ankara üniversitesi fen bilimleri enstitüsü yüksek lisans tezi bir ve iki

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
BİR VE İKİ DEĞİŞKENLİ BERNSTEIN-CHLODOWSKY POLİNOMLARI
Neşe İŞLER
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2009
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
¼ I·ŞKENLI· BERNSTEIN-CHLODOWSKY POLI·NOMLARI
BI·R VE I·KI· DEG
Neşe I·ŞLER
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬
Dan¬şman: Doç. Dr. Ertan I·BI·KLI·
Bu tez beş bölümden oluşmaktad¬r.
I·lk bölüm giriş k¬sm¬na ayr¬lm¬şt¬r.
I·kinci bölümde, çeşitli fonksiyon uzaylar¬tan¬mlanm¬ş ve temel kavramlar verilmiştir.
Yaklaş¬m h¬z¬n¬belirlemek için süreklilik modülü tan¬mlanm¬ş ve özellikleri incelenmiştir. Son olarak lineer pozitif operatörlerin tan¬m¬ ve baz¬ önemli özellikleri verilmiş, yaklaş¬m özellikleri araşt¬r¬lm¬şt¬r.
Üçüncü bölümde, I. ve II. tip Bernstein-Chlodowsky polinomlar¬ tan¬mlanm¬ş ve
bu polinomlar¬n çeşitli uzaylarda yaklaş¬m özellikleri incelenmiştir. Ayr¬ca II. tip
genelleşmiş Bernstein-Chlodowsky polinomlar¬n¬n yaklaş¬m h¬z¬verilmiştir.
Dördüncü bölümde, çeşitli uzaylarda iki de¼
gişkenli fonksiyonlar için lineer pozitif operatörlerin yaklaş¬m özellikleri araşt¬r¬lm¬şt¬r.
Beşinci bölümde, üçgensel ve karesel bölgede iki de¼
gişkenli Bernstein-Chlodowsky
tipli polinomlar tan¬mlanm¬ş ve çeşitli uzaylarda yaklaş¬m özellikleri incelenmiştir.
Ocak 2009, 139 sayfa
Anahtar Kelimeler : Bernstein-Chlodowsky polinomlar¬, Lineer pozitif operatör,
Süreklilik modülü, A¼
g¬rl¬kl¬uzaylar.
i
ABSTRACT
Master Thesis
BERNSTEIN-CHLODOWSKY POLYNOMIALS OF ONE AND TWO VARIABLES
Neşe I·ŞLER
Ankara University
Graduate School of Natural And Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Ertan I·BI·KLI·
This thesis consists of …ve chapters.
The …rst chapter is devoted to the introduction.
In the second chapter, several function spaces are de…ned and fundamental conceptions which are used in the thesis are given. Modulus of continuity and its properties
are examined. Finally, de…nition of linear positive operators and some of their important properties are given. Moreover approximation properties of linear positive
operators for one variable functions are investigated.
In the third chapter, I. and II. type Bernstein-Chlodowsky polynomials are de…ned and their approximation properties are examined in the several spaces. Also
a theorem is given about approximation rate of II. type generalized of BernsteinChlodowsky polynomials.
In the forth chapter, approximation properties of linear positive operators for functions of two variables are investigated on the several spaces.
In the …fth chapter, Bernstein-Chlodowsky type polynomials of two variables on a
triangular and square domain are de…ned and their approximation properties are
examined.
January 2009, 139 pages
Key Words: Bernstein-Chlodowsky polynomials, Linear positive operator, Modulus of continuity, Weighted spaces.
ii
TEŞEKKÜR
Bu çal¬şma konusunu bana veren ve araşt¬rmalar¬m¬n her aşamas¬nda en yak¬n ilgi
ve önerileriyle beni yönlendiren dan¬şman hocam, Say¬n Doç. Dr. Ertan I·BI·KLI·
(Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’ye, tezimle ilgili kendisi ile çal¬şma f¬rsat¬ buldu¼
gum arkadaş¬m Sezgin SUCU’ya ve bana her zaman destek olan aileme en içten
sayg¬ve teşekkürlerimi sunar¬m.
Neşe I·ŞLER
Ankara, Ocak 2009
iii
I·ÇI·NDEKI·LER
ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
TEŞEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
1. GI·RI·Ş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2. TANIM VE ÖNBI·LGI· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1 Baz¬Fonksiyon Uzaylar¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2 Süreklilik Modülü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3 S¬n¬rl¬Sal¬n¬ml¬Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.4 Sonlu Aral¬kta Sürekli Fonksiyonlara Polinomlar I·le Yaklaş¬m
18
2.5 Lineer Pozitif Operatörler ve Yaklaş¬m¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
¼ I·ŞKENLI· FONKSI·YONLAR I·ÇI·N BERNSTEIN3. TEK DEG
CHLODOWSKY POLI·NOMLAR DI·ZI·SI· I·LE YAKLAŞIM . . .
49
3.1 I. Tip Bernstein-Chlodowsky Polinomlar Dizisi ve Yaklaş¬m¬ .
65
3.2 II. Tip Bernstein-Chlodowsky Polinomlar Dizisi ve Yaklaş¬m¬ .
90
¼ I·ŞKENLI· FONKSI·YONLAR I·ÇI·N LI·NEER POZI·TI·F
4. I·KI· DEG
OPERATÖRLER DI·ZI·SI· I·LE YAKLAŞIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
¼ I·ŞKENLI· FONKSI·YONLAR I·ÇI·N BERNSTEIN5. I·KI· DEG
CHLODOWSKY POLI·NOMLAR DI·ZI·SI· I·LE YAKLAŞIM . . . .
110
5.1 Üçgensel Bölgede I·ki De¼
gişkenli Bernstein-Chlodowsky
Polinomlar Dizisi ve Yaklaş¬m¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
5.2 Karesel Bölgede I·ki De¼
gişkenli Bernstein-Chlodowsky
Polinomlar Dizisi ve Yaklaş¬m¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
ÖZGEÇMI·Ş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139
iv
1.GI·RI·Ş
Yaklaş¬mlar teorisi, verilen bir uzaydaki bir fonksiyona iyi özellikleri olan ayn¬uzaya
ait fonksiyonlar ailesi ile yaklaş¬m yap¬l¬p yap¬lamayaca¼
g¬n¬araşt¬r¬r.
Yaklaş¬mlar teorisinin temel teoremi olarak nitelendirilen teorem; kapal¬ ve s¬n¬rl¬
[a; b] aral¬g¼¬üzerinde tan¬ml¬reel de¼
gerli sürekli bir f fonksiyonu için her " > 0 ve
her x 2 [a; b] olmak üzere
jPn (x)
f (x)j < "
olacak şekilde bir Pn (x) polinomunun varl¬g¼¬, ilk kez 1885 y¬l¬nda Weierstrass taraf¬ndan ifade ve ispat edilmiştir (Korovkin 1960).
Bernstein (1912) taraf¬ndan [0; 1] aral¬g¼¬üzerinde tan¬ml¬reel de¼
gerli sürekli bir f
fonksiyonuna yaklaşan polinomlar¬n tipi hakk¬nda bir teorem ispatlanm¬şt¬r.
Bn (f ; x) =
n
X
f
k=0
k
n
Cnk xk (1
x)n
k
; 0
x
1
tipinde polinomlar dizisi tan¬mlam¬ş ve bu polinomlar dizisi için key… " > 0 verildi¼
ginde her x 2 [0; 1] ve her n
n0 için
jBn (f ; x)
f (x)j < "
eşitsizli¼
ginin sa¼
gland¬g¼¬n¬göstermiştir.
Chlodowsky (1937) taraf¬ndan [0; 1) aral¬g¼¬üzerinde Bernstein polinomlar¬genelleştirilmiş ve bu polinomlar¬n yaklaş¬m özellikleri araşt¬r¬lm¬şt¬r. Bernstein-Chlodowsky
polinomlar dizisi olarak adland¬r¬lan bu polinomlar dizisi; (bn ),
bn
=0
n!1 n
lim bn = 1 ve lim
n!1
1
şartlar¬n¬sa¼
glayan monoton artan reel terimli pozitif say¬dizisi olmak üzere
Bn (f ; x) =
n
X
k=0
f
k
bn Cnk
n
x
bn
k
1
x
bn
n k
; 0
x
bn
şeklinde tan¬ml¬d¬r.
Korovkin (1953) taraf¬ndan lineer pozitif operatörlerin yaklaş¬m¬ile ilgili bir teorem
ifade ve ispat edilmiştir. Korovkin Teoremi olarak adland¬r¬lan bu teorem aşa¼
g¬da
ifade edilmiştir:
(Ln ) lineer pozitif operatörler dizisi [a; b] aral¬g¼¬nda n ! 1 iken
Ln (1; x)
1
Ln (t; x)
x
Ln t2 ; x
x2
koşullar¬n¬gerçekliyorsa [a; b] aral¬g¼¬nda sürekli ve tüm reel eksende s¬n¬rl¬herhangi
bir f fonksiyonu için
Ln (f ; x)
f (x) ; a
x
b
olur.
Bernstein ve Bernstein-Chlodowsky polinomlar dizisine lineer pozitif operatörler
dizisi gözüyle bak¬ld¬g¼¬nda, Bernstein polinomlar¬n¬n çok araşt¬r¬lm¬ş ve üzerinde
çok fazla çal¬şmalar yap¬lm¬ş olmas¬na ra¼
gmen bu polinomlar¬n s¬n¬rs¬z bir aral¬g¼a
genellemesi olan Bernstein-Chlodowsky polinomlar¬çok az incelenmiştir. Bunun nedeni kapal¬ve s¬n¬rl¬[0; bn ] aral¬g¼¬n¬n n ! 1 iken s¬n¬rs¬z [0; 1) aral¬g¼¬na dönüşmesi
ve sonuç olarak Korovkin Teoremi’nin geçerli olmamas¬ndan kaynaklan¬r.
Bu tezde; çeşitli uzaylarda bir ve iki de¼
gişkenli Bernstein-Chlodowsky tipli operatörlerin yaklaş¬m¬ve yaklaş¬m özellikleri araşt¬r¬lm¬şt¬r.
2
2. TANIM VE ÖNBI·LGI·
Bu bölümde baz¬notasyonlar ve çal¬şma içinde gerekli olan materyaller verilecektir.
2.1 Baz¬Fonksiyon Uzaylar¬
Schumaker et al. (1939), Hac¬yev vd. (1995), I·zgi (2004), I·bikli (2005) taraf¬ndan
baz¬bir ve iki de¼
gişkenli fonksiyon uzaylar¬tan¬mlanm¬şt¬r. Bunlar¬aşa¼
g¬da verelim.
[a; b] üzerinde reel de¼
gerli ve s¬n¬rl¬fonksiyonlar uzay¬
B (a; b) = ff jf : [a; b] ! R tan¬ml¬ve 8x 2 [a; b] için jf (x)j < 1g
şeklinde tan¬mlanabilir.
C (a; b) = ff jf : [a; b] ! R tan¬ml¬ve 8x 2 [a; b] için sürekli g
ile [a; b] üzerinde sürekli fonksiyonlar uzay¬tan¬mlanabilir. C (a; b) uzay¬
kf kC(a;b) = max jf (x)j
x2[a;b]
normu ile lineer normlu uzayd¬r.
B (R) =
f : 8x 2R için jf (x)j
C (R) =
f 2 C (R) : 8x 2R için jf (x)j
M f (x)
M f (x)
ile C (R) uzay¬n¬n a¼
g¬rl¬kl¬fonksiyon uzaylar¬tan¬mlanabilir. Burada Mf , f fonksiyonuna ba¼
gl¬ bir sabit ve
(x) = 1 +
2
(x) olup,
, ( 1; 1) aral¬g¼¬nda sürekli,
artan ve
lim
jxj!1
koşulunu sa¼
glayan bir fonksiyondur.
(x) =
1
fonksiyonuna ise a¼g¬rl¬k fonksiyonu denir.
3
B (R) ve C (R) uzaylar¬
kf k =
jf (x)j
(x)
1<x<1
sup
normu ile birer lineer normlu uzaylard¬r.
C (R) uzay¬n¬n baz¬alt uzaylar¬; kf , f fonksiyonuna ba¼
gl¬bir sabit olmak üzere
C k (R) =
C 0 (R) =
f (x)
= kf < 1
jxj!1 (x)
f (x)
f 2 C (R) : lim
=0
jxj!1 (x)
f 2 C (R) : lim
ile tan¬mlanm¬şt¬r.
Lipschitz s¬n¬f¬, 0
1 olmak üzere
Lip (a; b) = ff 2 C (a; b) : Tüm a
x
x+h
b için jf (x + h)
f (x)j
Mh
olacak şekilde M < 1 say¬s¬vard¬rg
ile tan¬mlanabilir.
> 1 için f fonksiyonu sabit bir fonksiyondur.
n = 2 için iki de¼
gişkenli ve reel de¼
gerli f fonksiyonu; X
f :X
R ve Y
R olmak üzere
Y !R
(x;y)!z
şeklinde tan¬ml¬ olup, bu fonksiyonlar¬n oluşturdu¼
gu s¬n¬fa iki de¼gişkenli ve reel
de¼gerli fonksiyonlar s¬n¬f¬ denir.
Aşa¼
g¬da baz¬iki de¼
gişkenli fonksiyon uzaylar¬n¬verelim.
D
R2 s¬n¬rl¬bölgesi üzerindeki sürekli fonksiyonlar uzay¬
C (D) = ff jf : D ! R tan¬ml¬, 8 (x; y) 2 D için süreklig
4
ile gösterilmek üzere C (D) uzay¬
kf kC(D) = sup jf (x; y)j
(x;y)2D
normu ile lineer normlu uzayd¬r.
Di¼
ger yandan Cb (D) uzay¬
Cb (D) = f : f 2 C (D) ve 8 (x; y) 2 R2 için jf (x; y)j < 1
ile tan¬mlanabilir.
R2++ = f(x; y) : x
0; y
0g ve (x; y) = x2 + y 2 + 1
olmak üzere
C R2++ = f jf : R2++ ! R tan¬ml¬ve (x; y) 2 R2++ için sürekli
şeklinde tan¬mlanabilir.
C R2++ nin a¼
g¬rl¬kl¬uzaylar¬; B
R2++ ve C
R2++ uzaylar¬
B
R2++
=
f : 8 (x; y) 2 R2++ için jf (x; y)j
C
R2++
=
f 2 C R2++ : jf (x; y)j
Mf x 2 + y 2 + 1
ile tan¬ml¬olup,
jf (x; y)j
kf kC (R++ ) = sup 2
2
2
x 0;y 0 x + y + 1
normu ile lineer normlu uzaylard¬r.
5
Mf x 2 + y 2 + 1
Tan¬m 2.1.1 (Cauchy-Schwartz Eşitsizli¼
gi): 8 (x1 ; x2 ; :::; xn ) ; (y1 ; y2 ; :::; yn ) 2
Rn için
n
X
k=1
n
X
jxk yk j
k=1
jxk j2
! 21
n
X
k=1
jyk j2
! 21
eşitsizli¼
gi gerçeklenir (Natanson 1964).
Aşa¼
g¬da verilen Beta ve Gamma fonksiyonlar¬ Saraço¼
glu vd. (1995) kayna¼
g¬ndan
yararlan¬larak yaz¬lm¬şt¬r.
Tan¬m 2.1.2 m; n 2 R olmak üzere
B (n; m) =
Z1
xm
1
(1
x)n
1
dx
0
ile tan¬ml¬fonksiyona Beta fonksiyonu denir. m > 0 ve n > 0 için Beta fonksiyonu
yak¬nsakt¬r.
Tan¬m 2.1.3 n 2 R olmak üzere
(n) =
Z1
xn 1 e x dx
0
ile tan¬ml¬ fonksiyona Gamma fonksiyonu denir. n > 0 için Gamma fonksiyonu
yak¬nsakt¬r.
B ve
fonksiyonlar¬aras¬nda
(m) (n)
(m + n)
B (n; m) =
şeklinde bir ba¼
g¬nt¬vard¬r.
6
(2.1.1)
Tan¬m 2.1.4 X
R olmak üzere f : X ! R tan¬ml¬bir fonksiyon ve a 2 R, X in
bir y¬g¼¬lma noktas¬olsun. E¼
ger
lim f (x) = 0
x!a
ise f fonksiyonuna x ! a iken sonsuz küçük fonksiyon denir ve x ! a iken f (x) =
o (1) ile gösterilir (Museyev, Alp, Mustafayev ve Ekincio¼
glu 2003).
Tan¬m 2.1.5 X
R olmak üzere f ve g, X de tan¬ml¬fonksiyonlar olsun. E¼
ger
x0 2 R olmak üzere x > x0 için
jf (x)j
M jg (x)j
olacak şekilde M > 0 say¬s¬varsa x ! 1 iken f (x) = O (g (x)) şeklindedir (Kurt,
Mehlhorn and Stefan 1990).
Tan¬m 2.1.6 A
R olmak üzere her x1 ; x2 2 A ve her
f [ x1 + (1
) x2 ]
f (x1 ) + (1
2 [0; 1] için
) f (x2 )
gerçekleniyorsa f fonksiyonu A kümesi üzerinde konvekstir, denir (Rudin 1921).
2.2 Süreklilik Modülü
Museyev vd. (2003) taraf¬ndan süreklilik modülü tan¬mlanm¬şt¬r. Aşa¼
g¬da buna
göre süreklilik modülü tan¬m¬n¬verelim.
Tan¬m 2.2.1 Boş olmayan I
R s¬n¬rl¬aral¬g¼¬verilmiş olsun.
d (I) = sup fjx
büyüklü¼
güne I kümesinin çap¬ denir.
7
yj : x; y 2 Ig
Tan¬m 2.2.2 I
R s¬n¬rl¬bir aral¬k, f : I ! R fonksiyonu I üzerinde s¬n¬rl¬olsun.
d = d (I), I kümesinin çap¬olmak üzere ! : (0; d] ! [0; 1);
! f ( ) = ! (f ; ) = sup fjf (x1 )
f (x2 )j : x1 ; x2 2 I; jx1
x2 j
g
fonksiyonuna f fonksiyonunun I üzerindeki süreklilik modülü denir.
Süreklilik modülünün önemli baz¬ özelliklerini verelim. Bu özelliklerin ifade ve ispat¬nda Museyev vd. (2003), Natanson (1964), I·zgi (2004) kaynaklar¬ndan yararlan¬lm¬şt¬r.
Lemma 2.2.1
> 0 için ! f ( )
0 d¬r.
Tan¬m 2.2.2’den ispat¬aç¬kt¬r.
Lemma 2.2.2 ! f ( ) monoton artand¬r.
I·spat: 8 1 ;
2
2 (0; d],
1
<
2
için
fjf (x1 )
f (x2 )j : x1 ; x2 2 I; jx1
x2 j
1g
fjf (x1 )
f (x2 )j : x1 ; x2 2 I; jx1
x2 j
2g
oldu¼
gundan
! f ( 1 ) = sup fjf (x1 )
f (x2 )j : x1 ; x2 2 I; jx1
x2 j
1g
sup fjf (x1 )
f (x2 )j : x1 ; x2 2 I; jx1
x2 j
2g
= !f ( 2)
gerçeklenir.
8
Lemma 2.2.3 n 2 N olmak üzere
! f (n )
n! f ( )
gerçeklenir.
I·spat:
! f (n ) =
sup
x1 ;x2 2I
jx1 x2 j n
jf (x1 )
f (x2 )j
olmak üzere x1 = x2 + nh denirse
! f (n ) = sup jf (x2 + nh)
f (x2 )j
x2 2I
jhj
= sup
x2 2I
jhj
n 1
X
n 1
X
[f (x2 + (k + 1) h)
f (x2 + kh)]
k=0
sup jf (x2 + (k + 1) h)
f (x2 + kh)j
x2 2I
k=0 jhj
olarak yaz¬labilir. Tan¬m 2.2.2’den toplama ba¼
gl¬ifade ! f ( ) olur. Toplam¬n say¬s¬
n tane oldu¼
gu için istenen eşitsizlik elde edilir.
Lemma 2.2.4
pozitif reel say¬olmak üzere
!f (
)
( + 1) ! f ( )
gerçeklenir.
I·spat: [j j] ile
say¬s¬n¬n tam k¬sm¬n¬gösterelim. Bu durumda
[j j]
< [j j] + 1
eşitsizli¼
gi geçerlidir.
9
! (f ; ) n¬n monoton artan olma özelli¼
gi ve Lemma 2.2.4 gere¼
gince;
!f (
! f (([j j] + 1) )
)
([j j] + 1) ! f ( )
( + 1) ! f ( )
eşitsizli¼
gi elde edilir.
Lemma 2.2.5 f , I aral¬g¼¬nda sürekli bir fonksiyon olsun. Bu durumda
lim ! f ( ) = 0
!0
gerçeklenir.
I·spat: f sürekli oldu¼
gundan her " > 0 için jx1
x2 j <
jf (x1 )
f (x2 )j < "
sup jf (x1 )
f (x2 )j < "
eşitsizli¼
gini sa¼
glayan en az bir
oldu¼
gunda
> 0 say¬s¬var olup, ! f ( )’n¬n tan¬m¬ndan
!f ( ) < "
olur. Lemma 2.2.2’den
<
için
!f ( ) < "
yaz¬labilir. Bu da istenen ifadeyi verir.
Lemma 2.2.6 f fonksiyonu [a; b] aral¬g¼¬nda s¬n¬rl¬türeve sahip ise f 2 Lip1 (a; b)
olur.
10
I·spat: f fonksiyonu [a; b] aral¬g¼¬n¬n tüm noktalar¬nda s¬n¬rl¬ türeve sahip olsun.
0
Yani; 8x 2 [a; b] için f (x)
M gerçeklensin. Ortalama De¼
ger Teoremi’nden her
x1 ; x2 için
f (x2 )j = jf 0 ( )j jx1
jf (x1 )
eşitsizli¼
gini sa¼
glayan en az bir
x2 j ; x1 <
< x2
noktas¬vard¬r. Buradan
!f ( )
M
sup
x1 ;x2 2[a;b]
jx1 x2 j
jx1
x2 j
M
eşitsizli¼
gi elde edilir. Lipschitz s¬n¬f¬tan¬m¬ndan f 2 Lip1 (a; b) olur.
Lemma 2.2.7 f 2 Lip (a; b) () ! f ( )
I·spat: E¼
ger ! f ( )
M
gerçeklenir.
M
ise herbir x; y de¼
gerleri için
jf (x)
f (y)j
! f (jx
yj)
M jx
yj
olup, f 2 Lip (a; b) elde edilir.
E¼
ger f 2 Lip (a; b) ise jx
yj
jf (x)
için
f (y)j
M jx
yj
M
elde edilir.
I·ki de¼
gişkenli fonksiyonlar için süreklilik modülleri, Büyükyaz¬c¬(2003a, b), Büyükyaz¬c¬
vd. (2004) ve I·zgi (2004) makalelerinden yararlan¬larak verilmiştir.
Tan¬m 2.2.3 D
olsun. K
R2 s¬n¬rl¬bir bölge ve f : D ! R tan¬ml¬, s¬n¬rl¬bir fonksiyon
D kompakt bir bölge ve x = (x1 ; x2 ) ; y = (y1 ; y2 ) olmak üzere
! 2 (f ; ) = sup jf (x1 ; y1 )
f (x2 ; y2 )j : x; y 2 K;
11
q
(x1
x2 )2 + (y1
y2 )2
fonksiyonuna f fonksiyonunun tam süreklilik modülü denir.
(1)
f (x2 ; y)j : (x1 ; y) ; (x2 ; y) 2 K; jx1
x2 j
g
(2)
f (x; y2 )j : (x; y1 ) ; (x; y2 ) 2 K; jy1
y2 j
g
! 2 (f ; ) = sup fjf (x1 ; y)
! 2 (f ; ) = sup fjf (x; y1 )
fonksiyonlar¬na f fonksiyonunun x e göre k¬smi süreklilik modülü ve y ye göre k¬smi
süreklilik modülü denir.
Tam süreklilik modülünün önemli olan baz¬özelliklerini verelim.
Özellik 2.2.1
> 0 için ! 2 (f ; )
0 d¬r.
Tan¬m 2.2.3’ten ispat¬aç¬kt¬r.
Özellik 2.2.2 ! 2 (f ; ) monoton artand¬r.
I·spat: 8 1 ;
2
> 0,
1
<
2
için
q
f (x2 ; y2 )j : x; y 2 K; (x1
q
f (x2 ; y2 )j : x; y 2 K; (x1
jf (x1 ; y1 )
jf (x1 ; y1 )
x2 )2 + (y1
y2 )2
1
x2 )2 + (y1
y2 )2
2
oldu¼
gundan
! 2 (f ;
1)
= sup jf (x1 ; y1 )
sup jf (x1 ; y1 )
= ! 2 (f ;
2)
q
f (x2 ; y2 )j : x; y 2 K; (x1
q
f (x2 ; y2 )j : x; y 2 K; (x1
elde edilir.
12
x2 )2 + (y1
y2 )2
1
x2 )2 + (y1
y2 )2
2
Özellik 2.2.3 f : K ! R sürekli bir fonksiyon ise
lim ! 2 (f ; ) = 0
!0
gerçeklenir.
I·spat: f fonksiyonu K bölgesinde sürekli oldu¼
gundan her " > 0 için jx
yj
olmak üzere her x; y 2 K için
jf (x1 ; y1 )
eşitsizli¼
gini sa¼
glayan en az bir
p
yaz¬labilir.
sup
(x1 x2 )2 +(y1 y2 )2
<
f (x2 ; y2 )j < "
> 0 say¬s¬vard¬r. Buradan
jf (x1 ; y1 )
f (x2 ; y2 )j < " =) ! (f ; ) < "
için ! (f ; ) < " olup, istenen ifade elde edilir.
Özellik 2.2.4 m 2 N olmak üzere
! 2 (f ; m )
m! 2 (f ; )
gerçeklenir.
I·spat:
! 2 (f ; m ) = p
max
(x1 x2 )2 +(y1 y2 )2 m
jf (x1 ; y1 )
f (x2 ; y2 )j
olmak üzere
q
(x1
x2 )2 + (y1
y2 )2
m =) (x1
=) (x1
x2 )2
=) jx1
x2 j
13
x2 )2 + (y1
m2
2
y2 )2
ve (y1
m ve jy1
y2 j
y2 )2
m
m2
m2
2
2
olarak elde edilir. Buradan
jx1
x2 j
m =)
=)
m
m + x2
x1
x1
x2
m
m + x2
ve
jy1
y2 j
m =)
=)
m + y2
m
y1
y1
y2
m
m + y2
şeklinde yaz¬labilir. 8h > 0 için
x1 = x2 + mh ve y1 = y2 + mh
olsun.
