1 ( > > @ 2 ( @ 3 ( 4 ( > 2 > > > 2 @ > 1 ( > 2 ( 3 ( > > . 4 ( @

‫ﻓﺼﻞ ‪2‬‬
‫رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪ (1‬ﺑﺴﻂ دوﺟﻤﻠﻪاي ﻏﻴﺎثاﻟﺪﻳﻦ ﺟﻤﺸﻴﺪ ﻛﺎﺷﺎﻧﻲ‬
‫‪ (2‬ﺑﺨﺶﭘﺬﻳﺮي‬
‫‪ (3‬ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻤﺎﻳﺶ و ﺗﺎﺑﻊ ﻟﮕﺎرﻳﺘﻤﻲ‬
‫‪ (4‬ﺗﺎﺑﻊ درﺟﻪ ‪ 2‬و ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت درﺟﻪ ‪ ،2‬ﮔﻮﻳﺎ‪ ،‬اﺻﻢ‬
‫‪ (5‬ﺗﺎﺑﻊ‬
‫ﺑﺴﻂ دوﺟﻤﻠﻪاي ﻏﻴﺎثاﻟﺪﻳﻦ ﺟﻤﺸﻴﺪ ﻛﺎﺷﺎﻧﻲ‬
‫‪ (1‬ﻣﻲداﻧﻴﻢ‬
‫‪(2‬‬
‫‪n  n ‬‬
‫‪  = =1‬‬
‫‪ 0  n ‬‬
‫و‬
‫‪ n  n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ =  =n‬‬
‫‪ n −1   1 ‬‬
‫و‬
‫‪ n  n ‬‬
‫!‪n‬‬
‫‪‬‬
‫!) ‪ =   = r !(n − r‬‬
‫‪ n −r   r ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪ n  n −1  n  n‬‬
‫‪(a + b )n = a n + na n −1b + ... + nab n −1 + b n =   a n b 0 +   a n −1b +   a n −2b 2 + ... + ‬‬
‫‪+  b‬‬
‫‪ ab‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪ n −1 ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪ (3‬ﺗﻌﺪاد ﺟﻤﻼت ﺑﺴﻂ‬
‫‪ (4‬ﺟﻤﻠﻪي ) ‪ ( k + 1‬ﺑﺴﻂ‬
‫‪(a + b )n‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫‪(a + b )n‬‬
‫اﺳﺖ‪.‬‬
‫) ‪(n + 1‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‬
‫‪ n  n −k k‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ a‬‬
‫‪k ‬‬
‫ﻛﻪ ﺟﻤﻠﻪي ﻋﻤﻮﻣﻲ ﺑﺴﻂ ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬
‫‪ (5‬ﺟﻤﻼت ﻛﻪ از دو ردﻳﻒ ﺑﻪ ﻳﻚ ﻓﺎﺻﻠﻪاﻧﺪ‪ ،‬ﺿﺮﻳﺐﻫﺎي ﻣﺴﺎوي دارﻧﺪ زﻳﺮا‬
‫‪ (6‬ﺑﺮاي ﻳﺎﻓﺘﻦ ﻣﺠﻤﻮع ﺿﺮاﻳﺐ ﺑﺴﻂ دوﺟﻤﻠﻪاي‬
‫ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ ا‬
‫‪(a + b )n‬‬
‫‪n  n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ =‬‬
‫‪‬‬
‫‪ r   n −r ‬‬
‫ﺑﻪ ﺟﺎي ﻣﺘﻐﻴﺮﻫﺎي ‪ a‬و ‪ b‬ﻋﺪد )‪ (1‬ﻣﻲﮔﺬارﻳﻢ‪ .‬ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﺠﻤﻮع ﺿﺮاﻳﺐ ﺑﺴﻂ‬
‫‪(a + b )n‬‬
‫‪2n‬‬
‫‪(7‬‬
‫‪ n   n   n ‬‬
‫‪n  n  n‬‬
‫‪+  =2‬‬
‫‪   +   +   + ... + ‬‬
‫‪ n −1   n ‬‬
‫‪ 0   1   2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪n  n ‬‬
‫‪ n   n   n ‬‬
‫‪−  =0‬‬
‫‪   −   +   − ... + ‬‬
‫‪ 0   1   2 ‬‬
‫‪ n −1   n ‬‬
‫‪ (8‬در ﻣﺜﻠﺚ ﺧﻴﺎم‪ -‬ﭘﺎﺳﻜﺎل اﻋﺪاد ردﻳﻒ‬
‫‪ (9‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻣﺜﻠﺚ ﺧﻴﺎم‪ -‬ﭘﺎﺳﻜﺎل دارﻳﻢ‪:‬‬
‫) ‪(n + 1‬‬
‫ام ﺿﺮاﻳﺐ ﺑﺴﻂ دو ﺟﻤﻠﻪاي‬
‫‪ n   n   n +1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪+  =‬‬
‫‪‬‬
‫‪ r −1   r   r ‬‬
‫‪(a + b )n‬‬
‫)ﺗﺴﺎوي ﭘﺎﺳﻜﺎل(‬
‫ﻣﻲﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬
‫‪ 94‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪(a + b )n‬‬
‫‪ (10‬اﮔﺮ ﺿﺮﻳﺐ ﺟﻤﻠﻪي ‪ p‬ام ﺑﺎ ﺿﺮﻳﺐ ﺟﻤﻠﻪاي ‪q‬ام در ﺑﺴﻂ‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ آﻧﮕﺎه‬
‫‪p +q = n + 2‬‬
‫‪ (11‬ﺑﺮاي ﻳﺎﻓﺘﻦ ﺟﻤﻠﻪي ﺛﺎﺑﺖ )ﺑﺪون ﻣﺘﻐﻴﺮ( ﻳﻚ ﺑﺴﻂ ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ در ﺻﻮرت اﻣﻜﺎن ﺑﻪ ﺟﺎي ﻣﺘﻐﻴﺮﻫﺎ ﻋﺪد ﺻﻔﺮ ﺑﮕﺬارﻳﻢ‪.‬‬
‫‪ (12‬ﺑﺮاي ﻳﺎﻓﺘﻦ ﻣﺠﻤﻮع ﺿﺮاﻳﺐ ﺟﻤﻼﺗﻲ ﻛﻪ ﻓﺎﻗﺪ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺧﺎﺻﻲ ﻫﺴﺘﻨﺪ ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ ﺟﺎي اﻳﻦ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺧﺎص در ﺻﻮرت اﻣﻜﺎن ﻋﺪد ﺻﻔﺮ و ﺑﻪ ﺟﺎي ﺑﻘﻴﻪ ﻣﺘﻐﻴﺮﻫﺎ‬
‫ﻋﺪد )‪ (1‬ﻗﺮار دﻫﻴﻢ‪.‬‬
‫‪ .13‬اﮔﺮ ‪ n‬ﻓﺮد ﺑﺎﺷﺪ ﺑﺴﻂ ‪ (a + b )n + (a − b )n‬داراي‬
‫‪ .14‬ﻣﺠﻤﻮع ﺗﻮان ﻣﺘﻐﻴﺮﻫﺎ در ﺑﺴﻂ ‪ (a + b )n‬ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫‪n +1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n2 +n‬‬
‫ﺟﻤﻠﻪ اﺳﺖ و اﮔﺮ ‪ n‬زوج ﺑﺎﺷﺪ ‪ n + 2‬ﺟﻤﻠﻪ دارد‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .15‬در ﺑﺴﻂ دوﺟﻤﻠﻪاي ‪ ، (a + b )n‬اﮔﺮ ‪ n‬زوج ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺟﻤﻠﻪي ﺷﻤﺎره‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ 2‬‬
‫اﺳﺖ و اﮔﺮ ‪ n‬ﻓﺮد ﺑﺎﺷﺪ ﺟﻤﻼت ﺷﻤﺎرهﻫﺎي‬
‫‪ (16‬ﺗﻌﺪاد ﺟﻤﻼت ﺑﺴﻂ‬
‫‪.17‬‬
‫‪(a 1 + a 2 + ... + ak )n‬‬
‫‪n +1‬‬
‫‪2‬‬
‫و‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‬
‫‪n +2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n +3‬‬
‫‪2‬‬
‫ﻛﻪ ﺟﻤﻠﻪي وﺳﻂ اﺳﺖ‪ .‬ﺑﺰرﮔﺘﺮﻳﻦ ﺿﺮﻳﺐ ﻋﺪدي را دارد ﻛﻪ ﻣﻘﺪار آن‬
‫ﻛﻪ ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ n +1‬‬
‫‪ 2‬‬
‫ﻫﺴﺘﻨﺪ‪ ،‬ﺑﺰرﮔﺘﺮﻳﻦ ﺿﺮﻳﺐ ﻋﺪدي را دارﻧﺪ‪.‬‬
‫‪ n +k −1   n +k −1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪=‬‬
‫‪‬‬
‫‪ k −1‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪‬‬
‫‪n  n  n ‬‬
‫‪n  n  n ‬‬
‫‪ n  n −1‬‬
‫‪  +   +   + ... +   =   +   + ... + ‬‬
‫‪ =2‬‬
‫‪0  2  4 ‬‬
‫‪n  1  3 ‬‬
‫‪ n −1 ‬‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺗﺴﺖﻫﺎي ﺑﺴﻂ دو ﺟﻤﻠﻪاي‬
‫‪ .1‬در ﺑﺴﻂ ﻋﺒﺎرت ‪ ، (2x − 3)6‬ﺿﺮﻳﺐ ﺟﻤﻠﻪ ﺷﺎﻣﻞ‬
‫‪2160 (1‬‬
‫‪ .2‬ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪(1‬‬
‫‪1620 (2‬‬
‫‪1080 (3‬‬
‫‪540 (4‬‬
‫‪ 17   17   18 ‬‬
‫?= ‪ + + ‬‬
‫‪4  4  5 ‬‬
‫‪ 18 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪5 ‬‬
‫‪ .3‬ﺟﻤﻠﻪي ﭼﻬﺎرم ﺑﺴﻂ دوﺟﻤﻠﻪاي‬
‫‪5 (1‬‬
‫‪x4‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(2‬‬
‫‪2 n‬‬
‫)‬
‫‪x‬‬
‫‪ 19 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪6 ‬‬
‫‪(1 +‬‬
‫‪6 (2‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫‪(3‬‬
‫‪160x −3‬‬
‫‪ 18 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 11 ‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪ 19 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 14 ‬‬
‫اﺳﺖ اﻳﻦ ﺑﺴﻂ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ دارد؟‬
‫‪7 (3‬‬
‫‪8 (4‬‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪95‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .4‬ﻣﺠﻤﻮع ﺿﺮاﻳﺐ ﺳﻪﺟﻤﻠﻪاي اول و ﺳﻪ ﺟﻤﻠﻪاي آﺧﺮ ﺑﺴﻂ دوﺟﻤﻠﻪاي‬
‫‪112 (2‬‬
‫‪211 (1‬‬
‫‪114 (3‬‬
‫‪ .5‬ﺿﺮﻳﺐ ﺟﻤﻠﻪي ﺷﺎﻣﻞ ‪ a 10b 9‬در ﺑﺴﻂ دوﺟﻤﻠﻪاي‬
‫‪(2‬‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪ .6‬اﮔﺮ ‪ n‬ﻋﺪد ﻃﺒﻴﻌﻲ ﺑﺎﺷﺪ ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪(1‬‬
‫‪(a + b )18‬‬
‫‪2n − 2‬‬
‫‪ 18 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 10 ‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪1 9‬‬
‫)‬
‫‪x‬‬
‫‪ (1‬ﺷﺸﻢ‬
‫‪2n − 2n‬‬
‫‪(2x 2 +‬‬
‫) ‪(−1 )n (2n − 2n‬‬
‫‪ (4‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪b‬‬
‫‪(2a 3 + )7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ (4‬ﻫﺸﺘﻢ‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪672 (3‬‬
‫‪336 (4‬‬
‫ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪ دارد؟‬
‫‪7 (1‬‬
‫‪ .10‬ﺟﻤﻠﻪي ﺛﺎﺑﺖ ﺑﺴﻂ دوﺟﻤﻠﻪاي‬
‫‪10 (1‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪ (3‬ﭘﻨﺠﻢ‬
‫‪42 (2‬‬
‫‪(a + b )15 + (a − b )15‬‬
‫‪ 18 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪9 ‬‬
‫‪1 (4‬‬
‫ﻣﺴﺘﻘﻞ از ‪ x‬اﺳﺖ؟‬
‫‪ .8‬ﺿﺮﻳﺐ ﻋﺪدي ﺟﻤﻠﻪي ﺷﺎﻣﻞ ‪ a 15‬در ﺑﺴﻂ دوﺟﻤﻠﻪاي‬
‫‪ .9‬ﺑﺴﻂ‬
‫‪(3‬‬
‫‪ (2‬ﻫﻔﺘﻢ‬
‫‪21 (1‬‬
‫‪411 (4‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪n‬‬
‫‪n  n  n  n ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪  −   +   −   + ... + (−1 )  ‬‬
‫‪0  1  2  3 ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪ .7‬ﺟﻤﻠﻪي ﭼﻨﺪم ﺑﺴﻂ دوﺟﻤﻠﻪاي‬
‫‪(a + b )n‬‬
‫ﻛﺪام ﻋﺪد ﻣﻲﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪8 (2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(x x +‬‬
‫‪11 (2‬‬
‫‪14 (3‬‬
‫‪16 (4‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪55 (3‬‬
‫‪ (4‬ﺟﻤﻠﻪاي ﺛﺎﺑﺖ ﻧﺪارد‪.‬‬
‫‪ 96‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪ .11‬ﻣﺠﻤﻮع ﺗﻮان ﻣﺘﻐﻴﺮﻫﺎ در ﺑﺴﻂ‬
‫‪(a + b )n‬‬
‫‪110 (1‬‬
‫ﻛﺪام ﻋﺪد ﻧﻤﻲﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎﺷﺪ؟‬
‫‪420 (2‬‬
‫‪ .12‬ﺗﻌﺪاد ﺟﻤﻼت ﺑﺴﻂ‬
‫‪(a + b + c )3‬‬
‫‪4 (1‬‬
‫‪640 (3‬‬
‫‪2 (1‬‬
‫‪930 (4‬‬
‫ﭼﻨﺪﺗﺎﺳﺖ؟‬
‫‪9 (2‬‬
‫‪ .13‬ﺟﻤﻠﻪي ﺛﺎﺑﺖ ﺑﺴﻂ دوﺟﻤﻠﻪاي‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪(3a + 2 )8‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪10 (3‬‬
‫‪12 (4‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪28‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪58‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪38‬‬
‫‪ .14‬در ﺑﺴﻂ ‪ ، (2a + 3b − c )7‬ﻣﺠﻤﻮع ﺿﺮاﻳﺐ ﺟﻤﻼﺗﻲ ﻛﻪ ‪ b‬ﻧﺪارﻧﺪ ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(2‬‬
‫‪1 (1‬‬
‫‪47‬‬
‫‪ .15‬ﺿﺮﻳﺐ ﺟﻤﻠﻪﻫﺎي دوازدﻫﻢ و ﺑﻴـﺴﺖ و ﻧﻬـﻢ دوﺟﻤﻠـﻪاي‬
‫ﺟﻤﻠﻪاي‬
‫‪ (1‬ﻫﺸﺘﻢ‬
‫‪ .16‬ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪(1‬‬
‫‪2 12‬‬
‫‪(a + b )n‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪(a + b )2n +3‬‬
‫‪37‬‬
‫‪ (4‬ﺻﻔﺮ‬
‫ﺑـﺎ ﻫـﻢ ﺑﺮاﺑﺮﻧـﺪ در اﻳـﻦ ﺻـﻮرت ﺿـﺮﻳﺐ ﺟﻤﻠـﻪي دوازدﻫـﻢ ﺑـﺴﻂ دو‬
‫ﺑﺎ ﺿﺮﻳﺐ ﺟﻤﻠﻪ ﭼﻨﺪم ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ؟‬
‫‪ (2‬ﻧﻬﻢ‬
‫‪ (3‬ﻫﻴﺠﺪﻫﻢ‬
‫‪6  6  6 ‬‬
‫‪6  6 ‬‬
‫‪6 ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪  + 3   + 9   + 27   + 81   + 243   + 729  ‬‬
‫‪0  1  2‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪5 ‬‬
‫‪6‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪36‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪ (4‬ﻫﻔﺪﻫﻢ‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪56‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪4 10‬‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪97‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .17‬اﮔﺮ ‪ b ∈Z‬و‬
‫‪n ∈N‬‬
‫و‬
‫‪(2 + 3 )n = 362 + b 3‬‬
‫‪184 (1‬‬
‫ﺑﺎﺷﻨﺪ آﻧﮕﺎه ‪ b + n‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪189 (2‬‬
‫‪ .18‬ﺟﻤﻠﻪي ﭼﻨﺪم ﺑﺴﻂ‬
‫‪3 7‬‬
‫)‬
‫‪x‬‬
‫‪209 (3‬‬
‫‪(4x 2 − 12x + 9 )3 (2 −‬‬
‫‪ (1‬ﺷﺸﻢ‬
‫ﻣﺴﺘﻘﻞ از ‪ x‬اﺳﺖ؟‬
‫‪ (2‬ﻫﻔﺘﻢ‬
‫‪ .19‬ﻣﺠﻤﻮع ﺗﻮان ﻣﺘﻐﻴﺮﻫﺎ در ﺑﺴﻂ‬
‫‪(a + b )n‬‬
‫‪110 (1‬‬
‫‪214 (4‬‬
‫‪ (3‬ﻫﺸﺘﻢ‬
‫‪ (4‬ﻧﻬﻢ‬
‫ﻛﺪام ﻋﺪد ﻧﻤﻲﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎﺷﺪ؟‬
‫‪640 (3‬‬
‫‪420 (2‬‬
‫‪930 (4‬‬
‫‪ .20‬در ﺑﺴﻂ ‪ ، (a + b )n‬ﺟﻤﻠﻪي ﻳﺎزدﻫﻢ ﺑﺰرﮔﺘﺮﻳﻦ ﺿﺮﻳﺐ ﻋﺪدي را دارد‪ n ،‬ﻛﺪام ﻋﺪد ﻧﻤﻲﺗﻮاﻧﺪ ﺑﺎﺷﺪ؟‬
‫‪19 (1‬‬
‫‪ .21‬ﺣﺎﺻﻞ ﻋﺒﺎرت‬
‫‪(1‬‬
‫‪20 (2‬‬
‫‪4 19 − 2 19‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪ .22‬در ﺟﻤﻠﻪي ﭼﻨﺪم ﺑﺴﻂ دوﺟﻤﻠﻪاي‬
‫‪ (1‬ﭘﻨﺠﻢ‬
‫‪ .23‬ﺿﺮﻳﺐ ﺟﻤﻠﻪ ﮔﻮﻳﺎي ﺑﺴﻂ‬
‫‪(1‬‬
‫‪4 20 − 2 20‬‬
‫‪2 9‬‬
‫)‪b‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(2 3 x + x 3 )10‬‬
‫‪ .24‬ﺑﻪ ازاي ﻛﺪام ﻣﻘﺪار ‪ n‬در ﺑﺴﻂ‬
‫‪(2‬‬
‫‪(3x 5 − 2 )n‬‬
‫‪x 3n‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪4 19‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪4 20‬‬
‫ﺗﻮانﻫﺎي ‪ a‬و ‪ b‬ﺑﺎ ﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮﻧﺪ‪:‬‬
‫‪ (3‬ﻫﻔﺘﻢ‬
‫‪ (4‬ﻫﺸﺘﻢ‬
‫در ﺻﻮرت وﺟﻮد ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪ 10 ‬‬
‫‪32  ‬‬
‫‪5 ‬‬
‫‪6 (2‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪(3a 2 +‬‬
‫‪ (2‬ﺷﺸﻢ‬
‫‪ 10 ‬‬
‫‪64  ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪15 (1‬‬
‫‪21 (3‬‬
‫‪  20   20 ‬‬
‫‪ 20     2 0   20 ‬‬
‫‪ 20  ‬‬
‫‪   +   + ... +       +   + ... +   ‬‬
‫‪2  4 ‬‬
‫‪ 20     1   3 ‬‬
‫‪ 19  ‬‬
‫‪22 (4‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪ 10 ‬‬
‫‪16  ‬‬
‫‪6 ‬‬
‫‪ (4‬ﺟﻤﻠﻪ ﮔﻮﻳﺎ ﻧﺪارد‪.‬‬
‫ﺟﻤﻠﻪي ﻫﻔﺘﻢ ﻣﺴﺘﻘﻞ از ‪ x‬اﺳﺖ؟‬
‫‪20 (3‬‬
‫‪12 (4‬‬
‫‪ 98‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪saati.com‬‬
‫ﺑﺨﺶﭘﺬﻳﺮي‬
‫‪ (1‬اﮔﺮ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪاي ) ‪ P (x‬را ﺑﺮ ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪاي‬
‫ار درﺟﻪ‬
‫) ‪B (x‬‬
‫درﺟﻪ‬
‫‪ (2‬اﮔﺮ ﺑﺎﻗﻲﻣﺎﻧﺪه ﺗﻘﺴﻴﻢ‬
‫) ‪P (x‬‬
‫) ‪R (x‬‬
‫) ‪B (x‬‬
‫ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻴﺪ ﻳﻚ ﺧﺎرجﻗﺴﻤﺖ ) ‪ Q (x‬و ﺑﺎﻗﻲﻣﺎﻧﺪهي‬
‫) ‪R (x‬‬
‫ﺑـﻪ دﺳـﺖ ﻣـﻲآﻳـﺪ ﺑـﻪ ﻃـﻮري ﻛـﻪ‬
‫ﻛﻢﺗﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪.‬‬
‫) ‪B (x‬‬
‫) ‪Q (x‬‬
‫) ‪P (x‬‬
‫) ‪⇒ P (x ) = Q (x‬‬
‫) ‪B (x ) + R (x‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫ ‬
‫ﺑﺎﻗﻲﻣﺎﻧﺪه‬
‫ﻓﺎﻛﺘﻮر‬
‫) ‪P (x‬‬
‫اﺳﺖ و ﻣﻲﻧﻮﻳﺴﻴﻢ‬
‫‪ (3‬ﺑﺮاي ﺗﻘﺴﻴﻢ ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪاي‬
‫اوﻟﻴﻦ ﺟﻤﻠﻪ‬
‫) ‪P (x‬‬
‫‪ .4‬اﮔﺮ‬
‫) ‪P (x‬‬
‫) ‪B (x‬‬
‫‪ ، x n‬ﻋﺪد‬
‫‪ .6‬اﮔـــﺮ‬
‫ﺑﺨﺶﭘـﺬﻳﺮ اﺳـﺖ و ﻣـﻲﺗـﻮان ﮔﻔـﺖ‬
‫‪b‬‬
‫)‬
‫‪a‬‬
‫) ‪P (x‬‬
‫‪(−‬‬
‫ﺑﺮ‬
‫) ‪B (x‬‬
‫) ‪B (x‬‬
‫ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﺮده و ﻋﺒﺎرت ﺣﺎﺻﻞ را در ﺗﻤﺎم ﺟﻤﻼت ) ‪ B (x‬ﺿﺮب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ و ﺗﻘﺴﻴﻢ را اداﻣﻪ داده‬
‫ﺷﻮد‪.‬‬
‫ﺑﺮ ‪ ax n + b‬ﻣﻲﺗﻮان‬
‫) ‪f (x‬‬
‫) ‪f (x‬‬
‫) ‪(m −1‬‬
‫ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪.‬‬
‫را ﺗﺎ ﺟﺎﻳﻲ ﻛﻪ اﻣﻜﺎن دارد ﺑﺮﺣﺴﺐ ﺗﻮانﻫﺎ‬
‫‪xn‬‬
‫ﻣﻲﻧﻮﻳﺴﻴﻢ‪ ،‬ﺳﭙﺲ ﺑﻪ ﺟﺎي‬
‫را ﺑﮕﺬارﻳﻢ‪.‬‬
‫را ﺑـــﺮ‬
‫) ‪P (b ) − P (a‬‬
‫‪b −a‬‬
‫) ‪B (x‬‬
‫ﻳـﻚ ﻋﺎﻣـﻞ ﻳـﺎ‬
‫اﺑﺘﺪا ﻫﺮ دو را ﺑﺮﺣﺴﺐ ﺗﻮانﻫﺎي ﺑﻴﺸﺘﺮ ﺑﻪ ﻛﻢﺗﺮ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻣﺮﺗﺐ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ )ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﻧﺰوﻟﻲ(‪ .‬ﺳـﭙﺲ‬
‫را ﺑﺮ ﻳﻚ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪاي درﺟﻪ ‪ m‬ام ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻴﻢ‪ ،‬ﺑﺎﻗﻲﻣﺎﻧﺪه ﺣﺪاﻛﺜﺮ از درﺟﻪ‬
‫‪ .5‬ﺑﺮاي ﻳﺎﻓﺘﻦ ﺑﺎﻗﻲﻣﺎﻧﺪه ﺗﻘﺴﻴﻢ‬
‫ﻣﻘﺴﻮم‬
‫) ‪R (x‬‬
‫) ‪P (x ) = B (x )Q (x‬‬
‫را ﺑﺮ اوﻟﻴﻦ ﺟﻤﻠﻪ‬
‫ﺗﺎ درﺟﻪ ﺑﺎﻗﻲﻣﺎﻧﺪه از درﺟﻪ‬
‫) ‪P (x‬‬
‫ﺑﺮ‬
‫) ‪B (x‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﻳﻌﻨﻲ‬
‫) ‪P (x‬‬
‫ﺑﺮ‬
‫) ‪B (x‬‬
‫ﻣﻘﺴﻮم ﻋﻠﻴﻪ‬
‫ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺖ‬
‫‬
‫‪x −a‬‬
‫‪b‬‬
‫)‬
‫‪a‬‬
‫‪(ax n + b = 0 ⇒ x n = −‬‬
‫ﺗﻘـــﺴﻴﻢ ﻛﻨـــﻴﻢ و ﺧـــﺎرجﻗـــﺴﻤﺖ ) ‪ Q (x‬ﺑﺎﺷـــﺪ‪ ،‬ﻣﻘـــﺪار ﺧـــﺎرجﻗـــﺴﻤﺖ ﺑـــﻪ ازاي‬
‫ﺑﺮاﺑـــﺮ اﺳـــﺖ ﺑـــﺎ‪:‬‬
‫‪x =b‬‬
‫= ) ‪Q (b‬‬
‫‪ .7‬در ﻳﻚ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪاي ﻣﺎﻧﻨﺪ ‪ an x n + an −1x n −1 + ... + a1x 1 + a0‬ﺑﺮاي ﻳﺎﻓﺘﻦ ﻣﺠﻤﻮع ﺿﺮاﻳﺐ ﻛﺎﻓﻲ اﺳﺖ ﺑﻪ ﺟﺎي ‪ x‬ﻋﺪد )‪ (1‬ﻗﺮار دﻫﻴﻢ و ﺑﺮاي‬
‫ﻳﺎﻓﺘﻦ ﺟﻤﻠﻪ ﻣﺴﺘﻘﻞ از ‪) x‬ﺟﻤﻠﻪ ﺛﺎﺑﺖ( ﻛﺎﻓﻲ اﺳﺖ ﺑﻪ ﺟﺎي ‪ x‬ﻋﺪد ﺻﻔﺮ ﻗﺮار دﻫﻴﻢ‪.‬‬
‫‪ .8‬اﮔـــﺮ ﺑـــﺎﻗﻲﻣﺎﻧـــﺪه ﺗﻘـــﺴﻴﻢ‬
‫) ‪P (x‬‬
‫ﺑـــﺮ‬
‫) ‪(a 1x 1 + b1 )(ax 2 + b2 )....(an x n + bn‬‬
‫‪ .9‬ﺑﺮاي ﻳﺎﻓﺘﻦ ﺑﺎﻗﻲﻣﺎﻧﺪه ﺗﻘﺴﻴﻢ‬
‫اﺗﺤﺎدﻳﻪﻫﺎي‬
‫) ‪P (x‬‬
‫) ‪(x ∓ a )(x 2 ± ax + a 2‬‬
‫ﺑﺮ‬
‫‪, ax 1 + b1‬‬
‫‪ an xn + bn ,...,ax 2 + b2‬ﺑﺮاﺑـــﺮ ‪ R‬ﺑﺎﺷـــﺪ آﻧﮕـــﺎه ﺑـــﺎﻗﻲﻣﺎﻧـــﺪه ﺗﻘـــﺴﻴﻢ‬
‫) ‪P (x‬‬
‫ﺑـــﺮ‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ‪ R‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪x 2 ± ax + a 2‬‬
‫اﺳﺘﻔﺎده ﻛﺮد‪.‬‬
‫ﻣﻲﺗـﻮان ﺑـﺎ ﺻـﻔﺮ ﻗـﺮار دادن ﻣﻘـﺴﻮم ﻋﻠﻴـﻪ و ﺿـﺮب ﻃـﺮﻓﻴﻦ ﺗـﺴﺎوي در‬
‫‪x ±a‬‬
‫از‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪99‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .10‬اﮔﺮ ﺑﺎﻗﻲﻣﺎﻧﺪه‬
‫ﺑﺎﻗﻲ ﻣﺎﻧﺪه‬
‫) ‪f (x‬‬
‫ﺑﺮ‬
‫) ‪h (x‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫) ‪R1 (x‬‬
‫ﺑﺮ‬
‫) ‪h (x‬‬
‫اﺳﺖ‪.‬‬
‫) ‪R1 (x )R2 (x‬‬
‫و ﺑﺎﻗﻲﻣﺎﻧﺪه‬
‫‪ .12‬اﻟﻒ‪.‬‬
‫ب‪.‬‬
‫‪xm −yn‬‬
‫‪xm −yn‬‬
‫زﻣﺎﻧﻲ ﺑﺮ‬
‫زﻣﺎﻧﻲ ﺑﺮ‬
‫‪x p +yp‬‬
‫ﺑﺨﺶﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ‬
‫ج‪.‬‬
‫‪xm + yn‬‬
‫زﻣﺎﻧﻲ ﺑﺮ‬
‫‪x p + gq‬‬
‫د‪.‬‬
‫‪xm + yn‬‬
‫ﻫﻴﭻﮔﺎه ﺑﺮ‬
‫‪x p − yq‬‬
‫ﺑﺨﺶﭘﺬﻳﺮ ﻧﻴﺴﺖ‪.‬‬
‫‪m n‬‬
‫=‬
‫‪p q‬‬
‫‪m n‬‬
‫=‬
‫‪p q‬‬
‫ﺑﺨﺶﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ ﻛﻪ‬
‫ﺑﺨﺶﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ ﻛﻪ‬
‫‪.13‬‬
‫) ‪g (x‬‬
‫) ‪h (x‬‬
‫) ‪a n + 1 = (a + 1 )(a n −1 − a n −2 + ... − a + 1‬‬
‫‪ .11‬ﺑﺎ ﺗﻘﺴﻴﻢ ‪ a n + 1‬ﺑﺮ ‪ a + 1‬ﺑﻪ ﺗﺴﺎوي زﻳﺮ ﻣﻲرﺳﻴﻢ‪.‬‬
‫‪x p − yq‬‬
‫ﺑﺮ‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫) ‪R (x‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺑﺎﻗﻲﻣﺎﻧﺪهي‬
‫) ‪f (x )g (x‬‬
‫ﺑﺮ‬
‫) ‪h (x‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ﺑـﺎ‬
‫‪m n‬‬
‫=‬
‫‪p q‬‬
‫)ﻋﺪد زوج(‬
‫)ﻋﺪد ﻓﺮد(‬
‫) ‪x n − y n = (x − y )(x n −1 + x n −2y + x n −3y 2 + ... + xy n −2 + y n −1‬‬
‫‪ n .14‬زوج ) ‪x n − y n = (x + y )(x n −1 − x n −2y + x n −3y 2 − ... + xy n −2 − y n −1‬‬
‫) ‪x n + y n = (x + y )(x n −1 − x n −2y + x n −3y 2 − ... + xy n −2 + y n −1‬‬
‫‪ N‬ﻓﺮد‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺗﺴﺖﻫﺎي ﺑﺨﺶﭘﺬﻳﺮي‬
‫‪ .1‬ﻣﻘﺪار ‪ m‬ﻛﺪام ﺑﺎﺷﺪ ﺗﺎ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪاي‬
‫‪13/5 (1‬‬
‫‪P (x ) = x 3 − mx 2 − x + 4‬‬
‫‪17/5 (3‬‬
‫‪-13/5 (2‬‬
‫‪ .2‬در ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪاي ‪ ، P (x ) = x 3 + ax 2 + x + b‬ﻣﻘﺪار‬
‫‪- 4 (1‬‬
‫‪P (x ) = 5x 2 − 2x 3 − x + 4‬‬
‫‪3 (1‬‬
‫‪ .4‬اﮔﺮ‬
