımı (çapraz çarpımlar) eşit­
·•· tir.
·•/örnek Soru
X = 3
b)
2x + 7 = .1_
5
2
s 2
• })lduğuna göre, x kaçtır?
Cevap:
1
4
> Bir orantıda içler dışlar çarpımı eşittir. Bunu biliyor­
,· ,
sanız gerisi kolay.©
>�
ise 2x = 6.3 ten x = 9 bulunur:
; Qrnek Soru
2x+1
c) x - 7 = x +1
3
3
•' • •·-4- = 5
. olduğuna göre, X kaçtır?
2
Cevap : - 17
.
··•.· Bu eşitliği (orantıyı) sağlayan x değerini bulmak
· için içler dışlar çarpımı yapılabilir�
\ (çler dışlar çarpımı yapıp devam edin.
.
, JOx + 5 = 1 2
,.jgx = 1 2 - 5 ten X = 7 olur.
10
Şu da aklınızda olsun.
2x + 1
.
•·
- • d e asIında b'ır orantı d ır.
= 5 eşıt1·ıgı
�
Cevap: 29
�•*iiiiil
Güw
_____
-----------'--------�------1_8_.__
Cevap:-9
x+3
x+1
ı) -- = -2x
+5
2x - 3
, ,:!/
Bunu ben çözeyim.
. · . •.,
Bu soruda içler d ışlar çarpımı yapar ve işlem iıaM
Si da yapmazsanız şöyle bi şeyler yapmış olacakl
,,.. _, .;
sınız.
(x + 1 )(2x + 5) = (2x - 3)(x + 3) eşitliğinde çarp�,
işlemlerini yaparsanız
, ;.\
t
, .: /
2x 2 + 7x + 5 = 2x2 + 3x - 9 eşitliğini elde eder:.
seniz. Bunu da düzenleyerek 4x = - 14 den > �
x=
f) 2..=]_ = ..1_
4
3x-2
Cevap: 26
2
bulursunuz.
2
içler dışlar çarpımı yaparken kesir çizgisinin ö�üö
de " - " eksi işareti olabilir. Bu durumda bu eksi\
sadece payın (üstün) eksisi gibi düşünebilirsiİiiz.
(isterseniz de sadece paydanın)
3
. . . .
_
-· X - 2
//
eşıtlığını dogrulayan x,<:!1;
ôrnegın, -- = 3
2
' '
ğerin bulurken, bu eşitliği
'
x - 2 = -3
biçimind�
,' ,
3
2
düşünerek içler dışlar çarpımı yapabilirsini;;(AKıi;
nızda olsun.©
Gerisini yaparsınız artık.©
g)
x +4
5
=
x-2
3
Örnek Soru
Cevap: 1 1
3x + 2 = - ; olduğuna göre, x kaçtır?
Kolay bi soru.
lık önce bu eşitliği şöyle ifade edin.
-7
3x + 2
--- = 1
2
Gerisi bildiğiniz içler dışlar çarpımının eşitıiğ( ,;j
2(3x + 2) = 1 .(- 7)
6x + 4 = - 7 den x =
h)
7x + 1
= X+3
3
-11
6
olur.
\{
Yalnııız. . . Unutmayın.
_
. .· ., ·
içler dışlar çarpımını sadece gösterdiğim şeki19&1
ifadelerde yapabilirsiniz.
Cevap: 2
Örneğin, � - 2 = 3 eşitliğinde bu haliyle i�:'ıl
3
<0'.
d ışlar çarpımı yapamazsınız. Eğer yaparsarıız,y2
· /ij
mulacağınızdan emin olabilirsiniz.©
-<fi"
ilk önce sol tarafta sadece bir terim (kesir) oldiJf::\
-ğundan emin ofun bakalım.
x 1
Yani, ; = 3 + 2 olarak yazın.
C \,g�
1 8.
�f' /
(1Wlı
p
Bunu da düzenlediğiniz zaman 9b = 5a elde edilir.
Ve buradan da, � = : olur.
ılabilecek pozisyona getirir misiniz?
�. - j a)
:fb)
4
1
Bu tor ifadelerden istenen oranı yazabilmek önem­
li. Ona göre©
Anladınız mı?
Son kez söyleyeyim.
-2
\ -x == 3
+ a�3
. a - = 5 ··
:= J-59a = 5b ıse - tur.
b
3
== 4
%
} /•· ·, ,
,( işte o pozisyonlar©
1.
4x - 2
3+x
--- = -3
1
4
3
X-2
3
X
5
2(a + b) = 7(a - b) eşitliğindeki parantezleri açınca
2a + 2b = 7a-7b elde ediliyor.
abilirsiniz içler dışlar çarpımını. izin veri:::��'.:
jf ( $iz de aşağıdaki ifadeleri içler - dışlar çarpımı ya-
_·t(-./4:•-_·:'.,.•-_ _/
■\,Jhill·ibib'I
Minik bir antrenman yapalım mı?
4a
= 7b olduğuna göre, � oranı kaçtır?
-- = 1
a+3
-- = isterseniz içler d ışlar çarpımlarını da yapıp birbiri­
ne eşitleyebilirsiniz. Siz bilirsiniz.
2.
:.:: ·_:· /., _. , .
(kinci bir şey de içler - dışlar çarpımıyla elde edilen
4 (a
- b) == 5b
olduğuna göre, � oranı kaçtır?
örneğin, ..!... = ,J__ ise 5x = 3y dir.
;
3
5
9 halde 5x = 3y eşitliğinden ; = � ya da
)�:y. ::::: ..!5 orantısını yazabilmeniz lazım.
t�+
' b = a - b ise
2
,.s: 7
a oran kaçt
ır?
ı
b
\önce içler dışlar çarpımı yapmak lazım.
>�ki, yapalım.
3.
a - 3b = 7(b-a)
olduğuna göre, � oranı kaçtır?
1 8 . Gü,ıı,
4.
8.
� = 3b
3
olduğuna göre, � oranı kaçtır?
olduğuna göre, � oranı kaçtır?
5.
4a - b
a+b
5
=3-
9.
b
4a + b == ? - a
2
10.
4(a - 6) = 3(b - 8)
olduğuna göre � oranı kaçtır?
5
a
3
a .:.. 2b
olduğuna göre, � oranı kaçtır?
olduğuna göre, � oranı kaçtır?
7.
a+8
a+6
-- = -b+3
b+4
olduğuna göre, � oranı kaçtır?
.
olduğuna göre, � oranı kaçtır?
6.
4(a - b - 5 ) = 5 (a + b - 4)
1 1.
7
5a - 3b
2
a+b
olduğuna göre, � oranı kaçtır?
■-,..-.,...H.fiııll.■.,�.,.11t.ıı.,
lt:-
.
Uf\ı
1
''
.::__:_:__
L_.:.�--'-------------==--=:_:__'G
ff
..0
8
�-------
@l:
'RASY<9NfL VENKLEMLE'R
Denklem çözme meselesinin ne kadar önemli ol­
duğundan tekrar bahsetmeme gerek yok di mi?
Basit denklemler ve rasyonel sayılar konusunda
uzmanlaştığın ıza! © göre artık biraz daha gelişti­
rebiliriz bu olayı.
Şimdi sırada rasyonel denklemler var.
Rasyonel denklemleri çözerken çok da değişik bir
şey ler yapmıycaz tabii ki.
önceki bilgilerinizin yeterli olduğunu göreceksiniz.
Ama acele etmeyin bakalım bi ©
Bir eşitliğin her iki yanına aynı işlemleri uygu­
ladığınızda bi problem çıkmayacağını,
Kesirlerde payda eşitlemeyi,
Efü orantıda içler çarpımı ile dışlar çarpımının
eşit olduğunu biliyorsanız rasyonel denklemler
tam bir çocuk oyuncağı© (Bakalım kaç yaşındaki
çocuklar içinmiş bu oyuncak? ©)
Rasyonel denklemleri nasıl çözelim?
Eğer rasyonel denklem bir orantı biçiminde verilmiş
.
'. ise maceraya hiiiç gerek yok. Direkt oran - orantı
·
nıuhabbetindeki içler - dışlar çarpımını kullanın ve
bilinmeyeni bulun. örnek üzerinde göstereyim.
2x - 3
-- = 3
5
- i,
:;;. Az' önce dediğim gibi bu eşitlig
.
2x - 3 �
=
gibi
5
1
. A:dım adım anlatayım©
r� = 3
.
. ·-·
eşıtlıgınde
x ı bulurken, sırasıyla,
)· . ilk önce her iki taraf ı 5 ile çarpın ,
il. Sonra her iki tarafa +3 ekleyin.
Sonra da her iki tarafı 2 ye bölün.
Yine x "' 9 buldunuz mu?
n.ı .
Örnek Soru
3x + 5
_2 = 6
4
eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?
Az önceki ikinci yolla çözelim. Yine adım adım gi­
deyim.
1. Her iki tarafa + 2 ekleyin.
i l . Her iki tarafı 4 ile çarpın.
ili. Her iki taraftan 5 çıkarı n. ( 5 ekleyin. )
iV. Her iki tarafı 3 e bölün. x = 9 buldunuz mu?
Dediğim işlemleri adam gibi yaptıysanız sıkıntınız
olmamış olması lazım.
Peki, burada içler dışlar çarpımı yapsaydık olmaz
mıydı?
Hemen değil ama olurdu tabii ki. Dikkat edin baka�
lım. Bu haliyle neden içler dışlar çarpımı olmuyor.
Örnek Soru
3( 5x + 1 ) + 2 = 1 4
4
olduğuna göre, x kaçtır?
düşünerek içler dışlar çarpı mı yapabilirsiniz.
· içler dışlar çarpım ı yapınca 2x-3 "' 1 5 ten x = 9 u
· bulurken sıkıntı yaşayacağ ı nızı sanmıyorum.
.·. Ama tek çözüm yolu bu değil tabii ki.
:'. Şu da farkl ı bir çözüm yolu.
> 2x - 3
Bence ikisi de çok kolay©
Ne dersiniz?
Neyse . . .
Devam edeyim.
Yine aynı mantıkla şu soruya bakın.
Ne yapacağınızı söyleyeyim. Siz çözün yine. Yal­
nız söylediğim şeyleri ezberlemeye kalkmay ın tabii
ki. Olayın temel mantığ ını anlamaya çalışın. Ve
şundan emin olun. Kararlı olur ve pes etmeden
çalışmaya devam ederseniz halledemeyeceği­
niz konusu yok bu dersin .
Neyse . . .
işte adım adım çözüm yolu. Buyurun bakalım. De­
diklerimi sırasıyla yapın .
1.
il.
111.
iV.
V.
Her iki taraftan 2 çıkarın .
Her iki yan ı 3 e bölün.
Her iki tarafı 4 ile çarpın.
Her iki taraftan 1 çıkarın.
Her iki taraf ı 5 e bölün. x = 3 değil mi?
Elbette ki bu tür soruların çözümü için tek yol yok.
Bir sürü çözüm yolu olabilir. ©
:�
MHA&li
18.GÜflı
Yaw! Aslı nda ben bu konuyu biliyorum. Ama niye
hep yanlış çıkıyor bu soruların cevabı? ©
Söyleyeceğim.
Ama ilk önce şu sorulara cevap verir misiniz?
2x + 3 :::: 7 eşitliğinde x i bulurken ilk önce eşitliğin
iki yanını da 2 ye bölsek olmaz mı?
Ya da x + 2 - 4
3
=
5 eşitliğinde ilk önce eşitli-
ğinde her iki yanı 3 ile çarpsak olmaz mı?
Çoğaltabilirsiniz bunları. işte bunlardan dolayı yan­
lış çıkıyor.
Yani, işlerin sırasını karıştırdığınızdan dolayı
yanlış çıkıyor olabilir. Demek istediğim o ki basit
bir denklemi çözerken bile bir mantık ve işlem sı­
rası var. Ve sizin asıl kapmanız gereken de bu
mantık zaten.©
Canlar!
Bilin ki matematik bir ezberler bütünü değil, bir
mantık silsilesidir. (Mantık neyi neyi? ©)
Eğer adım adım gider ve her adımdaki işlemleri ve
bilgileri hakkıyla öğrenerek devam ederseniz bu
dersten müthiş keyif alırsınız. Ama ezberleyerek
halletmeye çalışırsanız hiç kusura bakmayın. Avu­
cunuzu yalarsınız.©
isterseniz tecrübeli abi ve ablalarınıza sorun.©
En azından avuç nasıl yalanır onu öğretirler. Ne de
olsa tecrübeliler© Tecrübeye saygı duymak lazım
tabii ki. Ama hangi tecrübeye di mi©?
Neyse ...
Birkaç soru daha çözeyim. Gerisi size kalmış. Artık
antrenmanlarla pekiştirirsiniz bunları.
Örnek Soru
a+4
a + 2 = --a-1
a-3
eşitliğini sağlayan a değeri kaçtır?
Yapacağınız şey çok basit. içler d ışlar çarpımı eşit
olduğuna göre siz de bunu yapın.
(a + 2)(a-3) :::: (a-1 )(a + 4)
Parantezleri çarpın ve sadeleştirmeyi de yapın ve
devam edin.
/ - a - 6 = / + 3a-4
Artık bu eşitlikten a değerini a = 2 olarak buıJLi
2
sunuz.
.. '.,'.·
Örnek Soru
2x + 1 _
1 = _!
3x - 2
2
olduğuna göre, x kaçtır?
önce soruya çözme niyetiyle dikkatlice bakın .©
Hemen içler dışlar çarpımı yapamazsınız.
ilk önce şu soldaki - 1 i sağ tarafa atın.
2x + 1 1.. + 1
=
3x - 2
2
Ve sağ taraftaki işlemi yapın.
5
2x + 1 = --3x - 2
2
Şimdi de içler dışlar çarpımını yaparak
2(2x + 1) = 5(3x - 2)
Bu eşitlikten de x = �; i bulun.
Örnek Soru
6x - 23
5
X = -3
olduğuna göre, x kaçtır?
Bu daha kolay.
ilk önce - X i eşitliğin sağ tarafına atın ve sağ tkrk­
fın paydasını 1 kabul edin.
6x - 23
5
x-3
1
Şimdi içler çarpımıyla dışlar çarpımını yaparak bjfs:
birine eşitleyebilirsiniz.
Ve 6x-23 :::: 5(x-3) eşitliğinden x a: 8 i bulursu.-­
nuz.©
Olay bundan ibaret.
Örnek Soru
3x + 2
+ X = 10
olduğuna göre, x kaçtır?
O kadar anlattım. Artık bunu da bana çözdürme3;i
siniz herhalde© Çözün ve x i 6 olarak bulun bakfô
yım©
1 8 . GtMlı
�=2
3
6.
2- = - 5
-2
7.
olduğuna göre, x kaçtır?
8.
3x - 1 3
=3
5
2X -� 3
= X _1
7
olduğuna göre, x kaçtır?
9.
Sx - 1 =
-2
4x - 2
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
1 O.
göre, x kaçtır?
3
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
x-6 =
-2
2
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
x = -2.3 - (- 9)
_5
X X-1
- = --
x-2
�=3
olduğuna göre, x kaçtır?
1 8 . Güw
11.
13
x-3
11
1 6.
x+2
olduğuna göre, x kaçtır?
12.
5x - 3( x - 3) =
14
3
olduğuna göre, x kaçtır?
17.
olduğuna göre, x kaçtır?
1 3.
�= 4
3
� = 2 - 3 +5
5
18.
X-2
=S
3
olduğuna göre, x kaçtır?
3
-2 = 3
x
+
2
3
= 2 -5
olduğuna göre, x kaçtır?
1 9.
olduğuna göre, x kaçtır?
15.
x-Z
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
14.
� + 2 = .1 3
3
3x - 2
=8
5
olduğuna göre, x kaçtır?
20.
5x - 4
= 2x - 4
3
olduğuna göre, x kaçtır?
x-2 = 2
3
olduğuna göre, x kaçtır?
3x + 1 = -S
.
,---2
18. GlM1ı
6.
7.
2(X + 3) - 1
= X -1
5
olduğuna göre, x kaçtır?
5x - 1
=2
4{x -2) + 1
olduğuna göre, x kaçtır?
8.
15
=3
5(x - 2)
olduğuna göre, x kaçtır?
,, : x +2 =x-1
3
2
,;/\
..
olduğuna göre, x kaçtır?
3 (x - 1) + 3
_""'-_--'-__ = 3
5
9.
5
_
3_ =
x - 3 2(x + 2)
olduğuna göre, x kaçtır?
10.
5 (x - 3) -. 3(x - 1) "' .1
2
olduğuna göre, x kaçtır?
1 8. GtM'tı
11.
x - 1 2 = 23
2
16.
x - s = 19 -4
3
17.
x + 6 = -5
1 8.
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
1 3.
2
x + 25 = 1 5 - 28
3
1 9.
olduğuna göre, x kaçtır?
1 5.
X + 1 8 = _2
X +1
olduğuna göre, x kaçtır?
4 - X + 2(X - 6) = 2 3 - 1 2
11
5
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
1 4.
- 1 8 + x - 5 = 32
3
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
1 2.
BH-Jli■■hl
2x + 3x - 4(x - 2} = 3 -x
2
olduğuna göre, x kaçtır?
20.
3(x + 2) = 2x - 3
-1
olduğuna göre, x kaçtır?
4 + 3(x -1) _ 3 + 2(x-5)
-1
2
olduğu na göre, x kaçtır?
3-x =4-x
2
1 8 . G(M'\ı
6.
7.
! ..
.·
2
= 4 + 2x
8.
'.olduğuna göre, x kaçtır?
4 - 7X
K+1
5
-- = 2 - 3 + 5
2
olduğuna göre, x kaçtır?
9
x-2
3- + 1 = 5
2
olduğuna göre, x kaçtır?
\ olduğuna göre, x kaçtır?
·• 3 - x _ 1
2+x 3
X
=
3 -3-
olduğuna göre, x kaçtır?
} olduğuna göre, x kaçtır?
3 (1 + x )
2
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
3(x-5) = .1§_
1 2 _ 2x
-2-- = x + 1
l&fHIIB#illfiii
1 0.
x -1 +2 = 13 - x
3
olduğuna göre, x kaçtır?
X - 2 - 2x = 3
2
11.
olduğuna göre, x kaçtır?
5x + 3 = 2x - 5
2
1 6.
3 ( x - 2)
== S + x
5
1 7.
2( x - 4)
3
3 ( x - 4)
2
olduğuna göre, x kaçtır?
5 _
-_
1 )_
-�
(x_
2�
_
= 1
3
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
14.
X + 3(X - 1) 2 _ X
=
2
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
13.
4 - 2X == X + 2
3
1 5.
olduğuna göre, x kaçtır?
1 2.
•fHii&lli
1 8 . Gü,nı
1 8.
3x - 1 = -2
3(x - 1)
olduğuna göre, x kaçtır?
1 8 . GtM'\ı
2x + 3 (x +4)
7
---'------ = -
3
2
6.
olduğuna göre, x kaçtır?
2(x - 2) + 3
=3
x+1
7.
olduğuna göre, x kaçtır?
- 4(x - 2) =
... 2x
3x - 2(x - 2)
2
8.
9.
uğuna göre, x kaçtır?
1 0.
3
::::
4x - 1 1
3
olduğuna göre, x kaçtır?
2-5
3
x- :;:: x + 1 0
olduğuna göre, x kaçtır?
2
3 -2 (x + 1) = _§_
olduğuna göre, x kaçtır?
3
2{x + 3) :::: - l.
olduğuna göre, x kaçtır?
6 (x - 2)
5
S(x - 7) - 4
olduğuna göre, x kaçtır?
1 8. GW\ı
11.
4 + 2 (x - 3) - 4 x == �
2
1 6.
olduğuna göre, x kaçtır?
12.
3-4(3 - 4x) 5
=3
-3
17.
2 = .....::§._ - 1
1 8.
4-x
2 (x + 3)
x + 3 == ---'---'-3
2
x - 5 == 21 - 28
3
olduğuna göre, x kaçtır?
2 + Z(x - 1) == 3 + 3(x - 5)
3
5
olduğuna göre, x kaçtır?
1 9.
----1Q_ == -1
1 20 - x
olduğuna göre, x kaçtır? .
olduğuna göre, x kaçtır?
1 5.
6x - 3x + 4 = 1 + -13 - 2
2
5
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
14.
3 x + 2x - 4 + 2{ x - 1) = 3 6
2
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
1 3.
ilfMiiiiiilliill
20.
x - 45 = 3
20
olduğuna göre, x kaçtır?
1 9.
• il
VOğYw !ÖYU0't/J �eıvur� yalanı j(}yl.eytp
�detıtı � 0'ld.lr,
Scıd.l,
ş lr�
5x - 25 = 30
4
1 9. Gü-nı
6.
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
x + 20 = ı_
20
200
olduğuna göre, x kaçtır?
7.
8.
olduğuna göre, x kaçtır?
5x + 25 _ 7 = 2
10
9.
50x - 300 =
100
7
1 0.
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
5x - 20 = -2
40
45X - 40 = X - 2
50
olduğuna göre, x kaçtır?
30 - 20x
3
30 _ 1 0 x
olduğuna göre, x kaçtır?
40(x - 20) - 1 0
5
"' (3 _ 6) 1 0
olduğuna göre, x kaçtır?
20x - 700 = (- 2 - 1).20
3-7
olduğuna göre, x kaçtır?
1 9. GÜflı
11.
1 5x - 25x + 40 = 1 0 _ 40
32 - 52
16.
olduğuna göre, x kaçtır?
12.
olduğuna göre, x kaçtır?
20x - 30 = 2
20x + 1 00
1 7.
olduğuna göre, x kaçtır?
13.
30 - 50 = �
x- 1 0
NIMUNMl41
5 - 3x = 70
2
olduğuna göre, x kaçtır?
200
=4
1 0x - 25
18.
olduğuna göre, x kaçtır?
30x - 300
20(7x + 1 0)
5
olduğuna göre, x kaçtır?
· .· . ,;,c
1 4.
15.
1 000 = 2
2x + 300
19.
olduğuna göre, x kaçtır?
300 - 500 = x + so
20 - 1 5
4 x - 25
3x - 75
=
�
4
olduğuna göre, x kaçtır?
20.
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
') 1 0
.· ·:. t:�
120 - 30x = 360 - 1 20
4
19. Gü-tıı
6.
1 ox - 1 0 = 40
3
7.
1 0x + 25
3
8.
7x - 2 1 = 1 4 - 56
4
9.
_20
6x
1 0.
3x + 2
20
= _2
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
1 0x + 1 0
-10
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
= 24
7x + 1 4 = 77
5
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
7
3
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
20 = 1 5
..§!. = -1 0
25 - ..§._ = 80 + 1...
X
X
olduğuna göre, x kaçtır?
�- A ntY�
•. . . . ,
11.
3x - 7 = _
2
3-7
19. GIM1ı
16.
olduğuna göre, x kaçtır?
1 2.
2 x + 3x + 4
3
= 1
x-2
-=3
X+1
17.
-- = 5
3
x-1
18.
1
__ = 1
x+3
olduğuna göre, x kaçtır?
3 - 2x = �
2
olduğuna göre, x kaçtır?
1 9.
olduğuna göre, x kaçtır?
1 5.
3
2 - 5 = -x + 10
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
14 .
x 5
3= 2
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
13.
•;nııa;m
2x + 3 =
2
3
olduğuna göre, x kaçtır?
20.
5
6x - 2 = --
5x - 7
4
olduğuna göre, x kaçtır?
-2 - 6x = .&.
2
1 9 . Gü,nı
6.
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
_
11
3=_ _
x-4
7.
X = -2X + 3
-
8.
olduğuna göre, x kaçtır?
2
7
olduğuna göre, x kaçtır?
7_
_
=1
12 - x
9.
olduğuna göre, x kaçtır?
�=3
2
olduğuna göre, x kaçtır?
�=2-3+5-6
4
10.
X
+2
2
=]
olduğuna göre, x kaçtır?
�-2 = 3
5
olduğuna göre, x kaçtır?
x+2_ =
7 5
5
olduğuna göre, x kaçtır?
x-3 =
5
3-5
olduğuna göre, x kaçtır?
1 9 . GlM1ı
11.
5x - 2
-= -2
4
1 6.
2x - 4
-= X-4
5
1 7.
3 - 2x
-= 1-x
1 8.
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
1 2.
olduğuna göre, x kaçtır?
1 3.
3
4{x - 2) - 1
= 3_6
5��-
2x - 7
-- = - 2 - 1
3 -7
olduğuna göre, x kaçtır?
2
-- = 3
x-2
olduğuna göre, x kaçtır?
19.
olduğuna göre, x kaçtır?
1 5.
2x - 2
=3_1
2x + 1
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
1 4.
X + 4 = -3
-2
1
__ = 1
2x + 3
olduğuna göre, x kaçtır?
20.
3 -5
■
llfkll&aaı+
= x +5
2 -1
olduğuna göre, x kaçtır?
-: :: ·
--
it)�� . .
1 9. GtM'\ı
3
3 - 5 = __
X-1
6.
5 - 3x = �
2
7.
3x - 3 = �
5
8.
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
5
4
9.
olduğuna göre, x kaçtır?
x +2 _
2=4
3
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
3 - 2x + 3 - 4x = �
�-1 = 4
3
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
4x - 2
3x - 7
.!3. - 3x = 3 - 12
4
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
-- = -
7
-- = 1
10-x
1 0.
x-2
= 1-5
4
olduğuna göre, x kaçtır?
1 9. GlM'\ı
11.
�=5
7
16.
olduğuna göre, x kaçtır?
12.
� = 1-3 + 8-6
3
olduğuna göre, x kaçtır?
1 3.
4x - 3x + 4
5-7
= 3 _5
19.
olduğuna göre, x kaçtır?
15.
(
3x - 2 2.
). = 2
2x - 3
2
olduğuna göre, x kaçtır?
X
_3_ + .3.. = 1
3
2-x
4x 1
+ =2-x
5
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
1 4_
X
olduğuna göre, x kaçtır?
1 8.
2x + 1
=7
5
2 - ...!.. = s + ...!..
olduğuna göre, x kaçtır?
17.
x - 3x + 4 =
-2
-3
olduğuna göre, x kaçtır?
20.
■l
MIIAM
(.
..!..
3x - 2
). = 1
2x - 3
2
olduğuna göre, x kaçtır?
20
••
tllk.m.e:ttv�, �a,,4let-ıe.tlı �lar �.
Küt-t'A�
1:3 adti. iNıv � ay� �
'S(ldi.ğı'.Nıv bilme:,ıe+'ıiı ��
1:3 amed(ğ iNıv bae.+1,e, Öğ ..-et"�
'B�W'ıi,,���
Kô{ücytMr
Örnek 5
'RASYONEL V'ENKLEML'E'R � II
2(
Basit olan rasyonel denklemlerin çözümü konusunda
x+5
5
)=
� x+5
2(x + 5) = 2x + 1 0
(
J=
1
5
.
.. .
1 .5
5
.
. . s;kıntınız yoksa şimdi yine rasyonel ama biraz daha
Anlaşıldı mı bu iki kesrin çarpılması muhabbeti?
. iJrin toplamı ve farkı ile ilgili şeyler ön plana çıkıyor.
ikincisi şu:
·. karmaşık olanlarını halledelim.
· Burada rasyonel iki sayının çarpımı ve rasyonel ifade­
Geçiyorum.
İki rasyonel kesrin toplamı veya farkı muhabbeti.
. .• Göreceksiniz©
.
··. çok çok zor değil. Ama o kadar da kolay sayılmazlar.
>Yaln ız moralinizi bozmadan devam edin çözmeye.
iki kesir toplanır veya çıkarılırken hangi işlemi yapıyor­
duk? Hatırlayın bakalım.
· zaten yolu yöntemi belli şeyler.
Ne yapıyorduk?
· '(ine örneklerle izah edeyim bunları. Ama önce şu
hususları tekrar hatırlayın bakalım. Buradaki antren­
•, 1T1anlarda lazım olacak da©
Evet.
Paydaları eşit duruma getirmek için kesirleri genişleti­
yor ve paydaları eşitledikten sonra da ortak payda
.) ilki şu:
iki rasyonel kesrin çarpımı muhabbeti (iki kesri
altında yazıyorduk.
Öyle değil mi?
( çarparken ne yapıyorduk? Hatırlayın.)
Payların çarpımını paya, paydaların çarpımını da
f
> paydaya yazıyorduk.(Yani, üstleri çarpıp üste, altları
örnek vereyim. Siz de hatırlayın bakalım.
><da çarpıp alta yazıyorduk '. )
Örnek 1
1
2
(3)
örnek vereyim. ilki çok iyi bildiğiniz bir şey.
• Ôrnek 1
3 .4
12
= 35
s3 ·-r4 = 5.7
4
3 +4
7
6 - 6
6
x + 3 x - 5 3(x + 3) 2(x - 5)
+
+ -23 =
6
6
(3)
(2)
5x + 1 0
6x - 2
_ 3(x + 3) + 2(x - 5)
6
= 3x + 9 + 2x - 1 O = 5x - 1
6
:.> incelemeye devam edin bakalım.
-6
En çok yamulma olasılığı olan tipi şu.© İki kesir
arasında eksi işareti olunca dikkatli olun bi zah•
met.
2(2a + 3)
=
= 4a+ 6
7-1
a -1
a-1
) = 2. . 2a + 3
1
+
Örnek 2
S(x + 2)
2(3x - 1)
2 ( 2a + 3
a-1
2
3
3 - 6
(2)
Ama ifadeler x li mix li olabilir.©
<. · Şuna bakın bir de .
r Örnek 3
+
Örnek 3
2x + 1 x - 2
3(2x + 1) - 2(x - 2)
-- - -- =
6
3
2
(2)
(3)
� 2x-3
3 ( 2x - 3 )
6x ..:; 9
=
=
2( 4 )
2.4
8 >. ·
4x + 7
=6
Bunlarda problem var mı?
227
2x - 3 -. · .. x -5 =34
3
1
Eğer bu anlattıklarımda probleminiz yoksa denklem
çözmeye geçebilirsiniz.
Önce ne yapacağınızı söyleyeyim.
( 3)
her iki tarafındaki kesirlerin paydalarını eşitleyin,
Şimdi sol tarafı ortak payda altında yazın. Ve paydiı��
sallayın.
daha sonra da paydaları hiç hesaba katmadan
Anlamadığınız biliyorum©
payları birbirine eşitleyerek x i bulun.