Bu durumda
! 2 (f ; m ) =
max
x2 +mh;x2 ;y2 +mh;y2 2K
jhj
= max
jhj
m
X1
jf (x2 + mh; y2 + mh)
f (x2 + (k + 1) h; y2 + (k + 1) h)
f (x2 ; y2 )j
f (x2 + hk; y2 + kh)
k=0
= max jf (x2 + h; y2 + h)
jhj
f (x2 ; y2 ) + f (x2 + 2h; y2 + 2h)
f (x2 + h; y2 + h) + ::: + f (x2 + mh; y2 + mh)
f (x2 + (m
1) h; y2 + (m
max jf (x2 + h; y2 + h)
jhj
1) h)j
f (x2 ; y2 )j
+ max jf (x2 + 2h; y2 + 2h)
jhj
f (x2 + h; y2 + h)j
+::: + max jf (x2 + mh; y2 + mh)
jhj
= ! 2 (f ; ) + ! 2 (f ; ) + ::: + ! 2 (f ; )
= m! 2 (f ; )
olarak elde edilir.
14
f (x2 + (m
1) h; y2 + (m
1) h)j
Özellik 2.2.5
> 0 için ! 2 (f ;
( + 1) ! 2 (f ; ) d¬r.
)
I·spat: m 2 N olmak üzere
! 2 (f ; m )
m! 2 (f ; )
oldu¼
gu biliniyor.
2 R+ = [0; 1) ise
! 2 (f ;
)
( + 1) ! 2 (f ; )
olur.
2 R için
[j j]
[j j] + 1
+1
olmak üzere
! 2 (f ;
! 2 (f ; ([j j] + 1) )
)
([j j] + 1) ! 2 (f ; )
( + 1) ! 2 (f ; )
olarak elde edilir.
Özellik 2.2.6 ( n ),
lim
n
n!1
=0
koşulunu sa¼
glayan pozitif terimli bir dizi ve Cf , f fonksiyonu ve ( n ) dizisine ba¼
gl¬
bir sabit olmak üzere ! 2 (f ;
n)
Cf
n
eşitsizli¼
gi gerçeklenir.
I·spat: Süreklilik modülünün 2.2.5 özelli¼
ginden
! 2 (f ; 1) = ! 2 f ;
1
n
n
15
1
1+
! 2 (f ;
n)
! 2 (f ;
n)
n
1+
=
n
n
elde edilir. Buradan
! 2 (f ;
n
n)
! 2 (f ; 1)
1+
n
yaz¬labilir. ( n ) s¬f¬ra yak¬nsayan bir dizi oldu¼
gundan 1 +
C > 0 say¬s¬vard¬r. Bu durumda
1
1+
! 2 (f ;
eşitsizli¼
gi sa¼
glan¬r.
! 2 (f ;1)
C
1
C
n
C olacak şekilde
olaca¼
g¬ndan
n
n)
n
C
! 2 (f ; 1)
= Cf denirse
! 2 (f ;
n)
Cf
n
elde edilir. Bu da istenen eşitsizliktir.
Aç¬kca görülebilir ki tam süreklilik modülü için geçerli olan özellikler k¬smi süreklilik
modülleri için de geçerlidir.
2.3 S¬n¬rl¬Sal¬n¬ml¬Fonksiyonlar
f : [a; b] ! R fonksiyonu verilsin ve [a; b] aral¬g¼¬n¬n bir parçalanmas¬
= fxi gn0 (a = x0 < x1 < ::: < xn = b)
olsun.
V (f ) =
n
X
k=1
jf (xk )
toplam¬n¬oluştural¬m.
16
f (xk 1 )j
Tan¬m 2.3.1 [a; b] aral¬g¼¬n¬n her
parçalanmas¬için
Vab (f ) = sup V (f )
ifadesine f nin total sal¬n¬m¬ denir. E¼
ger
Vab (f )
M
olacak şekilde bir M = M (f ) say¬s¬varsa f fonksiyonu [a; b] üzerinde sonlu veya
s¬n¬rl¬sal¬n¬ml¬d¬r, denir. [a; b] de s¬n¬rl¬sal¬n¬ml¬fonksiyonlar¬n kümesi BV [a; b] ile
gösterilebilir (Natanson 1961).
Tan¬m 2.3.2 f fonksiyonu diferensiyellenebilir ve türevi integrallenebilir olsun. Bu
durumda
Vab
(f ) =
Zb
0
f (x) dx
a
ifadesi gerçeklenir (Kannan et al. 1996).
Teorem 2.3.1 Kapal¬ve s¬n¬rl¬[a; b] aral¬g¼¬üzerinde f fonksiyonu s¬n¬rl¬sal¬n¬ml¬
bir fonksiyon ise s¬n¬rl¬d¬r.
I·spat: a
x
b için
V =
n 1
X
jf (xk+1 )
f (xk )j
f (a)j + jf (b)
f (x)j
k=0
olmak üzere
V = jf (x)
olup,
jf (x)j
jf (a)j + Vab (f )
elde edilir. Bu durumda [a; b] aral¬g¼¬üzerinde
jf (x)j
17
M
Vab (f )
olacak şekilde M > 0 say¬s¬vard¬r. Bu da ispat¬tamamlar.
2.4 Sonlu Aral¬kta Sürekli Fonksiyonlara Polinomlar I·le Yaklaş¬m
1885’de Weierstrass, kapal¬ve s¬n¬rl¬[a; b] aral¬g¼¬üzerinde tan¬ml¬, reel de¼
gerli her
sürekli f fonksiyonuna polinomlar ile yaklaş¬labilece¼
gini aşa¼
g¬daki teorem ile ifade
etmiştir.
Teorem 2.4.1 (Weierstrass): f fonksiyonu [a; b] aral¬g¼¬nda sürekli ise her " > 0
için [a; b] aral¬g¼¬üzerinde
jP (x)
f (x)j < "
eşitsizli¼
gini gerçekleyen az bir P (x) polinomu vard¬r (Korovkin 1960).
Bernstein (1912) taraf¬ndan [0; 1] aral¬g¼¬üzerinde Weierstrass Teoremi’ni gerçekleyen
polinomlar¬n tipi ile ilgili bir teorem ispatlanm¬şt¬r. Bernstein polinomlar¬ olarak
adland¬r¬lan bu polinomlar¬n tipleri ve yaklaş¬m özellikleri, Groetsch et al. (1973),
Bleimann et al. (1980), Martinez (1989), Kampiti et al. (1994) gibi birçok makalede
araşt¬r¬lm¬şt¬r.
Tan¬m 2.4.1 f : [0; 1] ! R tan¬ml¬, sürekli bir fonksiyon olsun.
Bn (f ; x) =
n
X
f
k=0
k
n
Cnk xk (1
x)n
k
ile tan¬ml¬polinomlara Bernstein polinomlar¬ ad¬verilir.
Bn : C (0; 1) ! C (0; 1) bir dönüşüm oldu¼
gu aç¬kt¬r. Burada
Cnk =
n
k
=
n!
k! (n k) !
(2.4.1)
şeklindedir. Her belirli n do¼
gal say¬s¬için Bn (f ; x), n: mertebeden bir polinomdur.
18
Bu polinomlar¬n temel yap¬s¬; a ve b pozitif say¬lar ve n bir do¼
gal say¬olmak üzere
(a + b)n =
n
X
x)n
Cnk xk (1
k
k=0
Binom formülüne ba¼
gl¬d¬r. Bu formülde x 2 [0; 1] olmak üzere a = x ve b = 1
al¬n¬rsa
n
X
Cnk xk (1
x)n
k
=1
nx)2 Cnk xk (1
x)n
k
= nx (1
(2.4.2)
k=0
eşitli¼
gi elde edilir.
Lemma 2.4.1 8x 2 [0; 1] için
n
X
(k
x)
k=0
gerçeklenir (Natanson 1964).
Lemma 2.4.2 x 2 [0; 1] ve
=
n
olmak üzere
> 0 olsun.
X
k2
k
x
n
;
k
Cnk xk (1
; k = 0; 1; :::; n
x)n
1
4n
k
n
2
eşitsizli¼
gi gerçeklenir.
I·spat: k 2
n
için
k
x
n
=)
k
n
x
1 =)
nx)2
(k
n2
2
1
oldu¼
gundan
X
k2
n
Cnk xk
(1
n k
x)
X (k
k2
n
19
nx)2
n2 2
x
Cnk xk (1
x)n
k
n
1 X
n2 2
nx)2 Cnk xk (1
(k
x)n
k
k=0
eşitsizli¼
gi yaz¬labilir. Lemma 2.4.1 kullan¬larak
X
k2
x)n
Cnk xk (1
1
k
n2
n
2 nx (1
x)
elde edilir. Buradan
X
k2
x)n
Cnk xk (1
1
k
n2
n
=
1
4n
2
max nx (1
x2[0;1]
x)
(2.4.3)
2
olur. Bu da istenen eşitsizliktir.
Teorem 2.4.2 [0; 1] aral¬g¼¬üzerinde f fonksiyonu sürekli ise
lim Bn (f ; x) = f (x)
n!1
bu aral¬kta düzgün olarak gerçeklenir.
I·spat: f : [0; 1] ! R fonksiyonu [0; 1] aral¬g¼¬üzerinde sürekli oldu¼
gundan s¬n¬rl¬d¬r.
Yani; [0; 1] aral¬g¼¬üzerinde
jf (x)j
M
olacak şekilde M > 0 say¬s¬vard¬r.
Kapal¬ ve s¬n¬rl¬ aral¬k üzerinde sürekli bir fonksiyon, bu aral¬k üzerinde düzgün
süreklidir. Yani; her " > 0 için jx1
x2 j <
jf (x1 )
eşitsizli¼
gini gerçekleyen en az bir
olmak üzere her x1 , x2 2 [0; 1] için
f (x2 )j <
"
2
= (") > 0 say¬s¬vard¬r.
20
(2:4:2) eşitli¼
ginin her iki yan¬f (x) ile çarp¬l¬rsa
n
X
f (x) =
f (x)Cnk xk (1
x)n
k
k=0
olur. Bn (f ; x)
Bn (f ; x)
f (x) fark¬gözönüne al¬n¬rsa
f (x) =
n
X
k
n
f
k=0
=
n
X
Cnk xk
k=0
(1
x)
n
X
x)n
f (x)Cnk xk (1
k
k=0
k
n
f
n k
f (x) Cnk xk (1
x)n
k
eşitli¼
gi yaz¬labilir. k = 0; 1; :::; n indis kümesi
n
=
k
;
n
=
k
;
k
x <
n
k
x
n
olacak şekilde iki s¬n¬fa ayr¬ls¬n. Bu durumda
Bn (f ; x)
f (x) =
X
k2
k
n
f
x)n
f (x) Cnk xk (1
k
n
X
+
k2
k
n
f
f (x) Cnk xk (1
x)n
k
n
olup,
jBn (f ; x)
f (x)j =
X
k2
+
k
n
f
x)n
f (x) Cnk xk (1
k
n
X
k2
k
n
f
f (x) Cnk xk (1
x)n
k
n
olarak yaz¬labilir. Üçgen eşitsizli¼
gi kullan¬larak
jBn (f ; x) f (x)j
X
k2
+
k
n
f
f (x) Cnk xk (1
x)n
k
(2.4.4)
n
X
k2
f
n
21
k
n
f (x) Cnk xk (1
x)n
k
elde edilir.
f fonksiyonu sürekli oldu¼
gundan k 2
n
için
k
n
f
f (x) <
"
2
eşitsizli¼
gi sa¼
glan¬r.
f fonksiyonu s¬n¬rl¬oldu¼
gundan k 2
k
n
f
n
için
f (x)
2M
eşitsizli¼
gi sa¼
glan¬r. Bulunan bu iki eşitsizlik (2:4:4) ifadesinde kullan¬l¬rsa
jBn (f ; x) f (x)j
" X k k
Cn x (1
2 k2
x)n k +2M
X
k2
n
n
"X
x)n
k
n
X
C k xk (1 x)n k +2M
2 k=0 n
k2
X
"
+ 2M
Cnk xk (1 x)n k
=
2
k2
Cnk xk (1
Cnk (1
x)n
k
n
(2.4.5)
n
eşitsizli¼
gi elde edilir.
(2:4:5) eşitsizli¼
ginin sa¼
g taraf¬ndaki toplam ifadesi, Lemma 2.4.2’de verilen (2:4:3)
eşitsizli¼
gini gerçekler. Bu durumda
jBn (f ; x) f (x)j
elde edilir. Yeterince büyük n de¼
gerleri için
M
"
2<
2
2n
22
" M
+
2 2n 2
olup, 8" > 0 say¬s¬için istenen
" "
jBn (f ; x) f (x)j < + = "
2 2
ifadesi gerçeklenir.
Key… [a; b] aral¬g¼¬üzerinde de Bernstein polinomlar¬Weierstrass Teoremi’ni gerçekler. Bunu aşa¼
g¬daki teorem ile ifade edelim.
Teorem 2.4.3 f 2 C (a; b) ise [a; b] aral¬g¼¬üzerinde
lim Bn (f ; x) = f (x)
n!1
düzgün olarak gerçeklenir.
I·spat: f fonksiyonu [a; b] aral¬g¼¬ üzerinde sürekli olsun. [0; 1] aral¬g¼¬nda tan¬ml¬,
sürekli
' (y) = f (a + y (b
fonksiyonunu ve
(y) =
n
X
a))
ck y k
k=0
polinomunu gözönüne alal¬m. Teorem 2.4.2 gere¼
gince; 8y 2 [0; 1] için
f (a + y (b
a))
n
X
ck y k < "
k=0
koşulunun sa¼
glanmas¬gerekir.
8x 2 [a; b] için
x a
b a
kesri [0; 1] aral¬g¼¬ndad¬r. Bu kesir yukar¬da y yerine yaz¬l¬rsa
f
x
a+
b
a
(b
a
n
X
a)
k=0
23
ck
x
b
a
a
k
<"
olur. Buradan
f (x)
n
X
ck
k=0
olup, bu da
P (x) =
n
X
ck
k=0
x
b
k
a
a
x
b
<"
a
a
k
polinomunun f fonksiyonuna olan yak¬nsakl¬g¼¬d¬r. Böylelikle istenilen elde edilmiş
olur.
2.5 Lineer Pozitif Operatörler ve Yaklaş¬m Özellikleri
Haciyev vd. (1995) taraf¬ndan lineer pozitif operatörlerin tan¬m¬ ve baz¬ önemli
özellikleri verilmiştir.
Tan¬m 2.5.1 X ve Y fonksiyon uzaylar¬ olsun. L : X ! Y bir dönüşüm olmak
üzere 8f 2 X fonksiyonuna karş¬l¬k gelen bir g 2 Y fonksiyonu varsa, L
g (x) = L (f ; x)
şeklinde bir operatördür, denir. L operatörünün tan¬m bölgesi X = D (L), de¼
ger
kümesi ise R (L) olmak üzere
L (f ; x) = L (f (t) ; x)
ile gösterilir.
Tan¬m 2.5.2 X lineer bir uzay olsun. 8f; g 2 X için, a; b 2 R ve af + bg 2 X
olmak üzere L operatörü
L (af + bg; x) = aL (f ; x) + bL (g; x)
koşulunu gerçekliyor ise L operatörüne lineer operatör ad¬verilir.
24
c 6= 0 için L lineer bir operatör oldu¼
gundan
L (0; x) = L (c:0; x) = cL (0; x)
olarak yaz¬labilir. Buradan
L (0; x) = 0
oldu¼
gu görülür.
Lineer operatörler s¬n¬f¬n¬n çok önemli bir alt s¬n¬f¬lineer pozitif operatörlerdir.
Tan¬m 2.5.3 X + = ff 2 X : f
0g, Y + = fg 2 Y : g
0g olsun. E¼
ger X uza-
y¬nda tan¬mlanm¬ş L lineer operatörü X + kümesindeki herhangi bir f fonksiyonunu
pozitif fonksiyona dönüştürüyorsa o taktirde bu lineer operatöre lineer pozitif operatör denir. L lineer operatörü için f
0 oldu¼
gunda L (f ; x)
0 gerçeklenir.
Şimdi lineer pozitif operatörlerin önemli baz¬özelliklerini verelim.
Özellik 2.5.1 Lineer pozitif operatörler monotondur.
Gerçekten; 8x 2 R için f (x)
g (x) ise f (x)
g (x)
0 d¬r. L operatörü pozitif
oldu¼
gundan
L (f
g; x)
0
olur ve L operatörünün lineerlik özelli¼
ginden
L (f ; x)
L (g; x)
0
elde edilir. Bu da istenendir.
Özellik 2.5.2 L lineer pozitif operatör olsun. Bu durumda
jL (f ; x)j
L (jf j ; x)
25
eşitsizli¼
gi gerçeklenir.
Gerçekten; 8t 2 [a; b] için
jf (t)j
jf (t)j
f (t)
eşitsizli¼
gi sa¼
glan¬r. L operatörünün monoton olma özelli¼
ginden
L (jf j ; x)
L (f ; x)
L (jf j ; x)
yaz¬labilir. Dolay¬s¬yla
jL (f ; x)j
L (jf j ; x)
elde edilir.
Tan¬m 2.5.4 L : X ! Y lineer dönüşüm olsun. E¼
ger 8f 2 X için
kL (f ; x)kY
C kf kX
olacak şekilde C > 0 say¬s¬ varsa L operatörüne s¬n¬rl¬ lineer operatör ad¬ verilir.
Bu C sabitlerinin en küçü¼
güne L operatörünün normu denir.
kLk = inf fC : kL (f ; x)kY
C kf kX g
şeklinde gösterilir.
L lineer operatörü için
kLk =
kLk =
kL (f ; x)kY
kf kX
kf kX 6=0
sup
sup kL (f ; x)kY
kf kX =1
eşitlikleri sa¼
glan¬r.
26
X = C (R) ve Y = B (R) oldu¼
gunu kabul edelim. Bu durumda
kLkC
!B
sup kL (f ; x)k
=
kf k =1
sup
L
jf j
;x
kf k =1
kL ( ; x)k
olur. Di¼
ger yandan k k = 1 oldu¼
gu için
kLkC
sup kL (f ; x)k
=
!B
kf k =1
kL ( ; x)k
yaz¬labilir. Bu iki eşitsizlikten
kLkC
!B
= kL ( ; x)k
(2.5.1)
elde edilir. Bu eşitlik, C dan B ya dönüşüm yapan lineer operatörlerin s¬n¬rl¬
oldu¼
gunu gösterir. Çünkü
2 C için L ( ; x) 2 B olur. Operatörün normunun
tan¬m¬ndan s¬n¬rl¬lineer operatörler için
kL (f ; x)k
kLk kf k
eşitsizli¼
gi geçerlidir. Özel durumda L : C ! B oldu¼
gunda
kL (f ; x)k
kLkC
kL (f ; x)k
kL ( ; x)k kf k
!B
kf k
olup, (2:5:1) ifadesinden
eşitsizli¼
gi sa¼
glan¬r.
27
Korovkin (1953) taraf¬ndan [a; b] aral¬g¼¬üzerinde tan¬ml¬reel de¼
gerli sürekli f fonksiyonuna lineer pozitif operatörler dizisi ile yaklaş¬m yap¬labilece¼
gini aşa¼
g¬daki teorem
ile ifade ve ispat etmiştir.
Teorem 2.5.1 (Korovkin 1953): (Ln ) lineer pozitif operatörler dizisi, [a; b] aral¬g¼¬nda n ! 1 iken
Ln (1; x)
1
(2.5.2)
Ln (t; x)
x
(2.5.3)
x2
(2.5.4)
Ln t2 ; x
koşullar¬n¬ gerçekliyorsa, [a; b] aral¬g¼¬ üzerinde sürekli ve tüm reel eksende s¬n¬rl¬
herhangi bir f fonksiyonu için n ! 1 iken a
Ln (f ; x)
b olmak üzere
x
f (x)
gerçeklenir.
I·spat: f fonksiyonu reel eksende s¬n¬rl¬oldu¼
gundan 8x 2 R için
jf (x)j
M
(2.5.5)
xj <
olmak üzere her t 2 R ve x 2 [a; b]
olacak şekilde M > 0 say¬s¬vard¬r.
f 2 C (a; b) oldu¼
gundan her " > 0 için jt
için
jf (t)
eşitsizli¼
gini gerçekleyen en az bir
(t
x)2
2
(2.5.6)
f (x)j < "
> 0 say¬s¬vard¬r. Di¼
ger yandan jt
1 =)
2M
2
28
(t
x)2
2M
xj
için
sa¼
glan¬r. (2:5:5) ; (2:5:6) eşitsizlikleri ve üçgen eşitsizli¼
gi kullan¬larak 8" > 0 için
jf (t)
f (x)j <
2M
2
x)2 + "
(t
(2.5.7)
bulunur.
Lineer pozitif operatörlerin özelliklerinden
kLn (f ; x)
f (x)kC(a;b) = kLn (f (t)
f (x) ; x) + f (x) (Ln (1; x)
1)kC(a;b)
kLn (f (t)
f (x) ; x)kC(a;b) + kf kC(a;b) kLn (1; x)
kLn (jf (t)
f (x)j ; x)kC(a;b) + kf kC(a;b) kLn (1; x)
1kC(a;b)
1kC(a;b)
eşitsizli¼
gi yaz¬labilir. Bu eşitsizli¼
gin ikinci terimi (2:5:2) ifadesinden dolay¬ s¬f¬ra
yak¬nsar. Yani n ! 1 iken
kf kC(a;b) kLn (1; x)
"n (n ! 1 iken "n ! 0)
1kC(a;b)
eşitsizli¼
gini sa¼
glayan "n ! 0 dizisi vard¬r. Bu durumda
kLn (f ; x)
f (x)kC(a;b)
kLn (jf (t)
f (x)j ; x)kC(a;b) + "n
(2.5.8)
gerçeklenir.
(2:5:8) eşitsizli¼
ginin sa¼
g¬ndaki ilk terimi gözönüne alal¬m. (2:5:7) eşitsizli¼
gi ve lineer
pozitif operatörlerin özellikleri kullan¬larak
Ln (jf (t)
f (x)j ; x)
Ln
2M
2
(t
= "Ln (1; x) +
= "Ln (1; x) +
x)2 + "; x
2M
2
2M
2
29
Ln (t
x)2 ; x
Ln t2 ; x
2xLn (t; x) + x2 Ln (1; x)
= " [Ln (1; x)
1] + " +
2M
2
Ln t2 ; x
x2
2x [Ln (t; x) x] + x2 [Ln (1; x) 1]
2M
2M
= " + " + 2 x2 [Ln (1; x) 1] + 2 Ln t2 ; x
4M
2
x [Ln (t; x)
x2
x]
elde edilir.
"+
2M
2
4M
x2 = g (x) ve
2
x = h (x)
olsun. 8x 2 [a; b] için
g (x)
sup jg (x)j = b ve h (x)
sup jh (x)j = c
x2[a;b]
x2[a;b]
olmak üzere
Ln (jf (t)
f (x)j ; x)
" + b [Ln (1; x)
+c [Ln (t; x)
kLn (jf (t)
f (x)j ; x)kC(a;b)
1] +
2M
2
Ln t2 ; x
x2
x]
" + b kLn (1; x) 1kC(a;b)
2M
+ 2 Ln t2 ; x
x2 C(a;b) + c kLn (t; x)
xkC(a;b)
elde edilir. (2:5:2), (2:5:3) ve (2:5:4) ifadelerinden dolay¬
lim kLn (jf (t)
n!1
f (x)j ; x)kC(a;b) = 0
olur. Bu durumda (2:5:8) ifadesinin
lim kLn (f (t) ; x)
n!1
f (x)kC(a;b) = 0
oldu¼
gu görülür. Bu da ispat¬tamamlar.
1962 y¬l¬nda Baskakov, [a; b] aral¬g¼¬üzerinde sürekli ve Mf , f fonksiyonuna ba¼
gl¬bir
sabit olmak üzere
jf (x)j
Mf 1 + x 2
30
(2.5.9)
koşulunu sa¼
glayan f fonksiyonu için Korovkin Teoremi’nin gerçeklendi¼
gini ispatlam¬şt¬r.
Gerçekten; f 2 C (a; b) oldu¼
gundan her " > 0 için jt
oldu¼
gunda her t 2 R
xj <
ve x 2 [a; b] için
jf (t)
eşitsizli¼
gini gerçekleyen en az bir
jt
xj
jf (t)
f (x)j < "
> 0 say¬s¬vard¬r.
oldu¼
gunda 8x 2 [a; b] için f fonksiyonu (2:5:9) koşulunu sa¼
glad¬g¼¬ndan
f (x)j
Mf 1 + x2 + Mf 1 + t2
= Mf 2 + t2 + x2
= Mf 2 + (t
x + x)2 + x2
= Mf 2 + (t
x)2 + 2x (t
Mf
2
= Mf (t
Mf (t
x)2
(t
x)2 + 2x
+ (t
2
x)2
2
x)2
2
2
2
x) + 2x2
+1+
2x
+
(t
2
+ sup
x2[a;b]
x2[a;b]
şeklinde yaz¬labilir. Bu eşitsizlikte
c = Mf
2
2
+ 1 + sup
2x
+ sup
x2[a;b]
x2[a;b]
al¬n¬rsa
jf (t)
f (x)j
c (t
x)2
elde edilir. Bu durumda 8x 2 [a; b] ve 8t 2 R için
jf (t)
f (x)j
" + c (t
31
+ 2x
2 (t
2x2
2x
+ 1 + sup
x)2
x)2
2x2
2
!
2x2
2
!
x)2
2
!
yaz¬labilir. Ayr¬ca
Ln (jf (t)
f (x)j ; x)
x)2 ; x
Ln " + c (t
= "Ln (1; x) + c Ln t2 ; x
= " [Ln (1; x)
2xLn (t; x) + x2 Ln (1; x)
Ln t2 ; x
1] + " + c
x] + x2 [Ln (1; x)
2x [Ln (t; x)
x2
1]
olup, k = c sup j 2xj ve l = c sup jx2 j olmak üzere
x2[a;b]
kLn (jf (t)
x2[a;b]
" + (" + l) kLn (1; x)
f (x)j ; x)kC(a;b)
+c Ln t2 ; x
x2
1kC(a;b) + k kLn (t; x)
xkC(a;b)
C(a;b)
eşitsizli¼
gi sa¼
glan¬r. (2:5:2), (2:5:3) ve (2:5:4) ifadelerinden dolay¬
lim kLn (jf (t)
f (x)j ; x)kC(a;b) = 0
n!1
olur. Bu durumda (2:5:8) eşitsizli¼
ginden istenen
lim kLn (f ; x)
f (x)kC(a;b) = 0
n!1
elde edilir. O halde Korovkin Teoremi sa¼
glanm¬ş olur.
Di¼
ger yandan s¬n¬rs¬z bölgelerde tan¬mlanm¬ş C (R)
C (R) uzay¬nda key… Ln
lineer pozitif operatörler yard¬m¬yla yaklaş¬m¬n gerçeklenmedi¼
gini aşa¼
g¬daki teorem
ile verelim.
Teorem 2.5.2 Ln : C (R) ! C (R) tan¬ml¬ bir lineer pozitif operatörler dizisi
olsun. Bu dizi
lim kLn (1; x)
1k
= 0
(2.5.10)
lim kLn ( ; x)
k
= 0
(2.5.11)
= 0
(2.5.12)
n!1
n!1
lim Ln
n!1
2
;x
32
2
koşullar¬n¬sa¼
glar, fakat
lim kLn f
n!1
f k >0
ifadesini gerçekleyen f 2 C (R) fonksiyonu bulunur (Gadjiev ve I·bikli 1999, I·bikli
2003).
I·spat: Genelli¼
gi bozmadan
(0) = 0 olsun.
