olasılık problemler v

ST165-01-02-OLASILIK I
29/11/2012
OLASILIK PROBLEMLER V
(SÜREKL RASLANTI DE‡“KENLER )
1.
X
sürekli raslant de§i³keninin olaslk yo§unluk fonksiyonu a³a§da verilmi³tir:
= 2x , 0 ≤ x ≤ 1 ise
= 0
, di§er x de§erleri
fX (x)
Buna göre,
Çözüm :
P X ≤ b = 2P X > b
olacak biçimde bir
b
için
says bulunuz.
Olaslklar:
P X≤b
P X>b
b
Z
=
0
1
Z
=
b
b
2xdx = x2 0 = b2
1
2xdx = x2 b = 1 − b2
olur. Bu durumda,
P X ≤ b = 2P X > b
b2 = 2 ∗ (1 − b2 )
=⇒
r
olarak bulunur.
2.
X
0<b<1
olaca§ için,
b=
b2 =
=⇒
2
3
r
b=±
=⇒
2
3
2
'tür.
3
sürekli raslant de§i³keninin olaslk yo§unluk fonksiyonu a³a§da verilmi³tir:
fX (x)
(a)
a
= ax
, 0 ≤ x ≤ 1 ise
= a
, 1 ≤ x ≤ 2 ise
= a(3 − x) , 2 ≤ x ≤ 3 ise
= 0
, di§er x de§erleri
için
sabitini bulunuz.
(b) Bulunan
a
P
de§erini yerine koyarak,
1
5
5
≤ X ≤ /X ≤
2
3
3
ko³ullu olasl§n bulunuz.
Çözüm :
(a)
X
sürekli raslant de§i³keninin tanm kümesi üzerinden,
a
alnd§nda bire e³ittir. Bu durumda,
fX (x)
olaslk yo§unluk fonksiyonunun integrali
sabiti
+∞
Z
fX (x)dx
=
1 −→ −∞ :
fX (x)dx
=
1
a(3 − x)dx
=
1
Alt Snr,
+∞ :
Üst Snr
−∞
Z
1
2
Z
0
fX (x)dx +
1
1
Z
2
Z
axdx +
0
olarak elde edilir.
3
Z
fX (x)dx +
2
3
Z
adx +
1
2
1
3
x2 ax2 2
+
ax|
+
a
3x
−
= 1
1
2 0
2 2
a
5a
1
+ a + 3a −
= 1
=⇒
a=
2
2
2
Buna göre, X sürekli raslant de§i³keninin olaslk yo§unluk fonksiyonu:
x
fX (x) =
, 0 ≤ x ≤ 1 ise
2
1
=
, 1 ≤ x ≤ 2 ise
2
3−x
=
, 2 ≤ x ≤ 3 ise
2
= 0
, di§er x de§erleri için
HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ
1
ST165-01-02-OLASILIK I
OLASILIK PROBLEMLER V
29/11/2012
olarak yazlr.
(b)
fX (x)
olaslk yo§unluk fonksiyonuna göre, ko³ullu olaslk:
Z 5/3
Z 1
1
x
5
1
dx +
dx
≤X≤
2
2
3
1
1/2 2
= Z 1
Z 5/3
5
x
1
P X≤
dx +
dx
3
2
2
0
1
1
x2 x 5/3
1
1
1
5
+ ∗
1
−
+
∗
−
1
4 1/2
2 1
4
4
2
3
5/3 =
2 1
5
1
1
x x
+ ∗
−1
+ 4
2
3
4 0
2 1
25
48 = 25
7
28
12
P
1
5
5
≤ X ≤ /X ≤
2
3
3
P
=
=
=
olarak elde edilir.
3.
X
sürekli raslant de§i³keninin olaslk yo§unluk fonksiyonu a³a§da verilmi³tir:
fX (x)
X 'in
da§lm fonksiyonu yardmyla,
Çözüm :
kümesinin
=
x+3
56
0
, 0≤x≤8
ise
=
, di§er x de§erleri için
P X ≤ 5/2 ≤ X ≤ 7 ko³ullu olasl§n
bulunuz.
