ANKARA ÜNİVERSİTESİ

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DOKTORA TEZİ
q-KANTOROVICH TİPLİ LİNEER POZİTİF OPERATÖRLERİN
YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
Özge (ÖZER) DALMANOĞLU
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2010
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Doktora Tezi
q-KANTOROVICH TI·PLI· LI·NEER POZI·TI·F OPERATÖRLERI·N
YAKLAŞIM ÖZELLI·KLERI·
¼
Özge (ÖZER) DALMANOGLU
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬
¼
Dan¬şman: Doç. Dr. Ogün DOGRU
Bu tez dört bölümden oluşmaktad¬r. Birinci bölüm giriş k¬sm¬na ayr¬lm¬şt¬r. Bu
k¬s¬mda tezde ele al¬nan konu ve bu konuyla ilgili olan literatürdeki di¼
ger çal¬şmalar
k¬saca özetlenmiştir.
I·kinci bölümde temel kavramlara yer verilmiştir. "Lineer pozitif operatörler" tan¬m¬ndan başlanarak, operatör dizileri için "düzgün yak¬nsakl¬k" kavram¬ve bununla beraber "Korovkin Teoremi" ele al¬nm¬şt¬r. Yaklaş¬mlar teorisinde çok önemli bir yere
sahip olan Bernstein operatörleri ve genelleşmeleri hat¬rlat¬lm¬ş, bilinen baz¬sonuçlar
verilmiştir. Son olarak, tezde s¬kl¬kla kullanaca¼
g¬m¬z q-analiz konusunun temel tan¬m
ve özelliklerine yer verilmiştir.
Üçüncü bölümde q-Bernstein operatörlerinin Kantorovich tipli bir genelleşmesi tan¬mlanm¬ş ve bu operatörün klasik anlamda yaklaş¬m özellikleri incelenmiştir.
Son bölümde, istatistiksel yak¬nsakl¬k kavram¬hat¬rlat¬lm¬ş ve q-Bernstein-Kantorovich
operatörünün istatistiksel yaklaş¬m özellikleri incelenmiştir. Bu operatörün yaklaş¬m
h¬z¬n¬incelemek istedi¼
gimizde karş¬m¬za ç¬kan problemlere de¼
ginilmiş ve bu do¼
grultuda "ikinci tip q-Bernstein-Kantorovich operatörü" tan¬mlanm¬şt¬r. Bu operatörün
istatistiksel yak¬nsakl¬g¼¬incelenmiş ve istatistiksel yaklaş¬m h¬z¬süreklilik modülü ve
Lipschitz s¬n¬f¬ndan fonksiyonlar yard¬m¬yla elde edilmiştir. Bu bölümde son olarak
q-Meyer-König ve Zeller (q-MKZ) operatörlerinin Kantorovich tipli genelleşmesi tan¬mlanm¬ş ve istatistiksel yaklaş¬m özellikleri incelenmiştir.
Haziran 2010, 57 sayfa
Anahtar Kelimeler :Bernstein operatörü, Kantorovich tipli genelleşmeler, q-analiz,
düzgün yak¬nsakl¬k, istatistiksel yak¬nsakl¬k, süreklilik modülü, Lipschitz s¬n¬f¬, MeyerKönig ve Zeller operatörü.
i
ABSTRACT
Ph.D. Thesis
APPROXIMATION PROPERTIES OF
q-KANTOROVICH TYPE LINEAR POSITIVE OPERATORS
¼
Özge (ÖZER) DALMANOGLU
Ankara University
Graduate School of Natural And Applied Sciences
Department of Mathematics
¼
Supervisor: Assoc. Prof. Ogün DOGRU
This thesis consists of four chapters. The …rst chapter has been devoted to the introduction. In this part, the issue of the thesis and some other studies in literature
related to this issue have been summarized.
In the second chapter, basic notions have been recalled. Starting from the de…nition
of linear positive operators, the notion of "uniform convergence" for the sequence of
operators and the "Korovkin Theorem" have been mentioned. The Bernstein operators, their generalizations and some known results concerning these generalizations
have been considered. Lastly, the basic de…nitions from the concept of q-analysis,
which will frequently be used in this thesis, have been recalled.
In the third chapter, Kantorovich type generalization of q-Bernstein operators have
been introduced and the classical approximation properties have been examined.
In the last chapter, the statistical approximation properties of q-Bernstein-Kantorovich
operators have been considered. The problems, appeared in analyzing the approximation order of the operators, have been mentioned and accordingly "the second type
q-Bernstein-Kantorovich operators" have been constructed. The statistical convergence of this second operator has been examined and approximation order is obtained
by means of modulus of continuity and with the help of functions from Lipschitz
class. Lastly, similar investigations are done for the Kantorovich type generalization
of q-Meyer-König and Zeller (q-MKZ) operators.
June 2010, 57 pages
Key Words: Bernstein operators, Kantorovich type generalizations, q-analysis,
uniform convergence, statistical convergence, modulus of continuity, Lipschitz class,
Meyer-König and Zeller operators.
ii
TEŞEKKÜR
Doktora e¼
gitimimin her safhas¬nda yak¬n ilgi ve önerileri ile beni yönlendiren de¼
gerli
¼
dan¬şman hocam, Doç. Dr. Ogün DOGRU
(Gazi Üniversitesi Fen Fakültesi)’ya,
çal¬şmam boyunca yard¬mlar¬n¬ve önerilerini benden esirgemeyen de¼
gerli hocalar¬m
Say¬n Prof. Dr. Abdullah ALTIN (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi), Prof. Dr.
Nurhayat I·SPI·R (Gazi Üniversitesi Fen Fakültesi) ve Doç. Dr. Nuri ÖZALP (Ankara
Üniversitesi Fen Fakültesi)’e en içten sayg¬ve teşekkürlerimi sunar¬m.
Çal¬şmalar¬m süresince bütün s¬k¬nt¬lar¬m¬ paylaşan, deste¼
gi ve güveniyle beni cesaretlendirerek hep yan¬mda olan sevgili eşim Mete Dalmano¼
glu’na, bilgilerini ve
yard¬mlar¬n¬ benden esirgemeyen sevgili arkadaşlar¬m Elif Demirci’ye ve Sibel Ersan’a, ve son olarak; beni hayat¬m¬n her aşamas¬nda destekleyen, varl¬klar¬yla bana
güç veren güzel aileme sonsuz teşekkürler ederim.
¼
Özge (ÖZER) DALMANOGLU
Ankara, Haziran 2010
iii
I·ÇI·NDEKI·LER
ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TEŞEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SI·MGELER DI·ZI·NI· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. GI·RI·Ş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. TEMEL KAVRAMLAR
2.1 Lineer Pozitif Operatörler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Lineer Pozitif Operatörlerin Yak¬nsakl¬g
¼¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Lineer Pozitif Operatörlerin Yaklaş¬m H¬z¬ . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Süreklilik modülü ve özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Lipschitz s¬n¬f¬ndan fonksiyonlar ve özellikleri . . . . . . . . . . . .
2.4 Bernstein Operatörleri ve Genelleşmeleri . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 q-Analiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. OPERATÖRLERI·N OLUŞTURULMASI . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 q-Bernstein-Kantorovich Operatörü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 q-Bernstein-Kantorovich Operatörünün Yaklaş¬m Özellikleri
4. q-BERNSTEIN-KANTOROVICH OPERATÖRÜNÜN
¼ .........................
I·STATI·STI·KSEL YAKINSAKLIGI
4.1 I·statistiksel Yak¬nsakl¬k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 q-Bernstein-Kantorovich Operatörünün
I·statistiksel Yak¬nsakl¬g
¼¬. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 K¬s¬tlanm¬ş q-integral ve Riemann tipli q-integral
Tan¬mlar¬ve Özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 I·kinci tip q-Bernstein-Kantorovich Operatörünün
I·statistiksel Yak¬nsakl¬g
¼¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
·
4.5 Ikinci tip q-Bernstein-Kantorovich Operatörünün
I·statistiksel Yaklaş¬m H¬z¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Süreklilik modülü yard¬m¬yla
yaklaş¬m h¬z¬n¬n incelenmesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Lipschitz s¬n¬f¬ndan fonksiyonlar yard¬m¬yla
yaklaş¬m h¬z¬n¬n incelenmesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 q-MKZ-Kantorovich Operatörü ve Yaklaş¬m Özellikleri . . . . .
KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ÖZGEÇMI·Ş . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
i
ii
iii
v
1
3
3
3
5
6
7
7
8
14
14
18
22
22
23
28
31
37
37
41
44
53
57
SI·MGELER DI·ZI·NI·
L(f ; x)
C[a; b]
L1 [a; b]
kf kC[a;b]
Bn (f ; x)
fn
f
w(f ; )
LipM ( )
Kn (f ; x)
Dn (f ; x)
dq f (x)
Dq f (x)
Iq (f ; a; b)
Rq (f ; a; b)
Bn (f ; q; x)
B~n (f ; q; x)
Bn (f ; q; x)
Mn (f ; x)
Mn;q (f ; x)
Mn (f ; q; x)
Lf fonksiyonunun x noktas¬nda ald¬g¼¬de¼
ger
[a,b] aral¬g¼¬nda tan¬ml¬ve sürekli fonksiyonlar¬n uzay¬
[a,b] aral¬g¼¬nda integrallenebilen fonksiyonlar¬n uzay¬
C[a; b] fonksiyon uzay¬üzerinde tan¬ml¬norm
f fonksiyonunun Bernstein polinomu
(fn ) fonksiyon dizisinin f fonksiyonuna düzgün yak¬nsamas¬
f fonksiyonun süreklilik modülü
Lipschitz s¬n¬f¬ndan fonksiyonlar¬n uzay¬
Bernstein-Kantorovich operatörü
Bernstein-Durrmeyer operatörü
f (x) fonksiyonunun q-diferensiyeli
f (x) fonksiyonunun q-türevi
f (x) fonksiyonunun [a; b] aral¬g¼¬ndaki q-integrali
f (x) fonksiyonunun [a; b] aral¬g¼¬ndaki Riemann tipli q-integrali
q-Bernstein operatörü
q-Bernstein-Kantorovich operatörü
I·kinci tip q-Bernstein-Kantorovich operatörü
Meyer-König ve Zeller (MKZ) operatörü
q-MKZ operatörü
q-MKZ-Kantorovich operatörü
v
1. GI·RI·Ş
Yaklaş¬mlar teorisi matemati¼
gin birçok dal¬yla yak¬n ilişki içerisindedir. Özellikle
fonksiyonel analiz, yaklaş¬mlar teorisinde ortaya konulan problemlerin çözümü için
önemli bir araç niteli¼
ginde olup, bu teori için temel teşkil etmektedir.
Fonksiyon uzaylar¬nda "sürekli fonksiyonlara yaklaş¬m" problemi ilk defa Weierstrass
(1885) taraf¬ndan ele al¬nm¬şt¬r. Weierstrass, kapal¬bir [a; b] aral¬g¼¬nda sürekli olan
fonksiyonlara düzgün yak¬nsayan polinomlar¬n varl¬g¼¬n¬ göstermiştir.
Bu "varl¬k"
teoreminden sonra 1912 y¬l¬nda Bernstein, bu polinomlar¬n gösterimini de vererek
Weierstrass teoremini [0; 1] aral¬g¼¬nda tekrar ispatlam¬şt¬r. Literatürde "Bernstein
polinomlar¬" olarak bilinen bu polinomlar lineer pozitif operatörlerdir. Bohman
(1952) ve Korovkin (1953), Bernstein operatörlerinden yola ç¬karak, lineer pozitif
operatörlerin sürekli fonksiyonlara düzgün yak¬nsamas¬ile ilgili çok önemli bir teorem vermişlerdir. Sonlu aral¬kta düzgün yak¬nsaman¬n gerçeklenmesi için sadece üç
koşulun incelenmesinin yeterli oldu¼
gu bu teorem sayesinde birçok yeni lineer pozitif operatörün (Meyer-König ve Zeller operatörleri, Szasz operatörleri, Bleimann,
Butzer and Hahn operatörleri gibi) yaklaş¬m özellikleri incelenmiştir.
Bernstein operatörleri tan¬mland¬ktan sonra bu operatörlerin çeşitli genelleşmeleri
ele al¬nm¬şt¬r. Örne¼
gin, birçok yazar analizden bilinen temel teoremler yard¬m¬yla
Bernstein operatörlerinin integral tipli genelleşmelerini tan¬mlam¬ş ve bu operatörlerin yaklaş¬m özelliklerini incelemiştir (Kantorovich 1930, Durrmeyer 1967, Derriennic 1981). Temelde Durrmeyer-tipli ve Kantorovich-tipli genelleşmeler olarak
adland¬r¬lan integral tipli bu genelleşmeler, integrallenebilir fonksiyonlar uzay¬nda
yaklaş¬m yapabilme ihtiyac¬ndan ortaya ç¬km¬şt¬r.
Bernstein operatörlerinin di¼
ger bir genelleşmesi de q-analiz teorisine dayan¬r. q-analiz
teorisinin temelleri ilk defa 18. yüzy¬lda Euler taraf¬ndan at¬lm¬ş ve 19. yüzy¬lda bu
alanda önemli sonuçlar¬n elde edildi¼
gi çeşitli çal¬şmalar yap¬lm¬şt¬r. 20. yüzy¬l¬n
ikinci yar¬s¬nda q-analizin matematik ve …zik alanlar¬ndaki çeşitli uygulamalar¬ortaya ç¬km¬ş ve bundan sonra bu teoriye olan ilgi h¬zla artm¬şt¬r. Son y¬llarda mate1
matik alan¬nda, klasik analizden bilinen birçok tan¬m ve teoremin yan¬s¬ra bilinen
baz¬ integral eşitsizlerinin de q-genelleşmeleri üzerinde çal¬ş¬lmaktad¬r (Gauchman
2004, Brahim 2008, Fitouhi and Brahim 2008, Marinković vd. 2002, 2008).
Bernstein operatörlerinin q-genelleşmesi ilk defa Lupaş taraf¬ndan ele al¬nm¬şt¬r (Lupaş 1987). Daha sonra 1996 y¬l¬nda Philips yeni bir genelleşme yaparak, literatürde
"q-Bernstein operatörleri" olarak bilinen operatörleri tan¬mlam¬ş ve yaklaş¬m özelliklerini incelemiştir. 10 y¬l¬aşan süredir q-Bernstein operatörlerine olan ilgi devam
etmekte ve birçok çal¬şma yap¬lmaktad¬r. Bunun yan¬s¬ra q-Bernstein operatörlerinin
tan¬mlanmas¬, di¼
ger operatörlerin de q-genelleşmelerinin oluşturulmas¬nda öncü olmuştur.
Yaklaş¬mlar teorisinde, klasik yak¬nsakl¬k kavram¬ile ilgili çal¬şmalar sürerken, son
y¬llarda "istatistiksel yak¬nsakl¬k" kavram¬da önemli bir konu olarak karş¬m¬za ç¬km¬şt¬r. I·lk defa 1950 y¬l¬nda Fast taraf¬ndan tan¬mlanan istatistiksel yak¬nsakl¬k
kavram¬n¬Gadjiev ve Orhan (2002) lineer pozitif operatör dizileri için Korovkin tipli
yaklaş¬m teoremi elde etmek için kullanm¬şlard¬r. Bu teoremle birlikte bilinen birçok
operatörün istatistiksel yaklaş¬m özellikleri ve yaklaş¬m h¬zlar¬incelenmiştir (Do¼
gru
vd. 2003, Do¼
gru ve Duman 2006).
