Geometri Notları

Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr, 2011
Geometri Notları
Mustafa YAĞCI, [email protected]
Kelebek Teoremi
Örnek. Yandaki şekilde
A 4 B
AB // CD
2
x
AD ∩ BC = {E}
E
9
y
|AB| = 4 br
|BE| = 2 br
12
D
C
|ED| = 9 br
|CD| = 12 br
olduğuna göre |AE| + |EC| = x + y toplamı kaç br dir?
Tales Teoremi kadar önemli bir benzerlik teoremine geldi sıra. Kelebek Teoremi. Bu teorem de aynı Tales Teoremi gibi bir A.A. benzerliğinin sonucudur.
B
Teorem [Kelebek].
Yandaki şekilde BA // DC ise
AB
CD
=
AE
=
ED
BE
E
.
EC
A
D
A) 5
C
A
y
A
D
Eğer harflerle gösterecek olursak;
E
9
12
D
1.
u
E
D
3n
n
y
B
A
m
v
E) 9
Ortak olan E açısının gördüğü kenarın uzunluğu birinde
4 br diğerinde 12 br olduğundan kelebeğin alt kanadı üst
kanadının 3 katıdır. AEB üçgeninde A açısının karşısındaki kenar uzunluğu 2 br olduğundan DEC üçgeninde D
açısının karşısındaki kenar uzunluğu y = 6 olmalıdır.
Benzer şekilde üst kanatta B açısının karşısındaki kenar x
br olduğundan alt kanatta C açısının karşısındaki 3x br
olmalıdır. O halde 3x = 9 eşitliğinden x = 3 olmalıdır. Bu
durumda x + y = 3 + 6 = 9 olmalıdır.
Doğru cevap: E.
O halde A.A. benzerliği gereği ABE ∼ DCE olur. Eş şekillerin karşılıklı kenarları orantılı olacağından eşleme
kurulursa kanıt biter.
x
D) 8
2
C
C
B
4
x
E
D
C) 7
Çözüm: AB // CD olduğundan AEB ile DEC üçgenleri
benzerdir.
Kanıt: AEB ile DEC ters açılar olduğundan eştir. ABC
ile DCB ve BAD ile CDA açı çiftleri de birer iç-ters açı
olduklarından eştirler.
B
B) 6
A
C
39
C
x
n
B
E
yukardaki gibi bir kelebek şekli için
AB // DE ise x kaçtır?
38
x m u
= =
y n v
2.
x
A
eşitlikleri geçerlidir.
n
Bu şekilden ilerde kelebek diye bahsedeceğiz. Gerek
olursa ACB ve CED üçgenlerine kelebeğin kanatları, C
noktasına da kelebeğin kalbi diyeceğiz.
C
B
m
E
y
AB // CD ise xn – my kaçtır?
1
D
0
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
Örnek. ABCD bir kare
[AC] köşegen
AC ∩ BE = {F}
|AE| = 21 br
|ED| = 7 br
olduğuna göre |FE| = x kaç br dir?
3.
AB // ED
A 4 B
AD ∩ BE = {C}
3
2
|CB| = 2 br
E
y
x
|BA| = 4 br
|AC| = 3 br
C
12
|ED| = 12 br
olduğuna göre
|CD| + |CE| = x + y toplamı kaçtır?
A) 9
B) 12
C) 15
Kelebek Teoremi
A
D) 18
B) 18
7
D
x
F
D
A) 20
E
21
B
D) 15
C) 16
C
E) 12
Çözüm: Karenin kenar uzunlukları birbirlerine eşit olduğundan |AB| = |BC| = 28 br olur. O halde taralı kelebekte benzerlik oranı 21 : 28 yani 3 : 4 olur.
E) 21
A
E
21
7
D
3k
28
F
4k
4.
AB // DE
AE ∩ BD = {C}
|CB| = n br
|CD| = 3n br
|AB| = a br
|ED| = 2a + 8 br
olduğuna göre a kaçtır?
A) 8
B) 7
B
|FE| = x = 3k br denirse |BF| = 4k br olacaktır. EAB dik
üçgeninde Pisagor Teoremi’nden |BE| = 35 br olacağından 7k = 35 eşitliğinden k = 5 bulunur. Bu durumda x =
3k = 3⋅5 = 15 olmalıdır.
Doğru cevap: D.
3n
A
2a+8
C
a
n
B
E
D) 5
6.
