ankara üniversitesi fen bilimleri enstitüsü yüksek lisans tezi

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATÖRÜNÜN BAZI ÖZELLİKLERİ
Dilek SÖYLEMEZ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2009
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATÖRÜNÜN BAZI ÖZELLI·KLERI·
Dilek SÖYLEMEZ
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬
Dan¬şman: Doç.Dr. Gülen TUNCA
Bu tez dört bölümden oluşmaktad¬r.
I·lk bölüm giriş k¬sm¬na ayr¬lm¬şt¬r.
I·kinci bölümde, tez içinde kullan¬lacak temel kavramlar verilmiştir.
Üçüncü bölümde, Önce CB [0; 1) uzay¬n¬n bir alt uzay¬ olan H! uzay¬ tan¬mlan¬p
Bleimann, Butzer ve Hahn operatör dizisinin H! uzay¬ndaki fonksiyonlar için [0; 1)
aral¬g¼¬nda düzgün yak¬nsakl¬g¼¬incelenmiştir. Daha sonra bu operatörün n ye göre
monotonlu¼
gu bölünmüş farklar yard¬m¬yla verilmiştir.
Dördüncü bölümde, q- tamsay¬s¬na dayal¬Bleimann, Butzer ve Hahn operatorlerinin
tan¬m¬ verilip bu operatör dizisinin düzgün yak¬nsakl¬g¼¬ incelenmiştir, ayr¬ca yaklaş¬m h¬z¬; önce fonksiyonun süreklilik modülü ile, ard¬ndan, Lipschitz tipli maksimal
fonksiyonlar uzay¬ndaki fonksiyonlar için hesaplanm¬şt¬r. Son olarak operatörün n
ye göre monotonlu¼
gu verilmiştir.
Temmuz 2009, 55 sayfa
Anahtar Kelimeler : Lineer pozitif operatör, Bleimann Butzer ve Hahn operatörü, Süreklilik modülü, Bölünmüş farklar, Korovkin teoremi.
i
ABSTRACT
Master Thesis
SOME PROPERTIES OF THE BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATOR
Dilek SÖYLEMEZ
Ankara University
Graduate School of Natural And Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Asst. Prof. Dr. Gülen TUNCA
This thesis consists of four chapters.
The …rst chapter is devoted to the introduction.
The second chapter, basic consepts which will be used in further chapters are given.
In the third chapter, previously, H! space which is a subspace of CB [0; 1) has
been de…ned, later, uniform convergency of the sequence of Bleimann, Butzer and
Hahn operators on [0; 1) for those functions belonging to H! space is investigated.
Moreover monotonicity of BBH operator has been obtained with the help of divided
di¤erences.
In the last chapter, the de…nition of Bleimann, Butzer ve Hahn operator based on
q-integer has been given, moreover uniform convergency of the sequence of these
operators has been examined, moreover, the rate of convergence has been calculated
…rstly, by means of modulus of continuity of the function and subsequently, for the
functions in the space of Lipschitz type maximal functions. Finally monotonicity of
the operator with respect to n has been given.
July 2009, 55 pages
Key Words: Linear positive operator, Bleimann Butzer and Hahn operator, Modulus of continuity, Divided di¤erences, Korovkin’s theorem.
ii
TEŞEKKÜR
Bu çal¬şma konusunu bana veren ve araşt¬rmalar¬m¬n her aşamas¬nda en yak¬n ilgi
ve önerileriyle beni yönlendiren dan¬şman hocam, Say¬n Doç. Dr. Gülen TUNCA
(Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’ya en içten sayg¬ve minnetlerimi sunar¬m. Çal¬şmalar¬m esnas¬nda ö¼
grendi¼
gim bilgiler tüm kariyerim boyunca bana ¬ş¬k tutacakt¬r.
Haftal¬k çal¬şmalar¬m¬zda bulunan ve bilgilerinden faydaland¬g¼¬m hocalar¬m Say¬n
Yrd. Doç. Dr. H. Gül I·LARSLAN(Gazi Üniversitesi Fen Fakültesi)’a ve Say¬n Doç.
Dr. Fatma YEŞI·LDAL(Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’a ve bana her zaman
destek olan aileme en içten teşekkürlerimi sunar¬m.
Bu tez çal¬şmas¬"TÜBI·TAK-2210 Yüksek Lisans Burs Program¬" taraf¬ndan desteklenmiştir. TÜBI·TAK’na en içten teşekkürlerimi sunar¬m.
Dilek SÖYLEMEZ
Ankara, Temmuz 2009.
iii
I·ÇI·NDEKI·LER
ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii
TEŞEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
SI·MGELER DI·ZI·NI· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
1. GI·RI·Ş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2. TEMEL KAVRAMLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.1 Lineer Pozitif Operatör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2 Korovkin Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3 Lipschitz S¬n¬f¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.4 Süreklilik Modülü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.5 Bölünmüş Farklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3. BLEIMANN, BUTZER VE HAHN OPERATÖRLERI·
14
3.1 BBH Operatörlerinin Tan¬m¬
14
3.2 H! Uzay¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.3 BBH Operatör Dizisinin Düzgün Yak¬nsakl¬g
¼¬ . . . . . . .
15
3.4 BBH Operatörlerinin Monotonluk Özelli¼
gi . . . . . . . . . . .
27
4. q-TAMSAYISINA DAYALI BLEIMANN, BUTZER
VE HAHN OPERATÖRLERI· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.1 q-BBH Operatörleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.2 q-BBH Operatör Dizisinin Düzgün Yak¬nsakl¬g
¼¬ . . . . . .
37
4.3 Süreklilik Modülü Fonksiyonu ile Yaklas¬m H¬z¬ . . . . .
40
4.4 Lipschitz Tipli Maksimal Fonksiyonlar Uzay¬nda . . . . .
Yaklaş¬m H¬z¬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4.5 q- BBH Operatörlerinin Monotonluk Özelli¼
gi . . . . . . . .
47
KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
ÖZGEÇMI·Ş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
iv
SI·MGELER DI·ZI·NI·
C [a; b]
[a; b] aral¬g¼¬ndaki sürekli, reel de¼
gerli fonksiyonlar¬n uzay¬.
CB [0; 1)
[0; 1) aral¬g¼¬ndaki s¬n¬rl¬, sürekli reel de¼
gerli fonksiyonlar¬n uzay¬.
!(f ; )
f fonksiyonunun süreklilik modülü.
N
do¼
gal say¬lar kümesi
R
reel say¬lar kümesi
Ln (f ; x)
n yinci BBH operatörü
Ln;q (f ; x)
n yinci q
d (x; E)
x noktas¬n¬n E kümesine uzakl¬g¼¬
L (f ; x)
L operatörünün f fonksiyonuna uygulanmas¬.
LipM ( )
Lipschitz s¬n¬f¬.
[x0 ; x1 ;:::; xn ; f ]
f fonksiyonun x0 ; x1 ;:::; xp noktalar¬ndaki
BBH operatörü
n-yinci bölünmüş fark¬.
v
1. GI·RI·Ş
Bleimann, Butzer ve Hahn (1980), [0; 1) aral¬g¼¬nda tan¬ml¬, reel de¼
gerli fonksiyonlar
için lineer pozitif Ln operatörlerini
n
X
1
Ln (f ; x) =
f
(1 + x)n k=0
n
k
k+1
n k
x ; n 2 N , x 2 [0; 1)
k
şeklinde tan¬mlam¬şlard¬r. Bu operatörün [0; 1) aral¬g¼¬nda düzgün yak¬nsakl¬g¼¬n¬,
CB [0; 1) uzay¬n¬n bir alt s¬n¬f¬ndaki fonksiyonlar için Gadjiev ve Çakar (1999) elde
etmişlerdir.
Bir çok lineer pozitif operatör dizisinin, konveks fonksiyonlar için monoton azalarak
yak¬nsak oldu¼
gu bilinmektedir.
(Bu do¼
grultuda, tek ve çok de¼
gişkenli operatörler
için, örne¼
gin Cheney ve Sharma (1964) ve Cao, Ding ve Xu (2005) nun çal¬şmalar¬na
bak¬labilir).
Bleimann, Butzer ve Hahn (BBH) operatörlerinin s¬n¬rl¬ ve konveks
fonksiyon için n ye göre monotonlu¼
gunu Della Vecciha (1991) incelemiştir.
Son zamanlarda Philips (1997), Bernstein polinomlar¬n¬n q-tamsay¬lara dayal¬genelleştirmesini inşa etmiş ve bu operatörler için, yaklaş¬m teorisinin baz¬klasik problemlerini incelemiştir. Aral ve Do¼
gru (2007) Bleimann, Butzer ve Hahn operatörlerinin
q-genelleştirmesini tan¬mlam¬şlar (q-BBH) ve Gadjiev ve Çakar’¬n (1999) çal¬şmas¬n¬
bu operatörlere genişletmişlerdir. q-BBH operatörlerinin n ye göre monotonlu¼
gunu
Do¼
gru ve Gupta (2005) göstermişlerdir.
Bu tezde, BBH ve q-BBH operatör dizilerinin yukar¬da bahsetti¼
gimiz; düzgün yak¬nsama, monotonluk gibi özelliklerini inceleyece¼
giz. Yukar¬daki çal¬şmalara ek olarak,
Bleimann, Butzer ve Hahn operatörleri ile ilgili aşa¼
g¬daki önemli çal¬şmalar¬kaynak
olarak verebiliriz. Adell, De la Cal ve San Miguel(1994), Khan (1988), Abel, Ivan
(1999)
1
2. TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde öncelikle lineer pozitif operatörler tan¬t¬lacak ve sa¼
glad¬g¼¬temel özellikler incelenecektir. Ayr¬ca daha sonraki bölümlerde kullan¬lacak olan baz¬tan¬mlar
verilip, Korovkin teoremi ifade ve ispat edilecektir.
2.1 Lineer Pozitif Operatör
Tan¬m 2.1.1. X ve Y lineer fonksiyon uzaylar¬olmak üzere
L:X!Y
şeklindeki L operatörü e¼
ger, her f; g 2 X ve her ;
2 R için
L ( f + g) = L (f ) + L (g)
eşitli¼
gini sa¼
gl¬yorsa L ye lineer operatör denir.
Şimdi, I reel eksenin bir aral¬g¼¬n¬ göstersin. I da tan¬ml¬, reel de¼
gerli tüm fonksiyonlar¬n uzay¬n¬F (I) ile gösterelim. X, F (I) nin lineer bir alt uzay¬olmak üzere
L : X ! F (I)
lineer operatörünü f 2 X, x 2 I için
L (f ; x) = (L (f )) (x)
olarak yazaca¼
g¬z ve L için aşa¼
g¬daki tan¬m¬ ve ard¬ndan L nin temel özelliklerini
gösteren iki temel lemmay¬verece¼
giz.
