YGS Matematik PDF 1-5. Föy

YGS // MATEMATİK
KÜMELER
Küme Tanımı, Gösterim Biçimleri, Küme Çeşitleri
Kümelerde İşlemler
hhKÜMELER
FÖY NO
01
Örnek 2:
hh Birbirinden farklı iyi tanımlanmış nesneler topluluğuna
küme denir.
hh Kümedeki her bir eleman küme içerisine bir kez yazılır.
hh Küme içerisindeki elemanların yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez.
hh A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir.
"M Ü K E M M E L "
kelimesinin harflerinin oluşturduğu kümeyi liste yöntemi ile yazınız ve eleman sayısını bulunuz.
Kümenin adı A olsun
A = {M, Ü, K, E, L} ve s(A) = 5 bulunur.
hh x, A kümesinin elemanı ise x ∈ A ile gösterilir.
hh x, A kümesinin elemanı değil ise x ∉ A şeklinde gösterilir.
Kümenin elemanlarının kapalı bir eğri içerisine başlarına nokta
konularak yazılması ile oluşan gösterim türüne "Venn Şeması
Yöntemi denir.
Örnek 1:
A = {1, 2, 3, 4, {1, 4}}
kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) s(A) = 5
2. Venn Şeması Yöntemi
B) 1 ∈ A
D) 6 ∉ A
C) {2} ∈ A
E) {4, 5} ∉ A
Örnek 3:
Altıdan büyük rakamların kümesini Venn şeması ile
gösteriniz.
A
s(A) = 5, 1 ∈ A, 6 ∉ A, {4, 5} ∉ A
ifadeleri doğru {2} ∈ A yanlıştır.
7
8
9
hhKümelerin Gösterimi
1. Liste Yöntemi
Kümeye ait olan elemanların { } parantezi içerisine birbirinden
ayrılmaları için virgül kullanılarak yazılması ile oluşan gösterim
türüdür.
3. Ortak Özellik Yöntemi
Kümenin elemanlarının var olan ortak özellikleri yardımıyla ifade edilmesine "Ortak Özellik Yöntemi" denir.
hh A = {x| f(x)} biçiminde gösterilir.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
KÜMELER / Küme Tanımı, Gösterim Biçimleri, Küme Çeşitleri
Örnek 4:
A = {x| 1 < x < 15, x = 2n, n ∈ N}
Yukarıda ortak özellik yöntemiyle gösterilen kümeyi liste yöntemi ile yazınız.
1 < x < 15 aralığında 2 ile tam bölünebilen doğal sayılardan oluşan kümedir.
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} elde edilir.
Örnek 5:
hhKüme Çeşitleri
1. Boş Küme
Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. { } veya ∅
biçiminde gösterilir.
Örnek 8:
A = {x: x2 < 0, x ∈ Z}
kümesini liste yöntemini kullanarak yazınız.
B = { x: x3 < 72, x ∈ N}
olduğuna göre, s(B) kaçtır?
Karesi sıfırdan küçük olan herhangi bir tam sayı olmadığından küme boş kümedir. A = { }
x3 < 72 koşulunu sağlayan doğal sayıların kümesi
B = {0, 1, 2, 3, 4} olduğundan s(B) = 5 bulunur.
Örnek 6:
C = {x| |x – 1| < 3, x ∈ Z}
2. Sonlu ve Sonsuz Küme
Eleman sayısı sonlu olan kümelere sonlu küme , eleman sayısı sonlu olmayan (sonsuz olan) kümelere sonsuz küme denir.
kümesinin eleman sayısı kaçtır?
|x – 1| < 3 ⇒ –3 < x – 1 < 3
⇒ –3 + 1 < x < 3 + 1
⇒ –2 < x < 4
C = {–1, 0, 1, 2, 3} olduğundan s(C) = 5 bulunur.
Örnek 7:
Örnek 9:
I. A = {x: x > 3, x ∈ Z}
II. B = {x: 1 < x < 10, x ∈ N}
III. C = {1, 3, 5, 7, 9 ...}
Yukarıda verilen kümelerin hangileri sonlu kümedir?
A = {x: 0 < x < 5, x ∈ Z}
B = {y: y = x + 1, x ∈ A, y ∈ Z}
olduğuna göre, B kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?
A = {4, 5, 6, 7 ...}
B = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
C = {1, 3, 5, 7, 9 ...}
A ve C kümelerinin eleman sayıları sonlu olmadığından sonsuz kümeler, B nin
eleman sayısı sonlu olduğundan sonlu kümedir.
A = {1, 2, 3, 4}
y = x + 1 ⇒ x = 1 için y = 2
x = 2 için y = 3
x = 3 için y = 4
x = 4 için y = 5 olur.
B = {2, 3, 4, 5}
3. Eşit Küme
Elemanları aynı olan kümelere eşit küme denir. A ve B kümeleri eşit olduğunda A = B biçiminde gösterilir.
Öğretmen
Sorusu
2 + 3 + 4 + 5 = 14 bulunur.
A = {x : 12 ≤ x < 312, x = 6n, n ∈ Z}
olduğuna göre, s(A) kaçtır?
51
1............ 12 ............. 312
1
311 6
- 306 51
5
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11 6
-6 1
5
s(B) = 51 - 1 = 50
KÜMELER / Küme Tanımı, Gösterim Biçimleri, Küme Çeşitleri
Not
Örnek 10:
A = {x| x > 0, x ∈ Z}
kümesi aşağıdaki sayı kümelerinden hangisine eşittir?
A) Z
B) N
C) N+
D) R
n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2n dir.
E) Z–
Örnek 13:
A = {1, 2, 3, 4, ...}
N+
kümesi ile
= {1, 2, 3, 4, ...} kümesinin bütün elemanları aynı olduğundan
eşit kümelerdir.
A = {1, 2, a, b, c}
kümesinin
4. Alt Küme
a) Alt küme sayısı kaçtır?
A ve B gibi iki kümeden A kümesinin bütün elemanları B kümesinin de elemanları ise A kümesi B kümesinin alt kümesidir
denir ve A ⊂ B veya A ⊆ B şeklinde gösterilir. Aynı durum için B
kümesi A kümesini kapsar denir ve B ⊃ A veya B ⊇ A şeklinde
gösterilir.
a) Alt küme sayısı = 2s(A) = 25= 32 dir.
B
A
b)Alt kümelerinin kaç tanesinde "1" eleman olarak bulunur?
b) 1 elemanı oluşacak alt kümelerde bulunmak zorunda olduğundan "1"
elemanı yok sayılmalıdır.
25 – 1 = 24 = 16 bulunur.
c)Alt kümelerinin kaç tanesinde "a" eleman olarak bulunmaz?
Örnek 11:
c) a elemanı oluşacak alt kümelerde bulunmayacağından geriye kalan
elemanlar kullanılarak
A = {a, b, c}
25 – 1 = 24 = 16 bulunur.
kümesinin bütün alt kümelerini yazınız.
d)Alt kümelerinin kaçında "a" eleman olarak bulunur
ancak "2" eleman olarak bulunmaz?
∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}
d) oluşacak alt kümelerin içerisinde a bulunur 2 bulunmaz ise a ve 2 dışındaki elemanlar kullanılarak
Örnek 12:
A = {a, b, {a, b}, c, {a, b, c}}
kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) a ∈ A
D) b ⊂ A
B) {a, b} ∈ A
C) {a} ⊂ A
E) A ⊇ {c}
25 – 2 = 23 = 8 bulunur.
e)Alt kümelerinin kaçında "b" ve "c" birlikte bulunur?
e) A
kümesinin b ve c dışında 3 elemanı vardır. Bu üç elemanla 23 = 8 tane
alt küme yazılır.
Bir eleman herhangi bir kümenin alt kümesi olamaz. Yani b ⊂ A ifadesi yanlıştır. Doğru ifade {b} ⊂ A olmalıdır.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
KÜMELER / Küme Tanımı, Gösterim Biçimleri, Küme Çeşitleri
Not
hh n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt küme sayısı
n
n!
d n = C (n, r) =
(n - r) !.r!
r
kadardır.
hh c n m = 1, cn m = 1, c n m = n, c n m = n
n- 1
n
0
1
hh n elemanlı bir kümenin tüm alt kümelerinin sayısı
n
n
n
n
d n + d n + d n g + d n = 2 n dir.
0
1
2
n
Örnek 14:
Örnek 15:
"Ç ö z ü m "
kelimesinin harfleri ile oluşturulan bir kümenin
a) Alt kümelerinin kaçında z veya m bulunur?
(Tüm alt küme sayısı) - (z ve m'nin bulunmadığı alt küme sayısı)
a) 25 – 23 = 32 – 8 = 24
b)3 elemanlı alt kümelerinin kaçında z veya m bulunur?
b) d n - d n =
5
3
3
3
5.4.3 3.2.1
= 10 - 1 = 9
3.2.1 3.2.1
A = {1, 2, a, 3, 5, 7}
kümesinin
a) 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
6
6!
= 6.5 = 15
a) e o = −
(6 2) !.2! 2.1
2
b)en az 5 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
Not
n
n
c m= c m
r
m
ise r = m veya n = r + m
dir.
6
6
b) e o + e o = 6 + 1 = 7
5
6
c) en çok 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
6
6
6
c) e o + e o + e o = 1 + 6 + 6.5 = 1 + 6 + 15 = 22
2!
0
1
2
d) 4
elemanlı alt kümelerinin kaçında "3" eleman olarak bulunur?
d) "3" elemanı kümede 1 yer kaplayacağından kalan 5 elemanın 3 ü seçilir.
5
. 4.3
=
e o 5=
10
3!
3
e)3 elemanlı alt kümelerinin kaçında "3" ve "a" bulunmaz?
e) "3" ve "a" bulunmayacğından kalan 4 elemanın 3 ü seçilir.
Örnek 16:
4 elemanlı alt küme sayısı 7 elemanlı alt küme sayısına
eşit olan bir kümenin en az 2 elemanlı alt küme sayısı
kaçtır?
n
n
c m = c m & n = 4 + 7 = 11
4
7
11
11
11
11
11
11
d n + d n + d n + d n + ... + d n = 2
0
1
2
3
11
1 + 11 + d 11n + d 11n + ... + d 11n = 2 11
2
3
11
11 + 11 + ... + 11 = 2 11 - 12
d n d n
d n
2
3
11
= 2036
Öğretmen
Sorusu
4
. 3.2
=
e o 4=
4
3!
3
{1, 2, 3} ⊂ A ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
koşulunu sağlayan kaç farklı A kümesi yazılabilir?
A kümesi içerisinde {1, 2, 3} elemanları olmak zorunda olduğundan {4, 5, 6, 7} kümesinin alt küme sayısı olan 24 = 16
tane A kümesi yazılabilir.
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
KÜMELER / Küme Tanımı, Gösterim Biçimleri, Küme Çeşitleri
1.
Konu Testi - 1
5.
A = {x: –2 ≤ x < 4 ve x tam sayı}
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) 0 ∈ A
B) s(A) = 6
D) 4 ∉ A
A = {x: 2x + y = 10, x ∈ N, y ∈ N}
olduğuna göre, A kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
C) –2 ∈ A
A) 128
E) –3 ∈ A
B) 64
C) 32
D) 16
E) 8
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} olduğundan alt küme sayısı 26 = 64 tür.
A = {–2, –1, 0, 1, 2, 3} olduğundan –3 ∈ A yanlıştır.
2.
6.
A = {x: 4 < 2x < 12, x ∈ N}
A) {13532 sayısının rakamları}
olduğuna göre, s(A) kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
B) {Yılın E ile başlayan ayları}
D) 5
E) 6
C) {x: 1 < x < 10, x ∈ R}
D) {x: x < 7, x ∈ N}
4
12
4 < 2x < 12 ⇒ 2 < x < 2 ⇒ 2 < x < 6
A = {3, 4, 5}
E) {x: x = 2n, n bir rakam}
s(A) = 3
1 < x < 10 aralığında sonsuz sayıda reel sayı olduğundan C seçeneğindeki
küme sonsuz kümedir.
7.
3.
Aşağıdakilerden hangisi sonsuz kümedir?
A = {x: x.y = 12, x ∈ N ve y ∈ N}
kümesinin alt kümelerinden biri aşağıdakilerden hangisi olamaz?
kümesinin liste biçiminde yazılışı aşağıdakilerden
hangisidir?
A) {3, 4, 6}
B) {1, 2, 3}
D) {2, 3, 4, 6, 12}
A = {ö, z, g, ü, r}
A) {ö, z}
C) {1, 2, 3, 4}
B) {z}
D) {g, ü, r}
C) { }
E) {k, ü, r}
E) {1, 2, 3, 4, 6, 12}
k ∉ A olduğundan {k, ü, r} ⊄ A dır.
x ∈ N, y ∈ N ve x.y = 12 koşulunu sağlayan (x, y) sıralı ikilileri (1, 12), (2, 6),
(3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1) olduğundan A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} dir.
8.
A
B
4.
A = {x: 1 < x < 115 ve x = 10 n, n ∈ Z}
kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
6
E) 12
A = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110}
s(A) = 11 bulunur.
Ya da 115 10 olduğundan 1 ile 115 arasında 11 tane 10 sayısının katı
11
vardır.
C
5
2
1
3
7
4
Yukarıdaki şemada verilenlere göre aşağıdakilerden
hangisi yanlıştır?
A) s(A) = 7
D) 5 ∈ A
B) s(B) = 3
C) s(C) = 3
E) 1 ∉ B
Şemaya göre 1 ∈ B dir. 1 ∉ B yanlıştır.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
KÜMELER / Küme Tanımı, Gösterim Biçimleri, Küme Çeşitleri
9.
Konu Testi - 1
A kümesinin kendisi hariç 255 tane alt kümesi olduğuna göre, s(A) kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
13.
A = {1, 2, 3, a, b, c}
B = {2, a, n, 5, 1, 7}
E) 10
kümelerinin alt kümelerinin kaç tanesi eşit kümelerdir?
s(A) = n olsun 2n – 1 = 255
2n = 256
n = 8 dir.
A) 64
B) 32
C) 16
D) 8
E) 4
Ortak eleman olan {1, 2, a} nın oluşturduğu 23 = 8 tane küme eşit kümedir.
14.
10. 10 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı
kaçtır?
A) 144
B) 120
C) 100
D) 96
E) 72
A = {x: 1 < x2 < 27, x ∈ Z}
kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde
"3" eleman olarak bulunmaz?
A) 15
B) 21
C) 28
D) 35
E) 42
A = {–5, –4, –3, –2, 2, 3, 4, 5}
3 eleman olarak bulunmayacağından kalan 7 elemanın 3 ü seçilir.
10
. 9. 8
=
=
e o 10
3.2.1 120
3
7
.6 .5
=
e o 73=
.2.1 35
3
15. Bir A kümesinin 3 elemanlı alt küme sayısı 2 elemanlı alt
küme sayısına eşittir.
11. A ve B eşit kümelerdir.
A kümesinin alt küme sayısı 32 olduğuna göre, B kümesinin 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
Buna göre, A kümesinin en çok 1 elemanlı alt küme
sayısı kaçtır?
A) 28
A) 2
D) 15
E) 10
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde "k" eleman
olarak bulunur "a" eleman olarak bulunmaz?
E) 32
A) 37
D) 40
E) 41
8
8
8
8
8
8
e o+e o+e o = e o+e o+e o
6
7
8
2
1
0
= 28 + 8 + 1
= 37 bulunur.
5. B
6. C
7. E
8. E
9. C
10. B
11. E
12. B
13. D
14. D
15. E
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
C) 39
A = {a, e, ı, i, u, ü, o, ö}
k ve a dışında kalan 3 eleman ile 23 = 8 tane alt küme oluşturulur.
16. A
6
B) 38
4. D
D) 24
kümesinin en az 6 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
3. E
C) 16
E) 6
16. Alfabemizin sesli harfleri kullanılarak oluşturulan A
2. B
B) 8
D) 5
5
5
d n+d n = 5 + 1 = 6
0
1
A = {k, a, l, e, m}
A) 4
C) 4
n
n
s(A) = n olsun e o = e o ise n = 3 + 2 = 5 tir.
3
2
A = B ise s(A) = s(B) = n dir.
5
.4
2n = 32 ise n = 5 olur. e=
o 52=
.1 10
2
12.
B) 3
1. E
C) 20
Cevaplar
B) 21
KÜMELER / Küme Tanım, Gösterim Biçimleri, Küme Çeşitleri
1.
Konu Testi - 2
4.
A = {1, 3, 5, 7, 10}
B = {5, 7}
C = {5, 3, 7, 10, 1}
Bir kümenin eleman sayısı 3 artırılınca alt küme sayısı 112
artıyor.
Buna göre, bu kümenin ilk durumdaki eleman sayısı
kaçtır?
kümeleri için,
A) 2
I. B ⊆ A
II. A = C
ifadelerinden hangileri doğrudur?
B) Yalnız II
D) I ve III
C) 4
D) 5
E) 6
2n + 3 – 2n = 112 ⇒ 2n(23 – 1) = 112
⇒ 2n = 16
⇒n=4
III. A ⊃ C
A) Yalnız I
B) 3
C) I ve II
E) I, II ve III
B ⊆ A, A = C ve A ⊃ C dir.
5.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde sadece tek
sayılar bulunur?
A) 64
2.
B) 48
C) 32
D) 24
E) 16
n bir tam sayı olmak üzere
{1, 3, 5, 7} elemanları ile 24 = 16 tane küme oluşur.
A = {x: 3 < x < n, x = 4m, m ∈ Z}
kümesinin eleman sayısı 5 olduğuna göre, n en fazla
kaçtır?
A) 25
B) 26
C) 27
D) 28
E) 30
s(A) = 5 ise A = {4, 8, 12, 16, 20, 24} dir. Kümenin en büyük elemanı 24
olduğunda n en fazla 28 olur.
6.
Çember ve oklar ile oluşturulan şemanın kuralları aşağıda
verilmiştir.
A
3.
n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 23n – 12 dir.
Bu kümenin 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
A) 8
B) 10
C) 15
2n = 23n – 12 ⇒ 3n – 12 = n ⇒ n = 6 dır.
6
.5
e=
o 62=
.1 15
2
D) 18
E) 21
Yukarıdaki şekilde birinci çember içerisine bir A kümesinin
elemanları yazılıyor.
Bir önceki çemberde bulunan kümenin alt kümeleri ok ile
gösterilen çember içerisine küme biçiminde yazılıyor. Bu
işlem son çembere kadar devam ediyor.
Buna göre A = {1, 2, 3} kümesi için son çember içerisinde bulunan kümenin elemanlarının sayısı kaçtır?
A) 64
B) 128
C) 256
D) 512
E) 1024
2. çemberin eleman sayısı 23 = 8
3. çemberin eleman sayısı 28 = 256 olur.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
KÜMELER / Küme Tanım, Gösterim Biçimleri, Küme Çeşitleri
7.
n elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt küme sayısı 36
olduğuna göre n kaçtır?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
Konu Testi - 2
10.
A = {m, n, p, r, s, t}
kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde
"m" ya da "n" eleman olarak bulunur?
E) 11
n
n ( n − 1)
= 36 & n (n − 1) = 72
e o = 36 &
2
2
n ^n − 1h = 9.8
A) 12
B) 15
C) 16
D) 18
E) 21
4
içinde sadece m bulunanlar e o = 6
2
n=9
4
içinde sadece n bulunanlar e o = 6
2
"m" ya da "n" bulunanlar 6 + 6 = 12 dir.
11.
8.
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinin eleman sayısı
tek sayıdır?
A = {–1, 0, 1, 2, 3, 4}
A) 28
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin tüm elemanlarının toplamı kaçtır?
A) 90
B) 84
A = {1, 2, a, b, c, d}
C) 80
D) 72
C) 32
D) 36
E) 48
6
6
6
6
e o + e o + e o = 6 + 63..52..41 + e o
1
3
5
1
= 6 + 20 + 6
= 32
E) 64
5
.4
o 52=
içerisinde –1 bulunan üç elemanlı alt küme sayısı e=
.1 10 dur.
2
B) 30
12. Aşağıdaki A, B ve C kümelerinin elemanları
{2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} kümesinin elemanlarından oluşmaktadır.
Yani her bir elemandan kümeler içerisinde 10 ar tane vardır.
(–1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4).10 = 90
B
C
5
6
8
A
9.
A = {1, 3, 4, 5, 6, 7}
5, 6 ve 8 sayıları kümelere yerleştirilmiştir. Bu kümelerin
her birinin elemanlarının toplamı 30 dur.
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesi {3, 4} kümesini
kapsar?
Şekildeki her bir nokta o bölgede bulunan eleman sayısını gösterdiğine göre A kümesinin elemanları çarpımı kaçtır?
E) 64
{3, 4} ⊂ B ⊂ A koşulunu sağlayan B kümeleri 24 = 16 tanedir.
A) 3400
B) 3540
B
A
5. E
6. C
7. C
8. A
9. C
10. A
11. C
12. E
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
2
6
C
D) 3800
E) 3840
o hâlde 2 . 4 . 10 . 6 . 8 = 3840 olur.
8
4
4. C
10
8
7
9
5
C) 3600
3. C
D) 32
2. D
C) 16
1. E
B) 8
Cevaplar
A) 4
KÜMELER / Kümelerde İşlemler
hhEVRENSEL KÜME
Not
Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan en dar kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle "E" harfi
ile gösterilir.
A
E
B
A kümesi E evrensel kümesinin alt kümesi ise
s(A) + s(A′) = s(E) dir.
Örnek 18:
A ve B aynı evrensel kümenin alt kümeleridir.
s(A) + s(B′) = 37
s(A′) + s(B) = 23
olduğuna göre evrensel kümenin eleman sayısı kaçtır?
A ⊂ E ve B ⊂ E
s(A) + s(B′) = 37
+
s(A′) + s(B) = 23
s(A) + s(A′) + s(B) + s(B′) = 60
hhBir Kümenin Tümleyeni
A evrensel kümenin bir alt kümesi olmak üzere evrensel kümeye ait fakat A kümesine ait olmayan elemanların kümesine A
–
nın tümleyeni denir. A nın tümleyeni A veya A′ ile gösterilir.
E
s(E) + s(E) = 60
s(E) = 30 olur.
Örnek 19:
I. Bir kümenin tümleyeninin tümleyeni kendisidir.
II. Boş kümenin tümleyeni evrensel kümedir.
III. Evrensel kümenin tümleyeni boş kümedir.
A
A′
A' = {x| x ∉ A ve x ∈ E}
Örnek 17:
E evrensel küme olmak üzere
E = {x: 2 < x < 10, x ∈ N}
A = {4, 7, 9}
olduğuna göre, A′ kümesini liste yöntemini kullanarak
oluşturunuz.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
^Alhl= A, El = Q, Ql = E olduğundan hepsi doğrudur.
hhKümelerde İşlemler
1. Kümelerin Kesişimi
A ve B kümelerinin ortak elemanlarının oluşturduğu kümeye kesişim kümesi denir. A ∩ B şeklinde gösterilir.
A
B
A∩B
A ∩ B = {x| x ∈ A ve x ∈ B}
E = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A′ = {3, 5, 6, 8} olur.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
KÜMELER / Kümelerde İşlemler
Örnek 23:
Örnek 20:
A = {1, 2, 3, {1, 2}, 4, 5}
A = {x: 2 < x < 100, x = 3 k, k ∈ Z}
B = {1, 3, a, 4, 5, 7}
B = {y: 5 < y < 120, y = 2m, m ∈ Z}
olduğuna göre, A ∩ B kümesini venn şeması kullanarak
bulunuz.
olduğuna göre, A ∩ B kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
A ∩ B = {x: 5 < x < 100, x = 6n, n ∈ Z}
0
2
{1, 2}
1 ................. 5 ................. 100
B
A
1
3
4
100 6
96 16 ⇒ s(A ∩ B) = 16
4
16
a
Alt küme sayısı 216 dır.
Not
7
5
Kesişimleri boş küme olan kümelere ayrık kümeler denir.
A
B
Örnek 21:
2. Kümelerin Birleşimi
A = {x: 1 < x < 20, x tek tam sayı}
B = {x: x < 10, x ∈ N}
kümeleri için A ∩ B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A ve B kümelerinin ortak olan veya ortak olmayan elemanlarının oluşturduğu kümeye birleşim kümesi denir. A ∪ B şeklinde gösterilir.
