ana - Erzurum Teknik Üniversitesi

Matrisler
Satırvesütunlarhalindedüzenlenmiştabloyamatrisdenir.msatırı,nisesütunu
gösterir.
𝑎!! 𝑎!" … 𝑎!!
𝑎!" 𝑎!! … 𝑎!!
…
… … … 𝑎!! 𝑎!! … 𝑎!"
m=nşeklindekimatrislerekarematrisadıverilir.
[2 3 −1]şeklinde,birsatırdanoluşanmatrisesatırmatrisidenir.
5
−2
şeklindekimatrislereisesütunmatrisidenir.
0
3
MatrisÇeşitleri
1-KareveDikdörtgenMatris
mxnboyutluAmatrisindem≠nisedikdörtgenmatris,m=nisekarematris
olarakadlandırılır.
şeklindekiAmatrisibirkarematristir.
şeklindekiBmatrisiisedikdörtgenmatristir.
2-Birim(Etkisiz)Matris
Toplamaişleminegörebirimmatris:Tümelemanlarısıfırolanmatristoplama
işleminegörebirimmatristir.
Çarpma işlemine göre birim matris: Esas köşeni üzerindeki elemanları 1
diğerleri0olankarematrislerdir.Birkarematristeaiielemanlarınınoluşturduğu
köşegeneesasköşendenir.
3-KöşegenMatris
Esas köşegen elamanları dışında kalan elemanları 0 olan matrislere köşegen
matris denir. Köşegen matris kare matristir. Birim matrisler aynı zamanda
köşegenmatrislerdir.
2 0 0
L= 0 −3 0 matrisiköşegenbirmatristir.
0 0 0
4-ÜçgenMatrisler
Üstüçgenmatris:Elemanlarıaijşeklindegösterilenbirmatristei>jiçinaij=0ise
bumatriseüstüçgenmatrisdenir.
Altüçgenmatris:Elemanlarıaijşeklindegösterilenbirmatristei<jiçinaij=0ise
bumatrisealtüçgenmatrisdenir.
5-SimetrikMatris
Bir matrisin elemanları esas köşegene göre simetrikse bu matrise simetrik
matrisdenir.Yaniaij=aji’dir.Aşağıdakimatrissimetrikbirmatristir.
6-DevrikMatris
BirAmatrisininsatırvesütunlarınınyerdeğiştirilmesiyleeldeedilenmatriseA
matrisinindevriği(transpozesi)adıverilirveATilegösterilir.
Matrislerdeİşlemler
1-MatrislerinEşitliği
Aynı tipteki (boyuttaki) iki matrisin karşılıklı elemanlarının tümü eşitse bu iki
matris de eşittir. Yani A ve B matrisleri için A [aij]=B[bij] ve aij=bij ise A ve B
matrisieşittir.
2-MatrislerdeToplamaveÇıkarma
Aynı tipteki iki matrisin karşılıklı elemanları toplanarak bulunan yeni matrise
toplammatrisidenir.
İkimatrisinçıkarmaişlemideaynıyöntemleyapılır.
3-MatrislerinReelSayıileÇarpılması
Bir matrisin k ile çarpılması matrisin tüm elemanlarının k ile çarpılması ile
gerçekleştirilir.
A,BveCaynıboyutlardavek,k1,k2reelsayıise,
1- k.(A+B)=k.A+k.B‘dir.
2- (k1+k2)xA=k1.A+k2.A’dır.
3- (k1.k2).A=k1.(k2.A)=k2.(k1.A)’dır.
4- 1.A=Ave-1.A=-A’dır.
5- 0.A=0’dır.
4-İkiMatrisinÇarpımı
ikimatrisinçarpılabilmesiiçinbirincimatrisinsütunsayısıikincimatrisinsatır
sayısına eşit olmalıdır. Çarpma işleminde birinci matrisin tüm satır elemanları
ikinci matrisin tüm sütun elemanları ile karşılıklı olarak çarpılıp toplanır.
Matrislerinçarpımındaçarpımsırasıönemlidir.YaniA.B≠B.A‘dır.
Örnek:
Örnek:
B.A yapılamaz çünkü B matrisinin sütun sayısı A matrisinin satır sayısına eşit
değildir.