Tan¬m 2.1.2. Her f 2 X için
f
0 iken L (f )
oluyorsa L ye pozitif operatör denir.
2
0
L, ayn¬zamanda lineerlik şart¬n¬da sa¼
gl¬yorsa L ye lineer pozitif operatör denir.
Lemma 2.1.1. L Lineer pozitif operatörü, f; g 2 X için
f
g iken L (f )
L (g)
eşitsizli¼
gini gerçekler.
I·spat: f; g 2 X için
f
g
oldu¼
gunu kabul edelim. Bu durumda
g
f
0
olaca¼
g¬ndan ve L operatörü pozitif oldu¼
gundan
L (g
f)
(2.1.1)
0
yaz¬labilir. Di¼
ger taraftan L operatörü lineer oldu¼
gundan
L (g
f ) = L (g)
L (f )
olup bunun (2:1:1) de kullan¬lmas¬yla ispat tamamlan¬r.
Lemma 2.1.2. L lineer pozitif operatörü; f; jf j 2 X için
jL (f )j
L (jf j)
eşitsizli¼
gini gerçekler.
I·spat: Herhangi bir f fonksiyonu için
jf j
f
3
jf j
(2.1.2)
gerçeklenir. Lemma 2.1.1 ve (2:1:2) den
L ( jf j)
L (f )
L (jf j)
(2.1.3)
yaz¬labilir. L lineer oldu¼
gundan
L ( jf j) =
L (jf j)
gerçeklenir. Son eşitli¼
gin (2:1:3) de kullan¬lmas¬yla
L (jf j)
L (f )
L (jf j)
elde edilir, böylece
jL (f )j
L (jf j)
oldu¼
gundan ispat tamamlan¬r.
Çal¬şma boyunca, C [0; 1) ve CB [0; 1), s¬ras¬ile
C [0; 1) = ff : [0; 1) ! R, süreklig
ve
CB [0; 1) = ff 2 C [0; 1) : f s¬n¬rl¬g
uzaylar¬n¬gösterecektir. CB deki norm,
kf kCB = sup jf (x)j
x 0
ile verilebilir.
Teorem 2.1.1.
C [a; b] uzay¬n¬n elemanlar¬ndan oluşan bir ffn g1
n=1 dizisinin ayn¬
uzay¬n bir f eleman¬na C [a; b] uzay¬nda yak¬nsamas¬için gerek ve yeter koşul ffn g
dizisinin f ye [a; b] aral¬g¼¬nda düzgün yak¬nsamas¬d¬r.
4
Şimdi, bir yo¼
gunluk teoremi olan aşa¼
g¬daki teoremi verelim.
2.2 Korovkin Teoremi
fLn g1
n=1 , C [a; b] den C [a; b] ye giden lineer pozitif operatörlerin bir dizisi olmak
üzere, i = 0; 1; 2 için
lim Ln ti ; x = xi
(2.2.1)
n!1
yak¬nsamas¬[a; b] de düzgün olsun. Bu durumda her f 2 C [a; b] için
lim Ln (f ; x) = f (x)
n!1
yak¬nsamas¬[a; b] aral¬g¼¬nda düzgündür.
I·spat: f [a; b] de sürekli oldu¼
gundan düzgün sürekli ve s¬n¬rl¬d¬r. Bu durumda her
pozitif
say¬s¬na karş¬l¬k
jt
xj
iken
jf (t)
f (x)j <
olacak şekilde bir ( ) say¬s¬vard¬r.
jt
xj >
oldu¼
gunda ise f s¬n¬rl¬ oldu¼
gundan ve üçgen eşitsizli¼
ginden, M pozitif sabit olmak
üzere,
jf (t)
jf (t)j + jf (x)j
f (x)j
yaz¬labilir. Di¼
ger taraftan e¼
ger,
jt
xj >
jt
xj
ise
5
>1
2M
(2.2.2)
olaca¼
g¬ndan
(t
x)2
2
(2.2.3)
>1
sa¼
glan¬r. (2:2:2) ve (2:2:3) den
jf (t)
f (x)j
2M
x)2
(t
2
yaz¬labilir. Bu durumda
jt
xj
için jf (t)
f (x)j <
jt
xj >
için jf (t)
f (x)j
2M
(t
x)2
2
elde edilir. Dolay¬s¬yla her t 2 R ve her x 2 [a; b] için
jf (t)
f (x)j
+ 2M
(t
x)2
2
gerçeklenir. E¼
ger, (2:2:1) koşullar¬n¬sa¼
glayan fLn g1
n=1 operatör dizisinin
lim kLn (f )
f kC[a;b] = 0
n!1
limitini sa¼
glad¬g¼¬gösterilirse Teorem 2.1.1 den ispat tamamlan¬r.
6
(2.2.4)
Lemma 2.1.1 den ve üçgen eşitsizli¼
ginden
jLn (f (t) ; x)
f (x)j = jLn (f (t) ; x)
f (x) + Ln (f (x) ; x) + Ln (f (x) ; x)j
= jLn (f (t) ; x)
= jLn ((f (t)
jLn ((f (t)
Ln (jf (t)
Ln (f (x) ; x) + Ln (f (x) ; x)
f (x)) ; x) + f (x) (Ln (1; x)
1)j
f (x)) ; x)j + jf (x)j j(Ln (1; x)
f (x)j ; x) + jf (x)j j(Ln (1; x)
f (x)j
1)j
1)j
bulunur. (2:2:4) den ve f s¬n¬rl¬oldu¼
gundan yukar¬daki eşitsizlikten
jLn (f (t) ; x)
f (x)j
Ln
+ 2M
(t
x)2
2
elde edilir.
7
;x
!
+ M j(Ln (1; x)
1)j
(2.2.5)
Di¼
ger taraftan
Ln
+ 2M
(t
2
x)
2
;x
!
= Ln ( ; x) + Ln 2M
=
Ln (1; x) +
=
Ln (1; x)
+
2M
2
2M
2
2
(t
x)
2
Ln t2
[Ln t2 ; x
;x
!
2xt + x2 ; x
x2
x2 + 2x2
2xLn (t; x)
+x2 Ln (1; x)]
=
Ln (1; x) +
2M
+x2 (Ln (1; x)
2
[ Ln t2 ; x
x2 + 2x (Ln (t; x)
x)
1)]
yaz¬labilir. Son bulunan ifadenin (2:2:5) de kullan¬lmas¬yla
jLn (f (t) ; x)
f (x)j
Ln (1; x)
+
2M
2
[ Ln t2 ; x
+x2 (Ln (1; x)
+M j(Ln (1; x)
x2 + 2x (Ln (t; x)
1)]
1)j
elde edilir. (2:2:1) koşullar¬n¬n (2:2:6) da kullan¬lmas¬yla
jLn (f (t) ; x)
8
x)
f (x)j <
(2.2.6)
bulunur. Böylece
lim max jLn (f (t) ; x)
n!1 a x b
f (x)j = 0
gerçeklenir. Bu da ispat¬tamamlar.
2.3 Lipschitz S¬n¬f¬
Tan¬m 2.3.1. f , A
R kümesinde tan¬ml¬, sürekli ve reel de¼
gerli bir fonksiyon
olsun. E¼
ger, her x; y 2 A için
2 (0; 1] olmak üzere
jf (x)
f (y)j
M jx
yj
eşitsizli¼
gi sa¼
glanacak şekilde bir M > 0 say¬s¬ varsa f ye
Lipschitz sürekli fonksiyon denir.
y¬nc¬ basamaktan
y¬nc¬ basamaktan Lipschitz sürekli fonksiyon-
lar¬n s¬n¬f¬LipM ( ) ile gösterilir (Cao, Ding and Xu 2005).
2.4 Süreklilik Modülü
Tan¬m.2.4.1. f 2 C [a; b] olsun, her
> 0 için
! (f ; ) = sup jf (t)
f (x)j
x;t2[a;b]
jt xj
ile tan¬mlanan ! fonksiyonuna f fonksiyonunun süreklilik modülü denir.
f fonksiyonunun süreklilik modülü aşa¼
g¬daki özellikleri sa¼
glar:
i. ! (f ; )
ii.
1
2
0
ise ! (f ;
1)
! (f ;
iii. m 2 N için ! (f ; m )
iv.
v.
2 R+ için ! (f ;
)
2)
yani; ! (f ; )
m! (f ; )
( + 1) ! (f ; )
lim+ ! (f ; ) = 0
!0
vi. jf (t)
vii. jf (t)
f (x)j
f (x)j
! (f ; jt xj)
jt xj
+ 1 ! (f ; )
I·spat:
9
ya göre azalmayand¬r.
i. f nin süreklilik modülü, tan¬m¬gere¼
gince bir mutlak de¼
gerin supremumu oldu¼
gundan ispat aç¬kt¬r.
ii.
1
2
için jt
xj
2
bölgesinin jt
xj
1
bölgesinden daha büyük oldu¼
gu
aç¬kt¬r. Bölge büyüdükçe al¬nan supremum büyüyece¼
ginden ispat tamamlan¬r.
iii. Süreklilik modülünün tan¬m¬ndan dolay¬
! (f ; m ) = sup jf (t)
f (x)j
x;t2[a;b]
jt xj m
yaz¬labilir.
jt
xj
m
t
m
ise
x
olup t = x + mh seçimiyle jhj
x+m
ve
! (f ; m ) = sup jf (x + mh)
f (x)j
x2[a;b]
jhj
şeklinde yaz¬labilir. Di¼
ger taraftan
sup jf (x + mh)
f (x)j = sup
x2[a;b]
m
X1
[f (x + (k + 1) h)
f (x + kh)]
x2[a;b] k=0
jhj
jhj
olup sa¼
g tarafa üçgen eşitsizli¼
gi uygulan¬rsa
sup jf (x + mh)
x2[a;b]
jhj
f (x)j
m
X1
sup jf (x + (k + 1) h)
k=0 x2[a;b]
jhj
! (f ; ) + ::: + ! (f ; )
m! (f ; )
10
f (x + kh)j
elde edilir.
iv.
2 R+ say¬s¬n¬n tam k¬sm¬n¬[j j] ile gösterilirse bu durumda
[j j] <
< [j j] + 1
eşitsizliklerinin geçerli oldu¼
gu aç¬kt¬r. Şimdi bu eşitsizliklerden ve (ii) den
! (f ;
eşitsizli¼
gi yaz¬labilir.
