Ödev Soruları

Topoloji Ödev Soruları:
1. X ve Y iki topolojik uzay ve f : X → Y bir dönüşüm olsun. Eğer Y uzayındaki her açık V
kümesi için, f −1 (V ) kümesi, X ’de açık ise, f dönüşümüne bir sürekli fonksiyon denir.
Bu tanımın Analiz’de verilen ε − δ süreklilik tanımıyla aynı olduğunu gösteriniz.
2. Süreklilik bölümünde verilen Teorem 1’i kullanarak
A = {( x, y ) | xy = 1} , S 1 = {( x, y ) | x 2 + y 2 = 1} ve B 2 = {( x, y ) | x 2 + y 2 ≤ 1} kümelerinin, ℝ 2 de kapalı
olduklarını gösteriniz.
3. Kapalı kümelerin sonsuz birleşimleri kapalı olur mu? Doğruysa ispatlayınız, yanlışsa bunu bir
örnekle gösteriniz.
4. ( A ∩ B )′ ⊃ A′ ∩ B′ ifadesinin yanlış olduğunu bir örnekle gösteriniz.
5. ℕ kümesi üzerinde τ = {Tn | Tn = {n, n + 1, n + 2,…}} ailesi bir topolojidir. Gösteriniz.
6. Ayrık bir uzayın her alt-uzayının ayrık olduğunu gösteriniz.
7. Açık bir aralık, ℝ de açık olduğu halde, ℝ 2 de kapalıdır. Gösteriniz.
8. [ 0,1] kümesi τ C = {U ⊂ ℝ | U ′ sayilabilirdir} ∪ {φ } topolojisine göre kompakt olur mu? Gösteriniz.
9. Her hangi bir topolojik uzaydan, başka bir topolojik uzaya olan sabit fonksiyonlar süreklidir. Neden?
10. x = ( x1 , x2 ) ve y = ( y1 , y2 ) elemanları ℝ 2 kümesinden alınmak üzere,
ρ ( x, y ) = min { x1 − y1 , x2 − y2 } fonksiyonu, ℝ 2 üzerinde bir metrik mi? Açıklayınız.
11. X = ℕ × {3, 4,5} kümesinde sözlük sıralama topolojisini düşünelim. Bu uzayın en küçük
elemanını bulunuz, ve sıralama topolojisi, ayrık topolojiye eşit mi, belirtiniz.