Bu doktora tezinde q-Bernstein operatörlerinin Kantorovich tipli bir genelleşmesi
oluşturularak, operatörün klasik ve istatistiksel yaklaş¬m özellikleri incelenecektir. Tezin ikinci bölümünde konuyla ilgili bilinen temel kavramlar hat¬rlat¬lacakt¬r. Üçüncü bölümde q-Bernstein-Kantorovich operatörü oluşturularak, sadece klasik
anlamda yaklaş¬m özellikleri incelenecektir. Dördüncü bölüm istatistiksel yaklaş¬m
konusuna ayr¬lm¬şt¬r. Bu bölümde öncelikle, üçüncü bölümde oluşturulan operatörün istatistiksel yaklaş¬m özellikleri incelenecek, daha sonra yaklaş¬m h¬z¬n¬ belirlemede karş¬laş¬lan zorluklardan bahsedilecek ve q-analiz teorisinin son y¬llardaki
çal¬şmalar¬ndan faydalan¬larak yeni bir operatör tan¬m¬verilecektir. Bu tan¬m sayesinde operatörün yaklaş¬m özellikleri ve yaklaş¬m h¬z¬incelenecektir. Bölümün son k¬sm¬nda benzer çal¬şmalar Trif (2000) taraf¬ndan tan¬mlanan q-Meyer-König ve Zeller
(q-MKZ) operatörleri için verilecektir.
2
2. TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölümde, doktora tezimizde kullanaca¼
g¬m¬z baz¬kavramlar hat¬rlat¬lacak, temel
teoremler ve tan¬mlar verilecektir.
2.1 Lineer Pozitif Operatörler
X ve Y
fonksiyon uzaylar¬ olmak üzere X kümesinden Y kümesine olan bir L
dönüşümüne operatör denir. Bu durumda L operatörü X uzay¬nda tan¬ml¬ her f
fonksiyonuna Y uzay¬nda bir Lf fonksiyonu karş¬l¬k getirir. Bu Lf fonksiyonunun
x noktas¬nda ald¬g¼¬de¼
ger L(f ; x) ile gösterilir.
E¼
ger her f; g 2 X ve her ,
2 R için,
L( f + g; x) = L(f ; x) + L(g; x)
(2.1)
koşulunu sa¼
gl¬yor ise, L(f ; x) operatörüne lineerdir denir.
E¼
ger L operatörü pozitif bir f fonksiyonunu pozitif bir Lf fonksiyonuna dönüştürüyorsa; yani her x 2 X için
f (x)
0 iken L(f ; x)
(2.2)
0
sa¼
glan¬yor ise, L(f ; x) operatörüne pozitiftir denir.
2.2 Lineer Pozitif Operatörlerin Yak¬nsakl¬g
¼¬
Kapal¬bir [a; b] aral¬g¼¬ üzerinde tan¬ml¬ve sürekli olan tüm reel de¼
gerli fonksiyonlardan oluşan kümeye C[a; b] fonksiyon uzay¬ denir. f 2 C[a; b] olmak üzere, bu
uzaydaki norm
kf kC[a;b] = max jf (x)j
(2.3)
x [a;b]
ile gösterilir. E¼
ger her x 2 [a; b] için
lim kfn
n!1
f kC[a;b] = lim max jfn (x)
n!1 x [a;b]
3
f (x)j = 0
(2.4)
koşulu sa¼
glan¬yorsa (fn ) fonksiyonlar dizisi f fonksiyonuna C[a; b] normunda düzgün
yak¬nsakt¬r denir ve
fn
f
ile gösterilir. Yaklaş¬mlar teorisinde düzgün yak¬nsakl¬k kavram¬ilk defa Weierstrass
taraf¬ndan aşa¼
g¬daki şekilde verilmiştir.
Teorem 2.2.1. (Weierstrass, 1885) f (x) 2 C[a; b] olsun. Her " > 0 için
jf (x)
(2.5)
pn (x)j < "
olacak şekilde bir pn (x) polinomu vard¬r.
Yani özetle, kapal¬aral¬kta sürekli olan her fonksiyona bu aral¬kta düzgün yak¬nsayan
bir polinom vard¬r.
I·lki 1885 y¬l¬nda Weierstrass taraf¬ndan verilmiş olan bu temel teoremin birçok ispat¬
yap¬lm¬şt¬r. Bunlardan en önemlisi Bernstein taraf¬ndan 1912 y¬l¬nda verilmiştir.
Teorem 2.2.2. (Bernstein, 1912) f : [0; 1] ! R olmak üzere, f fonksiyonunun
Bernstein polinomu
Bn (f ; x) =
n
X
k=0
f
k
n
n k
x (1
k
x)n
k
(2.6)
ile tan¬mlan¬r ve f 2 C[0; 1] olmak üzere, her " > 0 için
jf (x)
Bn (f ; x)j < "
(2.7)
dir.
Bernstein bu teoremiyle [0; 1] aral¬g¼¬nda düzgün yak¬nsayan bir polinomun sadece
varl¬g¼¬ndan söz etmemiş ayn¬zamanda bu polinomu aç¬k bir şekilde ifade de etmiştir.
Böylelikle, Weierstrass’¬n yaklaş¬m teoremi daha basit ve anlaş¬labilir bir şekilde
ispatlanm¬şt¬r.
4
1953 y¬l¬nda ise Korovkin, lineer pozitif operatörler yard¬m¬yla f fonksiyonuna yaklaşma problemine dair çok önemli bir teorem vermiştir.
Teorem 2.2.3. (Korovkin, 1953) f (x) 2 C[a; b] ve tüm reel eksende jf (x)j
Mf
olsun. E¼
ger Ln (f ) lineer pozitif operatör dizisi, her x 2 [a; b] ve ei = ti olmak üzere
i = 0; 1; 2 için
xi
Ln (ei ; x)
koşullar¬n¬sa¼
gl¬yorsa, bu durumda [a; b] aral¬g¼¬nda
Ln (f ; x)
f (x)
dir.
Korovkin teoremi lineer pozitif operatörlerin sürekli fonksiyonlara düzgün yak¬nsakl¬g¼¬n¬ispatlamada oldukça basit bir yöntem vermiştir. (2.6) ile verilen Bernstein polinomlar¬da [0; 1] aral¬g¼¬nda lineer pozitif oldu¼
gundan bu operatörlerin [0; 1] aral¬g¼¬nda
sürekli olan f fonksiyonuna düzgün yak¬nsad¬g¼¬ Korovkin Teoremi yard¬m¬yla kolayl¬kla gösterilmiştir.
2.3 Lineer Pozitif Operatörlerin Yaklaş¬m H¬z¬
Yaklaş¬mlar teorisinde büyük önem taş¬yan "düzgün yak¬nsama" kavram¬na de¼
gindikten sonra şimdi de "yak¬nsaman¬n h¬z¬" kavram¬na geçelim.
Tan¬m 2.3.1. (fn (x)) fonksiyon dizisi
lim fn (x) = 0
n!1
şart¬n¬sa¼
gl¬yorsa, bu durumda (fn (x))’e sonsuz küçülen dizi denir.
Tan¬m 2.3.2. (
n
n)
ve (
n ),
her n 2 N + için
n
n
ve n ! 1 için
! 0 koşullar¬n¬sa¼
glayan fonksiyon dizileri olsunlar. Bu durumda (
s¬f¬ra yaklaşma h¬z¬(
n)
dizisininkinden daha h¬zl¬d¬r denir.
5
n
n)
! 0 ve
dizisinin
Önceki bölümde lineer pozitif bir (Ln (f ; x)) operatör dizisinin belli şartlar alt¬nda
f (x) fonksiyonuna düzgün yak¬nsad¬g¼¬n¬belirtmiştik. Böyle bir durumda kLn (f )
ifadesini s¬f¬ra yak¬nsayan bir dizi olarak alabiliriz. Böylece n ! 1 için
n
fk
! 0 ol-
mak üzere, e¼
ger
kLn f
olacak şekilde bir (
n)
fk
dizisi bulabilirsek, (
C
n
n )’nin
s¬f¬ra yaklaşma h¬z¬ Ln (f ; x)’in
f (x)’e yaklaşma h¬z¬n¬de¼
gerlendirmemize yard¬mc¬olur. Bu de¼
gerlendirme genellikle
"süreklilik modülü" ve "Lipschitz s¬n¬f¬ndan fonksiyonlar" yard¬m¬yla yap¬lmaktad¬r.
2.3.1 Süreklilik modülü ve özellikleri
Tan¬m 2.3.4. f (x) bir I aral¬g¼¬nda tan¬mlanm¬ş fonksiyon olmak üzere,
sup jf (x1 )
w(f ; ) =
f (x2 )j
(2.8)
x1 ;x2 2I
jx1
x2 j
ifadesine, f fonksiyonunun I aral¬g¼¬nda süreklilik modülü ad¬verilir.
w(f ; ) fonksiyonu aşa¼
g¬daki özellikleri sa¼
glar:
1. w(f ; )
2.
1
2
0
ise w(f ;
3. w(f + g; )
1)
w(f ;
w(f ; ) + w(g; )
4. m N için w(f ; m )
5.
2)
R+ için w(f ;
)
mw(f ; )
( + 1)w(f ; )
6. jf (t)
f (x)j
w(f ; jt
7. jf (t)
f (x)j
jt xj
xj)
+ 1 w(f ; )
E¼
ger f 2 C[a; b] ise,
lim+ w(f; ) = 0
!0
6
(2.9)
dir.
2.3.2 Lipschitz s¬n¬f¬ndan fonksiyonlar ve özellikleri
Tan¬m 2.3.5. f (x) bir I aral¬g¼¬nda tan¬mlanm¬ş fonksiyon olsun. 0
< 1 olmak
üzere, her x1 ; x2 2 I için
jf (x1 )
f (x2 )j
M jx1
x2 j
(2.10)
olacak şekilde bir M > 0 varsa, f ’ye Lipschitz s¬n¬f¬ndand¬r denir ve f 2 LipM ( )
ile gösterilir.
Bir I aral¬g¼¬nda
1. f 2 LipM ( ) ise f fonksiyonu bu aral¬kta süreklidir.
2.
> 1 için f 2 LipM ( ) ise f sabit fonksiyondur.
2.4 Bernstein operatörleri ve genelleşmeleri
Yaklaş¬mlar teorisinde çok önemli bir yere sahip olan Bernstein operatörleriyle ilgili
literatürde birçok çal¬şma yap¬lm¬şt¬r. Tezimizde Bernstein operatörlerinin integral
tipli ve q-tipli genelleşmelerinden yararlanaca¼
g¬m¬z için, şimdi bu kavramlara ve ilgili
çal¬şmalara de¼
ginelim.
Belirtelim ki, Bernstein polinomlar¬sürekli olmayan fonksiyonlara yaklaş¬m yapmak
için uygun de¼
gildir. Örne¼
gin, integrallanebilir fonksiyonlar uzay¬nda yaklaş¬m elde
edebilmek amac¬yla Bernstein operatörlerinin modi…ye edilmesine ihtiyaç duyulmuştur ve bu modi…kasyon ilk defa Kantorovich (1930) taraf¬ndan yap¬lm¬şt¬r. Buna
göre, Kn : L1 ([0; 1]) ! C([0; 1]) olmak üzere Bernstein-Kantorovich operatörü,
8n 2 N ve 8x 2 [0; 1] için
Kn (f ; x) = (n + 1)
n
X
pn;k (x)
Z
(k+1)=(n+1)
k=n+1
k=0
7
f (u)du
(2.11)
ile tan¬mlan¬r. Burada
pn;k (x) =
n k
x (1
k
x)n
k
d¬r. Bu operatörün her f 2 C[0; 1] olmak üzere, [0; 1] aral¬g¼¬nda f fonksiyonuna
düzgün yak¬nsad¬g¼¬Korovkin Teoremi yard¬m¬yla gösterilmiştir (Altomare ve Campiti
1994).
Bernstein operatörlerinin di¼
ger bir integral genelleşmesi de 1967 y¬l¬nda Durrmeyer
(1967) taraf¬ndan verilmiştir. n
1 olmak üzere, f 2 L1 ([0; 1]) ve x 2 [0; 1] için
Bernstein-Durrmeyer operatörü
Dn (f ; x) =
n
X
(n + 1)
Z
1
0
k=0
n k
t (1
k
n k
x (1
k
t)n k f (t)dt
x)n
k
(2.12)
ile tan¬mlan¬r. L1 ([0; 1]) fonksiyon uzay¬ndan C([0; 1]) fonksiyon uzay¬na olan Dn
operatörü lineer pozitif bir operatördür ve Derriennic (1981) taraf¬ndan ayr¬nt¬l¬bir
biçimde incelenmiştir.
Bernstein operatörleriyle ilgili bir başka çal¬şmada q-tipli genelleşmeler üzerinedir.
Bu genelleşmelere geçmeden önce q-analiz ile ilgili baz¬hat¬rlatmalar yapal¬m.
2.4.1 q-Analiz
Tan¬m 2.4.1. q-lar pozitif reel say¬lar olmak üzere, negatif olmayan bir k say¬s¬n¬n
q-genelleşmesi
8
k
>
< 1 q , q 6= 1
1 q
[k]q =
>
:
k
, q=1
q-binom katsay¬s¬
2
4
n
k
3
5 =
[n]q !
[k]q ! [n k]q !
q
8
(n
k
0)
ve q-faktöriyeli
8
< [k] [k 1] ::: [1] ; k = 1; 2; ::
q
q
q
[k]q ! =
:
1
; k=0
şeklinde tan¬mlan¬r (Andrews 1999).
Tan¬m 2.4.2. Herhangi bir f (x) fonksiyonunun q-diferensiyeli
dq f (x) = f (qx)
ile tan¬ml¬d¬r. Özel olarak dq x = (q
f (x)
(2.13)
1)x dir.
Klasik diferensiyel tan¬m¬ndan farkl¬olarak, q-diferensiyelde iki fonksiyonun çarp¬m¬n¬n
diferensiyeli simetri özelli¼
gi taş¬maz. Gerçektende (2.13) ifadesinden
dq (f (x)g(x)) = f (qx)dq g(x) + g(x)dq f (x)
(2.14)
oldu¼
gu görülür.
Tan¬m 2.4.3. Herhangi bir f (x) fonksiyonunun q-türevi
Dq f (x) =
dq f (x)
dq x
ile verilir.
Örne¼
gin, Dq xn = [n]q xn
1
oldu¼
gu kolayl¬kla görülür. (2.14) ifadesinden f (x) ve g(x)
fonksiyonlar¬n¬n çarp¬mlar¬n¬n q-türevi
Dq (f (x)g(x)) = f (qx)Dq g(x) + g(x)Dq f (x)
olarak elde edilir.
9
(2.15)
a)n ifadesinin q-genelleşmesi
Tan¬m 2.4.4. (x
a)nq =
(x
polinomu ile ifade edilir.