! (f ; ([j j] + 1) )
)
[j j] pozitif bir tamsay¬ oldu¼
gundan üstteki eşitsizli¼
gin sa¼
g
taraf¬na (iii) özelli¼
gini uygulayabiliriz. Bu durumda
! (f ; ([j j] + 1) )
eşitsizli¼
gi elde edilir. Ayr¬ca her
([j j] + 1) ! (f ; )
2 R+ için
[j j] + 1 <
+1
oldu¼
gundan
! (f ; ([j j] + 1) )
( + 1) ! (f ; )
bulunur ve sonuç olarak
! (f ;
)
( + 1) ! (f ; )
yaz¬labilir ki bu da ispat¬tamamlar.
v. jt
xj
eşitsizli¼
gindeki n¬n s¬f¬ra yaklaşmas¬t ! x olmas¬anlam¬na gelir. f
fonksiyonu sürekli oldu¼
gundan süreklilik tan¬m¬na göre t ! x için jf (t)
oldu¼
gundan ispat aç¬kt¬r.
vi. ! (f ; ) ifadesinde
= jt
! (f ; jt
xj seçilirse
xj) = sup jf (t)
x2[a;b]
11
f (x)j
f (x)j ! 0
elde edilir. O halde jf (t)
f (x)j lerin supremumu ! (f ; jt
xj) olaca¼
g¬ndan ispat
aç¬kt¬r.
vii. (vi) den
jf (t)
f (x)j
! f;
jt
xj
yaz¬labilir. (iv) den
jf (t)
jt
f (x)j
xj
+ 1 ! (f ; )
bulunur böylece ispat tamamlan¬r.
Tan¬m 2.4.2. !, [0; 1) aral¬g¼¬nda tan¬ml¬, sürekli, negatif olmayan reel de¼
gerli bir
fonksiyon olsun. E¼
ger !,
a) azalmayan, yani her
1
b) alt toplamsal, yani ! (
2
1
+
iken ! ( 1 )
2)
! ( 2) ;
! ( 1 ) + ! ( 2 ),
c) lim+ ! ( ) = 0
!0
ise ! ya süreklilik modülü fonksiyonu denir.
2.5 Bölünmüş Farklar
Tan¬m 2.5.1.
f sonlu bir [a; b] kapal¬ aral¬g¼¬nda tan¬mlanm¬ş bir fonksiyon,
x0; x1; x2 ; :::; xn ler de x0< x1 < x2 ::: < xn olacak şekilde bu aral¬g¼¬n key… noktalar¬
olsunlar.
f (x0 ) = [x0 ; f ] ;
de¼
gerine f fonksiyonunun s¬f¬r¬nc¬bölünmüş fark¬ denir. Ayr¬ca
[x0 ; x1 ; f ] =
f (x1 )
x1
f (x0 )
x0
ifadesine f fonksiyonunun birinci bölünmüş fark¬ denir. Benzer olarak
[x0 ; x1 ; x2 ; f ] =
[x0 ; x1 ; f ]
x0
12
[x1 ; x2 ; f ]
x2
ifadesine f fonksiyonunun ikinci bölünmüş fark¬, bu şekilde devam edilirse
[x0 ; x1 ; ...,xn ; f ] =
[x0 ; x1,..., xn 1 ; f ]
x0
[x1 ; x2 ; ...,xn ; f ]
xn
ifadesine f fonksiyonunun n yinci bölünmüş fark¬ denir (Lorentz 1953) :
Tan¬m 2.5.2. f [0; 1) aral¬g¼¬nda sürekli bir fonksiyon olsun herhangi
x1 ; :::; xn 2 [0; 1) ve negatif olmayan
1
olmak üzere
f
n
X
i=1
1;...,
+ ::: +
i xi
!
n
say¬lar¬için
n
=1
n
X
if
i=1
şart¬sa¼
glan¬yorsa f ye [0; 1) da konvekstir denir.
13
(xi )
3. BLEIMANN BUTZER VE HAHN OPERATÖRLERI·
Bu bölümde öncelikle BBH operatörlerinin tan¬m¬verilecek ve CB [0; 1) un bir alt
uzay¬olan H! uzay¬tan¬t¬lacakt¬r. Daha sonra pozitif yar¬m eksende lineer pozitif
operatör dizileri için Korovkin tipli bir teorem verilip, ard¬ndan Bleimann, Butzer
ve Hahn (BBH) operatör dizisinin düzgün yak¬nsakl¬g¼¬, bu teoreme göre incelenecektir. Son olarak bölünmüş farklar kullan¬larak operatör dizisinin monotonluk özelli¼
gi
incelenecektir.
3.1 BBH Operatörlerinin Tan¬m¬
1980 y¬l¬nda Bleimann, Butzer ve Hahn, [0; 1) aral¬g¼¬nda tan¬ml¬, reel de¼
gerli her
hangi bir fonksiyon için
Ln (f ; x) =
n
X
1
f
(1 + x)n k=0
n
k
k+1
n k
x ; n 2 N , x 2 [0; 1)
k
(3.1.1)
şeklindeki lineer, pozitif Ln operatörlerini tan¬mlam¬şlard¬r. f 2 C [0; 1) için n ! 1
iken Ln (f ; x) in f (x) e, [0; 1) aral¬g¼¬nda noktasal, [0; 1) aral¬g¼¬n¬n her kompakt alt
aral¬g¼¬nda düzgün yak¬nsad¬g¼¬n¬ispat etmişlerdir (Bleimann, Butzer ve Hahn 1980).
Çal¬şma boyunca, Ln ; n 2 N; ile gösterilen operatör ile (3:1:1) de tan¬mlanan
Bleimann, Butzer ve Hahn operatörü anlaş¬lacakt¬r
3.2 H! Uzay¬
!; süreklilik modülü fonksiyonu olsun. Her x; y 2 [0; 1) için
jf (x)
f (y)j
!
x
1+x
y
1+y
(3.2.1)
şart¬n¬sa¼
glayan f fonksiyonlar¬n¬n s¬n¬f¬n¬H! ile gösterelim. Tan¬m 2.4.2 den, H!
uzay¬ndaki her fonksiyon [0; 1) aral¬g¼¬üzerinde süreklidir, ayr¬ca her x
jf (x)j
jf (0)j + ! (1)
0 için
(3.2.2)
eşitsizli¼
gini sa¼
glar. Dolay¬s¬ile her f 2 H! fonksiyonu [0; 1) aral¬g¼¬üzerinde s¬n¬rl¬d¬r.
14
Böylece
CB [0; 1)
H!
kapsamas¬gerçeklenir.
H! uzay¬ndan olan fonksiyonlara örnek olarak aşa¼
g¬daki f1 fonksiyonunu verebiliriz:
! (t) = t iken
f1 (x) =
! (t) = M t ; 0 <
1 + 2x
:
1+x
1 olmas¬ durumunda H! uzay¬n¬ H ile gösterece¼
giz. Bu
durumda
jf (x)
f (y)j
!
= M
= M
x
1+x
x
1+x
y
1+y
y
1+y
jx yj
(1 + x) (1 + y)
oldu¼
gundan
H
LipM ( )
gerçeklenir (Gadjiev and Çakar 1999).
3.3 BBH Operatör Dizisinin Düzgün Yak¬nsakl¬g
¼¬
Bu k¬s¬mda BBH operatör dizisinin, CB [0; 1) uzay¬n¬n baz¬ alt s¬n¬‡ar¬ndan olan
fonksiyonlar için [0; 1) aral¬g¼¬nda düzgün yak¬nsakl¬g¼¬, Gadjiev ve Çakar taraf¬ndan
ispatlanan aşa¼
g¬daki Korovkin tipli teorem ile incelenecektir.
Teorem 3.3.1. fAn g1
n=1 ; H! dan CB [0; 1) uzay¬na giden lineer pozitif operatörv
x
lerin bir dizisi olsun. E¼
ger v = 0; 1; 2 için, ev (x) =
olmak üzere
1+x
lim kAn (ev )
n!1
15
ev kCB = 0
(3.3.1)
koşullar¬sa¼
glan¬rsa, her f 2 H! için
lim kAn (f )
n!1
f kC B = 0
(3.3.2)
gerçeklenir (Gadjiev and Çakar 1999).
I·spat: f 2 H! olsun. Bu durumda (3:2:1) den her > 0 için
t
1+t
olacak şekilde bir
x
<
1+x
iken jf (t)
(3.3.3)
f (x)j <
> 0 say¬s¬vard¬r. Çünkü;
t
1+t
x
<
1+x
iken (3:2:1) ve Tan¬m 2.4.2 nin (a) ş¬kk¬ndan
jf (t)
f (x)j
t
1+t
!
x
1+x
< !( )
gerçeklenir ve Tan¬m 2.4.2 nin (c) ş¬kk¬ndan
jf (t)
f (x)j <
olur. Ayn¬zamanda f s¬n¬rl¬oldu¼
gundan
t
1+t
x
1+x
iken jf (t)
f (x)j <
2M
2
t x
(1 + t) (1 + x)
2
(3.3.4)
olacak şekilde pozitif bir M sabiti vard¬r. Gerçekten, e¼
ger,
t
1+t
x
1+x
ise
t x
(1 + t) (1 + x)
t x
(1 + t) (1 + x)
2
16
1 olaca¼
g¬ndan;
2
1
(3.3.5)
sa¼
glan¬r, ayr¬ca f s¬n¬rl¬oldu¼
gundan;
jf (t)
jf (t)j + jf (x)j
f (x)j
(3.3.6)
2M
eşitsizli¼
gi vard¬r. Böylece (3:3:5) ve (3:3:6) dan
jf (t)
f (x)j <
2M
t x
(1 + t) (1 + x)
2
2
oldu¼
gundan eşitsizlik vard¬r. Bu durumda her t; x 2 [0; 1) için (3:3:3) ve (3:3:4) den
jf (t)
f (x)j < +
t x
(1 + t) (1 + x)
2M
2
yaz¬labilir. Şimdi (3:3:1) şartlar¬ndan; n ! 1 iken
n
kAn (1)
1kCB <
kAn (e1 )
e1 kCB <
n
kAn (e2 )
e2 kCB <
n
2
(3.3.7)
! 0 olmak üzere
n
(3.3.8)
yazabiliriz. Bu eşitsizlikleri kullanarak, C; n’den ba¼
g¬ms¬z sabit olmak üzere, aşa¼
g¬daki eşitsizli¼
gi elde ederiz.
An
t x
(1 + t) (1 + x)
2
;x
!
(3.3.9)
< C n:
CB
Gerçekten,
An
t x
(1 + t) (1 + x)
2
;x
!
= sup An
x 0
CB
17
t
1+t
x
1+x
2
;x
!
olarak yaz¬labilir. Di¼
ger taraftan Lemma 2.1.2. den
t
1+t
An
2
x
1+x
;x
!
t
1+t
An
x
1+x
+
An
t
1+t
x
;x
1+x
2
t
1+t
= An
şeklinde yaz¬labilir.
x
(3:3:10) da 2
1+x
üçgen eşitsizli¼
ginden,
2
;x
!
