1-Fonksiyonlar - WordPress.com

1-FONKSĠYONLAR
Uygulamalı bilimlerde değiĢebilen büyüklükler arasında bazı bağıntıların bulunması, bazı
olayların incelenmesini oldukça kolaylaĢtırır. Örneğin belli sıcaklıkta tutulan bir gazın
basıncı, bu gazın kapladığı hacme ve bu hacimdeki moleküllerin sayısına sıkıca bağlıdır.
Benzer olarak bir iletkenin direnci o iletkenin sıcaklığına bağlılığını ve bir hareketlinin aldığı
yolun o hareketlinin hızına ve geçen zamana bağlı olduğunu biliyoruz. ĠĢte bu gibi, hallerde
değiĢebilen büyüklükler arasındaki matematiksel bağıntının sağladığı özelliklerin bilinmesinin
oldukça faydalıdır. ĠĢte bu özel bağıntılar matematikte fonksiyonlar olarak incelenir.
Fonksiyonlar konusuna geçmeden önce bazı temel kavramların bilinmesi faydalıdır.ġimdi
bunları sırasıyla görmeye çalıĢalım.
1. SIRALI ĠKĠLĠ :
a ve b herhangi bir nesne olmak üzere yazılıĢ sırası önemli olmak Ģartıyla
yazılan  a, b  ikilisine sıralı ikili denir.  a, b  ikilisinde a ya birinci bileĢen (apsis), b
ye ikinci bileĢen (ordinat) denir. Benzer Ģekilde  a, b, c  sıralı üçlü ve  x1 , x2 , x3 ,..., xn 
sıralı n  li olarak tanımlanabilir.
 a, b  ve  c, d  iki sıralı ikili olmak üzere  a, b    c, d   a  c ve b  d
dir.
Örnek :
1.
1,3 ,  1, 4 , 

2, 3 5 , 10.34, 4.456  sıralı ikili


2.  adı , soyadı  ,  adı , soyadı  ,  adı , soyadı  sıralı ikili
Mehmet ŞEKERCĠ

  Kemal YILDIZ   Bülent DAĞGEZ 
3.  Kemal , ÇalıĢkan, Malatya,  ,  Mustafa , Eren, Kayseri  sıralı üçlü ye örnek
verilebilir.
2- KARTEZYEN ÇARPIM :
A ve B boĢ kümeden farklı olmak üzere, birinci bileĢeni A da ve ikinci bileĢeni B de
olmak üzere oluĢturulan tüm sıralı ikililer kümesine A ile B nin kartezyen çarpımı denir.
A  B Ģeklinde gösterilir. Buna göre,
A  B   x, y  / x  A ve y  B dir.
Örnek :
A  {1, 2} ve B  {a, b, c} ise A  B  {1, a  , 1, b  , 1, c  ,  2, a  ,  2, b  ,  2, c }
E  x, y, z ve F  2,8,10 ise
E  F   x, 2  ,  x,8 ,  x,10  ,  y, 2  ,  y,8 ,  y,10  ,  z, 2  ,  z,8  ,  z,10  ve
F  E   2, x  ,  2, y  ,  2, z  , 8, x  , 8, y  , 8, z  , 10, x  , 10, y  , 10, z  dir.
Kartezyen Çarpımın Özellikleri
1. Sıralı ikililerde elemanların yazılıĢ sırası önemli olduğundan A  B  B  A dır.
1
2.  A, B, C kümeleri için  A  B   C  A   B  C  dir. Kartezyen çarpımda birleĢme
özelliği vardır.
3. Kartezyen çarpımın eleman sayısı, verilen kümelerin eleman sayıları çarpımına eĢittir.
Yani, S ( A  B)  S ( A)  S ( B)
4. A herhangi bir küme olmak üzere, A  A  A2 , A  A  A  A3 Ģeklinde yazılabilir.
Özel olarak, A  (  Reel sayılar kümesi ) olsun.   2 ( 2-boyutlu reel
uzay) ve    3 ( 3- boyutlu reel uzay )
Kartezyen Çarpımın grafiği :
Örnek :
A  {1, 2,3} , B  {2, 4,6,8} olsun. A  B nin grafiğini çiziniz.
A  B nin grafiği
8



6

y  a x
4

a 1
 
2



1
2
3
Örnek :
A  1,5 , B  2,3, 4 kümeleri için A  B nin grafiğini çiziniz.
4
3
2
1
5
Örnek :
A   2,5 ve B   1,3 kümeleri için A  B nin grafiğini çiziniz.
2
3
1
2
5
NoT: Yukarıdaki örneklerde görüldüğü gibi ,
1. Kümelerin ikiside sonlu ise grafik noktalarla gösterilebilir.
2. Kümelerden sadece biri sonlu ise grafik doğru parçalarıyla,
3. Kümelerin ikiside sonsuz ise grafik dikdörtgensel bölge ile gösterilir.
3- BAĞINTI :
A ve B boĢ kümeden farklı iki küme olsun. A  B nin her bir alt kümesine A dan B
ye bir bağıntı denir. A  A nın her alt kümesine A da bir bağıntı denir. Bağıntı  sembolüyle
gösterilir. Ayrıca bağıntı kümelerde olduğu gibi üç farklı Ģekilde gösterilir.
1. Liste biçiminde
2. ġemayla
3. Ortak özellik yöntemiyle gösterilir.
Örnek :
A  {1, 2,3, 4} ve B  {a, b, f } olsun. A dan B ye birkaç bağıntı yazınız. Öncelikle
A  B kümesini yazarak bu kümenin birkaç alt kümesini alalım.
A  B  1, a  , 1, b  , 1, f  ,  2, a  ,  2, b  ,  2, f  , 3, a  , 3, b  , 3, f  ,  4, a  ,  4, b  ,  4, f 
1  1, a  , 1, b  , 1, f  ,  2, a 
 2   3, a  ,  4, a  ,  4, b  ,  4, f 
3   2, b 
4  
5  A  B
.
.
.
Yukarıdaki bağıntıların yazılıĢ Ģekli liste biçimidir.
3
Örnek :