örnek vereceğim.
(6x - 9 ) - (4 x - 20)
)1
= 36
)1
6x - 9 - (4x-20) = 36
Örnek Soru
-1
- + -4- = -3
6
2X - 5
(12)
4x - 20
6x - 9
36
12
12-== 12
Rasyonel denklemleri çözerken ilk önce eşitliğin
X
(4)
Artık bunu çözersiniz. x = 25 çıkıyor.
2
X
olduğuna göre, x kaçtır?
Paydaları sayılardan oluşan denklemleri çözerken
paydalardaki sayılar eşit olacak şekilde kesirleri geniş­
letin. Yani payda eşitleyin.
Paydalardaki 3, 4 ve 6 yı 1 2 de eşitleyin .
örnek Soru
2 ( 3x/ 1
x -1
2x - 5
x
- + -- = -4
3
6
(3)
(2)
(4)
)+ � ( 4\+ 3 ) = G
olduğuna göre, x kaçtır?
Bu soru çok da kolay sayılmaz®
Yapmanız gereken ilk iş kesirlerin çarpımını yapmak.
Yapalım.
Bu durumda verdiğim denklem,
� - (3x + 1} + 1.. · (4 x + 3 )
=G
5
5
1
3
4x + 3(2x - 5) 2(x - 1)
=
12
12
8x + 6 = _§_
Gx + 2
+
1
15
5
biçimine dönüşür. Bundan sonra paydaları hiç dikkate
almadan payları eşitleyin. (Yani, paydaları sallaym
artık©}
4x + 3(2x - 5) = 2(x - 1 )
Artık bunu çözer ve x i 3 ola.rak bulursunuz gari.©
Bundan sonraki adımda paydaları eşitleyin ve sol
tarafı ortak payda altında yazın.
1
66x + 2 + 8 x + 6 = 1
5
15
Şu soruda iki kesir arasındaki eksi işaretine dikkat
edin. Yamulanlar genellikle bu eksiden dolayı yamulu­
yorlar da.©
(3)
(1)
(15)
(1 8x + 6) + (8x + 6)
90
= 15
15
Gerisini biliyorsunuz artık.
Paydaları sallayın ve direkt paylarını birbirine eşitleye"
rek x in kaç olduğunu bulun.
1 8x + 6 + 8x + 6 = 90
Ve bu eşitlikten x = 3 bulunur.
Bu kadar zor soru gelir mi derseniz. Bence gelmez©
Ama gelirse de telefona sarılmayın." Hocam ya! gel­
mez demiştiniz ben de onun için bakmamıştım." di­
ye.©
2x - 3 x - 5
=3
-4 - 3-
Örnek Soru
olduğuna göre, x kaçtır?
Bu şekilde verilen rasyonel denklemlerde ilk önce
paydalar eşitlenir. Eşitliğin hem sağı hem de solunun
paydaları.
228
x +1 x
x-2
-- + a = -2
3
5.
olduğuna göre, x kaçtır?
oıduğuna göre, x kaçtır?
3( 2X - ; ) =
X 1
;
G.
7.
olduğuna göre, x kaçtır?
X
;
3
=
z( X ;1 )
3x + 1
X
x - 2 = -- - 3
2
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
x-2
x --1
-- = 3 - 2
3
;_
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
X
X+2
1
3- + 2 =
-
X - 1 = 2X + 3 _ 1
2
5
8.
� + � - � = 21
2
3 4
olduğuna göre, x kaçtır?
-,,;;■;;;;;;,ı
20. Günı
9.
3
2
2 (3x - 2) - 3 (x - 3) = 45
1 3.
olduğuna göre, x kaçtır?
10.
2x _ 2 (
x
;1 ) = 2x ; 1 O
11.
2x _
.!_3
1 4.
X
1
2x + - = 2 - 3
3
olduğuna göre, x kaçtır?
2 - x 1 -x x
+- +- = 6
· -3
4
2
2x - � =
3
.!_( 1 1x - 1 2 )
2
3
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
1 2.
2
olduğuna göre, x kaçtır?
1 5.
11
3-4 x
3
2
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
2
x +8
_
_ 3_ = -
-(1 - 2x ) + 3 = --
1 6.
X-9
1
-- = - + 1
X +2
2
olduğuna göre, x kaçtır?
x+1
2
_
x-2 =
2
3
20. GW'lı
5.
6.
olduğuna göre, x kaçtır?
--+2 = 3
x+1
2
4
olduğuna göre, x kaçtır?
- 1- (_1_)
_
3
- .
2 2 -3X
1- X
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
x-3
3x + 2 - _ - 2 - , -5
2
x-2
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
X
X -1
5
2-3- = 5
2
-=2
3 (x + 2) - 2
7.
8.
4 ( x - 8 ) + 2 (2 - x ) = 8
3
1
olduğuna göre, x kaçtır?
_ x
s
(x 1)
; +� ; = �
olduğuna göre, x kaçtır?
9.
1 0.
; - (1
_x
;
2
)= �
1 3.
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
2x - 3
= ..:!_ _ 1
3
3x - 2
14.
olduğuna göre, x kaçtır?
11.
1
1
x -2 - x +- =2
3
4
olduğuna göre, x kaçtır? .
(
x-5 )
1-x
2 x-4- = 3olduğuna göre, x kaçtır?
1 5.
olduğuna göre, x kaçtır?
12.
hiifkii&IMIB!fll
2 0. Ga+ıı
olduğuna göre, x kaçtır?
1 6.
2 ( 2 3 x ) = x + 1 - 3x
2
olduğuna göre, x kaçtır? .·
ıo. Gü+1ı
7-
24
1 1 - x -2
g
6.
x2 - 3 x + 4 = _
x 5
7.
x -1
/{olduğuna göre, x kaçtır?
3
1 0 x 2 - 5x + 2
\ ölduğuna göre, x kaçtır?
6
x2
=2
olduğuna göre, x kaçtır?
2(x - 3y) ;::; 3 (y-x)
••··•· . (2x - 3)(3x + 1)
·
(x - 2)(3x + 1)
5.
=4
5
8.
x +1
x-3
=
x +2
x-5
olduğuna göre, x kaçtır?
2y - x + 2
3y - 6
2
=3
olduğuna göre, x kaçtır?
X
2
1
2 - 2x = 3 - 2
olduğuna göre, x kaçtır?
20. Glı+1ı
9.
2x
f( ; 7 ) = 1
13.
..Q. (..ll.2.) = 1
14.
olduğuna göre, x kaçtır?
1 0.
3 x-3
olduğuna göre, x kaçtır?
11.
2
3
.l(2x + 1 ) - � = x - 5
3
5
15
olduğuna göre, x kaçtıı;?
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
1 6.
olduğuna göre, x kaçtır?
2
olduğuna göre, x kaçtır?
� (1 - x t ) = ¾
1 2.
2 ( 3x _ x ,- 2 ) + � = 1
x+3 = y+4
X
.y + 2
olduğuna göre, 2x - 3y farkı kaçtır?
41,ifHl&Miiii■
20 . G lu1ı
3 (1 - x) -
1 = 2 -- 3x
2
3
5.
olduğuna göre, x kaçtır?
12;:
- ·.
lf
2_
3_
x +_
x �
-_
_
-_
_
=2
2
3
4
2
2
3
olduğuna göre, x kaçtır?
6.
i olduğuna göre, x kaçtır?
4x _ 1 3x - 1
- 3 - 2 (-- )
2
X
X
X -2 --=1 +-
Sx
x-3
2
- x -=2
2 -3
olduğuna göre, x kaçtır?
7.
/ol(fuauna göre, x kaçtır?
2X + 1
X-1
_3- - 1 2olduğuna göre, x kaçtır?
8.
2
1
1
1
3x + 2x - x = 6
olduğuna göre, x kaçtır?
2 0. Gütıı
9.
2
2 ( ..!.. + ..!.. ) = y + 2
X
y
y
1 3.
=2
2 x+1 - x+1
1 (
1
)
3
14.
11.
( 4x - 1 ) ( � ) = �
- x+1
x +2
2
9
-3 ( x - 1 )
=4
2· x + 4
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
Bu soruda sadeleştirmeyi görmezseniz işiniz zor©
2( S -/ X ) = 2
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
1 0.
X-
1 5.
3 x-2
x+2
x -- -- = --2
3
6
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
1 2.
7
3x - 9
2x + 2
-- = 12 + -3
4
olduğuna göre, x kaçtır?
1 6·
x-3
x-1
3
3- + 2- = 2
olduğuna göre, x kaçtır?
·: ,'<;':,
-.-:\/)�,
21.
••
21. GfM'lı
5.
göre, x kaçtır?
3+
12
7
12 =
7 - -.t_ + 1
2
olduğuna göre, x kaçtır?
1
2X 1 =2 -+
X -X -6
2
3
�ldÜğuna göre, x kaçtır?
6.
4 ( x - 2y)
3 ( y - 2x)
= --'---,:--,--�
2 · • •· ·
,3
olduğuna göre, � kaçtır?
y
3
3
2x - 4x = x + 1
iduğuna göre, x kaçtır?
2x + 3
2 - 2x
6 [ .� _
]=
3
2
2
7.
x 2 -4x + 5
X-1
=X+
4
olduğuna göre, x kaçtır?
S.
3 -1
6x 2
+
( \ }2x 3) =
olduğuna göre, x kaçtır?
-;x
+11
21. GtM'lı
5 -2
x2 + x + 1
x 1
:
( \ )( � ) =
9.
1 3.
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
1 0.
x+2
3x - 1
=
x+1
14.
3x - 7
olduğuna göre, x kaçtır?
11.
Sy - x - 2
3y + 3
5
=3
1 5.
olduğuna göre, x kaçtır?
1 2.
x;7 ) = �
;(
X -1
-1
- - 2x =
3
3
16.
olduğuna göre, x kaçtır?
.±.(� ) = ..!..
2
3
olduğuna göre, x kaçtır?
5
4x -
!(
X
-3
) = 1�
_ 2\
olduğuna göre, x kaçtır?
�
-+(
x-
2 -3 =
\ ) 2
olduğuna göre, x kaçtır?
,., A n
·
i;i
> •f[}rt
:,· ... s,
f\)1
21. GIM'lı
-- = - -
X-4
X
2
2
2x - 4
3
göre, x kaçtır?
5.
D enklemin kökü x in değeri demekti.©
x + 5 - 2m
_
-3+X
2X - 1
denkleminin kökü 2 olduğuna göre, m kaçtır?
2(x - 2 ) - 1 _ _
1
3_
+_
x_
-_
x =12
4
3
6.
3
1
-x
2
2--
2x - 3
1
=2
olduğuna göre, x kaçtır?
X- � =
2( X -
X
t)
7.
3
4
y-2
göre, 4x-3y + 5 ifadesinin değeri
x -1
2
x-2
olduğuna göre, x kaçtır?
göre, x kaçtır?
X+4
3
2( x - 2 ) =
8.
� (1 -
3
;
x
)=
x 1
1�
olduğuna göre, x kaçtır?
• • · · · ••• ·
6. A ntv� ·• · .
9.
3(
x;1 )
=
2xt 1
21. GLM'\ı
1 3.
olduğuna göre, x kaçtır?
10.
=
-+4
x -x-2
x -2 1
5
8
+c:ııii
2x x + 1
2x - 1
=
2- 6
3 -
olduğuna göre, x kaçtır?
14.
3x - 5 =
5x + 9
-�
2
3
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
: \,:{/
· - ·. :_ .: -.:�-l
.
11.
X
X-5
- = 7 - --
2
3
1 5.
·
� + � + � = 130
2 3 4
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
·- · -<-vı
· ; _ ·,.,··· ·
1 2.
x-1
2 x 1-x
- = 5 ( 2 - --)
2
3
olduğuna göre, x kaçtır?
1 6.
2
5
-(3x - 2) - - (x - 3) = 38
2
3
oldüğuna göre, x kaçtır?
2 1 . GW\I
Sx _ 2
( 5 \- 1 ) = X ; 1
5.
olduğuna göre, x kaçtır?
oıuuyı•ııcı göre, x kaçtır?
1
x+-
3
�
x- =4
3
1-X X
-X
- + -- + - = 5
2
4
3
6.
-4 )
3
X + ; = � ( 7X
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
2
X
x +- = 1 -3
4
7.
9 - 1 1x
3(1 - 2x) - 5 = -2
8.
4x - 9
= ...!._ + 1
x+2
2
olduğuna göre, x kaçtır?
2x +1
+ 3x = 2
4
olduğuna göre, x kaçtır?
2 1 . GWlı
9.
1 0.
5
X+1
=
3- 2
2--
1 3.
x -1
x -3
-- - 1 = --
1 4.
X
olduğuna göre, x kaçtır?
3
2
olduğuna göre, x kaçtır?
11.
1 2.
1
2
4
4
x + x - x = 2x - 3
olduğuna göre, x kaçtır?
x-3
2(x + 2)--- = 1
2
olduğuna göre, x kaçtır?
1 5.
1 6.
3
2 -3x
6
Pi4fHIBIIMil
5
= s( 2 - x )
olduğuna göre, x kaçtır?
(
4x - 5 . 2x - 1 ) .!_
) (
=
2x - 1
7x + 1
2
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
ııg�� ·
�;-'.
.
1
� �� � � =
�1; /. olduğuna g(?re, x kaçtır?
ıs •·.•
olduğuna göre, x kaçtır?
•uıı•m;;;ı
21.Güw
5.
2(x + 2) -
3x X - 6
= -5
5
olduğuna göre, x kaçtır?
6.
X 3
1
4X - ; = 3 (1 - ; )
olduğuna göre, x kaçtır?
2x _
x-4
(x J=1
3
5
7.
olduğuna göre, x kaçtır?
3
X
4
y+2
olduğuna göre, 4x - 3y niiı değeri kaçtır?
Aklınızda olsun.
Denklemin kökü denklemi sağlayan (doğrulayan)
değer (yani x in değeri) demekti.
3x
x
=2
( 3x _ 4 ;10 ) +
2
�lduğuna göre, x kaçtır?
8.
2x + m
=2
x +1
denkleminin kökü 2 olduğuna göre, m kaçtır?
21.GlM'll
x-1
x + -2
2x - 3
9.
9
1 3.
5 x-1
1
_1
)
(
6 X - 2 - 3(x - 2) -
14.
5
== -
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
10.
olduğuna göre, x kaçtır?
11.
3
3
2x + � == � - ( 2x - 5 )
1
olduğuna göre, x kaçtır?
15.
olduğuna göre, x kaçtır?
12.
� ( 1 ; X ) ==
X
;
1
olduğuna göre, x kaçtır?
12
5
-- + -- == -x-3 x-3 x-5
x -2
x - 1 = 2 - --
2
3
olduğuna göre, x kaçtır?
1 6_
1- X
X 2
; == : ( 3 _ / )
olduğuna göre, x kaçtır?
22.
••
YCl§�bu- dağet;��­
T�yor���:
N�daratu,- Cit,Wta,göYܧ ��Zer.
I� 'Ber�
'B t½'ükıveı� �-�.�ve, rahattw.
Küçükı � u,e,,daltnaı�veı� �­
Kofü.0,�
2+x
x -1
3- = 2
5.
E) 8
_ 3x + 2
x-3 4
olduğuna göre, x kaçtır?
8) 1 3
C) 10
0) 8
A) 2
7.
D} 14
3
2x A)-3
8.
C) - 2
8) 3
2x
3 +3
16
0) 7
E) 10
D) - 3
E)-8
0) 2
E) 3
0) 1
E) 2
=0
8) - 2
C) O
8-x
x + 1 = -2
olduğuna göre, x kaçtır?
? olduğuna göre, x kaçtır?
C) 5
C) 6
olduğuna göre, x kaçtır?
E) 15
5 (2x + 3 ) = X + 3
8) 3
8) 5
olduğuna göre, x kaçtır?
E) 6
·. • · olduğuna göre, x kaçtır?
C) 1 1
A) 2
6.
x -1 x-2
-- +
=
2
3- S
8) 9
5
=x
olduğuna göre, x kaçtır?
0} 7
14
3
x-2
i&fHih4141Mili
0) 6
E) 9
A)-6
8) - 3
C)-2
22.GlM'lı
3x - 5
-=8
9.
13.
2
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 2
1 0.
8) 5
C) 7
olduğuna göre, x kaçtır?
0) 8
3x
4
14.
olduğuna göre, x kaçtır?
8) 8
11.
A) - 4
E) 1
9x -- = 66
A) 6
C) 1 0
D) 1 5
2x - 1
3
D) 3
1 6.
5
C) .!l_
3
8
x+1
=
7
x -1
-
1
x-1
D) 1;
. E) 36
·. 5
B) - 5
A)-9
E) 4
-� = 2
8) 7
c ı .Z.3
7
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 5
8) 1:!_
3
olduğuna göre, x kaçtır?
1 2.
D) 7
3-x
x-1
-- = -2
5
A) .=§..
1 5.
8) __!1.
8
C) 6
8) - 3
olduğuna göre, x kaçtır?
E) 22
3x - 5
= 2 _ ..!_
x+1
2
A) E_
3
7
x-1 x-1
-3- = a
2-
1+3-5
C) 7
D) 10
x-2
-- - 1 = --
4
3
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 11
8) 1 0
C) B
0) 5
22.GIM'\ı
3x + 1 1
-- = 4
2x - 1
8) 2
5.
olduğuna göre, x kaçtır?
C) 3
0) 4
5x - 4
6.
olduğuna göre, x kaçtır?
C) 1
0) 2
-- - 2
2
X -1
A) - 8
E) 5
7.
C) 1 2
0) 1 6
E) 24
0) 4
E) ?
l?) - 2
E) S
0) 7
E) 13
=X
8) - 5
C) - 3
-- - 2 · (- 3 ) = - X
3
x+2
olduğuna göre, x kaçtır?
. olduğuna göre, x kaçtır?
C) 3
0) - 2
A) - 8
E) B
2 1
2 ( \- ) - X = 0
8.
olduğuna göre, x kaçtır?
8) 2
8) 6
olduğuna göre, x kaçtır?
x
3
3( ; ) = 12
8) 5
A)-12
E) 5
-- = x - 2
3
B) - 1
�-2 =�
3
4
C) 3
0) 6
E) 1 1
8) - 6
C) - 5
3
5 (4x - 1) = 9
olduğuna göre, x kaçtır?
A) - 5
8) 2
C) 4
.
2:
9.
'·.
Teft
.
.
2 ( x + 3 ) - 3 (x - 1
1
1
22.Günı
)=1
1 3.
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 4
1 0.
2
B) 1
5
C) O
0) - 5
-
A) 1
B) _§_
3
cı I.2
0) 4
E)
olduğuna göre, x kaçtır?
1 2.
8) 0
C) 3
0) 4
E) 6
8) 2
C) 3
-3
C)-1
2
O) �
3
x 2 - 4x
--- = x + 2
X -1
A) _ J_
2
1 5.
8)
a (a + 3 ) =
-5
C) 1
2
2a2 -3
2
olduğuna göre, a kaçtır?
A) ..::!_
2
16.
olduğuna göre, x kaçtır?
B)
olduğuna göre, x kaçtır?
3
6
2 + -- = 5
1+�
A) 1
3
l.
1 +�
11. 1 + � = 3
A)- 1
A) _ _!
14.
olduğuna göre, x kaçtır?
---
olduğuna göre, a kaçtır?
E) - 8
x-3 =
- 03
a+1
a+2
=
a - 2 a+3
!(
8) 2
C) 3
0) 4
3x 1
; )-4 = o
olduğuna göre, x kaçtır?
0) 4
E) S
A) - 2
B) - 1
C) _=1.
3
D)
-Z
3
ir�
=3
� - 2�
��1}
I{ .· .·• olduğuna göre, x kaçtır?
�,-::.c, .
.
·
s ı l.2
C) 2
5.
o ı .!3
t:+:, .:.
ı :;:�: • :::·: ••:�
n
3
X
-2 =
2012
X
sı .1.3
E) 3
6.
4
0) 6
2013
+1
olduğuna göre, x kaçtır?
X
X
X
- -- +- = 5
2
■JfMIN&!iiid■J
22.Günı
C) 1
E) 3
3(x - 1 ) _ =
2 0
3x - 1
olduğuna göre, x kaçtır?
E) 12
0) 2
2
A) 5
B) �
3
C)
2
3
0) 1
E) 2
=� }
4X
X
T-2
=5
7.
? olduğuna göre, x kaçtır?
< A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
olduğuna göre, x kaçtır?
8)-2
A)-2
C)-3
0) - 4
B) - 1
2
C) 2
E) S
0) 2
E) 4
1
olduğuna göre, x kaçtır?
E) - 5
0) 3
s· 2x - 4 = 10
8.
3
-1
olduğuna göre, x kaçtır?
E) 2
5 - 2x
-- - x = 5
8
x + 0, 2
x-0, 2 = -=r
A) - 4
B) - 2
C) 1
3. r<Uıt
22.GÜN\ı
...!. ( 3 - a ) - ...!.(a - 1 ) = 1
2
4
9.
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 2
B) 1
-1
3x == 1 , 5
9
1 0.
C) O
B) 3
1 +�
3 =0
1 1 . 1 - -2
C) 4
1 2.
B) 1
E) - 2
b) 5
E) 6
C) 2
0) 3
E) 4
6
2 - -- = o
1 + _g_
B) 2
B) - 4
C) - 1
olduğuna göre, b kaçtır?
C) 3
0) 4
E) 5
8) 4
A) 6
C) 2
2x - 5 1
-- + - = 2
2
X
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 1 0
1 6.
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 1
A) - 5
1 5.
olduğuna göre, x kaçtır?
A) O
0) - 1
olduğuna göre, a kaçtır?
0) 2
._. ._,
EJ$
1 4.
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 2
a
a+2
=
a+1
a-2
13.
8) 8
C) 6
0) 0
0) 5
2 ( x + 1 0)
_4 = 0
3x
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 2
B) 1
C) - 2
0) - 5
E) +
23.
� ö-nceıpaYa-� lç{Htı.t«ğlt.klar�
�a-dı,;ıı,4'ağWdarıNW�ıçlt\,panilartıtıw .
veri.rler.
83L· ·:·
İ Kİ Bİ LİNMEYENLİ V'ENKLEML'f'R
kaştan söyleyeyim. Bilinmeyen sayısının çok olması
çözüm ün daha zor olduğu anlamına gelmez kesinlikle.
Birazdan göreceksiniz. (Bakarsan ız tabii ki.©)
iki bilinmeyenli iki denklem verildiğinde bu denklemler­
�en bilinmeyenlerin değerini bulurken eşitlik özellikle­
rini kullanacaksınız.
Anlatacağım. Ama ilk önce şu soruma cevap verin
tı�kshrıı .
:örnek Soru
x=4
y=6
,,
'
'.ôlduğ una göre, x +y toplamı kaçtır?
·komik! ©
.Elbette ki 1 O. Öyle değil mi?
Peki.
Bü toplamın 1 O olduğunu bulurken ne yaptınız?
:f<Ve y yi topladı n ız. Öyle değil mi?
:(:) halde, aklınızdan çıkarmamanız gereken ilk husus
şu;
'Demek ki eşitlikler taraf tarafa (yani, alt alta) topla·�al:ıiliyorlar.
;D,evam edip şöyle sorayım.
!ô��ek Soru
'.�.:-''
;; ·•x + y =13
!l, _ x - y = 5
;�ıduğuna göre, x kaçtır?
1-:a�
[Bürada x i bulmak için yine alt alta toplasak olur mu?
iElbette olur. Deneyin isterseniz. ( isteyin ama©)
,
[�u arada size şunu da sorayım.
[Bir eşitliğin her iki yanını da sıfırdan farklı bir sayı ile
;9arpmanın veya bölmenin sizin açı nızdan bir sakıncası
\v�rmı?
[Benim açımdan yok da.©
t�rneğin,
"�(
x-3 = 5
tıenkleminde x kaç ise, bu denklemin her iki yan ının 2,
}�, - 5, . . . ile çarpılmasıyla elde edilen,
fJ,
I.
2x - 6 == 1 O
3x - 9 = 1 5
5
ilnk�::ı::i:d: :: x değeri aynı değerdir.
�Ç,özün ve görün istersen iz. ©
:t'.:'._;:z,:
it:-.
[email protected]ııııııwı ıaıııu
23. Günı
Hımm . . .
Demek ki bir eşitliğin her iki yanını aynı sayı ile
genişletebiliyoruz. (çarpabiliyoruz.)
Bu da çok önemli.
Way be!
Peki. Bunu iki ya da daha fazla bilinmeyen olunca
kullanamaz mıyız?
Elbette ki kullanabiliriz. Hem de bal gibi.©
örneğin,
X + 2y = 5
denklemini 2 ile genişletirseniz, 2x + 4y = 1 0 denkle­
mini,
- 3 ile genişletirseniz, - 3x - 6y = - 1 5 denklemini,
Eğer sadece eksi ile (aslında-1 ile) genişletirseniz,
- x - 2y = - 5 denklemini elde edersiniz.
Anlaşıld ı mı burası?
iyi de bunlar ne işe yarayacak?
Öyle değil mi?
Sabredin bakalım. Birazdan öğreneceksiniz.
Ben bir şey söylemeyeyim. Siz şu vereceğim denklem
sistemlerinde x ve y değerlerini bulmaya çalışın baka­
lım.
Kafayı çalıştırın biraz.©
Çalıştıramayacaklar için yine de ipucu vereyim. ©
Neyi bulmak istiyorsanız ötekini yok edeceksiniz.
© ©©
Bunun için yok etmek istediğiniz bilinmeyenin kat
sayıları (önlerindeki sayılar©) eşit ama ters işaretli
olması lazım ki alt alta toplayınca yok olsunlar.
Olayın temel mantığı bu.
Anladınız mı?
Neyse . . .
Ş u örnekte x alt alta toplayınca çıkıyor.
Örnek Soru
X + y = 10
x-y=4
Dededen kalma yöntemleri bırakın artık . Yani, değer
vererek x i bulmaya çalışmayın.©
Az önce dediklerimi uygulayın. Ve iki denklemi alt alta
toplayın bakal ım. Sol taraftakileri toplayınca y ler uçu­
yor. Ve 2x = 14 den x = 7 bulunuyor.
Güzel değil mi?
Peki, hadi diyelim ki x i buldunuz. Ya y yi nasıl bula­
caksınız? Hı?
2 3 . Güw
Onu da söyleyeyim. Bulduğunuz x değerini ilk veri­
len denklemlerin herhangi birinde yerine yazın ve y
yi bulun.
Dolayısıyla x i bulduktan sonra y yi bulmak kolay©
Denklemlerin herhangi birinde (En yakışıklısını se­
çin©) bulduğunuz x değerini yerine yazın ve y yi de
bulun.
Ben ilkinde yazmak istiyorum.
ilk denklemde x yerine 7 yazınca 7 + y = 1 O dan y = 3
oluyor.
Fakat bu denklem sisteminin çözüm kümesini yazmak
isterseniz şöyle ifade edeceksiniz. {(7, 3)}
(Şunda alt alta toplayınca hemen çıkmıyor. Extra işlem
gerekiyor galiba©)
x + 2y = 1 4
x - 3y = 4
Örnek Soru
Alttaki denklemi 2 ile üsttekini de 3 ile genişleti p alt
alta toplasak mı ki?
Evet. Öyle yapacaksınız.
Neyi bulmak istiyordunuz. x i mi? O halde denklemlere
öyle bir ayar çekinki alt alta topladığın ızda y ler yok
olsunlar. Bunu nasıl yapacağ ınızı biliyorsunuz. Bunun
için y !erin katsayıları eşit ama ters işaretli olacak
biçimde denklemleri genişletin.
3(x + 2y = 14)
2(x - 3y = 4)
Bu işlemi yaparken eşitliğin sağ tarafındaki sayılarla
da çarpmayı unutmayın imi?
Çarpalım.
3x + 6y = 42
2x - 6y = 8
Şimdi sağ tarafları kendi arasında sol tarafları da kendi
arasında toplayabilirsiniz.
Toplarsanız 5x = 50 den x = 10 bulursunuz.
Artık y yi bulursunuz. ilk denklemde x yerine 10 yazın­
ca 1 0 + 2y = 1 4 ten y ;:;: 2 oluyor.
Sormamıştım. Ama çözüm kümesi de {(1 0, 2)} olarak
yazılabilir.
3x + 4y = 24
Örnek Soru
X + 2y ;:;: 1 0
denklem sisteminin çözüm kümesi nedir?
Diyelim ki önce x değerini bulmak istiyoruz. O haldJ;�
yi yok etmemiz lazım. Bu iki denklemi alt alta toplayi�
ca y ler gitmiyor. Ama alttakini - 2 ile genişletip de ·c/�
zaman toplarsak?
· ";/i'
.· _,/f{
Bakalım.
Bunu düzenleyerek yazalim ve alt alta toplayalım;
3x + }1 ;:;: 24
-2x -}1 = -20
•}i
x = 4 bulunur.
Bulduğumuz bu x = 4 değerini ilk denklemde yerinı:ı\i);
yazarak,
3x + 4y = 24
3.4 + 4y ;:;: 24
4y = 24-1 2
4y = 1 2
Y=3
Bulmuş oluruz. Bu durumda çözüm kümesi de {(4, a)}
olur. Var bi problem?
Örnek Soru
2k + ; = a
k +� = b
4
olduğuna göre, k nın a ve b türünden değeri
Soru biraz değişik gibi. ©
��dif
' -'< :};j
istenen k nın değeri. Hem de a ve b türünden: Yaııijı
ile bir işimiz yok. Demek ki s leri yok etmemiz lazırn,t
Ve k yi_ de yalnız bırakmamız lazım.
- �-• - : /,:;:.
isterseniz önce paydaları eşitleyip denklemleri dü:i��
':- �'>,
:,;
leyin. (Gerek yoktu aslında©)
2k + ; = a denklemi 6k + s = 3a olarak,
k + � = b denklemi de 4k + s = 4b olarak düzenli�
4
@t;
bilir. (Sıkıntı yok di mi?)
<j]]
Sonrası kolay. Alt alta yazın ve s leri yok edecekas(�j
ları çekin. (Alttakini eksiyle çarpmak yeterli.)
·. .
: ,.:,,;,:;,
6k + s ;::; 3a
- (4k + s = 4b)
Bu durumda denklemler,
6k + s = 3a
-4k - s = - 4b biçimine gelir.