3-Determinant
Determinant karesel bir matrisi reel sayıya dönüştüren bir fonksiyondur. nxn
boyutlubirAkarematrisinindeterminantıdet(A)= 𝐴 ilegösterilir.
DeterminantınÖzellikleri;
1- Bir determinantın bir satırdaki veya bir sütundaki elemanları 0 ise, o
determinantındeğeri0‘dır.
2- Bir determinantta aynı numaralı satırlar ve sütunlar yer değiştirirse
determinantındeğerideğişmez.
3-Birdeterminantınikisatırıveyasütunuyerdeğiştirirse,determinantınişareti
değişir.
4- Bir determinantın bir sayı ile çarpılması demek, her hangi bir satırın veya
sütununosayıileçarpılmasıdemektir.
5- Bir determinantın iki satır veya sütunu aynı elemanlardan oluşuyorsa veya
orantılıise,odeterminantındeğeri0dır.
6-Birdeterminanttabirsatırınveyasütununelemanlarınıbirsayıileçarpıpbir
başka satırın ya da sütunun karşılıklı elemanlarına eklemek determinantın
değerinideğiştirmez.
İkinci mertebeden determinant açılımı: 2x2 boyutlu bir matrisin
determinantıaşağıdagösterildiğigibihesaplanır.
ÜçüncüMertebedenDeterminantAçılımı:
a-Sarruskuralı
Bu kurala göre ilk iki satır alt tarafa veya ilk iki sütun sağ tarafa yazılıp esas
köşegençarpımlarındanyedekköşegençarpımlarıçıkarılır.
Örnek:
ise
ve
olur.
b-LapraceKuralı:
Bu kuralla herhangi bir satır veya sütuna göre açılım yapılır. Ancak sıfır
elemanının yoğun olduğu satır veya sütunlar kolaylık sağlar. Bu açılım her
boyuttakideterminantiçingeçerlidir.Örneğin,
göreaşağıdakigibiaçılır.
olsun.Bumatrisindeterminantınıbirincisatırına
olur.
Örnek:
isedet(A)aşağıdakigibihesaplanır.
Matrisin üçüncü sütununda sıfırların sayısı fazla olduğundan matrisin
determinantınıbusütunagöreaçmakdahakolayolacaktır.
olur.
4-DeterminantınMinörleriveKofaktörleri
A=[aij karematrisininincisatırvejncisütunusilindiktensonraeldeedilen
yenimatrisindeterminantınaaijelemanınınaltdeterminantıveyaminörüdenir
ve 𝑀!" ilegösterilir.
𝐴!" =(-1)i+j. 𝑀!" ifadesineiseaijelemanınınkofaktörüdenir.
Örnek:
5-EkMatris
A karesel matris olmak üzere aij elemanının yerine o elemanın kofaktörleri
konularak bulunan matrisin transpozuna A’nın ek matrisi denir ve Ek(A) ile
gösterilir.
Örnek:
ise Ek(A)=?
Not: 2×2 boyuttaki bir matrisin ek matrisini bulmak için, esas köşegen
üzerindeki elemanlar yer, yedek köşegen üzerindeki elemanlarda işaret
değiştirir.
Örnek:
6-MatrisinTersi
iseEk(A)=?
A matrisiyle çarpıldığında birim matrisi oluşturan matrise A matrisinin tersi
denirveA-1ilegösterilir.YaniA.A-1=A-1.A=Iolur.
Birmatrsinintersimatrisinekmatrisinin,determinantınabölünmesiilebulunur.
!
YaniAmatrisinintersi𝐴!! = ! 𝐸𝑘(𝐴)formülüylehesaplanır.
Birmatrisintersininolabilmesiiçinmatriskarematrisolmalıdırvedeterminantı
sıfırdanfarklıolmalıdır.
Örnek:
iseA-1=?
ve
ise
olur.
LineerDenklemSistemlerininCramerMetoduileÇözümü
Şeklindeki denklemlerden x1, x2 ve x3 değerleri Cramer metodu ile
hesaplanabilir.Budenklemlerkullanılarak;
matrisleri tanımlanır ve lineer denklem sistemi A.X=B şeklinde tanımlanır.
Burada,
,
,
ve
determinantlarıhesaplanırve
olarakhesaplanır.
(Kaynak:MersinÜniversitesidersnotları)