.a
.1
.2
.3
.4
.4
.6
.7
. 2
A
B
Yukarıdaki Ģemaya göre A  1, 2,3, 4 ve B  a, 4,6,7, 2 ve
  1,7  ,  2, 4  ,  3,6  ,  4, 2  dir.
Örnek :

.a
.c
.b
A
Yukarıda A kümesinde bir  bağıntısı verilmiĢtir.  bağıntısı liste biçiminde
   a, c  ,  b, b  olarak yazılabilir.
Örnek :
A  {1, 2,3, 4,5, 6, 7} olamk üzere A da  bağıntısı   { x, y  / x  y  5} Ģeklinde
tanımlanıyor.  bağıntısını liste biçiminde yazalım.
  1,1 , 1, 2  , 1,3 ,  2,1 ,  2, 2  , 3,1 olarak yazılabilir.
4- TERS BAĞINTI
 , A dan B ye bir bağınyı olmak üzere  bağıntısına ait tüm sıralı ikililerin
bileşenlerinin yer değiĢtirmesiyle oluĢan yeni bağıntıya  nın ters bağıntısı denir.
 1 ile gösterilir. 1 bağıntısı B den A ya olan bir bağıntıdır.
Örnek :
A  a, b, 2 ve B  1, 2, c, f  olsun.  =  a,1 ,  b, c  ,  2, 2  ,  2, f  ise
 1 = 1, a  ,  c, b  ,  2, 2  ,  f , 2  dir.
4
5- FONKSĠYON
A   ve B   olmak üzere iki küme olsun. f , A dan B ye bir bağıntı olmak üzere f bağıntısı
aşağıdaki Ģartları sağlıyor ise f ye A dan B ye bir fonksiyon denir.
f : AB
x  y  f ( x) şeklinde gösterilir.
1  A kümesindeki her elemanın B de bir karĢılığı vardır.
2- A kümesindeki herhangi bir eleman B kümesinde sadece bir elemana karşılık gelir.
f :A B
x  y  f ( x) yazılıĢında
A  tanım kümesi, x bağımsız değiĢken
B  Değerler kümesi, y bağımlı değiĢken
A kümesindeki tüm elemanların görüntülerinin oluĢturduğu kümeye f ( x) in görüntü kümesi
denir. Ve f ( A) Ģeklinde gösterilir. Fonksiyonlar genel olarak f , g , h,... gibi küçük harflerle,
değiĢkenler ise x, y, z,... harfleriyle gösterilir.
Bir fonksiyonun iyi tanımlı olması için üç Ģeyin verilmiĢ olması gerekir.
1. Tanım Kümesi
2. Görüntü veya değerler kümesi
3. EĢleĢtirme kuralı
Tanım kümesinin her bir elemanını değer kümesinin bir ve yalnız bir elemanına
eĢleyen kural herhangi bir Ģekilde verilebilir.Örneğin, den ye olan bir
fonksiyonun eĢleĢtirme kuralını ''her sayıya karesini karĢılık getirme'' olarak alabiliriz.
Bu Ģekilde tanımlanan bir fonksiyon, f : x  x 2 veya y  x 2 Ģeklinde yazılabilir.
x, f ( x) ve f farklı Ģeylerdir. x tanım kümesinin elemanı, f ( x) değerler
kümesinin elemanı ve f de bir eĢleĢtirme kuralıdır.
f
x
A
y  f ( x)
B
Eğer bir f fonksiyonunun tanım ve değerler kümesi reel sayılar kümesinin bir
alt kümesi ise , f ye reel değiĢkenli ve reel değerli fonksiyon denir.
f ( x)  0 eĢitliğini sağlayan x elemanlarına f fonksiyonun sıfır yerleri denir.
f ve g aynı küme üzerinde tanımlı fonksiyonlar ve bu kümenin x elemanı için
f ( x)  g( x) ise f ve g fonksiyonlarına eĢit fonksiyonlar denir.Ve f  g Ģeklide
yazılır.
5
Örnek :
f .g : 
ve f ( x)  x 2  1 ve g ( x)   x  1 x  1 fonksiyonları eĢittir.
Çünkü, x 
için x 2  1   x  1 x  1 dir.
FONKSĠYONLARDA ARĠTMETĠK ĠġLEMLER
f ve g iki fonksiyon olsun.
1   f  g  ( x)  f ( x)  g ( x)
2   f  g  ( x)  f ( x)  g ( x)
3   f  g  ( x)  f ( x)  g ( x)
 f 
f ( x)
4    ( x) 
, g( x)  0
g ( x)
g
5   c  f  ( x)  c  f ( x) , c  şeklinde tanımlanır.
Örnek :
f ,g :