Şimdi taraf tarafa toplayın ve k =
En gıcığı bu kadar işte.©©©
f
/i&
3a 4b
yi buıuJi
;
'I
x-y=7
x + y = 15
olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır?
2x + y = 1 3
x+y=8
23. Güw
5.
olduğuna göre, (x, y) nedir?
6.
3x + y = 1 7
; �lduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
2m - n = 1 5
m + � = 10
3
olduğuna göre, n kaçtır?
2x - y = 7
3x + y = 23
olduğuna göre, x ve y değerleri kaçtır?
olduğuna göre, x.y kaçtır?
x-y = 11
2x - 3y = 5
3x-2y = -1 0
7.
6x + y = 13
x-y = 8
olduğuna göre, x.y kaçtır?
8.
x - 2y = 1
3x + y = 17
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
9.
m - n = 15
2 3 . Gwv
1 3.
a + 2b + c + 2d + e == 24
a - 2b + c - 2d + e = -8
olduğuna göre,
b + d toplamı kaçtır?
olduğuna göre, n kaçtır?
10.
2x + y = 5
3x - 2y = 1 8
1 4.
olduğuna göre, a kaçtır?
olduğuna göre, (x, y) nedir?
11.
1 2.
� _ l'.._ = 3
2
3
x - 2y = -2
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
2a + 3 b + c = 9
6 a + 9b + c = 4 1
olduğuna göre, c kaçtır?
a + 4b + 3c = 1 4
2a - 4b - 3c = 4
1 5.
.!..:.!_ + b = -1
2
.!. - b = 2
3
olduğuna göre, a kaçtır?
1 6.
3a + b = 1 7
� - 2b = -9
4
olduğuna göre, b kaçtır?
a = 3b + 2
a = Bb - 43
2 3 . Gü-tıı
5.
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
X = 2a + 3
y = a-2
2x + y = 34
olduğuna göre, b kaçtır?
6.
1sz::, :nıırınnı ıın., göre, a.b çarpımı kaçtır?
- 1 ) = 4x + 2 olmak üzere,
3a + b = 1 6
2a + 3b "' 6
olduğuna göre, b kaçtır?
göre, y-x farkı kaçtır?
b = 3a - 1 1
b = 9a + 7
3a + b = 30
2a - 3b = 9
7.
5x + 2y = 38
4x + y = 12
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
8.
2x + 3y = 1 5
x - 2y = 4
olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır?
göre, y kaçtır?
9.
5x - 1 = 2y
7x = 3y
13.
olduğuna göre, x kaçtır?
10.
3
�+k = a
�+k = b
4
11.
3X - � = 1 9
3
X + Y = 10
3x - 4y = 8
2
olduğuna göre, x kaçtır?
3x = 2y + 5
3x + y = 50
!. + 1.. = 1 0
3 2
2x - y = 20
1 5.
olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır?
� + J:'....:....!.. = 7
3
olduğuna göre, y - z farkı kaçtır?
olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır?
olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır?
12.
3x + y - z = 13
4x - y + z = 15
1 4.
olduğuna göre, k nın a ve b türünden değeri
nedir?
■ifil
[email protected]
23 . GIM'\ı
16.
a+1
+b= 8
3
a
+ 2b = 1 3
2
olduğuna göre, b kaçtır?
23. GIM'\ı
l\r
5.
olduğuna göre, b kaçtır?
3x 2y
-+- = 8
3
2
X
4
- y = -2
6.
7.
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
2a = 3b + 1 2
b - 1 8 = 2a
olduğuna göre, a-b farkı kaçtır?
a+b = 7
3a + 3b-c = 2
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
b
a -- = 4
2
olduğuna göre, 2a-b + 3 toplamı kaçtır?
olduğuna göre, x.y çarpımı kaçtır?
x+2
=
3x - 1 2
2x + y
5
y - 2x = 4
P■iiii■l&A!Piii
8.
a+
1 = b-2
-3
2
4a + 2b = 21
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
2a = 3b
olduğuna göre, b nin a türünden değeri ne­
dir?
3. ·Antv� •·•·. ·
9.
4x - 3y = 7
olduğuna göre, x in y türünden değeri nedir?
1 0.
2x + y
5
= y +1
23. Güw
1 3.
x-y
y
2x += -2
5
1 4.
a - 2b = 1
olduğuna göre, a + b toplamının b türünden
değeri nedir?
Z = 2y - 3
a = 2b + 5
b = 2c - 3
olduğuna göre, a nın c türünden değeri nedit
15.
5a - 3b + 1 0
=4
a+b+2
olduğuna göre, a nın b türünden değeri nedfi
olduğuna göre, x ile y arasındaki bağıntı ne­
dir?
1 2.
2x - 3y = 2Z
olduğuna göre, x in y türünden değeri nedir,
olduğuna göre, x in y türünden değeri nedir?
11.
iMiiiiiiiiMl&iijl
1 6.
2a - b
b+5 =
2
olduğuna göre, a nın b türünden değeri
�e�i!,�,,,-
23. GtM1ı
b +1
=3
a-4
2a + b = 1 3
5.
olduğuna göre b kaçtır?
(x + 1 )(y + 1 ) = xy + 7
y=x+2
olduğuna göre, x kaçtır?
2x - y = 2
X
+y=1
2
x + y + z = 65
olduğuna göre, x kaçtır?
X -2y = -2
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
6.
2a + 3b + c = 1 9
4a - b + 2 c = 3
olduğuna göre, b kaçtır?
7.
olduğuna göre, y kaçtır?
2x = 3y = 4z
25._ + 1.. = 3
2
3
8.
a+b+c+d+e = 5
a - b + c - d + e = -1
olduğuna göre, a + c + e toplamı kaçtır?
a + b + 3c = 5
a - b - 3c = 1
olduğuna göre, a kaçtır?
. · . \::}
·
9.
a - 2b = 1
�-b = 2
3
2 3 . Gütıı
13.
1 0.
1 4.
olduğuna göre, b kaçtır?
11.
3x = 2y + 6
2x + y = 1 8
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır?
12.
y_
_
=3
X-2
X + y = 10
olduğuna göre, x - y farkı kaçtır?
a = 5b + 2
a = 12b - 61
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
olduğuna göre, a kaçtır?
a (b + 2) - b(a + 3 ) = 5
b(a-1) - a(b - 2) = 3
WiiiW-
X = 2m + 3
y = 3m - 6
2x + y = 35
olduğuna göre, y - x farkı kaçtır?
1 5.
b = 4a - 25
b = 7a - 1 6
olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır?
1 6. 5(x - 4) = 2(x - 1 ) olmak üzere,
2x-y + 5 = 0
olduğuna göre, x + y toplamı kaçtır? .
·
Biiiiiiiifiii&iiii-
2 3 . GIM'\ı
a + 2b = 1 4
2a - b = 3
olduğuna göre, a kaçtır?
8) 4
A) 2
C) 5
0) 6
E) 8
3a - 2b = 3
a+b = 6
A) 3
8) 4
C) 5
0) 9
C) 1
A) 1
8) 2
0) 1
0) 2
E)
1..
5
2
..:- + k = b
3
olduğuna göre, k nın a ve b türünden değeri ne­
dir?
A) 2a - b
8) 4a - 3b
O) a + 2b
E) 3b - 2a
A) - 1 6
E) 4
C) 3a + b
2m + p = 4
3m - 2p = 20
8) - 1 2
C) - 6
0) 6
E) 18
0) 5
E) 7
� + E.. = 3
4 2
3a - 2b = 4
8.
C) 3
cı -=L
5
olduğuna göre, m.p çarpımı kaçtır?
5x + 3y = 36
x - 2y = 2
olduğuna göre, x kaçtır?
8) -=2..
2
..:- + k = a
7.
olduğuna göre, n kaçtır?
B) O
A) - 2
E) 1 0
7m + 3n = 38
4m - n = 1 9
A) - 2
olduğuna göre, y kaçtır?
6.
olduğuna göre, b kaçtır?
2x - 1 = 3y
3x + 2 = 2y
5.
olduğuna göre, a kaçtır?
0) 4
E) 6
A) - 5
B) - 3
C) 4
1; re,;ç .· ·
3x + 4y = 2
4x - 3y = 1 1
9.
8) 2
C) 3
olduğuna göre, y kaçtır?
A) - 6
8) -4
X
2+y
E) 5
=
C) O
0) 2
E) 5
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 1
8) 4
C) 6
0) 8
2
A) ..::]_
3
C) 1
0) - 2
B) __::§_
4
C) ı
5
O) 1
14.
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 1 0
C) 6
8) 8
0) 5
1
2 X +2
=
3' 3x - 4 2
2
x+y
=
y-x 3
olduğuna göre, y kaçtır?
A) - 6
B) - 14
a = 3b + 5
b - 1 5 = 2a
16.
olduğuna göre, b kaçtır?
8) 2
olduğuna göre, b kaçtır?
E) 9
a -2
-+b = 3
3
a
+ 2b = 7
A) 3
2
1 5.
5
2x - y = 1 0
11 .
12.
0) 4
X = 2y + 5
3x + y = 50
10.
2a - b = 3
b
3a + = 5
1 3.
olduğuna göre, x kaçtır?
A) 1
wııwMill
23.Gü+1ı
C) - 20
0) 16
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
E)-3
A) O
B) - 6
C)-1 0
0) - 1 5
2 '-1- .
il •
[;(:· . ·
�: :
2 lf . GCM'\ı
EŞİ TSİZLİKLER
Eşitsizlik; eşit olmayan şey dernek.
Öyle ya! eşit olmayan iki sayı arasında eşitsizlik
var demektir.
Gayet mantıkl ı . . .
iyi de bunu nas ıl ifade edeceğiz. Şimdiki işimiz bu.
Ve nasıl yorumlayacağımız.
Ama önce şu sembollere bir göz atalım mı?
Sembolleri şöyle izah edeyim size.
5 sayısı 3 ten büyüktür yerine 5 > 3
3 sayısı 4 ten küçüktür yerine de - 3 < 4
yazıldığını bilmeyen Can olmaması lazım diye dü­
şünüyorum. ©
Yanılmıyorum değil mi?
Tek tek ele alalım bakalım. Ne demekmiş bunlar?
. a < 4 ise a, 4 ten küçük değerleri alabilir.
(Tabjj ki bu a nın tam sayı olduğu anlamına gelmi­
yor. örneğin a ;::: 3,61 bile olabilir. Eğer a tam sayı
dememişse.)
a s 4 ise a, 4 ten küçük değerler alabilir ama 4 e
de eşit olabilir.
a > 4 ise a, 4 ten büyük değerleri alabilir.
a � 4 ise a, 4 ten büyük değerleri alabilir ama 4
· e de eşit olabilir.
Önce bunları iyice anlayın bakalım.
Anladınız mı gerisi kolay©
Yalnız a tam sayı ise işiniz daha da kolay.
Örneğin a tam sayısı için,
a > 5 ise, a yerine 6, 7, 8, . . .
a � 5 ise, a yerine 5 , 6 , 7,8, . . .
a < 5 ise a yerine 4, 3 , 2, . . .
a s 5 ise a yerine 5, 4, 3, 2 . . .
değerleri gelebilir. Ya da a bu değerleri alabilir.
incelediniz mi?
· Geçtim.©
Eşitsizlik konusunda önemli olan şu; bir eşitsizlik
nasıl çözülür? Ya da eşitsizliğin çözüm kümesini
bulmak ne demektir?
Öyle ya. Hep çözülmüş eşitsizliklerin ne anlattığı
sorulmaz.
Bunun için 13aı:Y X i takip edin bakalım Canlar!
Eşitsizlik özellikleri de tı pkı eşitlik özelliklerine ben­
ziyor. Sadece minik (ama önemli©) bir fark var o
kadar. Onu da söylerim zaten. ©
ilk önce benzer özellikleri vereyim.
• Bir eşitsizliğin her tarafına aynı sayıyı ekleyip
çıkarabilirsiniz. Sıkıntı çıkmaz.©
örneğin,
x - 3 > 5 eşitsizliğinde x i yalnız bırakmak için
eşitsizliğin iki tarafına da + 3 eklemek lazım.
Eklerseniz x - 3 + 3 > 5 + 3
x > 8 bulursunuz.
Benzer biçimde,
- 3 < x + 2 < 7 eşitsizliğinde x i yalnız bırakmak
için eşitsizliğin üç tarafına da - 2 eklemek lazım .
Her tarafa - 2 ekleyince
-3 - 2 < x+2 - 2 < 7 - 2
-5
x < 5 bulunuyor.
Burada var mı anlaşılmayan bi durum?
<
Sıkıntı yok di mi?
Hadi o zaman aşağıdaki minik örnekçiklerle pekiş­
tin bu işi .
Örnek 1
x + 5 < 9 ise x in değer aralığını bulalım.
x + 5 - 5 < 9 - 5 ten x < 4 tür. Yani, x 4 ten küçük
değerleri alabilir.
Örnek 2
x - 3 � 4 ise x in değer aralığını bulalım.
x-3+3 � 4 + 3 ten x :?: 7 dir. Yani, x 7 veya daha
· büyük değerleri alabilir.
Örnek 3
x + 7 s 9 ise x in değer aralığını bulalım.
x + 7 - 7 s 9 - 7 den x s 2 dir. Yani, x 2 ve 2 den
küçük her değeri alabilir.
24. Günı
·oemek ki eşitsizliklerde de aynen eşitliklerde oldu­
ğu gibi artı eksi durumundaki ifadeyi (sayıyı) eşitli­
ğin diğer tarafına işaret değiştirerek atabiliyorsu­
nuz.
x + 2 > 6 ise x in değer aralığını bulalım.
Örnek 4
x > 6-2 den x > 4 tür. Yani, x 4 ten büyük değer­
leri alabilir.
• Bir eşitsizliğin her tarafını pozitif bir sayı ile
çarpabiliriz ve bölebiliriz. Sı kıntı olmaz.©
örneğin, 2x >14 eşitsizliğinde x i yalnız bırakmak
için her iki taraf ı 2 ye bölmek lazım.
- > - den x > 7 bulunur
2
2
2x
14
Örnek Soru
5 < 2x - 1 < 1 3
olduğuna göre, x i n alabileceği tam sayı değer­
ler toplamı kaçtır?
Yapmanız gereken şey x i yalnız bırakmak.
Bunun için önce her tarafa+1 ekleyin. Sonra da
her tarafı 2 ye bölün.
Yani, 5 + 1 < 2x - 1 + 1< 1 3 + 1 den 6 < 2x < 1 4 ve
her taraf ı 2 ye bölünce de 3 < x < 7 olur.
Bu durumda x in alabileceği tam sayıların toplamı
da 4 + 5 + 6 = 15 tir.
Şu söyleyeceğim özelliğe çok dikkat edin.
ma ihtimali var da ... ©
YaMüi
· <>,,
': '-,::;,
• Bir eşitsizliğin her tarafını negatif bir s ayı ile},ı
çarpar ya da bölerseniz eşitsizliğin yönü cıedıf!
şir.
_. _,\??'.
işte bunda dikkatli olman ız lazım . . . Yamuınia"Jıı
sılığı olan bir yer.
Onun için isterseniz bakın! ©
-3 < 4 doğru mu bu?
Evet doğru.©
Şimdi de her iki tarafı -2 ile çarpın bakalım.
Ne oldu?
6 < -8. Peki, bu doğru mu?
. . · . . · ·•·· ,
Değil tabii ki. Olur mu öyle şey? 6 > - 8 olma[ı)bf1
_,. \�<
oysa.
işte demek istediğim şey bu!
Anlad ınız mı nedenini?
Tabii ki böyle bir işlemde (Yani, eşitsizliğin her t�
nını negatif bir sayı ile çarpma ya da bölm� iş(�{�
mindei) sayılarla işlem yapıldığında sonucun d<j�(C
ya da yanlış olduğunu görmek kolay. Amah�rfli Z:�
marfli olursa hiç de kolay olmuyor yanlışı farkei!f:;
"" ,;
mek.®. Ona göre. ©
Örnek Soru
-3x + 5 > 1 7
olduğuna göre, x in en büyük tam sayı deijeı-ı't
kaçtır?
Farklı bi şey yapmayacaksınız. x i yalnız bır�k,�:
.
- 3x+5 > 1 7 den 3x > 1 7-5 ve-3x > 1�'clifj
Burada dikkatli olun işte. x i yalnız bırakmak)�iiıi
tarafı da - 3 e bölmeniz lazım. Ama iki tarafı da ,%;
negatif sayı ile böldüğünüz için eşitsizliğin yörı�:;�
. ·. ·· · ""'"
değişecek.
,, �-;
Örnek Soru
2x - 3
-
�3
5-
olduğuna göre, x in alabileceği en küçük tam
sayı kaçtır?
Burada x i yalnız bı rakmak için önce her iki tarafı 5
ile çarpın. Gerisini yaparsınız zaten.©
Her iki tarafı 5 ile çarpınca 2x - 3 <! 15 elde edilir.
Sonrası da şöyle olacak. 2x <! 1 5 + 3 ten x <! 9 olur.
Dolayısıyla da x in en küçük tam sayı değerinin 9
olduğunu bulursunuz artık.©
�,
-3x
12
· ";�
Yani , - 3x > 1 2 den _ < .:. ve x < - 4 olur,:
3
3
f
0
(İki tarafı da eksi ile böldüğüm için > sembql Qıı_q,�
yönü değişti ve < oldu.)
'Cl
,· - -):fil
Bu durumda x in en büyük tam sayı değeri de?�0
olur.
::ii(zğ
j
24. GW'\ı
Örnek 2
a, b pozitif tam sayı olmak üzere,
X-2
X
- -> -2
-
5
Eş i:t�
2a + 3b < 20
3
olduğuna göre, a en çok kaçtır?
eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
ilk önce verilen ifadeyi payda eşitleyerek düzenle­
yin. Sonra da verdiğim özellikleri kullanarak çözün.
(b ye küçük değer verin ki a çok olsun.)
Cevap:8
Payda eşitleyip düzenlerseniz
3x - 5(x - 2)
-2
15
;;::
örnek 3
-2
�;1° ;;:: -2 ifadesini elde edin.
Şimdi x i yalnız bırakmaya çalışın bakalım.
....: 2x +10 ;,,: - 30
...,. 2x ;,,: - 30 - 1 O dan - 2x ;,,: - 40 eşitsizliğini elde
edin.
a tam sayı olmak üzere,
1 :5 2a-5 < 5
olduğuna göre, a nın alabileceği değerler top­
lamı kaçtır?
Cevap:?
fşte dikkat etmeniz gereken yer de burasi.
Eşitsizliğin her iki yanını - 2 ye bölün ve çözüm
kümesini x :5 20 olarak bulun.
.
Örnek 4
x pozitif tam sayı olmak üzere,
5 -9
x
< 1-2x
-2
eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı kaçtır?
ilk önce eşitsizliğin her iki yanını da-2 ile çarpın.
(Negatif sayıyla çarpılınca eşitsizliğin yön değiştir­
. diğini unutmayın tabii ki)
Hata yapmazsanız x > 7 bulur ve x in en küçük
· tam sayı değerinin de 8 olduğunu görürsünüz.
olduğuna göre, a en az kaçtır?
s; 3
olduğuna göre, x in alabileceği değerler topla­
mı kaçtır?
Cevap:28
Örnek 5
x tam sayı olmak üzere,
x-5
-1 < -- s; 4
a pozitif tam sayı olmak üzere,
2a + 5 > 37
2x - 5
2
Cevap: 1 7
olduğuna göre, x in alabileceği en büyük ve en
küçük tam sayı değer toplamı kaçtır?
Cevap:17
·· _____�..,,,,,.
_
. G_IM'\I
4_
--'---'------------'-------'---�---2_
• Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir.
Ama siz siz olun ve şimdilik sakın ofa ki alt alta
Çıkarmayın! Çarpmayın! Bölmeyi n!
Nedenini de Antrenmanlarla Matematik 2 de izah
ederim artık.©
Örnek Soru
x < 5 ve y < 7 ise x + y toplamının alabileceği en
büyük tam sayı değer kaçtır?
Basit ama önemli bir soru.
x + y toplamının en büyük olması için x ve y ye
alabilecekleri en büyük tam sayı değerleri mi vere­
lim?
Ne dersiniz?
Öyle yapmayın tabii ki©
işte tam da burada yanlış yapılıyor ve x ve y ye
değer veriliyor. Eğer sorunun başında x ve y nin
tam sayı olduğu verilmemişse siz de bunlara tam
sayı değer veremezsiniz. x ve y virgüllü sayılar da
olabilir.
Peki, ya ne yapacaksınız?
ilk önce sizden istenen ifadeyi yani, x + y toplamını
elde edeceksiniz. Sonra da en büyük ya da en kü­
çük tam sayı değeri neyse onu bulacaksınız.
X<5
+ Y<7
x + y <12
x + y toplamının en büyük tam sayı değeri 1 1 olu­
yormuş.© Oysa değer verseydiniz 1 0 bulup yamu­
lacaktınız©
Örnek Soru
-2 < x < 6
4<x<8
olduğuna göre, x + y toplamı hangi aralıktaki
değerleri alabilir?
x ve y nin tam sayı olduğunu vermemiş. Onun için
değer vererek çözülecek bir soru değil bu da. Ya­
pılması gereken x + y toplamını elde etmek. Onun
için de eşitsizlikleri alt alta toplayın.
-2<X<6
+ 4<y<8
2 < x + y < 14
Var mı bir problem?
Örnek Soru
x ve y tam sayı olmak üzere,
-4 < X < 5
-3 < y < 4
olduğuna göre, 2x -3y farkının en büyük değ;
··
ri kaçtır?
·
Soruda x ve y nin tam sayı olduğunu verdiğim için
bu soru daha kolay.
2x - 3y nin en büyük değerini alması için x e al.ahı
leceği en büyük değeri y ye de en küçük değ�l:'J
vermek lazım.
x = 4, y = - 2 için 2x - 3y farkı en çok 14 olur.'
Örnek Soru
2x-3y = 8
-3<x<7
olduğuna göre, y nin alabileceği en küçük_
sayı kaçtır?
?J;
t�lli
Soruda x in alabileceği değerler belli. Ama y nı[email protected]
değil. Eğer y nin alabileceği değerlerin aralığıhi oL
· •t
;
labilirseniz soruyu çözdünüz demektir.
Bunun için yapmanız gereken işlemler şöyle .
edin bakalım.©
3
8
2x - 3y = 8 eşitliğinden x = Y; dir.
��Rı
''?<- "/
··
_J§;
Bu x değerini - 3 < x < 7 eşitsizliğinde x yerinı:ı)Y�
' - " :_-c,�
zın.
.
-3 <
··. • -- ·. ·:.:::J
3y + 8 <
7
2
Daha sonra da bu eşitsizlikte tüm yeteneklerini$K
,,., ·'i:,
· ""·
kullanın ve y yi yalnız bırakın. ..
3 8
-3 < Y; < 7 ise -6 < 3y + 8 < 1 4 dir:
./?{
-'��
; ::
Buradan da - 1 4 < 3y < 6 olur. (Bence buradıftc'
nin en küçük tam sayı değerini tahmin edebmJt�)
;�-'. /;;,/:Yt:
- 4 oluyor mu? Bakın bakalım.
;ff
Son soru bira zor gibiydi. Doğru. Ama sıkıntı
nize gerek yok. Bu konuyu Antrenmanlarla
tematik 2 de daha detaylı anlattım. Anlayıncf�.W
iwj
teşekkür edersiniz gari.©
�#tf
'\f;;{t:
�d.
it>
[t .
I\:·
it ·
,�,�_·:· :
/f,':?,,,"•
1
;
�3
24. G IM\I
a, b tam sayı ve a < 8 olmak üzere, a + b = 1 9
ise b en az kaçtır?
lt&SJ;PS •
6. a ve b tam sayı olmak üzere,
- 5 < a :5.'. 6
- 2 :5.'. b < 4
olduğuna göre, a + b toplamı en az kaçtır?
x tam sayı ve x > 5 ise,
x 2 + 3 x ifadesinin değeri en az kaçtır?
7. a, b tam sayı olmak üzere,
a > 12
2a + b = 61
olduğuna göre, b en çok kaç olabilir?
x tam sayı ve -3 < x < 7 olduğuna göre, x in
· · alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
a, b tam sayıları için
2<a<9
5 < b < 13
olduğuna göre, a + b toplamı e n çok kaçtır?
. x ve y tam sayıları için,
-3<X<7
4�y<8
olduğuna göre, y - x farkı en çok kaçtır?
8. a ve b tam sayıları için,
a<b
a. b = 1 8
olduğuna göre, a kaç farklı değer alabilir?
9. a, 3 ün katı bir tam sayı ve
4 < .a s 21
olduğuna göre, a kaç farklı değer alabilir?
Çözün bakalım aşağıdaki eşitsizlikleri. (x in çözüm
aralığını bulun yani©)
1 8. 5x - 2 > 7
1 1 . - 5 < X + 2 s; 9
19. 3x +1 > x + 13
1 0. X - 3 s; 6
12. - 22 < X - 2 < 9
1 3. x + 2 > 14
14. 3 x + 2 > 2x - 1
1 5. - 1 < X + 3 < 5
16. 3x - 5 < 1 0
1 7. 4 x +6 > 22
20. 2X - 3 < 5 - X
21 . 3(x - 2) - (1 - x) < 2 - 6x
22. 5 (x - 2) :s: 3(x+2)
23.
x-3
> -2
4
3x + 2
24. -- < 4
5
Aşağıdaki eşitsizlikleri çözelim bi zahmet©
6x - 2 > 3x +1
- 2
3
6.
8 - 2(3x-1) < 2x+4
7.
x+3
-2
-3x < 1 5
8.
2 - 4x >
- 6
;_3
1-4x > 13
9. - 4 < - x < 5
2x - 5 > 4(x + 5)
10. -2 < 6 - 4x < 1 8
-3
3x + 5
1
- < -- < -'
2
4
2
:;;
-S
Eş ü:�
1 6.
1 2.
1 3.
- - -- >
--2
x-1
5
x-3
-2 < 2x < 3
olduğuna göre, y nin çözüm aralığı nedir?
1 4.
1-x
2-x -+ -< 1
1 5.
3 - -- ::; -2
4
-x
3
3x - 5
8 >2
eşitsizliğini sağlayan doğal sayıların toplan
kaçtır?
2
X + 3y = 1
3
1 7.
5 -x
- 1 < -- - x < 3
18.
2( x-3 ) - > 2
3 5
eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
2 -
x-3
S < -20. -- 2 - x 1 + 2x
- -2
3
25.
••
Y�, �� �doğrw�
�
ıl
!l
�-\
Af(e:bne:k,, veı �
0Jv �IN\I W'l.t'�.
Sc1ıiJ1.et'-
■IIWMIPI•
25. G lM'\I
__________
__________
,..;.;...:;-------'-'----'-'--.:...._:___
Doğru da . . . Ama neyse . . . ©
Canlar! Dikkatinizi çekti mi bilmem ama bakın ne
diycem size.
Aslında mutlak değerin içindeki ifade (sayı) po­
zitif ise mutlak değerin bi işe yaradığı yok. Onun
için mutlak değerin içi pozitif ise mutlak değeri
sallayın (silin) gitsin . © Hiçbir problem çıkmaz.
Siz boyu "- 1 78 cm" olan birini gördünüz mü?
Örnek vereyim©
MUTLAK DEĞER
Nedir mutlak değer?
"Hocam dışarı hep pozitif çıkıyor."
Mutlak değer muhabbetine ayrıntılı olarak girmeden
önce dinleyin bakalım.
Ya da aralarındaki uzaklık "- 15 m " olan iki kişi ©
Bunlara "hayır" dediniz diyelim. . .
Peki,
Ya kütlesi "-61 kg" olan bir Girlcan gördünüz mü?
©
Ne de olsa 20 yıllık tecrübe konuşuyor. ©
1 13 1 = 13
l ✓5 l = J5
Eğer mantığınızı peynir ekmekle yemediyseniz bu­
na da hayır demeniz lazım.
Niye ki?
Bu değerler negatif olamaz da ondan. Değil mi?
Canlar!
işte aynen öyle de mutlak değer de her zaman po­
zitif olan bir değerdir.
Mutlak değerin içi ne olursa olsun, dışarı çıkan
ifade negatif o lamaz.
Ne demek istediğimi izah edecem. Ama hele bi
sabredin.
Bir sayının mutlak değeri ne demektir?
Bir sayının mutlak değeri o sayının sayı doğrusun­
da belirttiği noktanın sıfıra (başlangıç noktasına)
olan uzaklığı demektir.
Uzaklık da negatif olamayacağına göre . . .
Neyse . . .
Mutlak değerin nasıl gösterildiğini bilmeyen var mı
aranızda?
Bilmeyenler için yine de göstereyim.©
x in mutlak değeri I x I ile gösterilir.
..
.
-4
1- 41 = 14 1 = 4
,.
• h"
o
.
�
Yani, -4 ün mutlak değeri 4 tür.
Yine aynı şekilde 4 ün de mutlak değeri de 4 tür.
Çünkü bu iki sayının da sıfıra olan uzaklığı 4 birim­
dir.
Burada bi problem var mı?
örneklerinde olduğu gibi.
Mutlak değerlerin içinde verilen sayıların hepsi de
pozitif olduğundan mutlak değerleri kaldırdım. Bir
problem de çıkmadı gördüğünüz gibi.© Kimse de
bir şey söylemedi.©
Ama bazen içerde harfli marfli şeyler verilir. Olsun o
da problem değil. Hallederiz. © Önemli olan mut­
lak değer içindeki ifadenin pozitif mi negatif m i
olduğuna karar verebilmek.
Eğer karar mekanizmalarınızda problem yoksa bu
da problem olmaması lazım. Ama en azından pozi­
tif ne demek, negatif ne demek bunu bilmek lazım.
©
Örneğin,
a > b ise I a-b 1 = a-b dir.
x > 2 ise l 2x-4 1 = 2x - 4 tür.
x < O ise, 1 - x 1 = - x tir.
Buraya takıldığınızı biliyorum. Mutlak değer eksi
çıkmazdı değil mi?
Değil değil ...
x e negatif bir değer verin bakalım.
N'ber?
Ya!
Aynı şekilde,
X�-
1 ise, 1 - X - 1 I = - X - 1 dir
25 - G ünı
Buraya kadar olan kısmı özetleyeyim.