‫‪6 (1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪(3‬‬
‫ﺑﺮ‬
‫‪B (x ) = 2x − 3‬‬
‫‪1 (2‬‬
‫ﻳﻚ ﻓﺎﻛﺘﻮر )ﻋﺎﻣﻞ(‬
‫‪f (x ) = x 3 + 2x 2 − 5x − 6‬‬
‫‪2 (2‬‬
‫‪-17/5 (4‬‬
‫ﻛﺪام ﺑﺎﺷﺪ ﺗﺎ ﺑﺎﻗﻲﻣﺎﻧﺪه ﺗﻘﺴﻴﻢ آن ﺑﺮ‬
‫‪4 (2‬‬
‫‪ .3‬اﮔﺮ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪاي‬
‫‪x −2‬‬
‫ﺑﺮ‬
‫‪2x + 1‬‬
‫ﺑﺨﺶﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ؟‬
‫‪ x −1‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 4‬ﺑﻮده و ﺑﺮ ‪x + 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻴﻢ ﻣﻘﺪار ﺧﺎرج ﻗﺴﻤﺖ ﺑﻪ ازاي‬
‫‪-1 (3‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮع رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎﻣﻠﻪي‬
‫‪-6 (3‬‬
‫‪−‬‬
‫‪x = −1‬‬
‫‪-3 (4‬‬
‫‪f (x ) = 0‬‬
‫ﺑﺨﺶﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ؟‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪-2 (4‬‬
‫ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪ 100‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪ .5‬اﮔﺮ ﻳﻜﻲ از ﺟﻮابﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪x 3 − 2x 2 + ax + 2 = 0‬‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪(1‬‬
‫‪P (x ) = ax 2 + bx + c‬‬
‫ﺑﺮ‬
‫‪x −1‬‬
‫‪5 (1‬‬
‫ﺑﺮ‬
‫‪x 2 − 5x + 16‬‬
‫‪m = −8 , n = 24‬‬
‫و‬
‫‪x −2‬‬
‫‪4 (1‬‬
‫‪ .9‬ﺑﻪ ازاي ﻛﺪام ﻣﻘﺪار ‪ ،n‬ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪاي‬
‫‪2 (1‬‬
‫‪-1 (4‬‬
‫ﺑﺨﺶﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪m =2 , n =4‬‬
‫‪c −b‬‬
‫‪a‬‬
‫ﭼﻘﺪر اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﺑﺮ‬
‫‪- 2 (2‬‬
‫و‬
‫در ﺗﻘـﺴﻴﻢ ﺑـﺮ‬
‫) ‪(x −1‬‬
‫ﻫـﻢ ﺑـﺎﻗﻲﻣﺎﻧـﺪه ﺑﺎﺷـﻨﺪ‪ ،‬ﺑـﺎﻗﻲﻣﺎﻧـﺪه‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪-4 (3‬‬
‫‪P (x ) = (k − 2 )x n − 3kx n −1 + 54‬‬
‫‪3 (2‬‬
‫‪-1 (4‬‬
‫‪g (x ) = 2x 6 + bx 3 − 2x + 4‬‬
‫) ‪(x + 1‬‬
‫‪m =1 , n =6‬‬
‫‪a ≠0‬‬
‫‪1 (3‬‬
‫‪f (x ) = ax 5 − 3x 2 + x + 1‬‬
‫‪h (x ) = 4x 7 + ax 3 + bx 2 − x − 4‬‬
‫‪(3‬‬
‫ﺑﺨﺶﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪- 5 (2‬‬
‫‪ .8‬اﮔﺮ ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪايﻫـﺎي‬
‫ﺗﻘﺴﻴﻢ‬
‫‪-2 (3‬‬
‫‪x 4 − 3x 3 + mx + n‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪m = −2 , n = 12‬‬
‫‪ .7‬اﮔﺮ‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 2‬ﺑﺎﺷﺪ ﻣﺠﻤﻮع دو ﺟﻮاب دﻳﮕﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪ m .6‬و ‪ n‬ﻛﺪام ﺑﺎﺷﻨﺪ ﺗﺎ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪاي‬
‫‪saati.com‬‬
‫ﺑﺮ‬
‫‪-12 (4‬‬
‫‪2x − 6‬‬
‫‪4 (3‬‬
‫ﺑﺨﺶﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ؟‬
‫‪ (4‬ﺑﻪ ‪ k‬ﺑﺴﺘﮕﻲ دارد‪.‬‬
‫‪ .10‬اﮔﺮ ﺑﺎﻗﻲﻣﺎﻧﺪه ﺗﻘﺴﻴﻢ ) ‪ f (x‬ﺑﺮ ‪ x 2 − 1‬و ‪ x 2 − 4‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ‪ x + 3‬و ‪ x −2‬ﺷﻮد آن ﮔﺎه ﺑﺎﻗﻲﻣﺎﻧﺪه ﺗﻘﺴﻴﻢ ) ‪ f (x‬ﺑﺮ ‪x 2 + 3x + 2‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪7x − 9‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪−7x − 9‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪−7x + 9‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪7x + 9‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪101‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .11‬اﮔﺮ ﺑﺎﻗﻲﻣﺎﻧﺪه ﺗﻘﺴﻴﻢ )‪ P(x‬ﺑﺮ‬
‫‪(1‬‬
‫‪x −2‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪−3x + 1‬‬
‫‪ .12‬اﮔﺮ ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪاي‬
‫‪(3‬‬
‫‪−3x − 1‬‬
‫‪x2 +1‬‬
‫ﺑﺮ‬
‫‪x −1‬‬
‫‪−2x 2 + x + 4‬‬
‫‪ .14‬اﮔﺮ ﺑﺎﻗﻲﻣﺎﻧﺪه ﺗﻘﺴﻴﻢ )‪ p(x‬ﺑﺮ‬
‫‪2x − 1‬‬
‫‪2 (1‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪ .16‬ﺑﺎﻗﻲﻣﺎﻧﺪه ﺗﻘﺴﻴﻢ‬
‫‪(3‬‬
‫‪p (x ) = x 2n + 2x 2n −1 + 2x − 2‬‬
‫‪x −2‬‬
‫‪x 17 + x 2 − x + 1‬‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪0/25 (1‬‬
‫و‪x‬و‬
‫‪2x + 1‬‬
‫ﺑﺮ‬
‫ﺑﺮ‬
‫‪x 2 + 3x + 2‬‬
‫‪x3 −x‬‬
‫‪0 / 5 (2‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪4x 3 − x‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫ﭼﻴﺴﺖ؟‬
‫‪(4‬‬
‫‪x2 +1‬‬
‫)‪(n ∈N , n ≤ 10‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪x −4‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪t 10 − 1‬‬
‫) ‪p (x‬‬
‫ﺑﺮ‬
‫ﺑﺮ‬
‫‪x 3 + x 2 − 2x‬‬
‫‪2x 2 + x + 4‬‬
‫‪x2 −1‬‬
‫‪x (3‬‬
‫‪x +3‬‬
‫) ‪(1 + t )(1 − t + t 2 − t 3 + t 4‬‬
‫‪−2x 2 − x + 4‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 2‬ﺷﻮد‪ ،‬ﺑﺎﻗﻲﻣﺎﻧﺪه ﺗﻘﺴﻴﻢ‬
‫‪ (2‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪ .15‬ﺑﺎﻗﻲﻣﺎﻧﺪه ﺗﻘﺴﻴﻢ‬
‫‪ .17‬ﺣﺎﺻﻞ ﻋﺒﺎرت‬
‫‪2x 2 − x + 4‬‬
‫ﺑﺮ‬
‫‪x3 +1‬‬
‫‪(3‬‬
‫=‪A‬‬
‫ﺑﻪ ازاي‬
‫‪t =5 5‬‬
‫‪x2 +1‬‬
‫‪(4‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪0/75 (3‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪-5 (4‬‬
‫‪ x −2‬ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ‪ 7‬و ‪ 4‬و ‪ 10‬ﺷﻮد‪ ،‬ﺑﺎﻗﻲﻣﺎﻧﺪه ﺗﻘﺴﻴﻢ )‪f(x‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪3x − 1‬‬
‫‪g (x ) = ax 9 + bx 6 − 2‬‬
‫‪5 )3‬‬
‫و‪x‬و‬
‫‪(2‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪3x + 1‬‬
‫ﺑﺨﺶﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺑﺎﻗﻲﻣﺎﻧﺪه ﺗﻘﻴﻢ‬
‫‪- 1 (2‬‬
‫‪ .13‬اﮔﺮ ﺑﺎﻗﻲﻣﺎﻧﺪه ﺗﻘﺴﻴﻢ )‪ f(x‬ﺑﺮ‬
‫‪(1‬‬
‫ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 5‬و ‪ -10‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺑﺎﻗﻲﻣﺎﻧﺪه ﺗﻘﺴﻴﻢ )‪ p(x‬ﺑﺮ‬
‫‪x +3‬‬
‫‪f (x ) = ax 4 + bx 2 + 3‬‬
‫‪1 (1‬‬
‫‪(1‬‬
‫و‬
‫‪x2 +x −6‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪1 (4‬‬
‫‪−x 2 + 1‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪ 102‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪ .18‬ﻋﺒﺎرت‬
‫‪(1‬‬
‫‪ .19‬اﮔﺮ‬
‫‪x 45 + y 75‬‬
‫ﺑﺮ ﻛﺪاﻣﻴﻚ از ﻋﺒﺎرات زﻳﺮ ﺑﺨﺶﭘﺬﻳﺮ ﻧﻴﺴﺖ؟‬
‫‪x 3 + y5‬‬
‫‪x 9 + y 15‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪f (x ) = x (x + 2 )(x + 4 )(x + 5 )(x + 6 ) + k‬‬
‫‪63 (1‬‬
‫‪p (x ) = x 95 + x 55‬‬
‫‪- 1 (1‬‬
‫‪ .21‬اﮔﺮ ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪاي‬
‫‪x 2 + 7x + 3‬‬
‫ﺑﺮ‬
‫‪-63 (2‬‬
‫‪ .20‬ﺑﺎﻗﻲﻣﺎﻧﺪه ﺗﻘﺴﻴﻢ‬
‫ﺑﺮ‬
‫‪p (x ) = x 8 + 64‬‬
‫‪ 12 (1‬ﻳﺎ ‪4‬‬
‫ﺑﺮ‬
‫‪x 2 −x + 1 = 0‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪x 4 + mx 2 + n‬‬
‫?= ‪k‬‬
‫‪-54 (4‬‬
‫ﺑﺨﺶﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ؟‬
‫‪(4‬‬
‫‪x −1‬‬
‫ﺑﺮ‬
‫‪x 9 + x 8 + ... + x + 1‬‬
‫‪x 8 + x 7 + ... + x + 1‬‬
‫‪x +1‬‬
‫? = ‪m +n‬‬
‫‪ 12 (3‬ﻳﺎ ‪-4‬‬
‫‪p (x ) = x 99 + x 98 + ... + x + 1‬‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫ﺑﺨﺶﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ؟‬
‫‪x 15 + y 25‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪ -12 (2‬ﻳﺎ ‪-4‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪x6 +y9‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪54 (3‬‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪ .22‬ﺑﺎﻗﻲﻣﺎﻧﺪه ﺗﻘﺴﻴﻢ‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ -12 (4‬ﻳﺎ ‪4‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪1 (4‬‬
‫‪9 (3‬‬
‫ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻤﺎﻳﻲ‬
‫‪ .1‬ﻫﺮ ﺗﺎﺑﻌﻲ ﻛﻪ ﺑﻪ ﺻﻮرت‬
‫‪y =ax‬‬
‫ﻛﻪ ‪ a > 0‬و ‪ a ≠ 1‬اﺳﺖ ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y =ax‬‬
‫‪0 <a < 1‬‬
‫‪y =ax‬‬
‫‪a >1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪103‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .2‬اﮔﺮ در ﻳﻚ دﺳﺘﮕﺎه ﻣﺨﺘﺼﺎت‪ ،‬ﻧﻤﻮدار ﺗﻮاﺑﻊ ﻧﻤﺎﻳﻲ را ﺑﻪ ﻓﺮم‬
‫ﻣﻲﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬
‫‪T‬‬
‫‪( )x ( 1 ) x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪( )x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪4x 2x‬‬
‫‪5x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .3‬اﮔﺮ ﻧﻘﺎط ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﺑﻪ ﺻﻮرت‬
‫‪ y = a x‬را رﺳﻢ ﻛﻨﻴﻢ ﻫﻤﻪي ﻧﻤﻮدارﻫـﺎ در ﻳـﻚ ﻧﻘﻄـﻪ ﻳﻌﻨـﻲ ) ‪(0 , 1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪f (x ) = ab x‬‬
‫ﻫﻤـﺪﻳﮕﺮ را ﻗﻄـﻊ‬
‫‪0‬‬
‫را در ﻳﻚ ﺟﺪول ﺗﻨﻈﻴﻢ ﻛﻨﻴﻢ در ﺻﻮرﺗﻲ ﻛﻪ ﻃﻮل ﻧﻘﺎط ﺑﻪ ﺻـﻮرت ﺗـﺼﺎﻋﺪ ﺣـﺴﺎﺑﻲ اﻧﺘﺨـﺎب ﻛﻨـﻴﻢ‬
‫ﻋﺮض ﻧﻘﺎط ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺗﺼﺎﻋﺪ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺧﻮاﻫﺪ ﻛﺮد‪ .‬ﻣﺜﻼً ﺑﻪ ازاي ‪x‬ﻫﺎي ﻃﺒﻴﻌﻲ‬
‫‪4‬‬
‫‪ab 4‬‬
‫‪ .4‬ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻤﺎﻳﻲ‬
‫‪f (x ) = a x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫و ‪ a > 0‬و ‪.a ≠ 1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ab ab‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪f (x ) = logax‬‬
‫ﺑﺮاي ‪ a ≠ 1‬و ‪ a > 0‬ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﻳﻚ ﺑﻪ ﻳﻚ و ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ و ﻣﻌﻜﻮس آن ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﺑﻪ ﺻـﻮرت‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪log x‬‬
‫‪a >1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪logax‬‬
‫‪0 <a < 1‬‬
‫‪ .5‬ﺑﺮاي ﻫﺮ ﻋﺪد ﻧﻤﺎﻳﻲ ‪ b y = x‬ﺑﺎ ﺷﺮط ‪ b > 0‬و ‪ b ≠ 1‬دارﻳﻢ‪:‬‬
‫‪b >0 , b ≠1‬‬
‫‪b y = x ⇔ y = logbx‬‬
‫ﻛﻪ ‪ b‬را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﭘﺎﻳﻪ ﻳﺎ ﻣﻨﺒﺎي ﻟﮕﺎرﻳﺘﻢ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬
‫‪ .6‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﻌﺮﻳﻒ رﻳﺎﺿﻲ ﻟﮕﺎرﻳﺘﻢ دارﻳﻢ‪) :‬رواﺑﻂ اوﻟﻴﻪ(‬
‫‪loga1 = 0‬‬
‫)ب‬
‫‪logaa = 1‬‬
‫‪log AB = log A + log B‬‬
‫)د‬
‫‪logx10 = log x‬‬
‫)ج‬
‫‪log An = n log A‬‬
‫)و‬
‫‪log‬‬
‫)ه‬
‫= ‪log n A‬‬
‫)ز‬
‫‪A‬‬
‫‪= log A − log B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪1‬‬
‫‪log A‬‬
‫‪n‬‬
‫)اﻟﻒ‬
‫‪ .7‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از رواﺑﻂ اوﻟﻴﻪ دارﻳﻢ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪logba‬‬
‫‪n‬‬
‫‪logba‬‬
‫‪m‬‬
‫= ‪logab‬‬
‫)اﻟﻒ‬
‫= ‪logam‬‬
‫)ب‬
‫‪n‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ 104‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪logca‬‬
‫‪c >0 , c ≠1‬‬
‫‪logbc‬‬
‫= ‪logab‬‬
‫‪=x‬‬
‫‪a‬‬
‫‪= b logc‬‬
‫)ج‬
‫‪x‬‬
‫‪) a loga‬د‬
‫‪b‬‬
‫‪) a logc‬ه‬
‫‪.8‬‬
‫‪→ a ≥c‬‬
‫‪) b > 1 , logab ≥ logcb‬اﻟﻒ‬
‫‪) b > 1 , logab ≥ c → a ≥ bc‬ب‬
‫‪0 < b < 1 , logab ≥ logcb → a ≤ c‬‬
‫)ج‬
‫‪0 < b < 1 , logab ≥ c → a ≤ b c‬‬
‫)د‬
‫‪log 34 > 0‬‬
‫و‬
‫‪ .9‬اﮔﺮ در ﻳﻚ ﻟﮕﺎرﻳﺘﻢ‪ ،‬ﻋﺪد و ﻣﺒﻨﺎ ﻫﺮ دو ﺑﺰرﮔﺘﺮ از ‪ 1‬و ﻳﺎ ﻫـﺮ دو ﺑـﻴﻦ ﺻـﻔﺮ و ﻳـﻚ ﺑﺎﺷـﻨﺪ ﺣﺎﺻـﻞ ﻟﮕـﺎرﻳﺘﻢ ﻣﺜﺒـﺖ اﺳـﺖ‪ .‬ﺑـﺮاي ﻣﺜـﺎل‬
‫‪1‬‬
‫‪log 21 > 0‬‬
‫و اﮔﺮ ﻋﺪد و ﻣﺒﻨﺎ ﻳﻜﻲ ﺑﺰرﮔﺘﺮ از ﻳﻚ و دﻳﮕﺮي ﺑﻴﻦ ﺻﻔﺮ و ﻳﻚ ﺑﺎﺷﺪ ﺣﺎﺻﻞ ﻟﮕﺎرﻳﺘﻢ ﻣﻨﻔﻲ اﺳﺖ ﺑﺮاي ﻣﺜﺎل‬
‫‪log 30/5 < 0‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪log52 < 0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪n ≤ logab‬‬
‫‪logab‬‬
‫و ‪ ، n ∈Z‬ﻳﻌﻨﻲ ﻟﮕﺎرﻳﺘﻢ ﻫﺮ ﻋﺪد ﺑﻴﻦ ﺻﺤﻴﺢ ﻣﺘـﻮاﻟﻲ ﻗـﺮار‬
‫ﻋﺪد ﮔﻨﮓ و ﮔﺎﻫﻲ ﻋﺪدي ﮔﻮﻳﺎ اﺳﺖ ﻳﻌﻨﻲ ‪< n + 1‬‬
‫‪ .10‬در اﻏﻠﺐ ﻣﻮارد‬
‫دارد و ﺑﺮاي ﭘﻴﺪا ﻛﺮدن ﻣﺤﺪودهي ‪ ، logab‬ﺑﺎﻳﺴﺘﻲ ‪ a‬را ﺑﻴﻦ دو ﺗﻮان ﻣﺘﻮاﻟﻲ از ‪ b‬ﻗﺮار دﻫﻴﻢ ﻳﻌﻨﻲ ‪ b n < a < b n +1‬و از آﻧﺠﺎ ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻣﻲﺷـﻮد ﻛـﻪ‬
‫‪. n ≤ logab < n + 1‬‬
‫‪ .11‬اﮔﺮ در ‪ a ، logax‬را ﻋﺪد ﻧﭙﺮ ﻳﻌﻨـﻲ )‪ (e 2 / 7182818200‬در ﻧﻈـﺮ ﺑﮕﻴـﺮﻳﻢ آنﮔـﺎه ‪ logex = Lnx‬و آن را ﺗـﺎﺑﻊ ﻟﮕـﺎرﻳﺘﻢ ﻃﺒﻴﻌـﻲ )ﻟﮕـﺎرﻳﺘﻢ ﻧﭙـﺮﻳﻦ(‬
‫ﻣﻲﻧﺎﻣﻨﺪ و دارﻳﻢ‪:‬‬
‫‪) ln 1 = 0‬اﻟﻒ‬
‫‪) ln e = 1‬ب‬
‫‪) ln xy = ln x + ln y‬ج‬
‫‪ln x n = n ln x‬‬
‫)ه‬
‫‪) e ln x = x‬و‬
‫‪y = ln x ⇒ x = e y‬‬
‫)ح‬
‫‪x‬‬
‫‪= ln x − ln y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪.12‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y = Lnx‬‬
‫‪Ln‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y =e x‬‬
‫‪y = ex‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ln‬‬
‫)د‬
‫‪ln x‬‬
‫‪= ln xy‬‬
‫‪ln y‬‬
‫)ز‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪105‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .13‬در ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت ﻟﮕﺎرﻳﺘﻤﻲ و ﻧﻤﺎﻳﻲ ﻣﻮارد زﻳﺮ را ﺑﺮرﺳﻲ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪:‬‬
‫اﻟﻒ‪ :‬داﻣﻨﻪ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺗﺎﺑﻊ را ﺗﻌﻴﻴﻦ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫ب‪ :‬ﭼﻨﺎﻧﭽﻪ از وﻳﮋﮔﻲﻫﺎي ﻟﮕﺎرﻳﺘﻢ اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺟﻮاب ﺧﺎرﺟﻲ ﻇﺎﻫﺮ ﺷﻮد ﻛﻪ ﺑﺎﻳﺪ از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺟﻮاب ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑـﻪ داﻣﻨـﻪي ﺗﻌﺮﻳـﻒ ﻛـﺴﺮ‬
‫ﮔﺮدد‪.‬‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺗﺴﺖﻫﺎي ﺗﺎﺑﻊ ﻟﮕﺎرﻳﺘﻢ و ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻤﺎﻳﻲ‬
‫‪ .1‬در ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪي‬
‫‪f (x ) = ab x = b > 0‬‬
‫‪6 (1‬‬
‫‪ .2‬اﮔﺮ‬
‫‪(1‬‬
‫‪f (x ) = 3 3x‬‬
‫‪(2‬‬
‫)∞ ‪(0 , +‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪12 (3‬‬
‫)‪(−∞ , 0‬‬
‫)‪(−∞ , 0‬‬
‫‪f (x ) = a (b )x − 1‬‬
‫‪- 1 (1‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪f (5 ) = −6‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(2‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‬
‫‪log 9A2‬‬
‫‪(4‬‬
‫)∞ ‪(1 , +‬‬
‫‪f (25 ) = −96‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪،‬‬
‫‪1 1‬‬
‫) ‪,‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪A(−‬‬
‫و‬
‫‪(3‬‬
‫‪logx2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪24 (4‬‬
‫) ‪B (1 , 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫) ‪(−∞ , 1‬‬
‫? = ) ‪f (15‬‬
‫‪51 (3‬‬
‫‪−‬‬
‫‪ .5‬از ﺗﺴﺎوي ‪ ، log(x 2 + 4 ) = 1 + logx5‬ﻣﻘﺪار‬
‫‪3 +a‬‬
‫اﺳﺖ اﮔﺮ‬
‫از دو ﻧﻘﻄﻪ ي‬
‫‪(2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪3a = A‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪-36 (2‬‬
‫‪ .4‬اﮔﺮ ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪24 (4‬‬
‫و ‪ ، g (x ) = 5 2x‬ﺑﺰرﮔﺘﺮﻳﻦ ﺑﺎزهاي ﻛﻪ در آن ﻧﻤﻮدار ‪ f‬ﭘﺎﻳﻴﻦ ﻧﻤﻮدار ‪ g‬ﻗﺮار ﻣﻲﮔﻴﺮد ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪-24 (1‬‬
‫‪ .6‬اﮔﺮ‬
‫‪2‬‬
‫‪8 (2‬‬
‫‪ f .3‬ﺗﺎﺑﻌﻲ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﺑﺎ داﻣﻨﻪ ‪ R‬و ﺑﺮد‬
‫‪(1‬‬
‫دارﻳﻢ‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫= )‪f (0‬‬
‫و ‪ ، f (−2 ) = 3‬ﻣﻘﺪار‬
‫‪3‬‬
‫) (‪f‬‬
‫‪2‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫ﺑﮕﺬرد‪ .‬آنﮔﺎه‬
‫‪−‬‬
‫? = ) ‪f (−1‬‬
‫)ﺗﺠﺮﺑﻲ ‪(93‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪−‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟ )ﺳﺮاﺳﺮي ﺗﺠﺮﺑﻲ ‪(93‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2 (4‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(2‬‬
‫‪3 + 2a‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪2 +a 2‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪2 + 2a‬‬
‫‪ 106‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪x = 8 log 24 2‬‬
‫‪ .7‬اﮔﺮ‬
‫‪(1‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻟﮕﺎرﻳﺘﻢ ﻋﺪد‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪ .8‬اﮔﺮ ﻟﮕﺎرﻳﺘﻢ ﻋﺪد‬
‫‪2 3 0 / 25‬‬
‫‪- 3 (1‬‬
‫‪ .9‬ﺿﺎﺑﻄﻪ ﺗﺎﺑﻊ وارون‬
‫‪1 −x‬‬
‫‪1 +x‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪1 + 10x‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪y = log‬‬
‫‪1053‬‬
‫) ‪(30 + x − x 2‬‬
‫‪ (1‬ﺑﻲﺷﻤﺎر‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .13‬اﮔﺮ‬
‫‪(1‬‬
‫‪x +1‬‬
‫‪x −1‬‬
‫‪y = log‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪log 2 =k‬‬
‫‪2k‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪1‬‬
‫)‪− 1‬‬
‫‪A‬‬
‫(‬
‫در ﭘﺎﻳﻪ ‪ 4‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪x −1‬‬
‫‪x +1‬‬
‫‪y = log‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1047‬‬
‫) ‪(x 2 −3‬‬
‫‪1014‬‬
‫‪7 (3‬‬
‫ﺧﻂ‬
‫‪y =2‬‬
‫‪5 (4‬‬
‫را در ﻧﻘﻄﻪ ﺑﺎ ﻛﺪام ﻃﻮل ﻗﻄﻊ ﻣﻲﻛﻨﺪ؟‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4k‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪109‬‬
‫ﺷﺎﻣﻞ ﭼﻨﺪ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ اﺳﺖ؟‬
‫) ‪log(6 − 2 5 ) + 2 log(1 + 5‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪y = log‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪10 − x‬‬
‫‪10 + x‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(3‬‬
‫‪y = log‬‬
‫‪1 +x‬‬
‫‪1 −x‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪9 (2‬‬