2
l (x; ; f ) =
(x)
f (x + 1)
2 (x + 1)
2
2f (x) +
(x)
f (x + 2)
2 (x + 2)
notasyonunu kullanal¬m.
(Ln ) operatörler dizisi
ile tan¬mlans¬n.
8
>
>
f (x) + 4 (x)
l (x; ; f ) ; 0 x n
>
(n)
<
Ln (f ; x) =
;
x n
f (x) + 41 l (x; ; f )
>
>
>
1
: f (x)
f (x)
;
x 0
2 (n)
(Ln ) dizisinin bir lineer pozitif operatörler dizisi oldu¼
gunu gösterelim.
8x 2 R için f (x)
0 olmas¬koşuluyla Ln (f ; x)
0 oldu¼
gu aç¬kt¬r.
8f1 ; f2 2 C (R) ve 8a1 ; a2 2 R için
0
x
n olmak üzere,
Ln (a1 f1 + a2 f2 ; x) = (a1 f1 + a2 f2 ) (x) +
(x)
l(x; ; a1 f1 + a2 f2 )
4 (n)
(x)
l (x; ; f1 )
4 (n)
(x)
+a2 f2 (x) + a2
l (x; ; f2 )
4 (n)
= a1 Ln (f1 ; x) + a2 Ln (f2 ; x)
= a1 f1 (x) + a1
33
olarak yaz¬labilir.
x
n olmak üzere,
1
Ln (a1 f1 + a2 f2 ; x) = (a1 f1 + a2 f2 )(x) + l (x; ; a1 f1 + a2 f2 )
4
1
1
= a1 f1 (x) + a1 l (x; ; f1 ) + a2 f2 (x) + a2 l (x; ; f2 )
4
4
= a1 Ln (f1 ; x) + a2 Ln (f2 ; x)
olarak yaz¬labilir.
x
0 olmak üzere,
1
(a1 f1 + a2 f2 ) (x)
2 (n)
Ln (a1 f1 + a2 f2 ; x) = (a1 f1 + a2 f2 ) (x)
1
f1 (x) + a2 f2 (x)
2 (n)
= a1 Ln (f1 ; x) + a2 Ln (f2 ; x)
= a1 f1 (x)
a1
a2
1
f2 (x)
2 (n)
olarak yaz¬labilir. Bu durumda 8x 2 R için (Ln ) operatörler dizisinin lineer oldu¼
gu
görülür.
Ln ’nin C (R) den C (R) ye bir dönüşüm oldu¼
gunu gösterelim. Bunun için Ln ( ; x)
M (x) olacak şekilde M > 0 say¬s¬n¬n varl¬g¼¬n¬göstermek yeterlidir.
0
x
n için,
(x)
4 (n)
(x)
=
(x) +
4 (n)
2
(x)
+ 2
(x + 2)
(x)
=
(x) +
4 (n)
Ln ( ; x) =
2
2
(x)
(x)
(x
+
1)
2
(x)
+
(x + 2)
2 (x + 1)
2 (x + 2)
2
(x)
2
(x + 1) + 1
2( 2 (x) + 1)
2 (x + 1)
(x) +
2
(x + 2) + 1
2
(x)
+
2 (x + 1)
34
2
2
(x)
(x + 2)
2
(2.5.13)
olarak yaz¬labilir.
fonksiyonu monoton artan oldu¼
gundan
2
2
(x)
(x + 1)
1
olup, bu eşitsizlik (2:5:13) ifadesinde kullan¬l¬rsa
Ln ( ; x)
(x)
eşitsizli¼
gi elde edilir.
x
n için,
Ln ( ; x) = (x) +
olmak üzere bu ifadede
1
4
2
2
(x)
(x + 1)
2 (x + 1)
2 (x) +
(x) fonksiyonu yerine yaz¬l¬p,
2
(x)
(x + 2)
(x + 2)
fonksiyonunun artanl¬g¼¬
kullan¬l¬rsa
Ln (f ; x)
(x)
ifadesi elde edilir.
x
0 için,
Ln ( ; x) = (x)
2 (n) 1
(x)
=
(x)
2 (n)
2 (n)
olup,
2 (n) 1
2 (n)
1
oldu¼
gundan
Ln ( ; x)
(x)
ifadesi elde edilir.
Bu durumda 8x 2 R için Ln (f ; x)
(x) ifadesi sa¼
glan¬r. (Ln ) lineer pozitif
operatörler dizisinin C (R)’den C (R)’ye bir dönüşüm oldu¼
gu ispatlanm¬ş olur.
35
(Ln ) lineer pozitif operatörler dizisinin Teorem 2.5.2’nin koşullar¬n¬ gerçekledi¼
gini
gösterelim.
0
x
n için,
Ln (1; x) = 1 +
jLn (1; x)
(x)
olup,
1j
2
(x)
4 (n)
(x)
2 (x + 1)
2
(x)
+
2 (x + 1)
1
4 (n)
2
2+
2
(x)
(x + 2)
2
2
(x)
+2
(x + 2)
fonksiyonunun monoton artanl¬g¼¬ndan
jLn (1; x)
(x)
2
olarak yaz¬labilir. Buradan (n) = 1 +
jLn (1; x)
(x)
0 x n
jLn (1; x)
lim sup
n!1 0 x n
(x)
sup
1
(n)
1j
(n) olmak üzere
1j
1
1+
2
(n)
1
lim
=0
n!1 1 + 2 (n)
1j
olup,
lim kLn (1; x)
n!1
1k = 0
elde edilir.
x
n için,
1
Ln (1; x) = 1 +
4
jLn (1; x)
(x)
olup,
1j
2
(x)
2 (x + 1)
1
4 (x)
2
2+
2
(x)
+2+
2 (x + 1)
fonksiyonunun monoton artanl¬g¼¬ndan
jLn (1; x)
(x)
2
1j
36
1
(x)
(x)
(x + 2)
2
(x)
2 (x + 2)
olarak yaz¬labilir. Buradan
sup
x n
jLn (1; x)
(x)
1j
sup
x n
1
(x)
1
(n)
1
=
1 + 2 (n)
1j
1
lim
=0
n!1 1 + 2 (n)
=
lim sup
n!1 x n
jLn (1; x)
(x)
olup,
lim kLn (1; x)
n!1
1k = 0
elde edilir.
x
0 için,
Ln (1; x) = 1
jLn (1; x)
(x)
jLn (1; x)
sup
(x)
x 0
1j
1j
1
2 (n)
1
2 (n)
1
2 (n)
olarak yaz¬labilir. Buradan
lim sup
n!1 x 0
jLn (1; x)
(x)
1j
1
=0
n!1 2 (n)
lim
olup,
lim kLn (1; x)
n!1
1k = 0
elde edilir. Bu durumda 8x 2 R için (2:5:10) koşulu gerçeklenir.
37
0
x
n için,
Ln ( ; x) =
jLn ( ; x)
(x)j
jLn ( ; x)
(x)
(x)j
(x) +
4
4
=
4
j
2
2
(x)
(x)
(x)
2 (x) +
(n)
(x + 1)
(x + 2)
2
2
(x)
(x)
+ 2 j (x)j +
(x + 1)j
j (x + 2)j
2
2
(x)
(x)
+ 2 j (x)j +
(x + 1)j
j (x + 2)j
(x)
(x)
(x)j
+
+2
(x + 1)
(x + 2)
4
(x)
(n) j
1
(n) j
1
j
(n)
(x)j
(n)
olup,
jLn ( ; x)
(x)
n
sup
0 x
jLn ( ; x)
(x)
n
lim sup
n!1 0 x
j (x)j
(n)
0 x n
j (n)j
=
(n)
(x)j
j (n)j
lim
=0
n!1 (1 + 2 (n))
(x)j
sup
oldu¼
gundan
lim kLn ( ; x)
n!1
(x)k = 0
elde edilir.
x
n için,
Ln ( ; x) =
jLn ( ; x)
(x)j
jLn ( ; x)
(x)
(x)j
(x) +
1
4
1
j (x)j
4
j (x)j
4 (x)
j (x)j
(x)
38
2
2
(x)
(x)
2 (x) +
(x + 1)
(x + 2)
(x)
(x)
+2+
(x + 1)
(x + 2)
(x)
(x)
+2+
(x + 1)
(x + 2)
olup,
sup
x n
lim sup
n!1 x n
jLn ( ; x)
(x)
jLn ( ; x)
(x)
j (x)j
(x)
x n
j (n)j
=
(n)
(x)j
j (n)j
lim
=0
n!1
(n)
(x)j
sup
oldu¼
gundan
lim kLn ( ; x)
(x)k = 0
n!1
elde edilir.
x
0 için,
Ln ( ; x) =
sup
x n
jLn ( ; x)
(x)
(x)j
jLn ( ; x)
(x)
(x)j
=
(x)
1
(x)
2 (n)
1
(x)
2 (n)
1
(x)
j (x)j
2 (n)
1
sup
j (n)j
x n 2 (n)
j (n)j
2 (n)
olup,
lim sup
n!1 x n
jLn ( ; x)
(x)
(x)j
j (n)j
=0
n!1 2 (n)
lim
oldu¼
gundan
lim kLn ( ; x)
n!1
(x)k = 0
elde edilir. Bu durumda 8x 2 R için (2:5:11) koşulu gerçeklenir.
39
0
x
n için,
Ln
2
2
;x
2
(x)
4 (n)
(x) =
2
(x)
(x + 1)
2
(x + 1)
2
2
2
(x)
(x)
2
(x)
2
(x + 2)
(x + 2)
(x)
=
2 2 (x) 2 2 (x)
4 (n)
= 0
+
2
olup,
lim Ln
2
n!1
2
;x
(x)
=0
elde edilir.
x
n için,
Ln
2
2
;x
2
(x)
2
(x + 1)
(x + 1)
2
(x)
2
+ 2
(x + 2)
(x + 2)
1
=
2 2 (x) 2 2 (x)
4
= 0
(x) =
1
4
2
2
olup,
lim Ln
2
n!1
;x
2
(x)
=0
elde edilir.
x
0 için,
Ln
jLn (
2
2
2
;x
; x)
(x)
2
(x) =
(x)j
=
40
1
2
(x)
2 (n)
1
1
(x) 2 (n)
2
(x)
(n)
2
(x)
sup
jLn (
x 0
2
2
; x)
(x)
2
(x)j
(x)
x 0 2 (n)
2
(0)
2 (n)
= 0
= sup
olup,
2
lim Ln
n!1
2
;x
(x)
=0
elde edilir. Bu durumda 8x 2 R için (2:5:12) koşulu gerçeklenir.
(Ln ) operatörler dizisinin lineer pozitif ve (2:5:10) ; (2:5:11) ; (2:5:12) koşullar¬n¬sa¼
glad¬g¼¬
gösterilmiştir. Burada (Ln ) operatörler dizisi yard¬m¬yla yaklaş¬m¬ gerçeklemeyen
C (R) uzay¬na ait olan f fonksiyonu bulunur.
f (x) =
2
(x) cos x
fonksiyonunu gözönüne alal¬m.
jf (x)j =
2
(x)
jcos xj
(x)
oldu¼
gundan f 2 C (R) olur.
0
x
n için
Ln (f ; x)
2
(x)
(x)
f
(x
+
1)
2f
(x)
+
f (x + 2)
2 (x + 1)
2 (x + 2)
2
(x)
2
(x + 1) cos (x + 1)
2 (x + 1)
2
(x)
2
2 2 (x) cos x + 2
(x + 2) cos (x + 2)
(x + 2)
(x)
4 (n)
(x)
=
4 (n)
f (x) =
2
41
(x)
2
(x) (cos x cos
sin x sin )
4 (n)
+ 2 (x) (cos x cos 2
sin x sin 2 )
(x)
2
(x) cos x 2 2 (x) cos x +
=
4 (n)
(x)
2
(x) cos x
=
2 (n)
=
2
2
2
(x) cos x
(x) cos x
olup,
jLn (f ; x) f (x)j
=
(x)
jLn (f ; x) f (x)j
=
(x)
n
2
2
sup
0 x
(x) jcos xj
2 (n)
sup
0 x n
2
(x) jcos xj
2 (n)
(n)
2 (n)
2
=
(n)
2 (1 + 2 (n))
oldu¼
gundan
2
lim kLn (f ; x)
n!1
1
(n)
=
2
n!1 2 (1 +
(n))
2
f (x)k
lim
elde edilir. Bu da ispat¬tamamlar.
Lemma 2.5.1 E¼
ger Ln : C (R) ! B (R) lineer pozitif operatörler dizisi
lim kLn (
; x)
n!1
(x)k = 0;
= 0; 1; 2
ifadesini sa¼
glarsa f 2 C (R) için herhangi bir sonlu [a; b] aral¬g¼¬nda
lim kLn (f ; x)
n!1
f kC(a;b) = 0
gerçeklenir (Haciyev ve Hac¬saliho¼
glu 1995).
Aşa¼
g¬daki teorem, C k (R)
C (R) uzay¬nda key… (Ln ) lineer pozitif operatörler
dizisi ile yaklaş¬m¬n mümkün oldu¼
gunu gösterir.
42
Teorem 2.5.3 Ln : C (R) ! B (R) lineer pozitif operatörler dizisi
lim kLn (
; x)
n!1
(x)k = 0;
= 0; 1; 2
(2.5.14)
ifadesini sa¼
glarsa key… f 2 C k (R) için
lim kLn f
fk = 0
n!1
(2.5.15)
gerçeklenir (Gadjiev 1974, Haciyev ve Hac¬saliho¼
glu 1995).
I·spat: Bu teoremi C 0 (R) uzay¬ için ispatlamak yeterlidir. Bunun için (2:5:15)
gunu kabul edelim
ifadesinin C 0 (R) den al¬nan key… bir fonksiyon için geçerli oldu¼
ve f 2 C k (R) herhangi bir fonksiyon olsun. Bu durumda C 0 (R) uzay¬n¬n tan¬m¬na
göre
F (x) = f (x)
kf (x)
fonksiyonu C 0 (R) uzay¬na aittir. Buradan
f (x) = F (x) + kf (x)
olmak üzere
kLn f
fk
kLn F
F k + kf kLn
k
gundan s¬f¬ra yak¬neşitsizli¼
gi sa¼
glan¬r. Bu eşitsizlikte birinci terim F 2 C 0 (R) oldu¼
sar. I·kinci terim ise (2:5:14) koşulundan dolay¬s¬f¬ra yak¬nsar. Bu durumda
lim kLn f
n!1
fk = 0
olur. Dolay¬s¬yla ispat¬C 0 (R) uzay¬için yapmak yeterlidir.
f 2 C 0 (R) olsun. C 0 (R) uzay¬n¬n tan¬m¬gere¼
gince;
f (x)
= kf = 0
jxj!1 (x)
lim
43
0
olur. O halde her " > 0 için jxj > x0 olmak üzere
jf (x)j < " (x)
0
eşitsizli¼
gini gerçekleyen en az bir x0 noktas¬bulunabilir. Ayr¬ca
(x) = 1
lim
n!1
00
oldu¼
gundan her " > 0 için jxj > x0 iken
(x) >
1
"
00
eşitsizli¼
gi gerçekleyen en az bir x0 noktas¬vard¬r.
E¼
ger
x0 =
n 0 00 o
max
x 0 ; x0
1<x<1
olarak belirlenirse tüm jxj > x0 için
jf (x)j < " (x) ve (x) >
1
"
koşullar¬gerçeklenir.
Kabul edelim ki x1 > x0 olsun.
g (x) =
8
>
>
>
<
>
>
>
:
f (x)
jxj
;
x0
dogrusal ; x 2 [ x1 ; x0 ] [ [x0 ; x1 ]
0
jxj > x1
;
şeklinde sürekli bir g fonksiyonu tan¬mlayal¬m.
kLn f
fk
= kLn (f ; x)
kLn (f ; x)
+ kf
f
Ln (g; x) + Ln (g; x)
Ln (g; x)k + kLn (g; x)
gk
44
g + gk
gk
(2.5.16)
olarak yaz¬labilir. (2:5:16) eşitsizli¼
ginin sa¼
g taraf¬ndaki ifadeleri teker teker inceleyelim.
Ln : C (R) ! C (R) dönüşüm yapan bir operatör dizisi oldu¼
gundan s¬n¬rl¬d¬r.
Ayr¬ca (Ln ) operatörler dizisi lineer oldu¼
gundan
kLn (f ; x)
= kLn (f
Ln (g; x)k
g; x)k
kLn ( ; x)k kf
(2.5.17)
gk
sa¼
glan¬r. (2:5:17) eşitsizli¼
ginin sa¼
g¬ndaki ifadeleri gözönüne alal¬m.
kLn ( ; x)k
2
=
Ln 1 +
;x
=
Ln (1; x) + Ln
2
;x + 1 +
2
(x)
1
2
(x)
kLn (1; x)
1k + Ln
2
;x
2
(x)
+ 1+
= kLn (1; x)
1k + Ln
2
;x
2
(x)
+k k
2
(x)
şeklinde yaz¬labilir. (2:5:14) ve k k = 1 ifadesi gözönüne al¬narak 8" > 0 için
kLn ( ; x)k
< "+"+1
= 2" + 1
yaz¬labilir. " key… oldu¼
gundan " = 1 seçilebilir. O halde
kLn ( ; x)k < 3
(2.5.18)
elde edilir. Bu da (Ln ) lineer pozitif operatörler dizisinin düzgün s¬n¬rl¬ oldu¼
gunu
gösterir.
45
E = [ x1 ; x0 ] [ [x0 ; x1 ] olmak üzere g fonksiyonunun tan¬m¬gere¼
gince;
kf
gk
jf (x)
g (x)j
(x)
x2R
jf (x) g (x)j
jf (x) g (x)j
jf (x) g (x)j
+ sup
+ sup
sup
(x)
(x)
(x)
x2E
jxj>x1
jxj x0
= sup
=
sup
jf (x)
jxj x0
= sup
jf (x)
x2E
x2E
x2E
jf (x)j
g (x)j
+ sup
(x)
(x)
jxj>x1
jf (x)j + jg (x)j
(x)
sup
sup
f (x)j
jf (x) 0j
jf (x) g (x)j
+ sup
+ sup
(x)
(x)
(x)
x2E
jxj>x1
+ sup
jxj>x1
jf (x)j
(x)
jf (x)j
jg (x)j
jf (x)j
+ sup
+ sup
(x)
(x)
(x)
x2E
jxj>x1
yaz¬labilir.
jxj
E
x0 ve jxj > x1
jxj
x0
oldu¼
gundan
kf
gk
jg (x)j
jf (x)j
jf (x)j
+ sup
+ sup
(x)
(x)
(x)
x2E
jxj x0
sup
jxj x0
= 2 sup
jxj x0
jg (x)j
jf (x)j
+ sup
(x)
(x)
x2E
olup,
G (x0 ) = max jg (x)j = max ff (x0 ) ; f (x0 )g
x2E
denirse
kf
gk
2 sup
jxj x0
1
jf (x)j
+ G (x0 ) sup
(x)
x2E (x)
elde edilir. f 2 C 0 (R) oldu¼
gundan
sup
jxj x0
gerçeklenir. Ayr¬ca 8" > 0 için
jf (x)j
<"
(x)
1
<"
(x)
46
oldu¼
gundan G (x0 ), " na ba¼
gl¬olmak üzere
1
"
<
(x)
G (x0 )
olarak yaz¬labilir.
kf
gk
2" + G (x0 )
"
G (x0 )
(2.5.19)
= 3"
elde edilir. (2:5:18) ve (2:5:19) ifadeleri (2:5:17) eşitsizli¼
ginde yerine yaz¬l¬rsa
kLn (f ; x)
Ln (g; x)k
9"
bulunur.
g fonksiyonunun tan¬m¬gere¼
gince;
kLn (g; x)
g (x)k
jLn (g; x) g (x)j
(x)
x2R
jLn (g; x) g (x)j
jLn (g; x)j
sup
+ sup
(x)
(x)
jxj x1
jxj>x1
= sup
olur. Lemma 2.5.1 kullan¬larak
sup
jxj x1
jLn (g; x) g (x)j
= o (1)
(x)
gerçeklenir. O halde
kLn (g; x)
g (x)k
o (1) + sup
jxj>x1
o (1) + sup
Ln (jgj ; x)
(x)
Ln sup jgj ; x
t
(x)
jxj>x1
= o (1) + G (x0 ) sup
jxj>x1
47
Ln (1; x)
(x)
= o (1) + G (x0 ) sup
jxj>x1
o (1) + G (x0 ) sup
jxj>x1
< o (1) + G (x0 ) sup
jxj>x1
= o (1) + G (x0 ) sup
jxj>x1
Ln (1; x) + 1
(x)
1
jLn (1; x)
(x)
1j
jLn (1; x)
(x)
1j
jLn (1; x)
(x)
1j
+ G (x0 ) sup
jxj>x1
+ G (x0 )
1
(x)
"
G (x0 )
+"
elde edilir. (2:5:14) ifadesinden dolay¬8" > 0 için
sup
jxj>x1
jLn (1; x)
(x)
1j
<"
sa¼
gland¬g¼¬ndan
lim kLn (g; x)
n!1
(2.5.20)
g (x)k = 0
bulunur. (2:5:18), (2:5:19) ve (2:5:20) ifadeleri kullan¬larak
kLn f
fk
kLn (f
g; x)k + kLn (g; x)
gk + kg
fk
gk + kg
fk
kf
gk
kLn k + kLn (g; x)
= kf
gk
kLn k + 1 + kLn (g; x)
< 3" (3 + 1) + "
= 13"
elde edilir. Bu da (2:5:15) ifadesinin gerçeklendi¼
gini gösterir.
48
gk
¼ I·ŞKENLI·FONKSI·YONLAR I·ÇI·N BERNSTEIN-CHLODOWSKY
3. TEK DEG
POLI·NOMLAR DI·ZI·SI· I·LE YAKLAŞIM
Chlodowsky (1937) taraf¬ndan s¬n¬rs¬z bir aral¬k üzerinde Bernstein polinomlar¬
genelleştirilmiş ve bu polinomlar¬n baz¬yaklaş¬m özellikleri araşt¬r¬lm¬şt¬r. BernsteinChlodowsky polinomlar¬olarak adland¬r¬lan bu polinomlar¬n, Lorentz (1953), Gadjiev (1995), Gadjiev (1998), Gadjiev vd. (1999), I·bikli (2001) ve bunun gibi birçok
kaynakda tan¬m¬ ve yaklaş¬m özellikleri verilmiştir. Ayr¬ca s¬n¬rs¬z bir aral¬k üzerinde Bernstein tipi polinomlar dizisine örnek polinomlar Totik (1984) ve Khan
(1988) taraf¬ndan tan¬mlanm¬ş ve yaklaş¬m özellikleri araşt¬r¬lm¬şt¬r, fakat burada
bu polinom tipine yer verilmemiştir.
Tan¬m 3.0.1 (bn ) dizisi
bn
=0
n!1 n
lim bn = 1 ve lim
n!1
koşullar¬n¬ sa¼
glayan monoton artan reel terimli pozitif bir say¬ dizisi olmak üzere
0
x
bn için
Bn (f ; x) =
n
X
f
k=0
k
bn Cnk
n
x
bn
k
1
x
bn
n k
(3.0.1)
şeklinde tan¬ml¬polinomlara Bernstein-Chlodowsky polinomlar¬ ad¬verilir.
f (t) = 1 olmak üzere,
Bn (1; x) =
n
X
k=0
Cnk
x
bn
şeklindedir.
49
k
x
1
bn
n k
=1
(3.0.2)
f (t) = t olmak üzere,
Bn (t; x) =
=
n
X
k
k=0
n
X
n
bn
k=1
n 1
X
= x
k
x
bn
bn Cnk
k
x
bn
1
k=0
k
x
bn
(n 1)!
(k 1)! (n k)!
Cnk
n k
x
bn
1
n k
n k 1
x
bn
1
x
bn
1
(3.0.3)
= x
şeklindedir.
f (t) = t2 olmak üzere,
Bn t2 ; x
=
n
X
k=0
=
n
X
2
k
bn
n
b2n
k=1
n
X
= x
k=1
Cnk
k
(n 1)!
bn
n (k 1)! (n k)!
= x
n 1
bn X k
x
C
n k=0 n
= x2
n
1
n
n
= x2 + x
1
n
X
k=2
1
n
n 2
X
k=0
(bn
k 1
(n 1)!
1)
(k 1)! (n k)!
k
x
bn
1
x
bn
2
x
bn
x)
n k
k 1
x
1
bn
1
k 2
1
x
bn
x
bn
n k
n k
n k
n k 1
(n 2)!
(k 2)! (n k)!
Cnk
x
bn
x
1
bn
k 1
x
bn
x
bn
n k
x
bn
1
x
bn
n
(n 1)!
bn X
x
n k=1 (k 1)! (n k)!
2
k
x
bn
n
(n 1)!
x2 X
=
n k=2 (k 2)! (n k)!
+
n k
x
bn
1
k
(n 1)!
n (k 1)! (n k)!
n
bn X
=
x
(k
n k=2
+
k
x
bn
k
1
x
bn
x
bn
k 2
1
x
bn
+
bn
x
n
n k 2
n k
+
bn
x
n
(3.0.4)
n
50
şeklindedir.
Bernstein-Chlodowsky polinomlar¬, tan¬ml¬ oldu¼
gu [0; bn ] aral¬g¼¬n¬n n ! 1 iken
[0; 1) aral¬g¼¬na dönüşmesinden dolay¬Korovkin Teoremi’ni gerçeklemez.
Örne¼
gin; s¬n¬rs¬z aral¬k üzerinde f (x) = x2 2 C (0; 1) fonksiyonuna (3:0:1) polinomlar dizisi ile yaklaş¬m mümkün de¼
gildir. Çünkü (3:0:4) ifadesi gözönüne al¬nd¬g¼¬nda
Bn t2 ; x
x2
=
C(0;bn )
b2n
4n
olup,
lim Bn t2 ; x
x2
n!1
C(0;bn )
=1
elde edilir. Bu ise yak¬nsaman¬n gerçeklenmedi¼
gini gösterir.
Aşa¼
g¬daki teoremler ile s¬n¬rs¬z aral¬k üzerinde tan¬mlanm¬ş fonksiyon uzaylar¬nda
(3:0:1) polinomlar dizisi ile yaklaş¬m koşullar¬ortaya koyulmuştur.
Teorem 3.0.1 8f 2 C (0; 1) fonksiyonu
lim f (x) = kf < 1
x!1
olma koşulunu ve (bn ) dizisi
b2n
=0
n!1 n
(3.0.5)
lim
koşulunu sa¼
glas¬n. Bu durumda
lim kBn (f ; x)
n!1
f (x)kC(0;bn ) = 0
gerçeklenir.