Mutlak değerin içi pozitifse mutlak değeri kaldı­
rın ve içerdeki ifadeye hiç dokunmayın.
Dokunursanız yanarsınız. ©
Peki.
Mutlak değerin içi negatif olursa n'tceniz?
Var mı bi fikriniz?
Tek cümleyle halledivereyim bu probleminizi de.
Ne dersiniz?
Mutlak değerin içindeki ifade negatif ise mutlak
değeri eksi "-" parantezinde açın. (ki sonuç
pozitif olsun)
Anladı nız mı ne demek istediğimi?
Yani, mutlak değeri eksi parantezinde açın ama
içeriye dokunmayın yine. Eksiyi içeri dağıtırken
dokunacaksınız zaten.©
örnek vereyim.©
l -3 1 = - (- 3 ) = 3
= -( 2 _ 3
işte. ikinci kitapta daha ayrıntılı eğilirim üzerine� . ::>::
Şimdilik bu kadarını bilin yeter.
Geçiyorum.©
ilk önce bir mutlak değer içindeki ifadeyi dışarı çıkarma işini doğru dürüst halledin.
10
)
= 310 - 2
örneklerinde olduğu gibi.
Kök içindeki ifadeyi kök dışına çıkarma.
örnek üzerinde izah edeyim. ilk önce sık yapılan
yanlışları göstereyim.
W=x
,J(a + b) 2 = a + b
✓( -7)
2
= -7
gibi kök dışına çıkarmışsanız gidin aynaya bi ba� . ,_ \j;.
kın. Yamulduğunuzu daha net göreceksiniz muhtemelen.
Aha işte. ©
Bunu birkaç harfli ifadelerden oluşan örnekçiklerle
de göstereyim. Bakın hele . . .
✓<-7)
�
X < 1 ise, l x - 1 I = - (x - 1)
'-----,,--'
a + b < O ise, l a + b l = - (a + b )
�
Anladınız mı Canlar?
Her sakallının dede olmadığı muhabbetini bilme­
yen yoktur. Aynen öyle de önünde eksi "- " gör•
düğünüz her sayı negatif değildir. Bu çök önemli
/i
Kök derecesinin tek ya da çift olması kesinlikle çok{?;
-:·· iis
önemli. Bunu unutmayın. iyi de mutlak değerle ne s,[fe
alakası var derseniz. . .
Yani, kök derecesi çift ise kök içindeki ifade
kök dışına mutlak değerli çıkar.
a < b ise, l a - b l � -(a - b)
:g�
Ve mutlak değerle ilgisi yok gibi duran, ama batgi� ;Y{fl
bi de ilgisi olan en önemli hususlardan biri de şu0 ' ·{!
dur.
Bunu da özetlersek,
Mutlak değerin içindeki ifade negatif ise mutlak
değerin içine dokunmadan eksi parantezinde açın.
Korkmayın yanlış çıkmaz©
ti
)<:�j
Peki, doğrusu ne?
l -2 - x 2 I = -(-2 - x 2 ) = 2 + x 2
1 2 - 31 0 1
[email protected]#·R -�
. ::· . ->tff
örnek olarak şunlara bakın.
2
= 1 -1 1 = 1
[;2 ,,, l x l
✓<x - d = l x - yl
../(a + b) 2 = l a + b l
�(- x + 1) 4 =- l - x + 1 I
�(a - 2) 6 = j a - 2 j
Ama . . .
.?
---'"""�.;.__...::...__:..c__:..c_________________
Kök derecesi tek ise bi problem yok. Ve mutlak
değerle de ilgisi yok. izah edeyim.
f#!iifFi::fBi$Z7i3
Yani, kök derecesi tek ise içerdeki ifadeyi aynen
çıkarın.
Şunları inceleyin bakalım. Anlamazsanız izah ede­
rim yine.©
�(-7) 3 = -7
�=2
olduğuna göre, x in alabileceği değerler hangi­
leridir?
�( - x) 5 = - X
Anlaşılmayan bir yer?
Örnek Soru
a < O < b olmak üzere,
�( a - b) 3 - -.fa2 ifadesinin eşitini nedir?
Kök derecesi tek ve içerdekinin üssü ile aynı ise
içerdeki aynen çıkıyordu.
Yani, �( a - b) 3 = a - b idi.
Kök derecesi çift ise içerdeki ifade mutlak değer
�(a - b)
-.fa2 = lal
idi.
- -.la2 = a - b - l a I dır.
a da negatif olduğuna göre mutlak değeri eksi aç­
mak lazım.
Bu durumda sonuç, a - b - ( - a ) = 2a-b olur.
Anlaşıldı mı?
Mutlak Değerli Denklemler
Dinleyin bakalım.
Başlamadan önce size küçük bi soru.
Hangi sayıların mutlak değeri 5 tir?
Cevabınız 5 ve - 5 değil mi?
Bi zorluk var mı soruda?
Eee . . .
Aynı soruyu şöyle sorsam. ..
Örnek Soru
1 x 1 = 5 ise x kaç olabilir?
Ne fark etti ki?
Ya da şöyle sorsam;
Sayı doğrusunda sıfıra uzaklığı 5 birim olan sayılar
hangileridir?
Fark eder miydi?
Bu mantıkla aynı soruyu biraz değiştirip şöyle de
soramaz mıyım?
l 2x - 7 1 = 5
� (a - b) 3 = a - b
3
Mutlak değer içi ya 5 ya da - 5 olmalı ki sonuç 5 e
eşit olsun. Öyle değil mi?
Örnek Soru
'ef;1 = a
olarak çıkıyordu . Yani,
•
Mantığı aynı değil mi sizce de?
Öyle ya mutlak değerin içi ya 5 ya da-5 e eşit ol­
malı ki sonuç 5 e eşit olsun.
Yani, 2x-7 = 5 ise x = 6
2x-7 = - 5 ise x =-1 dir.
Anlaşıldı mı bu muhabbet?
Evet.
Mutlak değer pozitif bir sayıya eşit ise bu denk•
lemleri çözerken mutlak değerin içini bu sayı­
nın bir artılısına bir de eksilisine eşitliyoruz.
(gibi düşünebilirsiniz.©)
Sahi .. !
Baksanıza bi. ..
Mutlak değer negatif bi sayıya eşit olabilir mi?
H ıı .. ?
Yani, 1 x - 2 I = - 5 olabilir mi mesela?
Veya neden olamaz?
Negatif uzunluk olmaz da ondan B� X.
Aferin Can. Mutlak değer negatif bir sayıya eşit
olmaz.©
Örnek Soru
1 1 2x + 1 1 - s 1 = 2
denklemini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır?
Mutlak değerli denklem ve eşitsizlikleri çözerken
dıştan içe doğru gidin.
Şunu düşünün. Mutlak değeri 2 ye eşit olan sayılar
hangileri. 2 ve - 2 öyle değil mi?
l l 2x + 1 1 - 5 1 = 2
�
2 veya -2
���----'-��-------2_
5_
. G_IM'\I
_
· _______.,,,,,.,.
ilk önce 2 ye eşitleyin.
l 2x + 1 I - 5 = 2 den x = 3, x = - 4 bulun.
Sonra da - 2 ye eşitleyin.
l 2x + 1 I - 5 =...,. 2 den x = 1 , x = - 2 bulun.
Bu değerlerin toplamını bulursunuz artık©
Ömek Soru
1 3x - 2 I = 1 2x + 7 1
eşitliğini sağlayan x değerleri toplamı kaçtır?
İki mutlak değerin eşit olduğu denklemleri çö­
zerken birinciyi aynen açın, ikinciyi ise bir artı
bir de eksi açın.
Yani, şöyle.©
Birinciyi aynen ikinciyi artı açı nca
3x-2 = 2x + 7 den x = 9
Bi rinciyi aynen ikinciyi eksi açınca da
3x-2 = - (2x + 7) den x = - 1 dir.
Ve bu değerlerin toplamı da 8 dir.
M utlak değerli eşitsizlikler
Yine küçük birsoruyla başlayayım.
lxl< s
Bu neyi anlatıyor size?
Ya da hangi sayıların mutlak değeri 5 ten küçük­
tür? Var mı bir fikriniz?
Bunu daha net anlamak için bir sayı doğrusu çizin
ve sıfıra uzaklığı 5 birimden az olan sayıları görün
isterseniz.
-5 ile 5 arasındaki sayılar. Öyle değil mi?
O halde şöyle düşünebiliriz.
1 x 1 < 5 ise - 5 < x < 5 olur.
Peki, burada x in yerine x - 3 yazsaydım ne deği­
şirdi ki?
O zaman da I x-3 I < 5 ve - 5 < x-3 < 5 olurdu.
Sonra da x i yalnız bırakırsı n ız artık . ©
Anladınız mı bunun mantığını?
Peki, ya eşitsizlik I x 1 > 5 şeklinde olursa?
Bu durumda x hangi değerleri alabilir?
Yine sayı doğrusunda düşünün. Çizin bakalım bir
sayı doğrusu.
Çizdiniz mi?
Hangi sayıların sıfıra uzaklığı 5 birimden fazla?
-5 ten küçük ve 5 ten büyük sayıların. Ôy)e,d��l
mi?
O halde şöyle diyebiliriz.
1 x 1 > 5 ise x > 5 veya x < - 5 tir.
Şimdi de burada x yerine x - 3 yazarak aynCşti�!
yu sorun bakalım kendinize.
Cevabınız şu değil mi?
x-3 > 5 veya x-3 < - 5
Tabii ki devam edip x i yalnız bırakacaksıhı2:.·i ;;
işte mutlak değerli eşitsizliklerin mantığı böyle:
Anladınız mı bunu da? ©
Son olarak şuna bakı p geçelim.
Ö rnek Soru
3 < l 2x-9 l s 1
k�i
eşitsizliğini sağlayan tam sayıların topl�ıth
tır?
Şimdi size bunun çözüm mantığını anlats�m �kli2
.
nıza bir sürü soru takılacak . lyisi mi siz dedtğiıti'i ?
yapın ve bu tür soruları çözerken mutlak değ.afiff.i
artı bir de eksi açın ve öyle çözün.
Yani, şöyle çözün diyorum.©
Mutlak değeri önce artı açarak
3 < 2x - 9 s; 7 den 6 < x s; 8 i,
Sonra da eksi açarak
.
.. · • ·•· {
3 < - (2x - 9) :s; 7 den 1 s; x < 3 ü elde ediltvi:ılft
alabileceği tam sayıların toplamı olarak
7 + 8 + 1 + 2 = 1 8 i bulun .
Ve mutlu olun©
Birinci kitap için bu kadarı yeterli©
isterseniz şuna da bakın.
. < ;,'ft
istemiyorsanız geçebilirsiniz anlamına geliyq_r,i�.41�
Örnek Soru
1 2�; 1 [ <
5
eşitsizliğini sağlayan en büyük ve en küç��l;!
····. · :;;::,�
tam sayının toplamı kaçtır?
c�v.aiı
►�
if
�tt
25·
Aşağıdaki mutlak değerlerin içi ndeki ifadeleri
���;:�f
r
n
i
3.
2
,,.
l -4 l-l - 5 J -(-8) -J O J
işlemi ni n son ucu kaçtır?
�:: �İ !���:�ı:�:: d: J:::::e�'::���
l'. Ö d) l x + 3 1 =
■iPIHN•
Güw
4.
l - <-a>J-l- 3 l + l 5 - 2 1
işleminin son ucu kaçtır?
/ e) l3 - Jsl =
f) a > b ise, l a - b l =
x < - 1 ise, l -x - 11 =
5. a < b < O ise
J a l + J a -b l - la+bJ
l -3 1 =
ifadesin i n değeri nedir?
1 1 - ../3 1 =
l -2 - x 2 1 =
6. O < a < b < c ise,
1 a - b 1 - 1 a - 2c 1 + 1 b - 2c 1
ifadesinin değeri nedir?
1 2 - 5l + l 3 - 8 l - l-4I
(işlemi ni n son ucu kaçtır?
7.
a < b olduğUna göre,
J a-b J+a
ifadesin i n değeri nedi r?
.
·tıb'\�
A-'i---'-'• ·· . · . . . · • �
•:
· ·_·_
·. _
.;,-'-'-'-_·
____,...;
fM'lı
G_
._
5_
2_
-'-'----------.. _______•
8. a < O < b olduğuna göre,
l ab l - I b l + j a - b j
1 3. x < O olduğuna göre,
j - x l + j 5 - x l - [ 2x - 6 I
ifadesinin değeri nedir?
ifadesinin değeri nedir?
9. O < a < b olduğuna göre,
la + bl - la - bl + la + 1I
1 4. O < x < y olduğuna göre,
j x+y j+j x-y l+l x l -l Y I
ifadesinin değeri nedir?
ifadesinin değeri nedir?
1 O.
a < b < c olduğuna göre,
1 5. x < y < O olduğuna göre,
ifadesinin değeri nedir?
ifadesinin değeri nedir?
l a - b l - l b - c l+l c - a l
1 1 . x > 4 olduğuna göre,
l x - 4 I - I2 - x j
j x+y l +l x-y j +l x l+I Y I
1 6. x < O < y olduğuna göre,
l x - y l + I - x l - I-Y I + l x - 2 I
ifadesinin değeri nedir?
ifadesinin değeri nedir?
1 2. 2 < x < 3 olduğuna göre,
j x - 2 l + l x - 3j - l x + 11
ifadesinin değeri nedir?
1 7.
Hangi sayıların mutlak değeri kerııdis; ine eşr
tir?
M u:tıa:/<.ıVeğ e,v
25. Güw
l a + b-2 1 - 1 1-a l - l - b 1
l 6x + l 3x + 1 - 2x lll
5. a < b < O olmak üzere,
l x - 3 l + l 3 - 2x l + l -x l
6. a <
x < O olduğu na göre,
ifadesinin değeri nedir?
ifadesinin değeri nedir?
x < O olduğ una göre,
l a + 1 I + I 2a - 4I
1.
ifadesinin değeri nedir?
x < O olmak üzere,
l - 3x - l - 7x-l 2x j
il
ifadesinin değeri nedir?
l 2a - l b l l
ifadesinin değeri nedir?
ifadesinin değeri nedir?
- 1 < a < 2 olduğuna göre,
o < b olmak üzere,
l a- l 2b l 1 - l b + l a l 1
a < O < b olmak üzere,
ifadesinin değeri nedir?
8.
a = j ✓5 -
31 , b = l2-a1
olduğuna göre, 1 a + b - 4 I ün değeri kaçtır?
· . · · ·•· · •
•
2 5 . Ga.w
2 . A rib-1enma-tv
· �-'---------__________
_"--_"--"----'--_'-.--'-9. a < O < b olmak üzere,
l 2a - 2b l
1 0.
işleminin sonucu kaçtır?
lb+lall
ifadesinin değeri kaçtır?
Şunlara da bir el atın bakal ım.
a)
✓x2 =
11.
işleminin sonucu kaçtır?
b) (a + b) 2
✓
c) (-7) 2 =
✓
d)� =
e ) ( x - y )2
✓
g ) �( -x + 1 ) 4 =
Devam edin bakal ım.©
12. a < O < b olmak üzere,
✓a2 - V(a - b)
3
ifadesinin değeri nedir?
1 3. x < O olduğuna göre,
ifadesinin değeri nedir?
ı) �( - 7 ) 3 =
j) � =
k ) �(a - b ) 3
l ) �( - b ) 5 =
14. a < O < b olduğuna göre,
f;;2" + ✓(a - b)2
+�
ifadesinin değeri nedir?
2 5. GIM'\ı
x > O olduğuna göre,
l-5x + l - 3x + j 2x l l l
5.
j 2x - 1 1 + l 3 - x l + l -2x l
6. a < O < b olmak üzere,
j 3a - l a - b l 1
ifadesinin değeri nedir?
ifadesinin değeri nedir?
- 3 < a < 1 olduğuna göre,
j 2a + 6 l + l a - 1I
7. a < O < b olmak üzere,
j 3a - 1 b l l - l 2b + j -a 1 1
ifadesinin değeri nedir?
ifadesinin değeri nedir?
x < O olmak üzere,
j-2x-j 5x - l - x l l l
·· ·. ifadesinin değeri nedir?
1 a - b - 1 1-1 2-a 1-1 b 1
ifadesinin değeri nedir?
ifadesinin değeri nedir?
x < O olduğuna göre,
a < b < O olmak üzere,
8.
a = j 2-�j
b = l1-al
olduğuna göre, 1 a - ·b - 21 nin değeri kaçtır?
25. GIM1ı
9. a < O < b olmak üzere,
j 3a - 3b j
11.
l 2b + 2 l a l l
✓( -4 )
2
•
✓
3
+ 3 ( - 3) 2 + �( -9 )
işleminin sonucu kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
1 O. Kök içinde verdiğim şu ifadeleri kök dışına
çıkarın bakalım.
1 2.
� (-5)3
-fi3
+ [72
işleminin sonucu kaçtır?
✓
b) ( a + b ) 2 =
c ) ./( - 3 ) 2 =
d)� =
1 3.
a < O < b olmak üzere,
J(a - 2) 2 - � (b - a) 3
ifadesinin değeri nedir?
g ) �( X - 2 ) 4
h ) �( -a ) 6 =
1 4 . x < O olduğuna göre,
2& + '¾/;_f
ifadesinin değeri nedir?
j ) �(a - b )
3 =
3
k ) �( 2a - 3b )
I) � =
1 5. a < O < b olduğuna göre,
J(-a) 2 + J(2a - b) 2 + �(-b) 3
ifadesinin değeri nedir?
25. Güw
l-2x + si = 5
6.
denkleminin çözüm kümesi nedir?
denkleminin çözüm kümesi nedir?
1 2x + 3 l = 7
denkleminin çözüm kümesi nedir?
denkleminin çözüm kümesi nedir?
8.
İfadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
denkleminin çözüm kümesi nedir?
l 23x - 1 ı = 2
x+3
s.
denkleminin çözüm kümesi nedir?
l 3a - 1 a 1-1
ifadesini e n küçük yapan a değeri için
1 a - 1 1 + 5 ifadesi kaça eşittir?
denkleminin çözüm kümesi nedir?
ı sx - 7 1 = 0
1 x-3 1+2
1 0.
1 x;2 I = 2
denkleminin çözüm kümesi nedir?
11.
✓x 2° + 21 X 1 = 24
1 6.
denkleminin çözüm kümesi nedir?
denkleminin çözüm kümesi nedir?
1 2.
1
x - 2 l + j 2x - 4 1 = 1 2
1 1.
lx + 2I + I 2x + 4I = 1 5
denkleminin çözüm kümesi nedir?
1 4.
il X + 1 1 + 3 1 = 9
Şunlarda sol tarafı aynen açın. Sağ tarafı
eksi açın.
1 8.
l
l 2x - 5
1-2 1 = 7
denkleminin çözüm kümesi nedir?
1 X 1 = l 2x-10 1
denkleminin çözüm kümesi nedir?
1 9.
denkleminin çözüm kümesi nedir?
1 5.
l x+sI =1s
denklemini sağlayan x değerlerinin topla�; ' C
kaçtır?
denkleminin çözüm kümesi nedir?
1 3.
l
l 2 x-3 1 - 7 1 = 4
l 3x + 5 l = l 4 x - 7 I
denkleminin çözüm kümesi nedir? .
20.
✓
J(2x + 1 ) 2 = ( 3x - 2 )2
denkleminin çözüm kümesi nedir?
l 2x - 4 I = 3 1 x + 2 j
denkleminin çözüm kümesi nedir?
l -3x + 9 j = ı sx + 1 1
denkleminin çözüm kümesi nedir?
25. GtM'\ı
5.
eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
6.
eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?.
Bundan sonrası mutlak değerli eşitsizliklerle ilgili
antrenmanlar©
lxl>4
1.
eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
. 8.
eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
1 2x + 3 l � 7
ı
3x
;
4
1
22
eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
___·_________ı_s_.G_Ut'll
··
__�
_
_s._A_n.tlı
■f■flill
_______
9.
13.
eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
10.
ı2x·+ 3 l s 1
1 4.
15.
16.
eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
3 < 1 2x - 5 1 < 7
eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
1 2.
I 2x - 1 3 l > -1
eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
11.
l 3x - a l < -3
2 < 1 X +11 < 7
eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
26.
••
H.uk.e4,, �ı.ıdeğ(şt"ı.nneye,çalc.ş ı&ôf". Kltmeı �
.ileğ(şt'ırtJ1ey{/��Wl,o/01'".
'Battt bir � � �6ldürec.eğ lfl4 değe.rUı
b{,y· �aaı· � �ı.+'W·c:Uq· �.
SCMJ)�
■
______________________
26. GÜt'v
'--------'-___;_
USLU İfAVELE'R
Daha önce hiç aynı sayıyı birkaç defa yan yana
yazıp çarptınız mı? Çok keyifli bi şey.©
Mesela 7 yi iki defa yan yana yazıp çarparsanız
49, üç defa yazı p çarparsanız 343 bulursunuz. Pe­
ki, dört defa yazıp çarparsanız?
Ya beş, altı ya da daha fazla olursa?
işler karışıyor öyle değil mi?
işte bu tür işlemlerin (tekrarlı çarpımların) sonucu­
nun kaç olduğunu hesaplamasak bile herkesin ay­
nı şeyi anlayacağı biçimde©(üslü olarak) ifade
edebiliriz.
Peki, nedir şu üs meselesi?
Tam tamına 61 tane 7 nin çarpımını nasıl yaza­
caksınız. Gösterin bakalım maharetinizi. . .
N'ber ? © Yazmaya başlad ınız mı yoksa?
işte bu tür ameleliklerden kurtulmak için icat edil­
miş bu üs meselesi. Tabii ki başka nedenleri de
var. Lakin şimdilik boş verin.©
Yani, amcam 61 tane 7 yi çarpmamış da 7 61 de­
miş ve halletmiş bu işi. . .
Bir başkası 1 98 tane 5 i çarpmamış ve 5198 olarak
ifade etmiş bunu.
Yani, anlayacağınız işin kolayını bulmuşlar. ©
Ne tembel adamlar yaw! Adam (Adam mı tam bil­
miyorum ama teyze ise de problem değil©) çarpar
bu sayıları. Öyle değil mi?
Sizin amcalar nasıl yapıyor bu işi? Sorun bakalım.
©
Neyse Canlar!
Üs olayına biraz da teknik yönden bakalım mı?
Bir kere üsler kocaman yazılmaz. Lütfen biraz da­
ha küçük yazın üsleri.
Tamam mı? ©
• Eğer üs pozitif tam sayı ise,
Pozitif tam sayı olan üs, tabandaki sayıyı kaç defa
çarpacağınızı ifade eder.
Yani, 4 tane 3 ün çarpımı, � = 34 biçiminde,
4 tan e
'I
5 tane 3 ün çarpımı, 3.3.3.3.3 = 3 5 biçiminde,
ı
5 tane
Aynı şekilde 7 tane 3 ün çarpımı aşağıdaki gibi
gösterilir. (Bari bunu kocaman yazayım da sonra
görmedim demeyin®)
• • • • •• •
• •..- ÜS
� = 3.3.3.3.3.3.3
♦
taban
Yine benzer biçimde 6 tane 5 in çarpımını
5.5.5.5.5.5 = 5 6 biçiminde gösteriyoruz.
6
tane 5
Burayı anladınız mı?
Çünkü anlamanız gereken ilk husus burası da©
Şimdi bu olaya bir de tersten bakalım.
2 5 ifadesi 5 tane 2 nin çarpılacağ ını,
( -9 )
3
ifadesi 3 tane - 9 un çarpılacağını,
yine aynı şekilde, ( - ;
}
3
ifadesi de 3 tane - ;
ün çarpılacağ ını ifade eder. . .
Bunu d a anladınız mı?
Tabii ki üs deyince sadece pozitif tam sayı olan üs­
ler yok. Üs sıfır olabilir, negatif olabilir, hatta ras­
yonel bile olabilir. Ama sıkıntı değil.
Acele etmeyin. Hepsinden bahsedeceğim. Çok hoş
üsler var. Göreceksiniz. ©
Eğer üs sıfır ise,
En kolayı bu.
üs sıfır olunca sonuç direkt 1 e eşit oluyor. Bunu
ilk bulan amcalar öyle kabul etmişler. Onun için de
tartışmaya gerek yok.©
Ama isterseniz tartışabilirsiniz de. Siz bilirsiniz.
Ama yine de sonuç hep 1 çıkıyor.©
Üs sıfır ise hiç düşünmeyin. Çünkü sıfır �ışındaki
her sayının sıfırıncı kuvveti 1 e eşittir.
Mesela,
2° = 1
(-3)
0
=1
(- � )
°
=1
1
Hatta ( 2 3 - 5 2 + 7 8
)
0
=
1 dır .
Güzel değil mi?
işlem yapmadan hemencecik bulunuyor sonuç.
Hiç uğraşmıyorsunuz.(Keşke hepsi böyle olsay­
dı©)
Anladınız mı şimdi ne demek istediğimi?
3
işleminde sonucun
Mesela, ( 3 - 5 ) - ( � - 3
11
- 8 olduğunu hemencecik söyleyebilmek lazım. ©
)°
Peki, Negatif üs ne anlama gelir?
Var mı bi fikriniz?
Ama ben baştan söyleyeyim . Negatif üssün sayı­
nın negatif olmasıyla bir ilgisi yok. Negatif üs sa­
yıyı amuda kaldırır. Görün isterseniz.©
Bir sayının üssü - 1 mi? hemen sayıyı ters çevirin.
2-1 = ...1.
2
26. Gü,nı
Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir: · . ·
2
5 = 25
r
( � ) = 1:
23 = 8
2
�
=(
2
�
.
2
Ama diyelim ki üs -2. Bu durumda hem ters çevi­
rin. Hem de karesini alın.
( � r 2 c� r = !
( -; r r
2
=
= (-
2
(-3 r = ( �
-
�
J
2
=
= :
t
Eğer üs -3, -4,- 5, . . . olursa . . .
2-3 = -1- = J...
8
23
3
(- � )
4
=9
(-: r =(- :
(-� r
(-; r
3
r
.
= :;
2
== ;
( ;r
=-
1�5
Üslü bir sayının üssü nasıl alınır?
Çok kolay. örnekle göstereyim.
Örnek Soru
( 2 2 ) ifadesinin değeri kaçtır?
3
2
( ;r =(�r = :
-4
=�
Negatif sayıların tek kuvvetleri negatiftir. Aııı�ı,'-l''iii
unutmayın yeter. Gerisi pozitif.
( -3 ) = 32
(- ! f = (- j / = - j
1
9
= (-2) = 16
4
Anlaşıldı mı negatif üs olayı?
Üslü bir ifadenin sonucu ne zaman negatif
· çıkar?
En son söyleyeceğimi en başta söyleyeyim.
Sadece negatif sayıların tek kuvvetleri negatif•
tir. Başka da negatif çıkan yok.
Çok kolay bi soru .. Öyle değil mi?
Ama ( 2 1 2 ) nin eşiti nedir diye sorsam?
5
Bu biraz zor galiba.(Biraz mı©?)
Neyse . . . Gelin bunun mantığını izah
{2 2 )
3
ün anlamı 3 tane 2 2 nin çarpımı
değil mi?
2
Yani, 2 . 22 . 2 2 = ( 2.2 ) . ( 2.2 )( 2.2 } = 26
6 tane 2
■
2 6. GW\ı
�-------'----��----------'-------Ya da şöyle; (2 2 ) = 2 2 · 3 = 2 6 diyebilirsiniz. Mü­
3
saade ediyorum©
Way be! Demek ki üslü ifadenin üssü alınırken
üsler çarpılıyor.
Way anasına yaw! ©
Aynı şekilde.
( 25 )
6
= 2 5.6 = 230
(a- 2 r = a (-2 )(-5) = a1 0
(5 6
3
5
F
6· 3
=5 2 =5 9
9 X = ( 3 2 r = 3 2X
3
pılabilir
�
= 2 sx- 3
4.�
4
= 33 = 27 gibi işlem ya-
Üslü ifadeler ne zaman toplanabilir?
Hiçbir şey demeden şunları bakın bi. ..
x2
+x
2
+ x 2 = 3x2
3x4 + 5x4 = 8x4
3a 6 - 2a6 + 5a6
= 6a6
Bunlardan nasıl bir sonuç çıkardınız?
Hımmrn . . .
Demek ki taban ve üssü aynı olan üslü ifadeler
toplanıp çıkarılabiliyor.
Ama bir de şunlara bakın.
x 3 + x2
108 + 1 05
Örnek Soru
a4 + 1 63
toplamının eşiti nedir?
84 + 1 6 3 = ( 23
Yine bununla ilgili olarak,
4
( 81)4 = { 3 ) 4 = 3
Peki, şunlar toplanabilir mi?
riz. Üslere de bakarız artık.
Anladınız mı üslü bir ifadenin üssünü alma olayını?
2 x-1
a5 - a3
Evet. Bunları toplayıp çıkaramazsınız. Üslü ifade­
lerde toplama veya çıkarma yapabilmeniz için hem
tabanı hem de üssü aynı olmalı. Yoksa dediğim gi­
bi. Üslü ifadeler toplanıp çıkarılamazlar.
Anlaşıldı mı?
Taban ve üsler farklı. Ama tabanları aynı yapabili­
Biraz daha zoru da şu;
8 2 x-1 = ( 2 3 )
■
··.aw ,
ra ( 2 3
lunur.
r
r
+ (2 4 )
3
+ ( 24 ) olarak yazıldıktan son3
= 21 2 + 21 2 = 2 . 21 2 = 2 1 3
bu­
Üslü ifadelerle çarpma ve bölme işlemi nasıl
yapılır?
Bunun da kendine göre mantıklı bir yolu var.
Bunu da örnekle izah edeyim size.
örneğin, 3 2 • 3 4
= ( 3.3) · ( 3.3.3.3 ) = 3 6
Yine aynı mantıkla
6
tane 3
s 3 .5 5 = ( 5.5.5 ) . ( 5.5.5.5.5
) = 53 + 5
-----.-, ��-�
3 tane
5 tane
= 5 8 dir.
Bunlardan bir sonuç çıkarabildiniz mi?
H ımm . . .
Demek k i tabanı aynı olan üslü ifadeleri çarpar­
ken üsler toplanıyor.