‫‪ .12‬ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪي‬
‫‪(1‬‬
‫‪2 (3‬‬
‫‪log x − 9 1ogx + 14 = 0‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪ .11‬داﻣﻨﻪي ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪي‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 (4‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪ .10‬ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ﺟﻮابﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪(1‬‬
‫در ﭘﺎﻳﻪ ‪ x‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫در ﻣﺒﻨﺎي ‪ 8‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ A‬ﺑﺎﺷﺪ آنﮔﺎه ‪ log‬ﻋﺪد‬
‫‪(2‬‬
‫‪1 − 10x‬‬
‫) ‪4 (x + 3‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪1 (4‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(3‬‬
‫‪1 +k‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪2 + 4k‬‬
‫‪y = log‬‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪107‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .14‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺟﻮاب ﻣﻌﺎدﻟﻪﻫﺎي‬
‫‪1‬‬
‫‪=0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪log x + log‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪R (1‬‬
‫‪ .15‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬
‫‪x‬‬
‫‪x = 33‬‬
‫)∞ ‪(0 , +‬‬
‫‪2 (3‬‬
‫‪1 (2‬‬
‫) ‪log(6x − 1 ) log(1 − x‬‬
‫) ‪log(1 − x ) log(6x − 1‬‬
‫‪ .16‬ﭼﻨﺪ ﻣﻘﺪار ﻣﻮرد ﻗﺒﻮل ‪ ،x‬ﺣﺎﺻﻞ دﺗﺮﻣﻴﻨﺎن‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪(1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪logx2 = log 3‬‬
‫‪ ، log(2x − 1) + 1‬ﻣﻘﺪار‬
‫‪2‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .19‬اﮔﺮ‬
‫‪(1‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪log 2 + log 3 + log 4 =a‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a +2‬‬
‫‪ .20‬اﮔﺮ‬
‫‪4 (1‬‬
‫‪log xy 2 = 2‬‬
‫‪−‬‬
‫) ‪log 4 (x + 2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3log 6 + 2 log 8‬‬
‫‪log 2400‬‬
‫‪2 (2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪3a‬‬
‫‪a +2‬‬
‫و ‪ ، log x 2y = 4‬ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(3‬‬
‫‪logxy 4‬‬
‫‪3 (4‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(3‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪(2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪log 4‬‬
‫‪ (4‬ﺑﻲﺷﻤﺎر‬
‫را ﺻﻔﺮ ﻣﻲﻛﻨﺪ؟‬
‫‪2 (3‬‬
‫‪ .18‬اﮔﺮ )‪ ، 2 log(x − 2 ) = log(x + 10‬آﻧﮕﺎه‬
‫‪(1‬‬
‫‪(3‬‬
‫)∞ ‪[1 , +‬‬
‫‪(4‬‬
‫}{‬
‫‪1‬‬
‫ﭼﻨﺪ ﺟﻮاب دارد؟‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪ .17‬از ﺗﺴﺎوي‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(3‬‬
‫‪a +3‬‬
‫‪a +2‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪a‬‬
‫‪3a + 6‬‬
‫ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪8 (3‬‬
‫‪6 (4‬‬
‫‪ 108‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪ .21‬از ﺗﺴﺎوي ‪ ، log5 (2x − 1) + log5 (3x − 5 ) = 1‬ﻣﻘﺪار‬
‫‪2 (1‬‬
‫‪ .22‬اﮔﺮ‬
‫‪(1‬‬
‫‪=A‬‬
‫‪ ، log 5 e 2‬ﺣﺎﺻﻞ‬
‫و‬
‫‪(2‬‬
‫‪k1 + k 2 + k 3‬‬
‫‪log 32‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪e‬‬
‫‪A‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .24‬ﺑﻪ ازاي ﻛﺪام ﻣﻘﺪار ‪ m‬ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪ‬
‫‪ .25‬اﮔﺮ‬
‫‪t +1‬‬
‫‪t‬‬
‫‪A=x‬‬
‫و‬
‫‪1‬‬
‫‪B = x t +1‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪x + x2 +m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪f (x ) = log‬‬
‫‪5 (4‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪2k1 + k3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪A‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪2k3 + k1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪A‬‬
‫ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﻓﺮد اﺳﺖ؟ )ﺟﺎﻣﻊ ﺳﻨﺠﺶ ‪(93‬‬
‫‪-4 (3‬‬
‫‪ (4‬ﻫﻴﭻ ﻣﻘﺪار ‪m‬‬
‫ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻟﮕﺎرﻳﺘﻢ ‪ A‬در ﭘﺎﻳﻪ ‪ B‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟ )ﺳﻨﺠﺶ ‪(93‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪A = 4 log x + 1 − 3 log 3 x‬‬
‫‪5/25 (1‬‬
‫‪loga 3b 2c‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪(t + 1 )2‬‬
‫‪t‬‬
‫‪ .26‬اﮔﺮ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪4 (1‬‬
‫‪4 (3‬‬
‫‪log ac = k3‬‬
‫‪2k1 + k2‬‬
‫‪ .23‬اﮔﺮ‬
‫‪(1‬‬
‫‪log ab = k1‬‬
‫و‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫) ‪log 2 (6x + 3‬‬
‫‪3 (2‬‬
‫‪log bc = k2‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪t‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪(t + 1 )2‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪6/5 (2‬‬
‫‪10A‬‬
‫ﺑﻪ ازاي‬
‫‪x =4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪t‬‬
‫‪t (4‬‬
‫ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪6/25 (3‬‬
‫‪5/5 (4‬‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪109‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .27‬اﮔﺮ‬
‫‪(1‬‬
‫‪p = loga2‬‬
‫و ‪ q = logb4‬آنﮔﺎه‬
‫‪(2‬‬
‫‪log 2 ab‬‬
‫‪log 147‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .28‬ﻣﻘﺪار‬
‫ﭼﻨﺪ واﺣﺪ از ﻣﻘﺪار‬
‫‪2 (1‬‬
‫‪log 27‬‬
‫‪16‬‬
‫‪4a − 8‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .30‬ﺑﺎ ﻓﺮض‬
‫‪= 1 + loga8‬‬
‫)‬
‫‪2‬‬
‫‪4 (3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3a − 6‬‬
‫‪loga3‬‬
‫] ‪[log 0 / 1 ] + [log 0 / 02 ] + [log 0 / 003‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪ .32‬اﮔﺮ !‪ a = 100‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪(3‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪ .33‬اﮔﺮ‬
‫‪1‬‬
‫‪6a‬‬
‫‪log 312 =a‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪−5‬‬
‫‪log 23 × log 43 × ...× log 26‬‬
‫‪27‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪1 −a‬‬
‫‪6a‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫‪5 (2‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪3‬‬
‫‪4a − 8‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪3a − 6‬‬
‫‪4‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+‬‬
‫‪+ .... +‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪log 2 log 3 log 4‬‬
‫‪loga100‬‬
‫‪1 (1‬‬
‫‪7 (4‬‬
‫ﺑﺮﺣﺴﺐ ‪ a‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪ ، loga(1 −9a‬ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪−3‬‬
‫‪log 2 a b‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪log 2 ab 2‬‬
‫ﺑﻴﺶﺗﺮ اﺳﺖ؟‬
‫‪2 (2‬‬
‫‪ .31‬ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪(1‬‬
‫‪2 log‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪- 2 (1‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪log 2 a 2b‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪3 (2‬‬
‫‪ .29‬ﺑﺎ ﻓﺮض ‪ ، log183 =a‬ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪(1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪+‬‬
‫‪p q‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫‪−6‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪−9‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪10 (3‬‬
‫‪100 (4‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‪:‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪1 −a‬‬
‫‪3a‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3a‬‬
‫‪ 110‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪ .34‬ﺣﺎﺻﻞ‬
‫) ‪A = log 1 (x 3 − 3x 2 + 3x + 1‬‬
‫ﺑﻪ ازاي‬
‫‪x =1 /1‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫در ﻛﺪام ﮔﺰﻳﻨﻪ ﺻﺪق ﻣﻲﻛﻨﺪ؟‬
‫‪x −1‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪A = −3‬‬
‫‪ .35‬اﮔﺮ‬
‫‪(1‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪=A‬‬
‫‪1‬‬
‫‪500‬‬
‫‪log 3‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪−4 < A < −3‬‬
‫‪−3 < A < −2‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪0<A<1‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ آنﮔﺎه‪:‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪−5 < A < −4‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪4 <A<5‬‬
‫‪−6 < A < −5‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪5 <A<6‬‬
‫‪ .36‬اﮔﺮ ‪ a = log26‬ﺑﺎﺷﺪ آﻧﮕﺎه‪:‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫< ‪<a‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .37‬داﻣﻨﻪ ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪98 (1‬‬
‫‪(2‬‬
‫) ‪2 − log(x + 1‬‬
‫‪1 + logx2‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪(1‬‬
‫ﺷﺎﻣﻞ ﭼﻨﺪ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ اﺳﺖ؟‬
‫‪99 (2‬‬
‫‪ .38‬ﺑﻪ ازاي ﭼﻪ ﻣﻘﺎدﻳﺮ از ‪ ،a‬ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪1 < a < 100‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫< ‪<a‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫< ‪<a‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫< ‪<a‬‬
‫‪6‬‬
‫‪5‬‬
‫‪100 (3‬‬
‫‪x 2 + x log a 2 + log a = 0‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪10 <a‬‬
‫ﻳﺎ‬
‫‪0 <a < 1‬‬
‫‪101 (4‬‬
‫دو ﺟﻮاب ﻣﺘﻤﺎﻳﺰ دارد؟‬
‫‪(3‬‬
‫‪0 < a < 10‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪1 <a‬‬
‫‪ .39‬ﺣﺎﺻﻞ ﻛﺪام ﻟﮕﺎرﻳﺘﻢ ﺑﺰرگﺗﺮ اﺳﺖ؟‬
‫‪(1‬‬
‫‪log 215‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪log 143‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪log 152‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪log 160/5‬‬
‫‪ .40‬ﻣﻌﺎدﻟﻪي ‪ e x + x 2 = 4‬ﭼﻨﺪ رﻳﺸﻪ دارد؟‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪2 (3‬‬
‫‪4 (4‬‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪111‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .41‬ﻣﺠﻤﻮع رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪي ‪ e 2x − 4e x + 3 = 0‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(1‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪ln 4‬‬
‫‪ln(logx2 ) = −1‬‬
‫‪ .42‬رﻳﺸﻪي ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬
‫‪(1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e‬‬
‫‪ .43‬ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪(1‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ log 6  +  log 2 ‬‬
‫‪y = (log53 ) cos x‬‬
‫‪ .46‬ﻓﺎﺻﻠﻪ ﻧﻘﻄﻪ ﺑﺮﺧﻮرد ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻤﺎﻳﻲ‬
‫‪1 (1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪≤x ≤ −‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .48‬از ﻧﺎﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪(1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2 (3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y = 2x‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪ .47‬ﻣﺠﻤﻮع ﺟﻮاب ﻧﺎﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪e‬‬
‫‪2‬‬
‫‪e (4‬‬
‫‪3 (4‬‬
‫ﭼﻴﺴﺖ؟‬
‫‪(2‬‬
‫‪x ≥4‬‬
‫‪e‬‬
‫‪4‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪1 (1‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪e‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪ .45‬ﻣﺎﻛﺰﻳﻤﻢ‬
‫‪(3‬‬
‫‪e‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪e‬‬
‫‪8‬‬
‫‪ .44‬ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪4‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(2‬‬
‫‪( e )2 −3 ln 4‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪ln 3‬‬
‫‪3 (4‬‬
‫ﺑﺎ ﻣﺤﻮر ‪y‬ﻫﺎ و ﻧﻘﻄﻪ ﺑﺮﺧﻮرد ﻣﻌﻜﻮس اﻳﻦ ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﺑﺎ ﻣﺤﻮر ‪x‬ﻫﺎ ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪2 (3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3x + 4‬‬
‫‪≤ −1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪log 2‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪2 2‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪x ≤−‬‬
‫) ‪log 0/1 (6 − x ) ≥ log 0/1 (x − 2‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪log53‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪log53‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x >−‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪<x <1‬‬
‫‪3‬‬
‫ﺣﺪود ‪ x‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪4 ≤x ≤6‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪4 ≤x <6‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪2 <x <6‬‬
‫‪−‬‬
‫‪ 112‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪ .49‬ﺟﻮاب ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪x log 3 + 3 log x = 162‬‬
‫‪100 (1‬‬
‫‪log 2‬‬
‫‪ .50‬اﮔﺮ‬
‫‪log 2 log 5‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪ .51‬از دﺳﺘﮕﺎه‬
‫‪13‬‬
‫‪4‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪ .52‬ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪x log3 = 81‬‬
‫‪(3‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪13‬‬
‫‪6‬‬
‫‪2 (2‬‬
‫‪ .53‬اﮔﺮ‬
‫‪ log 3 = 0 / 477‬آﻧﮕﺎه ﻋﺪد ‪(81 )25‬‬
‫‪45 (1‬‬
‫‪ .54‬از ﻣﻌﺎدﻻت‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪6‬‬
‫ﭼﻨﺪ ﺟﻮاب دارد؟‬
‫‪1 (1‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x + y = 25‬‬
‫‪‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ ، ‬ﻣﻘﺪار | ‪| x − y‬‬
‫‪ log x + log y = 2 log 2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪30.000 (3‬‬
‫‪10.000 (4‬‬
‫= ) ‪ ، log(3x − 2‬آنﮔﺎه ﻣﻘﺪار ‪ x‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪1 (1‬‬
‫‪(1‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪30 (2‬‬
‫‪log 5‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫ﭼﻨﺪ رﻗﻤﻲ اﺳﺖ؟‬
‫‪46 (2‬‬
‫‪2x × 8y = 4‬‬
‫‪3 (3‬‬
‫‪ (4‬ﻫﻴﭻ‬
‫‪47 (3‬‬
‫‪48 (4‬‬
‫و ‪ ، log x = log 2 + log y‬ﻣﻘﺪار ‪ x‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ .55‬اﮔﺮ ﺑﻪ ﻋﺪد ‪ 15 ،A‬واﺣﺪ اﺿﺎﻓﻪ ﺷﻮد ﺑﻪ ﻟﮕﺎرﻳﺘﻢ آن در ﻣﺒﻨﺎي ‪ 4‬ﻳﻚ واﺣﺪ اﺿﺎﻓﻪ ﻣﻲﺷﻮد؟ = ‪A‬‬
‫‪7 / 5 (1‬‬
‫‪15 (2‬‬
‫‪3 (3‬‬
‫‪5 (4‬‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪113‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .56‬ﻟﮕﺎرﻳﺘﻢ ﻋﺪدي از ﻟﮕﺎرﻳﺘﻢ ﻋﻜﺲ ﻣﺠﺬور آن ﻋﺪد در ﭘﺎﻳﻪ ‪ 9‬ﺑﻪ اﻧﺪازه ‪ 6‬واﺣﺪ ﺑﻴﺸﺘﺮ اﺳﺖ آن ﻋﺪد ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪81 (2‬‬
‫‪27 (1‬‬
‫‪ .57‬ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪(1‬‬
‫‪(log515 )2 + log 315 .log 1575‬‬
‫‪log 315‬‬
‫‪48 (4‬‬
‫‪54 (3‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(2‬‬
‫‪log515‬‬
‫‪8 (4‬‬
‫‪6 (3‬‬
‫‪ .58‬اﮔﺮ ﻣﺠﻤﻮع ﻟﮕﺎرﻳﺘﻢ دو ﻋﺪد ﻣﺜﺒﺖ ‪ a‬و ‪ b‬در ﭘﺎﻳﻪ ‪ 2‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 4‬ﺑﺎﺷﺪ آن ﮔﺎه ﺣﺪاﻗﻞ ‪ a + b‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪2 (1‬‬
‫‪ .59‬اﮔﺮ‬
‫‪(1‬‬
‫‪4 (2‬‬
‫!‬
‫‪log 27‬‬
‫‪3 =k‬‬
‫آﻧﮕﺎه‬
‫!‬
‫‪log 26‬‬
‫‪3‬‬
‫‪6 (3‬‬
‫ﺑﺮﺣﺴﺐ ‪ k‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(2‬‬
‫‪3 −k‬‬
‫‪8 (4‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪k −3‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪k +3‬‬
‫‪k‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .60‬ﺑﻪ ﻋﺪد ‪ 301‬ﭼﻨﺪ واﺣﺪ اﺿﺎﻓﻪ ﻛﻨﻴﻢ ﺗﺎ ﻟﮕﺎرﻳﺘﻢ ﻋﺪد ﺣﺎﺻﻞ در ﻣﺒﻨﺎي ‪ 8‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 3‬ﮔﺮدد؟‬
‫‪112 (2‬‬
‫‪103 (1‬‬
‫‪301 (4‬‬
‫‪211 (3‬‬
‫ﺗﺎﺑﻊ و ﻣﻌﺎدﻟﻪ درﺟﻪ ‪ 2‬؛ ﻣﻌﺎدﻻت ﮔﻮﻳﺎ و اﺻﻢ‬
‫‪ (1‬در ﺳﻬﻤﻲ‬
‫‪y = ax 2 + bx + c‬‬
‫ﻫﻤﻮاره دارﻳﻢ‪:‬‬
‫→ ﺳـــﻬﻤﻲ ﻣـــﻲ ﻧﻴﻤـــﻢ دارد → ‪ a > 0‬‬
‫‪: ‬اﻟﻒ‬
‫→ ﺳـــــﻬﻤﻲ ﻣـــــﺎﻛﺰﻳﻤﻢ دارد → ‪ a < 0‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪x =−‬‬
‫‪S‬‬
‫ﻃــﻮل راس ﺳــﻬﻤﻲ ‪‬‬
‫‪b ‬‬
‫→‬
‫ﻣﺤــــﻮر ﺗﻘــــﺎرن ﺳــــﻬﻤﻲ ‪ : x = − = ‬ب‬
‫‪2a ‬‬
‫ﻃــــﻮل ﻣﺎﻛﺴــــﻴﻤﻢ ﻳــــﺎ ﻣــــﻲ ﻧﻴﻤــــﻢ ﺳــــﻬﻴﻢ ‪‬‬
‫‪b‬‬
‫∆‪−‬‬
‫=‪,y‬‬
‫‪) , ∆ = b 2 − 4ac‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪4a‬‬
‫‪ ⇒ S (x = −‬ﻣﺨﺘﺼﺎت راس ﺳﻬﻤﻲ ‪:‬ج‬
‫‪ 114‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪y‬‬
‫∆‪−‬‬
‫∆‬
‫‪a > 0 ⇒ y‬‬
‫‪ Rf = [−‬ﺑــــــﺮد ﺗــــــﺎﺑﻊ →‬
‫)∞ ‪, +‬‬
‫= ‪min‬‬
‫‪‬‬
‫‪4a‬‬
‫‪4a‬‬
‫‪‬‬
‫∆‪−‬‬
‫∆‬
‫‪a < 0 ⇒ y‬‬
‫] ‪ Rf = (−∞ , −‬ﺑــــــﺮد ﺗــــــﺎﺑﻊ →‬
‫= ‪max‬‬
‫‪‬‬
‫‪4a‬‬
‫‪4a‬‬
‫‪S‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−b‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪:‬د‬
‫=‪x‬‬
‫‪ (2‬ﺑﺮاي اﻳﻨﻜﻪ از ﻋﺒﺎرت ‪ ax 2 + bx + c‬ﻳﻚ ﻋﺒﺎرت ﻣﺮﺑﻊ ﻛﺎﻣﻞ در ﺑﻴﺎورﻳﻢ اﺑﺘﺪا از ﺿﺮﻳﺐ‬