8
<
1
: (x
a)(x
n=0
qa):::(x
q n 1 a)
n
1
Tümevar¬m yöntemiyle, her n 2 N için
oldu¼
gu gösterilmiştir (Kac ve Cheung 1953). (a
x)nq 6= ( 1)n (x
istedi¼
gimizde (a
a)nq
a)nq = [n]q (x
Dq (x
1
(2.16)
x)nq ifadesinin q-türevini bulmak
a)nq olmas¬sebebiyle (2.16) eşitli¼
gini kullanam¬y-
oruz. Bunun yerine
(a
x)nq = (a
= (a
x)(a
x)q(q 1 a
q n 1 x)
q 2 x):::(a
qx)(a
x)q 2 (q 2 a
x):::q n 1 (q
= ( 1)n q n(n
1)=2
(x
q
n+1
a):::(x
= ( 1)n q n(n
1)=2
(x
q
n+1
a)nq
n+1
q 2 a)(x
a
x)
q 1 a)(x
a)
ifadesinde, (2.15) ile verilen çarp¬m kural¬n¬2 kere uygulayarak,
Dq ((a
x)nq ) =
[n]q (a
qx)nq
1
(2.17)
eşitli¼
gi elde edilir.
f (x) diferensiyellenebilir bir fonksiyon olmak üzere
lim Dq f (x) =
q!1
df (x)
dx
dir.
q-analizde türev kavram¬yla ilgili temel tan¬mlardan sonra şimdi de integral kavram¬n¬
ele alal¬m. Öncelikle bir fonksiyonun q-antitürevinden bahsedelim.
10
Tan¬m 2.4.5. Dq F (x) = f (x) olacak şekilde bir F (x) fonksiyonuna f (x) fonksiyonunun q-antitürevi denir ve
Z
F (x) =
f (x)dq x
ile gösterilir.
Tan¬m 2.4.6. 0 < a < b ve 0 < q < 1 olsun. f (x) fonksiyonunun [0; b] aral¬g¼¬ndaki
q-integrali
Iq (f ; 0; b) =
Z
b
f (x)dq x = (1
q)b
0
1
X
f (q j b)q j
(2.18)
j=0
ile tan¬mlan¬r.
E¼
ger f (x) fonksiyonu, [0; b] aral¬g¼¬nda sürekli bir fonksiyon ise,
lim
q!1
Z
b
f (x)dq x =
Z
b
f (x)dx
0
0
dir.
f (x) fonksiyonunun [a; b] aral¬g¼¬ndaki q-integrali
Iq (f ; a; b) =
Z
b
f (x)dq x =
a
Z
b
f (x)dq x
0
= (1
Z
a
f (x)dq x
0
q)
1
X
bf (q j b)
af (q j a) q j
(2.19)
j=0
ile tan¬mlan¬r (Kac ve Cheung 1953).
E¼
ger (2.18) ve (2.19)’da verilen seriler yak¬nsaksa, bu taktirde, f fonksiyonu s¬ras¬yla
[0; b] ve [a; b] aral¬klar¬nda q-integrallenebilirdir denir.
Klasik analizde türev ve integral aras¬ndaki ba¼
g¬nt¬y¬ veren ifade "analizin temel
teoremi" olarak adland¬r¬lmaktad¬r. Aşa¼
g¬da ispats¬z olarak verece¼
gimiz teorem de qtürev ve q-integral aras¬ndaki ba¼
g¬nt¬y¬ortaya koymakta ve benzer şekilde "q-analizin
temel teoremi" olarak literatüde yer almaktad¬r.
11
Teorem 2.4.1. 0
a < b olsun. F (x) fonksiyonu x = 0’da sürekli olmak üzere, bir
f (x) fonksiyonunun q-antitürevi ise,
Z
b
f (x)dq x = F (b)
F (a)
a
d¬r (Kac ve Cheung 1953).
Yaklaş¬mlar teorisinde q analiz kavram¬n¬n kullan¬lmas¬ ilk defa 1987 y¬l¬nda Lupaş taraf¬ndan olmuştur. Lupaş (1987), Bernstein operatörlerinin q genelleşmesini
tan¬mlam¬ş ve daha sonra Ostrovska (2006) ise, tan¬mlanan bu operatörlerin düzgün
yak¬nsakl¬g¼¬n¬incelemiştir. 1996 y¬l¬nda ise Philips, Bernstein operatörlerinin, daha
sonra da üzerinde s¬kl¬kla çal¬ş¬lan yeni bir genelleşmesini, f : [0; 1] ! R olmak üzere
Bn (f ; q; x) =
n
X
f
k=0
[k]
[n]
n k 1
n k Y
x
(1
k
s=0
q s x)
(2.20)
şeklinde tan¬mlam¬şt¬r. q Bernstein polinomu olarak adland¬r¬lan bu operatör için
ilk üç test fonksiyonu
Bn (e0 ; q; x) = 1
(2.21)
Bn (e1 ; q; x) = x
Bn (e2 ; q; x) = x2 +
x(1 x)
[n]
olarak elde edilmiş ve aşa¼
g¬daki teoremle operatörün düzgün yak¬nsakl¬g¼¬verilmiştir.
Teorem 2.4.2. (qn ) dizisi 0 < qn < 1 olmak üzere, n ! 1 için qn ! 1 koşulunu
sa¼
glas¬n. Bu taktirde her f 2 C[0; 1] için
Bn (f ; qn ; x)
f (x)
(x 2 [0; 1]; n ! 1)
dir.
q-Bernstein polinomlar¬1997 y¬l¬ndan itibaren birçok yazar taraf¬ndan ele al¬nm¬ş ve
bu polinomlarla ilgili çok say¬da çal¬şma yap¬lm¬şt¬r (Oruç 1999, Il’inskii ve Ostrovska
12
2002, Ostrovska 2003, Philips 2003, Videnskii 2005). q-Bernstein polinomlar¬n¬n
ard¬ndan di¼
ger birçok operatörün de q-tipli genelleşmeleri incelenmiş ve yaklaş¬m
özellikleri çal¬ş¬lm¬şt¬r.
Son y¬llarda ise, integral tipli operatörlerin q-tipli genelleşmeleri üzerinde çal¬şmalar
yap¬lmaktad¬r. Örne¼
gin, Derriennic (2005), (2.12) ile verilen Bernstein-Durrmeyer
operatörlerinin q-tipli bir genelleşmesini tan¬mlam¬ş ve operatörün yaklaş¬m özelliklerini ayr¬nt¬l¬ bir biçimde incelemiştir. Daha sonra Gupta ve Heping 2008 y¬l¬nda
farkl¬bir q-genelleşme üzerinde çal¬şm¬şlar ve q-Bernstein-Durrmeyer operatörlerini,
f 2 C[0; 1]; x 2 [0; 1] olmak üzere
Ln;q (f ; x) = [n + 1]
n
X
k=1
q
(1 k)
pnk (q; x)
Z
1
f (t)pn;k 1 (q; qt)dq t + f (0)pn;0 (q; x) (2.22)
0
olarak tan¬mlam¬şlard¬r. Gupta ve Finta (2009) ise (2.22) operatörü için baz¬lokal
ve global yaklaş¬m teoremleri vermişlerdir.
13
3. OPERATÖRLERI·N OLUŞTURULMASI
Bu bölümde amac¬m¬z (2.20) ile verilen q-Bernstein operatörünün Kantorovich tipli
bir genelleşmesini oluşturarak yaklaş¬m özelliklerini incelemektir.
3.1 q-Bernstein-Kantorovich Operatörü
I·lk defa Philips taraf¬ndan tan¬mlanan q-Bernstein operatörünün Kantorovich tipli
genelleşmesini, f , [0; 1] aral¬g¼¬nda q-integrallenebilir bir fonksiyon olmak üzere, her
n 2 N ve q 2 (0; 1) için
B~n (f ; q; x) = [n + 1]
Z
n
X
!
[k+1]=[n+1]
f (t)dq t
[k]=[n+1]
k=0
n
q
k
k k
x
nY
k 1
(1
q s x)
(3.1)
s=0
ile tan¬mlayal¬m (Dalmano¼
glu 2007, Radu 2008).
B~n (f ; q; x) operatörünün yaklaş¬m özelliklerini incelemeden önce aşa¼
g¬daki lemmalar¬
verelim.
Lemma 3.1.1. B~n (f ; q; x) operatörü için
B~n (e0 ; q; x) = 1
dir.
I·spat. B~n (f ; q; x) operatöründe f yerine e0 (x) al¬narak elde edilen
B~n (e0 ; q; x) = [n + 1]
Z
n
X
k=0
[k+1]=[n+1]
!
dq t
[k]=[n+1]
n
q
k
k k
ifadesinde
[k + 1]
1
X
j=0
qj =
[k] = q k ;
1
1
q
;
14
0<q<1
x
nY
k 1
s=0
(1
q s x)
(3.2)
eşitliklerinden ve q-integralin tan¬m¬n¬ndan yararlanarak,
Z
[k+1]=[n+1]
dq t =
Z
[k+1]=[n+1]
dq t
0
[k]=[n+1]
Z
[k]=[n+1]
[k + 1] X j
q)
q
[n + 1] j=0
1
= (1
1 q
=
([k + 1]
[n + 1]
[k] X j
q)
q
[n + 1] j=0
1
(1
[k])
1
X
qj
j=0
k
=
dq t
0
q
[n + 1]
(3.3)
elde edilir. (3.3) eşitli¼
ginin (3.2) de kullan¬lmas¬yla ispat tamamlan¬r.
Lemma 3.1.2. B~n (f ; q; x) operatörü için
B~n (e1 ; q; x) =
[n]
1
1
x+
[n + 1]
[2] [n + 1]
dir.
I·spat. B~n (f ; q; x) operatöründe f yerine e1 (x) alarak
B~n (e1 ; q; x) = [n + 1]
Z
n
X
[k+1]=[n+1]
n
q
k
tdq t
[k]=[n+1]
k=0
!
k k
x
nY
k 1
q s x)
(1
(3.4)
s=0
yazal¬m. Şimdi (3.4) deki q-integrali hesaplayal¬m.
Z
[k+1]=[n+1]
[k]=[n+1]
tdq t =
Z
[k+1]=[n+1]
tdq t
Z
[k]=[n+1]
tdq t
0
0
[k + 1] X 2j [k + 1]
q
[n + 1] j=0
[n + 1]
= (1
q)
= (1
q)(
1
[k + 1]2
[n + 1]2
(1
1
X
[k]2
)
q 2j
[n + 1]2 j=0
q)
[k] X 2j [k]
q
[n + 1] j=0
[n + 1]
dir. 0 < q < 1 ve [k + 1] = 1 + q[k] oldu¼
gundan,
Z
[k+1]=[n+1]
[k]=[n+1]
tdq t =
qk
1
([k] + )
2
[n + 1]
[2]
15
1
(3.5)
bulunur. Bu ifadeyi (3.4) de yerine yazarsak,
B~n (e1 ; q; x) = [n + 1]
=
[n]
[n + 1]
+
n
X
k=0
n
X
k=0
qk
[n + 1]2
1
[k] +
[2]
[k] n k
x
[n] k
1
1
[2] [n + 1]
n
X
k=0
nY
k 1
n
q
k
k k
x
nY
k 1
(1
q s x)
s=0
q s x)
(1
s=0
n k 1
n k Y
(1
x
k
s=0
q s x)
[n]
1
1
=
Bn (e1 ; q; x) +
Bn (e0 ; q; x)
[n + 1]
[2] [n + 1]
ve (2.21)’den
B~n (e1 ; q; x) =
[n]
1
1
x+
[n + 1]
[2] [n + 1]
elde edilir.
Lemma 3.1.3. B~n (f ; q; x) operatörü için
[n][n 1] 2 [2](1 + [2]) [n]
1
1
B~n (e2 ; q; x) =
qx +
x+
2
2
[n + 1]
[3]
[n + 1]
[3] [n + 1]2
dir.
I·spat. B~n (f ; q; x) operatöründe f yerine e2 (x) alarak elde etti¼
gimiz
B~n (e2 ; q; x) = [n + 1]
Z
n
X
k=0
[k+1]=[n+1]
2
!
t dq t
[k]=[n+1]
n
q
k
k k
x
nY
k 1
(1
q s x)
s=0
eşitli¼
gindeki q-integrali hesaplamak için önceki lemmalara benzer işlemler yap¬l¬rsa
Z
[k+1]=[n+1]
t2 dq t =
[k]=[n+1]
1
1
q k ([k + 1]2 + [k][k + 1] + [k]2 )
[3] [n + 1]3
elde edilir. Burada [k + 1] = 1 + q[k] eşitli¼
gini kullan¬p, elde etti¼
gimiz ifadeyi
B~n (e2 ; q; x) de yerine koyarsak,
B~n (e2 ; q; x) =
n
X
1
(2q + 1)
1
[k]2 +
[k] +
2
[n + 1] k=0
[3]
[3]
16
n k 1
n k Y
x
(1
k
s=0
q s x)
elde ederiz. Buradan,
B~n (t2 ; q; x) =
[n]2
(2q + 1) [n]
Bn (e2 ; q; x) +
Bn (e1 ; q; x)
2
[n + 1]
[3] [n + 1]2
1
1
Bn (e0 ; q; x)
+
[3] [n + 1]2
yazabiliriz. Son olarak (2.21) ifadesinde verilen eşitlikleri kullanarak
1
1
[n][n 1] 2 [2](1 + [2]) [n]
x
+
x
+
B~n (t2 ; q; x) = q
[n + 1]2
[3]
[n + 1]2
[3] [n + 1]2
sonucunu buluruz.
Son lemmay¬vermeden önce aşa¼
g¬daki hat¬rlatmay¬yapal¬m.
Not: q- Bernstein-Kantorovich operatörünün düzgün yak¬nsakl¬g¼¬n¬Korovkin-tipli
teorem yard¬m¬yla gösterebilmemiz için operatörün lineer ve pozitif oldu¼
gunu garantilememiz gerekmektedir. q-integral lineer oldu¼
gundan (3.1) operatörü lineerdir.
0 < q < 1 oldu¼
gundan (3.1) operatörünün poziti‡i¼
gi q-integralin poziti‡i¼
gine ba¼
gl¬
olacakt¬r. Fakat, [a; b] aral¬g¼¬ndaki q integral iki seri fark¬ içerdi¼
ginden, f
0 olRb
mas¬ a f (t)dq t 0 olmas¬n¬gerektirmez. Bu durumda ise oluşturdu¼
gumuz operatör
pozitiftir diyemeyiz. Bununla ilgili olarak aşa¼
g¬daki örnekleri inceleyelim.
3) fonksiyonunu ele alal¬m. [4; 5] aral¬g¼¬nda f (x)
R5
0’d¬r fakat fonksiyon [0; 3] aral¬g¼¬nda tan¬ml¬olmad¬g¼¬ndan 4 ln(x 3)dq t integrali
Örnek 3.1.1. f (x) = ln(x
hesaplanamamaktad¬r.