ve f ( x)  x 2  x , g ( x)  2 x  3 olsun.
 f  g  ( x)  f ( x)  g ( x)  x 2  x  2 x  3  x 2  x  3
 f  g  ( x)  f ( x)  g ( x)  x 2  x   2 x  3  x 2  x  2 x  3  x 2  3x
 f  g  ( x)  f ( x)  g ( x)   x 2  x    2 x  3  2 x3  3x 2  2 x 2  3x  2 x 3  x 2  3x
 f 
f ( x) x 2  x
(
x
)


, g( x)  2 x  3
 
g ( x) 2 x  3
g
 4  f  ( x)  4   x 2  x   4 x 2  4 x
Tanım :
f : A  B bir fonksiyon olsun. G   x, f ( x)  / x  A   A  B kümesine
f fonksiyonunun grafiği denir.
f nin grafiği
y  f ( x)

A B
x
6
Örnek :
f :  ve f ( x)  x 2  2 fonksiyonunun ;
Tamın kümesi  Doğal sayılar kümesi 
Değerler Kümesi  reel sayılar kümesi 
2 sayısının görüntüsü  f (2)  22  2  2
(3) sayısının görüntüsü  f (3)  (3) 2  2  9  2  7 olacaktır.
Örnek :
3x  a
fonksiyonuna göre f (4)  1 ise a =?
x2
3 4  a
12  a
f (4) 
1
 1  12  a  2  a  12  2  10 dur.
42
2
f:
/2
/ 3 ve f ( x) 
FONKSĠYONLARLA ĠLGĠLĠ TANIMLAR
1. Sabit Fonksiyon:
f : A  B ye bir fonksiyon olmak üzere f ( x ) fonksiyonu, x  A için f ( x)  c  sbt
şartını sağlarsa f ( x) fonksiyonuna sabit fonksiyon denir.
f ( x)  4 , g ( x)  6 , h( x)  2 , l ( x) 
2
fonksiyonları birer sabit fonksiyondur.
3
y

0
-4
y4
x
x

y  2
2. Birim Fonksiyon :
A  B ve f : A  B tanımlı bir fonksiyon olmak üzere f ( x)  x fonksiyonuna birim fonksiyon denir.
Birim fonksiyon bazen I x ile de gösterilebilir.
7
yx
yx
3. Birebir Fonksiyon :
f : A  B ye tanımlı bir fonksiyon olsun. f ( x) fonksiyonuna göre farklı elemanların
görüntüleride farklı ise veya görüntüleri aynı olan elemanların kendileri de eĢit ise
f ( x) fonksiyonuna birebir fonksiyon denir.
Bu tanıma göre,
x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) oluyorsa veya f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2 ifadelerinden birisi
doğru olmalıdır.
ġekil yardımıyla vermeye çalıĢalım.
g
f
.1
.a
.b
.c
.2
.3
.1
.a
.b
.c
.2
.3
.4
.4
g birebir değil
f birebir
Örnek :
f:

ve f ( x)  3x  1 fonksiyonu birebir midir?
Çözüm :
 x1  x2  3x1  3x2  3x1  1  3x2  1  f ( x1 )  f ( x2 ) dir.
O halde f ( x) fonksiyonu birebirdir.
Örnek :
f:

,
f ( x)  x2  4 fonksiyonu birebir midir?
Çözüm :
8
 x1  x2 olduğunda x11  x2 2 olarak yazılamayacığından f ( x)  x 2  4
fonksiyonu birebir değildir.
4- Örten Fonksiyon :
Görüntü kümesi değerler kümesine eĢit olan fonksiyona örten fonksiyon denir. Yani,
f : A  B fonksiyonu örten ise f ( A)  B dir.
Ayrıca , y  B için y  f ( x) şartını sağlayan x  A varsa f ye örtendir denir.
f
x
y
f ( A)
f
f ( A)
y
x
A
B
A
f ( A)  B olduğundan f örten değil
B
f ( A)  B olduğundan örten
Örnek :
f :  , f ( x)  x4 fonksiyonu örten midir?
Çözüm :
Fonksiyonun değerler kümesi dir. Fakat f ( x) in görüntüsünde negatif sayı
yoktur. Fonksiyonun görüntü kümesi ile değerler kümesi birbirinden farklı
olduğundan f ( x) örten değildir. f ( )  dir.
Örnek :
f :  , f ( x)  x  5 fonksiyonu örten midir?
Çözüm :
y  için  x  olacağından f ( x) fonksiyonu örtendir.
y  3  x  2
y  2  x  7
.
.
Yani y için enaz bir x 
vardır.
Örnek :
f ,g :
Çözüm :