ABCD kare
AC ∩ BE = {F}
|AE| = |ED|
|AB| = 6 br
olduğuna göre
|EF| = x kaç br dir?
E) 4
A) 2
A) 6
B) 8
C
D
C) 6
5.
AB // CF
AD // BF
|AE| = |FD| = 6 br
|DC| = 12 br
|ED| = x br
olduğuna göre x kaçtır?
28
C
12
A
6
E
x
D
6
B
C) 10
F
D) 12
E) 18
2
B) 5
E
A
D
x
6
F
B
C) 6
D) 3
C
E) 2 5
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
Örnek. ABCD bir kare
CE ∩ AD = {F}
DH ⊥ EC
AE ⊥ EC
|DH| = 2 br
|HC| = 4 br
olduğuna göre
|EF| = x kaç br dir?
E
1
4
B)
1
3
D
2
H
4
B
A)
8.
ABCD ile KCEF
dikdörtgenleri benzerdir.
[AC] ve [CF] köşegen
A, L, F doğrudaş
|AC| = 18 br
|CF| = 12 br
|FL| = 5 br
|LA| = x br
olduğuna göre x kaçtır?
x
F
A
1
2
C)
C
3
E)
2
D) 1
Kelebek Teoremi
A) 7
B) 7,5
A
D
L
x
5
F
K
18
12
B
C) 8
E
C
D) 8,5
E) 10
Çözüm: CDF üçgeninde Öklid Teoremi’nden doğan
22 = 4⋅|FH|
eşitliğinden |FH| = 1 br bulunur.
E
A
x
F
D
1
2
H
4
B
C
DHF ve DHC dik üçgenlerinde Pisagor teoremlerinden
|FD| = 5 br ve |DC| = 2 5 br bulunur ki buradan F’nin
karenin kenarının orta noktası olduğunu anlarız. O halde
kelebekte taralı üçgenler eştir, dolayısıyla |EF| = |FH| =
1 br olmalıdır.
Doğru cevap: D.
7.
ABC bir üçgen
AD iç açıortay
CE ⊥ AD
BD ⊥ AD
B
|DF| = 3 br
|FE| = 2 br
olduğuna göre |EA| = x kaç br dir?
A) 12
B) 10
C) 8
Örnek. ABC ve ADE birer üçgen
A
AD // EK
|AE| = |EC|
10
|AB| = 10 br
|BD| = 4 br
B 2
|FB| = 2 br
F K
4
olduğuna göre
|KC| = x kaç br dir?
D
A
x
E
2
3F
C
A) 3,5
B) 4
C) 4,5
D) 5
E
x
C
E) 5,5
D
D) 6
Çözüm: ABC üçgeninde AD // EK ve |AE| = |EC| olduğundan [EK] orta tabandır.
E) 5
A
E
10
B
4
5
2
F
2,5
K
x
C
D
Bu yüzden |EK| = 5 br dir. Diğer yandan taralı kelebekte
benzerlik oranı 4 : 5 olduğundan |FK| = 2,5 br olmalıdır.
O halde |KC| = |BK| = 2 + 2,5 = 4,5 bulunur.
Doğru cevap: C.
3
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
9.
ABC ve DEC birer üçgen
AC ⊥ CB
DE ⊥ BC
|DK| = |KE|
|BE| = |EC| = 6 br
|CA| = 9 br
olduğuna göre
|KF| = x kaç br dir?
A) 2
B) 2,5
10.
ABCD bir dörtgen
AC ∩ BD = {E}
m(ADB) = 30º
m(CBD) = 45º
|AD| = 4 br
|BC| = 6 2 br
olduğuna göre
AE/EC oranı kaçtır?
A
D
F
K
B
C) 3
E
6
9
x
6
D) 3,5
C
E) 4
A)
Örnek [1994 Tübitak].
ABC bir eşkenar üçgen
BCD bir dik üçgen
BC ⊥ CD
|AB| = 6 br
|DC| = 3 3 br
olduğuna göre
|AE| = x kaç br dir?
A) 1
A
D
E
B)
1
4
o
30
A
E
45o
B
C
6 2
C)
2
5
4
9
D)
E)
2
3
A
x
45o
B
E
30o
C
8
6
3 3
B
olduğuna göre x kaçtır?
A) 4
C
3
C)
1
3
D
4
11.
