Eğrisel ve Yüzeysel İntegraller (3 hafta) Diferansiyel Denklemler (9

Yüksek Matematik 2. Makina mühendisliği Bölümü.
Prof. Dr. Ramazan Taşaltın
Eğrisel ve Yüzeysel İntegraller (3 hafta)
Gerekli konuların özeti, parametrik denklemler, vektor alanları, uzayda doğru denklemi,
Cizgisel (eğrisel) integraller, Vektör alanının bir eğri üzerinde integrali
Green Teoremi,
Bir fonksiyonun bir yüzey uzerinde integrali
Bir vektör alanının bir yüzey üzerinde integrali.
Stokes Teoremi, Diverjans teoremi.
Diferansiyel Denklemler (9 hafta)
I)Diferansiyel denklemlerde genel tanımlar,
dif denklemein mertebesi, derecesi, lineer ve nonlineer denklemler
II)Birinci Mertebeden ve birinci dereceden denklemler
Degiskenlerine ayrilabilen diff denklemlerin cozumu
Homojen Denklemler, homojen hale getirilebilen denklemler
Tam diferansiyel denklemler
Integral Çarpanı ile tam diff haline getirilebilen denklemler
Lineer diferansiyel denklemler, Bernoelli denklemi, Riccati denklemi
III)Yuksek mertebeden Sabit katsayılı Lineer diff denklemlerin Çözümü
IV)Diff denklemlerin kuvvet serileri ile çözümü
V)Diff denklemlerin Laplas dönüşümü ile cozumu
VI)Diff denklem sistemlerinin Çözümü
Vize Final Odevler ve quizler Toplam
30
60
25
115
Takip Edilecek Kaynaklar
Genel Matematik 2. Beşinci Baskı. Mustafa Balcı. 2010. www.balciyayinlari.com.tr
Thonas Calculus 2. Onbirinci baskı. Cev. Recep Korkmaz. 2007 , www.betayayincilik.com
Diferansiyel Denklemler, Mustafa Bayram, BirsenYayinlari, 2009
Cozumlu Diferansiyel Denklem Problemleri, Cevdet Cerit. 2006
Dokuman sayfasi http://eng.harran.edu.tr/~rtasaltin
Elime değil içindekine bak (MEVLANA CELALEDDIN)
(Kabukla degil öz ile meşgul ol)
(ayrıntılarla uğraşıp vakit kaybetme, dersten maximum istifadeye çalış )
Vaktinde teslim edilmeyen odevler gecersiz sayilir.
Uzayda Dogru denklemi
A(x1, y1, z1) ve B(x2, y2, z2) noktalarindan gecen
dogru denklemi
x - x1
y - y1
z - z1
=
=
x1 - x 2 y1 - y 2 z1 - z 2
Dogru denklemi ha liyle
x - x1
y - y1
z - z1
=
=
x 2 - x1 y 2 - y1 z 2 - z1
olarak da yazilabilir.
Ornek 231
A(1,2,3) ve B(5,3, 7) noktalarindan gecen dogru denklemini
yazin.
x -1 y - 2 z - 3
=
=
1- 5 2 - 3 3 - 7
z= t+2
r(t)=t i+ (0.25t+1.75) j + (t+2)
k
Not: Ayni denklemi degisik parametrik denklemlerle de ifade
edebiliriz.
x -1 y - 2 z - 3
=
=
4
1
4
Burada x=4t+1 konulursa
4t + 1 - 1 y - 2
4t
=
, => y=2+
= t+ 2
4
1
4
4t + 1 - 1 z - 3 4t z - 3
=
=
,
, z-3=4t, z=4t+3
4
4
4
4
r(t)=(4t+1) i+ (t+2) j + (4t+3)
k
--------------------------- ------------Ornek 321
r(t) = (at+b) i+ (ct+d) j + (et+f) k
denklemini kartezyen koordinatlarda ifade edin.
Cozum:
r(t) = x i+ y j + z k
x = at+b, y= ct+d, z=et+f
x -1 y - 2 z - 3
=
=
-4
-1
-4
x -1 y - 2 z - 3
=
=
4
1
4
Ornek 232
A(0,0,0) ve B(1,1, 1) noktalarindan gecen dogru denklemini
yazin.
x -0 y-0 z-0
=
=
0 -1 0 -1 0 -1
x y z
= = ,
-1 -1 -1
t -1 z - 3
=
, z-3=t-1
4
4
x=y=z,
Ornek 241
A(1,2,3) ve B(5,3, 7) noktalarindan gecen dogrunun
parametrik denklemini yazin. Ornek 231 den dogrunun
kartezyen denklemi
x -1 y - 2 z - 3
=
=
4
1
4
seklinde verilmisti.
Burada x=t konulursa
t -1 y - 2
t -1
=
, => y=2+
=0.25t+1.75
4
1
4
x-b
y-d
, t=
,
a
c
x-b y-d z-f
=
=
a
c
e
t=
t=
z-f
e
Egrisel integraller,
Bir fonksiyonun bir egri uzerinde integrali.
y
A
y=g(x)
B
x
f(x,y) fonksiyonunun g(x) uzerindeki integralini A
noktasindan B noktasina kadar
hesaplayinhesaplayin.
