ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
SOBOLEV UZAYLARINDA YAKLAŞIM
Sezgin SUCU
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2009
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
SOBOLEV UZAYLARINDA YAKLAŞIM
Sezgin SUCU
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬
Dan¬şman: Doç. Dr. Ertan I·BI·KLI·
Bu tez alt¬bölümden oluşmaktad¬r.
Birinci bölüm giriş k¬sm¬na ayr¬lm¬ş ve tez hakk¬nda genel bilgiler verilmiştir.
I·kinci bölümde, ileri bölümlerde gerekli olan temel kavramlar ifade edilmiştir.
Üçüncü bölümde, düzgünleştirici kavram¬ve bir f fonksiyonunun A f düzgünleşmesi
tan¬t¬lm¬şt¬r. Ayr¬ca A operatörünün özellikleri incelenmiştir.
Dördüncü bölümde, zay¬f türevin tan¬m¬ verilmiş ve zay¬f türev kavram¬n¬n genel
özellikleri üzerinde ayr¬nt¬l¬olarak durulmuştur.
Beşinci bölümde, Wpk ( ) Sobolev uzaylar¬ tan¬t¬lm¬ş, Wpk ( ) Sobolev uzaylar¬n¬n
matematiksel yap¬s¬ incelenmiş ve W2k ( ) uzaylar¬ için alternatif karakterizasyon
verilmiştir. Ayr¬ca bu uzaylarda standart norma denk olan normlar elde edilmiştir.
Son bölümde ise, Friedrichs yaklaş¬m teoremi verilmiş ve bu teoremin baz¬ önemli
uygulamalar¬ifade edilmiştir. Ayr¬ca Wpk ( ) Sobolev uzaylar¬n¬n yo¼
gun alt uzaylar¬
araşt¬r¬lm¬ş ve Wpk ( ) uzaylar¬nda polinomsal yaklaş¬m elde edilmiştir. Son olarakta,
W2r ([
; ]) Sobolev uzaylar¬nda trigonometrik yaklaş¬m incelenmiştir.
Ocak 2009, 138 sayfa
Anahtar Kelimeler : Fonksiyonun düzgünleşmesi, Zay¬f türev, Sobolev uzaylar¬,
Fourier dönüşümü, Yaklaş¬m.
i
ABSTRACT
Master Thesis
APPROXIMATION IN SOBOLEV SPACES
Sezgin SUCU
Ankara University
Graduate School of Natural And Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Ertan I·BI·KLI·
This thesis consists of six chapters.
The …rst chapter is devoted to the introduction and general information about thesis
is given.
In the second chapter, basic concepts needed in the further chapters are explained.
In the third chapter, molli…er and A f molli…cation of function f are introduced.
Additionaly, general properties of A operator are examined.
In the fourth chapter, de…nition of weak derivative is given and general characteristics of weak derivative concepts are examined in detail.
In the …fth chapter, Wpk ( ) Sobolev spaces are introduced, mathematical structure
of the Wpk ( ) spaces is inspected and alternate characterization of the spaces W2k ( )
is given. Moreover, norms equivalent the standart norm are obtained in these spaces.
In the last chapter, Friedrichs’approximation theorem is given and some important
applications of this theorem are explained. Also, dense subspaces of the Wpk ( )
spaces are investigated and polynomial approximation in the Wpk ( ) spaces is obtained. In the end, trigonometric approximation in W2r ([
; ]) spaces is examined.
January 2009, 138 pages
Key Words: Molli…cation of function, Weak derivative, Sobolev spaces, Fourier
transform, Approximation.
ii
TEŞEKKÜR
Bu çal¬şma konusunu bana veren ve araşt¬rmalar¬m¬n her aşamas¬nda yak¬n ilgi ve
önerileriyle beni yönlendiren dan¬şman hocam Doç. Dr. Ertan I·BI·KLI· (Ankara
Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü)’ye ve çal¬şmalar¬m s¬ras¬nda bana
her zaman destek olan aileme en içten sayg¬ve teşekkürlerimi sunar¬m.
Sezgin SUCU
Ankara, Ocak 2009
iii
I·ÇI·NDEKI·LER
ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
TEŞEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
SI·MGELER DI·ZI·NI· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
ŞEKI·LLER DI·ZI·NI· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
viii
1. GI·RI·Ş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2. TEMEL KAVRAMLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1 Baz¬Semboller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2 Kümelerin Geometrik Özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3 Lebesgue I·ntegrali I·çin Baz¬Önemli Teoremler . . . . . .
10
2.4 Fourier Dönüşümü ve Fourier Serisi . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.5 Birimin Düzgün Parçalanmas¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.6 Mutlak Süreklilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3. DÜZGÜNLEŞTI·RI·CI· ve DÜZGÜNLEŞMENI·N BAZI
ÖZELLI·KLERI· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.1 Düzgünleştirici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.2 Düzgünleşmenin Baz¬Özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4. ZAYIF TÜREV ve TEMEL ÖZELLI·KLERI· . . . . . . . . . .
34
4.1 Zay¬f Türev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.2 Zay¬f Türevin Temel Özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
5. SOBOLEV UZAYLARI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
5.1 Sobolev Uzaylar¬Tan¬m¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
5.2 Sobolev Uzaylar¬n¬n Temel Özellikleri . . . . . . . . . . . . . . .
70
5.3 Sobolev Uzaylar¬n¬n Fourier Dönüşümü Yard¬m¬yla
Karakterizasyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
5.4 Sobolev Uzaylar¬nda Denk Normlar . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
iv
6. SOBOLEV UZAYLARINDA YAKLAŞIM . . . . . . . . . . . . . . .
96
6.1 Friedrichs Yaklaş¬m Teoremi ve Uygulamalar¬ . . . . . . . . . . .
96
6.2 Düzgün Fonksiyonlar Yard¬m¬yla Yaklaş¬m . . . . . . . . . . . . . .
106
6.3 Wpk ( ) Sobolev Uzaylar¬nda Polinomsal Yaklaş¬m . . . . . . .
116
6.4 W2r ([
; ]) Sobolev Uzaylar¬nda Trigonometrik Yaklaş¬m
124
KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
ÖZGEÇMI·Ş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
v
SI·MGELER DI·ZI·NI·
Negatif olmayan tamsay¬lar kümesi
N0
Katl¬indeks
j j
j j=
Nn0 := N0
|
h:h:h:
f
:::
{z
n tane
+ ::: +
n
Katl¬indeks kümesi
N0
}
Hemen hemen her yerde
f fonksiyonu ile g fonksiyonu h.h.h. eşittir.
g
V uzay¬nda f ile g fonksiyonlar¬n¬n iç çarp¬m¬
(f; g)V
D f :=
1
@ 1 +:::+ n f
@x1 1 :::@xnn
Dw f :=
1 +:::+ n f
@
@x1 1 :::@xnn
f fonksiyonunun
basamaktan klasik türevi
f fonksiyonunun
basamaktan zay¬f türevi
w
kümesinin s¬n¬r¬
@
B (x; r)
(n)
x merkezli r yar¬çapl¬aç¬k yuvar
B (0; 1)
Rn birim yuvar¬n¬n hacmi
Rn birim yuvar¬n yüzey alan¬
!n
@B (0; 1)
suppf
f fonksiyonunun deste¼
gi
A
A kümesinin kapan¬ş¬
1
d (x; A)
(A)
m (A)
1
aç¬k,
ve
1
1
s¬n¬rl¬
x noktas¬n¬n A kümesine uzakl¬g¼¬
A kümesinin çap¬
Rn ölçülebilir kümesinin Lebesgue ölçüsü
A
üzerinde sürekli fonksiyonlar uzay¬
C( )
üzerinde sonsuz mertebeden sürekli türeve sahip
C1 ( )
fonksiyonlar uzay¬
C01 ( )
Lp ( )
içinde kompakt deste¼
ge sahip C 1 ( ) fonksiyonlar uzay¬
p < 1 için p -inci mertebeden Lebesgue integrallenebilir
1
fonksiyonlar uzay¬
L1 ( )
üzerinde h.h.h. s¬n¬rl¬fonksiyonlar¬n uzay¬
Lloc
p ( )
8K
der u (x)
u (x) polinomunun derecesi
kompakt kümesi için f 2 Lp (K)
vi
Wpk ( )
k:kWpk (
k 2 N0 ; 1
p
1 için Sobolev uzay¬
Wpk ( ) Sobolev uzay¬nda standart norm
)
fb
f fonksiyonunun Fourier dönüşümü
f
f fonksiyonunun ters Fourier dönüşümü
f
f fonksiyonunun eşleni¼
gi
_
}k
:=
[
der u (x)
B (x; )
k olacak şekilde polinomlar¬n kümesi
kümesinin
komşulu¼
gu
x2
Span (A)
A kümesinin gerdi¼
gi küme
vii
ŞEKI·LLER DI·ZI·NI·
R2 kümesi ...............................
7
R2 kümesi ..........
8
ve
9
Şekil 2:1
@
s¬n¬r¬düzgün olan
Şekil 2:2
@
s¬n¬r¬Lipschitz s¬n¬f¬na ait olan
Şekil 2:3
S¬n¬r¬Lipschitz s¬n¬f¬na ait olmayan
Şekil 6:1
@A s¬n¬r¬C 1 s¬n¬f¬ndan olmayan A
Şekil 6:2
@
s¬n¬r¬C 1 s¬n¬f¬ndan olan
viii
1
2
kümeleri ....
R2 kümesi ................. 110
R2 kümesi ......................
112
1. GI·RI·Ş
Bu tezde
Rn aç¬k kümesi üzerinde tan¬ml¬bir f fonksiyonunun düzgünleşmesi,
zay¬f türev, Wpk ( ) Sobolev uzaylar¬ ve bu uzaylarda hangi koşullar alt¬nda yaklaş¬m¬n olaca¼
g¬ayr¬nt¬l¬olarak incelenmiştir.
8
< f (x) ;
x2
f0 (x) :=
: 0
; x 2 Rn n
olmak üzere ilk olarak ! düzgünleştiricisinin tan¬m¬verilerek bir f fonksiyonunun
(A f ) (x) := (!
f0 ) (x)
düzgünleşmesinin tan¬m¬ yap¬lm¬ş ve A operatörünün özellikleri ayr¬nt¬l¬ olarak
araşt¬r¬lm¬şt¬r. Daha sonra, zay¬f türev kavram¬n¬n tan¬m¬ yap¬larak verilen bir
loc
g¬örnekf 2 Lloc
1 ( ) fonksiyonunun Dw f 2 L1 ( ) zay¬f türevinin nas¬l hesaplanaca¼
lerle aç¬klanm¬şt¬r. f fonksiyonunun klasik anlamda türevinin sürekli olmas¬halinde
klasik anlamda türevin zay¬f türevle çak¬şaca¼
g¬ gösterilmiştir. Ayr¬ca, zay¬f türev
için denk tan¬mlar verilmiş ve klasik anlamda türevin baz¬özelliklerinin zay¬f türev
içinde geçerli oldu¼
gu gösterilmiştir. k 2 N0 ; 1
Wpk ( ) := f :
p
1 olmak üzere
! R j f 2 Lloc
1 ( ); 8j j
k için Dw f 2 Lp ( )
Sobolev uzaylar¬n¬n tan¬m¬verilerek bu uzayda norm
kf kWpk (
)
:=
8 0
1 p1
>
Z
>
X
>
>
>
jDw f jp dxA ; 1
< @
>
>
>
>
>
:
j j k
X
j j k
esssup jDw f j
x2
;
p<1
p=1
ile tan¬mlanm¬şt¬r. Bu uzaylara ait olan fonksiyonlara örnekler verilmiş ve bu
uzaylar¬n temel özellikleri detayl¬olarak incelenmiştir.
1
Ayr¬ca Wpk ( ) uzay¬
Wpk ( )
Wpk ( ) := C01 ( )
ile tan¬mlanm¬şt¬r.
= Rn olmas¬durumunda Wpk (Rn ) = Wpk (Rn ) yani; C01 (Rn )
gun oldu¼
gu gösterilmiştir.
uzay¬n¬n Wpk (Rn ) uzay¬nda yo¼
p = 2 ve
= Rn olmas¬durumunda H k (Rn ) := W2k (Rn ) uzay¬n¬n Fourier dönüşümü
yard¬m¬yla tan¬mlanabilece¼
gi gösterilmiş ve baz¬eşitsizliklerin ispat¬için bu yöntem
kullan¬lm¬şt¬r.
Rn s¬n¬rl¬, aç¬k kümesinin C 1 s¬n¬f¬ndan olmas¬ durumunda
Wpk ( ) uzaylar¬nda gömme teoremi ispats¬z olarak verilmiş ve bunun yard¬m¬yla
Wpk ( ) Sobolev uzaylar¬nda denk normlar elde edilmiştir. Daha sonra Friedrichs
yaklaş¬m teoremi ve bu teoremin uygulamalar¬ verilmiştir. Ayr¬ca key…
Rn
s¬n¬rl¬, aç¬k kümesi için
C 1 ( ) \ Wpk ( )
gun oldu¼
gu gösterilmiştir. Charles J. Amick (1979)
uzay¬n¬n Wpk ( ) uzay¬nda yo¼
Rn s¬n¬rl¬, aç¬k kümesi için C 1
taraf¬ndan yay¬mlanan makalede key…
uza-
Rn s¬n¬rl¬, aç¬k ve
gun olmad¬g¼¬gösterilmiştir. Ancak
y¬n¬n Wpk ( ) uzay¬nda yo¼
s¬n¬r¬C 1 den olan küme olmas¬durumunda yo¼
gunlu¼
gun sa¼
glanaca¼
g¬ispatlanm¬şt¬r.
Ricardo G. Duran (1982) yapm¬ş oldu¼
gu çal¬şmada B
küme olan
kümesine göre y¬ld¬zs¬
Rn kümesi için Wpk ( ) uzay¬nda polinomsal yaklaş¬m elde etmiştir.
Son olarakta Edgar A. Cohen (1971) taraf¬ndan çal¬ş¬lan W2r ([
; ]) Sobolev uza-
y¬nda trigonometrik yaklaş¬m üzerinde durulmuştur.
Zay¬f türev kavram¬analizde çok önemli yere sahiptir. Çünkü; zay¬f türev kavram¬na
dayal¬inşa edilen Sobolev tipli fonksiyon uzaylar¬n¬n tam uzay olmas¬n¬garanti eden
önemli bir araçt¬r. Bir çok matematikçi bu kavrama birbirinden ba¼
g¬ms¬z olarak
ulaşm¬şlard¬r. Örne¼
gin; I·talyan matematikçi Beppo Levi’nin (1906) çal¬şmas¬nda
zay¬f türev kavram¬üzerinde duruldu¼
gu görülebilir. Ayr¬ca bu kavram üzerinde L.
Tonelli (1926), G. C. Evans (1933) ve ba¼
g¬ms¬z olarak ayn¬ y¬lda O. M. Nikodym
(1933) taraf¬ndan çal¬ş¬lm¬şt¬r. Rus matematikçi Sergei Lvovich Sobolev ise zay¬f
türev tan¬m¬n¬ 1935 ve 1936 y¬l¬nda yay¬mlanan makalelerinde kendisi taraf¬ndan
tan¬mlanan genelleşmiş fonksiyonlar ve diferensiyel denklemlerin genelleşmiş çözümü
2
yard¬m¬yla vermiştir.
Sergei L. Sobolev 1936 ve 1938 y¬llar¬nda yapm¬ş oldu¼
gu çal¬şmalarda kendisi ve
belirli mertebeden zay¬f türevleri Lp ( ) uzay¬na ait olan fonksiyonlar¬n Wpk ( ) uzay¬n¬ tan¬tm¬ş ve daha sonraki y¬llarda da bu uzaylar¬n di¼
ger özelliklerini inceleyen
makaleler yazm¬şt¬r. S. L. Sobolev (1950) haz¬rlad¬g¼¬ "Some Application of Functional Analysis in Mathematical Physics" isimli kitab¬nda bu uzaylar¬n matematiksel
…zi¼
gin çeşitli problemlerine uygulamas¬n¬n önemine vurgu yapm¬şt¬r. Son y¬llarda
Sobolev uzaylar¬ k¬smi türevli denklemlerin ve analizin standart bir arac¬ haline
gelmiştir.
3
2. TEMEL KAVRAMLAR
Tezin içerisinde kullan¬lan önemli tan¬m ve teoremler bu bölümde ifade edilecektir.
2.1 Baz¬Semboller
Tan¬m 2.1.1
j
negatif olmayan tamsay¬lar olmak üzere
=(
1 ; :::;
n)
n -lisine
katl¬indeks denir.
Derecesi j j =
e¼
ger Dj =
@
@xj
n
X
j
olan x1 1 :::xnn monomu x ile gösterilmektedir. Benzer olarak
j=1
ise bu durumda basama¼
g¬j j olan diferensiyel operatör
D = D1 1 :::Dn n
ile ifade edilmektedir. Belirtelim ki D(0;:::;0) f = f dir.
ve
iki katl¬indeks olsun. E¼
ger 1
n için
j
söylemi kullan¬l¬r. Bu durumda
j
j
j
sa¼
glan¬yorsa o taktirde
da bir katl¬indeks olup
j+j j=j j
gerçeklenir. Ayr¬ca
!=
gösterimi kullan¬l¬r. E¼
ger
1 !::: n !
ise
=
!
!(
)!
=
1
:::
1
n
n
dir. x noktas¬n¬n bir komşulu¼
gunda j j defa sürekli diferensiyellenebilen f ve g
fonksiyonlar¬için
D (f g) =
X
D f (x) D
Leibntz formülü gerçeklenir.
4
g (x)
n reel de¼
gişkenli ve derecesi en fazla k olan tüm polinomlar¬n lineer uzay¬n¬}k ile
gösterelim. Dolay¬s¬yla bu uzay
8
9
<
=
X
}k := p (x) : c 2 R; p (x) =
c x
:
;
j j k
olarak yaz¬labilir. Sonuç olarak
fx : j j
kg
monomlar kümesi }k lineer uzay¬n¬gerer.
Teorem 2.1.1 Rn üzerindeki
fx : j j
kg
monomlar kümesi lineer ba¼
g¬ms¬zd¬r (Cheney 2001).
Teorem 2.1.2 }k uzay¬n¬n boyutu
Tan¬m 2.1.2 x 2 Rn ve A
k+n
n
dir (Cheney 2001).
Rn olsun. x noktas¬n¬n A kümesine olan uzakl¬g¼¬
d (x; A) := inf jx
yj
y2A
ile tan¬mlan¬r. Benzer olarak e¼
ger ; 6= A, B
Rn ise bu durumda B kümesinin A
kümesine olan uzakl¬g¼¬
d (B; A) := inf d (y; A) =
y2B
inf
x2A;y2B
şeklinde tan¬mlan¬r (Adams and Fournier 2003).
Tan¬m 2.1.3 ; =
6 A
Rn olsun. A kümesinin çap¬
(A) := sup jx
x;y2A
5
yj
jy
xj
ile tan¬ml¬d¬r (Adams and Fournier 2003).
2.2 Kümelerin Geometrik Özellikleri
kümesinde tan¬ml¬Sobolev uzaylar¬n¬n birçok özelli¼
gi (Gömme teoremleri, denk
normlar)
kümesinin düzgünlük koşullar¬na ba¼
gl¬d¬r. Bu düzgünlük koşullar¬n¬n
baz¬lar¬aşa¼
g¬da ifade edilmiştir.
Tan¬m 2.2.1
Rn s¬n¬rl¬, aç¬k küme olsun. Rn
bir uzay¬V ile gösterilsin. E¼
ger her bir x0 2 @
1
üzerinde tan¬ml¬fonksiyonlar¬n
için 9r > 0 ve 9g 2 V fonksiyonu
mevcut öyle ki (gerekti¼
ginde koordinat sisteminin dönüştürülmesiyle)
\ B (x0 ; r) = fx 2 B (x0 ; r) : xn > g (x1 ; :::; xn 1 )g
gerçekleniyorsa bu durumda @
s¬n¬r¬ V s¬n¬f¬ndand¬r denir. Özel olarak;
(i) E¼
ger V s¬n¬f¬Lipschitz sürekli fonksiyonlardan oluşuyorsa @
(veya
) Lipschitz
s¬n¬f¬ndand¬r denir.
(ii) k 2 f1; 2; :::g olmak üzere e¼
ger V s¬n¬f¬ C k fonksiyonlar¬ndan oluşuyorsa @
(veya
) C k s¬n¬f¬ndand¬r denir.
(iii) E¼
ger 8k = 1; 2; ::: için @
s¬n¬r¬ C k s¬n¬f¬na ait ise bu durumda @
(veya
)
C 1 s¬n¬f¬ndand¬r denir (Atkinson and Han 2005).
Not 2.2.1 E¼
ger @
s¬n¬r¬ C 1 s¬n¬f¬na ait ise bu durumda @
lendirilmiş birim normal vektör alan¬ = ( 1 ; :::;
ki e¼
ger
n)
boyunca d¬şa yön-
tan¬ml¬d¬r. Belirtmek gerekir
kümesi C 1 s¬n¬f¬na ait ise ayn¬zamanda Lipschitz s¬n¬f¬na da aittir.
Şimdi yukar¬da tan¬mlanan s¬n¬‡ara örnekler verelim.
6
Örnek 2.2.1
kümesi Şekil 2.1 ile verilen küme olsun.
Şekil 2.1 @
s¬n¬r¬d•
uzg•
un olan
R2 k•
ume
x0 noktas¬n¬ göz önüne alal¬m. Bu durumda (y1 ; y2 ) koordinat sistemi y1 = x2 ;
y2 =
x1 olacak şekilde seçilebilir. Dolay¬s¬yla
\ B (x0 ; r) = fy 2 B (x0 ; r) : y2 > g (y1 )g
olacak şekilde g düzgün fonksiyonu vard¬r. Benzer olarak @ s¬n¬r¬n¬n di¼
ger noktalar¬
içinde uygun bir (y1 ; y2 ) koordinat sistemi ve g düzgün fonksiyonu vard¬r. O halde
@
s¬n¬r¬C 1 s¬n¬f¬na aittir (Fuµcik and Kufner 1980).
7
Örnek 2.2.2
kümesi Şekil 2.2 ile verilen ABCD dikdörtgeni ise bu durumda
Lipschitz s¬n¬f¬na aittir.
Şekil 2.2 @
Gerçekten; e¼
ger x 2 @
gun
s¬n¬r¬Lipschitz s¬n¬f¬na ait olan
R2 k•
umesi
noktas¬ herhangi bir kenar üzerinde ise bu durumda uy-
e¼
grisi sabit fonksiyon ile tan¬mlan¬r. Ayr¬ca CD parças¬ boyunca noktalar
için (y1 ; y2 ) koordinat sistemi y1 = x1 ; y2 = x2 ; AB parças¬boyunca noktalar için
(y1 ; y2 ) koordinat sistemi y1 = x1 ; y2 = x2 ; BC parças¬boyunca noktalar için (y1 ; y2 )
koordinat sistemi y1 =
x2 ; y2 =
x1 olacak şekilde seçilir. Do¼
gal olarak A; B; C; D
köşe noktalar¬için yukar¬daki koordinat sistemlerinin hiçbiri uygun de¼
gildir. C ve D
noktalar¬için uygun koordinat sistemleri Şekil 2.2 de gösterilmiştir. Böylece ABCD
dikdörtgeninin Lipschitz s¬n¬f¬na ait oldu¼
gu görülür (Fuµcik and Kufner 1980).
8
Örnek 2.2.3 Şekil 2.3 ile verilen
1
ve
2
kümeleri Lipschitz s¬n¬f¬na ait de¼
gildir.
Şekil 2.3 S¬n¬r¬Lipschitz s¬n¬f¬na ait olmayan
1
ve
2
k•
umeleri
x0 noktas¬n¬n komşulu¼
gu içinde kalan @
1
s¬n¬r¬n¬n parças¬bir fonksiyon yard¬m¬yla
temsil edilebilir. Ancak bu fonksiyon Lipschitz koşulunu sa¼
glamayacakt¬r. Dolay¬s¬yla
1
Lipschitz s¬n¬f¬na ait de¼
gildir. Di¼
ger yandan herhangi bir daireden S parças¬n¬n
ç¬kar¬lmas¬yla elde edilen kümeyi
içinde kalan @
2
2
2
olarak tan¬mlayal¬m. x1 noktas¬n¬n komşulu¼
gu
s¬n¬r¬n¬n parças¬ bir fonksiyon ile tan¬mlanamaz. Bundan dolay¬
kümeside Lipschitz s¬n¬f¬na ait de¼
gildir (Fuµcik and Kufner 1980).
Tan¬m 2.2.2 (Y¬ld¬zs¬ Küme)
Rn s¬n¬rl¬, aç¬k küme ve B
aç¬k yuvar
olsun.
(i) E¼
ger 8y 2
ve 8 2 [0; 1] için y 2
gerçekleniyorsa
kümesine 0 noktas¬na
göre y¬ld¬zs¬küme ad¬verilir.
(ii) E¼
ger 8y 2
durumda
, 8x 2 B ve 8 2 [0; 1] için x + (y
x) 2
gerçekleniyorsa bu
kümesine B yuvar¬na göre y¬ld¬zs¬küme ad¬verilir (Burenkov 1998).
9
R2 konveks kümesi hem s¬f¬r noktas¬na göre y¬ld¬zs¬
Örnek 2.2.4 Orijini içeren
küme hem de key… B
aç¬k yuvar¬na göre y¬ld¬zs¬kümedir.
2
2
Örnek 2.2.5
R2 kümesi x13 +x23 = 1 (Astroid) denklemi yard¬m¬yla tan¬mlanan
e¼
grinin iç k¬sm¬olsun. Bu durumda
Ancak key… B
kümesi s¬f¬r noktas¬na göre y¬ld¬zs¬kümedir.
yuvar¬na göre y¬ld¬zs¬küme de¼
gildir.
Teorem 2.2.1 B (0; 1)
Rn birim yuvar olsun. Bu durumda bu yuvar¬n hacmi
n
2
(n) =
n
2
+1
olup ayr¬ca @B (0; 1) küresinin yüzey alan¬
! n = n (n)
dir (Evans 1998).
2.3 Lebesgue I·ntegrali I·çin Baz¬Önemli Teoremler
Teorem 2.3.1 (Lebesgue Bask¬n Yak¬nsakl¬k Teoremi)
Rn ölçülebilir
kümesi üzerinde f fonksiyonuna hemen hemen her yerde yak¬nsayan Lebesgue
ger h:h:h: x 2
integrallenebilir fonksiyonlar¬n dizisi ffm g1
m=1 olsun. E¼
jfn (x)j
için
g (x)
olacak şekilde Lebesgue integrallenebilir g fonksiyonu varsa bu durumda f Lebesgue
integrallenebilirdir ve
lim
Z
n!1
fn (x) dx =
gerçeklenir (Rao 1987).
10
Z
f (x) dx
Teorem 2.3.2
1
2
:::
Rn ,
:::
m
:=
[
m
m2N
ve f :
! R [ f 1g olsun. 8m 2 N için f j
k¬s¬tlama fonksiyonlar¬
m
m
üzerinde integrallenebilir ve
lim
m!1
Z
jf (x)j dx < 1
m
olsun. Bu durumda f fonksiyonu
Z
üzerinde integrallenebilirdir ve
f (x) dx = lim
m!1
Z
f (x) dx
m
gerçeklenir (Jost 1998).
Teorem 2.3.3
Rn aç¬k küme, f :
ve > 0 olsun. Bu durumda
Z
1
f (x) dx
! R [ f 1g fonksiyonu integrallenebilir
olacak şekilde
Z
1
aç¬k kümesi vard¬r öyle ki
f (x) dx <
1
gerçeklenir (Jost 1998).
Tan¬m 2.3.1 (Kompakt Destek)
Rn aç¬k kümesi üzerinde tan¬ml¬fonksiyon
f olsun.
suppf := fx 2
: f (x) 6= 0g
kümesine f fonksiyonunu deste¼
gi denir. E¼
ger suppf kümesi s¬n¬rl¬ise f fonksiyonu
kompakt deste¼ge sahiptir denir.
11
Teorem 2.3.4 (Fubini Teoremi)
kümeler ve
=
1
2
Rn1 ,
1
2
Rn2 Lebesgue ölçülebilir
üzerinde f fonksiyonu Lebesgue integrallenebilir olsun.
Bu durumda
(i) H:h:h: x 2 1 için f (x; :) fonksiyonu 2 üzerinde Lebesgue integrallenebilir,
Z
f (x; y) dy fonksiyonu 1 üzerinde integrallenebilirdir ve
2
Z
1
0
@
Z
2
1
f (x; y) dy A dx =
Z
f (x; y) dxdy
gerçeklenir.
(ii) H:h:h: x 2 2 için f (:; y) fonksiyonu 1 üzerinde Lebesgue integrallenebilir,
Z
f (x; y) dx fonksiyonu 2 üzerinde integrallenebilirdir ve
1
Z
2
0
@
Z
1
1
f (x; y) dxA dy =
Z
f (x; y) dxdy
gerçeklenir (Atkinson and Han 2005).
Teorem 2.3.5 (Genelleşmiş Minkowski Eşitsizli¼
gi) A
Rn1 ve
Rn2
ölçülebilir kümeler olsun. Ayr¬ca kabul edelim ki f fonksiyonu
A kümesi üzerinde
ölçülebilir ve h:h:h: y 2 A için f (:; y) 2 Lp ( ) sa¼
glans¬n. E¼
ger aşa¼
g¬daki eşitli¼
gin
sa¼
g taraf¬sonlu ise
Z
Z
f (:; y) dy
A
A
Lp ( )
gerçeklenir (Burenkov 1998).
12
kf (:; y)kLp ( ) dy
ger 8' 2 C01 ( )
Rn aç¬k küme ve f 2 Lloc
1 ( ) olsun. E¼
Teorem 2.3.6 ; =
6
için
ise
Z
f (x) ' (x) dx = 0
üzerinde hemen hemen her yerde f = 0 d¬r (Atkinson and Han 2005).
Rn s¬n¬rl¬, aç¬k ve @
Teorem 2.3.7 (Green Formülü)
olsun. E¼
ger g; h 2 C 1
ise bu durumda 1
Z
gerçeklenir. Burada
i
Z
@g
hdx =
@xi
s¬n¬r¬C 1 s¬n¬f¬na ait
n için
i
@h
g
dx +
@xi
Z
gh i dS
(2.3.1)
@
d¬şa do¼
gru yönlendirilmiş birim normal vektör alan¬n¬n
i -inci bileşenidir (Evans 1998).
