α β ε ε σ - 80.251.40.59

Karşılaştırma Deneyleri
Bu kısımda anlatılacakların büyük bir kısmı istatistik bölümü 3 sınıf öğrencileri
tarafından bilinmektedir.
Örnek 1. Yeni doğan civcivlerin ilk ayında uygulanan farklı iki beslenme rejimi ile ilgili Giriş
Bölümündeki Örnek 4 ‘ü göz önüne alalım. Burada, beslenme sonucu ağırlıkların dağılımının
normal ve her iki beslenme rejimi için varyansların aynı olduğu varsayımı vardır.
Rasgele seçilen n tane civcive birinci, m tane civcive ikinci gıda rejiminin uygulanması
sonucunda Y11, Y12 ,..., Y1n ve Y21, Y22 ,..., Y2 m verisi elde edilsin. Bunları N ( µ1,σ 2 ) ve
N ( µ2 ,σ 2 ) dağılımlarından alınan birbirinden bağımsız birer örneklem olarak düşünürsek,
olabilirlik fonksiyonu,
L(µ1, µ2 ,σ 2 ) = ( 1
2πσ
n
− 1 2 ∑ ( y1i − µ1)2
)n e 2σ i=1
(
1
2πσ
m
− 1 2 ∑ ( y2 j − µ2 )2
2σ j=1
)m e
olmak üzere, parametrelerin en çok olabilirlik tahmin edicileri,
m
n
µˆ1 =
∑ Y1i
i=1
n
= Y1 , µˆ 2 =
∑ Y2 j
j =1
n
= Y2 , σˆ 2 =
n
m
i=1
j =1
∑ (Y1i −Y1)2 + ∑ (Y2 j −Y2 )2
n+m
dır. Đlk ikisi yansız olup varyans için yansızlaştırılmış tahmin edici,
m
i=1
j=1
∑ (Y1i −Y1)2 + ∑ (Y2 j −Y2 )2
σɶ2 = S P2 =
dır.
n
n + m−2
H 0 : µ1 = µ 2 , H1 : µ1 ≠ µ 2 hipotezlerinin testi için α anlam düzeyli olabilirlik oranı test
fonksiyonu,
1 , T ≥ t

1−α / 2,n+m−2
ψ = 
0 , T < t
1−α / 2,n+m−2

dır. Buradaki T test istatistiği,
T=
Y1 −Y2
∼ tn+m−2
1 1
SP +
n m
dır. Bu, test istatistiğine aşağıdaki gibi bir düşünce tarzı ile de ulaşılabilir.
m
n
∑ (Y
1i
− Y1 )
i =1
σ
2
∑ (Y
2
2j
∼ χn2−1 ,
j =1
σ
n
− Y2 ) 2
2
∼ χm2−1 ⇒
( n + m − 2) S
σ
2
2
P
m
∑ (Y
1i
=
2
− Y1 ) +
i =1
∑ (Y
2j
j =1
σ
2
− Y2 )
2
∼χ
2
n+ m −2
ve
Y1 − Y2 − (µ1 − µ2 )
∼ tn+m−2
1 1
+
SP
n m
olmak üzere, H 0 : µ1 − µ2 = 0 , H1 : µ1 − µ 2 ≠ 0 hipotezlerinin testinde, sıfır hipotezi altında,
T=
Y1 − Y2
∼ t n + m −2
1 1
+
SP
n m
olmak üzere,
1 , T ≥ t
1−α / 2,n+m−2
ψ = 
0 , T < t1−α / 2,n+m−2

