F4D09-67D08-7D0

DÜZCE ÜN·
IVERS·
ITES·
I
·
FEN-EDEBIYAT FAKÜLTES·
I
MATEMAT·
IK BÖLÜMÜ
2015-2016 BAHAR YARIYILI
·
DIFERANS·
IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV
8 Nisan 2016
Süre: 75 dakika
CEVAP ANAHTARI
1. (25p) Belirsiz katsay¬lar yöntemini kullanarak
d2 y
dx2
2
dy
+ y = xex
dx
diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözüm: Karakteristik denklem ve kökleri
m2
2m + 1 = 0 ) (m
1)2 = 0 () m1;2 = 1
dir. O halde,
yc = (c1 + c2 x) ex = c1 ex + c2 xex
olur. Burada, S = fxex ; ex g dir. Bu kümenin elemanlar¬ayn¬zamanda homojen denklemin iki özel
çözümü oldu¼
gundan, kümenin her eleman¬x2 ile çarp¬lmak zorundad¬r. Böylece, S = fx3 ex ; x2 ex g
olur. Buna göre,
yp = Ax3 ex + Bx2 ex
olur. Buradan,
yp0 = Ax3 ex + (3A + B) x2 ex + 2Bxex
ve
yp00 = Ax3 ex + (6A + B) x2 ex + (6A + 4B) xex + 2Bex
elde edilir. Sonuçlar verilen denklemde yerine yaz¬l¬rsa,
Ax3 ex + (6A + B) x2 ex + (6A + 4B) xex + 2Bex
2 Ax3 ex + (3A + B) x2 ex + 2Bxex + Ax3 ex + Bx2 ex = xex
bulunur. Polimom eşitli¼
gi yap¬larak,
elde edilir. Böylece,
8
x3 ex : A 2A + A = 0
1
>
< A=
2 x
x e : 6A + B 6A 2B + B = 0
6
)
xex : 6A + 4B 4B = 1
>
:
B=0
ex : 2B = 0
1
yp = xex
6
olur. Dolay¬s¬yla, verilen diferansiyel denklemin genel çözümü
1
y = yc + yp = (c1 + c2 x) ex + xex
6
dir.
2. (25p) Parametrelerin de¼
gişimi yöntemini kullanarak
d2 y
dy
60 + 900y = 5e10x
2
dx
dx
diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözüm: Karakteristik denklem ve kökleri
m2
30)2 = 0 () m1;2 = 30
60m + 900 = 0 ) (m
dir. O halde,
yc = (c1 + c2 x) e30x = c1 e30x + c2 xe30x
olur. Parametrelerin de¼
gişimi yöntemine göre,
yp = v1 (x) e30x + v2 (x) xe30x
yaz¬l¬r. Buradan,
yp0 = v10 (x) e30x + v20 (x) xe30x + 30v1 (x) e30x + v2 (x) (1 + 30x) e30x
|
{z
}
0
ve
yp00 = 30v10 (x) e30x + v20 (x) (1 + 30x) e30x + 900v1 (x) e30x + v2 (x) (31 + 30x) e30x
{z
}
|
5e10x
bulunur. Böylece,
8 0
< v1 (x) e30x + v20 (x) xe30x = 0
:
30v10 (x) e30x + v20 (x) (1 + 30x) e30x = 5e10x
denklem sistemi elde edilir. Bu sistemi çözmek içi Crammer Kural¬n¬kullanal¬m. Katsay¬lar determinant¬,
e30x
xe30x
= (1 + 30x) e60x 30xe60x = e60x
=
30x
30e
(1 + 30x) e30x
dir. Böylece,
v10
0
xe30x
10x
5e
(1 + 30x) e30x
(x) =
ve
e30x
0
30e30x 5e10x
v20 (x) =
=
=
0
5xe40x
=
e60x
5e40x 0
= 5e
e60x
5xe
20x
20x
elde edilir. Buradan,
Z
v1 (x) =
5
=
1
xe
20
5
1
= xe
4
xe
20x
20x
dx =
1
+
20
20x
+
1
e
80
Z
e
20x
ve
v2 (x) = 5
Z
e
e
20x
dx =
20x
20x
x = u ) dx = du
dx = dv ) v = ( 1=20) e
dx
1
= xe
4
1
+ c3 = e
4
5
e
20
20x
20x
20x
x+
+ c4 =
1
4
1
20
1
20
+ c3
1
e
4
20x
+ c4
20x
+ c3
bulunur. Sonuç olarak,
1
yp = v1 (x) e30x + v2 (x) xe30x = e
4
=
e10x
4
x+
20x
1
20
x+
xe10x
xe10x e10x
=
+
4
4
80
1
20
1
e
4
e30x +
20x
xe30x
xe10x
e10x
=
4
80
elde edilir. Dolay¬s¬yla, verilen diferansiyel denklemin genel çözümü
y = yc + yp = (c1 + c2 x) e30x +
e10x
80
dir.