I·spat: kf = 0 olmas¬durumunda teoremin ispat¬n¬yapmak yeterlidir. Bu durumda
lim f (x) = 0 olur. Yani; her " > 0 için x
x!1
51
x0 iken jf (x)j < " eşitsizli¼
gini
gerçekleyen en az bir x0 noktas¬vard¬r.
g (x) =
8
>
>
f (x)
>
<
;
0
x
lineer ; x0
>
>
>
:
0
;
x0
x
x
x0 +
x0 +
1
2
1
2
şeklinde sürekli bir g fonksiyonu tan¬mlayal¬m. Bu durumda g fonksiyonunun tan¬m¬
gere¼
gince;
sup jf (x)
sup jf (x)
g (x)j
g (x)j +
sup
x0 x x0 + 12
0 x x0
0 x bn
+ sup jf (x)
jf (x)
g (x)j
g (x)j
x x0 + 12
=
sup
x0 x x0 + 12
sup
x0 x x0 + 12
jf (x)
g (x)j + sup jf (x)j
x x0 + 21
jf (x)j +
sup
x0 x x0 + 21
jg (x)j + sup jf (x)j
x x0 + 12
olarak yaz¬labilir. Bu eşitsizlikte
max
x0 x x0 + 12
jg (x)j = jf (x0 )j ve lim f (x) = 0
x!1
oldu¼
gundan
sup jf (x)
g (x)j < " + " + " = 3"
0 x bn
elde edilir. Bu durumda
sup jBn (f ; x)
0 x bn
f (x)j =
sup jBn (f ; x)
Bn (g; x) + Bn (g; x)
0 x bn
g (x) + g (x)
sup jBn (f
f (x)j
g; x)j + sup jBn (g; x)
0 x bn
g (x)j
0 x bn
+ sup jg (x)
f (x)j
0 x bn
sup Bn
0 x bn
sup jf
0 t bn
+ sup jg (x)
0 x bn
52
f (x)j
gj ; x + sup jBn (g; x)
0 x bn
g (x)j
3"Bn (1; x) + sup jBn (g; x)
g (x)j + 3"
0 x bn
6" + sup jBn (g; x)
g (x)j
0 x bn
olup,
lim sup jBn (f ; x)
n!1 0 x bn
6" + lim sup jBn (g; x)
f (x)j
n!1 0 x bn
(3.0.6)
g (x)j
yaz¬labilir. (3:0:6) eşitsizli¼
ginde yer alan
lim sup jBn (g; x)
n!1 0 x bn
g (x)j
ifadesini gözönüne alal¬m.
g fonksiyonu x0 + 21 ; bn aral¬g¼¬nda s¬f¬r oldu¼
gundan s¬n¬rl¬d¬r. Yani; jg (x)j
koşulunu sa¼
glayan M > 0 say¬s¬ vard¬r. Ayr¬ca kapal¬ ve s¬n¬rl¬ 0; x0 +
1
2
M
aral¬g¼¬
üzerinde g fonksiyonu düzgün süreklidir. O halde düzgün süreklilik tan¬m¬gere¼
gince;
her " > 0 için
k
b
n n
iken x 2 [0; bn ] için
x <
g
gerçekleyen en az bir
k
b
n n
x
k
bn
n
(3.0.7)
g (x) < "
= (") > 0 say¬s¬vard¬r.
oldu¼
gunda g fonksiyonu s¬n¬rl¬oldu¼
gundan
g
k
bn
n
g (x)
2M
gerçeklenir. Ayr¬ca
k
b
n n
x
2
2
2M
1 =)
k
b
n n
2
x
2
2M
yaz¬labilece¼
ginden
g
k
bn
n
g (x)
53
2M
k
b
n n
2
x
2
(3.0.8)
elde edilir. (3:0:7) ve (3:0:8) eşitsizliklerinden
g
k
bn
n
g (x)
"+
k
b
n n
2
2M
2
x
gerçeklenir. Buradan
jBn (g; x)
g (x)j =
n
P
k
bn Cnk
n
g
k=0
n
P
k
bn
n
g
k=0
"+
= "+
n
2M P
2
k=0
n
2M P
2
k=0
k
g (x)
1
x
bn
Cnk
x
bn
2
k
bn
n
Cnk
x
2
k
bn
n
Cnk
n k
x
bn
1
k
x
bn
g (x) Cnk
k=0
n
P
x
bn
x
bn
n k
k
1
x
bn
k
x
bn
1
k
1
x
bn
k
n
n k
2M P
x
x
k
b
C
1
n n
2
bn
bn
k=0 n
2M
x (bn x)
2x2 + x2
= " + 2 x2 +
n
2M x (bn x)
= "+ 2
n
olup,
g (x)j
" + max
0 x bn
0 x bn
"+
2M x (bn x)
2
n
2M b2n
2
4n
elde edilir. (bn ) dizisi (3:0:5) koşulunu sa¼
glad¬g¼¬ndan
lim sup jBn (g; x)
n!1 0 x bn
g (x)j
2M b2n
2
n!1
4n
" + lim
= 0
olur.
54
n k
n k
k
2x
sup jBn (g; x)
n k
x
bn
+
2M
2
x2
Bu ifade (3:0:6) ifadesinde gözönüne al¬n¬rsa
lim sup jBn (f ; x)
n!1 0 x bn
f (x)j = 0
bulunur. Bu da ispat¬tamamlar.
Teorem 2.5.3,
8
< B (f ; x) ; 0 x b
n
n
Ln (f ; x) =
: f (x)
; x2
= [0; bn ]
şeklinde tan¬ml¬operatörler dizisine uygulan¬rsa aşa¼
g¬daki teorem elde edilir.
Teorem 3.0.2
(x) = 1 + x2 olmak üzere 8f 2 C k (R) için
lim kBn (f ; x)
n!1
f (x)k = 0
(3.0.9)
gerçeklenir.
I·spat: (3:0:2) ; (3:0:3) ve (3:0:4) ifadeleri Teorem 2.5.3’ün koşullar¬n¬sa¼
glamal¬d¬r.
0
x
bn için (3:0:2) eşitli¼
gi kullan¬larak
kLn (1; x) 1k
jBn (1; x) 1j
(x)
0 x bn
j1 1j
= sup
(x)
0 x bn
= 0
=
sup
olup,
lim kLn (1; x) 1k = 0
n!1
olur.
55
(3:0:3) eşitli¼
gi kullan¬larak
kLn (t; x) xk
jBn (t; x) xj
(x)
0 x bn
jx xj
= sup
2
0 x bn 1 + x
= 0
=
sup
olup,
lim kLn (t; x) xk = 0
n!1
olur.
(3:0:4) eşitli¼
gi kullan¬larak
Ln t2 ; x
x2
=
sup
0 x bn
=
jBn (t2 ; x) x2 j
(x)
sup
x2 + x(bnn
x)
x2
1 + x2
0 x bn
1
sup (bn
n 0 x bn
bn
=
n
x)
bulunur. Bernstein-Chlodowsky polinomlar¬n¬n tan¬m¬nda kullan¬lan (bn ) pozitif
bn
=
n!1 n
say¬dizisi lim
0 olma koşulunu sa¼
glad¬g¼¬ndan
lim Ln t2 ; x
n!1
x2
=0
elde edilir. Bu durumda Teorem 2.5.3 gere¼
gince;
lim kLn f f k = 0
n!1
sa¼
glan¬r. (Ln ) lineer pozitif operatörler dizisinin tan¬m¬ndan
lim kBn f
n!1
56
fk = 0
gerçeklenir. Bu da ispat¬tamamlar.
Teorem 2.5.2’ye göre (3:0:9) ifadesi key… f 2 C (R) fonksiyonu için genel olarak
sa¼
glanmaz. Fakat (3:0:1) polinomlar dizisi için özel bir durumda Teorem 2.5.2’nin
gerçeklendi¼
gini aşa¼
g¬daki teorem ile verelim.
Teorem 3.0.3
(x) = 1 + x2 olmak üzere 8f 2 C (R) ise
1
lim p kBn (f ; x)
n!1
bn
f (x)k = 0
gerçeklenir.
I·spat: Sürekli bir f fonksiyonu s¬n¬rl¬ve kapal¬bir aral¬kta düzgün sürekli oldu¼
gundan her " > 0 için jt
iken her x 2 [0; bn ] ve her t 2 [0; 1) olmak üzere
xj <
jf (t) f (x)j < "
eşitsizli¼
gini gerçekleyen en az bir (") > 0 say¬s¬vard¬r.
f 2 C (R) oldu¼
gundan jt
jf (t)
koşulunu sa¼
glayan 8x 2 [0; bn ] ve 8t 2 [0; 1) için
xj
f (x)j
jf (t)j + jf (x)j
Mf (1 + t2 )+Mf (1 + x2 )
Mf (2 + t2 + x2 )
eşitsizli¼
gi geçerli olup,
jf (t)
f (x)j
Mf 2+ (t
= Mf 2+ (t
x + x)2 +x2
x)2 +2x (t
= Mf 2 x2 +1 + (t
57
x) +2x2
x)2 +2x (t
x)
x)2 + 2 x2 +1 jt
Mf 2 x2 +1 +2 (t
x2 +1 (1+ jt
= 2M f
olarak yaz¬labilir.
jt xj
jf (t) f (x)j
xj
x)2
xj) + (t
1 oldu¼
gundan
2M f
jt
x2 +1
xj
= 2M f
x2 +1 jt
xj
2M f
x2 +1 jt
xj
= 2M f
1
+ jt
1
1
x2 +1 jt
+1
xj + (t
+1 + (t
x)2
+1 + (t
x)2
xj + (t
x)2
x)2
1
+1
olur.
2M f
1
+1 = C f ( )
ile gösterilirse
jf (t) f (x)j
x)2 + 1 + x2 jt
C f ( ) (t
xj
elde edilir.
Bu durumda 8x 2 [0; bn ] ve 8t 2 [0; 1) için
jf (t) f (x)j < " + C f ( ) (t
x)2 + 1 + x2 jt
xj
(3.0.10)
eşitsizli¼
gi gerçeklenir.
Şimdi jBn (f ; x)
f (x)j ifadesini gözönüne alal¬m. (3:0:10) eşitsizli¼
gi ve Bn poli-
nomlar¬n¬n monotonluk ve lineerlik özelli¼
gi kullan¬larak
jBn (f ; x) f (x)j
Bn (jf (t) f (x)j ; x)
< Bn " + C f ( ) (t
58
x)2 +C f ( ) 1 + x2 jt
xj ; x
= "B n (1; x) +C f ( ) Bn (t x)2 ; x
q
2
(t x)2 ; x
+ 1 + x Cf ( ) Bn
= "Bn (1; x) + Cf ( )Bn (t2 ; x)
Cf ( )2xBn (t; x)
p
+Cf ( )x2 Bn (1; x) + (1 + x2 )Cf ( )Bn ( (t x)2 ; x)
elde edilir. (3:0:2) ; (3:0:3) ; (3:0:4) ifadeleri ve Cauchy-Schwartz eşitsizli¼
gi kullan¬larak
r
x (bn x)
jBn (f ; x) f (x)j < " + C f ( )
+ 1 + x2 Cf ( )
n
x (bn x)
n
!
1
bulunur. Bu ifadenin her iki yan¬ 1+x
l¬rsa
2 ile çarp¬
x (bn x)
jBn (f ; x) f (x)j
< " + Cf ( )
+C f ( )
2
1+x
n 1 + x2
r
x (bn x)
n
!
olur. Buradan
x(bn x)
jBn (f ; x) f (x)j
< " + C f ( ) sup
+C f ( ) sup
sup
2
2
1+x
0 x bn n 1 + x
0 x bn
0 x bn
r
x (bn x)
n
yaz¬labilir.
x (bn x)
sup
2
0 x bn n 1 + x
bn
ve
n
sup
0 x bn
r
x (bn x)
=
n
r
b2n
4n
oldu¼
gundan
jBn (f ; x) f (x)j
bn
sup
< " + C f ( ) +C f ( )
2
n
1+x
0 x bn
r
b2n
4n
elde edilir. Bu ifadenin her iki yan¬ p1bn ile çarp¬l¬rsa
r #
bn 1 bn
+
n
2 n
"p
r #
"
bn
bn
< p +C f ( )
+
n
n
bn
1
jBn (f ; x) f (x)j
"
p
sup
< p +C f ( )
2
1+x
bn 0 x bn
bn
59
"p
olarak yaz¬labilir.
1
jBn (f ; x) f (x)j
1
lim p
sup
< " lim p +C f ( ) lim
2
n!1
n!1
1+x
bn 0 x bn
bn
n!1
"p
bn
+
n
r
bn
n
#
olup, (bn ) dizisinin özellikleri gözönüne al¬n¬rsa
jBn (f ; x) f (x)j
1
sup
=0
lim p
n!1
1 + x2
bn 0 x bn
elde edilir. Bu da ispat¬tamamlar.
Tan¬m 3.0.2 (bn ) dizisi
bn
=0
n!1 n
lim bn = 1 ve lim
n!1
koşullar¬n¬sa¼
glayan monoton artan reel terimli pozitif bir say¬dizisi olmak üzere
n
en (f ; x) = P f
B
k=0
kp
bn Cnk
n
x
p
bn
k
x
p
bn
1
n k
; 0
x
p
bn
(3.0.11)
şeklinde Bernstein-Chlodowsky tipi polinomlar dizisi tan¬mlanabilir (I·bikli 2003).
(3:0:2) ; (3:0:3) ve (3:0:4) ifadelerinden
en (1; x) = 1
B
en (t; x) = x
B
en t ; x
B
2
olarak elde edilir.
2
= x +
x
p
bn
n
x
S¬n¬rs¬z aral¬k üzerinde f (x) = x2 fonksiyonuna (3:0:1) polinomlar dizisi yard¬m¬yla
yaklaş¬m¬n mümkün olmad¬g¼¬n¬örnek olarak vermiştik. Şimdi s¬n¬rs¬z aral¬k üzerinde
f (x) = x2 fonksiyonuna (3:0:11) polinomlar dizisi ile yaklaş¬m yapal¬m.
60
f (t) = 1 için,
en (1; x)
lim B
1
en (t; x)
lim B
x
n!1
f (t) = t için,
n!1
f (t) = t2 için,
max
p
0 x
en t ; x
B
2
bn
x
p
C (0; bn )
p
C (0; bn )
p
bn
=
2n
bn
=
4n
2
=0
=0
p
bn
p
bn
2
olup,
en t2 ; x
lim B
x2
n!1
p
C (0; bn )
=0
elde edilir. Bu durumda s¬n¬rs¬z aral¬k üzerinde f (x) = x2 fonksiyonuna (3:0:11)
polinomlar dizisi ile yaklaş¬m mevcuttur.
Lemma 3.0.1 a > 0 say¬s¬n den ba¼
g¬ms¬z olmak üzere a;
p
bn üzerinde s¬f¬r olan
her sürekli f fonksiyonu için
en (f ; x)
lim B
n!1
gerçeklenir.
f (x)
p
C (0; bn )
=0
I·spat: Kapal¬ ve s¬n¬rl¬ her aral¬kta sürekli olan fonksiyon s¬n¬rl¬ oldu¼
gundan f
p
fonksiyonu s¬n¬rl¬d¬r. a; bn aral¬g¼¬nda fonksiyon s¬f¬r de¼
gerini ald¬g¼¬ndan 0 x
a için
jf (x)j
M
olacak şekilde M > 0 say¬s¬vard¬r. Ayr¬ca f fonksiyonu, [0; a] kapal¬ve s¬n¬rl¬aral¬k
p
üzerinde düzgün süreklidir. Dolay¬s¬yla x 2 0; bn olmak üzere her " > 0 için
61
k
n
p
bn
x <
oldu¼
gunda
kp
bn
n
f
eşitsizli¼
gini gerçekleyen en az bir
k
n
p
bn
x
(3.0.12)
f (x) < "
= (") > 0 say¬s¬vard¬r.
iken f s¬n¬rl¬oldu¼
gundan
kp
bn
n
f
f (x)
2M
gerçeklenir. Ayr¬ca
k
n
p
bn
x
2
1 =)
2
k
n
2M
p
bn
2
x
2M
2
yaz¬labilece¼
ginden
kp
bn
n
f
k
n
2M
f (x)
p
bn
2
x
(3.0.13)
2
elde edilir. O halde (3:0:12) ve (3:0:13) ifadeleri gözönüne al¬n¬rsa
f
kp
bn
n
f (x) < " +
k
n
2M
p
bn
x
2
2
eşitsizli¼
gi gerçeklenir. Buradan
en (f ; x)
B
f (x)
=
n
P
kp
bn Cnk
n
f
k=0
n
P
f (x) Cnk
k=0
n
P
kp
bn
n
f
k=0
< "+
= "+
x
p
bn
n
2M P
2
k=0
n
2M P
2
k=0
k
x
p
bn
1
k
1
x
p
bn
n k
x
p
bn
k
f (x) Cnk
kp
bn
n
kp
bn
n
62
2
x
2
Cnk
Cnk
x
p
bn
n k
x
p
bn
x
p
bn
1
x
p
bn
k
1
k
1
x
p
bn
n k
x
p
bn
n k
n k
n kp
2M P
x
2x 2
bn Cnk p
n
bn
"k=0
p
x bn x
2M
= " + 2 x2 +
n
p
2M x bn x
= "+ 2
n
k
n k
x
p
b
#n
1
+
2M
2
x2
2x2 + x2
olup,
supp
0 x
lim
n!1
supp
0 x
bn
bn
en (f ; x)
B
f (x)
en (f ; x)
B
f (x)
2M x
< " + max
p
2
bn
0 x
p
bn
n
x
2M bn
2
4n
2M bn
< " + lim 2
n!1
4n
= 0
< "+
bulunur. Bu da ispat¬tamamlar.
Teorem 3.0.4 8f 2 C (0; 1) fonksiyonu
lim f (x) = kf < 1
x!1
koşulunu sa¼
glas¬n. Bu durumda
en (f ; x)
lim B
f (x)
n!1
gerçeklenir.
p
C (0; bn )
=0
I·spat: kf = 0 olmas¬durumunda teoremin ispat¬n¬yapmak yeterlidir. Bu durumda
lim f (x) = 0 olur. Yani; her " > 0 için x
x!1
x0 iken jf (x)j < " eşitsizli¼
gini sa¼
glayan
en az bir x0 noktas¬vard¬r.
g (x) =
8
>
>
f (x)
>
<
>
>
>
:
;
0
lineer ; x0
0
;
63
x
x
x
x0
x0 +
x0 +
1
2
1
2
şeklinde sürekli bir g fonksiyonu tan¬mlayal¬m.
g fonksiyonunun tan¬m¬gere¼
gince;
supp jf (x)
0 x
sup jf (x)
g (x)j
g (x)j +
jf (x)
sup
x0 x x0 + 12
0 x x0
bn
+ sup jf (x)
g (x)j
g (x)j
x x0 + 12
=
jf (x)
sup
x0 x x0 + 21
g (x)j + sup jf (x)j
x x0 + 12
jf (x)j +
sup
x0 x x0 + 12
sup
x0 x x0 + 21
jg (x)j + sup jf (x)j
x x0 + 21
olarak yaz¬labilir. Bu eşitsizlikte
max
x0 x x0 + 21
jg (x)j = jf (x0 )j ve lim f (x) = 0
x!1
oldu¼
gundan
supp jf (x)
0 x
bn
f (x)
=
g (x)j < " + " + " = 3"
elde edilir. O halde
supp
0 x
bn
en (f ; x)
B
supp
0 x
en (f ; x)
B
bn
g (x) + g (x)
supp
0 x
g; x) +
0 x
sup
jf
p
bn
supp
0 x
bn
0 t
6" +
supp
0 x
bn
64
supp
0 x
gj ; x
bn
en (g; x)
B
en (1; x) +
3"B
en (g; x)
B
bn
f (x)j
bn
en
supp B
0 x
supp
0 x
supp jg (x)
+
+
f (x)j
en (f
B
bn
en (g; x) + B
en (g; x)
B
bn
!
g (x) +
supp jg (x)
0 x
en (g; x)
B
en (g; x)
B
g (x)
g (x)
bn
g (x) + 3"
f (x)j
olup,
lim
n!1
supp
0 x
bn
en (f ; x)
B
f (x)
6" + lim
n!1
supp
0 x
bn
en (g; x)
B
g (x)
olur. Lemma 3.0.1 kullan¬l¬rsa
lim
n!1
supp
0 x
bn
en (f ; x)
B
f (x) = 0
elde edilir. Bu da ispat¬tamamlar.
3.1 I. Tip Genelleşmiş Bernstein-Chlodowsky Polinomlar Dizisi ve
Yaklaş¬m¬
I·bikli (2001) taraf¬ndan I. tip genelleşmiş Bernstein-Chlodowsky tipi polinomlar
dizisinin tan¬m¬ve yaklaş¬m özellikleri araşt¬r¬lm¬şt¬r.
Tan¬m 3.1.1 (bn ) dizisi
bn
=0
n!1 n
lim bn = 1 ve lim
n!1
koşullar¬n¬sa¼
glayan monoton artan reel terimli pozitif say¬dizisi ve 0
üzere
Sn (f ; x) =
n
P
f
k=0
k+
bn Cnk
n+
x
bn
k
x
1
bn
olmak
n k
(3.1.1)
ile I. tip genelleşmiş Bernstein-Chlodowsky tipi polinomlar dizisi tan¬mlanabilir (Stancu
1983).
(3:0:2) ifadesi gözönüne al¬n¬rsa, (2:4:2) eşitli¼
ginden
Sn (1; x) =
n
P
k=0
Cnk
x
bn
olarak bulunur.
65
k
1
x
bn
n k
=1
(3.1.2)
(3:0:3) ifadesi gözönüne al¬n¬rsa
Sn (t; x) =
n
P
k=0
=
=
k+
bn Cnk
n+
n
P
bn
n+
bn
n+
+
k=0
n
P
k=0
bn
=
n+
(
n
P
kCnk
k=0
k
x
bn
1
n
k
n P
bn Cnk
=
n + k=0 n
n
x+
bn
=
n+
n+
x
bn
)
n k
x
bn
n k
n k
x
bn
1
+
k
x
bn
n k
x
bn
1
1
k
x
bn
Cnk
k
k
x
bn
kCnk
n k
x
bn
1
x
bn
(k + ) Cnk
k=0
(
n
P
k
x
bn
n k
x
bn
1
)
+
n+
(3.1.3)
olarak bulunur.
(3:0:4) ifadesi gözönüne al¬n¬rsa
Sn t2 ; x
=
n
P
2
k+
bn
n+
k=0
k
x
bn
Cnk
n
P
b2n
(k + )2 Cnk
2
(n + ) k=0
(
2
n
P
bn
x
=
k 2 Cnk
2
bn
(n + ) k=0
n
P
k=0
+
2
n
P
k=0
b2n
=
(n + )2
Cnk
(
x
bn
1
n n2
P
k 2 Cnk
2
n
k=0
n n
P
kCnk
+2
n
k=0
66
x
bn
1
k
x
bn
1
x
bn
x
bn
k
1
n k
n k
x
bn
n k
n k
x
bn
1
k
k
x
bn
k
x
bn
kCnk
x
bn
1
=
+2
bn
n k
)
k
1
x
bn
x
bn
n k
+
2
n k
)
2 n
P
n
n+
=
k
bn
n
k=0
n
P
2 n
+
b
n
(n + )2 k=0
b2n
+ 2
(n + )2
2
n
n+
=
+
2
x2 +
2
x
bn
Cnk
k
bn Cnk
n
x
bn
x (bn x)
n
+
k
x
bn
1
k
1
n k
x
bn
n k
2 n
bn x
(n + )2
(3.1.4)
b2n
(n + )2
olarak bulunur.
jf (x)j
Mf (1 + x2 ) eşitsizli¼
gini sa¼
glayan f 2 C (R) fonksiyonu için (3:1:1) poli-
nomlar¬ile yak¬nsakl¬k gerçeklenmeyebilir.
Örne¼
gin; [0; bn ] aral¬g¼¬üzerinde sonsuz mertebeden diferensiyellenebilir olan f (x) =
x2 fonksiyonuna (3:1:1) polinomlar dizisi ile yaklaş¬m yapal¬m.
f (t) = t2 için
Sn t2 ; x =
n
n+
2
x2 +
x (bn x)
n
+
2 n
bn x +
(n + )2
2
bn
n+
2
olmak üzere,
sup
0 x bn
Sn t2 ; x
x2
Sn t2 ; x
x2
x2
Sn t2 ; x
n2
n2
x (bn x)
= x2 1
+
2
2
n
(n + )
(n + )
2
2 n
+
b
x
+
b2n
n
(n + )2
(n + )2
n2
n2
x (bn x)
sup x2 1
+
sup
2
2
n
(n + )
0 x bn
0 x bn (n + )
2
2 n
2
+ sup
b
x
+
sup
n
2
2 bn
0 x bn (n + )
0 x bn (n + )
67
n2
(n + )2
= b2n 1
+
n2
b2n
(n + )2 4n
+
2
2 n 2
b
+
b2n
n
(n + )2
(n + )2
elde edilir.
b2n 1
n2
(n + )2
+
n2
b2n
(n + )2 4n
b2n
4
1
n2
(n + )2
+
b2n
4n
eşitsizli¼
ginin gerçeklendi¼
gini gösterelim.
3
4
n2
(n + )2
1
+
n2
(n + )2
3 1
3 2n2 + n
2
n
4 (n + )2
+
1
4n
1
n
n
(n + )2
+ n (n + )2
(n + )2
olup, eşitsizlik geçerlidir. Buradan
sup
Sn t2 ; x
b2n
4
x2
0 x bn
1
n2
(n + )2
+
2
b2n
+
b2
4n (n + )2 n
olarak yaz¬labilir. Bu durumda
lim sup
n!1 0 x bn
Sn t2 ; x
x2
1
olup, yak¬nsama gerçekleşmez.
(3:1:1) polinomlar dizisi gözönüne al¬nd¬g¼¬nda, aşa¼
g¬daki teorem Lemma 2.5.1’in bir
sonucu olarak verilebilir.
Teorem 3.1.1
(x) = 1 + x2 olmak üzere f 2 C (0; 1) ise s¬n¬rl¬ve kapal¬[0; A]
aral¬g¼¬üzerinde
lim Sn (f ; x) = f (x)
n!1
düzgün olarak gerçeklenir.
68
I·spat: I·spat¬yapmak için Lemma 2.5.1’in koşullar¬n¬n sa¼
gland¬g¼¬n¬gösterelim.
(3:1:2) ifadesi gözönüne al¬n¬rsa
Sn (1; x)
1 = 0
sup jSn (1; x)
1j = 0
0 x A
olup,
lim kSn (1; x)
1kC(0;A) = 0
n!1
olur.
(3:1:3) ifadesi gözönüne al¬n¬rsa
Sn (t; x)
n
n+
x = x
+
n+
n
n+
= x
jSn (t; x)
xj
x 1
sup jSn (t; x)
xj
A 1
1 +
n
n+
n
n+
x2[0A]
bn
+
+
x
n+
n+
n+
bn
bn
bn
olup,
lim kSn (t; x)
xkC(0;A) = 0
n!1
olur.
(3:1:4) ifadesi gözönüne al¬n¬rsa
Sn t2 ; x
n
n+
x2 =
+
2
2
x2 +
b2n
(n + )2
69
x (bn x)
n
x2
+
2 n
bn x
(n + )2
Sn t2 ; x
n2
(n + )2
x2
1 x2 +
n
+2 x
n2 1 + 2 n +
sup Sn t2 ; x
x2
A2
x2[0;A]
n2
bn
n2
x2
x
+
(n + )2 n
(n + )2 n
n2
(n + )2
bn +
2
n2
1+
n2 1 + 2 n +
bn
n+
2
bn
n+
2
n
(n + )2
n
+2 A
2
bn +
2
n2
2
olup,
lim Sn t2 ; x
x2
n!1
C(0;A)
=0
elde edilir. Bu durumda Lemma 2.5.1’in tüm koşullar¬ sa¼
glan¬r. O halde Lemma
2.5.1 gere¼
gince istenen yak¬nsakl¬k gerçeklenir.