test fonksiyonu yazılabilir.
Ortalamalar arası fark için 1− α güven katsayılı bir güven aralığı,
1 1
1 1
P(Y1 − Y2 − t1−α / 2,n+m−2 S P
+ < µ1 − µ2 < Y1 − Y2 + t1−α / 2,n+m−2 S P
+ ) = 1− α
n m
n m
şeklindedir. σ 2 bilindiğinde başka bir güven aralığı,
1 1
1 1
+ < µ1 − µ2 < Y1 − Y2 + z1−α / 2σ
+ ) = 1− α
P(Y1 − Y2 − z1−α / 2σ
n m
n m
dır.
Đki beslenme rejimi için varyansların aynı olmadığı, yani beslenme sonunda ağırlıklar için
dağılımların N ( µ1 , σ 12 ) ve N ( µ 2 , σ 22 ) olması ve varyansların bilinmesi durumunda, ortalamalar
arası fark için 1− α güven katsayılı bir güven aralığı,
P (Y1 − Y2 − z1−α / 2
σ12 σ22
σ2 σ2
+
< µ1 − µ2 < Y1 − Y2 + z1−α / 2 1 + 2 ) = 1− α
n
m
n
m
dır. Varyansların bilinmiyor olması durumunda,
2
 S12 S 22 
 + 
 n
m 
υ=
1 2 2
1
( S1 )
( S 22 ) 2
2
2
n
+m
n −1
m −1
olmak üzere,
P(Y1 −Y2 − t1−α / 2,υ
S12
n
+
S22
m
< µ1 − µ2 < Y1 −Y2 + t1−α / 2,υ
S12
n
+
S22
m
dır. Burada,
m
n
S12 =
∑ (Y1i − Y1 ) 2
i =1
n −1
∑ (Y
2j
, S 22 =
− Y2 ) 2
j =1
m −1
olup, bunlar aynı zamanda bilinmeyen varyanslar için yansız birer tahmin edicidir.
) = 1− α
Beslenme rejimleri sonundaki ağırlıkların varyanslarının eşitliği ile ilgili,
H 0 : σ12 = σ 22
H 0 : σ12 ≠ σ 22
hipotezleri test edilmek istensin.
(n −1) S12 / σ12
∼ Fn−1,m−1
(m −1) S 22 / σ22
olmak üzere,
F=
S12
S 22
bir test istatistiğidir. Bu test istatistiği olabilirlik oranı test fonksiyonundaki test istatistiğidir.
Giriş Bölümü Örnek 4 de anlatıldığı gibi Y11, Y12 ,..., Y1n ve Y21, Y22 ,..., Y2 m gözlemleri için,
 Y11  1 0 
 ε11 
 Y  1 0
ε 
 12  
 12 

 ⋮  ⋮ ⋮
 ⋮ 
  
 

 Y1n  = 1 0   µ1  +  ε 1n 
 Y21  0 1   µ2   ε 21 
  
 

 Y22  0 1 
 ε 22 
 ⋮  ⋮ ⋮
 ⋮ 
  
 

Y2 m  0 1 
ε 2 m 
gibi bir lineer model yazılabilir. Hata vektörü için kitle varyanslarının eşit olması durumunda,
E ( ε ) = 0 , Cov( ε ) =σ2In + m
gibi bir varsayım, farklı olması durumunda,
σ 2 I
0 
E (ε ) = 0 , Cov(ε ) =  1 n

2
σ 2 Im 
 0
gibi bir varsayım söz konusu olacaktır. Yukarıdaki istatistiksel sonuç çıkarım lineer model teorisi
çerçevesinde yürütülebilir.
Örnek 2 Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) ile ilgili bir dershane iki aylık bir kurs sonucu
katılanların Đstatistik puanında bir artış sağlamak istemektedir. Amacına ulaşıp ulaşamadığını
araştırmak için KPSS’ye katılanlar arasından rasgele seçtiği n kişiye bu kursu verip, yeni sınav
sonuçlarını öncekilerle karşılaştıracaktır. Seçilen n kişi 1,2,…,n sayıları ile numaralansın.
Birinci ve ikinci sınavın sonuçları Y11, Y12 ,..., Y1n ve Y21, Y22 ,..., Y2n olsun. Bu veriler
N ( µ1 , σ 12 ) ve N ( µ 2 , σ 22 ) dağılımlarından alınmış bağımsız iki örneklem olarak ele alınırsa,
Y1 − Y2 ∼ N (µ1 − µ2 ,
σ12 σ22
+ )
n
m
olup, varyansların biliniyor olması durumunda ortalamalar arası fark için
P (Y1 − Y2 − z1−α / 2
σ12 σ22
σ2 σ2
+
< µ1 − µ2 < Y1 − Y2 + z1−α / 2 1 + 2 ) = 1− α
n
m
n
m
gibi bir güven aralığı yazılabilir. Ancak, i = 1, 2,..., n için Cov(Y1i , Y2i ) değerleri sıfırdan farklıdır,
yani önceki sınav ile sonraki sınav notları ilişkisiz değildir.
Birinci ve ikinci sınavın sonuçları Y11, Y12 ,..., Y1n ve Y21, Y22 ,..., Y2n sırasıyla, N ( µ1 , σ 12 )
ve N ( µ 2 , σ 22 ) dağılımlarından alınmış bağımsız olmayan iki örneklem olarak ele alınırsa,