Bazi durumlarda egri y=g(x) seklinde degilde g(x,y)=0 seklinde de verilebilir.
Uc boyutlu uzayda. f(x,y,z) fonksiyonunun g(x,y,z)=0 uzerindeki integralini A noktasindan B noktasina kadar hesaplayin.
Parametrik denklemlerle.
f(x,y,z) fonksiyonunun r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egrisi uzerindeki integrali t=a dan t=b ye kadar hesaplayin.
∫
t =b
t =a
f (x(t), y(t), z(t)) | r' (t) | dt
F11
------------------------------------------------------------x-y duzleminde y=g(x) seklinde verilmisse
∫
x =b
x =a
2
⎛ dy ⎞
f (x, g(x)) 1 + ⎜ ⎟ dx
⎝ dx ⎠
F12
------------------------------------------------------------y=g(x) z=h(x) seklinde verilmisse
∫
x =b
x=a
f (x, g(x), h(x)) 1 + ( y' ) 2 + (z' ) 2 dx
------------------------------------------------------------r=g(θ) seklinde Kutupsal koordinatlarda verilmisse
∫
θ =b
f (x, y)dl = ∫
F14
θ =a
f (r cosθ ,r sinθ ) r 2 + r '2 dθ
F13
44) P(6,10) noktasindaki degeri F=-3i-8j olan vektoru cizin.
vektor alanlari
34)C=3i+4j, D=-3i+4j, x-y duzleminde birer vektoru
ifade ederler.
y
3
10
8
y
4
y
D 4
C
3
x
6
x
-3
x
Vektorun. baslangic noktasi, yonu, siddeti verildiginde o
vektor cizilebilir.
45) P(6,10) noktasindaki degeri F=3i+8j olan vektoru cizin.
35)F=P(x,y)i+Q(x,y)j, x-y duzleminde her noktada degisen
vektor alanini ifade ederler.
y
y
3
10
8
x
6
41)Vektorun. baslangic noktasi, yonu, siddeti verildiginde o
vektor cizilebilir.
Ornek: P(3,4) noktasindan yonu x ekseni ile 60 derecelik aci
yapan 10 siddetindeki vektoru cizin
x
51) F=(y-x)i+(x-y)j vektor alaninin P(6,10) noktasindaki
degerini x-y duzleminde gosterin
Cevap: F=(y-x)i+(x-y)j =(10-6)i+(6-10)j=4i-4j
4
y
10
4
y
4
10
600
6
3
x
x
52) F=(y-x)i+(y-x)j vektor alaninin P(6,10) noktasindaki
degerini x-y duzleminde gosterin
Cevap: F=(y-x)i+(y-x)j =(10-6)i+(10-6)j=4i+4j
43) P(6,10) noktasindaki degeri F=3i-8j olan vektoru cizin.
3
y
y
10
8
6
x
4
10
4
6
x
53) Sekildeki vektorun x ekseni ile yaptigi aciyi ve vektorun
siddetini(genligini)hesaplayin.
y
64)F=yi, x yonunde, ve y arttikca siddetde artiyor
y
4
θ
10
x
3
6
x
Vektorun genligi (siddeti)
aci θ=arg tan(4/3)=53.10
32 + 4 2 = 5
71)F=yj, x,y,z duzleminde
z
61)F=j, y yonunde sabit siddetde
y
y
x
x
oklarin siddetleri ayni oldugunu varsayin.
72) F(x,y)= -y i + x j
62)F=xi, x yonunde, ve x arttikca siddetde artiyor
y
x
63) F=yj y yonunde, ve y arttikca siddetde artiyor
y
x
x
y
Pi Qj
x
1
0
0
-1 0
0
-1
2
2
-2 2
-2 -2
2
-2
3
0
0
-3 0
0
-3
0
1
-1 0
0
-1
1
0
-2 2
-2 -2
2
-2
2
2
0
-3 0
0
-3
3
0
3
1
3
y
Pi Qj
F= ‒ yi+xj
F= yi+sin(x) j
Vektor alaninin bir egri uzerinde integrali
F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k
Curl F=(Ry ‒ Qz )i + (Pz ‒ Rx ) j + (Qx ‒ Py )k
div F = ∇ • F = Px+ Qy+ Rz
F21
F22
--------------------- --------------------------------F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k vektor alaninin r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egrisi uzerindeki integralini t=a dan t=b ye kadar
hesaplayin.
∫
t =b
t =a
∫
t =b
F r' dt
(P
t =a
F24
da
db
dc
+Q
+R
)dt
dt
dt
dt
F25
r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egrisi uzerinde
∫
t =b
(P dx + Q dy + R dz )dt
t =a
integralini t=a dan t=b ye kadar hesaplayin.