‫‪x2‬‬
‫ﻓﺎﻛﺘﻮر ﮔﺮﻓﺘﻪ و ﺳﭙﺲ در ﻋﺒـﺎرت داﺧـﻞ ﭘﺮاﻧﺘـﺰ‪،‬‬
‫ﻣﺮﺑﻊ ﻧﺼﻒ ﺿﺮﻳﺐ ‪ x‬را ﻛﻢ و زﻳﺎد ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫‪y = ax 2 + bx + c‬‬
‫‪ (3‬در ﺳﻬﻤﻲ‬
‫ﺣﺎﻟﺖﻫﺎي زﻳﺮ را دارﻳﻢ‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫ﻳﺎ‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫→ ﺳﻬﻤﻲ در ‪ 2‬ﻧﻘﻄﻪ ﻣﺘﻤﺎﻳﺰ ﻣﺤﻮر ‪ x‬را ﻗﻄﻊ ﻣﻲﻛﻨﺪ‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫ﻃﻮل ﻧﻘﻄﻪ ﻣﻤﺎس‬
‫‪−b‬‬
‫‪2a‬‬
‫= ‪⇒x‬‬
‫‪y‬‬
‫ﻳﺎ‬
‫‪0‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫→ ‪∆ >0‬‬
‫‪x‬‬
‫ﺳﻬﻤﻲ ﺑﺮ ﻣﺤﻮر ‪x‬ﻫﺎ ﻣﻤﺎس اﺳﺖ‪.‬‬
‫→‬
‫‪0‬‬
‫→ ‪∆ =0‬‬
‫ﻳﺎ‬
‫‪x‬‬
‫ﺳﻬﻤﻲ ﺑﺮ ﻣﺤﻮر ‪x‬ﻫﺎ را ﻗﻄﻊ ﻧﻤﻲﻛﻨﺪ‪.‬‬
‫→‬
‫‪0‬‬
‫∆ ‪−b ±‬‬
‫‪2a‬‬
‫→ ‪∆ <0‬‬
‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ دو رﻳﺸﻪ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﺘﻤﺎﻳﺰ دارد‪∆ > 0 → .‬‬
‫‪:‬اﻟﻒ‬
‫→ ‪∆ =0‬‬
‫‪:‬اﻟﻒ‬
‫‪2a‬‬
‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ رﻳﺸﻪي ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻧﺪارد‪.‬‬
‫‪ .5‬اﮔﺮ‬
‫‪α‬‬
‫‪:‬اﻟﻒ‬
‫= ‪x1 ,x2‬‬
‫‪ → x 1 = x 2 = −b‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ ‪ 2‬رﻳﺸﻪ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﺴﺎوي ﻳﺎ ﻳﻚ رﻳﺸﻪي ﻣﻀﺎﻋﻒ دارد‬
‫و‬
‫‪:‬اﻟﻒ‬
‫‪y‬‬
‫‪ (4‬رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪ درﺟﻪ دوم ‪ ax 2 + bx + c = 0‬در ﺻﻮرت وﺟﻮد ﻋﺒﺎرﺗﻨﺪ از‪:‬‬
‫‪β‬‬
‫‪:‬اﻟﻒ‬
‫→ ‪∆ <0‬‬
‫‪:‬ج‬
‫رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪ درﺟﻪ دوم ‪ ax 2 + bx + c = 0‬ﺑﺎﺷﻨﺪ‪:‬‬
‫‪ = S = α + β = −b‬ﻣﺠﻤﻮع رﻳﺸﻪﻫﺎ ‪ :‬اﻟﻒ‬
‫‪a‬‬
‫‪ = p = αβ = c‬ﺿﺮب رﻳﺸﻪﻫﺎ ‪ :‬ب‬
‫‪a‬‬
‫∆‬
‫| ‪|a‬‬
‫‪ .6‬در ﻣﻌﺎدﻟﻪ درﺟﻪ ‪ ،2‬اﮔﺮ ﻳﻜﻲ از رﻳﺸﻪﻫﺎ ‪ k‬ﺑﺮاﺑﺮ دﻳﮕﺮي ﺑﺎﺷﺪ دارﻳﻢ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪b 2 (k + 1‬‬
‫=‬
‫‪ac‬‬
‫‪k‬‬
‫=| ‪ d =| α − b‬ﻗﺪرﻣﻄﻠﻖ ﺗﻘﺎﺿﻞ رﻳﺸﻪﻫﺎ ‪ :‬ج‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪115‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .7‬اﮔﺮ رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪ درﺟﻪ دوم ﻳﻌﻨﻲ‬
‫‪α‬‬
‫و‬
‫‪β‬‬
‫را داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ‪ ،‬ﺑﺎ ﺗﺸﻜﻴﻞ ‪ s‬و ‪ ،p‬ﻣﻌﺎدﻟﻪي ﺷﺎﻣﻞ اﻳﻦ رﻳﺸﻪ ﻫـﺎ ﺑـﻪ ﺻـﻮرت‬
‫‪x 2 − Sx + p = 0‬‬
‫ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪.‬‬
‫‪ .8‬در ﻣﻌﺎدﻟﻪي ‪ ، ax 2 + bx + c = 0‬اﮔﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ‪ 2‬رﻳﺸﻪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪآﻧﮕﺎه‪:‬‬
‫‪α = 1‬‬
‫‪ : a + b + c = 0 → ‬اﻟﻒ‬
‫‪c‬‬
‫= ‪ β‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ α = −1‬‬
‫‪‬‬
‫‪b =a +c → ‬‬
‫‪c‬‬
‫‪ β = −‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ .9‬ﺑﺮاي ﻧﻮﺷﺘﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪاي ﻛﻪ رﻳﺸﻪﻫﺎﻳﺶ ﺑﺮﺣﺴﺐ رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻣﻔﺮوض اﺳﺖ‪ ،‬ﻓﺮض ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ ﻣﻌﺎدﻟـﻪي ﺟﺪﻳـﺪ رﻳـﺸﻪﻫـﺎﻳﺶ‬
‫ﺳﭙﺲ ﺑﺎ ﺗﺸﻜﻴﻞ‬
‫‪S′‬‬
‫و‬
‫‪p′‬‬
‫و ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ‪ S‬و ‪ p‬ﻣﻌﺎدﻟﻪي ﻣﻔﺮوض‪ ،‬ﻣﻌﺎدﻟﻪي ﺟﺪﻳﺪ ﺧﻮاﺳﺘﻪ ﺷﺪه ﺑﻪ ﺻﻮرت‬
‫‪α′‬‬
‫‪x 2 − S ′x + p ′ = 0‬‬
‫و‬
‫‪β′‬‬
‫‪:‬ب‬
‫ﺑﺎﺷـﺪ‪،‬‬
‫ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪.‬‬
‫‪ .10‬ﺑﺮاي ﻧﻮﺷﺘﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪاي ﻛﻪ رﻳﺸﻪﻫﺎﻳﺶ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﻳﺎﻓﺘﻪاي از رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪي ‪ ax 2 + bx + c = 0‬اﺳﺖ ﺟﺪول زﻳﺮ را دارﻳﻢ‪:‬‬
‫وﺿﻌﻴﺖ رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪي ﺟﺪﻳﺪ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪي ﻗﺒﻞ‬
‫اﻟﻒ‪ :‬ﻗﺮﻳﻨﻪ‬
‫ب‪ :‬ﻋﻜﺲ‬
‫ج‪ :‬ﻗﺮﻳﻨﻪ و ﻋﻜﺲ‬
‫د‪ k :‬ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫ه‪ k :‬واﺣﺪ ﺑﻴﺸﺘﺮ‬
‫و‪ k :‬واﺣﺪ ﻛﻤﺘﺮ‬
‫ز‪ :‬ﻣﺮﺑﻊ‬
‫ح‪ :‬ﻣﻜﻌﺐ‬
‫‪ .11‬در ﻣﻌﺎدﻟﻪ درﺟﻪ دوم‪:‬‬
‫ﻛﺎري ﻛﻪ ﺑﺎﻳﺪ اﻧﺠﺎم دﻫﻴﻢ‪.‬‬
‫‪ b‬را ﺑﻪ ‪ -b‬ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫ﺟﺎي ‪ a‬و ‪ c‬را ﻋﻮض ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫ﻫﻢ ‪ b‬را ﺑﻪ ‪ -b‬ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ و ﻫﻢ ﺟﺎي ‪ a‬و ‪ c‬را ﻋﻮض ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫‪ b‬را در ‪ k‬و ‪ c‬را در ‪ k 2‬ﺿﺮب ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫‪ x‬را ﺑﻪ ‪ x − k‬ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫‪ x‬را ﺑﻪ ‪ x + k‬ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫‪ x‬را ﺑﻪ ‪ x‬ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫‪ x‬را ﺑﻪ ‪ 3 x‬ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﻲﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫‪ax 2 + bc + c = 0‬‬
‫‪x = 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪c =0 ⇒ ‬‬
‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻳﻚ رﻳﺸﻪي ﺻﻔﺮ و ﻳﻚ رﻳﺸﻪي ﻏﻴﺮﺻﻔﺮ دارد‪b ⇒ .‬‬
‫‪ x = −‬‬
‫‪a‬‬
‫اﮔﺮ‬
‫‪c‬‬
‫‪<0‬‬
‫‪a‬‬
‫آﻧﮕﺎه دو رﻳﺸﻪي ﻣﺘﻤﺎﻳﺰ ﻗﺮﻳﻨﻪ دارد‬
‫‪c‬‬
‫⇒‬
‫‪a‬‬
‫‪−‬‬
‫‪:‬اﻟﻒ‬
‫‪: b = 0 ⇒ x = ±‬ب‬
‫ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﻳﻚ رﻳﺸﻪي ﻣﻀﺎﻋﻒ ﺻﻔﺮ دارد‪: c = b = 0 ⇒ x = 0 ⇒ .‬ج‬
‫‪ (12‬اﮔﺮ دو ﻣﻌﺎدﻟﻪي ‪ ax 2 + bx + c = 0‬و ‪ a ′x 2 + bx + c = 0‬ﻓﻘﻂ ﻳﻚ رﻳﺸﻪي ﻣﺸﺘﺮك داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ ،‬ﺑﺮاي ﻳـﺎﻓﺘﻦ رﻳـﺸﻪي ﻣـﺸﺘﺮك ﻛـﺎﻓﻲ اﺳـﺖ‬
‫‪x2‬‬
‫را از ﻫﺮ دو ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺣﺬف ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫‪ (13‬ﻣﻌﺎدﻟﻪﻫﺎي ‪ ax 2 + bx + c = 0‬و ‪ a ′x 2 + bx + c ′ = 0‬ﻛﻪ داراي ‪ 2‬رﻳﺸﻪ ﻫﺴﺘﻨﺪ زﻣﺎﻧﻲ رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﺸﺘﺮك دارﻧﺪ ﻛﻪ‬
‫‪ (14‬اﮔـــــــﺮ ‪ r‬رﻳـــــــﺸﻪاي از ﭼﻨﺪﺟﻤﻠـــــــﻪاي‬
‫‪p (x ) = an x n + an −1x n −1 + ... + a 1x + a 0‬‬
‫‪ Q (x ) = a0x n + a1x n −1 + ... + an −1x + an‬ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪.‬‬
‫)‪(a 0 ≠ 0‬‬
‫ﺑﺎﺷـــــــﺪ آﻧﮕـــــــﺎه‬
‫‪1‬‬
‫‪r‬‬
‫‪a b c‬‬
‫= =‬
‫‪a ′ b′ c′‬‬
‫رﻳـــــــﺸﻪي ﭼﻨﺪﺟﻤﻠـــــــﻪاي‬
‫‪ 116‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪ .15‬اﮔﺮ‬
‫‪α‬‬
‫و‬
‫‪β‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪي ‪ ax 2 + bx + c = 0‬ﺑﺎﺷﻨﺪ دارﻳﻢ‪:‬‬
‫‪ :α 2 + β 2 = (α + β )2 − 2αβ = S 2 − 2p‬اﻟﻒ‬
‫‪ : α 3 + β 3 = (α + β )3 − 3αβ (α + β ) = S 3 − 3pS‬ب‬
‫‪ : α 4 + β 4 = (α 2 + β 2 )2 − 2α 2 β 2 = (S 2 − 2 p )2 − 2p 2‬ج‬
‫‪ .16‬در ﻣﻌﺎدﻻﺗﻲ ﻛﻪ ﺗﻮان ﻳﻜﻲ از ﻣﺘﻐﻴﺮﻫﺎ دو ﺑﺮاﺑﺮ ﺗﻮان ﻣﺘﻐﻴﺮ دﮔﻴﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﻣﻲﺗﻮاﻧﻴﻢ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﺑﺎ ﺗﻮان ﻛﻮﭼﻜﺘﺮ را ‪ t‬ﻓﺮض ﻛﺮده و ﻣﻌﺎدﻟﻪ را ﺑﻪ ﻳﻚ ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫درﺟﻪ ‪ 2‬ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻛﻨﻴﻢ‪.‬‬
‫‪ .17‬در ﻫﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪ درﺟﻪ ‪ ax 2 + bx + c = 0 ،2‬اﮔﺮ‬
‫‪ .18‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺳﻬﻤﻲ‬
‫‪f (x ) = ax 2 + bx + c‬‬
‫‪c‬‬
‫‪<0‬‬
‫‪a‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻫﻤﻮاره‬
‫‪∆ >0‬‬
‫ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد و ﻣﻌﺎدﻟﻪ دو رﻳﺸﻪي ﻣﺨﺘﻠﻒاﻟﻌﻼﻣﻪ دارد‪.‬‬
‫اﮔﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪي ‪ ax 2 + bx + c = 0‬دو رﻳﺸﻪي‬
‫‪α‬‬
‫و‬
‫‪β‬‬
‫داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ و ﻋﺪد ‪ t‬ﺑﻴﻦ اﻳﻦ دو رﻳﺸﻪ ﺑﺎﺷﺪ‬
‫ﻫﻤﻮاره ‪ af (t ) < 0‬ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫) ﺗـــــﺎﺑﻊ ﻣـــــﻲ ﻧﻴﻤـــــﻢ دارد( ‪ a > 0‬‬
‫‪af (t ) < 0 ⇒ ‬‬
‫‪ f (t ) < 0‬‬
‫‪.19‬‬
‫‪x‬‬
‫‪t‬‬
‫‪0‬‬
‫‪α‬‬
‫‪β‬‬
‫) ‪f (t‬‬
‫اﮔﺮ ﻣﺠﻤﻮع ﭼﻨﺪ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻣﺜﺒﺖ ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺘﻲ ﺑﺎﺷﺪ ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب آﻧﻬﺎ زﻣﺎﻧﻲ ﺑﻴﺸﺘﺮﻳﻦ ﻣﻘﺪار را دارد ﻛﻪ ﻣﺘﻐﻴﺮﻫﺎ ﺑﺎ ﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬
‫اﮔﺮ ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﭼﻨﺪ ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻣﺜﺒﺖ ﻣﻘﺪار ﺛﺎﺑﺘﻲ ﺑﺎﺷﺪ ﺣﺎﺻﻠﺠﻤﻊ آﻧﻬﺎ زﻣﺎﻧﻲ ﻛﻤﺘﺮﻳﻦ ﻣﻘﺪار را دارد ﻛﻪ ﻣﺘﻐﻴﺮﻫﺎ ﺑﺎ ﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬
‫‪ .20‬اﮔﺮ ﺧﻄﻮط اﻓﻘﻲ ﺳﻬﻤﻲ را ﻗﻄﻊ ﻛﻨﻨﺪ‪ ،‬ﭘﺎرهﺧﻄﺎﻳﻲ اﻳﺠﺎد ﻣﻲﺷﻮد ﻛﻪ ﻣﺤﻮر ﺗﻘﺎرن ﺳﻬﻤﻲ اﻳﻦ ﭘﺎرهﺧﻂﻫﺎ را ﺑﻪ دو ﻗﺴﻤﺖ ﻣﺴﺎوي ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻣﻲﻛﻨـﺪ ﻳﻌﻨـﻲ‬
‫ﻣﻜﺎن ﻫﻨﺪﺳﻲ وﺳﻂ ﭘﺎرهﺧﻂﻫﺎي اﻳﺠﺎد ﺷﺪه‪ ،‬ﻫﻤﺎن ﻣﺤﻮر ﺗﻘﺎرن ﺳﻬﻤﻲ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B′‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪ .21‬اﮔﺮ ﺑﺨﻮاﻫﻴﻢ ﻣﻌﺎدﻟﻪي درﺟﻪ دوﻣﻲ ﺑﺎ ﺿﺮاﻳﺐ ﮔﻮﻳﺎ ﺑﻨﻮﻳـﺴﻴﻢ ﻛـﻪ ﻳﻜـﻲ از ﺟـﻮابﻫـﺎي آن‬
‫‪b′‬‬
‫‪ a ′ −‬ﺑﺎﺷﻨﺪ‪:‬‬
‫‪b′‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0′‬‬
‫‪x =−‬‬
‫‪ a ′ +‬ﺑﺎﺷـﺪ ﻣـﻲﺑﺎﻳـﺴﺖ ﺟـﻮاب دﻳﮕـﺮ ﺑـﻪ ﺻـﻮرت‬
‫‪a ′ , b ′ ∈Q‬‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺗﺴﺖﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪ درﺟﻪ و ﻣﻌﺎدﻻت ﮔﻮﻳﺎ و اﺻﻢ‬
‫‪ .1‬ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪(1‬‬
‫) ‪y = (x − 1 )(x 2 − ax + a‬‬
‫‪−4 < a < 0‬‬
‫ﻣﺤﻮر ‪x‬ﻫﺎ را ﻓﻘﻂ در ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ ﻣﻲﻛﻨﺪ‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪي ﻣﻘﺎدﻳﺮ ‪ a‬ﺑﻪ ﻛﺪام ﺻﻮرت اﺳﺖ؟‬
‫‪(2‬‬
‫‪0 <a < 2‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪0 <a < 4‬‬
‫‪A′‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪a >4‬‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪117‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .2‬ﺣﺪود ‪ k‬ﺑﺮاي آﻧﻜﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪(1‬‬
‫‪x 2 + (k 2 + 1 )x − k 2 − 2 = 0‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪| k |≤ 1‬‬
‫‪ .3‬اﮔﺮ ﻳﻜﻲ از رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫داراي دو رﻳﺸﻪي ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﺘﻤﺎﻳﺰ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪k ∈R‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪k ≥1‬‬
‫‪k ≤ −1‬‬
‫‪ ، x 2 − 5x + 2m = 0‬رﺑﻊ رﻳﺸﻪ دﻳﮕﺮ ﺑﺎﺷﺪ ? = ‪m‬‬
‫‪2 (1‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪4 (2‬‬
‫‪ .4‬ﺑﻪ ازاي ﻛﺪام ﻣﻘﺪار ‪ ،m‬ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺠﺬورات دو رﻳﺸﻪ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬
‫‪- 2 (2‬‬
‫‪- 6 (1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪2x 2 − mx + m − 1 = 0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 4‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪6 (4‬‬
‫‪2 (3‬‬
‫‪ .5‬ﺑﻪ ازاي ﭼﻪ ﻣﻘﺪار ‪ ،k‬ﻳﻜﻲ از رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪي ‪ ، x 2 + kx + 8 = 0‬ﻣﺮﺑﻊ رﻳﺸﻪ دﻳﮕﺮي اﺳﺖ؟‬
‫‪- 6 (2‬‬
‫‪6 (1‬‬
‫‪-4 (4‬‬
‫‪4 (3‬‬
‫‪ .6‬در ﻣﻌﺎدﻟﻪي ‪ ، 4x 2 − 16x + m = 0‬ﻳﻜﻲ از رﻳﺸﻪﻫﺎ ‪ 3‬واﺣﺪ از رﻳﺸﻪي دﻳﮕﺮ ﺑﻴﺸﺘﺮ اﺳﺖ در آن ﺻﻮرت ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺮﺑﻌﺎت رﻳﺸﻪﻫﺎ ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪13/5 (2‬‬
‫‪12/5 (1‬‬
‫‪ .7‬در ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪(1‬‬
‫‪3x 2 − 15x + m = 0‬‬
‫‪59‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ .8‬اﮔﺮ‬
‫‪4 (1‬‬
‫‪α‬‬
‫و‬
‫‪β‬‬
‫‪14/5 (3‬‬
‫اﮔﺮ ﻳﻜﻲ از رﻳﺸﻪﻫﺎ ‪ 2‬واﺣﺪ ﺑﻴﺸﺘﺮ از رﻳﺸﻪي دﻳﮕﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪(2‬‬
‫رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬
‫‪15/5 (4‬‬
‫‪63‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x 2 − 14x + 1 = 0‬‬
‫‪8 (2‬‬
‫‪(3‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﺣﺎﺻﻞ‬
‫?= ‪m‬‬
‫‪59‬‬
‫‪4‬‬
‫‪α β +β α‬‬
‫‪12 (3‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪63‬‬
‫‪4‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪16 (4‬‬
‫‪ 118‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪ .9‬اﮔﺮ‬
‫‪α‬‬
‫و‬
‫رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬
‫‪β‬‬
‫‪x 2 − 14x + 1 = 0‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪4 (1‬‬
‫‪ .10‬اﮔﺮ راﺑﻄﻪي‬
‫‪3x 1 + x 2 = 12‬‬
‫‪3x 2 − 2x + m − 1 = 0‬‬
‫‪- 6 (1‬‬
‫‪α‬‬
‫و‬
‫‪β‬‬
‫رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫و‬
‫‪β‬‬
‫رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪α‬‬
‫و‬
‫‪β‬‬
‫رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪1 (1‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪ .15‬در ﻣﻌﺎدﻟﻪي ‪ ، x 2 − 4x + 1 = 0‬اﮔﺮ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪3‬‬
‫‪2 (2‬‬
‫‪4 (2‬‬
‫‪-3 (4‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪) + (α + )2‬‬
‫‪α‬‬
‫‪β‬‬
‫‪(β +‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫) ‪α 2 (3 β − 1‬‬
‫‪40 (4‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪1 (3‬‬
‫‪x 2 − 4x − 2 = 0‬‬
‫‪α‬‬
‫?= ‪m‬‬
‫‪32 (3‬‬
‫‪x 2 − 3x + 1 = 0‬‬
‫و‬
‫‪13 (4‬‬
‫‪-5 (3‬‬
‫‪x 2 − 3x + 1 = 0‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3 (1‬‬
‫= ‪2x 1 − x 2‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﻣﻘﺪار‬
‫‪36 (2‬‬
‫‪α‬‬
‫‪ .14‬اﮔﺮ‬
‫‪12 (3‬‬
‫‪16‬‬
‫‪3‬‬
‫اﮔﺮ‬
‫‪(4‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪2 (4‬‬
‫‪α 2 − 5α − β‬‬
‫‪-2 (3‬‬
‫‪β‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x 2 − 8x + m − 1 = 0‬ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ ? = ‪m‬‬
‫‪- 7 (2‬‬
‫‪28 (1‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪6 (2‬‬
‫‪ .11‬در ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪ .13‬اﮔﺮ‬
‫‪α‬‬
‫‪+‬‬
‫‪β‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪2 (3‬‬
‫ﺑﻴﻦ رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪2 (1‬‬
‫‪ .12‬اﮔﺮ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪β‬‬
‫‪α‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪6 (3‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪-1 (4‬‬
‫) ‪(α 2 − 4α + 4 )( β 2 − 4 β + 2‬‬
‫ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪8 (4‬‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪119‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .16‬ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪(1‬‬
‫) ‪y = (x − 3 )(x 2 − ax + a‬‬
‫‪(2‬‬
‫}‪{4‬‬
‫‪ .17‬اﮔﺮ‬
‫‪α‬‬
‫و‬
‫‪β‬‬
‫رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪2 (1‬‬
‫در ﻧﻘﻄﻪاي ﺑﺮ ﻣﺤﻮر ‪x‬ﻫﺎ ﻣﻤﺎس اﺳﺖ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﻘﺎدﻳﺮي ﻛﺪام اﺳﺖ؟ )ﺳﻨﺠﺶ ﺟﺎﻣﻊ ‪(93‬‬
‫‪(3‬‬
‫}‪{0 , 4‬‬
‫‪x 2 − 6x + 1 = 0‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪(1‬‬
‫‪ .21‬اﮔﺮ‬
‫‪x1‬‬
‫و‬
‫رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬
‫‪2‬‬
‫‪α‬‬
‫و‬
‫‪β‬‬
‫و‬
‫‪x 2 − 2x + m − 1 = 0‬‬
‫رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪27 (1‬‬
‫‪ .22‬اﮔﺮ ‪ a > 0‬و دو ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪- 2 (1‬‬
‫ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ‬
‫?= ‪a‬‬
‫‪1 (4‬‬
‫‪2 (3‬‬
‫‪-2 (4‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﺑﻪ ازاي ﭼﻪ ﻣﻘﺪار ‪ m‬راﺑﻄﻪي‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪γ‬‬
‫رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪ راﺑﻄﻪاي‬
‫‪2α 2 + 3αβ + β 2 = 12‬‬
‫‪-1 (3‬‬
‫‪- 1 (2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪6 (4‬‬
‫‪ ، (x + 1 )(x 2 − x − 6m ) = 0‬ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب ‪ 3‬رﻳﺸﻪي ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺮاﺑﺮ )‪ (-6‬اﺳﺖ ? = ‪m‬‬
‫‪1 (1‬‬
‫‪ .20‬اﮔﺮ‬
‫‪α‬‬
‫و‬
‫‪β‬‬
‫‪- 2 (2‬‬
‫‪ .19‬در ﻣﻌﺎدﻟﻪي درﺟﻪ ﺳﻮم‬
‫ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪5 (3‬‬
‫‪ .18‬در ﻣﻌﺎدﻟﻪي درﺟﻪ دوم ‪ ، ax 2 + 3ax + a − 2 = 0‬ﺑﻴﻦ‬
‫‪- 3 (1‬‬
‫}‪{4 / 5‬‬
‫| ‪|α | + | β‬‬
‫‪3 (2‬‬
‫‪(4‬‬
‫}‪{0 , 4 , 4 / 5‬‬
‫‪x1 − x2 = 2 3‬‬
‫‪0 (3‬‬
‫‪x 3 + 5x 2 − x = 0‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪29 (2‬‬
‫‪x 2 + 2x + a = 0‬‬
‫‪- 1 (2‬‬
‫‪α2 + β 2 +γ 2‬‬
‫‪30 (3‬‬
‫و‬
‫‪x 2 − x − 2a = 0‬‬
‫ﺑﺮﻗﺮار اﺳﺖ؟‬
‫‪-1 (4‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪31 (4‬‬
‫داراي ﻳﻚ رﻳﺸﻪي ﻣﺸﺘﺮك ﺑﺎﺷﻨﺪ اﻳﻦ رﻳﺸﻪي ﻣﺸﺘﺮك ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪1 (3‬‬
‫‪2 (4‬‬