σ2 σ2 1 n

Y1 − Y2 ∼ N µ1 − µ2 , 1 + 2 − 2
Cov(Y1i , Y2i )

n
m n i=1

∑
olup, ortalamalar arası fark için
2
σ1
P (Y1 − Y2 − z1−α / 2
2
+
n
σ2
m
−
1
n
2
2
n
∑ Cov (Y , Y
1i
2i
) < µ1 − µ2 < Y1 − Y2 + z1−α / 2
i =1
σ1
2
+
σ2
n
m
−
1
n
2
n
∑ Cov(Y , Y
1i
2i
) ) = 1− α
i =1
gibi bir güven aralığı yazılabilir. Kovaryans değerleri bilinmediği için bu güven aralığını
kullanamayız.
Di
= Y1i −Y2i , i = 1, 2,..., n
rasgele değişkenleri bağımsız olmak üzere, D1 , D2 ,..., Dn değerlerini bir
D ∼ N (µD = µ1 − µ2 , σD2 )
rasgele değişkeninin dağılımından örneklem olarak düşünebiliriz. Örneklem ortalaması,
n
D=
Di
∑
i=1

σD2

= Y1 − Y2 ∼ N µD = µ1 − µ2 ,
n

n

σ12 σ22 1 n
= + − 2 ∑ Cov(Y1i , Y2i )

n
m n i=1
ve örneklem varyansı,
n
S D2 =
( Di − D)2
∑
i=1
n −1
dır. µD = µ1 − µ2 , yani ortalamalar arası fark için 1− α güven katsayılı bir güven aralığı,
P( D − t1−α / 2,n−1S D / n < µD < D + t1−α / 2,n−1S D / n ) = 1− α
dır.
H 0 : µ1 − µ2 = 0 (µ D = 0)
H1 : µ1 − µ2 ≠ 0 ( µ D = 0)
hipotezlerinin testinde,
T=
D − µD
∼ tn−1
SD / n
istatistiği kullanılabilir.
Bu örnekte olduğu gibi, aynı birim üzerinde tekrarlı gözlem yapılması durumunda iki
gruptaki gözlemler birbirinden bağımsız olarak düşünülemez. Bu durumlar deney tasarımında
tekrarlı ölçümlü modeller olarak ele alınmaktadır.
Örnek 3 Belli bir ırk tavuklar için yeni doğan civcivlerin ağırlık ortalamasının µ0 gram olup
olmadığı, yani ağırlık ortalaması ( µ ) için H 0 : µ = µ0
, H1 : µ ≠ µ0 hipotezleri test edilmek
istenmektedir. Böyle bir araştırma için deney tasarımı safhaları aşağıdaki gibi olabilir.
DENEY: Yumurtadan çıkan civcivlerin ağırlık ortalaması için H 0 : µ = µ0 , H1 : µ ≠ µ0
hipotezleri test edilmek istenmektedir. Ağırlığı etkileyen baskın bir etken olmayacak şekilde
yumurtalar kuluçkaya yatırılıp çıkan civcivlerin ağırlıkları (Y) gözlenecektir.
DÜZENLEME: Bu ırka ait tavukların yumurtalarından rasgele seçilen belli sayıdaki yumurtadan
sağ çıkan n tane civcivin ağırlıkları Y1 , Y2 ,..., Yn olarak gözlensin. Bu gözlemler için
Yi = µ + ε i , i = 1, 2,..., n ε i ∼ BND (0, σ ε2 )
gibi bir lineer model düşünülebilir. Normallik varsayımını kaldırarak,
Yi = µ + ε i , i = 1, 2,..., n ε i ∼ BAD (0, σ ε2 )
gibi bir model de düşünülebilir. Burada BAD kısaltması Bağımsız Aynı Dağılımlı sözcüklerinin
ilk harfleridir. Hatalar için normallik sınaması yapılıp modellerden bir tanesi tercih edilecektir.
ANALĐZ: Yi = µ + ε i , i = 1, 2,..., n ε i ∼ BND (0, σ ε2 ) modelinin tercih edilmesi durumunda α
anlam düzeyli test fonksiyonu,

