Hiperbolik Fonksiyonlar

Matematik Dünyas›, 2012-III
Kapak Konusu: İntegral IV
Hiperbolik Fonksiyonlar
cosh ve sinh olarak yaz›lan kosinüs ve sinüs hiperbolik
fonksiyonlar›ndan geçmiflte k›saca sözetmifltik1. Bu yaz›da bu fonksiyonlardan biraz daha
derince sözedece€iz.
Tan›mlardan bafllayal›m:
ex − e−x e2x − 1
sinh x =
=
2
2ex
x çok büyükken, e−x çok küçük olur ve
ex
sinh x - 2 - cosh x
olur. Demek ki sinh ve cosh fonksiyonlar› asemptotiktirler ve eksponansiyel olarak büyürler. Benzer flekilde x, −∞’a giderken,
e−x
e−x
cosh x - 2 ve sinh x -− 2
ve
olur.
Fonksiyonlar›n grafi€ini çizmek için türevlerini
hesaplayal›m. Kolay bir hesapla,
sinhʹ x = cosh x
ve
coshʹ x = sinh x
bulunur. Buradan sinh x fonksiyonunun sürekli
artt›€›, dolay›s›yla x ≥ 0 ise
sinh x ≥ sinh 0 = 0
oldu€u ve dolay›s›yla cosh x fonksiyonunun x ≥ 0
için artt›€› ç›kar. sinh x’in x ≥ 0 iken pozitif oldu€u
asl›nda tan›m›n kendisinden de oldukça çabuk ç›kar.
‹kinci türevleri alal›m:
sinhʹʹ x = sinh x ve coshʹʹ x = cosh x
(Demek ki a sinh x + b coshx fonksiyonlar›
ƒʹʹ = ƒ
diferansiyel denkleminin çözümleridir.) Buradan
cosh fonksiyonunun her yerde, sinh fonksiyonunun ise R≥0 üstünde d›flbükey oldu€u ç›kar. Bu
bilgilerden hareketle sinh ve cosh fonksiyonlar›n›n
grafiklerini çizebiliriz:
ex + e−x e2x + 1
cosh x =
=
.
2
2ex
Tan›mlardan da anlafl›ld›€› üzere bu fonksiyonlar
temel de€il, yard›mc› fonksiyonlar, çünkü ne de
olsa bilinen ex fonksiyonu cinsinden yaz›l›yorlar.
Nitekim bu fonksiyonlar› kullanarak birçok fonksiyonun integralini kolayl›kla alabiliriz.
fiunu da söyleyelim ki matematikçiler genellikle cosh ve sinh fonksiyonlar›n› pek bilmezler ve
bu fonksiyonlara çok gereksinim duymazlar. Ama
herkes hayat›nda bir defa bu fonksiyonlar› görmüfl
olmal›d›r. Uygulamada, özellikle integral almada
yararl› olabilirler.
Önce fonksiyonlar› biraz yak›ndan tan›yal›m,
örne€in grafiklerini çizelim. Daha sonra integrale
uygulamalar›n› görürüz.
1. sinh ve cosh Hiperbolik Fonksiyonlar›
Fonksiyonlar›n tüm R’de tan›ml› olduklar›
belli. Ayr›ca tan›mdan hemen
sinh (−x) = −sinh x ve cosh (−x) = cosh x
ç›kar. Yani sinh tek bir fonksiyondur, yani (0, 0)
noktas› grafi€inin simetri noktas›d›r; ayn› flekilde
cosh çift bir fonksiyondur, yani y ekseni grafi€inin
simetri eksenidir.
sinh 0 = 0 ve cosh 0 = 1
eflitlikleri de kolay. cosh fonksiyonunun pozitif oldu€u da tan›mdan hemen anlafl›l›yor.
3
2
ƒ(x) = sinh x
1
a(x) = e x/2
<3
<2
1
<1
<1
<2
b(x) = <e x/2
1 Bazen sinh yerine sh ve cosh yerine ch yaz›l›r. sinh fonksiyonunun sinfl diye, cosh fonksiyonunun ise kofl diye okundu€u
olur.