2
!
x
An
1+x
t
1+t
;x
2
(3.3.10)
An (1; x)
2
ekleyip ç¬kartal¬m An lineer pozitif operatör oldu¼
gundan ve
2
x
;x
1+x
!
An
2
+
2
t
1+t
x
1+x
x
1+x
;x
!
x
1+x
t
1+t
;x
(An (1; x)
1)
An
2
x
1+x
2
bulunur. (3:3:8) den (3:3:9) eşitsizli¼
ginin sa¼
gland¬g¼¬görülür. O halde
lim kAn (f )
n!1
f kC B = 0
oldu¼
gunu gösterirsek ispat tamamlan¬r. Lemma 2.1.1 ve Lemma 2.1.2 dikkate
al¬narak
18
kAn (f )
f kCB = sup jAn (f (t)
f (x) ; x) + f (x) An (1; x)
f (x)j
x 0
f (x)) ; x)j + jf (x)j j[An (1; x)
sup (jAn ((f (t)
x 0
kAn (jf (t)
f (x)j ; x)kCB + kf kCB kAn (1; x)
= In + Im
bulunur. kf kCB
M oldu¼
gundan ve (3:3:8) den
lim Im = 0
n!1
gerçeklenir.
(3:3:7) eşitsizli¼
gini In de dikkate al¬rsak ve (3:3:9) u kullan¬rsak
In = kAn (jf (t)
<
<
An
+
f (x)j ; x)kCB
2M
t x
(1 + t) (1 + x)
2
kAn (1; x)kCB +
<
kAn (1; x)
=
kAn (1)
<
(1 +
n)
2M
2
1kCB + +
+
2M
2
C
2M
2M
2
n
19
;x
!
CB
t x
(1 + t) (1 + x)
An
1 + 1kCB +
2
2
C
C
n
n
2
;x
!
CB
1]j)
1kCB
bulunur. Böylece
lim In = 0
n!1
gerçeklenir. Bu durumda ispat tamamlan¬r.
Teorem 3.3.1 i kullanarak Bleimann, Butzer ve Hahn operatör dizisinin düzgün yak¬nsakl¬g¼¬n¬ elde edebiliriz, çünkü H!
CB oldu¼
gundan Ln , n 2 N; operatörleri CB
uzay¬ndan CB uzay¬na tan¬ml¬iken ayn¬zamanda H! uzay¬ndan CB uzay¬na tan¬ml¬d¬r.
Şimdi her f 2 H! fonksiyonu için fLn (f ; x)g1
¼¬nda f (x) e
n=1 dizisinin [0; 1) aral¬g
düzgün yak¬nsakl¬g¼¬n¬aşa¼
g¬daki teorem ile verelim.
Teorem 3.3.2. Her f 2 H! için
lim kLn (f )
n!1
f kCB = 0
gerçeklenir (Gadjiev and Çakar 1999).
I·spat: Teorem 3:3:1 i kullanarak (3:3:8) şartlar¬n¬n Ln için sa¼
gland¬g¼¬n¬göstermek
v
x
yeterli olacakt¬r yani; ev (x) =
olmak üzere v = 0; 1; 2 için
1+x
lim kLn (ev )
n!1
ev kCB = 0
oldu¼
gunu göstermeliyiz. (1 + x)n in Binom aç¬l¬m¬ndan
n
X
n k
(1 + x) =
x
k
k=0
n
(3.3.11)
bulunur. Böylece (3:3:11) den
Ln (1; x) = 1
(3.3.12)
olur Dolay¬s¬yla
lim kLn (1)
n!1
1kCB = 0
olur v = 0 için (3:3:8) şart¬sa¼
glanm¬ş oldu. v = 1 için sa¼
gland¬g¼¬n¬göstermek için
20
her x 2 [0; 1) için
x
<1
1+x
(3.3.13)
eşitsizli¼
ginin do¼
gru oldu¼
gunu göz önünde bulundural¬m. Di¼
ger taraftan
Ln
t
1+t
n
X
1
=
(1 + x)n k=0
;x
=
k
n k
n k+1
x
k
k
1+
n k+1
n
X
k
n!
1
xk
n
(1 + x) k=1 n + 1 (n k)!k!
n
X
n
1
(n 1)!
=
xk
n
(1 + x) k=1 n + 1 (n k)! (k 1)!
n
X
n
1
n
=
n
n + 1 (1 + x) k=1 k
1 k
x
1
(3.3.14)
elde edilir. (3:3:14) de k yerine k + 1 yazarsak
Ln
t
1+t
;x
n 1
X
n
1
n 1 k+1
=
x
n
n + 1 (1 + x) k=0
k
n
=
n+1
x
1+x
n
n+1
x
1+x
=
1
(1 + x)n
1
n 1
X
n
k=0
1
k
xk
(3.3.15)
oldu¼
gundan
kLn (e1 )
e1 kCB = sup
x 0
n
n+1
= sup
x 0
x
1+x
x
1+x
x
1+x
1
n+1
bulunur. (3:3:13) den
kLn (e1 )
e1 kCB
21
1
n+1
(3.3.16)
oldu¼
gundan
lim kLn (e1 )
e1 kCB = 0
n!1
gerçeklenir. Son olarak v = 2 durumunu inceleyelim ve k 2 = k (k
1) + k eşitli¼
gini
göz önünde bulundural¬m
Ln
t
1+t
2
;x
!
=
n
X
n k
1
k2
x
n
2
(1 + x) k=1 (n + 1) k
n
X
1
k (k 1) n k
=
x
n
(1 + x) k=2 (n + 1)2 k
n
X
1
n k
k
+
x
n
2
(1 + x) k=1 (n + 1) k
=
n
X
n (n 1)
1
n
n
2
(n + 1) (1 + x) k=2 k
2 k
x
2
n
X
1
n
n
+
n
2
(n + 1) (1 + x) k=1 k
1 k
x
1
(3.3.17)
elde edilir (3:3:17) nin sa¼
g taraf¬ndaki ilk toplamda k yerine k + 2; ikinci toplamda
k yerine k + 1 al¬n¬rsa
Ln
t
1+t
2
;x
!
=
n 2
X
n (n 1)
1
n 2 k+2
x
n
2
k
(n + 1) (1 + x) k=0
n 1
X
n
1
n 1 k+1
+
x
n
2
k
(n + 1) (1 + x) k=0
x
1+x
n (n 1)
=
(n + 1)2
+
=
n
(n + 1)2
n (n 1)
(n + 1)2
2
x
1+x
x
1+x
22
1
(1 + x)n
1
(1 + x)n
2
+
2
1
n
(n + 1)2
n 2
X
n
k=0
n
X1
x
1+x
xk
1
xk
k
n
k=0
2
k
bulunur. Bu durumda
kLn (e2 )
n (n 1)
= sup
2
x 0 (n + 1)
e2 kCB
+
n
(n + 1)2
x
1+x
x
1+x
2
x
1+x
2
eşitli¼
gi elde edilir. Di¼
ger taraftan
n (n 1)
(n + 1)2
x
1+x
2
+
n
(n + 1)2
x
1+x
x
1+x
2
x
1+x
+
2
n
(n + 1)2
(3n + 1)
(n + 1)2
x
1+x
bulunur. (3:3:13) den
n (n 1)
(n + 1)2
x
1+x
2
+
x
n
2
(n + 1) 1 + x
x
1+x
2
n
(3n + 1)
2 +
(n + 1)
(n + 1)2
=
4n + 1
(n + 1)2
yazabiliriz. Böylece
kLn (e2 )
e2 kCB
4n + 1
(n + 1)2
(3.3.18)
bulunur. Bu durumda
lim kLn (e2 )
n!1
e2 kCB = 0
elde edilir. (3:3:16), (3:3:18) eşitsizlileri ve (3:3:12) eşitli¼
gi, (3:3:8) koşullar¬n¬n sa¼
gland¬g¼¬n¬gösterir ve teorem 3.3.1 den ispat tamamlan¬r.
H uzay¬için aşa¼
g¬daki sonucu verebiliriz.
Sonuç 3.3.1. Her f 2H ; 0 <
1; için
lim kLn (f )
n!1
23
f kCB = 0
gerçeklenir (Gadjiev and Çakar 1999).
Şimdi, genel yaklaş¬m teoremi olan Teorem 3.3.1 in CB [0; 1) uzay¬ndaki bütün
fonksiyonlar için geçerli olmad¬g¼¬n¬gösteren bir teorem verelim.
Teorem 3.3.3.
lim kAn (f ? )
n!1
f ? kC B > 0
olacak şekilde, CB [0; 1) uzay¬ndan ayn¬uzaya dönüşüm yapan ve (3:3:8) koşullar¬n¬
?
sa¼
glayan bir fAn g1
n=1 lineer pozitif operatör dizisi ve bir f 2 CB [0; 1) fonksiyonu
vard¬r (Gadjiev and Çakar 1999).
I·spat:
8
x
>
1
>
>
n
>
>
< f (x) + n + 1
An (f ; x) =
>
>
>
>
>
:
x+
3
2
f x+
1
2
(x + 1) f (x)
; 0
f (x)
;
x
n
x>n
olsun. Öncelikle An operatörlerinin (3:3:8) koşullar¬n¬sa¼
glad¬g¼¬n¬gösterelim. x > n
için An operatörlerinin (3:3:8) koşullar¬n¬sa¼
glad¬g¼¬aç¬kt¬r. 0
1 nx
An (1; x) = 1 +
n+1
= 1+
x+
3
2
x
n için inceleyelim
(x + 1)
1 n x
2 n (n + 1)
oldu¼
gundan
kAn (1)
1kCB = sup
0 x n
1 n x
2 n (n + 1)
(3.3.19)
Di¼
ger taraftan
0
x
n iken
1 n x
2 n (n + 1)
24
1
n
1
=
2 n (n + 1)
2 (n + 1)
(3.3.20)
elde edilir. (3:3:20) deki eşitsizlik (3:3:19) da kullan¬l¬rsa
kAn (1)
1
2 (n + 1)
1kCB
yaz¬labilir böylece
lim kAn (1)
1kCB = 0
n!1
sa¼
glan¬r. Di¼
ger taraftan
An
1 nx
x
=
+
1+x n+1
t
;x
1+t
=
"
x + 12
1+ x+
3
x+
2
1
2
x
(x + 1)
1+x
#
1 n x
x
+
1 + x 2 n (n + 1)
elde edilir. (3:3:20) den
kAn (e1 )
e1 kCB = sup
0 x n
1
2 (n + 1)
1 n x
2 n (n + 1)
bulunur, bu durumda
lim kAn (e1 )
n!1
e1 kCB = 0
gerçeklenir. Son olarak
An
t
1+t
2
;x
!
