Önermeler ve Elektrik devreleri
advertisement
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 2.KONU Sembolik Mantığın uygulamaları Önermeler ve Elektrik devreleri Odanızdakı elektrik anahtalarını birkaç kere açıp kapatınız. Anahta her bastığınızda lambanın yanma durumunda değişiklik olacaktır. Lambanın yanmadığı konumda ise elektrik akımı lambaya ulaşmuyor demektir. Akımın lambaya ulaşması, anahtarın akımı geçirmesıne, akımın lambaya ulaşmaması, anahtarın akımı geçirmemesine bağlıdır. Akımın geçip geçmemesini iki basit temsil etmek mümkindir. anahtar anahtar Sonuç olarak, elektrik anahtarı için iki durum konusudur: Akım geçir ya da geçirmez. Elektrik anahtarına p adı verilse, p nın akım geçirmesi durumu 1, akım geçirmemesi durumu 0 ile gösterildiğinde, p nın mümkin bütün hsllerini gösteren tablo aşağıdaki gibi olur. P 1 0 Önermeler ve Elektrik devreleri Odanızdakı elektrik anahtalarını birkaç kere açıp kapatınız. Anahta her bastığınızda lambanın yanma durumunda değişiklik olacaktır. Lambanın yanmadığı konumda ise elektrik akımı lambaya ulaşmuyor demektir. Akımın lambaya ulaşması, anahtarın akımı geçirmesıne, akımın lambaya ulaşmaması, anahtarın akımı geçirmemesine bağlıdır. Akımın geçip geçmemesini iki basit temsil etmek mümkindir. anahtar anahtar Sonuç olarak, elektrik anahtarı için iki durum konusudur: Akım geçir ya da geçirmez. Elektrik anahtarına p adı verilse, p nın akım geçirmesi durumu 1, akım geçirmemesi durumu 0 ile gösterild,ğinde, p nın mümkin bütün hsllerini gösteren tablo aşağıdaki gibi olur. P 1 0 Önermeler ve Elektrik devreleri Eğer devrede p ve q gibi iki anahtar söz konusu ise, bu devre için dört hal söz konusudur: Değil Anahtarı p q 1 1 1 0 0 1 0 0 Eger p ve q anahtarı için, p akımı geçirirken q akımı geçirmiyor ve p akım geçirmezken q akım geçiriyor ise q anahtara p anahtarın değili denir ve q=p’ olarak gösterilir. p P’ 1 0 0 1 Önermeler ve Elektrik devreleri Seri Bağlama 1.Durum: iki anahtar da (p de, q da) akım geçiriyorsa bu hattan akım geçer. 2.Durum: p akım geçiriyor ama q geçirimiyorsa bu hattan akım geçmez. 3.Durum: p akım geçirmiyor ama q geçiriyorsa bu hattan akım geçmez. 