<3
33
2
3
Matematik Dünyas›, 2012-III
Nas›l trigonometrik fonksiyonlar için
sin(x + y) = sin x cos y + cos x siny
gibi toplama formülleri varsa, hiperbolik fonksiyonlar için de benzer eflitlikler vard›r:
cosh (x + y) = sinh x sinh y + cosh x cosh y
sinh (x + y) = cosh x sinhy + sinh x coshy
Hatta bu eflitliklerin kan›t› çok daha kolayd›r, tan›mlardan hemen ç›kar. Bunlardan,
cosh(2x) = sinh2 x + cosh2 x
= 2cosh2 x − 1 = 2sinh2 x + 1
sinh(2x) = 2sinhx cosh x
eflitlikleri ç›kar. Ayr›ca
cosh x + sinhx = e x
eflitli€i do€rudur; bu da tan›mlardan ç›kar.
Yukarda verdi€imiz cosh 2x’in formülünden
x
cosh x = 2 cosh2 2 − 1
ƒ(x) = cosh(x)
a(x) = e x/2
b(x) = e <x/2
1
ƒ(x) = cosh x
1
a(x) = sinh x
formülü ve bundan da,
x
cosh 2 =
Yukarda bulduklar›m›zdan,
ç›kar. Benzer flekilde, x ≥ 0 için
# cosh x dx = sinh x + C
x
sinh 2 =
ve
cosh x − 1
2
elde edilir.
Tan›mlardan ya da yukarda verilen türev
formüllerinden hiperbolik fonksiyonlar›n Taylor
serilerini kolayl›kla hesaplayabiliriz. Tan›mdan,
hiperbolik fonksiyonlar›n Taylor serilerine eflit olduklar› hemen ç›kar:
# s inh x dx = cos h x + C
ç›kar.
sin ve cos fonksiyonlar›
sin2 x + cos2 x = 1
eflitli€ini sa€lar. Bu fonksiyonlar›n hiperbolik versiyonlar›,
cosh2 x − sinh2 x = 1
eflitli€ini sa€lar. Bu eflitlik tan›mlardan hemen
ç›kar. Demek ki (cos θ, sin θ) noktas› birim çemberin üstünde oldu€u gibi, (cosh θ, sinh θ) noktas›
da x2 − y2 = 1 “birim hiperbolü”nün üstündedir,
daha do€rusu sa€ kolunun üstündedir. Bu yüzden trigonometrik fonksiyonlara bazen çembersel
fonksiyonlar dendi€i de olur.
x3 x5
sinh x = x + 3! + 5! + g =
2n + 1
/ 3n = 0 (2xn + 1) !
ve
x2 x4
cosh x = 1 + 2! + 4! + g =
2n
/ 3n = 0 (2xn) !
cosh ve sinh Fonksiyonlar›n›n Tersleri
sinh: R → R bir eflleflme oldu€undan, bu fonksiyonun tersi vard›r. Bu fonksiyonun tersi asinh
olarak yaz›l›r2.
asinh fonksiyonun grafi€i elbette sinh x fonksiyonunun y = x çapraz›na göre simetri€idir. asinh
fonksiyonun grafiğini aşağıda bulabilirsiniz.
ƒ(x) = cosh x
h(x) = e x
cosh x + 1
2
1
2
g(x) = sinh x
34
sinh fonksiyonunun tersi bazen sinh−1, arsinh ya da argsinh olarak da yaz›l›r. Benzer yaz›l›m di€er hiperbolik
fonksiyonlar›n birazdan tan›mlayaca€›m›z tersleri için de
geçerlidir.