Örnek 3.1.2. f (x) = 25 x2 fonksiyonunun [3; 4] aral¬g¼¬ndaki q-integralini inceleyelim. Bunun için
Z
3
4
(25
2
x )dq x =
Z
4
(25
2
x )dq x
0
= (1
Z
3
(25
x2 )dq x
0
q)
1
X
4(25
j=0
17
16q 2j )
3(25
9q 2j ) q j
ifadesinde gerekli işlemler yap¬l¬rsa,
Z
4
(25
37
1 + q + q2
x2 )dq x = 25
3
elde edilir. [3; 4] aral¬g¼¬nda f (x) = (25 x2 ) 0 olmas¬na ra¼
gmen 0 < q < 0:3544
R
R4
4
için 3 (25 x2 )dq t < 0 ve 0:3544 < q < 1 için 3 (25 x2 )dq t > 0 elde edilir.
Lemma 3.1.4. 0 < a < b ve 0 < q < 1 olsun. f fonksiyonu [0; b] aral¬g¼¬nda
Rb
tan¬mlanm¬ş monoton artan bir fonksiyon ise Iq (f ; a; b) = a f (t)dq t ile verilen q
integral pozitif bir operatördür.
I·spat. f monoton artan bir fonksiyon olsun. Kabul edelim ki f
0 olsun.
Bu
durumda
Z
b
f (t)dq t =
a
Z
b
f (t)dq t
a
f (t)dq t
0
0
= (1
Z
q)
1
X
(bf (q j b)
af (q j a))q j
j=0
ifadesinde f fonksiyonu pozitif oldu¼
gundan, 8x 2 [0; b] için f (x)
0’d¬r. f fonksiy-
onu monoton artan oldu¼
gundan b > a olmas¬her j = 0; 1; 2::: için f (q j b) f (q j a) > 0
olmas¬n¬ gerektirir. Dolay¬s¬yla parantez içindeki ifade pozitif olur ve 0 < q < 1
Rb
oldu¼
gundan a f (t)dq t 0’d¬r ve bu da ispat¬tamamlar.
3.2 q-Bernstein-Kantorovich Operatörünün Yaklaş¬m Özellikleri
Bu kesimde B~n (f ; q; x) operatörünün düzgün yak¬nsakl¬g¼¬n¬inceleyece¼
giz.
Teorem 3.2.1. q = (qn ) dizisi 0 < qn < 1 olmak üzere
lim qn = 1 ve
n!1
1
=0
n!1 [n]
lim
(3.6)
şartlar¬n¬ sa¼
glas¬n. Bu taktirde, f , [0; 1] aral¬g¼¬nda sürekli ve monoton artan bir
18
fonksiyon olmak üzere, bu aral¬k üzerinde
lim kB~n (f ; qn ; :)
f (:)kC[0;1] = 0
n!1
dir.
I·spat. Lemma 3.1.4. göstermektedir ki f monoton artan bir fonksiyon ise B~n (f ; q; x)
operatörü lineer pozitif bir operatördür. Lemma 3.1.2 ve 3.1.3’te elde etti¼
gimiz momentlerde q yerine (3.6) koşullar¬n¬ sa¼
glayan bir (qn ) dizisi seçip, [n]qn =
[n+1]qn 1
qn
eşitli¼
gini kullan¬rsak
[n]qn
[n]qn [n 1]qn
= 1 = lim
n!1 [n + 1]
n!1
[n + 1]2qn
qn
lim
oldu¼
gu kolayl¬kla görülür. Dolay¬s¬yla buradan,
B~n (e0 ; qn ; x)
1 (n ! 1)
B~n (e1 ; qn ; x)
x (n ! 1)
B~n (e2 ; qn ; x)
x2
(n ! 1)
elde ederiz. Böylece Korovkin Teoreminden ispat tamamlan¬r.
Sonuç 3.2.1. Lemma 3.1.1, 3.1.2 ve 3.1.3’te özel olarak q = 1 al¬n¬rsa
B~n (e0 ; x) = 1
n
1
x+
n+1
2(n + 1)
2n
1
n(n 1) 2
x +
x+
B~n (e2 ; x) =
2
2
(n + 1)
(n + 1)
3(n + 1)2
B~n (e1 ; x) =
elde edilir ki bu ifadeler klasik Bernstein-Kantorovich operatörünün momentleridir
(Altomare ve Campiti 1994).
f , [0; 1] aral¬g¼¬nda integrallenebilen bir fonksiyon olmak üzere, (2.6) ile verilen klasik
19
Bernstein operatörünün türevi ve (2.11) ile verilen Kantorovich operatörü aras¬nda
(Bn+1 (f ; x))0 = Kn (f 0 ; x)
şeklinde bir ba¼
g¬nt¬vard¬r (Lorentz 1953). Burada Bn+1 , (n + 1)inci Bernstein operatörüdür. Buradan yola ç¬karak, Bn (f ; q; x) q-Bernstein operatörü ve B~n (f ; q; x)
q- Bernstein-Kantorovich operatörü aras¬nda da benzer bir ba¼
g¬nt¬oldu¼
gu aşa¼
g¬daki
teoremde verilmiştir.
Teorem 3.2.2. (Radu 2008) F , x = 0’da sürekli olmak üzere, f fonksiyonunun
q antitürevi olsun. Bu durumda n 2 N ve 0 < q < 1 olmak üzere,
Dq Bn+1 (F ; q; x) = B~n (f ; q; qx)
ba¼
g¬nt¬s¬mevcuttur.
I·spat. (2.17) eşitli¼
ginden,
Dq
nY
k 1
!
s
(1
q x)
s=0
=
[n
nY
k 2
k]
q s+1 x)
(1
s=0
oldu¼
gu görülür. q-analiz için verilen çarp¬m kural¬n¬kullanarak,
Dq Bn (F ; q; x) =
=
n
X
k=0
n
X
F
F
k=0
[k]
[n]
n
Dq
k
[k]
[n]
n
k
k]xk
[n
nY
k 2
xk
nY
k 1
=
[k]
[n]
F
k=1
n 1
X
[k]x
k 1
nY
k 1
k=0
n 1
X
= [n]
k=0
F
(1
q s+1 x)
s=0
(1
[n
[k]
[n]
F
q s x)
(1
s=0
!
q s+1 x)
s=0
n
X
!
[n]!
k]![k
[n
1]!
x
k 1
F
20
q s+1 x)
(1
s=0
[n]!
xk
k 1]![k]!
[k + 1]
[n]
nY
k 1
[k]
[n]
nY
k 2
q s+1 x)
(1
s=0
n
1
k
xk
nY
k 2
s=0
(1
q s+1 x)
elde edilir. n yerine n + 1 yaz¬p, Teorem 2.4.1 ile verilen q-analizin temel teoremini
uygularsak,
k 1
h n i nY
[k]
k
(1
Dq Bn+1 (F ; q; x) = [n + 1]
F
F
x
[n
+
1]
k
s=0
k=0
!
Z
n
k
1
n
h
i
[k+1]=[n+1]
X
n k Y
(1 q s (qx))
= [n + 1]
f (t)dq t
x
k
[k]=[n+1]
s=0
k=0
n
X
[k + 1]
[n + 1]
= [n + 1]B~n (f ; q; qx)
bulunur ki bu da istenen sonuçtur.
21
q s (qx))
4. q-BERNSTEIN-KANTOROVICH OPERATÖRÜNÜN
¼
I·STATI·STI·KSEL YAKINSAKLIGI
Bu bölümde öncelikle istatistiksel yak¬nsakl¬k kavram¬ hat¬rlat¬l¬p, (3.1) ile tan¬mlanan q-Bernstein-Kantorovich operatörünün istatistiksel yak¬nsakl¬g¼¬ incelenecektir. Daha sonra Marinkovic vd. (2008) taraf¬ndan tan¬mlanan "Riemann-tipli qintegral" kavram¬ndan bahsedilecek ve bu yeni q-integral tan¬m¬kullan¬larak (3.1) operatörünün "I·kinci tip q-Bernstein-Kantorovich operatörü" olarak adland¬raca¼
g¬m¬z
farkl¬bir formu tan¬mlanacakt¬r. Bu operatörün istatistiksel yaklaş¬m özellikleri incelenip, istatistiksel yaklaş¬m h¬z¬süreklilik modülü ve Lipschitz s¬n¬f¬ndan fonksiyonlar
yard¬m¬yla de¼
gerlendirilecektir. Son olarak benzer incelemeler q-MKZ operatörünün
Kantorovich tipli genelleşmesi için yap¬lacakt¬r.
4.1 I·statistiksel Yak¬nsakl¬k
K kümesi N do¼
gal say¬lar kümesinin bir altkümesi olmak üzere, Kn = fk
n:
k 2 Kg olsun. Öncelikle "yo¼
gunluk" kavram¬n¬ele alal¬m.
Tan¬m 4.1.1. Bir K
N altkümesi için
1
lim jKn j
n n
limiti mevcut ise, bu limit de¼
gerine K kümesinin yo¼
gunlu¼
gu denir ve (K) ile gösterilir (Niven vd. 1991). Burada jKj, K kümesinin eleman say¬s¬n¬gösterir.
Örnek olarak (N) = 1, fn2 : n 2 Ng = 0, f2n : n 2 Ng = f2n + 1 : n 2 Ng =
1
2
oldu¼
gu kolayca görülebilir.
Tan¬m 4.1.2. x := (xk ) reel terimli bir dizi olsun. E¼
ger her " > 0 için
fk : jxk
Lj
"g = 0
olacak şekilde bir L say¬s¬varsa, bu durumda x dizisi L say¬s¬na istatistiksel yak¬nsakt¬r denir ve st
lim xk = L ile gösterilir (Fast 1951).
k
22
Tan¬mdan da görülebilece¼
gi üzere, istatistiksel yak¬nsakl¬kta, bir L say¬s¬n¬n " komşulu¼
gu d¬ş¬nda dizinin sonsuz çoklukta eleman¬ bulunmas¬na karş¬n, indis kümesinin
yo¼
gunlu¼
gu s¬f¬r olabilir. Bu ise bize istatistiksel yak¬nsakl¬g¼¬n klasik yak¬nsakl¬ktan
daha genel bir kavram oldu¼
gunu gösterir. Dolay¬s¬yla yak¬nsak her dizi istatistiksel
yak¬nsakt¬r, fakat bunun tersi do¼
gru de¼
gildir. Bunun için aşa¼
g¬daki örne¼
gi verebiliriz.
Örnek 4.1.1. x := (xk ) dizisinin genel terimi
8
< L
1
xk =
: L
k = m2 ise
k 6= m2 ise
2
şeklinde tan¬mlans¬n.
fk : jxk
L2 j
olarak L2 ’ye yak¬nsar, yani st
"g = 0 oldu¼
gu için (xk ) dizisi istatistiksel
lim xk = L2 ’dir, fakat L1 6= L2 için x dizisi klasik
k
anlamda yak¬nsak de¼
gildir.
Gadjiev ve Orhan (2002), lineer pozitif operatörler için istatistiksel yaklaş¬m veren
Korovkin tipli bir teoremi aşa¼
g¬daki şekilde vermişlerdir.
Teorem 4.1.1. (Gadjiev and Orhan 2002) E¼
ger An : C[a; b]
pozitif operatörler dizisi e (t) = t ,
st
! B[a; b] lineer
= 0; 1; 2 için
lim kAn (e ; :)
n
e kC[a;b] = 0
koşullar¬n¬gerçekliyorsa, her f 2 C[a; b] için
st
lim kAn (f ; :)
n
f kC[a;b] = 0
sa¼
glan¬r. Burada B[a; b], [a; b] aral¬g¼¬ndaki s¬n¬rl¬fonksiyonlar¬n uzay¬n¬göstermektedir.
4.2 q-Bernstein-Kantorovich Operatörünün I·statistiksel Yak¬nsakl¬g
¼¬
Bu k¬s¬mda amac¬m¬z (3.1) ile verilen operatörün istatistiksel yak¬nsakl¬g¼¬n¬incelemektir. Bunun için aşa¼
g¬daki teoremi verelim.
23
Teorem 4.2.1. q := (qn ) dizisi 0 < qn < 1 olmak üzere,
lim qn = 1 ve st
st
n
lim
n
1
=0
[n]
(4.1)
şartlar¬n¬ sa¼
glas¬n. Bu taktirde, f , [0,1] aral¬g¼¬nda sürekli ve monoton artan bir
fonksiyon olmak üzere, (3.1) operatörü için
lim kB~n (f ; qn ; :)
st
n
f (:)kC[0;1] = 0
sa¼
glan¬r.
I·spat. B~n (f ; q; x) lineer-pozitif bir operatör oldu¼
gundan, e¼
ger,
lim kB~n (e ; qn ; :)
st
n
= 0; 1; 2 için
e kC[0;1] = 0
(4.2)
oldu¼
gunu gösterebilirsek, Teorem 4.1.1’den ispat tamamlan¬r.
= 0 için Lemma 3.1.1’den
lim kB~n (e0 ; qn ; :)
st
n
e0 kC[0;1] = 0
oldu¼
gu aç¬kt¬r.
= 1 için Lemma 3.1.2’den
B~n (e1 ; qn ; x)
[n]qn
1
=
[n + 1]qn
qn
maximumunu al¬rsak,
yazar¬z.
kB~n (e1 ; qn ; :)
e1 (x) =
[n]qn
[n + 1]qn
1 x+
1
1
[2]qn [n + 1]qn
1
eşitli¼
gini kullan¬p her iki taraf¬n x 2 [0; 1] de
qn [n + 1]qn
e1 kC[0;1]
1
qn
1
qn
1
1
1
1 +
qn [n + 1]qn
[2]qn [n + 1]qn
1
1
1
1 +
+
qn [2]qn [n + 1]
24
(4.3)
elde ederiz. Şimdi verilen bir " > 0 için aşa¼
g¬daki kümeleri tan¬mlayal¬m.
T := fk : kB~k (e1 ; qk ; :)
e1 kC[0;1]
1
qk
T1 := fk :
"g;
"
g
2
1
ve
T2 :=
(4.3) eşitsizli¼
ginden T
fk
n:
1
[k + 1]qk
"
2
:
T1 [ T2 oldu¼
gu görülür. Böylece
n : kB~n (e1 ; qk ; :)
fk
1
1
+
qk [2]qk
k:
1
qk
e1 kC[0;1]
1
(4.4)
"g
"
g + fk
2
n:
1
1
+
qk [2]qk
1
[k + 1]qk
yazabiliriz. (4.1) koşullar¬ndan
st
lim
n
1
qn
1
= 0 ve st
lim
n
1
1
+
qn [2]qn
1
=0
[n + 1]qn
oldu¼
gu görülür. Böylece yo¼
gunluk tan¬m¬ndan,
fk
n:
1
qk
1
"
g=0
2
ve
k
n : lim
k
1
1
+
qk [2]qk
1
[k + 1]qk
"
2
dir ve bu da bize (4.4) den
st
lim kB~n (e1 ; qn ; :)
n
oldu¼
gunu verir.