‫‪ 120‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪ .23‬ﺑﻪ ازاي ﻛﺪام ﻣﻘﺪار ‪ ،m‬ﻣﺠﻤﻮع و ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب و ﺗﻔﺎﺿﻞ رﻳﺸﻪﻫﺎي‬
‫‪- 1 (2‬‬
‫‪1 (1‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x 2 − (1 − 3m )x + 3 = 0‬‬
‫ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺗﺼﺎﻋﺪ ﺣﺴﺎﺑﻲ ﻣﻲدﻫﻨﺪ؟‬
‫‪ (3‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪ .24‬ﺑﻪ ازاي ﻛﺪام ﻣﻘﺪار ‪ m‬ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺮﺑﻌﺎت رﻳﺸﻪﻫﺎي ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪−‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪2 (4‬‬
‫‪mx 2 − (m + 3 )x + 5 = 0‬‬
‫‪ 1 (3‬و‬
‫‪9‬‬
‫‪5‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 6‬ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ )ﺳﺮاﺳﺮي ﺗﺠﺮﺑﻲ ‪(93‬‬
‫‪−‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪9‬‬
‫‪5‬‬
‫و ‪-1‬‬
‫‪ .25‬ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب دو ﻋﺪد ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻣﺘﻮاﻟﻲ از ‪ 5‬ﺑﺮاﺑﺮ ﻋﺪد ﻛﻮﭼﻜﺘﺮ ‪ 32‬واﺣﺪ ﺑﻴﺸﺘﺮ اﺳﺖ‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮع آن دو ﻋﺪد ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪21 (1‬‬
‫‪19 (2‬‬
‫‪ .26‬در ﻣﻌﺎدﻟﻪي درﺟﻪ دوم ‪ ، 7x 2 + 6x + 1 = 0‬ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪- 1 (1‬‬
‫‪ (2‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪ .27‬ﻣﻌﺎدﻟﻪي درﺟﻪ دوﻣﻲ ﻛﻪ رﻳﺸﻪﻫﺎﻳﺶ‬
‫‪(1‬‬
‫‪x 2 − 10 2 x − 1 = 0‬‬
‫‪17 (3‬‬
‫] ‪[x 1 + x 2 ] + [x 1 ] + [x 2‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪( 2 + 1 )3‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪x 2 − 6x − 4 = 0‬‬
‫ﭼﻘﺪر ات؟‬
‫‪-3 (3‬‬
‫و‬
‫‪( 2 − 1 )3‬‬
‫‪x 2 − 10 2 x + 1 = 0‬‬
‫‪ .28‬ﻣﻌﺎدﻟﻪي درﺟﻪ دوﻣﻲ ﺑﺎ ﺿﺮاﻳﺐ ﮔﻮﻳﺎ ﻛﻪ ﻳﻜﻲ از رﻳﺸﻪﻫﺎي آن‬
‫‪(2‬‬
‫‪x 2 − 6x + 5 = 0‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪a = 6 , b = −4‬‬
‫‪a = −4 , b = 2‬‬
‫‪-2 (4‬‬
‫ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(3‬‬
‫‪3− 5‬‬
‫‪x 2 − 198x + 1 = 0‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪x 2 + 10 2 x + 1 = 0‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(3‬‬
‫‪x 2 − 6x + 4 = 0‬‬
‫‪ .29‬ﻫﺮ ﮔﺎه رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪي ‪ ، (a + b )x 2 − 6x + b = 0‬ﻋﻜﺲ رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪(2‬‬
‫‪15 (4‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪2x 2 + 3x − 1 = 0‬‬
‫‪a =4 , b =2‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪x 2 − 3x + 1 = 0‬‬
‫ﺑﺎﺷﻨﺪ دارﻳﻢ؟‬
‫‪(4‬‬
‫‪a = −4 , b = −2‬‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪121‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .30‬در ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬
‫‪2 + 1 )x + 2 = 0‬‬
‫( ‪ ، x 2 −‬ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪5 (1‬‬
‫‪x 16 + x 26‬‬
‫ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬
‫‪65 (2‬‬
‫‪ .31‬ﺑﻪ ازاي ﻛﺪام ﻣﻘﺪار ‪ m‬ﻋﺪد‬
‫‪1‬‬
‫‪8‬‬
‫‪17 (3‬‬
‫واﺳﻄﻪ ﻋﺪدي ﺑﻴﻦ دو رﻳﺸﻪي ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪- 3 (2‬‬
‫‪3 (1‬‬
‫‪(m 2 − 4 )x 2 − 3x + m = 0‬‬
‫‪4 (3‬‬
‫‪9 (4‬‬
‫اﺳﺖ؟‬
‫‪-4 (4‬‬
‫‪ .32‬ﻣﻨﺤﻨﻲ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪي ) ‪ ، y = (x − 1)(x 2 − ax + a‬ﻣﺤﻮر ‪x‬ﻫﺎ را ﻓﻘﻂ در ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ ﻣﻲﻛﻨﺪ‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪي ﻣﻘﺎدﻳﺮ ‪ a‬ﺑﻪ ﻛﺪام ﺻﻮرت اﺳﺖ؟‬
‫‪(1‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪−4 < a < 0‬‬
‫‪0 <a < 2‬‬
‫‪ .33‬ﺑﻪ ازاي ﻛﺪام ﻣﻘﺪار ‪ m‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ درﺟﻪ دوم‬
‫‪- 3 (1‬‬
‫‪13 (1‬‬
‫‪2x + 1‬‬
‫‪α‬‬
‫و‬
‫‪27 (1‬‬
‫‪β‬‬
‫رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫و‬
‫‪2x − 1‬‬
‫‪x (5x + 3 ) = 2‬‬
‫و ‪ x‬اﺳﺖ‬
‫) ‪(x > 1‬‬
‫‪+3 (4‬‬
‫ﻃﻮل ﺿﻠﻊ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪17 (3‬‬
‫‪19 (4‬‬
‫ﺑﺎﺷﻨﺪ ﺑﻪ ازاي ﻛﺪام ﻣﻘﺪار ‪ k‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺟﻮابﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪4x 2 − kx + 25 = 0‬‬
‫اﺳﺖ؟‬
‫‪28 (2‬‬
‫‪.36‬ﺑﺎ ﻛﺪام ﻣﻘﺎدﻳﺮ ‪ ،m‬ﻣﻨﺤﻨﻲ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪m < −2‬‬
‫دو رﻳﺸﻪ ﺣﻘﻴﻘﻲ و ﻣﻌﻜﻮس ﻫﻢ دارد؟‬
‫‪2 (3‬‬
‫‪15 (2‬‬
‫‪ 1 , 1 ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪α β ‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪mx 2 + 5x + m 2 − 6 = 0‬‬
‫‪- 2 (2‬‬
‫‪ .34‬ﻃﻮل اﺿﻼع ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢاﻟﺰاوﻳﻪاي‬
‫‪ .35‬اﮔﺮ‬
‫‪(3‬‬
‫‪0 <a < 4‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪a >4‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪y = (m + 2 )x 2 − 2x + 1‬‬
‫‪m < −1‬‬
‫‪29 (3‬‬
‫‪31 (4‬‬
‫از ﻫﺮ ‪ 4‬ﻧﺎﺣﻴﻪي ﻣﺤﻮرﻫﺎي ﻣﺨﺘﺼﺎت ﻣﻲﮔﺬرد؟‬
‫‪(3‬‬
‫‪−2 < m < −1‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪−4 < m < −2‬‬
‫ﺑﻪ ﺻﻮرت‬
‫‪ 122‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .37‬اﮔﺮ ﻣﻨﺤﻨﻲ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪي ‪ ، y = 2x 2 − 4x + m − 3‬ﻣﺤﻮر ‪x‬ﻫﺎ را در دو ﻧﻘﻄﻪ ﺑﻪ ﻃﻮلﻫـﺎي ﻣﺜﺒـﺖ ﻗﻄـﻊ ﻛﻨـﺪ آﻧﮕـﺎه ﻣﺠﻤﻮﻋـﻪ ﻣﻘـﺎدﻳﺮ ‪ m‬ﺑـﻪ ﻛـﺪام‬
‫ﺻﻮرت اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪m >3‬‬
‫‪ .38‬اﮔﺮ ﻳﻜﻲ از رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪(1‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪9 < m < 25‬‬
‫‪3x 2 − 2x‬‬
‫‪x2 +4‬‬
‫‪4 (1‬‬
‫‪ .41‬ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪي‬
‫‪−‬‬
‫‪y = mx‬‬
‫در ﺑﺎزهي‬
‫‪(3‬‬
‫) ‪(a , b‬‬
‫‪f (x ) = x 3 − 4x 2 − x + 4 : x > −1‬‬
‫‪m > −2‬‬
‫‪ .43‬ﺑﻪ ازاي ﻛﺪام ﻣﻘﺎدﻳﺮ ‪ ،m‬ﻋﺒﺎرت‬
‫در ﺑﺎزهي‬
‫‪−2 < m < −1‬‬
‫‪(m − 1 )x 2 + 6x + 2m + 1‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪y =2‬‬
‫اﺳﺖ؟‬
‫‪8 (3‬‬
‫) ‪(a , b‬‬
‫‪(4‬‬
‫زﻳﺮﻣﺤﻮر ‪x‬ﻫﺎﺳﺖ‬
‫‪5 < m < 13‬‬
‫? = ) ‪Max (b − a‬‬
‫∞‬
‫? = ) ‪Max (b − a‬‬
‫‪4 (3‬‬
‫‪y = (m + 2 )x 2 − 2mx + 1‬‬
‫‪m > 2 /5‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪7 < m < 15‬‬
‫ﭘﺎﻳﻴﻦﺗﺮ از ﺧﻂ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬
‫‪3 (2‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫ﻧﻘﻄﻪ ﻣﺸﺘﺮك ﻧﺪارد‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﻘﺎدﻳﺮ ‪ m‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪15 < m < 23‬‬
‫= ) ‪f (x‬‬
‫‪ .42‬ﺑﻪ ازاي ﻛﺪام ﻣﻘﺪار ‪ ،m‬ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪(1‬‬
‫‪(3‬‬
‫ﺑﺎ ﺧﻄﻮط‬
‫‪3 <m <5‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ‪ 2‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮع دو رﻳﺸﻪي دﻳﮕﺮ آن ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪6 (2‬‬
‫‪2 (1‬‬
‫‪m < −2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪y = (2x + 1 )(x + 8‬‬
‫‪ .40‬ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪي‬
‫‪(1‬‬
‫‪3 <m <4‬‬
‫‪x (ax 2 − x − 5 ) = 2‬‬
‫‪- 2 (1‬‬
‫‪ .39‬ﻣﻨﺤﻨﻲ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪(3‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪4 <m <5‬‬
‫‪5 (4‬‬
‫ﻫﻤﻮاره در ﺑﺎﻻي ﻣﺤﻮر ‪x‬ﻫﺎﺳﺖ؟‬
‫‪(3‬‬
‫‪| m |< 2‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪−1 < m < 2‬‬
‫ﺑﺮاي ﻫﺮ ﻣﻘﺪار دﻟﺨﻮاه ‪ x‬ﻣﺜﺒﺖ اﺳﺖ؟‬
‫‪(3‬‬
‫‪1 <m <2‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪1 <m < 2 /5‬‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪123‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .44‬ﺗﻌﺪاد رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪2 (x − 3 )6 + (x − 3 )2 + 5 = 0‬‬
‫‪ 6 (1‬رﻳﺸﻪ‬
‫‪ 3 (2‬رﻳﺸﻪ‬
‫‪2‬‬
‫‪ x3   x3 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ +‬‬
‫‪ = 30‬‬
‫‪ 1 +x3   1 +x3 ‬‬
‫‪ .45‬ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪2 (1‬‬
‫‪ .47‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪) + 3(x + ) = 4‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1 (1‬‬
‫‪11‬‬
‫‪5‬‬
‫‪y = 3 (a − 1 )x 2 − 2x − 1‬‬
‫<‪a‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪3 (3‬‬
‫‪a < −2‬‬
‫‪y − 2x − 4 = 0‬‬
‫>‪a‬‬
‫‪ .50‬ﺑﻪ ازاي ﻛﺪام ﻣﻘﺎدﻳﺮ ‪ a‬ﻣﻨﺤﻨﻲ ﺑﻪ ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪(2‬‬
‫‪(3‬‬
‫)‪(−∞ , −3‬‬
‫‪11‬‬
‫‪5‬‬
‫‪y = ax 2 − (a + 2 )x‬‬
‫‪a > −2‬‬
‫‪4 (4‬‬
‫ﻓﻘﻂ از ﻧﺎﺣﻴﻪ اول ﻋﺒﻮر ﻧﻜﻨﺪ‪ ،‬ﻣﺤﺪودهي ‪ a‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫ﭘﺎﻳﻴﻦﺗﺮ از ﺧﻂ‬
‫‪(2‬‬
‫‪2 (4‬‬
‫ﭼﻨﺪ رﻳﺸﻪ دارد؟‬
‫‪y = (a − 2 )x 2 + (a + 3 )x‬‬
‫)∞ ‪(−3 , +‬‬
‫‪ .49‬اﮔﺮ ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪(1‬‬
‫‪1 (3‬‬
‫‪2 (2‬‬
‫‪ .48‬اﮔﺮ ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪6 (4‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪ (2‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪(x +‬‬
‫‪ (4‬رﻳﺸﻪ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻧﺪارد‪.‬‬
‫ﭼﻨﺪ رﻳﺸﻪي ﮔﻨﮓ دارد؟‬
‫‪5 (3‬‬
‫‪x 4 + 2x 2 − 4 = 0‬‬
‫‪- 1 (1‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪ 2 (3‬رﻳﺸﻪ‬
‫‪3 (2‬‬
‫‪ .46‬ﺟﻤﻊ رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪(1‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫] ‪[−1 , 2‬‬
‫‪(4‬‬
‫] ‪[−3 , 2‬‬
‫ﻗﺮار ﮔﻴﺮد‪ .‬ﺣﺪود ‪ a‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(3‬‬
‫‪a <1‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪a >1‬‬
‫از ﻧﺎﺣﻴﻪي دوم ﻣﺤﻮرﻫﺎي ﻣﺨﺘﺼﺎت ﻧﻤﻲﮔﺬرد؟‬
‫‪(3‬‬
‫‪a >0‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪−2 ≤ a < 0‬‬
‫‪ 124‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪ .51‬ﻣﺠﻤﻮع ارﻗﺎم رﻳﺸﻪي ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪10 (1‬‬
‫‪3 − 3p = 3 − 3p + 2‬‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪1 (3‬‬
‫‪1 − x 2 + x 2 − 3x + 2 = 0‬‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪3 (2‬‬
‫‪ .54‬اﮔﺮ ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪-20 (2‬‬
‫‪ .55‬ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪x −1 −2 = 0‬‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪x = 1 −x‬‬
‫‪ (4‬ﺳﻪ‬
‫ﭼﻨﺪ ﺟﻮاب دارد؟‬
‫‪2 (3‬‬
‫‪1 (4‬‬
‫داراي ﺟﻮاب ﺑﺎﺷﺪ ﻣﻘﺪار ‪ m‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪22 (3‬‬
‫‪-24 (4‬‬
‫ﭼﻨﺪ رﻳﺸﻪ دارد؟‬
‫‪ (2‬ﻳﻚ‬
‫‪ (3‬دو‬
‫‪ (4‬ﺳﻪ‬
‫ﭼﻨﺪ رﻳﺸﻪ دارد؟‬
‫‪2 (1‬‬
‫‪ .57‬ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪ (3‬دو‬
‫‪2x 2 + 3x − 14 + x 2 + x − 6 + x 3 + x 4 + m = 0‬‬
‫‪24 (1‬‬
‫‪11 (4‬‬
‫ﭼﻨﺪ ﺟﻮاب دارد؟‬
‫‪ (2‬ﻳﻚ‬
‫‪ .53‬ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪2 (2‬‬
‫‪ .52‬ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪ .56‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬
‫‪15 + 2x + 80 = 5‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ (2‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪x x =x +1‬‬
‫‪3 (3‬‬
‫‪1 (4‬‬
‫ﭼﻨﺪ ﺟﻮاب دارد؟‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪2 (3‬‬
‫‪3 (4‬‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪125‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .58‬ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪3‬‬
‫‪3 −x 2‬‬
‫= ‪3 1 −x‬‬
‫ﭼﻨﺪ ﺟﻮاب دارد؟‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪ .59‬ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪x 2 − cos x + 1 = 0‬‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪ .60‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬
‫‪ .61‬ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪− sin x = 0‬‬
‫‪9‬‬
‫‪3 (2‬‬
‫‪(x + 1 )3 = 3x + 2‬‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪ .63‬ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪ .64‬ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪2 (3‬‬
‫‪3 (4‬‬
‫ﭼﻨﺪ رﻳﺸﻪ دارد؟‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪= 2x‬‬
‫‪5 (3‬‬
‫‪7 (4‬‬
‫ﭼﻨﺪ ﺟﻮاب دارد؟‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪2x = x 2‬‬
‫‪2 (3‬‬
‫‪3 (4‬‬
‫ﭼﻨﺪ ﺟﻮاب دارد؟‬
‫‪1 (1‬‬
‫‪ .62‬ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪2 (3‬‬
‫‪3 (4‬‬
‫ﭼﻨﺪ ﺟﻮاب دارد؟‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫ﭼﻨﺪ ﺟﻮاب دارد؟‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪x‬‬
‫‪sin x‬‬
‫‪2 (3‬‬
‫‪3 (4‬‬
‫‪4x + 1‬‬
‫‪2 −x 2‬‬
‫‪2 (3‬‬
‫‪3 (4‬‬
‫ﭼﻨﺪ رﻳﺸﻪ دارد؟‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪2 (3‬‬
‫‪3 (4‬‬
‫‪ 126‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪ .65‬ﻛﺪام ﻋﺪد ﻣﻲﺗﻮاﻧﺪ رﻳﺸﻪي ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪- 1 / 5 (1‬‬
‫‪x 2 −a x = 1‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ؟‬
‫‪saati.com‬‬
‫) ‪(0 < a < 1‬‬
‫‪1 / 5 (2‬‬
‫‪0/5 (4‬‬
‫‪-0/3 (3‬‬
‫ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪ (1‬ﺗﺎﺑﻊ راﺑﻄﻪاي اﺳﺖ از ﻣﺠﻤﻮﻋﻪي ‪ A‬ﺑﻪ ‪ B‬ﻛﻪ در آن ﺑﻪ ﻫﺮ ﻋﻀﻮ از ‪ A‬دﻗﻴﻘﺎً ﻳﻚ ﻋﻀﻮ از ‪ B‬ﻧﻈﻴﺮ ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬
‫‪F :A → B‬‬
‫‪ (2‬ﻫﺮ ﺗﺎﺑﻊ را ﻣﻲﺗﻮان ﺑﺎ ﻧﻤﻮدار ون ﻧﻤﺎﻳﺶ داد ﺑﻪ اﻳﻦ ﺻﻮرت ﻛﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪي ‪ ، A‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﻣﺒﺪاء ﺑﺎﺷﺪ و ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ B‬ﻣﻘﺼﺪ ﺑﺎﺷﺪ و در ﻧﻤـﻮدار ون‬
‫ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎﻳﺪ دو اﺗﻔﺎق زﻳﺮ ﺑﻴﻔﺘﺪ‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪c‬‬
‫‪e‬‬
‫اﻟﻒ‪ :‬از ﻫﺮ ﻋﻀﻮ ‪ A‬دﻗﻴﻘﺎً ﻳﻚ ﻓﻠﺶ ﺧﺎرج ﺷﻮد‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪d‬‬
‫ب‪ .‬ﻻزم ﻧﻴﺴﺖ ﺑﻪ ﻫﺮ ﻋﻀﻮ ‪ B‬دﻗﻴﻘﺎً ﻳﻚ ﻓﻠﺶ وارد ﺷﻮد‪ ،‬ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺑﻪ ﻫﺮ ﻋﻀﻮ ‪ B‬ﺑﻴﺶ از ﻳﻚ ﻓﻠﺶ وارد ﺷﻮد ﻳﺎ اﺻﻼً ﻓﻠﺸﻲ وارد ﻧﺸﻮد‪.‬‬
‫‪ (3‬اﮔﺮ ‪ :f‬ﺗﺎﺑﻌﻲ از ‪ A‬ﺑﻪ ‪ B‬ﺑﺎﺷﺪ آن ﮔﺎه ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ ،A‬داﻣﻨﻪ ‪ f‬اﺳﺖ‪ ،‬اﻣﺎ ﻟﺰوﻣﻲ ﻧﺪارد ﻛﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ‬
‫‪B‬‬
‫ﺑﺮد ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎﺷﺪ و ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ‪ B‬را ﻫﻢ داﻣﻨﻪ ﻳـﺎ‬
‫ﻣﻘﺼﺪ ﻣﻲﻧﺎﻣﻴﻢ‪.‬‬
‫‪ (4‬ﺗﺎﺑﻊ )زوج ﻣﺮﺗﺐ( ‪ :‬دﺳﺘﻪاي از زوج ﻣﺮﺗﺐﻫﺎ را ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻲﻧﺎﻣﻴﻢ ﻛﻪ ﻣﻮﻟﻔﻪ اول آن ﺗﻜﺮار ﻧﺪاﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ وﻟﻲ ﻣﺆﻟﻔﻪﻫﺎي دوم آﻧﻬﺎ ﻣﻲﺗﻮاﻧﻨـﺪ ﺗﻜـﺮار‬
‫داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪.‬‬
‫ﺑﺮاي ﻣﺜﺎل راﺑﻄﻪﻫﺎ‬
‫}) ‪f2 = {(1, 2 ),(3, 3 )(4, 5 )}, f1 = {(1, 2 ),(2, 3 ),(3, 4‬‬
‫ﺗﺎﺑﻊ ﻫﺴﺘﻨﺪ وﻟﻲ راﺑﻄﻪ‬
‫}) ‪f3 = {(1, 2 ),(1, 3 ),(4, 5‬‬
‫ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴﺖ‪.‬‬
‫‪ (5‬ﺗﺎﺑﻊ را ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺎﺷﻴﻦ ﻣﻲﺗﻮان در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺖ ﻛﻪ وروديﻫﺎي ﻣﺎﺷﻴﻦ )‪ (x‬از ﻳﻚ ﻃﺮف وارد ﻣﻲﺷﻮد‪ .‬و ﺧﺮوﺟﻲﻫﺎ)‪ y‬ﻫﺎ( از ﻃﺮف دﻳﮕـﺮ ﺧـﺎرج‬
‫ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ‪.‬‬
‫ﺧﺮوﺟﻲ )‪(y‬‬
‫ورودي ‪x‬‬
‫ﻣﺎﺷﻴﻦ ‪f‬‬
‫‪ (6‬ﺗﺎﺑﻊ را ﻣﻲﺗﻮان ﮔﺎﻫﻲ اوﻗﺎت ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺟﺪوﻟﻲ ﺑﺮاﺳﺎس ‪ x‬و ‪ y‬ﻧﻮﺷﺖ‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪7‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ (7‬ﮔﺎﻫﻲ اوﻗﺎت ﺑﻴﻦ وروديﻫﺎ )‪ x‬ﻫﺎ( و ﺧﺮوﺟﻲﻫﺎ )‪(y‬ﻫﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪي ﻗﺎﻧﻮنﻣﻨﺪ وﺟﻮد دارد )‪y=f(x‬‬
‫‪ (8‬اﮔﺮ ﻧﻤﻮدار ‪ f‬را داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ آن ﮔﺎه ﺑﻪ ﺷﺮﻃﻲ ‪ f‬ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ ﺧﻂ ﻗﺎﺋﻢ ﻛﻪ ﻣﻮازي ﻣﺤﻮر ‪y‬ﻫﺎ رﺳﻢ ﺷﻮد‪ ،‬ﻧﻤﻮدار ﺣﺪاﻛﺜﺮ در ﻳﻚ ﻧﻘﻄـﻪ‬
‫ﻗﻄﻊ ﺷﻮد‪.‬‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻴﺴﺖ‬
‫‪y‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪127‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ (9‬ﻫﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﺧﻄﻲ درﺟﻪ اول را ﺑﻪ ﺻﻮرت ‪ y=ax+b‬ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻣﻲدﻫﻴﻢ ﻛﻪ ‪ a‬ﺷﻴﺐ ﺧﻂ و ‪) b‬ﻋﺮض از ﻣﺒﺪاء آن اﺳﺖ(‬
‫‪ (10‬ﺗﺎﺑﻊ ﮔﻮﻳﺎ‪ :‬اﮔﺮ دو ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪاي را ﺑﻪ ﻫﻢ ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻛﻨﻴﻢ‪ ،‬اﻳﻦ ﺗﺎﺑﻊ را ﺗﺎﺑﻊ ﮔﻮﻳﺎ ﮔﻮﻳﻨﺪ‪.‬‬
‫‪ax n + bx n −1 + ...‬‬