A
A = {3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}
B
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
A ∩ B = {3, 5, 7, 9}
s(A ∩ B) = 4
A ∪ B = {x| x ∈ A veya x ∈ B}
Örnek 22:
Örnek 24:
A = [3, 10)
Aşağıda verilen kümelerin birleşim kümelerini bulunuz.
B = [4, 12]
a) A = {3, 4, 5, a} ve B = {1, 3, b}
olduğuna göre, A ∩ B kümesini bulunuz.
10
3
12
A ∪ B = {1, 3, 4, 5, a, b}
b) C = (–2, 30] ve D = [3, 40]
4
30
A ∩ B = [4, 10) olur.
–2
3
Öğretmen
Sorusu
A ∪ B = (–2, 40]
A = {x : x asal sayı}
B = {y : y = 2a . 3b . 5c . 7d, a, b, c, d ∈ N}
olduğuna göre A ∩ B kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
a
0
0
0
1
24 = 16
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
b
0
0
1
0
c
0
1
0
0
d
1
0
0
0
y
7
5
3
2
A∩B
7
5
3
2
40
KÜMELER / Kümelerde İşlemler
3. İki Kümenin Farkı
Örnek 27:
A ve B iki küme olmak üzere A kümesinde olup B kümesinde
olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir. A \ B
veya A – B şeklinde gösterilir.
A
B
A\B
B\A
A \ B = {x: x ∈ A ve x ∉ B}
B \ A = {x: x ∈ B ve x ∉ A}
Örnek 25:
Herhangi A ve B kümeleri için
(A ∪ B) – (A ∩ B)
fark kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) A ∩ (A – B)
B) A ∪ (A – B)
C) (A – B) ∪ (B – A)
D) (A – B) ∩ (B – A)
E) (A ∪ B) – (A – B)
(A ∪ B) – (A ∩ B) = (A – B) ∪ (B – A)
hhKümelerde İşlemlerin Özellikleri
1. Değişme Özelliği
A = {1, 2, {1, 2}, 3, {2, 3}, 4}
B = {{1, 2}, {2, 3}, 5, 6}
hh A ∪ B = B ∪ A
olduğuna göre, A – B ve B – A kümelerini liste yöntemini kullanarak yazınız.
hh A ∩ B = B ∩ A
2. Tek Kuvvet Özelliği
A – B = {1, 2, 3, 4}
B – A = {5, 6}
hh A ∪ A = A
hh A ∩ A = A
Örnek 26:
3. Dağılma Özelliği
B
C
hh A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
hh A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A
4. s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)
5. A – B = A ∩ B′
Yukarıda verilen A, B ve C kümelerinin şemalarına göre
taralı alanı belirten ifadeyi bulunuz.
(A ∩ B) – C
6. A ∪ A′ = E, A ∩ A′ = ∅
7. De Morgan Kuralı
hh (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
hh (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
KÜMELER / Kümelerde İşlemler
Örnek 28:
Örnek 32:
Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için
s(A – B) = 10
3 s(A – B) = 6 s(A ∩ B) = s(A ∪ B)
s(B – A) = 15
olduğuna göre, s(B – A) aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 7
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
s(A ∪ B) = 30
olduğuna göre, s(A – B') kaçtır?
3s(A – B) = 6s(A ∩ B) = s(A ∪ B) = 6k olsun
s(A – B) = 2k, s(A ∩ B) = k, s(A ∪ B) = 6k
A
B
2k
k
3k
s(B – A) = 3k olduğundan s(B – A) = 12 olur.
Örnek 29:
A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5}
A ∩ C = {3, 4, 5, 6, 7}
s(A ∪ B) = s(A – B) + s(B – A) + s(A ∩ B)
30 = 10 + 15 + s(A ∩ B)
s(A ∩ B) = 5
Örnek 33:
A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir.
s(A) = 20
olduğuna göre, A ∩ (B ∪ C) kümesinin eleman sayısı
kaçtır?
s(A′ ∪ B′) = 24
s(E) = 30
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
olduğuna göre, s(A – B) kaçtır?
s(A ∩ (B ∪ C)) = 7
Örnek 30:
A ∪ B = {1, 2, a, b, c}
A ∪ C = {0, 1, 2, 3, a}
olduğuna göre, A ∪ (B ∩ C) kümesinin alt küme sayısı
kaçtır?
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
= {1, 2, a}
alt küme sayısı 23 = 8 dir.
Örnek 31:
A ve B birer küme olmak üzere
s(A) = 13
s(B) = 17
A ∩ B kümesinin alt küme sayısı 8 olduğuna göre,
s(A ∪ B) kaçtır?
A′ ∪ B′ = (A ∩ B)′
s(A ∩ B) + s((A ∩ B)′) = s(E)
s(A ∩ B) + 24 = 30 ⇒ s(A ∩ B) = 6
s(A – B) = s(A) – s(A ∩ B)
= 20 – 6 = 14
Örnek 34:
A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir.
s(A ∩ B′) = 7
s(E) = 20
s(A′ ∩ B′) = 3
olduğuna göre, s(B) kaçtır?
s(A ∩ B′) = s(A \ B) = 7
s(A ∪ B) + s((A ∪ B)′) = s(E)
s(A ∪ B) + 17 = 20 ⇒ s(A ∪ B) = 17
A
2s(A ∩ B) = 8 ⇒ s(A ∩ B) = 3
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)
s(A ∪ B) = 13 + 17 – 3
s(A ∪ B) = 27
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
B
s(B) = 10
7
3
KÜMELER / Kümelerde İşlemler
1.
Konu Testi - 3
5.
A = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
B = {x: x çift rakamlar}
olduğuna göre, A ∩ B kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
Buna göre, A ∪ B kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
A) 16
E) 16
6.
A = {2, 3, 7, 10, a}
B) 6
C) 10
D) 15
C) 64
D) 128
E) 256
s(A ∪ B) = 4 + 5 – 3 = 6
alt küme sayısı 26 = 64
s(A) = 6
s(B) = 7
olduğuna göre, A ∪ A kümesinin 2 elemanlı alt küme
sayısı kaçtır?
A) 4
B) 32
2s(A) = 16 ⇒ s(A) = 4
2s(B) = 32 ⇒ s(B) = 5
2s(A ∩ B) = 8 ⇒ s(A ∩ B) = 3
A = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
B = {0, 2, 4, 6, 8}
A ∩ B = {4, 6, 8} olduğundan alt küme sayısı 23 = 8 dir.
2.
A kümesinin alt küme sayısı 16, B kümesinin alt küme sayısı 32, A ve B kümelerinin ortak elemanlarının oluşturduğu kümenin alt küme sayısı 8 dir.
s(A ∪ B) = 11
olduğuna göre, s(A ∩ B) kaçtır?
E) 21
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A ∪ A = A (Tek kuvvet)
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)
11 = 6 + 7 – s(A ∩ B)
s(A ∩ B) = 2
5
.4
e=
o 52=
.1 10
2
3.
7.
Z tam sayılar kümesini göstermek üzere
A ve B kümeleri aynı evrensel kümenin alt kümeleridir.
s(A) = 13
A = {x: –1 ≤ x < 3, x ∈ R}
s(A′) = 12
olduğuna göre, A ∩ Z kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
s(B) = 10
E) 6
olduğuna göre, s(B′) kaçtır?
A) 11
A ∩ Z = {–1, 0, 1, 2}
s(A ∩ Z) = 4
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
D) 8
E) 9
s(A) + s(A′) = s(E) ⇒ s(E) = 25
s(B) + s(B′) = s(E) ⇒ s(B′) = 15
4.
8.
A = {4, a, 5, b, 6, c, 7}
A ⊂ B olmak üzere
s(A) = 5
B = {1, 2, 5, 6, a}
s(B) = 12
olduğuna göre, A – B kümesinin iki elemanlı alt küme
sayısı kaçtır?
A) 3
B) 6
C) 8
D) 10
olduğuna göre, s(B – A) kaçtır?
A) 5
E) 12
7
A – B = {4, b, c, 7}
5 A
B) 6
B
C) 7
s(B – A) = s(B) – s(A)
= 12 – 5 = 7
4
.3
e=
o 42=
.1 6
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
KÜMELER / Kümelerde İşlemler
9.
Konu Testi - 1
13. A kümesinin alt küme sayısı 16 dır.
A = {1, 2, 4, a, 7}
s(A Ç B) = 3
B = {3, 2, 5, 1, b}
olduğuna göre, s(A Ç B¢) kaçtır?
C = {5, 4, 3, 7, a, b}
A) 1
olduğuna göre, (A È C) – (B Ç C) kümesinin alt küme
sayısı kaçtır?
A) 4
B) 8
C) 16
D) 32
E) 5
(B Ç A¢) È (A Ç B)
kümesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
s(E) = 40
A) E
s(A¢ È B¢) = 24
C) 15
B) A
C) B
D) A ∪ B
olduğuna göre, s(A Ç B) kaçtır?
B) 16
D) 4
14. A ve B birer küme olmak üzere
10. A ve B, E evrensel kümesinin alt kümeleridir.
A) 18
C) 3
s(A ∩ B′) = s(A – B) = s(A) – s(A ∩ B)
=4–3
=1
E) 64
A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 7, a, b}
B ∩ C = {3, 5, b}
(A ∪ B) – (B ∩ C) = {1, 2, 4, 7, a}
alt küme sayısı 25 = 32
B) 2
2s(A) = 16 ⇒ s(A) = 4
D) 14
E) A′ ∪ B
B ∩ A′ = B – A
(B – A) ∪ (A ∩ B) = B
E) 12
s(A′ ∪ B′) = s((A ∩ B)′)
s((A ∩ B)′) + s(A ∩ B) = s(E)
24 + s(A ∩ B) = 40 ⇒ s(A ∩ B) = 16
15. A ve B ayrık kümelerdir.
s(A – B) = 5
11.
s(B – A) = 6
A = {1, 2, 3}
A – B = {1, 2}
olduğuna göre, s(A È B) kaçtır?
A È B = {1, 2, 3, 4, 5}
A) 1
olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {5}
B) {4, 5}
1
4
3
2
A
B = {3, 4, 5}
E) 12
6
s(A ∪ B) = 5 + 6 = 11
5
16.
12.
D) 11
B
5
E) {1, 3, 5}
B
C) 9
C) {3, 4, 5}
D) {3, 4}
A
B) 7
A
B
C
A = [5, 13)
B = (3, 7]
olduğuna göre, A – B kümesinin tam sayı elemanlarının toplamı kaçtır?
D) 53
Şekildeki taralı bölgeyi ifade eden küme aşağıdakilerden hangisidir?
E) 54
5
7
13
A – B = (7, 13)
8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 50
B) A ∪ (B ∩ C)
C) (B – C) ∪ (A ∩ B)
D) (A – B) ∪ (B ∩ C)
E) (A ∩ B) ∪ (C – B)
(A ∩ B) ∪ (C – B)
4. B
5. C
6. B
7. E
8. C
9. D
10. B
11. C
12. A
13. A
14. C
15. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3. C
16. E
14
A) A ∩ (B ∪ C)
2. C
3
C) 52
1. D
B) 51
Cevaplar
A) 50
KÜMELER / Kümelerde İşlemler
1.
Konu Testi - 4
4.
A = {2, 3, 4}
Pozitif tam sayılardan oluşan
A = {x: x < 100, x = 2n, n Î Z+ }
A È B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
B = {x: x < 121, x = 5n, n Î Z+}
olduğuna göre, bu şartları sağlayan kaç değişik B kümesi yazılabilir?
kümeleri veriliyor.
A) 32
Buna göre, s(A È B) kaçtır?
B) 16
C) 12
D) 10
E) 8
A) 64
{1, 5, 6, 7, 8} elemanları B kümesinde mutlaka bulunmalıdır. Ancak {2, 3,
4} elemanları A kümesinde zaten bulunduğundan keyfi elemandır. O hâlde 23 = 8 tane alt kümenin her birine {1, 5, 6, 7, 8} elemanları eklenerek
B kümeleri oluşturulur.
2.
A ve B kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere
B) 65
C) 66
D) 67
E) 68
A = {2, 4, 6, ... , 98} ise s(A) = 49
B = {5, 10, 15, ... , 120} ise s(B) = 24
A ∩ B = {x: x < 100, x = 10n, n ∈ Z+}
A ∩ B = {10, 20, 30, ... , 90} ise s(A ∩ B) = 9
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)
s(A ∪ B) = 49 + 24 – 9 = 64
5.
A = {x: 30 < x < 300, x = 4n, n Î N}
B = {x: 20 < x < 350, x = 6n, n Î N}
C = {x: 40 < x < 250, x = 8n, n Î N}
s(E) = 12
s(A – B) = 4
olduğuna göre, s(A Ç B Ç C) kaçtır?
s(A′ Ç B′) = 3
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 2
B) 4
C) 5
D) 6
A ∩ B ∩ C = {x: 40 < x < 250, x = 24n, n ∈ N}
A ∩ B ∩ C = {48, 72, 96, 120, 144, 168, 192, 216, 240}
E) 7
s(A′ ∩ B′) = s[(A ∪ B)′]
s(A ∪ B) + s[(A ∪ B)′] = s(E) ⇒ s(A ∪ B) + 3 = 12
⇒ s(A ∪ B) = 9
s(A ∪ B) = s(B) + s(A – B)
9 = s(B) + 4
s(B) = 5
s(A ∩ B ∩ C) = 9
6.
3.
Aşağıdaki şema A, B ve C kümelerinin bölgelerindeki eleman sayısını göstermektedir.
A
1
1
E
B
8
3
2
5
6
C
Buna göre, A′ Ç (B′ È C′) kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 10
B) 12
C) 13
Al + (B + C)l = (A , (B + C))l
s (A , (B + C))l = 3 + 5 + 6 = 14
D) 14
2
3
4
5
6
...
A
...
B
...
99
100
Bu desende A satırında 3 ün tam sayı katına B satırında
2 nin tam sayı katına karşılık gelen sütunlardaki kareler
boyalıdır.
4
7
2 x 100 lük bir kareli kâğıt üzerindeki bazı kareler boyanarak bir kısmı aşağıdaki şekilde gösterilen bir desen oluşturuluyor.
E) 16
Buna göre, bu desende yer alan sütunların kaç tanesinin A veya B satırındaki kareler boyalıdır?
A) 71
B) 70
C) 69
D) 68
E) 67
A = {3, 6, 9, 12, ... , 99} ise s(A) = 33
B = {2, 4, 6, 8, ... , 100} ise s(B) = 50
A ∩ B = {6, 12, 18, ... , 96} ise s(A ∩ B) = 16
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)
s(A ∪ B) = 67
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
KÜMELER / Kümelerde İşlemler
7.
Konu Testi - 2
10. Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için
Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için
(A – B) È B = A
s (A - B) 2
=
s (A , B)
7
olduğuna göre,
s (A , B)
5
=
s (B - A) 3
I. B ⊂ A
II. A ∩ B = ∅
olduğuna göre, A Ç B kümesinin iki elemanlı alt küme
sayısı en az kaçtır?
III. A ∪ B = B
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve III
a
E
c
b
B) 6
C) 8
D) 9
E) 10
s(A ∪ B) = 7.5.k = 35k
ise s(A – B) = 10 k ve s(B – A) = 21 k dır.
A
B
E) II ve III
B
A
A) 4
C) I ve II
10 k
4k
21 k
d
(A – B) ∪ B = A ⇒ {a} ∪ {b, c} = {a, b}
{a, b, c} = {a, b}
c = ∅ olmalıdır.
o hâlde B ⊂ A dır.
E evrensel küme olmak üzere
11. A Ë B ve B Ë A olmak üzere
s(E) = 9
s(A) = 10
s(A Ç B) = 3
s(B) = 12
s(A È B) = 6
olduğuna göre, s(A È B) en az kaçtır?
s(B) = 4
A) 12
olduğuna göre, s(A')kaçtır?
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)
6 = s(A) + 4 – 3
s(A) = 5
s(A) + s(A') = s(E) ⇒ s(A') = 4
E evrensel küme olmak üzere (A – B) È (B – A) kümesinin
alt küme sayısı 128 dir.
12.
C = {Sınıftaki erkek öğrenciler}
s(E) = 17
D = {Sınıftaki kız öğrenciler}
olduğuna göre "Sınıftaki sarışın olmayan, gözlüklü erkek
öğrenciler" cümlesini aşağıdakilerden hangisi ifade
eder?
D) 4
E) 5
B) (A ∩ D) ∪ (B ∩ C)
C) (A \ B) ∪ (B ∪ C)
D) (A \ D) \ (B ∪ C)
E) (A ∪ D) \ (B ∩ C)
(C ∩ A) \ (B ∪ D)
4. A
5. B
6. E
7. A
8. A
9. C
10. B
11. B
12. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
A) (C ∩ A) \ (B ∪ D)
3. D
C) 3
2s((A – B) ∪ (B – A)) = 128 ⇒ s((A – B) ∪ (B – A)) = 7
s(A ∪ B) = s(A – B) + s(B – A) + s(A ∩ B)
s(A ∪ B) = 7 + 7 = 14
s[(A ∪ B)′] = s(E) – s(A ∪ B) = 17 − 14
s[(A ∪ B)′] = 3
16
A = {Sınıftaki gözlüklü öğrenciler}
s(A Ç B) = 7
B) 2
E) 21
B = {Sınıftaki sarışın öğrenciler}
olduğuna göre, s[(A È B)′] kaçtır?
A) 1
D) 17
2. C
9.
C) 14
1. E
A) 4
B) 13
s(A ∩ B) = 9 seçilir ise
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) – s(A ∩ B)
s(A ∪ B) = 10 + 12 – 9
s(A ∪ B) en az 13 olur.
Cevaplar
8.
k = 1 için s(A ∩ B) = 4 olduğundan alt küme sayısı en az
4
.3
e=
o 4=
2! 6 dir.
2
YGS // MATEMATİK
FÖY NO
02
KÜMELER
Küme Problemleri, Kartezyen Çarpım
hhKÜME PROBLEMLERİ
Örnek 1:
Aşağıdaki Venn şemasında Almanca, İngilizce ve Fransızca
dillerini konuşabilenlerin ve bu dilleri konuşamayanların sayıları
verilmiştir.
Matematik
Kimya
4
7
3
2
d
8
b
f
a
g
e
h
c
5
3
İ
A
Fizik
Yukarıdaki şemada bir sınıfta Matematik, Kimya ve Fizik
derslerinden geçen öğrencilerin sayıları gösterilmektedir.
Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
F
A) Matematikten geçen 16 öğrenci vardır.
B) Yalnız kimyadan geçen 3 öğrenci vardır.
A = Almanca konuşabilenler
C) Bu derslerin yalnız ikisinden geçen 12 öğrenci vardır.
İ = İngilizce konuşabilenler
D) Matematik veya kimyadan geçen öğrenci sayısı 24 tür.
F = Fransızca konuşabilenler
E) Bu derslerin en çok ikisinden geçen 25 öğrenci vardır.
olduğuna göre aşağıdaki boşlukları doldurunuz.
a+d+g+f
1. Almanca konuşabilenlerin sayısı ....................................
Bu derslerin en çok ikisinden geçen 30 öğrenci vardır. E yanlıştır.
b+f+g+e
2. İngilizce konuşabilenlerin sayısı .....................................
d+g+e+c
3. Fransızca konuşabilenlerin sayısı .................................
f+g
4. Almanca ve İngilizce konuşabilenlerin sayısı ..................
g+e
5. İngilizce ve Fransızca konuşabilenlerin sayısı .................
a+b+c
6. Yalnız bir dil konuşabilenlerin sayısı ...............................
h
7. Bu üç dilide konuşamayanların sayısı .........................
f+d+e
8. Sadece iki dil konuşabilenlerin sayısı ...............................
Örnek 2:
Bir sınıfta, hentbol oynayanların sayısı 20, futbol oynayanların sayısı 15 tir.
Her iki sporuda yapanların sayısı 10 olduğuna göre, bu
sınıfta hentbol veya futbol oynayanların sayısı kaçtır?
g
9. Üç dili de konuşabilenlerin sayısı ...................................
a+b+c+d+f+e+g
10. En az bir dil konuşabilenlerin sayısı ...............................
f+d+g+e
s(H) = 20, s(F) = 15 ve s(H ∩ F) = 10 dur.
11. En az iki dil konuşabilenlerin sayısı ................................
s(H ∪ F) = s(H) + s(F) – s(H ∩ F)
12.En çok bir dil konuşabilenlerin sayısı ..............................
s(H ∪ F) = 20 + 15 – 10
h+a+b+c
h+a+b+c+f+d+e
13. En çok iki dil konuşabilenlerin sayısı ..............................
s(H ∪ F) = 25 olur.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
KÜMELER / Küme Problemleri
Örnek 3:
Örnek 6:
40 kişilik bir sınıfta futbol oynayanların sayısı 24, basketbol
oynayanların sayısı 20 dir.
Bir topluluğun %40 ı İngilizce, %50 si Almanca bilmektedir.
Bu topluluğun %5 i her iki dili de bilmektedir.
Her iki sporu da yapanların sayısı 7 olduğuna göre, futbol veya basketbol oynamayan kaç öğrenci vardır?
Her iki dili de bilmeyen 30 kişi olduğuna göre, sadece
Almanca bilen kişi sayısı kaçtır?
B
F
17
7
Topluluktaki kişi sayısı = 100 x
S
x + 13 + 17 +7 = 40
x + 37 = 40
x=3
13
İ
15x = 30
A
x=2
35x
5x
45x
x
45x = 45.2 = 90
15x
Örnek 4:
Örnek 7:
30 kişilik bir grupta İngilizce ve Almanca bilen 4 kişi, yalnız
Almanca bilen 6 kişi vardır. Yalnız İngilizce bilenlerin sayısı
hiçbirini bilmeyenlerin sayısının 4 katıdır.
İngilizce ve Matematik derslerinin en az birinden geçenlerin bulunduğu bir sınıfta öğrencilerin %70 i İngilizce %50 si
Matematik dersinden geçmiştir.
Buna göre, İngilizce bilenlerin sayısı kaçtır?
Buna göre, sınıfın % kaçı her iki dersten geçmiştir?
A
E
İ
6
4
4x
x
5x = 20
Sınıf mevcudu 100x olsun
70
s(İ) = 100x.
= 70x
100
x=4
s(M) = 100x.
x + 4x + 6 + 4 = 30
s(İ) = 4 + 4.4 = 20
50
= 50x
100
s(İ ∪ M) = s(İ) + s(M) – s(İ ∩ M)
100x = 70x + 50x – s(İ ∩ M)
s(İ ∩ M) = 20x
%20 si her iki dersten geçmiştir.
Örnek 5:
Bir sınıfta Japonca veya Çince dillerinden en az birini bilen
öğrenciler bulunmaktadır. Yalnız Japonca bilenlerin sayısı,
yalnız Çince bilenlerin sayısının 3 katı, her iki dili de bilenlerin sayısının 2 katıdır.
Bu sınıfta toplam 44 öğrenci olduğuna göre, Japonca
bilen kaç kişi vardır?
J
Ç
6x
3x
2x
6x + 3x + 2x = 44
11x = 44
x=4
s(J) = 9x = 9.4 = 36
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Örnek 8:
30 kişilik bir sınıfta 17 erkek öğrenci vardır.
10 gözlüklü öğrenciden 6 sı erkek öğrenci olduğuna
göre, gözlüksüz kız öğrenci sayısı kaçtır?
Erkek
Kız
Gözlüklü
6
4
Gözlüksüz
11
9
KÜMELER / Küme Problemleri
Örnek 9:
Örnek 12:
Sarışın ve esmer öğrencilerin bulunduğu bir sınıfta sarışın
erkek sayısı, esmer kız sayısının 2 katıdır.
Voleybol, futbol ve basketbol sporlarından en az birini yapan sporculardan oluşan 60 kişilik bir sporcu kafilesinde
her üç sporu da yapanların sayısı 6 dır. Sadece voleybol,
sadece futbol ve sadece basketbol oynayanların sayıları
birbirine eşittir. Bu sporlardan herhangi ikisini yapanların
sayıları eşittir.
Bu sınıfta 10 kız öğrenci ve 17 sarışın öğrenci bulunduğuna göre, sarışın erkek öğrenci sayısı kaçtır?