∫
t =b
(P
t =a
da
db
dc
+Q
+R
)dt
dt
dt
dt
F26
Tutarli (korumali) Vektor alani.
f(x,y,z) fonksiyonunun gradienti
grad f = ∇ f = F = fx i + fy j + fz k
F27.
f(x,y,z) nin turevleri varsa F her zaman vardir hesaplanabilir.
F’i saglayan (olusturan) f(x,y,z) her zaman olmaz.
F’i saglayan (olusturan) f(x,y,z) varsa F ye tutarli (korunmali, konservatif, conservative) vektor alani denir.
F tutarli ise F nin r(t) uzerindeki integrali (F nin r(t) boyunca yaptigi is) yoldan bagimsizdir.
y
r1(t)
B
r3(t)
r2(t)
x
A
A noktasindan B noktasina degisik yollar boyunca gidilebilir.
F tutarli (korumali) ise F nin r(t) uzerindeki integrali (F nin r(t) yolu boyunca yaptigi is yoldan bagimsizdir. )
∫
t =B
t= A
t =B
t =B
F r dt = ∫ F r dt = ∫ F r3' dt
'
1
t= A
'
2
t=A
F28
F=Pi+Qj, (iki boyutlu) Py=Qx ise F tutarlidir. F31
F=Pi+Qj+Rk Ry=Qz , Pz= Rx, Qx = Py ise F tutarli
(uc sartin ucu de saglanirsa tutarlidir,korumalidir)
F32
∫
t =B
t= A
F rX' dt = f(B) - f(A)
F33
A dan B ye herhangibir yol boyunca integralin degeri f fonksiyonunun B deki degeri eksi ve A daki degeridir.
thomas 1168 de Bolum 16.3 soru 17-23 de bahsedilen ornek 4
Green Teoremi
∫
C
(P dx + Q dy) = ∫∫ (
B
dQ dP
− ) dx dy
dx dy
F41
C: Kapali bir egri.
B: bu kapali egrinin icindeki alan.
C egrisi uzerindeki integral C nin cevreledigi alan uzerindeki
iki katli integrale donusturulebilir.
F yi C egrisi uzerinde integre etmek zor ise iki katli integrali
hesapla.
Veya Iki katli integral zor olursa (P dx+Qdy) ifadesini C
uzerinde integre et.
Bir fonksiyonun bir yuzey uzerinde integrali
yuzey denklemi. z=f(x,y) seklinde ifade edilebiliyorsa ve B
yuzeyin x-y duzlemindeki izdusumu ise.
∫∫
S
g(x,y,z)ds= ∫∫ g(x,y,f(x,y)) 1+ fx + fy dx dy
2
2
B
F51
------------------------------------------------ -----------------yuzey denklemi. y=f(x,z) seklinde ifade edilebiliyorsa ve B
yuzeyin x-z duzlemindeki izdusumu ise.
∫∫ g(x,y,z)ds= ∫∫ g(x,f(x,z),z) 1+ f
2
x
S
+ fz dx dz
2
B
F52
---------------------------------------------------- ----------------yuzey denklemi. x=f(y,z) seklinde ifade edilebiliyorsa ve B
yuzeyin y-z duzlemindeki izdusumu ise.
∫∫
S
g(x,y,z)ds= ∫∫ g(f(y,z),y,z) 1 + fy + fz dydz
2
2
B
F53
-------------------------------------------------- ---------------------. Uzaydaki yuzey intgegrali duzlemdeki alan integraline
donusturulebilir.
Bir vektor alaninin bir yuzey uzerinde integrali.
F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k vektor alaninin S yuzeyi uzerindeki integrali.
Tanim: pozitif z yonunde normal denklemi
n=
− f xi − f y j + k
1 + f x2 + f y2
,
pozitif y yonunde normal denklemi
n=
− f xi + j − f z k
1 + f x2 + f y2
,
F vektor, n vektor. Iki vektorun scalar carpimi scalardir. (ai+bj).(ci+dj)=ac+bd
(2i+3j).(4i+7j)=8+21=29.
F n=g(x,y,z) ( F vektor, n vektor,
∫∫
S
ikisinin carpimi g(x,y,z) bir fonksiyon vektor degil)
F n ds = ∫∫ g(x, y, z) dx dy
B
F61
∫∫
S
F n ds = ∫∫ (−P
B
df
df
− Q + R) dx dy
dx
dy
F62
B bolgesi S yuzeyinin x-y duzlemindeki izdusumudur. Uzaydaki yuzey intgegrali duzlemdeki alan integraline
donusturulebilir.
-------------------------------------------------- -------------grad f = ∇ f = F = fx i + fy j + fz k
xy
F26.
2
f(x,y,z)=xyz+ e +z grad f=?
xy
xy
fx =yz+y e
fy =xz+x e
fz =xy+ 2z
xy
xy
grad f = ∇ f= (yz+y e )i + (xz+x e )j + (xy+ 2z)k
Stokes Teoremi
∫∫
C
F dr = ∫∫ Curl F n ds
F71
S
(Curl F n) nin S yuzeyi uzerindeki integrali, S yuzeyini cevreleyen C egrisi uzerindeki F nin integraline esittir.