Şunları da inceleyin. Bu kısın baya bi önemli de©
a 6 - a -2 = a 6 - 2 = a 4
2 3 x . 2 2 = 2 ax+ 2
Çoğu zaman tabanlar aynı olmayabilir. Ama genel­
likle aynı taban olacak şekilde ayarlanabilir.
2n _ 3 = 2n+ 3
n_
2
4 8=2
2
1+ x
1 _ 2x
_ x
3 9 =3 3 =3 2
ııl
" iWJ ,
Size basit bir soru;
Bir de üslü denklem muhabbeti var©
Üslü ifadelerin bölmesi de . . .
2:
2
=
.,2d;.;:·
22
= 2.2.2.2 = 2 4
3
Demek ki tabanları aynı olan iki üslü ifade eşit''
ise üsleri de eşittir.
H ımm . ..
Demek ki üslü ifadeleri bölerken üsler çıkarılı­
yor. Veya şöyle de denilebilir; paydanın üssü işa­
ret değiştirerek payın üssünün yanına geliyor;
3
5
�i
2
Örnek Soru
ifadesinin eşiti nedir?
Soruyu çözmeden önce şunu söyleyeyim. Vakti
çok olan bazı canlar bu tür soruları çözerken gidip
5
3
8 , 4 gibi üslü ifadelerin değerini bulup öyle iş­
lem yapmaya çal ışıyor. Ve çoğu zaman sadece ça­
lıştığıyla kalıyor doğal olarak.© lütfen bu kadar saf
olmayın yaw! Sınavlarda bu tür amelelikler ol�
maz.©
Ya. Ne yapın?
Bu tip sorularda tabanları aynı sayının üssü olarak
yazmaya çal ışın. Gerisi kolay.
işte.
2
A rtı k
2
19
17
2
den 2
19 -17
= 34 eşitliğindeki x değeri kaçtır?
Bunu bulamayan olmaz herhalde.©
Peki, bu mantıkla
9
3
5 2x - = 5 eşitliğindeki x i nasıl bulursunuz '?,
Tabanları aynı olduğuna ve eşit de olduklarına göl
···
re üsleri de eşit olması gerekmez mi?
x
32x
9
- = -- = 3 2x- 3
27
33
8
x
9 + 10
2 17
= 2 = 4 ü bulursunuz.
2
.
Şunları da bilmek lazım ...
işte üslü denklemlerle ilgili olarak sadece bunu bi�
lin yeter.©
örnek Soru
4
= 32 olduğuna göre, x kaçtır?
x
Yapmanız gereken eşitliğin iki yanındaki tabahıarıI
aynı yapmak, Şunu düşünün 4 ve 32 hangi sayının
kuwetleri olarak yazılabilir. (Aklınızda olsun. Ge�
nelde 2, 3, 5,7, 1 0 dan birisi olur©)
( 2 r = 2 ve 2
2
5
Anladınız mı bunu?
Yani, anlayacağınız parantezin üssü içerdekile­
rin hepsinin üssüdür aslında.
=2
5
ten 2x = 5 ve
X
=
I .·
Var mı bi problem?
Ama her zaman bu kadar basit olmaz tabii ki. Ba- :
zen bir iki ince ayara gerek olabilir. Aklınızda ol-sun.
X
· X+1
5 +2 5
Örnek Soru
= 375
olduğuna göre, x kaçtır?
Bu tür sorularda ilk önce sol tarafı düzenleyin.
Demek istediğim şu.
X
5 +2-5
x+1
x
= 5x + 2 - 5 - 5
= 5x + 1 0 - Sx
x
Toplamayı yaparsan ız 1 1 - 5 = 375 bulursunuz.
Sonrası kolay.
x
375 25
1 1 - 5 x = 375 ten 5 =
=
11
Artık 5 = 25 ten x = 2 yi bulursunuz.© . . .. . .,
Canlar, şimdilik bu kadar. Bu olayı Antrenmanl �rl�
,
Matematik ikinci kitapta daha kapsamlı izah ederi�
artık.©
Pes etmeyin. Emin olun ki bu işin üstesirideh�eıe·
.
ceksiniz. Bu tecrübeye güvenin.
x
(72f = ( 2 3 3 2 r = ( 2 3 f ( 3 2 r = 2 3 x 3 2 x
2x
26. GIM1ı
( -2 } 2 - 3 - 3 2
işleminin sonucu kaçtır?
(-2) 3 - 3 , 2 2
işleminin sonucu kaçtır?
6.
7.
(3-4) 1 3 + 1 41 _03
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
(-4)2 + 23 · (- 1)5 -(- 3)3
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
9.
53 - ( - 4 )2 - (-2) 5
işleminin sonucu kaçtır?
6 2 - 3 4 - (-3) 2
1 0.
- (- 6 )2 + ( - 9 )0
işleminin sonucu kaçtır?
O
O
(-5) + 52 - (-8) + 1
9
işleminin sonucu kaçtır?
··..
.A-'-'
---'· 1-'-'
.
· _______•
6 . GUfllı
. · .-'-'-'-'-'-'-'-'-------2
• >-'-'
-'-'
·•··-'-'
-____
.
.
·
. ·
.
: .
" . ...�
t'ltıii
_
. -'-'
.
-'-'
-'-'
-'-'
-'-'
-'--'
11.
(1 + 2 + 57 - 87) + 5
0
işleminin sonucu kaçtır?
1 2.
1 6.
işleminin sonucu kaçtıı:?
1 7.
işleminin sonucu kaçtır?
1 3.
5 1 + (-7 ) 1 + (-8 ) 0 + 3
1
a.
işleminin sonucu kaçtır?
°
14. (s - 2 , ¾J : (s - ¾r
92 + 72 - 82 - 62
22 -32 + 42 + 12
işleminin sonucu kaçtır?
3
4
2
1 + 0 - 33 + 2
işleminin sonucu kaçtır?
19.
92 _72
52 _ 32
(-3) 2
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
1
•· •i2'Ji:� ��·•·\i:
2 - 3 - 5(-2)
2
2
26. Gwıı
2
işleminin sonucu kaçtır?
5(-2) + 3{-2)
3
4
işleminin sonucu kaçtır?
2 - 4 ( -3 2 + 2
5
3
t
6.
4
işleminin sonucu kaçtır?
7.
8.
+ 53
7 ( - 1 ) 61 + 3 ( - 33 )
3
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
28 - 73
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
2
43 - 7 - ( - 6 )
9
6
4
5 -2 -3 +2
il-iMii ■
işleminin sonucu kaçtır?
10.
(-7)2 + 1 2 2 - 1 1 2
işleminin sonucu kaçtır?
26. Gü+ıi
11.
2
(-11) - 1 0 2 - 3 3
işleminin sonucu kaçtır?
12.
3 · (-2) - 2 - (-3 )
3
2
16. 7 tane 12 nin çarpımının üslü olarak yazılış ı
nedir?
17
.
1 8.
1 9.
işleminin sonucu kaçtır?
+
[ 2 - ( 1 - ; ) ]\ �; 1
işleminin sonucu kaçtır?
r - ( -3)
3
(-2) 2 + 5
( -3 )
3
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
15.
t
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
1 3.
(
( - 3 ) 2 + ( -4 ) 2
33 - 2
işleminin sonucu kaçtır?
20.
( -1 2) 2 + (-5) 2
2
3 2 + (-2)
işleminin sonucu kaçtır?
26. Gütıı
4
{- 2) + 2x = (-3 ) 2 + (- 1) 3
olduğuna göre, x kaçtır?
işleminin sonucu nedir?
işleminin sonucu nedir? ·. · ·
işleminin sonucu nedir?
r2 _ 3 -1 - 1 2
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu nedir?
3 _+ 1 -3
_
2 -1
işleminin sonucu kaçtır?
a - r 3 + 1 s - r4
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu nedir?
1 0.
23
( 5 - -)
5
-2
4
-5
.. (-)
-1
işleminin sonucu nedir?
.A
3_
vı.b1·�
-2 6_._G_ünı
_______j.." .s,1,w ,
· • · · .• i · •· ·· ·· ·
�
_· ._
. ��-�=�. ����----'--,-- 2
11.
2(
3
J
-2 + r
1
.3
1 6.
işleminin sonucu nedir?
1 2.
°
(2 + � ] + 2 2
. r1
işleminin sonucu nedir?
13. (
2
1 7.
(1 6)2 - 8 3
ifadesinin değeri kaçtır?
1
1
(81)4 + (25)2
ifadesinin değeri kaçtır?
o
J . 5 -1 . 2 s + 4 o
2 + 3 -5
işleminin sonucu kaçtır?
1 4.
-1
1
4 .4.4.4
4 + 4 +4+4
ifadesinin değeri kaçtır?
1 9.
-3
2
ifadesinin değeri kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
20.
ifadesinin değeri kaçtır?
(:)
[(- :rf
ifadesinin değeri kaçtır?
•
s.s.�______
· ·i ·
4 A· ·
Iili
/:;:..:..:.::�
=·==
· · ··=
,
: .c.:..
· ·· .:s.
H§■F&i•
26
G_
a.+ııı
·_
__
______
2x3 - x3
işleminin sonucu nedir?
1 7p 3 - s [P
6.
¾]
15
2
lşlemlnln sonucu nedir?
4a3 _ '2a3 + 5a2
7.
işleminin sonucu nedir?
3x7 - 6x7 - 4x7
işleminin sonucu nedir?
8.
işleminin sonucu nedir?
2 2
(2ax)2 - 3a .x
3
7 (a 2 ) - 4 a 6 - a 5
işleminin sonucu nedir?
2
(3x) + (4x)2
lşlemlnln sonucu nedir?
5.
2
3
a ( a 2 ) - 2 ( a 3 ) + ( - a -1
işleminin sonucu nedir?
işleminin sonucu nedir?
r6
1 0.
3 (2a 2
)3 - 1 5a
6
işleminin sonucu nedir?
3
1 1 . s(x -
f2
26" G�
4
- x6 - 2 x
1 6.
1 3.
X
5
· X
6 ( X 2 )4
•
-
işleminin sonucu nedir?
g 7 . 2 7 8 . 3 -35
1 7_
1 a.
5 4 x + 3 . 2 5 )4 - 2 x
(
işleminin sonucu kaçtır?
72 .
7 4-2x
.
7 2x
-5
4 5 . 2 7 . a- 4
( 1 a rt
.
işleminin sonucu kaçtır?
1 9.
( 21 7
t.(
2
85 r
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
1 5.
+J
işleminin sonucu nedir?
işleminin sonucu kaçtır?
1 4 . 4 x-3 . 2 5+x . a 1 - x
) 3 . ( 2 -1 f
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu nedir?
1 2.
(2 X
llı@i&Mii 1
20.
9
2 · 3 7 . 27 -2
işleminin sonucu nedir?
2 7.
••
Sevmekı bi'.ri,n.eı 'bC(ğ� değil,;
13i(Uk:m,pı�vwyöne- �IK.
A. SOIM'lt 'E�ery
�ha6,ıra.nı�aı1cume,�ranı�
1(�"4-
•·• · . ·•5, A n.ttı
· �
i. . · · .. •·-"
>""'""
'., .
GÜN\ı
________.,,., .
�· "'""_-'--'---'--'---'-_-'-'"'--'-- ""'"""'--'-----------2-7_,_
_
olduğuna göre, 3ıx+1 in k türünden değeri ne•
dir?
işleminin sonucu nedir?
2.
işleminin sonucu nedir?
6. 3 x = a olduğuna göre, 9 x+1 in a türünden de­
ğeri nedir?
7.
' 3. 4 41 in 8 katı kaçtır?
2x =3
olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerin değerini
hesaplayınız: lü[email protected]
a) 2 ><+1 =
c) 2 x+2 + 3.2 x =
işleminin sonucu nedir?
2 x+2 + 3
e} --- =
4x - 2 2
_____J.,a,ıııa
· . -"-·.-'-_
s-'-. A_ntVı
�
_
�·-"-"'---------2-7_...,...,G-üw
______
· · -'._
. =
--,--._
· ··
5x = 3
olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerin değerini
hesaplarsın artık©
8.
olduğuna göre, 1 80 x in a, b, c türünden dE
nedir?
a) 5 x + 1 + 25 x =
b) 5 2x+1 =
c ) 2 - 5 x - 2 - 25 x =
1 2.
5 x + 2 = 2 x+5
olduğuna göre, 3 x + 2 kaçtır?
d) 1 0 - s 2x - 1 =
9.
olduğuna göre, 72 x in a ve b türünden değeri
nedir?
1 0.
3
(- 3) + 3 2
3
(- 2 ) + (- 1) 7
işleminin sonucu kaçtır?
1 3.
1 4.
(23-)" = 8x
2
olduğuna göre, n kaçtır?
(
�
bn + m
)
m.n
.
(
�
an-m
ifadesinin değeri kaçtır?
J
m.n
i(
{6,fAnt>-�
[
23x - 1 0
2
3x-5
·J
2 7. GIM'\ı
43
5.
işleminin sonucu nedir?
8
84x -7
1 63x
işleminin sonucu nedir?
3
4 6 - 2 -2 - ( - 1 6 )
86
işleminin sonucu nedir?
( 64 )
6.
7.
2 9 + 2 10
27 +28
işleminin sonucu kaçtır?
5 1 0 + 5 20
5 5 + 5 15
işleminin sonucu kaçtır?
5n+ 2 + 5 "
5n-1
ifadesinin eşiti kaçtır?
5
( 32 ) 7
işleminin sonucu nedir? • . •
8.
ifadesinin eşiti kaçtır?
ı-
---'---'-"-'---'--'---'------"-------------------------'
2 7. GIM1ı
9.
2 -12 + 2 -22+ 2 - 32
1 3.
2 x - 3 = 32
olduğuna göre, x kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
1 0.
2 x + 2 x+1 + 2x+2
2x-1 + 2x -2 + 2 x -3
1 4.
3X = 2
olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerin değerlerini
hesaplayınız.
a) 3 x-1
= 0, 008
olduğuna göre, x kaçtır?
ifadesinin değeri kaçtır?
11,
5 2x - 5
1 5.
5 - 2H 1 + 6 - 2 X
=4
olduğuna göre, x kaçtır?
=
b) 9 x-2 =
c) 27 x-1
=
d) 1a . 3 x - 3 + 3 x -1
=
olduğuna göre, n kaçtır?
12. 5 X = 2
olduğuna göre, aşağıdaki ifadelerin değerini
bulunuz.
1 7.
b ) 5 1 -2x + 5 - x =
2x-1
3 3 =-
27
olduğuna göre, x kaçtır?
-- ,iü, ,
ıl
2 7.Günı
3x + 3x+1
= 36
olduğuna göre, x kaçtır?
(
0,1 8 )4 - 5 = 27x+2
0,02
x
olduğuna göre, x kaçtır?
.•
olduğuna göre, 2 2x-y+3 ifadesinin değeri kaç­
tır?
3 ,2 x-2 + 5 x
= .!.2 x + 25
4
olduğuna göre, x kaçtır?
6. 2125 in yarısı kaçtır?
7. 888 in : ü kaçtır?
8.
9Y = 2
olduğuna göre, x. y çarpımı kaçtır?
31 2 . 3 -2
95
lşlemlnln sonucu nedir?
_..,ıı■, ıı
·�
· ._
· · _··_
-�. ._
··· �
7_
.G_IM\l
_. _
_
·7;---:-A---,-·ntYı
______
· · . ��---------,-2_
· ·
.
9.
[
85
46
J
1
32
13.
------- = 64
1 4.
3m + 3m + 3m + 3m
4 3x+1
--- = 8
2 5x-3
15.
2 x + 2 x+1 + 2 x + 2 ::: 1 1 2
olduğuna göre, x kaçtır?
"" g 2x-7
4 3x+3
2 x = -- - 28
8 2x-1
32 . 2 3x+1
= 0 , 1 25
4 2X-5
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
1 2.
x-5
olduğuna göre, x kaçtır? ·. ·
olduğuna göre, m kaçtır?
11 .
0, 054
)
0,002
olduğuna göre, x kaçtır?
işleminin sonucu nedir?
1 0.
(
1 6.
2 x-10 + 2 x -10 = 4 x +1
olduğuna göre, x kaçtır?
28.
••
Ttıı0delerıı.kıo/UWkınıvetvd.eğ� · �
�elcUUğı.dtr.
ı[email protected]ınerı
2_
. G_
8_
_______
IM'\l
--"---�---'-------"-'---------
KÖKLÜ. iFAVELE'R
Öğrenci milleti içinde bu konudan korkan çok.
Ama üslü ifade probleminizi adam gibi hallettiyse­
niz emin olun bunu da yapacaksınız.
Neden? Biliyor musunuz?
Çünkü üslü ifadeler için geçerli olan özelliklerin
hepsi köklü ifadeler için de aynen geçerlidir.
Bunu ayrıntılı olarak daha sonra izah edecem.
Ama önce bazı sayıların karelerinin ne olduğunu
hatırlayın bakalım bi.
0 =O
2
3 =9
2
6 2 =36
9 2 = 81
1 2 2 = 1 44
1 5 2 =225
1 8 2 =324
1
=1
2
4 =1 6
2
7 2 =49
22 = 4
52 = 25
8 2 = 64
10 = 1 00
1 1 2 = 1 21
19 2 = 361
20 2 = 400
2
1 3 2 = 1 69
1 6 2 = 256
1 4 2 = 1 96
17 2 = 289
Bir kere bunlarda probleminiz olmamalı. Ok. ©
Sonra gelelim esas olaya.©
✓4
ne demektir? Biliyor musunuz?
Ya da karesi 4 olan sayı kaçtır?
Bunu bilmeyen yoktur.
Peki. .. Bu mantıkla aşağıdaki kareköklerin değerini
görün bakalım.
-Jo = 0
.jg = 3
✓36
.Js-ı
=6
=9
✓1 44 = 1 2
✓ 225 = 1 5
✓ 324 = 1 8
1
✓ =1
✓16 = 4
-✓49 = 7
✓100 = 1 0
� = 13
✓256 = 1 6
./361 = 1 9
J4 = 2
.J25 = 5
./64 = 8
.fı2'ı = 1 1
✓196 = 14
✓289 = 1 7
✓400 = 20
Kafan ız da bir şeyler canlandı mı şimdi?©
1/3 = ✓3
karekök (kök) 3 diye okunur.
� küp kök 5 diye okunur.
if6 yedinci dereceden kök 6,
Vı2 dördüncü dereceden kök 12, . . .
H a ü s h a kök n e fark eder ki desem n e dersiniz?
Şimdi durun ve dikkatle dinleyin bakalım.©
Az önce üslü ifadeler için geçerli olan özellikler
köklü ifadeler için de geçerlidir demiştim. Niye? Bi­
liyor musunuz?
Şimdi bunu açıklayayım.
Çünkü her köklü ifade üslü olarak yazılabiliyor.
Way bee! .. ©
Üs kesirli olursa bu .köklü ifade demektir.
Yani, kök derecesini içerdeki sayının üssünün
altına bölüm olarak yazıyorsunuz. Ok.©
a)
b)
,/2 = 22'
3
'{ii° = � = 3 5
2
c ) W4" = 23
d) 4_J 1 25 =
s¾
Bu olaya bi de tersten bakın isterseniz.
Üs kesirli ise bunu köklü ifade olarak yazabilirsiniz.
Bu da aklınız da olsun. Unutmayın©
b) 4 3 = (4
c) 3 2 = .fi
d) 4 3 = � = �
Köklü ifadelerde en önemli hususlardan biri kök
içindeki sayıyı dışarı çıkarabilmektir.
Bir kere içerdeki sayının dışarı çıkabilmesi için kök
içindeki sayının üssü ile kök derecesi aynı olmalı.
Bu bir.
Ve kök içindeki sayıların da çarpım durumunda
olması lazım. Bu da iki
Kök İçindeki Sayıyı Kök Dışına Çıkarma
Bunun akademikçesi şöyle:©
28.Gü.f\ı
a > O olmak üzere, ��ri' . � "t � '. 'i.rıi dir.
Yani, kök içinde çarpım halinde olan sayılardan,
üssü kök derecesi ile aynı olanlar kök dışına
çarpım olarak çıkarılabilir. ( Gerekiyorsa tabii
ki.©)
Örnek vereyim.
a)
b)
W
=3
5½' = 3 ✓5
2
c) m = l6½ = 6 ✓
d) ../75 = � = 5 "3°
e) .Jfao" = -ıfs-s2 = 6 ../5
f ) �2 3 - 7 3 · 1 1 = 1 4 - fü
g)
efJ5 = �3 4 - 3 = 3�
Ama şu dediğime çlikkat edin. Yoksa yamulursunuz
waııa.©
Kök içindeki ifade çarpım halinde değilse dışarı
çıkaramazsınız. Boşuna yormayın kendinizi©
Şunları bakın hele. Nasıl ç ıkarılmışlar.
a) ,J2sx - 2 5 = .J2 5 ( x - 1 ) = 5 �
c)
d)
.Ja
2
+ b 2 = çıkmaz
.Jx 2 - y 2
= çık maz
Peki, size şöyle bir soru.
Kök içindeki sayı dışarı negatif çıkabilir mi?
Bazen çıkar, bazen çıkmaz©
Bu nasıl oluyor derseniz eğer. Diyeceğim o ki.
Kök derecesi çift ise ıçerdeki sayı hiçbir şekilde
dışarı negatif çıkarılamaz, dışarı çıkan sayı da•
ima pozitif olarak çıkar. Amma kök derecesi tek
ise dışarı çıkan sayı , içercleki s�yının işaretiyle
aynı işaretli olur.
Biliyorum. Siz sayısal örnekçik istiyorsunuz.
Alın size sayısal örnekçik.©
a) � = 3
b)
✓(-5)
=J-5J=5
2
c) �j:- 27
= �(- 3) 3
d ) 1( - 8 ) 3 = - 8
= -3
e) � = 7
f) �(a - b)
g)
✓(- 7)
3
2
= a-b
+ �(-5)
3
= 7 + (- 5) = 2
Kök Dışındaki Sayı Kök İçine Nasıl Girer'?
Elini kolunu sallayarak giremediği kesin de.
Bakacağız artık.©
Aslında şu kadarını bilseniz bile yeter. Dışarı çık- . .•
madan önceki hali nasılsa öyle girer. Yani, çıkrrıal/ \f
•
· ·
\�
dan önceki haline dönerek girer.
Anladınız mı?
�: ���!:� W.��!ib,�;
Kök dışında çarpım halinde olan sayı içeri ği� J(¾
rerken kök derecesini üs olarak alıp öyle gir�r?{i
(Yani, şapkayı takıp öyle giriyor.)
a)
2./3 = � = ✓'l2
b) 3 ✓ = � = ../45
5
c) 6../2 = � = m
d ) 2'ffe; = �2 3 - 5
=�
e) 5� = �5 3 - 3 = "#375
Peki, bir tam sayıyı köklü olarak yazabilir misiJizZ�,ı
✓2 mi daha büyüktü ? /;k
Ya da şöyle sorayım. 5
Yoksa 7 mi?
Merak edersiniz şimdi.©
7 = ff = -J49
ve 5 ✓2 = 5 2.2 = Jso dir.
.J
r,
28.Günı
Köklü ifadeler nasıl toplanır?
5./2 + 3 -./2 - 6 -./2 = (5 + 3 - 6 ) -./2 = 2./2
2✓3 + 7✓3 - 4 ✓3 = (2 + 7 - 4 ) ✓3 = 5 ✓3
Sadece benzer köklü ifadeleri (Yani, kök derecesi
ve kök içi aynı olan ifadeleri) toplayıp çıkarabilirsi­
niz.
Kök içi aynı değilse toplayamazsınız.
Herhalde kök içlerini toplamadığımıza dikkat et­
mişsinizdir.
Demek ki kök içi ve kök derecesi aynı değjlse
kesinlikle toplama ve çıkarma yapılamıyor.
Onun için zorlamanıza gerek yok. ©
Ona göre. ©
Gerçi özel yeteneklere sahip pek çok Can da yok
değil.© Ama onlar zaten özel ve özellikli.
Toplayın bakalı m şunları.©
.J2 + ,J3
Köklü İfadelerde Çarpma - Bölme
Köklü ifadelerin tek çatı altında çarpılabilmesi için
kök derecelerinin aynı olması lazım.
Çarpma veya bölmede kök içindeki sayıları
çarpın (bölmeyse bölün tabii ki©) kök derece­
sini değiştirmeyin.
Sayısal örneklerle göstereyim.
✓3 . .ff = ..fj":ı = ./6
(-isf = Js - Js =5
.Ja . .Ja =(✓a)
2
=a
Dışardakiler kendi arasında içerdekiler de kendi
arasında çarpılır.
2 ./5 . 3,.ff = 2 -3Js-7 = 6 -/35
2
.r; -5
N' ber? © Bunlar toplanmaz. Öyle değil mi?
Ama kök içi aynı olabilen şu ifade toplanabilir.
2
( 2-/3 } = 2 ( -/3 ) 2 = 4 - 3 = 12
2
(5-/2") = 25 - 2 =50
.Jz(./5 -.Jz)= ✓"D
✓
3
Örnek Soru
(.fi - 1) = 3 - ✓
Köklü ifadelerde toplama çıkarma sorularında ya­
pacağınız ilk iş kök içindeki sayıları dışarı çıkar­
mak. Sonrada toplayıp çıkarmak.
Bu soruda dediğimi yaparsanız
✓12 - 3 (v'48 - 2 m° ) = 2 ✓3 - 3 (4./3 - 2 . 3 ✓3)
2 ✓3 - 3 (-2-./3) = 2 ✓3 + 6 ✓3 = 8 ✓ bulÜrsunuz.
3
Parantez karenin en ilkel açılımı şöyle
(3 + -/2 ) = ( 3 + .ff ) ( 3+ .ff )
2
işleminin sonucu nedir?
-2
= 9 + 3 -/2 + 3 .ff + 2
= 1 1 + 6 .ff
örneğin şu soruda hepsini aynı kök içine alalım
bakalım. Ne çıkıyor?
3
Yukarıdaki örnekte kök içleri farklıydı belki. Ama
aynı yapılabildiği için toplayıp çıkarabildik©
H ı mmm . . .
Demek ki kök içleri aynı olması lazım ki topla­
ma ve çıkarma yapılabilsin.
Örnek Soru
işleminin sonucu kaçtır?
Kök dereceleri aynı ve arada çarpma bölme var. O
halde ne duruyorsunuz ki.© Hepsini aynı kök için­
de yazın bi zahmet. Ve gerekli sadeleştirmeleri de
yapın bakalım ne çıkıyor?
� = -125 = 5 çıkıyormuş.
v�
,,,,,rı
�_::_______;_-----'---'------'--------28
_._
G_
Üfll
______••
özetlersek; Eşlenik iki ifade çarpıtınca kök mök
kalmaz ortalıkta.©
Örnek Soru
işleminin sonucu kaçtır?
iki kareköklü sayı çarpılacak. Tek bi karekök içine
al ıp çarpın bakalım.
,)(1 - ./13)( 1 + ./13)
içerideki çarpmayı bildiğiniz gibi yapın ve
../36 = 6 yı bulun gari©
Paydayı Rasyonel Yapma
Basit ama çok önemli bir kısım. Sınavlarda çok
sormuşlar bunu. Onun için önemli.©
Aklınızda olsun. Köklü ifadelerde paydada kök bı­
rakılmaz genellikle. Bunun için küçük bir operas­
yon yapılır ve (paydayı rasyonel yapmak için) ge­
nellikle pay ve payda, paydanın eşleniği ile geniş­
letilir. (Eşlenikten kasıt; paydayı kökten kurtaran
ifadedir.)
Hep böyle mi yapılır?
Değil tabii ki.
Sorusuna göre değişir. Ama genellikle deyip geçe­
lim şimdilik© Siz de fazla karıştırmayın bence.
ikinci kitaba da bi şeyler kalsın.©
Ama başlamadan önce şu işlemleri inceleyin baka­
lım bir sonuca varabilecek misiniz.
Varmanız gerekiyor da onun için diyorum.©
ilki şu:
✓2 · ✓2 = 2
../s - ../s = 5
✓a ✓a = a dır.
.
ikincisi de şu:
(./3 + 1)(./3 - 1) = (✓ ) - 1 2 = 3 - 1 = 2
3 2
J3 ✓2 J3 + ✓2 =
) (
(
)(
./3)2 - (✓2)
2
=3-2 =1
(3 - ./3)(3 + ✓ ) = 3 2 - ( ./3) = 9 - 3 = 6
3
(Jf -.fi)(Jf + ✓3 ) = (J7)
Evet...
2
2
- ( 5) = 7 - 3 = 4
2
Bunları daha genel biçimde ifade edeyim. Dedikle­
rime kulak verin bi.
✓a ile
✓a yı çarpınca ve.
✓a + ./b ite de ✓a ./b yi çarpınca kök mök
kalmıyor.
O halde bunlar birbirinin eşleniğidir demenizde bi
sakınca yok.
-
·
Örnek Soru
.fa - -2- farkı kaçtır?
✓2
Paydayı kökten kurtarın önce.
2
Ja - -- = 2✓2 - i"f! = 2✓2 - ✓ = ✓2
..fi.
�
(✓2)
Var mı bi zorluğu?
Bir de şuna bakın.
Örnek Soru
1
✓ - ✓2
3
2
2
..fi.'
işleminin sonucu nedir?
Şimdi gidip payda eşitleyen saflar çıkabilir.© •
Onlar da dinlesin. Unutmayın ki her doğruyu her
yerde yapmak doğru değildir.
.·• .. . ... .
işin doğrusu paydaları eşlenikleriyle çarpmak vf .
devam etmek. Yani şöyle©
3
2..✓2
1
_2_ =
✓ + ✓2
✓3 - ✓2 ✓2 (
2 (
2 -�
J3) - ✓2 )
(./3+ ✓2) (✓2)
Bu işlemden de sonuç ../3 çıkıyor.
Olay bu kısaca.
Ondalık Sayılar Kök Dışına Nasıl Çıkarılır?
Kök içindeki ondalık kesirler daha çok rasyonel ha
le getirilerek kök dışına çıkarılırlar.
Örnek Soru
0,04 sayısının karekökü kaçtır?
,Jo. 04 =
4 = �
✓ 1 00
= .1... = 0.
v100 10
Anladınız mı bunu?
Örnek Soru
�0,027 nin eşiti nedir?
�
33
27
=�
= � = 0, 3
1 000
10
103
Bunda bir problem var mı?