Erkek
Kız
2x
10 − x
Sarışın
Esmer
x
10 – x + 2x = 17
10 + x = 17
Buna göre, voleybol oynayanların sayısı en az kaçtır?
x=7
Sarışın erkek = 2x = 2.7 = 14
V
F
y
x
Örnek 10:
İngilizce, Fransızca ve Türkçe dillerinden en az birini
konuşabilen bir toplulukta İngilizce ve Fransızca bilen
10 kişi, İngilizce ve Türkçe bilen 14 kişi, Türkçe ve Fransızca bilen 22 kişi, Türkçe bilen 36 kişi, İngilizce bilen
30 kişi Fransızce bilen 28 kişi ve her üç dili de bilen 6
kişi olduğuna göre topluluk kaç kişidir?
İ
F
4
12
8
6
x + y = 18
x
6
y
3x + 3y + 6 = 60
s(V) = x + 2y + 6
y
y = 0, x = 18 için
B
x
s(V) = 24
Örnek 13:
50 kişilik bir grupta herkes Voleybol oynuyor. 18 kişi ayrıca
Futbol ve Basketbol oynuyor.
Topluluk 54 kişidir.
2
Bu grupta sadece Voleybol oynayan 14 kişi olduğuna
göre, sadece iki spor yapan kaç kişi vardır?
16
T
6
F
B
a
Örnek 11:
18
Sadece voleybol oynayanların sayısı sadece judo yapanların sayısının 6 katıdır.
Buna göre, voleybol oynayanların sayısı en az kaçtır?
V
6x
J
y
x
a + b + 18 + 14 = 50
a + b = 18
b
14
Voleybol ve judo sporlarından en az birini yapanların
bulunduğu bir sınıfta
Voleybol oynayanların sayısı judo yapanların sayısının
4 katıdır.
V
Örnek 14:
Gitar, bağlama veya keman sazlarından yalnız birinin çalındığı bir grupta gitar çalamayan 20, bağlama çalamayan 12,
keman çalamayan 16 kişi vardır.
Buna göre, bu grupta kaç kişi vardır?
6x + y = 4.(x + y)
2x = 3y
x = 3k
G
B
K
x
y
z
y = 2k
s(V) = 6x + y = 6.3k + 2k = 20 k
k = 1 için s(V) en az 20 dir.
y + z = 20
x + z = 12
+ x + y = 16
2(x + y + z) = 48
x + y + z = 24
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
KÜMELER / Küme Problemleri
Örnek 15:
Örnek 18:
Herkesin İngilizce konuşabildiği bir toplulukta Fransızca konuşabilen herkes Almanca da konuşabilmektedir. Bu toplulukta sadece iki dil konuşan 15 kişi, en çok iki dil konuşan
20 kişi vardır. Her üç dili de konuşabilenlerin sayısı yalnızca
birini konuşabilenlerin sayısının 4 katıdır.
200 kişilik bir topluluğun %40 ı Almanca dilini, %30 u Rusça
dilini bilmektedir.
Buna göre bu dillerden hiçbirini bilmeyen en az kaç kişi
vardır?
Buna göre, bu toplulukta kaç kişi vardır?
A
5
15
İ
Toplulukta 5 + 15 + 20 = 40 kişi bulunur.
A
80
R
0
60
s(A) = 200.
40
= 80
100
s(R) = 200.
30
= 60
100
60
20 F
200 − 60 − 80 = 60
Örnek 16:
Örnek 19:
Bir sınıfta Matematik ve Geometri derslerinin sınavlarından
en çok birinden geçenlerin sayısı 26, en az birinden geçenlerin sayısı 25 tir.
44 kişilik bir sınıfta fizik dersinden kalanların sayısı 30, matematik dersinden kalanların sayısı 20 dir.
Bu derslerden yalnız birinden geçenlerin sayısı 20 olduğuna göre, bu sınıfta kaç kişi vardır?
Her iki dersten de geçenlerin sayısı 8 olduğuna göre
sadece matematik dersinden geçenlerin sayısı kaçtır?
Geçenlerin kümesi oluşturulursa
M
E
G
a + c + d = 26
M
F
b
c
a + c = 20
d
F
a + b + c + d = 40
B
a + b = 24
c
b + c = 18
d
4
b
c
a + b + c + 8 = 44
a + b + c = 36
20
a = 16
Örnek 20:
Buna göre, bu sınıfta bu iki oyunu da oynamayan kaç
kişi vardır?
b
8
a + b + c + d = 25 + 6 = 31
40 kişilik bir sınıfta Futbol oynayanların sayısı 24, Basketbol oynayanların sayısı 18, bu iki spordan en çok birini oynayanların sayısı 30 dur.
a
a
ise d = 6
Örnek 17:
a + c = 30
b + c = 20
a + b + c = 25
a
E
a + c + d = 30
ise b = 10, c = 8, a = 14, d = 8
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
8
i matematikten geçmiştir. Mate15
1
matikten geçenlerin de ü fizikten geçmiştir.
4
Bir sınıftaki öğrencilerin
Buna göre bu sınıfta hem fizik hem de matematikten
geçen en az kaç kişi vardır?
Sınıf mevcudu 15x olsun
8
= 8x
15
1
s(M ∩ F) = 8x.
= 2x
4
x = 1 için s(M ∩ F) en az 2 dir.
s(M) = 15x.
KÜMELER / Küme Problemleri
1.
Konu Testi - 1
Aşağıdaki venn şemasında Futbol, Voleybol ve Hentbol
oynayanların sayısı gösterilmiştir.
F
4.
• Atletizm sporunu yapanların sayısı her iki sporu yapanların sayısının 5 katıdır.
V
5
7
3
4
72 kişilik bir toplulukta atletizm ve yüzme sporlarından en
az biri yapılmaktadır.
• Yüzme sporunu yapanların sayısı her iki sporu yapanların sayısının 8 katıdır.
H
2
Buna göre, bu toplulukta yalnız atletizm sporunu yapan kaç kişi vardır?
5
8
A) 21
Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
B) 24
A
A) Yalnız futbol oynayan 5 kişi vardır.
Y
4x
B) Her üç sporu da oynayan 4 kişi vardır.
x
7x
C) 25
D) 28
E) 12
4x + x + 7x = 72
x=6
s(A \ Y) = 4x = 4.6 = 24
C) Yalnız voleybol ve hentbol oynayan 2 kişi vardır.
D) Yalnız voleybol oynayan 7 kişi vardır.
E) En az iki spor yapan 18 kişi vardır.
Yalnız voleybol oynayan 3 kişi vardır.
2.
Bir sınıfta soyut cebir ve analiz derslerinin sınavına
girenler ile ilgili,
Pilav veya kavurmanın dağıtıldığı bir düğünde gelen
davetlilerin;
• Soyut cebir sınavına giren 15 kişi vardır.
• %60 ı kavurma yemiştir.
• Analiz sınavına giren 13 kişi vardır.
• %20 si pilav ve kavurma yemiştir.
• Her iki sınava giren 7 kişi vardır.
• Sadece pilav yiyen kişi sayısı 240 dır.
bilgileri biliniyor.
Buna göre, düğüne gelen davetli sayısı kaçtır?
Buna göre, bu sınıfta soyut cebir veya analiz derslerinin sınavlarına giren kaç kişi vardır?
A) 600
A) 10
B) 15
C) 17
Soyut cebir
8
3.
5.
D) 21
E) 24
Her iki dili de bilenlerin sayısı 8 olduğuna göre, bu iki
dili de bilmeyen kaç kişi vardır?
B) 5
C) 6
A
9
D) 7
F
8
D) 900
E) 1000
8 + 7 + 6 = 21
6
30 kişilik bir toplulukta Farsça bilenlerin sayısı 15, Arapça
bilenlerin sayısı 17 dir.
A) 4
C) 800
Davetli sayısı 100x olsun. s(P ∩ K) = 20x ve s(K) = 60x olur.
K
40x = 240
P
x=6
100x = 100.6 = 600
40x
20x
40x
Analiz
7
B) 700
s(A ∪ F)
7
6
=6
E) 8
6.
40 kişilik bir sınıfla ilgili olarak şunlar bilinmektedir.
• Gitar çalabilen erkek sayısı, gitar çalabilen kız sayısının 2 katıdır.
• Kızların sayısı erkeklerin sayısına eşittir.
• Gitar çalamayan erkek sayısı 8 dir.
Buna göre, bu sınıfta gitar çalabilen kaç öğrenci vardır?
A) 18
B) 16
Gitar çalabilen
Gitar çalamayan
C) 15
Erkek
2x
8
D) 14
Kız
x
E) 12
2x + 8 = 20
x=6
x + 2x = 3x = 3.6 = 18
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
KÜMELER / Küme Problemleri
7.
Konu Testi - 1
Kimya ve Türkçe derslerinin en çok birinden geçenlerin bulunduğu bir sınıfta
10. Herkesin YGS savına girdiği bir toplulukta KPSS sınavına
giren herkes ALES sınavına da girmiştir.
• Kimyadan geçenlerin sayısı 12 dir.
Bu toplulukta
• Türkçeden geçemeyenlerin sayısı 19 dur.
• Sadece iki sınava giren 10
Buna göre, bu sınıfta Kimya ve Türkçe derslerinden
geçemeyenlerin sayısı kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
K
D) 8
T
12
• En çok iki sınava giren 15
• Her üç sınava da giren 7
E) 9
kişi vardır.
Buna göre, bu toplulukta kaç kişi vardır?
12 + y = 19
y=7
x
A) 19
5
10
y
8.
İ
b
A) 10
c
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
E) 5
a + b + c = 13
a + c = 12
a + b + c = 13 ⇒ b + 12 = 13
ise b = 1,
F
a
5 + 10 + 7 = 22
Buna göre, her üç sporu da yapan kaç kişi vardır?
Buna göre, her iki dili de bilen kaç kişi vardır?
D) 4
E) 23
en az biri yapılmaktadır. Karate ve güreş yapan 30, karete
ve judo yapabilen 15, judo ve güreş yapan 25, karate yapan 50, judo yapan 45, güreş yapan 65 kişi vardır.
• İngilizce ve Fransızca dillerinden sadece birini bilen 12
kişidir.
C) 3
D) 22
11. 100 kişilik bir toplulukta karate, judo ve güreş sporlarından
• İngilizce ve Fransızca dillerinden en az birini bilen 13
B) 2
C) 21
7 KPSS
Bir grupta İngilizce veya Fransızca dillerini bilenler veya
bilmeyenler bulunmaktadır.
A) 1
B) 20
YGS
ALES
s(K ∪ G ∪ J) = s(K) + s(G) + s(J) – s(K ∩ G) – s(K ∩ J) – s(G ∩ J) + s(K ∩ J ∩ G)
100 = 50 + 45 + 65 – 30 – 15 – 25 + s(K ∩ J ∩ G)
s(K ∩ J ∩ G) = 10
d
Matematik ve Türkçe kurslarından en az birine katılanların
bulunduğu bir sınıfın
12. Almanca veya İspanyolca konuşulan bir turist kafilesinde
4
• si Matematik
7
13
•
ü Türkçe
14
kursuna katılmaktadır.
• Sadece Almanca konuşabilen kişilerin oluşturduğu kümenin alt küme sayısı 512 dir.
• Sadece İspanyolca konuşabilen kişilerin oluşturduğu
kümenin alt küme sayısı 128 dir.
Her iki kursa katılan öğrenci sayısı 21 olduğuna göre,
sınıf mevcudu kaçtır?
kafilede 20 kişi olduğuna göre, her iki dili konuşabilen
kişi sayısı kaçtır?
A) 28
A) 1
E) 45
Sınıf mevcudu 14x olsun
s(M) = 8x
s(T) = 13x
s(M ∪ T) = s(M) + s(T) – s(M ∩ T)
14x = 8x + 13x – 21 ⇒ x = 3
⇒ 14x = 42
İ
x
5. A
6. A
7. C
8. A
9. D
10. D
11. A
12. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
C) 3
A
y
z
4. B
6
B) 2
D) 4
E) 5
2x = 512 ⇒ x = 9
2y = 128 ⇒ y = 7
x + y + z = 20 ise z = 4
3. C
D) 42
2. D
C) 40
T
1. D
B) 35
M
Cevaplar
9.
KÜMELER / Küme Problemleri
1.
Konu Testi - 2
200 öğrencinin bulunduğu bir okulun %50 si Matematik
%40 ı Fizik kursuna katılmaktadır.
4.
Okulun %20 si her iki kursa katıldığına göre bu kurslara katılmayan kaç öğrenci vardır?
A) 40
B) 50
M
60
C) 60
Yalnızca Almanca bilenler ile her iki dili de bilmeyenlerin sayısı eşit olduğuna göre, grup kaç kişidir?
E) 100
A) 20
50
= 100
100
40
s(F) = 200.
= 80
100
s(M) = 200.
F
40
D) 80
40
s(M ∩ F) = 200.
60
20
= 40
100
5.
Aşağıdaki tablo bir dans okulunda açılan tango ve vals
kurslarına katılan öğrenci sayılarını göstermektedir.
3x + 4
Vals
2x – 1
B) 17
C) 16
D) 15
Buna göre, yalnız radyo dinleme özelliği bulunan kaç
çeşit cep telefonu vardır?
A) 17
B) 18
R
E) 14
a
6.
Bir toplulukta Almanca veya Portekizce bilenler vardır. Almanca bilenlerin sayısının 5 katı ile Portekizce bilenlerin
sayısının 2 katının toplamı 23 tür.
Buna göre, bu topluluktaki kişi sayısı en çok kaçtır?
A) 14
B) 13
C) 12
5.s(A) + 2s(P) = 23
s(A) = 1 ve s(P) = 9 için
s(A ∪ P) = s(A) + s(P) – s(A ∩ P)
s(A ∪ P) = 1 + 9 – 0 = 10 olur.
D) 11
E) 32
36 çeşit cep telefonunun özellikleri incelenmiş ve şu sonuçlara ulaşılmıştır.
C) 19
F
b
c
s(T ∪ V) = s(T) + s(V) – s(T ∩ V)
74 = 3x + 4 + 2x – 1 – (x + 1)
74 = 4x + 2
x = 18
3.
D) 28
• Bu telefonlardan 15 i fotoğraf çekme, 28 i de radyo dinleme özelliğine sahiptir.
Kurslara katılan toplam öğrenci sayısı 74 ve her iki
kursa katılan öğrenci sayısı x + 1 olduğuna göre, x
kaçtır?
A) 18
C) 25
• Her bir cep telefonu fotoğraf çekme ya da radyo dinleme özelliklerinden en az birine sahiptir.
Öğrenci Sayısı
Tango
B) 24
a + c = 10
A
İ
a + b + c = 15
a + c + d = 19
a
b
c
a=d
a + c + d = 19 ⇒ 10 + d = 19
d
ise d = 9, a = 9, c = 1, b = 5
a + b + c + d = 24
200 − 60 − 40 − 40 = 60
2.
Bir turist grubunda İngilizce ve Almanca dillerinden yalnız
birini bilen 10 kişi, en az birini bilen 15 kişi, en çok birini
bilen 19 kişi vardır.
E) 10
D) 20
E) 21
a + b + c = 36
b + c = 15
a + b = 28
a + b + c = 36 ⇒ 28 + c = 36
ise c = 8, b = 7, a = 21
Bir sınıftaki öğrenciler tarih ve kimya derslerinin en az birinden başarılıdır. Bu öğrencilerin %50 si yalnız tarih dersinden, %30 u da yalnız kimya dersinden başarılıdır.
Her iki dersten de başarılı olan öğrenci sayısı 12 olduğuna göre, yalnız tarih dersinden başarılı olan öğrenci
sayısı kaçtır?
A) 30
B) 36
C) 40
D) 44
E) 50
Sınıf 100 x olsun
T
50x
K
12
30x
50x + 30x + 12 = 100x
12
20x = 12 ⇒ x =
⇒ x = 0,6
20
s(T \ K ) = 50x
s(T \ K ) = 30
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
KÜMELER / Küme Problemleri
7.
Konu Testi - 2
Almanca, Türkçe ve İspanyolca dillerinden en az birini
bilenlerin oluşturduğu bir sınıfla ilgili
10. Futbol veya voleybol sporlarından en az birini yapanların bulunduğu bir sınıf ile ilgili aşağıdaki ifadeler bilinmektedir.
• Almanca bilen herkes Türkçe bilmektedir.
• Üç dili de bilenlerin sayısı 4 tür.
• Yalnız bir spor yapanların kümesinin kendisi hariç alt
küme sayısı 255 dir.
• Yalnız bir dil bilenlerin sayısı yalnız iki dil bilenlerin sayısının 3 katıdır.
• Her iki sporu da yapanların kümesinin iki elemanlı alt
küme sayısı 6 dır.
bilgileri bilinmektedir.
Buna göre, sınıf mevcudu kaç kişidir?
Buna göre, sınıf mevcudu aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
A) 15
A) 15
B) 16
T
A
a
8.
C) 18
d
4
E) 30
c
E) 11
11. Ali, Burcu, Ceyda, Deniz, Elif, Fatma, Gönül ve Hasan
sekiz kişilik bir sınıfın öğrencileridir. Öğretmenleri bir şiir
yarışması yapmak amacıyla bu öğrencileri dörder kişilik 2
kümeye ayırmıştır. Bunun ile ilgili,
• Deniz 1. kümededir.
L
N
D) 12
2x – 1 = 255 ⇒ x = 8
y
c m = 6 ⇒ y(y – 1) = 12
2
y=4
s(F ∪ V) = x + y = 12
x
Aşağıdaki şemada Ahmet ve Barış isimli iki kardeşe ait
arsalar gösterilmektedir.
A
D
E
C) 13
V
y
d + c = (a + b).3
SM = a + b + c + d + 4
SM = a + b + 3(a + b) + 4
SM = 4.(a + b) + 4
a + b = 3 için SM = 16 olur.
İ
b
D) 22
B) 14
F
• Burcu ve Ceyda aynı kümededir.
• Gönül ve Fatma aynı kümededir.
• Ali ve Hasan farklı kümededir.
C
ifadeleri bilinmektedir.
Buna göre aşağıdakilerden hangisinin hangi kümede
olduğu kesin olarak bilinmektedir?
K
• Taralı bölgenin alanı 30 km2 dir.
A) Ali
• ABCD dörtgeni Ahmet'e ait olan arsayı EFKL dörtgeni
Barış'a ait olan arsayı göstermektedir.
Buna göre, ortak arsaları kaç km2 dir?
B) 8
C) 9
D) 10
9.
E) 11
A(EMCN) = 9 km2 dir.
Türkçeden geçenlerin sayısı, felsefeden geçenlerin
sayısından 4 fazla olduğuna göre, bu sınıfta felsefeden geçen kaç kişi vardır?
Buna göre, matematikten geçen erkek sayısı matematikten geçenlerin % kaçıdır?
B) 14
C) 18
D) 26
A) 8
E
14x
46x
7. B
8. C
9. E
10. D
11. C
12. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
10 – x
6. A
8
K
36x
4x
B) 9
T
E) 28
Sınıf 100x olsun
Kızlar = 40x
Erkekler = 60x
Geçenler = 50x
14x
% =
.100 = 28
50x
Geçen
Kalan
Deniz
rin sayısı 5, Türkçe veya felsefe derslerinin en az birinden
geçenlerin sayısı 15 tir.
Matematikten geçenlerin ve kalanların bulunduğu bir sınıfta sınıfın %60 ı erkektir. Sınıfın %50 si matematikten
geçmiştir. Matematikten kalan kızların sayısı, kızların sayısının %10 udur.
A) 12
E) Hasan
12. Bir sınıfta hem Türkçe hem felsefe derslerinden geçenle-
5. E
A) 7
A(ABMFKLND) = A(ABCD) + A(EFKL) – A(EMCN)
30 = 20 + 19 – A(EMCN) ⇒
C) Elif
Burcu ve Ceyda ikilisi ile Gönül ve
Fatma ikilisi farklı
2. küme
kümededir. Ali ve
Hasan farklı kümede olacağından 1. küme bu kişiler ile dolacaktır. Dolayısıyla Elif 2. kümede olacaktır.
1. küme
5
F
C) 10
D) 11
E) 12
(15 – x) = (x + 5) + 4
2x = 6 ⇒ x = 3
s(F) = 5 + 3 = 8
x
4. B
• EMCN ortak arsaları ve A(ABCD) = 20
A(EFKL) = 19 km2 dir.
D) Gönül
km2
3. E
B) Burcu
2. A
F
1. C
M
Cevaplar
B
KÜMELER / Kartezyen Çarpım
hhKARTEZYEN ÇARPIM
Not
Sıralı İkili
A boş kümeden farklı bir küme olmak üzere
m ve n sayılarının sıra belirterek (m, n) biçiminde yazılması ile
elde edilen elemana sıralı ikili denir.
A x A = A2
A x A x A = A3
biçiminde gösterilir.
Not
(m, n) sıralı ikilisinde m ye birinci bileşen, n ye ikinci
bileşen denir.
Örnek 22:
A = {a, b}
B = {1, 2, 3}
Sıralı İkililerin Eşitliği
kümeleri için aşağıda verilen kartezyen kümelerini liste
biçiminde yazınız.
(m, n) ve (a, b) sıralı ikililer olmak üzere (m, n) = (a, b) ise
m = a ve n = b dir.
a) A x B
A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}
b) B x A
Örnek 21:
B x A = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)}
(a + b – 3, b – 2) = (6, 1)
olduğuna göre, a.b çarpımının değeri kaçtır?
Not
a+b–3=6⇒a+b=9
A ve B boş kümeden ve birbirinden farklı kümeler ise
b–2=1⇒b=3
A x B ≠ B x A dır.
o hâlde a + 3 = 9 ⇒ a = 6 olur a.b = 6.3 = 18
Kartezyen Çarpım
A ve B boş olmayan herhangi iki küme olsun. Birinci bileşeni
A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alarak oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesine A kartezyen B kümesi denir.
A x B şeklinde gösterilir.
A x B = {(x, y): x Î A ve y Î B}
Örnek 23:
A x B = {(1, 3), (1, 5), (1, 7), (3, 3), (3, 5), (3, 7)}
B x C = {(3, 5), (3, 6), (5, 5), (5, 6), (7, 5), (7, 6)}
olduğuna göre, A x C kümesini bulunuz.
A = {1, 3}, B = {3, 5, 7}, C = {5, 6}
A x C = {(1, 5), (1, 6), (3, 5), (3, 6)}
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
KÜMELER / Kartezyen Çarpım
Örnek 24:
b) s((A È B) x (A Ç C)) kaçtır?
A = {1, 3, 5}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10}
A ∩ C = {1, 2, 4, 7}
s((A ∪ B) x (A ∩ C)) = 8.4 = 32
olduğuna göre A x A kümesi için aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) Eleman sayısı kaçtır?
A x A = { (1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)}
s(A x A) = 9
b) İki elemanlı alt küme sayısı kaçtır?
9
.8
o 92=
s(A x A) = 9 olduğundan e=
.1 36 olur.
2
Örnek 27:
A ve B kümeleri için
s(A) = 4
s(B – A) = 3
Kartezyen Çarpımının Özellikleri
olduğuna göre, s((A È B) x A) ifadesinin değeri kaçtır?
Boş kümeden farklı A, B ve C kümeleri için
s(A x B) = s(B x A) = s(A).s(B)
A x (B Ç C) = (A x B) Ç (A x C)
A x (B È C) = (A x B) È (A x C)
A
B
4
s((A ∪ B) x A) = s(A ∪ B).s(A)
3
= 7.4
= 28
dir.
Örnek 25:
s(A) = 4, s(B) = 5 ve s(C) = 6
olduğuna göre, s(A x C) + s(B x C) toplamının değeri
kaçtır?
s(A x C) + s(B x C) = s(A).s(C) + s(B).s(C)
= 4.6 + 5.6
= 54
Örnek 26:
A = {1, 2, 4, 7, 10}
Örnek 28:
Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için
s(A x B) = 12
olduğuna göre, s(B x B) aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 144
B) 36
C) 16
D) 9
E) 6
B = {1, 3, 5, 7, 9}
C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
olduğuna göre
a) (A Ç B) x (B Ç C) kartezyen çarpımının eleman sayısı
kaçtır?
s(A)
1
2
3
4
6
12
s(B)
12
6
4
3
2
1
s(B x B)
122
62
42
32
22
12
s(B x B) 6 olamaz.
