ısı transferi formülleri 4

EGE ÜNİVERSİTESİ-MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ-MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
MK371 ISI TRANSFERİ (2+2) DERSİ-ÖZET BİLGİLER: 04
Hazırlayanlar: Yrd.Doç.Dr.Hüseyin GÜNERHAN-Ar.Gör.Mehmet ERKEK
1
EGE ÜNİVERSİTESİ-MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ
MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
MK371 ISI TRANSFERİ (2+2) DERSİ
4.BÖLÜM ÖZETİ
Bu bölümde bir veya çok boyutlu sistemlerde, sıcaklığın konumun yanısıra zamana bağlı
değişimi de ele alınmıştır. İlk olarak sistem içinde sıcaklığın zamanla değiştiği fakat herhangi
bir an için düzgün (uniform) olduğu tümden analiz sistemleri ele alınmıştır. Başlangıçta Ti
uniform sıcaklığında olan ve herhangi bir şekle, m kütlesine, V hacmine, A yüzey alanına, ρ
yoğunluğuna ve Cp özgül ısısına sahip bir tümden gövde t = 0 anında T∞ sıcaklığında ve h ısı
taşınımı katsayısına sahip bir ortama maruz bırakılırsa, sıcaklığının zamana bağlı değişimi
aşağıda verildiği gibi ifade edilebilir (Bi < 0.1 için):
T(t) − T∞
= e − bt ,
Ti − T∞
⎡
hA s
h
=
⎢b =
ρ C p V ρC p L c
⎢⎣
⎤
(1/ s) ⎥
⎥⎦
b, zaman sabitinin birimi, (zaman)-1 olan pozitif bir büyüklüktür. Bu bağıntı cismin t anındaki
sıcaklığının [T(t)] veya cismin belli bir T(t) sıcaklığına ulaşması için gereken t zamanının
bulunması için kullanılabilir. Herhangi bir t anında cismin sıcaklığı T(t) biliniyorsa, o an için
cisim ve çevre arasında gerçekleşen ısı transferi, Newton Soğuma Yasası kullanılarak
bulunabilir:
= hA [ T(t) − T ]
Q(t)
s
∞
(W)
Cisim ile çevre arasında t = 0 anından itibaren gerçekleşen toplam ısı transferi miktarı ise
cismin enerji içeriğindeki değişimdir:
Q = mCp [ T(t) − Ti ]
(kJ)
Cisim T∞ çevre sıcaklığına ulaştığında ısı transferi miktarı üst limitine ulaşmış olur.
Dolayısıyla cisim ve çevre arasındaki maksimum ısı transferi aşağıda verildiği gibi olur:
Q max = mC p (T∞ − Ti )
(kJ)
Tümden sistem analizinin içerdiği hata aşağıda verilen koşul için ihmal edilebilir:
Bi =
hLc
< 0.1
k
Burada Bi Biot Sayısı ve Lc=V/As (hacim/yüzey alanı) karakteristik uzunluktur.
Tümden sistem analizinin uygulanamadığı durumlarda, sıcaklığın zamanın yanısıra konuma
bağlı değişimi, büyük bir düzlem duvar, uzun silindir, küre ve yarı sonsuz ortam için verilen
geçici sıcaklık grafikleri kullanılarak belirlenebilir. (M.P. Heisler ve H. Gröber grafikleri). Bu
grafikler, o geometrilerdeki bir boyutlu ısı transferi için kullanılabilir. Dolayısıyla
kullanımları, cismin başlangıçta uniform bir sıcaklığa sahip olduğu, bütün yüzeylerin aynı ısıl
koşullara maruz bırakıldığı ve cismin içinde ısı üretiminin olmadığı durumlarla sınırlıdır. Bu
EGE ÜNİVERSİTESİ-MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ-MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
MK371 ISI TRANSFERİ (2+2) DERSİ-ÖZET BİLGİLER: 04
Hazırlayanlar: Yrd.Doç.Dr.Hüseyin GÜNERHAN-Ar.Gör.Mehmet ERKEK
2
grafikler, cisimden belli bir t anına kadar gerçekleşen ısı transferi miktarının belirlenmesinde
de kullanılabilir.
Tek terimli bir yaklaşım kullanılarak, bir boyutlu geçici ısı iletimi problemleri analitik olarak
aşağıda verildiği gibi ifade edilebilir:
Düzlem duvar:
Silindir:
Küre :
T(x, t) − T∞
= A1e −λ1τ cos(λ1x / L) , τ > 0.2
Ti − T∞
T(r, t) − T∞
θ(r, t)silindir =
= A1e −λ1τ J 0 (λ1r / r0 ) , τ>0.2
Ti − T∞
2 sin( λ r / r )
T(r, t) − T∞
1
0
, τ>0.2
θ(r, t) küre =
= A1e −λ1 τ
Ti − T∞
λ1r / r0
θ(x, t)du var =
Buradaki A1 ve λ1 sabitleri yalnızca Bi sayısına bağlıdır. Değerleri üç geometri için de Bi
sayısına karşılık olarak ilgili tabloda verilmiştir. Tek terimli çözümlerin içerdiği hata τ>0.2
için %2’den azdır.