25
e1 kC[0;1] = 0
=0
"
g
2
Son olarak
= 2 için, Lemma 3.1.3’ten
B~n (e2 ; qn ; x)
[n]qn [n 1]qn
[n + 1]2qn
1
1
+
[3]qn [n + 1]2qn
e2 (x) =
1 x2 +
qn
[2]qn (1 + [2]qn ) [n]qn
x
[3]qn
[n + 1]2qn
yazabiliriz. Şimdi q analiz yard¬m¬yla elde edebildi¼
gimiz
qn
[n]qn [n 1]qn
1
= 2
2
[n + 1]qn
qn
(1 + [2]qn )
[2]qn
+
[n + 1]qn
[n + 1]2qn
1
eşitli¼
gini yukar¬daki denklemde yerine koyup, her iki taraf¬n x 2 [0; 1]’de maksimumunu alal¬m. Böylelikle,
kB~n (e2 ; qn ; :)
[2]qn
(1 + [2]qn )
+
1
[n + 1]qn
[n + 1]2qn
[2]qn (1 + [2]qn ) [n]qn
1
1
+
+
[3]qn
[n + 1]2qn [3]qn [n + 1]2qn
1
qn2
e2 kC[0;1]
1
ve daha aç¬k olarak,
kB~n (e2 ; qn ; :)
1
qn2
e2 kC[0;1]
(1 + [2]qn ) [2]qn (1 + [2]qn )
+
qn2
[3]qn
1 +
1
[n + 1]qn
(4.5)
+
[2]q
1
+ 2n
[3]qn
qn
1
[n + 1]2qn
elde ederiz. Burada e¼
ger,
n
=
n
=
n
=
1
1
qn2
(1 + [2]qn ) [2]qn (1 + [2]qn )
+
qn2
[3]qn
1
[2]q
1
+ 2n
[3]qn
qn
[n + 1]2qn
1
[n + 1]qn
seçilirse, (4.1) koşullar¬ndan
st
lim
n
n
= st
lim
n
26
n
= st
lim
n
n
=0
(4.6)
oldu¼
gu kolayl¬kla görülür. Yine bir " > 0 için
U := fk : kB~k (e2 ; qk ; :)
"
U1 := fk : k
g;
3
"
U2 := fk : k
g;
3
"
g
U3 := fk : k
3
kümelerini tan¬mlayal¬m. (4.5)’den dolay¬U
e2 kC[0;1]
"g;
U1 [U2 [U3 oldu¼
gu aç¬kt¬r. Dolay¬s¬yla
buradan,
fk
n : kB~k (e2 ; qk ; :)
e2 kC[0;1]
fk
n:
k
+ fk
n:
k
"g
"
g + fk
3
"
g
3
n:
k
"
g
3
yazabiliriz. (4.6) dan yukar¬daki eşitsizli¼
gin sa¼
g taraf¬n¬n s¬f¬r oldu¼
gu görülür. O
halde
st
lim kB~n (e2 ; qn ; :)
n
e2 kC[0;1] = 0
elde edilir. Böylece Teorem 4.1.1’in şartlar¬ sa¼
glanm¬ş ve dolay¬s¬yla da teoremin
ispat¬tamamlanm¬ş olur.
Korovkin tipli teoremlerin lineer pozitif operatörler için geçerli oldu¼
gunu biliyoruz.
Daha önceki bölümde de belirtti¼
gimiz gibi, tan¬mlam¬ş oldu¼
gumuz B~n (f ; q; x) operatörünün pozitif olmas¬için f fonksiyonunu özel olarak [0; 1] aral¬g¼¬nda monoton
artan seçmiştik. Bu sayede operatörün klasik ve istatistiksel olarak f fonksiyonuna
düzgün yak¬nsad¬g¼¬n¬Korovkin tipli teoremler yard¬m¬yla gösterebildik.
Yaklaş¬mlar teorisinde operatörlerin düzgün yak¬nsakl¬g¼¬n¬n yan¬s¬ra bu yak¬nsaman¬n
h¬z¬n¬n de¼
gerlendirilmesi de oldukça önemli bir konudur. Bu de¼
gerlendirme genellikle süreklilik modülü ve Lipschitz s¬n¬f¬ndan fonksiyonlar yard¬m¬yla yap¬lmakta
ve klasik analizden bildi¼
gimiz Hölder eşitsizli¼
gi ve onun bir özel hali olan CauchySchwarz eşitsizli¼
ginden faydalanarak operatörün yaklaş¬m h¬z¬hesaplanabilmaktedir.
Belirtelim ki B~n (f ; q; x) operatörü q-integral içerdi¼
ginden, yaklaş¬m h¬z¬n¬ de¼
ger27
lendirirken q-integral ile ilgili baz¬eşitsizliklerine ihtiyaç duyaca¼
g¬z.
Klasik analizde, integral eşitsizlikler çok uzun y¬llard¬r ayr¬nt¬l¬bir şekilde çal¬ş¬lm¬ş
ve ayn¬ölçüde geliştirilmiştir. Bu çal¬şmalar hem teorik Matematikte hem de Matematik ve Fizik alanlar¬n¬n çeşitli uygulamalar¬nda karş¬m¬za ç¬kmaktad¬r. q-analizde
ise, q-integral tan¬m¬ndan kaynaklanan baz¬zorluklar sebebiyle, q-integral içeren eşitsizliklere olan ilgi ancak son y¬llarda ortaya ç¬kabilmiştir. q-integraldeki bu zorluklar
esasen [a; b] (0 < a < b) aral¬g¼¬ndaki q-integralin, [0; b] ve [0; a] aral¬g¼¬ndaki iki qintegral fark¬olarak tan¬mlanmas¬ndan ortaya ç¬kmaktad¬r. Dolay¬s¬yla tan¬mlanan
q-integral özellikleri, sadece integral aral¬g¼¬ içindeki noktalar¬ de¼
gil, integral aral¬g¼¬
d¬ş¬ndaki noktalar¬ da içermelidir. I·şte bu sebepten dolay¬ da klasik integral için
geçerli olan baz¬ eşitsizlikler, [a; b] aral¬g¼¬nda tan¬mlanan q-integral için geçerli olmayabilir. q-integraldeki bu zorluklar¬giderebilmek amac¬yla Gauchman (2004) ve
Marinković vd. (2008) iki ayr¬ q-integral tan¬m¬ vermişlerdir. Bunlardan birincisi,
[a; b] aral¬g¼¬ndaki q-integralin sonlu toplamlara k¬s¬tlanmas¬ ile verilen "k¬s¬tlanm¬ş
q-integral", ikincisi ise [a; b] aral¬g¼¬ndaki q integralin tek bir seri olarak ifade edilmesiyle verilen "Riemann-tipli q-integral"dir. Şimdi bu iki kavram üzerinde dural¬m.
4.3 K¬s¬tlanm¬ş q-integral ve Riemann tipli q-integral Tan¬mlar¬
ve Özellikleri
Tan¬m 4.3.1. (Gauchmann 2004) a, b, ve q reel say¬lar olmak üzere 0 < a < b ve
q 2 (0; 1) olsun. K¬s¬tlanm¬ş q-integral, klasik q-integral tan¬mda a = bq n al¬narak
Gq (f ; a; b) =
Z
b
f (x)dG
q x
a
= (1
q)b
n 1
X
=
Z
b
f (x)dq x
bq n
f (q j b)q j
(4.7)
j=0
ile tan¬mlan¬r. Do¼
gal olarak bu şekilde tan¬mlanan integral b, q ve n say¬lar¬na ba¼
gl¬
olacakt¬r.
Öncelikle belirtelim ki (4.7) integrali için aşa¼
g¬daki özellikler sa¼
glan¬r.
28
1. [a; b] aral¬g¼¬nda f (x)
g(x) ise
Z
Z
b
f (x)dG
q x
2. a < ck < b olmak üzere
g(x)dG
q x ’dir.
a
a
Z
b
b
f (x)dG
q x
=
Z
ck
f (x)dG
q x
b
f (x)dG
q x ’dir.
ck
a
a
+
Z
f (x) fonksiyonu [a; b] aral¬g¼¬nda Riemann integrallenebilir ise,
lim
q!1
Z
b
f (x)dG
q x
=
Z
b
f (x)dq x
a
a
dir. Gauchmann (2004), k¬s¬tlanm¬ş q-integral tan¬m¬n¬yaparak hem klasik hem de
güncel olan baz¬eşitsizliklerin q-genelleşmelerini elde edebilmiştir.
Tan¬m 4.3.2. (Marinković 2008) a, b, ve q reel say¬lar olmak üzere 0 < a < b ve
q 2 (0; 1) olsun. Riemann-tipli q integral
Rq (f ; a; b) =
Z
b
f (x)dR
qx
= (1
q)(b
a
a)
1
X
f (a + (b
a)q j )q j
(4.8)
j=0
ile tan¬mlan¬r. Klasik q integral tan¬m¬ndan farkl¬olarak bu tan¬m tek bir seri ile
gösterildi¼
ginden sadece integral aral¬g¼¬n¬n içindeki noktalar¬içerir.
(4.8) de verilen seri yak¬nsaksa, f fonksiyonu [a; b] aral¬g¼¬nda "qR-integrallenebilirdir"
denir.
Şimdi amac¬m¬z, daha önce oluşturdu¼
gumuz B~n (f ; q; x) operatöründe klasik q-integral
yerine Riemann-tipli q-integral kullan¬p, operatörü yeniden tan¬mlamakt¬r. Bu sayede
yeni tan¬mlayaca¼
g¬m¬z operatörün yaklaş¬m h¬z¬n¬elde edebilece¼
giz. Öncelikle Riemanntipli q integral ile ilgili olarak aşa¼
g¬daki lemmalar¬verelim.
Lemma 4.3.1. Rq (f ; a; b) operatörü lineer pozitif bir operatördür.
29
I·spat.
Rq (( f + g)(t); a; b) =
Z
b
( f + g)(t)dR
qt
a
= (1
= (1
q)(b
a)
q)(b
= (1
a)
q)(b
1
X
( f + g) (a + (b
j=0
1
X
j=0
1
X
a)
f (a + (b
f (a + (b
a)q j )q j
a)q j )q j + g(a + (b
a)q j )q j
a)q j )q j
j=0
+ (1
q)(b
a)
1
X
g(a + (b
a)q j )q j
j=0
= Rq (f (t); a; b) + Rq (g(t); a; b)
oldu¼
gundan Rq (f ; a; b) operatörü lineerdir. f
0 ise (4.8) den Rq (f ; a; b) ’nin pozitif
oldu¼
gu aç¬kt¬r.
Böylece 8x 2 [a; b] için
f (x)
g(x) ise Rq (f ; a; b)
(4.9)
Rq (g; a; b)
yaz¬labilir.
Lemma 4.3.2. (q Hölder Eşitsizli¼
gi) 0 < q < 1, 0 < a < b ve , pozitif reel
1 1
say¬lar olmak üzere + = 1 olsun. Bu durumda, [a; b] aral¬g¼¬nda tan¬ml¬ f ve g
fonksiyonlar¬için
Rq (jf gj; a; b)
1
(Rq (jf j ; a; b)) (Rq (jgj ; a; b))
eşitsizli¼
gi sa¼
glan¬r.
30
1
I·spat.
Rq (jf gj; a; b) =
Z
a
= (1
= (1
b
jf (t)g(t)jdR
qt
q)(b
a)
q)(b
a)
1
X
a)q j ) g(a + (b
f (a + (b
j=0
1
X
a)q j )q j=
j f (a + (b
j=0
a)q j ) q j
a)q j )q j=
g(a + (b
j
Toplam için olan Hölder eşitsizli¼
gini uygularsak,
Rq (jf gj; a; b)
(1
q)(b
1
X
a)
j=0
1
X
j=0
=
(1
a)q j )j q j
jg(a + (b
q)(b
a)
1
X
j=0
(1
q)(b
jf (a + (b
a)
j=0
=
Z
jf (t)j
a
a)q j )j q j
jg(a + (b
Z
1=
b
a)q j )j q j
!1=
!1=
jf (a + (b
1
X
a)q j )j q j
!1=
dR
qt
a
!1=
1=
b
jg(t)j dR
qt
= Rq (jf j ; a; b)1= Rq jgj ; a; b
1=
elde edilir.
4.4. I·kinci Tip q-Bernstein-Kantorovich Operatörünün I·statistiksel Yak¬nsakl¬g
¼¬
Şimdi B~n (f ; q; x) operatöründe klasik q-integral yerine, Riemann-tipli q-integral kullanarak oluşturdu¼
gumuz "ikinci tip q-Bernstein-Kantorovich operatörü" nü, f , [0; 1]
aral¬g¼¬nda qR-integrallenebilir bir fonksiyon olmak üzere, her n 2 N ve q 2 (0; 1) için
Bn (f ; q; x) = [n + 1]
Z
n
X
k=0
!
[k+1]=[n+1]
f (t)dR
qt
[k]=[n+1]
31
n
q
k
k k
x
nY
k 1
s=0
(1
q s x)
(4.10)
ile tan¬mlayal¬m (Dalmano¼
glu ve Do¼
gru 2010).
Bu kesimde operatörün yaln¬zca istatistiksel olarak düzgün yak¬nsakl¬g¼¬n¬de¼
gil ayn¬
zamanda yaklaş¬m h¬z¬n¬da inceleyebilece¼
giz. Öncelikle aşa¼
g¬daki teoremi verelim.
Teorem 4.4.1. q := (qn ) dizisi 0 < qn < 1 olmak üzere (4.1) ile verilen koşullar¬
sa¼
glas¬n. Bu taktirde, her f 2 C[0; 1] için,
lim kBn (f ; qn ; :)
st
f (:)kC[0;1] = 0
n
sa¼
glan¬r.
gu aç¬kt¬r.
I·spat. Lemma 4.3.1 ’den Bn (f ; q; x)’in lineer pozitif bir operatör oldu¼
gland¬g¼¬n¬ göstermek ispat
Bn (f ; q; x) operatörünün Teorem 4.1.1. in koşullar¬n¬ sa¼
için yeterlidir. Bunu görebilmek için öncelikle i = 0; 1; 2 için Bn (ei ; q; x) ifadesini
hesaplayal¬m.
Bir önceki bölüme benzer şekilde işlemler yap¬l¬rsa
Z
Z
Z
[k+1]=[n+1]
dR
qt =
qk
[n + 1]
tdR
qt =
1
[n + 1]2
q k [k] +
t2 dR
qt =
1
[n + 1]3
q k [k]2 +
[k]=[n+1]
[k+1]=[n+1]
[k]=[n+1]
[k+1]=[n+1]
[k]=[n+1]
1 2k
q
[2]
(4.11)
2q 2k
q 3k
[k] +
[2]
[3]
eşitliklerini elde ederiz.
i = 0 için,
Bn (e0 ; q; x) = [n + 1]
Z
n
X
k=0
[k+1]=[n+1]
!
dR
qt
[k]=[n+1]
n
q
k
k k
x
nY
k 1
(1
q s x)
s=0
(4.12)
=1
32
oldu¼
gu aç¬kt¬r. i = 1 için
Z
n
X
Bn (e1 ; q; x) = [n + 1]
=
1
[n + 1]
!