2
, • 1. . iAmv� ·.
-.;.;:..' .
• ·•·•· İlk önce aşağıdaki ifadelerin eşitini yazın sonra
·
/ da antrenmanları yapın bakalım.
=
2
=
o2
32
1
=
42
2
=
52 =
72 =
92 =
10 2
122 =
13 2 =
15 2
182
=
16 2
=
2
a2
=
112
=
5.
=
✓36 - -./121 + ../169
işleminin sonucu kaçtır?
✓256 - ./8'1 + 2 3
işleminin sonucu kaçtır?
14 2 =
=
17 2 =
6.
20 2 =
Jo =
✓1 =
../4 =
Jg =
✓16 =
✓'25 =
✓36 =
J4g =
✓64 =
./8'1 =
✓100 =
..fİ21 =
✓144 =
✓169 =
Jffi6 =
✓225 =
✓256
=
-has =
=
✓361
✓324
4.
52 =
192 =
=
28. Gü.rıı
=
✓400
7.
=
8.
✓1 00 - ✓144 -./196
işleminin sonucu kaçtır?
✓25 .
./49 - .Ja-ı
işleminin sonucu kaçtır?
✓36 -✓0 + .Jf+a
işleminin sonucu kaçtır?
Bu antrenmandaki sayıların hepsi karekök dışına
tam çıkıyor. Ona göre©
4
J1+✓ - J9
işleminin sonucu kaçtır?
9.
işleminin sonucu kaçtır?
1 0.
.J1 6 + 9 - .J 1 69 - 25
işleminin sonucu kaçtır?
✓✓256 - 2-J.Ja-ı
işleminin sonucu kaçtır?
11.
1 2.
✓1 44
- -Jrn + -164
işleminin sonucu kaçtır?
28. Gütııı
1 7.
13-../16
1+J ../16
işleminin sonucu kaçtır?
1 4. ( ✓25
+
✓9 ) .✓64
işleminin sonucu kaçtır?
1 5.
1 6.
✓9.(Ja-ı - ✓4 )
işleminin sonucu kaçtır?
✓36 + -Jrn + -/49
.f81 - ✓9
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
1 3.
✓121 -.fffi.✓9
19.
20.
21 .
22.
✓4 + 21 .4 - 7
işleminin sonucu kaçtır?
✓2.so - 2.b. 1 2
işleminin sonucu kaçtır?
4
✓ - 4,/9 -
3
-./16
işleminin sonucu kaçtır?
✓5
2
✓
- 32 - 1 32 - 1 22
işleminin sonucu kaçtır?
Kök dışına çıkan ifadelerle antrenmanlara .devam
lütfen©
28 .GIM'\ı
._/3 2 + ( -4 ) 2 + 5 ✓4
7.
işleminin sonucu kaçtır?
J1 1 + Es
işleminin sonucu kaçtır?
+ J3 0 + ffe°
işleminin sonucu kaçtır?
,)3
✓
24 -
✓77 - ..J169
8.
işleminin sonucu kaçtır?
9
·
işleminin sonucu kaçtır?
1 0.
9
11.
- (- 3 )2 -
✓2.2
işleminin sonucu kaçtır?
[-F + [f - J+.
✓4
-[-f
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
✓16
ff-Ff
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
✓1 + .J6 + ✓
9
../22 - 2 ✓
{4_ \Jw
�
\Js
12.
ITT
işleminin sonucu kaçtır?
1 3.
CM - /9
\J � ... 25 \J 4
19.
işleminin sonucu kaçtır?
14.
r:-T
� ı 16
( -2)3 +
✓( -9)2
işleminin sonucu kaçtır?
20.
16.
17.
1 8.
-/0,09
ifadesini değeri kaçtır?
.j0,64
ifadesinin değeri kaçtır?
-)1, 1 + 0,1 1
işleminin sonucu kaçtır?
✓25
-
-Jf« + ..Jo:is
işleminin sonucu kaçtır?
1 - jo,og
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
1 5.
✓1,56 + ..,/o.16"
21.
22.
23.
✓1 + ✓64 - ✓1 - 0, 64
işleminin sonucu kaçtır?
✓(-1 3)
2
- 2�
işleminin sonucu kaçtır?
✓( -9 )
2
+ �(-3 ) 5
- (-2) 2
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
2 8_.G
_
""""·rıbı
__
�
_·_·._____________
_u.nı
_
· ________.,,,,,,, •
3· · ._A
-'-�·
'efs4 - 5� işleminin sonucu kaçtır?
1.
✓3 2x+y
5. ---,:==- = 9
�27 x-2
olduğuna göre, y değeri kaçtır?
� 24 3 + lfa.� işleminin sonucu kaçtır?
2.
6.
3 2.$ işleminin sonucu kaçtır?
7.
53.lf5 işleminin sonucu kaçtır?
8.
a)o/7 . lfi .
Biliyorsunuz ki her köklü ifade üslü olarak yazılabilir.
Tabii ki her üslü ifade de köklü olarak©
a)lf.ı =
b)
c)
-1
2
"efi.2 = 23
ııa:f =
✓7 =
d) � =
e)�2 x+1 =
f)23 = 'ifi
.ff işleminin sonucu kaçtır?
· 2
g) 5 3 =
. Kök içindeki sayıyı kök dışına çıkarma muhabbetine
göz atıp devam edin lütfen©
-1
h) 3
2 =
ı)./3.W =
3.
f!s
c ) V2 3.s =
işleminin sonucu nedir?
e ) �x n .y =
4. �a
x+2
=
rs
olduğuna göre, x kaçtır?
h ) "J._/3 5 _2 4 =
. .
·· ,.... �
. : . . : . ·. i . . ·
3.·. • M,ı ,.•A. I,\,
.
28. GlM'lı
-ı-.
·
9. Aşağıdaki ifadelerin eşitini yazın bakalım.(Yani,
kök içinden dışarı çıkarın.)
Ja =
M=
✓18 =
./2o =
✓2A =
✓-28 =
✓32
=
✓40
=
./44 =
.J45 =
✓48 =
✓50 =
✓52
=
✓60 =
✓72
=
✓75 =
.JBo =
✓88
✓99
✓108 =
✓120 =
.[fi;i =
.Jın =
.fiso =
✓200 =
✓ 300
✓ 450 =
lfiA =
�=
{/ 1 60 =
�1 62 =
� -40 =
�1 28 =
1 O. Aşağıdaki toplama çıkarma işlemlerini yapınız
lütfen©
a) m - m =
✓32 + 3../so - ✓18
✓'20 + ../45 + .Jao
işleminin sonucu kaçtır?
1 2.
✓18 - ( 2 ✓
8
- Jso)
işleminin sonucu kaçtır?
1 3.
6,J2.Ö - 2✓45
- .Jao
işleminin sonucu kaçtır?
14.
3./48 - 5✓12
işleminin sonucu kaçtır?
1 5.
8
J200 - 5✓
işleminin sonucu kaçtır?
b) 2.J45 + .fzo =
c)
11.
=
J15o =
=
Toplama çıkarma yapmaya devam edin bakalım.
=
✓96 =
../128 =
Aşağıdaki işlemlerde kalem oynamaz.
Niye ki?
=
29.
••
'B�bir �eUn.de,w �y��a,çauş �
�w �,� �ç6k,� deguuaı,-.
.
.. .
.. . . . .
:
·.
�- : :. .
..
.
. · ôlifW\ı�����c,Y, � �
•
·
· · · ·. . .·
• � � � �-
· ·
.· .·
·
·.
.G_ürı.ı
·. _
· --'--__
-'-_,_�
_vı.tYı
4._A
•· --'------"-----------2_·_
9_
_________,..
Köklü ifadelerde toplama çıkarmada probleminiz kal­
masın bakim©
Antrenmanlara devam edin lütfen.
1 . 22 +
1
1
+ ( 1 50)2
işleminin sonucu kaçtır?
/54 + ✓216 . 1 . •
r;::- r;::;-;;- ış emının sonucu kaçtır?
-.ı o + v 24
işleminin sonucu kaçtır?
5.
✓63 + ✓112 - ✓28
işleminin sonucu kaçtır?
.fıs işleminin sonucu kaçtır?
2. ( 24 )2
3•
6.
145 + Jrn - .fio
işleminin sonucu kaçtır?
7.
s.
.J32 + ✓98 - ✓200
işleminin sonucu kaçtır?
J1so - J12s
işleminin sonucu kaçtır?
9. � +
1 O.
+ Jaci
✓�
✓ ��
işleminin sonucu kaçtır?
+ ./40 işleminin sonucu kaçtır?
•
11 .
./99" -
✓�
4 işleminin sonucu kaçtır?
Ondalık kesirleri kök d ışına çıkarabilmeniz lazım. ©
12. ,J0, 06 + ,J0,96 işleminin sonucu kaçtır?
· 16.
N + J9.8
Köklü ifadeleri nasıl çarpıyorduk.
Hatırladınız mı? Bi göz atıp devam edin©
a )✓2.✓2 =
5
b )✓5 . ✓ =
c)
13 .
işleminin sonucu kaçtır?
J3,2 + $,2
✓a ✓a =
.
d)
.JO, 02 + -JO, 08 işleminin sonucu kaçtır?
Ji.2 = 2
✓2.J3 = .ff.3 = ✓6
e)
✓14 ..J2 =
f)
-../45 = ✓ 45
g)
=
.Jso
✓5
15
✓-15
=
✓3
h ) 2✓3.7 ✓ = 2.7./3.5 = 14m
14.
işleminin sonucı.ı kaçtır?
5
ı)5 ✓2 .6.J3 =
k ) x ✓a .y./b =
15 .
.jo,os + Jo.f2 . işleminin sonucu kaçtır?
Jo,sa - .J0, 02
17.
✓2.✓ .✓ işleminin sonucu kaçtır?
3
5
'-'-=;_A'-.
'.s
I-
2_
��------9 ._G_IM1ı
_
· ______
.
· · . .•• .
·
.
l"ib':
e-ııı..ma.nı
. ·
·,
· · •
· ·
.
·
_
·
·
·
·
·
.
_
_
"--'
_;;_
--"
-"_;;_
..:..
·
·
·
Köklü ifadelerin çarpı mı ve bölümü acayip önemli.
Ona göre.©
1.
.ffi
../3o
.Jso
işleminin sonucu kaçtır?
7. ( 2 - ✓3 ) ( 2 + ✓3 ) .✓5
!şleminin sonucu kaçtır?
2
( ✓3 + ✓ ) . ( ✓3 - ✓2 )
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
4.
( 3 - ✓5 ) . ( ✓5 - 1 ) + 8
işleminin sonucu kaçtır?
2 . ( .fn - ./32 ) .J4o işleminin soriucu kaçtır?
3.
s.
( ✓2.4 - ✓3 ). ( ✓6 + ✓3 )
9. ( 3 -
✓5 )
2
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
5.
( ✓2 + 1 ) . ( ✓2 + 2 )
işleminin sonucu kaçtır?
10.
( 3 + 2 ✓2 l - 1 2 ✓2
işleminin sonucu kaçtır?
s. · A� ·
•·.
11.
.
..
.
( ✓3 +
2 9. Güw
✓ ) 2 . ( .Je - 1 )
2
işleminin sonucu kaçtır?
.
1 7. �-� işleminin sonucu kaçtır? ·
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
1 3.
1 4.
..[fi ( J2o + ..[1so)
✓60 -✓-15
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
✓✓3
-1. ✓ +1
.J
3
işleminin sonucu kaçtır?
1 5.
'if4.'if2 işleminin sonucu kaçtır?
1 6.
.lfs.m iş·ıeminin sonucu kaçtır?
20.
işleminin sonucu kaçtır?
Paydada ki kökü yok edin bakalım_.
4_ işleminin sonucu kaçtır?
21 . _
-./2
6 - işleminin sonucu kaçtır?
22. _
3
✓
29.GÜNlı
Paydayı rasyonel yapma olayı çok önemli. Pay­
dadaki köke gıcıklığınız olmalı.© Bu antrenman
sadece bu gıctklıkla ilgili. Bilginize . . .
·. 1 .
5.
✓3 _ _3_
✓3
işleminin sonucu kaçtır?
✓3 - 1
işleminin sonucu kaçtır?
2.
✓3 - ✓2
6.
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
3.
3 - 2./2
7.
2
2
--- + ----,,,=---
3 +1
✓3 - 1 ✓
işleminin sonucu kaçtır?
3 + ✓5
3 - ../s
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
4.
✓5 _ _4_
✓2
8.
6
5 - 2✓
1
6
5 + 2✓
1
---=- + ---==-
işleminin sonucu kaçtır?
29.GÜNlı
9,
6
6
--- + ---=-
4 - 2✓3
4 + 2✓
3
1 3.
işleminin sonucu kaçtır?
10.
3
3
7 + 4✓
3
7 - 4✓
işleminin sonucu kaçtır?
14.
işleminin sonucu kaçtır?
11.
15.
2
1
✓2
✓
3 + ✓2
-- + �=---
işleminin sonucu kaçtır?
2
3+✓
5
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
12.
2
3 - ✓5
4
5 - 2✓6
6
5 + 2✓
işleminin sonucu kaçtır?
1 6.
✓2 + 1
✓2 - 1
işleminin sonucu kaçtır?
it it
Ar-katuı�eı�Wmes y(n(,f,OLı�m,ıe;ctaşe,-,
Tagoreı
'8(K m.cMttıd{ğet" JtU(.ffl,(,,(ıtutıcş�Lftğı.ndaın.,bu­
ş� ��
iii.f#foihit!Biiibi
4x - 1 2 = 4(x - 3)
ÇARPANLARA AYIRMA
Ayı p olmasa matematiğin en önemli konusu diye­
ceğim. Ama diğer konulara ayıp olur diye demiyo­
rum.© Çarpanlara ayırma olayını iyi öğrenirseniz
çok hoş olacak.©
Nerede ve ne işimize yarayacak diye düşünmeyin.
Elbette ilerde ev hanımı ya da manav filan olmayı
düşünenlere lazım olmayacak. Daha doğrusu gün­
lük yaşamda pek lazım olmayacak. Ama iyi bir
meslek sahibi olmak için gireceğiniz sınavlarda la­
zım olacağı kesin. Ona göre Canlar©
Bu konuda tercih sizin demiyorum. Zira biliyorum ki
size bıraktığım tercihlerin çoğunda tercihiniz işi sal­
lamak oluyor. © Bunu sallamayın bakıyim.©
Çünkü sallan ı p bir çırpıda silebileceğiniz bir konu
değil bu.
Zaten çok da detaylı ve zor bir şey değil. Tabii bi­
rinci kitapta bahsedeceğim kısmı.© Yoksa manyak
bi konu. Ne yalan söyleyeyim.©
Burada
Ortak paranteze alma,
Üç terimli bir ifadeyi çarpanlara ayırma,
Tam kare ifadelerden bahsedecem.
İki kare farkı ve
Hepsi bu kadarcık. Çok mu ki?
Ortak Çarpan Parantezine Alma
Çok yerde işinize yarayacak. Emin olun. Şimdi dik­
katle dinleyin bakal ım.
2(x + y) = 2x + 2y idi.
Bunu yapamayacak olan yoktur aranızda?
Şimdiki olayımız bu işlemin tersi. Yani açılıp saçıl­
mış olan ifadeyi ortak çarpan parantezine .alma.
2x + 2y = 2(x + y ) dir. Öyle değil mi?
Veya 4x + 2y - 6 = 2(2x + y - 3) tür.
Aynı şekilde 5xy - 1 0yz = 5y(x-2z) dir.
Hımm . . !
Demek ki ortak paranteze alma işi açılıp saçıl­
mış olan parantezi eski haline getirmek gibi bir
ôrnekçikler üzerinde göstereyim.
şey©
2a 2 - a = a(2a -1)
2x + 4x = 2 x ( 1 + 2x)
2
3
2
a 2 b + ab 2 = ab(a + b)
5x 2 y 3 - 20 x 3 y 2 = 5x 2 y 2 ( y - 4x) tir.
Anla,d ınız mı?
Ha! Bu arada yaptığınız işlemin (Yani, ortak paran­
teze alma işleminin ) doğru mu yoksa yanl ış mı ol­
duğunu nasıl anlayacaksınız?
Bu da çok kolay ki.©
Yaptığınız işlemde parantezi açın ve bakın bakalım
ki ilk ifadenin aynısı çı kıyor mu? Eğer aynı çıkı­
yorsa aferin. Doğru yapmışsınız demek ki. Ama
aynı çıkmıyorsa bir şey dememe gerek var mı?
Yamulmuşsunuz demektir. © Geçmiş olsun.©
Ortak paranteze alacağınız zaman ilk önce her te­
rimin kat sayılarına bakın. Sonra da harflere.
1 5a 2 b - 1 O ab 2
=
1 5 .a.a.b - 1 O .a.b .b
=
5ab(3a - 2 b )
Mesela üstte katsayılar 1 5 ve 1 O ve ikisi de 5 i n ka­
tı olduğu için ortak çarpanın kat sayısı 5 olacak.
Harfleri de açık olarak yazdım. Görün diye.
Bir de şuna bakın.
x 2 + 3x = xfü + [email protected] = x( x + 3) ( İkisinde de ortak
olan x olduğu için x parantezine aldım. )
Şunları da inceleyin ,
x 3 - 2x 2
Örnek 1
Örnek 2
- 8x
= x ( x2
-
2x - 8 )
3x 2 - 7 5 = 3 ( x 2 - 2s )
2ab - 4 a = 2a ( b - 2 )
Örnek 3
2x 2 (a - 2b ) - y (a - 2b ) = ( a - 2b ) ( 2x 2 - y )
Örnek 4
._______,
._______,
orlak
5a 3 b - 20ab 3
örnek 5
ortak
=
ortak çarp.
5ab(a 2 -4b 2 )
2a 3 b 2 + 3 a 2 b 4 = a 2 b 2 (2a + 3 b 2 )
Örnek 6
M+ii-hhihii,IHl!ii&I
Scmı Güw
9a + 1 8ab + 9ab = 9a(1 + 2b + b
Örnek 7
4
2
4
2
)
Şimdi anlad ınız mı ortak çarpan parantezine alma
işleminin nasıl yapıld ığını?
Gerçi çok da detaya girmedim. Ama geçiyorum©
ilk önce şu söyleyeceklerimi yapın bakalım.
(x + a)(x + b) çarpımının sonucunu bulun. Ve sonra
da bundan bir sonuç çıkarmaya çalışın bakalım .
Üç Terimli İfadeyi Çarpanlara Ayırma
(x +a)( x + b) = x 2 +ax + bx + ab
= x + (a + b ) x +ab
2
Aynı şekilde şunları da inceleyin.
= X 2 + ( 3 + 4 ) x + 3.4
= X2 + 7X + 1 2
( x + 5 ) ( x - 2 ) = x 2 + 5x - 2x + 5. ( -2 )
= x2 + ( 5 - 2 ) x - 1 0
= x 2 + 3x - 1 0
( x + ? ) ( x + ? ) = x + ( ? + ? )x +
2
'-----v---'
Örnek 1
-
-
x2 +5 X + 4 = ( X + 4 ) (X + 1)
4+1
4.1
Örnek 2
x2 - 2 - x - 1 5
........,_.
'--.--'
( - 5 )+ 3 { - 5 ).3
Örnek 3
= ( x - 5 )( x + 3 )
x2 + 4x - 21 = (x - 3 )(x + 7 )
20
= (x - 4 )(x +
5)
Mesela şu üç terimli ifade karma karışık verilmiş.
2x-15+x2
Bu ifadeyi çarpanlarına ayıracaksan ız önce düzen� /
lemeniz lazım. (Gerçi benim gibi tecrübeliyseniz ·
gerek yok da©)
2 x - 1 5 + x 2 = x 2 + 2x - 1 5 olarak yazın ve bunu
da (x + 5)(x - 3) olarak çarpanlarına ayırın.
a) x 2 + 1 0 x + 2 1 = ( x + 3 )( x + 7 )
b) x 2 + x - 1 2 = ( x + 4 ) ( x - 3 )
c) x 2 - x - 2 = ( x - 2 )(x + 1 )
d) x 2 + 3x + 2 = ( x + 1)(x + 2 )
?•?
-
çarpımla rı
? yerlerine gelecek sayıların çarpımları en sondaki
sayıyı, toplamları da ortadaki sayıyı verecek. (Ama
üç terimli ifadeyi en başta x kare, en sonda da sayı
olacak biçimce yazmanız lazım. Yoksa uğraşır du­
rursunuz walla©)
Örnek vermeye devam edeyim.
toplamları
x2 + x -
Aşağıdaki örnekçiklerde eşitliklerin sol tarafını kas<
patıp da öyle yapın bakalım. Aynı şeyleri bulabile'" .
cek misiniz©?
( x + 3 ) ( x + 4 ) = x 2 + 4x + 3x + 3 .4
Bir şey dikkatinizi çekti mi?
Çekmiş olması lazım. Ama... ©
Örnek 4
e) x 2
-
S x - 1 4 = ( x - 7 ){ x + 2 )
f ) x 2 + 2 x - 8 = ( x + 4 )(x - 2 )
Çarpanlara ayırmadaki en önemli özdeşliklerden . .. ·
biri. Ve çok faydalı© Onun için çok iyi öğrenin bu­
nu.
İki kare farkı
Hiçbir şey sormadan şu soruyu çözün bakal ım. • •
1 01 2 - 99 2 işleminin sonucu kaçtır?
400 buldunuz değil mi?
Amele gibi uğraşıp dededen kalma yöntemlerle
1 0 1 ve 99 un karelerini alarak çözen canlar için
daha pırt. bir yol.
isterseniz siz de dinleyin baklalım.©
1 0 1 2 - 9 9 2 = ( 1 0 1 - 9 9 ) ( 1 0 1 + 9 9 ) = 40 0 dür,
Canınız isterse başka sayılar için de deneyebHirsk
niz. Ben 25 yıldır yapıyorum. Hep doğru çıkıyor.©
Tecrübeye güvenin.
Yani, şöyle bir şey bu iki kare farkı
i;;��,wtıı't�h�)(�'-f�)" dir.
iki terimli bir ifadede arada eksi varsa aklınıza
gelmesi gereken ilk özdeşlik iki kare farkı olması
lazı m.
Bunu sayısal örneklere uygulayabileceğiniz gibi
harfli marfli şeylere de uygulayabilirsiniz.
Kimse bi şey diyemez size. Kim tutar sizi.©
Örnekleri inceleyin bakalı m .
Bazen çok nettir iki kare farki. Hemencecik görüle­
bilir.
37 2 - 1 7 2 = (37 - 1 7 )(37 + 1 7 ) = 20.54 = 1 080
a 2 - 5 2 = (a - 5 )(a + 5)
2
2
( a + b) - 2 = (a + b + 2)(a + b - 2)
a 2 - ( 2 b ) 2 = (a - 2b )(a + 2b)
Ama bazen küçük ayarlamalara gerek olabilir.
9a 2
-
25 = (3a ) 2 - 5 2 = (3a - 5 )(3a + 5 )
9a 2 - 4b 2 = ( 3 a ) 2 - ( 2 b ) 2 = (3a - 2b)(3a + 2 b )
9 - 4a 2 = (3 - 2a) ( 3 + 2a)
2
2 5 _ x = ( s - ; ) ( 5+ ; )
4
2
4 X - 1 = (2 X ) -1 = ( 2 X - 1 )( 2 X + 1)
a 2 b 2 - 4 c 2 = (a b - 2c)(ab + 2c)
Ortak parantez işi varsa önce bunu halledin sonra
iki kare farkına bakın .
3a 2 - 1 2b 2 = 4(a 2 -4b 2 ) = 3(a -2b) ( a + 2b)
ab 3 - a 3 b = ab(a 2 - b 2 ) = ab(a-b) (a + b)
5x 3 - 1 25 x = 5x(x 2 - 25 ) = 5x( x-5) ( x + 5)
..fia 2 -9..fib 2 = ..fi(a + 3b)(a -3b)
Anlaşıldı m ı ne demek istediğim? (Gerçi anlaşıl­
madı derseniz de yapabileceğim bir şey yok bura­
da. Kesin çözüm için 1 ayl ı k Antrenmanlarla Ma­
tematik kampına gelirsiniz artık©)
Tam kare ifadeler
Yine önce bir soru©
Bir şeyin karesi ne demektir?
Yan yana iki defa yazıp çarpılması demek değil
mi?
O halde şunu inceleyin bakalım bi.
ifuii+Jiihiiı►i4iiihi
t}+
tj)/
< S��(8/�)(ı:+
. · •·· .•.·. / tj)�
f+ iib i. �6 lh2 ·
>< / ? '•li f 2�b tt.2•·•··•· > ,.•
Bunu her seferinde bu şekilde yapmaktansa şöyle
ezberleyebilirsiniz bunu,
a artı b nin karesi eşittir. " birincinin karesi artı
birinciyle ikincinin çarpımının iki katı artı ikin­
cinin karesi. "©
Okuyun bakıyim.
Bi daha
Bi daha . . .
Ezberlersiniz artık©
Önemli de onun için diyorum. ©
Ama bazı saf canlar uyanık. işin kolayını bulmuş­
lar. Sakın ha! Siz şu hataya düşmeyin. Saf canlar
( a + b ) = a 2 + b 2 (DEĞİLDİR!)
2
olarak yazıyor ve her seferinde yamulmuş olmala­
rına rağmen akıllanmıyorlar.0©
Yok böyle bir şey. Kaç defa söyliycem.©
Yani, o mantığa göre,
(2 + 3)
2
= 22 + 3 2
52 = 4 + 9
25 = 1 3
Olması lazım. Öyle mi? Ne alaka . Güldürmeyin
beni yaw!©
Önce doğru dürüst açmayı becerin bakal ım şu tam
kare ifadeleri.© .
Aha size çözümlü örnekler. Buyrun bakalım.©
(x + 1 ) 2 = x 2 + 2 - x - 1 + 1 2 = x 2 + 2 x + 1
Unutmayın. Birincinin karesi artı (arası eksiye eksi
olacak tabii ki) birinciyle ikincinin çarpımının 2 katı
artı ikincinin karesi.
Mesela şunda birinci terim x, ikincisi 3 . Buna göre
yapınca.
( x + 3 ) 2 = x 2 + 6x + 9
:(���5?\jK�:f:i�t>fb?'
(2a + 3) 2 = 4a 2 + 1 2a + 9
(4-a)2 = 1 6 -8a+a2
(a 2 - 2) = a 4 - 4a 2 + 4
2
2
(3k + p) = 9k 2 + 6kp + p 2
(x + 2) = x + 4 x + 4
2
2
4
2
2
1
1
( x - J..) = X - 2 · X · J_ + -2- = x 2 + -- - 2
x
x
x
x2
2
Anlattığ ım özdeşliklerle ilgili birkaç uygulama gös­
terip bitireyim bu işi. Artık gerisi size kalıyor.©
Gerçi antrenmanlarda bu çözeceğim örneklerin
benzerini yazmıycam ama sıkıntı etmeyin. İkinci ki­
tapta bunlardan epeyce var zaten.
Örnek Soru
a - J.. = 5
a
olduğuna göre, a 2
++
kaçtır?
a
Her kitapta rastlayabileceğiniz çok klasik bir soru.
a _ J_ = 5 eşitliğinde her iki yan ı n karesi alınarak
a
çözülür.
Eşitliğin her iki tarafının karesini alın bakalım.
1 - = 25 ve buradan
= 5 2 den, a 2 - 2 + (a - J..)
a
a2
2
1
= 27 bulunur.
da a 2 + -a2
Örnek Soru
9x +4•3x + 4 = 1 2 1
olduğuna göre, x kaçtır?
Bu soruda açık hali verilen bir tam kare ifade var.
Bunu görmek laz ı m . Ama " Nasıl görecem?" diyor­
sanız size diyeceğim o ki bunlarla biraz daha fazla
meşgul olun bu sıkıntıyı da aşarsınız. Emin olun.
Çarpanlara ayırmaya daha önce hiç bakmazken ve
yapabileceğini düşünmezken bu işte üstat olan bir
sürü Can tanıyorum .
g x +4 -3 x + 4 = 1 2 1
(3 x + 2) = 1 1 2
2
olduğundan 3 x + 2 = 1 1 den x = 2 olur.
Zor mu ki?©
Tam kare ile ilgili başka bi soru daha çözeyim.
a+b=6
a.b = 7
Ö rnek Soru
E4h·bdi&&i4901
olduğuna göre, a 2 + b 2 toplamı kaçtır?
istenen a 2 + b 2 olduğuna göre bir şeylerin karesi
alınacak. Bu kesin.
Dolayısıyla a + b = 6 eşitliğinde her iki tarafm ka�
resini alın baklahm.
(a + b) = 36
2
a 2 + 2ab+b 2 = 36
Zaten a.b = 7 verilmiş. Bu değeri de yerine yazdi�
ğınızda iş bitiyor.
a 2 + 2 • 7 + b 2 = 36 dan a 2 + b 2 = 22 bulunuyor.
Çözdüğüm bu sorular çok zor değil ve klasik olan"
ları . Zaten ilerde göreceksiniz beli başlı soru türlea
rinin mantığını iyi anladığınızda konu acayip kolay
taşacak.
Örnek Soru
x 2 -y 2 = 4 1
x-y = 1
olduğuna göre, x kaçtır?
Çözmeye başlamadan şunu söyleyeyim. Bu tür sc
rularda bilinmeyenlere rastgele değerler vererek
deneme usulü çözümler amelelikten başka bi şey
değil. Oysa iki kare farkını bilenler için çok kolay b
soru.
x 2 - y 2 = ( x - y ) ( x + y) = 41 olarak yazınca zaten
x + y nin kaç olduğu ortaya çıkıyor.
x � y = 1 olduğuna göre, x + y = 41 dir.
Gerisi iki bilinmeyenli denklem çözümü.
x + y = 41
x-y = 1
bu denklem sisteminden x = 21 olduğunu bulursu­
nuz herhalde.
Daha fazla uzatm ıyorum. Burada bitircem. Ama,
tekrardan söyleyeyim. " Matematikte zekadan ,
önce sabır gelir."
. .· .
Unutmayın. Bu derse adam gibi çalışıp da başa­
ramayan yok. Ama sabırsız olduğu için başarısız
olan çok.
ilk antrenman ortak çarpan parantezine almayla il­
gili.