Öğretmen
Sorusu
A ∩ B = {1, 7} ve B ∩ C = {1, 3, 5, 7} ise
s((A ∩ B) x (B ∩ C)) = s(A ∩ B).s(B ∩ C) = 2.4 = 8
a ve b tam sayılardır.
2 < a < 80
5 < b < 50
eşitsizliklerini sağlayan (a, b) sıralı ikililerinden kaç tanesinde a + b toplamı üç basamaklıdır?
a = 51 için b = 49
a = 53 için b = 49, 48, 47
.
..
a = 79 için b = 49, 48, ..., 21
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1 + 2 + 3 + ... +29
a = 52 için b = 49, 48
29 . 30
= 435
2
KÜMELER / Kartezyen Çarpım
Kartezyen Çarpım Grafikleri
Örnek 29:
A ve B boş kümeden farklı olmak üzere koordinat düzleminde
apsisi A kümesinden, ordinatı B kümesinden alınarak oluşturulan sıralı ikililerin kümesine A x B kartezyen çarpımının grafiği
denir.
s(B – A) = 4
s(A ∩ B) = 2
s(A – B) = 3
olduğuna göre, s((A x B) ∪ (A x A)) ifadesinin değeri
kaçtır?
A
B
3
2
4
s((A x B) ∪ (A x A)) = s(A x (B ∪ A))
= s(A).s(B ∪ A)
= 5.9 = 45
Örnek 31:
A = {1, 2, 3}
B = {2, 3, 4}
olmak üzere, A x B kümesinin grafiğini çiziniz.
Örnek 30:
A = {1, 2, 3, 4, a, b}
A x B = { (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 4), (3, 3)}
B
B = {3, 5, a, c, d}
4
C = {1, 4, a, d, c}
3
olduğuna göre, aşağıdaki soruları cevaplayınız.
2
A
1
2
3
a) (A x B) Ç (A x C) kümesinin eleman sayısı kaçtır?
(A x B) ∩ (A x C) = A x (B ∩ C) ve B ∩ C = {a, c, d} olduğundan
Örnek 32:
A = {1, 2, 3}
s(A x (B ∩ C)) = s(A).s(B ∩ C)
= 6.3 = 18
b) s((A x C) È (B x C)) ifadesinin değeri kaçtır?
B = {x: 1 < x ≤ 3, x Î R}
olmak üzere, A x B kartezyen çarpım kümesinin grafiğini çiziniz.
(A x C) ∪ (B x C) = (A ∪ B) x C ve
A
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, a, b, c, d} olduğundan
s((A x C) ∪ (B x C)) = s(A ∪ B).s(C)
3
= 9.5 = 45 bulunur.
1
Öğretmen
Sorusu
1
A, B ve C aynı evrensel kümenin alt kümeleridir.
s(A) = 5, s(B) = 7 ve s(C) = 6 olduğuna göre
(A X B) ∩ (C X B)
kümesinin eleman sayısı en çok kaçtır?
2
3
B
s((A X B) ∩ (C X B)) = s((A ∩ C) X B)
= s(A ∩ C).s(B)
=5.7
= 35
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
KÜMELER / Kartezyen Çarpım
Örnek 36:
Örnek 33:
A = {–1, 0, 1, 2}
A = {x: 1 < x < 4, x Î Z}
B = {x: –1 ≤ x ≤ 4, x Î R}
B = {x: 2 ≤ x < 4, x Î R}
olmak üzere, B x A kartezyen çarpımının grafiğini çiziniz.
olduğuna göre, A x B kartezyen çarpımının grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
A
2
2
2
1
0
B
4
–1
C)
A
4
D)
B
4
2
3
2
3
A
B
3
2
1
Örnek 34:
B
4
1
–1
B)
B
4
2
A
4
A
A ve B gerçek sayılar kümesinin alt kümesidir.
E)
A = [1, 4)
B
3
B = (–2, 1]
2
olmak üzere, A x B nin grafiğini çiziniz.
2
4
A
B
A = {x: 1 < x < 4, x ∈ Z} = {2, 3} olduğundan A X B nun grafiği B seçeneğindedir.
1
1
A
4
–2
Örnek 37:
Örnek 35:
A
6
A = {x: 2 ≤ x ≤ 6, x Î R}
olmak üzere A x A kartezyen çarpım kümesinin elemanlarını içine alan en küçük çemberin yarıçapı kaç
birimdir?
1
0
A
8
B
Yukarıda B x A kartezyen çarpımının grafiği verilmiştir.
6
Çemberin çapı 4 2 yarıçapı
2 2 birimdir.
4
4 2
Buna göre, A È B kümesini bulunuz.
B = {x: 2 ≤ x < 8, x ∈ R}
A = {x: 1 ≤ x ≤ 6, x ∈ R}
2
4
2
12
2
6
A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
olduğundan A ∪ B = {x: 1 ≤ x < 8, x ∈ R} olur.
KÜMELER / Kartezyen Çarpım
1.
Konu Testi - 3
5.
(x – 1, y + 2) = (4, 6)
A ve B boş olmayan ayrık kümelerdir.
s(A) = 4
olduğuna göre, x.y çarpımının değeri kaçtır?
A) 30
B) 24
x–1=4⇒x=5
y+2=6⇒y=4
2.
C) 20
D) 18
s(B) = 2
E) 16
olduğuna göre, s(A x (A È B)) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 16
x.y = 5.4 = 20
B) 18
C) 20
D) 21
E) 24
A ve B ayrık ise A ∩ B = ∅
s(A ∪ B) = s(A) + s(B) = 6 dır.
s(A x (A ∪ B)) = s(A).s(A ∪ B)
= 4.6 = 24
A = {1, 2, 3, 4}
6.
B = {2, 3, 4}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi A x B kümesinin elemanı değildir?
A) (2, 2)
B) (4, 4)
D) (4, 3)
olduğuna göre, A x B kümesinin elemanlarının kaç tanesinde birinci bileşen "a" dır?
C) (1, 1)
A) 4
E) (2, 4)
s(A) = 4
7.
s(B) = 5
B) 28
C) 24
C) 6
D) 7
D) 20
E) 8
7 tanedir.
{x: 1 ≤ x < 4, x Î Z}
olduğuna göre, A x A kümesinin iki elemanlı alt küme
sayısı kaçtır?
olduğuna göre, s(A x B) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 30
B) 5
(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5), (a, 6), (a, 7)
1 ∉ B olduğundan (1, 1) ∉ A x B dir.
3.
A = {a, b, c, d, e}
E) 18
A) 44
s(A x B) = s(A).s(B)
s(A x B) = 4.5
s(A x B) = 20
B) 36
C) 32
D) 30
E) 28
A = {1, 2, 3}
s(A x A) = s(A).s(A) = 3.3 = 9
9. 8
9
d n = 2.1 = 36
2
4.
s(A) = 6
8.
s(A x B) = 30
A ve B kümeleri için
A x B = {(1, 1), (1, 4), (2, 1), (2, 4), (3, 1), (3, 4)}
olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden hangisi olabilir?
kümesi tanımlanıyor.
A) {1, 2, 3}
Buna göre, A Ç B kümesinin eleman sayısı kaçtır?
B) {1, 3, 5, 7}
D) {a, b, c, d, e}
s(A x B) = s(A).s(B) = 30
6.s(B) = 30
s(B) = 5
o hâlde {a, b, c, d, e} olabilir.
C) {a, b}
E) {a, b, c, 1, 2, 3}
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
A = {1, 2, 3} ve B = {1, 4}
A ∩ B = {1} ⇒ s(A ∩ B) = 1
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
KÜMELER / Kartezyen Çarpım
9.
Konu Testi - 3
13.
A = {1, 2, 3, 4}
A = {1, 2, 3}
B = {a, b}
B Ç C = {2, 3, 4, 5, 6}
olduğuna göre, (A x B) Ç (A x C) kümesinin eleman
sayısı kaçtır?
olduğuna göre, A x B kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde (1, a) eleman olarak bulunur?
A) 15
A) 6
B) 18
C) 20
D) 21
E) 24
{(1, a), –, –}
{(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2)}
kümesinde hangi eleman olmasaydı bir kartezyen çarpım elde edilirdi?
A) (1, 2)
B) (1, 3)
E) 21
5. 4
5
d n = 2.1 = 10
2
s(A x B) = 30
olduğuna göre, s(A) nın alabileceği kaç farklı değer
vardır?
E) (3, 2)
A) 2
(3, 2) elemanı olmasaydı küme kartezyen çarpım olur.
11.
D) 15
14. A ⊆ B olmak üzere
C) (2, 2)
D) (2, 3)
C) 12
s(A x B) = s(A).s(B) = 3.2 = 6
(A x B) ∩ (A x C) = A x (B ∩ C)
s(A x (B ∩ C)) = s(A).s(B ∩ C)
= 4.5 = 20
10.
B) 10
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
A ⊆ B ise s(A) ≤ s(B) dir.
s(A).s(B) = 30 ise
s(A) → 1, 2, 3, 5 değerlerini alabilir.
A x B = {(1, 1), (1, 2), (3, 1), (3, 2)}
B x C = {(1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3)}
olduğuna göre, A x C kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
15.
A = {1, 2, 4, 9}
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
C = {0, 2, 4, 6}
A) {(2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 3)}
olduğuna göre (A x B) ∪ (A x C) kümesinin eleman
sayısı kaçtır?
B) {(1, 2), (3, 2), (1, 3), (3, 3)}
C) {(1, 2), (3, 2), (3, 1), (3, 3)}
D) {(1, 2), (2, 2), (1, 3), (3, 3)}
A) 20
B) 21
C) 24
E) {(1, 2), (2, 2), (3, 1), (3, 3)}
(A x B) ∪ (A x C) = A x (B ∪ C)
D) 28
E) 32
B ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ise s(A x (B ∪ C)) = 4.8 = 32
A = {1, 3} ve C = {2, 3}
A x C = {(1, 2), (3, 2), (1, 3), (3, 3)}
16. A ve B boş olmayan iki kümedir.
12. A, B ve C kümeleri için
s(A x (A ∪ B)) = 45
s(A x B) = 7
olduğuna göre, A Ç B kümesinin eleman sayısı en çok
kaçtır?
E) 16
s(AX(A ∪ B)) = 45 ⇒ s(A) . s(A ∪ B) = 45
s(A) = 5 ve s(A ∪ B) = 9 için
s(A ∩ B) en çok 5 tir.
8. B
9. C
10. E
11. B
12. A
13. B
14. C
15. E
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7. B
16. E
14
6. D
s(A).s(B) = 7 ve s(A).s(C) = 12 ise s(A) = 1, s(B) = 7, s(C) = 12 olur.
s(A) + s(B) + s(C) = 20
5. E
D) 17
4. D
C) 18
C) 3
3. D
B) 19
B) 2
D) 4
E) 5
A
B
0
2. C
A) 20
A) 1
5
1. C
olduğuna göre, s(A) + s(B) + s(C) toplamı kaçtır?
4
Cevaplar
s(A x C) = 12
KÜMELER / Kartezyen Çarpım
1.
Konu Testi - 4
4.
A = {x: 8 < x < 53, x = 5n, n Î Z}
Buna göre,
B = {x: 13 < x < 52, x = 6m, m Î N}
I. A x B ≠ B x A
olduğuna göre, A x B kartezyen çarpımının eleman sayısı kaçtır?
A) 60
B) 56
C) 54
D) 52
A ve B boş kümeden farklı kümelerdir.
II. s(A x B) = s(B x A)
III. s(A x B) = s(A)s(B)
E) 50
ifadelerinden hangileri daima doğrudur?
A = {10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50}
B = {18, 24, 30, 36, 42, 48}
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
s(A x B) = s(A).s(B) = 9.6 = 54
C) I ve II
E) I, II ve III
A = B durumunda A x B = B x A olacağından A x B ≠ B x A daima doğru
değildir.
s(A x B) = s(A)s(B) daima doğru değildir.
s(A x B) = s(B x A) daima doğrudur.
2.
5.
A ve B kümeleri için
A boş kümeden farklı bir kümedir.
Sayma sayıları kümesinde tanımlı
s(A x B) = 42
n = s(A x A x A ... x A)
n tane
olduğuna göre, A È B kümesinin eleman sayısı en çok
kaçtır?
A) 13
B) 14
C) 23
D) 36
fonksiyonu için
s(A)
E) 43
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
s(A).s(B) = 42
s(A) = 1, s(B) = 42 ve s(A ∩ B) = 0 için s(A ∪ B) en çok 1 + 42 – 0 = 43 tür.
A) 256
s(A)
B) 216
C) 144
D) 64
E) 16
= s(A x A x A ... x A)
s(A) tane
s(A)
= s(A).s(A).s(A) ... s(A) = s(A)s(A) olur.
s(A) tane
s(A) = 4 için 44 = 256 olabilir.
3. A ve B boş kümeden farklı iki kümedir.
6.
s(A – B) = 3
s(A) = 7
s((A È B) x B) = 70
olduğuna göre, B – A kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
A
D) 4
E) 5
B
3
4
A = {3, 4, 5, 6}
olduğuna göre, A x A kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaçında (3, 3), (4, 4) eleman olarak bulunur ancak
(5, 5) eleman olarak bulunmaz?
x
A) 60
B) 64
C) 66
D) 72
E) 78
s(A x A) = s(A).s(A) = 4.4 = 16
13.12
{(3, 3), (4, 4), –, –} ise d 13 n = 2.1 = 78
2
s(A ∪ B).s(B) = 70 ⇒ (x + 7).(x + 4) = 70
⇒ x + 7 = 10 ve x + 4 = 7
⇒x=3
⇒ S(B – A) = 3
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
KÜMELER / Kartezyen Çarpım
7.
Konu Testi - 4
9.
A = {1, 2, 3}
A = {a, b, c, d}
B = {–3, –2, –1}
B = {x: x = 2n, n Î Z}
C = {y: y asal sayı}
olduğuna göre, A x B kartezyen çarpımın grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
B
1
2
3
B
1
A
–1
–1
–2
–2
–3
–3
C)
D)
B
olduğuna göre, (A x B) Ç (A x C) kümesinin eleman
sayısı kaçtır?
2
3
A) 4
A
1
2
2
3
A
E) 12
10. Aşağıda A x B ve C x D kartezyen çarpımlarının grafiği
verilmiştir.
–2
–3
–3 –2 –1
D) 10
A
–1
1
C) 8
(A x B) ∩ (A x C) = A x (B ∩ C)
B ∩ C = {2}
s(A x (B ∩ C)) = s(A).s(B ∩ C)
= 4.1 = 4
B
3
B) 6
y
CxD 6
E)
B
1
2
3
A
4
AXB
–1
–2
2
–3
A x B = {(1, –1), (1, –2), (1, –3), (2, –1), (2, –2), (2, –3), (3, –1), (3, –2), (3, –3)}
olduğundan cevap B dir.
8.
B
–1
3
6
x
Buna göre, şekildeki tüm taralı bölgenin alanı kaç br2
dir?
D
5
1
3
A) 26
B) 28
C) 30
1
Tüm Alan = (4.4) + (5.4) – 2.2
= 16 + 20 – 4
= 32 br2
D) 32
E) 36
4
1
2
A
3
1
4
C
Yukarıda A x B ve C x D kartezyen çarpımlarının grafikleri
verilmiştir.
11.
A = {–3, 1, 2, 3}
B = {–4, 1, 3, 4}
Buna göre
(B È C) x (D È C)
kartezyen çarpımının grafiğinin belirttiği kapalı bölgenin alanı kaç br2 dir?
olduğuna göre, koordinat düzleminde A x B kümesinin noktalarını dışarıda bırakmayan en küçük çemberin yarıçapı kaç birimdir?
A) 8
A) 4
D) 15
E) 18
4
Taralı Alan = 4.3 = 12
3
1
4
–3
B∪C
5. A
6. E
7. B
8. C
9. A
10. D
11. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
E) 6
–4
4. B
16
5
3. C
1
A
1 2 3
D) 5
R2 = 62 + 82
R2 = 100
R = 10
R =5
2
2. E
1
C) 2 6
B
B = [4, 5], C = (1, 4], D = [1, 3)
B ∪ C = (1, 5] ve D ∪ C = [1, 4]
D∪C
B) 2 5
1. C
C) 12
Cevaplar
B) 10
YGS // MATEMATİK
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER
Gerçek Sayılar, Temel Kavramlar
FÖY NO
03
hhGERÇEK SAYILAR
hhSayı Kümeleri
Rakam
1. Doğal Sayılar
Sayıları ifade etmeye yarayan
N = {0, 1, 2, 3, ...} kümesinin elemanlarına doğal sayı denir. N
sembolü ile gösterilir.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
sembollerine rakam denir.
N+ = {1, 2, 3, 4, ...} kümesinin elemanlarına pozitif doğal sayı
veya sayma sayıları denir. N+ sembolü ile gösterilir.
Örnek 1:
a, b ve c birbirinden farklı rakamlardır.
Buna göre
3a + b – 2c
ifadesinin alabileceği en büyük ve en küçük değerleri
bulunuz.
a = 9, b = 8, c = 0 için 3a + b – 2c
en büyük 3.9 + 8 – 2.0 = 35 tir.
2. Tam Sayılar
Z = { ..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...} kümesinin elemanlarına tam
sayı denir. Z sembolü ile gösterilir.
Z+ = {1, 2, 3, 4, ...} kümesinin elemanlarına pozitif tam sayı
denir. Z+ sembolü ile gösterilir.
Z– = {..., –3, –2, –1} kümesinin elemanlarına negatif tam sayı
denir. Z– sembolü ile gösterilir.
a = 0, b = 1, c = 9 için 3a + b – 2c
en küçük 3.0 + 1 – 2.9 = –17 dir.
Örnek 2:
a ve b rakam olmak üzere
3. Rasyonel Sayılar
x
biçiy
minde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Q sembolü ile
x ve y birer tam sayı ve y sıfırdan farklı olmak üzere
gösterilir.
2a + b = 17
eşitliğini sağlayan kaç farklı a değeri vardır?
Eşitliği sağlayan (a, b) sıralı ikilileri (4, 9), (5, 7), (6, 5), (7, 3), (8, 1) olduğundan 5 farklı a değeri vardır.
4. İrrasyonel Sayılar
x
biçiminde yazılamayan sayılara
y
irrasyonel sayı denir. Q′ sembolü ile gösterilir.
Rasyonel olmayan yani
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Gerçek Sayılar
5. Reel (Gerçek) Sayılar
2. Çarpma ve Bölme İşlemleri
Rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar kümelerinin birleşimi ile
oluşan sayı kümesine Reel (Gerçek) Sayılar kümesi denir. R
sembolü ile gösterilir.
hh Aynı işaretli iki sayının çarpımı veya bölümü pozitiftir.
R
+ . + = +
+¸+=+
+.– = –
+¸–=–
ve
– . + = –
Q
Z
N
hh Ters işaretli iki sayının çarpımı veya bölümü negatiftir.
–¸+=–
– . – = +
Q′
–¸–=+
Örnek 4:
Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını yanlarında bulunan kutulara yazınız.
hhDoğal ve Tam Sayılar Kümelerinde
İşlemler
1. Toplama ve Çıkarma İşlemleri
hh (–3).(–4) =
+12
hh 5.3 =
15
hh (–4).(+7) =
–28
hh 6.(–3) =
–18
–10
hh 24 : 6 =
4
hh 30 : (–3) =
hh (–42) : (–7) =
6
hh (–12) : (–12) =
1
hh a ve b pozitif tam sayılar ise a + b toplamı da pozitiftir.
hh a ve b negatif tam sayılar ise a + b toplamı da negatiftir.
hh a ve b den biri negatif biri pozitif ise bu iki sayının farkının
işareti bu sayılardan mutlak değerce büyük olanın işaretidir.
Örnek 5:
–3 + 4 -
16 24
- (- 5)
4 -4
işleminin sonucunu bulunuz.
Örnek 3:
+1 –4 – (–6) + 5
Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını yanlarında bulunan kutulara yazınız.
–3 + 6 + 5
–3 + 11
8
hh 7 + 4 =
11
hh –4 + 8 =
4
hh –12 – 10 = –22
hh –10 + 3 = –7
hh 15 – 7 =
hh 10 – 17 =
2
8
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
–7
3. Tam Sayıların Kuvvetlerinin İşaretleri
hh Pozitif tam sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir.
hh Negatif tam sayıların tek kuvvetleri negatif , çift kuvvetleri pozitiftir.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Gerçek Sayılar
Örnek 9:
Örnek 6:
Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını yanlarında bulunan kutulara yazınız.
 23 =
8
 (–2)2 =
4
 70 =
1
 (–3)3 =
–27
 54 =
625
 (–1)101 =
–1
5 – [4 – (7 – (4 – 6))]
işleminin sonucu kaçtır?
5 – [4 – (7 – (–2))] = 5 – [4 – (7 + 2)]
⇒ 5 – [4 – 9] = 5 – (–5) = 5 + 5 = 10
Örnek 10:
(–2)3.(–4) – 4 : (–2)
Örnek 7:
–(–2)3 + [4 – (32)]0 + (–1)21
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu kaçtır?
(–8).(–4) – (–2)
32 + 2 = 34
–(–8) + [4 – 9]0 + (–1)
8 + (–5)0 – 1
8+1–1=8
Örnek 11:
x = –2 için
x5 + x2 – 2x + 3
Not
Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin iç içe
olduğu bir işlemde,
1. Parantez içi
2. Üslü sayılar
işleminin sonucu kaçtır?
(–2)5 + (–2)2 –2(–2) + 3
–32 + 4 + 4 + 3
–32 + 11
–21
3. Çarpma ve bölme
4. Toplama ve çıkarma
sıralamasına göre işlem yapılır.
Örnek 12:
Aşağıda verilen harfli ifadelerin düzenlenmiş hâllerini
yanlarında bulunan kutucuklara yazınız.
Örnek 8:
(6 – (–2)) : (–4 + 2)
işleminin sonucu kaçtır?
(6 + 2): (–2)
8 : –2 = –4
 3x + 2x =
5x
 7x – 3x =
4x
 –4x + 2x =
–2x
 –5x – 4x =
–9x
 2a + b =
2a + b
 a + 3a + b – 2b =
 x2 + 2x – x =
x2 + x
 x2 – 3x2 + 4x + x = –2x2 + 5x
 (–6a) : 2a =
–3
 (–3a).(–2b) =
4a – b
6ab
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Gerçek Sayılar
Örnek 13:
Örnek 17:
7x – [2x – (3x – 5x)]
işleminin sonucunu bulunuz.
7x – [2x – (–2x)] = 7x – [2x + 2x]
= 7x – 4x
= 3x
64 2 - 32 2
96
işleminin sonucu kaçtır?
(64 - 32) (64 + 32) 32.96
= 96 = 32
96
Örnek 14:
x2 – x.(x + 3) – 2(1 – x)
işleminin sonucu kaçtır?
x2 – x2 – 3x – 2 + 2x
Örnek 18:
x = 2016 ve y = 2012 için
x2 + y2 – 2xy
ifadesinin sonucu kaçtır?
–x – 2
Örnek 15:
x.(x – y) – (y – x).y – x2
işleminin sonucu kaçtır?
x2 – xy – y2 + xy – x2
–y2
(x – y)2 = (2016 – 2012)2 = 42 = 16
Not
x2 + ax + b
ifadesinde b = m . n ve a = m + n ise
Not
x2 – y2 = (x – y).(x + y)
ifadesine iki kare farkı denir.
x2 + ax + b = (x + m) (x + n) dir.
Örnek 19:
Aşağıda verilen ifadeleri çarpanlara ayırınız.
Not
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
ifadelerine tam kare açılımları denir.
 x2 – 2x – 3 = (x – 3)(x + 1)
 x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1)
 x2 + 4x – 5 = (x + 5)(x – 1)
 x2 – 6x + 5 = (x – 5)(x – 1)
 2x2 – 3x + 1 = (2x – 1) (x – 1)
Örnek 16:
Aşağıda verilen ifadelerin açılımlarını yapınız.
 x2 – 32 = (x – 3) (x + 3)
 x2 – 16 = (x – 4) (x + 4)
Örnek 20:
x2 – 7x + 6 = 0
denklemini sağlayan x değerlerini bulunuz.
 25 – 4x2 = (5 – 2x)(5 + 2x)
2
 (x – 2)2 = x – 4x + 4
2
 (x + 4)2 = x + 8x + 16
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
(x – 6) (x – 1) = 0
x–6=0⇒x=6
x–1=0⇒x=1
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Gerçek Sayılar
1.