AD ∩ BC = {E}
m(ABC) = 45º
m(BCD) = 30º
|AE| = |ED|
|DC| = 8 br
|AB| = x br
x
2
B)
Kelebek Teoremi
D) 2
B) 2 5
D
C) 2 6
D) 5
E) 4 2
E) 3
Çözüm: Eşkenar üçgenin A’dan inen yüksekliğini çizelim. Yükseklik ayağı F, BD’yi kestiği nokta da K olsun.
A
D
12.
AE ∩ BD = {C}
A
BA ⊥ AE
BD ⊥ DE
75o
B
|AC| = 2⋅|CE|
m(B) = 75º
|DE| = 1 br
|BC| = a br
olduğuna göre a kaçtır?
x
E
6
K
3 3
2x
B
F
C
AF doğrusu, [BC]’nin orta dikmesi olduğundan [KF],
3 3
2
dir. Bu değer, [AF] yüksekliğinin yarısı olduğundan |AK|
3 3
değeri de
dir. O halde şekilde taranmış kelebekte
2
benzerlik oranı 1:2 olacağından |AE| = x br ise |EC| = 2x
br olur. 3x = 6 eşitliğinden x = 2 çıkar.
Doğru cevap: D.
A) 4
BCD üçgeninde orta taban olur, bu yüzden boyu
4
B) 5
C) 6
D
a
C
1
E
D) 7
E) 8
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
Kelebek Teoremi
Soru Tipi.
A
E
D
ABCD bir paralelkenar
a P
[AC] köşegen
F
|AE| = |ED|
b
Q
|DF| = |FC|
c
|AP| = a br
B
C
|PQ| = b br
|QC| = c br
olduğuna göre a, b, c arasında geçerli olan bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
14.
ABCD bir dik yamuk
AD // BC
AB ⊥ BC
3·|DE| = 5·|EC|
|AD| = 2 br
|AB| = 24 br
|BE| = 15 br
olduğuna göre
|BC| = x kaç br dir?
A) a = b = c
B) 3a = 4b = 5c
C) 4a = 5b = 3c
D) 2a = b = 2c
E) 4a = 3b = 4c
A) 15
A
D
2
5m
24
E
15
3m
B
B) 16
C) 18
C
x
D) 20
E) 21
Çözümü: |AE| = |ED| = k br dersek |BC| = 2k br olur. Diğer yandan |DF| = |FC| = t br dersek |AB| = 2t br olur.
k
A
a
k
E
A
D
P
b
2t
F
Q
2k
D
P
t
b
F
Q
t
c
c
B
E
a
C
B
C
Yukarda taranmış soldaki kelebekte benzerlik oranı 1 : 2
olduğundan b + c = 2a olmalıdır. Sağda taranmış kelebekte de benzerlik oranı 1 : 2 olduğundan a + b = 2c olmalıdır. Bu iki denklemi ortak çözersek a = b = c buluruz.
Doğru cevap: A.
Örnek.
A
ABCD bir paralelkenar
|AF| = |FE| = |ED|
P
|AP| = |PB|
|RT| = 20 br
olduğuna göre
B
|TD| = x kaç br dir?
13.
ABCD paralelkenar
A
E
D
[AC] köşegen
a
P
2⋅|AE| = |ED|
F
b
Q
|DF| = |FC|
|AP| = a br
c
|PQ| = b br
B
C
|QC| = c br
olduğuna göre a : b : c hangi şıkta doğru olarak verilmiştir?
A) 3 : 4 : 5
B) 3 : 5 : 4
D) 4 : 5 : 3
A) 10
B) 12
F
E
T
R
D
x
20
C
C) 14
D) 15
E) 16
Çözüm: |AF| = |FE| = |ED| = k br dersek |BC| = 3k br
olur. O halde kalbi T olan kelebekte benzerlik oranı 1: 3
tür.
C) 4 : 3 : 5
E) 5 : 4 : 3
A
k
F
k
t
P
t
E
T
R
D
k
x
20
2t
3x-20
B
3k
C
|TD| = x br verildiğinden |BT| = 3x br olmalıdır Bu durumda |BR| = 3x – 20 br olmalıdır. Diğer yandan |AP| =
|PB| = t br dersek |DC| = 2t br olacağından kalbi R olan
taralı kelebekte benzerlik oranının 1 : 2 olduğunu anları.
O halde |RD| = 2⋅(3x – 20) = 6x – 40 olmalıdır. Buradan
6x – 40 = 20 + x
eşitliğinden 5x = 60 yani x = 12 olarak bulunur.
Doğru cevap: B.
5
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
15.