Not 2.3.1 (i) g; h 2 C 2
@g
@xj
2 C1
olsun. Şimdi (2.3.1) ifadesinde g fonksiyonu yerine
fonksiyonu yaz¬l¬rsa
Z
@2g
hdx =
@xi @xj
Z
Z
@g @h
dx +
@xj @xi
@g i
h dS
@xj
(2.3.2)
@
bulunur. Şimdi (2.3.1) ifadesi bir kez daha uygulan¬rsa
Z
@g @h
dx =
@xj @xi
Z
@2h
g
dx +
@xj @xi
Z
g
@h
@xi
j
(2.3.3)
dS
@
elde edilir. (2.3.2) ifadesinin sa¼
g taraf¬ndaki ilk integralde (2.3.3) ifadesi ve h 2
C2
için
Z
@2h
@xi @xj
=
@2h
@xj @xi
@2g
hdx =
@xi @xj
oldu¼
gunuda kullan¬rsak
Z
@2h
gdx +
@xi @xj
Z
@g
h
@xj
i
+g
@h
@xi
j
dS
(2.3.4)
@
gerçeklenir. (2.3.4) ifadesi ikinci basamaktan türevler için Green formülü olarak
adland¬r¬l¬r.
13
Bu tip işlemler ard¬ş¬k olarak devam ettirilirse k 2 N ve g; h 2 C k
fonksiyonlar¬
için
Z
j j
(D g) hdx = ( 1)
Z
g (D h) dx +
Z
(2.3.5)
G (h; g) dS
@
formülü sa¼
glan¬r. Burada j j = k olacak şekilde katl¬indeks , j j < k; j j < k ve
x2@
i
=
noktas¬nda d¬şa do¼
gru yönlendirilmiş birim normal vektörün i -inci bileşeni
i
(x) olmak üzere G (h; g) ifadesi
D h (D g)
i
tipindeki çarp¬mlar¬n toplam¬d¬r.
(ii) h 2 C0k ( ) ise x 2 @
için h (x) = 0 olup dolay¬s¬yla j j < k için D h (x) = 0
sa¼
glan¬r. O halde bu tip fonksiyonlar için G (h; g) ifadesi s¬f¬ra eşittir. Bundan dolay¬
(2.3.5) ifadesindeki yüzey integrali s¬f¬ra eşit olup aşa¼
g¬daki önemli ifade elde edilir.
g 2 Ck
için
ve h 2 C0k ( ) ise bu durumda j j
Z
j j
(D g) hdx = ( 1)
k olacak şekilde 8
Z
katl¬indeksi
(2.3.6)
g (D h) dx
gerçeklenir.
(iii) h 2 C0k ( ) ve supph = K1 olsun. Bu durumda K1
h (x) = 0 olur. Dolay¬s¬yla (2.3.6) ifadesinde
ve x 2
nK1 için
üzerinden integral yerine K1
üzerinden integral al¬nabilir. Bundan dolay¬x 2 nK1 için g fonksiyonunun de¼
gerleri
önemsizdir. O halde (2.3.6) ifadesi g 2 C k ( ) ve h 2 C0k ( ) fonksiyonlar¬için de
geçerlidir.
14
Rn kümesi x0 2
Teorem 2.3.8 (Taylor Formülü)
bir bölge, k 2 N ve f 2 C k ( ) olsun. Bu durumda 8x 2
X D f (x0 )
(x
f (x) =
!
X (x
x0 ) +k
j j=k
j j<k
x0 )
!
Z1
(1
noktas¬na göre y¬ld¬zs¬
için
t)k
1
(D f ) (x0 + t (x
x0 )) dt
0
gerçeklenir (Burenkov 1998).
2.4 Fourier Dönüşümü ve Fourier Serisi
Tan¬m 2.4.1 (L1 Uzay¬nda Fourier Dönüşümü) f 2 L1 (Rn ) olmak üzere f
fonksiyonunun Fourier dönüşümü
fb(y) :=
1
(2 )
n
2
Z
f (x) dx; y 2 Rn
(2.4.1)
eix:y f (y) dy; x 2 Rn
(2.4.2)
e
ix:y
Rn
ve f fonksiyonunun ters Fourier dönüşümü
_
f (x) :=
ile tan¬ml¬d¬r. je
ix:y
1
n
(2 ) 2
Z
Rn
j = 1 ve f 2 L1 (Rn ) oldu¼
gundan 8x; y 2 Rn için (2.4.1) ve
(2.4.2) ifadelerinde verilen integraller yak¬nsakt¬r.
f 2 L2 (Rn ) fonksiyonu için Fourier ve ters Fourier dönüşümü tan¬mlar¬n¬ ifade
edelim.
Teorem 2.4.1 (Plancherel Teoremi) f 2 L1 (Rn ) \ L2 (Rn ) olsun. Bu durumda
_
fb; f 2 L2 (Rn ) ve
gerçeklenir (Evans 1998).
fb
_
L2 (Rn )
= f
L2 (Rn )
15
= kf kL2 (Rn )
(2.4.3)
Tan¬m 2.4.2 (L2 Uzay¬nda Fourier Dönüşümü) (2.4.3) ifadesi yard¬m¬yla bir
f 2 L2 (Rn ) fonksiyonunun Fourier dönüşümünü aşa¼
g¬daki gibi tan¬mlayabiliriz.
L2 (Rn ) uzay¬nda m ! 1 için fm ! f olacak şekilde bir
ffm g1
m=1
L1 (Rn ) \ L2 (Rn )
dizisini seçelim. (2.4.3) ifadesine göre
fc
m
n o1
ve dolay¬s¬yla fc
m
fbj
m=1
L2 (Rn )
= f\
fj
m
L2 (Rn )
= kfm
fj kL2 (Rn )
dizisi L2 (Rn ) uzay¬nda Cauchy dizisidir. Bundan dolay¬bu
dizi bir limit noktas¬na sahiptir. Bu limit noktas¬n¬ fb olarak tan¬mlayal¬m. Yani;
L2 (Rn ) uzay¬nda m ! 1 için
n o1
b
d¬r. f n¬n tan¬m¬ fc
m
_
b
fc
m ! f
yaklaş¬m dizisinin seçiminden ba¼
g¬ms¬zd¬r. Benzer olarak
m=1
f tan¬mlanabilir.
Tan¬m 2.4.3 (Konvolüsyon) f; g 2 L1 (Rn ) olsun. 8x 2 Rn için
h (x) :=
Z
f (x
y) g (y) dy
Rn
ile tan¬mlanan h fonksiyonuna f ile g fonksiyonlar¬n¬n konvolüsyonu denir. h = f g
ile gösterilir.
Teorem 2.4.2 f 2 L1 (Rn ), g 2 L1 (Rn ) ve g fonksiyonu kompakt destekli olsun.
Bu durumda
supp (f
g)
supp (f ) + supp (g)
gerçeklenir (Kesevan 1989).
16
Teorem 2.4.3 (Fourier Dönüşümünün Özellikleri) f; g 2 L2 (Rn ) olsun. Bu
durumda
(i)
Z
f gdx =
Rn
Z
Rn
fb gbdy
df = (iy) fb
katl¬indeksi için D
(ii) D f 2 L2 (Rn ) olacak şekilde her
(iii) f = fb
_
n
\
(iv) (f
g) = (2 ) 2 fb gb
gerçeklenir (Evans 1998).
Teorem 2.4.4 8f 2 L2 (Rn ) için
fb
L2 (Rn )
= kf kL2 (Rn )
gerçeklenir (Atkinson and Han 2005).
Tan¬m 2.4.4 (Fourier Serisi) V bir iç çarp¬m uzay¬, ffm g1
m=1 ortonormal elemanlar¬n bir dizisi ve f 2 V key… eleman olsun.
1
X
(f; fm )V fm
m=1
serisine f eleman¬n¬n Fourier serisi denir. (f; fm )V sabitlerine de f eleman¬n¬n
Fourier katsay¬lar¬denir (Davis 1963).
17
Tan¬m 2.4.5 (Kapal¬Dizi) V normlu uzay¬nda ffm g1
ger her
m=1 bir dizi olsun. E¼
f 2 V eleman¬na fi elemanlar¬n sonlu lineer kombinasyonlar¬ yard¬m¬yla istenilen
yak¬nl¬kta yaklaş¬labiliyorsa bu diziye kapal¬dizi denir. Yani; 8f 2 V; 8 > 0 için
kf
(a1 f1 + ::: + am fm )kV <
olacak şekilde a1 ; :::; am 2 R sabitleri vard¬r (Davis 1963).
Tan¬m 2.4.6 (Tam Dizi) V iç çarp¬m uzay¬nda ffm g1
ger
m=1 bir dizi olsun. E¼
8m 2 N için (g; fm )V = 0 olmas¬g = 0 olmas¬n¬gerektiriyorsa ffm g1
m=1 dizisine tam
dizi denir (Davis 1963).
Teorem 2.4.5 (Gram-Schmidt Ortonormalizasyon Yöntemi) V iç çarp¬m
uzay¬nda lineer ba¼
g¬ms¬z elemanlar¬n bir dizisi ffm g1
m=1 olsun. Bu durumda V
uzay¬nda ortonormal bir ffm g1
m=1 dizisi vard¬r öyle ki 8m 2 N için
Span ff1 ; :::; fm g = Span ff1 ; :::; fm g
eşitli¼
gi gerçeklenir (Davis 1963).
Teorem 2.4.6 V iç çarp¬m uzay¬nda ffm g1
m=1 ortonormal elemanlar¬n bir dizisi
olsun. Aşa¼
g¬daki dört önerme dikkate al¬ns¬n.
(i) ffm g1
m=1 kapal¬dizidir.
(ii) 8f 2 V için
lim f
k!1
k
X
(f; fm )V fm
m=1
=0
V
gerçeklenir.
18
(iii) 8f 2 V için
2
kf k = (f; f )V =
1
X
m=1
j(f; fm )V j2
Parseval özdeşli¼
gi sa¼
glan¬r.
(iv) ffm g1
m=1 tam dizidir.
Bu durumda
(i) , (ii) , (iii) ) (iv)
sa¼
glan¬r. Ayr¬ca e¼
ger V uzay¬n¬n Hilbert uzay¬ olmas¬ durumunda (iv) ) (iii)
gerçeklenir. Dolay¬s¬yla bu dört ifade denktir (Davis 1963).
2.5 Birimin Düzgün Parçalanmas¬
Teorem 2.5.1 (Birimin Düzgün Parçalanmas¬)
[
Rn olmak üzere
Gi
i2J
olacak şekilde Rn içindeki aç¬k kümelerin bir ailesi fGi gi2J olsun. Bu durumda
i
2 C01 (Rn ) fonksiyonlar¬vard¬r öyle ki
(i) supp
i
(ii) 8x 2
Gi
için 0
i
(x)
(iii) 8x 2
için bir M
(iv) 8x 2
için
X
i
1
J sonlu kümesi vard¬r öyle ki 8i 2 JnM için
(x) = 1
i2J
gerçeklenir (Ziemer 1989).
19
i
(x) = 0
f i gi2J fonksiyonlar¬n kümesine
kümesinin fGi gi2J aç¬k örtüsüne göre birimin
düzgün parçalanmas¬ ad¬verilir.
Teorem 2.5.2 K
Rn kompakt küme olsun. Bu durumda K kümesi üzerinde
2 C01 (Rn ) fonksiyonu vard¬r (Kesevan 1989).
1 olacak şekilde bir
Yukar¬da ad¬geçen
fonksiyonuna K kompakt kümesine göre kesme fonksiyonu ad¬
verilir.
2.6 Mutlak Süreklilik
Tan¬m 2.6.1 (Mutlak Süreklilik) f : [a; b] ! R fonksiyonunu göz önüne alal¬m.
E¼
ger 8" > 0 için 9 > 0 öyle ki ayr¬k aral¬klar¬n
(aj ; bj )
her bir sonlu kümesi için
n
X
[a; b] ; j = 1; :::; n
(bj
aj ) <
j=1
sa¼
glan¬rken
n
X
j=1
jf (bj )
f (aj )j < "
gerçekleniyorsa f fonksiyonuna [a; b] aral¬g¼¬nda mutlak süreklidir denir.
küme olmak üzere e¼
ger her bir [a; b]
kapal¬ aral¬g¼¬nda f fonksiyonu mutlak
sürekli ise bu durumda f fonksiyonuna
R aç¬k kümesi üzerinde lokal mutlak
sürekli fonksiyon ad¬verilir.
Teorem 2.6.1 f : [a; b] ! R fonksiyonunun mutlak sürekli olmas¬için ,
f (x) = f (a) +
R aç¬k
Zx
g (t) dt; x 2 [a; b]
a
olacak şekilde g 2 L1 (a; b) fonksiyonunun mevcut olmas¬d¬r (Rao 1987).
20
Teorem 2.6.2 f : [a; b]
x 2 (a; b) için
df
dx
Teorem 2.6.3
f (k
1)
! R fonksiyonu mutlak sürekli ise o taktirde h:h:h:
2 L1 (a; b) mevcuttur (Rao 1987).
1 < a < b < 1; k 2 N; m 2 N0 ; m < k ve ayr¬ca [a; b] aral¬g¼¬nda
mutlak sürekli olsun. Bu durumda 1
f (m)
Lp (a;b)
p
1 için
C1 kf kLp (a;b) + f (k)
Lp (a;b)
olacak şekilde C1 > 0 say¬s¬vard¬r (Burenkov 1998).
Yukar¬daki teorem dikkate al¬nd¬g¼¬nda aşa¼
g¬daki sonuç verilebilir.
Sonuç 2.6.1 Q
Rn yüzleri koordinat düzlemlerine paralel olacak şekilde key…
küp olmak üzere e¼
ger f 2 C k (Q) ise o taktirde
m
@ f
@xm
j
Lp (Q)
0
C2 @kf kLp (Q) +
@ f
@xkj
olacak şekilde C2 > 0 say¬s¬vard¬r (Burenkov 1998).
21
k
Lp (Q)
1
A
3.DÜZGÜNLEŞTI·RI·CI·VE DÜZGÜNLEŞMENI·N BAZI ÖZELLI·KLERI·
3.1 Düzgünleştirici
Tan¬m 3.1.1 ! fonksiyonu
!2
C01
özelliklerini gerçeklesin.
n
(R ) ;
supp!
Z
B (0; 1) ;
!dx = 1
(3.1.1)
Rn
> 0; 8x 2 Rn için ! (x) =
1
n
!
x
fonksiyonunu tan¬m-
layal¬m. Bu durumda ! fonksiyonuna düzgünleştirici ad¬verilir.
Tan¬m 3.1.2
Rn ölçülebilir bir küme ve
> 0 olsun.
üzerinde tan¬ml¬ f
fonksiyonu 8B yuvar¬için f 2 L1 ( \ B) özelli¼
gini gerçeklesin. A operatörü
8x 2 Rn için
(A f ) (x) = (!
=
Z
f0 ) (x) =
1
n
Z
!
x
y
f0 (y) dy
Rn
! (z) f0 (x
z) dz
Rn
=
Z
! (z) f0 (x
z) dz
(3.1.2)
B(0;1)
olarak tan¬mlan¬r. A operatörüne f fonksiyonunun
leşmesi ad¬verilir. Burada f0 fonksiyonu
şeklindedir.
8
< f (x) ; x 2
f0 (x) =
: 0
; x2
=
22
-¬nc¬ basamaktan düzgün-
Yukar¬da tan¬mlanan A f fonksiyonu için A f 2 C 1 (Rn ) ve
katl¬indeks olmak
üzere
j j
D Af=
sa¼
glan¬r. Gerçekten; 1
(D !)
f0
n için
i
x 2 Rn , ei = (0; :::; 1; :::; 0), x = (x1 ; :::; xn ), y = (y1 ; :::; yn ) ve supp! = B olmak
üzere
A f (x + ei h)
h
A f (x)
=
Z
! (x
y + ei h)
h
! (x
y)
(3.1.3)
f (y) dy
şeklinde yaz¬labilir. Di¼
ger yandan türev için Lagrange teoremini kullan¬rsak
2 (xi
y i ; xi
yi + h) ve
2 (xi
yi ; ) say¬lar¬vard¬r öyle ki
! (x1 y1 ;:::;xi +yi +h;:::;xn yn ) ! (x1 y1 ;:::;xi yi ;:::;xn yn )
h
@!
@xi
(x
y)
@!
@!
(x1 y1 ; :::; ; :::; xn yn )
(x1 y1 ; :::; xi
@xi
@xi
@2!
=
(x1 y1 ; :::; ; :::; xn yn ) (
x i + yi )
@x2i
@2!
(x1 y1 ; :::; ; :::; xn yn ) jhj
@x2i
M jhj
=
gerçeklenir. Burada M = maxn
x2R
@2!
@x2i
yi ; :::; xn
yn )
(3.1.4)
(x) say¬s¬x ve y noktalar¬ndan ba¼
g¬ms¬zd¬r.
Şimdi de (3:1:3) ifadesinin sa¼
g¬ndaki integralde aşa¼
g¬daki işlemler yap¬l¬rsa
Z
Z
! (x
y + ei h)
h
! (x
y)
! (x
y + ei h)
h
! (x
y)
23
f (y) dy
@!
(x
@xi
Z
@!
(x
@xi
y) f (y) dy
y) jf (y)j dy
Z
=
! (x
y + ei h)
h
! (x
y)
@!
(x
@xi
y) jf (y)j dy
\B
Z
M jhj jf (y)j dy
\B
= M jhj
Z
jf (y)j dy
(3.1.5)
\B
elde edilir. (3:1:5) ifadesinin sa¼
g¬ndaki integral sonlu oldu¼
gundan h ! 0 için
lim
h!0
Z
! (x
y + ei h)
h
! (x
y)
Z
f (y) dy =
@!
(x
@xi
y) f (y) dy
bulunur. Burada (3:1:3) ifadesi göz önüne al¬n¬rsa
@A f (x)
=
@xi
=
=
Z
1
@!
(x
@xi
Z
1
1 @!
n
@xi
@!
@xi
y) f (y) dy
x
y
f (y) dy
f0 (x)
elde edilir. Ayr¬ca ! 2 C01 (Rn ) olmas¬ndan dolay¬yukar¬daki işlemler ard¬ş¬k olarak
yap¬l¬rsa A f 2 C 1 (Rn ) ve D A f =
j j
(D !)
f0 oldu¼
gu görülür.
3.2 Düzgünleşmenin Baz¬Özellikleri
Teorem 3.2.1
suppA f
(suppf )
gerçeklenir.
24
(3.2.1)
I·spat: Teorem 2.5.2 kullan¬l¬rsa
suppA f
suppf + supp!
suppf + B (0; )
= (suppf )
bulunur.N
Ayr¬ca belirtelim ki
: d (x; @ ) > g
:= fx 2
kümesi üzerinde A operatörü
Z
(A f ) (x) =
f (x
z) ! (z) dz
B(0;1)
şeklinde tan¬mlan¬r.
Teorem 3.2.2
Rn aç¬k küme ve f 2 Lloc
1 ( ) olsun. Bu durumda
A f 2 C1
ve
kümesi üzerinde hemen hemen her yerde
! 0+ için
A f !f
gerçeklenir. Burada
:= fx 2
: d (x; @ ) > g
ile tan¬mlanan kümedir.
25
I·spat: x 2
eleman¬n¬ sabitleyelim. Bu durumda 1
gerçeklensin. Di¼
ger yandan
yeterince küçük olsun ki x + ei h 2
A f (x + ei h)
h
A f (x)
n olmak üzere h
i
=
Z
! (x
y + ei h)
h
! (x
y)
f (y) dy
yaz¬labilir. Dolay¬s¬yla bu eşitlik ve (3:1:4) ifadesi göz önüne al¬n¬rsa
A f (x + ei h)
h
=
Z
=
Z
Z
A f (x)
@!
(x
@xi
y) f (y) dy
! (x
y + ei h)
h
! (x
y)
@!
(x
@xi
y) f (y) dy
! (x
y + ei h)
h
! (x
y)
@!
(x
@xi
y) f (y) dy
V
Z
! (x
y + ei h)
h
! (x
y)
@!
(x
@xi
y) jf (y)j dy
V
Z
M jhj jf (y)j dy
V
= M jhj
Z
jf (y)j dy
(3.2.2)
V
mevcut olup (3:2:2) ifadesi elde edilir. f 2 Lloc
1 ( ) olmas¬n-
olacak şekilde V
dan dolay¬(3:2:2) ifadesinin sa¼
g taraf¬sonludur. Dolay¬s¬yla h ! 0 için
@A f (x)
A f (x + ei h)
= lim
h!0
@xi
h
bulunur. Ayr¬ca
@!
@xi
(x
@A f
1
(x) =
@xi
y) =
Z
1 1 @!
n
@xi
1 @!
n
@xi
x
A f (x)
x y
y
=
Z
@!
(x
@xi
y) f (y) dy
oldu¼
gu da göz önüne al¬n¬rsa
f (y) dy =
gerçeklenir.
26
1
@!
@xi
f
(x)
Benzer düşünceyle 1
n için
i; j
@2!
@xi @xj
@2A f
1
(x) = 2
@xi @xj
f
(x)
oldu¼
gu gösterilebilir. Bu işlemler ard¬ş¬k olarak yap¬l¬rsa A f 2 C 1
j j
D Af=
(D !)
ve
f
elde edilir.
f 2 Lloc
gundan Lebesgue diferensiyel teoreminden h:h:h: x 2
1 ( ) oldu¼
1
lim
r!0 m (B (x; r))
Z
jf (y)
için
(3.2.3)
f (x)j dy = 0
B(x;r)
gerçeklenir. Bu şekilde sabitlenen x noktalar¬için
jA f (x)
Z
f (x)j =
f (x
Z
z) ! (z) dz
B(0;1)
1
n!
x
y
Z
f (y) dy
B(x; )
f (x) ! (x
y) dy
B(x; )
Z
=
y) dy
B(x; )
Z
=
f (x) ! (x
1
n!
x
y
[f (y)
f (x)] dy
B(x; )
C
1
n
Z
jf (y)
B(x; )
= C (n)
1
(n)
n
f (x)j dy
Z
jf (y)
B(x; )
1
= C (n)
m (B (x; ))
Z
f (x)j dy
jf (y)
f (x)j dy
(3.2.4)
B(x; )
elde edilir. (3:2:4) ifadesinde
ifade h:h:h: x 2
! 0+ için limite geçersek eşitsizli¼
gin sa¼
g taraf¬ndaki
için s¬f¬ra yaklaşacakt¬r. Bundan dolay¬h:h:h: x 2
27
için A f ! f
gerçeklenir. Bu da ispat¬tamamlar.N
Sonuç 3.2.1 f 2 C ( ) olsun. Bu durumda
üzerinde
! 0+ için
A f !f
gerçeklenir.
I·spat: f 2 C ( ) oldu¼
gundan (3:2:3) ifadesi
Yani; 8x 2
kümesinin tamam¬nda sa¼
glan¬r.
için
1
lim
r!0 m (B (x; r))
Z
jf (y)
f (x)j dy = 0
B(x;r)
gerçeklenir. Dolay¬s¬yla (3:2:4) ifadesinden
üzerinde
! 0+ için A f ! f elde
edilir.N
Teorem 3.2.3 f 2 C ( ) olsun. Bu durumda 8
bölgesinde
1
! 0+ için
A f !f
düzgün yak¬nsar.
I·spat: x 2
1
olmak üzere
(A f ) (x) =
Z
f (x
z) ! (z) dz
B(0;1)
gerçeklenir. Ayr¬ca
oldu¼
gundan
1
> 0 olmak üzere d (
1; @
) > 2
sa¼
glanmal¬d¬r.
sup jA f (x)
x2
1
f (x)j
Z
sup
x2
1
jf (x)
f (x
z)j j! (z)j dz
B(0;1)
C sup sup jf (x)
x2
1
z2B(0;1)
28
f (x
z)j
(3.2.5)
elde edilir. Di¼
ger taraftan
B (
:= fx 2
1)
: d (x; @
1)
g
kompakt kümesi üzerinde f fonksiyonu düzgün sürekli oldu¼
gundan (3:2:5) ifadesi
dikkate al¬nd¬g¼¬nda
bölgesi üzerinde
1
! 0+ için A f ! f düzgün yak¬nsakt¬r.
Böylece ispat tamamlan¬r.N
Teorem 3.2.4 1
1 olmak üzere 8f 2 Lp ( ) fonksiyonunu göz önüne alal¬m.
p
Bu durumda
kA f kLp (Rn )
C kf kLp (
(3.2.6)
)
ve gerçeklenir. Ayr¬ca e¼
ger f fonksiyonu negatif olmayan fonksiyon ise bu durumda
kA f kL1 (Rn ) = kf kL1 (
)
sa¼
glan¬r. Burada C = k!kLp (Rn ) (negatif olmayan ! çekirde¼
gi için C = 1) dir.
I·spat: 1.Durum
1
p
1 < p < 1 ve
jA f (x)j =
=
Z
! (x
Z
[! (x
+
1
p0
= 1 olsun. Hölder eşitsizli¼
gini kullan¬rsak
y) f0 (y) dy
Rn
Rn
0
@
Z
Rn
1
0
p
1
1
y)] p [! (x
y)] p0 f0 (y) dy
1 10 0
p
j! (x
0
= k!kL1 (Rn ) @
Z
y)j dy A @
Rn
j! (x
Z
Rn
j! (x
1 p1
y)j jf0 (y)jp dy A
1 p1
y)j jf0 (y)jp dy A
elde edilir. Bu eşitsizlikte her iki taraf¬n p -inci mertebeden üssü, Rn üzerinden
29
integrali al¬n¬r vede integrallerin s¬ras¬n¬de¼
giştirmek için Fubini teoremi kullan¬l¬rsa
Z
Rn
Z
p
0
p
jA f (x)jp dx
k!kL1 (Rn )
1
= k!kpL1 (R
n)
Rn
Z
Rn
= k!kpL1 (Rn )
Z
0
@
Z
Rn
1
y)j jf0 (y)jp dy A dx
j! (x
0
jf0 (y)jp @
Z
Rn
j! (x
jf (y)jp dy
1
y)j dxA dy
bulunur. Dolay¬s¬yla 1 < p < 1 için (3:2:6) gerçeklenir.
2.Durum p = 1 olsun.
jA f (x)j =
Z
! (x
y) f0 (y) dy
Rn
Z
Rn
j! (x
y)j jf0 (y)j dy
= kf0 kL1 (Rn ) k!kL1 (Rn )
elde edilir.Dolay¬s¬yla (3:2:6) gerçeklenir.
3.Durum p = 1 olsun. Fubini teoremi kullan¬l¬rsa
Z
Rn
Z
jA f (x)j dx
Rn
=
Z
Rn
0
@
Z
Rn
1
y)j jf0 (y)j dy A dx
j! (x
0
jf0 (y)j @
Z
Rn
j! (x
= k!kL1 (Rn ) kf kL1 (
)
1
y)j dxA dy
elde edilir. Bundan dolay¬(3:2:6) gerçeklenir. Ayr¬ca dikkat edilirse (3:1:1) ifadesinden negatif olmayan ! çekirde¼
gi ve negatif olmayan f fonksiyonu için
kA f kL1 (Rn ) = kf kL1 (
30
)
sa¼
glan¬r.N
Teorem 3.2.5 1
p < 1; 8 f 2 Lp ( ) için Lp ( ) uzay¬ndaki süreklilik modülü
w ( ; f )Lp (
)
= sup kf0 (x + h)
f (x)kL
jhj
p( )
olmak üzere
kA f
f kLp (
Cw ( ; f )Lp (
)
)
gerçeklenir.
I·spat: 1.Durum 1 < p < 1 ve
jA f (x)
f (x)j =
Z
1
p
! (x
1
p0
+
= 1 olsun. Hölder eşitsizli¼
gi kullan¬l¬rsa
y) f0 (y) dy
Rn
Z
Rn
=
Z
Rn
0
@
Z
! (x
y) f (x) dy
Rn
j! (x
y)j jf0 (y)
j! (x
Z
Rn
1
0
p
1
0
p
y)j
f (x)j dy
j! (x
1
p
y)j jf0 (y)
1 10 0
p
j! (x
0
= k!kL1 (Rn ) @
Z
y)j dy A @
Rn
j! (x
Z
Rn
j! (x
y)j jf0 (y)
f (x)j dy
y)j jf0 (y)
f (x)jp dy A
f (x)jp dy A
elde edilir. Burada her iki taraf¬n p -inci mertebeden üssü,
al¬n¬r, x
1 p1
1 p1
üzerinden integrali
y = z de¼
gişken de¼
giştirmesi yap¬l¬r ve integrallerin s¬ras¬n¬ de¼
giştirmek
için Fubini teoremi kullan¬l¬r ise
Z
jA f (x)
f (x)jp dx
1
k!kpL1 (R
n)
Z
0
@
31
Z
Rn
j! (x
y)j jf0 (y)
1
f (x)jp dy A dx
1
= k!kpL1 (R
n)
1
= k!kpL1 (R
n)
Z
Z
0
B
@
Z
j! (z)j jf0 (x
jzj
0
j! (z)j @
jzj
Z
jf0 (x
1
C
f (x)jp dz A dx
z)
1
f (x)jp dxA dz
z)
elde edilir. Dolay¬s¬yla
kA f
f kpLp ( )
=
1
k!kpL1 (R
n)
0
k!kpL1 (Rn )
0
@ sup
jzj
@ sup
h
jzj
Z
jf0 (x
Z
jf0 (x + z)
= k!kpL1 (Rn ) w ( ; f )Lp (
)
z)
ip
1
f (x)j dxA
p
Z
1R
n
j! (z)j dz
f (x)jp dxA
gerçeklenir. Buradan istenilen elde edilir.
2.Durum p = 1 olsun. z = x
y de¼
gişken de¼
giştirmesi yap¬p daha sonra Fubini
teoremini kullan¬rsak
Z
jA f (x)
Z
f (x)j dx
=
Z
Z
0
@
Z
0R
B
@
n
j! (x
Z
jzj
j! (z)j @
jzj
Z
f (x)j dy A dx
y)j jf0 (y)
j! (z)j jf0 (x
0
1
jf0 (x
z)
f kL1 (
)
f (x)j dxA dz
z)
k!kL1 (Rn ) w ( ; f )L1 (
sa¼
glan¬r. Böylece istenilen elde edilmiş olur.N
32
C
f (x)j dz A dx
1
elde edilir. Bundan dolay¬
kA f
1
)
Sonuç 3.2.2 1
p < 1 olmak üzere 8f 2 Lp ( ) fonksiyonu için Lp ( ) uzay¬nda
! 0+ iken
A f !f
gerçeklenir.
I·spat: w ( ; f )Lp ( ) , Lp ( ) uzay¬nda f fonksiyonunun süreklilik modülü oldu¼
gu için
lim w ( ; f )Lp (
!0+
)
=0
gerçeklenir. Dolay¬s¬yla Teorem 3.2.5 dikkate al¬n¬rsa istenilen elde edilir.N
Sonuç 3.2.3 1
p < 1 olmak üzere 8f 2 Lp ( ) fonksiyonu için
kA f kL
!0+
p( )
! kf kL
(3.2.7)
p( )
gerçeklenir.