Konu Testi - 1
A) 21
B) 20
C) 19
(–2)3 : (–2)2 – (–5)2.3
5.
143 132
11 - 12
işleminin sonucu kaçtır?
-3+
işleminin sonucu kaçtır?
D) 18
A) –77
E) 17
B) –72
C) –70
D) –64
E) –60
D) –1
E) –2
D) 4
E) 5
D) 13
E) 12
(–8) : 4 – 25.3 = –2 – 75 = –77
–3 + 13 – (–11) = 10 + 11 = 21
8 : 2 + 6.(–2) + 10 : 5 – 2
2.
işleminin sonucu kaçtır?
A) –9
B) –8
C) –7
işleminin sonucu kaçtır?
D) –6
E) –5
A) 2
4 – 12 + 2 – 2
- 32 . 9
+ ^- 1h . ^- 2h . ^- 3h
12 - 8
B) –5
C) –4
D) –3
işleminin sonucu kaçtır?
E) –2
A)
-8 9
- = 9 - = - =3 . -8 6 3 6 3 6 3
B) –5
–40 : [–2 + 6] = –40 : 4 = –10
C) –8
B) 3
C)
10
3
^- 4h2 - 2 2 + 43 0
^- 1h10 + ^- 1h11 + ^- 1h12
8.
işleminin sonucu kaçtır?
A) –2
8
3
6 - ^6 + 1 - 21h 6 - ^- 14h 20 10
=
=
=
6
3
2 + ^4h
2 + ^2 - ^- 2hh
–40 : [–2 – (–2).3]
4.
C) 0
6 - ^6 + 5: 5 - 21h
2 + 62 - ^2 - 4h@
7.
işleminin sonucu kaçtır?
A) –6
B) 1
2 – [3 – (–1)] = 2 – [3 + 1] = 2 – 4 = –2
–8 + 0 = –8
3.
2 – [3 – (4 – 5)]
6.
D) –9
E) –10
işleminin sonucu kaçtır?
A) 16
B) 15
C) 14
16 - 4 + 1 = 13 =
1 13
1-1+1
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Gerçek Sayılar
Konu Testi - 1
x2 – 3x + 4x – (x2 – 2x)
9.
13. x = –2 ve y = 2 için
x3 + y3 – xy + x + y
işleminin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A) x 2 – 3x
B) 3x
D) 2x 2 + 3x
işleminin sonucu kaçtır?
C) –3x
E) –xy
A) 1
x2 – 3x + 4x – x2 + 2x
x + 2x
3x
D) 4
E) 5
D) 143
E) 152
14. a = 112 olmak üzere
a 2 - 3a - 4
a- 4
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 12x
C) 3
(–2)3 + 23 –(–2).2 + (–2) + 2
–8 + 8 + 4 – 2 + 2
4
5x – [6x – (–7x – 10x)]
10.
B) 2
B) 18x
C) 20x
D) –18x
işleminin sonucu kaçtır?
E) –21x
5x – [6x – (–17x)] = 5x – [6x + 17x]
⇒ 5x – 23x = –18x
A) 113
B) 121
^a - 4h^a + 1h
= a+1
a-4
C) 132
& 112 + 1 = 113
15. a = 3453 olmak üzere
x.(x – y + 2) + x(y – x)
11.
2a - 4a: ^- ah - 3a
4- a
işleminin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x
B) –xy + x
D)
x2
– xy
ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
C) –xy + 2x
E) –xy
A) –6472
B) –12
C) 1
D) 12
E) 6472
2a + 4 - 3a 4 - a
= - =1
4-a
4 a
x2 – xy + 2x + xy – x2 = 2x
(x + y)2 – (x – y)2
16.
işleminin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2xy
D) x 2 + 4xy + y2
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
E) x2 – y2
(x2 + 2xy + y2) – (x2 – 2xy + y2)
x2 + 2xy + y2 – x2 + 2xy – y2
4xy
7. C
8. D
9. B
10. D
11. A
12. B
13. D
14. A
15. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
6. E
16. B
6
5. A
x2 + xy – xy – y2 + y2 = x2
4. E
D) y2
3. D
C) –y2
2. B
B) x2
E) x 2 – 4xy + y2
1. A
A) –x2
C) x 2 – 4xy
B) 4xy
Cevaplar
(x – y).(x + y) +
12.
y2
GERÇEK SAYILAR / Gerçek Sayılar
1.
Konu Testi - 2
^- 4h3 12 2
.
^- 4h2 2.3
işleminin sonucu kaçtır?
A) –96
B) –84
x2 - y2
+ x+ y
x+ y
4.
ifadesinin en sade hâli aşağıdakilerden hangisidir?
C) –80
D) –72
A) 2x + y
E) –64
B) x + 2y
D) 2y
- 64 144
= ^- 4h .24 = - 96
16 . 6
^ x - yh.^ x + yh
x+y
3.(x – 2) + 2.(x + 5) – 5.(x – 3)
B) 19
A) –8
C) 6x + 10
D) 17
+ x + y = x - y + x + y = 2x
işleminin sonucu kaçtır?
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + 4
E) 2x
24 : 6 . (–2)
5.
2.
C) 0
B) –6
C) –2
D) 4
E) 6
24 ^- h = ^- h = 8
6 . 2 4. 2
E) x + 19
3x – 6 + 2x + 10 – 5x + 15
5x + 4 – 5x + 15
19
3.
Aritmetik işlemlerin yer aldığı bir oyunda oklar ve çemberlerden oluşmuş şekiller kullanılıyor.
Her şekilde okun yanında belirtilen işlem uygulanıp elde
edilen sonuç okla gösterilen çember içerisine yazılıyor.
´3
Doğrular ve Çemberler kullanılarak oluşturulan bu sayı
oyunu ile ilgili aşağıdaki bilgiler veriliyor.
• Şekildeki çemberler üzerine 1 den başlanarak çember
adedine kadar olan doğal sayılar yazılır.
• Çemberler üzerindeki sayılar birbirinden farklıdır.
• Aynı doğru üzerinde bulunan çemberler üzerinde bulunan sayıların toplamı bu doğru yanına yazılan sayıya
eşittir.
6
+2
6.
¸2
E
A
X
B
Buna göre, x kaçtır?
A) 36
^6 + 2h .3
2
B) 24
=
3
C) 18
D) 12
E) 10
D
C
8. 3
=
2 12
10
6
8
Buna göre, B kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A = 1, B = 3, C = 5, D = 4, E = 2 dir.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
GERÇEK SAYILAR / Gerçek Sayılar
Konu Testi - 2
x = 24 ve y = –30 olmak üzere
7.
işleminin sonucu kaçtır?
3
5
.x - .y
4
6
A) 1
işleminin sonucu kaçtır?
A) 47
[(–1).(–2) + (–2).(–3)] : [50 + (–1)4]
10.
B) 46
C) 45
D) 44
E) 43
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
D) 2
E) 3
[2 + 6] : [1 + 1] = 8 : 2 = 4
3
- 5 ^- h
4 .24 6 . 30
3.6 - 5. ^- 5h = 18 + 25 = 43
(x – 2).(x + 3) – x2
8.
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) x
B) x – 1
D) x – 6
C) x – 4
11. 2a – 1 = 7 olduğuna göre
E) x – 8
a3 - 1
a + a+ 1
x2 + 3x – 2x – 6 – x2 = x – 6
2
işleminin sonucu kaçtır?
A)
1 den 9 a kadar olan doğal sayılar, her çembere bir sayı
gelecek şekilde yerleştirilecektir. Bu yerleştirmede okun
çıktığı çemberdeki sayıya okun yanındaki işlem uygulanıp
okun gösterdiği çemberin içine yazılacaktır.
9.
1
3
B)
1
2
C) 1
2a - 1 = 7 & 2a = 8 & a = 4
43 - 1
63
=
=3
4 2 + 4 + 1 21
A
–4
¸2
´5
´3
¸2
+1
12. Birinci terimi 1 olan bir sayı dizisinin diğer terimleri, verilen
kurala göre belirlenmektedir.
´3
–1 ´3
–1
1, 3, 5, 4, 12, 14, 13, ...
Buna göre, A harfinin olduğu çembere hangi sayı gelir?
B) 121
C) 122
D) 363
E) 365
x5
1, 3, 5, 4, 12, 14, 13, 39, 41, 40, 120, 122
+1
6
7. E
8. D
9. A
10. D
11. E
12. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
6. C
8
A) 120
5. A
2
Buna göre, bu sayı dizisinin 12. terimi kaçtır?
4. E
9
÷2
5
E) 5
3. D
x3
4
÷2
1
D) 4
2. B
3
–4
8
C) 3
1. A
7
B) 2
+2
Cevaplar
A) 1
+2
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Temel Kavramlar
hhGERÇEK SAYILAR
Örnek 24:
Temel Kavramlar
x ve y sayma sayılarıdır.
2x + 3y = 24
olduğuna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı (x,y) sıralı
ikilisi vardır?
Örnek 21:
x ve y doğal sayılar olmak üzere
x + y = 24
olduğuna göre, x.y çarpımının alabileceği en büyük ve
en küçük değerin toplamı kaçtır?
2x + 3y = 24
6, 4, 2
3, 6, 9
olduğundan (3, 6), (6, 4), (9, 2) olmak üzere 3 sıralı ikili vardır.
Örnek 25:
x = y = 12 için x.y en büyük 12.12 = 144
x = 0, y = 24 için x.y en küçük 0.24 = 0
144 + 0 = 144 tür.
Örnek 22:
x ve y doğal sayılar olmak üzere
x.y = 45
olduğuna göre, x + y toplamının alabileceği en büyük
ve en küçük değerin toplamı kaçtır?
a ve b pozitif doğal sayılardır.
3a + b = 124
olduğuna göre, b en çok kaçtır?
b'nin en çok olması için 3a en az olmasıdır.
a = 1 için 3 + b = 124 den b en çok 121 dir.
Örnek 26:
İki basamaklı üç doğal sayının toplamı 74 tür.
x = 9, y = 5 veya x = 5, y = 9 için x + y en küçük 14 olur.
x = 1, y = 45 veya x = 45, y = 1 için x + y en büyük 46 olur.
Buna göre, en büyük sayı en çok kaçtır?
14 + 46 = 60 bulunur.
Örnek 23:
a, b ve c iki basamaklı doğal sayılar olsun.
a + b + c = 74 olur. a = 10, b = 10 için c en çok 54 olur.
x bir reel sayı, A ve B doğal sayılardır.
A = 16 – x
B = 14 + x
olduğuna göre, A.B çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Örnek 27:
İki basamaklı birbirinden farklı 3 doğal sayının toplamı 250
dir.
Buna göre, en küçük sayı en az kaçtır?
A + B = 16 – x + 14 + x
a, b ve c iki basamaklı doğal sayılar olsun a + b + c = 250 dir. a = 99,
A + B = 30 dur.
b = 98 için c en az 53 olur.
A = B = 15 için A.B en büyük 225 olur.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Temel Kavramlar
Örnek 28:
Örnek 31:
İki basamaklı birbirinden farklı 3 doğal sayının toplamı 240
dır.
a ve b pozitif tam sayılardır.
Buna göre,
a) En büyük sayı en az kaçtır?
12
+ b = 20
a
olduğuna göre, b nin alabileceği kaç farklı değer vardır?
b) En küçük sayı en çok kaçtır?
Sayılar birbirlerine yakın seçilir ise
79, 80, 81
a) en büyük sayı en az 81 dir.
b) en küçük sayı en çok 79 dur.
12 + b = 20
a
8, 14, 16, 17, 18, 19
1, 2, 3, 4, 6, 12
b nin 6 farklı değeri vardır.
Örnek 32:
x ve y tam sayılardır.
Örnek 29:
x, y ve z birer pozitif tam sayıdır.
2x + 3y – z = 94
olduğuna göre, x sayısının alabileceği en küçük değer
kaçtır?
z = 1 için 2x + 3y = 95 olur.
y en çok 31 olduğundan x sayısının en küçük değeri
x = 3+
10
y
olduğuna göre, bu koşula uygun kaç farklı (x, y) sıralı
ikilisi vardır?
x = 3 + 10
y
1, 2, 5, 10, –1, –2, –5, –10
13, 8, 5, 4, –7, –2, 1, 2
8 farklı (x, y) ikilisi vardır.
2x + 3.31 = 95 ⇒ x = 1 olur.
Örnek 33:
Örnek 30:
a, b ve c birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.
Buna göre;
4 8 13
+ +
a b
c
ifadesinin en büyük tam sayı değeri kaçtır?
c = 1, b = 2 ve a = 4 için ifadenin en büyük tam sayı değeri
4 + 8 + 13 =
4 2 1 18 olur.
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
x ve y doğal sayılardır.
x=
2y + 20
y- 2
olduğuna göre, y nin alabileceği kaç farklı değer vardır?
x=2+
24
y–2
2y + 20
2y – 4
24
y – 2 → 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
y → 3, 4, 5, 6, 8, 10, 14, 26
8 farklı y değeri vardır.
y–2
2
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Temel Kavramlar
Örnek 37:
Örnek 34:
a ve b tam sayılardır.
a, b ve c pozitif tam sayılardır.
a.b = 12
2a = 7b
olduğuna göre, a + b toplamının iki basamaklı doğal
sayı değeri en az kaçtır?
2a = 7b ise k ∈ Z olmak üzere
b.c = 16
olduğuna göre, a + b + c toplamı en çok kaçtır?
a = 7k ve b = 2k o hâlde a + b = 9 k dır.
Her iki denklemin ortak elemanı olan b en az 1 seçilir ise a = 12, b = 1,
c = 16 olur.
k = 2 için a + b en az 18 dir.
a + b + c en çok 29 bulunur.
Örnek 35:
a, b ve c pozitif tam sayılardır.
2a = 3b
5b = 3c
Örnek 38:
olduğuna göre, a + b + c toplamı en az kaçtır?
2a = 3b
5b = 3c
b, hem 2 hem de 3 ün katı olmak zorunda olduğundan en
az 6 olur.
2a = 3.6 ⇒ a = 9
5.6 = 3c ⇒ c = 10
a + b + c = 9 + 6 + 10 = 25
a, b ve c negatif tam sayılardır.
a.b = 32
a.c = 20
olduğuna göre, a + b + c toplamı en çok kaçtır?
Her iki denklemin ortak elemanı olan a en az –4 seçilir ise a = –4, b = –8,
c = –5 olur.
a + b + c en çok –17 bulunur.
Örnek 36:
a, b ve c negatif tam sayılardır.
a 2
=
b 5
c
1
=
a 3
olduğuna göre, a + b + c toplamı en çok kaçtır?
Örnek 39:
x, y ve z pozitif tam sayılardır.
a 2=
c 1
=
b 5 ve a 3
a hem 2 hem de 3 ün katı olmak zorunda olduğundan en çok –6 dır.
-6
2
= 5 & b = - 15
b
c
1
-6 = 3 &c=- 2
a + b + c = –6 – 15 – 2 = –23 olur
x–y=1
x–z=4
olduğuna göre, x + y + z toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
z = 1 seçilir ise x = 5 ve y = 4 olur.
x + y + z toplamı en küçük 10 dur.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Temel Kavramlar
Örnek 40:
Örnek 43:
a, b ve c birer tam sayıdır.
x, y ve z rakam olmak üzere
x.y.z = 70
Buna göre,
olduğuna göre, x + y + z toplamının değeri kaçtır?
3a + 2b – 4c
ifadesinde
x = 7, y = 5, z = 2 için x + y + z = 14 tür.
a sayısı 4 arttırlır
b sayısı 6 azaltılır
c sayısı 2 azaltılır
ise ifadenin sonucu kaç artar?
a, 4 artırılır ise a = +4
b, 6 azaltılır ise b = –6
c, 2 azaltılır ise c = –2 alınır.
3a + 2b – 4c = 3.4 + 2.(–6) – 4.(–2)
= 12 – 12 + 8
=8
ifade 8 artar
Örnek 44:
xy – 2x – 3y – 10 =0
denklemini sağlayan kaç farklı (x,y) tam sayı ikilisi
vardır?
Örnek 41:
xy – 3y = 2x + 10
y(x – 3) = 2x + 10
x, y ve z birer tam sayıdır.
olduğuna göre, x + y + z toplamı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 11
B) 15
C) 17
2x + 10
x-3
16
y = 2+ x 3
y=
x+y–z=0
D) 20
x - 3 ∈ {1,2,4,8,16,–1,–2,–4,–8,–16}
x ∈ {4,5,7,11,19,2,1,–1,–5,–13} olmak üzere 10 tanedir.
E) 23
x+y=z⇒x+y+z
z+z
2z
o hâlde x + y + z = 20 olabilir.
Örnek 42:
Örnek 45:
a ve b pozitif gerçek sayılardır.
x ve y tam sayılar olmak üzere
y
hh
tam sayıdır.
x
hh 0 < x < y < 5 dir.
olduğuna göre, a + b toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
Buna göre, x in alabileceği kaç farklı değer vardır?
A) 4
4 4 3 2 olmak üzere 2 farklı x vardır.
1, 2 , 1, 1
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
a . b = 10
B)
21
C) 5
D) 2 7
E) 6
a = b = 10 için a + b en az 2 10 olur. 4 < 2 10 olduğundan a + b =
4 olamaz.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Temel Kavramlar
1.
Konu Testi - 3
Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
5.
a, b ve c pozitif tam sayılardır.
a.b = 13
A) En küçük rakam sıfırdır.
b.c = 12
B) Sıfır pozitif tam sayıdır.
C) En büyük negatif tam sayı –1 dir.
olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
D) İki basamaklı en büyük doğal sayı 99 dur.
A) 23
B) 24
C) 25
D) 26
E) 27
E) Sıfır bir doğal sayıdır.
b = 1, a = 13, c = 12 olduğundan a + b + c = 26 dır.
Sıfırın işareti yoktur.
2.
a ve b birbirinden farklı rakamlardır.
6.
a, b ve c birer doğal sayı olmak üzere
a.b = 18
Buna göre
a.c = 12
7a + 5b
ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 101
B) 103
C) 107
D) 110
olduğuna göre, b + c – a ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
E) 117
A) 28
B) 29
C) 30
D) 31
E) 32
a = 9 ve b = 8 için 7a + 5b en büyük 7.9 + 5.8 = 103 tür.
a = 1, b = 18 ve c = 12 için b + c – a ifadesinin en büyük değeri
18 + 12 – 1 = 29 dur.
7.
3.
x, y ve z birer doğal sayıdır.
x = 3y + 4
x ve y birer doğal sayıdır.
y=z+5
x + y = 13
olduğuna göre, x.y çarpımının en büyük değeri kaçtır?
olduğuna göre, x sayısının en küçük değeri kaçtır?
A) 35
A) 19
B) 36
C) 42
D) 52
E) 54
Bir ABCD dikdörtgeninin alanı 36 cm2 dir.
8.
Buna göre, ABCD dikdörtgeninin çevresinin uzunluğu
en az kaç cm dir?
A) 19
B) 24
x.y = 36 ise
2(x + y) en az
x = 6 ve y = 6 için
2(6 + 6) = 24 cm dir.
C) 26
D) 30
A
E) 32
x
y
x
D) 22
E) 23
a ve b sayma sayıları olmak üzere
12a = 16 b
olduğuna göre, a + b toplamının alabileceği en küçük
değer kaçtır?
A) 5
D
y
B
C) 21
z = 0 için y = 0 + 5 ⇒ y = 5
y = 5 için x = 3.5 + 4 = 19 olur.
x = 7, y = 6 veya x = 6, y = 7 için x.y en büyük 7.6 = 42 olur.
4.
B) 20
B) 7
C) 16
D) 28
E) 34
12a = 16b ⇒ 3a = 4b olur.
k ∈ Z için a = 4k ve b = 3k dır. a + b = 7k
k = 1 için a + b en küçük 7 olur.
C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Temel Kavramlar
Konu Testi - 3
a, b ve c pozitif tam sayılar olmak üzere
9.
13. a ve b pozitif tam sayılardır.
5a = 7b
a
+ b = 10
8
5b = 3c
olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) 57
B) 58
5a = 7b
5b = 3c
C) 59
D) 60
E) 61
olduğuna göre, a en çok kaçtır?
A) 56
B) 60
C) 64
D) 72
E) 80
b en az 1 olduğundan a en çok
a+ =
a=
=
8 1 10 & 8 9 & a 72 dir.
olduğundan b en az 15 olur. b = 15 ise a = 21, c = 25
a + b + c = 15 + 21 + 25 = 61 olur.
14. x ve y birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.
5x + 6y = 120
10. a ve b pozitif doğal sayılardır.
olduğuna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı x sayısı
vardır?
5a + b = 43
olduğuna göre, b en çok kaçtır?
A) 23
B) 33
C) 38
A) 2
D) 40
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
5x + 6y = 120
E) 41
15, 10, 5
6, 12, 18
a en az 1 olduğundan b en çok
5 + b = 43 ⇒ b = 38 bulunur.
olduğundan 3 farklı x sayısı vardır.
15. a ve b pozitif tam sayılardır.
11. Birbirinden farklı iki basamaklı dört doğal sayının toplamı
100 dür.
Buna göre, en büyük sayı en çok kaçtır?
A) 67
B) 66
C) 65
D) 64
b = 10 -
olduğuna göre, a'nın alabileceği kaç farklı değer vardır?
A) 1
E) 63
En büyük sayı x olsun
10 + 11 + 12 + x = 100
x = 67 olur.
16
a
B) 2
b = 10 –
16
a
C) 3
D) 4
E) 5
1, 2, 4, 8, 16
–6, 2, 6, 8, 9
a nın alabileceği 4 pozitif tam sayı değeri vardır.
16. x ve y tam sayılardır.
x=
12. Birbirinden farklı iki basamaklı dört doğal sayının toplamı
320 dir.
Buna göre, en küçük sayı en az kaçtır?
C) 27
D) 28
A) 10
E) 29
En küçük sayı x olsun
x + 97 + 98 + 99 = 320
x + 294 = 320
x = 26 olur.
15
y
C) 8
D) 7
E) 6
1, 3, 5, 15, –1, –3, –5, –15
16, 6, 4, 2, –14, –4, –2, 0
3. C
4. B
5. D
6. B
7. A
8. B
9. E
10. C
11. A
12. B
13. D
14. B
15. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
2. B
16. C
14
x=1+
B) 9
1. B
B) 26
olduğuna göre, x in alabileceği kaç farklı değer vardır?
Cevaplar
A) 25
y + 15
y
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Temel Kavramlar
1.
Konu Testi - 4
a, b ve c tam sayılar olmak üzere
4.
x ve y sayma sayılarıdır.
3a = 4b = 5c
xy + y = x + 21
olduğuna göre, 3a – 2b – c ifadesinin alabileceği iki
basamaklı kaç doğal sayı değeri vardır?
olduğuna göre, x in alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
A) 5
A) 34
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
5.
a.b = 24
olduğuna göre, 5a + 2b ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
a–c=4
olduğuna göre, a + b + c toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
C) 10
D) 9
E) 38
a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere
a–b=7
B) 11
D) 37
x + 1 → 1, 2, 4, 5, 10, 20
x → 0, 1, 3, 4, 9, 19
1 + 3 + 4 + 9 + 19 = 36
a, b ve c birer rakam olmak üzere
A) 12
C) 36
x + 21
y ^ x + 1h = x + 21 & y = x + 1
20
&y = 1+ x+1
3a = 4b = 5c = 60 k olsun
a = 20k, b = 15k, c = 12k olur.
3a – 2b – c = 60k – 30k – 12k = 18 k dır.
O hâlde {18, 36, 54, 72, 90} olmak üzere 5 değer vardır.
2.
B) 35
A) 100
E) 7
B) 110
C) 120
D) 122
E) 132
a = 24, b = 1 için 5a + 2b en büyük 5.24 + 2.1 = 122 olur.
b = 0 için a = 7
a = 7 için c = 3 olduğundan a + b + c nin en küçük değeri 7 + 0 + 3 = 10 dur.
3.
Birbirinden farklı beş doğal sayı için aşağıdaki bilgiler veriliyor.
• Her biri 20 den büyük 90 dan küçüktür.
6.
Aşağıdaki tabloda bir restoranda bulunan masalar ile ilgili
bilgiler verilmiştir.
Masa Kapasitesi
• İki tanesi 70 den büyüktür.