Y − µ0

≥t
1 ,
σˆ ε / n 1−α / 2,n−1

ψ =

0 , Y − µ0 < t

σˆ ε / n 1−α / 2,n−1

n
dır. Burada, Y =
∑ Yi
i=1
n
∑ (Y −Y )
2
i
ve σˆ ε2 =
i =1
dır.
n
n −1
Yi = µ + ε i , i = 1, 2,..., n ε i ∼ BAD (0, σ ε2 ) modelinin tercih edilmesi durumunda örneklem hacmi
yeterince büyük olduğunda α anlam düzeyli test fonksiyonu,

Y − µ0

≥ z1−α / 2
1 ,
ˆ
σ
/
n

ε
ψ = 

0 , Y − µ0 < z
1−α / 2

σˆ ε / n

dır. Örneklem hacmi küçük olduğunda dağılımdan bağımsız (distribution free) hipotez testine
başvurulabilir.
Bu örnekte, başlangıçtaki amacımız hipotez testi olmayıp, yeni doğan civcivlerin ağırlık
ortalaması ile varyansının nokta ve aralık tahmini olabilir. Araştırma, yine yukarıdaki gibi bir
Deney Tasarımı çerçevesinde yapılsın. Her iki model çerçevesinde,
n
µˆ = Y =
Yi
∑
i=1
n
n
σˆ ε2 =
(Yi − Y )2
∑
i=1
n −1
tahmin edicileri yansız olup, birinci model çerçevesinde bu tahmin ediciler düzgün en küçük
varyanslı yansız (UMVU) tahmin edicilerdir.
Örnek 4 Kandaki kolestrol miktarı (Y ) ile yaş ( X ) arasında,
Yi = α + β X i + εi , i = 1, 2,..., n , εi ∼ BND(0, σε2 )
gibi basit doğrusal regresyon bağıntısı olduğu bilinmektedir. Farklı iki şehirdeki kadınlar için
kandaki kolestrol karşılaştırılmak istenmektedir. Daha doğrusu, iki şehirdeki kadınlar için söz
konusu olan regresyon denklemlerinin aynı olup olmadığı karşılaştırılmak istenmektedir.
Đstatistik dili ile,
Y1i = α1 + β1 X1i + ε1i , i = 1,2,..., n1 , ε1i ∼ BND(0, σε2 )
Y2i = α2 + β2 X 2i + ε2i , i = 1,2,..., n2 , ε2i ∼ BND(0, σε2 )
gibi iki model için,
H 0 : α1 = α2 , β1 = β2
H1 : α1 ≠ α2 veya β1 ≠ β2
hipotezleri test edilmek istenmektedir. Bu amaçla yapılan bir deney düzenlemesi sonucunda,
birinci şehirden rasgele seçilen 11 ve ikinci şehirden rasgele seçilen 19 kadın için aşağıdaki
gözlemler elde edilmiştir.
Y1i
X 1i
Y2i
X 2i
181
228
182
249
259
201
121
339
224
112
189
46
52
39
65
54
33
49
76
71
41
58
187
173
177
241
225
223
110
257
337
189
214
140
196
262
261
356
159
191
197
18
44
33
78
51
43
34
58
63
19
42
30
47
58
70
67
41
21
56
H 0 : α1 = α2 , β1 = β2
H1 : α1 ≠ α2 veya β1 ≠ β2
hipotezleri için olabilirlik oranı test fonksiyonundaki test istatistiği, n = 11 + 19 = 30 olmak
üzere,
(n − 2)σˆ ω2 − (n − 4)σˆΩ2 n − 4
W (Y ) =
2
(n − 4)σˆΩ2
dır (Akdeniz ve Öztürk (1996), Kısım 4.5.4). Burada, σ̂Ω2 değeri, hata varyansı için
 Y  1
 11  
 Y  1
 12  

 
 ⋮  ⋮

 
 Y1n1  1

=
 Y21  0

 
 Y  0
 22  
 ⋮  ⋮

 
Y  0
 2n2  
X 11
X 12
⋮
X 1n1
0
0
⋮
0
0
0
⋮
0
1
1
⋮
1

ε 

 11 

ε 

 12 
   ⋮ 
 α


  1   ε 
 β
 1n 
  1  +  1 
X 21  α2   ε21 
X 22   β2   ε22 
 ⋮ 
⋮ 


ε 
X 2n2 
 2n2 

0
0
⋮
0
modelinden elde edilen,
2
σˆΩ2 =
ni
(Yij −Yˆij )2
∑∑
i=1 j=1
n−4
değeri (Artıkların Kareler Ortalaması) ve σˆ ω2 değeri, hata varyansı için
 Y  1 X 
ε 
11 
 11  
 11 
 Y  1 X 
ε 
12 
 12  
 12 