I·spat: Lp ( ) uzay¬nda normun özelli¼
ginden
kA f kL
p( )
kf kL
p( )
kA f
fk
Lp ( )
yaz¬labilir. Dolay¬s¬yla Teorem 3.2.5 kullan¬l¬rsa istenilen elde edilir.N
33
4. ZAYIF TÜREV VE TEMEL ÖZELLI·KLERI·
4.1 Zay¬f Türev
I·lk olarak
1
a<b
+1 olmak üzere bir boyutlu durumda (a; b) aç¬k aral¬g¼¬n¬
göz önüne alal¬m. Fonksiyonel analizden bildi¼
gimiz üzere
d
: C 1 (a; b)
dx
C (a; b) ! C (a; b)
diferensiyel operatörü C (a; b) uzay¬nda kapal¬d¬r. Yani; 8m 2 N için fm 2 C 1 (a; b),
f; g 2 C (a; b) ve C (a; b) uzay¬nda m ! 1 için
fm ! f
dfm
! g
dx
gerçeklendi¼
ginde f 2 C 1 (a; b) dir. Ayr¬ca (a; b) üzerinde
df
dx
rada; C (a; b) uzay¬nda fm ! f limitinin anlam¬, 8 [ ; ]
(a; b) kapal¬aral¬g¼¬nda
kfm
f kC[
m!1
; ]
! 0 olmas¬d¬r. Gerçekten;
fm 2 C 1 (a; b) oldu¼
gundan
Zx
g (s) ds =
= g sa¼
glan¬r. Bu-
Zx
dfm
dx
2 C (a; b) sa¼
glan¬p
Zx
dfm (s)
dfm (s)
ds = lim
ds = lim [fm (x)
lim
m!1
m!1
m!1
ds
ds
fm ( )] = f (x) f ( )
gerçeklenir. E¼
ger x de¼
gişkenine göre türev al¬rsak 8x 2 (a; b) için g (x) =
edilir. Dolay¬s¬yla f 2 C 1 (a; b) ve (a; b) üzerinde
Şimdi 1
df
dx
df (x)
dx
elde
= g sa¼
glan¬r.
p < 1 oldu¼
gunu kabul edelim. Aşa¼
g¬daki basit örnek göstermektedir ki
d
: C 1 (a; b)
dx
loc
Lloc
p (a; b) ! Lp (a; b)
diferensiyel operatörü Lloc
gildir.
p (a; b) uzay¬nda kapal¬de¼
34
(4.1.1)
Örnek 4.1.1 (a; b) = ( 1; 1) olmak üzere 8x 2 ( 1; 1), 8m 2 N için f (x) = jxj ve
1
m
fm (x) = x2 +
1
2
fonksiyonlar¬n¬tan¬mlayal¬m. Bu durumda
1
x +
m
2
lim fm (x) = lim
m!1
m!1
1
2
= jxj
ve
dfm (x)
= sgnx
m!1
dx
lim
gerçeklenir. Hatta bu yak¬nsakl¬klar Lp ( 1; 1) uzay¬nda gerçeklenir. Ancak
jxj 2
= C 1 ( 1; 1) olmas¬ndan dolay¬ (4:1:1) ile tan¬ml¬ diferensiyel operatörü kapal¬
de¼
gildir.
Bu nedenle Lloc
p (a; b) uzay¬nda (4:1:1) ile tan¬ml¬diferensiyel operatörünün kapan¬ş¬
ile çal¬şmak do¼
gald¬r. Böyle bir yaklaş¬m diferensiyel kavram¬n¬n genelleşmesine
neden olmaktad¬r.
Di¼
ger taraftan; e¼
ger f 2 C 1 (a; b) ve ' 2 C01 (a; b) ise bu durumda k¬smi integrasyon
yard¬m¬yla
Zb
0
f (x) ' (x) dx = f (x) ' (x) jba
a
Zb
0
f (x) ' (x) dx =
a
Zb
0
f (x) ' (x) dx
a
yaz¬labilir. Bu eşitlikte diferensiyel kavram¬n¬genelleştirmek için do¼
gal olarak kullan¬labilir. Çünkü; baz¬fonksiyonlar (a; b) aral¬g¼¬nda adi türeve sahip olmay¬p ancak
1
bir g 2 Lloc
1 (a; b) fonksiyonu mevcut olabilir öyle ki 8' 2 C0 (a; b) için
Zb
0
f (x) ' (x) dx =
a
Zb
g (x) ' (x) dx
a
sa¼
glan¬r. Şimdi çok boyutlu durumda ve key… mertebeden türev için uygun bir
tan¬m verelim.
35
Rn aç¬k küme, j j =
6 0 olacak şekilde
Tan¬m 4.1.1 (Zay¬f türev)
2 Nn0
katl¬indeks ve f; g 2 Lloc
ger 8' 2 C01 ( ) için
1 ( ) olsun. E¼
Z
j j
f D 'dx = ( 1)
gerçekleniyorsa g fonksiyonuna
Z
(4.1.2)
g'dx
üzerinde f fonksiyonunun
-¬nc¬ mertebeden
zay¬f türevi ad¬verilir. g = Dw f ile gösterilir.
Örnek 4.1.1 n = 1,
= (0; 2) ve
8
< x ; 0<x 1
f (x) =
: 1 ; 1 x<2
olarak tan¬mlans¬n. Bu durumda
8
< 1 ; 0<x 1
g (x) =
: 0 ; 1<x<2
0
fonksiyonu için (0; 2) aral¬g¼¬nda fw = g gerçeklenir.
Çözüm: Key… ' 2 C01 ( ) fonksiyonunu göz önüne alal¬m.
Z2
0
f ' dx =
0
Z2
g'dx
0
oldu¼
gunu göstermeliyiz. O halde ' 2 C01 ( ) oldu¼
gunu kullanarak
Z2
0
f ' dx =
0
Z1
0
x' dx +
0
Z2
' dx
Z1
' (x) dx
1
= x' (x) j10
0
=
Z2
0
g'dx
0
36
' (1)
0
elde edilir. Dolay¬s¬yla (0; 2) aral¬g¼¬nda fw = g gerçeklenir.N
= (0; 2) ve
Örnek 4.1.2 n = 1,
8
< x ; 0<x 1
f (x) =
: 2 ; 1<x<2
0
gildir.
olarak tan¬mlans¬n. Bu durumda fw zay¬f türevi mevcut de¼
0
Çözüm: fw zay¬f türevinin mevcut oldu¼
gunu kabul edelim. Yani; 8' 2 C01 ( ) için
Z2
Z2
0
f ' dx =
0
g'dx
0
olacak şekilde g 2 Lloc
1 ( ) fonksiyonu mevcut olsun. Dolay¬s¬yla
Z2
0
g'dx =
Z2
0
f ' dx =
0
Z1
0
Z2
0
x' dx + 2 ' dx =
Z1
0
1
'dx
' (1)
(4.1.3)
0
gerçeklenir.
Şimdi
8
< 0
'm
1
: ' (1) = 1 ve 8x 6= 1 için lim ' (x) = 0
m
m
koşulunu sa¼
glayan f'm g1
m=1
m!1
C01 ( ) fonksiyonlar dizisi seçelim. (4:1:3) ifadesin-
deki ' fonksiyonu yerine 'm fonksiyonlar¬ yaz¬p daha sonra m ! 1 için limit
al¬n¬rsa
1 = lim 'm (1) = lim
m!1
8 2
<Z
m!1 :
0
0
g'm dx
Z1
0
'm dx
9
=
;
=0
elde edilir. Bu ise çelişkidir. Dolay¬s¬yla fw zay¬f türevi mevcut de¼
gildir.N
37
= R olsun. jxj0w = sgnx gerçeklenir.
Örnek 4.1.3 n = 1 ve
Çözüm: Key… ' 2 C01 (R) fonksiyonunu alal¬m.
Z
Z
0
jxj ' (x) dx =
(sgnx) ' (x) dx
R
R
oldu¼
gunu gösterelim. K¬smi integrasyon uygulan¬rsa
Z
0
jxj ' (x) dx =
R
=
Z0
Z0
1
Z1
0
x' (x) dx + x' (x) dx
0
0
' (x) dx
1
=
Z
Z1
' (x) dx
0
(sgnx) ' (x) dx
R
elde edilir. Dolay¬s¬yla jxj0w = sgnx gerçeklenir.N
Örnek 4.1.4 n = 1 ve f 2 Lloc
1 (R) olsun. Bu durumda Lebesgue integral teorisinden
Zx
bildi¼
gimiz gibi
f (y) dy fonksiyonu R kümesinde lokal mutlak süreklidir. Ayr¬ca
a
0
h:h:h: x 2 R için @
için R üzerinde
sa¼
glan¬r.
Zx
a
10
f (y) dy A = f (x) gerçeklenir. Di¼
ger yandan 8 f 2 Lloc
1 (R)
0
@
Zx
a
10
f (y) dy A = f (x)
w
38
Çözüm: ' 2 C01 (R) key… fonksiyonunu göz önüne alal¬m. supp' = [c; d] olsun.
Zx
f (y) dy fonksiyonu R üzerinde lokal mutlak sürekli oldu¼
gu için k¬smi integrasyon
a
yard¬m¬yla
Z
R
0
@
Zx
a
1
Zd
0
f (y) dy A ' (x) dx =
c
0
@
Zx
a
1
0
f (y) dy A ' (x) dx
0 x
1
Z
= @ f (y) dy A ' (x) jdc
a
Zd
=
c
Z
=
Zd
c
0
' (x) d @
0 x
10
Z
@ f (y) dy A ' (x) dx
Zx
a
1
f (y) dy A
a
f (x) ' (x) dx
R
elde edilir. Dolay¬s¬yla R üzerinde
0
@
Zx
a
10
f (y) dy A = f (x)
w
gerçeklenir.N
0
Örnek 4.1.5 n = 1 ve
= R olsun. R üzerinde (sgnx)w zay¬f türevi mevcut
de¼
gildir.
Çözüm: Kabul edelim ki g 2 Lloc
1 (R) zay¬f türevi mevcut olsun. Bu durumda key…
' 2 C01 (R) fonksiyonu için
Z
0
(sgnx) ' (x) dx =
R
Z
R
39
g (x) ' (x) dx
gerçeklenmelidir. Di¼
ger yandan
Z
Z0
0
(sgnx) ' (x) dx =
1
R
olup 8' 2 C01 (R) için
Z
Z1
0
' (x) dx + ' (x) dx =
0
' (0)
' (0)
0
g (x) ' (x) dx = 2' (0)
R
elde edilir. Key…
2 C01 (R) fonksiyonu için ' (x) = x (x) fonksiyonunu göz
önüne al¬rsak Teorem 2.3.6 yard¬m¬yla
Z
xg (x)
(x) dx = 0 =) g
0
R
elde edilir. Dolay¬s¬yla 8' 2 C01 (R) için 2' (0) = 0 gerçeklenir. Bu ise çelişkidir.N
Rn aç¬k küme, j j =
6 0 olacak şekilde
Tan¬m 4.1.2 (Zay¬f Türev)
2 Nn0
katl¬indeks ve f; g 2 Lloc
ger Lloc
1 ( ) olsun. E¼
1 ( ) uzay¬nda m ! 1 için
D
olacak şekilde f
1
m gm=1
m
! f
m
! g
C 1 ( ) fonksiyonlar dizisi varsa g fonksiyonuna
üzerinde f fonksiyonunun
-¬nc¬mertebeden zay¬f türevi ad¬verilir.
Teorem 4.1.1 Tan¬m 4.1.1 ve Tan¬m 4.1.2 denktir.
I·spat: (T an{m 4:1:2 =) T an{m 4:1:1)
2 C 1 ( ) ve 8' 2 C01 ( ) için k¬smi
m
integrasyon uygularsak
Z
mD
j j
'dx = ( 1)
40
Z
D
m 'dx
Z
elde edilir. Sol taraftaki ifade m ! 1 için
f D 'dx integraline yaklaş¬r. Gerçek-
ten; m ! 1 için
Z
(
m
f ) D 'dx
max jD 'j
x2supp'
Z
j
f j dx ! 0
m
supp'
j j
sa¼
glan¬r. Benzer düşünceyle sa¼
g taraftaki ifade de m ! 1 için ( 1)
integraline yaklaş¬r. Bundan dolay¬8' 2 C01 ( ) için
Z
j j
f D 'dx = ( 1)
Z
Z
g'dx
g'dx
gerçeklenir. Dolay¬s¬yla Tan¬m 4.1.1 anlam¬nda g = Dw f sa¼
glan¬r.
(T an{m 4:1:1 =) T an{m 4:1:2)
Bm :=
x2
: jxj < m; d (x; @ ) >
2
m
kümesi tan¬mlans¬n. Bu kümenin karakteristik fonksiyonu
m
=A1f
m
m
olsun. 8m 2 N için
m
fonksiyonlar¬n¬tan¬mlayal¬m. Di¼
ger yandan; f 2 Lloc
gundan f
1 ( ) oldu¼
ve
j
m
(x)j = A 1 (f
m ) (x)
m
Z
j! (z)j (f
m)
x
z
m
m
2 L1 ( )
dz < 1
B(0;1)
olup
m
fonksiyonu
benzer olarak yap¬l¬rsa
kümesi üzerinde iyi tan¬ml¬d¬r. Teorem 3.2.2 deki işlemler
m
2 C 1 ( ) elde edilir. Ayr¬ca Sonuç 3.2.2 ve ileride
verece¼
gimiz Teorem 4.2.6 dikkate al¬n¬rsa Lloc
1 ( ) uzay¬nda m ! 1 için
41
m
= A 1 (f
m)
m
!f
ve
D
m
= D
A 1 (f
m)
m
= A 1 (Dw (f
m ))
m
! Dw f = g
elde edilir.N
R aç¬k küme, k 2 N ve f; g 2 Lloc
1 ( ) olsun.
Tan¬m 4.1.3 (Zay¬f Türev)
E¼
ger
kümesi üzerinde f fonksiyonuna denk öyle ki (k
türevi h(k
1)
lokal mutlak sürekli ve h(k)
bu durumda g fonksiyonuna
1) -inci mertebeden adi
g olacak şekilde bir h fonksiyonu varsa
üzerinde f fonksiyonunun k -¬nc¬ mertebeden zay¬f
(k)
türevi ad¬verilir. g = Dwk f = fw ile gösterilir.
Teorem 4.1.2 Tan¬m 4.1.1 ve Tan¬m 4.1.2 de n = 1 olmas¬durumunda Tan¬m 4.1.1,
Tan¬m 4.1.2 ve Tan¬m 4.1.3 denktir.
I·spat:
= (a; b) olmas¬durumunu inceleyelim.
(T an{m 4:1:3 =) T an{m 4:1:1) Key… ' 2 C01 ( ) fonksiyonunu göz önüne alal¬m.
h(k
1)
fonksiyonu (a; b) üzerinde lokal mutlak sürekli oldu¼
gundan k defa k¬smi
integrasyonla
Zb
(k)
f ' dx =
a
Zb
k
(k)
h' dx = ( 1)
a
Zb
(k)
k
h 'dx = ( 1)
a
Zb
g'dx
a
istenilen elde edilir.
(T an{m 4:1:2 =) T an{m 4:1:3) k = 1 olsun. Lloc
1 ( ) uzay¬nda
bir fms g alt dizisi ve m ((a; b) =G) = 0 olacak şekilde bir G
mevcut olup 8x 2 G için
s!1
ms
m
! f oldu¼
gundan
(a; b) alt kümesi
(x) ! f (x) gerçeklenir. z 2 G eleman¬n¬sabitleyelim
42
ve
ms
(x) =
(z) +
ms
Zx
0
ms
(y) dy
z
eşitli¼
ginde s ! 1 için limite geçelim. Bu durumda 8x 2 G için
f (x) = f (z) +
Zx
g (y) dy = h (x)
z
gundan
elde edilir. Di¼
ger yandan g 2 Lloc
1 ( ) oldu¼
Zx
g (y) dy fonksiyonu mutlak
z
süreklidir. Dolay¬s¬yla (a; b) aral¬g¼¬nda f fonksiyonuna denk olan lokal mutlak sürekli
0
h fonksiyonu mevcuttur ve h
E¼
ger k > 1 ise a <
g gerçeklenir.
< b için
<x<
ms
fonksiyonlar¬na ortalama Taylor formülü
uygularsak (Burenkov 1998)
ms
(x) =
Z
p (x; y)
1
(k
1)!
ms
Z
1
(y) dy +
(x
x
Zx
(x
(k 1)!
0
1
Z
y)k 1 @ ! (u) duA
y)k
1
(k)
ms
0
@
Zy
1
! (u) duA
(k)
ms
(y) dy
(y) dy
y
gerçeklenir. Burada; p 2 C ([a; b] [a; b]) ; 8y 2 [a; b] için p (:; y) 2 }k 1 , ! 2
Z
1
C0 ( ; ) ve ! (u) du = 1 dir. Dolay¬s¬yla yukar¬daki ifadede x 2 G için s ! 1
iken limite geçersek
f (x) =
Z
(k
1)!
Z
x
= h (x)
(x
1
0
Zy
1
@ ! (u) duA g (y) dy
1)!
0
1
Z
y)k 1 @ ! (u) duA g (y) dy
p (x; y) f (y) dy +
1
Zx
(k
y
43
(x
y)k
1
elde edilir. Ayr¬ca x 2 G için
h(k
1)
(x) =
Z
0
1
0
1
Zx Zy
Z Z
@ ! (u) duA g (y) dy
p (x; y) f (y) dy+ @ ! (u) duA g (y) dy
1
k 1
@
@xk
x
y
gerçeklenir. Di¼
ger yandan [ ; ] aral¬g¼¬nda
0
@
Zy
sa¼
gland¬g¼¬ndan h(k
0
h(k) (x) = @
Zx
1
0
! (u) duA g (y) ; @
1)
Z
y
1
! (u) duA g (y) 2 L1 [ ; ]
fonksiyonu lokal mutlak süreklidir. Dolay¬s¬yla x 2 G için
1
0
! (u) duA g (x) + @
1
0
1
Z
! (u) duA g (x) = @ ! (u) duA g (x) = g (x)
Z
x
elde edilir.N
4.2 Zay¬f Türevin Temel Özellikleri
Teorem 4.2.1
key…
Rn aç¬k küme, f; g 2 Lloc
1 ( ),
kümesi üzerinde g = Dw f ve
alt kümesini göz önüne alal¬m. Bu durumda
0
0
kümesi üzerinde de
g = Dw f gerçeklenir.
I·spat: Key… ' 2 C01 (
0)
fonksiyonunu göz önüne alal¬m. Bu ' fonksiyonu
0
kümesi üzerinde s¬f¬r olarak tan¬mlanarak ' 2 C01 ( ) fonksiyonuna genişletilebilir.
Bu durumda
Z
0
g'dx =
Z
j j
g'dx = ( 1)
Z
yaz¬labilir. Dolay¬s¬yla g fonksiyonunun
j j
f D 'dx = ( 1)
Z
f D 'dx
0
0
üzerinde f fonksiyonunun
tebeden zay¬f türevi oldu¼
gu ispatlanm¬ş olur.N
44
-¬nc¬mer-
Teorem 4.2.2
Rn aç¬k küme, f1 ; f2 2 Lloc
1 ( ) ve
kümesi üzerinde
g1 = Dw f1 2 Lloc
1 ( )
g2 = Dw f2 2 Lloc
1 ( )
zay¬f türevleri mevcut olsun. Bu durumda c1 ; c2 2 R olmak üzere Dw (c1 f1 + c2 f2 )
mevcut olup
Dw (c1 f1 + c2 f2 ) = c1 Dw f1 + c2 Dw f2
gerçeklenir.
I·spat: Key… ' 2 C01 ( ) fonksiyonunu alal¬m. Bu durumda
Z
(c1 f1 + c2 f2 ) D 'dx = c1
Z
f1 D 'dx + c2
j j
c1
j j
Z
= ( 1)
= ( 1)
j j
= ( 1)
Z
Z
Z
f2 D 'dx
j j
g1 'dx + ( 1)
c2
Z
g2 'dx
(c1 g1 + c2 g2 ) 'dx
(c1 Dw f1 + c2 Dw f2 ) 'dx
gerçeklenir. Buradan istenilen elde edilmiş olur. Dolay¬s¬yla Dw zay¬f türev operatörü lineerdir.N
Teorem 4.2.3
Rn aç¬k küme, j j 6= 0 olacak şekilde
kümesi üzerinde tan¬ml¬f fonksiyonu 8x 2
sahip ve D f 2 C ( ) ise bu durumda
için (D f ) (x) klasik anlamda türeve
kümesi üzerinde
D f = Dw f
gerçeklenir.
45
2 Nn0 katl¬indeks,
I·spat: 8' 2 C01 ( ) ve D f 2 C ( ) olmas¬kullan¬larak Not 2.3.1 yard¬m¬yla
Z
j j
f D 'dx = ( 1)
Z
D f 'dx
elde edilir.N
Not 4.2.1 (i) Teorem 4.2.3 deki D f fonksiyonunun süreklilik şart¬ kald¬r¬lamaz.
Örne¼
gin;
8
< x2 sin
f (x) :=
:
0
1
x2
; x 6= 0
; x=0
fonksiyonunu tan¬mlayal¬m. f fonksiyonunun klasik anlamda türevi
8
< 2x sin
0
f (x) =
:
1
x2
2
x
cos
1
x2
0
; x 6= 0
; x=0
olup R nin tamam¬nda mevcuttur. Ancak buldu¼
gumuz bu klasik türev f
fonksiyonunun zay¬f türevi de¼
gildir. Çünkü;
Z1
2
cos
x
1
x2
dx =
Z1
jcos yj
dy = 1
y
1
0
0
0
olmas¬ndan dolay¬f 2
= Lloc
1 (R) gerçeklenir. Dolay¬s¬yla f fonksiyonu f fonksiyonunun zay¬f türevi de¼
gildir.
(ii) Belirtmek gerekir ki e¼
ger f 2 Lloc
1 ( ) fonksiyonu
kümesi üzerinde Dw f zay¬f
türevine sahip ise bu durumda Dw f 2 Lloc
1 ( ) olmal¬d¬r.
Teorem 4.2.4
Rn aç¬k küme, j j 6= 0 olacak şekilde
f; g; h 2 Lloc
1 ( ) fonksiyonlar¬için
lensin. Bu durumda
2 Nn0 katl¬ indeks,
kümesi üzerinde g = Dw f ve h = Dw f gerçek-
kümesi üzerinde hemen hemen her yerde g = h sa¼
glan¬r.
46
I·spat: 8' 2 C01 ( ) fonksiyonlar¬n¬göz önüne alal¬m. Hipotezden
Z
ve
Z
j j
Z
g'dx
j j
Z
h'dx
f D 'dx = ( 1)
f D 'dx = ( 1)
yaz¬labilir. Bu iki ifadeyi taraf tarafa ç¬kart¬rsak key… ' 2 C01 ( ) fonksiyonlar¬için
Z
elde edilir. Teorem 2.3.6 dan
(g
h) 'dx = 0
kümesi üzerinde hemen hemen her yerde g = h
sa¼
glan¬r.N
Klasik anlamda türev kavram¬gibi zay¬f türev kavram¬da lokal bir kavramd¬r. Yani;
E¼
ger g 2 Lloc
1 ( ) fonksiyonu lokal
basamaktan zay¬f türevi (8x 2
üzerinde f 2 Lloc
1 ( ) fonksiyonunun
için x eleman¬n¬n bir Ux komşulu¼
gu vard¬r öyle
ki g fonksiyonu Ux üzerinde f fonksiyonunun
bu durumda g fonksiyonu
-¬nc¬
-¬nc¬ basamaktan zay¬f türevi) ise
üzerinde f fonksiyonunun
-¬nc¬ basamaktan zay¬f
türevidir. Gerçekten;
Key… ' 2
C01
( ) fonksiyonunu göz önüne alal¬m. Dolay¬s¬yla supp'
m=1
olacak şekilde fUxm gsm=1 aç¬k örtüsü vard¬r. O halde
8
>
>
< (i)
olacak şekilde f
m
2 C01 (Uxm )
>
>
: (ii) supp' üzerinde
s
m gm=1
s
X
m
=1
m=1
birimin parçalanmas¬n¬göz önüne alabiliriz.
47
s
[
Uxm
üzerinde
s
X
'
m
= ' sa¼
gland¬g¼¬ndan
m=1
Z
f D 'dx =
s Z
X
f D ('
m=1U
xm
j j
= ( 1)
s Z
X
m ) dx
g'
m dx
m=1U
xm
j j
= ( 1)
Z
g'dx
istenilen elde edilir.
Teorem 4.2.5
Rn aç¬k küme, j j 6= 0 olacak şekilde
2 Nn0 katl¬indeksi için
Dw operatörünün tan¬m kümesini G ( ) ile gösterelim. Yani;
G ( ) := f 2 Lloc
1 ( ) : Dw f mevcut
olsun. Bu durumda Dw zay¬f türev operatörü
Dw : G ( )
loc
Lloc
1 ( ) ! L1 ( )
kapal¬bir operatördür.
I·spat: 8m 2 N için fm 2 G ( ) olacak şekilde ffm g1
m=1 fonsiyonlar dizisi, f; g 2
loc
Lloc
1 ( ) ve L1 ( ) uzay¬nda m ! 1 için
fm ! f
Dw fm ! g
gerçeklensin. Key… ' 2 C01 ( ) fonksiyonu için
Z
j j
fm D 'dx = ( 1)
48
Z
Dw fm 'dx
sa¼
glan¬r. m ! 1 için limite geçersek
Z
j j
f D 'dx = ( 1)
Z
g'dx
olur. Buradan Dw f = g ve f 2 G ( ) olup Dw operatörü kapal¬d¬r.N
Teorem 4.2.6 (I·ntegral I·şareti Alt¬nda Zay¬f Türev)
A
Rm ölçülebilir küme, j j 6= 0 olacak şekilde
edelim ki f fonksiyonu
Lloc
1 ( ),
2 Nn0 katl¬indeks olsun. Kabul
A kümesi üzerinde tan¬ml¬, h:h:h: y 2 A için f (:; y) 2
üzerinde Dw f (:; y) zay¬f türevi mevcut ve 8K
f; Dw f 2 L1 (K
Rn aç¬k küme,
A) olsun. Bu durumda
0
Dw @
Z
A
kompakt kümesi için
üzerinde
1
f (x; y) dy A =
Z
(4.2.1)
(Dw f ) (x; y) dy
A
gerçeklenir.
I·spat: Key… ' 2 C01 ( ) fonksiyonlar¬için
f (x; y) D ' (x) , (Dw f ) (x; y) ' (x) 2 L1 (
A)
gerçeklenir. Gerçekten;
Z
jf (x; y) D ' (x)j dxdy
max jD ' (x)j
x2
A
Z
jf (x; y)j dxdy < 1
supp' A
elde edilir. Di¼
ger ifade de benzer olarak gösterilebilir. Dolay¬s¬yla Tan¬m 4.1.1 ve
integral s¬ras¬n¬de¼
giştirmek için Fubini teoremi kullan¬l¬rsa
Z
0
1
0
1
Z
Z Z
@ (Dw f ) (x; y) dy A ' (x) dx = @ (Dw f ) (x; y) ' (x) dxA dy
A
A
49
= ( 1)j
j
Z
j
Z
A
= ( 1)j
0
@
0
@
Z
Z
A
1
f (x; y) D ' (x) dxA dy
1
f (x; y) dy A D ' (x) dx
eşitli¼
gi gerçeklenir. Böylece (4:2:1) ifadesi ispatlanm¬ş olur.N
Rn
Teorem 4.2.7 (Düzgünleşme ve Zay¬f Türevin De¼
gişme Özelli¼
gi )
aç¬k küme, j j 6= 0 olacak şekilde
2 Nn0 katl¬indeks, f 2 Lloc
1 ( ) ve
Dw f zay¬f türevi mevcut olsun. Bu durumda 8 > 0 için
üzerinde
üzerinde
(4.2.2)
D (A f ) = A (Dw f )
gerçeklenir.
gundan Teorem 3.2.2 yard¬m¬yla A (Dw f ) 2 C 1
I·spat: Dw f 2 Lloc
1 ( ) oldu¼
dir. Ayr¬ca 8x 2
için
A f (x) =
Z
! (z) f (x
z) dz
B(0;1)
gerçeklenir. Tan¬m 4.1.1 den
sa¼
glan¬r. (x; z) 2
üzerinde Dw (f (:
z) eşitli¼
gi
B (0; 1) için
F (x; z) = f (x
z) ! (z)
G (x; z) = (Dw f ) (x
fonksiyonlar¬n¬ tan¬mlayal¬m. Bu durumda 8K
G fonksiyonlar¬ L1 (K
z)) = (Dw f ) (:
z) ! (z)
kompakt kümesi için F ve
B (0; 1)) uzay¬na aittir. Gerçekten F ve G fonksiyonlar¬
B (0; 1) kümesi üzerinde ölçülebilirdir. (Çünkü; e¼
ger bir h fonksiyonu E
Rn ölçülebilir kümesinde ölçülebilir fonksiyon ise bu durumda H (x; y) = h (x
olarak tan¬mlanan fonksiyon f(x; y) 2 R2n : x
50
y 2 Eg
y)
R2n ölçülebilir kümesi
üzerinde ölçülebilir fonksiyondur.) K
Z
K
0
B
@
Z
j! (z) f (x
B(0;1)
oldu¼
gundan K
1
C
z)j dz A dx
max j! (z)j
z2B(0;1)
= M
Z
K
M
Z
K
K
0
B
@
0
@
Z
Z
B(x; )
Z
K
M m (K)
Z
sa¼
glan¬p
0
B
@
Z
jf (x
B(0;1)
1
1
C
z)j dz A dx
C
jf (y)j dy A dx
1
jf (y)j dy A dx
jf (y)j dy < 1
K
elde edilir. Dolay¬s¬yla F (x; z) 2 L1 (K
B (0; 1)) gerçeklenir. G (x; z) 2 L1 (K
B (0; 1))
olmas¬da benzer şekilde gösterilebilir. Di¼
ger yandan Teorem 4.2.3 ve Teorem 4.2.6
göz önüne al¬n¬rsa 8x 2
için
0
B
D (A f (x)) = Dw @
Z
! (z) f (x
B(0;1)
=
1
C
z) dz A
Z
! (z) Dw (f (x
z)) dz
Z
! (z) (Dw f ) (x
z) dz
B(0;1)
=
B(0;1)
= A (Dw f ) (x)
gerçeklenir. Bundan dolay¬istenilen elde edilir.N
51
Tan¬m 4.1.1 de zay¬f türev do¼
grudan tan¬mlanm¬şt¬r (Klasik anlamda türevde oldu¼
gu
gibi tümevar¬msal de¼
gil). Dolay¬s¬yla şöyle bir soru ortaya ç¬kmaktad¬r: "Dw f zay¬f
türev mevcut iken
olmak üzere Dw f zay¬f türevi mevcut mudur?" Aşa¼
g¬daki
<
örnek göstermektedir ki genelde bu sorunun cevab¬olumsuzdur.