Ozetle: Yuzey integrali egri integraline donusturulebilir.
Diverjans teoremi.
∫∫
S
F n ds = ∫∫∫ ∇f dx dy dz
F81
D
(F n) nin S yuzeyi uzerindeki integrali ∇ F nin S nin kapladigi hacim uzerindeki integraline esittir.
OZET NOT
Egrisel integraller,
Bir fonksiyonun bir egri uzerinde integrali.
y
A
y=g(x)
B
div F = ∇ • F = Px+ Qy+ Rz
F22
x
f(x,y) fonksiyonunun g(x) uzerindeki integralini A
noktasindan B noktasina kadar
hesaplayinhesaplayin.
Bazi durumlarda egri y=g(x) seklinde degilde g(x,y)=0
seklinde de verilebilir.
Uc boyutlu uzayda. f(x,y,z) fonksiyonunun g(x,y,z)=0
uzerindeki integralini A noktasindan B noktasina kadar
hesaplayin.
Parametrik denklemlerle.
f(x,y,z) fonksiyonunun r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egrisi
uzerindeki integrali t=a dan t=b ye kadar hesaplayin.
∫
t =b
t =a
∫
x =a
f (x(t), y(t), z(t)) | r' (t) | dt
F11
2
⎛ dy ⎞
f (x, g(x)) 1 + ⎜ ⎟ dx
⎝ dx ⎠
F12
------------------------------------------------------------y=g(x) z=h(x) seklinde verilmisse
∫
F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k vektor alaninin
r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egrisi uzerindeki integralini t=a dan t=b
ye kadar hesaplayin.
∫
t =b
t =a
------------------------------------------------------------x-y duzleminde y=g(x) seklinde verilmisse
x =b
--------------------- ---------------------------------
x =b
f (x, g(x), h(x)) 1 + ( y' ) 2 + (z' ) 2 dx
x=a
∫
t =b
t =a
F r' dt
(P
F24
dc
db
da
)dt
+Q
+R
dt
dt
dt
r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egrisi uzerinde
∫
t =b
t =a
(P dx + Q dy + R dz )dt
integralini t=a dan t=b ye kadar hesaplayin.
∫
t =b
t =a
(P
da
db
dc
+Q
+R
)dt
dt
dt
dt
∫
θ =b
θ =a
f (r cosθ ,r sinθ ) r 2 + r '2 dθ
F14
-------------------------------------------------------------- r(t)=a(t)i+b(t)j+c(t)k egri uzunlugu
b
L = ∫ || r' (t) || dt =
a
∫
b
a
a' (t)2 + b' (t)2 + c' (t)2 dt
F15
---------------------------------- --------------------------- --------
Vektor alaninin bir egri uzerinde integrali
F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k
Curl F=(Ry ‒ Qz )i + (Pz ‒ Rx ) j + (Qx ‒ Py )k
F21
F26
Yukaridaki Formullerin degisik yazim sekilleri
F13
------------------------------------------------------------r=g(θ) seklinde Kutupsal koordinatlarda verilmisse
f (x, y)dl = ∫
F25
Tutarli (korumali) Vektor alani.
f(x,y,z) fonksiyonunun gradienti
grad f = ∇ f = F = fx i + fy j + fz k
F yi C egrisi uzerinde integre etmek zor ise iki katli integrali
hesapla.
Veya Iki katli integral zor olursa (P dx+Qdy) ifadesini C
uzerinde integre et.
F27.
(F=Pi+Qj+Rk veya F =Mi+Nj+Pk seklinde de yazilir.)
grad f= ∇ f=F ifadesine f nin gradyani denir.
Bazi kitaplarda gradyan yerine gradient, gradyan alani
ifadeleri de kullanilir.
f(x,y,z) nin turevleri varsa F her zaman vardir hesaplanabilir.
Bir fonksiyonun bir yuzey uzerinde integrali
yuzey denklemi. z=f(x,y) seklinde ifade edilebiliyorsa ve B
yuzeyin x-y duzlemindeki izdusumu ise.
∫∫
F’i saglayan (olusturan) f(x,y,z) her zaman olmaz.
S
F’i saglayan (olusturan) f(x,y,z) varsa F ye tutarli
F51
(korunmali, konservatif, conservative) vektor alani denir.
F tutarli ise F nin r(t) uzerindeki integrali (F
nin r(t) boyunca yaptigi is) yoldan bagimsizdir.
g(x,y,z)ds= ∫∫ g(x,y,f(x,y)) 1+ fx + fy dx dy
2
B
------------------------------------------------ -----------------yuzey denklemi. y=f(x,z) seklinde ifade edilebiliyorsa ve B
yuzeyin x-z duzlemindeki izdusumu ise.
