1.4 Filtreler

10
1. Yakınsama
1.4
Filtreler
Topolojik uzaylarda net kavramına bir çok yönüyle paralel olan ve benzer
sonuçları betimleyen kavram Filtre kavramıdır. Tanımı aşağıda:
Tanım 1.8. (Cartan, 1937) X boşkümeden farklı bir küme ve F ⊂ P(X)
kümesi aşağıdaki aksiyomları sağlıyor ise F’ye bir filter4 denir.
(i) ∅ 6∈ F.
(ii) A,B ∈ F ise A ∩ B ∈ F.
(iii) A ∈ F ve A ⊂ B ⊂ X ise B ∈ F dir.
X bir topolojik uzay ve f : I → X bir net olsun. Her i ∈ I için
Fi = {f (j) : j ≥ i}
olmak üzere f ’nin kuyruklarının kümesi
F = {Fi : i ∈ I}
olsun. F, X üzerinde bir filtre olmasa da,
F∞ = {A ⊂ X : ∃i ∈ I, Fi ⊂ X}
bir filtredir. Bu filtreye f neti tarafından üretilen filtre denir. Bununla ilişkili
bir teorem aşağıdadır. Teoremin kanıtı okuyucuya bırakılmıştır.
Teorem 1.8. X boşkümeden farklı bir küme ve ∅ 6∈ A ⊂ P(X), boşkümeden
farklı olsun.
F(A) = {F ⊂ X : A ⊂ F
olacak biçimde
A∈A
vardır}.
olmak üzere açağıdakilerin denktir.
(i) F(A) bir filtredir. bir filtredir. dir.
(i) Her A,B ∈ A için C ⊂ A ∩ B olacak biçimde C ∈ A vardır.
(i) {F : F bir filtre ve A ⊂ F} kümesi kapsama ilişkisine göre kısmı
sıralı bir küme ve minumumu vardır.
Tanım 1.9. Yukarıdaki teoremde tanımlanan F filter ise F’ye A tarafından
üretilen filter, A’ye ise F’nin bir filter tabanı denir. f , bir X kümesi üzerinde
net ise, f ’nin kuyruklarının kümesinin bir filtre tabanı olduğu barizdir.
4
Filte kavramı ilk olarak Riesz (1908) ve Caratheodory (1913) tarihli çalışmalarda
gözlenmiştir.
1.4. Filtreler
11
Teorem 1.9. Boş kümeden farklı bir X kümesi üzerindeki her filtrenin bir net
tarafından üretildiğini gösteriniz.
Kanıt: X topolojik uzay ve I, X üzerinde bir filtre olsun. I,
i ≤ j :⇐⇒ j ⊂ i
ilişkisine göre yönlü bir kümedir. Her i ∈ F için xi ∈ i seçelim. f : I → X,
f (i) = xi olarak tanımlanan f , X üzerinde bir nettir. i0 ∈ I verilsin.
Fi0 = {f (i) : i ≥ i0 } ⊂ i0
olduğu bariz. Böylece, F’nin f neti tarafından üretilen net olduğu gösterilmiş
olur.
Alıştırmalar
1.16. X bir topolojik uzay olsun. Her x ∈ X için
Fx = {F ⊂ X : x ∈ F o }
bir filterdir, gösteriniz.
1.17. (Xi ) boşkümeden farklı kümelerin bir ailesi ver i için Fi . Xi ’ler üzerinde bir filtre olsun.
Y
F = { Fi : Fi ∈ Fi }
i
Q
Xi ’lerin kartezyenn çarpım kümesi i Xi ’de bir filtre olduğunu gösteriniz.
1.18. (Xi ) boşkümeden farklı kümelerin bir ailesi ve her i için Ai , Xi ’ler üzerinde bir filtre
tabanı olsun.
Q
F = { i Fi : Fi ∈ Fi }
Q
kümesinin Xi ’lerin kartezyenn çarpım kümesi i Xi ’de bir filtre tabanı olduğunu gösteriniz.
1.19. A, X kümesinde bir filtre tabanı, B ⊂ X kümesi her A ∈ A, A ∩ B 6= ∅ özelliğinde
olsun. {A ∩ B : A ∈ A} kümesinin A üzerinde bir filtre tabanı olduğunu gösteriniz.
1.20. Bir küme üzerinde tanımlı filtre kavramının aşağıdaki gibi genellenebilr olduğunu gözlemleyiniz: X kısmı sıralı bir küme olmak üzere, ∅ 6= F ⊂ X kümesi açağıdaki koşulları
sğlasın.
(i) x,y ∈ F ise z ≤ x ve z ≤ y özelliğinde z ∈ F vardır.
(ii) x ∈ F ve X’de x ≤ y ise y ∈ F .
Bu durumda F ’ye X’nin (kısmı sıralı küme olarak) bir filtresi denir.