[k+1]=[n+1]
tdR
qt
[k]=[n+1]
k=0
n
X
[k] +
k=0
n k
x
k
1 k
q
[2]
n
q
k
k k
x
nY
k 1
(1
q s x)
s=0
nY
k 1
(1
q s x)
s=0
ifadesinde
q k = (q
(4.13)
1)[k] + 1
eşitli¼
gini kullanarak gerekli sadeleşmeler yap¬l¬rsa
[n]
Bn (e1 ; q; x)
[n + 1]
n
n k 1
n k Y
1
1 X
((q 1)[k] + 1)
x
(1
+
k
[2] [n + 1] k=0
s=0
Bn (e1 ; q; x) =
[n]
q 1 [n]
+
[n + 1]
[2] [n + 1]
1
1
2q [n]
x+
=
[2] [n + 1]
[2] [n + 1]
=
Bn (e1 ; q; x) +
q s x)
1
1
Bn (e0 ; q; x)
[2] [n + 1]
(4.14)
elde edilir. Son olarak i = 2 için,
Bn (e2 ; q; x) = [n + 1]
=
Z
n
X
k=0
n
X
1
[n + 1]2
k=0
[k+1]=[n+1]
t2 dR
qt
[k]=[n+1]
[k]2 +
!
q 2k
2q k
[k] +
[2]
[3]
33
n
q
k
k k
x
n k
x
k
nY
k 1
(1
q s x)
(1
q s x)
s=0
nY
k 1
s=0
ifadesinde (4.13) eşitli¼
gini kullanarak gerekli işlemler yap¬l¬rsa
Bn (e2 ; q; x) =
n
X
1
[n + 1]2 k=0
+
1+
2(q 1) (q 1)2
+
[2]
[3]
2
2(q 1)
+
[2]
[3]
1
[k] +
[3]
[k]2
n k 1
n k Y
(1
x
k
s=0
q s x)
1
2(q 1) (q 1)2
1
+
+
[n]2 Bn (e2 ; q; x)
[n + 1]2
[2]
[3]
2
2(q 1)
1
+
+
[n]Bn (e1 ; q; x) +
[2]
[3]
[3]
4
2
3q
[n][n 1] 2
[n]
q
3[3] + q(1 + [2])
+
=
x +q
x
2
[2] [2][3] [n + 1]
[2][3]
[n + 1]2
1
1
+
(4.15)
[3] [n + 1]2
=
eşitli¼
gini elde ederiz.
(4.12) ifadesinden,
st
lim kBn (e0 ; qn ; :)
n
e0 kC[0;1] = 0
(4.16)
oldu¼
gu aç¬kt¬r.
(4.14)’den
Bn (e1 ; qn ; x)
e1 =
=
1
1
2qn [n]qn
1 x+
[2]qn [n + 1]qn
[2]qn [n + 1]qn
2
1
1
1
1
1 x+
[2]qn
[n + 1]qn
[2]qn [n + 1]qn
yazabiliriz. Buradan,
kBn (e1 ; qn ; :)
1 qn
3
1
+
:
[2]qn
[2]qn [n + 1]qn
e1 kC[0;1]
34
(4.17)
elde edilir. Şimdi verilen bir " > 0 için aşa¼
g¬daki kümeleri tan¬mlayal¬m.
M : = fk : kBn (e1 ; qk ; :)
1 qk
"
M1 : = fk :
g
[2]qk
2
1
3
M2 : = fk :
[2]qk [k + 1]qk
(4.17)’den M
fk
e1 kC[0;1]
"g
"
g:
2
M1 [ M2 oldu¼
gu görülür. Dolay¬s¬yla
n : kBn (e1 ; qk ; :)
+ fk
e1 kC[0;1]
n:
"g
3
1
[2]qk [k + 1]qk
fk
n:
1 qk
[2]qk
"
g
2
"
g
2
yazabiliriz. (4.1) koşullar¬ndan eşitsizli¼
gin sa¼
g taraf¬s¬f¬r olur ve
lim kBn (e1 ; qn ; :)
st
n
e1 kC[0;1] = 0
elde edilir.
Benzer şekilde, Bn (e2 ; q; x) için (4.15)’te buldu¼
gumuz ifadeden,
kBn (e2 ; qn ; x)
yazar¬z.
e2 kC[0;1] =
[n]qn [n 1]qn
[n+1]2qn
=
1
3
qn
1
3qn4
[n]qn [n 1]qn
qn2
+
1
[2]qn [2]qn [3]qn
[n + 1]2qn
3[3]qn + qn (1 + [2]qn )
1
[n]qn
1
+qn
+
[2]qn [3]qn
[n + 1]2qn [3]qn [n + 1]2qn
(1+[2]qn )
[n+1]qn
+
[2]qn
[n+1]2qn
eşitli¼
gini kullanarak gerekli işlemleri
yaparsak,
kBn (e2 ; qn ; :)
e2 kC[0;1]
1
3qn
1
[2]qn qn [2]qn [3]qn
3qn (1 + [2]qn ) (1 + [2]qn )
1
+
[2]qn [3]qn
[2]qn qn
[n + 1]qn
1
3qn
1
+
+
qn [3]qn [n + 1]2qn
[n]qn
1
1
3[3]qn + qn (1 + [2]qn )
+ qn
+
2
[2]qn [3]qn
[n + 1]qn [3]qn [n + 1]2qn
+
35
elde edilir. Mutlak de¼
gerdeki parantezlerin içinde düzenlemeler yap¬l¬p,
[n]
[n+1]2
<
1
[n+1]
oldu¼
gu gözönünde tutulursa,
kBn (e2 ; qn ; :)
e2 kC[0;1]
qn )(qn2 (1 + [2]qn ) + [3]qn )
qn [2]qn [3]qn
(3qn2 + [3]qn )(1 + [2]qn )
1
3qn2 + [3]qn
1
+
+
[2]qn [3]qn qn
[n + 1]qn
[3]qn qn
[n + 1]2qn
1
1
1
3[3]qn + qn (1 + [2]qn )
+
+ qn
[2]qn [3]qn
[n + 1]qn [3]qn [n + 1]2qn
(1
elde edilir. Buradan,
qn )(qn2 (1 + [2]qn ) + [3]qn )
+M
qn [2]qn [3]qn
(1
kBn (e2 ; qn ; :) e2 kC[0;1]
1
yazabiliriz. Burada M say¬s¬ [n+1]
ve
1
[n+1]2
1
1
+
[n + 1]qn [n + 1]2qn
ifadelerinin katsay¬lar¬n¬n maksimumudur.
Şimdi bir " > 0 için,
K := fk : kBn (e2 ; qk ; :)
e2 kC[0;1]
"g;
qk )(qk2 (1 + [2]qk ) + [3]qk )
qk [2]qk [3]qk
1
"
g;
K2 := fk :
[k + 1]qk
3M
1
"
K3 := fk :
g
2
[k + 1]qk
3M
K1 := fk :
(1
kümelerini tan¬mlayal¬m. Burada K
fk
n : kBn (e2 ; qk ; :)
e2 kC[0;1]
+ fk
1
[k + 1]qk
n:
"
g;
3
K1 [ K2 [ K3 oldu¼
gu görülür. Dolay¬s¬yla,
"g
fk
n:
"
g + fk
3M
qk )(qk2 (1 + [2]qk ) + [3]qk )
qk [2]qk [3]qk
1
"
n:
g
2
[k + 1]qk
3M
(1
"
g
3
yazabiliriz. (4.1) den yukar¬daki eşitsizli¼
gin sa¼
g taraf¬n¬n s¬f¬r oldu¼
gunu elde ederiz.
O halde
fk
n : kBn (e2 ; qk ; :)
e2 kC[0;1]
"g = 0
ve böylece,
st
lim kBn (e2 ; qn ; :)
n
36
e2 kC[0;1] = 0
elde edilir. Sonuç olarak i = 0; 1; 2 için
st
lim kBn (ei ; qn ; :)
n
ei kC[0;1] = 0
olup, Teorem 4.1.1’den ispat tamamlan¬r.
4.5 I·kinci tip q-Bernstein-Kantorovich Operatörünün I·statistiksel
Yaklaş¬m H¬z¬
Bu bölümde (4.10) ile tan¬mlad¬g¼¬m¬z ikinci tip q-Bernstein-Kantorovich operatörünün
istatistiksel yaklaş¬m h¬z¬n¬ süreklilik modülü ve Lipschitz s¬n¬f¬ndan fonksiyonlar
yard¬m¬yla inceleyece¼
giz. Bu incelemeyi yaparken Bn (f ; q; x) operatörünün 1. ve 2.
merkezi momentlerine ihtiyaç duyaca¼
g¬m¬zdan, öncelikle bu ifadeleri verelim. (4.14)
ve (4.15) eşitliklerinden, 1. ve 2. merkezi momentler s¬ras¬yla
Bn ((e1
Bn ((e1
2q [n]
1
1
1 x+
[2] [n + 1]
[2] [n + 1]
2
4
q
3q [n][n 1] 4q [n]
x)2 ; q; x) = ( +
)
+ 1 x2
2
[2] [2][3] [n + 1]
[2] [n + 1]
2
3[3] + q(1 + [2])
[n]
1
1
1
+ q
x+
2
[2][3]
[n + 1]
[2] [n + 1]
[3] [n + 1]2
x); q; x) =
(4.18)
(4.19)
olarak elde edilir.
4.5.1 Süreklilik modülü yard¬m¬yla istatistiksel yaklaş¬m h¬z¬n¬n
incelenmesi
Aşa¼
g¬daki teoremde (2.8) ile tan¬mlanan süreklilik modülü yard¬m¬yla Bn (f ; q; x)
operatörünün f (x) fonksiyonuna yaklaş¬m h¬z¬istatistiksel olarak de¼
gerlendirilmiştir.
Teorem 4.5.1. q := (qn ) dizisi 0 < qn < 1 olmak üzere (4.1) ile verilen koşullar¬
sa¼
glas¬n. Bu taktirde, her f 2 C[0; 1] için,
kBn (f ; qn ; :)
f (:)kC[0;1]
37
2w(f ;
n)
sa¼
glan¬r. Burada
n
=
s
2qn [n]
[2] [n + 1]
2
1
+
1
1
+
[n + 1] [n + 1]2
(4.20)
dir.
I·spat. f 2 C[0; 1] olsun. Bn (f ; q; x) operatörünün lineerlik ve monotonluk özelli¼
ginden dolay¬,
jBn (f ; q; x)
f (x)j
Bn (jf (t)
f (x)j; q; x)
Z [k+1]=[n+1]
n
X
=
rn;k;q (x)
jf (t)
!
f (x)jdR
qt
[k]=[n+1]
k=0
yazabiliriz. Burada
rn;k;q (x) = [n + 1]q
n k 1
n k Y
x
(1
k
s=0
k
q s x)
dir. Riemann-tipli q-integralin monotonlu¼
gundan ve süreklilik modülünün 7. özelli¼
ginden
jBn (f ; q; x)
f (x)j
n
X
k=0
rn;k;q (x)
(
= w(f; ) 1 +
Z
[k+1]=[n+1]
1+
jt
xj
!
w(f; )dR
qt
[k]=[n+1]
1X
n
k=0
rn;k;q (x)
Z
[k+1]=[n+1]
[k]=[n+1]
jt
!)
xj dR
qt
yazar¬z. Şimdi yukar¬da buldu¼
gumuz eşitsizlikteki q-integralde, q-Cauchy-Schwarz
38
eşitsizli¼
gini uygularsak,
jBn (f ; q; x)
8
Z [k+1]=[n+1]
n
<
1X
f (x)j w(f; ) 1 +
rn;k;q (x)
(t
:
[k]=[n+1]
k=0
!1=2 9
Z [k+1]=[n+1]
=
dR
t
q
;
[k]=[n+1]
8
Z [k+1]=[n+1]
n
<
1X
(t
rn;k;q (x)
= w(f; ) 1 +
:
[k]=[n+1]
k=0
!1=2 9
Z [k+1]=[n+1]
=
R
dq t
rn;k;q (x)
;
[k]=[n+1]
!1=2
x)2 dR
qt
!1=2
x)2 dR
qt
elde ederiz. Toplam için olan klasik Cauchy-Schwarz eşitsizli¼
gini tekrar uygulayarak
jBn (f ; q; x)
8
<
1
w(f; ) 1 +
:
f (x)j
n
X
n
X
rn;k;q (x)
8
<
1
= w(f; ) 1 +
:
jBn (f ; q; x)
f (x)j
qk
[n + 1]
n
X
(t
!1=2 9
=
rn;k;q (x)
;
Z
[k+1]=[n+1]
(t
[k]=[n+1]
k=0
1
w(f; ) 1 + Bn ((e1
elde edilir. Şimdi (4.19) ile verilen Bn ((e1
!1=2
[k+1]=[n+1]
x)2 dR
qt
[k]=[n+1]
k=0
k=0
di¼
ger bir ifadeyle
rn;k;q (x)
Z
!1=2 9
=
x)2 dR
t
;
q
;
x)2 ; q; x)1=2
(4.21)
x)2 ; q; x) ifadesini ele alal¬m. Öncelikle
x2 li terimin katsay¬s¬n¬A ile gösterelim.
A :=
3q 4
q2
+
[2] [2][3]
[n][n 1]
[n + 1]2
4q [n]
+ 1:
[2] [n + 1]
E¼
ger
q2
3q 4
+
[2] [2][3]
39
4q 2
([2])2
(4.22)
oldu¼
gunu gösterebilirsek, [n
1] < [n] eşitsizli¼
gini de kullanarak,
A
2
2q [n]
[2] [n + 1]
1
yazabilece¼
giz. Şimdi (4.22) ifadesinin do¼
gru olmad¬g¼¬n¬varsayal¬m. Yani,
3q 4
4q 2
q2
+
>
[2] [2][3]
([2])2
olsun. Buradan,
4q 5 + q 4
2q 3
3q 2 > 0
elde edilir. Fakat, 0 < q < 1 oldu¼
gundan,
4q 5 + q 4
2q 3
3q 2 = q 2 (q
1)(4q 2 + 5q + 3) < 0
d¬r. Dolay¬s¬yla varsay¬m¬m¬z do¼
gru olmay¬p, 0 < q < 1 için (4.22) eşitsizli¼
gi sa¼
glan¬r.
Böylece
4q 2
[n]2
([2])2 [n + 1]2
A
=
4q [n]
+1
[2] [n + 1]
2
2q [n]
[2] [n + 1]
1
yazabiliriz.
Şimdi (4.19) ifadesinde x’li terimin katsay¬s¬n¬B ile gösterirsek,
B = q
=
3[3] + q(1 + [2])
[n]
2
1
2
[2][3]
[n + 1]
[2] [n + 1]
2
3q[3] + q (1 + [2])
2
1
[2][3]
[2] [n + 1]
2
3q[3] + q (1 + [2]) 2[3]
1
[2][3]
[n + 1]
40
(4.23)
yazabiliriz. Burada parantez içindeki ifadeyi aç¬k bir şekilde yazarsak, 0 < q < 1 için
3q[3] + q 2 (1 + [2])
2)(1 + q + q 2 ) + q 2 (2 + q)
2[3] = (3q
= 4q 3 + 3q 2 + q
2
= (q 3 + 2q 2 + 2q + 1) + (3q 3 + q 2
= [2][3] + (q
q
3)
1)(3[3] + q)
[2][3]
elde edilir. Böylece
B
1
[n + 1]
(4.24)
bulunur. Dolay¬s¬yla (4.23) ve (4.24) eşitsizliklerinden Bn (f ; q; x) operatörünün 2.
momenti için
Bn ((e1
x)2 ; q; x)
2
2q [n]
[2] [n + 1]
x2 +
1
1
1
x+
[n + 1]
[n + 1]2
yazabiliriz. Buldu¼
gumuz son ifadeyi (4.21) eşitsizli¼
ginde yerine koyup, q yerine
(4.1) koşullar¬n¬sa¼
glayan bir (qn ) dizisi seçelim. x 2 [0; 1] aral¬g¼¬nda her iki taraf¬n
maksimumunu al¬rsak,
kBn (f ; qn ; x) f (x)kC[0;1]
8
"
<
1
2qn [n]qn
w(f; ) 1 +
:
[2]qn [n + 1]qn
elde ederiz.