y
0
, f ( x)  x 2 , g ( x)  2 x  1 fonksiyonlarını inceleyiniz.
y  x2
x


1
2
x
 -1
f ( x)  x2 fonksiyonu içine fonksiyon , g( x)  2 x  1 fonksiyonu örten dir.
9
5- Ters Fonksiyon :
y  f ( x) birebir ve örten fonksiyon olsun. y  f ( x ) fonksiyonu ile tanım kümesindeki eleman
belli iken bu elemanın görüntüsü olan değerler kümesindeki eleman bulunabilir.
Değerler kümesindeki eleman belli iken görüntüsü bu eleman olan tanım kümesindeki elemanı
bulmamızı sağlayacakfonksiyon y  f ( x ) fonksiyonunun ters fonksiyonudur. ve f 1 ( x ) ile
gösterilir.
f
y  f ( x)
x
f 1
NoT:
1. Sadece birebir ve örten fonksiyonların tersleri vardır.
2. f (a)  b  f 1 (b)  a
3. y  f ( x) ifadesi y bilinmeyenine göre çözülmüĢ denklemdir. Bu denklemi
x bilinmeyenine göre çözdüğümüzde f ( x) fonksiyonun tersi olan f 1 ( x)
fonksiyonunu buluruz.
Örnek :

f:
ve y  f ( x)  5x  3 fonksiyonunu tersini bulunuz.
Çözüm :
y 3
y 3
 x x
5
5
Şimdi burada x ve y nin rollerini değiĢelim.
y  5x  3  y  3  5x 
y
x3
x3
 f 1 ( x) 
dir.
5
5
Örnek :
f:
/ 2 
/ 3 ve y  f ( x) 
3x  1
fonksiyonun ters fonksiyonunu bulunuz.
x2
Çözüm :
10
3x  1
3x  1
y
 y   x  2   3x  1
x2
x2
yx  2 y  3x  1  yx  3x  2 y  1  x  y  3  2 y  1
y  f ( x) 
2 y 1
olarak yazılır ve değiĢkenlerin rolleri değiĢtirilir.
y 3
2x 1
2x 1
Yani, y 
 f 1 ( x) 
dir.
x3
x3
Örnek :
f ( x)  2 x 1  3 fonksiyonu için f (2)  f 1 (19) toplamını bulunuz.
x
Çözüm :
f (2)  221  3  5
f 1 (19)  b  f (b)  19 olarak yazılabilir.
f (b)  2b 1  3  19 
2b
2b

3

19

 19  3
21
21
 2b  2 16
 2b  32
 2b  25
 b  5 bulunur.
f (2)  f 1 (19)  5  5  10
6- BĠLEġKE FONKSĠYON
f : AB
g :B C
x  y  f ( x)
y  z  g ( y)
birer fonksiyon olmak üzere,
g f : AC
fonksiyonuna g ( x) ile f ( x) in bileĢke fonksiyonu denir.
x  z   g f  ( x)
BileĢke fonksiyon iki ayrı fonksiyonla elde edilen sonucu tek bir fonksiyonla elde
etmemizi sağlar.
11
g
f  ( x) fonksiyonu , g ( x) fonksiyonunda x yerine f ( x) yazmamızla elde dederiz.
g
f
y  f ( x)
x
A
z  g ( f ( x))
B
C
( g f )( x)
Örnek :

f ,g:
f
ve f ( x)  2 x  3 ve g( x)  5 x  2 olsun.
g   ? ve  g f  yi bulunuz.
Çözüm :
f
g
g   f  g ( x)   f  5 x  2   2   5 x  2   3  10 x  4  3  10 x  1
f   g  f ( x)   g  2 x  3  5   2 x  3  2  10 x  15  2  10 x  13
Örnek
/ 1 
f:
/ 1 ve f ( x) 
x
fonksiyonu için  f
x 1
f  ( x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm :
x
x
x
x 1 x
f  ( x)  x  1 = x  1 =

=  x bulunur.
x
x  x 1 x 1 1
1
1
x 1
x 1
f
BĠLEġKE FONKSĠYONLARIN ÖZELLĠKLERĠ
1.  f g    g f 
Fonksiyonlarda bileĢke iĢleminin değiĢme özelliği yoktur.
 g h   f
g h
2.
f
3.
4.
f I I f  f
Örnek :
f
f
1
f
1
f I
Fonksiyonlarda bileĢke iĢleminin birleĢim özelliği vardır.
Bir fonksiyonun birim fonksiyonla bileĢkesi kendisine eĢittir.
Bir fonksiyonla tersinin bileĢkesi birim fonksiyona eĢittir.
f ( x)  4 x  2 ve  f g   8x  6 ise g( x)  ?
12
Çözüm :
I.Yol :
f
g  ( x)  f (g( x))  8 x  6  4  g ( x)  2  8 x  6  2  4  g ( x)
 4  g ( x)  8 x  4  g ( x) 
8x  4
4
 g ( x)  2 x  1 dir.
II. Yol :
f g  h diyelim. Burada f ve h belli iken g fonksiyonu bulunacaktır.
Eşitliğin her iki yanına f 1 fonksiyonunun bileşkesini ekleyelim.
f 1 f g  f 1 h  ( f 1 f ) g  f 1 h
 I g  f 1 h
 g  f 1 h olarak yazılır.
O halde öncelikle f 1 ( x) fonksiyonunu bulmamız gerekir.
f ( x)  4 x  2  f 1 ( x) 
x2
4
 g ( x)  f 1 ( h( x))  f 1 (8 x  6) 
 g ( x) 
Örnek :
8x  6  2
4
8x  4
 2 x  1 bulunur.
4
g ( x)  2 x  3 ve  f g  ( x)  6 x  5 ise f ( x)  ?
Çözüm :
f g  h diyelim. Eşitliğin her iki yanına g 1 fonksiyonunu soldan ekleyelim.
f ( g g 1 )  h g 1  f I  h g 1  f  h g 1 dir.
x 3
bulunur.
2
x 3
x 3
f ( x)  h(g 1 ( x))  h(
) 6
 5  3  ( x  3)  5  3x  4
2
2
g ( x)  2 x  3  g 1 ( x) 
Örnek :
f (4 x  1)  8x  9 ise f ( x)  ?
Çözüm :
g ( x)  4 x  1  g 1 ( x) 
f ( x)  8 
x 1
4
x 1
 9  f ( x)  2 x  2  9  2 x  7
4
Örnek :
13
f ( x)  3x  2 , g ( x) 
1
ve h( x)  f ( x)  g( x)  4 g ( x) olduğuna göre
x2
h(2)  ?
Çözüm :
Örnek :
 1 
 1 
h(2)  f (2)  g(2)  4 g (2)   3  2  2   
  4