‫‪a ′x m + b ′m −1 + ...‬‬
‫‪ (11‬ﺗﺎﺑﻊ ﺛﺎﺑﺖ‪ :‬ﻳﻌﻨﻲ ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ ‪ ،x‬ﻣﻘﺪار ‪ y‬ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ (12‬ﺗﺎﺑﻊ ﻫﻤﺎﻧﻲ‪ :‬اﮔﺮ در ﺗﺎﺑﻊ ﺧﻄﻲ ‪ a = 1 . b = 0 ، y = ax + b‬ﺑﺎﺷﺪ آن ﮔﺎه‬
‫‪y =x‬‬
‫= ) ‪f (x‬‬
‫‪A‬‬
‫را ﺗﺎﺑﻊ ﻫﻤﺎﻧﻲ ﮔﻮﻳﻨﺪ‪.‬‬
‫‪A‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ (13‬اﮔﺮ ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬از ﭼﻨﺪ ﺿﺎﺑﻄﻪ ﻣﺘﻤﺎﻳﺰ ﺗﺸﻜﻴﻞ ﺷﺪه ﺑﺎﺷﺪ آن را ﺗﺎﺑﻊ ﭼﻨﺪ ﺿﺎﺑﻄﻪاي ﮔﻮﻳﻨﺪ‪.‬‬
‫‪ f1 : x ∈D1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f2 : x ∈D2‬‬
‫‪f (x ) = ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪ fn : x ∈ Dn‬‬
‫ﺑﻪ ﻃﻮري ﻛﻪ‬
‫‪Df = D1 ∪ D2 ∪ ... ∪ Dn‬‬
‫‪ (14‬اﮔﺮ در ﻳﻚ راﺑﻄﻪ ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ ‪ x‬ﻓﻘﻂ ﻳﻚ ‪ y‬داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ آن راﺑﻄﻪ را ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﮔﻮﻳﻨﺪ ﺑﻪ ﻋﺒﺎرﺗﻲ ‪:‬‬
‫‪∀x 1 , x 2 ∈ Df : x 1 = x 2 ⇒ y 1 = y 2‬‬
‫‪ (15‬در ﺑﺮﺧﻲ ﻣﺴﺎﺋﻞ ﻻزم اﺳﺖ ﻛﻪ راﺑﻄﻪاي ﺑﻴﻦ ﻣﺘﻐﻴﺮﻫﺎ ﺑﺮﻗﺮار ﻛﻨﻴﻢ ﺑـﻪ ﻋﻨـﻮان ﻣﺜـﺎل اﮔـﺮ دو ﻣﺜﻠـﺚ ﻗـﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳـﻪ ﺑـﻪ اﺿـﻼع ﻗﺎﺋﻤـﻪ ‪ a‬و ‪ b‬اﮔـﻪ‬
‫‪ a = b2‬ﺑﺎﺷﺪ در اﻳﻦ ﺻﻮرت ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ‪ S = 21 ab = 41 b 2‬ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪ ،‬ﻳﻌﻨﻲ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺜﻠﺚ ﺗﺎﺑﻌﻲ از ‪ a‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ (16‬اﮔﺮ ﺑﻪ ازاي ‪) x=a‬ورودي ﺗﺎﺑﻊ ‪ (f‬ﺧﺮوﺟﻲ ﺗﺎﺑﻌﻲ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ‪ b‬ﺑﺎﺷﺪ آن ﮔﺎه دارﻳﻢ ‪ y=f(a)=b‬ﻳﻌﻨﻲ ﻣﻘﺪار ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬در ‪ a‬ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎ ‪ b‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ f (3 ) = 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f (5 ) = 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f (6 ) = π‬‬
‫‪(17‬‬
‫} ‪Df = {x :(x , y ) ∈ f‬‬
‫و ﺑﻪ ﻋﺒﺎرﺗﻲ اﮔﺮ‬
‫‪f :A → B‬‬
‫‪ (19‬اﮔﺮ‬
‫‪B‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪π‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺷﻮد‪ A .‬داﻣﻨﻪ ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد‪.‬‬
‫‪ (18‬اﮔﺮ ‪ f‬ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﮔﻮﻳﺎ ﺑﺎﺷﺪ ﻳﻌﻨﻲ )) ‪ f (x ) = qp((xx‬در اﻳﻦ ﺻﻮرت‬
‫) ‪f = 2n p (x‬‬
‫‪A‬‬
‫}‪D f = R − {x :q (x ) = 0‬‬
‫و ) ‪ p (x‬ﻳﻚ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪاي ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫}‪Df = R − {x : p (x ) ≥ 0‬‬
‫‪ 128‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪ (20‬اﻟﻒ‪ :‬ﺑﺮد ﺗﺎﺑﻊ ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از ﺗﻐﻴﻴﺮات ‪ y‬ﺑﻪ ازاي ﺗﻐﻴﻴﺮات ‪ ، x‬ﻳﻌﻨﻲ‬
‫‪saati.com‬‬
‫} ‪Rf = {y :(x , y ) ∈ f‬‬
‫ب‪ :‬ﺑﺮد ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬ﻋﺒﺎرﺗﺴﺖ از ﺗﺼﻮﻳﺮ ‪ f‬روي ﻣﺤﻮر ‪y‬ﻫﺎ‬
‫ج‪ :‬در ﻧﻤﻮدار ون‪ :‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اﻋﺪادي ﻛﻪ ﭘﻴﻜﺎن ﺑﻪ آنﻫﺎ ﻧﻈﻴﺮ ﺷﺪه ﺑﺮد ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ (21‬اﻟﻒ‪ :‬اﻧﺘﻘﺎل اﻓﻘﻲ‪ :‬اﮔﺮ‬
‫‪a >0‬‬
‫ﻧﻤﻮدار‬
‫ﻫﻤﺎن ﻧﻤﻮدار ‪ f‬اﺳﺖ ﻛﻪ ‪ a‬واﺣﺪ ﺑﻪ راﺳﺖ اﻧﺘﻘـﺎل داده ﺷـﺪه و )‪ y=f(x+a‬ﻫﻤـﺎن‬
‫) ‪y = f (x − a‬‬
‫ﻧﻤﻮدار ‪ f‬اﺳﺖ ﻛﻪ ‪ a‬واﺣﺪ ﺑﻪ ﭼﭗ اﻧﺘﻘﺎل داده ﺷﺪه اﺳﺖ‪.‬‬
‫ب‪ :‬اﻧﺘﻘﺎل ﻋﻤﻮدي‪ :‬ﻧﻤﻮدار ‪ y = f (x ) + k‬ﻫﻤﺎن ﻧﻤﻮدار ‪ f‬اﺳﺖ ﻛﻪ ‪ k‬واﺣﺪ در راﺳﺘﺎي ﻣﺤﻮر ‪ y‬ﻫﺎ ﺟﺎﺑﺠﺎ ﺷـﺪه اﺳـﺖ‪ .‬اﮔـﺮ‬
‫ﺑﺎﻻ و اﮔﺮ‬
‫‪k <0‬‬
‫‪k >0‬‬
‫ﺑﺎﺷـﺪ ﺑـﻪ ﻃـﺮف‬
‫ﺑﻪ ﻃﺮف ﭘﺎﻳﻴﻦ اﻧﺘﻘﺎل داده ﻣﻲﺷﻮد‪.‬‬
‫ج‪ .‬اﻧﺒــﺴﺎط و اﻧﻘﺒــﺎض اﻓﻘــﻲ‪ :‬در ﻧﻤــﻮدار ) ‪ ، y = f (kx‬ﻧــﺴﺒﺖ ﺑــﻪ ﻧﻤــﻮدار ‪ f‬ﻓــﺸﺮدهﺗــﺮ ﻳــﺎ ﻛــﺸﻴﺪهﺗــﺮ اﺳــﺖ‪ ،‬اﮔــﺮ‬
‫‪k >1‬‬
‫ﻧﻤــﻮدار ﻓــﺸﺮدهﺗــﺮ و اﮔــﺮ‬
‫‪ 0 < k < 1‬ﻧﻤﻮدار ﻛﺸﻴﺪهﺗﺮ اﺳﺖ‪.‬‬
‫د( اﻧﺒﺴﺎط و اﻧﻘﺒﺎض ﻋﻤﻮدي‪ :‬ﻧﻤﻮدار ) ‪ ، y = kf (x‬ﺑﻪ ﻧﻤﻮدار ‪ ،f‬ﻓﺸﺮدهﺗﺮ اﺳﺖ اﮔﺮ ‪ 0 < k < 1‬و ﻛﺸﻴﺪهﺗﺮ اﺳﺖ اﮔﺮ‬
‫‪1 <l =k‬‬
‫ه( ) ‪ ، y = − f (x‬ﻗﺮﻳﻨﻪ ‪ f‬ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﺤﻮر ‪ x‬ﻫﺎﺳﺖ و ) ‪ ، y = f (−x‬ﻗﺮﻳﻨﻪي ﻧﻤﻮدار ‪ f‬ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﺤﻮر ‪y‬ﻫﺎﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ (22‬ﺷﺮط اﻳﻨﻜﻪ دو ﺗﺎﺑﻊ ) ‪ y = f (x‬و‬
‫) ‪y = g (x‬‬
‫ﺑﺎ ﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ اوﻻً داﻣﻨﻪﻫﺎ ﺑﺎ ﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ و ﺛﺎﻧﻴﺎً ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ ‪ x‬از داﻣﻨﻪﻫـﺎ‬
‫) ‪f (x ) = g (x‬‬
‫‪ (23‬اﮔﺮ )‪ f(x‬و )‪ g(x‬داﻣﻨﻪ ﻣﺸﺘﺮﻛﻲ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻨﺪ آن ﮔﺎه‪:‬‬
‫‪( f + g )(x ) = f (x ) + g (x ), Df +g = Df ∩ Dg‬‬
‫‪( f − g )(x ) = f (x ) − g (x ), Df −g = Df ∩ Dg‬‬
‫‪( f × g )(x ) = f (x ) × g (x ) = Df ×g = Df ∩ Dg‬‬
‫) ‪f (x‬‬
‫‪f‬‬
‫‪f‬‬
‫= ) ‪( )(x‬‬
‫}‪, D = Df ∩ Dg − {x : g (x ) = 0‬‬
‫‪g‬‬
‫) ‪g (x‬‬
‫‪g‬‬
‫‪ (24‬اﻟﻒ‪ :‬ﺗﺮﻛﻴﺐ دو ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬و ‪ g‬را ﺑﺎ ‪ fog‬ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻣﻲدﻫﻨﺪ و ))‪ ، fog(x)=f(g(x‬ﻳﻌﻨﻲ اﺑﺘـﺪا‪ x ،‬وارد ‪ g‬و ﺧﺮوﺟـﻲ آن )‪ g(x‬اﺳـﺖ‪ ،‬ﺳـﭙﺲ‬
‫)‪ g(x‬وارد ‪ f‬ﻣﻲﺷﻮد و ﺧﺮوﺟﻲ آن ))‪ f(g(x‬اﺳﺖ‪.‬‬
‫ب‪:‬‬
‫)) ‪x → g → g (x ) → f → f (g (x‬‬
‫ج‪:‬‬
‫} ‪Dfog = {x : x ∈ Dg , g (x ) ∈ D f‬‬
‫‪ (25‬ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ‪ f‬ﺗﺎﺑﻌﻲ ﺑﺎ داﻣﻨﻪ ﻣﺘﻘﺎرن اﺳﺖ ﻳﻌﻨﻲ اﮔﺮ‬
‫اﻟﻒ‪ :‬اﮔﺮ ﺑﺮاي ﻫﺮ‬
‫‪x ∈ Df‬‬
‫‪x ∈Df‬‬
‫آن ﮔﺎه‬
‫‪−X ∈ Df‬‬
‫در اﻳﻦ ﺻﻮرت‪:‬‬
‫و ) ‪ f (−x ) = f (x‬آن ﮔﺎه ‪ f‬زوج اﺳﺖ‪.‬‬
‫ب‪ :‬اﮔﺮ ﺑﺮاي ﻫﺮ ‪ f (−x ) = − f (x ) ، x ∈Df‬آن ﮔﺎه ‪ f‬ﻓﺮد اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ (26‬ﺗﻮاﺑﻊ زﻳﺮ‪ ،‬ﺗﻮاﺑﻊ ﻓﺮدﻧﺪ‬
‫ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪاي از درﺟﻪ ﻓﺮد‬
‫‪2n −1‬‬
‫‪) f (x ) = a1x + a3 + a3x 3 + ... + a2xn −1‬اﻟﻒ‬
‫) ‪) y = tan 2n −1 (ax‬ب‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪129‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫) ‪) y = sin 2n −1 (ax‬ج‬
‫‪n −1‬‬
‫‪) y = cot 2(ax‬د‬
‫)‬
‫‪) y = a x − a − x‬ه‬
‫| ‪) y =| x −a | − | x + a‬و‬
‫) ‪) y = sgn(x‬ز‬
‫‪bx‬‬
‫‪) y = log aa +− bx‬ح‬
‫‪ (27‬ﺗﻮاﺑﻊ زﻳﺮ زوجاﻧﺪ‪:‬‬
‫‪) y = a0 + a 2x 2 + ... + a2n x 2n + ...‬اﻟﻒ‬
‫ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪاي از درﺟﻪ زوج‬
‫) ‪) y = sin 2n (ax‬ب‬
‫) ‪) y = cosn (ax‬ج‬
‫) ‪) y = tg 2n (ax‬د‬
‫) ‪) y = cot g 2n (ax‬ه‬
‫‪) y = a x + a −x‬و‬
‫| ‪) y = y =| x − a | + | x + a‬ز‬
‫‪) y = x sgn x‬ح‬
‫| ‪) y =| x‬ط‬
‫‪ (28‬اﻟﻒ‪ :‬ﻧﻤﻮدار ﺗﻮاﺑﻊ زوج ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﺤﻮر ‪ y‬ﻫﺎ ﻣﺘﻘﺎرناﻧﺪ )ﻣﺤﻮر ‪ y‬ﻫﺎ ﻣﺤﻮر ﺗﻘﺎرن ﺗﺎﺑﻊ ﻓﺮد اﺳﺖ(‬
‫ب‪ :‬ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ ﻓﺮد ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻣﺒﺪاء ﻣﺨﺘﺼﺎت ﻣﺘﻘﺎرن اﺳﺖ )ﻣﺒﺪاء ﻣﺨﺘﺼﺎت‪ ،‬ﻣﺮﻛﺰ ﺗﻘﺎرن ﺗﺎرﺑﻊ ﻓﺮد اﺳﺖ‪.‬‬
‫ج‪ :‬ﺗﻨﻬﺎ ﺗﺎﺑﻊ ﻫﻢ زوج و ﻫﻢ ﻓﺮد‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪f (x ) = 0‬‬
‫‪ (29‬اﮔﺮ ‪ f‬و ‪ g‬دو ﺗﺎﺑﻊ ﻏﻴﺮﺻﻔﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ آن ﮔﺎه‬
‫اﻟﻒ‪ :‬اﮔﺮ ‪ f‬و ‪ g‬ﻫﺮ دو ﻓﺮد ﺑﺎﺷﻨﺪ آن ﮔﺎه ‪ f ± g‬ﻓﺮد و‬
‫ب‪ :‬اﮔﺮ ‪ f‬و ‪ g‬ﻫﺮ دو زوج ﺑﺎﺷﻨﺪ آن ﮔﺎه‬
‫‪f +g‬‬
‫و‬
‫‪fg‬‬
‫‪f −g‬‬
‫و ‪ gf‬زوجاﻧﺪ و ‪ fog‬ﻓﺮد اﺳﺖ‪.‬‬
‫و ‪ fg‬و‬
‫‪f‬‬
‫‪g‬‬
‫ج( اﮔﺮ ‪ f‬زوج و ‪ g‬ﻓﺮد ﺑﺎﺷﻨﺪ آن ﮔﺎه ‪ f ± g‬ﻧﻪ زوج و ﻧﻪ ﻓﺮد‪ Fg .‬و‬
‫د( اﮔﺮ )‪ f(x‬ﺗﺎﺑﻊ زوج ﺑﺎﺷﻨﺪ آن ﮔﺎه‬
‫) ‪f n (x‬‬
‫ﻧﻴﺰ زوج اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻫـ( اﮔﺮ )‪ f(x‬ﺗﺎﺑﻊ ﻓﺮد ﺑﺎﺷﺪ آن ﮔﺎه‬
‫) ‪f 2n (x‬‬
‫‪f(2xn)−1‬‬
‫زوج و‬
‫زوجاﻧﺪ و ‪ fog‬زوج اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪f‬‬
‫‪g‬‬
‫ﻓﺮد اﺳﺖ و ‪ fog‬زوج اﺳﺖ‪.‬‬
‫ﻓﺮد اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ (30‬ﻫﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺎﻧﻨﺪ )‪ f(x‬ﻛﻪ داﻣﻨﻪ ﻣﺘﻘﺎرن دارد را ﻣﻲﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻣﺠﻤﻮع دو ﺗﺎﺑﻊ زوج و ﻓﺮد ﻧﻤﺎﻳﺶ داد‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫) ‪f (x ) = ( f (x ) + f (−x )) + ( f (x ) − f (−x‬‬
‫ ‪ 2‬‬
‫‬
‫ ‪2‬‬
‫ﺗـــﺎﺑﻊ ﻓـــﺮد‬
‫ﺗـــــــــﺎﺑﻊ زوج‬
‫‪ 130‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ (31‬اﻟﻒ‪ :‬اﮔﺮ ‪ f‬ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﻪ ﺷﺮﻃﻲ ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬ﻳﻚ ﺑﻪ ﻳﻚ اﺳﺖ ﻛﻪ از ﻫﺮ ﻋﻀﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪي ﻣﺒﺪاء ﺑﻪ ﻫﺮ ﻋﻀﻮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪي ﻣﻘﺼﺪ ﻓﻘﻂ ﻳﻚ ﭘﻴﻜﺎن ﻧﻈﻴﺮ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ب‪ f :‬ﻳﻚ ﺑﻪ ﻳﻚ اﺳﺖ ﻫﺮ ﮔﺎه در زوجﻫﺎي ﻣﺮﺗﺐ ﺑﻪ ﺷﺮﻃﻲ ﻛﻪ ﻣﺆﻟﻔﻪﻫﺎي دوم ﺗﻜﺮاري ﻧﺒﺎﺷﻨﺪ ﺗﺎﺑﻊ ﻳﻚ ﺑﻪ ﻳﻚ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ج( در ﻧﻤﻮدار‪ :‬ﺑﻪ ازاي ﻫﺮ ﺧﻂ رﺳﻢ ﺷﺪه ﻣﻮازي ﻣﺤﻮر ‪x‬ﻫﺎ‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ ﺣﺪاﻛﺜﺮ در ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ ﺷﻮد‪.‬‬
‫‪ (32‬اﮔﺮ ) ‪ y = f (x‬ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎﺷﺪ آن ﮔﺎه ﺷﺮط اﻳﻨﻜﻪ ﻳﻚ ﺑﻪ ﻳﻚ ﺑﺎﺷﻨﺪ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ‬
‫‪f (x 1 ) = f (x 2 ) ⇒ x 1 = x 2‬‬
‫‪ (33‬ﺗﺎﺑﻊ زوج روي داﻣﻨﻪي ﺧﻮد ﺗﺎﺑﻌﻲ اﺳﺖ ﻏﻴﺮ ﻳﻚ ﺑﻪ ﻳﻚ ﻣﮕﺮ آن ﻛﻪ }) ‪ f = {(0,a‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪ (34‬اﮔﺮ‬
‫‪x =a‬‬
‫ﻣﺤﻮر ﺗﻘﺎرن ﺗﺎﺑﻊ‬
‫) ‪y = f (x‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ آن ﮔﺎه ﺗﺎﺑﻊ در داﻣﻨﻪي ﺧﻮد ﻳﻚ ﺑﻪ ﻳﻚ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺟﺰء‬
‫}) ‪f = {(0,a‬‬
‫‪ (35‬اﮔﺮ ‪ f‬ﻳﻚ ﺑﻪ ﻳﻚ ﻧﺒﺎﺷﺪ ﻣﻌﻜﻮس ﻧﺎﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ‪ ،‬ﭘﺲ در ﻧﻤﻮدار ﺗﻮاﺑﻊ‪ :‬ﺗﺎﺑﻌﻲ ﻛﻪ ﻳﻚ ﺑﻪ ﻳﻚ ﻧﺒﺎﺷﺪ ﻣﻌﻜﻮس ﻧﺎﭘﺬﻳﺮ اﺳـﺖ‪) ،‬آزﻣـﻮن ﺧـﻂ اﻓﻘـﻲ را‬
‫ﺑﺰﻧﻴﺪ(‬
‫‪ (36‬اﻟﻒ‪ :‬ﺷﺮط ﻻزم و ﻛﺎﻓﻲ ﺑﺮاي آن ﻛﻪ ‪ f‬ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ آن اﺳﺖ ﻛﻪ ﻳﻚ ﺑﻪ ﻳﻚ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ب‪ :‬اﮔﺮ ‪ f‬ﺗﺎﺑﻌﻲ ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ و اﻛﻴﺪاً ﻳﻜﻨﻮا ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ‪.‬‬
‫ج‪ :‬ﺗﺎﺑﻌﻲ ﻛﻪ داراي ﻣﺤﻮر ﺗﻘﺎرن‬
‫د(‬
‫‪x =a‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ در داﻣﻨﻪ ﺧﻮد ﻣﻌﻤﻮﻻً ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ ﻧﻴﺴﺖ‪.‬‬
‫‪f f−1 = Rf−1 , Df = Rf−1‬‬
‫ه( ﺗﻮاﺑﻊ ﭼﻨﺪ ﺟﻤﻠﻪاي در ﺻﻮرﺗﻲ ﻛﻪ داراي اﻛﺴﺘﺮﻣﻢ ﺑﺎﺷﻨﺪ در ‪ R‬ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ ﻧﻴﺴﺘﻨﺪ‪.‬‬
‫‪ (37‬در ﺗﻮاﺑﻊ ﭼﻨﺪ ﺿﺎﺑﻄﻪاي ﻣﺎﻧﻨﺪ‬
‫‪ g 1 (x ): x ∈ D1‬‬
‫‪f (x ) = ‬‬
‫‪ g 2 (x ): x ∈D2‬‬
‫در ﺻﻮرﺗﻲ وارون ﭘﺬﻳﺮﻧﺪ ﻛﻪ‬
‫اﻟﻒ‪ :‬ﻫﺮ ﻳﻚ از ﺿﺎﺑﻄﻪﻫﺎ در داﻣﻨﻪ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺧﻮد وارونﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ب‪:‬‬
‫‪Rf 1 ∩ R f 2 = φ‬‬
‫ﺗﺬﻛﺮ‪ :‬اﮔﺮ ﺷﺮاﻳﻂ اﻟﻒ و ب ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺿﺎﺑﻄﻪي ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻌﻜﻮس ﺑﻪ ﺻﻮرت‬
‫‪ g 1−1 (x ): x ∈Rg 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪f −1 (x ) = ‬‬
‫‪ g 2−1 (x ): x ∈Rg 2‬‬
‫‪ (38‬اﮔﺮ ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ و ﻓﺮد ﺑﺎﺷﺪ آن ﮔﺎه ‪ f −1‬ﻧﻴﺰ ﻓﺮد اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ (39‬ﺗﺎﺑﻊ | ‪ f (x ) =| ax + b‬ﻳﻚ ﺑﻪ ﻳﻚ ﻧﻴﺴﺖ ﻣﺜﺎل‪ f (x ) =| x − 1 | :‬ﻳﻚ ﺑﻪ ﻳﻚ ﻧﻴﺴﺖ‪.‬‬
‫‪ (40‬ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬و ‪ f −1‬از ﻧﻈﺮ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﺧﻂ‬
‫‪ (41‬اﮔﺮ‬
‫اﻟﻒ‪:‬‬
‫‪f −1‬‬
‫‪y =x‬‬
‫ﻣﺘﻘﺎرناﻧﺪ‪.‬‬
‫وارون ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎﺷﺪ آن ﮔﺎه‬
‫‪A = (a ,b ) ∈ f‬‬
‫آن ﮔﺎه‬
‫‪A′(b ,a ) ∈ f −1‬‬
‫ب‪ :‬اﮔﺮ ‪ f‬ﺻﻌﻮدي اﻛﻴﺪ و ‪ f‬و ‪ f −1‬ﻣﺘﻘﺎﻃﻊ ﺑﺎﺷﻨﺪ آن ﮔﺎه ﻧﻘﻄﻪ ﺗﻘﺎﻃﻊ روي ﺧﻂ‬
‫‪y =x‬‬
‫اﺳﺖ و ﺑﺮاي ﭘﻴﺪا ﻛﺮدن اﻳﻦ ﻧﻘﻄـﻪ ﻛـﺎﻓﻲ اﺳـﺖ ﻛـﻪ ﻣﻌﺎدﻟـﻪ‬
‫‪ f (x ) = x‬ﻧﺒﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫ج‪ :‬ﻗﺎﺑﻞ ﺗﺬﻛﺮ اﺳﺖ ﻛﻪ اﮔﺮ ‪ f‬ﻧﺰوﻟﻲ اﻛﻴﺪ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﻧﻘﻄﻪ ﺑﺮﺧﻮرد ‪ f‬ﺑﺎ ‪ f −1‬روي‪ y=x‬ﻧﺒﺎﺷﺪ‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪131‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫د‪:‬‬
‫‪fof(−x1) = x : x ∈Df , fof(−x1) = x : x ∈Rf‬‬
‫‪ (42‬اﮔﺮ دو ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬و ‪ g‬ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ آن ﮔﺎه‬
‫‪( fog ) −1 = g −1of −1‬‬
‫‪ax + b‬‬
‫‪ ، f (x ) = cx‬اﮔﺮ ‪ a + d = 0‬آن ﮔﺎه‬
‫‪ (43‬در ﺗﻮاﺑﻊ ﻫﻤﻮﮔﺮاﻓﻴﻚ‬
‫‪+d‬‬
‫و ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻌﻤﻴﻢ ﻧﻴﺰ اﺳﺖ‪.‬‬
‫) ‪f(−x1) = f(x‬‬
‫ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ ﺗﺴﺖﻫﺎي ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪ .1‬در ﺻﻮرﺗﻲ ﻛﻪ دو زوج ﻣﺮﺗﺐ‬
‫‪1 (1‬‬
‫) ‪(x − 2 , y + 3‬‬
‫و ) ‪ (6 − x , 5 − y‬ﺑﺎ ﻫﻢ ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ‪ x + y ،‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪3 (2‬‬
‫‪ .2‬اﮔﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ })‪ {(−1, 2 ),(a ,b + 1),(c ,d − 1‬ﻓﻘﻂ ﻳﻚ ﻋﻀﻮ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ‬
‫‪- 2 (1‬‬
‫‪2 (2‬‬
‫‪4 (3‬‬
‫? = ‪a +b +c +d‬‬
‫‪4 (3‬‬
‫‪ .3‬در ﺻﻮرﺗﻲ ﻛﻪ راﺑﻄﻪي })‪ {(a , 1),(5, m ),(3, 4 ),(3,a − 1),(2, m + 1‬ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎﺷﺪ‬
‫‪1 (1‬‬
‫‪- 1 (2‬‬
‫‪5 (4‬‬
‫‪ (3‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪6 (4‬‬
‫?= ‪m‬‬
‫‪ (4‬ﺑﺮاي ﻫﺮ ﻣﻘﺪار‬
‫‪ .4‬راﺑﻄﻪي }) ‪ R = {(3, m 2 ),(2, 1),(−3, m ),(−2, m ),(3, m + 2 ),(m , 4‬ﺑﻪ ازاي ﻛﺪام ﻣﻘﺪار ‪ ،m‬ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ؟‬
‫‪- 2 (1‬‬
‫‪- 1 (2‬‬
‫‪2 (3‬‬
‫‪ (4‬ﻫﻴﭻ ﻣﻘﺪار ‪m‬‬
‫‪ 132‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .5‬ﻛﺪام ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ؟‬
‫‪y‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪32‬‬
‫})‪, 3‬‬
‫‪2‬‬
‫(‪{(3, −1 )(4, 8 ),‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a0‬‬
‫‪4‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ .6‬ﻛﺪام ﺗﺎﺑﻊ زﻳﺮ ﻫﻤﺎﻧﻲ اﺳﺖ؟‬
‫‪(1‬‬
‫‪y =x‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪y =x +1‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪y = −x‬‬
‫‪y = 1 −x‬‬
‫‪ .7‬ﻛﺪام ﺗﺎﺑﻊ زﻳﺮ ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﺧﻄﻲ اﺳﺖ؟‬
‫‪(1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪4x 3 + 4x + x 2 + 1‬‬
‫‪x2 +1‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪2x 2 − 1‬‬
‫‪x −1‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪y= x‬‬
‫‪ .8‬ﻛﺪام ﺗﺎﺑﻊ زﻳﺮ ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﮔﻮﻳﺎ ﻧﻴﺴﺖ؟‬
‫‪(1‬‬
‫‪x −1‬‬
‫‪x +1‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪y= x‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪y =x2‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪y =x‬‬
‫‪ .9‬در ﻛﺪام راﺑﻄﻪ‪ y ،‬ﺗﺎﺑﻌﻲ از ‪ x‬اﺳﺖ؟‬
‫‪(1‬‬
‫‪x 2 − x − xy = 0‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪x + y +1 =y‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪x y‬‬
‫‪+ +2 =0‬‬
‫‪y x‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪| x | + | y |= 1‬‬
‫‪ .10‬درﻛﺪام ﮔﺰﻳﻨﻪ ‪ ، y‬ﺗﺎﺑﻊ ‪ x‬اﺳﺖ؟‬
‫‪(1‬‬
‫‪x + y +2 =y‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪x = y 3 − 4y + 1‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪x =| 2y + 1 | +y‬‬
‫‪(4‬‬
‫| ‪x = y3 +y + |y‬‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪133‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .11‬در ﻛﺪام ﮔﺰﻳﻨﻪ ‪ x‬ﺗﺎﺑﻊ ‪ y‬ﻧﻴﺴﺖ‪:‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪xy = 2‬‬
‫‪(x − 1 )2 + y 2 = 0‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪x 2 + 4xy + 4y 2 = 1‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪x = 1 − sin y‬‬
‫‪ .12‬ﻃﻮل )‪ (x‬ﻳﻚ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ ‪ 3‬واﺣﺪ ﺑﻴﺸﺘﺮ از ﻋﺮض )‪ (y‬آن اﺳﺖ اﮔﺮ ﻣﺤﻴﻂ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ را ﺑـﺎ ‪ P‬ﻧﻤـﺎﻳﺶ دﻫـﻴﻢ ﻛـﺪام راﺑﻄـﻪ زﻳـﺮ ﻣﺤـﻴﻂ را ﺑﺮﺣـﺴﺐ‬
‫ﻋﺮض ﺑﻴﺎن ﻣﻲﻛﻨﺪ؟‬
‫‪(1‬‬
