/=SM> 7GN:=S- 6LE:I:JS- FONKScIYONEL ANALcIZE GcIRcIMS I

Ad¬ve Soyad¬:
Numaras¬:
FONKSI·YONEL ANALI·ZE GI·RI·Ş I
Aras¬nav Sorular¬
30.11.2007
———————————————————————————————————————————–
1. Aşa¼
g¬daki ifadelerin do¼
gru olup olmad¬klar¬n¬nedenlerini aç¬klayarak yaz¬n¬z.
(a) (X; k k) bir normlu uzay ve M bunun bir alt uzay¬olsun. (ei ) dizisi (M; k k) uzay¬n¬n
bir Schauder taban¬ise (X; k k) uzay¬n¬n da bir Schauder taban¬d¬r. (10)
(b) (X; k k) ve (Y; k k) iki normlu uzay olsun. Her T : (X; k k) ! (Y; k k) lineer dönüşümü
süreklidir. (10)
2. (a) Bir X lineer uzay¬ üzerinde tan¬ml¬ bir d metri¼
ginden hangi durumda bir norm elde
edilebilir? (10)
(b) K üzerindeki
jx yj
d (x; y) =
1 + jx yj
metri¼
ginden bir norm elde edilemeyece¼
gini gösteriniz. (10)
3. X bir lineer uzay ve A
X olsun. Her x; y 2 A ve her
x + (1
2 [0; 1] say¬s¬için
)y 2 A
oluyorsa A kümesine konveks küme denir.
(a) Bir (X; k k) normlu uzay¬nda, r > 0 olmak üzere,
A = fx 2 X : kxk
rg
kümesinin konveks oldu¼
gunu gösteriniz. (15)
(b) (X; k k) bir normlu uzay ve A bunun konveks bir alt kümesi ise A kümesinin de konveks
olaca¼
g¬n¬gösteriniz. (15)
1
P
1
4. (a) Her x = (xn ) 2 `1 için
x serisinin yak¬nsak oldu¼
gunu gösteriniz. (05)
2n n
n=1
(b) T : (`1 ; k k1 ) ! (K; j j) ; x = (xn ) ! T (x) =
oldu¼
gunu gösteriniz. (10)
(c) T dönüşümünün normunu bulunuz. (15)
1
P
n=1
1
x
2n n
dönüşümünün lineer ve s¬n¬rl¬
ALI· GÜVEN
———————————————————————————————————————————–
Ad¬ve Soyad¬:
Numaras¬:
FONKSI·YONEL ANALI·ZE GI·RI·Ş I
Final S¬nav¬Sorular¬
25.01.2008
———————————————————————————————————————————–
1. (X1 ; k k1 ) ; (X2 ; k k2 ) ; :::; (Xn ; k kn ) birer normlu uzay ve X =
x = (x1 ; x2; :::; xn ) 2 X için
kxk1 =
n
X
i=1
kxi ki
ve
kxk2 =
n
X
i=1
n
Q
Xi olsun.
i=1
kxi k2i
!1=2
biçiminde tan¬mlanan k k1 ve k k2 normlar¬n¬n denk olduklar¬n¬gösteriniz.(25)
2. (X; k k) sonlu boyutlu bir normlu uzay ve A
kompaktt¬r. I·spatlay¬n¬z.(25)
3. b = (bi ) 2 `2 olsun.
(a) Her x = (xi ) 2 `2 için
1
P
X olsun. A kümesi kapal¬ ve s¬n¬rl¬ ise
bi xi serisinin yak¬nsak oldu¼
gunu gösteriniz.(10)
i=1
(b) fb : (`2 ; k k2 ) ! (K; j j) ; x = (xi ) ! fb (x) =
oldu¼
gunu gösteriniz.(15)
1
P
bi xi dönüşümünün lineer ve s¬n¬rl¬
i=1
4. e1 = (1; 0; :::; 0) ; e2 = (0; 1; :::; 0) ; :::; en = (0; 0; :::; 1) 2 Kn vektörlerini göz önüne alal¬m.
1 < p < 1 ve 1=p + 1=q = 1 olsun. Her f 2 `np için, xf = (f (e1 ) ; f (e2 ) ; :::; f (en )) olmak
üzere kf k = kxf kq oldu¼
gunu gösteriniz.(25)
ALI· GÜVEN
———————————————————————————————————————————–
Ad¬ve Soyad¬:
Numaras¬:
FONKSI·YONEL ANALI·ZE GI·RI·Ş I
Bütünleme S¬nav¬Sorular¬
15.02.2008
———————————————————————————————————————————–
1. Aşa¼
g¬daki ifadelerin do¼
gru olup olmad¬klar¬n¬nedenlerini aç¬klayarak yaz¬n¬z.
(a) Her normlu uzay bir Banach uzay¬d¬r.(10)
(b) Her metrik uzay bir Banach uzay¬d¬r.(10)
2. (X; k k) sonlu boyutlu bir normlu uzay ve (Y; k k) herhangi bir normlu uzay olsun. Her
T : X ! Y lineer dönüşümünün s¬n¬rl¬oldu¼
gunu gösteriniz.(25)
3.
= ( i ) 2 `3=2 olsun.
