0cysd =mt@cy. :rk@o@py

Ad¬ve Soyad¬:
Numaras¬
:
Fonksiyonel Analize Giriş I Aras¬nav Sorular¬
24. 11. 2006
———————————————————————————————————————————–
1. (a) Normun tan¬m¬n¬yaz¬n¬z.
(b) (X; k k) bir normlu uzay olsun. ' : (X; k k) ! (R; j j) ; ' (x) = kxk fonksiyonunun
sürekli oldu¼
gunu gösteriniz.
2. Kn üzerindeki k k1 ve k k2 normlar¬n¬n denk olduklar¬n¬gösteriniz.
3. (X; k k) ve (Y; k k) iki normlu uzay ve T : (X; k k) ! (Y; k k) bir lineer (do¼
grusal) dönüşüm
olsun. E¼
ger T dönüşümü 2 X noktas¬nda sürekli ise X üzerinde sürekli oldu¼
gunu gösteriniz.
4. (`1 ; k k1 ) normlu uzay¬n¬n bir Banach uzay¬oldu¼
gunu gösteriniz.
5. T : (C ([0; =2]) ; k k1 ) ! (R; j j) ; T (x) =
R=2
(t sin t) x (t) dt
0
dönüşümü veriliyor.
(a) T dönüşümünün lineer (do¼
grusal) oldu¼
gunu gösteriniz.
(b) T dönüşümünün s¬n¬rl¬oldu¼
gunu gösteriniz.
(c) T dönüşümünün normunu bulunuz.
———————————————————————————————————————————–
Ad¬ve Soyad¬:
Numaras¬
:
Fonksiyonel Analize Giriş I Final S¬nav¬Sorular¬
08.01.2007
———————————————————————————————————————————–
1. Aşa¼
g¬daki kavramlar¬n tan¬mlar¬n¬yaz¬n¬z.
(a) Banach uzay¬, (b) S¬n¬rl¬lineer (do¼
grusal) dönüşümün normu,
(c) Schauder taban¬, (d) (X; k k) normlu uzay¬n¬n normlu duali.
2. Kn üzerindeki k k1 ve k kp (1 < p < 1) normlar¬n¬n denk olduklar¬n¬gösteriniz.
3. Sonlu boyutlu normlu uzaylar¬n özelliklerinden 4 tanesini yaz¬n¬z.
4. 1 < p < 1, 1=p + 1=q = 1 ve
= ( i ) 2 `q olsun.
1
P
(a) f : `p ! K; x = (xi ) ! f (x) =
i xi biçiminde bir f dönüşümünün tan¬mlanabilei=1
ce¼
gini gösteriniz.
(b) f dönüşümünün lineer (do¼
grusal) ve s¬n¬rl¬oldu¼
gunu ispatlay¬n¬z.
gunu gösteriniz.
5. `n1 uzay¬n¬n dualinin `n1 oldu¼
6. (`2 ; k k2 ) uzay¬n¬n bir Banach uzay¬oldu¼
gunu gösteriniz.
Not: Herhangi 5 soruyu yantlay¬n¬z.
———————————————————————————————————————————–
Ad¬ve Soyad¬:
Numaras¬
:
Fonksiyonel Analize Giriş I Bütünleme S¬nav¬Sorular¬
29.01.2007
———————————————————————————————————————————–
1. Aşa¼
g¬daki ifadelerin do¼
gru olup olmad¬klar¬n¬, nedenlerini aç¬klayarak yaz¬n¬z.
(a) Her metrik uzay bir normlu uzayd¬r.
(b) Bir (X; k k) normlu uzay¬nda B ( ; 1) = fx 2 X : kxk 1g kümesini kapsayan en dar
alt uzay X’tir.
(c) Bir T : (X; k k) ! (Y; k k) lineer dönüşümü noktas¬nda sürekli ise X üzerinde süreklidir.
(d) e1 = (1; 0; :::; 0; :::) ; e2 = (0; 1; :::; 0; :::) ; :::; en = (0; :::; 0; 1; 0; :::) ; ::: olmak üzere (en )
dizisi (`1 ; k k1 ) uzay¬n¬n bir Schauder taban¬d¬r.
(e) Bir (X; k k) normlu uzay¬n¬n normlu duali bir Banach uzay¬d¬r.
2. (a) (C [a; b] ; k k1 ) normlu uzay¬n¬tan¬mlay¬n¬z.
(b) (C [a; b] ; k k1 ) normlu uzay¬n¬n bir Banach uzay¬oldu¼
gunu gösteriniz.
3. `n2 uzay¬n¬n normlu dualinin `n2 oldu¼
gunu gösteriniz.