FX (x) = P X ≤ x 'tir. FX (x)'i elde etmek amacyla, X 'in
alt snrndan x de§erine kadar fX (x) olaslk yo§unluk fonksiyonunun integrali alnr:
x 2
Z x
Z x
t+3
1
t
x2
3x
1 2
FX (x) =
fX (t)dt =
dt =
+ 3t
=
+
=
x + 6x
56
56 2
112
56
112
0
0
0
X 'in
da§lm fonksiyonu,
tanm
(1)
(1) denklemine göre, da§lm fonksiyonu a³a§daki gibi ifade edilir:
FX (x)
=
=
=
X 'in
1 2
x + 6x
112
0
1
,
0≤x≤8
,
,
x≤0
x≥8
ise
ise
ise
tanm kümesinin üst snr da§lm fonksiyonuna konuldu§unda, elde edilen de§er bire e³it olmaldr.
Böylece, bulunan da§lm fonksiyonunun do§ru elde edilip edilmedi§i kontrol edilir:
FX (8) =
1 2
64 + 48
8 +6∗8 =
=1
112
112
=⇒
(Ko³ul sa§lanm³tr.)
Ko³ullu olaslk:
P 2≤X≤5
F (5) − FX (2)
= X
P X ≤ 5/2 ≤ X ≤ 7 =
=
FX (7) − FX (2)
P 2≤X≤7
1
112
1
112
52 + 6 ∗ 5 −
72 + 6 ∗ 7 −
1
112
1
112
22 + 6 ∗ 2
13
=
25
22 + 6 ∗ 2
olarak elde edilir.
4.
X
sürekli raslant de§i³keninin olaslk yo§unluk fonksiyonu a³a§da verilmi³tir:
fX (x)
= ax
= a
= 0
HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ
, 0 ≤ x ≤ 1 ise
, 1 ≤ x ≤ 2 ise
, di§er x de§erleri
için
2
ST165-01-02-OLASILIK I
(a)
fX (x)'in
OLASILIK PROBLEMLER V
(b) Bulunan
(c)
(d)
(e)
X 'in
X 'in
X 'in
a
olaslk yo§unluk fonksiyonu olmas için
a
de§erini yerine koyarak,
sabiti ne olmaldr?
2
1 1
/ ≤X≤
2 3
3
P X≤
29/11/2012
ko³ullu olasl§n bulunuz.
beklenen de§er ve varyansn bulunuz.
da§lm fonksiyonunu bulunuz.
da§lm fonksiyonu yardmyla, a³a§da belirtilen olaslklar bulunuz:
3
P X≤
=?
2 1
1
P
<X<
=?
3
2
1
P X≥
=?
2
P X ≤ −2 =?
1
P 0<X<
=?
2
P X > 4 =?
Çözüm :
(a)
fX (x)'in
olaslk yo§unluk fonksiyonu olabilmesi için,
Z
+∞
(2)
fX (x)dx = 1
−∞
e³itli§i sa§lanmaldr. (2) denkleminde integralin alnd§
a sabiti
Z 1
Z 2
fX (x)dx +
fX (x)dx
(−∞, +∞) aral§, X
raslant de§i³keninin tanm
bölgesini ifade etmektedir. Bu durumda,
=
1
adx
=
1
1
ax2 + ax|21
2 0
=
1
0
1
1
Z
Z
2
axdx +
0
olarak elde edilir. Buna göre,
X
1
=⇒
a=
2
3
sürekli raslant de§i³keninin olaslk yo§unluk fonksiyonu:
fX (x)
=
=
=
2x
3
2
3
0
,
0≤x≤1
ise
,
1≤x≤2
ise
,
di§er
x
de§erleri için
olarak yazlr.
(b)
fX (x)
olaslk yo§unluk fonksiyonuna göre, ko³ullu olaslk:
Z 1/2
1
1
P
≤X≤
3
2
1 1
2
1/3
= Z 2/3
= P X≤ / ≤X≤
2 3
3
1
2
P
≤X≤
3
3
1/3
1/2
2 2
x2 1
− 13
2
3 1/3
5
=
2/3 = 2 2 =
2
12
2
x 2
xdx
− 13
3
3
3 1/3
2
xdx
3
olarak elde edilir.
(c)
X 'in
beklenen de§eri:
E X =
Z
x∗
RX
olarak bulunur.