∫∫ g(x,y,z)ds= ∫∫ g(x,f(x,z),z) 1+ f
y
2
2
x
S
r1(t)
B
B
F52
---------------------------------------------------- ----------------yuzey denklemi. x=f(y,z) seklinde ifade edilebiliyorsa ve B
yuzeyin y-z duzlemindeki izdusumu ise.
r3(t)
r2(t)
x
A
2
+ fz dx dz
∫∫ g(x,y,z)ds= ∫∫ g(f(y,z),y,z) 1+ f
S
2
y
2
+ fz dydz
B
A noktasindan B noktasina degisik yollar boyunca gidilebilir. F53
F tutarli (korumali) ise F nin r(t) uzerindeki integrali (F nin -------------------------------------------------- ---------------------r(t) yolu boyunca yaptigi is yoldan bagimsizdir. )
. Uzaydaki yuzey intgegrali duzlemdeki alan integraline
t =B
t =B
t =B
'
'
'
F r1 dt =
F r2 dt =
F r3 dt F28 donusturulebilir.
t= A
t= A
t=A
∫
∫
∫
F=Pi+Qj, (iki boyutlu) Py=Qx ise F tutarlidir. F31
F=Pi+Qj+Rk Ry=Qz , Pz= Rx, Qx = Py ise F tutarli
(uc sartin ucu de saglanirsa tutarlidir,korumalidir)
F32
∫
t =B
t= A
F rX' dt = f(B) - f(A)
F33
A dan B ye herhangibir yol boyunca integralin degeri f
fonksiyonunun B deki degeri eksi ve A daki degeridir.
Green Teoremi
∫
C
(P dx + Q dy) = ∫∫
B
dQ dP
(
− ) dx dy
dx dy
Bir vektor alaninin bir yuzey uzerinde integrali.
F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k vektor alaninin S yuzeyi
uzerindeki integrali.
Tanim: pozitif z yonunde normal denklemi
n=
− f xi − f y j + k
1 + f x2 + f y2
,
pozitif y yonunde normal denklemi
n=
− f xi + j − f z k
1 + f x2 + f y2
,
F vektor, n vektor. Iki vektorun scalar carpimi scalardir.
(ai+bj).(ci+dj)=ac+bd
(2i+3j).(4i+7j)=8+21=29.
F41
C: Kapali bir egri.
B: bu kapali egrinin icindeki alan.
F n=g(x,y,z) ( F vektor, n vektor, ikisinin carpimi
C egrisi uzerindeki integral C nin cevreledigi alan uzerindeki g(x,y,z) bir fonksiyon vektor degil)
iki katli integrale donusturulebilir.
∫∫
S
F n ds = ∫∫ g(x, y, z) dx dy
B
F61
∫∫
S
F n ds = ∫∫ (−P
B
df
df
− Q + R) dx dy
dx
dy
F62
B bolgesi S yuzeyinin x-y duzlemindeki izdusumudur.
Uzaydaki yuzey intgegrali duzlemdeki alan integraline
donusturulebilir.
-------------------------------------------------- -------------grad f = ∇ f = F = fx i + fy j + fz k
xy
F26.
2
f(x,y,z)=xyz+ e +z grad f=?
xy
xy
fy =xz+x e
fz =xy+ 2z
fx =yz+y e
xy
xy
grad f = ∇ f= (yz+y e )i + (xz+x e )j + (xy+ 2z)k
Stokes Teoremi
∫∫
C
F dr = ∫∫ Curl F n ds
F71
S
(Curl F n) nin S yuzeyi uzerindeki integrali, S yuzeyini
cevreleyen C egrisi uzerindeki F nin integraline esittir.
Ozetle: Yuzey integrali egri integraline donusturulebilir.
Diverjans teoremi.
∫∫
S
F n ds = ∫∫∫ ∇f dx dy dz
F81
D
(F n) nin S yuzeyi uzerindeki integrali ∇ F nin S nin kapladigi
hacim uzerindeki integraline esittir.
(Harran Univ. Makina Muh) Yuksek Matematik II
I vize Vize Sinavi
Sinavda dikkat edilecek Hususlar :
A) “..... integrali hesaplayin”,
“ .... diff denklemi Cozun”
seklindeki sorularda istenen sey integralin veya diff
denklemin hesabidir. Bu tip sorularda sadece sonuc
yazmaniz yetmez. Adim adim yaptiginiz hesabi kagidinizda
gostermeniz grekir.
B)“Gerekli integralleri yazin”
“Diff denklemi elde edin”
seklindeki sorularda istenen sey, integralin veya diff
denklemin elde edilmesidir. Cozumu degil.
Istenen integral, integral sinirlari ile beraber net olarak
belirtilmelidir.
Ornek olarak
t =3
∫
t =2
(t 2 + 4t)
dt istenen integraldir. Tam not alir.
t6 + 5
Burada integral sinirlari ve integrali alinacak fonksiyon
dogru olarak yazilmis.