Not: 2. ve 3. sorulardan sadece bir tanesi çözülecektir. Çözmedi¼
giniz soruyu daire içine al¬n¬z.
ALI· GÜVEN
———————————————————————————————————————————–
Ad¬ve Soyad¬:
Numaras¬
:
Fonksiyonel Analize Giriş II Aras¬nav Sorular¬
20.04.2007
———————————————————————————————————————————–
1. (a) Düzgün s¬n¬rl¬l¬k teoreminin ifadesini yaz¬n¬z. (10)
(b) Aç¬k dönüşüm teoreminin ifadesini yaz¬n¬z. (10)
2. (a) Hilbert uzay¬ne demektir? Tan¬m¬n¬yaz¬n¬z. (10)
(b) Her Banach uzay¬bir Hilbert uzay¬m¬d¬r? Nedenleriyle aç¬klay¬n¬z. (10)
3. Bir X iç çarp¬m uzay¬nda, xn ! x ve yn ! y ise
< xn ; yn >!< x; y >
olaca¼
g¬n¬ispatlay¬n¬z. (20)
4. X bir iç çarp¬m uzay¬ ve A
oldu¼
gunu gösteriniz. (20)
X olsun. A? kümesinin X uzay¬n¬n kapal¬ bir alt uzay¬
5. H bir Hilbert uzay¬, Y bunun konveks bir alt kümesi ve (xn ) Y içinde bir dizi olsun.
kxn k ! inf fkxk : x 2 Y g
ise, (xn ) dizisinin H içinde yak¬nsak oldu¼
gunu ispatlay¬n¬z. (Paralelkenar kural¬n¬kullanarak
(xn ) dizisinin bir Cauchy dizisi oldu¼
gunu gösteriniz). (20)
ALI· GÜVEN
———————————————————————————————————————————–
Ad¬ve Soyad¬:
Numaras¬
:
Fonksiyonel Analize Giriş II Final S¬nav¬Sorular¬
11.06.2007
———————————————————————————————————————————–
1. Aşa¼
g¬daki kavramlar¬tan¬mlay¬n¬z.
(a) I·ç çarp¬m (b) Dikey tümleyen (c) Birim dikey küme (d) Hilbert eşlenik dönüşümü
2. (a) Bessel eşitsizli¼
gini ifade ediniz.
(b) Riesz gösterim teoreminin ifadesini yaz¬n¬z.
3. H bir Hilbert uzay¬ve T : H ! H s¬n¬rl¬bir lineer dönüşüm olsun.
kT
T k = kT k2
oldu¼
gunu gösteriniz.
4. (a) Normal dönüşüm ne demektir?
(b) H kompleks bir Hilbert uzay¬ ve T : H ! H s¬n¬rl¬ bir lineer dönüşüm olsun. T
dönüşümünün normal bir dönüşüm olmas¬için gerekli ve yeterli koşul, her x 2 H için
kT (x)k = kT (x)k
olmas¬d¬r. I·spatlay¬n¬z.
ALI· GÜVEN
———————————————————————————————————————————–
Ad¬ve Soyad¬:
Numaras¬
:
Fonksiyonel Analize Giriş II Bütünleme S¬nav¬Sorular¬
02.07.2007
———————————————————————————————————————————–
1. (a) Tam birim dikey küme ne demektir? Tan¬m¬n¬yaz¬n¬z. (05)
(b) Birimsel dönüşüm ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z. (05)
(c) Bir vektörün Fourier katsay¬lar¬n¬tan¬mlay¬n¬z. (05)
(d) Parseval özdeşli¼
ginin ifadesini yaz¬n¬z. (05)
2. (a) Hahn-Banach teoreminin (normlu uzaylar için) ifadesini yaz¬n¬z. (05)
(b) (X; k k) bir normlu uzay, M bunun yo¼
gun bir alt uzay¬ve f 2 M ise f fonksiyonelinin
Hahn-Banach teoremi ile elde edilen genişlemesinin tek oldu¼
gunu gösteriniz. (25)
3. (a) Bir normlu uzay¬n hangi durumda iç çarp¬m uzay¬olabilece¼
gini aç¬klay¬n¬z. (05)
(b) (C ([a; b]) ; k k1 ) normlu uzay¬n¬n bir iç çarp¬m uzay¬olamayaca¼
g¬n¬gösteriniz. (25)
4. Bir iç çarp¬m uzay¬nda birim dikey her kümenin lineer ba¼
g¬ms¬z oldu¼
gunu gösteriniz. (20)
ALI· GÜVEN
———————————————————————————————————————————–