 22
 22
1
1
h(2)  8   4   2  1  1
4
4
f ( x)  2 x 3 ise
f ( x  2)
 f (7) olduğunu gösteriniz.
f ( x  2)
Çözüm :
f ( x  2) 2 x  23 2 x 1


 2 x 1 x 5  24 olarak bulunur.
f ( x  2) 2 x  23 2 x 5
f ( x  2)
f (7)  2 x 3  27 3  24 tür. O halde
 f (7) dir.
f ( x  2)
Örnek :
f ( x)  3x  1 ise
f ( x  h)  f ( x )
işleminin sonucunu bulunuz
h
Çözüm :
f ( x  h)  f ( x) 3( x  h)  1  (3x  1) 3x  3h 1  3x  1


h
h
h
^
3h

 3 tür.
h
Örnek :
f ( x)  ax  b ve  f
Çözüm :
f
f  ( x)  9 x  8 denklem sistemini sağlayan f ( x) fonksiyonlarını bulunuz.
f  ( x)  f  f ( x) 
9 x  8  a (ax  b)  b  9 x  8  a 2 x  ab  a dır.
Bu durumda, a  9 ve ab  b  8 olmalıdır.
a  9  a  3
3b  b  8  b  2  f ( x)  3x  2
3b  b  8  b  4  f ( x)  3x  4 bulunur.
Örnek :
f ( x  2)  f ( x)  x  2 ve f (1)  3 ise f (7)  ?
Çözüm :
14
f ( x  2)  f ( x)  x  2 şeklindeki fonksiyonlara indirgemeli fonksiyonlar denir.
Bu tür sorularda istenilen sonuca ardıĢığı cinsinden yazarak baĢlangıç değerine ulaşmak gerekir.
f ( x  2)  f ( x)  x  2 fonksiyonunda x  5 yazalım. f (7)  f (5)  5  2  I.
x  3 yazalım. f (5)  f (3)  3  2  II.
x  1 yazalım. f (3)  f (1)  1  2  III.
Elde ettiğimiz denklemleri taraf tarafa toplayalım.
f (7)  f (5)  5  2
f (5)  f (3)  3  2
f (3)  f (1)  1  2
f (7)  f (5)  f (3)  f (5)  f (3)  f (1)  3
f (7)  f (1)  3 ve f (1)  3 olduğundan f (7)  0 dır.
Tanım :
X
ve f : X 
bir fonksiyon olsun. X in bir A alt kümesinin x1  x2 şartını sağlayan
x1 , x2 elemanları için f ( x1 )  f ( x2 ) ise f fonksiyonu A üzerinden artandır. Eğer, f ( x1 )  f ( x2 )
ise f azalmayandır. Benzer şekilde, bir A alt kümesinin x1  x2 şartını sağlayan
x1 , x2 elemanları için f ( x1 )  f ( x2 ) ise f fonksiyonu A üzerinden azalandır. Eğer, f ( x1 )  f ( x2 )
ise f artmayandır.
f ( x2 )
f
x1

f artan

f ( x1 )


x1
f

x2
f ( x1 )
x2

f ( x2 )
f azalan
Tanım :
15
Eğer, x  X olduğunda   x   X oluyorsa X kümesine bir simetrik küme denir. Simetrik bir
X kümesi üzerinde tanımlanan bir f fonksiyonu için f ( x)  f ( x) oluyorsa f fonksiyonuna
çift fonksiyon denir. Eğer x  X için f ( x)   f ( x) oluyorsa f fonksiyonuna tek fonksiyon denir.
Örnek :
f ( x)  x 2 olsun. f ( x)  f ( x) ise f çift dir.
x2    x 
2
x 2  x 2 olacağından f çift tir.
g ( x)  x3 olsun. g( x)   g ( x) ise g tek dir.
x3    x 
3
x3   x3 olacağından g tek tir
Tanım :
f : X  Y fonksiyonu reel değerli fonksiyon olsun.
 f ( x) , f ( x)  0
f ( x)  f ( x)  
 f ( x) , f ( x)  0
şeklinde tanımlanan f fonksiyonuna mutlâk değer fonksiyonu denir.
Örnek :
f ( x)  x3 ve f ( x)  x3 grafiklerini çiziniz.
Çözüm :
f ( x)  x 3
f ( x)  x 3
f in grafiği x  ekseninin altına düĢmez
Örnekler :
1.
f:
Çözüm :
/ {2} 
/ 3 , f ( x) 
3x  m
ve f (1)  1  m  ?
x2
3 1  m
3 m
1
 1  3  m   1   1
1 2
1
 3  m  1  m  2 dir.
 , f ( x)  (a  3) x  2a  1 sabit fonksiyon ise f (8)  ?
f (1) 
2.
f:
Çözüm :
16
f ( x)  (a  3) x  2a  1 fonksiyonu sabit fonksiyon ise a  3  0
a  3 tür. f ( x)  2  3  1  7 dir. Bu durumda f (8)  7 olacaktır.
3.
f:

, f ( x)  (m  n  7) x  m  n  4 birim fonksiyon ise m  n  ?
Çözüm :
(m  n  7)  1  m  n  8

Bu durumda, (m  n  4)  0  m n  4
2 m  4  m  2 ve n  6  m  n  2  6  12
4.
f:

, f ( x)  7 x  6 fonksiyonunun tersini bulunuz.
Çözüm :
y  f ( x)  7 x  6  y  7 x  6  y  6  7 x  x 
x ve y nin rollerini değiĢelim, y  f 1 ( x) 
5.
f:
/ {1} 
/ {3} , f ( x) 
y 6
7
x6
7
3x  7
 f 1 ( x)  ?
x 1
Çözüm :
3x  7
3x  7
y
olarak yazalım. y   x  1  3x  7
x 1
x 1
y7
yx  y  3x  7  yx  3x  y  7  x( y  3)  y  7  x 
y 3
x7
x ve y nin rollerini değiĢelim. Bu durumda y  f 1 ( x) 
bulunur.
x3
6. f ( x)  12  2x1  2x1 ise f 1 (14)  ?
y  f ( x) 
Çözüm :
2x
 2  2x  y  6  2x  2  2x
2
y
y
y
 y  8  2 x  2 x   x  log 2   x 
8
8
8  log 2
x
x
14
y
olarak bulunur. f 1 ( x) 
 f 1 (14) 
?
8
8
log 2
log 2
log 28
y  12  2 x 1  2 x 1  y  12 
7.
f:
/ 4 
/ 2 olmak üzere f ( x) 
2x  n
fonksiyonu için f 1 (3)  1  n  ?
x4
17
Çözüm :
2x  n
 y   x  4   2 x  n  yx  4 y  2 x  n  yx  2 x  (n  4 y )
x4
( n  4 y )
(n  4 y )
(n  4 x)
x   y  2   ( n  4 y )  x 
x
 f 1 ( x)  
olur.
 y  2
 y  2
 x  2
y
 f 1 (3)  
(n  4  3)
(n  12)
=1  
1
1
3  2
 n  12  1  n  13 tür.
8.
f ( x)  2 x  3 ve g( x)  3x 
1
olmak üzere  f g  ve  g f  fonksiyonlarını bulunuz.
5
Çözüm :
1
1
2


g   f  g( x)   f  3x    2   3x    3  6 x   3
5
5
5


2  15
13
13 

 6 x 
 6 x     6 x  
5
5
5

1
1
46
 g f  ( x)  g  f ( x)   3   2 x  3   6 x  9   6 x 
5
5
5
f
9.
f:
/ 2 
/ 2 , f ( x) 
x
fonksiyonu için  f
x2
1
f  x   ? ve f ( )
x
fonksiyonlarını bulunuz.
Çözüm :
f
 x 
f  ( x)  f  f ( x)   f 

 x2
x
x
x
x
x2 
x2
 x2  x2
x
x  2  x  2 x  2x  4  x  4
2
x2
x2
x2
x2
x
x2
x


x  2 x  4 x  4
1
1
1
x
1
1
f   x  x  

dir.
1
1

2
x
x 1  2x 1  2x
 x
2
x
x
Tanım:
A  olsun.

f ( x)  x
şeklinde tanımlanan f : A 
fonksiyonuna tam kısm fonksiyonu
veya tam değer fonksiyonu denir. Burada, x , x sayısından büyük olmayan
tamsayıların en büyüğünü göstermektedir.
18
x , n  x eşitsizliğini gerçekleyen n tamsayıların en büyüğünü gösterdiğinden,
p bir tamsayı olmak üzere, p  x  p  1eĢitsizliğini sağlayan x reel sayıları için
x  p dir.
Buna göre,
3  x  2  x  3
2  x  1  x  2
 1  x  0  x  1
0  x 1 x  0
1 x  2  x 1
2  x  3 x  2
3  3 olacağından,
f ( x)  x fonksiyonunun f :  3,3 
fonksiyonunun grafiği çizilebilir.
3
-3
-2
-1
2
1
0
1
2
3
-1
-2
-3
Tanım:
n bir doğal sayı ve a0 , a1 , a2 , a3 ,..., an lerde a0  0 olmak üzere,
sabit sayılar olsun. p( x)  a0 x n  a1 x n 1  a2 x n  2  ...  an 1 x1  an x 0
veya
p( x)  a0 x n  a1 x n 1  a2 x n  2  ...  an 1 x  an x
şeklinde tanımlanan p :