3. (25p) Cauchy-Euler yöntemini kullanarak
d2 y
dy
4x + 6y = 0; y (2) = 0; y 0 (2) = 4
2
dx
dx
başlang¬ç-de¼
ger problemini çözünüz.
Çözüm: Cauchy-Euler denklemi x = et dönüşümü ile sabit katsay¬l¬lineer diferansiyel denkleme
indirgenir. Buradan,
x = et ) t = ln x; (x > 0)
x2
oldu¼
gundan,
1 dy
dy
=
dx
x dt
ve
d2 y
1
=
dx2
x2
d2 y
dt2
dy
dt
elde edilir. Yukar¬daki sonuçlar verilen denklemde yerine konulursa,
x2
1
x2
d2 y
dt2
dy
dt
d2 y
1 dy
+ 6y = 0 ) 2
x dt
dt
4x
5
dy
+ 6y = 0
dt
denklemi bulunur. Bu denklem için karakteristik denklem ve kökleri,
m2
5m + 6 = 0 ) (m
3) = 0 ) m1 = 2; m2 = 3
2) (m
d¬r. O halde,
y = c1 e2t + c2 e3t
olur. Dolay¬s¬yla, verilen diferansiyel denklemin genel çözümü
y = c1 x2 + c2 x3
olarak bulunur. y (2) = 0 ve y 0 (2) = 4 başlang¬ç-koşullar¬kullan¬larak,
4c1 + 8c2 = 0
)
4c1 + 12c2 = 4
c1 = 2
c2 = 1
elde edilir. O halde, verilen başlang¬ç-de¼
ger probleminin çözümü
y = x3
dir.
4. (25p) Kuvvet serileri yöntemini kullanarak
2x2
d2 y
dy
+y =0
+ (x + 2)
2
dx
dx
diferansiyel denkleminin genel çözümünü bulunuz.
Çözüm: Verilen diferansiyel denklem
(x + 3)
d2 y x + 2 dy
y
+
=0
+
2
dx
x + 3 dx x + 3
normalleştirilmiş formda yaz¬ld¬g¼¬nda, x = 0 noktas¬nda analitik oldu¼
gu görülür. O halde, x = 0
verilen diferansiyel denklemin bir adi noktas¬d¬r. Yani, verilen denklemi çözümleri,
y=
1
X
cn xn
n=0
formundad¬r. Buradan,
dy X
=
ncn xn
dx n=1
1
1
d2 y X
=
n (n
dx2
n=2
1
ve
1) cn xn
2
bulunur. Yukar¬daki sonuçlar verilen diferansiyel denklemde yerine yaz¬l¬rsa,
1
X
n (n
1) cn x
n 1
+3
n=2
1
X
n (n
1) cn x
n 2
+
n=2
+2
1
X
ncn xn
n=1
1
1
X
ncn xn
n=1
+
1
X
cn xn = 0
n=0
elde edilir. Burada, beş toplam sembolünü tek bir toplam alt¬nda ifade etmek için gerekli işlemler,
1
X
n
n (n + 1) cn+1 x + 3
1
X
(n + 1) (n + 2) cn+2 x +
+2
1
X
(n + 1) cn+1 xn +
n=0
1
X
n=1
1
X
ncn xn
n=1
n=0
n=1
6c2 + 2c1 + c0 +
n
1
X
cn xn = 0
n=0
f(n + 1) (n + 2) cn+1 + 3 (n + 1) (n + 2) cn+2 + (n + 1) cn g xn = 0
yap¬l¬r ve aşa¼
g¬daki sonuçlar elde edilir:
i) 6c2 + 2c1 + c0 = 0 ) c2 =
1
c0
6
1
c1
3
ii) (n + 1) (n + 2) cn+1 + 3 (n + 1) (n + 2) cn+2 + (n + 1) cn = 0; n
Buradan, n ye bir kaç de¼
ger verip, di¼
ger katsay¬lar¬c0 ve c1 cinsinden,
cn+2 =
(n + 2) cn+1 + cn
;n
3 (n + 2)
n = 1 ) c3 =
ifade edebliriz. Öyleyse,
y=
1
X
n=0
2c2 + c1
1
= c0
9
27
cn xn = c0 + c1 x + c2 x2 +
1
1
c1
27
1
= c0 + c1 x +
1
c0
6
= c0 1
x2 x3
+
+
6
27
1
c1 x2 +
3
1
c0
27
+ c1 x
1
c1 x2 +
27
x2
3
x3
+
27
yaz¬l¬r. Dolay¬s¬yla, verilen diferansiyel denklemin genel çözümü
y = C1 1
x2 x3
+
+
6
27
dir.
Yrd. Doç. Dr. Y¬ld¬r¬m ÖZDEMI·R
+ C2 x
x2
3
x3
+
27