(a) Her x = (xi ) 2 `3 için
1
P
i xi
serisinin yak¬nsak oldu¼
gunu gösteriniz.(10)
i=1
(b) f : (`3 ; k k3 ) ! (K; j j) ; x = (xi ) ! f (x) =
oldu¼
gunu gösteriniz.(15)
1
P
i=1
i xi
dönüşümü veriliyor. f 2 `3
4. (a) BL (`1 ; K) uzay¬n¬tan¬mlay¬n¬z.(10)
(b) f 2 BL (`1 ; K) biçiminde bir f fonksiyoneli örne¼
gi veriniz.(20)
ALI· GÜVEN
———————————————————————————————————————————–
FONKSI·YONEL ANALI·ZE GI·RI·Ş II
Aras¬nav Sorular¬
02.05.2008
—————————————————————————————————————————–
1. (a) Normlu uzaylarda Hahn-Banach teoreminin ifadesini yaz¬n¬z.
(b) (X; k k) bir normlu uzay (X 6= f g) ve x0 2 X olsun. F (x0 ) = kx0 k ve kF k = 1 olacak
şekilde bir F 2 X fonksiyoneli vard¬r. I·spatlay¬n¬z.
2. (X; k k) bir normlu uzay ve x 2 X olsun.
Fx : X ! K; Fx (f ) = f (x)
dönüşümü veriliyor. Fx 2 X
ve kFx k = kxk oldu¼
gunu gösteriniz.
3. (a) Hilbert uzay¬ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z.
(b) (C [a; b] ; k k1 ) normlu uzay¬bir Hilbert uzay¬m¬d¬r? Nedenleriyle aç¬klay¬n¬z.
4. X bir iç çarp¬m uzay¬ve x; y 2 X olsun.
x?y,8
2 K için kx
yk = kx + yk
oldu¼
gunu gösteriniz.
—————————————————————————————————————————–
1.soru: (a) 10 p. (b) 15 p.; 2.soru: 25 p.; 3.soru: (a) 10 p. (b) 15 p.; 4.soru: 25 p.
Süre: 80 dakika
ALI· GÜVEN
FONKSI·YONEL ANALI·ZE GI·RI·Ş II
Final S¬nav¬Sorular¬
20.06.2008
—————————————————————————————————————————–
1. (X; k k) ve (Y; k k) birer normlu uzay, T 2 BL (X; Y ) ve T 0 : Y ! X dönüşümü
T 0 (f ) = f
T
biçiminde tan¬mlanm¬ş olsun.
(a) T 0 2 BL (Y ; X ) oldu¼
gunu gösteriniz.
(b) kT 0 k = kT k oldu¼
gunu ispatlay¬n¬z.
2. (a) Aç¬k dönüşüm teoreminin ifadesini yaz¬n¬z.
(b) (X; k k) ve (Y; k k) birer Banach uzay¬ ve T 2 BL (X; Y ) olsun. E¼
ger T dönüşümü
bire-bir ve örten ise T 1 2 BL (Y; X) olur. I·spatlay¬n¬z.
3. H1 ve H2 birer Hilbert uzay¬ve T 2 BL (H1 ; H2 ) olsun.
(a) Her x 2 H1 ve her y 2 H2 için
< T (x) ; y >=< x; T (y) >
koşulunu sa¼
glayan T 2 BL (H2 ; H1 ) dönüşümünün tek oldu¼
gunu gösteriniz.
(b) (T ) = T oldu¼
gunu ispatlay¬n¬z.
4. (a) Hermite dönüşümü ne demektir? Tan¬m¬n¬yaz¬n¬z.
(b) T bir Hermite dönüşümü ise T dönüşümü de bir Hermite dönüşümü olur mu? Aç¬klay¬n¬z.
—————————————————————————————————————————–
1.soru (a) 15 p. (b) 15 p.; 2.soru (a) 10 p. (b) 10 p.
3.soru (a) 15 p. (b) 15 p.; 4.soru (a) 10 p. (b) 10 p.
Süre: 80 dakika
ALI· GÜVEN
FONKSI·YONEL ANALI·ZE GI·RI·Ş II
Bütünleme S¬nav¬Sorular¬
11.07.2008
—————————————————————————————————————————–
1. (X; k k) bir normlu uzay, M bunun bir alt uzay¬ ve f 2 M olsun. Her x 2 M için
F (x) = f (x) ve kF k = kf k olacak şekilde bir F 2 X vard¬r. I·spatlay¬n¬z.
2. (a) I·ç çarp¬m nedir? Tan¬mlay¬n¬z.
(b) X bir iç çarp¬m uzay¬olsun. X üzerinde tan¬mlanan
kxk =< x; x >1=2
dönüşümünün her x; y 2 X için
kx + yk
kxk + kyk
eşitsizli¼
gini sa¼
glad¬g¼¬n¬gösteriniz.
3. X bir iç çarp¬m uzay¬ve
xi 6= ; i = 1; :::; n
olmak üzere fx1 ; :::; xn g bu uzay içinde dikey bir küme olsun. fx1 ; :::; xn g kümesinin lineer
ba¼
g¬ms¬z oldu¼
gunu gösteriniz.
4. (a) Birimsel dönüşüm ne demektir? Tan¬mlay¬n¬z.
(b) H bir Hilbert uzay¬ ve T : H ! H s¬n¬rl¬ bir lineer dönüşüm olsun. T ’nin birimsel
dönüşüm olmas¬için gerekli ve yeterli koşul T T = T T = I olmas¬d¬r. I·spatlay¬n¬z.
—————————————————————————————————————————–
1.soru 25 p.; 2.soru (a) 10 p. (b) 15 p.
3.soru 25 p.; 4.soru (a) 10 p. (b) 15 p.
Süre: 80 dakika
ALI· GÜVEN