4.Durum: Her iki anahtar da (p de, q da) akım geçirmiyorsa bu hattan akım geçmez. Önermeler ve Elektrik devreleri Elektrik devrelerinde p ve q gibi anahtarların akım geçirip geçirmediği şekillerinde gösterilmez. Örneğin aynı hat üzerindeki p ve q anahtarları için yukarıdakı dört durumda yer alan şekiller yerine şu şekli çizilir. Seri bağlama Önermeler ve Elektrik devreleri Anahtarların akım geçirip geçirme durumlarına göre p ve q anahtaları seri bağlanmış olan bir devreden akım geçirip geçirmesi dört farklı durumda incelenir. p q P ve q anahtarlarına seri bağlı oldugu hattan akım geçme durumu 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 p q p∧q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Parallel Bağlama Bir devrede hat birbirinden bağımsız olarak iki farklı yol üzerinden tamamlanabiliyorsa ve iki farklı yolda birer anahtar bulunuyorsa devre aşağıda verilen biçimdedir: p q P ve q anahtarlarına parallel bağlı oldugu hattan akım geçme durumu p q p∨q 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 Üç anahtar için Eğer q, q ve r üç anahtar söz konusu olsaydı, seri ve paralel bağlamalar aşağıdaki biçimlerde yapılır: 1.Örnek: Aşağıdaki şekli verilen devreye karşılık gelen en basit devreyi bulalım. Devreye karşılık gelen bileşik önerme 𝒑 ∧ [ 𝒑 ∧ 𝒒 ∨ 𝒑′ ∧ 𝒒′ ∨ 𝒒 ] Önerme işlemlerini uygulayarak sadeleşdirelim: 𝒑 ∧ 𝒑 ∧ 𝒒 ∨ 𝒑′ ∧ 𝒒′ ∨ 𝒒 ≡ [𝒑 ∧ 𝒑 ∧ 𝒒 ] ∨ 𝒑 ∧ 𝒑′ ∧ 𝒒′ ∨ 𝒒 ≡ 𝒑 ∧ 𝒑 ∧ 𝒒 ∨ [[𝒑 ∧ 𝒑′ ∧ 𝒒′ ] ∨ 𝒑 ∨ 𝒒 ] ≡ 𝒑 ∧ 𝒒 ∨ [ 𝒑 ∧ 𝒑′ ∧ 𝒒′ ∨ 𝒑 ∧ 𝒒 ] ≡ 𝒑 ∧ 𝒒 ∨ [ç ∨ 𝒑 ∧ 𝒒 ] ≡ 𝒑∧𝒒 ∨ 𝒑∧𝒒 ≡ 𝒑∧𝒒 2. Örnek: A ≡ [(𝑞 ∨r’)⟹ 𝑞 ′ ⟺ 𝑟 ] ⟹ (𝑝 ∨ 𝑟) bileşik önermesini sadeleşdirelim ve bunun yardımıyla bu önermeye karşılık gelen elektrik devresine denk olan en ekonomik elektrik devresini cizelim. 𝒒′ ⟺ 𝒓 ≡ 𝒒′ ⟹ 𝒓 ∧ 𝒓 ⟹ 𝒒′ ≡ 𝒒′ ′ ∨ 𝒓 ] ∧ 𝒓′ ∨ 𝒒′ ise ≡ 𝒒 ∨ 𝒓 ∧ 𝒓′ ∨ 𝒒′ olumsuz ≡ 𝒒 ∨ 𝒓 ∧ 𝒓′ ∨ 𝒒 ∨ 𝒓 ∧ 𝒒′ dağıtma ≡ 𝒒 ∧ 𝒓′ ∨ 𝐫 ∧ 𝐫 ′ ∨ 𝒒 ∧ 𝒒′ ∨ 𝒓 ∧ 𝒒′ ç𝐞𝐥𝐢ş𝐦𝐞 𝐫 ∧ 𝐫 ′ 𝐯𝐞 𝐪′ ∧ 𝐪 ≡ 𝒒 ∧ 𝒓′ ∨ 𝒓 ∧ 𝒒′ 𝐀 ≡ [(𝒒 ∨ 𝒓′)⟹ 𝒒′ ⟺ 𝒓 ] ⟹ (𝒑 ∨ 𝒓) ≡ 𝒒 ∨ 𝒓′ ′ ∨ 𝒒′ ⟺ 𝒓 ′ ∨ (𝒑 ∨ 𝒓) ≡ ( 𝒒 ∨ 𝒓′ ′ )′ ∧ 𝒒′ ⟺ 𝒓 ′ ∨ (𝒑 ∨ 𝒓) ≡ (𝒒 ∨ 𝒓′) ∧ ( 𝒒 ∧ 𝒓′ ∨ 𝒓 ∧ 𝒒′ )′ ∨ (𝒑 ∨ 𝒓) ≡ (𝒒 ∨ 𝒓′) ∧ ( 𝒒 ∧ 𝒓′ ′ ∧ 𝒓 ∧ 𝒒′ ′) ∨ (𝒑 ∨ 𝒓) ≡ 𝒒 ∧ 𝒓′ ′ ∧ ((𝒒 ∨ 𝒓′) ∧ 𝒓 ∧ 𝒒′ ′) ∨ (𝒑 ∨ 𝒓) ≡ 𝒒′ ∨ 𝒓 ∧ ((𝒒 ∨ 𝒓′) ∧ (𝒓′ ∨ 𝒒) ∨ (𝒑 ∨ 𝒓) ≡ 𝒒′ ∨ 𝒓 ∧ (𝒒 ∨ 𝒓′) ∨ (𝒑 ∨ 𝒓) dagytma ≡ 𝒒′ ∨ 𝒓 ∨ (𝒑 ∨ 𝒓) ∧ (𝒒 ∨ 𝒓′) ∨ (𝒑 ∨ 𝒓) ≡ 𝒒′ ∨ 𝒑 ∨ 𝒓) ∧ (𝒒 ∨ p) ∨ (𝒓′ ∨ 𝒓) ≡ 𝒒′ ∨ 𝒑 ∨ 𝒓) ∧ (𝒒 ∨ p) ∨ (𝒕𝒐𝒕𝒐𝒍𝒐𝒋𝒊) ≡ 𝒒′ ∨ 𝒑 ∨ 𝒓) ∧ 𝒕𝒐𝒕𝒐𝒍𝒐𝒋𝒊 ≡ 𝒒′ ∨ 𝒑 ∨ 𝒓)