Matematik Dünyas›, 2012-III
ederiz. Geçmiş sayılarımızda çözdüğümüz bu integrali bir kez daha çözelim: x = tan α ve u = sin α
tan›mlar›yla,
y = sinh(x)
y=x
#
y = asinh(x)
dx
=
1 + x2
=
=
=
=
=
asinh fonksiyonunun türevini bulal›m. E€er ƒ
bir efllemeyse,
ƒ(ƒ−1(x)) = x
oldu€undan, eşitliğin her iki tarafının türevini alarak ve sol tarafın türevini almak için zincir kuralını
uygulayarak,
ƒʹ(ƒ−1(x))⋅ (ƒ−1)ʹ(x) = 1
buluruz. Bulduğumuz bu eşitliği ƒ = sinh fonksiyonuna uygulayacak olursak,
cosh (asinh x)⋅ asinhʹ x = 1
(1)
elde ederiz. Arzulanan asinhʹ x değerini bulmak
için, cosh(asinh x) de€erini cebirsel bir biçimde
ifade edelim:
cosh2 (asinh x) − sinh2 (asinh x) = 1
eflitli€inden ve cosh fonksiyonunun pozitif olmas›ndan,
cosh (asinh x) =
1 + x2
=
=
=
1
=
cosh (asinh x)
1
1 + x2
dx
= asinh x + C
1 + x2
cos α dα
cos2 α
d sin α
1 − sin2 α
du
1 − u2
1 a 1
1
2
1 + u + 1 − u k du
1
1+u
2 ln 1 − u + C
1 1 + sin α
2 ln 1 − sin α + C
1 1 + sinarctan x
2 ln 1 − sinarctan x + C
x
1+
1 + x2
1
ln
+C
x
2 1−
1 + x2
#
#
#
#
1 + x2 + x
1 + x2 − x
+C
( 1 + x 2 + x) 2
1
= 2 ln
+C
( 1 + x 2 − x) ( 1 + x 2 + x)
1
= 2 ln ( 1 + x2 + x) 2 + C
= ln ( 1 + x2 + x) + C.
Demek ki bir C sabiti için,
asinh x = ln a 1 + x2 + x k + C.
( 2)
E€er x = 0 de€erini verirsek, C = 0 bulunur. Dolay›s›yla,
( 3)
asinh x = ln a x + 1 + x2 k
( 5)
elde edilir. Belki beklenmedik bir eşitlik... Öte yandan sinh’in exp’li tanımı göze alındığında, belki de
böyle bir eşitlik beklemek gerekirdi.
cosh fonksiyonu R’nin bir eflleflmesi de€ildir
çünkü her x için cosh x = cosh (−x) olur, ama cosh
fonksiyonu [0, ∞) aral›€›ndan [1, ∞) aral›€›na giden bir eflleme verir. Bu fonksiyonun tersi acosh
olarak yaz›l›r:
acosh x : [1, ∞) → [0, ∞).
Yukardakine benzer hesaplar, x ≥ 1 için,
bulunur. Dolay›s›yla,
#
dα
cos α
1
= 2 ln
ç›kar. Demek ki (1) ve (2)’den
asinhl x =
#
( 4)
bulunur.
Bu son formül akl›m›za yeni fikirler getirebilir,
çünkü
dx
1 + x2
#
integralini öneski say›lar›m›zda çözmüfltük. Böylece muhtemelen asinh x’i veren ilginç bir eşitlik elde
35
Matematik Dünyas›, 2012-III
x2 − 1 ,
1
a cosh x =
=
sinh (a cosh x)
sinh (a cosh x) =
( 6)
1
x2 − 1
y=1
( 7)
1
ve
<3
a cosh x = ln a x + x2 − 1 k
<2
ƒ(x) = tanh(x)
1
<1
( 8)
2
3
y = <1
<1
eflitliklerini verir. Bunların kanıtlarını okura alıştırma olarak bırakıyoruz.
acosh fonksiyonunun grafi€i flöyle:
y = coth(x)
y = cosh(x)
y=x
1
y=1
y = <1
<1
y = acosh(x)
1
1
1
y = sech x
Di€er Hiperbolik Fonksiyonlar
Aynen trigonometrik fonksiyonlarda oldu€u
gibi, sinh ve cosh fonksiyonlar›ndan hareketle
baflka hiperbolik fonksiyonlar tan›mlan›r. İflte bu
fonksiyonlar›n bir listesi:
tanh x =
sinh x ex − e−x e2x − 1
=
=
,
cosh x ex + e−x e2x + 1
coth x =
cosh x ex + e−x e2x + 1
=
=
,
sinh x ex − e−x e2x − 1
sechx =
1
2
2ex
,
= x −x = 2x
cosh x e + e
e +1
cschx =
1
2
2ex
=
=
.
sinh x ex − e−x e2x − 1
y = csch(x)
Tahmin edilece€i üzere tanh ve coth fonksiyonlar›n›n toplam formülü vard›r:
tanh (x ! y) =
Bu fonksiyonlara s›ras›yla hiperbolik tanjant, hiperbolik kotanjant, hiperbolik sekant, hiperbolik
kosekant ad› verilir. Bu tan›mlardan, tanh, coth ve
csch fonksiyonlar›n›n tek, sech fonksiyonunun ise
çift oldu€u ç›kar. Grafiklerinin çizimleri şöyle:
tanh x ! tanh y
1 ! tanh x tanh y
ve
coth (x ! y) =
36
coth x coth y ! 1
.
coth y ! coth x tanh y
Matematik Dünyas›, 2012-III
Al›flt›rmalar
3. ∫
sinh x dx integralini bulun.