ABCD paralelkenar
A
[BD] köşegen
|AP| = |PB|
P
|AE| = 2⋅|ED|
a
|BR| = a br
R
|RT| = b br
B
|TD| = c br
a+c
olduğuna göre
oranı kaçtır?
b
A) 1
B)
6
5
7
5
C)
E
16.
Yandaki şekilde
AB // DE
AE ∩ LF ∩ BD = {C}
|AL| = 5 br
|LB| = 2 br
|DF| = 6 br
olduğuna göre
|FE| = x kaç br dir?
D
c
T
b
C
A) 12
D)
8
5
Kelebek Teoremi
A
L
5
2
B
C
D
B) 15
C) 16
E
x
F
6
D) 18
E) 20
E) 2
17.
AD ∩ BC ∩ EF = {K}
AB // CD
|EK| = 3 br
|KF| = 5 br
|CD| = 10 br
B
E
A
3
K
5
olduğuna göre
|AB| kaç br dir?
Örnek. Yandaki şekilde
A a Fb B
AB // CD
AD ∩ FK ∩ BC = {E}
E
|AF| = a br
|FB| = b br
|CK| = c br
c
C
K d D
|KD| = d br
olduğuna göre a, b, c, d arasında geçerli olan bağıntı
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 8
Çözüm: Şekilde 3 farklı kelebeğin olduğunu fark etmişsinizdir. Biz küçük olan 2 tanesiyle ilgileneceğiz.
F
a
b
B
x
E
A) 12
y
C
c
K
d
D
|FE| = x br ve |EK| = y br olsun. x/y oranı kelebeğin birinde a/d’ye eşit olup diğerinde b/c’ye eşittir.
a b
Bu yüzden = yani a·c = b·d eşitliği sağlanmalıdır.
d c
Doğru cevap: C.
6
B) 14
10
C) 6
18.
AD ∩ BC = {F}
BC ∩ ED = {K}
AB // CD
|CB| = 2·|FB|
|FK| = 2·|KB|
|AE| = x br
|EB| = 4 br
olduğuna göre x kaçtır?
A) a·b = c·d
B) a·d = b·c
C) a·c = b·d
D) a + c = b + d
E) a + d = b + c
A
B) 7
C
D
F
D) 5
E) 4
A
x
E
4
B
K
F
D
C
C) 16
D) 18
E) 20
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
19.
ABCD dikdörtgen
[AC] ve [BD] köşegen
|AD| = 24 br
|BF| = |FC|
AF ∩ BD = {L}
olduğuna göre
|AL| = x kaç br dir?
A) 7
B) 5 2
24
A
x
B
15
C
F
C) 2 13
Örnek. ABCD bir paralelkenar
K
K, A, D ve B, C, F doğrudaş
b
[BD] köşegen
P
|EP| = a br
|PK| = b br
|EL| = c br
B
|LF| = d br
olduğuna göre a, b, c, d arasında geçerli
aşağıdakilerden hangisidir?
D
E
L
E) 6 2
D) 8
Kelebek Teoremi
A
D
a
E
c
C
L
d
F
olan bağıntı
A) a·b = c·d
B) a + d = b + c
C) a·d = b·c
D) a·(a + b) = c·(c + d)
E) c·(a + b) = a·(c + d)
Çözüm: Şekildeki gibi bir tarama yapılırsa taranan da
kelebek olur taranmayan da.
A
K
D
b
20.
AB ∩ CD = {E}
AD // CB // FK
|AD| = 6 br
|FK| = 3 br
|CB| = 12 br
olduğuna göre [DC]’nin orta
noktasının yeri aşağıdaki
şıkların hangisinde doğru
olarak verilmiştir?
a
P
A
D
6
y
F
C
A) [CF] üstünde F’ye yakın
C) [EF] üstünde F’ye yakın
E) [EF] üstünde E’ye yakın
3
12
c
E
B
E
x
L
d
F
C
K
|DE| = x br ve |EB| = y br diyelim. Büyük kelebekten x/y
oranı (a + b)/(c + d) ye, küçük kelebektense c/a ya eşit
olur. O halde
a+b c
=
c+d a
elde edilir ki içler-dışlar çarpımından a (a + b) = c(c + d )
bulunur.
Doğru cevap: D.
B
B) F’de
D) E’de
22.
A
E
x
F
10
D
T
8
B
21.
AB ∩ DC = {E}
AF ∩ DC = {L}
AD // CB
AF // FK
3⋅|CF| = 6⋅|FK| = 2⋅|KB|
|LE| = 4 br
|ED| = x br
olduğuna göre x kaçtır?