x
1+x
=
+
=
x
n
2
2
1
4 x+ 3
n+1
2
1
2
x+
1+ x+
(x + 1)
3
1 2 5
1
2
x + x+
n x 6
x
4
4 7
6 2
7
+
3 5
1+x
n (n + 1) 4
(1 + x) x +
2
25
2
1
2
!2
x
1+x
2
3
5
(3.3.21)
bulunur. (3:3:21) de
1 2 5
1
x + x+
4
4
g (x) = 2
3
(1 + x) x +
2
x+
0
g (x) =
al¬n¬rsa
5
4
2
5
3
x2 + x +
2
2
>0
oldu¼
gundan g; her x 2 [0; 1) için monoton artan fonksiyondur.
lim g (x) =
x!1
1
,
2
dolay¬s¬ile
1
2
g (x)
ve bu eşitsizli¼
gi (3:3:21) de kullanarak;
An
t
1+t
2
;x
!
x
1+x
2
1 n x
2 n (n + 1)
eşitsizli¼
gini yazabiliriz (3:3:20) den
kAn (e2 )
e2 kCB
1
2 (n + 1)
eşitsizli¼
gi bulunur, burada n ! 1 iken limite geçilirse
lim kAn (e2 )
n!1
olur. Böylece An operatörünün 0
e2 kCB = 0
n için de (3:3:8) koşullar¬n¬ sa¼
glad¬g¼¬n¬
x
göstermiş olduk. Şimdi
f ? (x) = cos 2 x
26
n için f ? 2 CB [0; 1) dur ve
fonksiyonunu dikkate al¬rsak, 0
x
An f ? (x)
1 nx
n+1
f ? (x) = cos 2 x +
x+
3
2
cos ( + 2 x)
(x + 1) cos 2 x
cos 2 x
1 nx
5
=
( cos 2 x) 2x +
n+1
2
bulunur. Norma geçilerek
kAn (f ? )
f ? kC B
1 nx
n n+1
sup
0 x
2x +
5
2
jcos 2 xj
2n + 52
jcos n j
n+1
eşitsizli¼
gi elde edilir. Bu da ispat¬tamamlar.
3.4 BBH Operatörlerinin Monotonluk Özelli¼
gi
Bu k¬s¬mda amac¬m¬z Ln ; n 2 N operatörünün bölünmüş farklar yard¬m¬yla n ye
göre monotonlu¼
gunu göstermektir. Bu amaç için aşa¼
g¬daki tan¬m ve teoremleri ve
bölünmüş farklar kullan¬larak yap¬lan konvekslik tan¬m¬n¬verelim.
Tan¬m 3.4.1.
f , [0; 1) da tan¬ml¬, reel de¼
gerli bir fonksiyon olmak üzere f nin
[0; 1) daki ayr¬k üç noktadaki (x0 < x1 < x2 ) 2. bölünmüş fark¬negatif olmayan ise
f konveks (konkav olmayan ) fonksiyondur.
Teorem 3.4.1.
n
konveks ve s¬n¬rl¬ise f
=
ng
n+1 ,
n
ve
2
n
artmayand¬r, n
1
X
(n + 1)
=
n
n
! 0 ve
2
n
n=0
serisin¬n toplam¬
0
lim
n
dir (Zygmund 1959).
27
n+1
olmak üzere e¼
ger, f
ng
Teorem 3.4.2. E¼
ger, f [0; 1) aral¬g¼¬üzerinde konveks bir fonksiyon ve ayr¬ca
f (n)
ise her x
sbt;
n2N
(3.4.1)
0 ve her n 2 N için
Ln (f ; x)
Ln+1 (f ; x)
gerçeklenir (Della Vecchia 1991).
I·spat: (3:1:1) den Ln+1 (f ; x) aşa¼
g¬daki gibi yaz¬l¬r:
n+1
X
1
Ln+1 (f ; x) =
f
(1 + x)n+1 k=0
n
n+1 k
x
k
k
k+2
(3.4.2)
(3:4:2) deki operatörün n + 1: terimi ç¬kar¬larak
n
X
xn+1
1
Ln+1 (f ; x) =
f (n + 1) +
f
(1 + x)n+1
(1 + x)n+1 k=0
28
n
k
k+2
n+1 k
x
k
elde edilir. Böylece
Ln+1 (f ; x)
Ln (f ; x) =
xn+1
f (n + 1)
(1 + x)n+1
+
n
X
1
f
(1 + x)n+1 k=0
n
X
1
f
(1 + x)n+1 k=0
=
n+1
n+1 k
n!
xk
(n k)!k!
n
k
k+1
n k
x (1 + x)
k
xn+1
f (n + 1)
(1 + x)n+1
+
n
X
1
n k
x
n+1
k
(1 + x)
k=0
(1 + x) f
=
n
k
k+2
n
n+1
n+1 k
f
n
k
k+2
k
k+1
xn+1
f (n + 1)
(1 + x)n+1
n
X
1
n k
+
x
n+1
k
(1 + x)
k=0
n+1
n+1 k
n
X
1
n k
x f
n+1
k
(1 + x)
k=0
1
(1 + x)n+1
n
X
k=0
f
n
n
k
k+1
f
n
k
k+2
k
k+1
0
@
n
k
1
A xk+1
(3.4.3)
olarak yaz¬labilir. Di¼
ger taraftan (3:4:3) ifadesindeki son toplamda n: terim ç¬kar¬l¬p
29
k yerine k
1 al¬n¬rsa
xn+1
f (n)
(1 + x)n+1
+
n
X
1
n
xk f
n+1
k
1
(1 + x)
k=1
k
n
1
k+2
xn+1
=
f (n)
(1 + x)n+1
n
X
n k
1
x
+
n+1
k
(1 + x)
k=0
k
n+1
k
f
k
n
1
k+2
(3.4.4)
elde edilir ve (3:4:4) ün (3:4:3) de yerine yaz¬lmas¬yla
Ln+1 (f ; x)
n
X
1
n k
Ln (f ; x) =
x
n+1
k
(1 + x)
k=0
f
+
n
k
k+1
n+1
n+1 k
k
n+1
xn+1
[f (n + 1)
(1 + x)n+1
k
f
f (n)]
bulunur. Gerekli düzenlemeler yap¬larak yukar¬daki eşitlik
30
f
k
n
n
1
k+2
k
k+2
Ln+1 (f ; x)
n
n+1 X
k
n k
x
n+1
2
2
(1 + x)
(n + 1 k) (n + 2 k) k
k=0
2
k
f
6
n k+1
6
4
k
k
k
k 1
n+1 k n+2 k
n+1 k n k+2
Ln (f ; x) =
f
+
k
n+2
k
k
n+1
f
+
k
n
+
1
k+2
n
xn+1
[f (n + 1)
(1 + x)n+1
k
n
+
1
;
k+2 n
n
k
n+2
k
k
n
k
k+1
n
n+1 X
(1 + x)n+1 k=0 (n + 1
=
k
k+2
n
1
k+2
k 1
n k+2
k
k) (n + 2
2
k
n+2
3
k
7
7
5
2
k)
n k
x
k
k
;f
k+1
f (n)]
şekline indirgenir. Teorem 3.4.1 den ispat tamamlan¬r.
31
k
1
k+2
f (n)]
k
;
k+2 n
xn+1
[f (n + 1)
(1 + x)n+1
k
(3.4.5)
4.
q-TAMSAYISINA DAYALI BLEIMANN, BUTZER VE HAHN
OPERATÖRLERI·
Bu bölümde öncelikle Aral ve Do¼
gru taraf¬ndan inşa edilen Bleimann, Butzer ve Hahn
operatörlerinin q- tamsay¬s¬na dayal¬yeni bir genelleştirilmesi verilecektir (q-BBH).
Daha sonra, Korovkin tipli bir teorem ile bu operatör dizisinin düzgün yak¬nsakl¬g¼¬
incelenip, ard¬ndan yaklaş¬m h¬z¬; önce süreklilik modülü fonksiyonu ile, sonra Lipschitz tipli maksimal fonksiyonlar uzay¬ndaki fonksiyonlar için hesaplanacakt¬r. Son
olarak q-BBH operatörünün monotonluk özelli¼
gi araşt¬r¬lacakt¬r.
4.1 q-BBH Operatörleri
Bu k¬s¬mda, öncelikle q-tamsay¬s¬ile ilgili baz¬temel bilgiler verilip, ard¬ndan q-BBH
operatörleri tan¬t¬lacakt¬r.
q > 0 seçilmiş her hangi bir reel say¬ve r , negatif olmayan bir tamsay¬olmak üzere,
r say¬s¬n¬n q-tamsay¬s¬
[r] =
8
<
1 qr
1 q
; q 6= 1
r
; q=1
:
(4.1.1)
olarak tan¬mlan¬r. Ayr¬ca [0] = 0 d¬r.
q-faktoriyel
ve n
r
8
< [r] [r 1] ::: [1] ; r = 1; 2; :::;
[r]! =
:
1
;
r=0
(4.1.2)
0 tamsay¬lar¬için q-binom katsay¬lar¬
n
[n]!
=
[r]! [n r]!
r
(4.1.3)
olarak tan¬mlan¬r. Şimdi, aşa¼
g¬daki Euler özdeşli¼
gini dikkate alal¬m.
n
Y1
k=0
k
1+q x =
n
X
k=0
q k(k
1)=2
n k
x ;
k
(4.1.4)
burada; q = 1 oldu¼
gu zaman, q-binom katsay¬lar¬n¬n bilinen binom katsay¬lar¬na
indirgendi¼
gi aç¬kt¬r. q-BBH operatörleri Aral ve Do¼
gru (2007) taraf¬ndan aşa¼
g¬daki
32
şekilde tan¬mlanm¬şt¬r: x 2 [0; 1) ve n 2 N olmak üzere [0; 1) aral¬g¼¬nda tan¬ml¬
reel de¼
gerli f fonksiyonlar¬ için q-tamsay¬lara dayal¬ Bleimann, Butzer ve Hahn operatörleri (q-BBH) Ln;q ile gösterilir ve
1 X
f
`n (x) k=0
n
Ln;q (f ; x) =
[k]
k + 1] q k
[n
q k(k
1)=2
n k
x
k
(4.1.5)
ile tan¬mlan¬r, buradaki `n (x);
`n (x) =
n
Y1
(1 + q s x)
(4.1.6)
s=0
şeklindedir.