Masa Adedi
• Bir tanesi 30 dan küçüktür.
4 kişi
6 kişi
8 kişi
a
b
c
Buna göre, bu sayıların en büyüğü en çok kaçtır?
• Bu restoranda hiç boş yer kalmayacak ve hiç kimse
ayakta kalmayacak şekilde 80 kişi bu masalara oturuyor.
A) 74
• Her kapasitedeki masadan en az bir tane vardır.
• Beş sayının toplamı 236 dır.
B) 75
En büyük sayı x olsun
21 + 30 + 31 + 71 + x = 236
153 + x = 236
x = 83 olur.
C) 78
D) 81
E) 83
Buna göre, masa adedi en çok kaçtır?
A) 24
B) 22
C) 21
D) 18
E) 15
4a + 6b + 8c = 80
c = 1, b = 2 için a = 15 olur.
a + b + c en çok 18 dir.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Temel Kavramlar
Konu Testi - 4
a ve b pozitif tam sayılardır.
7.
10. a, b ve c birbirinden farklı rakamlardır.
2a + 3b = 22
Buna göre
a+b+c
olduğuna göre, a.b çarpımı en çok kaç olabilir?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 16
toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır?
E) 20
A) 23
B) 22
C) 20
D) 19
E) 18
a = 5 ve b = 4 için a.b en çok 20 dir.
a + b + c en az 0 + 1 + 2 = 3 en çok 7 + 8 + 9 = 24 ise
a + b + c ∈ {3, 4, 5, ... 24} olur
22 farklı değeri vardır.
a, b ve c pozitif tam sayılardır.
8.
11. a, b, c ve d negatif tam sayılardır.
a b c
+ + = 20
3 4 5
a.b.c.d = 840
olduğuna göre, a + b + c toplamı en çok kaçtır?
olduğuna göre, a + b + c + d toplamı en çok kaçtır?
A) 88
A) –18
B) 91
C) 95
D) 97
E) 102
a = 3, b = 4 için
B) –19
C) –20
D) –21
E) –22
a = –7, b = –6, c = –5, d = –4 için
a + b + c + d en çok –22 olur.
3+4+c
=
=
3 4 5 20 & c 90 olur.
a + b + c en çok 97 olur.
12. Aşağıdaki Tablo bir ilçede bulunan dört devlet dairesindeki
çalışan memur sayısını göstermektedir. Grafikteki her kişi
1 den büyük bir tam sayıyı göstermektedir. Her bir kişinin
gösterdiği tam sayı birbirinin aynıdır. Farklı kişiler farklı
tam sayılar göstermektedir.
Aşağıdaki şekilde çember üzerindeki kare ve dairelerin içine 3 ten büyük tam sayılar yazılacaktır.
9.
Daire Adı
Her karenin içindeki sayı, kendisine komşu olan iki dairenin içindeki sayıların çarpımına eşittir.
Emniyet
Milli Eğitim
36
Vergi Dairesi
Maliye
Emniyet ve Maliyede bulunan memur sayısı Milli Eğitim ve
Vergi dairesinde bulunan memur sayısına eşittir.
48
Buna göre, boş kare içerisindeki sayı en çok kaçtır?
Buna göre, bu dört Devlet dairesinde bulunan memur
sayısı en az kaçtır?
A) 72
A) 80
D) 172
E) 192
Boş dairelerde bulunan sayılar a, b, c olsun
a.b = 36 ve b.c = 48 ise a.c en çok 9.12 = 108 olur.
D) 150
E) 180
İnsan simgelerinin temsil ettiği tam sayılar a ve b olsun.
5a + 4a = 3b + 2b ⇒ 9a = 5b ise a en az 5, b en az 9 olur.
9a + 5b = 45 + 45 = 90 olur.
3. E
4. C
5. D
6. D
7. E
8. D
9. C
10. B
11. E
12. B
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
C) 120
2. C
16
B) 90
1. A
C) 108
Cevaplar
B) 96
YGS // MATEMATİK
FÖY NO
04
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER
Tek ve Çift Tam Sayılar - İşaret İncelemesi
Ardışık Tam Sayılar
hhTEK VE ÇİFT TAM SAYILAR
Örnek 1:
hh İkinin tam katı olan tam sayılara çift sayı denir. n bir tam
sayı olmak üzere 2n ile gösterilir.
Aşağıda verilen sayıların tek ya da çift olma durumlarını yanlarındaki kutulara yazınız.
hh İkinin tam katı olmayan tam sayılara tek sayı denir. n bir
tam sayı olmak üzere 2n + 1 ile gösterilir.
 21 =
Tek
 5214 =
Çift
 18 =
Çift
 4,02 =
Ne tek
ne çift
 3417 =
Tek
Çift Sayılar = {..., –4, –2, 0, 2, 4, ..., 2n, ...}
Tek Sayılar = {..., –5, –3, –1, 1, 3, 5, ..., 2n + 1, ...}
T = Tek sayılar, Ç = Çift sayılar olmak üzere
T ± T = Ç
T .T = T
T ± Ç = T
T .Ç = Ç
ve
Ç ± Ç = Ç
hh n bir doğal sayı olmak üzere
hh n bir pozitif tam sayı olmak üzere
Ne tek
ne çift
Aşağıda verilen sayıların tek ya da çift olma durumlarını yanlarındaki kutulara yazınız.
dir.
Çn = Ç
5
=
6
Örnek 2:
Ç .Ç = Ç
Tn = T

 317 + 215 =
Çift
 345 . 213 =
Tek
 345 + 1234 =
Tek
 728 . 511 =
Çift
 932 + 516 =
Çift
 514 . 216 =
Çift
dir.
Not
hh Ardışık iki tam sayının çarpımı çifttir.
Örnek 3:
Aşağıda verilen sayıların tek ya da çift olma durumlarını yanlarındaki kutulara yazınız.
 512 =
Tek
 5–2 =
–
hh Çarpımları tek sayı olan tam sayıların hepsi tek sayıdır.
 1214 =
Çift
 140 =
Tek
hh Çarpımları çift sayı olan tam sayıların en az biri çift
sayıdır.
 12137 =
Tek
 34 + 57 =
Çift
 3! =
Çift
 0! =
Tek
hh Ardışık iki tam sayının toplamı tektir.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
GERÇEK SAYILAR / Tek ve Çift Tam Sayılar - İşaret İncelemesi
Örnek 4:
Örnek 8:
Aşağıdaki ifadelerden hangisi çift sayıdır?
a bir tam sayı olmak üzere
B) 912 + 147
A) 4! + 11
D) 13!
A) Ç + T = T
E)
B) T + Ç = T
D) Ç
C) 243 + 5
152 . 173
3a + 2
tek tam sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi
çift sayıdır?
C) Ç + T = T
A) a100
E) T.T = T
B) a.(a + 2)
D) 5a
E)
C) a + 10
a2
– 2a + 1
3a + 2 = tek ⇒ 3a = tek ⇒ a = tek
a = 1 seçeneklere yazılırsa
Örnek 5:
A) tek
B) tek
C) tek
D) tek
E) çift
x bir tek tam sayıdır.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi tek sayıdır?
A) 3x + 5
B) 4x
C) 12x – 2
D) x 2 + x + 4
a ve b pozitif tam sayıları için
E) 5x + 4
a.b
=9
3
x = 1 seçilip seçeneklere yazılırsa
A) Çift
B) Çift
C) Çift
Örnek 9:
D) Çift
E) Tek
olur.
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çift
sayıdır?
A) a + 2b
B) 2a + b
E) ab
D) a – b
Örnek 6:
a.b = 27 a = tek ve b = tek olur
x bir çift tam sayıdır.
A) tek
B) tek
C)
C) bilinemez
D) çift
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi çift sayıdır?
A) x3 + 1
C) 7x 2 + x
B) 3x + 3
D) 2x + 7
E) x + 1
Örnek 10:
a, b ve c pozitif tam sayılardır.
x = 2 seçilip seçeneklere yazılırsa
A) Tek
B) Tek
C) Çift
D) Tek
E) Tek
2a + b
=c
2
olur.
olduğuna göre,
I. a çift sayıdır.
II. b çift sayıdır.
III. c tek sayıdır.
Örnek 7:
ifadelerinden hangileri daima doğrudur?
x bir tam sayıdır.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çifttir?
A) x + 3
D) x 2 + x
B) 3x + 4
C) 2x + 3
E) 5x
x2 + x = x(x + 1) ardışık iki tam sayının çarpımı olduğundan daima çifttir.
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
2a + b = 2c ⇒ çift + b = çift
⇒ b = çift
a
b
E) tek
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Tek ve Çift Tam Sayılar - İşaret İncelemesi
Örnek 11:
hhGerçek Sayılarda İşaret İncelenmesi
a, b ve c pozitif tam sayılardır.
hh Sıfırdan büyük olan sayılara pozitif sayılar sıfırdan küçük
olan sayılara negatif sayılar denir.
b . (a + 1) = 2c + 1
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
A) a tek sayıdır.
B) b çift sayıdır.
C) c tek sayıdır.
D) a çift sayıdır.
E) c çift sayıdır.
hh Pozitif sayıların bütün reel sayı kuvvetleri pozitiftir.
a > 0 olmak üzere an > 0 dır.
hh Negatif sayıların çift sayı kuvvetleri pozitif, tek sayı kuvvetleri negatiftir.
a < 0 ve n Î Z olmak üzere
a2n > 0
b.(a + 1) = tek ⇒
b = tek
a2n + 1 < 0 dır.
a + 1 = tek ⇒ a = çift
Örnek 14:
Örnek 12:
Aşağıdakilerden hangisi negatiftir?
n bir doğal sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çifttir?
A) 3n
B) 2n
D) (n + 2)!
A) (–2) 4
B) –(–2)3
D) –(–2) 6
C) 3 4
E) (1 – 2) 4
C) n!
E) n + 2
A) 16
B) 8
C) 81
D) –64
E) 1
n sayısı tek ya da çift olma durumu bilinmediğinde 3n, n + 2 bilinemez
n = 0 için 2n tektir.
0! = 1 olduğundan n! bilinemez (n + 2)! daima çifttir.
Örnek 15:
Örnek 13:
a pozitif bir sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi negatiftir?
5n + 3
çift olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima tek
A) a–2
B) –(–a)3
C) –a–3
D) a –1
E) (–a)2
sayıdır?
A) n
B) n + 2
D) 5n + 6
C) 3n + 4
E) 7n + 3
a > 0 ise a = 1 seçilir ise
A) 1
5n + 3 = çift ⇒ 5n = tek olur.
B) 1
C) –1
D) 1
E) 1
olur –a–3 negatifdir.
n bir tam sayı olmadığında 5n tek olarak alınır 5n + 6 tek sayıdır.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
GERÇEK SAYILAR / Tek ve Çift Tam Sayılar - İşaret İncelemesi
Örnek 16:
Örnek 19:
a < 0 ve n bir rakam olmak üzere
x < y < 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima
an < 0
olduğuna göre, n sayısının alabileceği değerler toplamı
pozitiftir?
A) x + y
kaçtır?
an < 0 ise n tek sayıdır o hâlde
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 bulunur.
B) 2x + 3y
x
D)
y
C) x – y
E) x + 4
x < 0 ve y < 0 ise
x + y < 0, 2x + 3y < 0, x – y < 0,
x
y > 0,
x + 4 > 0 veya x + 4 < 0 dır.
Örnek 20:
Örnek 17:
a2 . b < 0
b.c > 0
a.c<0
a<b<0
a+c>0
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima pozitiftir?
A) a . c
B)
olduğuna göre, a, b ve c sayılarının işaretlerini bulunuz.
D)
a2.b < 0 ise b < 0 dır.
b < 0 ise c < 0 dır.
c < 0 ise a > 0 dır.
a, b ve c sayıları sırasıyla +, – , – işaretlidir.
a+ b
c
b+ c
b- a
C)
E)
a- b
c- a
a+ c
b
a < 0, b < 0, c > 0 ve |c| > |a| dır. O hâlde
a+ b a- b C) c - a = + = c = + =b+ c +
a+ c +
E) b = - = D) b - a = + = +
A) a.c = - . + = -
B)
Örnek 18:
a .b < 0
b3 . c < 0
a+c<0
olduğuna göre, a, b, ve c sayılarının işaretlerini bulunuz.
a > 0 kabul edilirse
a > 0, b < 0, c > 0 olur ancak a > 0 ve c > 0
a + c < 0 eşitsizliğini sağlamadığından a > 0 değildir.
a < 0 ise b > 0 ve c < 0 olur.
a, b ve c sayıları sırasıyla –, +, – işaretlidir.
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Örnek 21:
a<b<0<c
olduğuna göre aşağıdakilerden hangisinin sonucu sıfır
olabilir?
A) –a4 – b6 – c2
D) (c –
b)3
B) (a – b)2 + c 6
–a
E) (a –
C) b – a + c
b)7
+ c2
Sıfırdan farklı a, b ve c sayıları ile sonucun sıfır olması için ifade içerisinde
+ ve – ler birlikte bulunmalıdır. Yani çıkarma işlemi olmalıdır.
(a - b)7 + c2 olduğundan sıfır olabilir.
–
+
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Tek ve Çift Tam Sayılar - İşaret İncelemesi
1.
Aşağıdakilerden hangisi tek sayıdır?
A) 375 . 214
B) 410 + 8
D) 714 + 93
5.
Konu Testi - 1
a bir tam sayı olmak üzere
a3 + 24
C) 510 + 1
E) 610 – 3
çift sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi çift
sayıdır?
A) T.Ç = Ç
B) Ç + Ç = Ç
C) T + T = Ç
D) T + T = Ç
E) Ç – T = T
A) a4 + 1
B) a + 3
D) 3a + 5
E) a + 4
a3 + 24 = çift ⇒ a = çift
a = 2 için ⇒ A) tek
2.
a bir tam sayı olmak üzere aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?
A) a + 1
B) 2a + 3
D) 3a + 4
6.
C) 2a – 7
C) 2a + 3
B) tek
C) tek
D) tek
x ve y çift sayılardır.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çift sayıdır?
E) 6a + 4
A)
6a + 4 = Ç + Ç = Ç olur
x
2
B)
y
2
C)
x+ y
4
D)
x+ y
2
n, m ∈ Z için x = 2n ve y = 2m olsun
m+n
A) n
B) m
C) 2
D) m + n
olduğunda 2m.n kesinlikle çift sayıdır.
3.
E) çift
E)
x.y
2
E) 2n.m
x ve y tek sayılar olmak üzere
I. x . y + x
II. x + y + 3
7.
III. 2x + y
x + y = z.(z + 1)
ifadelerinden hangileri tek sayıdır?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) I ve II
I.
II.
III.
4.
x, y ve z sayma sayılarıdır.
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?
x
A) x . y
B) 2x + y
C)
y
D) 3x + 5y
E) xy
C) Yalnız III
E) II ve III
T.T + T = T + T = Ç
T+T+T=T
Ç+T=T
x + y = z.(z + 1) ⇒ x + y = çift
x = tek, y = tek veya x = çift, y = çift
her iki ihtimaldede çift olan 3x + 5y dir.
Aşağıdaki tablo a, b ve c tam sayılarının çarpımının tek
veya çift olma durumunu göstermektedir.
.
a
c
x, y ve z negatif tam sayılardır.
2x = 3y
5z = 7y
Tek
c
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi tek sayıdır?
A) a + b
8.
Çift
a
b
b
B) c2
D) b2 + c
a.b = tek ⇒ a = tek ve b = tek
a.c = çift ⇒ tek.c = çift ⇒ c = çift
b2 + c = tek + çift = tek
C) (a – b)3
E) 3a + b
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?
A) x
B) x + y
D) z
C) x + z
E) 2y + x
y = 5.2 k = 10k ⇒ x = 15k ve z = 14k
ise y = cift, z = cift x bilinemez o hâlde z daima çifttir.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Tek ve Çift Tam Sayılar - İşaret İncelemesi
9.
13.
I. n bir doğal sayı ise 3n daima tek sayıdır.
II. Ardışık iki tam sayının çarpımı tek sayıdır.
A)
ifadelerinden hangileri doğrudur?
B) Yalnız II
D) I ve II
a<b<0<c<d
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi negatiftir?
III. Ardışık iki tam sayının toplamı çift sayıdır.
A) Yalnız I
Konu Testi - 1
a+ b
a
D)
C) Yalnız III
E) I, II ve III
A) - = +
B) d – c
a.d
c- b
B) +
C)
E)
C) - = +
b- d
c- d
c- a
d- a
D) + = -
+
E) + = +
n ∈ N için 3n tek sayıdır. Ardışık iki tam sayının toplamı tek, çarpımı çifttir.
14. a tek, b çift tam sayılardır.
x = (–2)a
y = (–3)b
z = (–4)a + b
olduğuna göre x, y ve z nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
10. Aşağıdaki sayılardan hangisi negatiftir?
B) (–2)10
A) (–4).(–7)
D) (–2) –3
C) (–3) –4
A) +, +, +
E) (2) –1
B) +, +, –
D) –, +, –
C) –, –, –
E) –, –, +
a tek ⇒ x = (–2)a < 0
–3 tek sayı olduğundan (–2)–3 negatiftir.
b çift ⇒ y = (–3)b > 0
a + b tek ⇒ z = (–4)a + b < 0 dır. –, +, –
15. a ve b tam sayılardır.
11.
a<0<b<c
(3a + 1).(5b + 2)
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima pozitiftir?
c
A) a.b
B) a.c
C)
a
D) c – a
E) a + b
A) a.b < 0
c
B) a.c < 0 C) a < 0
D) c – a > 0
tek sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi çifttir?
A) b
B) a + b
D) a + 2
E) a + b = ?
3a + 1 = tek ⇒ a = çift
5b + 2 = tek ⇒ b = tek
A) tek
B) tek
16.
C) b + 2
E) 2a + 3
C) tek
D) çift
E) tek
a2.b > 0
b.c > 0
a3.c5 < 0
[(–3).(–4) – 4.5]n
pozitif bir tam sayı olduğuna göre, n aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
E) 13
D) –, +, –
C) –, –, +
E) –, +, +
dır.
a, b, c → –, +, + dir.
5. E
6. E
7. D
8. D
9. A
10. D
11. D
12. D
13. D
14. D
15. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
B) +, +, +
a2 > 0 ⇒ b > 0 ⇒ c > 0 ⇒ a < 0
[12 – 20]n = [–8]n > 0 ise n çift doğal sayıdır o hâlde n = 12 olabilir.
16. E
6
A) –, –, –
4. D
D) 12
3. E
C) 5
2. E
B) –10
1. E
A) –12
olduğuna göre, a, b ve c nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
Cevaplar
12.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Tek ve Çift Tam Sayılar - İşaret İncelemesi
1.
4.
a ve b pozitif tam sayıları arasında
a + b = 2012
Konu Testi - 2
x ve y tam sayıları için x + 2y = 11 olduğuna göre,
I. x tek sayıdır.
bağıntısı vardır.
II. x sayısı y'den büyüktür.
Buna göre,
III. x ve y nin her ikisi de pozitiftir.
I. a tek sayı ise b çift sayıdır.
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
II. a çift sayı ise b de çift sayıdır.
A) Yalnız I
III. b çift sayı ise a tek sayıdır.
B) Yalnız III
D) I ve III
C) I ve II
E) II ve III
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız III
D) Yalnız II
I.
II.
III.
2.
x + 2y = 11 ⇒ x + çift = tek ⇒ x = tek
I.
ifade doğrudur.
II. kesin bir yorum yok
III. kesin bir yorum yok
C) I ve II
E) II ve III
tek + b = çift ⇒ b = tek
çift + b = çift ⇒ b = çift
a + çift = çift ⇒ a = çift
x ve y tam sayıları için
I. x ve y aynı işaretlidir.
x
= 5 olduğuna göre,
y
II. y tek sayı ise x de tek sayıdır.
III. x çift sayı ise y tek sayıdır.
ifadelerinden hangisi her zaman doğrudur?
A) Yalnız I
B) I ve II
D) II ve III
C) I ve III
E) I, II ve III
5.
Aşağıda bir üçgen biçiminde yerleştirilmiş çemberlerin
içine aşağıda verilen kurallara göre sayılar yazılarak sayı
üçgenleri oluşturuluyor.
• Önce üst satırdaki dört çemberin içine sağdan sola
doğru azalan tek sayılar yazılıyor.
• Sonra yan yana olan iki sayının toplamı çizgilerin birleştirdiği alt satırdaki çembere yazılarak sayı üçgeni
tamamlanıyor.
21
x = 5y olduğundan x ile y aynı işaretlidir. y tek sayı ise x de tek sayıdır. x
çift sayı ise y her zaman tek sayı olmaz.
24
3.
36
x, y ve z gerçel sayıları için,
x
y>0
x–y>z
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman
doğrudur?
A) x > z
B) x > y
D) x > 0
C) y < z
Buna göre, x kaçtır?
A) 154
7
B) 148
17
D) 136
E) 132
21
E) z > 0
24
x–y>z⇒x–z>y
y>0⇒x–z>0⇒x>z
19
C) 144
36
60
40
76
x
⇒ x = 136
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Tek ve Çift Tam Sayılar - İşaret İncelemesi
6.
A, B ve C doğal sayıları aşağıdaki özellikleri sağlamaktadır.
9.
• A tek sayıysa B ve C nin her ikisi de çift sayıdır.
• B ve C den en az biri tek sayıdır
Buna göre, bu sayılardan hangileri çifttir?
B) Yalnız B
D) A ve B
A
1. durum tek
2. durum çift
3. durum çift
B
C
çift çift
çift çift
çift tek
• İç kısımda bulunan çemberlerden ardışık olan iki
çemberin içindeki sayıların çarpımı bu çemberlere teğet olan dıştaki çember içerisine yazılıyor.
C) Yalnız C
E) B ve C
B ve C den en az biri tek olduğundan 3.
durum geçerlidir.
A ve B çifttir.
Buna göre, dışta bulunan çemberler içerisindeki sayıların en çok kaç tanesi tek sayıdır?
A) 9
Bir matematik öğretmeni 10 öğrencisinden 28 er adet tam sayı
seçmesini istiyor ve bu sayıların tek ve çift olma durumunu inceliyor. Öğrencilerdeki toplam çift sayı adedini 47 olarak saptıyor.
Bu çocukların seçtikleri sayılar ile ilgili şunlar biliniyor.
Barış'ın 7 sayısı çifttir.
•
Didem ve Eda'nın hiç çift sayısı yoktur.
•
Geriye kalan 5 çocuğun çift sayı adetleri birbirlerine eşittir.
C) 7
D) 6
E) 5
10. Öğrencilere işaret bulma konusunu anlatmak isteyen bir
matematik öğretmeni aşağıdaki sayı oyununu oluşturuyor.
Arda, Barış ve Can'ın seçtikleri tam sayıların kendi aralarındaki çarpımı çifttir ve bu üçünün toplam çift sayı adedi 17
dir.
•
B) 8
Sayıların çarpımı çift ise en az bir çift sayı içerlerinde bulunur. Bir çift
sayı 8 tek sayı seçilir iç çemberlere yazılır ise dıştaki çemberlerin en çok
7 tanesi tek sayı olur.
7. ve 8. soruları aşağıdaki bilgilere göre cevaplayınız.
•
Aşağıda verilen çemberlerden oluşmuş şekil içerisine
18 tam sayı yerleştiriliyor.
• İç kısımda bulunan çemberler içerisindeki sayıların çarpımı çift sayıdır.
• A çift sayıysa B de çift sayıdır.
A) Yalnız A
Konu Testi - 2
B
–3 + 4
–16
–4
(–15):(–1)3
–8 + 5
–(–2)5
(–2)3
(–3).(4)
(–3)2
52
|–3|
7.
Buna göre, çift sayı adetleri eşit olan çocukların her
birinin kaç çift sayısı vardır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
A
• Oyun A kutucuğunda başlayıp B kutucuğundan son
buluyor.
E) 8
• Bir bölmeden yalnız bir kez geçilebiliyor.
A B C D E
Diğer 5 çocuk
x 7 y 0 0
a+a+a+a+a
x + 7 + y + 5a = 47
17 + 5a = 47 ⇒ a = 6
• Herhangi bir bölmede bulunurken bu bölmeye komşu
olarak bulunan bölmeye hareket edilebiliyor.
• Bölmelerin tümünden geçmek zorunlu değildir.