‫‪P (y ) = 2y + 3‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪P (y ) = 2y − 3‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪P (y ) = 4y + 6‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪P (y ) = 4y − 6‬‬
‫‪ .13‬داﻳﺮهاي ﺑﻪ ﺷﻌﺎع ‪ r‬ﻣﻔﺮوض اﺳﺖ اﮔﺮ ﻣﺤﻴﻂ ﻣﺮﺑﻌﻲ ﺑﻪ ﺿﻠﻊ ‪ x‬ﺑﺎ ﻣﺤﻴﻂ داﻳﺮه ﺑﺮاﺑﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺮﺑﻊ ﺑﺮﺣﺴﺐ ‪ r‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(1‬‬
‫‪π2 2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪4‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪π2 2‬‬
‫‪r‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪π 2r 2‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪4π r 2‬‬
‫‪ .14‬ﺧﻄﻲ از ﻧﻘﻄﻪي ) ‪ A = (3, 2‬ﻋﺒﻮر ﻣﻲﻛﻨﺪ و ﺷﻴﺐ آن ﻣﻨﻔﻲ اﺳﺖ و ﻣﺤﻮر ‪x‬ﻫﺎ و ﻣﺤﻮر ‪y‬ﻫﺎ را ﺑﻪ ﺗﺮﺗﻴﺐ در ﻧﻘﺎط ) ‪ B = (a , 0‬و ) ‪C = (0, P‬ﻗﻄﻊ‬
‫ﻣﻲﻛﻨﺪ و ﺑﺎ ﻣﺤﻮرﻫﺎي ﻣﺨﺘﺼﺎت ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢاﻟﺰاوﻳﻪاي ﻣﻲﺳﺎزد‪ ،‬ﻣﺴﺎﺣﺖ ﻣﺜﻠﺚ ﺑﺮﺣﺴﺐ ‪ P‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(1‬‬
‫‪3P 2‬‬
‫‪P −2‬‬
‫‪ .15‬در ﺻﻮرﺗﻲ ﻛﻪ‬
‫‪- 1 (1‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪3P 2‬‬
‫‪2P − 4‬‬
‫}) ‪f = {(1, −1 ),(−1, 5 ),(3, 1‬‬
‫‪4 (2‬‬
‫ﻣﻘﺪار ﻋﺪدي‬
‫‪(3‬‬
‫‪3P 2‬‬
‫‪2P + 4‬‬
‫)) ‪f ( f (3 )) + f ( f (1‬‬
‫‪5 (3‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪3P 2‬‬
‫‪P −2‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪ (4‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪ 134‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪ ax + 3 : x ≤ 1‬‬
‫‪f (x ) = ‬‬
‫‪ b[−x ] + a : x ≥ 1‬‬
‫‪ .16‬اﮔﺮ‬
‫‪saati.com‬‬
‫ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎﺷﺪ ﻣﻘﺪار ‪ b‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪- 2 (2‬‬
‫‪2 (1‬‬
‫‪ .17‬ﻧﻤﻮدار )‪ f(x‬ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻣﻘﺎﺑﻞ اﺳﺖ‪ ،‬ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪2 (2‬‬
‫‪4 (3‬‬
‫‪1 (4‬‬
‫‪-1 (4‬‬
‫‪1 (3‬‬
‫? = ) ‪f (−1 ) + f (1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .18‬داﻣﻨﻪ ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪y = −x 2 (x 2 − 4 )2‬‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪ .19‬داﻣﻨﻪ ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪17 (1‬‬
‫‪ .20‬داﻣﻨﻪ ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪(1‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪3 (3‬‬
‫‪1− | x | ‬‬
‫‪1 + | x | ‬‬
‫‪5 (3‬‬
‫‪4 (4‬‬
‫= ‪ f =  (x ,y ): y‬ﻛﺪام ﻣﺠﻤﻮﻋﻪ اﺳﺖ؟‬
‫‪‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪x ≤1‬‬
‫‪y = | x + 1 | + | x − 3 | −6‬‬
‫) ‪R − (−2, 4‬‬
‫‪ (4‬ﺑﻲﺷﻤﺎر‬
‫ﺷﺎﻣﻞ ﭼﻨﺪ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ اﺳﺖ؟‬
‫‪16 (2‬‬
‫‪IR‬‬
‫‪ .21‬ﺗﻤﺎم داﻣﻨﻪ‬
‫ﭼﻨﺪ ﻋﻀﻮ دارد؟‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪y = 4 − x +1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪x ≥1‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪| x |≤ 1‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫] ‪R − [−2, 4‬‬
‫‪(3‬‬
‫] ‪[−2, 4‬‬
‫‪(4‬‬
‫) ‪(−2, 4‬‬
‫‪−6‬‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪135‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .22‬داﻣﻨﻪي ﺗﺎﺑﻊ‬
‫) ‪(x 2 − 1 )2 + 1‬‬
‫( ‪ y = Sin −1‬ﺷﺎﻣﻞ ﭼﻨﺪ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ؟‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪ .23‬داﻣﻨﻪي ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪2 (1‬‬
‫‪ (3‬ﺻﻔﺮ‬
‫)] ‪f (x ) = ([x ] − 2 )(3 − [x‬‬
‫‪(2‬‬
‫]‪[ 2 , 3‬‬
‫‪−45‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .26‬اﮔﺮ‬
‫‪(2‬‬
‫‪f (x ) = x 3 + 2x 2 + ax + b‬‬
‫‪35 (1‬‬
‫‪ .27‬داﻣﻨﻪ ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪(1‬‬
‫و‬
‫‪(3‬‬
‫‪15‬‬
‫‪4‬‬
‫‪(3‬‬
‫و‬
‫‪f (1 ) = 0‬‬
‫‪32 (2‬‬
‫‪f (x ) = 4 2 sin x − 1‬‬
‫‪ π , 5π ‬‬
‫‪ 6 6 ‬‬
‫) ‪[2, 4‬‬
‫‪(4‬‬
‫] ‪[1, 3‬‬
‫ﭼﻘﺪر اﺳﺖ؟‬
‫) ‪f (2‬‬
‫‪f (2 ) = 1‬‬
‫‪ (4‬ﺑﻲﺷﻤﺎر‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫) ‪[1, 3‬‬
‫‪ .25‬اﮔﺮ ‪ ، f ( x1 ) − 2 f (x ) = x 2 + x1‬ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪(1‬‬
‫ﺷﺎﻣﻞ ﭼﻨﺪ ﻋﻀﻮ اﺳﺖ؟‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪ .24‬داﻣﻨﻪي ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪(1‬‬
‫‪2 (3‬‬
‫) ‪y = sin −1 (x 2 + x − 3 ) + sin −1 (x 2 + x − 5‬‬
‫‪4 (4‬‬
‫‪ ،‬ﻣﻘﺪار‬
‫‪−15‬‬
‫‪4‬‬
‫) ‪f (−2‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪45‬‬
‫‪4‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪31 (3‬‬
‫‪33 (4‬‬
‫در ﻳﻚ ﺳﻴﻜﻞ ﻣﺜﻠﺜﺎﺗﻲ ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(2‬‬
‫‪ π , 2π ‬‬
‫‪ 3 3 ‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪ π , 2π ‬‬
‫‪ 6‬‬
‫‪‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪ π , 2π ‬‬
‫‪ 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 136‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪ .28‬اﮔﺮ ﺑﺎ ﺷﺮط ‪ x < 6‬داﻣﻨﻪي ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪f (x ) = x 3 − 6x 2 − 2x + 12‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪2 (1‬‬
‫‪ .29‬اﮔﺮ })‪ ، f = {(1, 2 ),(3, −1‬ﺑﺮد ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪(1‬‬
‫‪ .30‬اﮔﺮ ﺑﺮد ﺗﺎﺑﻊ ‪ f (x ) = x 2 + 1‬را‬
‫‪(1‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪(2‬‬
‫] ‪[0 , 3‬‬
‫‪ .31‬ﺑﺮد ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪f (x ) = x + 4‬‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪1‬‬
‫‪2x − 1‬‬
‫= ) ‪f (x‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪{ − 32 ,3 } (3‬‬
‫‪(4‬‬
‫}‪{3‬‬
‫در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﻢ آن ﮔﺎه ﺑﺰرﮔﺘﺮﻳﻦ داﻣﻨﻪي آن ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫] ‪[−3, 3‬‬
‫‪(3‬‬
‫) ‪(−3, 3‬‬
‫‪(4‬‬
‫) ‪[0 , 3‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(2‬‬
‫)∞‪[0 , +‬‬
‫‪ .32‬ﺑﺮد ﺗﺎﺑﻊ‬
‫) ‪[1, 10‬‬
‫) ‪(b − a‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪{ − 32 , − 21 } (2‬‬
‫}‪{2, −1‬‬
‫ﺑﻪ ﺻﻮرت‬
‫] ‪[a ,b‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺣﺪاﻛﺜﺮ ﻣﻘﺪار‬
‫‪4 (3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−3‬‬
‫‪f‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫] ‪(−∞, 4‬‬
‫‪(3‬‬
‫)∞‪[−4, +‬‬
‫‪(4‬‬
‫) ‪(−∞, −4‬‬
‫ﭼﻨﺪ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ را ﺷﺎﻣﻞ ﻧﻤﻲﺷﻮد؟‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪2 (3‬‬
‫‪ (4‬ﺑﻲﺷﻤﺎر‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪137‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x +1‬‬
‫‪ .33‬ﺑﺮد ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪي‬
‫‪1 (1‬‬
‫‪2 (2‬‬
‫‪(2‬‬
‫] ‪[0, 4‬‬
‫‪ .35‬ﺑﺮد ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪ‬
‫‪(1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1 +x2‬‬
‫‪1 1‬‬
‫] ‪[− ,‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪ .36‬اﮔﺮ ﻧﻤﻮدار‬
‫‪5 (3‬‬
‫‪f (x ) = 4 − x 2‬‬
‫‪ .34‬ﺑﺮد ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪاي‬
‫‪(1‬‬
‫‪y =x +‬‬
‫ﺷﺎﻣﻞ ﭼﻨﺪ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻧﻴﺴﺖ؟‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(3‬‬
‫] ‪[0 , 2‬‬
‫‪(4‬‬
‫] ‪[0 , 1‬‬
‫= ) ‪f (x‬‬
‫‪(3‬‬
‫] ‪[−1, 1‬‬
‫ﺑﻪ ﺻﻮرت ﺷﻜﻞ ﻣﻘﺎﺑﻞ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻧﻤﻮدار‬
‫‪(4‬‬
‫)∞‪[2, +‬‬
‫) ‪y = −2 f (1 − 2x‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪y‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪ .37‬اﮔﺮ داﻣﻨﻪي ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫‪4 (1‬‬
‫‪ .38‬اﮔﺮ ﺑﺮد ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬ﺑﺮاﺑﺮ‬
‫‪5 (1‬‬
‫‪R‬‬
‫ﺷﺒﻴﻪ ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪y‬‬
‫‪0‬‬
‫] ‪[1, 2‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(2‬‬
‫) ‪y = f (x‬‬
‫‪ (4‬ﺑﻲﺷﻤﺎر‬
‫‪(4‬‬
‫] ‪= [−2, 6‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ Df‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬داﻣﻨﻪي ﻧﻤﻮدار )‪ 3 f (2x + 1‬ﺷﺎﻣﻞ ﭼﻨﺪ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ اﺳﺖ؟‬
‫‪17 (2‬‬
‫] ‪Rf = [ − 3 , 2‬‬
‫‪3 (2‬‬
‫‪9 (3‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺑﺮد ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪2 f (x − 1 ) + 1‬‬
‫‪25 (4‬‬
‫ﺷﺎﻣﻞ ﭼﻨﺪ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ اﺳﺖ؟‬
‫‪2 (3‬‬
‫‪4 (4‬‬
‫‪ 138‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪x‬‬
‫‪ .39‬ﻧﻤﻮدار ‪| −2‬‬
‫‪2‬‬
‫|= ‪y‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫را ‪ 4‬واﺣﺪ ﺑﻪ ﻃﺮف ‪ x‬ﻫﺎي ﻣﻨﻔﻲ و ﻳﻚ واﺣﺪ ﺑﻪ ﻃﺮف ‪y‬ﻫﺎي ﻣﺜﺒﺖ اﻧﺘﻘﺎل ﻣﻲدﻫﻴﻢ‪ ،‬ﻧﻤﻮدار ﺟﺪﻳﺪ ﻧﻤـﻮدار اوﻟﻴـﻪ ﺑـﺎ ﻛـﺪام‬
‫ﻃﻮل ﻣﺘﻘﺎﻃﻊاﻧﺪ‪) .‬ﺗﺠﺮﺑﻲ ‪(93‬‬
‫‪- 3 (2‬‬
‫‪- 3 / 5 (1‬‬
‫‪-2 (4‬‬
‫‪-2/5 (3‬‬
‫‪ .40‬دو ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬و ‪ g‬ﻣﻔﺮوضاﻧﺪ‪ ،‬در ﻛﺪام ﮔﺰﻳﻨﻪ دو ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺴﺎوياﻧﺪ؟‬
‫‪(1‬‬
‫‪f (x ) = 2 log x , g (x ) = log x 2‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪, g (x ) = 1‬‬
‫| ‪|x‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪f (x ) = ( x )2 , g (x ) = x‬‬
‫‪(4‬‬
‫| ‪|x‬‬
‫‪x‬‬
‫= ) ‪, g (x‬‬
‫| ‪|x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .41‬ﻛﺪام ﻳﻚ از ﺗﻮاﺑﻊ زﻳﺮ ﺑﺎ ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪(1‬‬
‫‪x2 −4‬‬
‫‪x +2‬‬
‫‪f (x ) = x + 2‬‬
‫‪(2‬‬
‫= ) ‪g (x‬‬
‫= ) ‪f (x‬‬
‫= ) ‪f (x‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ؟‬
‫‪k (x ) = 2 + x 2‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪h (x ) = x 2 + 4x + 4‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪x 3 + 2x 2 + x + 2‬‬
‫‪x2 +1‬‬
‫‪ .42‬دو ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬و ‪ g‬ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻣﺠﻤﻮﻋﻪي زوجﻫﺎي ﻣﺮﺗﺐ ﺑﻴﺎن ﺷﺪهاﻧﺪ در ﺣﺎﻟﺖ ﻛﻠﻲ ﻛﺪام راﺑﻄﻪ ﻣﻤﻜﻦ اﺳﺖ ﺗﺎﺑﻊ ﻧﺒﺎﺷﺪ؟‬
‫‪(1‬‬
‫‪f ∪g‬‬
‫‪ .43‬اﮔﺮ ﺗﻮاﺑﻊ ‪ f‬و ‪ g‬ﺑﻪ ﺻﻮرت‬
‫‪(1‬‬
‫‪f (x − 3 ) = x 2 − 4x + 5‬‬
‫‪x2 +1‬‬
‫‪f ∩g‬‬
‫}) ‪f = {(4, 2 ),(1, 2‬‬
‫}) ‪{(4, 2 ),(1, 0‬‬
‫‪ .44‬اﮔﺮ‬
‫‪(1‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪(2‬‬
‫) ‪f (1 − x‬‬
‫‪x2 +3‬‬
‫‪f −g‬‬
‫}) ‪g = {(1, 0 ),(4, 1 ),(2, 1‬‬
‫}) ‪{(4, 1 ),(2, 1‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ آن ﮔﺎه‬
‫‪(2‬‬
‫و‬
‫‪(3‬‬
‫‪(4‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﺗﺎﺑﻊ‬
‫}) ‪{(1, 2‬‬
‫‪f‬‬
‫‪g‬‬
‫‪fog‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(4‬‬
‫}) ‪{(4, 2‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟ )ﺳﺮاﺳﺮي ‪(90‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪x 2 + 4x + 5‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪x 2 − 4x + 5‬‬
‫= ) ‪t (x‬‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪139‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .45‬اﮔﺮ‬
‫‪(1‬‬
‫‪f (x ) = x 2 + 3x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪2 −x‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ داﻣﻨﻪي‬
‫‪(2‬‬
‫= ) ‪f (x‬‬
‫‪f (x ) = cos x‬‬
‫‪73 − 40 3‬‬
‫) ‪xf (x‬‬
‫= ‪ y‬ﻛﺪام ﺑﺎزه اﺳﺖ؟ )ﺳﺮاﺳﺮي ‪(93‬‬
‫‪(3‬‬
‫) ‪(−∞, 0‬‬
‫)∞‪(−∞, +‬‬
‫‪(4‬‬
‫)∞‪(0, +‬‬
‫‪(−2, 1 ) (3‬‬
‫) ‪(−3, 2‬‬
‫‪(4‬‬
‫) ‪(4, −1‬‬
‫و ‪ ، gof (x ) = 21 x‬ﺿﺎﺑﻄﻪي ﺗﺎﺑﻊ ‪ g‬ﺑﺮاﺑﺮ ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(2‬‬
‫‪x −1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪(3‬‬
‫و ‪ ، (gof )(x ) = 1 + tg 2x‬آن ﮔﺎه‬
‫‪(2‬‬
‫‪ .50‬اﮔﺮ ‪ ، f (x ) =| x | −x‬ﺿﺎﺑﻄﻪي ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪x (1‬‬
‫‪x 2 − 4x + 5‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪x 2 − 2x + 5‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪x 2 − 2x + 3‬‬
‫و ‪ ، g (x ) = − 21 x + 2‬ﻣﺠﻤﻮﻋﻪي ﻃﻮل ﻧﻘﺎط در ﻣﻨﺤﻨﻲ ﺗﺎﺑﻊ ‪ gof‬ﻛﻪ در ﺑﺎﻻي ﻣﺤﻮر ‪ x‬ﻫﺎ ﻗﺮار ﮔﻴﺮﻧﺪ ﺑﺮاﺑﺮ ﻛﺪام ﺑﺎزه اﺳﺖ؟‬
‫‪(2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x +1‬‬
‫‪ .49‬اﮔﺮ‬
‫‪(1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f (x ) = 1 − ( )x‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪(−4, 1‬‬
‫‪ .48‬اﮔﺮ‬
‫‪(1‬‬
‫‪(2‬‬
‫] ‪[−1, 1‬‬
‫‪ .47‬اﮔﺮ‬
‫‪(1‬‬
‫‪g (x ) = 2x − 3‬‬
‫‪x 2 − 4x + 2‬‬
‫‪ .46‬اﮔﺮ‬
‫‪(1‬‬
‫و‬
‫) ‪fog (x ) = 4 (x 2 − 4x + 5‬‬
‫ﺑﺎﺷﻨﺪ ﺗﺎﺑﻊ‬
‫) ‪f (x‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟ )ﺳﺮاﺳﺮي ‪(93‬‬
‫‪(2‬‬
‫) ‪(gog )( 3 − 2‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪5 −4 3‬‬
‫) ‪( fof )(x‬‬
‫| ‪|x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x −1‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪x +1‬‬
‫‪x‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪69 − 30 3‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪25 + 48 3‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(3‬‬
‫| ‪x + |x‬‬
‫‪ (4‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪ 140‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .51‬اﮔﺮ ﺧﺮوﺟﻲ ﻣﺎﺷﻴﻦ ﺷﻜﻞ ﻣﻘﺎﺑﻞ ﺑﺮاي ورودي ‪ ،2‬ﺑﺮاﺑﺮ ‪ -5‬ﺑﺎﺷﺪ ‪ A‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫ﺧﺮوﺟﻲ → ‪2x + A → x − 2x − 4‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪−15‬‬
‫‪4‬‬
‫‪−3 (2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ .52‬اﮔﺮ ﺧﻮرﺟﻲ از ﻣﺎﺷﻴﻦ ﺷﻜﻞ ﻣﻘﺎﺑﻞ‬
‫‪(4‬‬
‫‪3 (3‬‬
‫‪15‬‬
‫‪4‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﻣﻘﺪار ورودي ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪x‬‬
‫ﺧﺮوﺟﻲ →‬
‫‪x +1‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪11‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ .53‬اﮔﺮ‬
‫‪(2‬‬
‫‪g (x ) = 2x − 1‬‬
‫و‬
‫‪x‬‬
‫‪x −3‬‬
‫‪- 4 (1‬‬
‫‪.54‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫= ) ‪( fog ) (x‬‬
‫‪3 (3‬‬
‫ﻣﻘﺪار‬
‫‪2 (2‬‬
‫ﺗﻮاﺑﻊ }) ‪f = {(2, 1 ),(3, 2 ),(4, 5 ),(1, 7‬‬
‫)‪f (3‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪-2 (3‬‬
‫و })‪ g = {(1, 2 ),(3, 1),(a , 3),(b , 1‬ﻣﻔﺮوضاﻧـﺪ اﮔـﺮ‬
‫‪ .55‬اﮔﺮ‬
‫‪f (x 2 − 6x ) = x + 1‬‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪ 3) (2‬و‪(4.‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‬
‫‪4 (4‬‬
‫‪(4, 2 ) ∈ fog‬‬
‫و‬
‫‪(4, 1 ) ∈gof‬‬
‫‪ .56‬اﮔﺮ ‪ f (x 2 − x ) = (2x − 1)2‬آن ﮔﺎه‬
‫‪19 (1‬‬
‫‪ 5) (3‬و ‪(4‬‬
‫‪ 4) (4‬و ‪(5‬‬
‫? = ) ‪f (−9‬‬
‫‪8 (2‬‬
‫‪10 (3‬‬
‫‪4 (4‬‬
‫? = ) ‪f (5‬‬
‫‪20 (2‬‬
‫→ ‪2x − 2‬‬
‫→ ورودي‬
‫‪4 (4‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪ 4 ) ( 1‬و ‪(3‬‬
‫→ ورودي‬
‫‪21 (3‬‬
‫‪22 (4‬‬
‫ﺑﺎﺷـﺪ دو‬
‫ﺗـﺎﺋﻲ ) ‪(a ,b‬‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪141‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪) =x6 − 6‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .57‬اﮔﺮ‬
‫‪f (x 2 −‬‬
‫‪x 3 − 3x‬‬
‫‪(1‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ آن ﮔﺎه‬
‫‪(2‬‬
‫‪ .58‬اﮔﺮ | ‪ ، f (x 2 + 2x ) =| x + 1‬آن ﮔﺎه‬
‫‪11 (1‬‬
‫‪x 3 + 3x‬‬
‫‪(4‬‬
‫}‪A = {1, 2, 3, 4, 5‬‬
‫‪13 (3‬‬
‫و }‪ ، f = {(x , 2x − 1), x ∈A‬ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪1 (1‬‬
‫)) ‪f ( f (x‬‬
‫‪2 (2‬‬
‫‪f ( x + 1) = x + 2 x + 2‬‬
‫‪3 (1‬‬
‫‪x 3 − 3x + 1‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪x 3 + 3x − 1‬‬
‫? = ) ‪f (n ) + f (15 ) + f (35‬‬
‫‪12 (2‬‬
‫‪ .59‬اﮔﺮ‬
‫‪ .60‬اﮔﺮ‬
‫) ‪f (x‬‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ‬
‫‪x ≠0‬‬
‫آن ﮔﺎه‬
‫‪14 (4‬‬
‫ﭼﻨﺪ ﻋﻀﻮ دوﺗﺎﺋﻲ دارد؟‬
‫‪3 (3‬‬
‫)‪f( 2‬‬
‫‪4 (4‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪5 (2‬‬
‫‪26 (4‬‬
‫‪10 (3‬‬
‫‪ .61‬ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ زوج ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ‪ ............................‬ﺗﻘﺎرن دارد؟‬
‫‪ (1‬ﻣﺤﻮر ‪ x‬ﻫﺎ‬
‫‪ .62‬اﮔﺮ‬
‫‪3x 2 + 1‬‬
‫‪x +1‬‬
‫‪ (2‬ﻣﺤﻮر ‪ y‬ﻫﺎ‬
‫= ) ‪g = {(7, 3 ),(2, 5 ),(−19 , 10 )}, f (x‬‬
‫‪ (3‬ﻧﻴﻤﺴﺎز ﻧﺎﺣﻴﻪ اول و ﺳﻮم‬
‫ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﺠﻤﻮع اﻋﻀﺎء داﻣﻨﻪ‬
‫‪gof‬‬
‫‪ (4‬ﻧﻴﻤﺴﺎز ﻧﺎﺣﻴﻪ دوم و ﭼﻬﺎرم‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ )اﻋﻀﺎء داﻣﻨﻪ را ﻳﻚ ﺑﺎر ﻟﺤﺎظ ﻛﻨﻴـﺪ( )ﺳـﻨﺠﺶ‬
‫ﺟﺎﻣﻊ ‪(93‬‬
‫‪- 1 (1‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪−‬‬
‫‪3 (4‬‬