Örnek 4.2.1 (x1 ; x2 ) 2 R2 olmak üzere f (x1 ; x2 ) = sgnx1 + sgnx2 tan¬mlans¬n.
@f
@x1
Bu durumda Örnek 4.1.5 de gördü¼
gümüz üzere
@2f
@x1 @x2
Ancak R2 üzerinde
;
w
@f
@x2
mevcut de¼
gildir.
w
= 0 gerçeklenmektedir.
w
Çözüm: Key… ' 2 C01 (R2 ) alal¬m.
Z
Z1 Z1
Z1 Z1
@2'
@2'
sgnx1
sgnx2
dx1 dx2 +
dx1 dx2
@x1 @x2
@x1 @x2
1 1
1 1
1
0
1
0
Z1 Z1 2
Z1 Z1 2
@ '
@ '
@
dx2 Asgnx1 dx1 + @
dx1 Asgnx2 dx2
=
@x1 @x2
@x1 @x2
1
1
1
1
|
{z
}
|
{z
}
@2'
f (x)
dx =
@x1 @x2
R2
=0
=0
= 0
elde edilir. Dolay¬s¬yla R2 üzerinde
Teorem 4.2.8
@2f
@x1 @x2
= 0 gerçeklenir.N
w
Rn aç¬k küme, k 2 N, k
kümesi üzerinde
@k f
j
n için
zay¬f türevi mevcut olsun. Bu durumda s < k koşulunu
@xkj
sa¼
glayan 8s 2 N için
2, f 2 Lloc
1 ( ) ve baz¬1
w
kümesi üzerinde
@sf
@xsj
zay¬f türevi mevcuttur.
w
I·spat: Q yüzleri koordinat düzlemlerine paralel ve Q
olacak şekilde key… küp
olmak üzere Sonuç 2.6.1 yard¬m¬yla h 2 C k (Q) için
s
@ h
@xsj
L1 (Q)
0
C1 @khkL1 (Q) +
k
@ h
@xkj
L1 (Q)
1
A
olacak şekilde h fonksiyonundan ba¼
g¬ms¬z C1 > 0 say¬s¬vard¬r.
52
(4.2.3)
f 2 Lloc
1 ( ), Q
oldu¼
gundan 8m 2 N için fm = A 1 f 2 C 1 (Q) gerçeklenir.
m
Dolay¬s¬yla Sonuç 3.2.2 den L1 (Q) uzay¬nda
fm
m!1
! f
sa¼
glan¬r. Ayr¬ca Teorem 4.2.7 ve Sonuç 3.2.2 yard¬m¬yla L1 (Q) uzay¬nda
@ k fm
=A1
m
@xkj
@kf
@xkj
! !
w
m!1
!
@kf
@xkj
!
w
gerçeklenir. (4:2:3) ifadesi kullan¬l¬rsa
s
@ fm
@xsj
0
s
@ fl
@xsj
C1 @kfm
L1 (Q)
k
fl kL1 (Q) +
@ fm
@xkj
k
@ fl
@xkj
L1 (Q)
1
A
yaz¬labilir. ffm g1
gundan Cauchy
m=1 fonksiyonlar dizisi L1 (Q) uzay¬nda yak¬nsak oldu¼
n k o1
m;l!1
dizisidir. Dolay¬s¬yla kfm fl kL1 (Q) ! 0 olmal¬d¬r. Benzer olarak @@xfkm
j
m=1
dizisi için de ayn¬şeyler söylenebilir. Böylece
lim
m;l!1
@ s fm
@xsj
@ s fl
@xsj
=0
L1 (Q)
gerçeklenir. L1 (Q) tam uzay oldu¼
gundan gQ 2 L1 (Q) fonksiyonu vard¬r öyle ki
L1 (Q) uzay¬nda
@ s fm m!1
!
@xsj
gQ gerçeklenir. Tan¬m 4.1.2 dikkate al¬n¬rsa gQ fonksi-
yonu Q üzerinde f fonksiyonunun xj de¼
gişkenine göre s -inci mertebeden zay¬f türevidir. Belirtelim ki e¼
ger Q1 ve Q2 arakesiti boştan farkl¬ ve yukar¬da belirtilen
koşullara uygun key… küplerse bu durumda Q1 \ Q2 üzerinde h:h:h: gQ1 = gQ2
sa¼
glan¬r. Çünkü; gQ1 ve gQ2 fonksiyonlar¬ f fonksiyonunun Q1 \ Q2 üzerinde zay¬f türevleridir. Bundan dolay¬ g 2 Lloc
1 ( ) fonksiyonu vard¬r öyle ki uygun Q
küplerinin her biri üzerinde h:h:h: g = gQ olup g fonksiyonu f fonksiyonunun Q üzerinde s -inci mertebeden zay¬f türevidir. Dolay¬s¬yla g fonksiyonu f fonksiyonunun
üzerinde xj de¼
gişkenine göre s -inci mertebeden zay¬f türevidir.N
53
Rn aç¬k küme, k 2 N; k
Teorem 4.2.9
şekildeki 8 2 Nn0 katl¬indeksi için
2; f 2 Lloc
1 ( ) ve j j = k olacak
kümesi üzerinde Dw f zay¬f türevleri mevcut
2 Nn0 katl¬ indeksi için
olsun. Bu durumda 0 < j j < k koşulunu sa¼
glayan 8
kümesi üzerinde Dw f zay¬f türevi mevcuttur.
I·spat: Q = (a; b)
1 ; :::;
n
D h
(a; b) kübünü göz önüne alal¬m. h 2 C k (Q) olsun.
:::
2 N0 olmak üzere j j =
L1 (Q)
=
@
@
1
1
+ ::: +
2 +:::+ n
h
n
için
!
@x1 1 @x2 2 :::@xnn
L1 (Q)
8
< @ 2 +:::+ n h
C1
+
k
: @x2 2 :::@xnn
@x1 2
L1 (Q)
::: 8
9
<
=
X
kD hkL1 (Q)
C2 khkL1 (Q) +
:
;
@kh
:::
n
@x2 2 :::@xnn
L1 (Q)
9
=
;
(4.2.4)
j j=k
eşitsizli¼
gi gerçeklenir. Teorem 4.2.8 in ispat¬ndaki 8m 2 N için fm = A 1 f 2 C 1 (Q)
m
fonksiyonlar¬n¬ göz önüne alal¬m. Teorem 4.2.7 ve Sonuç 3.2.2 yard¬m¬yla L1 (Q)
uzay¬nda
fm
m!1
! f
D fm = A 1 (Dw f )
m!1
! Dw f
m
gerçeklenir. Ayr¬ca (4:2:4) ifadesi dikkate al¬n¬rsa
D fm
D fl
L1 (Q)
8
<
C2 kfm
:
fl kL1 (Q) +
X
j j=k
kD fm
D fl kL1 (Q)
yaz¬labilir. Dolay¬s¬yla Teorem 4.2.8 in ispat¬ndaki benzer düşünceyle
lim
m;l!1
D fm
D fl
L1 (Q)
9
=
;
=0
gerçeklenir. L1 (Q) uzay¬ tam oldu¼
gundan L1 (Q) uzay¬nda D fm
m!1
! gQ olacak
şekilde gQ 2 L1 (Q) fonksiyonu vard¬r. Bundan dolay¬Tan¬m 4.1.2 dikkate al¬n¬rsa
54
gQ fonksiyonu f fonksiyonunun Q üzerinde
-¬nc¬mertebeden zay¬f türevi oldu¼
gu
sonucuna var¬l¬r. Teorem 4.2.8 in ispat¬n¬n son k¬sm¬nda yap¬lanlar do¼
grultusunda
üzerinde Dw f zay¬f türevinin mevcut oldu¼
gu söylenebilir.N
Teorem 4.2.10 f 2 Lloc
1 ( ) ve 1
mevcut olsun. Bu durumda 8
p < 1 olmak üzere Dw f 2 Lp ( ) zay¬f türevi
kümesi için
1
kD (A f )
Dw f kLp (
!0+
! 0
1)
gerçeklenir.
I·spat: Dw f = g 2 Lp ( ) olsun. Teorem 4.2.7 den
gerçeklenir. Ayr¬ca Sonuç 3.2.2 yard¬m¬yla
kA g
gkLp (
1
kümesinde D (A f ) = A g
! 0+ için
1)
!0
sa¼
glan¬r. Dolay¬s¬yla istenilen elde edilir.N
Teorem 4.2.11 (Fonksiyonlar¬n Çarp¬m¬n¬n Zay¬f Türevi)
(i) 1 < p < 1;
1
p
+
1
p0
= 1 olmak üzere e¼
ger f;
@f
@xj
w
2 Lloc
p ( ) ve g;
@g
@xj
w
2
Lloc
( ) ise bu durumda
p0
@ (f g)
@xj
=
w
@f
@xj
g+f
w
@g
@xj
(4.2.5)
w
gerçeklenir.
(ii) f;
@f
@xj
w
2 Lloc
1 ( ) ve g;
@g
@xj
w
2 C ( ) olmas¬durumunda da (4:2:5) ifadesi
gerçeklenir.
55
I·spat: (i) ' 2 C01 ( ) fonksiyonunu sabitleyelim. supp'
1
olacak şekilde
1
bölgesini göz önüne alal¬m. Ayr¬ca
8
< f (x) ; x 2
f (x) :=
: 0
; x2
=
8
< g (x) ; x 2
g (x) :=
: 0
; x2
=
fonksiyonlar¬ tan¬mlans¬n. Bu durumda f 2 Lp (
Dolay¬s¬yla Sonuç 3.2.2 yard¬m¬yla
1
1
1
1
1) ;
g 2 Lp0 (
1)
gerçeklenir.
! 0+ için
Af
Lp (
1)
! 0
L 0(
1)
! 0
f
A g
g
p
(4.2.6)
sa¼
glan¬r. Di¼
ger taraftan Teorem 4.2.1 den
Z
@'
f
dx =
@xj
1
elde edilir. Dolay¬s¬yla
@g
@xj
Lp0 (
=
w
1)
@g
@xj
Z
@'
dx =
f
@xj
1
1
Z
@f
@xj
1
kümesi üzerinde
@f
@xj
=
w
@f
@xj
oldu¼
gu da görülebilir. Bundan dolay¬
w
yaz¬labilir. O halde Teorem 4.2.10 dan
@A f
@xj
@A g
@xj
'dx
w
0
@g
@xj
!
@f
@xj
! 0+ için
1
@ @f A
@xj
olup benzer düşünceyle
w
w
2 Lp (
1 ),
@g
@xj
w
2
! 0
w Lp (supp')
w L 0 (supp')
p
56
! 0
(4.2.7)
gerçeklenir. A f ve A g düzgün fonksiyonlar oldu¼
gu için
Z
Af
@'
A g
dx =
@xj
Z
=
Z
1
1
@ h
Af
@xj
i
A g
@A f
A g 'dx
@xj
1
yaz¬labilir. Şimdi
Z
'dx
Z
Af
fg
@'
dx
@xj
@A g
'dx (4.2.8)
@xj
1
! 0+ için
Af
@'
A g
dx !
@xj
1
Z
Z
@'
fg
dx =
@xj
1
oldu¼
gunu gösterelim. Hölder eşitsizli¼
gi ve (4:2:6) ifadesi kullan¬l¬rsa
Z h
Af
A g
1
Z h
i @'
dx
fg
@xj
Af
f
1
Z
+
1
i
h
f A g
Af
f
+ A g
i @'
dx
@xj
A g
Lp (
! 0+ için
@'
dx
@xj
A g
g
(4.2.9)
1)
max
L 0 ( 1 ) x2
p
f
g
L 0(
p
1)
1
@'
@xj
max
Lp (
1)
x2
@'
@xj
1
! 0
elde edilir. Şimdi de
Z
1
2
! 0+ için
3
4 @A f A g + A f @A g 5 'dx !
@xj
@xj
=
Z
1
Z
20
1
4@ @ f A g + f
@xj
@g
@xj
w
@f
@xj
g+f
w
@g
@xj
! 3
w
5 'dx
'dx
w
(4.2.10)
oldu¼
gunu gösterelim.
57
Hölder eşitsizli¼
gi ve (4:2:7) ifadesi dikkate al¬n¬rsa
Z
2
1
4 @A f A g
@xj
2
Z 6
6
6
6
4
=
1
Z
@A f
@xj
+
A g+ A g
@g
@xj
f
1
w
@g
@xj
@A g
@xj
M
! 0
>
>
>
>
>
>
: +
@A f
@xj
@A g
@xj
@f
@xj
@g
@xj
@f
@xj
g
A g j'j dx +
+A f
w
@A g
@xj
+A f
w
supp'
8
>
>
>
>
>
>
<
!
w
@ @f A
@xj
Af
@g
@xj
f
w
0
supp'
1
@ @f A g
@xj
@f
@xj
+ Af
@A f
@xj
Z
0
! 0+ için
j'j dx +
w
Z
Af
7
7
7 'dx
7
5
0
1
@g
@xj
f
1
+ A g
Lp (supp')
w
!
w
L 0(
p
+ Af
j'j dx
1)
f
Lp (
Lp (supp')
L 0 (supp')
p
j'j dx
g
L 0 (supp')
p
Af
w
3
@f A
g @
@xj
A g
A g
w
w
1
!
@A g 5
'dx
@xj
w
@g
@xj
Z
3
1)
@f
@xj
@g
@xj
w
w L 0(
elde edilir. (4:2:8), (4:2:9) ve (4:2:10) göz önüne al¬n¬rsa
Z
@'
fg
dx =
@xj
Z
@f
@xj
g+f
w
@g
@xj
'dx
w
yaz¬labilir. Bu eşitlik key… ' 2 C01 ( ) fonksiyonu için geçerli oldu¼
gundan (4:2:5)
ifadesi gerçeklenir.
58
Lp ( 1 )
p
1)
9
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
;
(ii) ' 2 C01 ( ) fonksiyonunu sabitleyelim. supp'
1
olacak şekilde
1
bölgesini göz önüne alal¬m. f fonksiyonu (i) ş¬kk¬ndaki gibi tan¬mlans¬n. Bu
durumda f 2 L1 (
1)
olup Teorem 3.2.3 ve Sonuç 3.2.2 den
Af
kA g
gerçeklenir. (i) ş¬kk¬nda
@f
@xj
miştik. Dolay¬s¬yla
3.2.2 yard¬m¬yla
1
w
f
L1 (
1)
gkC(
1)
kümesi üzerinde
2 L1 (
! 0+ için
! 0
! 0
@f
@xj
(4.2.11)
=
w
@f
@xj
oldu¼
gunu gösterw
olup Teorem 4.2.10, Teorem 4.2.7 ve Sonuç
1)
! 0+ için
@A f
@xj
@A g
@xj
0
1
@ @f A
@xj
! 0
w L1 (supp')
@g
@xj
w C(supp')
! 0
(4.2.12)
sa¼
glan¬r. A f ve A g düzgün fonksiyonlar oldu¼
gundan
Z
@'
A f (A g)
dx =
@xj
Z
=
Z
1
1
i
@ h
A f (A g) 'dx
@xj
@A f
(A g) 'dx
@xj
1
yaz¬labilir. Şimdi
Z
Z
Af
@A g
'dx (4.2.13)
@xj
1
! 0+ için
@'
dx !
A f (A g)
@xj
1
Z
1
oldu¼
gunu gösterelim.
59
@'
fg
dx =
@xj
Z
fg
@'
dx
@xj
(4.2.14)
(4:2:11) ifadesi kullan¬l¬rsa
Z
! 0+ için
Z
@'
fg
dx
@xj
A fA g
@'
f jA gj
dx +
@xj
Af
1
1
Z
f jA g
gj
@'
dx
@xj
1
@'
@xj
max jA gj max
x2
x2
1
+ kA g
1
gkC(
1)
Af
f
L1 (
@'
@xj
max
x2
1
1)
f
L1 (
1)
! 0
istenilen elde edilir. Şimdi de
Z
1
! 0+ için
3
2
4 @A f (A g) + A f @A g 5 'dx !
@xj
@xj
=
20
Z
1
Z
1
4@ @ f A g + f
@xj
@g
@xj
w
w
@f
@xj
g+f
w
@g
@xj
3
5 'dx
'dx
w
(4.2.15)
oldu¼
gunu gösterelim. (4:2:11) ve (4:2:12) ifadeleri kullan¬l¬rsa
Z
1
2
4 @A f (A g)
@xj
2
Z 6
6
6
=
6
4
1
max j'j
x2
1
8
>
>
>
>
>
>
>
>
<
0
@ @f A g
@xj
Z
@f
@xj
f
@A f
@xj
+A f
w
A g + (A g
@g
@xj
@f
@xj
+
g)
w
w
@A g
@xj
jA gj dx +
@g
@xj
Z
3
@A g 5
'dx
@xj
@f
@xj
w
supp'
>
>
Z
>
>
>
>
+ Af
>
>
:
@g
@xj
f
w
@A f
@xj
+ Af
1
! 0+ için
w
Af
w
jA g
gj
3
7
7
7 'dx
7
5
@f
@xj
1
f
@g
@xj
dx +
w
Z
supp'
1
60
@A g
@xj
@g
@xj
w
w
9
>
>
dx >
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
A f dx >
>
>
;
8
>
<
@A f
max j'j max jA gj
x2 1
>
@xj
: x2 1
0
1
@f A
+ kA g gkC( 1 ) @
@xj
@g
@xj
@A g
+
@xj
0
1
@ @f A
@xj
w L1 (supp')
@g
@xj
+ max
x2
w L1 (
1
1)
Af
L1 ( 1 )
w C(supp')
Af
f
L1 (
w
1)
)
istenilen elde edilir. (4:2:13) ; (4:2:14) ve (4:2:15) ifadeleri göz önüne al¬n¬rsa
Z
Z
@'
dx =
fg
@xj
@f
@xj
@g
@xj
g+f
w
'dx
w
gundan (4:2:5) gerçeklenir.N
d¬r. Bu key… ' 2 C01 ( ) fonksiyonu için geçerli oldu¼
Teorem 4.2.12 (De¼
gişkenlerin De¼
gişmesi) f 2 Lloc
1 ( ) ve 1
@f
@xj
w
j
n için
1
2 Lloc
1 ( ) zay¬f türevleri mevcut olsun. Ayr¬ca y = h (x) fonksiyonu C
s¬n¬f¬ndan difeomor…zm ve h ( ) = e olsun. fe(y) = f (h
e ve 1
Bu durumda fe 2 Lloc
1
@ fe
@y
n için
!
=
n
X
j=1
w
@ fe
@y
@f
@xj
1
(y)) olarak belirleyelim.
zay¬f türevi mevcut olup
w
w
@xj
@y
gerçeklenir.
I·spat: 1
4.1.2 dikkate al¬n¬rsa
uzay¬nda 1
@f
2
@xj
w
ffm g1
m=1
n için
j
j
Lloc
gundan Tan¬m
1 ( ) zay¬f türevleri mevcut oldu¼
C 1 ( ) fonksiyonlar dizisi vard¬r öyle ki Lloc
1 ( )
n için
fm
m!1
! f
;
@fm
@xj
gerçeklenir.
61
m!1
!
@f
@xj
w
8m 2 N için fem (y) = fm (h
1
(y)) fonksiyonlar¬n¬tan¬mlayal¬m. Bu durumda fem 2
C 1 e olup klasik türev için bildi¼
gimiz kuraldan
@ fem X @fm @xj
=
@y
@xj @y
j=1
n
uzay¬nda fem
e
yaz¬labilir. Şimdi Lloc
1
8e1
e kümesi için m ! 1 iken
Z
e1
fem (y)
fe(y) dy
=
! fe oldu¼
gunu gösterelim. Gerçekten
Z
fm h
Z
jfm (x)
e1
=
m!1
1
(y)
f h
1
(y) dy
f (x)j jJ (x)j dx
1
! 0
d¬r. Burada
1
=h
jJ (x)j fonksiyonu
1
1
e 1 ve J (x), h (x) dönüşümünün Jakobiyenidir. Dolay¬s¬yla
kümesinde s¬n¬rl¬,
ve Lloc
1 ( ) uzay¬nda fm
1
m!1
! f
oldu¼
gundan yukar¬daki ifadenin sa¼
g taraf¬s¬f¬ra yaklaş¬r. Böylece istenilen elde edilir.
Şimdi de Lloc
1 ( ) uzay¬nda
@fm
@xj
m!1
!
@f
@xj
e
olmas¬ndan yararlanarak Lloc
1
w
uzay¬nda
@ fem X @fm @xj
=
@y
@xj @y
j=1
n
oldu¼
gunu gösterelim. Gerçekten; e 1
Z
e1
@ fem
(y)
@y
!
@ fe
(y)
@y
w
dy
=
m!1
!
n
X
j=1
@f
@xj
w
@xj
@y
e olmak üzere m ! 1 için
Z X
n
@xj
@fm
(x)
@xj
@y
j=1
1
Z X
n
@fm
(x)
@xj
j=1
n
X
j=1
@f
@xj
@f
@xj
@xj
jJ (x)j dx
@y
w
1
max max
1 j n x2
n Z
X
j=1
! 0
62
1
1
@xj
jJ (x)j
@y
@fm
(x)
@xj
@f
@xj
w
@xj
jJ (x)j dx
@y
dx
w
elde edilir. Dolay¬s¬yla Tan¬m 4.1.2 göz önüne al¬n¬rsa
olup
@ fe
@y
!
=
w
n
X
j=1
@f
@xj
w
@ fe
@y
zay¬f türevi mevcut
w
@xj
@y
sa¼
glan¬r.N
Rn aç¬k, ba¼
glant¬l¬küme, f 2 Lloc
1 ( ) ve j j = k olacak şekilde
Teorem 4.2.13
gunu kabul edelim.
8 2 Nn0 katl¬indeksi için Dw f zay¬f türevlerinin mevcut oldu¼
üzerinde Dw f = 0 ise bu durumda f (x) 2 }k
I·spat:
1
dir.
ba¼
glant¬l¬küme olsun. Ayr¬ca
1
1
olacak şekilde
2
2
ba¼
glant¬l¬kümesini seçelim.
8
< f (x) ; x 2
fe(x) =
: 0
; x2
=
2
2
fonksiyonunu tan¬mlayal¬m. Bu durumda fe 2 L1 (
8 2 Nn0 katl¬indeksi için
2
2)
ve j j = k olacak şekilde
üzerinde
Dw fe = Dw f = 0
sa¼
glan¬r. A fe(x) düzgünleşmesini göz önüne alal¬m. E¼
ger d (
4.2.7 den x 2
1
1; @
2)
> ise Teorem
için
D A fe(x) = A
Dw fe(x)
yaz¬labilir. Bundan dolay¬j j = k olacak şekilde 8 2 Nn0 katl¬indeksi için
üzerinde D A fe(x) = 0 gerçeklenir. Bu nedenle A fe(x) fonksiyonu
1
1
( )
1
düzgün fonksiyon olup k -¬nc¬basamaktan tüm türevleri s¬f¬rd¬r. Buradan Pk
}k
1
olacak şekilde bir polinom olmak üzere 8x 2
(
A fe(x) = Pk
63
)
1
(x)
1
için
içinde
(x) 2
elde edilir. Sonuç 3.2.2 yard¬m¬yla
! 0+ için
A fe
gerçeklenir. Yani; L1 (
önüne al¬n¬rsa
1
1)
!0
f
L1 (
( )
1
uzay¬nda Pk
1)
!0
! f sa¼
glanmal¬d¬r. Teorem 2.1.2 göz
üzerinde tan¬ml¬ derecesi (k
nomlar¬n kümesi L1 (
1) den küçük veya eşit tüm poli-
uzay¬nda sonlu boyutlu bir alt uzay olup dolay¬s¬yla ka-
1)
pal¬d¬r. O halde f (x) limiti de derecesi (k
bir polinomdur. Yani; 8x 2
1
(m)
1
1) den küçük veya eşit olacak şekilde
için f (x) = Pk
(m)
1
;
1
(m+1)
1
(x) yaz¬labilir. Şimdi
ve
[
(m)
1
=
m2N
olacak şekilde
n
(m)
1
o
ispat ettik ki her bir
ba¼
glant¬l¬kümelerin bir dizisini göz önüne alal¬m. Az önce
m2N
(m)
1
kümesi için x 2
(m+1)
1
sa¼
glan¬r. Bu durumda Pk
(m)
1
(m)
1
(x) polinomu Pk
bir polinomun devam¬tektir. Dolay¬s¬yla Pk
için f (x) = Pk
1
1
(m)
1
olmas¬durumunda f (x) = Pk
(x)
(x) polinomunun devam¬d¬r. Ancak
(x) polinomu vard¬r öyle ki x 2
(x) sa¼
glan¬r.N
Teorem 4.2.14 f : [a; b]
sürekli olmas¬için ()
! R ölçülebilir fonksiyonunun [a; b] üzerinde mutlak
df
dx w
2 L1 (a; b) zay¬f türevinin mevcut olmas¬d¬r.
I·spat: (=)) f (x) fonksiyonu [a; b] üzerinde mutlak sürekli olsun. Bu durumda
Teorem 2.6.2 dikkate al¬n¬rsa h:h:h: x 2 (a; b) için
df
dx
= g klasik anlamda türevi
mevcut olup g 2 L1 (a; b) gerçeklenir. Key… ' 2 C01 (a; b) fonksiyonunu göz önüne
alal¬m. Dolay¬s¬yla 'f fonksiyonu da [a; b] üzerinde mutlak süreklidir. O halde
h:h.h: x 2 (a; b) için
d('f )
dx
klasik anlamda türevi mevcut olup
d ('f )
d'
= 'g + f
dx
dx
64
yaz¬labilir. (a; b) aral¬g¼¬nda bu eşitlik integre edilirse
Zb
d ('f )
dx =
dx
Zb
'gdx +
a
a
Zb
f
d'
dx = f ' jba = 0
dx
Zb
g'dx =) g =
a
bulunur. Bundan dolay¬
Zb
d'
'g + f
dx
dx = 0 =)
Zb
d'
f dx =
dx
a
a
df
dx
a
w
2 L1 (a; b)
gerçeklenir. Böylece ispat¬n ilk k¬sm¬tamamlan¬r.
((=) g =
df
dx w
2 L1 (a; b) zay¬f türevi mevcut olsun.
h (x) =
Zx
g (t) dt
a
fonksiyonunu ele alal¬m. Teorem 2.6.1 göz önüne al¬n¬rsa h (x) fonksiyonu [a; b]
aral¬g¼¬nda mutlak süreklidir. Bundan dolay¬ h:h:h: x 2 (a; b) için
anlamda türevi mevcuttur. I·spat¬n ilk k¬sm¬ndan dolay¬
dh
dx w
dh
dx
= g klasik
zay¬f türevi mevcut
olup klasik anlamda türev ile çak¬ş¬r. Yani;
df
dx
=
w
dh
dx
d (f h)
dx
=)
w
yaz¬labilir. Teorem 4.2.13 den dolay¬f
=0
w
h = C (sbt) olmal¬d¬r. h (x) mutlak sürekli
oldu¼
gundan f (x) = C + h (x) fonksiyonuda [a; b] aral¬g¼¬nda mutlak süreklidir. Di¼
ger
yandan h (a) = 0 oldu¼
gundan f (a) = C olmal¬d¬r. Dolay¬s¬yla
f (x) = f (a) +
Zx
g (t) dt
a
olup ve ayr¬ca g 2 L1 (a; b) oldu¼
guda dikkate al¬n¬rsa f fonksiyonunun [a; b]
aral¬g¼¬nda mutlak sürekli oldu¼
gu elde edilir.N
65
5. SOBOLEV UZAYLARI
5.1 Sobolev Uzaylar¬Tan¬m¬
Tan¬m 5.1.1 (Sobolev Uzay¬) 1
Wpk ( ) := f :
1, k 2 N0 olmak üzere
p
! R j f 2 Lloc
1 ( ); 8j j
k için Dw f 2 Lp ( )
ile tan¬mlanan küme Lp ( ) uzay¬n¬n alt uzay¬d¬r. Bu uzaya Wpk ( ) Sobolev uzay¬
denir.
Tan¬m 5.1.2 f 2 Wpk ( ) olmak üzere f fonksiyonunun Wpk ( ) Sobolev uzay¬ndaki
normu
kf kWpk (
)
:=
8 0
1 p1
>
Z
>
X
>
>
>
jDw f jp dxA ; 1
< @
>
>
>
>
>
:
j j k
X
j j k
esssup jDw f j
;
x2
p<1
p=1
olarak tan¬ml¬d¬r. Bu norma standart norm denir.
Aşa¼
g¬daki teoremde, yukar¬da tan¬mlanan k:kWpk ( ) fonksiyonelinin gerçekten norm
aksiyomlar¬n¬sa¼
glad¬g¼¬gösterilmiştir.
Teorem 5.1.1 k:kWpk (
I·spat: 1
)
: Wpk ( ) ! R fonksiyoneli bir norm tan¬mlar.
p < 1 olsun.
kf kWpk (
ve k f kWpk (
)
= j j kf kWpk (
)
)
= 0 , h:h:h. f = 0
özellikleri aç¬k olarak sa¼
glan¬r. Şimdi f; g 2 Wpk ( )
fonksiyonlar¬n¬alal¬m. Minkowski eşitsizli¼
gi ve k:kLp (
66
)
normunun özelli¼
gi göz önüne
al¬n¬rsa
kf + gkWpk (
0
= @
)
0
@
0
@
X
j j k
X
j j k
X
j j k
1 p1
kDw f + Dw gkpLp ( ) A
p
kDw f kLp (
)
+ kDw gkLp (
1 p1
0
kDw f kpLp ( ) A + @
X
j j k
)
1 p1
A
1 p1
kDw gkpLp ( ) A = kf kWpk (
)
+ kgkWpk (
üçgen eşitsizli¼
gi elde edilir. Bu da ispat¬tamamlar. p = 1 için de benzer işlemler
yap¬larak norm oldu¼
gu gösterilebilir.N
Tan¬m 5.1.3 8m 2 N için fm ; f 2 Wpk ( ) olsun.
k
(i) ffm g1
m=1 fonksiyonlar dizisinin f fonksiyonuna Wp ( ) uzay¬nda yak¬nsak olmas¬
için () lim kfm
m!1
f kWpk (
)
= 0 olmas¬d¬r.
k
(ii) ffm g1
m=1 fonksiyonlar dizisinin f fonksiyonuna Wp;loc ( ) uzay¬nda yak¬nsak ol-
mas¬için () 8V
için lim kfm
m!1
f kWpk (V ) = 0 olmas¬d¬r.