Ancak
t =3
(t 2 + 4t)
∫t t 6 + 5 dt , t ∫=2 f(t) r' (t) dt , ∫C f(t) r' (t) dt , ∫S f(t) r' (t) dt
7) F(x,y,z) vektorunun yaptigi is yoldan bagimsiz oldugunu
gosterin. F vektorunun A(...) noktasindan B(....) noktasina
kadar integralini hesaplamak icin gerekli integralleri yazin.
(2 soru 261-298 arasi)
8) C eğrisi ....... denklemli eğri olduğuna göre
................... integralini hesaplamak icin gerekli
integrali Green teoreminden faydalanarak yazin. (integrali cift
katli integrale donusturun) ( 311-333)
9) S yuzeyi ....... denklemli yuzey olduğuna göre
................... integralini hesaplamak icin gerekl integrali
Green teoreminden faydalanarak yazin. (integrali egrisel
integrale donusturun ( 311-333)
10) S yüzeyi ......... olduğuna göre
∫∫ g(x,y,z)ds
S
integralini hesaplamak icin gerekli integralleri yazin. ( 410440)
11) F= P(x,y,z)i+ Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k vektor alaninin S
yuzeyi uzerindeki integralini hesaplamak icin gerekli
integralleri hesaplayin.
( 450-490)
12)F(x. y. z) = Pi + Qj+R k ve S de .......... olsun. Bu
yüzeyin normali yuzeyin dışına doğru yönlendirildiğine göre
∫
Curl F n ds integralini hesaplamak icin gerekli
seklindeki ifadeler sifir not alir. Cunku sinirlar veya integre
edilecek fonksiyon eksik yazilmis veya yazilmamis.
integralleri Stokes teoremini kullanarak yazin. (521, 534)
Sorularla ilgili aciklama
(122-125): Soru tiplerinde verilen sorulardan soru numarasi
122 ile 125 arasindan bir soru gelecek demektir.
(521, 534): Soru tiplerinde verilen sorulardan soru numarasi
521 ile 534 arasindan bir soru gelecek demektir.
13) S yüzeyi .......... olduğuna göre
F{x, y, z) = Pi + Qj+R k, vektör alanının S nin sınır eğrisi
üzerindeki integralini hesaplamak icin gerekli integralleri
Stokes teoremini kullanarak yazin. n normali yuzeyin dışına
doğru yönlendirilmiştir. (521, 534)
(521, 534): bir sonraki sayfadaki sorulardan soru numarasi
521 ve 534den bir soru demektir.
Ornek Sorular
1) Asagidaki islemleri yapin (122-125 arasindan )
2) Asagida istenen grafikleri cizin (131-136 arasindan)
3)r(t)=... egrisi uzerinde t=.. dan t=.. re kadar f(x,y,z)=...
integralini hesaplamak icin gerekli integralleri yazin. ( 141161 arasindan)
4) denklemi ....... olan eğri parçasının ..<x<.. icin uzunluğunu
bulunuz. 181
5)F(x,y,z)=..... vektor alaninin grafigini cizin. (211-224
arasindan)
6) C eğrisi ....... seklinde verildigine gore
F(x,y,z)
vektorunun C egrisi uzerindeki integralini hesaplamak icin
gerekli integralleri yazin. (231-256 arasi)
S
SORU TIPLERI ile ilgili aciklama
146) z=1 duzleminde x2+y2 =4 cemberi uzerinde ilk
bolgede (x>0, y>0) f(x,y,z)=x2+y2+z2 integralini
hesaplamak icin gerekli integrali yazin.
F11, , x= rcos(t), y=rsin(t), z=1,
F: Ozet not’daki formul numarasidir. Problemin
cozulmesi icin gereken formulu gosterir.
F11: formul 11, F12:formul 12.
b182: kaynak kitap (Mustafa Balci)182.inci sayfada
ornek var
147) f(x,y,z) fonksiyonunun r(t)=3 cos(t) i + 3 sin(t) j +tk
b183: kaynak kitap 183.uncu sayfada ornek var
egrisi uzerindeki integrali 0<t<2π araliginda hesaplayin.
TH1148 soru 9: Thomas Calculus kitabinin 1148 inci
sayfasindaki 9.uncu soru.
SORU TIPLERI
Vektorler
•: Scalar carpim. X:kartezyen (vektorel) carpim
122) (3i+4j ) • (5i+6j )=?
123) (3i+4j +5k) • (6i+7j+8k )=?
124) (3i+4j ) X (5i+6j )=?
125) (3i+4j +5k) X (6i+7j+8k )=?
131) 3ti+4tj vektorunu x-y duzleminde cizin
132) ti+ t2j vektorunu x-y duzleminde cizin
133) ti+ t2j+k vektorunu uzayda cizin
134) ti+ t2j+10k vektorunu uzayda cizin
135) ti+ tj+tk vektorunu uzayda cizin
136) ti+ t2j+tk vektorunu uzayda cizin
F11
148- TH1148 soru 9
149- TH1148 soru 10
150- TH1148 soru 11
.......
..........
soru 12,13,14,15,16,17,18,19
161- TH1148 soru 22
141-161 arasi icin F11 .
