süreklı99 olasılık dağılım modelleri

SÜREKLI(( OLASILIK DAĞILIM MODELLERİ Yrd. Doç. Dr. Esra KÜRÜM
30.10.2014 Rassal Değişken (Random variable) •  Ölçülebilen her türlü özelliğe değişken denir. •  Birden fazla değer alabilen ve hangi değeri alacağı şans eseri belirlenen değişkene rassal (random) değişken denir. •  Diğer bir ifadeyle rassal değişken deney sonuçlanmadan alacağı değer kesCrilemeyen, ancak deney yapıldıktan sonra aldığı değerler gözlemlene bilen değişkene denir. •  Rassal değişkenleri isimlendirmek için X, Y, Z gibi büyük harfler kullanılır. •  Rassal değişkenin alacağı değerler x, y, z gibi küçük harflerle gösterilir. Örnek •  Bir futbol takımının yapacağı bir maçta atacağı gol sayısı •  Bir para ile yapılan 10 aOşta gelecek yazı sayısı •  Bir beyaz eşya mağazasında herhangi bir günde saOlan buzdolabı sayısı •  Bir şeker fabrikasında herhangi bir günde üreClen şeker miktarı •  Bir dolmuşun üniversite kampüsüne geliş süresi Rassal Değişken Çeşitleri •  Süreksiz (discrete) rassal değişken •  Sürekli (conCnuous) rassal değişken Süreksiz (discrete) rassal değişken •  Aldığı değerler tam sayılarla ifade edilebilen değişkenlerdir. •  Örnek: •  Herhangi bir ailedeki çocuk sayısı, •  Herhangi bir işletmede çalışan işçi sayısı, •  İşletmede üreClen parça sayısı. Sürekli (continuous) rassal değişken •  Aldığı değerler tam sayılarla / tam değerlerle ifade edilmeyip bir değerler aralığı şeklinde ifade edilir. •  Sürekli rassal değişkenin belli bir değeri tam olarak alması imkansızdır, yani P(X=c) = 0. Bu sebeple sürekli rassal değişkene ait değerler bir aralıkla ifade edilirler. •  Örnek: • Herhangi bir kişinin ağırlığı, • Bir aracın belli bir andaki hızı, • Bir aracın belli bir gündeki tükeWği yakıt miktarı. Olasılık Dağılımları •  Bir deney için olabilecek tüm sonuçlar ile bunların gerçekleşme olasılıklarını bir arada gösteren 'diyagramlara' olasılık dağılımları denir. •  Her rassal değişkenin kendine özgü bir olasılık dağılımı vardır. Sürekli (continuous) Olasılık Dağılımı •  Sürekli bir rassal değişken (a,b) aralığındaki her değeri alabiliyorsa bu değişkene ait olasılık dağılım fonksiyonunun grafiğinde eğri alOnda kalan alan bize bu x değişkeninin olasılığını verir. Eğri alOnda kalan alandan bahseWğimiz için x değişkeninin olasılığı f(x) integral yardımıyla bulunur. 1) f(x) ≥ 0 olmalıdır. ∞
2) ∫ f ( x ) dx
= 1 olmalıdır. −∞
P(x) integral yardımıyla bulunur.
f(x): x değişkeni için olasılık dağılım fonksiyonu(f(x)≥ 0)
(a,b): x 'in değişkenlik aralığı olmak üzere
Ayrıca olasılık daima max. 1 değeri alabileceği için ;
•  Sürekli bir rassal değişkenin tanım aralığındaki herhangi bir Prof.Dr.A.KARACABEY
değeri tam olarak alma olasılığı sı\rdır. Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
•  P(a≤ X ≤b) = P(a<X<b) = P(a ≤ X<b) = P(a<X ≤ b) b
P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b) = ∫ f ( x)dx
a
Kümülatif dağılım fonksiyonu •  Olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) ile kümülatif dağılım
fonksiyonu F(x) arasındaki ilişki: x
F ( x) = P (u < x) =
∫ f (u )du
−∞
dF ( x)
f ( x) =
dx
b
P(a < X < b) = ∫ f ( x)dx = F (b) − F (a)
with pdf f (x) and cdf
a F (x). Then for any number a,
P(X > a) = 1
a and b with a < b,
F (a)
Örnek ⎧ kx 3
⎪
f ( x) = ⎨ 5
⎪0
⎩
0≤ x≤5
diger
a)  Yukarıdaki fonksiyonun olasılık fonksiyonu olabilmesi
için k ne olmalıdır?
b)  Kümülatif dağılım fonksiyonunu bulunuz. c)  P(X>3) olasılığını bulunuz.
d)  P(2<X<4) olasılığını hesaplayınız.
e)  Medyanı bulunuz.