fonksiyonuna bir polinom fonksiyon denir.
Polinomlarla ilgili aĢağıdaki özellikler verilebilir.
1. Ġki polinomun toplamı ve çarpımı yine bir polinomdur.
2. Bir polinomun bir skaler ile çarpımı yine bir polinomdur.
3. Eğer r sayısı n. dereceden bir polinomun m katlı bir sıfır yeri ise  n  m  . dereceden
öyle bir q  x  polinomu vardır ki, x 
için , p  x    x  r   q  x  dir.
m
4. n. yinci dereceden, reel katsayılı bir polinomun en fazla n  tane fraklı reel kökü
vardır.
19
Örnek:
p  x   x 6  x5  x 4  x3  x3  x  1  x 2  1 eşitliği ile verilen bir p polinomunun
reek kökleri ( sıfır yerleri ) x1  x2  x3  0 ve x4  1 dir. Diğer iki kök reel değildir.
Tanım:
q  x   0 olmak üzere, p  x  ve q  x  iki polinom olsun.
f ( x) 
p  x
q  x
şeklinde tanımlanan f fonksiyonuna rasyonel fonksiyon denir.
Bu fonksiyon q  x  polinomunun sıfır yerleri hariç diğer tüm noktalarda tanımlıdır.
3x  2
x 4  x3  x 2
x
, g  x 
, h  x   x  fonksiyonları birer rasyonel
4x  5
x 3
1
fonksiyondur.
Her rasyonel fonksiyon ortak böleni olmayan iki polinomun oranı Ģeklinde yazılabilir.
f  x 
Örnek:
f  x 
 x  2  x  2  x  2
x2  4


olarak yazılabilir.
2
x  3x  2  x  2   x  1  x  1
Görüleceği gibi tanım kümesi geniĢletilmiş olur.
Tanım:
f : A  B ye tanımlı olsun.x  A için f  x  T   f  x  olacak Ģekilde bir pozitif T kreel
sayısı varsa, f ye periyodik fonksiyon denir. T sayısına f nin bir periyodu denir. Bu periyod
ların en küçüğüne fonksiyonun asli periyodu denir.
Periyodik fonksiyonların en fazla kullanılanı trigonometrik fonksiyonlar ve dairesel
fonksiyonlardır. Trigonometrik fonksiyonları görmeye çalıĢalım.
Merkezi orijinde ve yarıçapı 1 birim olan çember çizelim. Çember üzerinde
1,0  noktasında baĢlayarak t birim ilerleyelim. ( Eğer t  0 ise saat yönünün tersine
doğru, t  0 ise saat yönünde ilerlenir. ) Bu durumda çember üzerinde bir p  x, y  noktası
elde edilecektir. x  cos t , y  sin t olarak tanımlanır. Böylece her bir t sayısına bir
cos t ve sin t karĢılık gelir.
A
p  x  cos t , y  sin t 

r
t 0
t
0
B
1  sin t  1 ve  1  cos t  1 dir.
20
Ayrıca, tan t 
sin t
1
cos t
1
Ģeklinde tanımlanır.

, cot t 

cos t cot t
sin t tan t
Aynı zamanda,
y
sin t 
, r  OP
r
x
cos t 
r
y
tan t 
x
x
cot t 
olarak yazarız.
y
Trigonometrik ifadeler arasındaki bazı bağıntıları verelim.
1.
2.
3.
 sin t    cos t   1 veya sin 2 t  cos2 t  1 dir.
sin  t  z   sin t cos z  cos t sin z
cos  t  z   cos t cos z  sin t sin z
2
2
tan t  tan z
1  tan t  tan z
1
cos t cos z  cos  t  z   cos  t  z 
2
1
sin t sin z  cos  t  z   cos  t  z  
2
1
sin t cos z  sin  t  z   sin  t  z 
2
sin  t  2   sin t
4. tan  t  z  
5.
6.
7.
8.
9. cos  t  2   cos t
10. tan  t     tan t
11. cot  t     cot t
dir.
Bazı özel ( t ’ radyan alalım.) değerler için trigonometrik cetvelde verilebilir.
t
0
sin t
0
cost
1
tan t
0
cot t
tanımsız

6

4

3
1
2
3
2
2
2
1
2
1
3
3
1
1
3
1
2
2
3
2
3
21

2
2
3
3
4
5
6

0
tanımsız
0
1
2
 3
1
 2
2
 3
2
-1
-1
3
-1
1
 3
3
0
tanımsız
1
3
2
2
2
1
2
0
Trigonometrik fonksiyonların grafiklerini inceleyelim.
   
I. f ( x)  sin x , sin x :  ,    1,1 aldığımızda
 2 2
   
 2 , 2  arasındaki y  sin x in grafiği


1


0
2

2

3
2
2

3
2
2
-1
1


0
2

2
-1
II.
f ( x)  cos x
, cosx : 0,    1,1 aldığımızda
22
0,  de
f ( x)  cos x
1



0
2
2
3
2

2
-1
f ( x)  cos x in grafiği
1



0
2
2
3
2

2
-1
   
III. Aynı Ģekilde tanjant fonksiyonunun 
,  aralığına kısıtlanması olan tanjant
 2 2
fonksiyonunun grafiğine bakalım.
y  tan x
1



0
2
2
-1
IV.
 0,  arasında kotanjant fonksiyonunun grafiğini çizelim.
y  ax
a 1
1


2
0

2

-1
Tanım:
23
a  1 herhangi bir pozitif reel sayı olsun. f ( x)  a x Ģeklinde tanımlanan f :
fonksiyonuna üstel fonksiyon denir.