Di¼
ger yandan aşa¼
g¬daki teorem, (3:1:1) polinomlar dizisi gözönüne al¬nd¬g¼¬nda Teorem 2.5.1’in bir sonucu olarak verilebilir.
Teorem 3.1.2
(x) = 1 + x2 olmak üzere f 2 C k (R) ise
lim kSn (f ; x)
n!1
f (x)k = 0
gerçeklenir.
I·spat: (3:1:2) ifadesi kullan¬larak
jSn (1; x) 1j
1 1
=
=0
2
1+x
1 + x2
lim sup
n!1 0 x bn
jSn (1; x) 1j
=0
1 + x2
olup,
lim kSn (1; x)
n!1
elde edilir.
70
1k = 0
(3:1:3) ifadesi kullan¬larak
Sn (t; x)
x=x
n
n+
1 +
n+
bn
olup, ; ; bn > 0 oldu¼
gundan
jSn (t; x)
n
n+
xj
jSn (t; x) xj
1 + x2
1
1
sup
0 x bn
jSn (t; x) xj
1 + x2
1
1 x+
bn
n+
x
1
bn
+
2
1+x
n+
1 + x2
n
n+
n
n+
n
n+
+
+
n+
n+
bn
bn
yaz¬labilir. Buradan
lim sup
n!1 0 x bn
jSn (t; x) xj
1 + x2
1
lim 1
2 n!1
= 0
n
n+
bn
n!1 n n 1 +
+ lim
olup,
lim kSn (t; x)
n!1
xk = 0
elde edilir.
(3:1:4) ifadesi kullan¬larak
Sn t2 ; x
Sn t2 ; x
x2 =
x2
n2
n2
x (bn x)
2
1
x
+
2
2
n
(n + )
(n + )
2
2 n
2
+
2 bn x +
2 bn
(n + )
(n + )
2
n
n
1
x2 +
x (bn x)
2
(n + )
(n + )2
2
2 n
2
+
b
x
+
n
2
2 bn
(n + )
(n + )
71
n
jSn (t2 ; x) x2 j
1 + x2
jSn (t2 ; x)
sup
1 + x2
0 x bn
x2
x (bn x)
n2
n
+
2
2
(n + ) 1 + x2 (n + ) 1 + x2
2
2 n
x
1
2
+
+
b
n
2
2 bn
2
(n + ) 1 + x
(n + ) 1 + x2
n
n2
+
(bn x)
1
2
(n + )
(n + )2
2
2 n
+
b
+
b2n
n
(n + )2
(n + )2
x2 j
n2
n
1
+
sup (bn x)
2
(n + )
(n + )2 0 x bn
2
2 n
2
b
+
+
2 n
2 bn
(n + )
(n + )
2
n
n
2 n
=
1
+
bn
2
2 bn +
(n + )
(n + )
(n + )2
1
2
+
2
2 bn
(n + )
bulunur. Buradan
lim sup
n!1 0 x bn
jSn (t2 ; x) x2 j
1 + x2
lim
n!1
1
n2 1 +
2
n
+
nbn
+ lim
n!1
2 nbn
+ lim
n!1
n2
(n + )2
2
n2 1 +
n!1
n2
lim Sn t2 ; x
x2
=0
elde edilir. Bu durumda
lim sup
n!1 0 x bn
jSn (t ; x) x j
= 0;
1 + x2
= 0; 1; 2
olup, Teorem 2.5.1 gere¼
gince;
lim sup
n!1 0 x bn
jSn (f ; x) f (x)j
=0
1 + x2
bulunur. Bu da ispat¬tamamlar.
72
+
2
n2
2 2
bn
+ lim
olup, (bn ) dizisinin özelliklerinden
n!1
2
n
n2 1 +
2
n
+
2
n2
Şimdi (3:1:1) ile tan¬ml¬polinomlar dizisinin türevleri için yak¬nsakl¬k özelliklerini
araşt¬ral¬m.
Tan¬m 3.1.2
hf
(x) = f (x + h)
f (x) ; h
0
(3.1.5)
ifadesi f fonksiyonunun x noktas¬ndaki birinci fark¬ olarak tan¬mlanabilir. Ayr¬ca
her m pozitif tamsay¬s¬için
m
hf
=
h
m 1
f
h
olsun.
Teorem 3.1.3 Diferensiyellenebilir bir f fonksiyonu için
m
hf
(x) = hm f (m) (x + mh) ; 0 <
<1
(3.1.6)
gerçeklenir.
I·spat: I·spat¬tümevar¬m metodu ile verelim.
f fonksiyonu (x; x + h) aral¬g¼¬nda diferensiyellebilir oldu¼
gundan, Ortalama De¼
ger
Teoremi gere¼
gince;
0
f (x + h) =
f (x + h)
h
f (x)
; 0<
gerçeklenir. Buradan
f (x + h)
0
f (x) = hf (x + h)
olup,
hf
0
(x) = hf (x + h) ; 0 <
oldu¼
gundan m = 1 için ifadenin do¼
grulu¼
gu aç¬kt¬r.
73
<1
<1
m = k için (3:1:6) ifadesi do¼
gru olsun. Yani;
k
hf
(x) = hk f (k) (x + kh) ; 0 <
<1
gerçeklensin. m = k + 1 için (3:1:6) ifadesinin do¼
gru oldu¼
gunu gösterelim.
k+1
h f
(x) =
h
=
h
k
hf
(x)
hk f (k) (x + kh)
olmak üzere g (x) = hk f (k) (x + kh) ile tan¬mlan¬rsa
k+1
h f
(x) =
h
(g (x))
0
= hg (x + h)
= h hk f (k) (x + h + kh)
0
= hk+1 f (k+1) (x + (k + 1) h)
elde edilir. O halde diferensiyellenebilir bir f fonksiyonu için (3:1:6) ifadesi gerçeklenir.
Not 1.
2
hf
E¼
ger
hf
(x) > 0 ise f fonksiyonu belirtilen aral¬kta artand¬r. E¼
ger
(x) > 0 ise f fonksiyonu konvekstir.
Teorem 3.1.4 (3:1:1) polinomlar dizisi için
n (n
dm
Sn (f ; x) =
m
dx
m
bn
n+
1) ::: (n m + 1) nPm k
Cn
bm
k=0
n
k+
f
bn
n+
eşitli¼
gi geçerlidir.
74
m
x
bn
k
1
x
bn
n m k
(3.1.7)
I·spat:
d
S
dx n
(f ; x) ifadesi
n
P
d
d
Sn (f ; x) =
dx
dx
k+
f
bn Cnk
n
+
k=0
"
n
P
k
+
d
=
Cnk f
bn
n+
dx
k=0
"
n
P
k+
k
=
Cnk f
bn
n+
bn
k=0
n
k
x
bn
bn
=
n
P
k=0
Cnk f
k=0
= I1
1
k+
bn
n+
Cnk f
n
P
k
k+
bn
n+
x
bn
k
x
bn
k 1
x
bn
n
k
bn
n k
x
bn
1
#
k 1
x
bn
1
k
1
!
#
n k
x
bn
1
x
bn
n k
x
bn
1
n k 1
x
bn
k
bn
k
x
bn
n k
x
bn
n k 1
(3.1.8)
I2
olarak yaz¬labilir.
I1 ifadesini gözönüne alal¬m.
I1 =
n
P
Cnk f
k=0
=
nP1
k=0
Cnk+1 f
k+
bn
n+
k
bn
x
bn
k+1+
bn
n+
k 1
1
k+1
bn
n k
x
bn
x
bn
k
1
x
bn
n k 1
şeklinde yaz¬labilir. (k + 1)Cnk+1 ifadesi gözönüne al¬n¬rsa
(k + 1)Cnk+1 = (k + 1)
n
k+1
n!
(k + 1)! (n k
(n 1)!
= n
k! (n k 1)!
= nCnk 1
= (k + 1)
75
1)!
(3.1.9)
olur. (3:1:9) ifadesi I1 de yerine yaz¬l¬rsa
I1 =
n nP1 k
C f
bn k=0 n 1
k+1+
bn
n+
k
x
bn
n k 1
x
bn
1
elde edilir.
I2 ifadesini ele alal¬m.
I2 =
nP1
Cnk f
k=0
olarak yaz¬labilir. (n
n
k+
bn
n+
k
k
x
bn
bn
x
bn
1
n k 1
k) Cnk ifadesi gözönüne al¬n¬rsa
(n
n!
(n k)!k!
(n 1)!
= n
k! (n k 1)!
= nCnk 1
k) Cnk = (n
k)
(3.1.10)
olur.
(3:1:10) ifadesi I2 de yerine yaz¬l¬rsa
n nP1 k
C f
I2 =
bn k=0 n 1
k+
bn
n+
n
k
bn
x
bn
k
x
bn
1
n k 1
elde edilir. (3:1:8) ifadesi gözönüne al¬nd¬g¼¬nda
d
n nP1 k
Sn (f ; x) =
C
dx
bn k=0 n
x
bn
bulunur. (3:1:5) ifadesinde h =
bn
n+
f
k+
bn
n+
k
bn
n+
=f
f
1
1
k+1+
bn
n+
x
bn
ve x =
k+
bn
n+
n k 1
k+
n+
bn olarak al¬n¬rsa
k+1+
bn
n+
76
f
f
k+
bn
n+
(3.1.11)
şeklinde yaz¬labilir. O halde
n nP1 k
d
Sn (f ; x) =
C
dx
bn k=0 n
1
x
bn
k
n k 1
x
bn
1
k+
bn
n+
f
bn
n+
(3.1.12)
olarak elde edilir.
d2
S
dx2 n
(f ; x) ifadesi
n
P
d2
S
(f
;
x)
=
Cnk f
n
dx2
k=0
+
=
x
bn
k 1
k (n k)
b2n
x
bn
k 1
k
1)
(n
k) (n
b2n
"
k+
bn
n+
Cnk f
k=0
=
k 1
(n
k
1)
k) (n
b2n
Cnk f
k=0
2
n
P
Cnk f
k=0
n
P
x
bn
n k 1
1
k
x
bn
olarak yaz¬labilir.
77
n k 2
x
bn
n k
x
bn
n k
#
k 2
x
bn
1
n k 1
x
bn
k
1
x
bn
k (n k)
b2n
(n
x
bn
1
k (k 1)
b2n
k+
bn
n+
k+
bn
n+
k=0
= T1 2T2 + T3
Cnk f
1
1
k+
bn
n+
1
n k 1
k (k 1)
b2n
x
bn
k 2
x
bn
x
bn
x
bn
k (n k)
2
b2n
n
P
+
k (k 1)
b2n
k (n k)
b2n
n
P
+
"
k+
bn
n+
k) (n
b2n
x
bn
n k 2
k 2
1
x
bn
k 1
k
1)
#
n k
x
bn
1
x
bn
n k 1
x
bn
k
1
x
bn
n k 2
Şimdi eşitli¼
gin sa¼
g¬ndaki T1 ; T2 ve T3 ifadelerini teker teker ele alal¬m.
T1 =
n
P
k+
bn
n+
Cnk f
k=2
=
nP2
k (k 1)
b2n
k+2+
bn
n+
Cnk+2 f
k=0
k 2
x
bn
(k + 2) (k + 1)
b2n
n k
x
bn
1
x
bn
k
x
bn
1
n k 2
şeklinde bulunur. Burada
(k + 2) (k + 1) Cnk+2 = (k + 2) (k + 1)
(n
k
(n
n (n 1) (n 2)!
=
k! (n k 2)!
= n (n 1) Cnk 2
k
= (k + 2) (k + 1)
n!
2)! (k + 2)!
n!
2)! (k + 2) (k + 1)!
olmak üzere,
T1 =
n (n 1) nP2 k
Cn 2 f
b2n
k=0
x
bn
k+2+
bn
n+
k
n k 2
x
bn
1
elde edilir.
T2 =
nP1
k+
bn
n+
Cnk f
k=1
=
nP2
Cnk+1 f
k=0
k (n k)
b2n
k+1+
bn
n+
x
bn
k 1
x
bn
1
(k + 1) (n k
b2n
1)
n k 1
x
bn
k
1
x
bn
n k 2
şeklindedir. Burada
(k + 1) (n
k
1) Cnk+1 = (k + 1) (n
= n (n
= n (n
78
k
1)
(n k
(n 2)!
1)
(n k 2)!k!
1) Cnk 2
n!
1)!(k + 1)!
olmak üzere,
T2 =
n (n 1) nP2 k
Cn 2 f
b2n
k=0
k+1+
bn
n+
k
x
bn
n k 2
x
bn
1
elde edilir.
T3 =
nP2
k+
bn
n+
Cnk f
k=0
(n
k) (n
b2n
k
1)
k
x
bn
x
bn
1
n k 2
şeklindedir. Burada
(n
k) (n
1) Cnk
1) Cnk = n (n
k
2
olmak üzere,
n (n 1) nP2 k
T3 =
Cn 2 f
b2n
k=0
k+
bn (n
n+
k) (n
k
1)
x
bn
k
1
x
bn
n k 2
elde edilir. Bu durumda
d2
Sn (f ; x) = T1 2T2 + T3
dx2
n (n 1) nP2
=
f
b2n
k=0
Cnk
2
k+2+
bn
n+
k
x
bn
1
x
bn
hf
(x))
2f
k+1+
bn + f
n+
n k 2
olur.
Di¼
ger yandan
2
hf
(x) =
h
(
=
h
(f (x + h)
=
h
(f (x + h))
f (x))
hf
(x)
= f (x + 2h)
f (x + h)
= f (x + 2h)
2f (x + h) + f (x)
79
f (x + h) + f (x)
k+
bn
n+
olmak üzere
h=
bn
n+
ve x =
k+
bn
n+
olarak seçilirse
2
bn
n+
f
k+
bn
n+
k+
bn
bn + 2
n+
n+
k+
+f
bn
n+
= f
2f
k+
bn
bn +
n+
n+
olup,
d2
n (n 1) nP2 k
Cn
S
(f
;
x)
=
n
dx2
b2n
k=0
2
x
bn
k
1
x
bn
n k 2
2
bn
n+
f
k+
bn
n+
(3.1.13)
olarak elde edilir. Ayn¬metod izlenirse her m do¼
gal say¬s¬için (3:1:7) eşitli¼
gi geçerli
olur.
(3:1:12) ve (3:1:13) ifadeleri gözönüne al¬n¬rsa aşa¼
g¬daki önerme elde edilir.
Önerme 3.1.1 f fonksiyonu (0; bn ) aral¬g¼¬nda konveks ve artan bir fonksiyon ise
(3:1:1) polinomlar¬da (0; bn ) aral¬g¼¬nda konveks ve artand¬r.
Teorem 3.1.5 (3:1:1) polinomlar¬, [0; bn ] aral¬g¼¬üzerinde s¬n¬rl¬sal¬n¬ml¬fonksiyon
olma özelli¼
gini korur.
I·spat: (3:1:1) polinomlar¬diferensiyellenebilir ve türevi integrallenebilir oldu¼
gundan
Tan¬m 2.3.2 gere¼
gince;
V0bn (Sn f ) =
Rbn d
Sn (f ; x) dx
0 dx
eşitli¼
gi gerçeklenir.
80
(3:1:11) ve (3:1:12) eşitliklerinden
V0bn
Rbn n nP1 k
(Sn f ) =
Cn
0 bn k=0
1
n nP1 k Rbn
C
bn k=0 n 1 0
x
bn
k
x
bn
k
n k 1
1
x
bn
n k 1
1
x
bn
f
bn
n+
k+
bn
n+
dx
k+ +1
k+
bn
f
bn
dx
n+
n+
k+ +1
k+
n nP1 k
Cn 1 f
bn
f
bn
=
bn k=0
n+
n+
n k 1
Rbn x k
x
1
dx
bn
bn
0
f
olur.
x
bn
= y de¼
gişken de¼
giştirmesi yap¬l¬rsa
V0bn (Sn f )
n
nP1
Cnk
1
f
k=0
k+ +1
bn
n+
f
R1
k+
bn
n+
0
sa¼
glan¬r. Şimdi
R1
y k (1
y)n
k 1
dy
0
integralini gözönüne alal¬m.
Beta fonksiyonu tan¬m¬ndan
R1
y k (1
y)n
k 1
dy = B (k + 1; n
k)
0
olarak yaz¬labilir.
(2:1:1) ba¼
g¬nt¬s¬gere¼
gince;
B (k + 1; n
k) =
=
81
(k + 1) (n k)
(k + 1 + n k)
(k + 1) (n k)
(n + 1)
y k (1
y)n
k 1
dy
olur. k 2 R+ = [0; 1) için
(k + 1) = k! oldu¼
gundan
B (k + 1; n
k) =
=
=
k! (n
k
n!
1)!
1
n!
k!(n k 1)!
1
n(n 1)!
k!(n 1 k)!
gerçeklenip,
B (k + 1; n
k) =
1
nCnk
1
elde edilir. Bu durumda
V0bn (Sn f )
nP1
k+ +1
k+
bn
f
bn
n+
n+
k=0
nP1
k+ +1
k+
f
=
bn
bn
f
n+
n+
k=0
nP1
k+ +1
k+
f
sup
bn
bn
f
n+
n+
k=0
n
Cnk
1
f
1
nCnk
1
= V0bn (f )
sa¼
glan¬r. f s¬n¬rl¬sal¬n¬ml¬bir fonksiyon oldu¼
gundan V0bn (f ) < 1 olup, V0bn (Sn f ) <
1 elde edilir. O halde Sn f s¬n¬rl¬sal¬n¬ml¬d¬r.
Teorem 3.1.6 f fonksiyonu [0; 1) aral¬g¼¬nda m: mertebeden diferensiyellenebilir ve
f (m) 2 Lip1 (0; A) olsun. Bu durumda herhangi bir kapal¬ve s¬n¬rl¬[0; A] aral¬g¼¬nda
dm
Sn (f ; x) = f (m) (x)
n!1 dxm
lim
düzgün olarak gerçeklenir.
I·spat: P = fx0 ; x1 ; x2 ; :::; xk g, [0; A] aral¬g¼¬n¬n bir parçalanmas¬olsun. f (m) fonksiyonu [0; A] aral¬g¼¬nda Lipschitz koşulunu sa¼
glad¬g¼¬ndan
f (m) (xk+1 )
f (m) (xk )
82
M (xk+1
xk )
olacak şekilde M > 0 say¬s¬vard¬r. Buradan
sup
P
nP1
f (m) (xk+1 )
f (m) (xk )
M sup
P
k=0
nP1
(xk+1
xk )
k=0
= M sup (xn
x0 )
P
= M:A
olup,
V f (m)
M:A
gundan f (m) fonksiyonu s¬n¬rl¬sal¬n¬melde edilir. Bu durumda V f (m) < 1 oldu¼
l¬d¬r.
[0; A] aral¬g¼¬nda f (m) , s¬n¬rl¬sal¬n¬ml¬bir fonksiyon oldu¼
gundan s¬n¬rl¬d¬r. Yani;
f (m) (x)
M
olacak şekilde M > 0 say¬s¬vard¬r. Ayr¬ca x
f (m) (x)
0 için
M 1 + x2
(3.1.14)
eşitsizli¼
gi yaz¬labilir.
f (m) fonksiyonu, [0; 1) aral¬g¼¬nda m: mertebeden diferensiyellenebilir oldu¼
gundan
süreklidir. Ayr¬ca f (m) fonksiyonu (3:1:14) eşitsizli¼
gini gerçekledi¼
ginden Teorem
3.1.1 gere¼
gince; [0; A] aral¬g¼¬nda n
lim Sn
n!1
m için
m
f (m) ; x = f (m) (x)
(3.1.15)
düzgün olarak gerçeklenir.
dn;m =
n
n+
m
1
ile tan¬mlans¬n.
83
1
n
::: 1
m
1
n
(3.1.16)
(3:1:7) ifadesinin her iki yan¬nm ile çarp¬l¬p bölünürse
1) nm nPm k
Cn
bm
n k=0
dm
n (n 1) n (m
:::
S
(f
;
x)
=
n
dxm
n n
n
k+
m
bn
bn f
n+
n+
k
x
bn
m
n m k
x
bn
1
x
bn
n m k
m 1 nm nPm k
x
1
x
::: 1
1
1
Cn m
m
n
n
bn k=0
bn
bn
m
bn
m
k+
bn + k
bn
f (m)
n+
n+
n+
k
n m k
nP
m
x
x
k+
f (m)
= dn;m
Cnk m
1
bn +
bn
bn
n+
k=0
n m k
=
1
n
1
m
bn
n+
::: 1
m
nm nPm k
Cn
bm
n k=0
1
n
k+
bn
n+
f
m
x
bn
k
1
olur. (3:1:16) ifadesi kullan¬larak
k
dm
Sn (f ; x) =
dxm
elde edilir. Burada 0 <
Sn
=
m
n
m
X
(m)
mf
k=0
dn;m
nP
m
x
bn
Cnk m
k=0
+
nP
m
x
bn
k
Cnk m
x
bn
k
Cnk m
k=0
nP
m
k=0
(
=
(dn;m
+
nP
m
1)
nP
m
k
1
k=0
f (m)
x
bn
x
bn
k
1
f (m)
n m k
1
n m k
1
x
bn
Cnk m
k
x
bn
x
bn
n m k
x
bn
k=0
Cnk
m
bn
n+
< 1 dir.
dm
Sn (f ; x)
dxm
k+
x
n m+
bn
f (m) ; x
Cnk
k
k
n m k
k+
bn +
n+
m
bn
n+
f (m)
k+
bn +
n+
k
m
bn
n+
f (m)
k+
bn +
n+
k
m
bn
n+
k
x
bn
1
n m k
f (m)
n m k
x
m
bn
k+
m
bn + k
bn
n+
n+
k
1
f (m)
84
k+
n m+
k+
bn +
n+
k
m
bn
n+
Sn
m
jdn;m
+
dm
Sn (f ; x)
dxm
f (m) ; x
1j
nP
m
Cnk
x
bn
k
x
bn
n m k
m
k=0
nP
m
Cnk m
k=0
x
bn
k
n m k
x
bn
f (m)
k+
bn +
n+
k+
bn +
n+
f (m)
k
k
m
bn
n+
m
bn
n+
f (m)
olup, f (m) Lipschitz koşulunu gerçekledi¼
ginden
k+
n m+
k+
m
bn + k
bn
f (m)
n+
n+
k+
m
k+
bn + k
bn
M
n+
n+
n m+
m
1
bn k
= M
n+
n m+
f (m)
sa¼
glan¬r. Ayr¬ca f (m) fonksiyonu (3:1:14) ifadesini sa¼
glad¬g¼¬ndan
m
bn
k
n+
k+
bn +
n+
f (m)
M
1+
k+
bn +
n+
elde edilir. Burada
A=1+
k+
bn +
n+
m
bn
k
n+
2
m
bn
k
n+
olmak üzere
k+
bn +
n+
f (m)
k
m
bn
n+
MA
olur.
Bu durumda
Sn
m
dm
Sn (f ; x)
dxm
f (m) ; x
M A jdn;m
1j
nP
m
Cnk m
k=0
nP
m
m
+M
bn
Cnk
n+
k=0
m
k
x
bn
x
bn
1
k
1
85
x
bn
x
bn
n m k
n m k
k
n
1
m+
2
!
k+
bn
n m+
M A jdn;m
1j
nP
m
Cnk m
k=0
nP
m
m
Cnk
bn
+M
n+
k=0
M
= M
m
x
bn
m
1j +
bn
n+
m
1j +
bn
n+
A jdn;m
A jdn;m
k
x
bn
1
k
nP
m
n m k
x
bn
1
n m k
x
bn
Cnk m
k=0
x
bn
k
1
x
bn
n m k
olup,
lim Sn
n!1
m
dm
Sn (f ; x) = 0
dxm
f (m) ; x
(3.1.17)
bulunur.
dm
Sn (f ; x)
dxm
dm
Sn (f ; x)
dxm
f (m) (x)
+ Sn
m
Sn
f (m) ; x
m
f (m) ; x
f (m) (x)
olup, (3:1:15) ve (3:1:17) ifadesinden
lim
n!1
dm
Sn (f ; x)
dxm
f (m) (x) = 0
elde edilir. Bu da ispat¬tamamlar.
Tan¬m 3.1.3 [jf j], f say¬s¬n¬n tam k¬sm¬olmak üzere
n
P
Sen (f ; x) =
k=0
x
bn
k
1
x
bn
n k
f
k+
bn Cnk
n+
(3.1.18)
şeklinde tam katsay¬larla genelleşmiş Bernstein-Chlodowsky tipi polinomlar dizisi
tan¬mlanabilir.
(3:1:18) polinomlar dizisi gözönüne al¬nd¬g¼¬nda Lemma 2.5.1’in bir sonucu olarak
aşa¼
g¬daki teorem verilebilir.
Teorem 3.1.7
(x) = 1 + x2 olmak üzere f 2 C (R) ise herhangi bir kapal¬ ve
86
s¬n¬rl¬[ ; A] (0 <
< 1) aral¬g¼¬üzerinde
lim Sen (f ; x) = f (x)
n!1
düzgün olarak gerçeklenir.
I·spat: (3:1:1) ve (3:1:18) polinomlar¬n¬n fark¬
Sn (f ; x)
n
P
Sen (f ; x) =
f
x
bn
k+
bn Cnk
n+
k=0
k
x
bn
1
n k
k
n
P
x
k+
x
f
bn Cnk
1
n+
bn
bn
k=0
n
P
k+
k+
=
bn Cnk
bn Cnk
f
f
n
+
n
+
k=0
x
bn
k
1
n k
n k
x
bn
şeklinde yaz¬labilir.
ff g = f
[jf j]
(3.1.19)
olsun.