Çal¬şma boyunca Ln;q , (4:1:5) de tan¬mlanan q-BBH operatörlerini
[k]
[k]
gösterecektir. f
yerine f
alarak q-tamsay¬s¬na dak
[n k + 1] q
[n k + 1]
yal¬genel Bleimann, Butzer ve Hahn operatörlerini elde ederiz. Fakat bu durumda,
tv ve
v
t
,
1+t
v = 0; 1; 2 için aç¬k formülleri elde etmek imkans¬zd¬r. E¼
ger Bleimann,
Butzer ve Hahn tipli operatörler (4:1:5) deki gibi tan¬mlan¬rsa
v
t
,
1+t
v = 0; 1; 2 için
aç¬k formülleri elde edilebilir. q-tamsay¬s¬n¬n tan¬m¬(4:1:1) dikkate al¬narak
q k [n
k + 1] = [n + 1]
[k] ;
q [k
1] = [k]
eşitlikleri aşa¼
g¬daki şekilde bulunabilir:
q k [n
k + 1] = q k
=
=
qk
1
1
k+1
q
q n+1 + 1
1 q
q n+1
1 q
= [n + 1]
33
qn
1
1
1
[k]
1
qk
q
1
(4.1.7)
q [k
1] = q
=
=
1
qk
1 q
q
qk + 1
1 q
1
1
qk
q
= [k]
1
1
1
1:
(4:1:4) ; (4:1:5) ve (4:1:7) den
1 X k(k
q
Ln;q (1; x) =
`n (x) k=0
n
=
n
X
k=0
n
X
1)=2
q k(k
1)=2 n
k
xk
q k(k
1)=2 n
k
xk
n k
x
k
k=0
(4.1.8)
= 1
ve
Ln;q
t
1+t
1 X [k] k(k
q
=
`n (x) k=1 [n + 1]
n
;x
1)=2
n k
x
k
1 X [n]
[n 1]!
q k(k
=
`n (x) k=1 [n + 1] [n k]! [k 1]!
n
[n]
1 X k(k
=
q
[n + 1] `n (x) k=1
n
34
1)=2
n
k
1 k
x
1
1)=2 k
x
(4.1.9)
bulunur, (4:1:9) da k yerine k + 1 yaz¬l¬p (4:1:4) dikkate al¬narak
Ln;q
t
1+t
[n]
1 X n 1 k(k+1)=2 k+1
=
q
x
[n + 1] `n (x) k=0
k
n 1
;x
x
[n] X n 1 k(k
=
q
`n (x) [n + 1] k=0
k
n 1
= x
n
Y2
1)=2
(qx)k
1 + q k (qx)
[n] k=0
[n + 1] nY1
(1 + q s x)
s=0
=
elde edilir.
2
t
1+t
Şimdi, Ln;q
[n]
x
1 + x [n + 1]
(4.1.10)
; x durumunda kullan¬lacak olan aşa¼
g¬daki eşitlik
verilebilir:
[k]
2
=
1
1
qk
q
=
1
1
qk
q
=
1
1
qk
q
= q [k] [k
2
=
1
q
1
1
1
1
qk + q
1 q
1
qk
1 q
1] + [k] :
35
qk
q
qk
q
q
1
+1
(4.1.11)
Böylece (4:1:11) dikkate al¬narak
Ln;q
t
1+t
2
;x
!
1 X [k]2 k(k
q
=
`n (x) k=1 [n + 1]2
n
1)=2
1 X q [k] [k 1] k(k
=
q
`n (x) k=2 [n + 1]2
n k
x
k
n
1 X [k]
q k(k
`n (x) k=1 [n + 1]2
n
+
1)=2
1 X q [k] [k 1] k(k
=
q
`n (x) k=2 [n + 1]2
n k
x
k
n
1 X [k]
+
q k(k
`n (x) k=1 [n + 1]2
1)=2
n
1)=2
[n] [n 1] 1 X k(k
qq
[n + 1]2 `n (x) k=2
n k
x
k
1)=2
[n]!
xk
[n k]! [k]!
[n]!
xk
[n k]! [k]!
n
=
[n]
1 X k(k
+
q
[n + 1]2 `n (x) k=1
1)=2
n
1)=2
n
k
n
k
2 k
x
2
1 k
x
1
(4.1.12)
elde edilir. (4:1:12) nin sa¼
g taraf¬ndaki ilk toplamda k yerine k+2 ve ikinci toplamda
k yerine k + 1 al¬n¬rsa
36
Ln;q
t
1+t
2
;x
!
2 2 [n] [n
= q x
1]
[n + 1]
2
1 X k(k
q
`n (x) k=0
n 2
1 X k(k
[n]
q
[n + 1]2 `n (x) k=0
n 1
+x
= q 2 x2
n
Y3
n
1)=2
1)=2
2
k
n
1
k
q2x
k
(qx)k
1 + q k (q 2 x)
[n] [n 1] k=0
n
Y1
[n + 1]2
(1 + q s x)
s=0
+x
n
Y2
1 + q k (qx)
[n] k=0
[n + 1]2 nY1
(1 + q s x)
s=0
=
[n] [n 1] 2
x2
[n]
q
+
2
(1 + x) (1 + qx) [n + 1]2
[n + 1]
x
1+x
(4.1.13)
olarak bulunur.
E¼
ger, q = 1 seçilirse, Ln;q operatörleri klasik Bleimann, Butzer ve Hahn operatörlerine dönüşür. Ayr¬ca fLn;q g1
¼¬n¬garantilemek için
n=1 operatör dizisinin yak¬nsakl¬g
q = qn ; n 2 N, 0 < qn < 1, al¬p qn i n ! 1 iken qn ! 1 koşulunu sa¼
glayan bir dizi
olarak kabul edece¼
giz.
4.2 q-BBH Operatör Dizisinin Düzgün Yak¬nsakl¬g
¼¬
Bu k¬s¬mda fLn;q g1
n=1 operatör dizisinin CB [0; 1) uzay¬n¬n bir alt uzay¬ndaki fonksiyonlar için [0; 1) da düzgün yak¬nsakl¬g¼¬n¬inceleyece¼
giz. Bu amaç için, Aral ve
Do¼
gru (2007) (3:1) de verilen H! uzay¬n¬kullanm¬şlard¬r
!; süreklilik modülü tipli bir fonksiyon olsun. H! , her x; y 2 [0; 1) için (3:2:1)
koşulunu sa¼
glayan f fonksiyonlar¬n¬n s¬n¬f¬n¬göstersin, bu durumda
H!
CB [0; 1)
37
oldu¼
gunu daha önce görmüştük.
Tan¬m 2.4.2 nin (b) koşulundan, n 2 N için !;
! (n )
eşitsizli¼
gini sa¼
glar ve
(4.2.1)
n! ( )
> 0 için Tan¬m 2.4.2 nin (a) koşulundan ve (4:2:1) den
!(
bulunur, buradaki [j j] ;
! (1 + [j j] )
)
(4.2.2)
(1 + ) ! ( )
n¬n tam de¼
gerini göstermektedir.
Uyar¬: Ln;q ; n 2 N, H! uzay¬ndan CB [0; 1) a dönüşüm yapan lineer pozitif sürekli
operatörlerdir.
Teorem 4.2.1.
0 < qn < 1 olmak üzere q = qn ; n 2 N; alal¬m ve n ! 1 iken
qn ! 1 olsun. Her f 2 H! için,
lim kLn;q (f )
n!1
f kC B = 0
(4.2.3)
gerçeklenir (Aral ve Do¼
gru 2007).
I·spat: Teorem 3:3:1 i kullanarak (3:3:8) koşullar¬n¬n Ln;q ; n 2 N operatörleri için
sa¼
gland¬g¼¬n¬n gösterilmesi yeterlidir yani; v = 0; 1; 2 için, ev (x) =
lim kLn;q (ev )
ev kCB = 0
lim kLn;q (1)
1kCB = 0
n!1
olmal¬d¬r. (4:1:8) den
n!1
38
v
x
1+x
olmak üzere
bulunur, böylece v = 0 durumunun sa¼
gland¬g¼¬aç¬kt¬r. v = 1 için (3:3:13) den
kLn;q (e1 )
e1 kCB = sup
x 0
[n]
[n + 1]
[n]
[n + 1]
= sup
x 0
[n]
[n + 1]
=
1
qn
elde edilir.
x
1+x
1
x
1+x
x
1+x
1
1
qn [n + 1]
1
(4.2.4)
n ! 1 iken qn ! 1 ve [n + 1] ! 1 oldu¼
gundan, v = 1 için de
(3:3:8) koşulu sa¼
glan¬r. Son olarak v = 2 durumunu inceleyelim. Bunun için, önce
aşa¼
g¬daki eşitlikleri verelim:
sup
x 0
1+x
1 + qx
=
1
q
(4.2.5)
oldu¼
gu aç¬kt¬r. Ayr¬ca
1
[n] [n 1]
2 = 3 1
qn
[n + 1]
1 + qn
2 + qn
+
[n + 1] [n + 1]2
(4.2.6)
eşitli¼
gini göstermek için (4:1:7) dikkate al¬narak
1] + 1;
(4.2.7)
[n + 1] = q [n] + 1
(4.2.8)
[n] = q [n
yaz¬labilir. (4:2:7) ve (4:2:8) den
[n
1] =
[n + 1] 1
q2
39
q
bulunur, buradan da
[n+1] 1 q
q2
[n+1] 1
q
[n] [n 1]
=
[n + 1]2
[n + 1]2
1
= 3
qn
[n + 1]2
1
1
qn3
=
Böylece (4:2:6) eşitli¼
gi elde edilir.
2 [n + 1] q [n + 1] + 1 + q
[n + 1]2
!
2 + qn
1 + qn
+
:
[n + 1] [n + 1]2
Şimdi v = 2 durumunu gösterelim. (3:3:13) ve
(4:2:5) den
kLn;q (e2 )
e2 kCB = sup
x 0
[n] [n 1] 2
x2
q
n
(1 + x) (1 + qx)
[n + 1]2
[n]
+
[n + 1]2
= sup
x 0
x
1+x
x
1+x
2
2
[n] [n 1] 2 1 + x
qn
1 + qn x
[n + 1]2
[n] [n 1] 2 1
qn
qn
[n + 1]2
=
x
1+x
+
1
1 +
[n]
[n + 1]2
[n]
[n + 1]2
x
1+x
(4.2.9)
bulunur. (4:2:6) ve (4:2:8) ; (4:2:9) da kullan¬l¬rsa
kLn;q (e2 )
e2 kCB
1
qn2
1
qn2
2
1
+
[n + 1] [n + 1]2
(4.2.10)
eşitsizli¼
gine ulaş¬l¬r. n ! 1 iken qn ! 1, [n + 1] ! 1 oldu¼
gundan v = 2 için de
(3:3:8) koşulu sa¼
glanm¬ş olur. Teorem 3:3:1 den ispat tamamlan¬r.