Aşağıdaki ifadeleri ortak çarpan arantezine alın bi
p
zahmet.© Hadi bakalım kolay gelsin©
1. 2a 2 +3a
2. 3x 2 - 6x
3. 4a 2 -ab
8. 3a 2 b + 1 2ab 2
9. x 2 + 3xy
1 0. x 3 + x 2
-
2x
11. 2 ( x + y ) - a ( x + y )
1 2. 3x 2 - 27
5. 2a 3 + a 2
6. a 2 + 4a
7. 3a - 1 2
13. 2abc - ab
14. 3x 2 - 6x + 9
P♦IH,iibib►Hiiliii
iiıii+JiiM&!iliil
1 6. ax 2 y - a xy 2
1 7. 2 a 3 + 3a 2 + 2a
24. 2a(b - c)-3(b - c)
1 8. 2 9 - 1 0 1 - 26 - 1 0 1
26. 1 1 1 · 234 - 1 1 1 · 1 1 4 - 1 1 O - 1 2 0
3
3
20. 5✓ - 2 ✓ + ✓3
27. 5 x 3 + 2x 3 - 7 x 2
28. 2 1 · 22 · 23 - 22 · 23 · 24 + 3 · 22 · 20
2
22. 5x 3 + 2x 2 - ( 3x - 2 ) x
2
2
29. ax ( x - y ) - bx ( x - y )
Bu antrenman üç terimli ifadelerin çarpanlarına ay­
rılmasıyla ilgili. . .
Aşağıdaki ü ç terimli ifadeleri çarpanlarına ayırın bi
zahmet. Belki ilerde faydası olur.©
8. x 2 + 4x - 1 2
1. x 2 + 2 x - 1 5
9. x 2 + 7 x + 6
2. x 2 i- 3 x - 1 8
1 0. a 2 + 1 2a + 35
3. x 2 + 9x + 1 4
1 1 . x 2 - 1 5 x + 36
4.
X
2
+X-2
12. a 2 - 3a - 70
5. x 2 - 3x - 4
6. x 2 + 6x - 7
7. x 2 - 8x + 1 5
1 3. x2 + 1 4 x + 40
1 4. x 2 + 2 - 24
x
Fi1!H1ilihi,i;hiiii,E
1 5. x 2 - 5x - 3 6
2 2 . a 2 - 35a + 150
2
1 6. x + 1 6x + 15
23. x 2 + 24x + 80
1 7. x 2 + 9x + 20
24. x 2 + 1 7 x + 60
1 8. x 2 + x - 20
25. x 2 - 15x + 44
1 9. x2 + 3 x - 4 0
26. x 2 + 6x - 40
20. x 2 + 7 x - 1 8
27. x 2 + 2x - 48
21 . x 2 - S x - 50
28. x 2 - 6x - 16
ifıii+Jlih½iiiliıl·.• ·
Bu antrenmanda iki kare farkı ve tam kare ifadeler var.
Aşağıdaki antrenmanlarda iki kare farkını görün ve
çarpanlarına ayırın bakalım .
1 . 97 2
-
87 2
9. 2x 2 - 5 0
10. 4a 2 - 36
2. 1 0 0 1 2 - 999 2
3. a 2 - (3b)
i♦H·hiiii,iiıtiHiiiiiıi
1 1 . 9 x2 - 9 y2
2
4. 9x 2 - 1 6y 2
5. 9a 2 - 49
6. 25a 2 - 1
7. 4 - y 2
8. 4a 2 - b 2
Aklınızda olsun. Herhangi bir ifadeyi çarpanlarına
ayırırken ilk önce ortak çarpan parantezi olup olmadı­
ğı na bakmanız lazım. Eğer varsa ilk önce ortak çarpan
parantezine alıp öyle devam edin.
1 2. aa 2
- 72b
2
Aşağıdaki ifadeler iki kare farkı. Bakalım neyin açılmış
hali olduklarını görebilecek misiniz? Gerçi uzun uzun
çarpsanız da çıkar. Ama iki kare farkını görünce daha
pırt oluyor.©
13. ( x - 6 ) ( x + 6 )
1 4. ( 2 x + 5 ) ( 2 x - 5 )
1 5. ( ✓5 - ✓3
)( ✓5 + ✓3 )
1 6. ( 2x - 3 y ) ( 2x + 3 y )
M+H·hiiihiMhiiiiii·• ··•·
18. ( 3 - 2 ✓2 ) ( 3 + 2 ✓2 )
Bundan sonrası tam kare ile ilgili . . .
N U"6i)?;':�{IS�ab+�t idi.
iki terimli bir ifadenin parantez karesini açarken kusur­
suz olmak lazım. Her yerde önünüze gelebilir. Onun
için ben aşağ ıda birazcık yazdım ama siz bunları
çoğaltabilirsiniz. Buyurun bakalım.
19. ( x - 2 ) 2
20. ( 2x + 3 )
21. ( 2a + b )
2
2
28. ( 3 - 4b )
2
. Az önce açılımını yaptığınız tam kare ifadeler bazen
önünüze açılıp saçılmış olarak gelecek. işte o zaman .· ·. • •
bütün meziyetlerinizi kullanıp bu ifadenin neyin açılmıŞ
hali olduğunu görmeniz lazım. Ki işiniz görülebilsin.© ·
Yoksa soruyla sadece bakışırsınız©
Hadi bakalım. Aşağıda açık saçık biçimde verilen
ifadelerin neyin karesi olduklarını görebilecek misiniz?
29. a 2 + 1 0a + 2 5
30. a 2 - 2a + 1
31. 4 x 2 + 1 2x + 9
24. ( 3a - b )
2
32. 4 a 2 - 4a + 1
33. 4a 2 - 4 + -1
a2
34. a 2
-
4 + _i__
a2
aı,@ııamı
II. VE'R'EC'EV'EN V'ENKL'EM ÇÖZ'üMU
Aslında burada bilinen ikinci dereceden denklem
çözümlerini değil de daha sık karşılaşacağınız çar­
panlarına ayrılabilen ikinci dereceden denklemlerin
köklerini bulma olayını vercem. önceki konuda
verdiğim çarpanlara ayı rma yöntemlerini kaptıysa­
nız işiniz çok kolay. Çarpanlarına ayrılamayan
denklem tipleri ise. Zaten onlar bu kitabın işi de­
ğil.©
(x + 2)(x - 5) = O
Örnek Soru
Çok çok basit bi soru .
Çarpanlarına ayrılmış olan bir ifade sıfıra eşit ise
her bir çarpanı tek tek sıfıra eşitleyip x değerlerini
bulacaksınız. Bu kadarcık.
Yani, x + 2 = O dan x = ...,. 2 ve
x-5 = O dan x = 5 bulursunuz.
Çözüm kümesi ise {- 2 , 5} olur.
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Tabii ki sol taraf çoğu zaman bu şekilde cevabını
şip şak bulabileceğiniz şekilde olmayabilir.
Örnek Soru
x 2 - 6x + 5 = O
olduğuna göre, x değerleri kaçtır?
Bu şekilde verilen ikinci dereceden bir bilinmeyenli
denklemleri çözerken denklemin ikinci tarafının sı­
fır olduğundan emin olun ilk önce. Bu acayip
önemli de onun için diyorum.©
Sonra sol taraftaki ifadeyi çarpanlarına ayırın.
(x - 5)(x- 1) = O
Sonra da her bir çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitleyin ve
x değerlerini bulun.
Yani, x - 5 = O dan x = 5 ve
x - 1 = O dan x = 1 i bulun.
Anladınız mı?
Örnek Soru
3 x 2 - 6x = O
denkleminin çözüm kümesi nedir?
ilk önce sağ taraf sıf ır mı diye bakalım. (Niye bak­
tığımızı şimdilik boş verin. Ama sağ tarafın sıfır ol­
duğundan emin olun.©)
Evet. Sıfırmış.©
O zaman sol tarafı çarpanlarına ayırabilirsiniz.
3x2 - 6x = 3 x ( x - 2 ) = 0
Ayırdık. ©
Şimdi de sol taraftaki her bir çarpanı sıfıra eşitleyip
x değerlerini bulun.
3x = O ise x = O ve x - 2 = O ise x = 2 olur.
Çözüm kümesi de {O, 2} olmuş olur.
Var mı bir problem?
Bir de şuna bak ın bakal ım.
Örnek Soru
x2 = 9
denklemini sağlayan x değerleri kaçtır?
Baştan söyleyeyim x sadece 3 değil. Başka değeri
de var. Göstereyim.
ilk önce sağ tarafı sıfırlayın.
x2 - 9 = O
Sonra da sol taraf ı çarpanlarına ayırın.
x2 - 9 = ( x - 3 ) ( x + 3 )
Şimdi de her bir çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek
x değerlerini bulalım.
x - 3 = O eşitliğinden x = 3 ve x + 3 = O eşitliğinden
x = - 3 olur. Demek ki x, 3 ve - 3 değerlerini alabi­
liyormuş.
Örnek Soru
2x(x-3) = 8
Zor bi soru değil. Ama ilk olarak denklemi düzenle­
yip tanıdık hale getirin. Yani, sağ tarafı sıfır yapın.
Sonra da çarpanlarına ayırın.
denkleminin sağlayan pozitif x değeri kaçtır?
2x(x - 3) = 8 denklemini ilk önce 2x 2 - 6 x - 8 = O
biçimine getirin. Getirdiyseniz şimdi çarpanlarına
ayırın: Ve
2(x - 4 )(x + 1 ) = O ı elde edin.
Artık x = 4 ve x = - 1 i bulmuşsunuzdur.
Ama tabii x in pozitif değeri 4 imiş. Soruda neyin
sorulduğunu da unutmayın©
Pozitif x değerleri için şunları inceleyin bakalım. Bu
tür ifadeler daha çok geometride dik üçgenlerde
Pisagor bağıntısını kullanırken önünüze gelecek.
x pozitif ise . . .
x 2 - 25 = O
eşitliğini sağlayan pozitif x değeri kaçtır?
Verilen denklemde x 2
.J2s = 5
x pozitif reel sayı olmak üzere,
Örnek Soru
x2 + ( x + 2 )
2
eşitliğinde x kaçtır?
= (x + 4)
2
Yine parantez kareleri açmak lazım.
Örnek Soru
x=
.,.,,,111
= 25 ve buradan da
demenizin bir sakıncası yok. Bu
kadarına müsaade ediyorum.©
2
2
x 2 + x +4x + 4 = x + 8 x + 1 6
x 2 - 4 x - 1 2 = 0 ve b u eşitlikten d e pozitif olan x
değeri 6 bulunur..
Ammaaa dediğim gibi. Bu çözüm x in pozitif olma­
sı durumunda geçerli.
x pozitif reel sayı olmak üzere,
x pozitif reel sayı olmak üzere,
eşitliğinde x kaçtır?
eşitliğinde x kaçtır?
açarsanız yandınız©. (Açınca da çözülüyor elbet­
Örnek Soru
x 2 + 2 2 = ( 2Js )
2
Denklemi düzenleyince x 2 + 4 = 24 ve buradan
da x 2 = 20 ve x =
../2o = 2 ✓5
olur.
Anlaşıld ı mı burası?
Antrenmanlardan sonra daha iyi olursunuz. Olsun.
Devam edelim.©
5 + x = 40 ve bu eşitlikten de x = 35 ve
2
x pozitif reel sayı olmak üzere,
Örnek Soru
= x2
eşitliğinde x kaçtır?
36+ 25 = x
den x = 6 1 ve x = ./61 olur.
2
Bakın çözüme.
2
( x - 2 ) +3 = 9 ve bu eşitlikten de
x - 2 = ✓6 dan
X=
✓6 + 2
(x-2}2 = 6
bulunur.
ve
sonra kimse tutamaz sizi.©
Önce kareleri doğru dürüst alın. Sonrası [email protected]
2
Ya?
tik birinci kitabını sabırla çözdünüz ya. Bundan
eşitliğinde x kaçtır?
62 + 52
te. Ama anlattığım yöntemle biraz tecrübe lazım.)
Daha fazla uzatmıyorum. Antrenmanlarla Matema­
x pozitif reel sayı olmak üzere,
x = ./35' olur.
Bu değişik işte. Her zaman açmayın. Tam kareyi
Tamam Canlar.
Örnek Soru
2
Örnek Soru
Bundan sonraki çalışmalarınızda kararlı ve sabırlı
olmaya devam ederseniz her konunun üstesinden
geleceğinizden eminim.
KPSS, YGS, DGS,ALES, ..vs ye girecek olan on
binlerce öğrenciye bir şeyi anlatmaya çalıştım. Di­
rekt söylemesem bile.
Herkese matematiği öğretemedik belki. Ama
(Ne biçim cümle kurdum yaw.©)
herkese matematiği öğrenebileceğini öğrettik.©
Unutmayın. 1 aylık yoğun programla Geometride
de inanılmaz yol alınabilir. Ama yürekten inanmak
ve_ sabırla çalışmak şartıyla. Antrenmanlarla Ge�
ometri seti de bunun için var zaten .©
<
Aşağıdaki denklemleri sağlayan bilinmeyenleri bulalım
lütfen.©
2. x2 _ x
=o
6. x 2 + 4x _ 5 =
7. x 2 + 3 x - 1 0
o
=O
3• X 2 + x - 2 = 0
8. x 2 + 2 x = 8
4. x 2 - 1 00 = 0
9. x( x + 3 ) = 2 8
Aşağıdaki eşitliklerde zahmet olmazsa x in pozitif
değerlerini bulur musunuz?
5. 4x 2 - 9 = o
1 0. x 2 = 1 6
11. x2 = 1 2
1 6. x 2 - 1 =
✓3
iiih■iiii■iiid
1 7. 3 - x 2 = ✓5
1 3. X 2 - 5 2 = 1 2 2
1 9. x 2 + 1 =
✓2
20. 1 7 - 2x 2 = ( Js )
2
fler m.aıet; � � ve, wı1lUı değerle-r(,n,(ı01'l.UWa,
� edeceğv � k«şoı:klcw1.1 ket1.dv aw, ütıceı
wt"ı.Jca,m.et'tHldeı ve, 'k.evıd(; lciU'tt:wt½'le.ıyetıştwm.eı
rn.e.cl,-ur0,ıettndedu··. Y�o- millet"U'lı � �
dlaycik.,� �değlldlr.
***
Ke+1.d-auiA1iı � ve,� yoUiM-laı elde, edlle+ıı şeylere,
bir�
J:>� ftM<at
��. � .VtM"�
� ı,<WkUı ve, � � . şeyluv fUdew �
OUM'"UU".
***
Ce>ııcq>lat-3} 7
11) 16
21) 4
4) 51
12) -11
22) 26
5 ) 45
13) 9
23} 14
14) 16
24) 9
21
39) -1
6}
40) -30
7) 5
15) 21
41) -16
8} 7
16) 30
2. antrenman
Sayfa 13 - 14
9) -7
17) 35
10) -8
18) 31
1)
11) 40
19} 4
1
2) - 54
20) 15
2) 15
12) ·9
2) - 10
3) - 23
21) -1
3) ·1
13) ·1
3) - 12
4) - 3
4) 1
14) ·11
22) 21
4) - 1
5) - 5
23)
5) ·9
15) -1
S) - 4
24) 6
6) -5
16) ·28
6) - 4
7)
25) 43
7) ·12
17) 5
7) - 19
8) - 5
26) 19
8) ·12
18) 8
8) - 3
9)
27) -7
9) 55
19) ·21
9) - 13
10) - 2
20) -4
28) 3
10) 11
10) - 22
11) 8
29) 3
11) 25
21) 7
11) - 17
12) - 4
12) 13
22) 13
30) 4
12) - 13
13) - 2
23) ·16
31) 1
13) 13
13) 11
14) 9
24) ·6
14) -33
14) - 14
15) 8
25) 17
15) - 4
26) 4
16) 18
16) - 30
17) 38
27) -35
17) - 10
2) 3
18) ·100
18) 45
3) -5
19) -47
19) - 4
4) 3
20) ·74
20) - 13
5) 8
21) 15
21) - 25
22) -3
22) 29
23) ·11
23) - 1
24) ·17
24) - 4
25) 16
25) 1
26) -11
26) 17
1) 2
11) 4
27) ·2
27) - 11
2) 6
12) -6
28) -9
28) 8
3)
29) 5
29) - 11
4) 2
14) 20
5) 39
ısı 5
6) 16
16) 8
7) 9
17) 8
8) 30
18) 1
Toplama
Ve
Çıkarma
1.antrenman
Sayfa 11 - 12
1)
16
30) 29
31) 6
32) 6
1)
3.antrenmaa
Sayfa: 15 - 16
33) -28
Çarpma - Bölme
Çar�ım tablosu
1.antrenman
Sayfa 23 - 24
ıs
2.antrenmaa
Sayfa 25 - 26
1)
6)
1
o
7) 5
8) -3
13) 1
34) ·17
1) -38
9)
21
19) 2
35) ·10
2) -3
10) 28
20) -2
35
6) 9
1
3
15) 3
16) 1
17) - 5
18) 6
19) - 1
20) 8
21) 9
22) 63
23) - 16
24) - 112
4.antrenman
Sayfa 29 - 30
9) 4
10) O
57
3.antrenman
Sayfa 27 - 28
1) - 23
2) - 8
3)
3
4) - 2
5) -1
6) 3
7) 2
8) 2
9) 26
101 - 4
C�cqilar
11) - 25
24) 495
12) 90
13} - 1 1
12) 2
25) 266
13) 22
14) -53
13} - 18
6.antrenman
Sarla 35 - 36
14) 27
15) 2
9.antrenman
Sarla 43 - 44
14) -18
15) -12
16) 61
1) - 9
2)
- ıs
15) -75
16) -442
17} -142
16) O
1) 8
17) -20
17) 9
2) -50
18} -20
18) 74
3) -24
19) O
19) - 21
4) -38
4) 11
20) -23
20) 4
5) - 3 3
21) 29
5) -27
21) 16
22) 1
6) -10
6) 43
21) 4
22) 1
23) -1
22) - 3
7) 5
7} 30
23) 15
23) 3
8) -42
24) -4
8) 9
24) 9
9) -3
9) 25
25) -1
24) - 47
25) -7
25) 5
10) -29
8.antrenman
Sarla 39-40
11) -22
12) -58
5.antrenman
Sarla 3� - 34
1)
1035
2) 5264
3) 2958
4) 127555
5)
315952
6) 512324
7)
290628
8)
1190810
9) 5 16006
10) 226944
1}
14) 14
2) 7
15) -3
3)
16) 10
4) 1
17} O
5 ) -7
18) -28
6) 10
19) 5
7)
20) -2
8) -5
21} 19
9) 6
22) 35
10) 5
23) 7
11) 14
24) 17
12) 11
25) cll
13) 176
7.antrenman
Sarla 37 - 38
12) 109223
14) 244764
ısı
24068268
16) 80730
17) 209934
18) 54336
19) 60495
20) 50416
21) 40502
22) 36
23) 79
10
o
14) 25
11) 428275
13} 168912
14
13) 24
15) 3
16) 81
1) - 16
17) -18
2)
18) -7
18
3) 2
19) -8
-ıs
4) - 13
201
5) - 16
21) -10
6) - 6
22) -31
7} 36
23) 1 1
8) - 18
9)
28
10) -7
11) 1 1
3 ) 33
18) 12
19) 10
20) 13
10) 26
11.antrenman
5ay:fa 47 48
11) -30
12) 6
13) 30
1) -14
14) 125
2)
9
15) -600
3)
12
16) -12
4) 260
17) 14
5) -80
18) 146
6) -60
19) 14
7) 50
20) -136
8) -215
21) 24
9) -31
22) -11
10) -62
23) 23
11) -40
24) 15
12) 200
10.antrenman
Say:fa 45 - 46
1) 17
2) 27
3) 12
4) 30
5) -120
6} 98
7) -7
8) -16
9) -18
10) -94
11) -6
12) 176
13) -29
14) 60
15) 7
16) -112
17) 88
'18) -770
19) 220
20} 72
21) 1800
22) -7
23) -43
24) -41
25) 11
Ce.1/CiCpW
6)
İşle m önceliği
Ve + , Muhabbeti
1.antrenman
Saııfa 53 - 54
238
23) - 16
9) ·6
6} -52
7)
-52
24) 55
10) -45
7) -5
8}
9
25} 50
11) 52
8} 65
9)
50
12) -81
9) -46
13) 48
10} 44
14) -120
11) -16
ısı 22
12} 99
10} 22
11) 6
12) 18
13) -48
1) -9
14 1 -21
2) -2
151 -23
3 ) -3
16} 42
4) 13
17) - 1
S} -1
18) -3
6}
19) 5
o
7} 21
20) 3
8) -2
21) l
9) -5
22} 18
10} 3
23) 9
11) -40
24) -6
3.antrenman
Saııfa 57 - 58
12) 25
15) 35
16) 18
17) 62
18) 3
19} 1
20) -19
21) -11
22) 13
23) 1
24) 11
25) 4
26) - 13
27) - 14
28) O
2.antrenman
Saııfa 5S - S6
1} - 11
2)
22
3) 33
4) 21
5}
45
6}
2
7) - 2
8) - 3
9) - 11
14) 13
18) 56
15) 29
19) -13
16) 32
20) -31
17) -3
21) -20
18} 42
22) -11
19) -3.l
6.antrenman
Saııfa 65 - 66
11) O
12) 8
l) 4
13) ıs
2) -10
14) 11
3)
20} -20
21) -11
22} O
8.antrenman
Saııfa 69 • 70
2
4) 2
1) 55
16) - 6
5) -39
2) - 26
17) - 5
6) 29
2) -15
18) - 1
7) -13
3)
3) -8
19} 11
8} -10
5) 1 6
4)
20) 5
9) -15
6) 2 1
5) 42
21) - 10
10) 21
7) 3
1)
23
-37
o
4) 2 1
6)
31
22) - 10
11) 6
8)
-20
7)
16
23) - 9
12) 103
9)
11
81
5
24) 14
13) 25
10) 13
25) - 11
14) 31
11) 10
10) 2
15) ıs
12) -8
11) -10
16) 1 1
13} 4
9) -5
5.antrenman
Saıtfa 63 - 64
12) 8
13) O
14) -45
15) -3
16) -9
2) 2
17) 228
3) -4
18) 2 1
4} -12
Z) -33
19) 80
5} 23
3) 29
20) 35
6) 5
4) 1
21) 9
7) -60
22) - 4
8)
5) -16
13) 20
17) 18
10) - 3
1) -4
1) 41
16) -2
15) 12
13) -3
14) -2
4.antrenman
Saıtfa 59 - 60
61
17) -37
14) 8
18) -52
15) 15
19) -2
16) 14
20) -5
17) -13
7.antrenman
Saııfa 67 - 68
1) -1
2} 5
3) 9
4) 17
5)
33
18) -6
19) 14
20) 22
21) 14
22) -10
23) - 13
·. · J
1. Test
Sayfa 73 - 74
1)
E
2)
A
3)
D
4)
C
5)
D
6)
B
7)
A
8)
C
9)
C
10) D
11) B
12) C
1 3) C
8) x+2y
6) -4x-3a
9) 6a-4b
7) -8x-8y
10) -b
8) -a-lDb
11) X
9} -a-12b
12) -a-11
13) -5a+17
10) 2x
11) x4 - x3
141 x+22
12) -9x-a+4
1sı 14x-38
13) -4a+22
16) X
14) -13x+36
17) 3x+4
15) -36
18) x-2y
16) -6x+15
2) 23(57 - 56)
19) 22a-30b
17) 9x
3) 45(17 - 16)
20) - a + 12y
18) -12x+24y
3. Test
Sayfa 77 - 78
1) A
2)
B
3)
C
4)
C
5)
C
6)
E
7)
D
8)
D
9)
B
10) C
11) C
12) D
1 3) E
14) C
15) A
16) C
14) E
4. Test
Sayfa 79 - 80
15) A
Parantez açma
harfli ifadelerle
işlem yapma
Para ntez Çarpım
Para nteze alma
Sayfa 87 - 88
1) 15(73+27)
6) 5(a+6)
7) 2y(x-5)
8) a(b+3 )
9) ll(a+b+c)
10) 99(a-c)
11) l ll(a+b+c)
12) 13{10a+b)
2. Test
Sayfa 75 - 76
1)
E
2)
E
3)
B
4)
B
5)
D
6)
D
7)
C
8)
B
9)
A
10) B
11) C
12) C
13 ) B
14) A
15} C
16) B
1)
C
13) l0(l00a+l0b+c)
2)
A
14) 2(a+3-2b)
3)
E
15) 5(3x-2y)
4)
C
16) 25(n+2m)
5)
D
17) 3(2x+l)
6)
B
18) x(x+4)
7)
C
19) x(x-1)
8)
D
20) 2(a-2b+3c-4)
9)
A
21) (a-b)(a+b)
10) C
22) (x-3)(a�S )
11) D
23) (b+l)(a-2)
12) E
24) 11
1 3) A
14) E
15) C
16) D
19) 24x-39
4) 2(x - 2)
5) 3(x-2y)
1.antrenman
Sayfa 89 - 90
1) -2
2) O
3) 3x
4) 6a
5) -2x
6) O
7) 5x+4a
+x2
2.antrenman
Sayfa 91 - 92
1) -2x+3
2) 38a-49b
3) 3a+4y
4) 12a-14b+8
5) 12a
6) x+24
7) -14x+27y+19
8) 23x-10y-10a
9) -13x
10) -3x+4
11) 4
12) 4x+11
13) 9a-2b
14) -x+2y
15) 3a+7
16) 6a
17) -7x+12
ısı -ııx+9y+3
19) x-4y-6a
20) 3x
3.antrenman
Sayfa 93 - 94
1) 4a+2b
2) -3x+6
3) 6a-2
4) -Sx
5) -30x
20) Sx-19
21) ııx+4
4.antrenman
Sayfa 9S - 96
1) -24a-22b
2) 4y-6x
3 ) 7a-2b
4) 12a
5) -11x+ıs
6) 12x+lly
7) -3x-5y-3a
8) -3x+13
9) -x
10) 4x
11) 42
12) 2b+7
13) 2y
14) 3a
15) Sx
16) x-28
17) 2a+4b
18) O
1 9} 6
20) 24
.· . ·. J
S.antrennıan
Sayfa 99 - 100
17} - 2x + 10
15) E
11) 35
3) - 18
18) 4x + 2
16} D
12) 20
4)
19) - 4a
3} 6x+64
4) 79
5) 55
6) 2b-18a
7) 17y-5a+S
8)
10a-20b+7
9) -ab+lSa
10) -12x+37
11) -17x-y+7
12) 9x-7y-10a
13) -21x
14) -24
15} 89
16) 79
17) Sx+47
18) -3a+17b
1 9) 4a-3y
20) 9a+14b
6.antrenman
Sa�fa 101 - 102
6) 14
15} 4
2) D
16} 2
7} 3
1) 4x + 6
3)
C
17) 7
4)
2) - 10
E
18} 2
3) - Sa - 5
S)
C
19) 2
6)
C
4) x + 6
20} - 4
7)
B
.
8) · E
21) 2
9)
23) - 4
7.antrenman
Sayfa 103 - 104
5) - 14x - 2
6) 13x
7) 3x - 12
8) 4x + y
10) E
10) 7y - a
13) E
11) 13a - 6b
12) 3a
13) - Sx + 76
14) 9 • 7x + lOy
15} B
2)
5}
85
3)
6) a-4b-4
4)
18) 4
1 9) 2
4.antrenmaı:ı
Sayfa 127 - 12a
3
SAOELESTiRMELER
6) - 38
Syf: 111-116
7) - 38
8) - 6
9) 55
10) 5
Denklem
Çözme
A
E
1.antrenman
Sayfa121 - 122
B
1) 5
5)
8) 6a + b
6)
E
2) 3
7)
D
10) - 22x + 3
8)
11) 7x
9)
10
1)
5) !
7) 1 - 3a - 5y
19a
17) 3
20) 2
1
12
4)
1. Test
Sayfa 105 - 106
D
15) -9
2) 7
20} 2x + 5y + 3a
4) 40
14) 11
3) 6
19) 4a+b
1) D
12) - 16
16) 28
1) 3
16) B
11} 1
13) 5
14) A
16) 2x + 4
18) - x + 7
10) - 6
2.antrenman
Sa�fa 123 - 124
15) x + Sa
17) - 12x
9) 5
24) 7
11) A
12} C
8} - 7
22) 7
D
9 ) 3a - Sb
3 } -2x+10
9)
5) 27
14} 8
1} 4x+14
2} -38
:c g
13) 7
1) A
20) 7x - 4a
1) 3x+7
2) - 24
2.Test
Sayfa 107 - 108
11) - 13
12) 7
13) - 9
14) ..::.!..!..
4
15) -14
16) .::2..
2) 12
3} 2
4)
3
S)
7
6) 7
7)
-1
3
8) -14
9) -18
10} -8
11) 27
12) 9
3
13) 5
3) 3
17) - 5
14) 1
A
4) - 12
18) 4
15) l
D
5) 5
19} - 5
16) ..:.!.
20) - 3
12) 3x - 6y + 4a
10) E
6) 10
13) - 18x
11) C
7)
14} 16
35
12) A
1S) 186
8)
:
13) B
16) - 7
14) D
3.antrenman
Sayfa 125 - 126
9) - 3
1) 10
10) - 6
2) - 14
3
17) l
18) 3
19) 25
20) 11
Cwapw
9)
Sarla 135 - 136
15) 2!
10) E
9
17) -14
7 .antrenman
5.antrenman
Sarla 131 • 132
1)
19
2)
1
3
3)
27
5
4)
13
15
5)
5
1)
2)
5
3)
7
4)
5
16) D
8}
2
7)
6
9)
1)
1. Test
Sayfa 141 - 142
2
3
10) 2
11) -2
5)
19
C
7)
14) 1
8) A
3
15)
4)
B
9)
8)
12
5
.!.2..
2
19) O
20)
1)
2)
3)
14
3
8.antrenman
Sarla 137 - 138
-3
2
-6
14
5
10) 2
11) 1.
11
12) 1
13) -1
14) -1
15) -16
16) .!.
6
6)
7)
9)
6)
11) 8
10) .!
7)
E
E
12} D
A
14) E
15) B
11) E
16) E
9)
17
9)
5
10) -=!.
11
4.Test
Sarla 147 - 148
12) C
13) A
8
11) 2
12) .!.
4
13) �
6
14) ..!.!.