Yukar¬daki toplam k = 0 ve k = n için aç¬l¬rsa
Sn (f ; x)
Sen (f ; x) =
n+
bn
n+
f
+
nP1
x
bn
n
+ f
k+
bn Cnk
n+
f
k=1
n+
bn
k
x
bn
1
n
n k
x
bn
1
x
bn
olup,
Sn (f ; x)
Sen (f ; x)
f
+
nP1
k=1
n+
bn
n+
f
x
bn
k+
bn Cnk
n+
n
+
f
x
bn
olarak yaz¬labilir. (3:1:19) eşitli¼
ginde [jf j] = a denirse a
87
n+
k
1
bn
x
bn
1
x
bn
n k
f < a + 1 oldu¼
gundan
n
ff g
1 olur. O halde 8 2 (0; 1) için
max Sn (f ; x)
x A
Sen (f ; x)
max
f
x A
f
+ max
x A
+ max
nP1
x A k=1
max
x A
+ max
A
bn
x
bn
nP1
n
x
bn
1
bn
n+
k+
f
bn Cnk
n+
n
x
+ max 1
x A
bn
n
x
bn
k
x
bn
k
x
bn
k
n k
1
x
bn
n k
1
x
bn
x
bn
n k
1
n
k+
bn Cnk
n+
f
x A k=1
n
n
+ 1
+ max
x
bn
n+
bn
n+
nP1
bn
f
x A k=1
k+
bn Cnk
n+
elde edilir.
n
Şimdi f
k+
n+
bn
Cnk
o
ifadesini gözönüne alal¬m.
k+
bn Cnk
n+
f
= f
k+
bn Cnk
n+
f
k+
bn Cnk
n+
1
n
olup, Cnk
1 oldu¼
gundan
f
k+
bn Cnk
n+
1 k
C
n n
olarak yaz¬labilir. Bu durumda
max Sn (f ; x)
x A
Sen (f ; x)
A
bn
n
n
+ 1
bn
k
nP1
x
1
k
+ max
C
1
n x A k=1 n bn
n
n
A
1
+ 1
+
bn
bn
n
88
x
bn
n k
olur. (2:4:2) eşitli¼
gi gözönüne al¬n¬rsa
max Sn (f ; x)
x A
elde edilir. Buradan
lim max Sn (f ; x)
n!1
x A
Sen (f ; x)
n
A
bn
Sen (f ; x)
lim
n!1
n
+ 1
A
bn
+
bn
1
n
n
n
+ lim
n!1
1
bn
= 0
1
n!1 n
(3.1.20)
+ lim
bulunur.
Di¼
ger yandan Teorem 3.1.1 gere¼
gince;
cn = max jSn (f ; x)
x A
f (x)j
olacak şekilde bir (cn ) s¬f¬r dizisi vard¬r. Yani;
lim max jSn (f ; x)
n!1
x A
(3.1.21)
f (x)j = 0
olur. O halde (3:1:20) ve (3:1:21) ifadelerinden
lim max Sen (f ; x)
n!1
x A
f (x)
=
lim max Sen (f ; x)
n!1
x A
lim max Sen (f ; x)
n!1
x A
+ lim max jSn (f ; x)
n!1
x A
f (x)
Sn (f ; x) + Sn (f ; x)
Sn (f ; x)
f (x)j
= 0
bulunur. Bu durumda 0 <
elde edilir.
< 1 olmak üzere [ ; A] aral¬g¼¬nda istenen
Sen (f ; x)
f (x) (n ! 1)
89
3.2 II. Tip Genelleşmiş Bernstein-Chlodowsky Polinomlar Dizisi ve
Yaklaş¬m¬
I·zgi (2004) taraf¬ndan II. tip genelleşmiş Bernstein-Chlodowsky tipi polinomlar dizisi
tan¬mlanm¬ş ve bu polinomlar dizisinin yaklaş¬m özellikleri araşt¬r¬lm¬şt¬r.
Tan¬m 3.2.2 (bn ) dizisi
bn
=0
n!1 n
lim bn = 0 ve lim
n!1
koşullar¬n¬sa¼
glayan monoton artan reel terimli pozitif bir dizi olmak üzere
Bn ; (f ; x) =
n
X
f
x+
k=0
k
bn Cnk
n
k
x
bn
1
x
bn
n k
; 0
x
bn
(3.2.1)
şeklinde II. tip genelleşmiş Bernstein-Chlodowsky tipi polinomlar dizisi tan¬mlanabilir. Burada
> 0,
> 0 reel say¬lar¬ +
= 1 koşulunu gerçekler.
Lemma 3.2.1 (3:2:1) ile tan¬mlanan polinomlar dizisi
Bn ; (1; x) = 1
Bn ; (t; x) = x
Bn ;
t2 ; x
= x2 +
2 x (bn
x)
n
ifadelerini gerçekler.
I·spat: 0
x
bn ve t 2 R olmak üzere
f (t) = 1 için Binom formülü kullan¬larak
;
Bn (1; x) =
n
X
k=0
Cnk
x
bn
elde edilir.
90
k
1
x
bn
n k
=1
f (t) = t için Binom formülü, (3:0:2) ifadesi ve
Bn ; (t; x) =
n
X
k
bn Cnk
n
x
bn
k
x+
x
bn
k
x
bn
n k
Cnk
k=0
=
x
+
n
X
k=0
n
X
k
bn Cnk
n
k=0
= x
= 1 koşulu kullan¬larak
+
1
k
x
bn
n k
x
bn
1
n k
x
bn
1
elde edilir.
f (t) = t2 için Binom formülü, (3:0:2) ve (3:0:3) ifadeleri,
= 1 koşulu kul-
+
lan¬larak
Bn
;
2
t ;x
=
n
X
k=0
2
= ( x)
n
X
+2
x
k=0
+
2
n
X
k=0
k
k
bn
n
2
Cnk
x
bn
1
x
bn
n k
n k
k
x
bn
x
bn
1
x
bn
1
k
bn Cnk
n
k
x
bn
Cnk
x
bn
Cnk
k=0
n
X
2
k
bn
n
x+
k
1
x
bn
n k
n k
elde edilip,
Bn ;
t2 ; x = x2 +
2 x (bn
x)
n
olur.
Aşa¼
g¬daki teorem, (3:2:1) polinomlar dizisi gözönüne al¬nd¬g¼¬nda Lemma 2.5.1’in bir
sonucu olarak verilebilir.
Teorem 3.2.1
(x) = 1 + x2 olmak üzere f 2 C (0; 1) ise herhangi bir kapal¬ve
91
s¬n¬rl¬[0; A] aral¬g¼¬üzerinde
lim Bn ; (f ; x) = f (x)
n!1
düzgün olarak gerçeklenir.
I·spat: Lemma 3.2.1 kullan¬larak
lim Bn ; (1; x)
1
C(0;A)
= 0
lim Bn ; (t; x)
x
C(0;A)
= 0
x2
C(0;A)
= 0
n!1
n!1
lim Bn ;
n!1
t2 ; x
oldu¼
gu aç¬kca görülür. Bu durumda Lemma 2.5.1’in koşullar¬ sa¼
glanm¬ş olur. O
halde Lemma 2.5.1 gere¼
gince; [0; A] aral¬g¼¬ üzerinde istenen ifade düzgün olarak
gerçeklenir.
Aşa¼
g¬da (3:2:1) polinomlar dizisinin f 2 C (R) fonksiyonuna olan yaklaş¬m h¬z¬yla
ilgili bir teorem verelim.
Teorem 3.2.2 ! 1+A
( ), f fonksiyonunun [0; 1 + A] aral¬g¼¬ üzerinde tan¬mlanan
f
süreklilik modülü olsun. f 2 C (R) ise kapal¬ve s¬n¬rl¬[0; A] aral¬g¼¬üzerinde
;
Bn (f ; x)
f (x)
C! 1+A
f
r
bn
n
!
eşitsizli¼
gini gerçekleyen f fonksiyonuna ba¼
gl¬bir C sabiti vard¬r.
I·spat: x 2 [0; A] olmak üzere
E1 =
k : x+
k
bn
n
1+A
ve E2 =
92
k : x+
k
bn
n
1+A
kümeleri tan¬mlans¬n.
;
Bn (f ; x)
f (x)
n
X
=
f
k
x+
bn
n
f
k
x+
bn
n
k=0
X
=
k2E1
+
X
f
k
bn
n
x+
k2E2
X
f
k
bn
n
x+
k2E1
+
X
f
x+
k2E2
=
In(1)
f (x)
x
bn
f (x)
Cnk
x
bn
1
x
bn
k
x
bn
1
n k
n k
x
bn
k
n k
x
bn
1
1
x
bn
f (x) Cnk
1
k
x
bn
f (x) Cnk
n k
x
bn
k
x
bn
f (x) Cnk
k
bn
n
k
Cnk
n k
+ In(2)
olarak yaz¬labilir.
(1)
(2)
In ve In ifadelerini ayr¬ayr¬gözönüne alal¬m.
k 2 E1 ve x 2 [0; A] için f fonksiyonunun özelliklerinden
f
k
bn
x+
n
f (x)
Mf
Mf
2+
"
x+
k
bn
x+
n
k
bn
n
2
+ x2
!
2
x
+ 2x
x+
k
bn
n
+ 2 1 + x2
elde edilir.
x+
k
b
n n
f
x
1 oldu¼
gundan
k
x+
bn
n
f (x)
2Mf
k
x+
bn
n
2Mf (A + 2)2 (
93
2
x
4 + 4x + x2
1) x +
k
bn
n
2
x
olup, B = 2Mf (A + 2)2 ile gösterilirse
f
k
bn
n
x+
f (x)
B (
2
k
bn
n
1) x +
elde edilir. O halde Lemma 3.2.1 kullan¬larak
In(1)
B
n
X
(
1) x +
k=0
2 x (bn
= B
k
bn
n
2
k
x
bn
Cnk
x
bn
1
n k
x)
n
bn
B 2A
n
olur.
lim bn
n!1 n
= 0 oldu¼
gundan yeterince büyük n de¼
gerleri için
q
bn
n
Özellik 2.2.6’dan
Cf
r
bn
n
r
! 1+A
f
bn
n
!
=)
r
bn
n
r
1 1+A
!
Cf f
bn
n
bn
n
yaz¬labilir.
!
olacak şekilde f fonksiyonuna ve ( n ) dizisine ba¼
gl¬Cf > 0 say¬s¬vard¬r. O halde
M=
B 2A
Cf
olmak üzere
In(1)
M ! 1+A
f
r
bn
n
!
(3.2.2)
eşitsizli¼
gi elde edilir.
k 2 E2 ve x 2 [0; A] için süreklilik modülünün özelliklerinden
f
x+
k
bn
n
f (x)
! 1+A
f
x+
( n) 1 +
! 1+A
f
k
bn
n
1
x
k
bn
n
x+
n
x
olarak yaz¬labilir. Lemma 3.1.1 ve Cauchy-Schwartz eşitsizli¼
gi kullan¬larak
In(2)
"
! 1+A
( n) 1 +
f
n
1 X
n
k=0
k
x+
bn
n
94
x Cnk
x
bn
k
1
x
bn
n k
#
v
u n
uX
1
1+A
! f ( n ) 41 + t
2
n
"
= ! 1+A
( n) 1 +
f
"
! 1+A
( n) 1 +
f
olarak bulunur.
n
=
q
1
n
r
k=0
1 p
n
bn
n
x+
2 x (bn
A
r
x)
n
#
k
bn
n
#
Cnk
x
x
bn
k
1
x
bn
n k
3
5
bn
n
ve K = 1 +
In(2)
2
p
A olarak belirlenirse
K! 1+A
f
r
bn
n
!
(3.2.3)
elde edilir. Bu durumda (3:2:2) ve (3:2:3) ifadelerinden C = M + K olmak üzere
Bn ; (f ; x)
f (x)
istenen eşitsizlik elde edilir.
95
C! 1+A
f
r
bn
n
!
¼ I·ŞKENLI· FONKSI·YONLAR I·ÇI·N LI·NEER POZI·TI·F
4. I·KI· DEG
OPERATÖRLER DI·ZI·SI· I·LE YAKLAŞIM
Rm de Korovkin Teoremi’nin geçerlili¼
gini aşa¼
g¬daki teorem ile verelim.
Rm s¬n¬rl¬bir bölge olmak üzere e¼
ger (Ln ) lineer pozitif ope-
Teorem 4.0.1 X
ratörler dizisi, K
X kompakt bölgesinde n ! 1 için
Ln (1; x)
1
Ln (ti ; x)
xi (i = 1; 2; :::m)
Ln jtj2 ; x
jxj2
şeklindeki (m + 2) şart¬sa¼
gl¬yorsa X bölgesinde sürekli ve tüm Rm de s¬n¬rl¬herhangi
bir f fonksiyonu için K üzerinde n ! 1 iken
Ln (f ; x)
f
gerçeklenir. Burada x = (x1 ; x2 ; :::; xm ) ve kxk = jxj =
(Hac¬yev ve Hac¬saliho¼
glu 1995).
m
P
x2k
1
2
şeklindedir
k=1
f fonksiyonunun tüm Rm de s¬n¬rl¬olma şart¬yerine, Mf , f ye ba¼
gl¬bir sabit olmak
üzere
jf (x)j
Mf 1 + jxj2
(4.0.1)
şart¬n¬sa¼
glamas¬durumunda Teorem 4.0.1’in geçerli oldu¼
gunu aşa¼
g¬daki teorem ile
ifade ve ispat edelim.
Teorem 4.0.2 E¼
ger (Ln ) lineer pozitif operatörler dizisi K
n ! 1 iken
Ln (1; x)
1
Ln (ti ; x)
xi (i = 1; 2; :::m)
96
X kompakt bölgesinde
Ln jtj2 ; x
jxj2
(m + 2) tane koşulu sa¼
gl¬yorsa X bölgesinde sürekli, reel de¼
gerli ve tüm Rm de (4:0:1)
koşulunu sa¼
glayan f fonksiyonu için K üzerinde n ! 1 iken
Ln (f ; x)
f
gerçeklenir.
I·spat: f fonksiyonu sürekli oldu¼
gundan her " > 0 için jx
tj <
iken her x; t 2 X
için
jf (x)
eşitsizli¼
gini gerçekleyen en az bir
t 2 Rm ve x 2 K için jt
(4.0.2)
f (t)j < "
> 0 say¬s¬vard¬r.
oldu¼
gunda f fonksiyonu (4:0:1) eşitsizli¼
gini
xj
sa¼
glad¬g¼¬ndan
jf (x)
Mf 2 + jtj2 + jxj2
f (t)j
xj2 + 2x (t x) + 2 jxj2
!
m
X
2 + jt xj2 + 2
xk (tk xk ) + 2 jxj2
= Mf 2 + jt
= Mf
k=1
eşitsizli¼
gi sa¼
glan¬r. Cauchy-Schwartz eşitsizli¼
gi kullan¬l¬rsa
jf (x)
0
Mf @2 + jt
f (t)j
= Mf 2 + jt
v
v
u m
u m
X
u
uX
2
2t
t
xk
(tk
xj + 2
k=1
2
xj + 2 jxj2
jt
(t
elde edilir.
jt
xj
=)
97
1 ve
xk )2 + 2 jxj2 A
k=1
xj + 2 jxj jt
xj
1
x)2
2
1
oldu¼
gundan
jf (x)
f (t)j
Mf
2
= Mf
jt
Mf
jt
= Mf
jt
2
jt
xj
2
xj2
2
xj2
2
xj2
2
xj2 + 2 jxj
+ jt
jt
2+
2
+ 2 jxj + 2 jxj2
4+
2
+ 4 jxj + 4 jxj2
2
xj
+ 2 jxj2
jt
2
xj
2
!
(2 jxj + )2 + 4
olur. Burada x 2 K oldu¼
gundan jxj
C olacak şekilde C > 0 say¬s¬vard¬r. O halde
yukar¬daki eşitsizlik
jf (x)
f (t)j
Mf
şeklinde yaz¬labilir. H =
2
Mf
jt
xj2
2
(2C + )2 + 4
(2C + )2 + 4 olarak al¬n¬rsa
jf (x)
f (t)j
H jt
xj2
(4.0.3)
elde edilir. (4:0:2) ve (4:0:3) eşitsizlikleri gözönüne al¬n¬rsa 8t 2 Rm ve 8x 2 K için
jf (x)
" + H jt
f (t)j
xj2
yaz¬labilir.
Di¼
ger yandan (Ln ) lineer pozitif operatörler dizisinin özelliklerinden
Ln (f ; x)
f (x) = Ln (f ; x) + Ln (f (x) ; x)
= Ln (f (t)
Ln (f (x) ; x)
f (x) ; x) + f (x) [Ln (1; x)
f (x)
1]
olup,
jLn (f ; x)
f (x)j
jLn (f (t)
f (x) ; x)j + jf (x)j jLn (1; x)
1j
Ln (jf (t)
f (x)j ; x) + jf (x)j jLn (1; x)
1j
98
" + HLn jt
"
= " + H Ln
xj2 ; x + jf (x)j jLn (1; x) 1j
#
m
X
jtj2 ; x
2
xk Ln (tk ; x) + jxj2 Ln (1; x)
k=1
+ jf (x)j jLn (1; x)
"
= "+H
1j
Ln jtj2 ; x
2
jxj2
2
xk (Ln (tk ; x)
xk )
1) + jf (x)j jLn (1; x) 1j
m
X
2
2
2
jtj ; x
jxj
xk (Ln (tk ; x)
xk )
k=1
+ jxj (Ln (1; x)
"
"+H
Ln
m
X
k=1
+ sup jxj2 (Ln (1; x)
x2K
1) + sup jf (x)j jLn (1; x)
1j
x2K
olur. Burada
sup jxj2 = a ve sup jf (x)j = b
x2K
x2K
olmak üzere, teoremin koşullar¬ndan
lim jLn (f (t) ; x)
f (x)j = 0
n!1
elde edilir. Bu da ispat¬tamamlar.
n; m > 0, 0
k;n ;
(n;m)
1 ve Pk;j
j;m
(n;m)
(x; y) = xk (1
(n;m)
(x; y) = 1
Pk;j
n P
m
P
k=0 j=0
(x; y),
Pk;j
x)n
k
y j (1
koşullar¬n¬sa¼
glayan sürekli pozitif fonksiyonlar olsun. X
y)m
j
R2 kompakt bir küme
ve f 2 C (X) olmak üzere
Tn;m (f ; x; y) =
n P
m
P
f
k=0 j=0
dizisini ele alal¬m.
99
k;n ;
(n;m)
j;m
Pk;j
(x; y)
(4.0.4)
Teorem 4.0.3 (Volkov 1957): fTn;m f g lineer pozitif operatörler dizisi
m
n P
P
lim
n;m!1
lim
n;m!1
lim
n;m!1
lim
n;m!1
m
n P
P
k=0 j=0
2
k;n
(n;m)
k=0 j=0
m
n P
P
k=0 j=0
m
n P
P
k=0 j=0
+
2
j;m
Pk;j
(x; y)
1
(4.0.5)
=0
C(X)
(n;m)
k;n Pk;j
(x; y)
x
=0
(4.0.6)
=0
(4.0.7)
C(X)
(n;m)
j;m Pk;j
(x; y)
y
C(X)
(n;m)
Pk;j
x2 + y 2
(x; y)
=0
(4.0.8)
C(X)
koşullar¬n¬gerçekliyorsa X bölgesinde sürekli, reel de¼
gerli ve tüm Rm de s¬n¬rl¬her
bir f fonksiyonu için
lim kTn;m f
n;m!1
f kC(X) = 0
(4.0.9)
ifadesi gerçeklenir.
I·spat: (4:0:2) ile tan¬mlanan Tn;m (f ; x; y) polinomlar¬ (4:0:5)-(4:0:8) koşullar¬n¬
gerçeklesin ve f 2 C (X) olsun.
(4:0:4) ifadesi gözönüne al¬narak
Tn;m (f ; x; y)
f (x; y) =
=
n P
m
P
k=0 j=0
n P
m
P
(x; y)
f (x; y)
(n;m)
(x; y)
f (x; y)
k;n ;
j;m
Pk;j
f
k;n ;
j;m
Pk;j
k=0 j=0
n P
m
P
+
=
(n;m)
f
k=0 j=0
n P
m
P
(n;m)
f (x; y) Pk;j
f
k;n ;
j;m )
k=0 j=0
+f (x; y)
n P
m
P
k=0 j=0
100
(x; y)
k=0 j=0
(x; y)
1
(n;m)
f (x; y) Pk;j
(n;m)
f (x; y) Pk;j
!
(n;m)
Pk;j
n P
m
P
(x; y)
(x; y)
jTn;m (f ; x; y)
f (x; y)j =
m
n P
P
f
(n;m)
k;n ;
f (x; y) Pk;j
j;m
k=0 j=0
m
n P
P
+f (x; y)
(n;m)
k=0 j=0
m
n P
P
f(
k;n ;
Pk;j
m
n P
P
k=0 j=0
(x; y)
1
f (x; y) Pk;j
k=0 j=0
+ jf (x; y)j
!
(n;m)
j;m )
(n;m)
(x; y)
k;n ;
j;m )
Pk;j
(x; y)
(x; y)
1
elde edilir.
max jTn;m (f ; x; y)
(x;y)2X
f (x; y)j
max
m
n P
P
(x;y)2X k=0 j=0
f(
n P
m
P
+ max jf (x; y)j max
(x;y)2X
(n;m)
f (x; y) Pk;j
(x;y)2X k=0 j=0
(n;m)
Pk;j
(x; y)
(x; y)
1
olup, C (X) normu tan¬m¬ndan
kTn;m (f ; x; y)
f (x; y)kC(X)
n P
m
P
f(
k;n ;
j;m )
k=0 j=0
(n;m)
f (x; y) Pk;j
(x; y)
C(X)
+ kf kC(X)
n P
m
P
k=0 j=0
(n;m)
Pk;j
(x; y)
1
C(X)
olarak yaz¬labilir. M > 0 için
kf kC(X) = M
olmak üzere
kTn;m (f ; x; y)
f (x; y)kC(X)
n P
m
P
f(
k;n ;
j;m )
k=0 j=0
+M
n P
m
P
k=0 j=0
101
(x; y)
C(X)
(n;m)
Pk;j
= kIn;m kC(X) + M
olur.
(n;m)
f (x; y) Pk;j
(x; y)
1
C(X)
n P
m
P
k=0 j=0
(n;m)
Pk;j
(x; y)
1 (4.0.10)
C(X)
Di¼
ger yandan f 2 C (X) oldu¼
gundan f fonksiyonu s¬n¬rl¬d¬r. O halde 8 (x; y) 2 X
için
jf (x; y)j
M
sa¼
glanacak şekilde M > 0 say¬s¬ vard¬r. Bu durumda her k = 0; 1; :::; n ve j =
0; 1; :::; m için
k;n ;
noktalar¬X bölgesinde oldu¼
gundan
j;m
f
k;n ;
j;m
f (x; y)
=
k;n ;
2M
yaz¬labilir.
k;j
k;j ;
q
= (
j;m
,
= (x; y)
x)2 +
k;n
y
j;m
2
gösterimlerini kullanal¬m.
f fonksiyonu kapal¬ X bölgesinde sürekli oldu¼
gundan düzgün süreklidir. Düzgün
süreklilik tan¬m¬gere¼
gince; her " > 0 için
f
sa¼
glayan en az bir
k;j ;
k;j ;
<
iken
f( ) <"
k;j
= (") > 0 say¬s¬vard¬r.
için f fonksiyonu s¬n¬rl¬oldu¼
gundan
f
k;n ;
f (x; y)
j;m
2M
gerçeklenir.
k;j ;
1
olmak üzere
2
f
k;n ;
j;m
f (x; y)
2M
eşitsizli¼
gi sa¼
glan¬r.
k;j ;
<
ve
102
k;j ;
k;j ;
2
oldu¼
gunda 8" > 0 için
2
f
k;n ;
k;j ;
2
f (x; y) < " + 2M
j;m
(4.0.11)
eşitsizli¼
gi gerçeklenir.
Şimdi (4:0:10) eşitsizli¼
gindeki In;m toplam¬n¬gözönüne alal¬m. (4:0:11) ifadesinden
In;m <
2
m
n P
P
" + 2M
2
k=0 j=0
= "
m
n P
P
k=0 j=0
(n;m)
Pk;j
0
= "In;m +
2M
2
!
k;j ;
(x; y) +
00
In;m
(n;m)
Pk;j
m
n P
2M P
2
(x; y)
2
(n;m)
k;j ;
Pk;j
k=0 j=0
(x; y)
olup, norm özelliklerinden
0
kIn;m kC(X) < " In;m
+
2M
00
C(X)
(4.0.12)
In;m
2
C(X)
0
şeklinde yaz¬labilir. "In;m ifadesi
0
"In;m = "
m
n P
P
k=0 j=0
= "
(n;m)
Pk;j
n P
m
P
k=0 j=0
(x; y) + "
"
!
(n;m)
(x; y)
1
(n;m)
(x; y)
1
Pk;j
+"
olarak gözönüne al¬n¬rsa
0
" In;m
"
C(X)
n P
m
P
k=0 j=0
Pk;j
+"
C(X)
olur.
2
k;j ;
= (
k;n
=
2
k;n
x)2 +
+
2
j;m
j;m
2
103
y
k;n x
2
2
j;m y
+ x2 + y 2
(4.0.13)
00
oldu¼
gundan In;m ifadesi
00
In;m =
m
n P
P
2
k;n
k=0 j=0
m
n P
P
2y
=
"
k=0 j=0
m
n P
P
k=0 j=0
"
+2x x
+2y y
00
C(X)
2
k;n
m
n P
P
m
n P
P
k=0 j=0
2
k;n
+
(x; y)
Pk;j
(n;m)
k;n Pk;j
(n;m)
j;m Pk;j
m
n P
P
(n;m)
k;n Pk;j
k=0 j=0
m
n P
P
2
(n;m)
Pk;j
k=0 j=0
#
(x; y)
(x; y)
x2 + y 2
(x; y)
#
(x; y)
#
(x; y)
(n;m)
2
j;m
2x
(x; y) + x2 + y
(n;m)
2
j;m
+
k=0 j=0
n P
m
P
(n;m)
Pk;j
(n;m)
j;m Pk;j
k=0 j=0
"
In;m
2
j;m
+
Pk;j
x2 + y 2
(x; y)
(4.0.14)
C(X)
+2 kxkC(X)
+2 kykC(X)
m
n P
P
(n;m)
k;n Pk;j
k=0 j=0
(x; y)
x
C(X)
n P
m
P
(n;m)
j;m Pk;j
k=0 j=0
(x; y)
y
C(X)
olarak yaz¬labilir. (4:0:12) ifadesinde (4:0:13) ve (4:0:14) ifadeleri kullan¬l¬rsa
n P
m
P
kIn;m kC(X) < " + "
+
+
+
k=0 j=0
n P
m
P
2M
2
k=0 j=0
n P
m
P
4M
2
k=0 j=0
n P
m
P
4M
2
(n;m)
Pk;j
k=0 j=0
(x; y)
1
C(X)
2
k;n
+
2
j;m
(n;m)
Pk;j
(x; y)
x2 + y 2
C(X)
(n;m)
k;n Pk;j
(x; y)
x
C(X)
(n;m)
j;m Pk;j
(x; y)
y
C(X)
eşitsizli¼
gi elde edilir. Bu ise (4:0:5)-(4:0:8) ifadelerinden
lim
n;m!1
n P
m
P
k=0 j=0
f
k;n ;
(n;m)
j;m
f (x; y) Pk;j
(x; y)
=0
C(X)
104
sonucunu verir.
Teorem 4.0.4
2
= f(k; m) : k; m 2 Z; k
olmak üzere key… Ln : C
R2++ ! B
lim kLn fk;m
n!1
0; m
0; k + m
2g
R2++ lineer pozitif operatörler dizisi
fk;m k = 0; (k; m) 2
2
koşulunu sa¼
glar, fakat
lim kLn f
f k
n!1
ifadesini gerçekleyen f 2 C
I·spat: f 2 C
1
4
R2++ fonksiyonu bulunur (I·bikli 2005).
R++
olmak üzere
2
8
< f (x; y) +
Ln (f ; x; y) =
:
1+x2 +y 2
1+4n2
[f (x + 1; y + 1)
f (x; y)] ;
(x; y) 2
n
; (x; y) 2 R++
2
f (x; y)
n
şeklinde tan¬ml¬Ln operatörlerini gözönüne alal¬m.