Değişik geometriler için tek terimli yaklaşımlar kullanılarak elde edilen oransal ısı transferi
miktarı ifadeleri aşağıda verildiği gibidir.
Düzlem duvar:
⎛ Q ⎞
sin λ1
= 1 − θ0,du var
⎜
⎟
λ1
⎝ Q max ⎠du var
Silindir:
⎛ Q ⎞
J (λ )
= 1 − 2θ0,sili ndir 1 1
⎜
⎟
λ1
⎝ Q max ⎠silindir
Küre:
⎛ Q ⎞
sin λ1 − λ1 cos λ1
⎜
⎟ = 1 − 3θ0,küre
λ13
⎝ Q max ⎠ küre
Taşınıma maruz bırakılan yarı sonsuz bir katı için bir boyutlu geçici ısı iletimi çözümü
aşağıda verildiği gibidir.
⎛ x
⎛ hx h 2 αt ⎞ ⎡
T(x, t) − Ti
h αt ⎞ ⎤
⎛ x ⎞
= erfc ⎜
−
+
+
exp
erfc
⎢
⎜
⎟⎥
⎜
⎟
⎟
⎜ 2 αt
T∞ − Ti
k 2 ⎠ ⎣⎢
k ⎟⎠ ⎥⎦
⎝ 2 αt ⎠
⎝ k
⎝
burada erfc(ξ) tamamlayıcı hata fonksiyonudur. h → ∞ özel durumu için yüzey sıcaklığı Ts
akışkan sıcaklığı T∞’a eşit hale gelir ve yukarıdaki denklem aşağıda verilen hale indirgenir:
T(x, t) − Ti
⎛ x ⎞
= erfc ⎜
⎟
T∞ − Ti
⎝ 2 αt ⎠
(Ts = sabit)
Çarpım çözümü denilen bir süperpozisyon prensibi kullanılarak bu sonuçlar, kısa silindir,
uzun dikdörtgensel çubuk, yarı sonsuz silindir veya plaka gibi geometrilerde karşılaşılan iki
boyutlu geçici ısı iletim problemlerinin çözümünde kullanılabilirler. Hatta, yüzeylerin aynı T∞
sıcaklığındaki akışkana aynı h taşınım katsayısı ile maruz kalması ve içlerinde ısı üretimi
EGE ÜNİVERSİTESİ-MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ-MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
MK371 ISI TRANSFERİ (2+2) DERSİ-ÖZET BİLGİLER: 04
Hazırlayanlar: Yrd.Doç.Dr.Hüseyin GÜNERHAN-Ar.Gör.Mehmet ERKEK
3
olmaması koşuluyla dikdörtgensel prizma, yarı sonsuz dikdörtgensel çubuk gibi geometrilerle
ilintili üç boyutlu geçici ısı iletimi problemlerinin çözümünde de kullanılabilir. Böyle çok
boyutlu geometrilerdeki çözüm, kesişimleri o geometriyi veren tek boyutlu geometrilerin
çözümlerinin çarpımı olarak ifade edilebilir.
Çok boyutlu cisimlerden gerçekleşen toplam ısı transferi değerleri de tek boyutlu değerler
kullanılarak elde edilebilir. 1 ve 2 nolu iki tek boyutlu geometrinin kesişimi sonucunda oluşan
iki boyutlu bir geometriden gerçekleşen geçici ısı transferi miktarı aşağıda verildiği gibi
hesaplanır:
⎛ Q ⎞
⎛ Q ⎞ ⎛ Q ⎞ ⎡ ⎛ Q ⎞⎤
=⎜
⎜
⎟
⎟ +⎜
⎟ ⎢1 − ⎜
⎟⎥
⎝ Q max ⎠ toplam,2B ⎝ Q max ⎠1 ⎝ Q max ⎠ 2 ⎢⎣ ⎝ Q max ⎠1 ⎦⎥
1, 2 ve 3 nolu tek boyutlu cisimlerin kesişimi sonucu oluşan üç boyutlu bir cisimdeki geçici
ısı transferi miktarı ise aşağıda verildiği gibi hesaplanır:
⎛ Q ⎞
⎛ Q ⎞ ⎛ Q ⎞ ⎡ ⎛ Q ⎞ ⎤ ⎛ Q ⎞ ⎡ ⎛ Q ⎞ ⎤⎡ ⎛ Q ⎞ ⎤
=
⎜
⎟
⎜
⎟ +⎜
⎟ ⎢1 − ⎜
⎟ ⎥ +⎜
⎟ ⎢1 − ⎜
⎟ ⎥ ⎢1 − ⎜
⎟ ⎥
⎝ Q max ⎠ toplam,3B ⎝ Q max ⎠1 ⎝ Q max ⎠ 2 ⎢⎣ ⎝ Q max ⎠1 ⎥⎦ ⎝ Q max ⎠3 ⎢⎣ ⎝ Q max ⎠1 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ Q max ⎠ 2 ⎥⎦
Kaynaklar:
1.Çengel YA, Heat Transfer A Practical Approach, Second Edition, ISBN 0-07-1151508,
McGraw-Hill, 2003, New York.
HG-ITÖB04-26.09.2006