Not 5.1.1 Tan¬m 4.1.3 göz önüne al¬n¬rsa şu sonucu ç¬karabiliriz. n = 1 ve
aç¬k aral¬k olmak üzere f 2 Wpk ( ) () f
öyle ki h(k
1)
Örnek 5.1.1
R
h olacak şekilde h fonksiyonu vard¬r
lokal mutlak sürekli ve h(k) 2 Lp ( ) olmas¬d¬r.
= B (0; 1)
Rn ve f (x) = jxj
olmak üzere
; n; p nin hangi
de¼
gerleri için f fonksiyonu Wp1 ( ) uzay¬na aittir?
Çözüm: x 6= 0 olmak üzere f fonksiyonunun xi de¼
gişkenine göre klasik türevi
@f
=
@xi
jxj
1
67
xi
=
jxj
xi
jxj +2
)
@f
@f
; :::; @x
@x1
n
olup Df (x) :=
jDf (x)j =
ile tan¬ml¬gradiyent vektörünün normu
s
x1
2( +2 )
2
jxj
xn
2( +2 )
2
+ ::: +
jxj
olarak bulunur. Key… ' 2 C01 ( ) fonksiyonu ve
Bu durumda Teorem 2.3.7 yard¬m¬yla
=
jxj
+1
> 0 sabitlenmiş say¬ olsun.
= ( 1 ; :::;
n ),
@B (0; 1) üzerinde içe yön-
lendirilmiş birim normal vektör olmak üzere
Z
Z
f 'xi dx =
nB(0; )
yaz¬labilir.
fxi 'dx +
+ 1 < n olmas¬durumunda ! 0
f ' i dS
k'kL1 (
)
C
Z
sa¼
glan¬r. Ayr¬ca jDf (x)j =
<
n p
:N
p
n 1
!0
jxj
f 'xi dx =
+1
Z
fxi 'dx
2 Lp ( ) , ( + 1) p < n: Dolay¬s¬yla
Yukar¬daki örnekteki fonksiyon için f 2 C ( ) ,
p < 2 ve 0 <
<
2 p
p
dS
+ 1 < n ise key… ' 2 C01 ( ) için
gerçeklenir. Böylece e¼
ger
f 2 Wp1 ( ) ,
Z
@B(0; )
@B(0; )
Örnek 5.1.2
f ' i dS
@B(0; )
nB(0; )
Z
1
Z
0 olmas¬d¬r. E¼
ger n = 2;
ise bu durumda f 2 Wp1 ( ) ve f 2
= C ( ) gerçeklenir.
< 1 olmak üzere
= B (0; )
f (x) = log log
R2 , x 2 B (0; ) için
1
jxj
fonksiyonunu göz önüne alal¬m. Bu durumda f 2 W21 ( ) gerçeklenir.
68
Çözüm: f 2 L2 ( ) oldu¼
gu kolayca gösterilebilir. x 6= 0 olmak üzere f fonksiyonunun xi de¼
gişkenine göre klasik türevi
xi
@f
(x) = 2
@xi
jxj log jxj
olup
jDf (x)j =
bulunur. Buradan
Z
s
x21
x22
1
+
=
4
4
2
2
jxj log jxj
jxj log jxj jxj log jxj
jDf (x)j2 dx =
2
log
< 1 oldu¼
gu görülür. Şimdi
@f
@xi
(x) klasik
anlamda türevinin zay¬f türev oldu¼
gunu gösterelim. Key… ' 2 C01 ( ) fonksiyonu
ve > 0 yeterince küçük olmak üzere k¬smi integrasyon uygulan¬rsa
Z
Z
fxi 'dx +
k'kL1 (
Z
f 'xi dx =
f ' i dS
@B(0; )
nB(0; )
nB(0; )
Z
elde edilir. Di¼
ger yandan ! 0 için
Z
f ' i dS
@B(0; )
)
log log
1
dS
@B(0; )
= k'kL1 (
)
(n) log log
1
! 0
sa¼
glan¬r. Dolay¬s¬yla 8' 2 C01 ( ) için
Z
f 'xi dx =
Z
fxi 'dx
gerçeklenip f 2 W21 ( ) elde edilir. Ancak x ! 0 için f (x) fonksiyonu s¬n¬rs¬zd¬r.N
Son örnek göstermektedir ki Sobolev uzay¬na ait bir f fonksiyonu baz¬ düzgünlük
özelliklerine sahip olmas¬na ra¼
gmen kötü davran¬şlara da sahip olabilir.
69
Not 5.1.2 Bildi¼
gimiz gibi Lp ( ) uzay¬ fonksiyonlar¬n denklik s¬n¬‡ar¬ndan oluşmaktad¬r. Dolay¬s¬yla Lp ( ) uzay¬nda bir f fonksiyonunun sürekli olmas¬n¬n anlam¬
f fonksiyonunun içinde bulundu¼
gu denklik s¬n¬f¬ bir sürekli fonksiyon temsilcisine
sahip olmas¬ anlam¬na gelmektedir. Benzer düşünce Wpk ( ) Sobolev uzaylar¬ için
de geçerlidir.
5.2 Sobolev Uzaylar¬n¬n Temel Özellikleri
Klasik anlamda türev kurallar¬n¬n zay¬f türev kavram¬na uygulamas¬n¬n yan¬nda
Sobolev uzaylar¬n¬n kendisi çok iyi bir matematiksel yap¬ya sahiptir.
Teorem 5.2.1 f; g 2 Wpk ( ) ve j j
k j j
(i) Dw f 2 Wp
k olsun. Bu durumda
( ) ve ayr¬ca j j + j j
k olacak şekilde 8 ;
katl¬indeksi için
Dw (Dw f ) = Dw Dw f = Dw+ f
gerçeklenir.
(ii)
2 C01 ( ) ) f 2 Wpk ( ) olup
Dw ( f ) =
X
gerçeklenir.
(iii) Wpk ( ) Banach uzay¬d¬r.
70
D Dw f
(5.2.1)
I·spat: (i) Key… ' 2 C01 ( ) fonksiyonunu alal¬m. Bu durumda D ' 2 C01 ( )
olup
Z
j j
Dw f D 'dx = ( 1)
Z
fD
j j
( 1)
j j
Z
= ( 1)
= ( 1)
+
'dx
j + j
Z
Dw+ f 'dx
Dw+ f 'dx
Dw (Dw f ) = Dw+ f elde edilir.
(ii) j j üzerinde tümevar¬mla teoremi ispatlayal¬m. j j = 1 olmak üzere key… ' 2
C01 ( ) fonksiyonunu alal¬m. Bu durumda
Z
f D 'dx =
Z
=
[f D ( ')
Z
f (D ) '] dx
( Dw f + f D
) 'dx
elde edilir. Yani j j = 1 için (5:2:1) ifadesi gerçeklenir.
Şimdi l < k olmak üzere (5:2:1) ifadesinin 8 2 C01 ( ) fonksiyonu ve j j
geçerli oldu¼
gunu kabul edelim. j j = l + 1 olacak şekilde
Bu durumda j j = l; j j = 1 olmak üzere
fonksiyonunu alal¬m. Burada
=
=
ve
+
katl¬indeksini seçelim.
olmal¬d¬r. Key… ' 2 C01 ( )
+
+
=
oldu¼
gunu dikkate
al¬rsak
Z
f D 'dx =
Z
f D (D ') dx
j j
= ( 1)
Z X
71
l için
D Dw f D 'dx
j j+j j
= ( 1)
j j
= ( 1)
j j
= ( 1)
= ( 1)j
Z X
Z X
Dw D Dw f 'dx
D (D ) Dw f + D Dw Dw f
Z X
Dw f
D Dw f + D
Z (X
j
D Dw f
)
'dx
'dx
'dx
elde edilir.
(iii) ffm g1
m=1
Wpk ( ) Cauchy dizisi olsun. Bu durumda
kfm
olup j j
fl kWpk (
)
0
=@
X
j j k
kDw fm
1 p1
Dw fl kpLp ( ) A <
k olacak şekilde 8 katl¬indeksi için fDw fm g1
m=1 dizisi Lp ( ) uzay¬nda
bir Cauchy dizisidir. Lp ( ) uzay¬ tam uzay oldu¼
gundan f 2 Lp ( ) fonksiyonu
vard¬r öyle ki j j
k olacak şekilde 8 katl¬indeksi için Lp ( ) uzay¬nda
Dw fm
m!1
! f
gerçeklenir. Özel olarak j j = 0 için Lp ( ) uzay¬nda fm ! f(0;:::;0)
f sa¼
glans¬n.
Şimdi iddia ediyoruz ki :
"f 2 Wpk ( ) ve 8 j j
k için Dw f = f "
Key… ' 2 C01 ( ) fonksiyonunu dikkate alal¬m.
72
(5.2.2)
Z
f D 'dx =
Z
lim
m!1
=
fm D 'dx
j j
lim ( 1)
m!1
j j
= ( 1)
Z
Z
Dw fm 'dx
f 'dx
elde edilir. Buna göre (5:2:2) ifadesi do¼
grudur. Dolay¬s¬yla j j
k olacak şekilde
8 katl¬indeksi için Lp ( ) uzay¬nda
Dw fm
m!1
! Dw f
gerçeklenir. Sonuç olarak Wpk ( ) uzay¬nda m ! 1 için fm ! f sa¼
glan¬p Wpk ( )
uzay¬Banach uzay¬d¬r.N
Teorem 5.2.1 in iddialar¬n¬n en önemlisi Wpk ( ) uzay¬n¬n Banach uzay¬olmas¬d¬r.
Bu gerçek fonksiyonel analizin k¬smi türevli denklemlere uygulamas¬nda önemli rol
oynamaktad¬r. p = 2 olmas¬durumunda W2k ( ) uzay¬nda iç çarp¬m
(f; g)W k (
2
)
:=
XZ
Dw f (x) Dw g (x) dx
j j k
ile tan¬mlanm¬şt¬r. p = 2 özel durumunda H k ( ) := W2k ( ) gösterimi kullan¬lmaktad¬r.
Teorem 5.2.2 W2k ( ) uzay¬Hilbert uzay¬d¬r.
I·spat: (f; g)W k (
2
)
fonksiyoneli aç¬k olarak iç çarp¬m aksiyomlar¬n¬sa¼
glar.
(f; f )W k (
2
)
=
X
j j k
kDw f k2L2 (
)
= kf k2W k (
2
olarak yaz¬labilir. Dolay¬s¬yla H k ( ) uzay¬Hilbert uzay¬d¬r.
73
)
Teorem 5.2.3
Rn aç¬k küme, k 2 N0 olmak üzere
(i) 1 < p < 1 için Wpk ( ) uzay¬re‡eksif uzayd¬r.
(ii) 1
p < 1 için Wpk ( ) uzay¬ayr¬labilir uzayd¬r.
Özel olarak p = 2 ise W2k ( ) = H k ( ) uzay¬re‡eksif, ayr¬labilir, Hilbert uzay¬d¬r.
n
I·spat: Vpk ( ) := g = fg gj
lar¬n lineer uzay¬olsun.
Vpk
j k
: 8j j
o
k, g 2 Lp ( ) vektör de¼
gerli fonksiyon-
( ) üzerindeki normu
kgkVpk (
)
:=
X
j j k
kg kLp (
)
olarak tan¬mlayal¬m. Bu durumda Vpk ( ) uzay¬Lp ( ) uzay¬n¬n sonlu say¬da direkt
çarp¬m¬d¬r. 1
p < 1 için Lp ( ) uzay¬ayr¬labilir, 1 < p < 1 için Lp ( ) uzay¬
re‡eksif uzay olmas¬ndan dolay¬1
p < 1 için Vpk ( ) uzay¬ayr¬labilir, 1 < p < 1
için Vpk ( ) uzay¬re‡eksif uzayd¬r. Şimdi Wpk ( ) uzay¬n¬standart norma denk olan
X
kf kWpk ( ) =
kDw f kLp ( ) normu ile donat¬p
j j k
J : Wpk ( )
f
Vpk ( )
!
! Jf := fDw f gj
j k
operatörünü göz önüne alal¬m. Bu durumda J lineer, kJf kVpk (
)
= kf kWpk (
)
normu
koruyan, bire-bir dönüşümdür. Dolay¬s¬yla J izometrik operatördür. J operatörünün
görüntü kümesi
n
k := G (J) = g = fD f g
Vf
p
w
j
j k
o
: f 2 Wpk ( )
lineer uzay¬d¬r. Wpk ( ) tam uzay oldu¼
gundan Wpk ( ) uzay¬n¬n izometri alt¬ndaki
k
k
Vf
ger yandan re‡eksif bir
p görüntüsü de Vp ( ) uzay¬n¬n kapal¬bir alt uzay¬d¬r. Di¼
uzay¬n kapal¬her alt uzay¬da re‡eksif uzay olaca¼
g¬ndan 1 < p < 1 için Vfk alt uzay¬
p
74
da re‡eksif uzayd¬r. Benzer olarak ayr¬labilir bir uzay¬n key… alt uzay¬da ayr¬labilir
olaca¼
g¬ndan 1 p < 1 için Vfk alt uzay¬da ayr¬labilir uzayd¬r. J izometrik dönüşüm
p
k
oldu¼
gundan Wpk ( ) ile Vf
p aras¬nda hiç bir fark gözetlenmez. O halde 1
p<1
için Wpk ( ) ayr¬labilir, 1 < p < 1 için Wpk ( ) re‡eksif uzayd¬r.N
Not 5.2.1 (i) ffm g1
m=1
81
Wp1 ( ) olmak üzere Lp ( ) uzay¬nda fm
m!1
! f ve
n için Lp ( ) uzay¬nda
i
@fm
@xi
sa¼
glans¬n. Bu durumda f 2 Wp1 ( ) ve
m!1
w
! gi
@f
@xi
w
= gi gerçeklenir. Gerçekten;
Key… ' 2 C01 ( ) fonsiyonunu ele alal¬m. Bu durumda
Z
@'
dx =
f
@xi
oldu¼
gunu göstermeliyiz. ffm g1
m=1
Z
Z
(5.2.3)
gi 'dx
gundan
Wp1 ( ) oldu¼
@'
fm
dx =
@xi
Z
@fm
@xi
'dx
(5.2.4)
w
sa¼
glan¬r. ' 2 C01 ( ) olmas¬ndan dolay¬ (5:2:4) ifadesinde m ! 1 için limite
geçebiliriz. Dolay¬s¬yla (5:2:3) ifadesi elde edilir.
(ii) Yukar¬daki önermenin hipotezindeki şartlar¬ha…‡etebiliriz. Bunun için " (5:2:4)
ifadesinde m ! 1 için limite geçti¼
gimizde hangi koşul alt¬nda (5:2:4) ifadesinden
(5:2:3) ifadesi elde edilebilir?" sorusuna yan¬t aranmal¬d¬r. 1 < p < 1 olmak üzere
o1
n
@fm
dizisinin zay¬f yak¬nsak olmas¬yeterlidir. Re‡eksif bir uzayda s¬n¬rl¬
@xi
w
m=1
her dizi zay¬f yak¬nsak bir alt diziye sahip olaca¼
g¬ndan yukar¬daki önerme şu şekilde
de ifade edilebilir:
75
" ffm g1
m=1
Wp1 ( ) olmak üzere Lp ( ) uzay¬nda
fm
ve 81
i
n için
n
@fm
@xi
w
Wpk ( )
Tan¬m 5.2.1 C01 ( )
o1
m=1
m!1
! f
glan¬r."
s¬n¬rl¬olsun. Bu durumda f 2 Wp1 ( ) sa¼
:= Wpk ( ) şeklinde tan¬mlan¬r. Yani;
m!1
! f olacak şekilde ffm g1
m=1
f 2 Wpk ( ) , Wpk ( ) uzay¬nda fm
C01 ( )
fonksiyonlar dizisinin var olmas¬d¬r.
Dolay¬s¬yla Wpk ( ) uzay¬Wpk ( ) uzay¬n¬n bir alt uzay¬d¬r. p = 2 olmas¬durumunda
H0k ( ) := W2k ( ) gösterimi kullan¬l¬r.
Teorem 5.2.4 f 2 Wpk ( ) ve
8
< f (x) ;
x2
e
f (x) :=
: 0
; x 2 Rn n
olsun.
1
olacak şekildeki 8
olarak fe 2 Wpk (Rn ) olur.
1
kümesi için fe 2 Wpk (
I·spat: Wpk ( ) uzay¬n¬n tan¬m¬ndan Wpk ( ) uzay¬nda fm
ffm g1
m=1
1)
gerçeklenir. Özel
m!1
! f olacak şekilde
C01 ( ) fonksiyonlar dizisi vard¬r. 8m 2 N için
8
< f (x) ;
x2
m
ff
(x)
:=
m
: 0
; x 2 Rn n
1
fonksiyonlar¬tan¬mlans¬n. Bu durumda ff
m 2 C0 (
ff
m
m!1
! fe
76
1)
ve Wpk (
1)
uzay¬nda
gerçeklenir. Çünkü;
ff
m
fe
Wpk (
1)
= kfm
sa¼
glanmaktad¬r. Bundan dolay¬ fe 2 Wpk (
Teorem 5.2.5 1
1)
f kWpk (
)
olmal¬d¬r.N
p < 1 olmak üzere f 2 Wpk ( ) olsun. Bu durumda A f
!0
düzgünleşmesi için Wpk ( ) uzay¬nda A f ! f gerçeklenir.
I·spat:
8
< f (x) ;
x2
fe(x) :=
: 0
; x 2 Rn n
fonksiyonu tan¬mlans¬n. Teorem 5.2.4 den fe 2 Wpk (Rn ) olmal¬d¬r. Bu durumda
j j
glan¬r. Sonuç 3.2.2 ve
k olacak şekilde 8 katl¬indeksi için Dw fe 2 Lp (Rn ) sa¼
Teorem 4.2.7 yard¬m¬yla j j
k olacak şekilde 8 katl¬indeksi için Lp ( ) uzay¬nda
D
!0
! Dw fe
A fe
!0
gerçeklenir. Bu ise Wpk ( ) uzay¬nda A fe ! fe olmas¬ anlam¬na gelir. Ayr¬ca fe
fonksiyonu ve A fe düzgünleşmesinin tan¬m¬ndan
!0
üzerinde fe = f ve A fe = A f
olur. Dolay¬s¬yla Wpk ( ) uzay¬nda A f ! f gerçeklenir.N
Teorem 5.2.6 K¬smi I·ntegrasyon
g 2 Wpk0 ( ) olsun. Bu durumda j j
Z
1
p
+
1
0
p
= 1 olmak üzere f 2 Wpk ( ) ve
k olacak şekilde 8 katl¬indeksi için
j j
gDw f dx = ( 1)
gerçeklenir.
77
Z
f Dw gdx
(5.2.5)
I·spat: g 2 Wpk0 ( ) olmas¬ndan dolay¬Wpk0 ( ) uzay¬nda gm
fgm g1
m=1
m!1
! g olacak şekilde
C01 ( ) fonksiyonlar dizisi vard¬r. Zay¬f türev tan¬m¬ndan
Z
j j
gm Dw f dx = ( 1)
Z
f D gm dx
Z
gDw f dx
(5.2.6)
yaz¬labilir. Şimdi
Z
Z
gm Dw f dx
m!1
f D gm dx
m!1
!
!
Z
f Dw gdx
olduklar¬n¬gösterelim. m ! 1 için
Z
(gm
g) Dw f dx
0
@
Z
1 p1 0
jDw f j dxA @
p
kf kWpk ( ) kgm
Z
gkW k0 (
p
jgm
)
1 10
p
0
gj dxA
p
! 0
ve
Z
f (D gm
Dw g) dx
0
@
Z
1 p1 0
jf j dxA @
p
kf kWpk ( ) kgm
Z
jD gm
gkW k0 (
p
)
0
1 10
p
Dw gj dxA
p
! 0
gerçeklenir. Dolay¬s¬yla (5:2:6) ifadesinde m ! 1 için limit al¬n¬rsa yukar¬daki
sonuçlardan (5:2:5) ifadesi elde edilir.N
78
Rn aç¬k
Teorem 5.2.7 (Sobolev Uzaylar¬için Minkowski Eşitsizli¼
gi)
Rm ölçülebilir küme, k 2 N ve 1
küme, A
p < 1 olsun. Ayr¬ca kabul edelim ki
A kümesi üzerinde ölçülebilir ve h:h:h: y 2 A için f (:; y) 2 Wpk ( )
f fonksiyonu
sa¼
glas¬n. Bu durumda
Z
Z
f (x; y) dy
A
A
Wpk ( )
gerçeklenir. (kf (x; y)kWpk (
)
(5.2.7)
kf (x; y)kWpk ( ) dy
normu x de¼
gişkenine göre hesaplanmaktad¬r.)
I·spat: (5:2:7) ifadesinin sa¼
g taraf¬sonlu olsun. Bu durumda Hölder eşitsizli¼
ginden
8K
kompakt kümesi ve j j
Z
A
0
@
Z
K
1
jf (x; y)j dxA dy < 1,
sa¼
glan¬r. Gerçekten;
Z
A
0
@
Z
K
k olacak şekilde 8 katl¬indeksi için
1
p
+
1
p0
0
Z
@
A
Z
K
1
jDw f (x; y)j dxA dy < 1
= 1 olmak üzere
80
1 p1 0
1 10 9
Z
Z
Z >
p >
=
<
p
@ jf (x; y)j dxA @ dxA
dy
>
>
:
;
1
jf (x; y)j dxA dy
A
K
= (m (K))
1
0
p
K
Z
A
< 1
0
@
Z
K
1 p1
jf (x; y)jp dxA dy
bulunur. Di¼
ger ifade de benzer olarak gösterilebilir. Dolay¬s¬yla K
üzerinde ölçülebilir olan f fonksiyonu j j
k olacak şekilde 8
Dw f fonksiyonlar¬ Fubini teoreminden L1 (K
katl¬ indeksi için
A) uzay¬na aittir. Şimdi Teorem
4.2.6 ve Lp ( ) uzay¬için Minkowski eşitsizli¼
gini kullan¬rsak
Z
A
f (x; y) dy
=
Wpk ( )
X
j j k
79
A kümesi
0
1
Z
Dw @ f (x; y) dy A
A
Lp ( )
=
X Z
j j k
XZ
j j kA
=
Z
Dw f (x; y) dy
A
Lp ( )
kDw f (x; y)kLp ( ) dy
kf (x; y)kWpk ( ) dy
A
istenilen elde edilir.N
Teorem 5.2.8 1
p < 1 olmak üzere Wpk (Rn ) = Wpk (Rn ) gerçeklenir. Yani;
C01 (Rn ) uzay¬Wpk (Rn ) uzay¬nda yo¼
gundur.
I·spat:
2 C01 (R+ ) fonksiyonunu 0
(t)
1;
8
< 1 ; 0 t 1
(t) :=
: 0 ;
t 2
olacak şekilde tan¬mlans¬n. f 2 Wpk (Rn ) fonksiyonunu alal¬m. Şimdi de
f (R) (x) := f (x)
jxj
R
fonksiyonunu tan¬mlayal¬m. Bu durumda
olur. Belirtelim ki D
8
< f (x) ; jxj
(R)
f (x) =
: 0
; jxj
jxj
R
fonksiyonlar¬R
R
2R
1 e göre düzgün s¬n¬rl¬d¬r. Teorem
5.2.1 in (ii) önermesinden h:h:h: x 2 Rn için
Dw f (R) (x) =
X
Dw f (x) D
80
jxj
R
C
X
Dw f (x)
gerçeklenir. Di¼
ger yandan j j
k olacak şekilde 8 katl¬indeks ve jxj
Dw f (R) (x)
R için
Dw f (x) = 0
d¬r.
Ayr¬ca Dw f
Dw f (R)
p
2 L1 (Rn ) olmas¬ndan dolay¬R ! 1 için
Dw f
Lp (Rn )
0
= @
0
B
= @
C
! 0
Z
Dw f (R) (x)
Rn
Z
p
Dw f (x) dxA
jxj>R
XB
@
1 p1
Z
1 p1
p
C
Dw f (x) dxA
Dw f (R) (x)
0
1 p1
0
p
B
C
Dw f (x) dxA + @
jxj>R
Z
jxj>R
1 p1
C
jDw f (x)jp dxA
gerçeklenir. Dolay¬s¬yla Wpk (Rn ) uzay¬nda
f (R)
R!1
! f
sa¼
glan¬r. Bu durumda 8 > 0 için çok büyük R > 0 say¬s¬vard¬r öyle ki
f (R)
f
Wpk (Rn )
<
2
(5.2.8)
gerçeklenir. Şimdi f (R) fonksiyonunun A f (R) düzgünleşmesini göz önüne alal¬m.
Bu durumda A f (R) 2 C01 (Rn ) olup Wpk (Rn ) uzay¬nda
!0
A f (R) ! f (R)
81
sa¼
glan¬r. Yani; yeterince küçük
> 0 vard¬r öyle ki
A f (R)
f (R)
<
Wpk (Rn )
(5.2.9)
2
gerçeklenir.
Son olarak (5:2:8) ve (5:2:9) ifadelerini birleştirirsek key… > 0 say¬s¬için
A f (R)
f
Wpk (Rn )
<
gerçeklenir. Dolay¬s¬yla C01 (Rn ) uzay¬n¬n Wpk (Rn ) uzay¬nda yo¼
gun olmas¬ elde
edilmiş olur.N
Not 5.2.2 Teorem 5.2.8 p = 1 için do¼
gru de¼
gildir. Örne¼
gin; Rn üzerinde f
1
olarak al¬rsak 8' 2 C01 (Rn ) için
kf
kDw f
'kW1
k (Rn )
D 'kL1 (Rn ) = kD 'kL1 (Rn ) > 0
olur.
Rn s¬n¬rl¬bölge olsun. Bu durumda
Teorem 5.2.9 (Friedrichs Eşitsizli¼
gi)
8f 2 Wpk ( ) fonksiyonu için
kf kLp (
)
0
( ( ))k @
|
X
j j=k
1 p1
kDw f kpLp ( ) A
=
{z
f
p;k;
gerçeklenir (http://www.iadm.uni-stuttgart.de, 2008).
(5.2.10)
}
gun oldu¼
gundan (5:2:10) ifadesini f 2
I·spat: C01 ( ) uzay¬ Wpk ( ) uzay¬nda yo¼
C01 ( ) fonksiyonlar¬ için ispatlamak yeterlidir. f 2 C01 ( ) fonksiyonunu alal¬m.
Q kenar uzunlu¼
gu d =
( ) ve
Q olacak şekilde bir küp olsun. Ayr¬ca f (x)
82
fonksiyonunu Qn
kümesi üzerinde s¬f¬r alarak genişletelim.
Q = fx = (x1 ; :::; xj ; :::; xn ) : 0 < xj < d; j = 1; :::; ng
olacak şekilde koordinat sistemi seçebiliriz.
0
1
x = @x1 ; :::; xn 1 ; xn A = x ; xn olmak üzere
| {z }
=x0
0
f (x) =
Zxn
@f
0
x ; y dy
@xn
0
gerçeklenir. Bu durumda
1
p
+
1
p0
= 1 olmak üzere Hölder eşitsizli¼
gi kullan¬l¬rsa
0
@
jf (x)jp
d
Zxn
@f
0
x ;y
@xn
p
0
p
0
p
Zd
1 0 x 1 p0
Zn
p
A
@
A
dy
dy
0
@f
0
x ; xn
@xn
p
dxn
0
elde edilir. Eşitsizli¼
gin her iki taraf¬n¬n Q üzerinden integrali al¬n¬rsa
Z
p
jf j dx =
Z
p
0
p
0
d @
p
jf j dx
Q
Zd
0
10
dxn A @
Z
@f
@xn
1
p
dxA = dp
Q
Z
@f
@xn
p
dx (5.2.11)
sa¼
glan¬r. Yani;
kf kLp (
0
( )@
)
Z
@f
@xn
p
1 p1
dxA
( )
f
p;1;
gerçeklenip k = 1 için (5:2:10) ifadesi ispatlanm¬ş olur. k > 1 olmak üzere (5:2:10)
ifadesini ispatlamak için (5:2:11) ifadesi ard¬ş¬k olarak uygulan¬rsa
Z
@f
@xn
p
dx
p
d
Z
83
@2f
@x2n
p
dx
:::
ve dolay¬s¬yla
Z
p
jf j dx
kp
d
Z
@kf
@xkn
p
dkp [ f
dx
p;k;
]p
gerçeklenir. Böylece istenilen ifade ispatlanm¬ş olur.N
Not 5.2.3 (5:2:10) ifadesi key… f 2 Wpk ( ) fonksiyonu için do¼
gru de¼
gildir. Örne¼
gin;
e¼
ger
s¬n¬rl¬ bölge ve f fonksiyonu derecesi (k
1) den küçük veya eşit olacak
şekilde s¬f¬rdan farkl¬bir polinom ise bu durumda
bu kf kLp (
)
f
p;k;
= 0 olmal¬d¬r. Ancak
6= 0 olmas¬gerçe¼
gi ile çelişmektedir.
5.3 Sobolev Uzaylar¬n¬n Fourier Dönüşümü Yard¬m¬yla Karakterizasyonu
= Rn oldu¼
gunda H k (Rn ) Sobolev uzaylar¬n¬Fourier dönüşümü yard¬m¬yla tan¬mlamak mümkündür. Sobolev uzaylar¬n¬n baz¬ özelliklerini ispatlamak için aşa¼
g¬da
tan¬mlayaca¼
g¬m¬z Fourier dönüşüm yöntemi oldukça yararl¬d¬r. Bu kesimde tüm
fonksiyonlar kompleks de¼
gerli kabul edilecektir.
Teorem 5.3.1 (H k Uzaylar¬n¬n Fourier Dönüşümü Yard¬m¬yla Karakterizasyonu) k 2 N0 olmak üzere
(i) f 2 L2 (Rn ) fonksiyonunun H k (Rn ) uzay¬na ait olmas¬için ,
1 + jyjk fb 2 L2 (Rn )
olmas¬d¬r.
(ii) 8f 2 H k (Rn ) için
1
kf kH k (Rn )
C
1 + jyjk fb
L2 (Rn )
olacak şekilde C > 0 sabiti vard¬r (Evans 1998).