4. ƒ = tanh fonksiyonunun
1 m
3
2ƒ = ƒ −ƒ
Bir önceki altbölümde yap›lanlardan tanh x/2
için kimi zaman gerekebilecek hofl bir formül bulunur:
x
sinh x
tanh 2 =
,
( 9)
1 + cosh x
e−x
“diferansiyel denklem”ini sa€lad›€›n› gösterin.
5. x = sinh α de€iflikli€ine giderek
dx
1 + x2
nitekim,
x
x
x
2 sinh 2 cosh 2
x sinh 2
sinh x
tanh 2 =
=
=
.
x
x
1 + cosh x
cosh 2
2 cosh2 2
#
integralini hesaplay›n.
Al›flt›rmalar
1. Afla€›daki formülleri kan›tlay›n:
Di€er Hiperbolik Fonksiyonların Tersleri
tanh: R → (−1, 1) bir eflleme oldu€undan, tersi
de vard›r ve tersi
atanh: (−1, 1) → R
olarak yaz›l›r.
coth fonksiyonunu (0, ∞) aral›€›na k›s›tlarsak,
bu aral›kla (1, ∞) aral›€› aras›nda bir
acoth: (1, ∞) → (0, ∞)
efllemesi elde ederiz.
sech fonksiyonunu [0, ∞) aral›€›na k›s›tlarsak,
[0, ∞) ile (0, 1] aral›€› aras›nda bir eflleme elde
ederiz. Bu efllemenin tersi
asech: (0, 1] → [0, ∞)
olarak gösterilir.
csch x fonksiyonunu R \ {0} kümesinin bir eflleflmesidir. Bu eflleflmenin tersi
acsch : R \ {0} → R \ {0}
olarak gösterilir.
Örnek olarak asech sonksiyonunun türevini
bulal›m. Her zamanki gibi
sech(asech x) = x
eflitli€inin türevini alaca€›z. (Elbette x ∈ (0, 1] olmal›.)
sechʹ(asechx)⋅asechʹx = 1
(10)
elde ederiz. Demek ki sechʹ(asech x) ifadesini anlad›€›m›z bir dilde ifade etmeliyiz:
3
sinh 3x = 3 sinh x + 4 sinh x
cosh 3x = 4 cosh3 x − 3 cosh x
tanh 3x =
3 tanh x + tanh3 x
1 + 3 tanh2 x
sinh 4x = 8 sinh3 x cosh x + 4 sinh x cosh x
cosh 4x = 8 cosh4 x − 8 cosh2 x + 1
tanh 4x =
4 tanh x + 4 tanh3 x
1 + 6 tanh2 x + tanh4 x
2. Afla€›daki formülleri kan›tlay›n:
x+y
x−y
sinh x + sinh y = 2 sinh 2 cosh 2
x+y
x−y
cosh x + cosh y = 2 cosh 2 cosh 2
x+y
x−y
cosh x − cosh y = 2 sinh 2 sinh 2
cosh (x + y) − cosh (x − y)
sinh x sinh y =
2
sinh (x + y) + sinh (x − y)
sinh x cosh y =
2
Bu hiperbolik fonksiyonlar›n türevlenebilir
oldukları bariz, kolayca gösterilebileceği üzere türevleri flöyledir:
1
cosh2 x
−1
cothl x = 1 − coth2 x = − csc h2 x =
sinh2 x
sechl x = − tanh x sec hx
cschl x = − coth x csc hx.
tanhl x = 1 − tanh2 x = sec h2 x =
sechl (asech x) = − tanh (asech x) $ sech (asech x)
= − x tanh (asech x)
sinh (asech x)
=− x
cosh (asech x)
= − x sinh (asech x) sech (asech x)
= − x2 sinh (asech x)
Bunlar›n kolay hesaplar›n› okura b›rak›yoruz.
sech2 x = 1 − tanh2 x
ve
coth2 x = 1 + csch2 x
eflitliklerini de kan›tlamak kolay.