12
15) .!
3
14) B
16) o
15) C
1)
16) A
2) D
1 7)
3) C
18) ..::.l
.t...ın!
Sarla 143 - 144
9
8)
13) A
10} A
16
-6
11
10) B
5
5
E
1
5) D
8) B
5)
-7
7
7)
7)
9)
6
E
4) -5
8) -8
o
C
6) -5
33
5l
3)
18} O
5
19
2)
16) 2
4)
5} C
4)
13) O
17) -1
-3
A
-1
6)
15) -7
3)
4)
3)
B
14) -6
-15
E
11
6)
16) 6
2)
2) A
3)
2)
A
11) -5
2
..
B
2
3
1)
12)2
1)
1.antrenman
Sayfa 157 • 158
3. Test
Sayfa 145 • 146
3
1)
10} 7
6.antrenınan
Sarla 133 - 134
Rasyonel
Sa�ılar
14) C
2
5) 15
- 13
13) 8.
13) A
20) 3.
6)
2
12) C
15) B
2
12) �
11) B
19) -6
7)
7
1
-5
-4
9)
16)
18) �
-1
10
3
3
27
6)
8)
C
14) 11
1)
A
2)
B
3)
E
4) D
5) A
11) 8
6)
B
12) 5
7)
D
13) 3
8) A
A
4)
5) A
5
19)
20)
6)
7)
D
10) E
11) B
12) A
13) C
14) C
-1
J
2.antrenman
Sarla 159 - 160
A
8) C
9)
o
1)
5
2)
2
3)
-1 1
1O
4)
17
5
cevcq,w
5)
-1
18)
6)
6
1 9)
10
20)
7)
8)
1 ·.
-1
31
9)
1
12
10)
7
11)
1
12)
13)
14)
6)
.!2.
13
7)
3
5
8)
- 37
9)
4
10)
-9
4
4.antrenman
Saııfa 163 - 164
-3
7
8
25
12
1
16)
--3
17 )
o
18)
13
-5
3.antrenman
Sayfa 161 - 162
43
5)
19
6)
3
4
-2
14)
-19
5
2)
24
3)
o
-1
4)
2
7
5)
1
3
9
2
7
18)
6
19) · .
5
-2
-13
3
43
10
26
5.antrenman
Sayfa 165 - 166
15
2
21
12}
22
1)
13)
79
2)
14)
87
3)
15)
4
16)
25
4}
3
28
15
4
5)
40
6)
7)
8)
9)
10)
11)
13
9)
10)
14)
-1
11 )
15)
288
.:.22.
4
1
A
3)
E
4)
C
5)
D
11
6}
T
7)
-3
5
6
-1
15 )
16)
9
o
2)
-6
8)
33
16
C
6)
99
13
4
1)
7)
-9
-14
3-
1.Teşt
Sayfa 177 - 178
8.antrenman
Sayfa 173 - 174
15
46
12)
4
28
3
16
7
5)
26
3
4
3
17
1
73
20
8)
1
4
4)
2
87
28
3)
T
9
4
2
13)
16)
15
7)
13
14)
4
3
1
2)
20
4
11
10 1
63
s
1
15
5
4
7
13)
5
9
8
2
27
-37
-1
15
1)
12}
5
6
9)
12)
6.antrenman
saııfa 169 - 110
4
8)
11)
9
6)
20)
7
1)
13
14
-1
-5
3i
17)
6
16)
30
2
3
2
1
-1
5)
9
15)
-15
4-
13)
16)
1 7)
6
7)
1
1
7
11)
4)
9
4
2
12)
15 )
10}
14
5
18
10
11)
11
4
9)
3)
9
2
3)
8)
7
5)
2
5
- 64
6)
14)
10)
l)
2
24
T
1
7
2)
4)
9)
9.antrenman
Saııfa 175 - 176
9
5
18
1
8)
17
6
23 ·
25
3)
7)
3)
T
5)
13)
2)
2)
16)
5
2
4
3
l)
-2 2
5
12)
2)
4
16
1 5)
4)
2009
6)
7 .antrenman
Sa�a 1 7 1 - 172
3
4
1)
1)
7)
11)
6
1 5)
4)
12
25
8)
9)
E
E
B
A
10) A
7
11) C
8
12) B
9)
12
15
10)
21
23
11)
7
2
14) B
6
16) E
29
12)
13)
14)
7
o
21
13) E
15} A
12)
Ondalık
Sayılar
13) -154,6
4) 2,175
14) -445
5) 16,062
14) 170
15) 4
6) 6,72
16) 41,3
7) 2,974
15)
1.anfrenman
Sayfa 185 - 186
g ) 0,36
ı ) 0 , 64
b)0,96
d ) 0 , 02
f)0, 242
h )0.005
a ı ...!...
2
c)�
5
e )�
2
g ) E..
5
,ı ..!2..
4
k ) ..!l_
40
b) ı_
25
d) �
8
ol.4
h) ...!.._
4
. 1
)
j 20
1) ..!l.
40
3) - 0,07
11
1)
8
5) 34
6) 0,808
11) 20
12) -400
4)
13) 140
5)
6)
16) 0,41
17) iı,53
a)
11
9Ö
c ) ...2...
33
e) E..
g) 1
9
b) �
33
h)1,3
k ) _i.
1)
9
33
o) .3..
3
.i.
9
n) �
99
1233
)
µ 999
sı .!!!'..
r)�
990
9
1 2077
u 3228
) 90
) 999
22726
V)
900
8) 231
9)
2317
990
9
10)
55
11)
7
2
3.antrenman
Sayfa 189 - 190
rı .!E..
9
ıı .i.9
m ) .2...
18) 0,466
d) �
333
ı) 1 5
r)
3)
15) -24
7)
:
e)
10) 1,625
1
e ) 0 , 02
c ) ..!...
8
9) 8,64
14) 64
e ) 0, 45
a ) ...!..
5
8) -8,68
9
b)0,16
l)
10
Z)
0,288
3) 42
d )0, 1 4
Z)
7) 2,112
5)
a)0,6
c ) 0,05
4) 20
3
6)
. . . . .. · .
_
-« ı:rı--ıızmm
· x::.:::..a»
3
4)
11
1 9 ) 40
/ 101 40
4.antrenman
Sayfa 193 - 194
2) 300
26
25
1
200
b )�
25
1) !..._
2}�
3)�
4)�
13) 1
5)�
14) 1
7)�
6)�
9
7)
8)
2 30
99
9)
1 2222
10)
37
17) 8,9
7 ,4
12)
16
13)
40
14)
110
19) 20
20) 0,05
6.antrenman
Sayfa 197 · 198
11
a) �
99
c) �
9
e )�
990
5047
5)
19
10
7)
6) 1,98
18)
8)
3
5.antrenman
Sayfa 195 - 196
8) 5 ,7
9)
10)
11)
1
17
33
5
3
103
9
12) -0,25
1) 6
Z)
0,45
3) 0,604
b ) -2.
11
d) E3._
99
rı -3..:!!.
5321
1 1912
3121
, ) -1· ı 990
900
g ) 90
28
7)
4)
17) 2340
2) 10
3) -15
6) -2
3) 4,44
5) 30
6
5) -10
2) 10
6)
l)
4) 16
1) 0,6
16)
2
1.antrenman
Sayfa 207 - 208
9 ) 50
3
15)
il)
999
8)
2
9} 1
10) 7
11)
- 5 92
12)
-13
13) 12
14) 20
15) 17
1
3
16) 33
a ) 69, 5
b ) .E._
18) -9
e ) 52
f ) 864
ı)- 0,3
j) S
17) 17
c)1
g}4 0
k) 7,5
9) 10
1 0) 5
Rasyonel
Denklemler-1
18) - 93
30
11)
1 1ı .2!.
3
e ) E.
45
8}- 9
9)2
16) 3,7
1
4
7
15) 0,16
8
4
4
d)�
25
1
4
12) 89
·1,47
46
Sayfa 203-204
11) 104
4) 55
7)
Oran orantı
8) 4
1) 15
3)
2)
14
2.antrenman
Sayfa 187 - 188
1)
a ) 0, 1 5
c)2,1
e)0,35
40
13) 200
d )1 5 , 5
19) 14
h } 27, 6
20) 8
cwcq,u;uı2.antrenman
Sayfa 209 - 210
14) 4
1 5)
16)
1) 8
2) 3
17) 2
3) 18
18)
41 7
5) 5
13
71
3
81 3
91 -27
10)
11)
9
-3
2) - 4
27
3)
47
2
4)
4
7
1)
12
5
4
3
-4
121 10
5)
13) - 16
6) 5
14) - 64
�
16) 155
17) 17
-13
3
-3
201
7) - 5
13
1)
-7
4
11)
12)
4
14) - 3
15) - 16
2
9
16)
15
4) -5
17)
19) 190
20) 105
4
6) 1
7)
9) 26
10)
11)
33
9)
2
10) 47
11) - 56
-23
12)
-215
1 3)
17
2
-T
12) -13
13) - 23
5.antrenman
Sayfa 217 - 218
14) 100
15) - 1050
16) - 5
17) - 10
18) 170
o
15) - 6
-2
1)
-3
2)
23
T
3)
2
19) - 1
5
20) 4
4)
4
5)
6
6)
-8
7)
12
sı
9)
11)
12)
20) 1
13)
18) 1
58
-6
5
16
Rasyonel
Denklemler il
o
1.antrenmaıı
Sayfa 229 - 23Q
-3
14)
6.antrenman
Sayfa 219 - 220
17) - 7
25
10) - 7
1 9) - 275
19
-7
1)
2
16) 2
2)
25
1) - 7
17) - 2
3)
2)
18)
ıs
3) 8
4) - 21
5) 28
15)
19)
2
-ı
20) - 7
6) - 6
8.antrenman
Sayfa 223 - 224
7) 53
8) 19
9) - 14
10)
-1
5
11) 5
-1
5
13)
-5
14)
8
5
15) - 2
16) 11
17) - 11
1) 29
18)
2) 50
1 9)
3) 90
14)
16)
8) 6
12)
7
8) 35
7.antrenman
Sayfa 221 - 222
6) - 12
-10
9)
18) -36
2) 5
3)
5) 20
-3
4
13) 6
3.antrenman
Sayfa 211 - 212
5)
5
8)
13) 17
10) 127
18) 13
191
4) 13
7) 12
4.antrenman
Sayfa 213 - 214
10
3
61
15)
-2
_1_
4
-7
201 27
1)
-1
4)
17
15
- 27
5)
3
6)
3
7)
4
8)
9)
ıs
16
10) - 14
11) 35
12)
26
5)
6)
13
5
7)
- ıs
8)
36
9)
12
10) 4
11) 2
2)
31
4)
2
12)
5
131 3
14) - 8
15) 12
161 - 24
2.antrenman
4.antrenman
Saı,:fa 231 • 232
1)
5
2)
3
3)
1
4)
-4
5)
-2
6)
3
7)
52
- 27
9)
2
5. ·
13
12
11) 17
-9
T
13)
1
-13
14) .
11
1�) - 1
16)
9
2)
8)
12)
10
1)
5
10)
Salr'.fa 235 - 236
5
3.antrenman
13
5
2)
5
3)
1
4)
5)
6)
-2
T
1
3
-1
9
16)
11
15)
-3
4
15)
- 63
16)
22
16)
-7
-6
6)
-5
14
2
5
1)
-12
3)
-2 7
2
- 17
4)
-8
-4
5)
1
2)
3
8)
1
3)
-3
9)
1
4)
5)
10)
11)
•
-9
7
3
28
12)
13)
16
7
14) - 14
15)
16)
2
3
18
5
6)
5
6)
7)
7
8)
-5
9)
-2
3
10) - 4
52
11)
T
12)
5
11
13) - 2
5.antrenman
Sal!fa 239 - 240
l)
10
2)
-5
3)
3
4)
11
5
-3
10) 5
11) 1
1 5)
120
1S)
16)
6
16)
7.antrenman
Salr'.fa 243 - 244
-1
2)
-3
23
9)
14)
7
19
2
5
1)
-13
-3-
8)
14)
57
19
6
13)
1
7
11
1
4
6)
5)
A
7)
9
-8
2)
3
2
26
6)
3)
17
8)
7
7)
3
9)
-3
10 )
-13
3
-5
20
6
7
5
17
11) - 7
12)
o
5
8)
1
2
9)
17
10)
11)
1
1
2
12) - 3
B
B
4)
B
5)
E
6)
B
7)
C
8)
C
9)
D
10) E
11) E
12)
B
13) A
C
7
-2
2)
3)
A
l)
24
C
1)
15)
- 13
-4
2.Test
Saı,:fa 251 - 252
16)
4)
7
16) A
T
4
3
C
-7
5)
25
B
15)
E
3)
4
14)
14)
19
!.Test
Sa!lfa 249 - 250
15
1 3) E
7
7)
12)
12) A
27
2)
7)
B
11) A
8.antrenman
Sa!lfa 245 - 246
6.antrenman
Saı,:fa 241 • 242
1)
10)
5
12
10) - 12
15)
14)
-21
1
14)
14)
-7
4
2
5
"'"'i'D
9)
13)
13)
3
5)
3
6
12)
-9
-2 9
4)
9
7)
8)
11)
13)
3
3)
Saı,:fa 233 - 234
1)
Cwcı:pw
o
3.Test
Salr'.fa 253 - 254
1)
B
2)
E
3)
A
4)
B
5)
B
6)
C
C
7)
o
4)
D
8)
E
5)
B
A
9)
B
6)
7)
o
10) D
11) D
8)
E
12) A
9)
C
13)
B
CeNeitplow14) C
12) 12
1 5) 111
14)
:t > -3
15 ) A
13 ) 1
16) 23
1 5)
-4 < X < 2
16) A
14) 175
15)
150
1.Test
Saıtfa 267 - 268
16) 3
İki bilinmeyenli
Denklemler
!.antrenman
Sa)lfa 259 - 260
1)
44
2)
15
3)
3
4)
15
4
5)
(-8, -7)
6)
x=6,y=S
3.antrenman
Saııfa 263 - 264
2)
12
4)
E
22)
X<8
3)
95
5)
C
23)
2
E
K > -5
4)
6)
24)
26
A
X<6
5)
7)
25)
11
C
-6 :$ X < 9
6)
8)
9)
B
7)
17
2
10) E
8)
2!...
11) C
9)
�
12) A
�
5)
1 3}
2.r..::..!.
-2 5
X<2
3
X>-
1)
38
2)
- 11
3)
60
5)
6)
-2
.§?;
7)
26
8)
6
9)
3
10) 4b - 3a
11) 21
2
1 5) 7b - 2
16) 3 b + 1 0
-2-
3
2.antrenman
Sa\lfa 261 - 262
6}
14) 4c - 1
E�itsizlikler
4.antrenman
Sayfa 265 - 266
5
f::
i�
X > -5
16} D
19
:i\'."
3)
3b + 1
3
: '
14) B
12)
4)
p
�
3 < x < -1
-2
16
1)
13
5
!.antrenman
Saıtfa 275 - 276
1)
12
2)
2
3)
2
5
2)
54
3)
18
4)
30
4)
20
5)
7
5)
9
6}
-6
4
8)
X>5
9)
-5
10)
-3 < X < 2
11)
-1 3 < x S: 3
12)
ıc .s: 1 1
13)
5< Y < 3
16)
7
•
33
•7
-1
<X<2
3)
28
4)
27
5)
2b - a
7)
b
8)
-ab - a
9)
3a +1
12) - x
13) - 1
14) x + y
15) - 3x - y
16) - 3x + 2
17) Negatif olmayan
sayıların
17) 28
7)
2
7)
35
8)
3
8)
6
9)
-9
9)
6
10)
X<9
>
18)
X
19)
X<1
20)
-1
x a -
2.antrenman
Sa\lfa 287 - 288
-12
4
1)
- 5x
2)
6 - 4x
3)
-a+5
- 2x
1
11)
-7
< XS7
4)
12) - 2
12)
- 20 < x < 1 1
5)
13) 56
13)
X > 12
14) - 4
o
11} - 2
2
1
X�5
4
10} 2b - 2a
<X<4
1
2}
6)
X�
15 )
s
11) 12
p)- a - b
7)
14)
6)
10) - 1
a) 13
b ) ✓5
c) -./2 - 1
d) x 2 + 3
e) 3 - ✓5
f) a - b
g) 2x - 4
h) - X
ı) - X - 1
il 3
k) -/3 - 1
1) x 2 + 2
m ) 3 1 -0 - 2
n) b - a
O) 1 - X
2)
13) E
9)
2
1)
X � !__
3
X<-3
f,,
'
4
!.antrenman
Saıtfa 285 - 286
1)
4)
f":
it
::!-;:
3
Mutlak değer
2.antrenman
Saıtfa 277 - 278
15) C
'
:: .
21)
6
16) 5
[
C
11) 7y = x
15 )
;i
3)
7
14) 6
t:
ı-
8
X<3
9
X<1O
A
8)
i3) 8
t
20)
2)
10)
12) - 7
�;
X>6
B
- ıs
11)
r'::r.
19)
1)
7)
10) (4, -3 )
rt
18)
X>4
9
X>-
17 }
1)
-3
��
16) )( < 5
6)
b - 2a
7)
b
8)
4.antrenman
Sayfa 291 • 292
2
9)
2
a) J x J
b) l a + b l
c} 7
d) 5
eı ı x - y J
f) Ja + b J
g}J-x + 1 J
h }Ja - 2 I
1)- 7
j) a
k)a - b
1)-b
10} 4
11) - 2
12)
b - 2a
13) - 2x
14) 2b - 2a
3.antrenman
Sayfa 289 - 290
(·2, 8}
1)
2)
{-5, 2 }
3)
{-7, 5}
4)
{-7, ·/ }
{�}
5)
6)
{O, 5}
7)
{-2 , 2 }
8)
2
9)
10
10)
{-8, 12}
CeNcı:pw
-2 S X S �
13)
0
14)
R
15)
4 <X<6
-1 < x < 1
12)
Üslü ifadeler
!.antrenman
Sayfa 301 - 302
14) {-7 , 5 }
{-2, 7}
1)
-8
- 20
2)
2)
4 - 5x
17) - 10
3)
31
a+7
4)
- 4x
5)
2b - 1
6)
b - 4a
7)
- b - 2a
{10. T}
{12,
20)
+}
{ 3+}
5.antrenman
Saıtfa 293 - 294
2
10)
a ) J a - bJ
b} l a + bJ
c) 3
d) 9
e)J x + y + 2J
f) l a + bJ
sıı x - 2I
h} l a l
ı} -2
j) a - b
k) 2a-3b
1) b
11)
4
12) - 5
13)
231
5)
38
6)
96
7)
- 94
2
1)
{-10, � }
2)
{-5, 1}
3)
4)
17
5)
141
6)
- 54
7)
35
8)
9)
- as
1)
x'
2a
9)
- 57
3)
10)
72
4)
11) - 6
5)
12} - 6
6)
13)
7)
8)
145
7 12
1
13
3.antrenman
Sayfa 305 - 306
2
,-
- 35
7)
7
25
256
8)
9)
2
12
625
-s
15) 1 2
11)
6
x > 4 veya x < - 4
16) 30
12)
7
4)
x > 11 veya x < - 1
1 7)
S)
x > 4 veya x < 1
18) - 10
61
7<x<9
191 - 7
7)
-5 S K s 2
20) 28
8)
-8
x s 3 v e ya x � O
2.antrenman
Saıtfa 303 • 304
2-b
14) - x
9)
15) - 3a
10)
S < x < ll
-2 S X S -1
1)
- 25
2)
8
3)
36
13)
•'
14) 4
15)
s"
16)
2 2 .ı: � l
17 )
7
14)
1 5)
16)
37
16
1 9)
20)
1)
8
2)
-a
4)
(+)'
3)
2_86
3k '
6)
••'
7)
., 6
b ) 63
2
e) 3
c) 21
d ) 33
8)
a ) 24
b} 45
c} - 12
d) 1 8
3
27
8
4
·- ·
. .· • · ı
5.antrenman
Sayfa 311 - 312
2 -•
17 ) 8
18}
••
16
20)
5)
5
s
•'
9
3
10)
12
13}
18) 2
3)
.a
4 ıc. 6 - 2 :ıt 4
19)
-1 3
-
9•'
-4
-5
2
10)
-6
2
13)
9)
1)
5)
25
••
3 a6
2)
6)
12)
14)
19)
20)
56
6
;ı 2 x ı
8)
12}
7
11)
'.'
708
18)
3
-,. 5 tt 2
2 5 l:. 2
11)
-1
3
-7x7
17) - 12
4)
10) 26
4.antrenman
Sayfa 307 - 308
2)
16)
13 ) {-7, 3 )
19 )
4)
15) 5
{-2, 6}
18)
-1
14 1 4
16) {-4, o, 3, 7}
3
3
-8 < x < -3
1<X<6
16)
4x
2 ✓3 - 1
veya x <
12)
1)
9)
18
T
11} {-8, 8 )
15)
8)
.ıı: >
11)
9)
G 3 b :ı:
C�cqilar
10)
11)
2
a a tı 2 c
13)
-1
17)
-1
14)
8
18)
6
12)
8
15)
19
19)
13)
3
16)
- 11
20)
14)
1
6.antrenmao
Sayfa 313 - 314
1)
2
2)
16
3)
- 16
4)
32
5)
•'
22 = 4
7)
130
8)
24
9)
10)
11 )
1 0 2 = 1 00
2 42
12 = 144
2
2'
•>+
12)
a ) 62
13)
8
14)
1
15)
-2
17)
42 = 1 6
62 = 36
8 2 = 64
o) 87
2
16)
1 4 = 196
2
b)
841
d) 2
2)
3)
1 6 2 = 256
18 2 = 324
20 2 = 400
.Jo = o
✓4 = 2
b ) ..?__
4
✓16 = 4
6
2
8
15
6)
- 16
7)
26
2 2oz
10)
-2
11)
9
12)
3
13)
1
14)
64
ıs ı
16)
21
4
• ./5
✓2
5 ✓
- S
6)
8)
aP
7)
-7
15
1
2
10)
11)
12)
20)
c ) 2{!5
e ) x efy
-7
12
g)SO q3
91
d ) 1 0 i!/9
l ) Sffl
h ) 6 ma
2
12
1
10
Af =2/3
3-J2 .,rn = 2./5
-./?A=2,/6 ./28 =2J7
� = 4✓2 .J4Ö =2J10
-/44 = 2Jıi" J45 =J./5
J48 = 413 � = 5✓2
fıs =
✓52 = 2-./13 ✓60 = 2.ffs
Jn = a-12
2
21)
2,4
22)
3
23)
2
24)
-3
.fiö =4✓5
ffs = s,/3
Jia = 2✓22
✓96 = 4./G .J99 . 3Jtt
feia = 6-/3 ✓120 = 2✓30
a-12
./128 =
.Jfsö = s./G
.fw = 1 ,fi ./fil = sJs
JJÖÖ = 10-/3
13)
14)
15)
16)
,/450 = 15-/2
7 -✓11
3
17}
V'İ28 = 2�
b) 8✓5
-12
13)
2 ./5
14)
2 -/3
o
10
7./3
10
4
3
2
a) 2
b) 5
eJ2.ff
f ) -./3
✓6
✓ab
d)
✓6
h) 1 4
1)
--/3o
2
2)
8 ✓
- S
3}
1
4)
9 1 3 -Jr
5}
61
4 t 'J
....f2
• ✓•-
✓21
j ) 4./30
S.antrenmaa
Sayfa 333 - 334
c) 16✓2
4
3J2
k) x-;
� = -2�
• .fs
2
1 ) 30
� = 3fi
a)- -✓
3
✓6
g) 4
lfioo = 2?/5
15)
3
c) a
W4 = 3�
12)
7✓ 1Ö
12)
� = 2W3
11)
20
10)
✓180 = 6✓5 J20Ö = 10-/2
10)
23../3
9)
11)
8
✓ =2✓2
2
14
S)
-.iT
8)
19 )
3)
✓289 = 1 7
2
7)
4,2
o
= 13
4)
5
18)
2}
✓169
-5
3
7)
1,1
=7
s• = Vs
3)
4
17)
7)
4
.J25 = 5
7 ../6
2}
ı)�
5)
4)
0,8
21 2
12)
3
• ✓2
5 -.iT
9)
✓ = 1
1)
6)
1 9 2 = 361
✓9 =
h) -1-
g ) ½s°
3
8)
1
x ı-1
6)
15 =225
1 7 2 = 289
e)2 3
4
3)
16)
..J4ÖO = 20
6)
-2
2
d )53
o
0,3
12
11)
1 3 = 1 69
c)7½
4.antrenman
Sayfa 331 - 332
5)
15)
5)
7
2
3
J361 =19
9
10)
1 12 = 121
2)
b ) 3¼
4)
..fm =18
-7
2 _,
9 2 = 81
9
-2
3)
14)
9)
,
2
5 = 25
7 2 = 49 '
4
.J2'i.s = 1 5'
5)
16
32 = 9
1)
..Jf96 = 14
4)
2
f =1
1)
2)
2.antrenman
Sayfa 325 - 326
13)
8)
9)
-1
,/121 = 1 1
../256 =16
-4
1
22)
✓49
✓81 = 9
4)
8)
- 10
./36 = 6
✓64 = 8
✓100 = 10
.fİ44 = 12
7.antrenman
Sayfa 315 - 316
1)
o2 =O
1)
4
6)
21 1
Köklü İfadeler
ı.antrenman
Sayfa 323 - 324
-2
3.antrenman
Sayfa 327 - 328
Ce1/apw
-.iş
7)
9
8)
9)
28)
- 1 98
8)
(2a-b)(2a+b)
29)
x 2 (x - y) ( a - b )
9)
2(x-S)(x+S)
10) 4(a-3)(a+3)
1 4 - 6 -./5
10) 17
11)
Çarpanlara
A)lırma
7 + 3 ../2
12) 1
1.antrenman
Sa:tfa 343 - 344
1 3) 16
14}
✓2
15) 2
5
16)
1 7) 3
1)
a{2a + 3 )
2)
3 x ( ııı. - 2 )
2.antrenman
Sa:tfa 345 • 346
11) 9(x-y)(x+y)
12) 8(a-3b)(a+3b)
13)
X :l - 3 6
14)
,f ,ı 2' -
1)
( x +5)(x-3)
2)
(x+G)(x-3)
3}
(x+2)(x+7)
4)
(x+2)(x-1}
16)
4x2 �gy2
(x-4)(x+l}
17)
4" - 1
(x+7)(x-1}
18) 1
5)
15) 2
-3
3
5)
2· 2
6)
- 5, 1
7)
- 5, 2
8)
- 4, 2
9)
- 7, 4
10)
4
11)
2 -./3
12)
3✓
.-
13} 13
14)
✓10
15)
✓34
18) 2
3)
3a ( 4a - b)
6)
19) 1
(x-3)(x-5}
19)
ıc 2 - 4 ıı:: + 4
4)
x2y(x-1)
7)
8)
(x+G)(x-2)
20)
4 ıt 2 + 1 2 :ıı: + 9
5)
a2 (2a + 1)
9)
(x+l)(x+G)
21)
4 :ı ı + 4 o tı .+ tı 2
17)
6)
a (a + 4 )
10) (a+S)(a+7)
22)
a 4 ♦ 2a 2 "' 1
18}
2✓
11) (x-3)(x-12}
2 3)
3 + 2 .J'ı
19}
-12 - ı
12) (a-10}(a+7}
24)
9 a 2 - 6 n b + tı 2
20)
✓s
25)
9a2 + 3a + J_
4
26)
5 - 2 ✓•
20) 2
21)
2 .J2
22)
2 ../3
7)
6.antrenman
Sayfa 335 - 336
1)
✓3 + 1
2}
-./3 . -ff
3)
3 • 2 ..J2-
4)
5)
6)
7)
2 -./3
o
o
- ✓-
8)
10
9)
12
10)
11)
12)
1 3)
- 2 4 -./3
5✓6
6
.J5
✓3
2
14)
15)
, . -✓•
16)
3 • 2 ✓2
3 (a - 4 )
8)
3ab{a + 4 b )
9)
x(x + 3y)
10)
x( x2 + x -2)
11)
( x + y) ( 2 - a)
12}
2
3( x -9)
13)
ab(2c-1)
14)
3( x2 -2x + 3)
15)
ab{ 4a - b)
16)
axy ( x - y )
13) (x+4)(x+10}
14) (x+G)(x-4)
15) (x-9)(x+4}
16) (x+l)(x+lS)
17) (x+4)(x+S)
x2 +2+....!...
x2
27)
28)
9 - 2 4 b + 1 6b 2
29)
( a -, 5 )
30)
( a - 1 )2
31)
( 2x + 3 )2
23) (x+2D)(x+4)
32)
( 2a - 1 ) 2
24) (x+12)(x+S)
33 )
( 2a
34 )
(• -+
18} (x+S)(x-4)
19)
(x+8)(x-S)
20) (x+9)(x-2)
21) (x-lO)(x+S)
22) (a-30)(a-5)
25) (x-4)(x-11)
17)
a(2a2 +3a+2)
18)
303
27) (x+B)(x-6)
19)
35 ( a - b)
28) (x-8)(x+2)
20)
4 -✓
3
21)
8 . 2 ).
22)
2x2(x+ 2)
23)
( x2 + v2 ) (1- a2 )
24)
(2a-3)(b-c)
25)
ı7 2 . 1 0
26)
120
27}
7x2(x -1)
26)
(x+l0)(x-4)
2
-+ r
r
İkinci
Dereceden
Denklemler
3.antrenman
Sayfa 347 - 348
1.antrenman
Sa:tfa 351 - 352
1)
1840
2)
4000
3)
(a-3b)(a+3b}
1)
4)
(3x-4y)(4x+3y)
2)
o, -2
o, 1
5}
(3a-7)(3a+ 7)
3)
-2, 1
6)
(Sa-l)(Sa+l}
4)
- 10 , 10
7)
12-v)(ı+vl
16)
JFJ + 1
b--/5
1
·
j
Download
Random flashcards
Merhaba

2 Cards oauth2_google_861773e1-0890-4522-834a-6a5babb58e76

qweeqwqwe

5 Cards oauth2_google_78146396-8b44-4532-a806-7e25cc078908

En Mimar Architecture LTD ŞTİ XD

2 Cards asilyasar069

321işletme

2 Cards oldcity

Create flashcards