• Geçilen tüm karelerdeki sayıların toplamı yarışmacının
puanıdır.
Buna göre, bir öğrenci en fazla kaç puan alabilir?
Buna göre, Can'ın en fazla kaç sayısı çifttir?
A) 100
E) 8
x + y + 7 = 17 ⇒ x + y = 10
Arda, Barış ve Can'ın sayılarının çarpımı çift ise en az bir sayıları çifttir. O
hâlde x = 1 için y en çok 9 dur.
6. D
7. C
8. D
9. C
10. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5. D
8
B) 90
C) 80
D) 78
E) 75
Öğrenci sırasıyla
− 16
| -3| → 52 → –3 + 4 → − → –(–2)5 → (–15) : (–1)3 bölmelerini gezme4
lidir. Puanı 3 + 25 + 1+ 4 + 32 + 15 = 80 olur.
4. A
D) 9
3. A
C) 10
2. B
B) 11
1. D
A) 12
Cevaplar
8.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Ardışık Tam Sayılar
hhARDIŞIK TAM SAYILAR
Örnek 24:
hh Aralarındaki farklı 1 olan tam sayılara ardışık sayılar denir.
a < b < c < d olmak üzere a, b, c ve d ardışık çift sayılardır.
x bir tam sayı olmak üzere
Buna göre,
..., x – 1, x, x + 1, ...
sayıları ardışık tam sayılardır.
(c - a) . (a - d)
işleminin sonucu kaçtır?
c-d
a = 2, b = 4, c = 6, ve d = 8 için
( c - a) ( a - d ) 4. ( - 6)
= = 12 bulunur.
c- d
( 2)
hh x bir tek tam sayı olmak üzere
..., x – 4, x – 2, x, x + 2, x + 4, ...
sayılarına ardışık tek sayılar denir. Ardışık iki tek sayı arasındaki fark 2 dir.
hh x bir çift tam sayı olmak üzere
..., x – 4, x – 2, x, x + 2, x + 4, ...
sayılarına ardışık çift sayılar denir. Ardışık iki çift sayı arasındaki fark 2 dir.
Örnek 22:
a ve b ardışık tek sayılardır.
a<b
olduğuna göre, a – b farkı kaçtır?
a<b⇒b =a+2 ⇒b–a=2
⇒ a – b = –2 dir.
Örnek 23:
a, b ve c ardışık tam sayılardır.
a<b<c
olduğuna göre, (a – b).(c – a).(b – c) işleminin sonucu
kaçtır?
Örnek 25:
x < y < z ardışık tek sayılar olmak üzere
c1 +
2
2
2
9
m . d1 + n . c1 + m =
7
x
y
z
olduğuna göre, y kaçtır?
x = n, y = n + 2, z = n + 4 olsun
2 =9
a1 + 2n k . a1 + +2 k . a1 + +
k 7
n 2
n 4
n+2 n+4 n+6 = 9
n .n+2.n+4 7
n+6 = 9
+ =
=
n
7 & 7n 42 9n & n 21
y = 21 + 2 = 23
Örnek 26:
2x + 7 ile x + 4 sayıları ardışık tek sayılardır.
Buna göre, x in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
2x + 7 – (x + 4) = 2
x + 3 = 2
x = –1
x + 4 – (2x + 7) = 2
–x – 3 = 2
x = –5
–1 + (–5) = –6
Örnek 27:
Ardışık iki tek sayının toplamı 60 olduğuna göre büyük
sayı kaçtır?
n tek sayı olmak üzere
a = 2, b = 3 ve c = 4 için
n + (n + 2) = 60 ⇒ n = 29
(a – b).(c – a).(b – c) = (–1).(2).(–1) = 2 olur.
⇒ n + 2 = 31
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
9
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Ardışık Tam Sayılar
Örnek 28:
Örnek 31:
a ve b ardışık tam sayılardır.
Ardışık 7 tam sayının toplamı 140 dır.
Buna göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır?
a<b
3a + 2b = 122
140
7 = 20
17, 18 , 19, 20, 21, 22, 23
olduğuna göre, a kaçtır?
a = n ise b = n + 1 dir.
3.n + 2(n + 1) = 122
5n = 120
n = 24
Örnek 32:
Örnek 29:
Bir sokakta, yolun üst tarafındaki evler ardışık tek sayılarla,
alt tarafındakiler ise ardışık çift sayılarla numaralandırılmış-
Ardışık 11 tek sayının toplamı 363 tür.
Buna göre, bu sayıların en küçüğü kaçtır?
tır. Numaralar soldan sağa doğru artmaktadır.
tekler
A
363
11 = 33
23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43
C
Sol
Sağ
B
D
Örnek 33:
çiftler
Ardışık 8 çift sayının toplamı 136 olduğuna göre, bu sa-
A ve B evlerinin numaraları için A – B = 15 olduğuna
yıların en büyüğü ile en küçüğünün çarpımı kaçtır?
göre, C ve D evlerinin numaraları için C – D farkı kaçtır?
A) 9
B) 11
C) 13
D) 15
E) 17
A + 2 = C ve B + 6 = D dir.
A – B = 15 ⇒ (C – 2) – (D – 6) = 15
136/8 = 17
10, 12, 14, 16, 17, 18, 20, 22, 24
10 . 24 = 240
C – D = 11
Örnek 30:
Ardışık pozitif dört tam sayının çarpımı bu sayıların en büyüğü ile en küçüğünün çarpımının 90 katıdır.
Buna göre, bu ardışık tam sayıların toplamı kaçtır?
Sayılar n, n + 1, n + 2, n + 3 olsun.
n.(n + 1).(n + 2).(n + 3) = 90.n(n + 3)
(n + 1)(n + 2) = 90
(n + 1)(n + 2) = 9.10
n+1=9⇒n=8
8 + 9 + 10 + 11 = 38
10
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
Not
Ardışık sonlu dizilerde
Terim Sayısı =
(Son Terim – İlk Terim)
Ortanca Terim =
+ 1
Artış Miktarı
İlk Terim + Son Terim
2
Ardışık Toplam = (Terim sayısı).(Ortanca terim)
olarak bulunur.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Ardışık Tam Sayılar
Örnek 34:
Örnek 38:
3 ile tam bölünen 100 den küçük kaç sayma sayısı var-
Aşağıda verilen ardışık sonlu sayı dizilerinin toplamla-
dır?
rını bulunuz.
A 1 + 5 + 9 + ... + 41
{3, 6, 9, ... 99}
99 - 3
Terim sayısı =
3 + 1 = 33
A 1 + 2 + 3 + ... + 39
1 + 41 a 41 - 1
k
4 +1
2 .
= 21.11
A Ardışık Toplam =
= 231
Örnek 35:
1 + 39 a 39 - 1
k
1 +1
2 .
= 20.39
A Ardışık Toplam =
5 ile bölündüğünde 2 kalanı veren iki basamaklı kaç do-
= 780
ğal sayı vardır?
{12, 17, 22, ..., 97}
97 - 12
+ 1 = 18
Terim sayısı =
5
Örnek 39:
102 ve 353 arasında bulunan ve 5 ile kalansız bölünebilen sayıların toplamı kaçtır?
Örnek 36:
A) 9875
B) 10100
D) 11250
C) 10350
E) 11375
A = {x: 213 < x < 717, x = 10n, n Î Z}
kümesinin eleman sayısı kaçtır?
105 + 110 + 115 + ... + 350
{220, 230, 240, ..., 710}
710 - 220
+ 1 = 50
Terim sayısı =
10
Örnek 37:
105 + 350 a 350 - 105
+ 1k
.
5
2
455
2 .50 = 11375
Örnek 40:
7 + 16 + 25 + ... + 367
toplamındaki her bir terim 2 artırılırsa toplam kaç artar?
367 - 7
+ 1 = 41
9
Toplam = 41.2 = 82 artar.
Terim sayısı =
3 + 5 + 7 + ... + n = 80
olduğuna göre, n kaçtır?
n+
2
n+
2
3 an - 3
. 2 + 1k = 80
3 n- 1
. 2 = 80
(n + 3).(n – 1) = 320
(n + 3)(n – 1) = 20.16
n + 3 = 20 ⇒ n = 17
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
11
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Ardışık Tam Sayılar
Örnek 42:
Not
1 den x doğal sayısına kadar olan doğal sayıların toplamı a,
n (n + 1)
2
n 12
1 + 3 + 5 + 7 + ... + n = c + m
2
1 + 2 + 3 + ... + n =
4 den x'e kadar olan doğal sayıların toplamı b dir.
a + b = 104
olduğuna göre, b kaçtır?
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + x = a
6+b=a
b
a + b = 104 ⇒ b + b + 6 = 104 ⇒ b = 49 olur.
Örnek 41:
Örnek 43:
A = 2.4 + 5.7 + 8.10 + ... + 20.22
Masa
toplamı için aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a) H
er bir terimin ikinci çapanı 1 artırılırsa A kaç artar?
+
Yukarıdaki şekilde, tamamı eş kare motiflerle işlenmiş bir
masa örtüsünün masadan sarkan parçası gösterilmiştir. Bu
parçanın yan kenarlarında bulunan karelerin içi dolu, diğer-
B – A = 2.1 + 5.1 + 8.1 + ... + 20.1
20 + 2 a 20 - 2
k
B–A=
2 .
3 + 1 = 11.7 = 77
b) H
er bir terimin birinci ve ikinci çarpanı 3 artırılırsa A
kaç artar?
lerininki ise boştur.
Sarkan parçadaki dolu karelerin sayısı 21 olduğuna
göre, boş karelerin sayısı kaçtır?
A) 81
B) 84
C) 100
D) 105
E) 121
–/ A = 2.4 + 5.7 + 8.10 + ... + 20.22
B = 2.5 + 5.8 + 8.11 + ... + 20.23
+
–/ A = 2.4 + 5.7 + 8.10 + ... + 20.22
B = 5.7 + 8.10 + 11.13 + ... + 20.22 + 23.25
B – A = 23.25 – 2.4
B – A = 567
dolu kareler 21 tane ise
1 + 2 + 2 + ... + 2 = 21 ⇒ n = 10
n
10 sıra boş kare vardır.
Öğretmen
Sorusu
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100
A = 4.6+5.8+6.10+...+17.20
olduğuna göre
5.7+6.9+7.11+...+18.21
toplamının A cinsinden eşiti nedir?
12
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
(4 + 1).(6 + 1) + (5 + 1)(8 + 1)+...+(17 + 1)(20 + 1)
4 . 6 + 11 + 5 . 8 + 14 + 6 . 10 + 17 + ... +17 . 20 + 38
A + 11 + 14 + 17+ ... +38
11 + 38 a 38 - 11 + k
49
A+
1 = A + 2 .10 = A + 245
2 .
3
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Ardışık Tam Sayılar
1.
Konu Testi - 3
Ardışık iki tam sayının toplamı 47 olduğuna göre, büyük sayı kaçtır?
A) 24
B) 23
C) 22
D) 21
5.
E) 20
A) 10
n + n + 1 = 47 ⇒ n = 23
⇒ n + 1 = 24
2.
6.
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
x, y ve z ardışık tek sayılardır.
olduğuna göre,
A) 4
7.
1
2
C) 0
C) 6
E) 9
D)
1
2
a < b < c ardışık pozitif tek sayılardır.
olduğuna göre, a + c toplamı kaçtır?
A) 14
E) 2
B) 16
C) 18
D) 20
E) 22
a.b.c = 63.11
a.b.c = 7.9.11 ⇒ a + c = 7 + 11 = 18
x - y -2 -1
=
=
2 bulunur.
z-x 4
8.
x < y < z ardışık çift sayılardır.
x + y + z = 120
Ardışık iki çift sayıdan küçük olanın 3 katı, büyük olanın 2
katının 14 fazlasına eşittir.
Buna göre, küçük sayı kaçtır?
olduğuna göre, x kaçtır?
B) 44
B) 5
a.b.c = 693
x- y
oranının değeri kaçtır?
z- x
x = 1, y = 3 ve z = 5 için
A) 46
D) 8
1
1
4
m . c1 + m =
a
b
3
a+1 b+1
ve b = a + 1
a . b
a+1 a+2 = 4 a+2 = 4
a .a+1 3 & a
3
&a=6
x<y<z
4.
E) 30
olduğuna göre, a kaçtır?
b – a = 2 ya da b – a = –2 dir.
B) –
D) 26
a ve b ardışık tam sayılardır.
• c1 +
b–a
A) –1
C) 21
• a<b
Buna göre
3.
B) 15
n bir tam sayı olmak üzere
n = 5 için n.(n + 1) = 30 olabilir.
a ve b ardışık çift sayılardır.
A) 0
Aşağıdakilerden hangisi ardışık iki tam sayının çarpımı olabilir?
C) 42
x = n, y = n + 2, z = n + 4 olsun
n + n + 2 + n + 4 = 120 ⇒ n = 38
x = 38 bulunur.
A) 12
D) 40
B) 16
C) 18
D) 24
E) 28
E) 38
Ardışık sayılar n ve n + 2 olsun
3.n = 2.(n + 2) + 14
3n = 2n + 18
n = 18 olur.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
13
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Ardışık Tam Sayılar
9.
Konu Testi - 3
13. a iki basamaklı bir doğal sayı, b sayma sayısıdır.
Ardışık 9 tek tam sayının toplamı 207 dir.
a 3
=
b 5
Buna göre, küçük sayı kaçtır?
A) 11
B) 13
C) 15
D) 17
E) 19
olduğuna göre, a kaç farklı değer alabilir?
207 =
23
9
A) 30
15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31
göre, en küçük sayı kaçtır?
B) 29
C) 30
D) 31
14.
15.
1 + 2 + 3 + ... + 20 =
C) 200
B) 50
C) 51
D) 52
E) 53
–1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 – ... – 99 + 100
1 + 1 + 1 ...
+ 1 = 50
50 tane
toplamının değeri kaçtır?
B) 180
E) 37
–1 + 2 – 3 + 4 – 5 + 6 – ... – 99 + 100
A) 48
1 + 2 + 3 + ... + 20
A) 150
D) 36
işleminin sonucu kaçtır?
E) 32
325 =
10 32, 5
28, 29, 30, 31, 32, 32,5, 33, 34, 35, 36, 37
11.
C) 33
a = 3k ve b = 5k olduğundan
a ∈ {12, 15, 18, ..., 99}
99 - 12 +
Terim Sayısı =
1 = 30
3
10. Ardışık 10 pozitif tam sayının toplamı 325 olduğuna
A) 28
B) 32
D) 210
T = 12 + 22 + 32 + ... + 102
toplamında her bir terimin tabanındaki sayı 1 arttırılırsa T kaç artar?
E) 240
A) 120
1 + 20 a 20 - 1 + k
1
2 . 1
21
= 2 .20
= 210
B) 121
C) 122
D) 123
E) 124
–/ T = 12 + 22 + 32 + ... + 102
+ B = 22 + 32 + 42 + ... + 102 + 112
B – T = 112 – 12 = 120
2 + 4 + 6 + ... + 60
16. Aşağıdakilerden hangisi ardışık 21 tek sayının toplamı
toplamının sonucu kaçtır?
A) 328
2 + 60 a 60 - 2 + k
1
2 . 2
= 31.30
= 930
C) 336
D) 350
E) 357
Toplam 21 ile bölündüğünde sonuç tek sayı çıkmalıdır.
357
O hâlde 21 = 17 olur.
6. C
7. C
8. C
9. C
10. A
11. D
12. E
13. A
14. B
15. A
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
B) 330
5. E
16. E
14
E) 930
4. E
D) 900
3. B
2 + 4 + 6 + ... + 60 =
C) 880
2. C
B) 840
1. A
A) 810
olabilir?
Cevaplar
12.
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Ardışık Tam Sayılar
1.
Konu Testi - 4
4.
A = 5 + 9 + 13 + ... + 101
B = 7 + 11 + 15 + ... + 103
hh a < b < c
hh (a – c)2 + (c – b).(a + c) = 72
olduğuna göre, B – A farkı kaçtır?
A) 50
B) 51
C) 52
D) 53
E) 54
olduğuna göre, c kaçtır?
A) 12
B – A = (7 – 5) + (11 - 9) + (15 – 13) + ... + (103 – 101)
B – A = 2 + 2 + 2 + ... + 2
(Terim sayısı) tane
101 - 5
B – A = 2. a 4 + 1k = 50
2.
a, b ve c ardışık çift doğal sayılardır.
B) 14
D) 16
E) 18
a = n, b = n + 2, c = n + 4 olsun
(a – c)2 + (c – b).(a + c) = 72
(–4)2 + 2.(2n + 4) = 72
4n + 24 = 72
n = 12 ve c = 16
Ardışık 23 tane tek sayı küçükten büyüğe doğru sıralandığında ortadaki sayı 15 oluyor.
5.
Buna göre, bu sayıların toplamı kaçtır?
A) 330
B) 335
C) 340
D) 345
a < b < c olmak üzere a, b ve c ardışık tek sayılardır.
hh 2 < a < 64
E) 350
hh 50 < b < 100
Ardışık toplam = (ortanca terim).(terim sayısı)
Ardışık toplam = 15.23
Ardışık toplam = 345
hh 40 < c < 90
olduğuna göre, c nin alabileceği kaç farklı değer vardır?
A) 6
a
3.
C) 15
a, b, c, d ve e isimli 5 sütunu bulunan bir tabloya, pozitif
tam sayılar aşağıdaki gibi 1 den başlanarak sırayla ve her
hücreye bir sayı gelecek şekilde yazılacaktır. Bu yazma işleme ilk satırdan başlayıp şekildeki gibi dönüşümlü olarak
bir satır soldan sağa bir sonraki satır sağdan sola şeklinde
ilerleyecektir.
a
b
c
d
e
1
2
3
4
5
10
9
8
7
6
11
12
13
14
15
Buna göre, 100. sayı tabloya yerleştirildiğinde b sütunundaki sayıların toplamı kaç olur?
A) 1010
B) 1020
D) 1040
C) 1030
E) 1050
100. sayı a sütununa yazılır o hâlde b sütununun son elemanı 99 olur.
2 + 9 + 12 + 19 + 22 + 29 + ... + 99
(2 + 12 + 22 + ... + 92) + (9 + 19 + 29 + ... + 99)
94 a 92 - 2 + k + 108 a 99 - 9 + k
1
1
2 . 10
2 . 10
B) 7
49
51
C) 8
53
55
D) 9
57
59
E) 10
61
63
b
51
53
55
57
59
61
63
65
c
53
55
57
59
61
63
65
67
8 farklı değer vardır.
6.
• Bir tam sayının karesi olan sayılara karesel sayı denir.
• 1 den n ye kadar olan ardışık doğal sayıların toplamı
olan sayılara üçgensel sayı denir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi hem karesel hem
de üçgensel sayıdır?
A) 27
B) 36
C) 49
D) 56
E) 64
27 ve 56 tam kare olmadığından karesel sayı değildir.
n (n + 1)
1 + 2 + 3 + ... + n =
üçgensel sayıdır.
2
8. 9 =
n = 8 için 2
36 hem üçgensel hem de karesel sayıdır.
470 + 540 = 1010
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
15
DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER / Ardışık Tam Sayılar
7.
Konu Testi - 4
Üzerinden 1 den 20 ye kadar olan doğal sayıların yazdığı
20 adet top ile oynanan bir oyunda kurallar söyledir.
9.
• Toplar bir makinenin içerisine atılmakta ve üzerindeki
sayılar küçükten büyüğe doğru olacak şekilde sırayla
düşmektedir.
Aşağıda verilen şekiller merdiven imalatı yapan bir firmanın eş uzunlukta çelik çubuk kullanarak yapmak istediği
iskelenin gün gün tamamlanış sürecini göstermektedir.
• Düşen ilk topu Özgür, sonraki düşen topu Ozan almaktadır. Bu durum sıra bozulmadan toplar bitene kadar
devam etmektedir.
1. gün
Bu paylaşım esnasında bir karışıklık oluyor ve Özgür'ün
alması gereken bir topu Ozan, Ozan'ın alması gereken bir
topu Özgür alıyor.
B) 14
C) 16
D) 18
A) 130
B) 136
C) 144
D) 156
E) 160
E) 20
1. gün + 2. gün + 3. gün + ... + 10. gün
4 + 22
4 + 6 + 8 + ... + 22 = 2 .10 = 130
Özgür'ün toplarının toplamı normal şartlarda
1 + 3 + 5 + ... + 19 = 100 olmalıdır.
119 – 100 = 19 ise Özgür'ün 1 nolu topu yerine 20 nolu topu almıştır.
8.
3. gün
Bu iskelenin yapımı 10 gün sonunda tamamlandığına göre, iskelenin tamamında toplam kaç çelik çubuk
kullanılmıştır?
Bu durum sonucunda Özgür'ün elindeki topların numaraları toplamı 119 olduğuna göre Özgür'ün yanlışlıkla aldığı topun numarası kaçtır?
A) 12
2. gün
1
2
3
4
5
6
Sağ Sütun
Sol Sütun
Bir bilgisayar oyunu, aşağıdaki şekilde olduğu gibi sol sütun, sağ sütun ve satırdan oluşmaktadır.
10. Aşağıda bazı kutucukları doldurulmuş şeklin kutucuklarına 1 den 31 e kadar olan tek sayılar aşağıdaki kurala göre
yerleştirilecektir.
• Her kutucukta farklı sayı olmalıdır.
• Her bir sütundaki sayıların toplamı aynı olmalıdır.
Satır
• Sütundaki sayılar yukarıdan aşağıya doğru artmalıdır.
• Sol sütun 1 den başlayan ardışık tek sayılar ile doldurulmaktadır.
1
• Sağ sütun 2 den başlayan ardışık çift sayılar ile doldurulmaktadır.
13
Buna göre, 1 ve 3 ile aynı satırda bulunan diğer iki
sayının çarpımı kaçtır?
5. C
6. B
7. E
8. B
9. A
10. C
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
3
9
13
11
15
23
17
19
21
31
29
27
25
4. D
16
5
D) 45
E) 85
1 + 3 + 5 + ... + 31 = 16.16 = 256
256
olduğundan her sütuna 4 = 64 düşer.
5.7 = 35
3. A
E) 1996
Sol sütun ile satırın ortak kutusunda bulunan sayı n = 15 için 2.15 – 1 = 29.
sağ sütun ile satırın ortak kutusunda bulunan sayı 2.55 = 110 dur.
Satır elemanların toplamı
29 + 110
29 + ... + 110 =
.28 = 1946
2
28 tane
1
C) 35
2. D
C) 1956
B) 28
1. A
A) 21
Cevaplar
Buna göre, satırda bulunan kutucuklardaki sayıların
toplamı kaçtır?
D) 1982
21
31
• Sol sütun 15 kutudan, sağ sütun 55 kutudan, satır ise
28 kutudan oluşmaktadır.
B) 1946
11
23
• Satırda bulunan kutular içerisinde bulunan sayılar sabit olarak artmaktadır.
A) 1823
3
YGS // MATEMATİK
FÖY NO
05
TARAMA
1.
A = {1, {2, 3}, 4, 5, 6}
66: 6 - 35: (- 7) 12 - (- 4) .(- 3)
+
(- 20):(- 2) - 6
3 + 4.(- 3)
4.
B = {1, 2, {3, 4}, 5, 6}
işleminin sonucu kaçtır?
kümeleri için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) s(A) = s(B)
B) 4 ∈ A
D) A ⊂ B
C) {3, 4} ∈ B
A) 26
E) {1, 5} ⊂ (A ∩ B)
5.
işleminin sonucu kaçtır?
B) 4
C) 5
D) 8
D) 10
E) 4
4
(–1)4.(–2)3 + (–6).(–2)
A) 2
C) 16
11  5 12  12 16 0
10  6  3  12  4   9
 40
s(A) = s(B) = 5, 4 ∈ A, {3, 4} ∈ B dir.
A ∩ B = {1, 5, 6} olduğundan {1, 5} ⊂ (A ∩ B) dir.
A ⊂ B değildir.
2.
B) 24
a ve b tek sayılar olmak üzere aşağıdakilerden hangisi
tek sayıdır?
A) a + b
E) 10
B) a.b + b
C) a2 + b
E) a2.b2 + a
D) a.b + 2a
1.(–8) + 12 = –8 + 12 = 4
a = 1 ve b = 3 için
A) 4
B) 6
3.
Aşağıda verilen altı evin kapı numaraları ile ilgili aşağıdaki
bilgiler veriliyor.