4.3 Süreklilik Modülü ile Yaklaş¬m H¬z¬
Bu k¬s¬mda süreklilik modülü fonksiyonu kullan¬larak q-BBH operatör dizisinin yaklaş¬m h¬z¬incelenecektir.
Teorem 4.3.1. 0 < qn < 1 olmak üzere q = qn ve n ! 1 iken qn ! 1 olsun. Her
40
bir x
0 ve herhangi bir f 2 H! için
jLn;q (f ; x)
eşitsizli¼
gi gerçeklenir, buradaki
x
1+x
n (x) =
+
n
f (x)j
p
n
(4.3.1)
(x)
(x)
2
1
[n]
[n + 1]2
2!
2
[n]
[n] [n 1] 2 1 + x
+
qn
[n + 1]
1 + qn x
[n + 1]2
x
1+x
(4.3.2)
şeklindedir (Aral ve Do¼
gru 2007).
I·spat:
Ln;q (1; x) = 1
oldu¼
gundan
f (x) = Ln;q (f (x) ; x)
yaz¬labilir, buradan ve Lemma 2.1.2 den
jLn;q (f ; x)
f (x)j = jLn;q ((f (t)
Ln;q (jf (t)
f (x)) ; x)j
f (x)j ; x)
(4.3.3)
eşitsizli¼
gi elde edilir. Di¼
ger taraftan (3:2:1) ve (4:2:2) eşitsizlikleri dikkate al¬narak
jf (t)
f (x)j
t
1+t
!
1+
elde edilir.
41
t
1+t
x
1+x
x
1+x
!
!
!( )
(4.3.4)
(4:3:4) eşitsizli¼
gi dikkate al¬narak (4:3:3)
jLn;q (f ; x)
1
! ( ) 1 + Ln;q
f (x)j
t
1+t
x
;x
1+x
(4.3.5)
şekline indirgenir. Cauchy-Schwarz eşitsizli¼
ginden
Ln;q
t
1+t
"
x
;x
1+x
t
1+t
Ln;q
x
1+x
2
;x
!#1=2
(4.3.6)
bulunur. (4:3:6) dikkate al¬narak (4:3:5)
jLn;q (f ; x)
0
! ( ) @1 +
f (x)j
1
"
t
1+t
Ln;q
x
1+x
2
;x
!#1=2 1
A
(4.3.7)
eşitsizli¼
gine indirgenir. (4:3:7) nin sa¼
g taraf¬(4:1:8) (4:1:9) ve (4:1:13) den
Ln;q
t
1+t
x
1+x
2
;x
!
t
1+t
= Ln;q
x
1+x
+Ln;q
=
2
;x
!
2
;x
2
x
Ln;q
1+x
t
1+t
;x
!
[n] [n 1] 2
x2
(1 + x)2
q
(1 + x) (1 + qx) (1 + x)2
[n + 1]2
+
[n]
[n + 1]2
+
x
1+x
x
1+x
=
+
2
x
1+x
[n]
[n + 1]
x
1+x
2
2
[n]
[n + 1]2
42
x
1+x
1
2
x
1+x
[n]
[n] [n 1] 2 1 + x
qn
+
[n + 1]
1 + qn x
[n + 1]2
olarak elde edilir.
n
(x) (4:3:2) ile verilen fonksiyon olmak üzere, son eşitlikten
t
1+t
Ln;q
yaz¬labilir. Böylece
=
p
n
x
1+x
2
;x
=
n
(x)
(x) al¬narak (4:3:5) (4:3:6) ve (4:3:7) den
jLn;q (f ; x)
f (x)j
2!
elde edilir. (3:3:13) ve (4:2:5) i kullanarak ve [n
[n + 1]
!
p
n
(x)
1] qn + 1 = [n] ve
[n] = qn < 1 oldu¼
gunu göz önünde bulundurarak, yeterince büyük n ler için
sup
x 0
n
(x)
1
=
2
[n]
[n]
+
([n
[n + 1] [n + 1]2
[n + 1] [n]
[n + 1]
2
1] qn + 1)
1
[n + 1]2
(4.3.8)
elde edilir.
Böylece Teorem 4.3.1 in koşullar¬alt¬nda (4:1:5) ile verilen fLn;q g1
n=1 q-BBH operatör
1
dizisinin f ye yaklaşma h¬z¬ [n+1]
dir ve bu, en iyi durumda klasik BBH operatör
dizisininde oldu¼
gu gibi
oldu¼
gundan, h¬z; 1
1
(n+1)
qn =
1
n+2
dir. Örne¼
gin e¼
ger, qn = 1
1
(n+2)
1
e
n!1
1
fqn gn=1 dizisinin
al¬n¬rsa lim qnn =
bulunur, yani; q-genelleştirmede
seçimine ba¼
gl¬olarak kontrol edilebilen bir durum ortaya ç¬kmaktad¬r.
4.4 Lipschitz Tipli Maksimal Fonksiyonlar Uzay¬nda Yaklaş¬m H¬z¬
Bu k¬s¬mda öncelikle W
;E
uzay¬tan¬mlanarak, bu uzaydaki fonksiyonlar için fLn;q g1
n=1
operatör dizisinin yaklaş¬m h¬z¬hesaplanacakt¬r. Şimdi, yaklaş¬m h¬z¬ile ilgili olan
bir eşitsizlik verelim. Bu do¼
grultuda; E
[0; 1) üzerinde W
;E
ile gösterilen, genel
Lipschitz tipli maksimal fonksiyonlar uzay¬aşa¼
g¬daki gibi tan¬mlanmaktad¬r:
W
;E
=
f : sup (1 + x) f (x; y)
M
1
;
(1 + y)
x
0; y 2 E
(4.4.1)
buradaki f; [0; 1) aral¬g¼¬ üzerinde s¬n¬rl¬ ve sürekli bir fonksiyon, M pozitif sabit,
43
1 ve f ;
0<
jf (t)
jx
f (x; t) =
ile tan¬mlanan fonksiyondur.
f (x)j
tj
(4.4.2)
Ayr¬ca d (x; E) ; x in E kümesine olan uzakl¬g¼¬n¬
göstersin yani;
d (x; E) = inf fjx
yj ; y 2 Eg
(4.4.3)
(Aral ve Do¼
gru 2007).
Teorem 4.4.1.
Ln;q, n 2 N, operatörleri ve
olmak üzere her f 2 W
;E
n
(x) (4:3:2) ile verilen fonksiyon
için
=2
jLn;q (f ; x)
f (x)j
M
n
(4.4.4)
(x) + 2d (x; E)
eşitsizli¼
gini gerçekler (Aral ve Do¼
gru 2007).
I·spat: E; E kümesinin kapan¬ş¬n¬göstersin. Bu durumda x 2 [0; 1) iken
jx
x0 j = d (x; E)
olacak şekilde bir x0 2 E vard¬r. Şimdi,
jf (t)
f (x)j
jf (t)
f (x0 )j + jf (x0 )
(4.4.5)
f (x)j
şeklinde bir eşitsizlik yazal¬m. n 2 N için Ln;q lineer, pozitif operatör ve f 2 W
;E
oldu¼
gundan (4:4:5) ; eşitsizli¼
gi kullan¬larak
jLn;q (f ; x)
f (x)j
Ln;q (jf (t)
f (x)j ; x)
Ln;q (jf (t)
f (x0 )j ; x) + Ln;q (jf (x0 )
= Ln;q (jf (t)
bulunur.
Şimdi, f 2 W
;E
f (x0 )j ; x) + jf (x0 )
f (x)j ; x)
f (x)j
(4.4.6)
oldu¼
gu dikkate al¬narak aşa¼
g¬daki eşitsizlikler elde
44
edilebilir: (4:4:1) ve (4:4:2) den
(1 + x0 )
jf (t)
jf (t) f (x0 )j
jx0 tj
f (x0 )j
M
M
1
(1 + t)
jx0 tj
(1 + x0 ) (1 + t)
t
1+t
x0
1 + x0
(4.4.7)
jx x0 j
(1 + x0 ) (1 + x)
(4.4.8)
= M
eşitsizli¼
gi bulunur. Benzer olarak
jf (x0 )
f (x)j
M
vard¬r. (4:4:7) ve (4:4:8) in (4:4:6) da yerine yaz¬lmas¬yla
jLn;q (f ; x)
f (x)j
elde edilir. 0 <
M Ln;q
t
1+t
1 olmak üzere a
x0
1 + x0
0 ve b
(a + b)
; x +M
jx x0 j
(1 + x0 ) (1 + x)
(4.4.9)
0 için
a +b
eşitsizli¼
gi göz önünde bulundurularak t 2 [0; 1) için
t
1+t
x0
1 + x0
t
1+t
x
1+x
+
x
1+x
x0
1 + x0
(4.4.10)
yaz¬labilir. Sonuç olarak
Ln;q
t
1+t
x0
1 + x0
;x
Ln;q
t
1+t
x
1+x
;x +
jx x0 j
(1 + x0 ) (1 + x)
yaz¬labilir.
Ln;q (1; x) = 1
oldu¼
gundan üstteki eşitsizli¼
ge p = 2=
ve q = 2= (2
45
) olmak üzere Hölder eşit-
sizli¼
gi uygulanarak
Ln;q
t
1+t
x
1+x
;x
Ln;q
+
2
t
1+t
x
;x
1+x
!
=2
jx x0 j
(1 + x0 ) (1 + x)
elde edilir ve son ifade (4:4:9) da dikkate al¬n¬rsa
jLn;q (f ; x)
f (x)j
M Ln;q
+M
t
1+t
x
1+x
2
;x
!
=2
+M
jx x0 j
(1 + x0 ) (1 + x)
jx x0 j
(1 + x0 ) (1 + x)
(4.4.11)
sonucuna ulaş¬l¬r. (4:3:2) ve (4:4:3) den (4:4:11)
jLn;q (f ; x)
f (x)j
M
=2
n
(x) + 2d (x; E)
şeklinde ifade edilebilir, böylece ispat tamamlan¬r.
Teorem 4.4.1 in özel bir durumunu alarak E = [0; 1) iken aşa¼
g¬daki sonuç vard¬r:
Sonuç 4.4.1. E¼
ger, f 2 W
;[0;1)
ise
n
(x), (4:3:2) ile verilen fonksiyon olmak üzere
=2
jLn;q (f ; x)
f (x)j
eşitsizli¼
gi gerçeklenir (Aral ve Do¼
gru 2007).
46
M
n
(x)
4.5 q-BBH Operatörlerinin Monotonluk Özelli¼
gi
Bu k¬s¬mda Ln;q operatörlerinin n ye göre monotonlu¼
gu incelenecektir.