eflitli€inden, sinh (asech x) ifadesini anlad›€›m›z
daha basit bir dile tercüme etmemiz gerekti€i anlafl›l›r.
cosh2 u − sinh2 u = 1 eflitli€ini cosh2 u’ya bölersek, yani sech2 u ile çarparsak,
37
Matematik Dünyas›, 2012-III
1 − sinh2 u⋅sech2 u = sech2 u
elde ederiz. Burada da u = asechx al›rsak,
1 − x2 sinh2 (asech x) = x2,
yani
sinh (asech x) =
1 − x2
x
Demek ki bir C sabiti için,
asech x = ln
eflitli€i do€ru olmal›. ‹ki taraf› da x = 1’de de€erlendirirsek C = 0 buluruz. Demek ki
(11)
elde ederiz. Böylece yukardaki hesaplara devam
edersek,
asech x = ln
sechl (asech x) = − x2 sinh (asech x)
=−x
2
1
1 − x2
1
acoth x =
1 − x2
1
asech x = −
x 1 − x2
1
acsch x = −
.
| x | 1 + x2
−1
1
=
sechl (asech x) x 1 − x2
dx
= − asech x + C
x 1 − x2
(12)
elde edilir.
Bulunan bu integral bize bir fikir vermeli, çünkü
#
Sa€ taraftaki ifadelerin daha aflina oldu€umuz
yöntemle antitürevini bularak,
1 1+x
atanh x = 2 ln 1 − x
1 x+1
acoth x = 2 ln x − 1
dx
x 1 − x2
integralini alman›n baflka yollar› da olmal›. İki integrali eflitleyerek bir eflitlik bulabiliriz. Nitekim,
e€er integralde, x ∈ [0, π/2) için x = cos α de€iflikli€ine gidersek,
#
dx
=−
x 1 − x2
#
sin α dα
cos α sin α = −
#
asech x = ln
dx
=−
x 1 − x2
#
dα
cos α
1
asech x = acosh x
1
acsch x = asinh x
1
acoth x = atanh x
dα
1 1 + sin α
cos α = − 2 ln 1 − sin α + C.
ç›kar.
Henüz bir e€rinin uzunlu€unu görmedik ama
okura gene de ç›tlatal›m: cosh fonksiyonunun alt›nda kalan x = a’dan x = b’ye kadar olan A alanı, ayn›
bölgeye k›s›tlanan y = cosh x e€risinin x = a’dan x =
b’ye kadar olan C uzunlu€una eflittir, yani
dx
1 1 + sin α
= − 2 ln 1 − sin α + C
2
x 1−x
1 1 + sinarccos x
= − 2 ln 1 − sinarccos x + C
2
1 1+ 1−x
= − 2 ln
+C
1 − 1 − x2
= − ln
1 + x2 p
|x |
eflitliklerini elde ederiz. Bu eflitliklerden kolayca
Sa€daki ifadeyi x cinsinden yazal›m:
#
1 + 1 − x2
x
1
acsch x = ln f x +
buluruz ki, en sa€daki integrali bu yaz›da birkaç
sayfa önce bulduk:
#
(13)
atanh x =
buluruz. Bu son eflitlikten de
#
1 + 1 − x2
.
x2
Hiperbolik fonksiyonlar›n›n terslerinin türevleri de benzer yöntemle bulunabilir. ‹flte liste:
1 − x2
= − x 1 − x2
x
buluruz. Buradan da
asechl x =
1 + 1 − x2
+C
x2
alan =
1 + 1 − x2
+ C.
x2
=
olur.
38
#a b cosh xdx
#a b
1 + (sinh x) 2 dx = grafi€in uzunlu€u
Matematik Dünyas›, 2012-III
#
= #
I=
y = cosh x
"
A
‹ntegral Örnekleri
1. I = ∫ cosh2 x dx integralini hesaplay›n.
Birinci Çözüm: Tan›m› kullanal›m:
x
m dx
1 + cosh (2x)
dx
2
cosh2 α − 1
(α ≥ 0 olmak zorunda). Demek ki,
# x2 − 1 dx
= # sinh2 α dα
cosh (2α) − 1
= #
dα
2
I=
buluruz.