‫‪ 142‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪ .63‬ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ‬
‫| ‪y =| | x | − 1‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(1‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪ .64‬اﮔﺮ‬
‫‪x2 −1‬‬
‫= ) ‪ g = {(1, 2),(2, 3),(3, −1),(−1, 0 ),(−2, 1),(−3, 2)}, f (x‬ﺑﺎﺷﺪ آن ﮔﺎه ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪3 (1‬‬
‫‪ .65‬اﮔﺮ‬
‫‪(1‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪4 (2‬‬
‫‪1 +x2‬‬
‫‪1 −x 2‬‬
‫= ) ‪f (x‬‬
‫و‬
‫) ‪g (x ) = x (1 − x‬‬
‫‪(2‬‬
‫) ‪[0 , 1‬‬
‫‪ .66‬اﮔﺮ‬
‫}) ‪f = {(0 , 1 ),(1, 2 ),(2, 3‬‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪ .67‬ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻣﺎﺷﻴﻦ‬
‫‪3 (1‬‬
‫‪6 (3‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪(4‬‬
‫) ‪(−1, 1‬‬
‫و })‪ ، g = {(1, 0 ),(2, 1),(−1, 2‬آن ﮔﺎه ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪5 (2‬‬
‫‪ (4‬ﺑﻲﺷﻤﺎر‬
‫ﺑﺎﺷﺪ آن ﮔﺎه ‪ Dfog ∩ Dgof‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫] ‪(−1, 0‬‬
‫‪x → f → g → 6x + a‬‬
‫‪g −3‬‬
‫‪f− 3‬‬
‫=‪h‬‬
‫ﭼﻨﺪ ﻋﻀﻮ دارد؟‬
‫) ‪f 2 (x ) = 1 + 2 (gof ) (x‬‬
‫‪2 (3‬‬
‫اﮔﺮ‬
‫‪−19‬‬
‫‪ f (x ) = 3x 2 − 2‬و ‪) = 1‬‬
‫‪9‬‬
‫‪7 (3‬‬
‫‪φ‬‬
‫ﭼﻨﺪ رﻳﺸﻪ دارد؟‬
‫‪3 (4‬‬
‫(‪g‬‬
‫ﺣﺎﺻﻞ‬
‫) ‪g (1‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪9 (4‬‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪143‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .68‬اﮔﺮ‬
‫) ‪f (2x + 1 ) + f (0 ) = 2x − f (1‬‬
‫‪19‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪−‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪) =x −‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x‬‬
‫‪ .69‬اﮔﺮ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪x+‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪−‬‬
‫( ‪ ، f‬آن ﮔﺎه ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪2‬‬
‫‪- 4 (1‬‬
‫‪(1‬‬
‫= ) ‪f (x‬‬
‫‪ .72‬ﺑﺮاي ﻛﺪام ﻣﻘﺪار ‪ ، a‬ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪(1‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﺣﺎﺻﻞ‬
‫‪(2‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪±3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪3 (3‬‬
‫‪π‬‬
‫‪π‬‬
‫) ‪f ( ) + f (−‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4 2‬‬
‫‪π 2 −4‬‬
‫‪3x − a‬‬
‫‪f (x ) = x‬‬
‫‪3 +a‬‬
‫‪3 (4‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪ (2‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪4 2‬‬
‫‪π2‬‬
‫‪±1‬‬
‫‪x‬‬
‫)‬
‫‪x −1‬‬
‫(‪f‬‬
‫‪19‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫) ‪(x > 1‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪ .70‬اﮔﺮ ‪ f ( x +x 1 ) = x x+ 1‬آن ﮔﺎه ﺣﺪاﻗﻞ ﻣﻘﺪار‬
‫‪ .71‬اﮔﺮ‬
‫)‪f( 5‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪3 5‬‬
‫‪sin 3 x + x cos x‬‬
‫‪x2 −1‬‬
‫) ‪f (3‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪-2 (4‬‬
‫ﭼﻘﺪر اﺳﺖ‪.‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪π +4 2‬‬
‫‪π2‬‬
‫‪ (4‬ﺻﻔﺮ‬
‫ﺗﺎﺑﻌﻲ ﻓﺮد اﺳﺖ؟‬
‫‪(3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪±‬‬
‫‪ (4‬ﻫﻴﭻ ﻣﻘﺪار ‪a‬‬
‫‪ 144‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪ .73‬ﺑﺮاي ﻛﺪام ﻣﻘﺪار ‪ a‬ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪ (1‬ﻓﻘﻂ‬
‫‪(2‬‬
‫‪a = ±10‬‬
‫‪ .74‬ﺑﺮاي ﻛﺪام ﻣﻘﺪار ‪ a‬ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪(1‬‬
‫‪a −x‬‬
‫‪a +x‬‬
‫‪f (x ) = log‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪±1‬‬
‫‪ .75‬اﮔﺮ ‪ f‬ﺗﺎﺑﻌﻲ زوج و ‪ g‬ﺗﺎﺑﻌﻲ ﻓﺮد ﺑﺎﺷﺪ از دﺳﺘﮕﺎه‬
‫‪(1‬‬
‫‪ (3‬ﻫﺮ ﻣﻘﺪار‬
‫‪a ≠0‬‬
‫‪ (4‬ﻫﻴﭻ ﻣﻘﺪار ‪a‬‬
‫‪ f (x ) = log(ax +‬ﺗﺎﺑﻌﻲ ﻓﺮد اﺳﺖ؟‬
‫‪(2‬‬
‫‪10‬‬
‫‪3‬‬
‫ﺗﺎﺑﻌﻲ ﻓﺮد اﺳﺖ؟‬
‫‪a = ±1‬‬
‫) ‪4x 2 + 1‬‬
‫‪±2‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪±16‬‬
‫‪ (2 f + g ) (1 ) = 4‬‬
‫‪ ، ‬ﻣﻘﺪار‬
‫‪ ( f − 2g )(−1 ) = 2‬‬
‫‪−10‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(4‬‬
‫) ‪f (1‬‬
‫‪±4‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪2 (4‬‬
‫‪-2 (3‬‬
‫‪ .76‬ﻣﺠﻤﻮع رﻳﺸﻪﻫﺎي ﻣﻌﺎدﻟﻪي ‪ 2x 6 + kx 2 − 3x 4 − 4 = 0‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪ .77‬اﮔﺮ ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪي‬
‫‪(1‬‬
‫‪−x − 3 x − 1‬‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪-1 (3‬‬
‫‪ x − 3 x − 1 :x ≥ 2‬‬
‫‪ f (x ) = ‬ﺗﺎﺑﻌﻲ ﻓﺮد ﺑﺎﺷﺪ‪،‬‬
‫‪ g (x 0‬‬
‫‪x ≤ −2‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪−x + 3 x − 1‬‬
‫‪(3‬‬
‫) ‪g (x‬‬
‫‪ (4‬ﺑﻪ‬
‫‪k‬‬
‫ﺑﺴﺘﮕﻲ دارد‪.‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪x + 3 x +1‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪x −3 x +1‬‬
‫‪ .78‬اﮔﺮ ﺑﺮاي ﻫﺮ ‪ b ∈R‬و ‪ a‬داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ ) ‪ ، f (a + b ) = f (a ) + f (b‬آن ﮔﺎه ‪ f‬ﭼﻪ ﺗﺎﺑﻌﻲ اﺳﺖ؟‬
‫‪ (1‬ﻓﺮد‬
‫‪ (2‬زوج‬
‫‪ (3‬ﻫﻢ زوج و ﻫﻢ ﻓﺮد‬
‫‪ (4‬ﻧﻪ زوج و ﻧﻪ ﻓﺮد‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪145‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .79‬اﮔﺮ ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪي‬
‫‪- 1 (1‬‬
‫| ‪f (x ) = a | x | +b | x + 3 | +2 | x − 3‬‬
‫‪2 (2‬‬
‫‪ .80‬اﮔﺮ ﺗﺎﺑﻊ | ‪ f (x ) =| x + a | + | x + b | + | x + c +‬زوج ﺑﺎﺷﺪ‬
‫‪- 1 (1‬‬
‫ﺗﺎﺑﻌﻲ ﻓﺮد ﺑﺎﺷﺪ‬
‫‪-2 (3‬‬
‫‪1 (3‬‬
‫‪ (2‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪ .81‬اﮔﺮ ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪- 9 (1‬‬
‫‪7 (2‬‬
‫‪- 3 (1‬‬
‫‪1 (3‬‬
‫‪2 (4‬‬
‫‪-3 (4‬‬
‫‪ x 2 + x + 1 :x > 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ f (x ) = ‬ﻓﺮد ﺑﺎﺷﺪ ? = ‪a + b + c‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ a x + bx + c : x < 0‬‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪ .83‬اﮔﺮ ﺗﺎﺑﻊ ‪ f (x ) = x 4 + 3x 3 + A(x + 1)2 + Bx‬زوج ﺑﺎﺷﺪ‬
‫‪- 6 (1‬‬
‫‪1 (4‬‬
‫? = ‪a +b +c‬‬
‫‪3x‬‬
‫‪‬‬
‫‪: x >0‬‬
‫‪ x 2 + 5x − 1‬‬
‫‪ ، f (x ) = ‬ﻓﺮد ﺑﺎﺷﺪ ? ‪a + b + c‬‬
‫‪ax‬‬
‫‪‬‬
‫‪: x <0‬‬
‫‪ x 2 + bx + c‬‬
‫‪ .82‬اﮔﺮ ﺗﺎﺑﻊ‬
‫) ‪(a + b‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪−3 (2‬‬
‫‪3 (3‬‬
‫‪-1 (4‬‬
‫? = ‪A+B‬‬
‫‪ (3‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪6 (4‬‬
‫‪ 146‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪ .84‬اﮔﺮ ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪x3 +4‬‬
‫‪x2‬‬
‫= ) ‪f (x‬‬
‫در ﺑﺎزهاي ﺻﻌﻮدي ﺑﺎﺷﺪ آن ﮔﺎه‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪3x 3 − x 2 + 12‬‬
‫‪x2‬‬
‫= ) ‪g (x‬‬
‫در ﻫﻤﺎن ﺑﺎزه ﭼﮕﻮﻧﻪ اﺳﺖ؟‬
‫‪ (1‬ﺻﻌﻮدي‬
‫‪ (2‬ﻧﺰوﻟﻲ‬
‫‪ (3‬اﺑﺘﺪا ﺻﻌﻮدي‪ ،‬ﺳﭙﺲ ﻧﺰوﻟﻲ‬
‫‪ (4‬اﺑﺘﺪا ﻧﺰوﻟﻲ و ﺳﭙﺲ ﺻﻌﻮدي‬
‫‪ .85‬ﺑﻪ ازاي ﭼﻪ ﻣﻘﺎدﻳﺮي از ‪ a‬ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪ (1‬ﻓﻘﻂ‬
‫‪a ≤1‬‬
‫‪ x + 1 :x ≥ 0‬‬
‫‪f (x ) = ‬‬
‫‪ 2x + a : x < 0‬‬
‫ﺻﻌﻮدي ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد؟‬
‫‪ (2‬ﻓﻘﻂ ‪a > 1‬‬
‫‪ .86‬اﮔﺮ ﺗﻮاﺑﻊ ‪ f‬و ‪ g‬ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺎﺷﻴﻦﻫﺎﻳﻲ در ﻧﻈﺮ ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﻮﻧﺪ ﻛﻪ‬
‫‪ (4‬ﻫﻴﭻ ﻣﻘﺪار ‪a‬‬
‫‪ (3‬ﻫﺮ ﻣﻘﺪار ‪a‬‬
‫‪= (2x 3 + 1 ) → g (x ) → x‬‬
‫‪ x → f‬در اﻳﻦ ﺻﻮرت ﺗﺎﺑﻊ ‪ g‬ﻋﺪد ‪ 55‬را ﺑﻪ ﭼـﻪ‬
‫ﻋﺪدي ﻣﻲﺑﺮد؟‬
‫‪55 (2‬‬
‫‪2 (1‬‬
‫‪ .87‬دو ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ ﺿـﺎﺑﻄﻪﻫـﺎي‬
‫)ﺳﺮاﺳﺮي ‪(93‬‬
‫‪1 (1‬‬
‫}) ‪g = {(2, 5 ),(3, 4 ),(1, 6 ),(4, 7 ),(8, 1‬‬
‫و‬
‫‪2 (2‬‬
‫‪ .88‬ﻛﺪام ﮔﺰﻳﻨﻪ ﻧﻘﻄﻪاي از ﻧﻤﻮدار ﻣﻌﻜﻮس ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪ 5) (1‬و ‪(1‬‬
‫‪3 (3‬‬
‫‪f (x ) = 2x − 5‬‬
‫‪6 (4‬‬
‫ﻣﻔـﺮوضاﻧـﺪ اﮔـﺮ‬
‫‪3 (3‬‬
‫‪f (x ) = x 5 + 8x − 4‬‬
‫‪ -2) (2‬و ‪(-52‬‬
‫‪ .89‬اﮔﺮ ﺗﺎﺑﻊ‬
‫}) ‪f = {(m 2 + 2m , 2 ),(m + 3, 4 ),(4 − m , 2 ),(2, −2‬‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪( fog −1 ) (a ) = 6‬‬
‫ﺑﺎﺷـﺪ ‪ a‬ﻛـﺪام اﺳـﺖ؟‬
‫‪4 (4‬‬
‫ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ؟‬
‫‪ -5) (3‬و ‪(-1‬‬
‫ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪،‬‬
‫‪2 (3‬‬
‫‪ 2) (4‬و ‪(52‬‬
‫‪m‬‬
‫ﭼﻨﺪ ﻣﻘﺪار ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻣﻲﺗﻮاﻧﺪ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ؟‬
‫‪ (4‬ﺑﻲﺷﻤﺎر‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪147‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .90‬در ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ‬
‫‪f (x ) = 2x 5 + (k − 1 )x 4 + 2k + 5‬‬
‫‪- 9 (1‬‬
‫‪(1‬‬
‫و‬
‫‪− 3‬‬
‫‪f (x ) = x 3 + x x‬‬
‫‪ .92‬اﮔﺮ‬
‫‪(1‬‬
‫‪-57 (2‬‬
‫‪f (x ) = 2x 4 − 4x 2‬‬
‫‪ .91‬اﮔﺮ‬
‫ﺣﺎﺻﻞ )) ‪ f (− f −1 (9‬ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪( )3‬‬
‫‪2‬‬
‫) ‪Df = (−∞, −1‬‬
‫‪(2‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ آن ﮔﺎه‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪15‬‬
‫) ( ‪f −1‬‬
‫‪4‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ آن ﮔﺎه‬
‫‪(2‬‬
‫‪5 (3‬‬
‫) ‪f −1 (6‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪( )3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ .93‬اﮔﺮ ‪ f‬و ‪ g‬دو ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎﺷﻨﺪ ﻛﺪام ﻳﻚ از ﺗﻮاﺑﻊ زﻳﺮ اﻟﺰاﻣﺎً ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ ﻧﻴﺴﺖ‬
‫‪(1‬‬
‫‪gof‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪ .94‬درﺟﻪ ﺻﻮرﺗﻲ ﻣﻌﻜﻮس ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪي‬
‫‪(1‬‬
‫‪c =1‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪5‬‬
‫‪x −a‬‬
‫‪bx + c‬‬
‫‪c = −1‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪− 2‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪2‬‬
‫‪( )2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f‬‬
‫‪33 (4‬‬
‫= ) ‪f (x‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪4 3‬‬
‫) (‬
‫‪3 4‬‬
‫) ‪( f (x ) ≠ 0‬‬
‫‪−3g + 2‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪f ×g‬‬
‫ﺧﻮدش ﻣﻲﺷﻮد؟‬
‫‪(3‬‬
‫‪ab ≠ −1 ,c = −1‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪ab ≠ 1 ,c = 1‬‬
‫‪ 148‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .95‬ﭼﻪ ﺗﻌﺪاد از ﺗﻮاﺑﻊ زﻳﺮ ﻳﻚ ﺑﻪ ﻳﻚاﻧﺪ؟‬
‫‪f (x ) = x 2 , x ≤ 0‬‬
‫اﻟﻒ(‬
‫ب(‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫‪g (x ) = (1 − 2x )3‬‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪2 (3‬‬
‫‪ .96‬اﮔﺮ ‪ f‬ﺗﺎﺑﻌﻲ ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ ﻣﻌﻜﻮس ﺗﺎﺑﻊ ‪ f‬ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪي‬
‫‪(1‬‬
‫‪2x + 2‬‬
‫)‬
‫‪x −1‬‬
‫‪(3‬‬
‫= ) ‪g −1 (x‬‬
‫‪ .97‬ﺑﻪ ازاي ﻛﺪام ﻣﻘﺪار ‪ m‬ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪي‬
‫‪4 (1‬‬
‫‪ .98‬اﮔﺮ‬
‫‪x + x2 +m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪x ≥0‬‬
‫) ‪x + 4 = f (x‬‬
‫‪2 (2‬‬
‫‪ .99‬ﻣﻌﻜﻮس ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪x >0‬‬
‫و‬
‫‪2‬‬
‫‪logx2 , x > 0‬‬
‫‪f (x ) = x 3 + 3x + 2‬‬
‫‪ .100‬اﮔﺮ‬
‫‪−a (1‬‬
‫‪3 (4‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(2‬‬
‫‪2x + 2‬‬
‫)‬
‫‪1 −x‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪1 −1 1 − x‬‬
‫( ‪f‬‬
‫)‬
‫‪3‬‬
‫‪2x + 2‬‬
‫( ‪g −1 (x ) = 3 f −1‬‬
‫= ) ‪g −1 (x‬‬
‫ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﻓﺮد اﺳﺖ )ﺳﻨﺠﺶ ﺟﺎﻣﻊ ‪(93‬‬
‫‪-4 (3‬‬
‫و ‪ ، f (x ) = x 2 − 4‬آن ﮔﺎه ﻣﻌﺎدﻟﻪي‬
‫‪f (x ) = 2x‬‬
‫= ) ‪g (x‬‬
‫‪f (x ) = log‬‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪1 (1‬‬
‫‪(1‬‬
‫) ‪1 − 2 f (3x‬‬
‫) ‪1 + 2 f (3x‬‬
‫( ‪g −1 (x ) = 3 f −1‬‬
‫‪1 −1 x − 1‬‬
‫( ‪f‬‬
‫)‬
‫‪3‬‬
‫‪2x + 2‬‬
‫ج(‬
‫‪1 − 2x‬‬
‫‪1 + 2x‬‬
‫= ) ‪h (x‬‬
‫‪ (4‬ﻫﻴﭻ ﻣﻘﺪار ‪m‬‬
‫ﭼﻨﺪ رﻳﺸﻪ دارد؟‬
‫‪ (3‬ﻫﻴﭻ‬
‫‪3 (4‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪logx2 x > 1‬‬
‫‪2‬‬
‫و ‪ f (a ) = 16‬آن ﮔﺎه‬
‫‪a (2‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪− logx2 , x > 0‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪logx2 x > 1‬‬
‫? = ) ‪f −1 (−12‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪2a‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪−2a‬‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪149‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .101‬ﻧﻤﻮدار ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪y = −3 x‬‬
‫و ﻣﻌﻜﻮس آن در ﭼﻨﺪ ﻧﻘﻄﻪ ﻣﺘﻘﺎﻃﻊاﻧﺪ؟‬
‫‪ (1‬ﻳﻚ ﻧﻘﻄﻪ‬
‫‪ .102‬اﮔﺮ‬
‫‪f (x ) = x x + 1‬‬
‫‪(x − 1 )2 , x ≥ 1‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪.103‬‬
‫‪ (2‬دو ﻧﻘﻄﻪ‬
‫‪(2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪f (x ) = x 2 − 4x + 4‬‬
‫‪1 (1‬‬
‫‪ .104‬ﻣﻌﻜﻮس‬
‫‪ (1‬ﺻﻔﺮ‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﺿﺎﺑﻄﻪ‬
‫‪f −1‬‬
‫و‬
‫‪x ≥2‬‬
‫‪2x − 1‬‬
‫‪x −2‬‬
‫‪(x − 1 )2 : x ∈ R‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪(x − 1 )2 , x ≤ 1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪(x − 1 )2 , x ≥ 0‬‬
‫در اﻳﻦ ﺻﻮرت ﻣﻌﺎدﻟﻪ )‪ f(x ) = f(−x1‬ﭼﻨﺪ رﻳﺸﻪ دارد؟)ﺳﺮاﺳﺮي ‪(92‬‬
‫‪ (3‬ﻫﻴﭻ‬
‫‪ (4‬ﺑﻲﺷﻤﺎر‬
‫و ﺧﻂ ‪ ، y = x‬ﻫﻤﺪﻳﮕﺮ را در ﭼﻨﺪ ﻧﻘﻄﻪ ﻗﻄﻊ ﻣﻲﻛﻨﻨﺪ؟‬
‫‪1 (2‬‬
‫‪ .105‬ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ ‪ f‬ﺑﺮ روي ‪ R‬ﺗﻌﺮﻳﻒ ﺷﺪه‪ ،‬ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪ (1‬ﻣﺘﻨﺎوب‬
‫‪ (3‬ﺳﻪ ﻧﻘﻄﻪ‬
‫ﺑﺮاﺑﺮ ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪2 (2‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪ (4‬ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ را ﻗﻄﻊ ﻧﻤﻲﻛﻨﻨﺪ‪.‬‬
‫‪ (2‬ﻳﻜﻨﻮا‬
‫‪2 (3‬‬
‫) ‪g (x ) = f (−x ) + f (x‬‬
‫‪4 (4‬‬
‫ﭼﮕﻮﻧﻪ اﺳﺖ؟‬
‫‪ (3‬ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ‬
‫‪ (4‬ﻳﻚ ﺑﻪ ﻳﻚ‬
‫‪3‬‬
‫‪ 150‬ﺟﺰوه ﻛﺎر در ﻛﻼس ﺣﺴﺎب و دﻳﻔﺮاﻧﺴﻴﻞ و اﻧﺘﮕﺮال و رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ‬
‫‪ .106‬ﻧﻤﺎﻳﺶ ﻫﻨﺪﺳﻲ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﻌﻜﻮس‬
‫‪(1‬‬
‫‪2‬‬
‫)‪, 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .107‬اﮔﺮ ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪x‬‬
‫=‪y‬‬
‫‪1 +x2‬‬
‫‪(2‬‬
‫(‬
‫‪f (x ) = x 3 + ax 2 + a − 3‬‬
‫‪ 5) (1‬و ‪(2‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫از ﻛﺪام ﻧﻘﻄﻪ ﻣﻲﮔﺬرد؟‬
‫‪(3‬‬
‫) ‪(1, 0‬‬
‫) ‪(0, 1‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪3‬‬
‫)‪, 3‬‬
‫‪2‬‬
‫(‬
‫ﻣﻌﻜﻮسﭘﺬﻳﺮ ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﻣﻨﺤﻨﻲ ﻣﻌﻜﻮس آن از ﻛﺪام ﻧﻘﻄﻪ ﻣﻲﮔﺬرد؟‬
‫‪ 1) (3‬و ‪(0‬‬
‫‪ 0) (2‬و ‪(1‬‬
‫‪ 2) (4‬و ‪(5‬‬
‫‪ .108‬ﺗﺎﺑﻊ ﻓﺮد ‪ f‬ﻣﻌﻜﻮس ﭘﺬﻳﺮ اﺳﺖ‪ ،‬ﻧﻤﻮدار ‪ f −1‬ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻛﺪام ﻣﻮرد ﻣﺘﻘﺎرن اﺳﺖ؟‬
‫‪ (2‬ﻣﺤﻮر ‪x‬ﻫﺎ‬
‫‪ (1‬ﻣﺒﺪاء ﻣﺨﺘﺼﺎت‬
‫‪ (3‬ﻣﺤﻮر ‪y‬ﻫﺎ‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫ﺑﺎﺷﺪ ﻣﻘﺪار ورودي ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪(2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ .109‬اﮔﺮ ﺧﺮوﺟﻲ از ﻣﺎﺷﻴﻦ ﺷﻜﻞ ﻣﻘﺎﺑﻞ‬
‫‪y=x (4‬‬
‫ﺧﺮوﺟﻲ → ‪x‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪.110‬‬
‫‪11‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ atgx + b 3 x + 1 : x ≥ 0‬‬
‫‪f (x ) = ‬‬
‫) ‪g (x‬‬
‫‪:x < 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪(1‬‬
‫‪ .111‬اﮔﺮ‬
‫‪(1‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪−a‬‬
‫‪f (cos x ) = cos 2x‬‬
‫‪sin 2a‬‬
‫ﻓﺮد ﺑﺎﺷﺪ‪،‬‬
‫آن ﮔﺎه‬
‫‪(3‬‬
‫‪−17π‬‬
‫?=)‬
‫‪4‬‬
‫‪a‬‬
‫‪19‬‬
‫‪8‬‬
‫‪4 (4‬‬
‫(‪f‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2‬‬
‫‪−‬‬
‫? = ) ‪f (sin a‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪− sin 2a‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪− cos 2a‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪cos 2a‬‬
‫→ ‪ → 2x − 2‬ورودي‬
‫ﻓﺼﻞ‪ :2‬رﻳﺎﺿﻲ ﭘﺎﻳﻪ ‪151‬‬
‫‪saati.com‬‬
‫‪ .112‬اﮔﺮ ] ‪ ، f (x ) = [x‬ﺗﺎﺑﻊ ﺑﺎ ﺿﺎﺑﻄﻪي‬
‫‪ (1‬ﻫﻤﺎﻧﻲ‬
‫)) ‪f (x − f (x‬‬
‫ﭼﮕﻮﻧﻪ اﺳﺖ؟‬
‫‪ (2‬ﺛﺎﺑﺖ‬
‫‪ (3‬ﻳﻚ ﺑﻪ ﻳﻚ‬
‫‪ (4‬ﻏﻴﺮﻣﺘﻨﺎوب‬
‫‪ .113‬اﮔﺮ })‪ f = {(1, 2),(2, 3),(3, 1‬آن ﮔﺎه ﻛﺪام ﺗﺎﺑﻊ ﻫﻤﺎﻧﻲ اﺳﺖ؟‬
‫‪(1‬‬
‫‪f2‬‬
‫‪ .114‬داﻣﻨﻪ ﺗﺎﺑﻊ‬
‫‪(1‬‬
‫‪R‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪−f‬‬
‫] ‪f (x ) = cos2 x − [cos x‬‬
‫‪(2‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪fof‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪fofof‬‬
‫ﻛﺪام اﺳﺖ؟‬
‫‪R −Z‬‬
‫‪(3‬‬
‫‪N‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪Z‬‬