Beklenen değer ve özellikleri E(X) =
∫
∞
−∞
x ⋅ f (x)dx
E[g(x)]
1.  c bir sabit sayı ise c’nin beklenen değeri E(c) = ... 2.  c bir sabit, X rassal değişken ise E(cX) = …. E[c(g(x)] = …. 3.  a ve b sabit sayılar ise, E(aX+b) = … Beklenen değerin özellikleri 4.  X ve Y iki rassal değişken ise; E(X + Y) = .... Teoremi genelleşCrirsek: X1,X2,…,XN ortalamaları E(X1),E(X2),…,E(XN) olan rasgele değişkenler olsunlar. E(X1+X2+…..+XN) = .... 5.  u(x) ve v(x) X rassal değişkeninin iki olasılık fonksiyonu, a ve b sabit sayılar ise; E[ a·∙u(x) + b·∙v(x)] = … 6.  X ve Y bağımsız kesikli veya sürekli iki rassal değişken ise; E(X·∙Y) = .... Örnek ⎧2(1 − x)
f ( x) = ⎨
⎩0
a)  E(X)
b)  E(X2) bulunuz. 0 ≤ x ≤1
diger haller
Varyans ve özellikleri V (X) =
∫
∞
−∞
(x − E(x))⋅ f (x)dx
1.  X varyansı Var(X) olan rassal bir değişken ve c gerçek bir sabit ise •  Var(c) = •  Var(X+c) = 2.  X varyansı Var(x) olan rassal değişken, c gerçek bir sabit ise •  Var(cX) = 3.  X varyansı Var(X) olan rassal bir değişken a ve b gerçek sabitler ise; •  Var(aX+b) = Varyansın özellikleri 4.  X ve Y değişkenleri bağımsız iki rassal değişken olsunlar. Bu iki değişkenin toplamının varyansı •  Var(X+Y) = N tane bağımsız değişken için de şöyle yazabiliriz. •  Var(X1+ X2 + X3 +……+ XN) = Örnek ⎧2(1 − x)
f ( x) = ⎨
⎩0
a)  σ2’yi bulunuz. 0 ≤ x ≤1
diger haller
Momentler •  Sı\ra göre: M r = E[ X r ] = ∫ x r f ( x)dx
•  r = 0, 1, ve 2. •  AritmeCk ortalamaya göre: µ r = E[(X − M1 )r ] =
•  r = 0, 1, ve 2. r
(x
−
M
)
f (x)dx
∫
1
Çarpıklık ve Basıklık •  Çarpıklık: µ3
α3 = 3
σ
•  Basıklık: µ4
α4 = 4
σ
Örnek ⎧ 4
3
⎪ (1 − x )
f ( x) = ⎨ 3
⎪⎩0
0 ≤ x ≤1
diger
a) Beklenen değeri, b) Varyans ve standart sapmayı, c) Sı\ra göre momentleri, d) µ3 bulunuz. Sürekli Olasılık Dağılım Modelleri •  Tek düze (düzgün, uniform) olasılık dağılımı •  Normal olasılık dağılımı •  Standart olasılık dağılımı UNIFORM OLASILIK DAĞILIMI •  X rassal değişkeninin tanım aralığı (a,b) olsun. •  a=X'in alabileceği min. değer ve b= X'in alabileceği max. değer •  (a,b) aralığı ile X'in olasılığı oranOlı ise bu değişken uniform dağılıma sahipCr. •  f(x) = 1/(b-­‐a), a≤x≤b •  E(x) = (a+b)/2 •  V(x) = (b-­‐a)2 / 12 •  F(x) = Örnek •  X rastgele değişkenimiz 2 ile 5 arasında uniform dağılımlı olsun. Bu değişkenin •  olasılık dağılım fonksiyonunu, •  kümülaCf dağılım fonksiyonunu, •  beklenen değerini ve varyansını bulunuz. Örnek •  X ince bir bakir teldeki miliamper akimini gösteren sürekli değişkendir ve [0,20] arasında değerler almaktadır. X’in olasılık dağılım fonksiyonu f(x) = 0.05, 0≤x≤20 olarak yazılmaktadır. •  Ölçülen akımın 5 ile 10 miliamper aralığında olma olasılığı nedir?