:=
n ’i
2
1
+
1
1
+
[n + 1]qn [n + 1]2qn
#1=2 9
=
;
(4.20) de verilen şekilde seçti¼
gimizde ispat tamamlan¬r.
4.5.2 Lipschitz s¬n¬f¬ndan fonksiyonlar yard¬m¬yla yaklaş¬m h¬z¬n¬n
incelenmesi
Bu k¬s¬mda, çal¬şt¬g¼¬m¬z f fonksiyonlar¬n¬ Lipschitz s¬n¬f¬ndan seçerek, Bn (f ; q; x)
operatörünün yak¬nsakl¬k h¬z¬n¬hesaplayal¬m.
Teorem 4.5.2. f 2 LipM ( ) olsun. q := (qn ) dizisi 0 < qn < 1 olmak üzere (4.1)
41
ile verilen koşullar¬sa¼
glas¬n. Bu durumda,
jjBn (f ; qn ; x)
(4.20) ile verilmek üzere,
n
f (x)jjC[0;1]
M
n
eşitsizli¼
gi sa¼
glan¬r.
I·spat. 0 <
1 olmak üzere f 2 LipM ( ) olsun. Bn operatörünün lineer ve
monoton olmas¬ndan dolay¬,
jBn (f ; q; x)
f (x)j
Bn (jf (t)
f (x)j; q; x)
Z [k+1]=[n+1]
n
X
=
jf (t)
rn;k;q (x)
f (x)jdR
qt
[k]=[n+1]
k=0
yazar¬z. f 2 LipM ( ) oldu¼
gundan,
jBn (f ; q; x)
f (x)j
n
X
M
rn;k;q (x)
2
[k+1]=[n+1]
ve q =
2
xj dR
qt
jt
[k]=[n+1]
k=0
dir. Eşitsizlikteki q-integrale p =
Z
(4.25)
alarak, q-Hölder eşitsizli¼
gini uygu-
2
larsak,
Z
Z
[k+1]=[n+1]
[k]=[n+1]
jt
xj
dR
qt
!
[k+1]=[n+1]
(t
x)2 dR
qt
[k]=[n+1]
=
(2
qk
[n + 1]
=2
Z
)=2
Z
!(2
[k+1]=[n+1]
dR
qt
[k]=[n+1]
!
[k+1]=[n+1]
=2
x)2 dR
qt
(t
[k]=[n+1]
elde ederiz. Buldu¼
gumuz bu eşitsizli¼
gi (4.25) de yerine yazarsak,
jBn (f ; q; x)
f (x)j
M
n
X
k=0
rn;k;q (x)
n k 1
n k Y
x
(1
k
s=0
Z
[k+1]=[n+1]
[k]=[n+1]
42
(t
s
!(2
)=2
q x)
!
x)2 dR
qt
=2
)=2
elde edilir. Hölder eşitsizli¼
gini bir kere daha uygulad¬g¼¬m¬zda
jBn (f ; q; x)
f (x)j
n k 1
n
X
n k Y
(1
x
k
s=0
k=0
M
n
X
rn;k;q (x)
Z
s
!(2
q x)
[k+1]=[n+1]
(t
= M Bn ((s
!
=2
x)2 dR
qt
[k]=[n+1]
k=0
)=2
=2
x)2 ; q; x)
(4.26)
sonucunu buluruz. Bir önceki teoremin ispat¬nda oldu¼
gu gibi (4.26) ifadesinde her
iki taraf¬n x 2 [0; 1] aral¬g¼¬nda maksimumunu al¬rsak,
jjBn (f ; qn ; x)
f (x)jjC[0;1]
M
n
elde edilir.
Not: Teorem 4.5.1 ve Teorem 4.5.2 de (4.1) ile verilen koşullar gözönüne al¬nd¬g¼¬nda
st
lim
n!1
n
= 0 oldu¼
gunu görürüz. Bu ise süreklilik modülünün (2.9) ile verilen
özelli¼
ginden st
lim w(f ;
n!1
n)
= 0 oldu¼
gunu garantiler. Dolay¬s¬yla yukar¬daki
teoremler Bn (f ; qn ; x) operatörünün f fonksiyonuna yaklaşma h¬z¬n¬vermektedir.
Örnek: Teorem 4.5.1 ve Teorem 4.5.2’de bahsetti¼
gimiz qn dizisini
qn =
8
<
1
5
: 1
n = m2 ise,
1
n
n 6= m2 ise
olarak seçersek, 0 < qn < 1 oldu¼
gunu ve (4.1) ile verilen koşullar¬sa¼
glad¬g¼¬n¬görürüz.
Bu bölümün son k¬sm¬nda yukar¬da yapt¬g¼¬m¬z incelemeleri Meyer-König ve Zeller
operatörlerinin q-tipli bir genelleşmesi için yapaca¼
g¬z. Bunun için öncelikle q-MKZ
operatörleri ile ilgili baz¬hat¬rlatmalar yapal¬m, daha sonra da bu operatörlerin Kantorovich tipli genelleşmesini tan¬mlay¬p yaklaş¬m özelliklerini inceleyelim.
43
4.6 q-MKZ-Kantorovich Operatörü ve Yaklaş¬m Özellikleri
I·lk defa 1960 y¬l¬nda Meyer-König ve Zeller taraf¬ndan oluşturulan
Mn (f ; x) =
1
X
k+n k
x (1
k
k
k+n+1
f
k=0
x)n+1 ;
0
x<1
operatörü, monotonluk özelliklerinin incelenebilmesi amac¬yla Cheney ve Sharma
(1964) taraf¬ndan yeniden tan¬mlanm¬şt¬r. Bernstein kuvvet serisi olarak da adland¬r¬lan bu operatör
Mn (f ; x) =
1
X
f
k=0
ile verilmiştir.
k
k+n
k+n k
x (1
k
x)n+1 ;
0
x<1
MKZ operatörleriyle ilgili literatürde birçok çal¬şma yap¬lm¬şt¬r.
Do¼
gru (1997), MKZ operatörlerinin genelleşmiş şeklini tan¬mlam¬ş ve yaklaş¬m özelliklerini incelemiştir. Daha sonra bu genelleştirilmiş operatörlerin Kantorovich tipli
bir genelleşmesi ise Do¼
gru ve Özalp (2001) taraf¬ndan aşa¼
g¬daki şekilde verilmiştir.
A, (0; 1) aras¬nda bir reel say¬olmak üzere ('n ) dizisi aşa¼
g¬daki özellikleri sa¼
glas¬n:
i:
f'n g dizisi B = fz 2 C : jzj
Ag diskini kapsayan bir D bölgesinde
analitik olsun.
ii:
'0n (x) = 'n (x) > 0
iii:
'n (x) =
(k)
dk
' (x)
dxk n
olmak üzere ve
ln;k = o( n1 ); ln;k
n
ve ln;k say¬dizileri
0;
n
= 1 + o( n1 );
n
1
özelliklerini sa¼
glamak üzere
(k)
'n (x) =
+ n)(1 + ln;k )'kn 1 (x),
n (k
k = 1; 2; :::
ba¼
g¬nt¬s¬sa¼
glans¬n.
Bu durumda, 0 <
n;k
1 ve f , (0; 1) de integrallenebilir bir fonksiyon olmak üzere,
Kantorovich tipli MKZ operatörü
1 X 1
Mn (f ; x) =
'n (x) k=0 n;k
1
Z
k
44
k+
n;k
f(
k+n
)d 'kn (0)
xk
k!
şeklinde oluşturulmuştur. Bu çal¬şmada operatörün yaklaş¬m özellikleri ve h¬z¬ayr¬nt¬l¬bir biçimde incelenmiştir.
MKZ operatörlerinin q-tipli genelleşmesi ise ilk defa Trif (2000) taraf¬ndan verilmiştir.
Mn;q : C[0; 1] ! C[0; 1] olmak üzere q-MKZ operatörü
Mn;q (f ; x) = un;q (x)
1
X
f
k=0
[k]
[k + n]
n
Y
un;q (x) =
(1
k+n k
x ;
k
(4.27)
q j x)
j=0
ile tan¬mlanm¬şt¬r. Bu operatör için momentler
Mn;q (1; x) = 1
(4.28)
Mn;q (e1 ; x) = x
0
Mn;q (e2 ; x)
x2
(q
1)x2 +
x
[n]
olarak elde edilmiş ve operatörün yaklaş¬m özellikleri ve yaklaş¬m h¬z¬incelenmiştir.
Daha sonra Do¼
gru ve Duman (2006) q-MKZ operatörlerinin yeni bir genelleşmesini
f 2 C[0; a], a 2 (0; 1) ve q 2 (0; 1] olmak üzere,
Mn (f ; q; x) = un;q (x)
1
X
f
k=0
q n [k]
[k + n]
k+n k
x
k
ile vermişlerdir. Bu çal¬şmada Mn (f; q; x) operatörünün her f 2 C[0; a] fonksiyonuna
istatistiksel olarak düzgün yak¬nsad¬g¼¬gösterilmiştir. Ayr¬ca, Trif’in verdi¼
gi operatör
için 2.moment aç¬kça ifade edilemedi¼
gi halde Do¼
gru ve Duman’¬n verdi¼
gi operatör
için f ’in içerisinde yer alan q n ifadesi yard¬m¬yla Mn (
t
1 t
; q; x), ( = 0; 1; 2) mo-
mentleri aç¬kça elde edilebilmiştir.
Şimdi Trif’in (4.27) ile tan¬mlad¬g¼¬q-MKZ operatörünün Kantorovich tipli bir genelleşmesini,
45
f , (0; 1)de qR-integrallenebilir bir fonksiyon olmak üzere, n 2 N, q 2 (0; 1) için
1
X
k+n
Mn (f ; q; x) = un;q (x)
k
k=0
x
q
k
Z
[k+1]
f(
[k]
t
)dR t
[k + n] q
(4.29)
operatörü ile tan¬mlayal¬m (Dalmano¼
glu ve Do¼
gru 2010). Burada,
n
Y
un;q (x) =
(1
q s x)
s=0
dir.
Not: Riemann-tipli q-integralin 1. özelli¼
ginden dolay¬(4.29) ile verilen Kantorovich
tipli q-MKZ operatörü lineer ve pozitif bir operatördür.
Daha önceki bölümlerde oldu¼
gu gibi (4.29) operatörünün düzgün yak¬nsakl¬g¼¬na
geçmeden önce aşa¼
g¬daki lemmalar¬verelim.
Lemma 4.6.1. Mn (f ; q; x) operatörü için
(4.30)
Mn (e0 ; q; x) = 1
dir.
I·spat.
Z
[k+1]
k
dR
gundan sonuç aç¬kt¬r.
q t = q oldu¼
[k]
Lemma 4.6.2. Mn (f ; q; x) operatörü için
0
Mn (e1 ; q; x)
1 1
[2] [n]
x
(4.31)
eşitsizli¼
gi sa¼
glan¬r.
I·spat.
1
X
k+n
Mn (e1 ; q; x) = un;q (x)
k
k=0
46
x
q
k
Z
[k+1]
[k]
t
dR t
[k + n] q
ifadesindeki q-integral hesaplan¬rsa,
Z
[k+1]
[k]
t
[k] k q 2k 1
dR
t
=
q +
[k + n] q
[k + n]
[2] [k + n]
bulunur. Bu eşitli¼
gi yukar¬daki ifadede yerine koyarsak,
Mn (e1 ; q; x)
1
X
k+n
[k]
x = un;q (x)
xk
k
[k
+
n]
k=0
x
1
X
k+n
1
1
q k xk
+ un;q (x)
[2]
k
[k
+
n]
k=0
elde ederiz. 0 < q < 1 için q k < 1 ve [k + n]
Mn (e1 ; q; x)
x
(4.32)
[n] oldu¼
gundan
1
X
1 1
k+n k
x+
un;q (x)
x
[2] [n]
k
k=0
Mn;q (e1 ; x)
yazabiliriz. Trif’in elde etti¼
gi ve (4.28) ile verdi¼
gimiz eşitlikten
Mn (e1 ; q; x)
x
1 1
[2] [n]
0 oldu¼
gu aşikard¬r. Dolay¬s¬yla
sonucunu buluruz. (4.32) eşitli¼
ginden Mn (e1 ; q; x) x
Lemma 4.6.2’nin ispat¬tamamlan¬r.
Lemma 4.6.3. Mn (f ; q; x) operatörü için
0
Mn (e2 ; q; x)
x2
Mn;q (e2 ; x)
x2 +
2 1
1 1
Mn;q (e1 ; x) +
[2] [n]
[3] [n]2
eşitsizli¼
gi sa¼
glan¬r.
I·spat.
1
X
k+n
Mn (e2 ; q; x) = un;q (x)
k
k=0
47
x
q
k
Z
[k+1]
[k]
t2
dR t
[k + n]2 q
(4.33)
ifadesindeki q-integrali hesaplay¬p, gerekli sadeleştirmeleri yaparsak,
Mn (e2 ; q; x) = un;q (x)
1
X
k+n
[k]2
xk
2
k
[k
+
n]
k=0
1
1
X
X
k+n
[k]
k+n
1
2
1
k k
+ un;q (x)
q x + un;q (x)
q 2k xk
2
2
[2]
k
[k
+
n]
[3]
k
[k
+
n]
k=0
k=0
eşitli¼
gini elde ederiz. Buna göre,
Mn (e2 ; q; x)
2
x = Mn;q (e2 ; x)
+
1
X
k+n
[k]
2
x + un;q (x)
q k xk
2
[2]
k
[k
+
n]
k=0
2
1
X
1
k+n
1
un;q (x)
q 2k xk
2
[3]
k
[k + n]
k=0
(4.34)
yazabiliriz. Şimdi
1
qk
<
[k + n]
[n]
0 < q < 1;
k = 0; 1; 2; :::
eşitsizli¼
ginden yararlanarak
Mn (e2 ; q; x)
x
2
Mn;q (e2 ; x)
+
1
X
k+n
[k] 1 k
2
x
x + un;q (x)
[2]
k
[k + n] [n]
k=0
2
1
X
k+n 1 k
1
un;q (x)
x
2
k
[3]
[n]
k=0
yazar¬z. Dolay¬s¬yla,
Mn (e2 ; q; x)
x2
Mn;q (e2 ; x)
elde edilir. Ayr¬ca Mn;q (e2 ; x)
x2 +
2 1
1 1
Mn;q (e1 ; x) +
[2] [n]
[3] [n]2
x2 > 0 oldu¼
gundan (4.34) eşitli¼
ginden
Mn (e2 ; q; x)
x2
0
oldu¼
gu kolayca görülür ve Lemma 4.6.3’ün ispat¬tamamlan¬r.