A) 3
B) 4
17
K
L
C
ABCD paralelkenar ise x kaçtır?
A
D
x
4
E
L
10
23.
C
C) 5
F K
D) 6
B
A
E
F
E) 8
5k
B
D
T
4k
8
K
C
L
ABCD paralelkenar ise 4⋅|KL| − 5⋅|EF| kaçtır?
18
7
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
Örnek. ABCD paralelkenar
[AC] köşegen
C, D, E doğrudaş
AC ∩ BE = {F}
|BF| = a br
|FK| = b br
|KE| = c br
Örnek. Yandaki şekilde
AB // DC
AK // BC
AC ∩ BD = {F}
|BF| = a br
|BK| = x br
|BD| = y br
E
c
K
A
D
b
a
Kelebek Teoremi
F
B
C
olduğuna göre a, b, c arasında geçerli olan bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
D
K
A
F
B
C
olduğuna göre a, x, y arasında geçerli olan bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
A) a2 = b⋅(b + c)
B) c2 = b⋅(a + b)
C) b2 = a⋅(a + c)
2
2
2
2
D) a = b + c
E) a = b⋅c
A)
Çözüm: Şekildeki gibi bir tarama yaparsak yine hem taranan kelebek olur hem de taranmayan.
E
1 1 1
1 1 1
1 1 1
= +
B) = +
C) = +
x a y
a x y
y x a
2
2
2
2
D) a = x·(x + y)
E) y = x + a
Çözüm: AK doğrusunu K yönünde uzatarak şeklin aslında bir önceki örnekteki şekille aynı olduğunu anlarız.
c
K
A
x
a
D
D
b
F
y-x
a
a2 = (x – a)·(x – a + y – x)
a2 = (x – a)·(y – a)
2
a = xy – ax – ay + a2
xy = ax + ay
elde ederiz. Şimdi eşitliğin her iki yanını axy çarpımına
bölelim.
xy ax + ay
=
axy
axy
eşitliğinden
1 1 1
= +
a x y
bulunur.
Doğru cevap: B.
D
3
F
B
C
ABCD paralelkenar ise x kaçtır?
6
25.
ABCD paralelkenar
|AK| = 2⋅|KD|
|FK| = 4 br
|KE| = x br
olduğuna göre x kaçtır?
A) 4
B) 5
E
x
K
A
C
|FK| = x – a br ve |KD| = y – x br olduğundan üstte bulduğumuz formülü uygularsak;
E
x
D
26.
4
F
B
C) 6
E
x
C
D) 7
F
B
9
K
E
x-a
24.
A
K
A
y
B
C
|AF| = x br ve |FY| = y br olsun. x/y oranı küçük kelebekten b/a, büyük kelebektense a/(b + c) ye eşit olur.
a
b
O halde
= eşitliğinden a2 = b⋅(b + c) bulunur.
b+c a
Doğru cevap: A.
K
A
D
E) 8
F
B
C
ABCD paralelkenar ve
1
1
−
= 0, 25 ise x kaçtır?
BF
BK
4
8
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
Kelebek Teoremi
D
Örnek. AB // DC
AK // BC
AC ∩ BD = {F}
d
K
A
c
|AB| = a br
a
|BC| = b br
F
|CD| = c br
B
b
C
|KA| = d br
olduğuna göre a, b, c, d arasında geçerli olan bağıntı
aşağıdakilerden hangisidir?
27.
AB // DC
AK // BC
A
AC ∩ BD = {F}
|BF| = a br
a F
olduğuna göre |BK| ve |BD|
uzunluklarının harmonik B
ortasının a cinsinden
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) a·b = c·d
B) a + c = b + d
C) a·c = b·d
D) a·(a + b) = c·(c + d)
E) a2 + b2 = c2 + d2
A) a
B) 2a
D
K
C
D) a2
C) 4a
E) 2a2
Çözüm: Taramamızı yine yukardaki gibi yapalım.
D
A
a
d
K
c
x
F
B
Teorem. Yandaki şekilde
AC ∩ BD = {F}
AB // FE // DC
|AB| = y br
|FE| = x br
|DC| = z br
1 1 1
= + olur.
ise
x y z
y
C
b
|AF| = x br ve |FY| = y br olsun. x/y oranı büyük kelebekten a/c, küçük kelebektense d/b ye eşit olur.
a d
O halde = eşitliğinden a·b = c·d bulunur.
c b
Doğru cevap: A.