181) Parametrik denklemi r(t)=2ti+t j + 3t k olan eğri
parçasının 0<t<3 icin uzunluğunu bulunuz.
F15,el5,
137) F=z i + x 2 + y 2 j + xy k ise ∇ f, Curl F i hesaplayin Vektor alanlari
Bir fonksiyonun bir egri boyunce integrali
141)r(t)=2ti+t2j + 3 t3k egrisi uzerinde t=0 dan t=1 re kadar
f(x,y,z)=x2+y2+z2 integralini hesaplamak icin gerekli
integralleri yazin. .
F11-b182-184
142)r(t)=2ti+t2j egrisi uzerinde t=0 dan t=1 re kadar
f(x,y,z)=x2+y2+z2 integralini hesaplamak icin gerekli
integralleri yazin. .
F11-b182-184
143)r(t)=2ti+t2j egrisi uzerinde t=0 dan t=1 re kadar
f(x,y,z)=x2+y2 integralini hesaplamak icin gerekli
integralleri yazin. .
F11-b182-184
211)Iki boyutlu uzayda (duzlemde )verilen vector alanlarinin
grafigini cizin.
F=i F=10j F=xi F=xj F=yi F=xi+yj F=yi+xj F=2i+yj
F=xi+3j
212)Uc boyutlu uzayda (duzlemde )verilen vector alanlarinin
grafigini cizin.
F=i F=k F=xi F=xj F=yi F=xi+yj F=yi+xj+zk
F=zk F=2j+zk
221
222
223
224
TH1158
TH1158
TH1158
TH1158
soru 1
soru 2
soru 3
soru 4
Vektor alaninin bir egri uzerinde integrali
231)F(x,y,z)=(x2-2xz)i+(y2+xz)j+(z2-3xy)k vektör alanının
eğrisel İntegralini, (0,0,0) noktasını (1,1,1) noktasına
birleştiren aşağıdaki egri
parçalari üzerinde
144)A(1,2,3) den B(5,2,1) dogrusu uzerinde
2
2
2
hesaplayınız.
f(x,y,z)=x +y +z integralini hesaplamak icin gerekli integrali
C1... r(t)=ti+tj+tk
0≤t≤1
yazin.
2j+t3k
C
...
r(t)=ti+t
0≤t≤1
2
F11-b182-184
F25, b192,
145) z=0 (x-y) duzleminde x2+y2 =4 cemberi uzerinde ilk
bolgede (x>0, y>0) f(x,y,z)=x2+y2 integralini hesaplamak
icin gerekli integrali yazin.
F11, x= rcos(t), y=rsin(t),
232) C eğrisi, parametrik gösterimi
r(t)=(1+t)i+2tj+3tk
0≤t≤1
olan doğru parçası olduğuna göre
I = ∫ yz dx + xz dy + xy dz integralini hesaplayınız.
C
F26, b193
233)C eğrisi y = x 2 parabolünün (0,0) noktasını (2,4)
noktasına birleştiren parçası olduğuna göre
I = ∫ (y 2 − 2xy )dx + x 3 dy integralini hesaplayınız.
C
F26, b193
241) TH1158 soru 7
242) TH1158 soru 8
243) TH1158 soru 9
....... .... .......... .......
soru 10,11,12,13,14,15,16
251) TH1158 soru 17
252) TH1159 soru 37
253) TH1159 soru 38
254) TH1159 soru 39
255) TH1159 soru 40
256) TH1159 soru 41
F26
312)C eğrisi, y = 1 − x 2
yan çemberi île (1.0) ve (-1,0)
noktalarını birleştiren doğru parçasının oluşturduğu kapah eğri olup
bunun yönü saat yönünün tersidir.
integralini hesaplayınız.
F41,b201
313) C eğrisi, birinci bölgede x2 + y2 - 2y = 0 , x2 + y2 - 4y = 0
çemberleri ile y = 3 x , y =
1
3
x doğrulan tarafmdan sınırlanan
B bölgesinin çevre eğrisi olduğuna göre
integralini Green formülünden yararlanarak hesaplayınız.
F41,b20
Yoldan Bagimsizlik
314) TH1179 soru 1
261)C eğrisi, parametrik gösterimi
r(t)=cos t i+ sin t j+tk
0 ≤ t ≤ 2π, olan helis parçası 315)TH1179 soru 2
olduğuna göre
F(x,y,z)=y2z i+2xyzj+xy2k, üzerindeki ....................................
soru 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19.
integralini hesaplayınız.
2
333)TH1179 soru 20
Yol gosterme : f(x,y,z) = xy z fonksiyonunun gradyenidir
F31, F33, b195
-------------------------------------- -----------------------
Bir fonksiyonun bir yuzey uzerinde integrali
262)
1, 2
I=
∫ (y
2
- 6x)dx + (2xy + 2)dy integralini hesaplayınız.
I = ∫ x + y + z ds integralini hesaplayınız.