E X2 =
1
Z
x ∗ fX (x)dx =
X 'in
Z
0
varyans
Z
2
x∗
1
2
2
V X =E X − E X
x2 ∗ fX (x)dx =
RX
2x
dx +
3
1
Z
x2 ∗
0
HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ
2x
dx +
3
2
2
dx =
3
3
x2 ∗
1
1 2 2 x2 11
x3 +
=
3 0
3
2 1
9
'dir. Bu durumda,
2
Z
2
2
dx =
3
3
1 2 x4 2 x3 31
+
=
4 0
3
3 1
18
3
ST165-01-02-OLASILIK I
elde edilir.
OLASILIK PROBLEMLER V
X 'in
29/11/2012
varyans de§eri:
2
2
31
11
37
V X = E X2 − E X
=
−
=
18
9
162
olarak bulunur.
(d)
fX (x)
olaslk yo§unluk fonksiyonu, parçal bir fonksiyondur. Bu nedenle,
fonksiyonuda parçal bir fonksiyon olacaktr.
FX (x) = P X ≤ x
da§lm
Parçal da§lm fonksiyonunu elde etmek için,
fX (x)
olaslk yo§unluk fonksiyonunun her bir parças ayr ayr dü³ünülecektir:
1.
Parça:
x
Z
FX (x) =
Z
fX (t)dt =
0
2.
x
0
2t
2
dt =
3
3
x t2 x2
=
2 0
3
, 0≤x≤1
ise
Parça:
x
Z
FX (x)
=
fX (t)dt
0
Z x
2
2t
dt +
dt
3
3
0
1 x 2t FX (1) +
3
Z
=
=
1
1
=
=
2
12
+ ∗ (x − 1)
3
3
2x − 1
, 1≤x≤2
3
ise
Buna göre, da§lm fonksiyonu a³a§daki gibi ifade edilir:
FX (x)
=
=
=
=
X 'in
x2
3
2x − 1
3
0
1
,
0≤x≤1
ise
,
1≤x≤2
ise
,
,
x<0
x≥2
ise
ise
tanm kümesinin üst snr da§lm fonksiyonuna konuldu§unda, elde edilen de§er bire e³it olmaldr.
Böylece, bulunan da§lm fonksiyonunun do§ru elde edilip edilmedi§i kontrol edilir:
FX (2) =
(e)
X 'in
2∗2−1
=1
3
=⇒
(Ko³ul sa§lanm³tr.)
da§lm fonksiyonu yardmyla,
3
P X≤
2
=
1
P X≥
2
=
1
P 0<X<
2
=
P
1
1
<X<
3
2
P X ≤ −2
P X>4
=
=
=
3
2∗ −1
3
2
2
FX
=
=
2
3
3
2
1
2
1
1
11
1−P X ≤
= 1 − FX
=1−
=
2
2
3
2
2
1
2
1
1
FX
− FX 0 =
−0=
2
3
12
2
2
1
1
2
3
1
1
5
FX
− FX
=
−
=
2
3
3
3
108
FX − 2 = 0
1 − P X ≤ 4 = 1 − FX 4 = 1 − 1 = 0
olarak elde edilir.
HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ
4
ST165-01-02-OLASILIK I
5.
X
OLASILIK PROBLEMLER V
29/11/2012
sürekli raslant de§i³keninin olaslk yo§unluk fonksiyonu a³a§da verilmi³tir:
x
1 − 500
= 500
e
= 0
fX (x)
(a)
X 'in
da§lm fonksiyonunu bulunuz.
(b)
X 'in
da§lm fonksiyonu yardmyla,
P X > 300
,
,
x>0
x≤0
ise
ise
olasl§n bulunuz.
Çözüm :
(a)
FX (x) = P X ≤ x da§lm
de§erine kadar fX (x) olaslk
fonksiyonunu elde etmek amacyla,
x
Z
FX (x) =
X 'in
tanm kümesinin alt snrndan
x
yo§unluk fonksiyonunun integrali alnr:
Z
x
fX (t)dt =
0
0
t
1 − 500
1
e
dt =
500
500
t x t x
x
e− 500 = −e− 500 = 1 − e− 500
1 0
− 500 0
Buna göre, da§lm fonksiyonu a³a§daki gibi ifade edilir:
FX (x)
X 'in
x
1 − e− 500
0
1
=
=
=
,
,
,
x > 0 ise
x ≤ 0 ise
x → +∞
ise
tanm kümesinin üst snr da§lm fonksiyonuna konuldu§unda, elde edilen de§er bire e³it olmaldr.