(Ln ) lineer pozitif operatörler dizisinin C
R++
’dan B
2
R++
’ya bir dönüşüm
2
oldu¼
gunu gösterelim.
8f 2 C
R++
olmak üzere
2
Ln ( ; x; y) =
=
=
1 + x2 + y 2
[ (x + 1; y + 1)
(x; y)]
1 + 4n2
1 + x2 + y 2
(x; y) +
1 + (x + 1)2 + (y + 1)2
1 + x2 + y 2
2
1 + 4n
1 + x2 + y 2
(x; y) +
2 [x + y + 1]
1 + 4n2
(x; y) +
105
şeklinde yaz¬labilir. (x; y) 2
n
oldu¼
gundan
Ln ( ; x; y)
olur.
(x; y) +
1 + x2 + y 2
2 [n + 1]
1 + 4n2
(x; y) = 1 + x2 + y 2 oldu¼
gundan
Ln ( ; x; y)
(x; y)
2 [n + 1]
1 + 4n2
2 (n + 1)
(x; y) 1 +
1 + 4n2
(x; y) [1 + 1]
(x; y) +
=
= 2 (x; y)
olup, (Ln ) lineer pozitif operatörler dizisinin C
R2++ ’dan C
R2++ ’ya dönüşüm
oldu¼
gu gösterilir.
Şimdi ise (k; m) 2
2
için
lim kLn fk;m
n!1
fk;m k = 0
oldu¼
gunu gösterelim.
f0;0 (x; y) = 1 için,
Ln (f0;0 ; x; y)
f0;0 (x; y) =
1 + x2 + y 2
[f0;0 (x + 1; y + 1)
1 + 4n2
olup,
sup
x 0;y
jLn (f0;0 ; x; y) f0;0 (x; y)j
=0
(x; y)
0
lim kLn (f0;0 ; x; y)
n!1
elde edilir.
106
f0;0 (x; y)k = 0
f0;0 (x; y)] = 0
f1;0 (x; y) = x için,
1 + x2 + y 2
[x + 1
1 + 4n2
1 + x2 + y 2
=
1 + 4n2
jLn (f1;0 ; x; y) f1;0 (x; y)j
1
=
(x; y)
1 + 4n2
jLn (f1;0 ; x; y) f1;0 (x; y)j
1
lim sup
= lim
=0
n!1 x 0;y 0
n!1 1 + 4n2
(x; y)
Ln (f1;0 ; x; y)
f1;0 (x; y) =
x]
olup,
lim kLn (f1;0 ; x; y)
n!1
f1;0 (x; y)k = 0
elde edilir.
f0;1 (x; y) = y için,
Ln (f0;1 ; x; y)
f0;1 (x; y) =
=
jLn (f1;0 ; x; y) f1;0 (x; y)j
=
(x; y)
jLn (f0;1 ; x; y) f0;1 (x; y)j
sup
=
(x; y)
x 0;y 0
jLn (f0;1 ; x; y) f0;1 (x; y)j
lim sup
=
n!1 x 0;y 0
(x; y)
1 + x2 + y 2
[y + 1
1 + 4n2
1 + x2 + y 2
1 + 4n2
1
1 + 4n2
1
1 + 4n2
1
lim
=0
n!1 1 + 4n2
olup,
lim kLn (f0;1 ; x; y)
n!1
f0;1 (x; y)k = 0
elde edilir.
f2;0 (x; y) = x2 ve f0;2 (x; y) = y 2 olmak üzere
g (x; y) = f2;0 (x; y) + f0;2 (x; y)
107
y]
fonksiyonu için,
1 + x2 + y 2
[g (x + 1; y + 1) g (x; y)]
1 + 4n2
1 + x2 + y 2
[f2;0 (x + 1; y + 1) + f0;2 (x + 1; y + 1)
= g (x; y) +
1 + 4n2
f2;0 (x; y) + f0;2 (x; y)]
1 + x2 + y 2
(x + 1)2 + (y + 1)2 x2 y 2
g (x; y) =
2
1 + 4n
1 + x2 + y 2
= 2
[x + y + 1]
1 + 4n2
Ln (g; x; y) = g (x; y) +
Ln (g; x; y)
olup,
2
jLn (g; x; y) g (x; y)j
=
[y + x + 1]
(x; y)
1 + 4n2
olarak yaz¬labilir. (x; y) 2
sup
x 0;y
lim
n
oldu¼
gundan
jLn (g; x; y) g (x; y)j
(x; y)
0
sup
n!1 x 0;y
2 (n + 1)
1 + 4n2
jLn (g; x; y) g (x; y)j
=0
(x; y)
0
olup,
lim kLn (f2;0 + f0;2 ; x; y)
n!1
(f2;0 (x; y) + f0;2 (x; y))k = 0
elde edilir. Bu durumda istenilen ifadeye ulaş¬l¬r.
f (x; y) = x2 + y 2 cos (x + y)
fonksiyonunu gözönüne alal¬m.
jf (x; y)j =
x2 + y 2 jcos (x + y)j
x2 + y 2 + 1
olup, (x; y) = (x2 + y 2 + 1) oldu¼
gundan
jf (x; y)j
108
(x; y)
olarak yaz¬labilir. Bu durumda f (x; y) 2 C
Ln (f ; x; y)
R++
olur.
2
1 + x2 + y 2
[f (x + 1; y + 1) f (x; y)]
1 + 4n2
1 + x2 + y 2
(x + 1)2 + (y + 1)2 cos (x + y + 2)
=
2
1 + 4n
x2 + y 2 cos (x + y)
1 + x2 + y 2
=
(x + 1)2 + (y + 1)2 cos (x + y) cos 2
2
1 + 4n
(x + 1)2 + (y + 1)2 sin (x + y) sin 2
f (x; y) =
x2 + y 2 cos (x + y)
1 + x2 + y 2
(x + 1)2 + (y + 1)2 cos (x + y)
=
1 + 4n2
x2 + y 2 cos (x + y)
1 + x2 + y 2
=
(x + 1)2 + (y + 1)2 x2 y 2 cos (x + y)
2
1 + 4n
1 + x2 + y 2
(x + y)2 2xy (x 1)2 (y 1)2
=
2
1 + 4n
cos (x + y)g
1 + x2 + y 2
2xy (x 1)2 (y 1)2 cos (x + y)
2
1 + 4n
olarak elde edilir. (x; y) 2
n
oldu¼
gundan
jLn (f ; x; y) f (x; y)j
(x; y)
1
2xy (x 1)2 (y 1)2 jcos (x + y)j
2
1 + 4n
1
=
2xy + (x 1)2 + (y 1)2 jcos (x + y)j
1 + 4n2
2
2
1
x
y
2xy
+
1
+
1
jcos (x + y)j
1 + 4n2
2
2
jLn (f ; x; y) f (x; y)j
2n2 2n + 2
sup
(x; y)
1 + 4n2
x 0;y 0
olup,
lim
sup
n!1 x 0;y
jLn (f ; x; y) f (x; y)j
(x; y)
0
elde edilir. Bu da f (x; y) 2 C
1
2
R2++ fonksiyonu için yak¬nsakl¬g¼¬n gerçeklen-
medi¼
gini gösterir.
109
¼ I·ŞKENLI·FONKSI·YONLAR I·ÇI·N BERNSTEIN-CHLODOWSKY
5. I·KI·DEG
POLI·NOMLAR DI·ZI·SI· I·LE YAKLAŞIM
5.1 Üçgensel Bölgede I·ki De¼
gişkenli Bernstein-Chlodowsky Tipi
Polinomlar Dizisi ve Yaklaş¬m¬
I·bikli (2005) taraf¬ndan üçgensel bölgede iki de¼
gişkenli Bernstein-Chlodowsky tipi
polinomlar dizisi tan¬mlanm¬ş ve bu polinomlar¬n baz¬yaklaş¬m özellikleri araşt¬r¬lm¬şt¬r.
Tan¬m 5.1.1 (bn ), aşa¼
g¬daki özellikleri sa¼
glayan
bn
=0
n!1 n
lim bn = 1 ve lim
n!1
monoton artan reel terimli pozitif say¬dizisi olsun.
Herhangi bir a > 0 say¬s¬için
a
a
ile
= f(x; y) : x
0; y
0; x + y
ag
üçgensel bölgesini tan¬mlayal¬m. a = bn durumundaki üçgensel bölgeyi
bn
ile
gösterelim.
(x; y) 2
bn
olmak üzere iki de¼
gişkenli bir f fonksiyonu için Bernstein-Chlodowsky
tipi polinomlar
Bn (f ; x; y) =
n
X
Cnk
1
k=0
Ckj
x
bn
x+y
bn
k j
şeklinde tan¬mlanabilir.
110
y
bn
n k
k
X
j=0
j
f
k
j
j
bn ; bn
n
n
(5.1.1)
bn
üçgensel bölgesi üzerinde sonsuz mertebeden diferensiyellenebilir
f (x; y) = x2 + y 2
fonksiyonuna (5:1:1) ile tan¬mlanan polinomlar dizisi ile yaklaş¬m yapal¬m.
Gerçekten;
x (bn x)
y (bn y)
+ y2 +
n
n
x (bn x) y (bn y)
+
=
n
n
x (bn x) y (bn y)
f (x; y)j =
max
+
(x;y)2 bn
n
n
2
b
= n
2n
f (x; y) = x2 +
Bn (f ; x; y)
max jBn (f ; x; y)
(x;y)2
bn
x2
y2
olup,
lim
b2n
=1
n!1 2n
max jBn (f ; x; y)
n!1 (x;y)2
f (x; y)j = lim
bn
elde edilir. Bu da yak¬nsakl¬g¼¬n gerçeklenmedi¼
gini ortaya koyar.
E¼
ger yeterince büyük n de¼
geri için
bn
bn
üçgeni herhangi bir
a
üçgenini oluşturursa
üçgeninin herhangi bir kapal¬alt kümesinde
jf (x; y)j
Mf 1 + x 2 + y 2
koşulunu sa¼
glayan sürekli fonksiyonlara (5:1:1) polinomlar dizisi ile yaklaş¬m gerçeklenir. Bunu aşa¼
g¬daki teorem ile verelim. Ayr¬ca bu teorem Teorem 4.2’nin bir
sonucu olarak verilebilir.
Teorem 5.1.1 a > 0 key… sabit say¬olsun. f 2 C
lim kBn (f ; x; y)
n!1
R2++ ise
f (x; y)kC(
gerçeklenir.
111
a)
=0
a
bölgesi üzerinde
I·spat: k ve m pozitif tamsay¬lar olmak üzere
fk;m (t; ) = tk
m
olsun.
Bn (f0;0 ; x; y) = 1
(5.1.2)
Bn (f1;0 ; x; y) = x
(5.1.3)
Bn (f0;1 ; x; y) = y
(5.1.4)
Bn (f2;0 ; x; y) = x2 +
x (bn x)
n
(5.1.5)
Bn (f0;2 ; x; y) = y 2 +
y (bn y)
n
(5.1.6)
ifadelerinin varl¬g¼¬n¬gösterelim.
f0;0 (t; ) = 1 olmak üzere
Bn (f0;0 ; x; y) =
=
n
X
k=0
n
X
Cnk 1
Cnk 1
k=0
=
1
x+y
bn
n k
x+y
bn
n k
k
X
Ckj
j=0
x+y x+y
+
bn
bn
x+y
bn
x
bn
k j
y
bn
x
bn
k j
j
k
n
= 1
elde edilir.
f1;0 (t; ) = t olmak üzere
Bn (f1;0 ; x; y) =
n
X
k=0
Cnk 1
x+y
bn
n k
k
X
j=0
112
k
j
n
bn Ckj
y
bn
j
=
n
X
k=0
n
X
=
k=0
n
X
k=0
n
X
Cnk
n k
x+y
bn
1
k
X
n k
n k
k
X
I2
j
y
bn
x
bn
k j
y
bn
j
x
bn
k j
y
bn
j
k
x+y
bn
j
bn Ckj
n
j=0
k j
x
bn
j
bn Ckj
n
j=0
x+y
bn
Cnk 1
k
X
k
bn
Ckj
n
j=0
x+y
bn
k
bn Cnk 1
n
k=0
= I1
n k
x+y
bn
Cnk 1
şeklinde yaz¬labilir. Şimdi s¬rayla I1 ve I2 ifadesini hesaplayal¬m.
I1 = bn
= bn
n
X
k
k=0
n
X
k=1
= bn
= bn
x+y
bn
k
k k
C 1
n n
x+y
bn
n k
x+y
bn
k
n
n
X
k
k=1
= bn
n k
1
x+y
bn
Cnk
n
X
k=1
n
X1
k=0
n!
n (n k)!k!
(n 1)!
(n k)! (k 1)!
(n 1)!
(n k 1)!k!
= (x + y)
n 1
X
Cnk
k=0
= x+y
x+y
bn
1
1
1
x+y
bn
x+y
bn
x+y
bn
x+y
bn
k
n k 1
x+y
bn
k+1
n k 1
x+y
bn
olur.
I2 ifadesi için
0
I2 =
k
X
j=0
j
bn Ckj
n
113
x
bn
k j
k
n k
x+y
bn
1
1
n k
y
bn
j
k
olmak üzere
k
bn X j
=
jC
n j=0 k
0
I2
k
bn X j
jC
=
n j=1 k
k
bn X
n j=1 (k
=
x
bn
k j
y
bn
j
x
bn
k j
y
bn
j
k!
j)! (j
k
bn X k
=
n j=1 k (k
x
bn
1)!
k!
j)! (j
1)!
bn X
(k 1)!
k
n j=1 (k j)! (j 1)!
k
=
bn X j
k
C
=
n j=0 k
k 1
bn
=
k
n
k
=
y
n
y
bn
k j 1
x
bn
1
k 1
X
j=0
x+y
bn
j
y
bn
x
bn
k j
y
bn
j
x
bn
k j
y
bn
j
y
bn
j+1
k j 1
x
bn
Ckj 1
k j
y
bn
j
k 1
0
olur. I2 ifadesi I2 de yerine yaz¬l¬rsa
I2 =
n
X
k
n
k=0
n
X
= y
= y
= y
= y
k=0
n
X
k=1
n
X
k=1
n
X1
k=0
= y
x+y
bn
k 1
yCnk
k k
C
n n
x+y
bn
k 1
k k
C
n n
x+y
bn
k 1
(n 1)!
(n k)! (k 1)!
Cnk 1
x+y
bn
x+y
bn
n k
1
n k
1
x+y
bn
n k
1
x+y
bn
x+y
bn
k
1
114
k 1
x+y
bn
1
n k 1
x+y
bn
n k
bulunur. I1 ve I2 ifadeleri Bn (f1;0 ; x; y) ifadesinde yerine yaz¬l¬rsa
Bn (f1;0 ; x; y) = x + y
y=x
olup, istenen ifade elde edilir.
f0;1 (t; ) =
olmak üzere,
n
X
Bn (f0;1 ; x; y) =
Cnk
x+y
bn
1
k=0
n k
k
X
j=0
k j
x
bn
j
bn Ckj
n
j
y
bn
olarak yaz¬labilir. Burada
Bn (f0;1 ; x; y) = I2
oldu¼
gundan
Bn (f0;1 ; x; y) = y
olur. O halde istenen ifade elde edilir.
f2;0 (t; ) = t2 olmak üzere
Bn (f2;0 ; x; y) =
n
X
Cnk
1
k=0
=
n
X
Cnk 1
k=0
2
n
X
Cnk
x+y
bn
n k
x+y
bn
n k
1
k=0
+
n
X
Cnk 1
k=0
= P1
k
X
k
n
j=0
k
X
k
bn
n
j=0
n k
x+y
bn
x+y
bn
j
k
X
2
bn
2
(kj)
j=0
n k
2P2 + P3
şeklinde yaz¬labilir.
115
k
X
j=0
j
bn
n
Ckj
bn
n
2
Ckj
k j
x
bn
Ckj
k j
x
bn
2
Ckj
x
bn
x
bn
k j
j
y
bn
j
y
bn
k j
y
bn
y
bn
j
j
Eşitli¼
gin sa¼
g taraf¬ndaki P1 ; P2 ; P3 ifadelerini s¬ras¬yla hesaplayal¬m.
P1 =
=
n
X
k=0
n
X
k=1
=
b2n
= b2n
=
=
2
k
bn
n
2
Cnk
k=1
n
X
n
Ck
2 n
k=1
x+y
bn
+b2n
x+y
bn
+b2n
k=1
n
X
x+y
bn
n k
n k
1
k=1
k=2
n
X
k=1
x+y
n
+bn
2
=
(x + y)
(n
n
x+y
n
+bn
=
n
1
n
n
X
1
n
x+y
bn
k
x+y
bn
n k
k
1
n
1
(n 1)!
(n k)! (k 1)!
Cnk
2
1
1
x+y
bn
x+y
bn
x+y
bn
bn
(x + y)
n
116
n k
x+y
bn
n k 2
n k 1
x+y
bn
n k
x+y
bn
x+y
bn
k
k 1
k 1
k 2
x+y
bn
x+y
bn
k
k 1
x+y
bn
x+y
bn
x+y
bn
n k
x+y
bn
x+y
bn
n k
x+y
bn
1
1
1
n k
k 1
n k
n k
x+y
bn
x+y
bn
(n 1)!
(n k)! (k 1)!
x+y
bn
x+y
bn
1
1
1
1
(n 1)!
n (n k)! (k 1)!
n k
x+y
bn
1
(n 1)!
(n k)! (k 1)!
k=0
n
1
X
Cnk 1
k=0
(x + y)2 +
x+y
bn
j
k
x+y
bn
1
(n 1)!
n (n k)! (k 1)!
k=1
n 2
X
1)
y
bn
1) + 1
(n 1)!
n
(n k)! (k 1)!
k
n
X
k
k j
x
bn
Ckj
j=0
(x + y) 2 X
(n 1)!
=
n
(n k)! (k 2)!
k=2
n
k
X
(n 1)!
n (n k)! (k 1)!
k=1
n
X
2
x+y
bn
= b2n
1
n
X
(k
x+y
bn
b2n
n k
x+y
bn
n
X
k
x+y
bn
b2n
1
x+y
bn
k
(n 1)!
n (n k)! (k 1)!
x+y
bn
b2n
1
Cnk
n
X
k2
k=1
=
k
bn
n
k 1
k 2
k 1
olarak bulunur.
P2 =
n
X
Cnk
n k
x+y
bn
1
k=0
2
bn
n
k
k
X
x
bn
jCkj
j=0
k j
j
y
bn
olarak yaz¬labilir. Burada
0
P2 =
k
X
x
bn
jCkj
j=0
k j
j
y
bn
olmak üzere
0
P2 =
k
X
jCkj
j=1
=
k
X
j=1
= k
(k
k
X
j=1
= k
= k
= k
y
bn
y
bn
y
bn
k j
x
bn
k!
j)! (j
y
bn
1)!
(k 1)!
(k j)! (j 1)!
k
X
j=1
k 1
X
j
x
bn
k j
k j
x
bn
j
y
bn
j
y
bn
(k 1)!
(k j)! (j 1)!
x
bn
k j
k j 1
y
bn
j
Ckj
1
j=0
x+y
bn
x
bn
y
bn
j 1
k 1
elde edilir. Bu ifade P2 de yerine yaz¬l¬rsa
P2 =
n
X
k=0
Cnk 1
n k
x+y
bn
n
bn X 2 k
=
y
k Cn 1
n2 k=1
k
x+y
bn
n
bn X
(n 1)!
k
=
y
n k=1 (n k)! (k 1)!
n 1
bn X
=
y
(k + 1) Cnk
n k=0
1
1
117
bn
n
2
n k
1
x+y
bn
k
y
bn
x+y
bn
k 1
x+y
bn
n k
n k 1
k 1
x+y
bn
x+y
bn
x+y
bn
k
k 1
=
n 1
bn X k
y
kC
n k=0 n
1
n 1
bn X k
+ y
C
n k=0 n
1
n 1
bn X k
=
y
kC
n k=1 n
=
=
=
n
1
n
n
bn y
1
n 1
X
k=1
1
n
1
n
1
x+y
bn
n k 1
1
x+y
bn
n k 1
1
x+y
bn
(n
n 2
X
Cnk
2
x+y
bn
k
x+y
bn
k
+
bn
y
n
+
bn
y
n
n k 1
x+y
bn
1
n k 2
x+y
bn
1
k
x+y
bn
1)!
k=0
y (x + y) +
k
x+y
bn
n k 1
(n 2)!
k 1)! (k
x+y
bn
bn y
n
x+y
bn
1
n 1
bn X k
=
y
kC
n k=0 n
n k 1
1
k
x+y
bn
x+y
bn
k
+
+
bn
y
n
bn
y
n
olarak elde edilir.
P3 =
n
X
Cnk
n k
x+y
bn
1
k=0
olmak üzere
0
P3 =
k
X
2
bn
n
j=0
j
2
x
bn
Ckj
j=0
k j
x
bn
j 2 Ckj
k
X
k j
j
y
bn
j
y
bn
ifadesini gözönüne alal¬m.
0
P3 =
k
X
j
2
Ckj
j=1
=
k
X
j
j=1
(k
x
bn
k j
k!
j)! (j
y
bn
1)!
k
X
(k 1)!
= k
j
(k j)! (j 1)!
j=1
= k
k
X
j=1
[(j
1) + 1]
j
x
bn
x
bn
k j
y
bn
k j
(k 1)!
(k j)! (j 1)!
118
j
j
y
bn
x
bn
k j
y
bn
j
bn
y
n
= k
k
X
(j
j=2
+k
k
X
j=1
= k
k
X
j=2
k
(k 1)!
y X
+k
bn j=1 (k j)! (j 1)!
= k (k
1)
j=2
+k
k 1
y X j
C
bn j=0 k
= k (k
1)
= k (k
1)
y
bn
k j 1
x
bn
1
y
bn
k j
k 2
2X
j=0
2
x+y
bn
k 2
j
y
bn
j
y
bn
k j 2
x
bn
Ckj 2
j 1
y
bn
k j
x
bn
(k 2)!
(k j)! (j 2)!
j
j
y
bn
x
bn
j
y
bn
y
bn
k j
x
bn
(k 1)!
(k j)! (j 2)!
k
X
k j
x
bn
(k 1)!
(k j)! (j 1)!
k j
x
bn
(k 1)!
(k j)! (j 1)!
1)
y
bn
j 2
x+y
bn
k 1
k 1
x+y
bn
y
+k
bn
y
+k
bn
olur. Bu ifade P3 de yerine yaz¬l¬rsa
P3 =
n
X
Cnk 1
k=0
y
+k
bn
=
y
n
2
x+y
bn
x+y
bn
n
X
k (k
k 1
k=0
n
X
=
+
2
n
X
k=2
n
X
k (k
)
bn
y
kC k 1
n2 k=1 n
(
k (k
x+y
bn
x+y
bn
1) Cnk
2
bn
n
1) Cnk 1
bn
kC k 1
+ 2y
n k=0 n
y
n
n k
n k
x+y
bn
1
x+y
bn
n k
119
n k
x+y
bn
n k
x+y
bn
1)
y
bn
x+y
bn
2
k 2
k 1
x+y
bn
k 1
k 2
x+y
bn
k 2
n
y2 X
(n 1)!
=
n k=2 (n k)! (k 2)!
1
n
bn X
(n 1)!
+ y
n k=1 (n k)! (k 1)!
=
n
1
n
bn
+ y
n
=
n
1
n
y
2
n 2
X
Cnk 2
k=0
n
1
X
Cnk 1
k=0
y2 +
1
1
x+y
bn
1
x+y
bn
n k
x+y
bn
n k
x+y
bn
n k 2
n k 1
x+y
bn
k 2
x+y
bn
k 1
k
x+y
bn
k
x+y
bn
bn
y
n
olarak bulunur. Hesaplanan P1 , P2 ve P3 ifadeleri Bn (f2;0 ; x; y) eşitli¼
ginde yerine
yaz¬l¬rsa
n
Bn (f2;0 ; x; y) =
1
+
n
n
(x + y)2 +
1
y2 +
n
x (bn
= x2 +
n
bn
(x + y)
n
2
n
1
n
y (x + y)
2
bn
y
n
bn
y
n
x)
elde edilir. Bu da istenen eşitliktir.
f0;2 (t; ) =
2
olmak üzere
Bn (f0;2 ; x; y) =
n
X
k=0
Cnk
1
x+y
bn
n k
k
X
j=0
j
bn
n
2
Ckj
ifadesini hesaplayal¬m.
Bn (f0;2 ; x; y) = P3
oldu¼
gundan
n
1
bn
y
n
n
1 2 bn
= y2
y + y
n
n
y (bn y)
= y2 +
n
Bn (f0;2 ; x; y) =
120
y2 +
x
bn
k j
y
bn
j
olarak yaz¬labilir. Bu da istenilen ifadedir.
(5:1:2) ifadesi kullan¬larak
Bn (f0;0 ; x; y)
f0;0 (x; y) = 0
olup,
lim kBn (f0;0 ; x; y)
n!1
f0;0 (x; y)kC(
a)
=0
gerçeklenir.
(5:1:3) ifadesi kullan¬larak
Bn (f1;0 ; x; y)
f1;0 (x; y) = 0
olup,
lim kBn (f1;0 ; x; y)
n!1
f1;0 (x; y)kC(
a)
=0
gerçeklenir.
(5:1:4) ifadesi kullan¬larak
Bn (f0;1 ; x; y)
f0;1 (x; y) = 0
olup,
lim kBn (f0;1 ; x; y)
n!1
f0;1 (x; y)kC(
a)
=0
gerçeklenir.
(5:1:5) ifadesi kullan¬larak
Bn (f2;0 ; x; y)
x (bn x)
n
x (bn x)
=
n
f2;0 (x; y) = x2 +
121
x2
max jBn (f2;0 ; x; y)
(x;y)2
f2;0 (x; y)j =
a
max
(x;y)2
a
x (bn x)
n
a bn
=
2n
a
2
olup,
lim kBn (f2;0 ; x; y)
n!1
f2;0 (x; y)kC(
a)
=0
gerçeklenir.
(5:1:6) ifadesi dikkate al¬n¬rsa
y (bn y)
y2
n
y (bn y)
=
n
y (bn y)
f0;2 (x; y)j = max
(x;y)2 a
n
a
a bn 2
=
2n
f0;2 (x; y) = y 2 +
Bn (f0;2 ; x; y)
max jBn (f0;2 ; x; y)
(x;y)2
a
olup,
lim kBn (f0;2 ; x; y)
n!1
f0;2 (x; y)kC(
a)
=0
elde edilir. Bu durumda Teorem 4.3’ün tüm koşullar¬gerçeklenir. O halde Teorem
4.3 gere¼
gince; f 2 C
R2++ fonksiyonu için
lim kBn (f ; x; y)
n!1
f (x; y)kC(
a)
=0
gerçeklenir. Bu da ispat¬tamamlar.
Aşa¼
g¬daki teorem, s¬n¬rs¬z
bn
bölgesi üzerinde (5:1:1) polinomlar dizisi ile özel bir
yaklaş¬m¬n varl¬g¼¬n¬ortaya koyar.