2. Afla€›daki integrali hesaplay›n.
#
#
= sinh2 α
= sinh α
x sinh (2x)
= 2+
+C
4
I=
#
#
x2 − 1 =
buluruz.
‹kinci Çözüm: cosh (2x) = 2cosh2 x − 1 eflitli€ini kullanal›m. Aynen yukardaki gibi
# cosh2 xdx = #
=
sin2 α
1 − cos2 α
dα
3 dα =
cos α
cos3 α
dα
dα
− cos α
cos3 α
‹kinci Çözüm: x = cosh α de€iflikli€ine gidelim.
O zaman dx = sinh α dα ve
e−2x
1 e2x
= 4 c 2 + 2x − 2 m + C
I=
#
sin α sin α
cos α cos2 α dα
elde ederiz. Bu integralin sonunu getirebiliriz, hem
bu say›da hem de önceki say›larda defalarca gördük.
Ama devam etmeyece€iz, çünkü hiperbolik fonksiyonlarla bu integral çok daha kolay biçimde al›n›r.
−x 2
# cosh2 xdx = # c e +2e
1
= 4 # ^e2x + 2 + e−2xhdx
I=
=
x2 − 1 dx
sinh (2α) α
− 2 +C
4
sinh (2acosh x) acosh x
=
−
+C
4
2
sinh (acosh x) cosh (acosh x) acosh x
=
−
+C
2
2
=
2
x − 1 dx
Birinci Çözüm: Bu integrali önce eski yöntemlerle yapmaya çal›flal›m.
1
x = cos α
=
de€iflikli€ine gidelim. O zaman,
Genel bir kural olarak ikinci yöntemi ve yan›t biçimini tercih etmek gerekir.
1
sin α
dx = d a cos α k =
dα
cos2 α
3. Afla€›daki integrali bulun.
ve
x2 − 1 =
1
−1
cos2 α
=
1 − cos2 α
cos2 α
x x2 − 1 − acosh x
+ C.
2
I=
#
1 + x + x2 dx
Çözüm: Önce standart de€iflikliklere gidelim:
3
1
y = x + 2 , y = 2 z ve z = sinh u
2
sin α
cos2 α
sin α
= cos α
=
de€ifliklikleriyle, ve Örnek 1’de bulunanla,
olur ve
39
Matematik Dünyas›, 2012-III
I=
#
1 + x + x2 dx =
=
#
3
y2 + 4 dy =
#
#
Karekök içindeki ifadeye bak›nca
2
a x + 1 ) k + 3 dx
2
4
3
3 2 3
4 z + 4 2 dz
3 1
x = 2 + 2 cosh α
3
3
= 4
z2 + 1 dz = 4 cosh2 udu
3 u sinh (2u) m
= 4c2 +
+C
4
3 asinh z sinh (2asinh z) m
= 4c 2 +
+C
4
3 asinh z 2 sinh(asinh z) cosh(asinh z) m
= 4c 2 +
+C
4
#
#
de€ifliminin yarar› anlafl›l›yor. Bu de€iflimle, integral,
I=
elde ederiz ve gerisi kolay.
I=2
4. Afla€›daki integrali hesaplay›n.
#
dx
( x − 1) x 2 − 3 x + 2
Çözüm: Önce karekök içindeki ifadeyi kareye
tamamlayal›m:
I=
#
=
#
#
dα
1 + cosh α
integraline dönüflür. E€er
cosh 2x = 2cosh2 x − 1
ve (9) eflitli€ini an›msarsak gerisini biraz hesapla
kolayl›kla getirebiliriz:
2
3 asinh z z 1 + z m
= 4c 2 +
+C
2
I=
#
1
2 sinh α dα
=2
1
1
a + cosh α k 1 sinh α
2
2 2
dx
( x − 1 ) x2 − 3 x + 2
dx
.
2 1
3
( x − 1) a x − 2 k − 4
#
dα
=2
1 + cosh α
#
dα
α
2 cosh2 2
α
d2
=2
#
=2
x2 − 3 x + 2
sinh α
+C = 2
+ C.
x−1
1 + cosh α
α
α = 2 tanh 2 + C
cosh2 2
(Son satırda gereken küçük hesaplar: cosh a = 2x − 3
ve buradan sinh2 x = cosh2 x − 1 = (2x − 3)2 − 1 =
4(x2 − 3x + 2).) ♦
40