84
C kf kH k (Rn )
(5.3.1)
I·spat: ()) f 2 H k (Rn ) oldu¼
gunu kabul edelim. Bu durumda j j
k koşulunu
sa¼
glayan 8 katl¬indeksi için Dw f 2 L2 (Rn ) dir. Bilindi¼
gi gibi f 2 C0k (Rn ) olmas¬
df = (iy) fb gerçeklenir. Düzgün fonksiyonlar uzay¬H k (Rn ) uzay¬nda
durumunda D
yo¼
gun olmas¬ndan dolay¬f 2 H k (Rn ) durumunda da
b
[
D
w f = (iy) f
k koşulunu sa¼
glayan 8 katl¬indeksi için (iy) fb 2
eşitli¼
gi sa¼
glan¬r. Dolay¬s¬yla j j
L2 (Rn ) olmal¬d¬r. Özel olarak
Z
Rn
ve dolay¬s¬yla
2k
jyj
Z
= (k; :::; 0) ; (0; k; :::; 0) ; :::; (0; :::; k) seçersek
2
fb
dy
Dk f
2
Rn
1 + jyjk
Rn
C
Z
2
fb
dx < 1
2
C kf kH k (Rn )
dy
gu görülür.
elde edilir. Buradan 1 + jyjk fb 2 L2 (Rn ) oldu¼
(() 1 + jyjk fb 2 L2 (Rn ) ve j j
(iy) fb
L2
(Rn )
Z
Rn
sa¼
glan¬r. f := (iy) fb
_
jyj2j
k oldu¼
gunu kabul edelim. Bu durumda
j
fb
2
dy
C
1 + jyjk fb
L2 (Rn )
olarak tan¬mlayal¬m. Key… ' 2 C01 (Rn ) fonksiyonu için
Teorem 2.4.3 dikkate al¬n¬rsa
Z
(5.3.2)
(D ') f dx =
Rn
Z
Rn
=
Z
Rn
\
(D
')fbdy
(iy) '
b fbdy =
85
Z
Rn
'
b gbdy =
Z
Rn
'gdx
elde edilir. Burada gb := (iy) fb olmak üzere g fonksiyonu
gb (y) = (iy) fb ) g (x) = ( 1)j
(iy) fb
j
olarak bulunur. O halde 8' 2 C01 (Rn ) için
Z
j j
f D 'dx = ( 1)
Z
_
= ( 1)j j f
f 'dx
Rn
Rn
gerçeklenir. Dolay¬s¬yla f = Dw f ve (5:3:2) ifadesinden Dw f 2 L2 (Rn ) olup f 2
H k (Rn ) elde edilir.N
Not 5.3.1
1 + jyjk fb
L2 (Rn )
fonksiyoneli H k (Rn ) uzay¬üzerinde bir norm tan¬m-
lar. Bu norm (5:3:1) ifadesine göre H k (Rn ) uzay¬n¬n k:kH k (Rn ) standart normuna
denktir.
Şimdi çok kullan¬şl¬olan kesirli Sobolev uzaylar¬n¬tan¬mlayal¬m.
Tan¬m 5.3.1 0 < s < 1 olmak üzere f 2 L2 (Rn ) olsun. E¼
ger
(1 + jyjs ) fb 2 L2 (Rn )
ise bu durumda f fonksiyonu H s (Rn ) uzay¬na aittir denir. Bu uzayda norm
kf kH s (Rn ) := (1 + jyjs ) fb
L2 (Rn )
şeklinde tan¬mlanmaktad¬r.
Tan¬m 5.3.2 X
Y olacak şekilde iki Banach uzay¬X ve Y olsun. E¼
ger 8x 2 X
için
kxkY
C kxkX
(5.3.3)
olacak şekilde C > 0 say¬s¬varsa X uzay¬ Y uzay¬na sürekli gömülür denir. X
86
Y
ile gösterilir. E¼
ger (5:3:3) ifadesi gerçekleniyor ve X uzay¬ndaki her s¬n¬rl¬ dizi Y
uzay¬nda yak¬nsak bir alt diziye sahip ise X uzay¬Y uzay¬na kompakt gömülür denir.
X
Y ile gösterilir.
Örnek 5.3.1 k >
n
2
olmak üzere H k (Rn )
C (Rn ) gerçeklenir. Yani; 8f 2 H k (Rn )
için
kf kC(Rn )
C kf kH k (Rn )
olacak şekilde C > 0 say¬s¬vard¬r.
Çözüm: C01 (Rn ) uzay¬H k (Rn ) uzay¬n¬n yo¼
gun alt uzay¬oldu¼
gundan ispat¬key…
f 2 C01 (Rn ) fonksiyonu için yapmak yeterli olacakt¬r. f fonksiyonunun Fourier ve
ters Fourier dönüşümleri s¬ras¬yla
fb(y) : =
(2 )
n
2
e
ix:y
f (x) dx
Rn
1
_
f (x) : =
Z
1
n
(2 ) 2
Z
eix:y f (y) dy
Rn
olarak tan¬mland¬g¼¬ndan
f (x) =
1
(2 )
n
2
Z
Rn
eix:y fb(y) dy
sa¼
glan¬r.
jf (x)j
C1
Z
Rn
= C1
Z
Rn
0
C1 @
fb(y) dy
1 + jyjk b
f (y) dy
1 + jyjk
Z
Rn
1 + jyjk
2
1 21 0
dy A @
87
Z
Rn
1 + jyjk
2
2
1 12
fb(y) dy A
0
= C@
Z
1 + jyjk
Rn
= C kf kH k (Rn )
Yukar¬da
Z
Rn
1
1 + jyjk
2 dy = ! n
Z1
0
2
1 12
2
fb(y) dy A
rn 1
n
dr < 1 , k >
2
2
(1 + rk )
gerçe¼
ginden faydaland¬k. Burada; ! n ifadesi Rn içindeki birim kürenin (n
1)
boyutlu Lebesgue ölçüsünü göstermektedir. Dolay¬s¬yla key… f 2 C01 (Rn ) fonksiyonu için
kf kC(Rn )
C kf kH k (Rn )
gerçeklenir.N
Örnek 5.3.2 8f 2 H n (Rn ) için
1
kf kC(Rn )
1
C kf kH2 n (Rn ) kf kL2 2 (Rn )
olacak şekilde C > 0 sabiti vard¬r.
gun alt uzay¬oldu¼
gundan ispat¬key…
Çözüm: C01 (Rn ) uzay¬H n (Rn ) uzay¬n¬n yo¼
f 2 C01 (Rn ) fonksiyonu için yapmak yeterli olacakt¬r. Key…
jf (x)j2
0
C1 @
0
= C1 @
Z
Rn
Z
n
> 0 için
12
fb(y) dy A
12
n
1 + jyj b
f (y) dy A
1 + jyjn
0R
10
Z
Z
2
n 2 b
@
A
@
C1
(1 + jyj ) f (y) dy
(1 + jyjn )
n
0R
Z
C2 @
Rn
1+
2
2
1
jyj2n fb(y) dy A
88
Rn
2
1
dy A
8
Z
C2 <
:
2
fb(y) +
Rn
1
C2
gerçeklenir.
=
kf kL
n
2 (R )
kf kH n (Rn )
2
2
(1 + jyjn ) fb(y)
2
kf k2L2 (Rn ) + kf k2H n (Rn )
dy
9
=
;
olarak al¬rsak istenilen
1
1
kf kC(Rn )
C kf kH2 n (Rn ) kf kL2 2 (Rn )
Örnek 5.3.3 s1 < s2 ise H s2 (Rn )
H s1 (Rn ) gerçeklenir.
eşitsizlik elde edilir.N
Çözüm: f 2 H s2 (Rn ) fonksiyonunu alal¬m.
Z
Rn
2
(1 + jyj ) fb(y) dy =
s1 2
Z
jyj 1
4
Z
2
(1 + jyj ) fb(y) dy +
jyj 1
< 1
s1 2
2
fb(y) dy +
Z
Z
jyj>1
jyj>1
2
2
(1 + jyjs1 ) fb(y) dy
2
2
(1 + jyjs2 ) fb(y) dy
elde edilir.N
Ayr¬ca e¼
ger s1 < s < s2 ise H s2 (Rn )
0<
< 1 olmak üzere s = s1 +(1
H s (Rn )
H s1 (Rn ) ba¼
g¬nt¬s¬da gerçeklenir.
) s2 olarak yazarsak H s (Rn ) uzay¬n¬n H s1 (Rn )
ve H s2 (Rn ) uzaylar¬n¬n interpolasyonu oldu¼
gu gösterilebilir. Aşa¼
g¬daki teoremde bu
ispatlanm¬şt¬r. Ayr¬ca teoremin ispat¬nda a
0; b
0; p
1 için ap + bp
(a + b)p
denkli¼
gi kullan¬lm¬şt¬r.
Teorem 5.3.2 1
s1 < s2 ve 0 <
< 1 olmak üzere s = s1 + (1
E¼
ger f 2 H s2 (Rn ) ise
kf kH s (Rn )
1
C kf kH s1 (Rn ) kf kH
s2 (Rn )
89
) s2 olsun.
olacak şekilde C > 0 say¬s¬vard¬r.
I·spat: f 2 H s2 (Rn ) olsun. Bu durumda f 2 H s (Rn ) ve f 2 H s1 (Rn ) sa¼
glan¬r.
Z
Rn
2
(1 + jyj ) fb(y) dy
s 2
C1
Z
Rn
= C1
Z
Rn
1 + jyj2
1 + jyj2
s
2
fb(y) dy
s1 +(1
)s2
fb(y)
2 +2(1
dy
olarak yaz¬labilir.
1 + jyj2
1 + jyj2
1
ile
1
1
(1
)s2
s1
fb(y)
fb(y)
2
2(1
2 L 1 (Rn )
)
2 L
(Rn )
1
1
eşlenik üsler oldu¼
gundan Hölder eşitsizli¼
gi kullan¬l¬rsa
Z
Rn
2
2
(1 + jyjs ) fb(y) dy
0
C1 @
0
@
C2 @
@
Rn
Z
Rn
0
0
Z
Z
Rn
Z
Rn
1 + jyj2
1 + jyj2
2
s1
s2
1
11
2
(1 + jyjs2 ) fb(y) dy A
2(1
1
C kf kH s1 (Rn ) kf kH
s2 (Rn )
90
2
2
(1 + jyjs1 ) fb(y) dy A
elde edilir. Dolay¬s¬yla istenilen
eşitsizli¼
gi gerçeklenir.N
2
11
fb(y) dy A
)
= C2 kf k2H s1 (Rn ) kf kH s2 (Rn )
kf kH s (Rn )
1
fb(y) dy A
2
)
5.4 Sobolev Uzaylar¬nda Denk Normlar
S¬n¬r de¼
ger problemleri ile ilgili çal¬şmalarda Sobolev uzaylar¬üzerindeki denk normlar¬kullanmak genel olarak yarar sa¼
glamaktad¬r. Sobolev uzaylar¬üzerindeki denk
normlar¬ elde etmek amac¬yla birçok sonuç elde edilmiştir. Denk normlarla ilgili
çal¬şmalar¬m¬za başlamadan önce 1
jujWpk (
)
p < 1 için Wpk ( ) uzay¬üzerinde
0
:= @
X
j j=k
1 p1
kDw ukpLp ( ) A
şeklinde tan¬ml¬yar¬normu hat¬rlatal¬m. Teorem 4.2.13 dikkate al¬nd¬g¼¬nda e¼
ger
ba¼
glant¬l¬ve jujWpk (
)
= 0 ise bu durumda u fonksiyonu
içinde der u (x)
k
1
olacak şekilde bir polinomdur.
Tan¬m 5.4.1 (Yar¬ Norm) V lineer uzay¬ üzerinde tan¬ml¬ fonksiyonel ' olsun.
E¼
ger ' fonksiyoneli
(i) 8x 2 V için 0
' (x) < 1
(ii) 8x 2 V ve 8 2 R için ' ( x) = j j ' (x)
(iii) 8x1 ; x2 2 V için ' (x1 + x2 )
' (x1 ) + ' (x2 )
özelliklerini gerçekliyorsa ' fonksiyoneline yar¬norm denir.
Sobolev gömme teoremi modern analiz ve s¬n¬r de¼
ger problemleri için oldukça önemlidir. "Bir f fonksiyonu Wpk ( ) Sobolev uzay¬na ait ise bu fonksiyon belirli başka
bir uzaya ait midir? " sorusunu dikkate alal¬m. Bu sorunun cevab¬evettir. Aşa¼
g¬da
ifade edilen Sobolev gömme teoremi ilerleyen k¬s¬mlarda kullan¬lacak olup oldukça
detayl¬bir ispata sahip oldu¼
gundan burada ispata yer verilmeyecektir.
91
Rn s¬n¬rl¬, aç¬k ve C 1 s¬n¬f¬na
Teorem 5.4.1 (Sobolev Gömme Teoremi)
ait küme olsun. Ayr¬ca p
(i) k
(ii) k
r
r
(iii) p (k
n
p
+
n
p
n
q
+
n
q
1; 1
q < 1 ve 0
0 ise bu durumda Wpk ( )
r < k sa¼
glans¬n.
Wqr ( ) gömülmesi süreklidir.
> 0 ise bu durumda Wpk ( )
r) > n ise bu durumda Wpk ( )
Wqr ( ) gömülmesi kompaktt¬r.
Cr
gömülmesi kompaktt¬r.
(http://www.iadm.uni-stuttgart.de, 2008)
Not 5.4.1 (Özel durumlar) r = 0 olsun.
(i) pk < n olsun. k
n
p
+ qn = 0 , q =
np
n kp
olmas¬d¬r. pk < n oldu¼
gundan q < 1
dur. Bu durumda q < q için
Wpk ( )
Lq ( )
gömülmesi kompaktt¬r. q = q olmas¬durumunda ise
Wpk ( )
Lq ( )
gömülmesi süreklidir.
(ii) pk = n ise bu durumda q = 1 olur. Bu durumda 8q < 1 için
Wpk ( )
Lq ( )
gömülmesi kompaktt¬r.
92
(iii) pk > n ise bu durumda
Wpk ( )
C
gömülmesi kompaktt¬r.
(iv) q = p, r < k olsun. Bu durumda
Wpk ( )
Wpr ( )
gömülmesi kompaktt¬r. Özel durumda k
1 için
Wpk ( )
Lp ( )
gömülmesi de kompaktt¬r.
Rn s¬n¬rl¬, aç¬k, ba¼
glant¬l¬ve C 1 s¬n¬f¬na ait küme olsun. Kabul
Teorem 5.4.2
edelim ki 1
l
g¬daki iki koşulu sa¼
glas¬n:
N için fl : Wpk ( ) ! R yar¬normlar¬aşa¼
(i) 8u 2 Wpk ( ) ve 1
l
(ii) u fonksiyonu der u (x)
N için fl (u)
k
C kukWpk (
)
1 olacak şekilde bir polinom ve 1
l
N için
fl (u) = 0 ) u = 0
Bu durumda
kuk = jujWpk (
veya
kuk(1) =
(
jujpW k (
p
)+
N
X
(5.4.1)
fl (u)
l=1
)
+
N
X
flp (u)
l=1
Wpk ( ) üzerinde norm tan¬mlar. Bu normlar k:kWpk (
93
) p1
)
(5.4.2)
standart normuna denktir.
I·spat: (5.4.1) ifadesi ile tan¬ml¬fonksiyonel homojen olup üçgen eşitsizli¼
gini gerçekler. kuk = 0 ise bu durumda j j = k olacak şekilde her
fonksiyonu der u (x)
k
1 olacak şekilde bir polinom ve 1
katl¬ indeksi için u
N için fl (u) = 0
l
olmal¬d¬r. Bundan dolay¬hipotez (ii) den u = 0 olur. Dolay¬s¬yla (5.4.1) ifadesi ile
tan¬ml¬fonksiyonel Wpk ( ) uzay¬üzerinde norm tan¬mlar.
Hipotez (i) den 8u 2 Wpk ( ) için
kuk
C1 kukWpk (
)
olacak şekilde C1 > 0 sabiti vard¬r. Dolay¬s¬yla 8u 2 Wpk ( ) için
kukWpk (
C2 kuk
)
(5.4.3)
olacak şekilde C2 > 0 sabitinin varl¬g¼¬n¬göstermek yeterli olacakt¬r. Ancak (5.4.3)
ifadesinin var olmad¬g¼¬n¬kabul edelim. Bu durumda fum g1
m=1
Wpk ( ) fonksiyon-
lar dizisi vard¬r öyle ki
m kum k
sa¼
glan¬r. 8m 2 N için vm :=
um
kum kW k (
p
kum kWpk (
(5.4.4)
)
olarak tan¬mlarsak (5.4.4) ifadesinden
)
kvm kWpk (
)
kvm k
(5.4.5)
= 1
1
m
(5.4.6)
gerçeklenip dolay¬s¬yla (5.4.5) ve (5.4.6) ifadelerini sa¼
glayan fvm g1
m=1
Wpk ( )
dizisi vard¬r. (5.4.6) ifadesinde m ! 1 için
jvm jWpk (
)
! 0
81
sa¼
glanmal¬d¬r.
Wpk ( )
Wpk
l
1
(5.4.7)
N için fl (vm ) ! 0
(5.4.8)
( ) gömülmesinin kompakt olmas¬ ve (5.4.5)
ifadesi göz önüne al¬nd¬g¼¬nda vmj alt dizisi vard¬r öyle ki Wpk
94
1
( ) uzay¬nda
j ! 1 için
vmj ! v0 2 Wpk
1
(5.4.9)
( )
gerçeklenir. Di¼
ger yandan (5.4.7) ifadesi dikkate al¬nd¬g¼¬nda j j = k olacak şekilde
her
katl¬indeksi için
Dw vmj
j!1
!0
Lp ( )
(5.4.10)
sa¼
glanmal¬d¬r.
Lp ( ) uzay¬nda Dw operatörü kapal¬oldu¼
gundan j j = k olacak şekilde her
katl¬
indeksi için Dw v0 = 0 gerçeklenir. Bu durumda (5.4.9) ve (5.4.10) ifadelerinden
Wpk ( ) uzay¬nda j ! 1 için
vmj ! v0
v0 ; der v0 (x)
k
1 olacak şekilde polinom
(5.4.11)
sa¼
glan¬r. (5.4.8) ifadesinden j ! 1 için fl vmj ! 0 gerçeklenir. Hipotez (i) den
81
l
N için fl yar¬ normlar¬ sürekli olup dolay¬s¬yla fl vmj
j!1
! fl (v0 ) elde
edilir. O halde fl (v0 ) = 0 olmal¬d¬r. Hipotez (ii) dikkate al¬n¬rsa v0 = 0 gerçeklenir.
Ancak bu (5.4.11) ifadesi dikkate al¬nd¬g¼¬nda (5.4.5) ifadesi ile çelişir. Dolay¬s¬yla
(5.4.1) ifadesi ile tan¬ml¬norm Sobolev uzay¬üzerinde tan¬mlanan standart norma
denktir.N
2 olmak üzere f1 (u) := kukLp (
Not 5.4.2 k
)
olarak tan¬mlayal¬m. f1 fonksiyoneli
Wpk ( ) üzerinde yar¬ norm tan¬mlar. Ayr¬ca Teorem 5.4.2 nin (i) ve (ii) şartlar¬
sa¼
gland¬g¼¬ndan
0
kuk(1) = @
X
j j=k
normu k:kWpk (
)
kDw ukpLp (
)
1 p1
+ kukpLp ( ) A
(5.4.12)
standart normuna denktir. Buradan görülmektedir ki 0 < j j < k
koşulunu sa¼
glayan her
katl¬ indeksi için kDw ukLp (
norm ile de¼
gerlendirilebilir.
95
)
ifadesi (5.4.12) ifadesindeki
6. SOBOLEV UZAYLARINDA YAKLAŞIM
Sobolev uzaylar¬n¬n daha fazla özelliklerini incelemek için düzgün fonksiyonlar yard¬m¬yla
Sobolev uzay¬içindeki bir fonksiyona yaklaş¬m probleminin geliştirilmesine ihtiyaç
vard¬r. Sobolev uzay¬na ait fonksiyonlar¬içeren eşitsizliklerin ispat¬nda genelde ilk
olarak düzgün fonksiyonlar için eşitsizlik elde edilip daha sonra yo¼
gunluk yard¬m¬yla
istenilen eşitsizlik bulunur. Bu yöntemin dayand¬g¼¬temel ilke Sobolev uzaylar¬nda
düzgün fonksiyonlar¬n yo¼
gun olmas¬gerçe¼
gidir.
6.1 Friedrichs Yaklaş¬m Teoremi Ve Uygulamalar¬
p < 1 olmak üzere f 2 Wp1 ( ) olsun. Bu
Teorem 6.1.1 (Friedrichs) 1
durumda ffm g1
m=1
C01 (Rn ) fonksiyonlar dizisi vard¬r öyle ki Lp ( ) uzay¬nda
fm
ve 8
1
, 81
i
n için Lp (
1)
@fm
@xi
m!1
! f
uzay¬nda
@f
@xi
m!1
!
w
gerçeklenir (Kesevan 1989).
I·spat: 1.Ad¬m
8
< f (x) ;
x2
f0 (x) :=
: 0
; x 2 Rn n
!0
olarak tan¬mlayal¬m. Bu durumda Lp (Rn ) uzay¬nda A f0 ! f0 gerçeklenir. Dolay¬s¬yla
Lp ( ) uzay¬nda A f0
1
şekilde
!0
! f sa¼
glan¬r. j j = 1 olacak şekilde
olsun. Bu durumda d (
1; @
) > 0 olmal¬d¬r. d (
> 0 say¬s¬n¬ belirleyelim. x 2
olup Teorem 4.2.7 yard¬m¬yla
1
1
)>
> 0 olacak
olmas¬ durumunda A f0 (x) = A f (x)
üzerinde
D A f0 = A (Dw f )
96
1; @
katl¬ indeks ve
gerçeklenir. Buradan Lp (
uzay¬nda
1)
!0
D A f0 ! Dw f
elde edilir.
2.Ad¬m Birinci ad¬mda m ! 1 için
m!1
! f
gm
ve 8
için Lp (
1
1)
! 0 olmak üzere Lp ( ) uzay¬nda
m
uzay¬nda
@gm
@xi
@f
@xi
m!1
!
w
1
olacak şekilde fgm g1
m=1 := fA m f0 gm=1 fonksiyonlar dizisi kurmuştuk.
Şimdi 0
1; B (0; 1) üzerinde
1 ve supp
B (0; 2) olacak şekilde
C01 (Rn ) fonksiyonunu göz önüne alal¬m. Ayr¬ca 8m 2 N için
üzere f
1
m gm=1
m
(x) :=
x
m
2
olmak
C01 (Rn ) fonksiyonlar dizisini tan¬mlayal¬m. Bu durumda 8m 2 N
için
fm :=
m gm
2 C01 (Rn )
1
olmal¬d¬r. Dolay¬s¬yla ffm g1
m=1 fonksiyonlar dizisi fgm gm=1 fonksiyonlar dizisi ile
ayn¬yak¬nsakl¬k özelli¼
gine sahiptir. Gerçekten;
kfm
B (0; m) üzerinde
jfm j
m
f kLp (
)
kfm
gm + gm
kgm
f kLp (
)
f kLp (
+ kfm
)
gm kLp (
)
(6.1.1)
1 oldu¼
gundan B (0; m) üzerinde fm = gm sa¼
glan¬r. Ayr¬ca
jgm j olmas¬da dikkate al¬n¬rsa m ! 1 için
97
kfm
gm kLp (
0
B
= @
)
0
B
@
Z
1 p1
Z
1 p1
Z
fx:jxj>mg\
8 0
>
>
>
>
>
B
>
>
@
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
0
C
B
jfm (x)jp dxA + @
fx:jxj>mg\
B
2@
! 0
C
gm (x)jp dxA
jfm (x)
fx:jxj>mg\
0
2
1 p1
Z
C
jgm (x)jp dxA
fx:jxj>mg\
C
jgm (x)jp dxA
fx:jxj>mg\
0
B
+@
1 p1
Z
1 p1 9
>
>
>
C >
>
p
jgm (x) f (x)j dxA >
>
>
>
=
1 p1
>
>
Z
>
>
>
C
p
>
jf (x)j dxA
>
>
>
;
fx:jxj>mg\
elde edilir. O halde (6:1:1) ifadesi göz önüne al¬n¬rsa Lp ( ) uzay¬nda fm
m!1
! f
sa¼
glan¬r. Ayr¬ca
@fm
@xi
@f
@xi
w Lp (
1)
gerçeklenip B (0; m) üzerinde
@fm
@xi
@gm
@xi
Lp (
1)
@gm
@xi
@fm
@xi
@fm
@xi
0
= @
0
B
= @
=
Z
+
Lp (
1)
@gm
@xi
@f
@xi
(6.1.2)
w Lp (
@gm
@xi
sa¼
gland¬g¼¬için m ! 1 iken
@(
p
m gm )
@xi
@gm
@xi
1
Z
@ m
gm +
@xi
1 \fx:jxj>mg
98
1)
1 p1
dxA
@gm
m
@xi
@gm
@xi
p
1 p1
C
dxA
0
B
@
Z
p
1 \fx:jxj>mg
0
B
+@
maxn
x2R
Z
@ m
C
gm dxA
@xi
m
@gm
@xi
@gm
@xi
p
1 \fx:jxj>mg
0
@ m B
@
@xi
+maxn j
x2R
1 p1
m
C
dxA
1 p1
Z
1 \fx:jxj>mg
0
B
1j @
1 p1
Z
C
jgm jp dxA
@gm
@xi
1 \fx:jxj>mg
8 0
>
>
>
>
B
>
>
>
@
>
>
<
p
1 p1
C
dxA
1 p1 9
>
>
Z
>
C >
>
p
jgm f j dxA >
>
>
>
=
x
1
0
1 \fx:jxj>mg
maxn
0
1 p1
>
m x2R
m >
>
>
Z
>
>
>
>
>
>
B
C
p
>
>
+
jf
j
dx
>
>
@
A
>
>
>
>
:
;
\fx:jxj>mg
1
8 0
1 p1 9
>
>
>
>
Z
>
>
p
>
>
>
B
C
>
@g
@f
m
>
>
dx
>
>
@
A
@x
@x
>
>
i
i w
>
>
<
=
1 \fx:jxj>mg
+2
0
1 p1
>
>
>
>
Z
>
>
p
>
>
>
>
B
C
@f
>
>
+
dx
>
>
@
A
>
>
@x
i
>
>
w
:
;
! 0
1 \fx:jxj>mg
elde edilir. Dolay¬s¬yla (6:1:2) ifadesi göz önüne al¬n¬rsa Lp (
@fm
@xi
m!1
!
@f
@xi
1)
uzay¬nda
w
gerçeklenir. Böylece ispat tamamlanm¬ş olur.N
Şimdi yukar¬da verilen Friedrichs yaklaş¬m teoreminin temel baz¬ uygulamalar¬n¬
verelim.
99
Teorem 6.1.2 (Zincir Kural¬) g 2 C 1 (R) öyle ki g (0) = 0 ve 8s 2 R için
0
M olsun. 1
g (s)
p < 1 olmak üzere e¼
ger f 2 Wp1 ( ) ise bu durumda
g f 2 Wp1 ( )
ve 1
i
n için
@
(g f )
@xi
= g
0
@f
@xi
f
w
w
gerçeklenir.
0
I·spat: s 2 R için g (s)
M ve g (0) = 0 oldu¼
gundan ortalama de¼
ger teoreminden
8s 2 R için
jg (s)j
M jsj
elde edilir. Buradan 8x 2 R için
j(gof ) (x)j = jg (f (x))j
M jf (x)j
olup dolay¬s¬yla g f 2 Lp ( ) gerçeklenir. Benzer olarak 1
g
0
@f
@xi
f
w
i
2 Lp ( )
bulunur. Di¼
ger yandan Teorem 6.1.1 göz önüne al¬n¬rsa ffm g1
m=1
yonlar dizisi vard¬r öyle ki Lp ( ) uzay¬nda
fm
ve 8
1
, 81
i
n için Lp (
1)
@fm
@xi
m!1
! f
uzay¬nda
m!1
!
gerçeklenir.
100
n için
@f
@xi
w
C01 (Rn ) fonksi-
' 2 C01 ( ) fonksiyonunu alal¬m ve daha sonra supp'
olacak şekilde
1
1
kümesi seçelim. 8m 2 N için fm fonksiyonlar¬düzgün fonksiyon oldu¼
gundan k¬smi
integrasyon ve klasik anlamda bilinen zincir kural¬ndan
Z
Z
@'
(g fm )
dx =
@xi
Z
@'
(g fm )
dx =
@xi
1
elde edilir. j(g fm ) (x)
uzay¬nda g fm
m!1
oldu¼
gundan Lp (
1)
g
0
fm
@fm
'dx
@xi
(6.1.3)
1
M jfm (x)
(g f ) (x)j
! g f sa¼
glan¬r. Ayr¬ca g
0
f (x)j gerçeklendi¼
ginden Lp ( )
fm fonksiyonu M ile düzgün s¬n¬rl¬
uzay¬nda
g
0
fm
@fm
@xi
m!1
!
g
0
@f
@xi
f
w
gerçeklenir. Gerçekten;
g
0
g
g
0
fm
@fm
@xi
@f
@xi
fm
0
f
@fm
@xi
@f
@xi
0
M@
0
+@
Z
g
0
@f
@xi
fm
w Lp (
Lp (
@f
@xi
1)
p
@f
@xi
@fm
@xi
@f
@xi
fm
w
w
p
g
0
g
0
@f
@xi
fm
w
fm
w
1
g
0
w
f
Lp (
1)
1 p1
dxA
1
Z
0
1)
+
w
+ g
g
0
p
f
1 p1
dxA
(6.1.4)
olup (6:1:4) ifadesinin sa¼
g taraf¬ndaki ilk terim m ! 1 için s¬f¬ra yaklaş¬r. Di¼
ger
yandan ffm g1
m=1
Lp (
1)
oldu¼
gundan ffm g1
m=1 fonksiyonlar dizisinin bir alt dizisi
vard¬r (bu alt diziyi tekrardan fm olarak numaraland¬ral¬m) öyle ki
fm
m!1
! f
101
1
içinde h:h:h:
0
sa¼
glan¬r. Ayr¬ca g sürekli oldu¼
gundan
g
0
içinde h:h:h:
1
fm
m!1
! g
0
f
gerçeklenir. Sonuç olarak Lebesgue bask¬n yak¬nsakl¬k teoreminden (6:1:4) ifadesinin
sa¼
g taraf¬ndaki ikinci ifade de s¬f¬ra yaklaş¬r. Dolay¬s¬yla (6:1:3) ifadesinde limite
geçebiliriz. Böylece istenilen elde edilir.N
p < 1 olmak üzere f 2 Wp1 ( ) fonksiyonu öyle bir K
Teorem 6.1.3 1
kompakt kümesi d¬ş¬nda f
I·spat: K
0 olsun. Bu durumda f 2 Wp1 ( ) gerçeklenir.
olacak şekilde
1
1 olacak şekilde ' 2 C01 (
'
1
1)
kümesini belirleyelim. K kümesi üzerinde
kesme fonksiyonunu göz önüne alal¬m. Bu
durumda 'f = f eşitli¼
gi sa¼
glan¬r. Teorem 6.1.1 yard¬m¬yla ffm g1
m=1
C01 (Rn )
fonksiyonlar dizisi vard¬r öyle ki Lp ( ) uzay¬nda
fm
ve
1
, 81
i
n için Lp (
1)
@fm
@xi
m!1
! f
uzay¬nda
m!1
!