 ⋮  ⋮
 ⋮ 
⋮

 



 Y  1 X 
ε 


 1n1  
 1n 
1n1  α
 + 1 

=
 Y21  1 X 21   β   ε21 
  

 

 Y  1 X 
ε 
22 
 22  
 22 

 ⋮  ⋮
 ⋮ 
⋮


 


Y  1 X 
ε 
 2 n2 
2 n2 
 2n2  

modelinden elde edilen,
2
σˆ ω2 =
ni
(Yij −Yˆij )2
∑∑
i=1 j=1
n−2
değeridir.
MINITAB veri sayfası:
C1
C2
C3
C4
181 1
46
0
C5
0
228
182
249
259
201
121
339
224
112
189
187
173
177
241
225
223
110
257
337
189
214
140
196
262
261
356
159
191
197
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
52
39
65
54
33
49
76
71
41
58
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
18
44
33
78
51
43
34
58
63
19
42
30
47
58
70
67
41
21
56
Regression Analysis: C1 versus C2; C3; C4; C5
The regression equation is
C1 = 35,8 C2 + 3,24 C3 + 105 C4 + 2,41 C5
Predictor
Noconstant
C2
C3
C4
C5
Coef
SE Coef
T
P
35,81
3,238
104,73
2,4114
59,77
1,094
30,90
0,6306
0,60
2,96
3,39
3,82
0,554
0,006
0,002
0,001
S = 46,79
Analysis of Variance
Source
DF
SS
MS
Regression
4
1408424
352106
Residual Error
26
56916
2189
Total
30
1465340
Sıfır hipotezi altında indirgenmiş model için MINITAB veri sayfası:
C1
C2
181 46
F
160,85
P
0,000
228 52
182 39
249 65
259 54
201 33
121 49
339 76
224 71
112 41
189 58
187 18
173 44
177 33
241 78
225 51
223 43
110 34
257 58
337 63
189 19
214 42
140 30
196 47
262 58
261 70
356 67
159 41
191 21
197 56
Regression Analysis: C1 versus C2
The regression equation is
C1 = 93,9 + 2,45 C2
Predictor
Constant
C2
S = 47,25
Coef
93,87
2,4461
SE Coef
27,56
0,5389
R-Sq = 42,4%
T
3,41
4,54
P
0,002
0,000
R-Sq(adj) = 40,3%
Analysis of Variance
Source
Regression
Residual Error
Total
DF
1
28
29
olmak üzere, test istatistiğinin değeri,
SS
46007
62520
108527
MS
46007
2233
F
20,60
P
0,000
(n − 2)σˆ ω2 − (n − 4)σˆΩ2 n − 4
= (28*47.25^2-26*46.79^2)/(26*46.79^2)*(26/2) =1.2766
2
(n − 4)σˆΩ2
ve tablo değeri,
F0.96;2,26 = 3.37
olduğundan sıfır hipotezi reddedilemez.
Birinci şehirdeki gözlemler için regresyon denklemi,
Yˆ = 35,8 + 3,24 X
S = 48,90
Đkinci şehirdeki gözlemler için regresyon denklemi,
Yˆ =91,2 + 2,28X
S = 44,51
Tüm gözlemler için regresyon denklemi,
Yˆ =93,9 + 2,45 X
S = 47,25
Birinci şehir, ikinci şehir ve tüm veriler için serpilme
diyagramları aşağıdadır.
350
300
250
200
150
100
30
40
50
60
70
80
350
300
250
200
150
100
20
30
40
50
60
70
80
20
30
40
50
60
70
80
350
300
250
200
150
100
Birinci şehirdeki gözlemler arasından serpilme diyagramındaki en sağ üst köşedeki gözlem
atılırsa regresyon denklemi,
Yˆ =88,5 + 2,09X
ve
S = 45,11
olmaktadır. Bu durumda şehirler için bireysel ve birlikte olan regresyon denklemleri,
Yˆ =88,5 + 2,09X
Yˆ =91,2 + 2,28X
Yˆ =99,3 + 2,27X
dır.
S = 45,11
S = 44,51
S = 44,76