Teorem 4.6.1. q := (qn ) dizisi 0 < qn < 1 olmak üzere (4.1) ile verilen koşullar¬
48
sa¼
glas¬n. Bu taktirde, her f 2 C[0; a], 0 < a < 1, için (4.29) operatörü
st
lim kMn (f ; qn ; :)
n
f (:)kC[0;a] = 0
eşitli¼
gini sa¼
glar.
I·spat. E¼
ger i = 0; 1; 2 için
st
lim kMn (ei ; qn ; :)
n
ei kC[0;a] = 0
oldu¼
gunu gösterebilirsek, Teorem 4.4.1’den ispat tamamlan¬r.
i = 0 için Lemma 4.6.1’den
st
lim kMn (e0 ; qn ; :)
n
e0 kC[0;a] = 0
(4.35)
1
1
[2]qn [n]qn
(4.36)
oldu¼
gu aç¬kt¬r. Lemma 4.6.2’den i = 1 için
kMn (e1 ; qn ; x)
e1 kC[0;a]
yazar¬z. Verilen bir " > 0 için
T := fk : kMn (e1 ; qk ; :)
T1 := fk :
e1 kC[0;a]
1
1
[2]qk [k]qk
kümelerini tan¬mlayal¬m. (4.36) den dolay¬T
"g;
"g
T1 oldu¼
gu görülür. Böylece fT g
fT1 g yazabiliriz. (4.1) koşullar¬ndan fT1 g = 0 oldu¼
gu aç¬kt¬r. Dolay¬s¬yla,
st
lim kMn (e1 ; qn ; :)
n
elde edilir.
49
e1 kC[0;a] = 0
(4.37)
Son olarak, Lemma 4.6.3’ten, i = 2 için,
kMn (e2 ; qn ; :)
e2 kC[0;a]
kMn;qn (e2 ; :)
+
e2 kC[0;a] +
2
1
kMn;qn (e1 ; :)kC[0;a]
[2]qn [n]qn
1
1
[3]qn [n]2qn
kMn;qn (e2 ; :)
e2 kC[0;a] + 2
1
1
kMn;qn (e1 ; :)kC[0;a] + 2
[n]qn
[n]qn
(4.38)
yazabiliriz. Benzer şekilde verilen bir " > 0 için
K := fk : kMk (e2 ; qk ; :)
e2 kC[0;a]
K1 := fk : kMk;qk (e2 ; :)
e2 kC[0;a]
1
kMk;qk (e1 ; :)kC[0;a]
[k]q
1
K3 := fk : 2
g
[k]q
6
K2 := fk :
kümelerini tan¬mlarsak, (4.38)’den dolay¬K
g;
3
6
g
g
K1 [ K2 [ K3 ’dir. Dolay¬s¬yla bu-
radan,
fKg
fK1 g + fK2 g + fK3 g
(4.39)
1
kMn;qn (e1 ; :)kC[0;a] =
[n]q
= 0 oldu¼
gu kolayl¬kla görülür. Dolay¬s¬yla (4.39)
yazabiliriz. (4.1) koşullar¬gözönüne al¬narak (4.28)’den st lim
n
0 ve st lim kMn;qn (e2 ; x) e2 kC[0;a]
n
eşitsizli¼
ginin sa¼
g taraf¬s¬f¬r olur ve buradan
st
lim kMn (e2 ; qn ; :)
n
e2 kC[0;a] = 0
(4.40)
sonucuna ulaş¬l¬r. (4.35), (4.37) ve (4.40) eşitliklerinden Teorem 4.6.1’in ispat¬tamamlan¬r.
Mn (f ; q; x) operatörü için istatistiksel yaklaş¬m h¬z¬ile ilgili teoremi vermeden önce
bu operatörün 2. merkezi momentini inceleyelim.
Mn ((e1
x)2 ; q; x) = Mn (e2 ; q; x)
50
x2
2x(Mn (e1 ; q; x)
x)
kMn ((e1
x)2 ; q; :)kC[0;a]
kMn (e2 ; q; :)
e2 kC[0;a] + 2kxkkMn (e1 ; q; x)
e1 kC[0;a]
Lemma 4.6.2 ve Lemma 4.6.3’ten
kMn ((e1
x)2 ; q; :)kC[0;a]
kMn;q (e2 ; :)
+
e2 kC[0;a] +
2 1
kMn;q (e1 ; :)kC[0;a]
[2]q [n]q
1 1
2a 1
+
2
[3]q [n]q [2]q [n]q
(4.41)
yazabiliriz. (4.28) ile verilen ifadelerden
kMn;q (e1 ; :)kC[0;a] = a
ve
kMn;q (e2 ; :)
e2 kC[0;a]
q)a2 +
(1
a
[n]q
oldu¼
gu aç¬kt¬r. Dolay¬s¬yla bu eşitsizliklerin (4.41) de kullan¬lmas¬yla
kMn ((e1
x)2 ; q; :)kC[0;a]
(1
q)a2 + a +
4a
[2]q
1
1 1
+
[n]q [3]q [n]2q
(4.42)
elde ederiz.
Aşa¼
g¬daki teorem Mn (f ; q; x) operatörünün f (x) fonksiyonuna yaklaş¬m h¬z¬n¬süreklilik
modülü yard¬m¬ile vermektedir.
Teorem 4.6.2. q := (qn ) dizisi 0 < qn < 1 olmak üzere (4.1) ile verilen koşullar¬
sa¼
glas¬n. Bu taktirde, her f 2 C[0; a] için,
kMn (f ; qn ; :)
f (:)kC[0;a]
2w(f ;
n)
sa¼
glan¬r. Burada
n
=
s
(1
qn )a2 + a +
dir.
51
4a
[2]qn
1
1
1
+
[n]qn [3]qn [n]2qn
(4.43)
I·spat. f 2 C[0; a] olsun. Teorem 4.5.1’in ispat¬ndaki teknikten yararlanarak, 8n 2
N ve x 2 [0; a] için
jMn (f ; q; x)
f (x)j
1
w(f; )f1 + (Mn ((t
x)2 ; q; x))1=2 g
eşitsizli¼
gi elde edilir. q yerine (4.1) koşullar¬n¬sa¼
glayacak şekilde bir (qn ) dizisi seçip,
her iki taraf¬n [0; a] da maksimumunu al¬rsak; (4.42) den
kMn (f ; qn ; :) f kC[0;a]
bulunur ve son olarak
(
w(f; ) 1 +
n ’i
1
(1
4a
qn )a2 + a +
[2]qn
1
1
1
+
[n]qn [3]qn [n]2qn
(4.43) ile verilen şekilde seçersek,
kMn (f ; qn ; :)
f kC[0;a]
2w(f;
n)
elde edilir ve ispat tamamlan¬r.
(qn ) dizisi (4.1) ile verilen koşullar¬ sa¼
glad¬g¼¬nda st
st
lim w(f;
n
n)
lim
n
n
= 0 ve dolay¬s¬yla
= 0 olur ki bu da bize Mn (f ; qn ; :) operatörünün f fonksiyonuna
istatistiksel olarak düzgün yak¬nsad¬g¼¬n¬gösterir.
52
1=2
)
KAYNAKLAR
Andrews, G. E., Askey, R. and Roy, R. 1999. Special Functions, Cambridge University Press.
Altomare, F. and Campiti, M. 1994. Korovkin-Type Approximation Theory and
its Applications. De Gruyter Series Studies in Mathematics, Vol. 17, Walter de Gruyter, Berlin-New York.
Bernstein, S. N. 1912. Démonstration du théorem de Weierstrass fondée sur le calculu des probabilités. Comp.Comm. Soc. Mat. Charkow Sér., 13 (2); 1-2.
Bohman, H. 1951. On approximation of continuous and analytic functions. Arkif
für Math., 2 (3); 43-56.
Brahim, K. 2008. On some q-integral inequalities. J. Inequal. Pure and Appl. Math.,
9 (4), Art. 106, 6pp.
Cheney, E.W. and Sharma, A. 1964. Bernstein power series, Can. J. Math., 16,
241-253.
Dalmanog̃lu, Ö. 2007. Approximation by Kantorovich type q-Bernstein operators,
Proceedings of the12th WSEAS International Conference on Applied Mathematics, Cairo, Egypt, 113-117.
Dalmano¼
glu, Ö. and Do¼
gru, O. 2010. Statistical Approximation Properties of Kantorovich type q-MKZ operators, Creative Math. & Inf., 19, No.1; 15-24.
Dalmano¼
glu, Ö. and Do¼
gru, O. 2010. On Statistical Approximation Properties
of Kantorovich type q-Bernstein operators, Math. Comput. Modelling,
doi:10.16/j.mcm.2010.05.005.
Derriennic, M. M. 2005. Modi…ed Bernstein polynomials and Jacobi Polynomials in
q-calculus. Rend. Circ. Mat. Palermo, Serie 2 (Suppl. 76), 269-290.
Derriennic, M. M. 1981. Sur l’approximation de fonctions intégrable su [0; 1] par des
polynomes de Bernstein modi…ers. J. Approx. Theory, 31, 325-343.
Dog̃ru, O. 1997. Approximation order and Asymptotic Approximation for Gener
alized Meyer-König and Zeller Operators. Math. Balkanica, Vol.12, Fasc.
3-4; 359-368.
Dog̃ru, O. and Özalp, N. 2001. Approximation by Kantorovich Type Generalization
of Meyer-König and Zeller Operators. Glasn. Mat., 36, 311–318.
53
Dog̃ru, O. and Duman, O. 2006. Statistical approximation of Meyer-König and Zeller
operators based on q integers. Publ. Math. Debrecen, 68/ 1-2, 199-214.
Dog̃ru, O., Duman, O. and Orhan, C. 2003. Statistical approximation by generalized
Meyer-König and Zeller type operators. Stud. Sci. Math. Hun., 40, 359371.
Durrmeyer, J. L. 1967. Une formule d’inversion de la transformeé de Laplace: Applications ā la theorie des moments, Thése de 3e cycle, Facultié des Sciences
de l’Université de Paris.
Fast, H. 1951. Sur la convergence statistique. Colloq. Math Studia Mathematica,
2, 241-244.
Fitouhi, A. and Brahim K. 2008. Some inequalities for the q-beta and q-gamma
functions via some q-integral inequalities. Applied Mathematics and Com
putation, 204; 385-394.
Gadjiev, A. D. and Orhan, C. 2002. Some approximation theorems via statistical
convergence. Rocky Mountain J. Math., 32 (1); 129-138.
Gauchman, H. 2004. Integral Inequalities in q-Calculus. Comp. and Math. with
Applications, 47, 281-300.
Gupta, V. 2008. Some approximation properties of q-Durrmeyer operators. Applied
Mathematics and Computation,197; 172–178.
Gupta, V. and Heping, W. 2008. The rate of convergence of q-Durrmeyer operators
for 0 < q < 1. Math. Meth. in the App. Sci., 31 (16); 1946-1955.
Gupta, V. and Finta, Z. 2009. On certain q-Durrmeyer type operators. App. Math.
and Comp., 209 (2); 415-420
Il’inskii, A. and Ostrovska, S. 2002. Convergence of Generalized Bernstein Polyno
mials. Journal of App. The., 123, 100-112.
Kac, V. and Cheung, P. 1953. Quantum Calculus. Springer–Verlag, Newyork–
Berlin–Heidelberg.
Kantorovich, L.V. 1930. Sur certains developpements suivant les polynomesde la
forme de S. Bernstein, I,II, C.R. Acad. USSR; 563-568, 595-600.
Korovkin, P. P. 1953. On convergence of linear positive operators in the space of
continuous functions. Doklady Akademii Nauk SSSR. 90; 961-964.
54
Lorentz, G.G. 1953. Bernstein Polynomials, University of Toronto Press, Toronto.
Lupaş, A. 1987. A q-analogue of the Bernstein operator. University of Cluj-Napoca,
Seminar on Numerical and Statistical Calculus, No:9.
Marinković ,S., Rajković, P. and Stanković, M. 2008. The inequalities for some types
of q-integrals. Comp. and Math. with Applications, 56; 2490-2498.
Meyer-König, W., Zeller K. 1960. Bernsteinsche potenzreihen. Studia Math, 19,
89-94.
Niven, I., Zuckerman, H. S. and Montgomery H. 1991. An Introduction to the Theory of numbers. Wiley, New York.
Ostrovska, S. 2006. On the Lupaş q-analogue of the Bernstein operator. Rocky
Mountain Journal of Mathematics, 36 (5); 1615-1629.
Ostrovska, S. 2003. q-Bernstein polynomials and their Iterates. Journal of Approx.
The., 123; 232-255.
Ostrovska, S. 2007. The …rst decade of the q-Bernstein polynomials: results and
perspectives, Journal of Math. Anal. and Approx. The., 2 (1); 35-51.
Özarslan, M. A., Duman, O. and Srivastava, H. M. 2008. Statistical Approximation
Results for Kantorovich-type operators involving some special polynomials,
Math. and Comp. Modelling, 48, 3-4, 388-401.
Phillips, G. M. 1997. Bernstein Polynomials based on q-integers. Ann. Numer.
Math., 4; 511–518.
Phillips, G. M. 2003. Interpolation and Approximation by Polynomials. Springer,
Berlin.d Liquids. 4th Edition, McGraw-Hill Book Company.
Radu, C. 2008. Statistical approximation properties of Kantorovich operators based
on q integers. Creative Math.& Inf.,17, No:2; 75-84.
Rajković, P., Stanković, M. and Marinković, S. 2008. Mean value theorems in qcalculus. Matematicki Vesnik, 54, No:3-4; 171-178.
Trif, T. 2000. Meyer-König and Zeller operators based on the q integers. Rev.
Anal. Numér. Théor. Approx., 29 (2), 221-229.
Videnskii, V. S. 2005. On some Classes of q parametric Positive Linear Operators.
Operator Theory: Advances and Applications, 158, 213-222.
Weierstrass, K. 1885. Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willküricher
55
Funktionen einer reellen Veranderlichen . Sitzungsberichte der Akademie
zu Berlin, 633-639, 789-805.
56
ÖZGEÇMI·Ş
Ad¬Soyad¬
¼
: Özge (ÖZER) DALMANOGLU
Do¼
gum Yeri
: Ankara
Do¼
gum Tarihi : 13.10.1980
Medeni Hali
: Evli
Yabanc¬Dili
: I·ngilizce
E¼
gitim Durumu (Kurum ve Y¬l)
Lise
: TED Ankara Koleji (1997)
Lisans
: Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü (2002)
Yüksek Lisans : Ortado¼
gu Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dal¬ (2005)
Çal¬şt¬g
¼¬Kurum ve Y¬l
Çankaya Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik-Bilgisayar Bölümü
Doktora Bursiyeri (2006
2009)
Yay¬nlar¬
Dalmano¼
glu, Ö. Approximation by Kantorovich type q-Bernstein operators.
Proceedings of the12th WSEAS International.Conference on Applied Mathemetics,
Cairo, Egypt (2007), 113-117.
Dalmano¼
glu, Ö. and Do¼
gru, O. Statistical Approximation Properties of
Kantorovich type q-MKZ operators. Creative Math. & Inf., 19,
No.1, (2010), 15-24.
Dalmano¼
glu, Ö. and Do¼
gru, O. On Statistical Approximation Properties of
Kantorovich type q-Bernstein operators, Mathematical and Computer Modelling
(2010), doi:10.1016/j.mcm.2010.05.005.
57