0,0
Çözüm : P(x,y)=y2-6x, Q(x,y)=2xy+2, olduğundan
Py(x,y)=2y, Qx (x,y)=2y, Py=Qx
Dolayısıyla integralin degeri yoldan bagimsiz
F32,F33, b198
----------------------- ----------------------------------------271) TH1168 soru 1
272) TH1168 soru 2
...... ........................... ..
soru
3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,2
5,26,27
297) TH1168 soru 27
298) TH1168 soru 28
F31, F32,F33
----------------------- ----------------------------------------
Green Teoremi
6
2
311)C eğrisi X + Y =1 denklemli eğri olduğuna göre
3
x
y
∫ (cos x + e ) dx + e dy İntegralini hesaplayınız. C
F41,b201
411) S yüzeyi z = x2+2y2 paraboloidinin z=2 ve z= 6
düzlemleri arasında kalan parçası olduğuna göre
S
F51, b215
412) S yüzeyi y = x2+2z2 paraboloidinin y=2 ve y= 6
düzlemleri arasında kalan parçası olduğuna göre
I = ∫ x + y + z ds integralini hesaplayınız.
S
F52, b215
413)S , x + 2y ‒ z = 2 düzleminin birinci bölgedeki parçası
olsun. g(x, y, z) =2x + 3y + 4z fonksiyonunun S üzerindeki
integralini hesaplayınız.
F51,b215,el15_521,
Bir vektor alaninin bir yuzey uzerinde integrali.
454) S yüzeyi x2 + y2+ z2 = 1 yüzeyi olsun. S yüzeyini,
yönü dışari doğru olan normalle yönlendirelim.
F(x, y,z) = yi- xj + zk vektör alanı için I = ∫ F n ds
S
integralıni hesaplayınız.
F61,F62,b218,219,el15_521,
542) F = x2i - y2j+z2k vektör alanının, x2 +y2 = 4 silindirinin
z = 0 ve z = 4 düzlemleri arasında kalan parçası üzerindeki
455) S yüzeyi y= x 2 + z 2 yüzeyi ile y=1 düzlemi
tarafından sınırlanan bölgenin sınır yüzeyidir. F = z i + 2xzj + yüzey integralini hesaplayınız. Yüzeyin n normali silindirin
dışına doğru yönlendirilmiştir.
(x+y) k alaninin S üzerindeki integralini hesaplayınız.
F81, b225
F61,F62,b220,
545) TH1220 soru 5
2
2
2
2
456) F(.v. y. z) = 4xy i + xyzj + 2z k ve S de x + y + z =1 546) TH1220 soru 6
küresinin üst yarisı olsun. Bu yüzeyin normali kürenin dışına Soru 7,8,9,10, 11, 12,13,14,15
556) TH1220 soru 16
doğru yönlendirildiğine göre I = ∫ Curl F n ds integralıni
S
hesaplayınız.
F71, b222.
457) S yüzeyi z = 1 - x 2 + y 2 konisinin xOy düzleminin
üst tarafında kalan parçası olduğuna göre
F(x, y, z) = (e5x sin y) i + (e3x cos y - z)j + y k vektör alanının
S nin sımr eğrisi üzerindeki integratini hesaplayınız, n
normali koninin dışına doğru yönlendirilmiştir.
F71, b223
458) F =x2 i - y2j + z2 k vektör alanının, x2 + y2 = 4
silindirinin z = 0 ve z = 4 düzlemleri arasında kalan parçası
üzerindeki yüzey integralini hesaplayın. Yüzeyin n normali
silindirin dışına doğru yönlendirilmiştir.
F81, b225
--------------------- ------------------- ----------------------- ----
Stokes Teoremi
521) F(x. y. z) = 4yi + x j + 2z k ve S de x2 + y2 + z2 = 1
küresinin üst yarisi olsun. Bu yüzeyin normali kürenin dışına
doğru yönlendirildiğine göre
∫
Curl F n ds
integral ini hesaplayınız.
S
F71, b222
522) S yüzeyi z = 1 − x + y konisinin x O y düzleminin
üst tarafın¬da kalan parçası olduğuna göre
x
x
F{x, y, z) = (e sin y) i + (e cos y - z)j + y k
vektör alanının S nin sınır eğrisi üzerindeki integralini
hesaplayınız, n normali koninin dışına doğru yönlendirilmiş
olup dS nin yönü S den indirgenen yöndür.
F71, b223
525) TH1209 soru 1
526) TH1209 soru 2
Soru 3,4,5,6, 9, 10,20
534) TH1209 soru 20
2
2
Diverjans teoremi.
541)ÖRNEK : F =xi + 2yj +3zk vektör alanının
x 2 y2 z2
+
+
= 1 elipsoidi üzerindeki integralini
a 2 b2 c2
hesaplayınız.
F81, b225
NOT: Cevaplarinizin sonuclarini sorularin hemen altindaki
dikdortgene yazin. Yaptiginiz hesabi daha sonraki boslukta
acikca yazin. okunakli olmayan yazilar
degerlendirilmeyecektir.