1. a  1 için fonksiyon monoton artan
y  ax
1
a 1
0
2. a  1 için fonksiyon monoton artan
y  ax
1
a 1
0
Üslü fonksiyonlarda , f ( x)  a x olduğundan,
f (0)  1
f (1)  a
ve ayrıca f ( x  t )  f ( x)  f (t ) ve f (  x) 
1
dir.
f ( x)
Tanım:
f:


, y  a x fonksiyonu birebir ve örten olduğundan, dolasıyla
f 1 :   olarak tanımlanan ters fonksiyonu mevcuttur.Bu ters fonksiyona,
logaritma fonksiyonu denir.Ve y  log a x biçiminde yazılır. Demek ki, x  0
için y  log a x  x  a y dir.
24
y  log a x
y  log a x
a 1

1
a 1
1
AĢağıdaki özellikleri de kısaca yazabiliriz.
1. log a a  1
2. log a 1  0
3. log a  x  y   log a x  loga y
x
4. log a    log a x  log a y
 y
5. log a x n  n  log a x
1
6. log a x 
dir.
log x a
Pratikte en çok kullanılan logaritma doğal ( tabii ) logaritmadır. Burada taban
e  2,7182818... dır . Eğer taban e  2,7182818... ise yazılıĢta küçük bir değiĢiklik
yapılır. Yani,
loge x  ln x ve log10 x  log x olarak gösterilir.
y  ln x  x  e y dir.
Tanım: ( Eğrilerin Parametrik Gösterimi )
Bir f : A  B ve y  f ( x) fonksiyonu başka şekillerde de verilebilir.
x  g (t ) olarak alınırsa x değiĢkeni A kümesini taradığında t de belli bir
C kümesini tarar. Aynı zamanda y  f  g (t )  olur. Demek ki f fonksiyonu,
 x  u (t )
, t C

 y  v(t )
şeklinde verilebilir.
Örnek:
r yarıçaplı merkezi x 2  y 2  r 2 çemberinin parametrik denklemi,
 x  r cos t
, 0  t  2 olacaktır.

 y  r sin t
Burada t , çember üzerindeki bir P  x, y  noktasını orijine birleĢtiren doğru ile
x  ekseni tarafında oluturulan pozitif açının ölçüsüdür.
25
Örnek:
Bir doğru üzerinde yuvarlanan a yarıçaplı bir çemberi göz önüne alalım. Çember
üzerinde alınan bir P  x  cos t , y  sin t  noktasının geometrik yeri olan eğrinin
parametrik denklemini bulalım.
Çözüm:
Bu eğriye cycloid ( sikloid ) eğrisi denir ve parametrik denklemi,
 x  a  t  sin t 
dir

 y  A  t  cos t 
Tanım:
Bir fonksiyon y  f ( x) kuralı ile verilmiĢse buna açık fonksiyon denir. Eğer,
F  x, y   0 Ģeklinde bir denklemle verilmiĢse bu fonksiyona kapalı fonksiyon denir.
Açık fonksiyon kapalı fonksiyon Ģeklinde ve kapalı fonksiyonda genelde açık
fonksiyon Ģeklinde gösterilebilir.
Örnek:
a  F  x, y   0  x  y 2  1  0  y 2  1  x  y  1  x
b  x  y  e x  y  0 fonksiyonunda x çekilemez.
Tanım:
f: 
bir fonksiyon olsun.
 f ( x)
, f ( x)  0

g ( x)   f ( x)
0
, f ( x)  0

şeklinde tanımlanan g ( x) fonksiyonuna f nin işaret fonksiyonu denir.
sgn  f ( x)  ile gösterilir.
f reel değerli olduğundan bir x noktasında
f ( x)  0 yada f ( x)  0 veya f ( x)  0 dır.
f ( x)  0 
f ( x)
f ( x)  0 
f ( x)
f ( x)
f ( x)
1
 1
olacağından,
 1 , f ( x)  0
 sgn f  ( x)  sgn  f ( x)   1 , f ( x)  0 şeklinde tanımlanır.
 0 , f ( x)  0

26
Örnek:
f :  3,3 
, f ( x)  x2  x  2 fonksiyonu veriliyor. sgn f ( x) 'in grafğini çiziniz.
Çözüm:
Öncelikle f nin işaretini inceleyelim. x2  x  2  0 denkleminin kökleri x1  1 ve x2  2 dir.
ĠĢaret tablosunu oluĢturalım.
x
-3
-1
0

f ( x)
2

3

 1 , x   3, 1   2,3

sgn f ( x)  sgn  x  x  2    0 , x  1, 2

1 , x   1, 2 
2
-3
-1
1
0
olarak yazılıp grafik çizilir.
y  sgn  x 2  x  2  nin
2
3
grafiği
-1
27