D
A
F
y
z
x
B
E
C
Kanıt: AB // DC olduğundan yan şekilde taranmış şekil
bir kelebektir.
D
Uyarı. Yukardaki son üç örnek karşımıza paralelkenarda
değil de dikdörtgende çıkabilir. Her dikdörtgen aslında
bir paralelkenar olduğundan bulduğumuz eşitliklerin
hepsi dikdörtgende de geçerlidir.
A
E
H
Sonuç: Aşağıdaki ABCD yamuğunda
K
E
x
C
A
H
z
zk
C
D
B
F
B
C
E
Benzerlik oranı y/z olduğundan |AF| = yk br dersek |FC|
= zk br olur. ABC üçgeninde FE // AB olduğundan CFE
ile CAB üçgenleri benzerdir. Eşleme kurulursa
z
x
=
z+ y y
eşitliğinden zy = zx + yx elde edilir. Eşitliğin her iki yanı
xyz çarpımına bölününce
1 1 1
= +
x y z
eşitliği kanıtlanmış olur.
A
B
yk
y
A
D
a
D
E
Yukardaki şekilde
2
|BH| = |HE|·|HC|
|AB|·|DE| = |BD|·|AC|
1
1
1
=
+
BH
BE
BC
eşitliklerinin hepsi geçerlidir.
B
hem
9
x
y
L
c
F
C
1 1 1
1 1 1
= + hem de = + olduğundan x = y dir.
y a c
x a c
Mustafa YAĞCI
28.
Yandaki şekilde
AC ∩ BD = {E}
AB // EF // CD
|AB| = 4 br
|CD| = 12 br
olduğuna göre
|EF| = x kaç br dir?
A) 3,6
B) 3,2
www.mustafayagci.com.tr
31.
ABC bir üçgen
AD ∩ BE = {K}
AB // KF // ED
|KF| = 3 br
|AB| = 12 br
olduğuna göre
AE
oranı kaçtır?
EC
D
A
E
4
12
x
B
C
F
C) 3
D) 2,8
E) 2,5
A) 1
29.
AC ∩ BD = {F}
AB // FE // DC
|FE| = 3 br
|BE| = 4 br
|EC| = 6 br
1
1
1
−
=
AB DC k
Kelebek Teoremi
B)
A
12
E
K
3
B
3
2
F
C) 2
D)
5
2
D
C
E) 3
D
A
F
3
B
4
E
C
6
olduğuna göre k kaçtır?
A) 10
B) 12
C) 15
30.
ABC bir üçgen
AD ∩ CE = {K}
AC // KF // ED
|KF| = 4 br
|AC| = 12 br
olduğuna göre
BD
oranı kaçtır?
DF
D) 18
Örnek. Yandaki şekilde
D
AC ∩ BD = {F}
A
AB // FE // DC
F
d
|AB| = a br
a
|BE| = b br
|EC| = c br
c
B b E
C
|CD| = d br
olduğuna göre a, b, c, d arasında geçerli olan bağıntı
aşağıdakilerden hangisidir?
E) 30
A) a·b = c·d
B) a·d = b·c
C) a·c = b·d
D) a + c = b + d
E) a + d = b + c
A
Çözüm: |AF| = m br ve |FC| = n br olsun.
E
12
K
D
4
B
D F
A
C
m
a
A) 5
B)
9
2
C) 4
D)
7
2
B
E) 3
F
d
n
b
E
c
C
m a
= ’dir. ABC üçgeninde
n d
m b
a b
Tales teoreminden dolayı da
= ’dir. O halde =
n c
d c
eşitliğinden a⋅c = b⋅d bulunur.
Doğru cevap: C.
Taralı kelebekten dolayı
10
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
32.
Yandaki şekilde
AC ∩ BD = {E}
AB // EF // CD
2a+7
|BF| = 3⋅|FC| = 3m br
|AB| = 2a + 7 br
|CD| = a br
B
olduğuna göre a kaçtır?
A) 7
B) 6
Örnek. Yandaki şekilde
BA // CD
EF // BC
A
|CF| = 4 br
x
|FD| = 8 br
olduğuna göre
B
|BA| = x kaç br dir?
A
D
E
a
F
3m
m
C
A) 5
C) 5
D) 4
Kelebek Teoremi
B) 6
D
8
E
F
4
C
C) 7
D) 8
E) 9
E) 3
Çözüm: DBC üçgeninde |DF| : |FC| = 2 olduğundan
Tales Teoremi gereği |DE| : |EB| = 2 olmalıdır.