6.
C) 4
D) 5
E) 10
dir.
Ardışık 5 çift tam sayının toplamı –10 dur.
Buna göre, en küçük sayı kaçtır?
A) –16
• Evlerin kapı numaraları {1, 2, 3, ..., 20} kümesinin elemanlarından altısıdır.
B) –14
C) –10
D) –8
E) –6
–10/5 = –2 ise –6, –4, –2, 0, 2 olur
• Evlerin kapı numaralarının çarpımı tek sayıdır.
• Evlerin kapı numaraları soldan sağa doğru artmaktadır.
7.
A bir küme olmak üzere
• a ∈ A, b ∈ A ve c ∈ A dır.
• Ardışık iki ev arasındaki kapı numaraları farkı sırasıyla
soldan sağa doğru 2, 4, 6, 2 ve 4 tür.
• A kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin 12 tanesinde
eleman olarak a ve b bulunur ancak c bulunmaz.
Buna göre, kapı numaraları toplamı aşağıdakilerden
hangisidir?
Buna göre, A kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 68
A) 12
B) 66
C) 64
D) 60
E) 58
Kapı numaraları {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19} olabilir.
ilk evin son evin kapı numaraları arasında 2 + 4 + 6 + 2 + 4 = 18 fark
olacağından en küçük kapı numarası 1 dir.
1, 3, 7, 13, 15, 19 olur toplamları 58 dir.
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
s(A) = n olsun
e
n3
o  12 ⇒ n – 3 = 12 ⇒ n = 15
1
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
1
Tarama
x, y, a ve b birbirlerinden farklı pozitif tam sayılardır.
8.
11. a, b ve c tam sayıları için
x.y = 30
a.b < 0
a.b = 72
a+c=0
olduğuna göre, x – a farkı en az kaçtır?
A) –74
B) –70
C) –30
D) 70
b+c<0
E) 72
olduğuna göre, a, b ve c sayılarının işaretleri sırasıyla
aşağıdakilerden hangisidir?
A) –, –, +
x, y, a ve b birbirinden farklı olduğundan
b = 1 ve y = 15 için a = 72 ve x = 2 olur.
x – a = 2 – 72 = –70
B) –, +, –
C) –, +, +
D) +, –, –
E) +, +, –
a.b < 0 ⇒ a → +, b → – veya a → – , b → + dır.
a + c = 0 ⇒ a → + ise c → – veya a → – ise c → + dır.
b + c < 0 ⇒ b ve c negatif olmalıdır.
a, b, c → +, –, – dir.
a bir tam sayı olmak üzere
9.
2a + a + 7
ifadesi bir çift tam sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
A) a tek sayıdır.
B) a + 4 tek sayıdır.
C) a2 + a + 1 tek sayıdır.
D) a3 + a tek sayıdır.
12. Ardışık 4 pozitif tek sayının toplamı ardışık 3 pozitif çift sayının toplamına eşittir.
Tek sayıların en büyüğü 21 olduğuna göre, çift sayıların en küçüğü kaçtır?
A) 18
E) a7 + 2 tek sayıdır.
2a + a + 7 = çift ⇒ a = tek olur.
a = 0 için de ifade çift olduğundan A, B, D ve E seçenekleri daima doğru
değildir.
a2 + a + 1 daima tek sayıdır.
B) 20
C) 22
D) 24
E) 26
Ardışık çift sayılar n, n + 2, n + 4 olsun
15 + 17 + 19 + 21 = n + n + 2 + n + 4
72 = 3n + 6 ⇒ n = 22 olur.
13. Aşağıdaki şekilde beş kümeden oluşturulan dokuz bölge
harflerle gösterilmiştir.
E
A
10. Aşağıdaki şekil siyah ve beyaz altıgenlerden oluşmuştur.
D
B
K
H
F
G
C
• Bu küme sisteminde her bölgede bir eleman bulunmaktadır.
Şekilde beyaz altıgenler içerisine 1'den başlanarak ardışık
doğal sayılar her bir beyaz altıgene bir sayı gelecek şekilde yazılıyor.
Şekilde 20 tane siyah altıgen olduğuna göre, beyaz altıgenlerdeki sayıların toplamı kaçtır?
A) 528
B) 530
C) 536
D) 544
• Her bir kümenin elemanlarının toplamı birbirine eşittir.
• Bu küme sistemlerinin elemanları sıfır hariç tüm rakamlardır.
• B, D, F ve H bölgelerine yazılan sayılar toplamı 10 dur.
Buna göre, her bir çemberin içindeki sayıların toplamı
kaçtır?
E) 560
A) 9
20
Toplam 20 tane siyah altıgen varsa toplam 2 .3 + 2 = 32 tane beyaz
altıgen vardır.
32.33
1 + 2 + 3 + ... + 32 = 2 = 16.33 = 528
2
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
B) 10
C) 11
D) 12
E) 13
B, D, F ve H toplamı 10 ise bu bölgeler 1, 2, 3, 4 yazılar o hâlde
A = 9, B = 2, C = 5, D = 4, E = 6, F = 1, G = 7, H = 3, K = 8 olur.
Her bir çemberin elemanları toplamı 11 dir.
Tarama
45
64
^5x + 2h ^4x - 3h
9
16
14.
17. A ve B kümeleri için,
A = {x: 2 < x < 74, x Î R}
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 5x + 1
B) 12x – 20
D) –2
C) 23
B = {x: x = 2n + 1, n Î Z}
olduğuna göre, s(A Ç B) kaçtır?
E) –7
A) 34
4(5x + 2) – 5(4x – 3)
20x + 8 – 20x + 15
23
B) 35
C) 36
D) 37
E) 38
A ∩ B = {x: 2 < x < 74, x = 2n + 1, n ∈ Z}
A ∩ B = {3, 5, 7, ... 73}
73  3
Terim sayısı = 2  1  36
18. a ve b birer tam sayı olmak üzere
15. a, b ve c tam sayılardır.
I. a + b tek ise a.b çifttir.
a 3 .b + 1
=c
2
II. a + b çift ise 3a + 5b çiftir.
olduğuna göre, a, b ve c den hangileri daima tek sayıdır?
III. a.b tek ise a – b tektir.
A) a
ifadelerinden hangileri doğrudur?
B) b
C) a ve b
D) b ve c
A) Yalnız II
E) a ve c
D) I ve III
a3.b + 1 = 2c ⇒ a3.b = 2c – 1
⇒ a.b = tek ise a ve b tek sayılardır.
toplamı o satırın sağında her sütunda bulunan sayıların
çarpımı ise o sütunun altında yazılı olarak veriliyor.
–22
2
E) I, II ve III
15
19. a, b ve c ardışık pozitif tam sayılar ve a < b < c olmak
üzere
3c
2b - a
işleminin sonucu kaçtır?
A
A) 1
–1
C) I ve II
a + b = tek ⇒ a ve b den biri çift a.b çifttir.
a + b = çift ⇒ 3a + 5b = çifttir.
a.b = tek ⇒ a = tek ve b = tek a – b = çifttir.
16. Aşağıdaki 3 x 3 lük tabloda her satırda bulunan sayıların
–3
B) Yalnız III
–(–5)
z
x
(–1)4
12
A
y
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
B
a = n, b = n + 1, c = n + 2 olsun
3 ( n  2)
3 ( n  2)
3
2 ( n  1)  n  n  2 
Buna göre, x + y + z toplamının değeri kaçtır?
A) 77
B) 78
C) 79
(–3) + –22 + 15 = A ⇒ A = 8
(–1) + 2 + (–(–5)) = B ⇒ B = 6
(–3).(–1).z = 12 ⇒ z = 4
(–22).2.x = 8 ⇒ x = –1
15.(–(–5)).(–1)4 = y ⇒ y = 75
x + y + z = –1 + 75 + 4 = 78
D) 80
E) 81
20. x, y ve z birer pozitif tam sayıdır.
x.y.z = 48
olduğuna göre, x + y + z ifadesinin alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?
A) 72
B) 70
C) 68
D) 61
E) 56
x = 1, y = 1 ve z = 48 için x + y + z en çok 50, x = 4, y = 4 ve z = 3 için x + y
+ z en az 11 dir. 50 + 11 = 61
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
3
Tarama
21. a, b ve c negatif tam sayılardır.
25. Aşağıda verilen şekilde bir geometri sorusu verilmiştir.
• 2a = 3b
ABCD dikdörtgen, M ve N kümelerdir.
• 3a + 2b = c
|AD| = 10 cm ve |AB| = 8 cm
A
olduğuna göre, c aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) –60
B) –72
C) –195
D) –196
2a = 3b ⇒ k ∈ Z olmak üzere a = 3k, b = 2k dır.
3a + 2b = c ⇒ 9k + 4k = c ⇒ c = 13 k olur.
c = –195 olabilir.
B
22. Yaşları birbirinden farklı olan beş kardeş için aşağıdaki bil• Kardeşlerin yaşları toplamı 180 dir.
• (N' ∩ M')' \ (N ∩ M') ifadesi ile belirtilen bölgenin alanı
40 cm2 dir.
• Kardeşlerin iki tanesinin yaşı 30 dan küçüktür.
• M ∩ N ifadesi ile belirtilen bölgenin alanı 8 cm2 dir.
Buna göre, en büyük kardeş en az kaç yaşındadır?
B) 48
C) 57
D) 60
C
• (N ∩ M') ∪ (N ∩ M) ifadesi ile belirtilen bölgenin alanı
24 cm2 dir.
giler veriliyor.
A) 42
M
N
E) –198
D
Buna göre, taralı bölgenin alanı kaç cm2 dir?
E) 62
A) 20
28, 29, a, b, c olsun
28 + 29 + a + b + c = 180 ⇒ a + b + c = 123
a = 40, b = 41, c = 42 için en büyük kardeş 42 yaşındadır.
B) 21
C) 22
D) 23
E) 24
(N ∩ M′) ∪ (N ∩ M) = N
(N′ ∩ M′)′ \ (N ∩ M′) = (N ∪ M) \ (N \ M) = M
Alan(N ∪ M) = Alan(N) + Alan(M) – Alan(N ∩ M)
Alan(N ∪ M) = 24 + 40 – 8 = 56
Taralı bölge = 80 – 56 = 24 cm2
23. A ve B kümeleri için
• A = {1, 2, 3, 5, 7, 9} kümesinin alt kümelerinin oluşturduğu küme K kümesidir.
• B = {1, 3, 5, 7, 10, 12} kümesinin alt kümelerinin oluşturduğu küme M kümesidir.
Buna göre, K Ç M kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 4
B) 8
C) 16
D) 32
E) 64
26.
x = 1501.1499
y = 1505.1495
z = 1612.1388
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) x < y < z
B) x < z < y
D) y < z < x
K ∩ M kümesinin eleman sayısı A ∩ B kümesinin alt küme sayısına eşittir.
A ∩ B = {1, 3, 5, 7} ise s(K ∩ M) = 24 = 16 dır.
C) y < x < z
E) z < y < x
Çarpım durumunda verilen sayıların toplamları 3000 dir. O hâlde sayıların birbirine yakınlığına göre z < y < x dir.
27. x bir negatif gerçek sayı olmak üzere
24. a bir pozitif tam sayıdır.
I. –x2
Buna göre
II. (–x)–1
2a + 4
a
III. (–x)3
ifadesinin 3 katını tam sayı yapan kaç tane a sayısı vardır?
A) 8
B) 7
C) 6
2a  4 6a  12
12
 6 a
a 
a
a → 1, 2, 3, 4, 6, 12
3.
4
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
D) 4
E) 3
ifadelerinden hangileri negatiftir?
A) Yalnız I
D) II ve III
x < 0 ⇒ –x2 < 0 dır.
x < 0 ⇒ (–x)–1 > 0 dır.
x < 0 ⇒ (–x)3 > 0 dır.
B) Yalnız II
C) I ve III
E) I, II ve III
Tarama
28. Aşağıdaki tabloda a, b, c ve d negatif tam sayılarıyla yapılan çarpma işlemlerinden bazılarının sonuçları verilmiştir.
a
c
b
a
d
doğru artarak aşağıda verilen şekildeki gibi numaralandırılıyor.
15
4
c
27
d
Pencere
18
Buna göre, a + b + c + d toplamı kaçtır?
A) –18
B) –19
b2 = 4 ⇒ b = –2
b.d = 18 ⇒ d = –9
c.d = 27 ⇒ c = –3
a.c = 15 ⇒ a = –5
C) –20
D) –21
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
E) –22
a + b + c + d = –19
Bu trende koridorun sağında bulunan 3, 7, 11 ... nolu
koltukların son koltuk numarası 79 olduğuna göre sol
pencere kenarında bulunan koltuk numaralarının toplamı sağ pencere kenarında bulunan koltuk numaralarının toplamından kaç eksiktir?
K = {S, İ, N, E, M, A}
29.
1
kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde A harfi bulunur ama N harfi bulunmaz?
3, 7, 11, 15, ..., 79
A) 14
Terim sayısı = 79 4- 3 + 1= 20
B) 16
Pencere
b
Koridor
x
31. Bir trendeki koltuklar 1 den başlayarak ve soldan sağa
C) 18
D) 24
E) 32
A harfi bulunacağından, N harfi bulamayacağından hesaba dahil edilmezler. O hâlde 24 = 16 alt küme vardır.
A) 56
B) 60
C) 72
D) 80
E) 84
3 + 3 + 3 + ... + 3 = 60
20 tane
32. A ve B kümeleri için
• A \ B kümesinin alt küme sayısı 64 tür.
30. a, b ve c tam sayılardır.
• a + b tek sayı
• A ∩ B kümesinin kendisi hariç alt küme sayısı 3 tür.
• b.c çift sayı
• B \ A kümesinin alt küme sayısı 8 dir.
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?
Buna göre, A È B kümesinin en az 10 elemanlı alt küme
sayısı kaçtır?
A) a + c
A) 12
B) a.c
D) a.b
C) b + c
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
E) a.b + c
A
a + b = tek ve b.c çift ise
a = tek, b = çift, c = tek
a = tek, b = çift, c = çift
a = çift, b = tek, c = çift o hâlde a.b çifttir.
B
6
2
3
s(A ∪ B) = 11 ⇒ e
2s(A\B) = 64 ⇒ s(A\B) = 6
2s(A∩B) – 1 = 3 ⇒ s(A ∩ B) = 2
2s(B\A) = 8 ⇒ s(B\A) = 3
11
11
11
o  e o  e o  1  11  1  12
10
11
1
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
5
Tarama
33. a, b, c ve k gerçel sayıları için
36.
A = {–3, –2, –1, 0, 3, 4, 5, 6}
b.k > 0
kümesinin üç elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde
elemanlar çarpımı negatiftir?
c.k < 0
A) 18
a.k < 0
a + b.c = 0
B) +, –, –
D) –, +, –
C) 20
E) 22
C) +, +, –
E) –, +, +
k > 0 ise a < 0, b > 0, c < 0 olur. Ancak a + b.c = 0 olamaz o hâlde
k < 0 dır. a > 0, b < 0, c > 0 ⇒ +, –, + olur.
37. Bir postanede bulunan çok bölmeli iki posta kutusu aşağıda verilmiştir.
1
3
5
………
2
4
6
………
197
195
• İki posta kutusunun bölme sayıları birbirine eşittir.
34. 50 kişinin bulunduğu bir sporcu grubunda
• Birinci posa kutusuna bölmelerden birincisine 1, ikincisine 3 üçüncüsüne 6 ve bu şekilde devam ederek son
bölmesine 197 mektup atılmaktadır.
• Erkek sporcuların sayısı 20 dir.
• Sarışın sporcuların sayısı 15 dir.
• İkinci posta kutusuna bölmelerden birincisine 2, ikincisine 4 ve bu şekilde devam ederek bütün bölmelere
mektup atılmaktadır.
• Bayan sporcuların en az bir tanesinin , erkek sporcuların en az üç tanesinin sarışın olduğu bilinmektedir.
Buna göre, sarışın olmayan bayan sayısının en büyük
değeri sarışın olan erkek sporcu sayısının en büyük
değerinden kaç fazladır?
Buna göre, ikinci posta kutusuna atılan toplam mektup
sayısı kaçtır?
A) 15
A) 9400
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
B) 9600
D) 9900
s(Bayan) = 50 – 20 = 30 en az bir sarışın bayan olduğundan sarışın olmayan bayan sayısının en büyük değeri 29 dur. Sarışın olan erkek sporcu
sayısının en büyük değeri 15 – 1 = 14 dür. 29 – 14 = 15 bulunur.
35. a – b, b ve a + b küçükten büyüğe doğru sıralanmış ardışık
C) 9800
E) 10000
Bölme sayıları eşit olduğunda
197  1
Terim sayısı =
2  1 = 99 dır.
2 + 198
2 + 4 + 6 + ... + 2.99 =
2 .99 = 9900
38.
A = [–3, 5)
üç tam sayıdır.
B = (–4, 7]
Buna göre, a.b çarpımının değeri kaçtır?
C = {x: x < 8 , x = 2n, n Î Z+}
A) 5
B) 4
C) 3
a+b–b=1⇒a=1
b – (a – b) = 1 ⇒ b – 1 + b = 1 ⇒ b = 1
a.b = 1.1 = 1
6
D) 21
3 4
3
e oe o  e o  3.6  1  19
1 2
3
olduğuna göre, a, b, c sayılarının işaretleri sırasıyla
aşağıdakilerden hangisidir?
A) +, –, +
B) 19
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
D) 2
E) 1
olduğuna göre, aşağıdaki elemanlardan
(A È C) Ç B kümesinin elemanıdır?
A) –5
B) –4
C) 5
A ∪ C = [–3, 5) ∪ {6}
(A ∪ C) ∩ B = [–3, 5) ∪ {6}
olduğundan 6 kümenin elemanıdır.
D) 6
hangisi
E) 7
Tarama
39.
42. a, b ve c ardışık çift sayılar ve a < b < c olmak üzere
a2 < a
a+b<0
a + b + c = 12(b – a).(c – a)
olduğuna göre, b kaçtır?
b.c < 0
eşitsizliklerini sağlayan a, b ve c gerçek sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?
A) –, +, –
B) +, +, +
D) +, –, +
a2 < a ⇒ a → +
a+b<0⇒b→–
b.c < 0 ⇒ c → +
C) +, +, –
E) +, –, –
A) 30
B) 32
C) 34
D) 36
E) 38
a = n ise b = n + 2, c = n + 4 dür.
n + n + 2 + n + 4 = 12(n + 2 – n)(n + 4 – n)
3n + 6 = 12.2.4
3n + 6 = 96 ⇒ n = 30 ⇒ b = 32 olur.
a, b, c → +, –, +
40. a, b ve c iki basamaklı tam sayılardır.
• a, b ve c sayılarının toplamı 7 dir.
• a, b ve c den biri negatif ikisi pozitiftir.
• Pozitif olan iki sayıdan biri 3 katına diğeri iki katına çıkartılıp toplanıyor ve toplamın sonucuna T deniliyor.
43. Asya ve Barış'ın sayı doğrusu kullanarak oynadığı bir
oyunda kurallar şöyledir.
Asya Barış
Buna göre, T en fazla kaçtır?
A) 310
B) 308
C) 273
D) 216
-¥
E) 200
a + b + c = 7 ise a =–99 alınırsa
b + c = 106 olur. b = 10 ve c = 96 için
T = 3c + 2b toplamı en fazla T = 3.96 + 10.2 = 308 olur.
0
• Oyuna iki oyuncuda başlangıç (0) noktasından başlayacaktır.
• Sırasıyla birbirlerine soru sormaktadırlar. Sorunun sonucu negatif çıkar ise negatif yönde, pozitif çıkar ise
pozitif yönde çıkan sonuç kadar ilerlemektedirler.
•
41.
x2 + y2 > (x + y)2
olduğuna göre
I. x < 0, y > 0
+¥
Asya'nın sorduğu sorular Barış'ın sorduğu sorular
–(–2)3
–(–3)2
40
+ 2 (- 2)
- (- 5)
(–2)(–5) – 7
(–24) : 8 + 4
(–2)n + 5
Asya ve Barış bütün sorulara doğru cevap vermiştir.
II. x.y < 0
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
Sorulan üçer soru sonucunda Asya ile Barış arasında
19 birimden fazla mesafe olduğuna göre, n doğal sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) Yalnız I
A) 2
III. x > 0, y > 0
D) I ve III
x2 + y2 > x2 + y2 + 2xy
0 > 2xy ⇒ x.y < 0 dır.
B) Yalnız II
C) I ve II
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
E) I, II ve III
Barış, 8 + 4 + 1 = 13 birim sağa gider. Aralarındaki mesafe 19 birimden
fazla ise n'nin en az olması için Asya sola doğru 6 birimden fazla gitmelidir.
–9 + 3 = –6 olduğundan (–2)n + 5 negatif olmalıdır. n, 3 olabilir.
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
7
Tarama
44. A kümesi B kümesinin alt kümesi olmamak üzere
47. Bir kutuda 1 den 20 ye kadar numaralandırılmış 20 top vardır. Bu kutudan rastgele 3 top çekiliyor. Çekilen toplardan
birinin 6 numaralı top olduğu ve kutuda kalan topların numaralarının toplamının 165 olduğu biliniyor.
s(A Ç B) = 5
s((A x C) È (B x C)) = 30
olduğuna göre, s(C) nin alabileceği en büyük değer
kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
Buna göre, kutudan çekilen toplardan büyük olanının
numarası kaçtır?
E) 10
A) 12
B) 15
C) 17
D) 19
E) 20
Çekilmeden önce topların toplamı
20.21
1 + 2 + 3 + ... + 20 = 2 = 210 dır. Son toplam 165 ise çekilen üç topun
toplamı 210 – 165 = 45 dir. O hâlde sayılar 6, 19, 20 dir.
s((A ∪ B) x C) = 30 ⇒ s(A ∪ B).s(C) = 30
s(A ∪ B) en az 6 ise s(C) en fazla 5 olur.
48. Aşağıda verilen şekilde koyu renkle belirtilmiş kare içerisinde yazılan sayı bu karenin üstünde ve sağında bulunan
karelerde bulunan sayıların toplamına eşittir.
45. Ardışık 3 pozitif tek sayı ile ardışık 3 pozitif çift sayının toplamı 75 dir.
Buna göre, tek sayıların en büyüğü en fazla kaç olabilir?
A) 17
B) 19
C) 21
D) 23
E) 25
Ardışık tek sayılar a, a + 2, a + 4
Ardışık çift sayılar b, b + 2, b + 4 olsun
a + a + 2 + a + 4 + b + b + 2 + b + 4 = 75
3a + 3b = 63 ⇒ a + b = 21 olur.
Tek sayıların en büyüğü en fazla a = 19 için 23 olur.
5
3
1
6
4
2
• Üstteki kutulara ardışık tek sayılar ve alttaki kutulara
ardışık çift sayılar yazılıyor.
• Kutularda bulunan sayılar yukarıya doğru artmaktadır.
Koyu renkli kutular içerisinde bulunan sayıların toplamı 253 olduğuna göre şekilde bulunan toplam kutu
sayısı kaçtır?
5 + 10 + 15 + ... + 5n = 330
olduğuna göre, n kaçtır?
A) 30
D) 39
26. E
25. E
14. C
13. C
2. B
1. D
27. A
15. C
3. E
28. B
16. B
4. E
29. B
17. C
5. D
42. B
30. D
18. C
6. E
43. B
31. B
19. C
7. D
44. B
32. A
20. D
8. B
45. D
33. A
21. C
9. C
46. D
34. A
22. A
10. A
47. E
35. E
23. C
11. D
YGS Matematik Planlı Ders Föyü
C) 36
E) 42
Cevaplar
5(1 + 2 + 3 + ... + n) = 330
n ( n + 1)
= 66 ⇒ n(n + 1) = 132 ⇒ n = 11 olur.
2
48. B
36. B
24. C
12. C
8
B) 33
Koyu renkli kutular
3 + 7 + 11 + ... + n = 253
n3 n3
2 . a 4  1k  253
(n + 3).(n + 1) = 253.8 ⇒ (n + 3)(n + 1) = 46.44
⇒ n = 43
43  3
Koyu renkli kutu sayısı = 4  1  11
Toplam kutu sayısı 3.11 = 33
E) 12
41. B
D) 11
40. B
C) 10
39. D
B) 9
38. D
A) 8
37. D
46.