@f
@xi
w
gerçeklenir. Dolay¬s¬yla Wp1 ( ) uzay¬nda
'fm
m!1
! 'f
sa¼
glan¬r. Ayr¬ca 'fm 2 C01 ( ) oldu¼
gundan 'f = f 2 Wp1 ( ) gerçeklenir.N
102
Teorem 6.1.4 (Stampacchia) g : R ! R, g (0) = 0 olacak şekilde Lipschitz sürekli
s¬n¬rl¬ve 1 < p < 1 için f 2 Wp1 ( ) ise
fonksiyon g olsun. E¼
ger
gof 2 Wp1 ( )
gerçeklenir.
I·spat: f 2 Wp1 ( ) fonksiyonunu alal¬m. Bu durumda Wp1 ( ) uzay¬nda
fm
olacak şekilde ffm g1
m=1
8m 2 N için gm := g
m!1
! f
C01 ( ) fonksiyonlar dizisi vard¬r.
fm fonksiyonlar¬ tan¬mlans¬n. fm fonksiyonlar¬ kompakt
destekli ve g (0) = 0 oldu¼
gundan gm fonksiyonlar¬da kompakt desteklidir. Ayr¬ca g
Lipschitz sürekli ve fm 2 C01 ( ) olmas¬ndan dolay¬gm fonksiyonlar¬da Lipschitz
süreklidir. Gerçekten; 8x; y 2
jgm (x)
için
gm (y)j = jg (fm (x))
K jfm (x)
Km jx
g (fm (y))j
fm (y)j
yj
d¬r. Dolay¬s¬yla gm 2 Lp ( ) sa¼
glan¬r. Buna ek olarak 1
i
n için
@gm
@xi
Km ve
s¬n¬rl¬oldu¼
gundan
@gm
2 Lp ( )
@xi
gerçeklenir. Böylece 8m 2 N için gm 2 Wp1 ( ) olup gm fonksiyonlar¬ kompakt
destekli oldu¼
gundan Teorem 6.1.3 yard¬m¬yla gm 2 Wp1 ( ) elde edilir.
jgm (x)
(g f ) (x)j = jg (fm (x))
eşitsizli¼
ginden dolay¬Lp ( ) uzay¬nda gm
g (f (x))j
m!1
103
K jfm (x)
! g f sa¼
glan¬r.
f (x)j
Rn içindeki i -inci standart baz vektörü ei olmak üzere
jgm (x + hei )
jhj
gm (x)j
K
jfm (x + hei )
jhj
fm (x)j
ve dolay¬s¬yla
lim sup
m!1
gerçeklenir.
n
@fm
@xi
@gm
@xi
Klim sup
m!1
Lp ( )
@fm
@xi
(6.1.5)
Lp ( )
o1
fonksiyonlar dizisi Lp ( ) uzay¬nda yak¬nsak oldu¼
gundan
n
o1
m
(6:1:5) ifadesi göz önüne al¬n¬rsa 81 i n için @g
dizisinin s¬n¬rl¬olmas¬
@xi
m=1
m=1
elde edilir. Not 5.2.1 yard¬m¬yla
g f 2 Wp1 ( )
ve Lp ( ) uzay¬nda
@gm
@xi
m!1
!
@ (g f )
@xi
w
oldu¼
gu görülür. Dolay¬s¬yla Wp1 ( ) uzay¬nda fgm g1
m=1 dizisi yak¬nsak olup g
f 2
Wp1 ( ) gerçeklenir.N
Sonuç 6.1.1
Rn s¬n¬rl¬, aç¬k küme ve f 2 H01 ( ) olsun. f + ; f
fonksiyonlar¬
f + (x) : = max ff (x) ; 0g ;
f (x) : = max f f (x) ; 0g
olarak tan¬mlans¬n. Bu durumda jf j ; f + ; f 2 H01 ( ) gerçeklenir.
I·spat: p = 2 ve g (t) = jtj alarak Teorem 6.1.4 ü uygulayal¬m. f 2 H01 ( ) oldu¼
gundan jf j 2 H01 ( ) elde edilir. Ayr¬ca
f+ =
jf j + f
jf j f
; f =
2
2
oldu¼
gu göz önüne al¬n¬rsa f + ; f 2 H01 ( ) gerçeklenir.N
104
Rn aç¬k küme ve 1
Teorem 6.1.5
k
Bu durumda Wp;loc
( ) uzay¬nda
p < 1 olmak üzere f 2 Wpk ( ) olsun.
! 0+ için
A f !f
gerçeklenir.
I·spat: I·lk olarak j j
k koşulunu sa¼
glayan her
D A f =!
(6.1.6)
Dw f
0
Z
@
D A f (x) = D
! (x
Z
Dx ! (x
j j
= ( 1)
sa¼
glan¬r. Sabitlenmiş x 2
üzerinde
için
oldu¼
gunu ispatlayal¬m. Key… x 2
=
katl¬indeksi için
Z
1
y) f (y) dy A
y) f (y) dy
Dy ! (x
y) f (y) dy
noktas¬için ' (y) := ! (x
y) ile tan¬mlanan
' fonksiyonu C01 ( ) uzay¬na aittir. Dolay¬s¬yla zay¬f türev tan¬m¬ndan
Z
Dy ! (x
j j
y) f (y) dy = ( 1)
Z
! (x
y) Dw f (y) dy
yaz¬labilir. Bu eşitlik (6:1:7) ifadesinde göz önüne al¬n¬rsa
j j+j j
D A f (x) = ( 1)
= [!
Z
! (x
Dw f ] (x)
(6:1:6) ifadesi elde edilmiş olur.
105
y) Dw f (y) dy
(6.1.7)
Şimdi
olacak şekilde
1
ve Sonuç 3.2.2 yard¬m¬yla Lp (
1)
1
aç¬k kümesi seçelim. Bu durumda (6:1:6) ifadesi
uzay¬nda
! 0+ için
D A f ! Dw f
gerçeklenir. Dolay¬s¬yla
kA f
! 0+ için
f kpW k (
p
1)
=
X
j j k
kD A f
Dw f kpLp (
1)
!0
sa¼
glan¬p istenilen elde edilir.
6.2 Düzgün Fonksiyonlar Yard¬m¬yla Yaklaş¬m
Bu kesimde Wpk ( ) uzay¬na ait bir fonksiyona yak¬nsayan düzgün fonksiyonlar¬n
varl¬g¼¬ üzerinde durulacakt¬r. Ayr¬ca belirtelim ki ilk olarak burada @
s¬n¬r¬n¬n
düzgünlü¼
gü için herhangi bir kabulde bulunulmayacakt¬r. Ancak daha sonra key…
Rn s¬n¬rl¬, aç¬k kümesi için C 1
ca¼
g¬gösterilmiş (Amick 1979) ve @
uzay¬n¬n Wpk ( ) uzay¬nda yo¼
gun olamayas¬n¬r¬n¬n düzgün olmas¬durumunda yo¼
gunlu¼
gun
sa¼
gland¬g¼¬ispatlanm¬şt¬r.
Teorem 6.2.1
Rn s¬n¬rl¬, aç¬k küme ve 1
p < 1 olmak üzere f 2 Wpk ( )
olsun. Bu durumda 8m 2 N için
fm 2 C 1 ( ) \ Wpk ( )
k
olacak şekilde ffm g1
m=1 fonksiyonlar dizisi mevcut olup Wp ( ) uzay¬nda m ! 1
için
fm ! f
gerçeklenir.
106
I·spat:
i
olmak üzere
=
1
[
i
:=
x2
: d (x; @ ) >
1
i
olarak yaz¬labilir.
i=1
Vi :=
i+3 n
i+1
=
x2
:
1
1
< d (x; @ ) <
i+3
i+1
kümelerini tan¬mlayal¬m.
Ayr¬ca
=
1
[
Vi olacak şekilde V0
aç¬k kümesini seçelim. Bu durumda
i=0
fVi g1
gl¬ birimin düzgün parçalanmas¬ f i g1
i=0 aç¬k kümelerine ba¼
i=0 olsun. Yani;
kabul edelim ki
8
>
>
< (i)
8i 2 N0 için 0
1
X
>
üzerinde
>
: (ii)
i
i
1;
i
2 C01 (Vi )
(6.2.1)
=1
i=0
olsun. Şimdi f 2 Wpk ( ) fonksiyonunu seçelim. Teorem 5.2.1 in (ii) ifadesinden
if
2 Wpk ( ) ve supp ( i f )
Vi oldu¼
gu görülür.
> 0 say¬s¬n¬ sabitleyelim. Daha sonra yeterince küçük
f i := !
i
( i f ) ile tan¬ml¬ f i fonksiyonu Wi :=
i+4 n
i
> 0 seçelim öyle ki
i
Vi (i = 1; 2; :::) ve
W0 = ; için
8
i
< kf i
i f kWpk ( ) = kf
: supp (f i ) W
i f kWpk (Wi )
2i+1
; (i = 0; 1; :::)
(6.2.2)
; (i = 1; 2; :::)
i
özelliklerini gerçeklesin.
g :=
1
X
f i fonksiyonunu tan¬mlayal¬m. Bu durumda her bir V
aç¬k kümesi
i=0
için toplam¬n içinde en fazla sonlu adette terim s¬f¬rdan farkl¬ olmas¬ndan dolay¬
1
X
1
g 2 C ( ) sa¼
glanmal¬d¬r. Ayr¬ca f =
i f olmas¬ndan dolay¬her bir V
i=0
107
için
kg
1
X
f kWpk (V ) =
fi
if
i=0
1
X
i=0
1
X
i=0
=
Wpk (V )
fi
if
Wpk ( )
1
2i+1
gerçeklenir. Teorem 2.3.2 göz önüne al¬n¬rsa kg
f kWpk (
elde edilir.N
)
Bu kesimde ayr¬ca Wpk ( ) uzay¬n¬n elemanlar¬na düzgün fonksiyonlar yard¬m¬yla
yaklaş¬l¬p yaklaş¬lamayaca¼
g¬örneklendirilecektir. Daha aç¬k olarak C 1
gun olup olmad¬g¼¬ üzerinde durulacakt¬r.
Wpk ( ) uzay¬nda yo¼
uzay¬n¬n
R2 s¬n¬rl¬, aç¬k
küme olmak üzere aşa¼
g¬daki örnek göstermektedir ki böyle bir yaklaş¬m¬n olmas¬
için
kümesinin s¬n¬r¬olan @
Örnek 6.2.1 U
üzerinde baz¬koşullar gereklidir.
R2 öyle ki
U := (x1 ; x2 ) 2 R2 : x1 2 ( 1; 1) ; x2 2 (0; 2) n (x1 ; x2 ) 2 R2 : x1 = 0; x2 2 (0; 1]
kümesi ve
: R ! [0; 1],
olacak şekilde
8
< 1 ; t<
(t) :=
: 0 ; t>
1
2
3
4
2 C 1 (R) fonksiyonu verilsin. Ayr¬ca p
f (x1 ; x2 ) :=
8
<
:
(x2 ) ;
0
1 olmak üzere
x1 > 0
; U n f(x1 ; x2 ) 2 R2 : x1 > 0g
f 2 Wp1 (U ) fonksiyonu tan¬mlans¬n. Şimdi kabul edelim ki f fonksiyonuna Wp1 (U )
uzay¬nda yak¬nsak olan ffm g1
m=1
C 1 U fonksiyonlar dizisi mevcut olsun. Bu
108
durumda h:h:h: x2 2 0; 12 için
lim
Z1
fm (x1 ; x2 )jp + jfm ( x1 ; x2 )jp g dx1 = 0
(6.2.3)
fjD1 fm (x1 ; x2 )jp + jD1 fm ( x1 ; x2 )jp g dx1 = 0
(6.2.4)
m!1
lim
0
1
Z
m!1
fj1
0
sa¼
glan¬r. Ayr¬ca 8 (x1 ; x2 ) 2 (0; 1)
fm (x1 ; x2 )
(0; 2) için
fm ( x1 ; x2 ) =
Zx1
D1 fm (x1 ; x2 ) dx1
x1
gerçeklenir. Buradan
jfm (x1 ; x2 )
fm ( x1 ; x2 )j
Zx1
jD1 fm (x1 ; x2 )j dx1
x1
Z1
jD1 fm (x1 ; x2 )j dx1
1
0
C@
= C
= C
Z1
1
8 0
<Z
:
jD1 fm (x1 ; x2 )jp dx1 A
jD1 fm (x1 ; x2 )jp dx1 +
1
8 1
<Z
:
1 p1
Z1
jD1 fm (x1 ; x2 )jp dx1
0
jD1 fm ( x1 ; x2 )jp dx1 +
0
Z1
0
lim
m!1
p
jfm (x1 ; x2 )j dx1 = lim
Z1
m!1
1
jfm (x1 ; x2 )jp dx1
0
sa¼
glanmal¬d¬r. Ancak bu (6.2.3) ifadesi ile çelişir. Dolay¬s¬yla 8p
uzay¬Wp1 (U ) uzay¬nda yo¼
gun de¼
gildir. Di¼
ger yandan Wpk (U )
109
;
jD1 fm (x1 ; x2 )jp dx1
olmas¬ndan dolay¬(6.2.4) ifadesi dikkate al¬nd¬g¼¬nda h:h:h: x2 2 0; 21 için
Z0
9 p1
=
1 için C 1 U
Wp1 (U ) gömülmesi
9 p1
=
;
sürekli oldu¼
gundan 8k; p
gun
1 için C 1 U \ Wpk (U ) uzay¬Wpk (U ) uzay¬nda da yo¼
de¼
gildir.N
Not 6.2.1 Yukar¬da tan¬mlanan U kümesinden kaynaklanan zorluklar¬n nedeni
@U 6= @U olmas¬d¬r. Dolay¬s¬yla bu not Fraenkel taraf¬ndan ortaya at¬lan
uzay¬Wpk ( ) uzay¬nda yo¼
gun olmayacak şekilde @
"C 1
= @ koşulunu sa¼
glayan
R2 s¬n¬rl¬kümesi var m¬d¬r?"
sorusu ile ilişkilidir.
kp > 2 olmas¬durumunda C 1
@
=@
koşulunu sa¼
glayan
gun olmayacak şekilde
uzay¬Wpk ( ) uzay¬nda yo¼
R2 s¬n¬rl¬kümesinin mevcut oldu¼
gunu ispatlaya-
l¬m. Bu ifadenin yerine daha güçlü bir ifade olan kp > 2 olmas¬durumunda
C
gun olamayaca¼
g¬n¬ispatlamak yeter\ Wpk ( ) uzay¬n¬n Wpk ( ) uzay¬nda yo¼
lidir.
Şekil 6.1 @A s¬n¬r¬C 1 s¬n¬f¬ndan olmayan k•
ume
Şekil 6.1(a) da gösterilen A kümesi (0; 0) noktas¬nda ince oldu¼
gundan bu noktada
C 1 s¬n¬f¬ndan olma özelli¼
gi bozulmaktad¬r. Ancak @A = @A sa¼
glanmaktad¬r. Şekil
6.1(b) ise A kümesinin s¬ras¬yla (0; 0) noktas¬n¬n sol ve sa¼
g taraf¬nda bulunan B ve
110
E aç¬k alt kümelerini göstermektedir. Ayr¬ca B ve E birim disk kabul edilmektedir.
fonksiyonu yukar¬daki gibi tan¬mlanmak üzere bu fonksiyon yard¬m¬yla
g (x1 ; x2 ) :=
8
<
:
(x1 ; x2 ) 2 E
(x1 ) ;
(6.2.5)
; (x1 ; x2 ) 2 AnE
0
g 2 Wpk (A) fonksiyonu tan¬mlans¬n.
Teorem 6.2.2 A
R2 Şekil 6.1 ile tan¬mlanan s¬n¬rl¬küme ve kp > 2 olsun. Bu
durumda C A \ Wpk (A) uzay¬Wpk (A) uzay¬nda yo¼
gun de¼
gildir (Amick 1979).
I·spat: (6.2.5) ifadesi ile tan¬ml¬g fonksiyonuna Wpk (A) uzay¬nda C A \ Wpk (A)
uzay¬n¬n elemanlar¬yard¬m¬yla yak¬nsanamayaca¼
g¬n¬ispatlayal¬m. Kabul edelim ki
böyle bir yak¬nsama olsun. Yani; fgm g1
m=1
C A \ Wpk (A) fonksiyonlar dizisi
Wpk (A) uzay¬nda m ! 1 için g fonksiyonuna yak¬nsas¬n. Dolay¬s¬yla Wpk (B) ve
Wpk (E) uzaylar¬nda da gm
Wpk (E)
m!1
! g sa¼
glan¬r. kp > 2 ve @E s¬n¬r¬düzgün oldu¼
gundan
C E gömülmesi süreklidir. Yani; 8f 2 Wpk (E) için
max jf (x1 ; x2 )j
(x1 ;x2 )2E
C kf kWpk (E)
olacak şekilde C > 0 say¬s¬vard¬r. Ayn¬ifade B
(6.2.6)
A diski içinde yaz¬labilir. Wpk (E)
uzay¬nda m ! 1 için gm ! g oldu¼
gundan (6.2.6) ifadesi dikkate al¬nd¬g¼¬nda
lim
E• (x1 ;x2 )!(0;0)
jg (x1 ; x2 )
gm (x1 ; x2 )j = j1
gm (0; 0)j
m!1
! 0
olmal¬d¬r. Di¼
ger yandan benzer düşünce B diski içinde yap¬l¬rsa gm (0; 0)
m!1
! 0
olmas¬ elde edilir. Ancak bu bir çelişki olup kp > 2 için C A \ Wpk (A) uzay¬
Wpk (A) uzay¬nda yo¼
gun de¼
gildir.N
Aşa¼
g¬da ifade edece¼
gimiz teorem n
1 olmak üzere
Rn s¬n¬rl¬, aç¬k ve @
s¬n¬r¬
C 1 s¬n¬f¬ndan olan kümeler için do¼
grudur. Ancak kolayl¬k olmas¬aç¬s¬ndan burada
n = 2 için ispat yap¬lacakt¬r.
111
Teorem 6.2.3
R2 s¬n¬rl¬, aç¬k küme ve @
kabul edelim ki 1
p < 1 için f 2 Wpk ( ) olsun. Bu durumda 8m 2 N için fm 2
C1
s¬n¬r¬C 1 s¬n¬f¬ndan olsun. Ayr¬ca
k
olacak şekilde ffm g1
m=1 fonksiyonlar dizisi vard¬r öyle ki Wp ( ) uzay¬nda
m ! 1 için
fm ! f
gerçeklenir.
I·spat: Key… x0 2 @
noktas¬n¬sabitleyelim. @
s¬n¬r¬C 1 s¬n¬f¬na ait olmas¬ndan
dolay¬9r > 0 yar¬çap¬ve 9 2 C 1 olacak şekilde
: R ! R fonsiyonu vard¬r öyle ki
\ B x0 ; r = x 2 B x0 ; r : x2 >
gerçeklenir. V :=
x 2 V;
\ B x0 ; 2r olarak belirleyelim.
> 0 olmak üzere x := x +
büyük sabitlenmiş
(x1 )
e2 de¼
gişken noktas¬n¬tan¬mlayal¬m. Yeterince
> 0 say¬s¬, 8x 2 V ve tüm küçük
B x;
> 0 say¬s¬için
\ B x0 ; r
olmas¬n¬dikkate alal¬m.
Şekil 6.2 @
s¬n¬r¬C 1 s¬n¬f¬ndan olan k•
ume
112
Ayr¬ca x 2 V için f (x) := f x
fonksiyonunu tan¬mlayal¬m. g := !
f olsun.
Aç¬k olarak g 2 C 1 V sa¼
glan¬r. Şimdi iddia ediyoruz ki Wpk (V ) uzay¬nda
! 0+
için
g !f
gerçeklenir. Bu ifadeyi do¼
grulamak için j j
(6.2.7)
k olacak şekilde key…
katl¬indeksini
alal¬m. Bu durumda
D g
Dw f
D g
Lp (V )
Dw f
Lp (V )
+ kDw f
olarak yaz¬labilir. Bu eşitsizli¼
gin sa¼
g¬ndaki ikinci terim
Dw f kLp (V )
! 0+ için s¬f¬ra yak¬n-
sar. Çünkü; Lp normuna göre öteleme süreklidir. Teorem 6.1.5 in ispat¬ndaki benzer düşünce ile bu eşitsizli¼
gin sa¼
g¬ndaki ilk terim de
! 0+ için s¬f¬ra yak¬nsar.
Dolay¬s¬yla (6:2:7) ifadesi do¼
grudur.
Key… > 0 seçelim. @
s¬n¬r¬n¬n kompakt olmas¬ndan dolay¬sonlu çoklukta x0i 2 @
noktalar¬, ri > 0 yar¬çaplar¬, uygun Vi :=
\ B x0i ; r2i kümeleri ve gi 2 C 1 Vi
fonksiyonlar¬bulabiliriz öyle ki
@
N
[
B x0i ;
i=1
ri
2
ve kgi
f kWpk (Vi )
(6.2.8)
gerçeklenir.
N
[
Vi olacak şekilde V0
aç¬k kümesini belirleyelim. Bu durumda Teorem
i=0
6.1.5 dikkate al¬nd¬g¼¬nda g0 2 C 1 V0 fonksiyonu vard¬r öyle ki
kg0
f kWpk (V0 )
sa¼
glan¬r.
113
(6.2.9)
N
Şimdi fVi gN
i=0 aç¬k kümelerine göre birimin düzgün parçalanmas¬f i gi=0 fonksiyonN
X
lar¬n¬ dikkate alal¬m. g :=
i gi fonksiyonunu tan¬mlayal¬m. Bu durumda aç¬k
i=0
olarak
g 2 C1
sa¼
glan¬r. Ayr¬ca f =
N
X
olmas¬, Teorem 5.2.1 in (ii) ifadesinden ve (6.2.8),
if
i=0
(6.2.9) ifadelerinden dolay¬j j
kD g
Dw f kLp (
)
k koşulunu sa¼
glayan key…
=
N
X
D
i gi
i=0
N
X
i=0
C
!
kD ( i gi )
N
X
kgi
i=0
Dw
katl¬indeksi için
N
X
if
i=0
!
Lp ( )
Dw ( i f )kLp (Vi )
f kWpk (Vi )
CN
olup kg
f kWpk (
CN gerçeklenir. Dolay¬s¬yla istenilen elde edilir.N
)
Rn s¬n¬rl¬, aç¬k ve 0 noktas¬na göre y¬ld¬zs¬ küme olsun. Bu
Teorem 6.2.4
durumda C 1
gundur.
uzay¬Wpk ( ) uzay¬nda yo¼
I·spat: 8m 2 N için
m
:=
kümeler dizini göz önüne alal¬m.
x:
m 1
x2
m
kümesi 0 noktas¬na göre y¬ld¬zs¬küme oldu¼
gun-
dan
x2
m+1
)
m
x2
m+1
)
m+1m 1 m
x2
m
m
m
+
1
|
{z
}
)
m 1
x2
m
=
0
sa¼
glan¬p dolay¬s¬yla
m+1
m
alal¬m. 8m 2 N için fm (x) := f
ve
m 1
x
m
1
m
elde edilir. f 2 Wpk ( ) fonksiyonunu
olacak şekilde ffm g1
m=1 fonksiyonlar dizisi
114
tan¬mlayal¬m. Aç¬k olarak fm 2 Wpk (
kfm
sa¼
glan¬r. Şimdi m ! 1 için
m)
f kWpk (
)
!0
oldu¼
gunu gösterelim.
f 2 Lp ( ) oldu¼
gundan
sup
jz(x)j
d
m
Z
f (x)jp dx
jf (x + z (x))
x
m
gerçeklenir. E¼
ger z (x) =
ve jxj
m!1
! 0
d
m
( ) = d ise bu durumda jz (x)j
sa¼
glan¬p buradan m ! 1 için
kfm
f kLp (
0
=@
)
elde edilir. Ayr¬ca 0 6= j j
kDw fm
Dw f kLp (
)
Z
f
m 1
x
m
k koşulunu sa¼
glayan
0
= @
0
= @
0
= @
Z
m 1
m
Z
0
+@
|
katl¬indeksi için
j j
Dw f (x)jp dxA
m 1 j j
m
Dw f
p
m 1
x
m
1 Dw f
m 1
x
m
m 1
m
{z
j j
}
!0
Z
m!1
! 0
Dw f
! 0Z
@
m 1
x
m
{z
!0
115
Dw f
1 p1
Dw f (x) dxA
m 1
x
m
+ Dw f
Dw f (x)
1
|
f (x) dxA ! 0
1 p1
jDw fm (x)
Z
1 p1
p
p
m 1
x
m
p
1 p1
Dw f (x) dxA
}
1 p1
dxA
p
1 p1
dxA
elde edilir. Dolay¬s¬yla Wpk ( ) uzay¬nda fm
m!1
! f gerçeklenir.
8m 2 N için fm fonksiyonlar¬n¬n A fm (x) düzgünleşmelerini göz önüne alal¬m. Bu
durumda A fm 2 C 1
d¬r.
s¬n¬rl¬ve
m
oldu¼
gundan Wpk ( ) uzay¬nda
!0
A fm ! fm
! 0 olacak şekilde f m g1
m=1 dizisi ve 8m 2 N için
n o1
f
ff
dizisini belirleyelim. Bu durumda
m := A m fm ile tan¬mlanan fm
sa¼
glan¬r. m ! 1 için
m
m=1
kA m fm
f kWpk (
= kA m fm
)
kA m fm
olup Wpk ( ) uzay¬nda ff
m
f kWpk (
fm + fm
fm kWpk (
)
+ kfm
)
f kWpk (
)
m!1
! f gerçeklenir. Dolay¬s¬yla ispat tamamlanm¬ş olur.N
6.3 Wpk ( ) Sobolev Uzaylar¬nda Polinomsal Yaklaş¬m
Rn s¬n¬rl¬, aç¬k küme olsun. Verilen j 2 N0 için
0
jf jj;p := @
X
j j=j
1 12
kDw f k2Lp ( ) A
tan¬mlay¬p Wpk ( ) uzay¬nda standart norma denk olan
kf kk;p =
normunu dikkate alal¬m. B
k
X
j=0
jf j2j;p
! 12
kümesinin tüm noktalar¬na göre y¬ld¬zs¬küme
olmak üzere Wpk ( ) Sobolev uzaylar¬nda polinomsal yaklaş¬m¬n hatas¬için bir üst
s¬n¬r 1983 y¬l¬nda R. G. Duran taraf¬ndan elde edilmiştir. Ayr¬ca c/S ile sonlu S
kümesinin eleman say¬s¬, ! n ile Rn uzay¬ndaki birim kürenin Lebesgue ölçüsü ve <k
ile derecesi k dan düşük polinomlar¬n kümesi gösterimleri kullan¬lacakt¬r.
116
Lemma 6.3.1 h 2 Lp (Rn ) ve p
q > 1 olacak şekilde q say¬s¬belirlensin.
2 Rn ,
j j = 1 olsun. Ayr¬ca
1
h1 (x; ) : = sup
t>0 t
Zt
jh (x + s )j ds
0
0
Z
B
h (x) : = @
hq1 (x; ) d
j j=1
1 1q
C
A
fonksiyonlar¬n¬tan¬mlayal¬m. Bu durumda
p
kh kLp (Rn )
1
p
1
! nq khkLp (Rn )
gerçeklenir.
I·spat: h1 (x; ) fonksiyonu h fonksiyonunun
yönündeki Hardy-Littlewood maksi-
mal fonksiyonu oldu¼
gu için
Z
hp1
p
p
(x; ) dx
p
1
Rn
Z
Rn
jh (x)jp dx
(6.3.1)
gerçeklenir (Stein 1970). Dolay¬s¬yla (6.3.1) ifadesi ve Hölder eşitsizli¼
gi kullan¬l¬rsa
Z
Rn
[h (x)]p dx =
0
Z
B
@
Rn
Z
p
! nq
Z
j j=1
1
Rn
p
q
= !n
1
hq1 (x; ) d
Z
0
B
@
j j=1
p
q
!n
1
!n
Z
@
p
Z
Rn
p
1
C
A dx
1
hp1 (x; ) dxA d
p
1
Z
Rn
117
C
A dx
hp1 (x; ) d
j j=1
0
1 pq
jh (x)jp dx
= !n
p
p
p
q
p
1
Z
jh (x)jp dx
Rn
istenilen elde edilir.N
Teorem 6.3.1
Rn s¬n¬rl¬, aç¬k ve B
y¬ld¬zs¬küme olsun. Ayr¬ca p
kümesinin tüm noktalar¬na göre
q > 1; j < k ve
kümesinin çap¬d olsun. E¼
ger
f 2 Wpk ( ) ise bu durumda
inf jf
Q2<k
Qjj;q
j+ n
q
dk
C
jf jk;p
1
[m (B)] p
gerçeklenir. Burada
C = (c/ f : j j = jg)
k
p
j
n
1
q
p
1
q
1
0
!n @
X
j j=k j
1 21
( !) 2 A
dir (Duran 1983).
I·spat: Teorem 6.2.1 den dolay¬ispat¬f 2 Wpk ( ) \ C 1 ( ) için yapmak yeterlidir.
Verilen x 2 B eleman¬için
Pk (f ) (x; y) : =
X
D f (x)
j j<k
1
Qk (f ) (y) : =
m (B)
Z
(y
x)
!
Pk (f ) (x; y) dx
B
fonksiyonlar¬tan¬mlans¬n. Aç¬k olarak görülmektedir ki; Qk (f ) derecesi k dan düşük
bir polinomdur. Tümevar¬mla
D Qk (f ) (y) = Qk
j j
(D f ) (y)
(6.3.2)
oldu¼
gu gösterilebilir. Gerçekten; ilk olarak (6.3.2) ifadesinin j j = 1 olacak şekilde
118
katl¬indeksi için do¼
gru oldu¼
gunu gösterelim.
D Qk (f ) (y) =
=
0
1
D @
m (B)
1
m (B)
Z
1
Z
Pk (f ) (x; y) dxA
B
D Pk (f ) (x; y) dx
B
1
=
m (B)
1
=
m (B)
1
=
m (B)
1
=
m (B)
= Qk
j j
Z X
B j j<k
Z X
D f (x)
B j j<k
Z
X
(
x)
1
1)!:::
1
+1
D1 1 :::Dnn f (x)
B j j<k 1
Z
X
D
+
f (x)
B j j<k 1
1
(y
!
n!