D
2k
A
x
A) 5
B) 6
A)
4
3
B)
AF
FC
5
4
x−1
O halde |BE| = k br denirse |ED| = 2k br olur. Bu da taralı
kelebekte benzerlik oranının 1 : 2 olduğu anlamına gelir.
Bu yüzden |AB| = x = 12/2 = 6 olmalıdır.
Doğru cevap: B.
F
x
B
C
2x
D) 8
35.
ABC bir üçgen
A
E, F, D doğrudaş
AB // FK // DC
x
|EB| = 2 br
|FK| = 5 br
E
|DC| = 8 br
2
|AE| = x br
B
olduğuna göre x kaçtır?
E) 9
A
D
F
x2
x+2
E
6x−9
D)
8
7
C
oranı kaçtır?
C)
6
5
C
D
A) 6
olduğuna göre
4
B
x+1
A
C) 7
34.
ABC ve DBC birer üçgen
AC ∩ BD = {F}
AB // FE // DC
|AB| = |BE|
|FE| = x + 2 br
|EC| = 6x – 9 br
B
|CD| = x2 br
F
k
33.
ABC ve ABD birer üçgen
AC ∩ BD = {L}
AD // FL // BC
|FL| = |LD|
|AD| = x + 1 br
|AF| = x – 1 br
|FB| = x br
|BC| = 2x br
olduğuna göre |BD| kaçtır?
8
E
E)
9
8
11
B) 7
C) 8
D
F
8
5
K
D) 9
C
E) 10
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
36.
ABC bir üçgen
AD // BC
AC ∩ DE = {F}
2·|EF| = 3·|FD|
|AE| = 3·|EB|
|AD| = 6 br
|BC| = a br
olduğuna göre a kaçtır?
A
Örnek. ABC bir üçgen
DE ⊥ EF
|AD| = 2⋅|DB| = 2c br
2c
|AF| = 2⋅|FC| = 2a br
|DE| = 12 br
|EF| = 8 br
x
B
|EC| = 9 br
olduğuna göre |BE| = x kaç br dir?
D
6
F
E
B
a
C
A) 25
A) 8
B) 9
C) 10
D) 12
Kelebek Teoremi
B) 24
A
c
D
2a
12
E
C) 23
F
8
a
C
9
D) 21
E) 20
E) 15
Çözüm: B’den geçen KL doğrusunu çizerek şekildeki taralı kelebekleri oluşturalım.
6
37.
ABC bir üçgen
AD // BC
DE // AB
|AB| = 9 br
|DE| = 4 br
olduğuna göre
BC/AD – CE/EA
farkı kaçtır?
A) 1/5
B) 2/5
A
4
C) 3/5
C
D) 4/5
8
E
38.
ABC ve FDE birer üçgen
A ∈ [FE]
D ∈ [BC]
FE // PQ // BC
|FE| = 6 br
|BC| = 12 br
|PQ| = x br
olduğuna göre x kaçtır?
E
B
2a
L
16
F
12
x
18
a
9
C
Sağdaki kelebekten |FL| = 16 br ve |BL| = 18 br bulunur.
Soldaki kelebekten de |KE| = 6 br dir. KDL dik üçgeninde Pisagor Teoremi’nden |KL| = 30 br, dolayısıyla |KB| =
12 br olmalıdır. Soldaki kelebekte benzerlik oranından x
= 24 bulunur.
Doğru cevap: B.
D
9
c
D
2c
B
A
12
K
E) 1
A) 5
12
B) 4,5
6
F
P
B
C) 4
A
x
12
D) 3,5
D
E
Q
C
E) 3
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
Örnek. ABC bir üçgen
|AF| = 3⋅|FB|
|BD| = 2⋅|DC|
|AE| = |EC|
AD ∩ FE = {L}
olduğuna göre
FL
x
= oranı kaçtır?
LE
y
A)
3
2
40.
ABC bir üçgen
|AF| = 2⋅|FB|
|AE| = |EC|
|BD| = |DC|
|FK| = x birim
|KE| = y birim
olduğuna göre
x
oranı kaçtır?
y
A
x
E
L
y
F
B
B) 2
5
2
C)
C
D
D) 3
E)
Kelebek Teoremi
7
2
A) 1
B)
Çözüm: F ve E noktalarından BC’ye paralel olacak şekilde çizilen doğrular AD’yi sırasıyla K ve R’de kessin.