Böylece, bulunan da§lm fonksiyonunun do§ru elde edilip edilmedi§i kontrol edilir:
+∞
FX (+∞) = 1 − e− 500 = 1 − e−∞ = 1 −
1
=1−
e+∞
sayi
1
+∞
| {z }
= 1 =⇒
(Ko³ul sa§lanm³tr.)
= 0 kuralndan
±∞
sfra e³it olur.
(b)
X
sürekli raslant de§i³keninin da§lm fonksiyonu yardmyla,
300
3
P X > 300 = 1 − P X ≤ 300 = 1 − FX (300) = 1 − 1 − e− 500 = e− 5
olarak bulunur.
6.
X
sürekli raslant de§i³keninin olaslk yo§unluk fonksiyonu a³a§da verilmi³tir:
= kx2
= 0
fX (x)
(a)
k
, 0 ≤ x ≤ 1 ise
, di§er x de§erleri
için
sabitinin de§erini bulunuz.
1
3
(b)
P X≤
(c)
X 'in
da§lm fonksiyonunu bulunuz.
(d)
X 'in
da§lm fonksiyonu yardmyla, a³a§da belirtilen olaslklar bulunuz:
olasl§n bulunuz.
P
1
3
≤X≤
1
1
1
1
1
=? , P
<X<
=? , P X =
, P X≥
=?
2
10
2
2
2
Çözüm :
(a)
X
sürekli raslant de§i³keninin tanm kümesi üzerinden,
alnd§nda bire e³ittir. Bu durumda,
1
Z
fX (x)
olaslk yo§unluk fonksiyonunun integrali
sabiti
1
Z
kt2 dt = k
fX (x)dx =
0
k
0
1 t3 k
= =1
3 0
3
=⇒
k=3
olarak elde edilir.
HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ
5
ST165-01-02-OLASILIK I
(b)
X 'in
OLASILIK PROBLEMLER V
29/11/2012
olaslk yo§unluk fonksiyonu yardmyla,
3 31 3
Z 1/3
Z 1/3
x 1
1
1
P X≤
=
fX (x)dx =
3x2 dx = 3
=
=
3
3 0
3
27
0
0
olur.
(c)
FX (x) = P X ≤ x da§lm fonksiyonunu elde etmek amacyla, X 'in
de§erine kadar fX (x) olaslk yo§unluk fonksiyonunun integrali alnr:
3 x Z x
Z x
t FX (x) =
fX (t)dt =
3t2 dt = 3
= x3
3 0
0
0
= 0
= 1
X 'in
tanm kümesinin alt snrndan
,
0≤x≤1
,
,
x≤0
x≥1
x
ise
ise
ise
tanm kümesinin üst snr da§lm fonksiyonuna konuldu§unda, elde edilen de§er bire e³it olmaldr.
Böylece, bulunan da§lm fonksiyonunun do§ru elde edilip edilmedi§i kontrol edilir:
FX (1) = 13 = 1 =⇒
(d)
X 'in
P
(Ko³ul sa§lanm³tr.)
da§lm fonksiyonu yardmyla,
1
≤X≤
1
2
1
3
1
P
<X<
10
2
1
P X=
2
1
P X≥
2
3 3
1
1
1
1
1
1
19
P X≤
−P X ≤
= FX
− FX
=
−
=
2
3
2
3
2
3
216
3 3
1
1
1
1
1
1
31
P X≤
−P X ≤
= FX
− FX
=
−
=
2
10
2
10
2
10
250
=
=
=
0
=
3
1
1
1
7
1−P X ≤
= 1 − FX
=1−
=
2
2
2
8
olarak bulunur.
(e)
X 'in
beklenen de§eri:
E X =
Z
X 'in
E X2 =
varyans
Z
X 'in
x ∗ 3x dx = 3
0
2
V X = E X2 − E X
x2 ∗ fX (x)dx =
RX
elde edilir.
2
x ∗ fX (x)dx =
RX
olarak elde edilir.
1
Z
1
Z
0
1 3 4
3
x4 =
1 − 04 =
4 0
4
4
'dir. Bu durumda,
5 1 x 3
3 5
x2 ∗ 3x2 dx = 3
1 − 05 =
=
5 0
5
5
varyans de§eri:
2
2
3
3
3
V X = E X2 − E X
= −
=
5
4
80
olarak bulunur.
HACETTEPE ÜNVERSTES, STATSTK BÖLÜMÜ
6