Teorem 5.1.2 8 > 0 için f 2 C
lim
sup
n!1 (x;y)2
bn
R2++ ise
jBn (f ; x; y) f (x; y)j
=0
(1 + x2 + y 2 )1+
122
gerçeklenir.
I·spat: Her " > 0 için x + y > a olmak üzere
1
<"
1 + x2 + y 2
eşitsizli¼
gini gerçekleyen yeterince büyük
(5.1.7)
> 0 say¬s¬seçilebilir.
bn
=0
n!1 n
lim
oldu¼
gundan (bn ) dizisi s¬n¬rl¬d¬r. O halde
bn
<C
n
olacak şekilde C > 0 say¬s¬vard¬r.
Ayr¬ca
sup
(x;y)2
bn
jBn (f ; x; y) f (x; y)j
(1 + x2 + y 2 )1+
(x;y)2 a
jBn (f ; x; y) f (x; y)j
+
sup
(1 + x2 + y 2 )1+
(x;y)2 bn
a
sup jBn (f ; x; y) f (x; y)j
jBn (f ; x; y) f (x; y)j
(1 + x2 + y 2 )1+
sup
(x;y)2
a
+
sup
(x;y)2
1
= In (f ) +
olarak yaz¬labilir.
Teorem 5.1.1 gere¼
gince;
1
lim In (f ) = 0
n!1
olur.
123
bn
In2
a
(f )
jBn (f ; x; y) f (x; y)j
(1 + x2 + y 2 )1+
Di¼
ger yandan
jBn (f ; x; y)j
Bn (jf j ; x; y)
Bn Mf 1 + t2 +
2
; x; y
2
= Mf Bn (1; x; y) + Bn t2 ; x; y + Bn
; x; y
x (bn x)
y (bn y)
= Mf 1 + x 2 +
+ y2 +
n
n
x (bn x) + y (bn y)
= Mf 1 + x 2 + y 2 +
n
x2 + y 2
bn
= Mf 1 + x2 + y 2 + (x + y)
n
n
2
x + y2
Mf 1 + x2 + y 2 + C (x + y)
n
2
2
2
2
Mf 1 + x + y + 2C x + y + 1
Mf (1 + 2C) x2 + y 2 + 1
eşitsizli¼
gi gerçeklenir.
Mf0 = Mf (1 + 2C)
denirse
Mf0 x2 + y 2 + 1
jBn (f ; x; y)j
eşitsizli¼
gi elde edilir. Bu durumda
In2 (f ) =
jBn (f ; x; y) f (x; y)j
(1 + x2 + y 2 )1+
jBn (f ; x; y)j + jf (x; y)j
(1 + x2 + y 2 )1+
Mf0 (x2 + y 2 + 1) + Mf (1 + x2 + y 2 )
sup
(x;y)2
bn
sup
(x;y)2
bn
sup
(x;y)2
=
bn
Mf0 + Mf
sup
(x;y)2
bn
(1 + x2 + y 2 )1+
1
2
(1 + x + y 2 )
olur. (5:1:7) ifadesinden 8" > 0 ve 8 > 0 için
In2 (f )
Mf0 + Mf "
124
gerçeklenir. Buradan
lim In2 (f ) = 0
n!1
olur. Bu durumda
lim
sup
n!1 (x;y)2
bn
jBn (f ; x; y) f (x; y)j
(1 + x2 + y 2 )1+
lim
n!1
=
n 1
o
In (f ) + In2 (f )
1
lim In (f ) + lim In2 (f )
n!1
n!1
= 0
olup,
lim
sup
n!1 (x;y)2
bn
jBn (f ; x; y) f (x; y)j
=0
(1 + x2 + y 2 )1+
ifadesi elde edilir. Bu da ispat¬tamamlar.
= 0 olmas¬durumunda (5:1:1) polinomlar dizisi yaln¬zca Teorem 4.4’ün koşullar¬n¬
R2++ fonksiyonuna yak¬msamay¬gerçeklemez. Bunu aşa¼
g¬-
gerçekler, fakat f 2 C
daki teorem ile verelim.
Teorem 5.1.3 fk;m (x; y) = xk y m olmak üzere (5:1:1) ile tan¬mlanan iki de¼
gişkenli
Bernstein-Chlodowsky tipi polinomlar dizisi, (k; m) 2
lim
sup
n!1 (x;y)2
bn
2
için
jBn (fk;m ; x; y) fk;m (x; y)j
=0
1 + x2 + y 2
ifadesini gerçekler.
I·spat: k = m = 0 olmak üzere (5:1:2) ifadesi ve f0;0 (x; y) = 1 eşitli¼
ginden
sup
(x;y)2
bn
Bn (f0;0 ; x; y) f0;0 (x; y) = 0
jBn (f0;0 ; x; y) f0;0 (x; y)j
= 0
1 + x2 + y 2
jBn (f0;0 ; x; y) f0;0 (x; y)j
= 0
1 + x2 + y 2
125
olup,
lim
sup
n!1 (x;y)2
bn
jBn (f0;0 ; x; y) f0;0 (x; y)j
=0
1 + x2 + y 2
olur.
k = 1, m = 0 olmak üzere (5:1:3) ifadesi ve f1;0 (x; y) = x eşitli¼
ginden
sup
(x;y)2
bn
Bn (f1;0 ; x; y) f1;0 (x; y) = 0
jBn (f1;0 ; x; y) f1;0 (x; y)j
= 0
1 + x2 + y 2
jBn (f1;0 ; x; y) f1;0 (x; y)j
= 0
1 + x2 + y 2
olup,
lim
sup
n!1 (x;y)2
bn
jBn (f1;0 ; x; y) f1;0 (x; y)j
=0
1 + x2 + y 2
olur.
k = 0, m = 1 olmak üzere (5:1:4) ifadesi ve f0;1 (x; y) = y eşitli¼
ginden
sup
(x;y)2
bn
Bn (f0;1 ; x; y) f0;1 (x; y) = 0
jBn (f0;1 ; x; y) f0;1 (x; y)j
= 0
1 + x2 + y 2
jBn (f0;1 ; x; y) f0;1 (x; y)j
= 0
1 + x2 + y 2
olup,
lim
sup
n!1 (x;y)2
bn
jBn (f0;1 ; x; y) f0;1 (x; y)j
=0
1 + x2 + y 2
olur.
k = 2, m = 0 olmak üzere (5:1:5) ifadesi ve f2;0 (x; y) = x2 eşitli¼
ginden
Bn (f2;0 ; x; y)
x (bn x)
n
x (bn x)
=
n
f2;0 (x; y) = x2 +
126
x2
sup
(x;y)2
bn
jBn (f2;0 ; x; y) f2;0 (x; y)j
x (bn x)
=
2
2
1+x +y
n (1 + x2 + y 2 )
(bn x)
n
jBn (f2;0 ; x; y) f2;0 (x; y)j
(bn x)
sup
2
2
1+x +y
n
(x;y)2 bn
bn
n
olup,
lim
sup
n!1 (x;y)2
bn
jBn (f1;0 ; x; y) f1;0 (x; y)j
1 + x2 + y 2
lim
n!1
bn
=0
n
elde edilir.
k = 0, m = 2 olmak üzere (5:1:6) ifadesi ve f2;0 (x; y) = y 2 eşitli¼
ginden
y (bn y)
y2
n
y (bn y)
=
n
jBn (f0;2 ; x; y) f0;2 (x; y)j
y (bn y)
=
1 + x2 + y 2
n (1 + x2 + y 2 )
(bn y)
n
(bn y)
jBn (f0;2 ; x; y) f0;2 (x; y)j
sup
1 + x2 + y 2
n
(x;y)2 bn
Bn (f0;2 ; x; y)
sup
(x;y)2
bn
f0;2 (x; y) = y 2 +
bn
n
olup,
lim
sup
n!1 (x;y)2
bn
jBn (f0;2 ; x; y) f0;2 (x; y)j
1 + x2 + y 2
bn
=0
n!1 n
lim
elde edilir. Bu durumda ispat tamamlan¬r.
5.2 Karesel Bölgede I·ki De¼
gişkenli Bernstein-Chlodowsky Tipi
Polinomlar Dizisi ve Yaklaş¬m¬
Aşa¼
g¬da verece¼
gimiz karesel bölgede iki de¼
gişkenli Bernstein-Chlodowsky tipi polinomlar dizisinin tan¬m¬ve yaklaş¬m özellikleri, I·zgi (2004) taraf¬ndan araşt¬r¬lm¬şt¬r.
127
(bn ) say¬dizisi
bn
=0
n!1 n
lim bn = 1 ve lim
n!1
koşullar¬n¬sa¼
glayan monoton artan reel terimli pozitif say¬dizisi olsun.
0
x
bn olmak üzere
Pn;k (x) =
k;j
n;m
n
X
Cnk
k
x
bn
1
n k
x
bn
(x; y) = Pn;k (x) Pm;j (y)
Pn;k (x) = 1,
m
X
(5.2.1)
Pm;j (y) = 1
j=0
k=0
n X
m
X
k;j
n;m
(5.2.2)
(x; y) = 1
k=0 j=0
şeklinde tan¬mlans¬n.
Bn;m (f ; x; y) =
n X
m
X
f
1x
k=0 j=0
+
1
k
bn ;
n
2y
+
2
j
bm
m
k;j
n;m
(x; y)
(5.2.3)
ile iki de¼gişkenli Bernstein-Chlodowsky tipi polinomlar dizisini verelim. Burada
0,
i
0,
i
+
i
i
= 1; i = 1; 2 şeklindedir.
Lemma 5.2.1 (5:2:3) ile tan¬mlanan polinomlar dizisi
Bn;m (1; x; y) = 1
(5.2.4)
Bn;m (t1 ; x; y) = x
(5.2.5)
Bn;m (t2 ; x; y) = y
(5.2.6)
Bn;m t21 + t22 ; x; y
= x2 + y 2 +
ifadelerini gerçekler.
128
2 x (bn
1
n
x)
+
2y
2
(bm y)
m
(5.2.7)
I·spat: t1 , t2 2 [0; bn ] olmak üzere
f (t1 ; t2 ) = 1 için (5:2:2) kullan¬larak
n X
m
X
Bn;m (1; x; y) =
k;j
n;m
(x; y) = 1
k=0 j=0
elde edilir.
gi kullan¬larak
f (t1 ; t2 ) = t1 için (5:2:1) ve Bn ; (t; x) = x eşitli¼
Bn;m (t1 ; x; y) =
n X
m
X
1x
+
1
k=0 j=0
=
n
X
k
bn
n
k;j
n;m
(x; y)
m
X
k
Pm;j (y)
1 x + 1 bn Pn;k (x)
n
j=0
k=0
= x
elde edilir.
f (t1 ; t2 ) = t2 için (5:2:1) ve Bn ; (1; y) = y eşitli¼
gi kullan¬larak
Bn;m (t2 ; x; y) =
=
m
n X
X
k=0 j=0
m
X
j=0
= y
2y
+
2
j
bm
m
k;j
n;m
(x; y)
n
X
j
bm Pm;j (y)
Pn;k (x)
2y + 2
m
k=0
elde edilir.
f (t1 ; t2 ) = t21 + t22 için Bn ; (t2 ; x) = x2 +
Bn;m t21 + t22 ; x; y =
n X
m
X
k=0 j=0
"
2 x(bn x)
n
k
1 x + 1 bn
n
129
2
+
eşitli¼
gi kullan¬larak
j
bm
2y + 2
m
2
#
k;j
n;m
(x; y)
=
n
X
k
1 x + 1 bn
n
k=0
= x2 + y 2 +
2 x (bn
1
2
Pn;k (x) +
m
X
j
bm
2y + 2
m
j=0
x)
n
2y
2
+
2
Pm;j (y)
(bm y)
m
elde edilir. Bu durumda istenen ifadeler elde edilmiş olur.
Aşa¼
g¬daki teorem, (5:2:3) polinomlar dizisi gözönüne al¬nd¬g¼¬nda Teorem 4.2 ve Teorem 4.3’ün bir sonucu olarak verilebilir.
Teorem 5.2.3 Dab = [0; a]
[0; b] olmak üzere f 2 Cb (Dab ) ve f 2 C (Dab ) ise Dab
üzerinde
lim Bn;m (f ; x; y) = f (x; y)
n!1
m!1
eşitli¼
gi düzgün olarak gerçeklenir.
I·spat: Lemma 4.2.1 kullan¬larak
lim kBn;m (1; x; y)
1kC(Dab ) = 0
lim kBn;m (t1 ; x; y)
xkC(Dab ) = 0
n!1
m!1
n!1
m!1
lim
n!1
m!1
lim kBn;m
n!1
m!1
Bn;m t21 + t22 ; x; y
(t2 ; x; y)
x2 + y 2
ykC(Dab ) = 0
C(Dab )
= 0
elde edilir. Teorem 4.0.3 gere¼
gince f 2 Cb (Dab ) için ispat gerçeklenir. Teorem 4.0.2
gere¼
gince de f 2 C (Dab ) için ispat tamamlan¬r.
Şimdi (5:2:3) polinomlar dizisinin f 2 C
R2++ fonksiyonuna olan yaklaş¬m h¬z¬yla
ilgili bir teorem verelim.
Teorem 5.2.4 f 2 C
R2++ ise 8 (x; y) 2 Dab olmak üzere yeterince büyük n ve
130
m de¼
gerleri için
jBn;m (f ; x; y)
f (x; y)j
C! 2
f;
r
bn bm
+
n
m
2t
+
!
gerçeklenir.
I·spat: (5:2:3) polinomlar dizisi için
Unk (t) =
1t
+
1
k
bn ve Vmj (t) =
n
0
2
j
bm
m
0
k¬saltmalar¬n¬kullanal¬m. (x; y) 2 Dab için A = 1 + A ve B = 1 + B olmak üzere
E1 =
E2 =
E3 =
E4 =
n
(k; j) : Unk (x)
n
(k; j) : Unk (x)
n
(k; j) : Unk (x)
n
(k; j) : Unk (x)
A
A
0
; Vmj
0
; Vmj
(y)
B
(y)
B
A ; Vmj (y)
B
0
0
A ; Vmj (y)
B
0
0
0
0
o
o
o
o
kümelerini tan¬mlayal¬m. Tan¬mlanan kümeler yard¬m¬yla
jBn;m (f ; x; y)
f (x; y)j
n
m
X
X
k=0
+
+
f (x; y)
k;j
n;m
(x; y)
j=0
(k;j)2E1
n
X
+
f Unk (x) ; Vmj (y)
m
X
k=0
j=0
(k;j)2E2
n
m
X
X
k=0
j=0
(k;j)2E3
n
m
X
X
k=0
f Unk (x) ; Vmj (y)
f (x; y)
k;j
n;m
(x; y)
f Unk (x) ; Vmj (y)
f (x; y)
k;j
n;m
(x; y)
f Unk (x) ; Vmj (y)
f (x; y)
k;j
n;m
(x; y)
j=0
(k;j)2E4
(3)
(4)
(1)
(2)
+ In;m
+ In;m
= In;m
+ In;m
şeklinde yaz¬labilir.
131
(1)
(2)
(3)
(4)
Şimdi In;m ; In;m ; In;m ; In;m ifadelerini s¬ra ile ele alal¬m.
(1)
In;m için f 2 C
f
Unk
R2++ olup, jf (x; y)j
(x) ; Vmj
(y)
Mf (1 + x2 + y 2 ) koşulu sa¼
gland¬g¼¬ndan
h
f (x; y)
Unk
Mf 2 +
(x)
h
Mf 2 + Unk (x)
+ 2x Unk (x)
2
+
2
x
(y)
2
i
+ Vmj (y)
y
x + 2y Vmj (y)
+ 2 x2 + y 2
h
Mf 2 + Unk (x)
+ 2x Unk (x)
Vmj
2
x
2
y
+ Vmj (y)
x + 2y Vmj (y)
y
2
y
+ 2 x2 + y 2
yaz¬labilir. (x; y) 2 Dab ve (k; j) 2 E1 için
Unk (x)
x
1 ve
Vmj (y)
y
(5.2.8)
1
oldu¼
gundan
Unk (x)
x
Unk (x)
x
Vmj (y)
y
Unk (x)
x
2
+ Vmj (y)
y
2
+ Vmj (y)
y
2
(5.2.9)
2
(5.2.10)
olup,
f Unk (x) ; Vmj (y)
f (x; y)
Mf
nh
2 Unk (x)
+ Unk (x) x
h
+ 2x Unk (x)
h
+ 2y Unk (x)
h
+ 2 x2 + y 2
132
2
x
2
+ Vmj (y)
+ Vmj (y)
2
+
Vmj
+
Vmj
Unk (x)
x
x
x
2
y
(y)
(y)
2
2
y
2
y
y
2
2
i
i
i
+ Vmj (y)
y
2
io
= Mf 3 + 2x + 2y + 2 x2 + y 2
h
i
2
2
Unk (x) x + Vmj (y) y
h
2
4Mf (2x + 2y + 1)2 Unk (x) x + Vmj (y)
h
2
2
4Mf (2a + 2b + 1) Unk (x) x + Vmj (y)
y
y
2
2
i
i
olarak bulunur. C1 = 4Mf (2a + 2b + 1)2 denirse
f Unk (x) ; Vmj (y)
f (x; y)
C1
h
Unk (x)
x
2
+ Vmj (y)
y
2
i
(5.2.11)
elde edilir.
Lemma 4.2.1 kullan¬larak
n X
m h
X
Unk (x)
x
2
+ Vmj (y)
k=0 j=0
y
2
i
k;j
n;m
(x; y) =
2 x (bn
1
x)
2 bn
1a
2 bm
2b
n
n
+
+
2y
2
(bm y)
m
m
bn bm
2
2
+
1a + 2b
n
m
olarak yaz¬labilir. Bu durumda C2 = C1
(1)
In;m
C2
2
1a
+
2
2b
denirse
bn bm
+
n
m
elde edilir.
(2)
In;m için (x; y) 2 Dab ve (k; j) 2 E2 olmak üzere (5:2:8) geçerli oldu¼
gundan (5:2:9)
ve (5:2:10) eşitsizlikleri sa¼
glan¬r. Bu durumda (5:2:11) ifadesi yine geçerli olup,
(2)
In;m
C2
bn bm
+
n
m
elde edilir.
(3)
In;m için (x; y) 2 Dab ve (k; j) 2 E3 olmak üzere (5:2:8) ; (5:2:9) ; (5:2:10) eşitsizlikleri
133
geçerli olup, (5:2:11) ifadesi sa¼
gland¬g¼¬ndan
(3)
In;m
bn bm
+
n
m
C2
elde edilir. Bu durumda
(1)
(2)
(3)
In;m
+ In;m
+ In;m
bn bm
+
n
m
3C2
+ bmm ! 0 (n; m ! 1) oldu¼
gundan yeterince büyük n ve m de¼
gerleri
q
bn
için bnn + bmm
+ bmm olur. Tam süreklilik modülünün 2.2.6 özelli¼
ginden Cf ; f
q n
gl¬olmak üzere
fonksiyonu ve bnn + bmm ifadesine ba¼
yaz¬labilir.
bn
n
!2
f;
+
(2)
In;m
r
bn bm
+
n
m
!
Cf
r
bn bm
+
n
m
yaz¬labilir. Buradan
(1)
In;m
+
C2
3 !2
Cf
(3)
In;m
f;
r
bn bm
+
n
m
!
elde edilir.
(4)
In;m için (x; y) 2 Dab ve (k; j) 2 E4 olsun. Tam süreklilik modülünün özelliklerinden
f
Unk
(x) ; Vmj
(y)
f (x; y)
! 2 (f ;
n;m )
1+
1
n;m
q
(Unk (x)
x)2 + Vmj (y)
y
eşitsizli¼
gi yaz¬labilir. Cauchy-Schwartz eşitsizli¼
gi ve Lemma 4.2.1 kullanarak
(4)
In;m
n X
m
X
! 2 (f ;
n;m )
n;m
k=0 j=0
k;j
n;m
= ! 2 (f ;
1+
1
(x; y)
"
n;m )
1+
q
(Unk (x)
n
m q
1 XX
n;m
(Unk (x)
k=0 j=0
134
x)2 + Vmj (y)
x)2 + Vmj (y)
y
y
2
2
k;j
n;m
#
(x; y)
2
2
v
uX
m h
u n X
1
t
! 2 (f ; n;m ) 41 +
(Unk (x)
= ! 2 (f ;
! 2 (f ;
! 2 (f ;
n;m )
n;m )
n;m )
"
"
"
n;m
1+
1
n;m
1+
1
n;m
1+
şeklinde yaz¬labilir.
1
n;m
n;m
=
k=0 j=0
r
x)
2 x (bn
+
1
n
r
2 bn
1a
n
q
q
2
1a
bn
n
1+
Bu durumda C = 3 CCf2 + 1 +
p
+
2
2b
+
+
q
(4)
In;m
x)2 + Vmj (y)
bm
m
2
1a
2 bm
2b
m
r
y)
2 y (bm
2
m
#
bn bm
+
n
m
y
#
i
2
#
olarak seçilirse
+
2
2b
!2
f;
r
bn bm
+
n
m
!
elde edilir.
jBn;m (f ; x; y)
2
1a
+
2
2b
al¬n¬rsa
(1)
(2)
(3)
(4)
In;m
+ In;m
+ In;m
+ In;m
!
r
bn bm
+
C! 2 f ;
n
m
f (x; y)j
eşitsizli¼
gi elde edilir.
135
k;j
n;m
3
(x; y) 5
KAYNAKLAR
Bernstein, S. 1912. Démonstration du théorème de Weierstrass. Fondeé sur le
calcul des probabilités. Commun. Soc. Math. Kharkow (2), 13, 1-2.
Bleimann, G., Butzer, P.L. and Hahn, L. 1980. Bernstein-type operator approximating continuous functions on semi-axis. Indag. Math., 42, 255-262.
Büyükyaz¬c¬, I·. 2003a. I·ki De¼
gişkenli Bernstein Polinomlar¬Üzerine. G.Ü. Fen Bilimleri Dergisi, 16, 63-67.
Büyükyaz¬c¬, I·. 2003b. I·ki De¼
gişkenli Bernstein Polinomlar¬n¬n Yaklaşma H¬z¬Üzerine. G.Ü. Kastamonu E¼
gitim Dergisi, 11, 165-174.
Büyükyaz¬c¬, I·. and I·bikli, E. 2004. Some Properties of Generalized Bernstein
Polynomials of Two Variables. Applied Mathematics and Computation,
156, 367-380.
Chlodowsky, I. 1937. Sur le développment des fonctions dé…nies dans un interval
in…ni en séries de polynômes de M. S. Bernstein. Compositio. Math., 4,
380-393.
Gadjiev, A.D. 1974. The Convergence Problem for a Sequence of Positive Linear
Operators on Unbounded Sets and Theorems Analogous to that of P.P.
Korovkin. Dokl. Akad. Nauk SSSR, tom 218, N5.
Gadjiev, A.D. 1995. On Generalized Bernstein-Chlodowsky Polynomials. Hacettepe Bulletin of Natural Sciences and Engineering, 24, 31-40.
Gadjiev, A.D. 1998. Generalized Bernstein-Chlodowsky Polynomials. Rocky Mountain Journal of Mathematics, 28, 1267-1277.
Gadjiev, A.D. and I·bikli, E. 1999. Weighted approximation by Bernstein-Chlodowsky
polynomials. Indian J. Pure Appl. Math., 30, 83-87.
Groetsch, C.W. and King, J.T. 1973. The Bernstein polynomials and …nite di¤erences. Math. Mag., 46, 280-282.
Hac¬yev, A. ve Hac¬saliho¼
glu, H.H. 1995. Lineer Pozitif Operatör Dizilerinin Yak¬nsakl¬g¼¬. 1-71p., Ankara.
I·bikli, E. 2001.
On Stancu type generalization of Bernstein-Chlodowsky poly-
nomials. Mathematica, 42, 37-43.
I·bikli, E. 2003. On approximation by Bernstein-Chlodowsky polynomials. Math.
136
Balkanica, 17, 259-265.
I·bikli, E. 2005. On approximation for functions of two variables on a triangular
domain. Rocky Mountain J.Math., 5, 1523-1531.
I·zgi, A. 2004. I·ki de¼
gişkenli fonksiyonlar s¬n¬f¬nda Bernstein-Chlodowsky tipi lineer
pozitif operatörler dizisinin yak¬nsakl¬k özellikleri. 74 p.
Kampiti, M. and Altomare, F. 1994. Korovkin-type approximation theory and its
applications. Walter de Gruyter. 118-476p., New York.
Kannan, R. and King, K.C. 1996. Advanced analysis on the real line. Springer
Verlag. 259p., New York.
Khan, R.A. 1988. A note on a Bernstein-type Bleimann, Butzer and Hahn. Journal
of Approximation Theory, 53, 295-303.
Korovkin, P.P. 1953. On convergence of linear positive operators in the space of
continuous functions. Dokl. Akad. Nauk SSSR (N.S), 90, 961-964.
Korovkin, P.P. 1960. Linear Operators and Approximation Theory. Russian Monographs and Texts on advanced Math., III, 1-63p., Gordon&Breach.
Kurt, M. and Stefan, N. 1990. Bounded ordered dictionaries in O(loglogn) time and
O(n) space. Information Processing Letters, 35, 183-189.
Lorentz, G.G. 1953. Bernstein Polynomials. University of Toronto Press. 36p.,
Toronto.
Martinez, F.L. 1989. Some properties of two-demansional Bernstein polynomials.
Journal of Approximation Theory, 59, 300-306.
Museyev, B., Alp, M., Mustafayev, N. ve Ekincio¼
glu, I·. 2003. Teori ve Çözümlü
Problemlerle Analiz I. Teka¼
gaç Eylül Yay¬nc¬l¬k. 366p., Ankara.
Natanson, I.P. 1961. Theory of Functions of a Real Variable. Frederick Ungar
Publishing Company. 215-218p., New York.
Natanson, I.P. 1964. Constructive Function Theory. Frederick Ungar Publishing
Company. 75-78p., New York.
Rudin, W. 1921. Functional Analysis. Kingsport Press, Inc. 6p., United States of
America.
Saraço¼
glu, B. ve Çevik F. 1995. Matematiksel I·statistik, Olas¬l¬k ve Önemli Da¼
g¬l¬mlar. Gazi Büro Kitabevi. 528-545p., Ankara.
137
Stancu, D.D. 1983. Approximation of functions by means of a new generalized
Bernstein operator. Estratto da Calcola, XX, 211-229.
Totik, V. 1984. Uniform approximation by Bernstein-type operators. Indag. Math.,
46, 87-93.
Volkov, V.I. 1957. Convergence of sequences of linear positive operators in the space
of continuous functions of two variables. Dokl. Akad. Nauk. SSSR, 115,
17-19.
138
ÖZGEÇMI·Ş
Ad¬Soyad¬
: Neşe I·ŞLER
Do¼
gum Yeri
: MARMARI·S
Do¼
gum Tarihi : 02.03.1984
Medeni Hali
: Bekar
Yabanc¬Dili
: I·ngilizce
E¼
gitim Durumu (Kurum ve Y¬l)
Lise
: Marmaris Hal¬c¬Ahmet Urkay Anadolu Lisesi (2002)
Lisans
: Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü (2006)
Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬ (Eylül 2006
139
Ocak 2009)