Önce (4:1:2) den
n+1
k+1
=
n
k
=
n
k+1
=
[n + 1] [n] n 1
[n k] [k + 1]
k
[n]
[n
n
k]
1
(4.5.1)
k
[n] n 1
[k + 1]
k
eşitlikleri yaz¬labilir. Şimdi, bu k¬s¬mdaki as¬l teoremin ispat¬nda kullan¬lacak olan
aşa¼
g¬daki lemmay¬verelim.
Lemma 4.5.1.
1
=
qn
k
[k + 1]
;
[n + 1]
olmak üzere
1
0,
2
2
=
[n k]
;
[n + 1]
1
=
+
2
[k]
; ve
k + 1] q k
[n
2
=
[k + 1]
[n k] q k+1
0 ve
1
(4.5.2)
=1
dir. Ayr¬ca
[n
[k + 1]
=
k + 1] q k+1
1
1
+
2
(4.5.3)
2
gerçeklenir (Do¼
gru and Gupta 2005).
I·spat: (4:1:1) den
[k + 1] =
1
q k+1
;
1 q
[n
47
k] =
1
qn
1 q
k
(4.5.4)
gerçeklenir ve böylece
1
+
=
2
qn
q
k
[k + 1] + [n
[n + 1]
n k
1
=
k]
q k+1
1 qn
+
1 q
1 q
[n + 1]
k
q n+1
1 q
[n + 1]
1
=
= 1
elde edilir. Di¼
ger taraftan
1
1+
2
2
=
=
qn
qn
k
[n k] [k + 1]
[k]
+
k
k + 1] q
[n + 1] [n k] q k+1
k
[k + 1]
[k]
+
k
k + 1] q
[n + 1] q k+1
[k + 1]
[n + 1] [n
[k + 1]
[n + 1] [n
=
[k + 1]
[n + 1] q k+1
q n k+1 [k]
+1
[n k + 1]
[k + 1]
[n + 1] q k+1
qn
k+1
=
k + 1] = q n
k+1
[k] + [n k + 1]
[n k + 1]
(4.5.5)
Ayr¬ca (4:1:1) kullan¬larak
qn
k+1
[k] + [n
=
1
1
1
qk
q
+
qn
1
1
k+1
q
q n+1
1 q
= [n + 1]
(4.5.6)
bulunur ve (4:5:6) n¬n (4:5:5) te yerine konulmas¬yla (4:5:3) elde edilir bu durumda
48
ispat tamamlan¬r. Şimdi, Ln;q nun monotonlu¼
gunu inceleyelim:
Teorem 4.5.1. E¼
ger, f [0; 1) da konveks ve artmayan fonksiyon ise Ln;q her x
0
ve her n 2 N için
Ln;q (f ; x)
Ln+1;q (f ; x)
gerçeklenir (Do¼
gru and Gupta 2005).
I·spat:
Ln+1;q (f ; x)
Ln;q (f ; x)
=
1
`n+1 (x)
n+1
X
f
[n
k=0
1 X
f
`n (x) k=0
[k]
k + 2] q k
n
[n
q k(k
[k]
k + 1] q k
1)=2
q k(k
n+1 k
x
k
1)=2
n k
x
k
(4.5.7)
(4:5:7) ifadesinde eşitli¼
gin sa¼
g taraf¬ndaki ifadenin ikinci toplam 1 + q n x ile çarp¬l¬p
bölünürse
Ln+1;q (f ; x)
Ln;q (f ; x)
=
1
`n+1 (x)
n+1
X
f
[n
k=0
1
`n+1 (x)
n
X
f
[n
k=0
1
`n+1 (x)
n
X
[k]
k + 2] q k
f
q k(k
[k]
k + 1] q k
[k]
[n k+1]q k
q k(k
k=0
1)=2
q k(k
n+1 k
x
k
1)=2
1)=2 n
q
n k
x
k
n k+1
x
k
(4.5.8)
elde edilir ve (4:5:8) ifadesinde eşitli¼
gin sa¼
g taraf¬nda birinci ve üçüncü toplam¬n son
terimleri ile birinci ve ikinci toplam¬n k = 0: terimleri ç¬kar¬larak
49
Ln+1;q (f ; x)
Ln;q (f ; x)
1
=
+
`n+1 (x)
1
`n+1 (x)
q n(n+1)=2 xn+1 f
n
X
`n+1 (x)
`n+1 (x)
[n
k=1
1
1
f
n 1
X
n
X
f
f
[n
k=0
[k]
k + 2] q k
[n
k=1
[n + 1]
q n+1
q k(k
[k]
k + 1] q k
[k]
k + 1] q k
n+1 k
x
k
1)=2
q k(k
q k(k
[n]
qn
f
n k
x
k
1)=2
1)=2 n
q
n k+1
x
k
bulunur ve eşitli¼
gin sa¼
g taf¬ndaki birinci ve ikinci toplamda k yerine k + 1 al¬n¬rsa
Ln+1;q (f ; x)
Ln;q (f ; x)
1
=
+
`n+1 (x)
1
`n+1 (x)
n 1
X
f
1
`n+1 (x)
1
`n+1 (x)
[k + 1]
k + 1] q k+1
[n
k=0
n 1
X
k=0
n 1
X
k=0
elde edilir.
50
[n + 1]
q n+1
q n(n+1)=2 xn+1 f
f
f
[n
q k(k
[k]
k + 1] q k
[k + 1]
[n k] q k+1
q k(k
f
1)=2 k
q
q k(k
n + 1 k+1
x
k+1
1)=2 n
q
1)=2 k
q
[n]
qn
n k+1
x
k
n
xk+1
k+1
(4:5:1) eşitlikleri kullan¬larak aşa¼
g¬daki eşitlik yaz¬labilir
Ln+1;q (f ; x)
Ln;q (f ; x) =
1
`n+1 (x)
+
1
`n+1 (x)
qn
n 1
X
f
k
[k + 1]
f
[n + 1]
[n
f
[n]
qn
[k + 1]
k + 1] q k+1
[n
k=0
[n k]
f
[n + 1]
qk
[n + 1]
q n+1
q n(n+1)=2 xn+1 f
[k]
k + 1] q k
[k + 1]
[n k] q k+1
[n + 1] [n] n 1 k+1
x
k
[n k] [k + 1]
(4.5.9)
[n + 1]
q n+1
[n]
1
= n+1
n
q
q
0 ve f artmayan fonksiyon oldu¼
gundan
f
[n + 1]
q n+1
f
[n]
qn
(4.5.10)
0
gerçeklenir ve f konveks oldu¼
gundan (4:5:2) ve(4:5:3) den
f
[n
[k + 1]
k + 1] q k+1
qn
k
[k + 1]
f
[n + 1]
[n
[k]
k + 1] q k
(4.5.11)
[n k]
f
[n + 1]
[k + 1]
[n k] q k+1
0
eşitsizli¼
gi vard¬r. (4:5:10) ve (4:5:11) (4:5:9) da kullan¬larak ispat tamamlan¬r.
E¼
ger f lineer ise
f
[n
[k + 1]
k + 1] q k+1
qn
k
[k + 1]
f
[n + 1]
[n
[k]
k + 1] q k
(4.5.12)
[n k]
f
[n + 1]
51
[k + 1]
[n k] q k+1
=0
eşitli¼
gi vard¬r. (4:5:12) ifadesini kullanarak aşa¼
g¬daki sonuç yaz¬labilir
Sonuç 4.5.1.
(4:1:5) de tan¬mlanm¬ş Ln;q ; n 2 N, operatörleri için aşa¼
g¬daki
monotonluk özellikleri i ve ii de verildi¼
gi gibidir.
i. E¼
ger f lineer ve artmayan fonksiyon ise her x
0 için Ln;q da n ye göre art-
mayand¬r.
ii. E¼
ger f lineer ve azalmayan fonksiyon ise her x
azalmayand¬r (Do¼
gru and Gupta 2005).
52
0 için Ln;q da n ye göre
KAYNAKLAR
Abel, U. and Ivan, M. 1999. Some identities for the operator of Bleimann, Butzer
ve Hahn involving divided di¤erences, Calcolo 36, no.3, pp. 143-160.
Adell, J.A. , de la Cal, J. and San Miguel, M. 1994. Inverse Beta and Generalized
Bleimann, Butzer and Hahn operators, Journ. Approx. Theory.
76,
54-64.
Aral, A. and Do¼
gru, O. 2007.
Bleimann, Butzer and Hahn Operators Based
on the q-Integers, Hindawi Publishing Corporation Journ. of Ineq. and
Appl. Vol 2007, Article I D 79410.
Bleimann, G. , Butzer, P. L. and Hahn, L. 1980.
A Bernstein-type operator
approximating continuous functions on the semi axes.
Proc.
Netherl.
Sc. 83 (Indag. Math: 42) 255-262.
Cao, F. , Ding, C. and Xu, Z. 2005. On multivariate Baskakov operator, J. Math.
Anal. Appl. 307 no. 1, 274–291.
Cheney, E. W. and Charma, A. 1964.
Bernstein power series, Can. J. Math. 16
241-252.
Della Vecciha, B. 1991.
Some Properties of a Rational Operator of Bernstein-
Type, Istituto per Applicazioni della Matematica-C.N.R. Via P. Castellino
111-80131 Napoli, Italy.
Do¼
gru, O. and Gupta, V. 2005.
Monotonicity and the asymptotic estimate of
Bleimann Butzer and Hahn Operators Based On q-Integers, Georgian
Math. Journ. Vol 12, no. 3, 415-422.
Gadjiev, A. D. and Çakar, Ö. 1999.
On uniform approximation by Bleimann,
Butzer and Hahn operators on all positive semiaxis, Transactions of AS
Azerbaijan. Series of Physical Technical and Mathematical Sciences, vol
19, no. 5, pp. 21-26.
Khan, R.A. 1988. A note on a Bernstein-type operator of Bleimann, Butzer and
Hahn, Journ. Approx. Theory. 53, 295-303.
Lorentz, G.G. 1953. Berstein Polynomials, University of Toronto Press.
Philips, G. M. 1997.
Bernstein polynomials based on the q-integers, Annals of
Numerical Mathematics, vol 4, no. 1-4, pp.511-518.
53
Zygmund, A.
1959.
Trigonometric Series, Vol.
Cambridge, UK.
54
1, Cambridge Univ. Press,
ÖZGEÇMI·Ş
Ad¬Soyad¬
: Dilek SÖYLEMEZ
Do¼
gum Yeri
: Sivas
Do¼
gum Tarihi : 03. 10. 1983
Medeni Hali
: Bekar
Yabanc¬Dili
: I·ngilizce
E¼
gitim Durumu (Kurum ve Y¬l)
Lise
: Sivas Lisesi (2001)
Lisans
: Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi
Matematik Bölümü (2007)
Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬(Eylül 2007
55
Temmuz 2009)