Bolum 3.key
advertisement
Sistem Dinamiği Bölüm 3- Rijit Gövdeli Mekanik Sistemlerin Modellenmesi Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN Sunumlarda kullanılan semboller: El notlarına bkz. Yorum Soru Bolum No.Alt Başlık No.Denklem Sıra No Denklem numarası MATLAB Şekil No Şekil numarası Dikkat Şekil No Tablo numarası Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 1 2 Bölüm 3 içeriği: Yerdeğiştirme (öteleme-translational) içeren hareketler Sabit bir eksen etrafında dönme Eşit kütle ve atalet Genel düzlemsel hareket Ek örnekler Bölüm gözden geçirme Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 3 Giriş: Bir cismin hareketinin modellenmesinde burulma(twisting) ve bükülme (bending) ihmal edilip rijit cisim gibi kabul edilerek çözüm yapılır. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 4 3.1. Yerdeğiştirme (öteleme) içeren hareket(translational motion) Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 5 Newton yasaları: 1. Bir cisim, üzerine sıfır bileşke kuvvet etkidiğinde durgun halde kalır veya sabit hıza sahipse sabit hızla hareketine devam eder. 2. Bir cisme etki eden net kuvvetin meydana getirdiği ivmeye oranı sabittir. 3. Eğer bir A cismi B cismine bir kuvveti uygularsa, B cismi de A cismine ’nin büyüklüğüne eşit fakat zıt yönlü bir kuvvet uygular. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 6 Newton Kuralı: Newton’un ikinci kuralı: (3.1.1) Eğer kütle tek bir doğrultuda hareket ediyorsa: (3.1.2) (3.1.3) Şekil 3.1.1 Eğer Newton Kuralı skalar formda yazılırsa: (3.1.4) Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 7 Yaklaşım: Cismin rijit olduğu ve kuvvetin nesnedeki dağılımının ihmal edildiği, cismin bir merkezde toplanarak bir nokta kütle olduğu kabul edilir ise daha kolay biçimde modelleme gerçekleştirilir. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 8 3.1.1. Mekanik Enerji Her iki tarafı vdt ile çarpalım ve v=dx/dt yi kullanalım (3.1.4) Kinetik Enerji(KE) Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 9 3.1.1. Mekanik Enerji Eğer iş yalnızca kuvvet tarafından yapılıyor, yoldan bağımsız ve sadece son noktaya bağlı ise, kuvvet f(x), V(x) gibi bir fonksiyondan elde edilebilir. 3.1.5 Konservatif kuvvet İntegral Potansiyel Enerji(PE) fonksiyonu yada denklem 3.1.4’ten 3.1.6 Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 10 3.1.1. Mekanik Enerji Denk. 3.1.6.’nın yorumu? Konservatif kuvvetten başka kuvvet yok ise KE ve PE toplamı sabittir. (Konservatif kuvvetten başka kuvvet uygulanmadı ise) Eğer başlangıç hızı ve yerdeğiştirmesi var ise: Denklem 3.1.6’yı da kullanarak 3.1.7 3.1.8 Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 11 3.1.1. Mekanik Enerji Bazı problemler için denk 3.1.9 kullanışlıdır. 3.1.9 Yerçekimi kuvveti örneği: Dikey yerdeğiştirme için 3.1.10 3.1.11 Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 12 Örnek 3.1.1. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 13 Çözüm 3.1.1 + Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 14 3.1.2. Sabit kuvvet durumu: Nokta kütle modeli, ma=f denklemi, denk. 3.1.9, hızı yerdeğiştirmenin bir fonksiyonu olarak bulmak için kullanılabilir. Eğer f sabit ise 3.1.12 final enerji başlangıç enerjisi iş yapan kuvvet Mekanik enerjinin korunumu Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 15 3.1.3. Saf(dry) Sürtünme Kuvveti Her sabit kuvvet korunumlu değildir. Saf sürtünme kuvveti, korunumlu olmayan kuvvet örneğidir. Kuvvet tarafından yapılan iş, alınan yola bağlıdır. Saf sürtünme kuvveti yüzey sürtünmesinin bir fonksiyonudur. :sürtünme katsayısı N: sürtünme yüzey normaline etkiyen kuvvet Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 16 3.1.3. Saf(dry) Sürtünme Kuvveti: Statik sürtünme: Hareket başlamadan önceki sürtünme Coloumb sürtünmesi (dinamik sürt., sliding fric., kinetic fric.): Hareket başladıktan sonraki sürtünme Potansiyel enerji fonksiyonundan Columb sürtünmesi bulunamaz. Çünkü enerjinin korunumu yasası uygulanamaz. Coloumb sürtünmesi deneysel olarak bulunabilir çünkü sürtünme kuvveti sıcaklık olarak enerjiyi tüketir ve kinetik ve potansiyel enerji içeren mekanik enerji korunmaz. Toplam enerji tabiki korunur. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 17 Örnek 3.1.2. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 18 Çözüm 3.1.2. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 19 Çözüm 3.1.2. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 20 3.2. Sabit bir eksen etrafında dönme Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 21 Newton’un ikinci kuralından 3.2.1 atalet açısal hız moment Şekil 3.2.1 Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 22 3.2.1. Ataletin hesaplanması Belirli bir referans eksene göre atalet (I) Denk. 3.2.2 ile verilir: 3.2.2 r : dm kütlesinin referans eksenden uzaklığı Eğer homojen rijit cismin dönme ekseni cismin simetri ekseni ile denk gelmez ise ancak d kadar bir uzaklığa paralel ise atalet paralel eksen teoremi ile verilir. 3.2.3 Is: Simetri eksenine göre atalet Şekil 3.2.2 Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 23 Tablo 3.2.1 Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 24 Örnek 3.2.1. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 25 Çözüm 3.2.1: Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 26 Örnek 3.2.2 a)Hareket eşitliğini bulunuz. b)Tetayı küçük kabul ederek hareket eşitliğini tekrar bulunuz. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 27 Çözüm 3.2.2. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 İş yapan kuvvet teta yönüne ters bu nedenle negatif alınması gerekir 28 Çözüm 3.2.2. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 29 3.2.2. Enerji ve Dönel hareket M momentinin teta dönmesi ile meydana getirdiği iş: 3.2.4 eşitliğinin her iki tarafını wdt ile çarpalım İntegral 3.2.5 Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 30 3.3. Eşdeğer kütle ve atalet Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 31 Eşdeğer kütle ve atalet kavramı: Yerdeğiştirme ve dönme elemanları içeren bazı sistemler saf ötelenen veya saf dönen sistem olarak modellenebilir. Bu amaçla eşdeğer kütle ve atalet yaklaşımı kullanılır. Bu model kinetik enerji eşdeğerliğinden elde edilir. Eşdeğer kütle ve eşdeğer atalet birbirini tamamlayan kavramlardır. Bir sisteme eğer harici kuvvet uygulanırsa eşdeğer kütle, harici moment uygulanır ise eşdeğer atalet ile gösterilmelidir. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 32 3.3.1. Mekanik Sürücüler: Düz dişli çifti: N: Çevrim oranı N=Giriş dönme oranı(teta1)/çıkış(teta2) dönme oranı N=w1/w2 N>1 ise hız düşürücü olarak çalışır. N=n2/n1, n:dişli oranı Sürtünme ve dişli ataletleri ihmal edilir ise: Şekil 3.3.1 Girişte yapılan iş=çıkışta yapılan iş T1 x teta1 = T2 x teta2 T2= T1 x (teta1/teta2)=NT1 Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 33 Örnek 3.3.1: Girişte meydana gelen ataleti bulunuz Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 34 Çözüm 3.3.1: Bu sonucun manası sistem dinamiklerinin Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 modeli ile tanımlanabileceğidir. 35 Örnek 3.3.2.: Şekildeki dişli sisteminde, motor ataleti I1=0.1 kgm2, yük şaftı için atalet I2=0.4 kgm2 ‘dir. Motor hızı w1 yük hızı w2’den 5 kat büyüktür. bu nedenle cihaz hız düşürücü olarak adlandırılır (speed reducer) a)w1 açısından hareket denklemini b)w2 açısından hareket denklemini T1 ve T2’ nin bilindiğini kabul ederek bulunuz. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 36 Çözüm 3.3.2. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 37 Çözüm 3.3.2. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 38 Örnek 3.3.3. 2 2 I1=0.005 kgm , I2=0.001 kgm , I3=0.02, I4=0.2 ‘dir. w1/w2=3/2, w2/w3=2 dir. w3 açısından hareket denklemini T’ nin bilindiğini kabul ederek bulunuz. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 39 Çözüm 3.3.3. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 40 Çözüm 3.3.3. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 41 Örnek 3.3.4. Giriş şaftında ortaya çıkan eşdeğer atalet denklemini yazınız. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 42 Çözüm 3.3.4. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 43 Örnek 3.3.5. Giriş şaftında ortaya çıkan eşdeğer atalet denklemini yazınız. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 44 Çözüm 3.3.5. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 45 Örnek 3.3.6. (İnceleyiniz) Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 46 Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 47 3.3.2. Dönme ve kayma Şekil 3.3.6. daki sistemde üç farklı hareket mümkündür: Saf dönme: v=R.w Şekil 3.3.6. Saf kayma: w=0, v=R.w Kayma ve dönme : w=0, v=R.w Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 48 Eğer tanjantial kuvvet (ft)statik sürtünme kuvvetinden ( ) küçük ise tekerlek kayma olmasızın dönecektir. Burada N yüzey normalinin tekerlek normaline uyguladığı kuvvettir. Bu şartlar altında, tanjantial kuvvet iş yapmaz. çünkü alınan yol boyunca aktif değildir. Eğer statik sürtünme kuvveti ft’den küçük ise tekerlek kayacaktır. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 49 3.4. Genel düzlemsel hareket Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 50 Giriş: Bölüm 3.1. sadece yerdeğiştirme, Bölüm 3.2.’de sadece dönme ki bu eksende ivmelenmesi olmama durumunda, Bölüm 3.3’ te ise enerji modeli üzerinden saf dönme veya saf yerdeğiştirme durumunu inceledik. Bu bölümde ise bir cismin belirli bir eksende hem dönmesi hem de yer değiştirmesi olması durumunda hareket denklemlerini inceleyeceğiz. Hareketin bir düzlemde yapıldığına odaklanacağız. Bunun manası hareket iki düzlemde yer değiştirmekte ve bunlara dik olan bir eksende dönme yapmaktadır. Bu konunun bir sonraki aşaması 3 eksende de dönme ve yer değiştirme olması durumudur ki bununla ilgili mekatronik mühendisliği açısından en bariz uygulamalar robotların hareketlerinin analizinde karşımıza çıkmaktadır. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 51 3.4.1. Kuvvet eşitlikleri: 3.4.1. 3.4.2. Şekil 3.4.1. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 52 3.4.2. Moment eşitlikleri: O noktasından geçen bir eksen etrafında dönme olduğunu kabul edelim. Bu şartlar altında moment eşitliği 3.4.3. O noktasından geçen eksen eksen etrafındaki atalet O noktasından geçen eksen eksen etrafındaki dönmenin açısal ivmesi O noktası etrafında cisme etkiyen toplam moment Aşağıdaki eşitlik dönme ekseni önemsenmeden moment denklemini vermektedir. 3.4.4. Kütle merkezi G den geçen ve yüzeye dik olan eksen etrafındaki toplam moment MG’ye cisme etkiyen net kuvvetler (f1, f2, f3..) neden olur Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 53 Moment eşitlikleri: G noktası nesnenin kütle merkezi olmak zorundadır. Birçok problemin çözümünde bir P noktasının ivmesi bilinir ve bu nokta ile işlem sabit bir noktaya göre veya kütle merkezine göre problem çözümünde kullanılabilir. Aşağıdaki eşitlik ivmelenmiş bir P noktasının moment eşitliğini verir. 3.4.5 3.4.6 Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 54 Örnek 3.4.1. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 55 Örnek 3.4.2. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 56 Örnek 3.5.5. Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 57 3.5.1. Personel taşıyıcı dinamikleri Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 58 Bölüm 3 Özeti: Newton’un birinci kanunu Öteleme ve dönme hareketi Cisimler rijit ve uygulanan kuvvetler sabit Kinetik ve potansiyel enerji Atalet kavramı Dr. Erhan AKDOĞAN YTÜ-Mekatronik Mühendisliği MKT3131-Sistem Dinamiği Bölüm 3 59 Referans: System Dynamics, William Palm III, McGraw-Hill Education; 3 edition (March 19, 2013)