Bizi sonuca götürecek kelebeğe ulaşmış olduk.
3
2
A
x
F
B
y
K
E
C
D
C)
4
3
D)
3
4
E)
2
3
A
3c
R
x
F
c
3k
B
4k
41.
ABC bir üçgen
|AE| = |EB|
|AD| = |DC|
|BT| = 1 br
|TD| = 3 br
olduğuna göre
BF
x
= oranı kaçtır?
FC
y
E
k
y
L K
D
C
2k
|FB| = c br denirse |AF| = 3c br olur. Şimdi AFK ile ABD
üçgenlerinin benzerliğinden |FK| = 3k br dersek |BD| =
4k br olur. |BD| = 2⋅|DC| verildiğinden |DC| = 2k br olur.
|AE| = |EC| olduğundan ADC üçgeninde [RE] orta taban
olur ki bu yüzden |RE| = k br olur. Sonuç olarak kelebekte benzerlik oranı 1 : 3 bulunduğundan x = 3y dir. Yani
sorulan oran 3 olmalıdır.
Doğru cevap: D.
39.
ABC bir eşkenar üçgen
|AK| = 3·|KC|
|BF| = |FD| = |DC|
|AE| = |EB|
|FT| = 4 br
E
B) 4,5
4
B
C) 5
T
F
D) 5,5
x
D
B) 0,2
42.
ABC bir üçgen
|AE| = |EC|
|BD| = |DC|
|FK| = 8 br
|KE| = 5 br
|AF| = x br
|FB| = y br
A
olduğuna göre
|TK| = x kaç birimdir?
A) 4
A) 0,1
K
C
E) 6
13
A
D
E
1
B
x
3
T
D) 0,3
C) 0,3
E) 0,4
A
x
K
y
F
D
A) 4
D) 7
C) 6
E
5
8
B
x
olduğuna göre
oranı kaçtır?
y
B) 5
C
y
F
C
E) 8
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
43.
ABCD paralelkenar
BE ⊥ EF
|CE| = |ED|
|AF| = 8 br
|BF| = 12 br
olduğuna göre
|FD| = x kaç br dir?
A) 1
A
F
8
12
Örnek. ABCD bir
A
dikdörtgen
E ∈ [BC]
F ∈ [CD]
|DF| = 2⋅|FC|
olduğuna göre |BE| : |EC|
B
hangi değeri aldığında
|AE| + |EF| toplamı en küçük olur?
D
E
B
B) 1,5
x
C
C) 2
D) 3
Kelebek Teoremi
E) 4
A) 6
B) 5
C) 4
D
F
C
E
D) 3
E) 2
Çözüm: |FC| = a br dersek |DF| = 2a br ve |AB| = 3a br
olur. Şimdi F’nin C’ye göre simetriği olan K noktasını
işaretleyelim.
A
D
2a
3a
F
44.
A
ABCD bir paralelkenar
[BD] köşegen
F
BD ∩ CF ∩ EK = {P}
P
|BF| = |FA|
|AE| = |ED|
B
K
E, P, K doğrudaş
ABCD
olduğuna göre
oranı kaçtır?
BKP
A) 24
B) 20
C) 18
E
a
D
B
E
C
a
K
C
D) 16
E noktası [BC] üzerinde nerede olursa olsun, E’den F’ye
gitmekle K’ye gitmek arasında bir fark yoktur. O halde
|AE| + |EC| toplamını minimize etmekle |AE| + |EK| toplamını minimize etmek aynı kapıya çıkar. Bunun için de
E noktası AK doğrusu üzerinde olmalı yani A, E, K noktaları doğrusal olmalıdır. Taranmış kelebekten de görüleceği üzere ABE ile KCE üçgenleri benzer olduğundan
BE
= 3 olmalıdır.
EC
E) 15
Doğru cevap: D.
45.
ABCD paralelkenar
|AE| = |ED|
|AB| = |CF|
CF ⊥ BE
B
olduğuna göre
m(ABE) kaç derecedir?
A) 15
B) 18
E
A
C) 22,5
46.
A
ABCD bir dikdörtgen
E ∈ [BC]
F ∈ [CD]
|DF| = 4⋅|FC|
olduğuna göre |BE| : |EC|
hangi değeri aldığında
B
|AE| + |EF| toplamı en küçük olur?
D
F
C
A) 6
D) 30
E) 36
14
B) 5
C) 4
D
F
E
D) 3
C
E) 2