(y1
1
(y
!
x1 )
1
1
::: (yn
xn )
n
x)
x)
(D f ) (y)
olup j j = 1 olacak şekilde
r < j olmak üzere j j
1
D (y
!
D f (x)
katl¬ indeksi için (6.3.2) ifadesi do¼
grudur. Şimdi
r olacak şekilde
katl¬indeksi için (6.3.2) ifadesinin do¼
gru
oldu¼
gunu kabul edip, j j = r + 1 olacak şekilde
katl¬indeksi için (6.3.2) ifadesinin
do¼
gru oldu¼
gunu gösterelim. j j = r ve j j = 1 olmak üzere
=
durumda j j = j j + j j olur. Bundan dolay¬
D Qk (f ) (y) = D
+
= D
= Qk
= Qk
Qk (f ) (y)
Qk
j j
j j j j
j j
(D f ) (y)
(D D f ) (y)
(D f ) (y)
elde edilir. Dolay¬s¬yla (6.3.2) ifadesi tümevar¬mla ispatlanm¬ş olur.
119
+
olsun. Bu
Di¼
ger yandan
0
Qk (f )jj;q = @
jf
X
j j=j
1 21
Qk (f ))k2Lq ( ) A
kD (f
1
(c/ f : j j = jg) 2
1
= (c/ f : j j = jg) 2
oldu¼
gu görülür. j j = j olacak şekilde
kD f
X
j j=j
X
j j=j
kD (f
kD f
Qk (f ))kLq (
Qk
j
)
(D f )kLq (
)
(6.3.3)
katl¬indeksi için
Qk
j
(D f )kLq (
)
ifadesini hesaplayal¬m.
(D f
1
Qk j (D f )) (y) =
m (B)
Z
D f (y) dx
1
m (B)
B
=
1
m (B)
Z
Z
Pk
j
(D f ) (x; y) dx
B
[D f (y)
Pk
j
(D f ) (x; y)] dx
B
oldu¼
gundan
jD f (y)
Qk
j
(D f ) (y)jq
0
@
1
m (B)
Z
jD f (y)
Pk
j
B
1q
(D f ) (x; y)j dxA
gerçeklenir. Dolay¬s¬yla genelleşmiş Minkowski eşitsizli¼
gi kullan¬l¬rsa
kD f
Qk
j
(D f )kLq (
)
8 0
Z Z
1 < @
jD f (y)
m (B) :
1
m (B)
Z
B
0
@
Pk
B
Z
120
jD f (y)
Pk
j
j
1q
(D f ) (x; y)j dxA dy
1 1q
(D f ) (x; y)jq dy A dx
91
=q
;
(6.3.4)
elde edilir. Di¼
ger yandan x 2 B; y 2
jD f (y)
=
+ (k
Pk
j)
j
için Taylor formülü yard¬m¬yla
(D f ) (x; y)j
X
X
D (D f )(x)
!
j j<k j
Z1
(y x)
!
j j=k j
t)k
(1
0
X
(y
j 1
x)
D (D f ) (x + t (y
D (D f ) (x) (y
x)) dt
x)
!
j j<k j
=
(k
X (y
j)
j j=k j
j) dk
(k
j
j) dk
j
t)k
(1
j 1
D (D f ) (x + t (y
x)) dt
0
Z1
X
1
!
X
1
1
! jy xj
j j=k j
= (k
Z1
x)
!
j j=k j
D (D f ) (x + t (y
x)) dt
0
jy
Z xj
D D f
x+s
0
y
jy
x
xj
ds
oldu¼
gu görülür.
h (z) :=
8
>
<
>
:
X
1
!
D D f (z)
; z2
0
; z2
=
j j=k j
fonksiyonu tan¬mlans¬n. Bu durumda h 2 Lp (Rn ) olur. E¼
ger h1 ve h fonksiyonlar¬
Lemma 6.3.1 de belirtilen h fonksiyonuna ba¼
gl¬fonksiyonlarsa
jD f (y)
Pk
j
(D f ) (x; y)j
j) dk
(k
jy
Z xj
0
= (k
1
j
X
jy
j j=k j
xj
1
D D f
!
j) dk j h1 x;
121
y
jy
x
xj
x+s
y
jy
x
xj
ds
elde edilir. Buradan
jD f (y)
Pk
gerçeklenip ayr¬ca
Z
jD f (y)
j
(D f ) (x; y)jq
(k
j)q d(k
j)q q
h1
y
jy
x
xj
hq1 x;
y
jy
x;
B (x; d) oldu¼
guda dikkate al¬n¬rsa
q
Pk
j
(D f ) (x; y)j dy
(k
q
(k j)q
j) d
Z
jy xj d
x
xj
dy
bulunur. Dolay¬s¬yla
0
Z
@ jD f (y)
Pk
j
1 1q
(D f ) (x; y)jq dy A
j) dk
(k
j
8
>
< Z
hq1 x;
>
:
jy xj d
j) dk
= (k
j
8
>
<Z
>
:
hq1 x;
jzj d
j) dk
= (k
j) dk
= (k
j
8
>
<Zd Z
>
:
dn
n
j
dn
n
k j
= (k
0 j j=1
j) d
1
q
1
q
y
jy
z
jzj
x
xj
dz
91
q
>
=
>
:
rn 1 dr
hq1 (x; ) d
j j=1
h (x)
elde edilir. (6.3.4) ifadesi göz önüne al¬n¬p ilk olarak Hölder eşitsizli¼
gi daha sonra
Lemma 6.3.1 kullan¬l¬rsa
kD f
Qk
j
(D f )kLq (
)
1
(k
m (B)
dn
n
k j
j) d
1
q
Z
h (x) dx
B
1
(k
m (B)
= (k
k j
j) d
122
n
j) dk
dn
n
d
n
j
1
q
kh kLp (Rn ) [m (B)]1
1
q
kh kLp (Rn ) [m (B)]
1
p
>
;
>
;
hq1 (x; ) d
8
>
<Z
dy
91
q
>
=
1
p
91
q
>
=
>
;
91
q
>
=
>
;
(k
=
j) d
j+ n
q
j dk
k
1
q
dn
n
k j
p
1
p
p
1
1
n q [m (B)] p p
1
! nq khkLp (Rn ) [m (B)]
1
p
1
1
! nq khkLp (Rn )
gerçeklenir. Di¼
ger yandan
X
khkLp (Rn ) =
j j=k j
X
@
Lp ( )
1
D D f
!
j j=k j
0
1
D D f
!
Lp ( )
1 12 0
X
( !) 2 A @
j j=k j
X
D D f
2
Lp ( )
j j=k j
1 21
A
oldu¼
gu da göz önüne al¬n¬rsa
kD f
Qk
j
(D f )kLq (
k
)
j
p
1
q
0
X
!n @
( !)
1
nq p 1
j j=k j
0
1 21
X
2
@
D D f Lp ( ) A
1 12
2A
dk
j+ n
q
1
[m (B)] p
j j=k j
şeklinde yaz¬labilir. Bu durumda (6.3.3) ifadesi dikkate al¬nd¬g¼¬nda
jf
(c/ f : j j = jg)
Qk (f )jj;q
X
j j=j
0
@
X
d
[m (B)]
1
p
k j+ n
q
= C
k
j
d
1
[m (B)] p
0
D D f
@
X
j j=k
p
1
nq p
j j=k j
k j+ n
q
= C
1
2
1
q
1
!n @
2
Lp ( )
1 12
A
1 21
kD f k2Lp ( ) A
jf jk;p
istenilen elde edilir.N
123
0
X
j j=k j
( !)
1 12
2A
dk
j+ n
q
1
[m (B)] p
6.4 W2r ([
; ]) Sobolev Uzaylar¬nda Trigonometrik Yaklaş¬m
Bu kesimde
f1; sin x; cos x; :::; sin kx; cos kx; :::g
dizisi W2r ([
; ]) uzay¬nda tam olmamas¬na ra¼
gmen bu dizinin W2r ([
y¬n¬n bir alt uzay¬olan 2 periyotlu periyodik f (m) (x) (m = 0; 1; :::; r
; ]) uza1) türevle-
rine sahip olan f fonksiyonlar¬n¬n uzay¬nda tam oldu¼
gu gösterilmiştir. Ayr¬ca
f1; sin x; cos x; :::; sin kx; cos kx; :::g
dizisinin W2r ([
; ]) uzay¬nda tam diziye genişletilebilece¼
gi incelenmiştir.
Daha aç¬k olarak; sabit a¼
g¬rl¬kl¬ W2r ([
; ]) Sobolev uzaylar¬nda trigonometrik
yaklaş¬m için iki sonuç verilmiştir. I·lk sonuç;
xr ; xr 1 ; :::; x; 1; sin x; cos x; :::; sin kx; cos kx; :::
dizisi W2r ([
; ]) uzay¬nda tam olmas¬na ra¼
gmen diziden en yüksek dereceli xr ele-
man¬n¬n ç¬kar¬lmas¬ile elde edilen dizinin tam olamayaca¼
g¬verilmiştir. I·kinci sonuç
ise; fonksiyonun kendisi ve ilk (r
1) -inci mertebeden türevi 2 peryotlu periyo-
dik fonksiyonlar oldu¼
gu zaman sadece trigonometrik fonksiyonlara göre W2r ([
; ])
uzay¬nda Parseval özdeşli¼
ginin gerçeklendi¼
gi gösterilmiştir. Bilindi¼
gi gibi W2r ([
; ])
Sobolev uzay¬
W2r ([
; ]) := f : [
; ] ! R j f (r
1)
mutlak s•
urekli; f (r) 2 L2 ([
; ])
olarak tan¬mlan¬p bu uzayda norm ve iç çarp¬m s¬ras¬yla
kf k2W r ([
2
; ])
:=
r
X
k=0
124
k
Z
2
f (k) (x) dx
(6.4.1)
(f; g)W r ([
; ])
2
:=
r
X
k
k=0
ile verilir. Burada 0
r için
k
k
Z
f (k) (x) g (k) (x) dx
verilen pozitif sabitlerdir. Kolayl¬k olmas¬
; ]) gösterimi yerine W2r [
için ilerleyen k¬s¬mlarda W2r ([
(6.4.2)
; ] gösterimini kul-
lanaca¼
g¬z (Cohen 1971).
I·lk olarak
0
=
1
= 1 olan W21 [
; ] uzay¬nda sinüslerin ve kosinüslerin tam küme
olarak düzenlenemeyece¼
gini gösterelim. Bunun için
f (x) = x 2
= span f1; sin x; cos x; :::; sin kx; cos kxg
oldu¼
gunu gösterelim. Parseval özdeşli¼
ginin sa¼
glanmad¬g¼¬n¬ ispatlamak yeterli olacakt¬r. f1; sin x; cos x; :::; sin kx; cos kx; :::g dizisi W21 [
; ] uzay¬nda ortogonaldir.
Ayr¬ca
k1k2W 1 [
2
ksin kxk2W 1 [
2
kcos kxk2W 1 [
2
; ]
; ]
; ]
=
Z
dx = 2
=
Z
2
Z
k 2 cos2 kxdx = 1 + k 2
=
Z
2
Z
k 2 sin2 kxdx = 1 + k 2
sin kxdx +
cos kxdx +
olup dolay¬s¬yla
T0 (x) : = (2 )
T1 (x) : = (2 )
T2 (x) : = (2 )
1
2
1
2
1
2
sin x
cos x
:::
T2k
1
(x) : = 1 + k 2
T2k (x) : = 1 + k 2
:::
125
1
2
1
2
1
2
1
2
sin kx
cos kx
dizisi W21 [
; ] uzay¬nda ortonormal dizidir. Bu durumda
(x; T0 )W 1 [
; ]
2
(x; T2k )W 1 [
=0
; ]
2
(x; T2k 1 )W 1 [
=0
; ]
2
= 2 ( 1)k+1
1
2
(1 + k 2 )
1
2
1
k
; k
1
; k
1
(6.4.3)
ve ayr¬ca
kxk2W 1 [
2
2
; ]
=2
1+
(6.4.4)
3
eşitlikleri bulunur.
Key… iç çarp¬m uzay¬nda fpk g1
k=0 ortonormal dizi olmak üzere
1
X
(f; pk )2
kf k2
k=0
(6.4.5)
Bessel eşitsizli¼
gi geçerlidir. Belirtmek gerekir ki; (6.4.5) ifadesinde e¼
ger eşitlik olursa
(6.4.5) ifadesi Parseval özdeşli¼
gi ad¬n¬ al¬r. (6.4.5) ifadesinin sol taraf¬nda (6.4.3)
ifadesi, sa¼
g taraf¬nda (6.4.4) ifadesi kullan¬l¬rsa
2
1
X
2
k
1 + k2
2
1
1+
3
k=1
bulunur. Ancak
2
1
X
k=1
k
2
1+k
2
1
<2
1
X
k=1
2
2
k
2
=
3
<1+
gerçeklenir. Dolay¬s¬yla Parseval özdeşli¼
gi sa¼
glanmay¬p W21 [
f1; sin x; cos x; :::; sin kx; cos kx; :::g dizisi tam de¼
gildir.
126
3
; ] uzay¬nda
f (x) = x 2
= span f1; sin x; cos x; :::; sin kx; cos kxg oldu¼
gunu göstermenin başka bir
yolu daha vard¬r. Bunu f fonksiyonunun klasik Fourier serisi ile W21 [
ak = (f; T2k )W 1 [
2
; ]
ve bk = (f; T2k 1 )W 1 [
2
a0 T0 (x) +
1
X
; ]
; ] uzay¬nda
olmak üzere
[ak T2k (x) + bk T2k
1
(x)]
k=1
ile tan¬mlanan modi…ye serisini karş¬laşt¬rarak yapabiliriz.
f (x) = x fonksiyonu [
; ] aral¬g¼¬nda tek fonksiyon oldu¼
gu için f fonksiyonunun
klasik Fourier serisi ve modi…ye seri yaln¬zca sinüslü terimler içerecektir.
L2 [
; ] uzay¬nda sinüslerin ve kosinüslerin ortonormal kümesine göre klasik Fourier
katsay¬lar¬
a0 = (2 )
ak =
bk =
1
2
1
2
1
2
Z
f (x) dx
Z
f (x) cos kxdx; k
1
Z
f (x) sin kxdx; k
1
(6.4.6)
ile tan¬ml¬d¬r. Bundan dolay¬f (x) = x fonksiyonunun klasik Fourier serisi
x=2
1
X
( 1)n+1
n=1
sin nx
;
n
<x<
dir. Aksine (6.4.3) ifadesi kullan¬larak modi…ye seri
X (x) = 2
1
X
( 1)n+1
n=1
sin nx
n (1 + n2 )
(6.4.7)
olarak bulunur.
(6.4.7) ifadesinde verilen seri ve bu seriden türetilmiş seri mutlak ve düzgün yak¬n127
sakt¬r. Bundan dolay¬X (x) fonksiyonu kapal¬formda elde edilebilir. Belirtelim ki
x
için
cosh ax =
sinh a
(
1
X
1
cos nx
+ 2a
( 1)n 2
a
a + n2
n=1
)
(6.4.8)
gerçeklenir. (6.4.8) ifadesinde a = 1 al¬p (6.4.7) ifadesi kullan¬l¬rsa
cosh x =
1
sinh
h
1
i
X (x)
0
elde edilir. Buradan x 6= 0 için
sinh x
6= x
sinh
X (x) = x
(6.4.9)
0
bulunur. Ayr¬ca X (x) ve X (x) için serilerin düzgün yak¬nsakl¬g¼¬ndan aç¬k olarak
modi…ye seri, (6.4.9) ifadesi ile verilen X (x) fonksiyona L2 [
; ] uzay¬nda yak¬n-
sakt¬r. Dolay¬s¬yla f1; sin x; cos x; :::; sin kx; cos kx; :::g dizisi W21 [
tam de¼
gildir. Ancak bu dizi L2 [
; ] uzay¬nda
; ] uzay¬nda tamd¬r.
Di¼
ger yandan
fx; 1; sin x; cos x; :::; sin kx; cos kx; :::g
dizisinin sabit a¼
g¬rl¬kl¬ W21 [
0
f 2 L2 [
; ] uzay¬nda tam oldu¼
gu gösterilebilir. Gerçekten;
; ] oldu¼
gundan 8 > 0 için sn (x) trigonometrik polinomu vard¬r öyle ki
Z h
0
f (x)
i2
sn (x) dx <
(6.4.10)
gerçeklenir.
E¼
ger
tn (x) :=
Zx
sn (t) dt
olarak tan¬mlan¬rsa bu durumda tn fonksiyonu x -li terim içerir. f (x) fonksiyonu
128
mutlak sürekli oldu¼
gu için
Z
2 x
Z
4 f 0 (t) dt
32
tn (x)5 dx =
Z
[f (x)
f(
)
tn (x)]2 dx
(6.4.11)
yaz¬labilir. Dolay¬s¬yla
rn (x) := f (
) + tn (x)
tan¬mlan¬p (6.4.11) ifadesinde Cauchy-Schwartz eşitsizli¼
gi kullan¬l¬rsa
Z
rn (x)]2 dx < 4
[f (x)
2
elde edilir. Yukar¬daki ifadeler dikkate al¬n¬rsa
kf
rn k2W 1 [
2
; ]
=
<
0
Z
1
2
(f (x)
+
04
rn (x)) dx +
1
Z
0
f (x)
2
eşitsizli¼
gi gerçeklenir. Dolay¬s¬yla > 0 key… oldu¼
gu için
fx; 1; sin x; cos x; :::; sin kx; cos kx; :::g
dizisinin W21 [
; ] uzay¬nda tam olmas¬elde edilir.
Teorem 6.4.1 r
1 olmak üzere W2r [
; ] Sobolev uzay¬nda
fxr 1 ; xr 2 ; :::; 1; sin x; cos x; :::; sin kx; cos kx; :::g
dizisi tam de¼
gildir. Ancak
fxr ; xr 1 ; :::; x; 1; sin x; cos x; :::; sin kx; cos kx; :::g
dizisi tamd¬r (Cohen 1971).
129
2
sn (x)
dx
I·spat: I·lk olarak
fxr 1 ; xr 2 ; :::; 1; sin x; cos x; :::; sin kx; cos kx; :::g
dizisinin W2r [
; ] uzay¬nda tam olmad¬g¼¬n¬gösterelim. Bunu tümevar¬mla ispat-
layal¬m. Şimdi bu ifadenin W2r
1
; ] uzay¬nda do¼
gru oldu¼
gunu kabul edelim.
[
Yani pozitif a¼
g¬rl¬klar¬n key… f k grk=01 kümesi için W2r
1
[
; ] uzay¬nda
fxr 2 ; xr 3 ; :::; 1; sin x; cos x; :::; sin kx; cos kx; :::g
kümesinin elemanlar¬n¬n sonlu lineer kombinasyonu ile xr
1
eleman¬na yak¬nsana-
mayaca¼
g¬n¬kabul edelim. Daha sonra da kabul edelim ki en az bir f k grk=0 kümesi
için W2r [
; ] uzay¬nda
fxr 1 ; xr 2 ; :::; 1; sin x; cos x; :::; sin kx; cos kx; :::g
kümesinin elemanlar¬n¬n sonlu lineer kombinasyonu ile xr eleman¬na yak¬nsama olsun. O halde verilen key… > 0 için Tn (x) trigonometrik polinom olmak üzere
R (x) :=
r 1
X
ix
r i
+ Tn (x)
i=1
lineer kombinasyonu bulabiliriz öyle ki
r
X
k
Z h
k
Z h
k=0
(xr )(k)
i2
R(k) (x) dx < r2
gerçeklenir. Bu durumda
r
X
k=1
r (k)
(x )
R
130
(k)
i2
(x) dx < r2
eşitsizli¼
gi de sa¼
glan¬r. Dolay¬s¬yla k¬sa işlemlerle W2r
r 1
X
i
(r
i) xr
i 1
1
; ] uzay¬nda
[
0
+ Tn (x)
i=1
ifadesinin xr
1
r
fonksiyonuna yak¬nsad¬g¼¬görülür. Bu ise tümevar¬m kabulü ile çelişir.
O halde teoremin ilk ifadesi ispatlanm¬ş olur.
Şimdi teoremin ikinci k¬sm¬n¬ispatlayal¬m. Pozitif a¼
g¬rl¬klar¬n key… f k grk=01 kümesi
için W2r
1
[
; ] uzay¬nda
fxr 1 ; xr 2 ; :::; x; 1; sin x; cos x; :::; sin kx; cos kx; :::g
dizisinin tam oldu¼
gunu kabul edelim. Pozitif a¼
g¬rl¬klar¬n key… f k grk=0 kümesi için
W2r [
; ] uzay¬nda
fxr ; xr 1 ; :::; x; 1; sin x; cos x; :::; sin kx; cos kx; :::g
dizisinin tam oldu¼
gunu gösterelim. Key… f 2 W2r [
0
alal¬m. Bu durumda f 2 W2r
1
[
; ] fonksiyonunu dikkate
; ] sa¼
glan¬r. Dolay¬s¬yla tümevar¬m kabulünden
verilen key… > 0 için
S (x) :=
r 1
X
ix
r i
+ Tn (x)
i=1
sonlu lineer kombinasyonu vard¬r öyle ki
r
X
k=1
gerçeklenir. Burada I (x) :=
k
Z
Zx
f (k) (x)
S (t) dt + f (
2
I (k) (x) dx <
) olarak tan¬mlanm¬şt¬r. Belirtelim ki
I (x) fonksiyonu xr ; xr 1 ; :::; x; 1; sin x; cos x; :::; sin kx; cos kx fonksiyonlar¬n¬n lineer
kombinasyonudur.
131
Yukar¬daki eşitsizlik kullan¬larak
Z h
Z h
i2
0
I (x) dx =
f (x)
0
i2
S (x) dx
0
f (x)
<
1
yaz¬labilir. Dolay¬s¬yla
Z
I (x)]2 dx =
[f (x)
Z
2 x
Z
4 f 0 (t) dt
Zx
32
S (t) dt5 dx
eşitli¼
ginde Cauchy-Schwartz eşitsizli¼
gi kullan¬l¬rsa
Z
[f (x)
4
I (x)]2 dx <
2
1
elde edilir. Bundan dolay¬
r
X
k=0
gerçeklenir.
k
Z
2
f (k) (x)
I (k) (x) dx <
1+
4
2
0
1
> 0 key… ve bu sonuç W21 [
; ] uzay¬nda elde edilmesinden dolay¬
tümevar¬mla ispat tamamlanm¬ş olur.N
(6.4.2) ifadesi kullan¬larak W2r [
; ] uzay¬nda sinüslerin ve kosinüslerin ortonormal
kümesi
T0 (x) = (2
T1 (x) =
0)
r
X
1
2
i
i=0
T2 (x) =
r
X
i=0
132
i
!
!
1
2
sin x
1
2
cos x
:::
T2k
1
r
X
(x) =
ik
2i
i=0
T2k (x) =
r
X
ik
2i
i=0
:::
olarak bulunur. ak := (f; T2k )W r [
; ]
a0 T0 (x) +
1
X
2
!
!
1
2
sin kx
1
2
cos kx
ve bk := (f; T2k 1 )W r [
2
[ak T2k (x) + bk T2k
1
; ]
olmak üzere bunlar
(6.4.12)
(x)]
k=1
modi…ye serisinin katsay¬lar¬olarak görülmektedir.
Sinüslerin ve kosinüslerin oluşturdu¼
gu dizi W2r [
ra¼
gmen bunlar W2r [
; ] uzay¬nda tam olmamas¬na
; ] Sobolev uzay¬n¬n belirli bir alt uzay¬nda tamd¬r. Ayr¬ca
bu ba¼
glamda klasik Fourier serisi ve modi…ye seri tamamen ayn¬d¬r.
Teorem 6.4.2 Sabit a¼
g¬rl¬kl¬W2r [
f 2 W2r [
; ]:0
; ] Sobolev uzay¬n¬n
k
r
1; f (k) (
) = f (k) ( )
ile tan¬mlanan alt uzay¬n¬ dikkate alal¬m. Bu durumda bu alt uzaya ait tüm f
fonksiyonlar¬için sinüs ve kosinüslere göre Parseval özdeşli¼
gi sa¼
glan¬p modi…ye seri
ile klasik Fourier serisi çak¬ş¬r.
I·spat: (6.4.2) ifadesi kullan¬larak k¬sa hesaplamalardan sonra (6.4.12) modi…ye
serisi için katsay¬lar
a0 =
ak =
0
2
1
2
1
2
Z
r
X
i=0
f (x) dx
ik
2i
! 21 Z
133
f (x) cos kxdx; k
1
1
2
bk =
r
X
ik
2i
i=0
olarak bulunur. 1
! 12 Z
f (x) sin kxdx; k
(6.4.13)
1
r olmak üzere teoremin periyodiklik hipotezinden f (k) (x)
k
fonksiyonu için klasik Fourier katsay¬lar¬ nk an ve
nk bn dir. Dolay¬s¬yla L2 [
; ]
uzay¬için Parseval özdeşli¼
gi yard¬m¬yla
r
X
k
k=0
Z
2
f (k) (x) dx =
2
0 a0
+
1
r
X
X
n=1
in
2i
i=0
!
a2n + b2n
(6.4.14)
yaz¬labilir. (6.4.6) ve (6.4.13) ifadeleri karş¬laşt¬r¬l¬rsa
(a0 )2 =
(ak )2 =
2
0 a0
r
X
ik
2i
i=0
r
X
(bk )2 =
ik
2i
i=0
!
!
a2k ; k
1
b2k ; k
1
gerçeklenir. Dolay¬s¬yla (6.4.14) yard¬m¬yla
(a0 )2 +
1
X
(ak )2 + (bk )2
2
0 a0
=
+
1
r
X
X
k=1
k=1
r
X
=
k=0
k
Z
ik
2i
i=0
!
a2k + b2k
2
f (k) (x) dx
elde edilir. O halde bu alt uzayda Parseval özdeşli¼
gi sa¼
glan¬r. Şimdi klasik Fourier
serisi ile modi…ye serinin ayn¬ oldu¼
gunu gösterelim. f (x) fonksiyonu için (6.4.12)
modi…ye serisi
a0 (2
0)
1
2
+
1
X
k=1
2
4ak
r
X
i=0
ik
2i
!
1
2
olmal¬d¬r.
134
cos kx + bk
r
X
i=0
ik
2i
!
1
2
3
sin kx5
(6.4.15)
(6.4.13) ifadesini dikkate ald¬g¼¬m¬zda (6.4.15) ifadesi
(2 )
= (2 )
1
1
2
Z
f (x) dx +
a0 +
1
X
k=1
1
X
1
2
2 0
Z
1
6 @ f (x) cos kxdxA cos kx
6
6
16
0
1
6
Z
6
4 + @ f (x) sin kxdxA sin kx
3
7
7
7
7
7
7
5
(ak cos kx + bk sin kx)
k=1
biçimini al¬r. Dolay¬s¬yla modi…ye seri ve klasik Fourier serisi çak¬ş¬r.N
Sonuç 6.4.1 W21 [
; ] uzay¬n¬n 2 periyotlu periyodik olan tüm f fonksiyonlar¬n¬n
oluşturdu¼
gu alt uzay¬ dikkate alal¬m. Bu durumda bu alt uzaya ait olan tüm f
fonksiyonlar¬ için sinüs ve kosinüslere göre Parseval özdeşli¼
gi gerçeklenir. Ayr¬ca
(6.4.12) serisi ile klasik Fourier serisi çak¬ş¬r.
135
KAYNAKLAR
Adams, R. A. and Fournier, J. J. F. 2003. Sobolev spaces. Academic Press, 24-78
p., Canada.
Atkinson, K. and Han, W. 2005. Theoretical numerical analysis. A functional analysis framework, 274-322 p., Springer.
Amick, C. J. 1979. Approximation by smooth function in Sobolev spaces. Bull.
London Math. Soc., (11); pp. 37-40.
Burenkov, V. I. 1998. Sobolev spaces on domains. Teubner-Texte zur Mathematik.
137, 15-28 p., Stuttgart.
Cheney, W. 2001. Analysis for applied mathematics. Springer-Verlag, 246-267 p.,
New York.
Cohen, E. A. 1971. Trigonometric approximation in the Sobolev spaces W2r ([
; ])
with constant weights. SIAM. J. MATH. ANAL., 2, (4); pp. 529-535.
Davis, P. J. 1963. Interpolation and approximation. Blaisdell Publishing Company,
188-195 p., USA.
Duran, R. G. 1983. On polynomial approximation in Sobolev spaces. SIAM. J.
NUMER. ANAL., 20, (5); pp. 985-988.
Evans, G. C. 1933. Complements of potential theory II. Amer. J. Math.; pp. 29-49.
Evans, L. C. 1998. Partial di¤erential equations. American Mathematical Society,
239-292 p.
Fuµcik, S. and Kufner, A. 1980. Nonlinear di¤erential equations. Studies in Applied
Mechanics 2. Elsevier Scienti…c Publishing Company, 47-49 p., Czechoslovakia.
Jost, J. 1998. Postmodern analysis. Springer-Verlag, 204-205 p., Germany.
Kesevan, S. 1989. Topics in functional analysis and applications. John Wiley &
Sons. New Delhi, 51-103 p., India.
Levi, B. 1906. Sul principio di Dirichlet. Rend. Ciev. Mat. Palermo 22; 293-395.
Rao, M. M. 1987. Measure theory and Integration. John Wiley & Sons, Inc.,
160 p., Canada.
136
Sobolev, S. L. 1991. Some applications of functional analysis in mathematical
physics. Translations of Mathematical Monographs. American Mathematical Society. Third edition.
Stein, E. M. 1970. Singular integrals and di¤erentiability properties of functions.
Princeton University Press. Princeton, 4-9 p., New Jersey.
Suslina, T. 2004. Sobolev spaces. http://www.iadm.uni-stuttgart.de, Erişim Tarihi:
15.02.2008.
Tonelli, L. 1926. Sulla guadrature della super…cie. Rend. R. Accad. Lincei. 6;
pp. 633-638.
Ziemer, W. P. 1989. Weakly di¤erentiable functions. Springer-Verlag, 53 p., New
York.
137
ÖZGEÇMI·Ş
Ad¬Soyad¬
: Sezgin SUCU
Do¼
gum Yeri
: ANKARA
Do¼
gum Tarihi : 05.11.1983
Medeni Hali
: Bekar
Yabanc¬Dili
: I·ngilizce
E¼
gitim Durumu (Kurum ve Y¬l)
Lise
: Kaya Bayaz¬to¼
glu Süper Lisesi (2001)
Lisans
: Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü (2006)
Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬ Şubat 2007- Ocak 2009
138